Bài giảng giới hạn hàm số
Tài liệu gồm 53 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề giới hạn hàm số, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4: Giới Hạn.
Chủ đề: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ
BÀI GIẢNG GIỚI HẠN HÀM SỐ Mục tiêu Kiến thức
+ Nắm được khái niệm giới hạn của hàm số.
+ Nắm được các tính chất và các phép toán về giới hạn của hàm số. Kĩ năng
+ Biết cách tìm giới hạn của hàm số tại một điểm.
+ Vận dụng được các quy tắc tìm giới hạn của hàm số.
+ Thực hành khử một số hạng vô định cơ bản.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm
1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm Định nghĩa 1
Các giới hạn đặc biệt
Cho khoảng a;b và một điểm x . Hàm số y f x +) lim C C , với C là hằng số bất kỳ. 0 x 0 x
xác định trên a;b hoặc trên a;b \x . Ta nói rằng 0
+) f x là hàm số quen thuộc (đa thức, phân
hàm số f x có giới hạn là số thực L khi x dần đến thức hữu tỉ, cân lượng giác) xác định trên a;b
x (hoặc tại điểm x ) nếu với mọi dãy số x trong n 0 0
chứa x thì lim f x f x . 0 0 x 0 x
tập hợp a;b \x mà lim x x ta đều có 0 n 0
lim f x L . n
Khi đó ta viết lim f x L hay f x L khi x 0 x x x . 0
2. Giới hạn vô cực
Ta nói hàm số y f x có giới hạn dương vô cực khi
x dần tới x nếu với mọi dãy số x sao cho x x n 0 n 0
thì f x . Kí hiệu lim f x . n x 0 x
Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn âm vô cực
lim f x . x 0 x
3. Giới hạn hàm số tại vô cực
Các giới hạn đặc biệt Định nghĩa 2 Trang 1
Giả sử hàm số y f x xác định trên khoảng C
lim C C; lim
0 với C là hằng số. x x x
a; . Ta nói rằng hàm số f x có giới hạn là số lim kx với k nguyên dương; x
thực L khi x nếu với mọi dãy số x : x a n n lim k
x với k là số nguyên dương lẻ,
và x thì f x L . x n n lim k
x với k nguyên dương chẵn.
Kí hiệu: lim f x L . x x
Các giới hạn lim f x L . x
Các giới hạn lim f x ; lim
f x và x x
lim f x L được định nghĩa tương tự. x
4. Một số định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1
Giả sử lim f x L, li
m g x M . Khi đó x 0 x x 0 x a) lim f
x g x L M . x 0 x b) lim f
x.g x . L M . x 0 x f x L c) lim M .
xx g x 0 0 M
d) lim f x L . x 0 x
e) Nếu f x 0, lim f x L thì lim f x L . x 0 x x 0 x f) f x 3 3 lim L . x 0 x
g) Nếu c là một hằng số thì lim cf x cL . x 0 x Quy tắc 1
Cho lim f x ; lim
g x L 0 . Ta có: x 0 x x 0 x lim f x Dấu của L
lim f x.g x x 0 x x 0 x + Quy tắc 2 TOANMATH.com Trang 2
Cho lim f x ; L lim
g x 0; L 0 . Ta có: x 0 x x 0 x f x Dấu của L
Dấu của g x lim x 0 x g x + +
Giới hạn một bên
1. Giới hạn hữu hạn Định nghĩa 1
Giả sử hàm số f x xác định trên khoảng
x ;b , x . Ta nói rằng hàm số f x có giới 0 0
hạn bên phải là số thực L khi x cần đến x (hoặc tại 0
điểm x ) nếu với mọi dãy số x thuộc khoảng n 0
x ;b mà lim x x ta đều có lim f x L. n 0 n 0
Khi đó ta viết lim f x L hoặc f x L khi x 0 x x x . 0 Định nghĩa 2 Chú ý:
Giả sử hàm số f x xác định trên khoảng a) lim f x L lim f x lim f x L . x 0 x x 0 x x 0 x
a;x , x . Ta nói rằng hàm số f x có giới 0 0
b) Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng
hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x (hoặc tại 0 khi thay x x bởi x x hoặc x x . 0 0 0
điểm x ) nếu với mọi dãy x thuộc khoảng a; x 0 n 0
mà lim x x ta đều có lim f x L . n n 0
Khi đó ta viết lim f x L hoặc f x L khi x 0 x x x . 0
2. Giới hạn vô cực
a) Các định nghĩa lim f x , lim
f x , x 0 x x 0 x
lim f x và lim f x được phát biểu x 0 x x 0 x
tương tự Định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
b) Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay L bởi hoặc . TOANMATH.com Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng cách thay trực tiếp Phương pháp giải
Nếu f x là hàm số sơ cấp xác định tại x thì Ví dụ: Giới hạn lim 2
x 2x 4 có giá trị là bao 0 x 1
lim f x f x . 0 nhiêu? x 0 x
Hướng dẫn giải
Do hàm số f x 2
x 2x 4 xác định tại điểm x 1
, nên giới hạn này bằng f 1 . 0 lim 2
x 2x 4 7 . x 1 Ví dụ mẫu 2 x 3x 5
Ví dụ 1: Giới hạn lim
có giá trị là bao nhiêu? x2 3x 1
Hướng dẫn giải 2 x 3x 5 7 Cách 1: lim . x2 3x 1 5 2 x 3x 5
Cách 2: Nhập máy tính như sau
, bấm CACL, nhập giá trị của 3x 1
x 2 và ta sẽ nhận được đáp án. 2 tan x 1
Ví dụ 2: Tìm giới hạn của hàm số B lim . x sin x 1 6
Hướng dẫn giải 2 tan 1 2 tan x 1 4 3 6 Ta có 6 B lim . x sin x 1 9 6 sin 1 6
2 f x 1
Ví dụ 3: Cho lim f x 3 . Tìm giới hạn A lim . x2 2
x2 f x 1
Hướng dẫn giải
2 f x 1 2.3 1 7 Ta có A lim . 2 x f x 2 2 1 3 1 10 3 x 4x
Ví dụ 4: Tìm các giới hạn lim . x 2x 1 3 2 x 2 TOANMATH.com Trang 4
Hướng dẫn giải 3 3 x 4x 2 4.2 Ta có lim . x 2x 1 0 3 x 2 2.2 1 3 2 2 2
Ví dụ 5: Tìm giá trị của tham số m để B 2 với B lim 3 2
x 2x 2m 5m 5 . x 1
Hướng dẫn giải Ta có B lim 3 2
x 2x 2m 5m 5 2
2m 5m 4 . x 1 1 Do 2
B 2 2m 5m 2 0 m 2 . 2
Bài tập tự luyện dạng 1 x 1
Câu 1: Giá trị của lim là x 2 2 1 x x 1 1
A. B. 0 C. D. 2 1
Câu 2: Giá trị của lim là
x 2x 3x 23 1 2 1 1
A. 0 B. 1 C. D. 2 8 3 2 x 2x 1
Câu 3: Giá trị của giới hạn lim bằng x 1 3 5 2x 1 1 1 A. 2
B. C. D. 2 2 2
Câu 4: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 2
lim x . cos x 3 x0
A. Không tồn tại. B. 0 C. 1 D. 3x m
Câu 5: Cho A lim
. Để A 5 , giá trị của m là bao nhiêu? x2 x 2 10
A. 14 B. 4 C. 3 D. 3 2 x 1
Câu 6: Cho hàm số f x
. Giá trị của lim f x là 4 2 2x x 3 x 2 1 5
A. B. không xác định. C. D. 2 33 sin 3x 1
Câu 7: Kết quả đúng của lim là x cot 2x 3 4 2 2 2 2 A. B. C.
D. không xác định. 6 6 TOANMATH.com Trang 5 3 2 x x
Câu 8: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x 1 x 1 1 x A. 1
B. 1 C. 0 D.
Câu 9: Nếu lim f x 5 thì lim 1
3 4 f x bằng bao nhiêu? x 2 x 2 A. 17 B. 1 C. 9 D. 7 2 3 3
x x 2 4 2x 5x 1 a a Câu 10: Cho lim
( là phân số tối giản; a, b là số nguyên dương). 2 x 1 x 2 b b Tính tổng 2 2
L a b .
A. 6 B. 36 C. 7 D. 37
2x 1 3x 5 1
Câu 11: Cho hàm số y f x thỏa mãn f x 2; x
. Giá trị của lim f x là
x 2 2x 1 2 x 4 1 3 2
A. B. C. D. 3 5 2 3 f x 1
2x x f x2 Câu 12: Cho lim 1 , tính I lim . x 1 x 1 x 1 x 4 4 4
A. I B. I C. I 4 D. I 5 5 5 0
Dạng 2: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định 0 0
Đây là dạng toán vô cùng quan trọng về tìm giới hạn của hàm số. Việc tìm giới hạn dạng vô định là bài 0 P x
toán tìm giới hạn của hàm số dạng hữu tỉ L lim
trong đó Q x 0 và P x 0 . 0 0 x 0 x Q x Phương pháp giải
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. 2 x 2x 1
Ví dụ: Tính giới hạn lim .
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử x 1 2x 2
và mẫu đưa về dạng 1.
Hướng dẫn giải Chú ý: 0
Ta thấy khi thay x 1
thì bài toán có dạng , 0 0
Nếu tam thức bậc hai 2
ax bx c có hai nghiệm
như vậy ta nhóm nhân tử chung x 1 của cả tử và x , x thì 2
ax bx c a x x x x . 1 2 1 2
mẫu để triệt tiêu sau đó đưa về dạng bài toán 1 để n n a b
a b n 1 n2 n2 n 1 a a b ... ab b . tìm kết quả.
Trường hợp 1. x 2x 1 x 2 2 1 P x Cách 1: lim lim L lim
với P x Q x 0 và P x , x 1 x 1 2x 2 2 x 1 0 0 x 0 x Q x TOANMATH.com Trang 6
Q x là các biểu thức chứa căn cùng bậc. x 1 lim 0 . x 1 2
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử 2 x 2x 1
và mẫu đưa về dạng 1.
Cách 2: Bấm máy tính như sau: CACL 2x 2 9 x 1 10
và nhận được đáp án.
Cách 3: Dùng chức năng lim của máy Vinacal
Chú ý: Ta có thể MTCT để tìm các giới hạn 2
1. Sử dụng MTCT với chức năng của phím CALC. x 2x 1 570ES Plus: lim 2x 2
2. Dùng chức lim của máy Vinacal 570ES Plus. 9 x 1 10
Trường hợp 2.
3 4x 1 x 2
Ví dụ: Tìm giới hạn L lim . x7 4 P x 2x 2 2 L lim
với P x Q x 0 và P x là 0 0 x
Hướng dẫn giải 0 x Q x
biểu thức chứa căn không đồng bậc.
