Tóm tắt lý thuyết, bài tập - Giải tích 1 | Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng
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Môn: Giải tích 1(GT 1) 40 tài liệu
Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 410 tài liệu
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ß CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt þ þ
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ÿ ß ¿ ß ¿ ß N, Z, Q, R
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¿ ¿ ß ß ÿ ß y = f (x)
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Þ Þ ¾ Þ
§ þ Þ ¾ Þ ¾ Þ N, Z, Q, R
¿ ¿ ÿ ¿ ¿ ¿ ß ¿ ß ¿ ¿ ÿ
¿ ¿ ¿ ß ¿ ¿ ¿ ¿
ß ß ¿ ß ¿ ¿ Q ß Z ¿ ¿ ¿
ÿ ß ¿ R ¿ ¿ ÿ ß ÿ ¿ ¿ ß ¿ ÿ ß ß ÿ
ÿ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
§ Þ Þ Þ ¾
¿ ¿ ß ¿
• |x| ≥ 0, |x| = 0 ⇐⇒x = 0, |x + y| ≤ |x| + |y|
• |x − y| ≥ ||x| − |y|| , |x| ≥ A ⇐⇒x ≥ A ¿ x ≤−A
• |x| ≤ B ⇐⇒−B ≤ x ≤ B CuuDuongThanCong.com
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§ Þ Þ ¾ Þ ¾ Þ
Þ ¾ ¾ ¾
þ þ
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¿ ¿ ß ß ß ¿ ¿ ß ¿ ¿ f : X → R ¿
ß X ß ÿ ÿ f ß ¿ ß ÿ ¿
ß ÿ ß ÿ ¿ ¿ ß ÿ ß ¿ ß ÿ
¿ ¿ ¿ ß ß ß ÿ ß ß
¿ ß ¿ ß ß ß ÿ ¿
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¿ ¿ ¿ ÿ ß ß ¿ ¿ f (x) = ¿ ¿
¿
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¿ ÿ ¿ ß T 6= 0(T > 0) ß
f (x + T) = f (x) ß ß T > 0 ¿
ÿ ß ÿ
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ß ß ÿ ß ÿ ÿ ¿ ß ß ÿ
Þ ß ß ¿ y = ax, y = loga x ÿ ÿ
ß ¿ CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ß ß ¿ ß ¿ ß ß ¿ ÿ ÿ
ß ¿ ¿
y = xα, y = ax, y = log y y y y a x, = sin x, = cos x, = tg x, = cotg x
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x.
ß ß ¿
ÿ ß ß ¿ ÿ ÿ ÿ ÿ
¿
¿ ÿ ß y = 4q 2 1 x+ x lg √ (tan x) y = arcsin x y =
y = arccos(2 sin x) sin πx ß ¿
a. = {π/4 + kπ ≤ x ≤ π/2 + kπ, k ∈ Z} b. = {−1/3 ≤ x ≤ 1} π π
c. = {x ≥ 0, x 6∈Z} d. = {− + kπ ≤ x ≤ 6 + kπ, k ∈ Z} 6
¿ ß ß ÿ ß x
y = lg(1 − 2 cos x) y = arcsin lg ß
¿ {−∞ ≤ 10 y ≤ lg 3}
{−π/2 ≤ y ≤ π/2}
¿ f (x) ¿ 1 1 x f x + = x2 + f = x2. x x2 1 + x x 2 ∀x 6= 1. ß
¿ f (x) = x2 − 2 ß |x|≥2.
f (x) = 1− x
¿ ÿ ÿ ß ß ß ÿ 1 1 − x y = 2x + 3. y = y = 1 + x
(ex + e−x) 2 1 ß ¿ y = x − 3 2 2 1 − x
y = y = 1 + x CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ß ß ¿ ß 1
y0 = (ex − e−x) ß ß ¿ 2 ß ß 1
x ≥ 0, ÿ y = p p
(ex + e−x)⇒ex = y ± y2 − 1⇒x = ln(y + y2 − 1). 2 [0, +∞) → [1, +∞) 1
x 7→y = (ex + e−x) 2 q
ln(y + y2 − 1) ← y √
¿ ÿ ß x ≥ 0 y = ln(x + x2 − 1), x ≥ 1. √
ß x ≤ 0 ÿ ÿ y = ln(x − x2 − 1), x ≤ 1.
¿ ¿ ¿ ÿ ß
f (x) = ax + a−x(a > 0) √
f (x) = ln(x + 1 − x2)
f (x) = sin x + cos x ß ¿
ß ß ¿
ß ß ¿
ß ¿ ¿
¿ ÿ ¿ ¿ ß f (x) ß ß ¿ ß
ÿ (−a, a) ß ß ß ÿ ¿ ß ¿ ß ÿ ß ß ¿
ß ß ¿ ß
¿ ß ß f (x) ¿ 1 1 f (x) = [ +
f (x) + f (−x)]
[ f (x) − f (−x)] 2 2 g(x) h(x) | {z } | {z }
g(x) ß ß ¿ h(x) ß ß ¿
¿ ¿ ÿ ß ¿
f (x) = A cos λx + B sin λx CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ß ß ¿ ß ¿ ß ß ¿ ÿ ÿ 1 1
f (x) = sin x + sin 2x + sin 3x 2 3
f (x) = sin2 x
f (x) = sin(x2) ß ¿
¿ ÿ T > 0 ß ÿ ß
f (x + T) = f (x)∀x ∈ R
⇔A cos λ(x + T) + B sin λ(x + T) = A cos λx + B sin λx ∀x ∈ R
⇔A[cos λx − cos λ(x + T)] + B[sin λx − sin λ(x + T)] = 0 ∀x ∈ R −λT λT λT ⇔2 sin [A sin(λx + ) + B cos(λx + 2 2 )] = 0 ∀x ∈ R 2 λT ⇔ sin = 0 2 2kπ ⇔ T = . λ
¿ ß ¿ ß 2π T = |λ|
ß sin x ¿ ß 2π ß sin 2x ¿ ß 1 1
π ß sin 3x ¿ ß 2π ¿ f (x) = sin x + sin 2x + sin 3x 3 2 3
¿ ß T = 2π
1 − cos 2x ¿ ß
f (x) = sin2 x = T = π 2
¿ ÿ ß ¿ ß T > 0
sin(x + T)2 = sin(x2)∀x. √
x = 0⇒T = kπ, k ∈ Z, k > 0. √
x = π⇒k ß ¿ ÿ k = l2, l ∈ Z, l > 0 r
ß ¿ π 2 x =
¿ ß ¿
¿ f (x) = ax + b, f (0) = −2, f (3) = −5. f (x) 7 ß
¿ f (x) = x − 2. 3
¿ f (x) = ax2 + bx + c, f (−2) = 0, f (0) = 1, f (1) = 5. f (x) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ß ß ¿ ß 7 ß ¿ 17 f (x) = x2 + x + 1. 6 6
¿ 1
f (x) = (ax + a−x), a > 0. ÿ ¿ 2
f (x + y) + f (x − y) = 2 f (x) f (y).
¿ ¿ ÿ f (x) + f (y) = f (z) ß z ¿
f (x) = ax, a 6= 0.
f (x) = arctan x 1 1 + x f (x) =
f (x) = lg x 1 − x ß ¿ x + y z = x + y z = 1 − xy xy x + y z = z = x + y 1 + xy
§ Þ
ß ß ß ß ß ß ¿ ß ¿
¿ ß ¿ ß ¿ ¿ ¿ ¿ ß ¿
¿ ¿ ß ß ß ß ß ¿ ß
ß ß ¿ ß ß ÿ ß ß ß ß ÿ
¿ ß ¿ ¿ ¿ ß ß ÿ ß ß ¿
ß ß ß ¿ ∞
¿ ß ÿ
ß ß ¿ ÿ ¿ ß e
¿ ¿
ß ¿ ÿ a n 1 1 1 a n = 1 + + + · · · + . 2 3 n CuuDuongThanCong.com
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¿
¿ ß ¿ ÿ ß p q p
xn = n − n2 − n x nπ n =
n(n + a) − n
xn = n + 3 1 − n3 x
sin2 n − cos3 n n = sin x 2 2 n = n ß ¿
1 a 0
0 2 2
¿ ß 1 xn = xn−1 + , x x 0 = 1. n−1
ÿ ¿ {xn} ß ¿ ÿ ¿
ÿ ¿ lim xn = +∞. n→∞
¿ 1
un = (1 + )n.ÿ ¿ {u n
n} ß ß ß ¿ ß
¿ ÿ ¿ ¿ ÿ 1 1 1 + (1 + ) + . . . + (1 + )n. n
) ≥ (n + 1) n+1r n 1 n (1 + 1 1 ⇒(1 + )n+1 ≥ (1 + )n n + 1 n
ÿ 1 n 1
un = (1 + )n = ∑ Ck n n. nk k=0
k! = 1.2 . . . k ≥ 2k−1∀k ≥ 2 1 1 ⇒ n ) ) Ck
.(n − 1 . . . (n − k + 1 < 1 ≤ 1 n. = . k! k! nk nk 2k−1 1 1 1 ⇒un < 1 + 1 + + + . . . + < 3. 2 22 2k−1
¿ 1 1 sn = 1 + + . . . +
ÿ ¿ {s 1!
