Bài tập - Giải tích 1| Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Bài tập 1. Tập hợp
1.1 Cho A, B, C là các tập bất kỳ. CMR
a) A  B  A  C  B  C,
A  C  B  C, A – C  B – C
b) A  B  A  B = A và A  B = B
c) A  (B – C) = A  B – A  C
d) A  B = A  C  A  B = A  C
e) A  B = A  C, B  C = B  A,
C  A = C  B  A = B = C
1.2 Cho f : X  Y. CMR
a)  A, B  X, f(A  B)  f(A)  f(B) f(A  B) = f(A)  f(B)
b)  A, B  Y, f–1(A  B) = f–1(A)  f–1(B)
f–1(A  B) = f–1(A)  f–1(B)
1.3 Cho f : E  F, g : F  G, h : G  E. CMR
a) hogof và gofoh là toàn ánh fohog là đơn ánh  f, g, h là song ánh
b) hogof và gofoh là đơn ánh
fohog là toàn ánh  f, g, h là song ánh 1.4 Cho A, B  P(E)
f : P(E)  P(E)  P(E), X  (X  A, X  B) CMR
a) f là đơn ánh  A  B = E
b) f là toàn ánh  A  B =  2. Hàm số
1.5 Tìm hàm f : I  ℝ biết rằng
a)  x  0, f(x + ) = x2 +   
b)  x > 0, f() = x + √1 +  
c)  x  ℝ, xf(x) + f(1 – x) = x3 + 1
d)  x, y  ℝ, f(x + y2) = f(x2) + f(y)
e) f = g–1 với g(x) = 1 + 2sin 
f) f = go...og (n lần) với g(x) =  √
1.6 Khảo sát các tính chất sơ cấp của hàm số
a) Tìm miền xác định, miền giá trị ) y = ln(1 – 2cosx)
) y = arcsin 
b) Tìm ảnh của khoảng I qua ánh xạ f ) y =  , I = (0, 1)
) y = √ − , I = [0, 1] 
c) Khảo sát tính đối xứng
) y =  ) y = ln   ) y = sinx – cosx
) y = ln(x + √1 +  )
d) Khảo sát tính tuần hoàn ) y = | sinx | + | cosx | ) y = sin(x2) ) y = tan  – tan  ) y = x – E(x)  
e) Vẽ đồ thị của hàm số ) y = x2 – 6| x | + 9 ) y = 2|| − 1 ) y = arccos(cos3x) ) y = cosx + | sinx |
1.7 Hàm lượng giác ngược
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
) y = arctan  ) y = arccoss(4x3 – 3x)   ) y = arcsin  ) y = sin(3arctanx) √ b) Giải phương trình ) arccosx = arcsin2x
) 2arctan + arcsin(2x – 1) =    ) arcsin   = arctanx
) arcsin2x = arcsinx + arcsin(x√2)
1.8 Xác định bậc của vô cùng bé và vô cùng lớn a)   = tanx – sinx  = 1 + √   − 1  = 2x – cosx  = sin(shx) – sh(sinx)
 = (1 + sinx)x – (1 + x)sinx
 Tìm k sao cho (x) ~ .xk   f(x) = tan(x) f(0) = 0 f’(x) = 1 + tan2(x) f’(0) = 1
f”(x) = 2tan(x)( 1 + tan2(x)) f”(0) = 0 f”’(x) = f”’(0) = 2 f(x) = f(0) + () ()  ()  !  + !  + !  
+ ( )()  + () !
tan(x) =  +   + ()         = 1 + √
  − 1 = 1 +  − 1 ~  
b) A = √ +  + 5 + | x | B = √   −  + √  C =   D = x + ln(1 + x)  E = xln(x + 1) – (x + 1)lnx
1.9 Tính các giới hạn sau đây a)    −  √√    b)   √ 
c)  √ : m, n √√  ℕ d)   √    √   √  
e)  +  + √ − √ f)    − cot     
g)  tan  sin 
h)  √        
i)  √  √  j)          
k) (1 + tan ) l)      
m) sin √ + 1 − sin √ n)   ln       o)  
 cos√ p)    
q)   : a, b > 0 r)  ( )    
1.10 Tìm hàm f : I  ℝ trong các trường hợp sau đây
a) f : ℝ  ℝ liên tục tại 0 và 1 : f(x2) = f(x)
b) f : ℝ  ℝ liên tục tại –1 : f(2x + 1) = f(x)
c) f : ℝ  ℝ liên tục : f(x + y) = f(x) + f(y) + xy
d) f : ℝ∗  ℝ liên tục : f(x  y) = f(x) + f(y)
e) f : ℝ  ℝ liên tục : f(x + y) = f(x)  f(y)
1.11 Chứng minh rằng
a) Cho f : [0, 1]  [0, 1] liên tục.
CMR  a  [0, 1] : f(a) = a
b) Cho f : ℝ  ℝ liên tục và tuần hoàn. CMR f bị chặn
c) Cho f : ℝ  ℝ liên tục và f(–) = f(+).