3 4x 1 x 2 L lim x7 4 2x 2 2
Giả sử: m n P x
u x v x với 3 4x 1 3 x 2 3 lim
lim A B . m n
u x v x a . 0 0 x7 4 4 x7 2x 2 2 2x 2 2
Ta phân tích m n P x u x a
a v x . Ta có 3
Chú ý: Ta hoàn toàn có thể dùng cách đặt ẩn phụ 4x 1 3 A 4 2x 2 2
với những bài toán căn bậc cao.
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên
2 2x 2 2 2x 22 4 4 4 64 .
không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: 3 x 2 3 x 27 4 1 3 4 1 9 n m
u x v x x 2 3 B n
m u x m x
v x m x 4 2x 2 2
trong đó m x c .
x x 2 4 4 2 2 2 2 2 4 8 . 2 x 2 3 3 L
A B 64 8 8 lim . x7 27 3 27 Ví dụ mẫu 3 2 x 3x 2
Ví dụ 1: Tìm giới hạn A lim . 2 x 1 x 4x 3
Hướng dẫn giải x 3x 2 x 1 2 3 2
x 2x 2 2 x 2x 2 3 Ta có A lim lim lim 2 x 1 x 1 x 4x 3
x 1x 3 x 1 x 3 2 TOANMATH.com Trang 7 4 2 x 5x 4
Ví dụ 2: Tìm giới hạn B lim . 3 x2 x 8
Hướng dẫn giải x 5x 4 2x 1 2 4 2 x 4 Ta có B lim lim 3 3 3 x2 x2 x 8 x 2
2x 1x2x2
2x 1x2 lim . x x 2 lim 1 2 2
x 2x 4 2 x2 x 2x 4
15x3 16x4
Ví dụ 3: Tìm giới hạn C lim . x0 x
Hướng dẫn giải
15x3 16x4 Ta có C lim x0 x 15x3 1 16x4 1 lim lim x0 x0 x x
5x 1 5x2 1 5x 1
12x 3x
1 1 6x2 1 lim lim x0 x0 x x
lim5 1 5x2 1 5x 1 lim123x
1 1 6x2 1 39 x0 x0 .
1 x1 2x13x 1
Ví dụ 4: Tìm giới hạn D lim . x0 x
Hướng dẫn giải
1 x1 2x13x 3 2 1
6x 11x 6x Ta có D lim lim 6. x0 x0 x x n x 1
Ví dụ 5: Tìm giới hạn A lim m n . m * , x 1 x 1
Hướng dẫn giải Ta có
x 1 n 1 n2 x x ... x n 1 n2 1 x x ... x 1 n A lim .
x x 1 lim m 1 m2 1 x x ... x m 1 m2 x 1 1 x x
... x 1 m
Sau đây chúng ta sẽ tìm một số giới hạn liên quan đến biểu thức chứa dấu căn.
Nguyên tắc cơ bản của dạng bài tập này là nhân lượng liên hợp để đưa về đa
thức. Ngoài cách đó chúng ta có thể chuyển về đa thức khi thực hiện đặt ẩn phụ tùy bài cụ thể: 2 3x 1 1
Ví dụ 6: Tìm giới hạn I lim . x0 x TOANMATH.com Trang 8
A. 6 B. 3 C. 6 D. 0
Hướng dẫn giải 2 3x 1 1 6x 6 Ta có I lim lim lim 3 . x0 x0 x
3x1 x0 1 3x 1 1 2 x 3x
Ví dụ 7: Tìm giới hạn K lim . x0 4x 1 1
Hướng dẫn giải
x 3 4x1 1 3 Ta có K lim . x0 4 2 3x 1 4
Ví dụ 8: Giới hạn lim
có giá trị bằng bao nhiêu?
x5 3 x 4
Hướng dẫn giải x 3x 1 16 3 x 4 3 1 4 Ta có lim lim x5 x5 3 x 4
9 x 4
3x 1 4 3 3 x 4 18 9 lim . x5 3x 1 4 8 4 3 x 1 1
Ví dụ 9: Tìm giới hạn lim . x2 x 2
Hướng dẫn giải 3 x 1 1 x 2 Ta có lim lim x 2 x5 x 2
x 23 x 2 3 1 x 1 1 1 1 lim .
x5 3 x 2 3 3 1 x 1 1
Bằng phương pháp tương tự ta làm một số các bài toán mở rộng sau đây 3
1 4x 1 6x
Ví dụ 10: Tìm giới hạn M lim . 2 x0 x
Hướng dẫn giải
4x 1 2x 3 1
1 6x 2x 1 Ta có M lim lim 2 2 x0 x0 x x 4 8 x 12 lim lim x0 x0
4x 1 2x 1
3 1 6x2 2x 3
1 1 6x 2x 2 1 2 4 2 . TOANMATH.com Trang 9 2
1 ax bx 2
Ví dụ 11: Cho biết lim
c , với c là một số nguyên và a,b . 3 1 x 4x 3x 1 2 Phương trình 4 2
ax 2bx c 1 0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trên ?
Hướng dẫn giải
Ta có x x x 2 3 4 3 1 2 1 x 1 . 1
Suy ra phương trình ax bx 2 2 1
2 0 phải có nghiệm kép là x . 2 1 2 a b 2
x 4bx 3 0 có nghiệm kép x 2 2 2 a b 0 a b 0 4 2
16b 4 2 a b 2 2
.3 0 a b b
a b 3 . 3 a b 2 2 1 1 2 4 1 1 4. . b 3 0 2 b . 4. . b 3 0 2 2 3 2 2
Thử lại đúng. Vậy a b 3 . 3 2x 2 1 2 2
1 3x 3x 2
1 3x 3x 2 Khi đó lim lim 3 1 1 x 4x 3x 1 x 2x 2 1 x 1 2 2 3 lim 2 . 1 x 2
1 3x 3x 2 x 1 2 Suy ra c 2 . Vậy ta có phương trình 4 2 3
x 6x 3 0 có nghiệm x 1.
Sau đây chúng ta sẽ làm một số bài toán mang tính tổng quát n 1 ax 1
Ví dụ 12: Tìm giới hạn B lim *
n , a 0 . x0 x
Hướng dẫn giải
Cách 1: Nhân liên hợp
n1ax 1
n 1 axn 1 n
1 axn 2 ... n 1 ax 1 Ta có B lim x0 x
n 1 axn 1 n
1 axn 2 ... n 1 ax 1 a a B lim . x0 n 1 n 1 n
1 n 2 ... n 1 1 n ax ax ax
Cách 2: Đặt ẩn phụ TOANMATH.com Trang 10 n t 1 Đặt n
t 1 ax x
và x 0 t 1. a t 1 t 1 1 a B a lim a lim a . n t 1 t 1 lim n 1 1 1 n t t t
t ... t n 1 t 1 1 n t
t ... t 1 n m 1 n
ax 1 bx
Ví dụ 13: Tìm giới hạn N lim . x0 x
Hướng dẫn giải m 1 ax 1 n 1 bx 1 a b Ta có N lim lim . x0 x0 x x m n n 1 ax 1
Ví dụ 14: Tìm giới hạn A lim với ab 0 .
x0 m 1 bx 1
Hướng dẫn giải n 1 ax 1 x a m am
Áp dụng bài toán trên ta có A lim .lim . . x0 x0 m x 1 bx 1 n b bn 3
1 ax 1 bx 1
Ví dụ 15: Tìm giới hạn B lim với ab 0 . x0 x Ta có 3 ax bx ax 3 1 1 1 1 1 bx
1 1 ax 1 3 1 bx 1 1 ax 1 a b
B lim 1 ax lim B . x0 x0 x x 2 3 3 4
1 ax 1 bx 1 cx 1
Ví dụ 16: Tìm giới hạn B lim với 0 ab . x0 x
Hướng dẫn giải Ta có 3 4
1 ax 1 bx 1 cx 1 3 ax bx 4 1 1 1 cx
1 1 ax 3 1 bx
1 1 ax 1 . cx bx ax B lim 1 1 1 1 1 1 3 1 ax 1 bx 4 3 lim 1 ax lim x 0 x0 x0 x x x c b a B . 4 3 2
1 mxn 1 nxm
Ví dụ 17: Tìm giới hạn L lim . 2 x0 x
Hướng dẫn giải
1 nxm 1 mnx
1 mxn 1 mnx mnn m Ta có L lim lim . 2 2 x0 x0 x x 2 TOANMATH.com Trang 11 1 x 3
1 x ...1 n x
Ví dụ 18: Tìm giới hạn K lim . x 1 xn 1 1
Hướng dẫn giải 1 1 Ta có K lim . x 1
x3 2 3
x x n n 1
x n! 1 1 ... ... 1 n 2x 1 3x 1 4x 1 1
Ví dụ 19: Tìm giới hạn F lim . x0 x
Hướng dẫn giải Đặt n
y 2x 1 3x 1 4x
1 x 0 thì y 1.
Ta có n 2x 1 3x 1 4x 1 1 y 1. n y 1 2x 1 3x 1 4x 1 1 Lại có lim lim 9 . x0 x0 x x y 1 n y 1 9 Do đó F lim lim . x x x x n 1 n2 0 0 y y ... y 1 n
Để tiếp tục ta xét một số bài toán tìm giới hạn của hàm ẩn và giới hạn có tham số sau. f x 1
2x x f x2 Ví dụ 20: Cho lim 1 . Tính I lim . x 1 x 1 x 1 x 1
Hướng dẫn giải
2x x f x2
2x x f x 2
1 x x 2 Ta có lim lim x 1 x 1 x 1 x 1
2x x f x 1 lim x 2 5 . x 1 x 1
Ví dụ 21: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b 2020 và 2
x ax 1 bx 1 lim 1010 . Tìm a, b. x0 x
Hướng dẫn giải
x ax 1 bx 1 2 2 x ax 1 bx 1 Ta có lim lim x0 x0 x
x 2x ax 1 bx 1 2
x a b x
x a b a b lim lim .
x0 x 2x ax 1 bx 1 x0 2x ax 1 bx 1 2 TOANMATH.com Trang 12 2
x ax 1 bx 1 a b Lại có lim 1010
1010 a b 2020 . x0 x 2
a b 2020 a 2020
Từ đó ta có hệ phương trình .
a b 2020 b 0 2
x mx n
Ví dụ 22: Cho m, n là các số thực khác 0. Nếu giới hạn lim 3 , hãy x 5 x 5 tìm mn?