n} ß ¿ n! ß
¿ lim
un = lim sn = e. n→+∞ n→+∞
¿
1 + a + . . . + an lim
; |a| < 1, |b| < 1.
n→+∞ 1 + b + . . . + bn CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ß ß ¿ ß ß ¿
1 + a + . . . + an lim = lim 1 − an+1 1 − b 1 − b . =
n→+∞ 1 + b + . . . + bn n→+∞ 1 − a 1 − bn+1 1 − a
¿ lim q p √
2 + 2 + . . . + 2 ¿ n→+∞ q
ß ¿ ÿ p { √ = n+1 2 + un un} ß ß ¿
ß¿ u
ß ¿ ≤
¿ ß ß ¿ { n = 2 + 2 + 0 . . .u+
n ≤ 2 u2 un} ß
ß ß ÿ ¿ ÿ lim un = a, 0 < a < 2 ÿ u2
= 2 + u n → ∞ n→∞ n+1 n a2 = a + 2
¿ a = 2 lim q p √ 2 + 2 + . . . + 2 = 2 n→+∞
¿ √
lim (n − n2 − 1) sin n. n→+∞ ß ¿ √ sin n lim
(n − n2 − 1) sin n = lim √
= 0 ¿ ¿ n→+∞
n→+∞ n + n2 − 1
¿ lim [cos(ln n) − cos(ln(n + 1))]. n→+∞ ß ¿ ln n + ln(n + 1)
ln n − ln(n + 1)
cos(ln n) − cos(ln(n + 1)) = −2 sin . sin ln n(n + 2 1) ln n n+1 2 = −2 sin sin 2 2 n+1 ln n
0 ≤ |cos(ln n) − cos(ln(n + 1))| ≤ 2 sin ln n 2 ¿ lim sin
n+1 = 0 ß ¿ ¿ n→∞ 2
lim [cos(ln n) − cos(ln(n + 1))] = 0 n→+∞
¿ ÿ ¿ n lim = 0. 2n n→+∞ ß ¿ ⇒ < 2 .
2n = (1 + 1)n > n(n − 1) 0 < n 2 2n n − 1
¿ ß ¿ ÿ CuuDuongThanCong.com
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¿ ÿ ¿ 2n lim = 0. n→+∞ n! ß ¿ 2 2 2 2 2 0 < 2n = . . . . . < 2. n! 1 2 3 n ∀n ≥ 2 n
¿ 1 1 n lim ( + + . . . + ) n→+∞ 2 22 2n 1 1 n lim ( + + . . . + ) n→+∞ 3 32 3n ß ¿ ÿ
Sn − 1 S S → n = 2. 2 n⇒ nlim +∞ 3 Sn − 1 . S S → n = +∞ 4 3 n⇒ nlim
¿ ÿ ¿ lim n√ n √ n = 1; lim a = 1, a > 0. n→+∞ n→+∞ ß ¿ ¿ α √ < 2 n = n α2
n − 1⇒n = (1 + α
. ÿ
n)n > n(n − 1) 2 n⇒α2n n − 1
ß ¿ ¿ lim α n √ n = 0 ¿ lim n→∞ n = 1 n→∞
¿ a = 1, ¿ √
a > 1, 1 ≤ n√ n √
a ≤ n n ∀n > a⇒ lim a = 1 n→+∞ ¿ 1
a < 1, ¿ a0 = √ ⇒ n √ lim n a = 1. a a0 = 1⇒ lim n→+∞
¿ ¿ ÿ ¿ ß 1 1 un = 1 + + . . . + 2 n
¿ ÿ ¿ ¿ a lim a
1 + a2 + . . . an n = a lim = a. n→+∞ n n→+∞
¿ ÿ ¿ ¿ lim a n √
n = a, an > 0∀n lim n→+∞ a n→+∞
1.a2 . . . an = a. CuuDuongThanCong.com
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Þ ¾ Þ
§ ¾ Þ
ÿ ß
ß ÿ ÿ
¿ ÿ ß ¿ ß ß ß f (x) ß ¿
ß ß F(x) ¿ ¿ f (x) ¿ ß ¿ ¿ ¿ ß F(x) ¿
ß ß F(x) ÿ ß ß ÿ ß f (x) ß ¿ D ¿
F0(x) = f (x) ∀x ∈ D
dF(x) = f (x)dx
ß ¿ ÿ ß ß ß ¿ ¿
¿ ¿ ß ß ¿ ÿ ¿ ¿ ÿ ß
ß ¿ F(x) ß ÿ ß f (x) ¿ D ß •
F(x) + C ß ÿ ß f (x) ß C ß ¿ ß ¿
ÿ ¿ ß ÿ ß •
f (x) ß ¿ ÿ ß ¿ F(x) + C
C ß ¿ ß
¿ ß ÿ F(x) + C ß ß ¿ ¿ ÿ ß f (x) ß ¿
ß C ÿ ß CuuDuongThanCong.com
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ß ¿ ß ÿ ß ß f (x) ß F(x) + C ß x ∈ D
C ß ÿ ß f (x) C ß ¿ ß ¿
¿ ß ÿ f (x)dx ÿ ß Z
ß ÿ f (x)dx ÿ ß ß
ÿ ß ¿ ß f (x)dx
f (x) ÿ ß ß ß ¿ Z ¿
f (x)dx = F(x) + C ß F(x) ÿ f (x)
¿ ÿ ¿ ß Z 0 Z • f (x)dx
= f (x) d
f (x)dx = f (x)dx Z Z •
F0(x)dx = F(x) + C
dF(x) = F(x) + C Z Z •
a f (x)dx = a
f (x)dx a ¿ ß Z Z Z
• [f (x) ± g ( x ¿)] d x ß =
f (x)d x ± g ¿ (x)d x
¿ ÿ ¿ ß ß ¿ Z Z Z
[α f (x) + βg(x)] dx = α
f (x)dx + β g(x)dx
α, β ¿ ß ß ß ¿
ÿ ¿ ¿ Z Z xα+1
dx= ln |x| + C xαdx = + C, (α 6= −1) x α + 1 Z Z
sin xdx = − cos x + C
cos xdx = sin x + C Z Z = tgx + C dx c d o x s2 x = −cotgx + C sin2 x Z Z ax axdx =
+ C, (a > 0, a 6= 1)
exdx = ex + C ln a1 a + x 1 x Z = = arctg + C a2 dx − x2 Z x2 + d a2x a a ln + C 2a a − x x Z √ = arcsin + C dx p Z a2 − x2 a √ dx = ln x + x2 + α + C x2 + α x Z p p arcsin + C 1 a22 a
a2 − x2dx = x a2 − x2 + 2 Z p 1 h p p i x2 + adx =
x x2 + a + a ln
x + x2 + a + C 2 CuuDuongThanCong.com
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¿ ß
ß
ß ß ¿ ¿ ÿ ÿ ÿ ß ß
¿ ÿ ¿ ß ß
¿ ß ÿ ¿ ¿
ÿ ¿ ß Z Z Z
[α f (x) + βg(x)] dx = α
f (x)dx + β g(x)dx
ß ß ¿ ß ß ÿ ß ¿
¿ ÿ ÿ ¿ ß ÿ ¿ 5 Z x √ Z Z 5 2 − x3 + C
ÿ • 3
(2x x − 3x2)dx = 2 x 2 dx − 3 x2dx = 4 Z Z Z Z = − x 2 cos x + x4 − 4 ln |x| + C •
2 sin x + x3 − 1 dx = x3dx − dx x 2 sin xdx + Z − 1 + arctgx + C dx Z • 1 x2 = dx = − 1x x2(1 + x2) 1 + x2
¿ ß ß ÿ Z Z
¿ ¿
f (x)dx = F(x) + C
f (u)du = F(u) + C u = u(x)
ß ß ¿ ÿ ß ß ¿ ¿ ¿ ¿ x
ÿ ÿ ¿ ¿ ß ß ÿ ß ¿ g(x)dx ß ¿
g(x)dx = f (u(x))u0 (x)dx,
f (x) ß ß ß ÿ F(x)
¿ ß Z Z Z g(x)dx =
f (u(x))u0 (x)dx =
f (u(x))du = F(u(x)) + C Z
ß ÿ ¿ u(x) = ax + b du = adx ¿
f (x)dx = F(x) + C Z 1
f (ax + b)dx = F(ax + b) + C a
ÿ Z + a cos ax C sin axdx = − 1 Z + a C eaxdx = eax CuuDuongThanCong.com
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esin x cos xdx = esin x sin
d(sin x) = e x + C Z Z + 3 tgx + C dx =
(1 + tg2x)d(tgx) = tg3x cos4 x Z √ Z √ √ 3
x 1 + 3x2dx = 16
1 + 3x2d(1 + 3x2) = 1 1 + 3x2 + C 9 Z Z
arccos x arcsin x π I = √ dx =
