Bài giảng giới hạn và hàm số liên tục Toán 11 KNTTvCS
Tài liệu gồm 144 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, bao gồm tóm tắt kiến thức cơ bản cần nắm, phân loại và phương pháp giải bài tập chuyên đề giới hạn và hàm số liên tục trong chương trình môn Toán 11 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (KNTTvCS).
Chủ đề: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ
CS 1: Trung tâm MASTER EDUCATION- 25 THẠCH HÃN
CS 2: Trung Tâm 133 Xuân 68
CS 3: Trung tâm 168 Mai Thúc Loan
CS4: Trung Tâm THPT Nguyễn Trường Tộ
GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ
(Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời)
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com MỤC LỤC
BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ........................................................................................................................ 3
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ......................................................................................... 3
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP ................................................................................. 4
Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ ....................................................................................................................................... 4
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 4
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................................................ 4
Dạng 2. Dãy số chứa căn thức ............................................................................................................................ 6
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 6
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ...................................................................................................................... 6
Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa hàm mũ ............................................................................................. 7
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 7
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................................................ 7
Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ....................................................................................................... 8
1. Phương pháp .................................................................................................................................................. 8
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................................................ 9
Dạng 5: Phương pháp sai phân và quy nạp tính giới hạn ....................................................................... 10 GV: T
1. Phương pháp ............................................................................................................................................ 10 R Ầ N
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .................................................................................................................. 11 ĐÌN
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ..................................................................................................... 14 H CƯ
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ...................................................................................................................... 16 – 0834
BÀI 16: GIỚI HẠN HÀM SỐ ........................................................................................................................... 40 3321
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ................................................................................... 40 33
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP ........................................................................... 43
Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn ............................................................................................................ 43
1. Phương pháp ............................................................................................................................................ 43
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .................................................................................................................. 43
Dạng 2. Giới hạn tại vô cực .......................................................................................................................... 44
1. Phương pháp ............................................................................................................................................ 44
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .................................................................................................................. 44
Dạng 3. giới hạn một bên .................................................................................................................................. 47
1. Phương pháp ................................................................................................................................................ 47
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ...................................................................................................................... 47
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 0 Dạng 3. Dạng vô định
................................................................................................................................... 49 0
1. Phương pháp ................................................................................................................................................ 49
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ...................................................................................................................... 49 Dạng 4. Dạng vô định
................................................................................................................................. 56
1. Phương pháp ................................................................................................................................................ 56
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ...................................................................................................................... 56
Dạng 5. Dạng vô định , 0. ............................................................................................................... 60
1. Phương pháp ................................................................................................................................................ 60
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ...................................................................................................................... 61
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ......................................................................................................... 63
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .......................................................................................................................... 65
BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC ............................................................................................................................... 82
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ....................................................................................... 82
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP ............................................................................... 82
Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm ........................................................................................................... 83
1. Phương pháp ............................................................................................................................................ 83 GV: T
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .................................................................................................................. 83 R Ầ N
Dạng 2. Hàm số liên tục trên tập xác định ................................................................................................ 85 ĐÌN H CƯ
1. Phương pháp ............................................................................................................................................ 85
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .................................................................................................................. 85 – 0834
Dạng 3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng ........................................................................... 86 3321
1. Phương pháp ............................................................................................................................................ 86 33
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .................................................................................................................. 87
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ..................................................................................................... 89
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ...................................................................................................................... 90
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG V ................................................................................................................... 103
GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ............................................................................................................ 103
PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM .......................................................................................................................... 103
PHẦN 2: TỰ LUẬN ...................................................................................................................................... 104
BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG V .................................................................................................................... 109
PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................................. 109
PHẦN 2: TỰ LUẬN .......................................................................................................................................... 128
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
CHƯƠNG V: GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Định nghĩa 1: Ta nói dãy số u có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u có thể nhỏ n n
hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kỉ hiệu lim u 0 hay u 0 khi n n n n .