Hướng dẫn giải 2
x mx n Vì lim
3 nên x 5 là nghiệm của phương trình 2
x mx n 0 x 5 x 5 5
m n 25 0 n 2 5 5m . 2 2
x mx n
x mx 5m 25 Khi đó lim lim
lim x 5 m m 10 x 5 x 5 x5 x 1 x 5
m 13 n 40 mn 520 . f x 16
Ví dụ 23: Cho hàm số y f x xác định trên thỏa mãn lim 12 . x2 x 2
3 5 f x 16 4 Tính giới hạn lim . 2 x2 x 2x 8
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết có lim f x 16 0 lim f x 16 . x2 x2
3 5 f x 16 4 Ta có lim 2 x2 x 2x 8
5 f x1664 lim
x x 2x 4 5f x162 2
4 5 f x 2 3 3 16 4
5 f x 16 lim x
x 2 x 4 5 f x162 2
4 5 f x 2 3 3 16 4
f x 16 5 lim . x x 2
x 4 5f x 162 2 4 5 f x 2 3 3 16 4 5 5 12. . 2 3 3 24 6 5.16 16 4 5.16 16 16 TOANMATH.com Trang 13
Bài tập tự luyện dạng 2 3 2 x 4 2
Câu 1: Kết quả đúng của giới hạn lim bằng 2 x2 x 4 1 5 5 1 A. B. C. D. 12 12 12 12 1 x 1
Câu 2: Kết quả đúng của giới hạn lim bằng x0 x 1 1
A. 0 B. C. D. 2 2 4 x 27x
Câu 3: Kết quả đúng của giới hạn lim bằng 2
x3 2x 3x 9
A. 7 B. 5 C. 9 D. 3 2x 3x 1
Câu 4: Tính giới hạn lim , ta được kết quả là 2 x 1 x 1 4 5
A. 0 B. C. D. 2 3 8 3 x 1
Câu 5: Kết quả đúng của lim bằng x 1 2 x 3 2 2 1 A. B. C. 0 D. 1 3 3 4 2 x a3 3 a
Câu 6: Kết quả đúng của giới hạn lim bằng x0 x A. 2 a B. 2
2a C. 0 D. 2 3a 4 x 16
Câu 7: Kết quả đúng của giới hạn lim bằng 2
x2 x 6x 8 A. 14 B. 16 C. 18 D. 12 4 x 8x
Câu 8: Kết quả đúng của lim bằng 3 2 x 2
x 2x x 2 21 21 24 24 A. B. C. D. 5 5 5 5 2 x 8 3
Câu 9: Kết quả đúng của lim bằng x 1 1 x 2 2 2 2 2 A. B. C. D. 2 3 3 2
x x 1 1
Câu 10: Kết quả đúng của lim bằng x0 3x 1 1
A. B. C. D. 1 3 6 TOANMATH.com Trang 14 2 x 1 1
Câu 11: Kết quả đúng của lim bằng x0 2 4 x 16 A. B. 1 C. 4 D. 4 m n x x
Câu 12: Tính giới hạn lim ; ,
m n ta được kết quả là x 1 x 1
A. B. m n C. m D. mn 3
2x 1 3x 2
Câu 13: Giới hạn lim bằng x 1 x 1 1
A. 1 B. 0 C. D. 2 ax 1 1
Câu 14: Giả sử L lim
. Hệ số a bằng bao nhiêu để L 3? x0 2x A. 6 B. 6 C. 12 D. 12 3
x 1 x 19 a a Câu 15: Biết lim
, trong đó là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương. x 8 4 x 8 2 b b
Tổng a b bằng
A. 137 B. 138 C. 139 D. 140 4 4 x a
Câu 16: Cho a là một số thực khác 0. Kết quả của lim bằng xa x a A. 3a B. 2 2a C. 3 a D. 3 4a
3 8x 11 x 7 a a Câu 17: Biết lim
trong đó là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương. 2 x2 x 3x 2 b b
Tổng 2a b bằng
A. 68 B. 69 C. 70 D. 71 3
6x 9 27x 54 a a Câu 18: Biết lim
trong đó là phân số tối giản, a và b là các số nguyên
x x 3 2 3
x 3x 18 b b
dương. Tổng 3x b bằng
A. 57 B. 58 C. 56 D. 55
Dạng 3: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định f x
Đây là dạng quan trọng của giới hạn hàm số, là lớp các bài toán tìm giới hạn dạng L lim , trong
x g x
đó f x; g x khi x . Phương pháp giải 4 x 7
Ví dụ: Tính giới hạn lim . 4
x x 1 TOANMATH.com Trang 15
Hướng dẫn giải
1. Chia tử và mẫu cho n
x với n là số mũ cao nhất Cách 1: Chia cả từ và mẫu cho 4 x .
của biến ở mẫu (hoặc phân tích thành tích chứa 7 4 1 4 x 7 nhân tử n
x rồi giản ước). lim lim x 1. 4
x x 1 x 1 1
2. Nếu f x hoặc g x có chứa biến x trong dấu 4 x 4 căn thì đưa k
x ra ngoài dấu căn (với k là mũ cao x 7
Cách 2: Bấm máy tính như sau ; CACL; 4 x 1
nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và 9
mẫu cho lũy thừa cao nhất của x (thường là bậc cao x 10 và nhận được đáp án. nhất ở mẫu).
3. Sử dụng các kết quả sau đây để tính.
Các giới hạn đặc biệt: c lim c ; c lim
0 với c là hằng số và k . k x x x lim k
x với k nguyên dương; lim k x x x
với k lẻ; lim k
x với k chẵn. x Ví dụ mẫu 2 2x 3x 2
Ví dụ 1: Tìm giới hạn lim . x 2 5x x 2
Hướng dẫn giải 2 2 2 3 2 2x 3x 2 x 2 3 Ta có lim lim . x 2 5x x 2 x 2 6 5 1 2 x 2 x 1
Ví dụ 2: Cho hàm số f x
, tìm giới hạn lim f x . 4 2 2x x 3 x
Hướng dẫn giải 1 1 2 2 4 x 1 Ta có lim lim x x 0 . 4 2 x 2x x 3 x 1 3 2 2 2 x x 1 3x
Ví dụ 3: Tìm giới hạn lim . x 2 2x 3
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 16 1 3 1 3x 3 2 Ta có lim lim x . x 2 2x 3 x 3 2 2 x 3 4 6 1 x x
Ví dụ 4: Tìm giới hạn lim . x 3 4 1 x x
Hướng dẫn giải 2 1 1 3 3 4 6 x 1 6 2 1 x x Ta có lim lim x x 1. x 3 4 1 x x x 2 1 1 x 1 4 2 x x x 1
Ví dụ 5: Cho hàm số f x 2 x
, tìm giới hạn lim f x . 4 2 x x 1 x
Hướng dẫn giải 1 1 2 x 1 x 1 2 x Ta có lim 2 2 2 3 4 lim lim x x x x 0 . 4 2 4 2 x x x 1 x x x 1 x 1 1 1 2 4 x x 2 5 3x x
Ví dụ 6: Tính giới hạn lim . 4
x x 6x 5
Hướng dẫn giải 3 x 1 2 5 3 3x x x Ta có lim lim . 4
x x 6x 5 x 6 5 1 3 4 x x 5 4 2
x x 3
Ví dụ 7: Tính giới hạn lim . 2 x 3x 7
Hướng dẫn giải 3 1 3 x 2 5 4 5 2x x 3 x x Ta có lim lim . 2 x 3x 7 x 7 3 5 x 3 3 2
3x 1 2x x 1
Ví dụ 8: Tính giới hạn A lim . x 4 4 4x 2
Hướng dẫn giải 1 1 1 3 3 3 2 x 3 x 2 3 2 3
3x 1 2x x 1 x x x 3 2 A lim lim . x 4 4 4x 2 x 2 2 4 x 4 4 x TOANMATH.com Trang 17 2
x x 1 2x 1
Ví dụ 9: Tìm giới hạn A lim . x 3 3 2x 2 1
Hướng dẫn giải 2 1 2 1 x 1 2 2 2
x x 1 2x 1 x x x A lim lim . x 3 3 2x 2 1 x 2 1 3 x 2 3 x x
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Giả sử lim f x a và lim g x b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x x
A. lim f x.g x .
a b B. lim f
x g x a b x x
f x a C. lim D. lim f
x g x a b
x g x b x 2 6 6
4x x 64x x 1
Câu 2: Tìm giới hạn B lim được kết quả là x 4 4 x 3 4 4 A. 4
B. C. 4 D. 3 3 14 x 7
Câu 3: Giá trị đúng của lim là 14
x x 1 A. 1
B. 1 C. 7 D. 2 2x 9x 2
Câu 4: Tìm giới hạn C lim được kết quả là x 2 5x x 1 5 1
A. B. C. D. 4 6 2 x 2020
Câu 5: Cho hàm số f x
. Kết quả đúng của lim f x là 2019 2 2x x x 1 2 A. B.
C. 0 D. 2 2 1 3x
Câu 6: Tìm giới hạn lim được kết quả x 5 5 2x 3 3 3 A. B. 0 C. D. 5 2 5 2 3 4 6
2x 1 x x
Câu 7: Tìm giới hạn D lim được kết quả x 3 4
1 x x x 1 3
A. B. C. D. 1 2 TOANMATH.com Trang 18 2 x 2x 1
Câu 8: Cho hàm số f x 2x 1
. Kết quả của lim f x là 4 2 x 3x 1 x
A. 0 B. 2 C. 2 D. 4 2 x x 3
Câu 9: Tìm giới hạn lim được kết quả x 2 2 x 4x 5 1 1
A. 3 B. C. 1 D. 4 4 4
x 8x x 2 1
Câu 10: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim 3 2
x x 2x x 2
A. 0 B. C. D. 1 2
x x 1 2x
Câu 11: Tìm giới hạn E lim được kết quả là x x 1
A. B. C. 1 D. 0 x 2 4x 1 x
Câu 12: Tìm giới hạn F lim được kết quả là x 3 3 4x 1 2x 1 1
A. B. C. D. 0 4 4 3 2 x 3 2x
Câu 13: Kết quả đúng của lim là x 4 3 2
x x x x
A. 3 B. 2 C. 1 D. 2 2
x 3x 1 2 x x 1
Câu 14: Tìm giới hạn M lim được kết quả là x x 1
A. B. C. 1 D. 1 2 2x 3
Câu 15: Tìm giới hạn N lim được kết quả là x 3 8x 2x2 3 3 2 3
2x 8x 2x 4x 2 1 1
A. B. 0 C. D. 6 12 4 4 2
16x 3x 1 4x 2
Câu 16: Tìm giới hạn H lim được kết quả là x 3x 1 4 4
A. B. C. D. 3 3 3 3 2
3x 1 2x x 1
Câu 17: Tìm giới hạn A lim được kết quả là x 4 4 4x 2 3 3 2
A. B. C. D. 0 2 TOANMATH.com Trang 19 2
x x 1 2x 1
Câu 18: Tìm giới hạn B lim được kết quả là x 3 3 2x 2 1 4
A. B. C. D. 0 3 2x 3 1 x 22020
Câu 19: Tìm giới hạn A lim được kết quả là
x 3 2x 1 x2019 4
A. B. C. 4 D. 0 2
4x 3x 4 2x
Câu 20: Tìm giới hạn B lim được kết quả là x 2
x x 1 x
A. B. C. 2 D. 0
Dạng 4: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định và 0. Phương pháp giải
1. Tìm giới hạn dạng L lim f x g x , trong Ví dụ: Tìm giới hạn E . 2 lim x x 1 x x x
đó f x; g x , khi x hoặc
Hướng dẫn giải
f x; g x , khi x .