− arcsin x arcsin xd(arcsin x) 1 − x2 2 π ⇒ I =
arcsin2 x − 1 arcsin3 x + C 4 3
ß ¿ Z
I =
f (x)dx f (x) ß ß ÿ ß
ß ÿ ß ß ¿ ß
ß ¿ x = ϕ(t) ß ÿ ß ¿ ß ß ¿ t ß
ÿ ß ¿
ß ¿ ÿ ¿
¿ x = ϕ(t) ϕ(t) ß ß ß ¿ ÿ Z Z I = f (x)dx =
f [φ(t)] φ0(t)dt
¿ ÿ ß g(t) = f [ϕ(t)] ϕ0(t) G(t) t = h(x)
ß ÿ ÿ ß x = ϕ(t) Z
g(t)dt = G(t) + C ⇒ I = G [h(x)] + C
ß ¿ ÿ
¿ t = ψ(x) ψ(x) ß ß ¿ ÿ ¿ ÿ
f (x) = g [ψ(x)] ψ0(x) Z Z I = f (x)dx =
g [ψ(x)] ψ0(x)dx
¿ ÿ ß g(t) ß G(t)
I = G [ψ(x)] + C
¿ ß ¿ ß ¿ ß ÿ
¿ ß ß ¿ ß ¿ ß ÿ ¿ ß CuuDuongThanCong.com
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ÿ Z r dx x 2 − x ¿ I 1 = ÿ
x = 2 sin2 t, t ∈ 0, π2 r s = tgt x 2 2(s1in2 − stin2 t)
dx = 4 sin t cos tdt, = 2 − x Z r Z x I dx = 4
sin2 tdt = 2t − sin 2t + C 1 = ß ¿ ¿ 2 − x x ß
ÿ p 2 t = arcsin x Z r r x x p I1 = dx = 2 arcsin
− 2x − x2 + C 2 − x 2
Z dx e2x ex + 1 ¿ x x I2 =
e = t ⇒ e dx = dt Z t Z I2 = dt = 1 − 1
dt = t − ln |t + 1| + C t + 1 t + 1
ß ¿ ¿ x ÿ I2 = ex − ln(ex + 1) + C
Z √ dx I 1 + 4x ¿ 3 =
ß
t = 2−x ⇒ dt = −2−x ln 2dx Z √ = − 1 Z √ = − 1 t ln 2 −d 1 t+ t−2 t d 2 t + 1 p I3 = ln 2
ln(t + t2 + 1) + C ln 2
ß ¿ ¿ x √
I3 = − 1 ln(2−x + 4−x + 1) + C ln 2
ÿ ¿
¿ ÿ u = u(x) v = v(x) ß ¿ ÿ ¿ ¿ Z Z Z
d(uv) = udv + vdu ⇒ uv = d(uv) = udv + vdu Z Z udv = uv − vdu Z
I =
f (x)dx ¿ ß ß
f (x)dx = [g(x)h(x)] dx = g(x) [h(x)dx] = udv CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ß Z ß ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ¿ ß ß ÿ ß ß ¿ u = g (x) , v = ÿ h(x ß)dx
ß ln x, ax ß ÿ ß ÿ ÿ ÿ ß Z Z Z • ß ß u = xn xnekxdx; xn sin kxdx;
xn cos kxdx n Z
•
xα lnn xdx α 6= −1 n ß ß u = lnn x Z Z • ß u =a rc t g kx xn ¿ ar u ctg = k a x r d csxi;n kxxn d avrcs = in xnkx d d
x x n ß
ÿ ¿ ß Z Z I1 =
ln xdx = x ln x −
dx = x ln x − x + C Z I2 = ¿ x2 sin xdx ÿ
u = x2, dv = sin xdx ⇒ v = − cos x Z
I2 = −x2 cos x + 2 x cos xdx ¿ ÿ
u = x, dv = cos xdx ⇒ v = sin x Z
I2 = −x2 cos x + 2 x sin x − sin xdx
= −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C Z (xexd + x 1)2 I3 =
¿ u = xex; dv = dx ⇒ v = − 1 ; du = (x + 1)exdx ÿ (x+1)2 x+1 ex I3 = − xex Z + ex + C = + C xex x + 1 x + 1 + exdx = − x + 1 Z x √ exdx I 1 + ex 4 =
¿ √1 + ex = t ⇒ ex√dx = 2dt Z 1+ex I4 ß= 2 ¿ [l ¿n
(t − 1) + ln(t + 1)] dt = 2(t −
1) ln(t − 1) + 2(t + 1) ln(t + 1) − 4t + C x Z xexdx √ √ √
= 2(x − 2) 1 + ex + 4 ln 1 + 1 + ex − 2x + C 1 + ex Z √ x arcsin xdx I 1 − x2 5 = ¿ √
u = arcsin x; dv = xdx √ ⇒ du = dx ÿ √
; v = − 1 − x2 1−x2 1−x2 p Z p
I5 = − 1 − x2 arcsin x +
dx = − 1 − x2 arcsin x + x + C CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ¿ ß Z I¿ ÿ 6 = ex cos 2xdx
u = cos 2x; dv = exdx ⇒ v = ex; du = −2 sin 2xdx Z
I6 = ex cos 2x + 2 ex sin 2xdx ¿ ÿ
u = sin 2x; dv = exdx ⇒ v = ex; du = 2 cos 2xdx Z
I6 = ex cos 2x + 2 ex sin 2x − 2 ex cos 2xdx
= ex cos 2x + 2ex sin 2x − 4I6 + 5C
¿ I6 = ex ( 5
cos 2x + 2 sin 2x) + C
ÿ ¿ ¿ ß ÿ ß ß ¿
¿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ß
ß ¿ ß ß
ÿ ÿ ÿ
ß ß ÿ ÿ ÿ ß ß ¿ f (x) = P(x) Q(x)
P(x), Q(x) ÿ ÿ x ß ÿ ÿ ÿ ¿ ÿ ÿ ß ÿ ß ß
¿ ÿ ÿ ß ¿ ß ß ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ
¿ ÿ P(x) Q(x) ÿ ß ÿ ÿ ÿ ß ¿ r(x)
f (x) = H(x) + Q(x)
H(x) ÿ r(x) ¿ r(x) ß Q(x)
ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ß ÿ ¿
¿ ß ÿ ÿ ÿ ÿ ¿ r(x) ß ÿ ¿ Q(x)
ß ¿ ß ÿ ÿ ÿ ¿ ¿ ¿ ÿ ¿ ÿ ß
ÿ ¿ ß ÿ ¿ ÿ ÿ ß ß ¿ ß ß ß
ß ÿ
ß ß ¿ ß
¿ ÿ ß ß ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ P(x) ß ß Q(x)
ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ¿ ß ÿ ¿ ¿ ¿ ¿ ß ¿
ÿ ß ¿ ß Q(x) ÿ ÿ ¿ ¿ ¿ ¿ ß
Q(x) = (x − α 2
1)a1 ...(x − αm)am (x + p1 x + q1)b1 ...(x2 + pn x + qn)bn α
¿ ß
ß 1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n i, pj, qj ai, bj CuuDuongThanCong.com
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• ¿ ÿ Q(x) ¿ ß ÿ (x − α)a a ß
ÿ ÿ P(x) ¿ ß ¿ ÿ ¿ Ai A Q(x) (x−α)i i
¿ ß 1 ≤ i ≤ a
• ¿ ÿ Q(x) ¿ ß ß ÿ (x2 + px + q)b b ß
ÿ ÿ P(x) ¿ ß ¿ ÿ ¿ Bjx+Cj Q(x)
(x2+px+q)j
B
¿ ß 1 ≤ j ≤ b j, Cj
¿ ÿ ÿ P(x) ¿ ß A
¿ ß ¿ Q(x) i, Bj, Cj
ß ß ¿ ß ß ¿ ß ß ÿ xn, n ∈ R ß ¿ ¿ ß ß
ß ¿ ß ¿ ß ß ß ¿ ÿ ÿ ¿ Z Z Adx Adx
(x − a)k x − a Z
Z (x2 + px + q)m
(Mx + N)dx
(Mx + N)dx
x2 + px + q Z
= A ln |x − a| + C A x d − xa Z = −A + C
(k−1)(x−a)k−1 ( A x d − x a)k Z Z
(Mx + N)dx q
Mt + (N − Mp/2) = dt
(a = q − p2/4, ß ¿ t = x + p/2)
x2 + px + q t2 + a2 Z Z Mtdt (N −t M 2 p + / a 2 2 )dt = + t2 + a2 t