Chú ý. Tữ định nghĩa dãy số có giới hạn 0 , ta có các kết quả sau: 1 - lim
0 với k là một số nguyên dương; k n n - lim n
q 0 nếu | q | 1; n
- Nếu u v với mọi n 1 và lim v 0 thì lim u 0 . n n n n n n
Định nghĩa 2: Ta nói dãy số u có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu n
lim u a 0 , kí hiệu lim u a hay u a khi n . n n n n n
2. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN GV: T
a) Nếu lim u a và lim v b thì R n n Ầ N
limu v a b limu v ab n n n n ĐÌN H CƯ u a
limu .v . a b lim n
(nếu b 0 ). n n v b n – 0834
lim u a l
im u a b) Nếu n thì n . 3321 u 0, n n a 0 33
3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cấp số nhân vô hạn u có công bội q , với q 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. n
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: u1
S u u u u q 1 . 1 2 3 n 1 q
4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ
• Ta nói dãy số u có giới hạn là khi n , nếu u có thể lớn hơn một số dương bất kì, n n
kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limu hay u khi n . n n
• Dãy số u có giới hạn là khi n , nếu limu . n n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Kí hiệu: limu hay u khi n . n n
Nhận xét: lim u limu . n n
Ta thừa nhận các kết quả sau a) lim k
n với k nguyên dương; b) lim n
q nếu q 1 .
Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây: u
a) Nếu limu a và limv thì lim n 0 . n n vn u
b) Nếu limu a 0 , limv 0 và v 0, n
0 thì lim n . n n n vn
c) Nếu lim u và lim v a 0 thì limu .v . n n n n
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ 1. Phương pháp
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức và mẫu thức cho luỹ thửa cao nhất của k
n , với k là bậc cao nhất ở mẫu, rồi áp dụng các quy tắc tinh giới hạn.
Chú ý : Cho Pn, Qn lần lượt là các đa thức bậc ,
m k theo biến n : GV: T m m 1 R
Px a n a n
a n a a 0 m m 1 1 0 m Ầ N Qn k k 1
b n b n b n b b 0 k k 1 1 0 k ĐÌN H CƯ Pn m Pn m Khi đó a n a n lim m , viết tắt m
, ta có các trường hợp sau : Qn lim k b n Qn k b n k k – 0834 Pn
Nếu « bậc tử » « bậc mẫu ( m k ) thì lim 0. 3321 Qn 33 Pn am
Nếu « bậc tử » « bậc mẫu ( m k ) thì lim Qn . bk Pn khi a b 0
Nếu « bậc tử » « bậc mẫu ( m k
m k ) thì lim Qn . khi a b 0 m k
Để ý rằng nếu Pn, Qn có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể m k k 1
n tì có bậc là . Ví dụ n có bậc là 3 4 ,
n có bậc là 4 ,... n 2 3
Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng !
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3 3n 2 5n 1 Ví dụ 1. Tính lim . 3 2n 2 6n 4n 5
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Giải 5 1 3 3 3n 2 5n 3 1 n 3 n lim lim 3 2n 2 6n 4n 6 4 5 5 2 2 2 3 n n n 2 Ví dụ 2: Tính n 2n lim 3 n 3n 1 Lời giải 1 2 2 2 Ta có n 2n 0 lim lim n n 0. 3 n 3n 1 3 1 1 1 2 3 n n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. 7 2 Ví dụ 3: Tính n n lim 3 n 3n 1 Lời giải 7 2 7 n n n 4 lim n 3 3 n 3n 1 n Ví dụ 4: Cho dãy số n b u với 2 u
trong đó b là tham số thực. Để dãy số u có giới hạn hữu n n n 5n 3
hạn, giá trị của b bằng bào nhiêu GV: T Lời giải b R Ầ 2 2n b 2 N Ta có lim lim lim n u b n ĐÌN 5n 3 3 5 5 n H CƯ n b n Giải nhanh : 2 2 2
với mọi b . – 5n 3 5n 5 0834 2 4n n 2 3321
Ví dụ 5: Cho dãy số u với u
. Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a n n 2 an 5 33 bằng bao nhiêu Lời giải 1 2 2 4 2 4n n 2 4 2 lim lim lim n n u a a n 0 2. 2 an 5 5 a a 2 n 2 2 Giải nhanh : 4n n 2 4n 4 2 a 2. 2 2 an 5 an a 2 n 2n 3 2n 1 4n 5
Ví dụ 6: Tính giới hạn L lim . 4 n 3n 1 2 3n 7 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 1 5 2 n 2n 3 2n 14n 1 2 4 3 5 n n n 1.2.4 8 L lim lim . 4 n 3n 1 2 3n 7 3 1 7 1.3 3 1 3 3 4 2 n n n 2 n 2n 3 2n 1 4n 5 2 3 Giải nhanh: n .2n .4n 8 . 4 n 3n 1 2 3n 7 4 2 n .3n 3
Dạng 2. Dãy số chứa căn thức 1. Phương pháp
Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. A B
löôïng lieân hieäp laø: A B A B
löôïng lieân hieäp laø: A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B 3 3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø: A B A B 3 3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø: A B A B
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tính 2 2 lim n 7 n 5 Giải 2 2 2 2 n 7 n 5 2
lim n 7 n 5 lim lim 0 2 2 2 2 GV: T n 7 n 5 n 7 n 5 R Ầ N 2 ĐÌN
Ví dụ 2. Tính lim n n1n H CƯ Lời giải – . 2 2
n n 1 n n n 0
nhân lượng liên hợp : 0834 1 3321 n lim 1 1 1 2 1 lim lim n n n n 2 33
n n 1 n 1 1 2 1 1 2 n n Giải nhanh : n 1 n 1 2
n n 1 n . 2 2 2 n n 1 n n n Ví dụ 3. Tính 3 2 3 lim
n n n Lời giải 3 2 3 3 3
n n n n n 0
nhân lượng liên hợp : n
lim n n n 2 1 1 3 2 3 lim lim . 2 3 n n 2 2 3 2 3 2 3 3 n n n n 1 1 3 3 1 1 1 n n 2 2 Giải nhanh : n n 1 3 2 3
n n n . 2 3 2 3 6 3 3 2 3 2 3 2 3 3 n n n n n n
n n n n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Ví dụ 4. Tính lim n
n1 n Lời giải
n n 1 n n n n 0
nhân lượng liên hợp :
n n n n 1 1 lim 1 lim lim n 1 n 1 2 1 1 n
Giải nhanh : n n n n n 1 1 . n 1 n n n 2
Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa hàm mũ 1. Phương pháp u
Trong tính giới hạn lim n mà u ;v là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu cho n
a với a là cơ số v n n n
lớn nhất. Sau đó sử dụng công thức: lim n
q 0 với q 1.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng n n 1 3 2.5 Ví dụ 1: Tính lim n 1 2 5n Lời giải GV: T n n 1 n 1 3 2.5 2 .5 Giải nhanh : ~ 10 R n 1 n n Ầ 2 5 5 N ĐÌN n 3 H CƯ 10 n n 1 3 2.5 5 Cụ thể : lim lim 10. n 1 n n – 2 5 2 0834 2. 1 5 3321 n n 1 3 4.2 3 Ví dụ 2: Tính lim 33 3.2n 4n Lời giải n n 1 n 3 4.2 3 3n 3 Giải nhanh : ~ 0. 3.2n 4n 4n 4 n n n 3 1 1 8. 3. n n 1 3 4.2 3 4 2 4 0 Cụ thể : lim lim 0. 3.2n 4n n 1 1 3. 1 2 n 5n1 1 2 Ví dụ 3: Tính lim 5n2 3 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com n 5n 1 n 1 2 n 2 2 Ta có: lim lim 1 . 0. 5n 2 3 9 3 Cách 2: Mẹo giải nhanh n 5n 1 5n 1 2 n 2 1 . 0. 5n 2 3 3 n n 1 3 4.2 3 Ví dụ 4: Tính lim . n n 3.2 4 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận n n 3 2 3 4.2 n n1 4 3 4.2 3 4 4 Ta có: n (chia tử và mẫu cho 4 n ). n 3.2 n n 4 2 3. 1 4 n n 1 3 4.2 3 0 Suy ra lim 0. n n 3.2 4 1 Cách 2: Mẹo giải nhanh n n n 1 n 3 4.2 3 3 3 0. n n n 3.2 4 4 4 GV: T 2 an 1 1 R
Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc 0;20 sao cho lim 3 là một số Ầ 2 3 n 2n N ĐÌN nguyên. H CƯ Lời giải – 0834 1 2 a 2 an 1 lim lim n a 2 3321 2 3 n 3 Ta có an 1 1 1 2 lim 3 3 a. 2 n 3 n 2n 33 n 1 1 lim lim 0 2n 2 a 0;20, a Ta có a 1;6;1 3 . a 3
Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1. Phương pháp
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q 1.
Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un) u1
S u u ... u ... 1 2 n 1 q
Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com n a a a 1 2 3 a
X N,a a a ...a ... N ... ... 1 2 3 n 2 3 n 10 10 10 10
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng n1 1 1 1 1
Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1, , , ,..., ,... 2 4 8 2 Lời giải 1
Theo đề cho ta có: u 1, q . 1 2 u1 1 2 S . 1 q 1 3 1 2
Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a 0,212121... (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng phân số. Lời giải
Cách 1: Giải bằng tự luận Ta có: a 0,212121...
0,21 0,0021 0,000021 ... 1 1 1 21 ... 2 4 6 10 10 10 GV: T 1 1 1 1 1 Tổng S
... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có u , q . 1 R 2 4 6 2 2 Ầ 10 10 10 10 10 N ĐÌN 1 H CƯ u 2 1 1 10 1 7 S . Do đó A 21. . 1 q 1 99 99 33 1 – 2 0834 10 3321
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính 7 33
Nhập vào màn hình 0,
21 và ấn phím ta được kết quả . 33 Ví dụ 3: Tổng S 1 0,9 0,9 0,9 ... 0,9
... có kết quả bằng bao nhiêu? n 2 3 n1 Hướng dẫn giải
1 0,9 0,92 0,93 ... 0,9n1 S ...
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng có u 1, q 0,9. 1 u1 1 S 10. 1 q 1 0,9
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Ví dụ 4: Cho 2 3 S 1 q q q ..., q 1 T 1 Q 2 Q 3 Q ..., Q 1 E 1 qQ 2 2 q Q 3 3 q Q ...