Đây là giới hạn dạng , để tính giới hạn này ta
nhân liên hợp của tử sau đó chia cả tử và mẫu cho
2. Tìm giới hạn dạng L lim f x.g x , trong đó x x.
f x 0; g x , khi x .
Chú ý khi x thì 2 x x . x 1 1 Ta có E lim . x 2
x x 1 x 2 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm giới hạn F x .
Đây là giới hạn dạng , 2 lim 4x 1 2x x
để tính giới hạn này ta nhân
Hướng dẫn giải
liên hợp của tử sau đó chia x 1 Ta có F lim .
cả tử và mẫu cho x. x 2 4x 1 2x 4
Chú ý khi x thì 2 x x .
Ví dụ 2: Tìm giới hạn B . 2 lim x x x 1 x
Hướng dẫn giải x 1 1
Ta có B lim x x x . x 2 1 lim x 2
x x x 1 2 TOANMATH.com Trang 20 3
Ví dụ 3: Tìm giới hạn C lim . x 2
4x x 1 2x
Hướng dẫn giải 2
4x x 1 2x Ta có C lim 4 . x x 1
Ví dụ 4: Tìm giới hạn M . 2 2 lim x 3x 1 x x 1 x
Hướng dẫn giải 4x Ta có M lim 2 . x 2 2
x 3x 1 x x 1
Ví dụ 5: Tìm giới hạn K x . 2 2 lim x 1 x 1 2x x
Hướng dẫn giải 1 1
Ta có K lim x 0 . x 2 2 x 1 x x 1 x
Tiếp theo, ta xét bài tập liên hợp của căn bậc ba hay sự kết hợp căn ở cả tử và mẫu.
Ví dụ 6: Tìm giới hạn N . 3 3 lim 8x 2x 2x x
Hướng dẫn giải 2x Ta có N lim 0 . x 3 8x 2x2 3 3 2 3
2x 8x 2x 4x 2
4x 3x 4 2x
Ví dụ 7: Tìm giới hạn B lim . x 2
x x 1 x
Hướng dẫn giải 43x 2 2 x x 1 4 3 4 2 x x x x 3 B lim lim . x 2 x x 1 x x x 1 2
4x 3x 4 2x 2
Ví dụ 8: Tìm giới hạn D . 3 3 2 2 lim x x 1 x x 1 x
Hướng dẫn giải Ta có D . 3 3 2 x x x 2 lim 1 x 1 1 x x 2 x 1 x 1 1 lim . x 3 2 x x 2 2 3 3 2 2
x x 1 x 6 3
1 x x x 1 x TOANMATH.com Trang 21
Ví dụ 9: Tìm giới hạn A . 3 3 2 2 lim x 2x 1 2 x x x x
Hướng dẫn giải Ta có A 3 3 2 x x x 2 lim 2 1 2 x x x x 2 2x 1 2x 5 lim . x 3 2
x 2x 2 2 3 3 2 2
x x x 3 3
1 x x 2x 1 x
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Tìm giới hạn A
được kết quả là 2 lim x 3x 1 x x 3 1 3
A. B. C. D. 2 2 2
Câu 2: Tìm giới hạn B
được kết quả là 2 lim 2x 4x x 1 x 1 1 1 1
A. B. C. D. 4 2 4 2
Câu 3: Tìm giới hạn C lim x a x a
x a x được kết quả là
x n ... 1 2 n a a ...a
a a ... a
a a ... a
A. n a a ... a B. 1 2 n C. 1 2 n D. 1 2 n 1 2 n n 2n n
Câu 4: Tìm giới hạn D x được kết quả là 2 lim 9x 1 3x x 1 1 1 1
A. B. C. D. 6 6 3 3
Câu 5: Tìm giới hạn 2 E x được kết quả là 3 3 lim x 2 x x 1 2 2 1
A. B. C. D. 6 3 3 3
Câu 6: Tìm giới hạn F được kết quả là 3 3 lim x 1 x x 1
A. B. C. D. 0 4
Câu 7: Tìm giới hạn G được kết quả là 3 3 2 2 lim x 3x x 2x x 5
A. 0 B. 1 C. D. 2 2
Câu 8: Tìm giới hạn H lim được kết quả là 4 4 2 16x 3x 1 4x 2 x 4
A. B. C. D. 0 3 TOANMATH.com Trang 22 3 6 4
x x 1 4 x 2x 1 a a
Câu 9: Kết quả giới hạn I lim
, với là phân số tối giản a;b 0 . x 2x 32 b b
Tổng a b bằng
A. 7 B. 5 C. 6 D. 8 a a
Câu 10: Kết quả giới hạn J
, với là phân số tối giản 2 3 3 2 lim x x 1 2 x x 1 x x b b
a;b 0. Tổng a b bằng
A. 7 B. 5 C. 6 D. 8 a a
Câu 11: Kết quả giới hạn K x
, với là phân số tối giản a;b 0 . 2 3 3 2 lim x 2x x 3x x b b
Tổng a b bằng
A. 3 B. 5 C. 4 D. 2
Câu 12: Cho L 2 lim
4x ax 12 2x . Giá trị của a là 5 x
A. 10 B. 6 C. 6 D. 20 3
Câu 13: Cho a, b là các số dương. Biết M lim x ax x bx
. Tìm giá trị lớn nhất x 2 3 3 2 4 8 5 2 của ab. 8 16 3 8 A. B. C. D. 9 3 8 3 a a
Câu 14: Biết rằng L x x x
(a là số nguyên, b là số nguyên dương, tối x 2 lim 2 3 1 2 2 b b
giản). Tổng a b có giá trị là
A. 1 B. 5 C. 4 D. 7
3 ax 1 1 bx
Câu 15: Biết rằng b 0, a 3b 9 và lim
2 . Khẳng định nào dưới đây sai? x0 x
A. 1 a 3 B. b 1 C. 2 2
a b 12 D. b a 0
Câu 16: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2
c a 18 và 2 lim
ax bx cx . Tính P a b 5c . 2 x
A. P 18 B. 12 P
C. P 9 D. P 5
Dạng 5: Tìm giới hạn một bên và giới hạn vô cùng Phương pháp giải
1. Tìm giới hạn lim f x ta sử dụng các định x 3 x a
Ví dụ: Tìm giới hạn lim . x 3 5x 1
nghĩa và quy tắc giới hạn một bên.
Hướng dẫn giải Do 3 x
x 3 , như vậy x 3 x 3 . TOANMATH.com Trang 23
2. lim f x L lim f x lim f x L . x 3 x 3 1 1 x Ta có lim lim lim . 0 x x 0 x x 0 x x 3 x 3 x 3 5x 1 5x 15 5 5
Ví dụ: Cho hàm số 4 2 5
x 6x x khi x 1
f x . Tính giới hạn 3
x 3x khi x 1
K lim f x . x 1
Hướng dẫn giải
Ta có lim f x lim 3
x 3x ; 1 3 2 x 1 x 1
lim f x lim 4 2
5x 6x x .
3. Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi 2 x 1 x 1
thay x x bởi x x hoặc x x . 0 0 0
Do lim f x lim f x nên không tồn tại x 1 x 1
4. Quy tắc sử dụng các giới hạn vô cùng dạng lim f x. thương x 1
Nếu lim f x L 0, lim
g x 0 và g x 0 xa xa 2 x 3x 2
f x Ví dụ: Tính giới hạn lim .
hoặc g x 0 với mọi x D \ a , thì lim x2 x 2
xa g x
Hướng dẫn giải được cho bởi bảng sau
x 2x 1
x 2x 1 f x Ta có lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 L
Dấu của g x lim
xa g x lim x 1 1 . x 2 +
x 2x 1
x 2x 1 lim lim x 2 x x 2 2 x 2 +
lim 1 x 1. x 2
x 2x 1
x 2x 1 lim lim .
5. Quy tắc sử dụng các giới hạn vô cùng dạng tích x 2 x 2 x 2 x 2
Nếu lim f x L 0, lim
g x thì 2 x 3x 2 xa xa Vậy không tồn tại lim . x2 x 2
lim f x.g x được cho bởi bảng sau xa lim g x Dấu của L
lim f x.g x xa xa + + TOANMATH.com Trang 24
6. Bấm máy tính giới hạn lim f x xa
- Nhập hàm số f x . x CALC 11 x 10 x CALC 11 x 10 1
x x CALC x x 0 0 11 10 1 x x
CALC x x 0 0 11 10 1 x x
CALC x x . 0 0 11 10 CÁCH CHỌN KẾT QUẢ: ... ......10 KQ 0 ... ......10 KQ ... ......10 KQ Ví dụ mẫu 2x x
Ví dụ 1: Tìm giới hạn lim . x 0 x x
Hướng dẫn giải x 2 x x x 1 2 2 x 1 1 Ta có lim lim lim 1 . x 0 x 0 x x
x x x 0 1 x 1 1 2 x 4x 3
Ví dụ 2: Tìm giới hạn lim . x 3 2 1 x x
Hướng dẫn giải 2 x 4x 3
x 1x 3
x 1 x 3 0 Ta có lim lim lim 0 . x 3 2 x 2 x x x x x 2 1 1 1 1 x 1
Một bài toán về định lí tồn tại giới hạn lim f x L lim f x lim f x L . x 0 x x 0 x x 0 x
x 3 khi x 1
Ví dụ 3: Tìm lim f x với f x . x 1 2 1
7x 2 khi x 1
Hướng dẫn giải
lim f x lim x 3 2 Ta có x 1 x 1 .
lim f x lim x x x 2 1 7 2 2 1 1 TOANMATH.com Trang 25
Do lim f x lim f x 2
nên lim f x 2 . x 1 x 1 x 1
Sau đây ta sẽ xét một số bài tập về kết quả giới hạn một phía bằng vô cùng. 1 1
Ví dụ 4: Tìm giới hạn L lim . 2
x2 x 2 x 4
Hướng dẫn giải 1 1 1 1 L lim lim 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2
x 2x 2 x 2 1 x 1 lim lim .
x 2 x 2 x 2 x 2
x 2x 2
Ta có lim x 2 0 và x 2
x 2 x 2 0. x 2 x 1 3 Mặt khác lim 0 . x 2 x 2 4
Kết luận L . x x 12 Ví dụ 5: Tìm lim . x x 32 3
Hướng dẫn giải 2 x x 12 x x 12 x 4 L lim lim lim . x x 32 x x 32 3 3
x x12 x 3
x 3x x 12 x 4 7 Ta có lim . x 3
x x12 6
Mặt khác lim x 3 0 và x 3 x 3
x 3 0 . x 3
Kết luận L . Ví dụ 6: Tìm . 2 lim 2x 1 x x
Hướng dẫn giải 1 1 Ta có lim x x x x x . x 2 2 1 2 lim 2 lim 2 1 2 2 x x x x lim x x Vì 1 . lim 2 1 1 2 0 2 x x Ví dụ 7: Tìm . 3 2 lim x 4x x x
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 26 1 4 Ta có lim
x x x x . x 3 2 4 3 lim 1 2 x x x
Sau đây chúng ta xét các bài tập về tìm điều kiện để tồn tại giới hạn.
x m kh i x 0
Ví dụ 8: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số f x có giới 2 x 1 khi x 0 hạn tại x 0 .