= ln(t2 + a2) + (N − Mp/2) arctg + C a 2N − Mp = 2x + p
ln(x2 + px + q) + p arctg 4q − p2 p + C 4q − p2 Z Z ( q Mx + N)dx
Mt + (N − Mp/2) = dt ( (
a = q − p2/4, ß ¿ t = x + p/2)
x2 + px + q)m
(t2 + a2)m Z Z Mtdt (N( − t2 M + pa/22 ) ) m dt = +
(t2 + a2)m Z = − M + C m
2(m−1)(t2+a2)m−1 ÿ ¿ (t2+a2) Mtdt
ß ÿ ¿ ß ÿ
¿ ß CuuDuongThanCong.com
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ÿ ¿ ß Z dx x4 − x3 (x2 + 2x2 2)( − x 2 − x1 + ) 1 I1 =
x4 − x3 + 2x2 − 2x + 1 1 A Bx + C = x + = x + +
(x2 + 2)(x − 1)
(x2 + 2)(x − 1) x − 1 x2 + 2
ß ¿ ß ß ¿
3 = (A + B)x2 + (C − B + 2)x − C A + B = 0 A = 1
ß ¿ ß ß ÿ x2, x ß ß ÿ ÿ C − B + 2 = 0 B = −1 ⇒ C = −1 −C = 1
x4 − x3 + 2x2 − 2x + 3 1 2x = x + − 1 − 1
(x2 + 2)(x − 1) x − 1 2 x2 + 2 x2 + 2
¿ ¿ x2 x I =
+ ln |x − 1| − ln(x2 + 2) − 1 √ arctg 2 2 √ 2 + C 2 Z dx 2x4 + (x 10 + x3 1) + 2( 1 x 7 2 x2 + + 2x 16 + x 3 + ) 5 I2 = ¿
2x4 + 10x3 + 17x2 + 16x + 5 2 = 2 + − 1 − 4
(x + 1)2(x2 + 2x + 3) x + 1 (x + 1)2 x2 + 2x + 3 1 √
I = 2x + 2 ln |x + 1| + − x + 1 2 2arctg √ + C x + 1 2
ÿ
Z
ÿ ÿ ß ß R( sin x,si c n x os , x c os x) d
xß ÿ ÿ ß ¿ ¿ ß
ß ß ÿ t = tg t 2 2t 2t 2dt sin x = 1 − t2 ; cos x = ; tg x = ; dx = 1 + t2 1 + t2 1 − t2 1 + t2
ÿ ß ÿ ß ÿ ¿ t CuuDuongThanCong.com
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ÿ Z dx s 1in + xs − in co x s +xc+ os 2x ¿ Z Z Z
sin x − cos x + 2
d(1 + sin x + cos x) 1 + sindx x + cos x dx = − + 2
1 + sin x + cos x
1 + sin x + cos x
¿ t = tg x 2 Z Z dx
dt = ln |1 + t| + C = 1 + t
1 + sin x + cos x
¿ ¿ ÿ
Z sin x − cos x + 2 x
dx = − ln |1 + sin x + cos x| + ln 1 + tg + C
1 + sin x + cos x 2 Z
¿
sinm x cosn xdx m, n ß
• ¿ m ß ¿ ¿ t = cos x
• ¿ n ß ¿ ¿ t = sin x
• ¿ m, n ß ¿ ÿ ÿ ÿ ¿ ¿ 1 − cos 2x 1 + cos 2x sin2 x = ; cos2 x = 2 2 Z
ß ß ¿
sink 2x cosl 2xdx
ÿ ¿ ß Z • I1 = sin3 x cos2 ¿ xdx
cos x = t ⇒− sin xdx = dt cos5 x Z Z − t3 + C = − cos3 x + C t55 3 5 3
sin3 x cos2 xdx =
(1 − t2)t2(−dt) = Z • I
ÿ ¿ ¿ 2 = sin4 x cos2
ÿ ÿ xdx 1 + cos 2x 1 Z dx = Z (1 − cos 2x)2 4 2 I 2 3 2 =
1 − cos 2x − cos 2x + cos 2x dx 8 ⇒ I2 = 1 Z 2 dx + 1 Z ¿ x − sin 2x − 1+cos 4x
(1 − sin2 2x)d(sin 2x) 8 2 2 1 sin 2x ⇒ I ! 2 =
− sin 2x − sin 4x + − sin3 2x x2 2 8 2 + C 8 6 CuuDuongThanCong.com
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ß ß I ÿ ÿ ÿ ¿ ¿ ¿ ÿ ¿ 2
ß ¿ ÿ ¿ ¿ ÿ ß ÿ ÿ ß ¿ ß ÿ
3 sin x − sin 3x 3 cos x + cos 3x sin3 x = ; cos3 x = 4 4
ÿ I 2 1
3 cos 2x + cos 6x I2 = Z + 2
1 − cos 2x − 1 + cos 4x dx 8 1 sin 6x 4 =
− sin 2x − sin 4x + x 2 8 8 + C 8 24 Z
R(sin x, cos x)dx ¿ ¿ ß
• ¿ t = cos x ¿ R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x)
• ¿ t = sin x ¿ R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x)
• ¿ t = tg x ¿ R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x)
ÿ Z sin dxxcos4 x ¿
t = cos x ⇒ dt = − sin xdx 1 1 Z Z + + − 1 dx −dt Z t2 2(t − 1) = 1 t4 = dt sin x cos4 x (1 − t2)t4 1 t − 1 2(t + 1) = − 1 − 1 + 3t3 t ln + C 2 t + 1 1 Z = − 1 − 1 + 1 − cos x + C sin d x x cos4 x 3 cos x3 cos x ln 2 1 + cos x
ß ÿ ÿ Z √ Z √
¿
R(x, α2 ± x2)dx
R(x, x2 − α2)dx R(u, v)
ß ÿ ÿ Z √
• ¿ x = α tg t ß ß
R(x, α2 + x2)dx Z √
• ¿ x = α sin t ¿ x = a cos t ß ß
R(x, α2 − x2)dx α α • ¿ x = ¿ x = Z cos t √
ß ß
R(x, x2 − α2)dx sin t CuuDuongThanCong.com
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ß ÿ ß ÿ ÿ ß ÿ ß ß
ß ¿ ¿ Z √ • dx √ = ln x + x2 + α + C x2+α Z √ = arcsin x + C a2−x2 a • dx √ Z √ +
a2 − x2 + a2 C 2 arcsin xa •
a2 − x2dx = 1 2 x Z √ h √ √ i • x2 + adx = 1
x x2 + a + a ln
x + x2 + a 2 + C
ÿ Z 2 dx ( ¿ 1 − x2)− 3 , π 2 √
⇒ dx = cos tdt, 1 − x2 = cos t
x = sin t, t ∈ − π 2 Z Z
= tg t + C = tg(arcsin x) + C c d o t s2 t
(1 − x2)− 32 dx = Z √
x2 d1x+x2 ¿ x =
tgt ⇒ dx = dt cos2 t Z Z = − 1 + C = − 1 + C dx 2 sin t sin(arctgx) √ co s s i t n dt = x2 1 + x2 Z
+ ¿ m/n r/s R x, ax+b , ..., ax+b dx cx+d cx+d ¿ ax
b = tk ß k ß ß ¿ ÿ ß ß ß ¿ ÿ ß ß t cx + d
R ÿ ß CuuDuongThanCong.com
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§ Þ
ß ß
ß ¿ ÿ ß f (x) ß ß ¿ [a, b] [a, b] n
¿ ß [xi, xi+1] ß ¿ a = x0 < x1 < . . . < xn = b ß ¿ [xi, xi+1]
ß ß ξ
¿ ß ÿ
i ∈ [xi, xi+1] n−1 S ß n = ∑ 4 − f (ξ
xi = xi+1 xi i ) 4 xi i=0
ß ÿ S ÿ ß ß ß
¿ ß ¿ ß ¿ ÿ n λ = max 4xi 1≤i≤n
¿ I = lim S ÿ ß ¿ n
[a, b] ÿ ß λ→0
ß ß ξ i
I ÿ ß ß ÿ ß f (x) [a, b] ß Z
f (x)dx ß ÿ ß f (x) ¿ [a, b] b a