Biểu thị biểu thức E theo S,T Hướng dẫn giải 2 3 S 1 q q
q ..., q 1 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, có u 1, q q. 1 u 1 S 1 Khi đó: 1 S q . (1) 1 q 1 q S 1 T 1 Tương tự: T Q . (2) 1 Q T 2 2 3 3 E 1 q.Q q .Q
q .Q ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng công bội qQ (vì qQ 1 , và u 1). 1 u E 1 (3) 1 qQ u ST Thay (1), (2) vào (3): 1 E E . T 1 S 1 S T 1 1 . T S 1 GV: T
Ví dụ 5: Tìm số hạng U của cấp số nhân lùi vô hạn, biết 1 S 4; q . 2 R Ầ Hướng dẫn giải N ĐÌN u u Ta có: 1 S q 1 1 4 u 2. H CƯ 1 1 q 1 1 2 – 0834
Ví dụ 6: Tìm công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết S 6 ; U 3 . 1 3321 Hướng dẫn giải 33 u 3 1 Ta có: 1 S q 1 6 q . 1 q 1 q 2
Dạng 5: Phương pháp sai phân và quy nạp tính giới hạn 1. Phương pháp
1) Dạng tồng các phân số. 1 1 1 Ví Dụ: A , n 2, n N 2.3 3.4 n(n 1) 1 1 1 Ta phân tích : .(1) k(k 1) k k 1
Để tính A ta thay k từ 2,3,, n vào biểu thức (1) ta tính dễ dàng
2) Dạng tích các phân số:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 2 2 1 3 1 Ví dụ: B , n 2, n N 2 2 2 3 2 k 1 k 1 k Ta phân tích: : .(2) 2 k k k 1
Để tính B ta thay k từ 2,3,, n vào biểu thức (2) ta tính dễ dàng 3) Dang đa thức:
a) Mỗi đơn thức ở dạng tích:
Ví dụ: C 1.2.3 2.3.4 9 9.100.101 Ta tách:
4k(k 1)(k 2) : 4 k(k 1)(k 2)[(k 3) (k 1)] , k 1, k N
((k 1)k(k 1)(k 2) k(k 1)(k 2)(k 3)) : 4 (3)
Để tính C ta thay k từ : 1,2,3,…, 99 vào biểu thức (3) ta tính được dễ dàng
Ví dụ: D 3.5.7 5.7.9 (2n 1)(2n 3)(2n 5), n 1, n N
Ta tách: (2k 1)(2k 3)(2k 5) (2k 1)(2k 3)(2k 5)[(2k 7) (2k 1)] : 8
((2k 1)(2k 3)(2k 5)(2k 7) (2k 1)(2k 1)(2k 3) (2k 5)) : 8 (4)
Đề tính D ta thay k từ : 1, 2,3,, n vào biều thức (4) ta tính dễ dàng
4 ) Đơn thức dạng lũy thừa Ví Dụ: Tính 3 3 3
E 1 2 n ,
n N.n 1
Ta dùng hẳng đẳng thức : 3 3 2
(x 1) x 3x 3x 1. GV: T 3 3 2
x 1 2 1 3.1 3.11 R Ầ 3 3 2 N x 2 3 2 3 2 3 2 1 ĐÌN … H CƯ 3 3 2 x n
(n 1) n 3 n 3 n 1 – 0834 Cộng vế theo vế 3 3 2 2 2
(n 1) 1 3 1 2 n
3(1 2 3 n) n 3321 3n(n 1) 33 3 2 n 3n 3n 3E n 2
3 n(n 1) 3 2
2n 3n n 3 2
3E n 3n 3n n 2 2
n(n 1)(2n 1) E 6
Ngoài ra ta có thể dự đoán được số hạng tổng quát, có thể kết hợp quy nạp để khẳng đinh.
Có thể ùng vòng lặp MTCT để giải quyết các bài toán này.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 1 1 1 Ví dụ 1: Cho u ... . Tính limu n 1.2 2.3 nn n 1 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 1 1 Ta luôn có: áp dụng vào u : k k n 1 k k 1 1 1 1 1 u ... n 1.2 2.3 3.4 nn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1 1 Do đó: lim u lim 1 1. n n 1 1 1 1 1 Ví dụ 2: Cho u ... . Tính lim u n 3.5 5.7 7.9 2n n 1 2n 1 Lời giải Ta luôn có: 1 1 1 1 . 2k 1 2k 1 2 2k 1 2k 1 1 1 1 1 u ... n 3.5 5.7 7.9 2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 5 2 5 7 2 7 9 2 2n 1 2n 1 1 1 1 . 2 3 2n 1 GV: T 1 1 1 1 Do đó lim u lim . R n Ầ 2 3 2n 1 6 N ĐÌN 1 2 3 ... n Ví dụ 3: lim bằng bao nhiêu? H CƯ 2 2n – Lời giải 0834 nn 1 nn 1 1 2 3 ... n 1 3321