Hướng dẫn giải
Ta có lim f x lim x m ; m lim
f x lim 2 x . 1 1 x0 x0 x0 x0
Hàm số có giới hạn tại x 0 khi lim f x lim f x m 1. x 0 x 0
x b kh i x
Ví dụ 9: Biết hàm số y f x 3 , 1
cơ giới hạn tại x 1 . Tính giá trị
x a , kh i x 1 của a b ?
Hướng dẫn giải
Tại điểm x 1 ta có lim f x lim 3x b 3
b f 1 x 1 x 1
và lim f x lim x a 1 a . x 1 x 1
Hàm số có giới hạn tại x 1 khi và chỉ khi lim f x lim f x . x 1 x 1
Điều này tương đương với 3 b 1 a a b 2 .
Bài tập tự luyện dạng 5 1 2 Câu 1: Kết quả lim là 2 3 x0 x x
A. B. 0 C. D. không tồn tại. 3 2 x x Câu 2: Kết quả lim là x 1 x 1 1 x A. 1
B. 0 C. 1 D. 2 x x 1
Câu 3: Kết quả đúng của lim bằng 2 x 1 x 1 A. B. 1
C. 1 D. x 3
Câu 4: Giá trị đúng của lim bằng x3 x 3
A. không tồn tại. B. 0 C. 1 D.
Câu 5: Giới hạn A kết quả bằng 2 lim x x 1 2x x TOANMATH.com Trang 27 1
A. B. C. D. 0 2
Câu 6: Giới hạn B có kết quả là 4 lim 2x 4x x 1 x 1
A. B. C. D. 0 4 1 1
Câu 7: Cho hàm số f x
. Tìm lim f x . 3 x 1 x 1 x 1 2 2
A. B. C. D. 3 3
Câu 8: Giới hạn B x bằng 2 lim 4x 1 x x 1
A. B. C. D. 0 4 2 2x 3, khi x 2
Câu 9: Tìm lim f x với f x 5,
khi x 2 . x 2 3x 1, khi x 2
A. Không tồn tại. B. C. 5 D. 7 2 x 1 , khi x 1
Câu 10: Cho hàm số f x 1 x
. Khi đó lim f x bằng x 1
2x 2, khi x 1
A. 0 B. 2 C. D. 2
4 x , kh i 2 x 2
Câu 11: Cho f x 2 x 4
. Giá trị của lim f x là , khi x 2 x 2 x 2
A. 0 B. 4 C. D. không tồn tại. x khi x
Câu 12: Giá trị thực của tham số a để hàm số f x 2 3, 2
tồn tại lim f x là
ax 1, khi x 2 x2
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
m 3 khi x 1
Câu 13: Giá trị thực của tham số m để hàm số f x 2m 13 khi x 1 tồn tại lim f x là x 1 2 1 7x 2 khi x 1 11
A. không tồn tại. B. m 1 C. m 5 D. m 2 2 x 1 , khi x 3
Câu 14: Tìm các giá trị thực của tham số b để hàm số f x 3
x x 6 có giới hạn tại b 3, khi x 3 x 3 . TOANMATH.com Trang 28 2 3 2 3
A. 3 B. 3 C. D. 3 3 3 x 1 , khi x 1
Câu 15: Các giá trị thực của tham số m để hàm số h x x 1 có giới hạn tại 2 2
mx x m , khi x 1 x 1 là A. m 1
;m 2 B. m 1; m 2
C. m 1;m 2
D. m 1;m 2 3 x , khi x 3
Câu 16: Giá trị thực của tham số m để hàm số f x x 1 2
có giới hạn lim f x là bao x3 m khi x 3 nhiêu? A. m 1
B. m 4 C. m 4 D. m 1 3 3x 2 2 khi x 2
Câu 17: Các giá trị thực của tham số a để hàm số f x x 2
có giới hạn lim f x 1 x2
ax khi x 2 4 là bao nhiêu?
A. a 0 B. a 3 C. a 2 D. a 1 2 2 a x khi x 2
Câu 18: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a để hàm số f x có giới hạn 2 a 2x kh i x 2
tại x 2 . Tổng các giá trị của S là
A. 3 B. 0 C. 1 D. 1
x 2 khi x 2
Câu 19: Cho hàm số f x ax b kh i 2 x 6 . Biết hàm số f x có giới hạn tại x 2 và x 6 .
x 4 khi x 6
Hệ thức nào sau đây đúng?
A. 2a b 0 B. 2a b 0 C. a 2b 0 D. a 2b 0 3
2 x 1 8 x khi x 0 x
Câu 20: Cho hàm số f x ax b 1 khi 2 x 0. Tìm a, b để hàm số cùng có giới hạn tại 2 x 4 khi x 2 x 2 x 2 và x 0 . 61 25 37 1 61 1 85 25 A. a , b B. a , b C. a , b D. a , b 24 12 24 12 24 12 24 12 TOANMATH.com Trang 29
Dạng 6: Tìm giới hạn hàm lượng giác Phương pháp giải sin x
tan 2x sin 3x
1. Sử dụng các giới hạn cơ bản lim 1;
Ví dụ: Tìm giới hạn A lim . x0 x x0 x x tan x x
Hướng dẫn giải lim 1; lim 1; lim 1. x0 x0 x0 sin x x tan x
tan 2x sin 3x Ta có A lim 2 3 1 .
2. Mở rộng ta có thể sử dụng các kết quả sau với x0 x x
mọi số thực a 0 . 1 cos 2x
Ví dụ: Tìm giới hạn A lim . sin ax sin ax x 1 2 x0 x +) lim a lim a; lim ; x0 x0 x0 x ax sin ax a
Hướng dẫn giải tan ax x 1 lim a; lim . 2 sin x x0 x0 x tan ax a Ta có A lim 2. 2 . x0 x sin x sin n n n x x +) lim lim 1; lim 1 ; 0 n 0 0 x x sinn x x x x tann n x x lim 1; lim 1. 0 n 0 x tann x x x
3. Sử dụng nguyên lý kẹp.
4. Sử dụng MTCT như các giới hạn trên, nhưng
chuyển qua chế độ Radian. Ví dụ mẫu 1 cos ax
Ví dụ 1: Tìm giới hạn A lim , với a 0 . 2 x0 x
Hướng dẫn giải 2 2 ax ax 2sin 2 sin 2 a a Ta có 2 2 A lim lim . 2 x0 x0 x 2 ax 2 2 1 cos . x cos 2 . x cos3x
Ví dụ 2: Tìm giới hạn B lim . 2 x0 x
Hướng dẫn giải 1 cos . x cos 2 . x cos3x Ta có 2 x
1 cos x cos x cos 2x 1 cos3x cos x1 cos 2x 2 x 1 cos x 1 cos3x 1 cos 2x cos . x cos 2x cos . 2 2 2 x x x TOANMATH.com Trang 30 1 cos x 1 cos3x 1 cos 2x B lim cos . x cos 2x cos x 7 . 2 2 2 x0 x x x
1 sin x cos x
Ví dụ 3: Tìm giới hạn A lim .
x0 1 sin 2x cos 2x
Hướng dẫn giải 2 x x x 2sin 2sin cos
1 sin x cos x Ta có 2 2 2 2
1 sin 2x cos 2x
2sin x 2sin x cos x x x x sin sin cos 1 x 1 2 2 2 A lim . . . . x0 2 x
sin x sin x cos x 2 2
Một cách tổng quát ta có bài tập sau:
1 sin mx cos mx
Ví dụ 4: Tìm giới hạn A lim , với . m n 0 .
x0 1 sin nx cos nx
Hướng dẫn giải 2 mx mx mx 2sin 2sin cos
1 sin mx cos mx Ta có 2 2 2
1 sin nx cos nx 2 nx nx nx 2sin 2sin cos 2 2 2 mx nx mx mx sin sin cos m 2 2 2 2 . . . . n mx nx nx nx sin sin cos 2 2 2 2 mx nx mx mx sin sin cos m m Suy ra 2 2 2 2 A lim .lim .lim . x0 n mx x0 nx x0 nx nx sin sin cos n 2 2 2 2 1 cos 2x
Ví dụ 5: Tìm giới hạn A lim . x0 3x 2sin 2
Hướng dẫn giải 3x 2 2 sin sin x sin x 3 Ta có 2 A lim lim x . lim 0 . x0 3x x0 x0 x 2 3x sin 2 2 cos 2x cos3x
Ví dụ 6: Tìm giới hạn B lim .
x0 sin 3x sin 4x
Hướng dẫn giải 5x x 5x 2sin sin sin 5 1 5 2 2 2 B lim lim . .lim . x0 7x x x0 2 5x x0 7x 2 2 x cos sin cos 2 2 2 2 TOANMATH.com Trang 31
Bây giờ ta xét một số bài tập chứa dấu căn: 2 tan 2x
Ví dụ 7: Tìm giới hạn C lim . x0 3 1 cos 2x
Hướng dẫn giải 2 2 tan 2x 3 3 2 1 cos 2x cos 2 tan 2 x x C lim lim x0 3 x0 1 cos 2x 1 cos 2x 2 tan 2x 3 3 2
1 cos 2x cos 2x lim 2 x0 2sin x 2 2
tan 2x x 2lim .