ß ß f (x) ¿ [a, b] ÿ
¿ ¿ a < b ß ¿ b < a ß Z Z
f (x)dx a = b b a b
f (x)dx := −
ß
f (x)dx = 0 a Z b a
¿ ¿
ß ß ß ¿ ÿ ß ß ß ¿ f (x) ¿ [a, b] lim(S − λ→0
s) = 0 n+1 n+1 S = ∑ ∑
Mi 4 xi, s = mi 4 xi i=1 i=1 Mi = sup
f (x), mi = inf f (x)
x∈[xi,xi+1] x∈[x x i, i+1]
ÿ ß ß ÿ ÿ ß
ß ¿ f (x) ÿ [a, b] f (x) ¿ [a, b]
ß ¿ f (x) ß ¿ [a, b] ß ß ß ¿ [a, b] f (x)
¿ [a, b]
ß ¿ f (x) ß ¿ ß [a, b] f (x) ¿ [a, b] CuuDuongThanCong.com
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¿ ÿ ß
Z f (x)dx b
¿ ¿ ¿ ¿ a
ß f (x) ÿ ¿ ¿ ¿ [a, b] • ¿ b b b
Z [α f (x) + βg(x)]dx = α Z f (x)dx + β Z g(x)dx a a a • ¿
¿ [a, b], [a, c], [b, c] ¿ f (x) ¿ ¿ ß ß ¿
¿ ¿ ¿ b c b
Z f (x)dx = Z f (x)dx + Z f (x)dx a a c • ¿
¿ ¿ a < b
Z b f (x)dx ≥ 0
¿ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] a Z Z g(x)dx b b ¿ a
f (x) ≤ g(x)∀x ∈ [a, b]
f (x)dx ≥
¿ f (x) ¿ [a, b] a| f (x)| ¿ [a, b] b b
| Z f (x)dx |≤ Z | f (x) | dx a a
¿ m ≤ f (x) ≤ M, f orallx ∈ [a, b] b
m(b − a) ≤ Z f (x)dx ≤ M(b − a) a • ¿
ß ÿ ¿
¿ ÿ f (x) ¿ [a, b] m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] ß ¿ µ b
Z f (x)dx = µ(b − a), m ≤ µ ≤ M. a
¿ ß ¿ f (x) ÿ [a, b] ß ¿ c ∈ [a, b] b
Z f (x)dx = f (c)(b − a). a CuuDuongThanCong.com
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ß ÿ ¿ ¿
f (x) f (x)g(x) ¿ [a, b]
m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b]
g(x) ß ¿ [a, b] b b
Z f (x)g(x)dx = µ Z g(x)dx, m ≤ µ ≤ M. a a
¿ ß ¿ f (x) ÿ [a, b] ß ¿ c ∈ [a, b] b b
Z f (x)g(x)dx = f (c) Z g(x)dx. a a
ß ¿ ß
¿ ÿ f (x) ß ¿ [a, b] ß ß x ∈ [a, b] f ¿ x
[a, x] ß ß F(x) = Z f (t)dt a
ß ¿ f (t) ¿ [a, b] F(x) ÿ [a, b]
¿ f ÿ ¿ x
F(x) ¿ ¿ x0 0 ∈ [a, b]
F0(x0) = f (x0)
ß ÿ ¿ f (x) ÿ ¿ [a, b]
F(x) ß ÿ f (x) b
Z f (x)dx = F(b) − F(a). a
ß
ÿ ÿ ÿ ÿ ¿
¿ ÿ u(x), v(x) ß ¿ ÿ [a, b] b b
Z udv = uv|b − Z vdu a a a CuuDuongThanCong.com
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ÿ ÿ ß ¿ ß b
ß ß ¿ x := ϕ(t) I = Z f (x)dx ß f (x) ÿ [a, b] a
ÿ ß ß ¿ x = ϕ(t) ¿ ß ß
ϕ(t) ¿ ÿ [a, b]
ϕ(a) = α; ϕ(b) = β.
t ¿ [α, β] ÿ α ¿ β x = ϕ(t) ¿ ÿ ÿ a ¿ b
ÿ b β
Z f (x)dx = Z f [ϕ(t)]ϕ0(t)dt. a α b
ß ß ¿ t := ϕ(x) ¿ ÿ ¿ ¿ I = Z
f [ϕ(x)].ϕ0(x)dx a
ϕ(x) ¿ ß ¿ ¿ ÿ [a, b] b ϕ(b)
Z f [ϕ(x)].ϕ0(x)dx = Z f (t)dt. a ϕ(a)
ÿ ÿ ß ¿
ß ß ¿
¿ ¿ ÿ
ÿ x Z 0= f (x) a f (t)dt x g(x) Z
0 = f (g(x)).g0 (x) a f (t)dt x
ÿ ¿ ß ÿ ÿ ÿ
ÿ ¿ ÿ ÿ CuuDuongThanCong.com
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¿ ¿ y y x3 d d d dt a) Z et2 dt b) Z et2dt c) Z dx dy dx √ x x x2 1 + x4 ß ¿ y x d
et2dt = − d
et2dt = −ex2( y ¿ ß) dx Z dx Z x y y
d Z et2dt = ey2( x ¿ ß) dy x x3 x2 x3 d dt dt d dt 3x2 Z √ = − d Z √ + Z √−2x + dx √ √ 1 + x4 dx 1 + x4 dx = 1 + x8 x2 a a 1 + x4 1 + 12x2
¿ ß ¿ ÿ ß ÿ ÿ ¿ ÿ
¿ ß ¿ sin x x √ Z tg tdt Z (arctg t)2dt a)A = lim 0 b)B = lim 0 tg x √ x→0+ √ x→+∞ x2 + 1 Z sin tdt 0 ß ¿ sin x tg x
¿ √ lim √ Z tg tdt = lim Z
sin tdt = 0 ÿ ¿ x→0+ x→0+ 0 0 ! sin x Z 0 √ lim 0 tg tdt p = 1⇒A = 1 x→0+ ! = lim tg(sin x). cos x 0 p cos2 x tg x Z √sin tdt x→0+ sin(tg x). 1 0 CuuDuongThanCong.com
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¿ lim √
Z (arctg t)2dt = lim
x2 + 1 = ∞ ÿ ¿ x→+∞ 0 x→+∞ ! xZ 0 (arctg x)2 π2 π2 lim 0 (arctg t)2dt ⇒ x = B = x→+∞ √ → √ 4 4 0 =x lim +∞ x2 + 1 x2+1
¿ ÿ ÿ ÿ ß ß ß ¿ ÿ ß ß ß ¿ ß
¿ ÿ ÿ ß n−1 Sn = ∑ f (ξ ß 4 − i ) 4 xi
xi = xi+1 xi i=0
¿ ¿ [a, b] n ¿ ß ¿ ß ¿ a = x
0 < x1 < . . . < xn = b xi = a + (b − a) i n b − a n−1 S ∑ f(ξ n = n
i ) ß ξi ∈ [xi, xi+1] i=0
¿ f (x) ¿ [a, b] ß ξ
ÿ ÿ i = xi b
lim b − a " ∑ !# Z f (x)dx n−1 n→∞ i=0 b − a f a + .i = a n n
¿ ß ξ
ÿ ÿ i = xi+1 b
lim b − a " ∑ !# Z f (x)dx n n→∞ i=1 b − a f a + .i = a n n
¿ ß ß ß ¿
A = lim h nα + 1 nα+β + 1 nα+2β + · · · + 1 i 1 n→∞ nα+(n−1)β B = lim 1 q q n→∞ p + · · · + 1 + n n 1 + 1 + 1 + 2 n n n ß ¿ CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ß ¿ 1 1 1 1 A = lim " + + + · · · + # n→∞ 1α α + β α n + 2β n α + (n−1)β n
ÿ ÿ ß a = 0, b = 1, f (x) = 1 ÿ n α+βx 1 1 1 α + β A = Z dx = α + β ln x β α 0
¿ ÿ ÿ ß a = 0, b = 1, f (x) = 1 ÿ α+βx 1 1 α + β A0 = limh + + · · · + ln nα i 1+ β nα + 2β 1β α = A = n→∞ nα + nβ √
ÿ ÿ ß a = 0, b = 1, f (x) = 1 + x ÿ 1 √ √ B = Z 2 1 + xdx = (2 2 − 1) 0 3 √
¿ ÿ ÿ ß a = 0, b = 1, f (x) = 1 + x ÿ 1 √ B0 = lim r r ! (2 2 − 1) n→∞ 1 n − 1 23 1 + 1 + + · · · + 1 + = B = n n n
¿ lim n ! n q 1 (2n)! n→∞ n!