Vì 1 2 3 ... n nên: lim lim . 2 2 2 2n 4n 4 33 1 1 1
Ví dụ 4: Tính giới hạn: lim 1 1 ... 1 . 2 2 2 2 3 n Lời giải 1 1 1 2 2 2 1 3 2 1 n 1 Ta có: 1 1 ... 1 . ... 2 2 2 2 2 2 2 3 n 2 3 n 2 1 .2 1 .3 1 .3 1 ...n 1 n 1 n 1 . 2 2 2 2 .3 ...n 2n 1 1 1 1 Vậy lim 1 1 ... 1 . 2 2 2 2 3 n 2 U 2 1
Ví dụ 5: Tìm giới hạn của dãy: . U 1 n * U ; n n 1 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
Cách 1: Giải bằng tự luận
Ta chứng minh dãy U là bị chặn: 1 U 2. n n Dãy U là dãy giảm. n U 1 Thật vậy ta xét U U n
U 2U U 1 U 1 (đúng). k1 k k 2 k k k
Vậy dãy U có giới hạn. Đặt limU a. n n U 1 a 1 Ta có: limU n lim hay a a 1. n1 2 2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Khai báo: 1 X {biến đếm}; 2 A {giá trị u } 1 A 1
Ghi vào màn hình: X X 1: A 2
Ấn CALC và lặp lại phím , quan sát ta thấy dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1. Vậy limU 1. n U 2
Ví dụ 6: Tìm giới hạn của dãy: 1 . * U 2 U ; n n 1 n Lời giải GV: T
Cách 1: Giải bằng tự luận R Ầ N
Ta sẽ chứng minh dãy bị chặn: 2 U 2 (bằng phương pháp quy nạp). n ĐÌN U 3 (đúng). H CƯ 1 Giả sử U 2, k 1. – k 0834 Ta có: U
2 U 2 2 2 k 1 . k 1 k 3321 Vậy * U 2 n . 33 k Tương tự: * U 2 n
. Ta chứng minh dãy U là dãy tăng (bằng phương pháp quy nạp). n n
+ U 2; U 2 2 U U . 1 2 1 2 + Giả sử U U k 2 . Ta xét U U ; k k * 1 k k k1 U 2 U 2 U 2 U 2 U U 2 0 k m k k k k
1 U 2 (luôn đúng vì 2 U 2, k ) k * k
Vậy dãy U tăng; bị chặn trên nên có giới hạn, gọi a limU limU . n n n1
Ta có: lim U 2 LimU a 2 a 2 a 2 a n n a 2 (nhaän) 2 a a 2 0 a 1 (loaïi)
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Khai báo: 1 X {biến đếm}; 2 A {giá trị u } 1
Ghi vào màn hình: X X 1: A 2 A
Ấn CALC và lặp lại phím , quan sát ta thấy dãy tăng và bị chặn dưới bởi 2. Vậy limU 2. n U 3 1
Ví dụ 7: Tìm giới hạn của dãy: 1 3 . * U U ; n n 1 n 2 U n Lời giải
Ta có: U 0, n* . n
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: 1 3 * U U 3, n . n 1 n 2 U n
Vậy U là dãy bị chặn dưới. n 2 1 3 1 U Vì U 3 2 U 3 U n U U n n n1 n 2 U 2 n U n n 1 U U * U , n . n n n 2
Dãy đã cho là giảm. Vậy dãy có giới hạn. Đặt limU limU a. n 1 n GV: T 1 3 Ta có: R lim U lim U n n Ầ 2 U n N ĐÌN 1 3 2 H CƯ a a a 3 a 3. 2 a – 0834
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 5.1. Tìm các giới hạn sau: 3321 2 n n 1 2 33 a) lim ; b) lim . n 2n n n 2 n 2n 1 Lời giải 1 1 1 1 1 lim 1 2 2 2 n n 1 n n n n n 1 a) lim lim . 2 n 2n 1 n 1 1 2 2 lim 2 2 2 n n n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 2
n 2n n 2n 2 b) lim v lim n n . n n n 2 2 1 lim lim lim 1 n 2 n 2 n n n 2 n 2 n 1 1 1 1 n n
Bài 5.2. Cho hai dãy số không âm u và v với limu 2 và lim v 3 . Tìm các giới hạn sau: n n n n x x 2 u a) lim n ;
b) lim u 2v . n n
x v u x n n Lời giải u u n 2 2 2 lim 2 a) lim n x 4 .