. 1 cos 2x cos 2x . x0 3 3 2
2x sin x C 6 . 2 x
Ví dụ 8: Tìm giới hạn D lim . x0
1 x sin 3x cos 2x
Hướng dẫn giải 1 Ta có D lim x0
1 x sin 3x cos 2x 2 x
1 x sin 3x cos 2x
1 x sin 3x 1 1 cos 2x mà lim lim lim 2 2 2 x0 x0 x0 x x x sin 3x 1 7 3lim . 2 . x0 3x
1 x sin 3x 1 2 sin m x
Ví dụ 9: Tìm giới hạn A lim . 1 sin n x x
Hướng dẫn giải sin 1 m x sin 1 m x 1 n x 1 n x A lim lim .lim .lim 1 sin 1 n x 1 1 m x 1 sin 1 n x x x x x 1 1 m x 1 n x
1 x n 1 n 2 x x ... 1 n lim lim . x 1 m x x
1 x m 1 m2 1 1 x x ... 1 m
Trong nhiều trường hợp việc tìm giới hạn phải sử dụng đến nguyên lý kẹp.
Bài tập sau đây là một trường hợp cụ thể.
3sin x 2 cos x
Ví dụ 10: Tìm giới hạn F lim . x x 1 x
Hướng dẫn giải 13
3sin x 2 cos x 13 Ta có . x 1 x x 1 x x 1 x TOANMATH.com Trang 32 13 Lại có lim 0 . x x 1 x 3sin x 2cos Vậy F lim 0 . x x 1 x
Bài tập tự luyện dạng 6 tan x 1
Câu 1: Tìm giới hạn B lim được kết quả là x 1 x 1 5
A. B. 0 C. D. 1 2 tan 2 . x sin 5x
Câu 2: Tìm giới hạn C lim được kết quả là 2 x0 x 5
A. 10 B. 7 C. D. 3 2 sin x tan x
Câu 3: Tìm giới hạn D lim được kết quả là 3 x0 x 1 5
A. B. C. D. 0 2 2 cos3x cos 4x
Câu 4: Tìm giới hạn A lim được kết quả là
x0 cos 5x cos 6x 7
A. B. C. D. 0 11 3 1 1 2sin 2x
Câu 5: Tìm giới hạn B lim được kết quả là x0 sin 3x 4
A. B. C. D. 0 9 2 sin 2x
Câu 6: Tìm giới hạn C lim được kết quả là x0 3 4 cos x cos x
A. B. C. 96 D. 0 4 sin 2x
Câu 7: Tìm giới hạn D lim
được kết quả chính xác là 4 x0 sin 3x 16
A. B. C. D. 0 81 1 sin cos x 2
Câu 8: Tìm giới hạn E lim được kết quả là x0 sin tan x 5
A. B. C. D. 0 2 2
Câu 9: Kết quả đúng của 2 lim x cos là x0 nx TOANMATH.com Trang 33
A. không tồn tại. B. 0 C. 1 D. 2
3x 5sin 2x cos x
Câu 10: Kết quả đúng của lim là 2 x x 2
A. 1 B. 0 C. 3 D. 1 cos x
Câu 11: Tìm giới hạn L lim kết quả là x 2 x 2
A. L 1 B. L 1
C. L 0 D. L 2 m cos m ax cosbx
Câu 12: Tìm giới hạn H lim có kết quả là 2 x0 sin x b 2
A. B. C. D. 0 2n 2m 1 n cos ax
Câu 13: Tìm giới hạn M lim có kết quả là 2 x0 x a
A. B. C. D. 0 2n
3 1 3x 1 2x a a
Câu 14: Kết quả giới hạn M lim
trong đó là phân số tối giản ; a b 0 . Tổng x0 1 cos 2x b b a b bằng
A. 3 B. 2 C. 6 D. 5 x x a a
Câu 15: Cho hàm số y f x 3 2 1 8
. Kết quả giới hạn lim f x , trong đó là phân sin 3x x0 b b số tối giản ;
a b 0 . Tổng a b bằng
A. 49 B. 48 C. 21 D. 35 TOANMATH.com Trang 34 ĐÁP ÁN
Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số bằng thay trực tiếp 1 - B 2 - B 3 - A 4 - B 5 - A 6 - C 7 - B 8 - C 9 - D 10 – B 11 - C 12 - A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. x 1 Ta có lim . x 2 0 2 1 x x 1 Câu 2. 1 Ta có lim .
x 2x 3x 2 1 3 1 2 Câu 3. 3 2 x 2x 1 Ta có lim 2 . x 1 3 5 2x 1 Câu 4. Ta có 2 lim x
cos x 3 0. 4 0 x0 . Câu 5. 3x m 6 m Ta có 5 A lim m 14 . x2 x 2 4 Câu 6. 2 x 1 5 Ta có lim . 4 2 x 2
2x x 3 33 Câu 7. 2 1 sin 3x 1 2 2 Ta có 2 lim . x cot 2x 3 3 6 4 Câu 8. 3 2 x x 0 Ta có lim 0 . x 1
2x 1 1 x 3 Câu 9.
Nếu lim f x 5 thì lim 1 3 4 f
x 13 4. lim f
x 13 4.5 7 . x 2 x 2 x2 Câu 10. TOANMATH.com Trang 35 2 3 3 a
x x 2 4 2x 5x 1 2 4.2 Ta có lim 6 L 37 . 2 2 x 1 b x 2 1 2 Câu 11. 2x 1 2 t 1 Đặt t x
. Khi x thì t 2 . x 2 t 2
2x 1 3 x 2 1 t 13 Ta có f
f t x 2 2x 1 2x 1 5t f x f t 3 lim lim . x t2 2 Câu 12. f x 1 f 1 1 Ta có lim 1 1 f 1 3 . x 1 x 1 11
2x x f x2 1 1 f 12 2. 3 2 4 I lim . x 1 x 4 1 4 5 5 0
Dạng 2: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định 0 1 - D 2 - C 3 - C 4 - C 5 - A 6 - D 7 - B 8 - D 9 - B 10 – C 11 - C 12 - B 13 - B 14 - D 15 - C 16 - D 17 - A 18 - A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. 3 2 2 x 4 2 x 4 Ta có lim lim 2 x2 x2 x 4 2 x 42 3 2
2 x 4 4 2 3 x 4 1 1 lim . x2 2 x 42 3 2 12 3 2 x 4 4 Câu 2. 1 x 1 x 1 1 Ta có lim lim lim . x0 x0 x
x 1 x x0 1 1x 1 2 Câu 3. x 27x
x x 3 2
x 3x 9 x 2 4
x 3x 9 Ta có lim lim lim 9 . 2 x3 x3 2x 3x 9
2x 3x 3 x3 2x 3 Câu 4. TOANMATH.com Trang 36 2 2x 3x 1 4x 3x 1 4x 1 5 Ta có lim lim lim . 2 x 1 x 1 x 1 2 x
1 2x 3x 1 x 1 x
1 2x 3x 1 8 Câu 5. x 1 x 2x 32 2 3 x 3 2 1 4 2 Ta có lim lim lim . x 1 2 x1 x 3 2 3 2 3 x x 1 2
x x1 1 3 2 3 x x 1 x 6 3 1 Câu 6. x a3 3 3 2 2 a
x 3x a 3xa Ta có lim lim lim 2 2
x 3xa 3a 2 3a . x0 x0 x0 x x Câu 7. x 16
2x 4x2x2 2 4
x 4x 2 Ta có lim lim lim 1 6. 2 x 2 x 2 x 6x 8
x 2x 4 x 2 x 4 Câu 8. x 8x
x x 2 2
x 2x 4 x 2 4
x 2x 4 2 4 Ta có lim lim lim . 3 2
x x 2x x 2 x
x 2 2x 1 x 2 2 2 2 x 1 5 Câu 9. x 2 2 x 1 1 x 2 x 1 1 x 2 8 3 2 2 Ta có lim lim lim . x 1 x 1 1 x 2
2x 8 3x x1 1 2x 8 3 3 Câu 10. 2 2
x x 1 1 x x x 1 1 Ta có lim lim lim . x0 x0 3x
x 2x x x0 2x x 6 3 1 1 3 1 1 Câu 11. 2 x x 2 4 x 16 2 2 4 x 16 1 1 Ta có lim lim lim 4 . x0 2 x0 2 4 x 16
x 2x 1 x0 1 2x 1 1 Câu 12. x x
mx 1 n m n x 1 Ta có lim lim x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 m 1 m2 x x ... 1 x 1 n 1 n2 x x ... 1 lim x 1 x 1
lim m 1 m2 x x ... 1 n 1 n2 x x ...
1 m n x 1 . Câu 13. TOANMATH.com Trang 37 2x 1 1 2 3 3x 2 1 3 Ta có lim lim 1 và lim lim 1. x 1 x 1 x 1 2x 1 1 x 1 x 1 x 1
3 3x22 3 3x 2 1 3 3
2x 1 3x 2 2x 1 1 3x 2 1 Do đó L lim lim lim
11 0 . Vậy L 0 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 14. ax 1 1 a a a Ta có L lim lim
3 a 12 . x0 x0 2x 2 ax 1 1 4 4 Câu 15. 4 3 4 3 4 t 8 x
x 1 x 19
t 7 t 11
Đặt 4 x 8 t lim lim x8 4 t2
x 8 t 2 x 8 2 t 2 t 7 3 2 4
t 4t 2 16 Khi đó lim lim t2 t2 4 t 2 t 7 3 3 t 11 3 4 3 4
t 4t 2 32 và lim lim . x2 x2 t 2 4 t 2 3 4 27 3
11 3 t 11 9 4 3 4 4 3 4 a
t 7 t 11 t 7 3 t 11 3 16 32 Ta có lim lim lim . t2 t2 x2 b t 2 t 2 t 2 3 27 a 112 Suy ra
a b 139 . b 27 Câu 16. x a 2 2 4 4
x a x ax a Ta có 2 2
x a x a 3 lim lim lim 4a . xa xa xa x a x a Câu 17. 3 8x 11 3 8 8 Vì lim lim . 2 x2 x2 x 3x 2
x 3 x 2 3 x 27 1 8 11 3 8 11 9 x 7 3 1 1 lim lim . 2 x2 x2 x 3x 2 x
1 x 7 3 6 3 a 8x 11 3 x 7 3 8 1 7 Suy ra lim lim . 2 2 x2 x2 b x 3x 2 x 3x 2 27 6 54 a 7 Vậy
2a b 14 54 68 . b 54 Câu 18. TOANMATH.com Trang 38 6x 9 x 1 1 Vì lim lim ;
x x 32 3
x 6 x3 x 6 6x9 x 54
3 27x 54 x 1 1 lim lim .
x x 32 3
x 6 x3 3 27x542 3 2
x 27x 54 x 27 3 3
6x 9 27x 54 6x 9 x 27x 54 x 1 1 1 Suy ra lim .