¿ ß ÿ
¿ e 2 sin2 x cos x
a. Z | ln x | (x + 1)dx d. Z dx (1 + tg2 x)2 0 1e 3
b. Z (x ln x)2dx e. Z r dx x 1 + x 1 0 arcsin π 1 2
c. Z (x3 − 2x + 5)e− x 2 dx
f . Z cosn x cos nxdx 0 0 ß ¿ CuuDuongThanCong.com
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a, b, c ß ¿ ¿ ÿ ¿ ß e2 + 5 I 5e3 − 2 a = , I , Ic = 98 − 144 √ 4 b = 27 e 2 sin2 x cos x Id = Z dx (1 + tg2 x)2 0 2 = 4
Z sin2 x. cos x. cos xdx 0 2
= Z sin2 x.(1 − sin2 x)d(sin x) 0 sin3(2) sin7(2) = − 2 sin5(2) + 3 5 7 3 Ie = Z r dx x 1 + x 0 arcsin 3 3 1 1 1 r − Z x. . . dx x (x + 1)2 = x arcsin 0 q 1+x q x+1 1 + x 0 3 1 − x 2 x √ = π − 1 Z x dx 2 x + 1 0 √3 t = π − 1 √ Z 2
.2tdt ¿ x = t) t2 + 1 0 √3 = π − Z 1 − 1 dt t2 + 1 √ 0 3 h i
= π − (t − arctg t) 4π √ = 0 − 3 3 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ß π2
In = Z cosn x cos nxdx 0 π 2 1 = Z cosn xd sin nx n 0 π2 1 π 1 =
2 + Z sin nx.n. cosn−1 x. sin xdx 0 n cosn x sin nx 0 nπ2
= Z sin nx. cosn−1 x. sin xdx 0 π π 2 2
2In = Z cosn x cos nxdx + Z sin nx. cosn−1 x. sin xdx 0 0 π2
= Z cosn−1 x cos(n − 1)xdx 0 = In−1 2n+1
¿ π ß n In = 1 π 2 2 .I0 = π 2
¿ In = Z sinn xdx, Jn = Z cosn xdx 0 0
¿ ÿ ¿ ÿ
¿ ÿ ¿ ¿ f (x) ÿ [0, 1] π π 2 2 π π π
a/ Z f (sin x)dx = Z f (sin x)dx,
b/ Z x f (sin x)dx =
Z f (sin x)dx 2 0 0 0 0 ß
¿ ¿ ß ¿ t = π
− x ¿ t = π − x 2
¿ ÿ ¿ ¿ ÿ ¿ ÿ π π 2 √ 2 √ π Z sin x √ cos x √ dx = Z √ √ dx = sin x + cos x 4 0 sin x + cos x 0 CuuDuongThanCong.com
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¿ ¿ ÿ f (x) ÿ
ÿ
[−a, a](a > 0) a 0
¿ f (x) ß ¿ [−a, a] a I = Z
2 Z f (x)dx
¿ f (x) ß ¿ [− − a, a]
a f (x)dx = 0
¿ f (x) ÿ ¿
ÿ [−a, a] a a f (x)dx Z
= Z f (x)dx ß 1 + bx 0 ≤ b 6= 1 −a 0
ÿ π π 1 2 2 1 2x cos 2x I x2 | sin x | 1 = Z dx, I dx, I dx (x2 + Z Z 1)(ex + 1) 2 = 2002x + 2x 3 = 1 + 2x −1 − π2 − π2 b b
¿ ÿ Z xm(a + b − x)ndx = Z xn(a + b − x)mdx a a 1
ÿ I
ÿ
n = Z x2(1 − x)ndx 0 n ∑ 1 1 1 (−1)kCk − 2 n. = + k + 3 n + 1 n + 2 n + 3 k=0
¿ ÿ ¿ ¿ ÿ
¿ f (x), g(x) ß ¿ [a, b] f 2(x), g2(x)
¿ [a, b] ÿ ¿ ¿ ÿ (a < b) ! ! ! bZ 2 bZ bZ
a f (x)g(x)dx ≤ a
f 2(x)dx . a g2(x)dx
¿ ¿ ÿ ß
¿ ß ÿ b b
¿ Z f2(x)dx = Z g2(x)dx = 0 a a b b
b f2(x) + g2(x) Z
Z | f (x)g(x)|dx ≤ Z dx = 0 2 0 ≤
a f (x)g(x)dx ≤ a a
¿ ” = ” ¿ CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ß ß ¿ x x − x
z0x = y cos ; z0y = 2y sin x cos . y y y
z0x = y3xy3−1; z0y = 3y2 ln x.xy3 1 ∂ s !
z0x = x2−y2 + 1 x2 − y2 y2 x2+y2 p ∂ = x x2 + y2 x x4 − y4 1 ∂ s !
z0y = x2−y2 + 1 x2 − y2 −y x2+y2 = p ∂y x2 + y2 x4 − y4
u0x = yzxyz−1; u0y = xyzzyz−1. ln x; u0z = xyzyz ln y ln x 1 − 1 1 2x −2y −2z u0x = e .
x2+y2+z2 .
; u0y = e x2+y2+z2
; u0z = ex2+y2+z2
(x2 + y2 + z2)2
(x2 + y2 + z2)2
(x2 + y2 + z2)2
¿ ¿ ÿ ÿ ÿ ß ¿ ÿ ÿ ¿ ÿ
ß f (x, y) x0 arctg y 2 ¿ ¿ x x 6 == 0 0
f (x, y) = x
x sin y − y sin x
¿ (x, y) 6= (0, 0) x2 + y2
f (x, y) = 0
¿ (x, y) = (0, 0) . CuuDuongThanCong.com
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ß ¿ ß ÿ ß ß (x, y) 6= (0, y) |x| 2 lim ÿ x = 2 0 R 2 2 x arctg y ≤ π x. arctg y
= 0 = f (0, y) . ¿ f (x, y) x x→0 x
ß x 6= 0 ¿ ß ¿ ÿ 2x3y z0 , z0y = y 2 x4 + y4 − 2x2y2 x4 + y4 x = arctg x
¿ x = 0 f 0
f (h, y) − f (0, y) 0, y = 0 x (0, y) = lim π h→0 2 = arctg h = h y 2 , y 6= 0
f (0, y + k) − f (0, y)
f 0y (0, y) = lim = lim 0 = 0 k k→0 k→0
¿ ¿ f 0x(x, y) ÿ R2\ (0, 0) f 0y (x, y) ÿ R2
ß ÿ R2\ (0, 0) ¿ (0, 0)
x sin y − ysinx xy − sin x sin y − sin x sin y y y 0 ≤ = ≤ 1 x2 + y2 x2 + y2 x 2 x
lim x sin y − ysinx x→0 = 0 x2 + y2 ¿ R2 y→0
f (x, y) ÿ ¿ ß z ß ÿ¿ ÿ z =
yf x 2 ¿ − y
2 , ß f ß ¿ ÿ ¿ ß ß 1 1 z
z0x + z0y = x y y2 ß ¿ z0 x = y f x2 − y2 .2x, z0 y = f x2 − y2 + y. f x2 − y2 . (−2y) 1 1 z z0x + z0 = x y f
x2y − y2 y2 y =
¿ ¿ ÿ ß ÿ p
z = eu2−2v2, u = cos x, v = x2 + y2. CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ß ß ¿ . y
z = ln u2 + v2 , u = xy, v = x
z = arcsin (x − y) , x = 3t, y = 4t3. ß ¿ v0x = x √ ( x = − sin x x2+y2 ; u0u0 v0y = y √ ; x2+y2 y = 0
z0x = ecos x2−2(x2+y2) [− sin 2x − 4x] .
z0y = ecos x2−2(x2+y2) [−4y] . ( u0 x = y ( x = 1 y u0 v0v0 ; y = −x y2 y = x 2 z0x = , z0 x 2 y ( y y44 − + 1 1) y = ( x0t = 3
y0t = 12t2 1 z0t = q 3 − 12t2 1 − (x − y)2
¿ ¿ ÿ ß y x z = sin x2 x + + y2 y . z = ln tg z = arctg
u = xy2z. x − y ß ¿
dz = cos x2 + y2 (2xdx + 2ydy) 2
dz = sin 2yx xdy− ydx . . x2 CuuDuongThanCong.com
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(x − y) dx + (x + y) dy . dz =
(x − y)2 + (x + y)2 du = xy2z
y2zdx + 2yz ln xdy + y2 ln xdz . x
¿ ¿ √ A = 3 q 1, 03 + 4√ (1, 02)2 + (0, 05)2 B = ln 3 0, 98 − 1 ß ¿
f (x, y) = 3
px2 + y2,∆x = 0,02;∆y = 0,05; x = 1;y = 0. 1 1 f 0x =
2x; f 0y = 2y 3 (x2 + y2)2/3 3 (x2 + y2)2/3 2
f (1 + ∆x, 0 + ∆y) ≈ f (1, 0) + f 0 .0, 02 + 0.0, 05 = 1, 013.