CMR f thì đạt trị bé nhất
d) Cho f, g : [a, b]  ℝ liên tục : f(x ) > g(x)
CMR  m > 0 : f(x) > g(x) + m
e) Cho f : I  ℝ liên tục và tập f(I) là hữu hạn. CMR f là hàm hằng
f) Cho f : I  ℝ liên tục và đơn ánh. CMR f là hàm đơn điệu
1.12 Tìm giá trị của tham số để hàm liên tục trên toàn tập số thực
 + 1    ≤ 
a) y =  − 1     ≤ 1 
 − 2  > 1 b) y = 
sin  +   >  Giải
 x < , f(x) = a.x + 1 ... 
x >  , f(x) = sin(x) + b ...   x0 =     f(x) = = a. + 1    (.  + 1)    f() = a. + 1  
 f(x) = (sin  + ) = 1+ b     
f liên tục tại   a. + 1 = 1 + b    Để f(x) ...
c) y =  sin     ≠ 0 
 d) y =      ≤ 1
        = 0  +   > 1
1.13 Phân loại các điểm gián đoạn và thác triển liên tục a) y =  ln    Giải  Mxd
x  0, 1 – x  0,  > 0  x  0, x  1, –1 < x < 1  D(f) = (–1, 0)  (0, 1)
 a = –1, f(–1+0) = + a = +1, f(1–0) = +  a = 0
 f(x) =   ln  → →  
=  ln 1 +   =    = 2 = f(0) →  →  
Điểm a = 0 là gd loại 1 và bỏ qua được b) y =    c) y = 3   Giải  Mxd  x  2  a = –2   f(x) =  = +   3 
 f(x) =  3 = 0    a = +2 
f(x) = 3 = +   
f(x) = 3 = 0   d) y = (x +1)arctan    e) y = || f) y =   ()   
2    − 1 ≤  < 1 g) y =     
h) y =  − 1   1 <  ≤ 4 
1            = 1
1.14 Cho phương trình xtanx = 1. CMR
a)  n  ℕ, PT có một nghiệm xn  (n, n + ) 
b) Suy ra hệ thức tương đương : x  n – n ~  
1.15 Cho phương trình
(x – n)lnn = xln(x – n). CMR
a)  n  ℕ, PT có một nghiệm xn  (n + 1, n +2)
b) Suy ra hệ thức tương đương : x   n – n – 1 ~   Bài giải Số phức ... Đa thức ... 2.1 Phân tích phân thức X a b 1) F = = + (X  ) 1 (X  2) X 1 X  2 Giải  (X – 1)  : X = 1  a = (X – 1)F(1) = – 1  (X – 2) : X = 2  b = (X – 2)F(2) = 2 X 2) F = 2 2 2 (X  ) 1 (X  ) 1 Giải  Phân tích X A B DX  E FX  G 2 2 2 = + 2 + 2 + 2 2 (X  ) 1 (X  ) 1 X  1 (X  ) 1 X 1 (X  ) 1  Cân bằng hai vế
X = A(X – 1)(X2 + 1)2 + B(X2 + 1) 2
+ (DX + E)(X – 1)2(X2 + 1) + (FX + G)(X – 1)2 X = 1  B =  
X = i  i = 2F – 2Gi  F = 0 và G = −    Đạo hàm hai vế
1 = A(X2 + 1)2 + B4X(X2 + 1) + (X – 1)( ...)
1 = (DX + E)2X(X – 1)2 + ... + (X2 + 1)(...)
X = 1  1 = 4A + 2  A = −  
X = i  1 = (4E + 1) + (4D – )i và E = 0   D =   Hàm số 3.1 Khảo sát hàm số 1) Miền xác định y = ln(1 – 2cosx)
 D(f) : 1 – 2cos(x) > 0  cos(x) <   ... 2) Tính đối xứng y = ln  
 y(–x) = ln  = − ln  = –y(–x)   ...
3) Tính tuần hoàn y = tan  − tan     tan  : T  : T  1 = 2  và tan   2 = 3  y : T = 6 ... Giới hạn
4.1 Tính các giới hạn 1) lim √√ √     Giải →
 Gọi ℓ... . Đổi biến t = x – 1  +0  x = t + 1 ℓ = ...  Dùng công thức (1 + u)m ~ 1 + mu → 
√ = (1 + ) ~ 1 +   →    
√ − 1 = √2 +  = (2) 
 1 +  ~ (2)(1 +  )  →   Thay ...    ℓ = lim  =  →  ()( √ ) 2) lim tan  sin  →   Giải  t = x – 1  0  x = t + 1 tan x ~ x , cot x ~    
tan  = tan  +  = − cot  ~ −      →  sin = sin  ~    → 
 ℓ = lim −  .  = −  →      3) lim  →  Giải
 u =   ⎯⎯⎯ 1, v = cot x ⎯⎯⎯ +   : dạng 1 → →  sinx x –  x3 ~   v(u – 1) =   ~    0   0   = −   → ⎯  ⎯⎯     ()  ℓ =   → = e0 4) lim  ln  →   Giải  ...