x x 3 lim lim 2 3
x 3x 18 x3 x 32 x 6 x3 x 32 x 6 54 27 54 a 1 Vậy
3a b 57 . b 54
Dạng 3: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định 1 - C 2 - C 3 - B 4 - C 5 - C 6 - A 7 - D 8 - C 9 - B 10 – B 11 - C 12 - B 13 - B 14 - C 15 - C 16 - D 17 - C 18 - A 19 - C 20 - C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Theo tính chất thì C sai khi b 0 hay g x 0 . Câu 2. 1 1 1 6 2 6 6 4 64 5 6
4x x 64x x 1 Ta có lim lim x x x B 4 . x 4 4 x 3 x 3 4 1 4 x Câu 3. 7 14 1 14 x 7 Ta có lim lim x 1. 14
x x 1 x 1 1 14 x Câu 4. 2 2 2 9 2 2x 9x 2 x 5 Ta có C lim lim . x 2 5x x 1 x 1 4 5 1 2 x Câu 5. 1 2020 Ta có lim 2017 2019 lim x x f x 0 . x x 1 2 2017 x TOANMATH.com Trang 39 Câu 6. 1 1 x 3 3 1 3x x x 3 Ta có lim lim lim . x 5 5 x x 5 2x 3 3 3 2 5 5 x 2 2 5 5 x x Câu 7. 2 2 1 1 2 1 1 3 3 x 1 1 6 2 6 2 3 4 6
2x 1 x x x x x x x x Ta có D lim lim lim 1. x 3 4
1 x x x 1 x x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 4 2 4 2 x x x x x x x x Câu 8. 2 1 2 1 2 x 2x 1 1 Ta có lim lim 2 1 lim 2 x x f x x 2 . 4 2 x x
x 3x 1 x x 3 1 1 2 4 x x Câu 9. 2 1 3 1 3 4 2 x 1 1 2 4 2 4 x x 3 x x x x 1 Ta có lim lim lim . x 2 2 x 4x 5 x 5 x 5 4 2 2x 4 2 4 2 2 x x Câu 10. 4 8 2 1 8 2 1 x 1 1 x 1 1 4 2 4 2 4
x 8x x 2 1 x x x x x x x x Ta có lim lim lim 3 2
x x 2x x 2 x 3 2 1 2 x 2 1 2 x 1 1 2 3 2 3 x x x x x x 8 2 1 1 1 2 4 x x x x Vì lim
1 0 và lim x . x 2 1 2 x 1 2 3 x x x Câu 11. 1 1 2 1 2 2
x x 1 2x Ta có lim lim x x E 1 . x x 1 x 1 1 x Câu 12. 2 1 1 x 4 1 x 4 1 2 2 x x Ta có F lim lim x 1 x 1 3 3 x 4 2 4 2 3 3 x x TOANMATH.com Trang 40 1 4 1 2 x 1 Vì lim
0 và lim x . 3 x 1 4 2 x 3 4 2 3 x Câu 13. 2 1 3 1 3 x 2 4 3 2 2 x x x x 4 3 2 Ta có lim lim lim x x 2 . x 4 3 2 x x
x x x x 2 1 1 1 1 1 1 x 1 1 2 4 2 4 x x x x x x Câu 14. 3 1 1 1 3 1 1 1 x 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 x x x x Ta có lim lim x x x x M 1. x 1 x 1 x 1 1 x x Câu 15. 2 3 3 x 2 2 2 2 x 1 Ta có lim lim x N . x 2 x 2 6 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 x 8 2 8 4 8 2 8 4 2 2 2 2 2 2 x x x x x x Câu 16. 3 1 2 4 x 16 4 3 4 2 4 4 2
16x 3x 1 4x 2 x x x Ta có H lim lim x 3x 1 x 3x 1 3 1 2 4 16 4 3 4 2 x x x 4 lim . x 1 3 3 x Câu 17. 1 1 1 3 x 3 2 3 2 3 3 2
3x 1 2x x 1 x x x Ta có A lim lim x 4 4 4x 2 x 2 4 x 4 4 x 1 1 1 3 3 2 3 2 3 x x x 3 2 lim . x 2 2 4 4 3 x Câu 18. TOANMATH.com Trang 41 2 1 2 1 1 2 1 x 1 2 2 1
x x x x x x 2 1 2 1 Ta có lim lim lim x x x B x . x 3 3 2x 2 1 x 1 1 x 2 1 3 3 x 2 2 3 3 x x x x Câu 19. 3 2020 3 2020 2023 1 2 1 2 x 2 1 2 1 x x x x Ta có A lim lim 4 . 2019 2019 x x 2023 3 1 3 1 x 2 1 2 1 4 4 x x x x Câu 20. 3 4 3 4 x 4 2 2 4 2 x x 2 Ta có lim lim x x B 2. x 1 1 x 1 1 x 1 1 1 1 2 2 x x x x
Dạng 4: Tìm giới hạn của hàm số vô định và 0. 1 - B 2 - A 3 - D 4 - B 5 - C 6 - B 7 - A 8 - D 9 - A 10 - A 11 - A 12 - D 13 - B 14 - D 15 - A 16 - B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. 3 x 1 3 Ta có A lim
x x x A A . x 2 3 1 lim x 2
x 3x 1 x 2 3 Vậy A lim
x x x . x 2 3 1 2 Câu 2. x 1 1 Ta có B lim x x x B B . x 2 2 4 1 lim x 2
4x x 1 2x 4 1 Vậy B lim x x x . x 2 2 4 1 4 Câu 3.
Sử dụng công thức n n a b
a b n 1 n2 n2 n 1 a a b ... ab b . x a x a ... n
x a x
Ta có C lim x a x a ... x a x C lim n n 1 2 n 1 2
n x a x a n x x ... x a x n 1 n 1 ... 1 2
a a ... a 1 2 n C . n Câu 4. TOANMATH.com Trang 42 x 1
Ta có D lim x x x . x 2 9 1 3 lim x 2 9x 1 3 6 Câu 5. 2 2x 2 Ta có 2 E lim x x . x 3 3 2 2 lim x 3x 22 3 3 2 3 3
x x 2 x Câu 6. 1
Ta có E lim x x x . x 3 3 1 3 lim 1 1 3 x x Câu 7. Ta có G 3 3 2 2 x x x
x G 3 3 2 x x x 2 lim 3 2 lim 3 lim x x 2x x x x 2 3 x 2x G lim lim G 1 1 0 . x 3 2 2 x 2 3 3 2 3 x x 2 3 3 x x x x x x x Câu 8. Ta có H lim 4 4 2 16x 3x 1 4x 2 x H lim 4 4 16x 3x 1 2x lim 2 2x 4x 2 x x 3x 1 2 lim lim H 0 . x x
4 x x 3 4
x x x 2 2 4 4 2 4 4 3 2x 4x 2 16 3 1 2 . 16 3
1 4x 16x 3x 1 8x Câu 9. 1 1 2 1 3 3 6 4 1 4 1 5 6 3 4
x x 1 4 x 2x 1 x x x x 3 Ta có I lim lim . x 2x 32 2 x 3 4 2 x
Suy ra a b 7 . Câu 10. Ta có J 2 3 3 2 x x x x
x 2x x
x 3 3 2 lim 1 2 1 lim 1 lim 2 x x x 1 x x x 2 x 1 x 1 1 2 1 lim lim 2 . x 2 x 2 3 2
x x 1 x
x x x x 1 3 2 2 3 6 3 x x 2 3 1
Suy ra a b 7 . Câu 11. Ta có K x 2 3 3 2 x x x x x 2x x x x 3 3 2 lim 2 3 lim 2 1 lim x 1 x 3x x x x TOANMATH.com Trang 43 2 x 3x x 1 1 lim lim 1 . x 2
x 2x x 1
x x 2 1 x 3 3 1
x 3x 3 2 2 3 x 3x2
Suy ra a b 3 . Câu 12. ax 12 a Ta có L lim x ax x . x 2 4 12 2 lim x 2
4x ax 12 2x 4 a
Suy ra 5 a 2 0 . 4 Câu 13. Ta có 2 3 3 2 x ax x bx
2x ax x 3 3 2 lim 4 8 5 lim 4 2 lim 8x bx 5 2x x x x 2 ax bx 5 a b lim lim . x 2 4x ax 2 x x 3 2
8x bx 52 3 3 2 2 4 12 3
2x 8x bx 5 4x 2 a b a b 16 Ta có 2 . ab . 3 4 12 4 12 3 Câu 14. 3 x 1 3 Ta có lim
x x x . x 2 2 3 1 2 lim 2 x 2
2x 3x 1 x 2 4
Suy ra a b 7 . Câu 15. 3 3
ax 1 1 bx
ax 1 1 1 1 bx lim lim x0 x0 x x x ax bx lim
x0 3 2 3 x1 1 1 1 1 bx x ax ax a b a b lim
x0 3 ax 2 3 1 1 bx 3 2 1 ax 1 1 a b
Theo bài ra ta có 2 2a 3b 12 . Từ giả thiết a 3b 9 suy ra a 3;b 2 , vậy A sai. 3 2 Câu 16.
a c x bx Ta có lim . ax bx cx 2 2 2 lim x x 2
ax bx cx TOANMATH.com Trang 44 2 2 a c 2 x bx a c 0 Để giới hạn lim 2 thì b . x 2
ax bx cx 2 a c 2 a c 0 a 9 Theo đầu bài ta có hệ 2
a c 18 c 3 (nếu c 3
thì a c 0 ). b b 12 2 a c
Suy ra P a b 5c 9 12 15 12 .
Dạng 5: Tìm giới hạn một bên và giới hạn bằng vô cùng 1 - C 2 - C 3 - D 4 - A 5 - B 6 - A 7 - A 8 - B 9 - D 10 - D 11 - A 12 - A 13 - A 14 - D 15 - C 16 - C 17 - A 18 - D 19 - B 20 - A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cách 1: 1 2 1 2 Ta có lim lim lim . 2 3 2 3 x0 x0 x0 x x x x Cách 2: (Sử dụng MTCT) 1 2
Nhập hàm số f x . 2 3 x x 1 Vì x 0
nên nhập CALC x . 11 10 Câu 2. Cách 1: 3 2 x x x x 1 x Ta có lim lim lim 1. x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x 1 1 x 1 x 1 Cách 2: (Sử dụng MTCT) 3 2 x x
Nhập hàm số f x . x 1 1 x 1 Vì 1 x
nên nhập CALC x 1 . 11 10 Câu 3. Cách 1: TOANMATH.com Trang 45 2 x x 1 Ta có lim . 2 x 1 x 1 Cách 2: (Sử dụng MTCT) 2 x x 1
Nhập hàm số f x . 2 x 1 1 Vì 1 x
nên nhập CALC x 1 . 11 10 Câu 4. Cách 1: x 3 x 3 Ta có lim lim 1. x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3 x Mặt khác lim lim 1 . x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Do lim lim
. Nên không tồn tại giới hạn. x 3 x 3 x 3 x 3 Cách 2: (Sử dụng MTCT) x
Nhập hàm số f x 3 . x 3 1 Vì x 3
nên nhập CALC x 3 . 11 10 1 Vì x 3
nên nhập CALC x 3 . 11 10
Hai giá trị không gần nhau nên không tồn tại giới hạn. Câu 5. Cách 1: 1 1 3 3 x x 1 Ta có lim x x x x x . x 1 2 2 2 2 lim lim x 2
x x 1 2 x x 1 1 1 2 2 3 4 x x x x Cách 2: (Sử dụng MTCT)
Nhập hàm số f x 2x x 1 2x .