x (1, 0) ∆x + f 0
y (1, 0) ∆y = 1 + 3 √x + 4√ f ( ∆ x, y) = ln 3
y − 1 ; x = 1; y = 1; x = 0, 03; ∆y = 0, 02 1 1 1 1 f 0 x = √ . √ . 3 √ y − 1 2 ; f 0 y = 3 √ y − 1 3 x + 4 3x 3 x + 4 3y 4 1 1
f (1 + ∆x, 1 + ∆y) ≈ f (1, 1) + f 0 .0, 03 +
x (1, 1) ∆x + f 0
y (1, 1) ∆y = 0 + 3 (−0, 02) = 0, 005. 4
¿ ¿ ÿ ß ¿ ß ß x + y y
x3y − y3x = a4; y0 arctg = ; y0 a a
x + y + z = ez; z0
x3 + y3 + z3 − 3xyz = 0, z0 x, z0y x, z0 y ß ¿
ß ¿ F (x, y) = x3y − y3x − a4 = 0 F0x = 3x2y − y3; F0y = x3 − 3y2x. ¿ −F0x y0 =
= − 3x2y − y3 F0 y
x3 − 3y2x CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ß ß ¿ 1 a F0 x = = a
ß ¿ a2+(x+y)2
F (x, y) = arctg x+y − y 1+( x+y )2 a a F0 y = a
− 1 = a2−a2−(x+y)2 a a a2+(x+y)2
a(a2+(x+y)2) a y0 = . (x + y)2
ß ¿ F (x, y, z) = x + y + z − ez F0x = 1; F0y = 1; F0z = 1 − ez −1 −1 z0 ; z0 x = 1 − ez y = 1 − ez
ß ¿ F (x, y) = x3 + y3 + z3 − 3xyz = 0 F0x = 3x2 − 3yz; F0y = 3y2 − 3xz; F0z =
3z2 − 3xy 3yz − 3x2 3xz − 3y2 z0x = ; z0 3z2 − 3xy
x = 3z2 − 3xy
¿ u = x+z u0
¿ ¿ z ß ¿ ÿ x, y ß ß y+z x, u0y
z.ez = x.ex + y.ey F0
x = − (ex + xex ) F0
y = − (ey + yey) ß
¿ ß F (x, y, z) = zez − xex − yey = 0 F0z= ez + zez (1 + z0 ez+zez u0
x ) . (y + z) − (x + z) (z0x ) x =
1 + ex+xex − (x + z) ex+xex
ez+zez(y + z)2 = (y + z)2 u0
(x + z) . 1 + z0 − y
(y + z) z0 y
(x + z) . 1 + ey+yey − (y + z) ey+yey ez+zez ez+zez (y + z)2 y = = (y + z)2
¿ ¿ ÿ ß ¿ y(x), z(x) ß ß ß x + y + z = 0
x2 + y2 + z2 = 1 ß
¿ ¿ ¿ ¿ ÿ ÿ ß
1 + y0x + z0x = 0
2x + 2yy0x + 2zz0x = 0 z − x
y0x = y − z x − y z0
x = y − z CuuDuongThanCong.com
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¿ z2 + 2 p
¿ x2z0x + 1 z0y = 1z
= y2 − z2 ß ¿ z = z (x, y) ÿ x y F0 x = − 2x2 ß
¿ ß F (x, y, z) = z2 + 2 − F0 y √ p y = y2−z2 − x y2 − z2 F0 z = 2z + z √y2−z2 2 x2
z0x = 2z + z √y2−z2 −y √y2−z2
z0y = 2z + z √y2−z2 ÿ z0 y x2z0 = 1 x + y z .
¿ ¿ ¿ ÿ ß 1 z = q yx (x2 + y2)3
z = x2 ln x2 + y2 z = arctg 3 2x2 + y2 z00 p p 2x =
x2 + y2 + x 2 x2 + y2 p z0 xx = p x x 2 2 + + 2 y2 y2 px2 + y2 z00 p p 2y = ß ¿
x = x z0
x2 + y2 + y 2 x2 + y2 p
y = y x2 + y2 yy = 2xy xy x2 + y2 z00 xy = p = 2 x2 + y2 px2 + y2 2x
2x (x + y) − x2 z00
xx = 2 ln (x + y) + + x2 x + y (x + y)2
z0x = 2x ln (x + y) + x + y 2x −x2 x2 z00 xy = + (x + y)2 x + y
z0y = x + y x2 z00
yy = (x + y)2 2xy 1 z00 xx = −y −y (x2 + y2)2 z0x = . = 2 x2 x2 + y2 y2 − x2 x 1 1 x z00 − = x2 + y2 + y.2y (x2 + y2)2 1 + y z0y = = (x2 + y2)2 x x2 + y2 xy = −2xy z00 yy = 1 + y 2 (x2 + y2)2 x CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ß ß ¿
¿ ¿ ÿ ß 1
z = xy2 − x2y
z = 2(x2 + y2) ß ¿
dz = y2 − 2xy dx + 2xy − x2 dy
d2z = −2y (dx)2 + 4 (y − x) dxdy+ (2y) (dy)2
dz = x dx + y 2(x2+y2)2
2(x2+y2)2 dy y2 − 3x2 x2 − 3y2 d2z = (dx)2 − 4xy dxdy + (dy)2 (x2 + y2)3 (x2 + y2)3 (x2 + y2)3
§ þ Þ þ Þ Þ ¾ Þ
ÿ ß ÿ
ß ß z = f (x, y) ß ß ß D
M0(x0, y0) ∈ D
¿ ß f (x, y) ¿ ÿ ß ¿ M ¿ ß ß ß 0
M ¿ ÿ
M ß ß
¿ ß 0 M0
f (M) − f (M0) ¿
ß ¿ ÿ
ÿ ß ÿ ß •
f (M) − f (M M0 M0 0 ) > 0
ÿ ß f ¿ M 0 • ¿
ß ¿ ÿ
ÿ ß ÿ ¿
f (M) − f (M M0 M0 0 ) < 0
ÿ ß f ¿ M 0
¿ ¿ ÿ ÿ ß p = f 0
x (M), q = fy(M), r = fxx”(M), s = fxy ”(M), t = fyy”(M)
ß ¿ ß f (x, y) ¿ ÿ ß ¿ M ¿ ¿ p = f 0
x (M), q = fy(M) ß ¿ ¿ ¿ ¿
ß ¿ ÿ ß z = f (x, y) ¿ ¿ ¿ ÿ
ß ¿ ÿ M
0(x0, y0) ¿ ÿ ¿ M0
p = q = 0 ¿
ÿ ß ¿ s2 − rt < 0
f (x, y) ¿ ÿ ß ¿ M0
r > 0 ÿ ¿ ¿ r < 0 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ÿ ß ÿ ß ß ¿ ß ¿ s2 − rt > 0
f (x, y) ¿ ÿ ß ¿ M0
¿ s2 − rt = 0 ¿ ¿ ÿ ß ß ß M ß ÿ ß 0
ß ß ÿ ¿ ß ß M ¿ 0
ÿ ß ¿ ß f (M) − f (M0) ¿ ß ¿ ß
¿ ÿ M ÿ ß ÿ ¿ 0
¿ ÿ ß ÿ ß
z = x2 + xy + y2 + x − y + 1
z = x + y − x.ey
z = 2x4 + y4 − x2 − 2y2
z = x2 + y2 − e−(x2+y2) p = z0
x = 2x + y + 1 = 0 x = −1 ¿ y = 1 ß ¿
ß q = z0 ⇔
M (−1, 1) ß ß ¿ ¿ −
y = x + 2y 1 = 0
A = z00
xx (M) = 2; B = z00
xy(M) = 1; C = z00
yy (M) = 2 B2 − AC = 1 − 4 = −3 <
0. ¿ ß ¿ ÿ ß ¿ M A > 0 M ß ÿ ß
ß p = 1 − ey = 0 x = 1 y = 0 ⇔
q = 1 − xey = 0
¿ ß ß ß ¿ ¿ M (1, 0) A = z00
xx (M) = 0; B = z00 xy(M) =
−1; C = z00yy(M) = −1 B2 − AC = 1 > 0 ß ÿ ß
ß z0
x = 0 ∨ x = 1 ∨
x = 8x3 − 2x x = − 1 2 2 ¿ ß z0 x 4x2 − 1 = 0 ⇔