ln  =  ln 1 +   ~   =            ℓ = lim  = 1 →  
4.2 Tính các giới hạn 1) lim( − tan )    → Giải
 u = e − tan(x) ~ (1 + 4) −  ⎯⎯ 1  → v = 
~  ⎯⎯  : dạng 1
()   →
v(u – 1) ~  3 ⎯⎯ 1   →  ℓ = e 1    2) lim    → () Giải
 u =   ⎯⎯⎯⎯ 1, v = 3x.ln2x ⎯⎯⎯⎯ + : dạng 1 () → → ( )
 v(u – 1) = 3 ln 2     ()
= −3  ln 1 +  ()     1,  
() = () + () → ⎯⎯⎯⎯ ln 1 +  ~   v(u – 1)  –3 ~
 −3.1.  → ⎯⎯⎯⎯  ℓ = e –3  3) lim () →  Giải  u = (1 + )
 ln(1 + ) ~   −  ~ 1 −    0      u =  ( )
   ~  ~ . (1 −  )      ℓ = lim  = −   →   4) lim  → ( ) Giải
 u = xlnx, v = (ln x)x ⎯⎯⎯⎯ + →  y =  ( )
ln y(x) = (ln x)2 – ln x.ln(ln x) = ln2 x (1 – ( ))     lim () =
lim  ⎯⎯⎯⎯ 0 →   →  →
ln y(x) = ln2 x (1 – ( )) ⎯⎯⎯⎯ + ?   →  ℓ = e+ = + 5) lim   −   →    Giải
 t = x – 1  0  x = 1 + t
 ln(1 + t) ~  −         ()     −  =   () ~0 
 = 
4.3 Tính các giới hạn 1) lim √
→   Giải 
 1 – √4 ~ 1 – 1 −  (4)  
~ 1 – 1 −  8 = 4x2   arcsin2 x ~ x2   ℓ = 4  2)
lim − arcsin  → Giải
  ~1 +  +   0  
(arcsin x)2 ~  +   ~ +    ! 0  x3 sin x ~ x4 
 u ~ 1 + x4 ⎯⎯ 1, v ~  ⎯⎯    →   → 
v(u – 1) ~  ⎯⎯    →    ℓ =  Liên tục
5.1 Tìm A để f(x) =  − 1  ≤ 1
 +    > 1 liên tục trên ℝ Giải
 x < 1 : f(x) = x2 – 1 liên tục
x > 1 : f(x) = x + A liên tục  a = 1, f(1) = 0 f(1–0) = (x2 – 1) = 0 = f(1) li →m  f(1+0) = (x + A) = 1 + A  li →m 
Hàm f liên tục tại 1  0 = 1 + A  A = –1
 Vậy A = –1 thì hàm f liên tục trên tập ℝ. ||
5.2 Khảo sát tính liên tục f(x) =      ≠ ±1
−      = ±1  Giải
 Với a  1, f(x) = ||
 là HSC liên tục  Xét tại a = –1 f(x) =   =  
lim () = lim  = −  = f(–1) → →   Hàm f liên tục  Xét tại a = 1 f(x) =  = −   
lim() = lim −  = −  = f(1) → →   Hàm f liên tục  ...
5.3 Tính chất hàm liên tục
1) Cho f : ℝ  ℝ liên tục sao cho f(x)  ℚ. CMR f(x) = const Giải  Phản chứng :
 x < y  ℝ và f(x) < f(y)
  f(x) <   ℝ – ℚ < f(y)   x < c < y : f(c) =  ! 2) Cho f :
liên tục và bị chặn. CMR f(x) = 2x ℝ  ℝ có nghiệm Giải
  m, M :  x  ℝ, m  f(x)  M
 g(x) = f(x) – 2x liên tục trên tập ℝ
g() = f() – 2.  m – m  0   
g() = f() – 2.   M – M  0     Theo ...
   c   : g(c) = f(c) – 2.c = 0   5.4
Phân loại điểm gián đoạn 1) f(x) = ()  2) f(x) =  ( )  3) f(x) = ()  Giải 1)  D(f) : x   + k    a =  + k  
t = x – ( + k)  0  x = t +  + k  
sin 2x = sin(2t +  + k2) = – sin 2t
cos x = cos (t +  + k) = – sin(t + k) = (–1)k+1 sin t   f(x) =    
=  – = 2(–1)k 
→ ()  → () 
Điểm a là gián đoạn loại 1 3)  D(f) : x   + k   4x – 5 = 0  x = , k = 1  Xét tại a =  +   t = x –    0  x = t +   (4x – 5)2 = 16t2
1 – sin 2x = 1 – sin(2t + ) = 1 – cos 2t 
 f(x) =   =   →
→   →  = 8 
Điểm a =  là gián đoạn bỏ qua được 
 Xét tại b =  + k, k  1   f(x) =  →
Điểm b =  + k, k  1 là gián đoạn loại 2 