Vì x nên nhập 10 CALC x 10 . Câu 6. Cách 1: TOANMATH.com Trang 46 1 1 1 4 4
x 4x x 1 Ta có lim x x x B x x x . x 2 4 1 4 2 2 3 4 4 lim lim x 4
2x 4x x 1 x 2 4 1 1 3 4 7 8 x x x x Cách 2: (Sử dụng MTCT)
Nhập hàm số f x 4
2x 4x x 1 .
Vì x nên nhập 10 CALC x 10 . Câu 7. Cách 1: 1 1 1 1 2 Ta có lim lim 1 lim . 3 2 x 1 x x x 1
x x x x 1 1 1 1 1 3(x 1) Cách 2: (Sử dụng MTCT) 1 1
Nhập hàm số f x . 3 x 1 x 1 1 Vì 1 x
nên nhập CALC x 1 . 10 10 Câu 8. Cách 1: 1 2 3 x 3x 1 2 Ta có lim x B x x x . x 2 4 1 lim lim x 2 4x 1 x x 4 1 1 4 6 2 x x x Cách 2: (Sử dụng MTCT)
Nhập hàm số f x x 2
4x 1 x .
Vì x nên nhập 10 CALC x 10 . Câu 9. 2 2x 3, khi x 2
Với f x 5,
khi x 2 . Ta có lim f x lim 3x 1 7 . x 2 x 2
3x 1, khi x 2 Câu 10. 2 x 1 , khi x 1 2 x 1
Với hàm số f x 1 x
. Khi đó lim f x lim . x 1 x 1 1 x
2x 2, khi x 1 TOANMATH.com Trang 47 Câu 11. 2
4 x , kh i 2 x 2
Với hàm số f x 2 x 4
. Khi đó lim f x 2
lim 4 x 0 . , khi x 2 x 2 x 2 x 2 Câu 12.
lim f x lim x 2 3 3 Ta có x2 x2
lim f x lim ax 1 2a 1 x2 x2
Vậy để tồn tại lim f x thì lim f x lim f x x2 x 2 x 2 3 2a 1 a 2 . Câu 13.
lim f x lim x x x 2 1 7 2 2 1 1
Ta có lim f x lim m 3 m 3 x 1 x 1 f 1 2m 13
Để tồn tại lim f x thì lim f x lim f x f 1 2
m 3 2m 13 . x 1 x 1 x 1
Vậy không tồn tại m. Câu 14. 2 f x x 1 1 lim lim Ta có 3 x3 x3 x x 6 3
lim f x lim b 3 b 3 x3 x3 1 2 3
Vậy để tồn tại lim f x thì lim f x lim f x
b 3 b . x3 x 3 x 3 3 3 Câu 15.
lim f x lim 2 2 mx x m 2 m m 1 x 1 x1 Ta có 3 f x x 1 lim lim lim 2 x x 1 3 x 1 x 1 x1 x 1
Vậy để tồn tại lim f x thì lim f x lim f x x 1 x 1 x 1 2
m m 1 3 m 1;m 2 . Câu 16. TOANMATH.com Trang 48 x
3 x x1 2 3
lim f x lim lim 4 Ta có x3 x3 x3 x 1 2 x 3
lim f x lim m m x3 x3
Vậy để tồn tại lim f x thì lim f x lim f x m 4 . x3 x 3 x 3 Câu 17. f x 3 3x 2 2 3 x 2 1 lim lim lim x2 x2 x2 x 2
x 3 x 2 3 x 4 2 3 2 2 3 2 4 Ta có f x 1 1 lim lim ax 2a x2 x2 4 4
Vậy để tồn tại lim f x thì lim f x lim f x x2 x 2 x 2 1 1
2a a 0 . 4 4 Câu 18.
lim f x lim 2 a 2 x 4 2a Ta có x 2 x 2 lim f x 2 2 2
lim a x 2a x 2 x 2
Để tồn tại lim f x thì lim f x lim f x x 2 x 2 x 2 2
4 2a 2a a 1 . a 2
Vậy tổng các giá trị của S là 1 . Câu 19.
lim f x lim f x 2a b 0
Vì hàm số có giới hạn tại x 2 và x 6 nên ta có x 2 x 2 . lim f
x lim f x 6a b 10 x6 x6 Câu 20.
Để hàm số có giới hạn tại x 2 và x 0 thì 2 61 ax b x 4 lim 1 lim 2
a b 1 4 1 2
a b 3 a x 2 x 2 x 2 24 . Từ (1) và (2) ta có 13 . 3
2 x 1 8 x b 1 25
ax b 13 lim lim 1 b 1 2 b 12 x0 x0 x 12 12 TOANMATH.com Trang 49
Dạng 6: Tìm giới hạn hàm lượng giác 1 - D 2 - A 3 - B 4 - C 5 - C 6 - C 7 - C 8 - D 9 - B 10 - B 11 - B 12 - C 13 - C 14 - D 15 - A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. tan x 1 Ta có B lim 1. x 1 x 1 Câu 2. 2 tan 2x 5sin 5x Ta có C lim . 10 . x0 2x 5x Câu 3. 2 x x x x 2 2sin . x sin sin sin cos 1 1 sin x 1 Ta có 2 2 D lim lim lim . 3 3 x0 x0 x0 x cos x x cos x 2 x x 2 2 Câu 4. 7x x 7x sin .sin sin cos3x cos 4x 7 Ta có 2 2 2 A lim lim lim . x0 x0 cos5x cos 6x 11x x x0 11x 11 sin .sin sin 2 2 2 Câu 5. 3 1 1 2sin 2x 2 sin 2x 4 Ta có B lim lim . x0 x0 sin 3x x x x2 3 3 9 sin 3 1 1 2sin 2 1 2sin 2 Câu 6. 2 sin 2x 2 2 sin 2x Ta có lim lim x C ; x0 3 4 x0 3 4 cos x cos x
cos x 1 1 cos x 2 2 x x 2 x 3 2sin 1 cos x 1 cos x 1 2 lim lim lim ; 2 x0 x0 2 x x 3 3 2 x
x x0 2x 3 3 2 x x 6 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 cos 2 4 1 cos x 1cos x 1 lim lim ; 2 x0 x0 2 x x 4
1 cos x 1 cos x 8 2 sin 2x lim 4 . 2 x0 x TOANMATH.com Trang 50 4 Vậy C 96 . 1 1 6 8 Câu 7. 4 sin 2x 4 4 sin 2x 16 Ta có lim lim x D . 4 4 x0 x0 sin 3x sin 3x 81 2 x Câu 8. 1 sin cos x 2 sin tan x Ta có tan lim x E mà lim 1. x0 sin tan x x0 tan x tan x 2 x sin 2 2 2sin x x 2 1 sin cos 1 cos 1 cos 2 2 Lại có lim lim lim x0 x0 x0 tan x tan x tan x 2 x sin 2 2 sin 2 2 x sin 2 x lim . . . x 0 . 2 x0 4 2 x x tan sin x 2 2 2 Do đó E 0 . Câu 9. 2 2 2 Ta có 2 2 0 cos 1 0 x cos x mà 2 lim x 0 nên 2 lim x cos 0 . nx nx x0 x0 nx Câu 10. 2
3x 5sin 2x cos x
6x 10sin 2x cos 2x 1 Ta có lim lim 2 2 x x 2 x 2x 4 6x 1 10
sin 2x cos 2x 10
sin 2x cos 2x lim lim lim . 2 2 2
x 2x 4 x 2x 4 x 2x 4 10
sin 2x cos 2x 101 Vì x x 2 2 2 2 10sin 2 cos 2 10 1
sin 2x cos 2x 101 nên 0 . 2 2 2x 4 2x 4 101 10
sin 2x cos 2x Lại có lim 0 suy ra lim 0 . 2
x 2x 4 2 x 2x 4 Câu 11. TOANMATH.com Trang 51 sin x cos x 2 Ta có L lim lim 1 . x x 2 x 2 x 2 2 Câu 12. m cos m ax cos m bx
cos ax 11 m cosbx H lim lim 2 2 x0 x0 sin x sin x cos ax 1 cos bx 1 lim m m m m x cos ax lim
1 cosax 2 ...1sin x m m x
m cosbx 1 m cosbx 2 0 0 2 2 ...1 sin x 2 bx 2 ax 2sin 2sin 2 2 lim m m m m x cosbx lim
1 cosbx 2 ...1sin x m m x
m cos ax 1 m cos ax 2 0 0 2 2 ...1 sin x 2 bx 2 ax 2 sin 2 sin b 2 a 2 . . 2 2 2 2 2 b x 2 a x 4 4 lim lim x0 x x m
bx m m bx 2 m x 0 sin m m m m sin cos cos ...1 cos ax cos ax ...1 2 2 1 2 1 2 2 x x 2 2 b a . 2m Câu 13. 1 n cos ax 1 cos ax Ta có M lim lim 2 x n n x x
n cos ax 1 n cosax 2 0 0 2 ...1 x 2 a 2 ax sin 2 2 2 a lim . x0 a x n n
ax n n ax 2 2 1 n 2 2 cos cos ...1 4 Câu 14. 3 3
3x 1 2x 1
3x 1 x 1 x 1 2x 1 2 2 Ta có lim x lim x M 2 x0 1 cos 2x x0 2sin x 2 2 x x
3 3x 1 x 1
x 1 2x 1 2 2 lim x lim x 2 2 x0 x0 2sin x 2sin x 2 2 x x TOANMATH.com Trang 52 3 2 x 3x 2 x
x 3x 12 x
1 3x 1 x 2 2 3 3 1 2
x x 1 2x 1 lim lim 2 2 x0 x0 2sin x 2sin x 2 2 x x 1 1 1
a 1;b 4 a b 5 . 2 4 4 Câu 15. 3 3 3
2 1 x 8 x
2 1 x 2 2 8 x 2 1 x 2 2 8 x Ta có lim lim lim lim x0 x0 x0 x0 sin 3x sin 3x sin 3x sin 3x x 1 2x
x x2 2 4 2 8 8
4 2 8 x 8 1 1 1 1 x x x 2 3 3 3 3 lim lim lim lim x0 sin 3x x0 sin 3x x0 sin 3x x0 sin 3x 3x 3x 3 3 3x 3x 3x 3x 1 1 13 a
a b 49 . 3 36 36 b TOANMATH.com Trang 53