⇔ y = 0 ∨ y = 1 ∨ y = −1
ß ¿ ÿ ß
y = 4y3 − 4y y y2 − 1 = 0 1 1 M1 (0, 0) ; M2 (0, 1) ; M3 (0, −1) ; M4 , 0 ; M , 1 2 5 2 1 M6 , −1 ; M , 0 ; M , 1 ; M , −1 2 7 −12 8 −12 9 −12 z00
xx = 24x2 − 2; z00 xy = 0; z00 yy = 12y2 − 4. ¿ M
ß ÿ ¿
1(0, 0) A = −2; B = 0; C = −4; B2 − AC = −8 < 0 M1 ß z = 0
¿ M2 (0, 1) ; M3 (0, −1) ; A = −2; B = 0; C = 8; B2 − AC = 16 > 0 M2, M3
¿ ß ÿ ¿ ß z = 0 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ß ß ¿ ¿ M 1 −1
¿ ß ÿ ¿ ß z = 0 4 , 0 ; M
, 0 ; A = 4; B = 0; C = −4; B2 − AC = 16 > 0 M 2 7 2 4, M7 ¿ A C M 1 1 5 = −3 ,2 1< ; M 0 , − M1 ;
ß ÿ ß ß ß ¿ 5, M M 6, M8, M, 1 ; M B = 0; C = B2 − 2 6 2 8 −129 9 −12, −1 ; A = 4; 8; z = − 9 8 p = z0 x = 0
x = 2x + e−(x2+y2).2x = 0
ß q = z0 y = 0 ⇔
¿ M(0, 0) ß ß ¿ y = 2y +
¿e−(x2+y2) .2y = 0 z00
xx = 2 + 2.e−(x2+y2) − 4x2.e−(x2+y2) z00
xy = −4xy.e−(x2+y2) z00
yy = 2 + 2.e−(x2+y2) − 4y2.e−(x2+y2)
¿ M(0, 0) A = 4; B = 0; C = 4; B2 − AC = −16 < 0; A > 0 ¿ M ß ¿ ÿ ß
ÿ ß ß ß
¿ ß U ⊂ R2 ß f : U → R ÿ ß ÿ ß f
¿ x, y ¿ ϕ(x, y) = 0
¿ ¿ ß (x0, y0) ∈ U ¿ ß ß ϕ(x0, y0) = 0 f ÿ ¿ ß ÿ ÿ ß
ß ¿ ß ¿ ß ¿ V ⊂ U f (x, y) ≤ f (x0, y0
ÿ f (x, y) ≥ f (x0, y0) ß ß (x, y) ∈ V ¿ ß ß ϕ(x, y) = 0 ß
(x0, y0) ÿ ß ÿ ß ß ß ÿ ß f (x, y) ß ß ϕ(x, y) = 0 ÿ
ß ß ß ß ÿ ¿ ß ¿ ÿ (x0, y0) ÿ ß ÿ
ϕ(x, y) = 0 ß ÿ ß y = y(x) (x0, y(x0)) ÿ ß ß
ÿ ß ß ¿ ß g(x) = f (x, y(x)) ¿ ß ÿ ÿ
ß ß ÿ ß ÿ ß ÿ ÿ ß ß ¿ ß
¿ ÿ ß ß ß
z = 1 + 1 ß ß ß 1 + 1 = 1 x y x2 y2 a2
z = x.y ß ß ß x + y = 1 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt ÿ ß ÿ ß ß ¿ ß ß ¿
¿ x = a
; y = a 1 sin t + 1 = 1 . cos t x2 y2 a2 1 1 sin t cos t z = + = + . x y a a √ cos t 2 5π z0 − sin t t = ∨ t = a = a π π4 4 √ √ sin
− t = 0 ⇔ t = ß √ t = π a 4
x = 2a; y = 2a ß ¿ ÿ ß z 2a 4 = − ß √ √ √ t = 5π
x = − 2a; y = − 2a ß ¿ ÿ ¿ z 2 a 4 =
ÿ ß ß x + y = 1 y = 1 − x ¿ z = xy = x(1 − x) ß ¿
¿ ß x = x(1 − x) ¿ ÿ ¿ ¿ x = 1 z 2 = 14
¿ ÿ ß y = y(x) ÿ ß ß ϕ(x, y) = 0
ÿ ß ß ß ¿ ÿ ß ÿ ß
ÿ ß ÿ ÿ ß
ß ß ß ¿ ß ß ¿ ÿ ß ß ß ¿ ÿ U ß ¿
ß R2 f : U → R (x0,y0) ß ÿ ß ÿ f ß ß ß ϕ(x,y) = 0
ÿ ¿ ¿ ¿
f (x, y), ϕ(x, y) ¿ ÿ ß ¿ ÿ (x0, y0) ∂ϕ
∂ (x , y ) 6= 0 y 0 0
ß ¿ ß ß λ ß
¿ ß ÿ ß ß ß 0 x0, y0 λ, x, y ∂φ ∂ f ∂ = 0 (x, y) = 0 x
∂ (x, y) + λ ∂ϕ x ∂x ∂φ ∂ f ∂ = 0 (
) + λ ∂ϕ (x, y) = 0 y ∂ x, y y ∂y ∂φ ∂λ = 0 ⇔ ϕ(x, y) = 0
ß φ(x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y) ÿ ß
ß ß ß ¿ ÿ ÿ ß ß ¿ ß
¿ ÿ ß ß ¿ ¿ ÿ M(x
0, y0) ß ß ß ¿ ÿ ß ß λ0 φ(x, y, λ ϕ , ) − f (x ϕ
0) − φ(x0, y0, λ λ
0) = f (x, y) + 0 (x y
0, y0) − λ0 (x0, y0) = f (x, y) − f (x0, y0)
¿ M ß ß ÿ ß ÿ ß φ(x, y, λ0) M ß ÿ ß ÿ
ß f (x, y) ß ß ß ϕ(x, y) = 0 ß M ¿ ß ÿ ß ÿ ß
φ(x, y, λ0) ß ¿ ÿ ÿ ß ¿ ¿ ∂2φ ∂2φ ∂2φ
d2φ(x0, y0, λ0) = (x (x (x
∂x2 0, y0, λ0)dx2 + 2 ∂x∂y 0, y0, λ0)dxdy + ∂y2 0, y0, λ0)dy2 CuuDuongThanCong.com
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dx dy ß ß ß ß ÿ ∂ϕ ∂ϕ (x (x ∂ 0, y0)dy = 0 x
0, y0)dx + ∂y ∂ϕ ∂ (x x 0, y0) dy = − dx ∂ϕ ∂ (x y 0, y0)
ß ÿ ÿ dy d2φ(x0, y0, λ0)
d2φ(x0, y0, λ0) = G(x0, y0, λ0)dx2 ÿ
• ¿ G(x0, y0, λ0) > 0 (x0, y0) ß ÿ ß ß ß
• ¿ G(x0, y0, λ0) < 0 (x0, y0) ß ÿ ¿ ß ß
¿ ÿ ß ß ß ÿ ß z = 1 + 1 ß ß ß 1 + 1 = 1 x y x2 y2 a2 ß
¿ ß φ(x, y, λ) = 1 + 1 + λ( 1 + 1
) ÿ ß x y x2 − 1 y2 a2 ∂φ ∂ = − 1 − 2λ x x2 x3 ∂φ − 2λ ∂ = − 1 y y2 y3 ∂φ ∂λ = 1 + 1 = 0 x2 − 1 y2 a2 √ √ √ √
ÿ ß ß ¿ M
1(a 2, a 2) ÿ ß λ1 = − a √ M 2, −a 2) ÿ 2 2(−a ß λ 2 = a √2 ∂2φ ∂2φ ∂2φ 6λ 6λ d2φ = dx2 + 2 ∂ dxdy + + + x2 ∂x∂y 2 x3 2 y3 dy2 = dx2 + dy2 ∂y2 x4 y4
ÿ ß ß 1 + 1 = 0 − 2 = 0 = − y3 x2 − 1 y2 a2
x3 dx − 2y3 dy dy
x3 dx ß ÿ d2φ √ √ • ¿
ß ÿ ¿ ß M 2
2 (dx2) < 0 M 1 d2φ(M1) = −
(dx2 + dy2) = − 24a3 1 4a3 ß √ √ • ¿
ß ÿ ß ß M 2
2 (dx2) > 0 M2 2 d2φ(M2) = (dx2 + dy2) = 2 4a3 4a3 ß CuuDuongThanCong.com
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ß ß ¿ ß ß ¿
¿ ÿ f : A → R ß ÿ ¿ ÿ A ÿ R2 f ¿ ß
ß ¿ ß ß ¿ A ß ß ß ÿ ß
¿ ¿ ¿ ß ÿ ß A ¿ ß ¿ ß ¿
ß ß ß ÿ ∂A ÿ A ÿ ¿
ÿ ß ß ß
¿ ß ß ¿ ß ß ¿ ÿ ß
z = x2y(4 − x − y) ß ¿ ß ß x = 0, y = 0, x + y = 6
z = sin x + sin y + sin(x + y) ÿ ¿ ß ¿ ß ß x = 0, x =
π , y = 0, y = π 2 2 CuuDuongThanCong.com
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