x v u lim v lim u 3 2 n n n n x x
b) lim u 2v lim u 2 lim v 2 23 8 lim u 2v 8 . n n n n n n x x x x
Bài 5.3. Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi: 2 n 1 a) u ; b) 2
u 2n 1 n . n 2n 1 n Lời giải 1 1 1 lim 1 2 2 2 n 1 x a) n n lim u lim lim . n GV: T x
x 2n 1 x 2 1 2 1 lim 2 2 n n x n n R Ầ N 1 2 1 ĐÌN Ta có: lim 1 1, lim 0 suy ra lim u . 2 2 n x x n n n x H CƯ 2 2 2n 1 n 2 b) lim v lim
2n 1 n lim n n n n 2 – 2n 1 n 0834 1 2 1 3321 2 n 1 lim lim n n n 33 2 1 1 2 1 1 2 n 2 4 2 4 n n n n n n
Bài 5.4. Viết các số thập phân vô hạn phân số:
a) 1,12 1,121212. ;
b) 3,102 3,102102102 Lời giải
a) 1,121212 1 0,12 0,0012 0, 000012 2 4 6 2 4 6
112 10 12 10 12 10 12
10 12 10 12 10
là tổng cấp số nhân lùi vô hạn vởi 2 2
u 12 10 , q 10 nên 1 2 u 12 10 37 1 1,121212 1 1 2 1 q 110 33
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
b) 3,102102102 3 0,102 0, 000102 0, 000000102 3 6 9 3 102 10 102 10 102 10 3 6 9 102 10 102 10
102 10 là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với 3 3
u 102 10 , q 10 nên 1 3 u 102 10 1033 3, 102 1 3 3 . 3 1 q 110 333
Bài 5.5. Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg . Sau ngày đầu, trước mỗi
lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi
uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài. Lời giải
Bài 5.6. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AB h và góc B bằng H.5 .3 . Từ A kẻ
AA BC , từ A kẻ A A AC , sau đó lại kẻ A A BC . Tiếp tục quá trình trên, ta được đường 1 1 1 2 2 3
gấp khúc vô hạn AA A A . Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và . 1 2 3 Lời giải GV: T R Ầ N ĐÌN H CƯ – 0834
Độ dài đường gấp khúc tạo thành scấp số nhân với số hạng tổng quát là: 1 u sin h (sin )n n 3321 33
Độ dài đường gấp khúc: AA A A 1 2 3 sin h
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u sin ,
h q sin nên AA A A . 1 1 2 3 1 sin D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Giá trị của giới hạn 3 lim là: 2 4n 2n 1 A. 3 . B. . C. 0. D. 1. 4 Lời giải Chọn C 3 2 Ta có 3 0 lim lim n 0. 2 4n 2n 1 2 1 4 4 2 n n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. 3 Câu 2: 3n 2n 1
Giá trị của giới hạn lim là: 4 4n 2n 1 A. . B. 0. C. 2 . D. 3 . 7 4 Lời giải Chọn B 3 2 1 3 2 4 Ta có 3n 2n 1 0 lim lim n n n 0. 4 4n 2n 1 2 1 4 4 3 4 n n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. Câu 3: v
Cho hai dãy số u và v có 1 u và 2 v
. Khi đó lim n có giá trị bằng: n n n n 1 n n 2 un A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn A 1 1 Ta có v n 1 1 lim n lim lim n 1. u n 2 2 1 n 1 n GV: T Giải nhanh : n 1 n 1. R n 2 n Ầ N ĐÌN
Câu 4: Cho dãy số an u với 4 u
trong đó a là tham số thực. Để dãy số u có giới hạn n n n 5n 3 H CƯ
bằng 2 , giá trị của a là: – 0834 A. a 10. B. a 8. C. a 6. D. a 4. 3321 Lời giải 33 Chọn A 4 a Ta có an 4 a lim lim lim n u . Khi đó n 5n 3 3 5 5 n a lim u 2 2 a 10 n 5 Giải nhanh : an 4 an a 2 a 10. 5n 3 5n 5 2 Câu 5: n n 5
Tính giới hạn L lim . 2 2n 1 A. 3 L . B. 1 L . C. L 2. D. L 1. 2 2 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn B 1 5 2 1 2 Ta có n n 5 1 lim lim n n L 2 2n 1 1 2 2 2 n 2 2 Giải nhanh: n n 5 n 1 . 2 2 2n 1 2n 2 2 3 Câu 6: n 3n
Tính giới hạn L lim . 3 2n 5n 2 A. 3 L . B. 1 L . C. 1 L . D. L 0. 2 5 2 Lời giải Chọn A 1 2 3 3 n 3n 3 lim lim n L 3 2n 5n 2 5 2 2 2 2 3 n n 2 3 3 Giải nhanh: n 3n 3n 3 . 3 3 2n 5n 2 2n 2 2 4 Câu 7: 5n 3an
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L lim 1a 0. 4 n 2n 1
A. a 0;a 1. B. 0 a 1.
C. a 0; a 1. D. 0 a 1. GV: T Lời giải R Ầ N Chọn C ĐÌN 5 H CƯ 2 4 3a 2 5n 3an 3a a 0 lim lim n L 0 . 4
1 a n 2n 1 2 1 1 a a 1 – 1a 3 4 0834 n n 3 2 3321
2nn 3n 1
Câu 8: Tính giới hạn L lim . 2n 1 4 n 7 33 A. 3 L . B. L 1. C. L 3. D. L . 2 Lời giải Chọn A Ta có 2 1 2 1 n n 2n n 3n 3 2 3 2 1 . 3 1 3 2 2 2 2 1 n n n n 1.3 3 L lim lim lim . 2n 1 4 n 7 1 7 1 7 4 2.1 2 n2 .n 1 2 1 4 4 n n n n 3
2n n 2 3n 3 2 1 Giải nhanh: n .3n 3 . 2n 1 4 n 7 4 2 . n n 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 3 Câu 9: n 2n
Kết quả của giới hạn lim là: 2 13n A. 1 . B. . C. . D. 2 . 3 3 Lời giải Chọn C 2 3 2 n 1 3 2 1 2 n 2n n lim lim lim . n n . Ta có 2 1 3n 1 1 2 n 3 3 2 2 n n l im n 2 2 3 1 2 n 2 1 n n 2 1 im lim . n n 2 l im 0 13n 1 1 3 3 2 3 n 2 n 3 3 Giải nhanh : n 2n n 1 n . 2 2 13n 3n 3 3 Câu 10: 2n 3n
Kết quả của giới hạn lim là: 2 4n 2n 1 A. 3 . B. . C. 0 D. 5. 4 7 Lời giải GV: T Chọn B R 2 Ầ 3 2 n 3 N 3 2 3 2 2n 3n ĐÌN n lim lim lim . n n . Ta có 2 4n 2n 1 2 1 2 1 2 n 4 4 H CƯ 2 2 n n n n – l im n 0834 2 2 3 3 2 2n 3 3 n n 2 3 im lim . n . 3321 n 2 l im 0 4n 2n 1 2 1 2 1 4 4 2 4 n n 2 33 n n 3 3
Giải nhanh : 2n 3n 3n 3 .n . 2 2 4n 2n 1 4n 4 4 Câu 11: 3n n
Kết quả của giới hạn lim là: 4n 5 A. 0. B. . C. . D. 3 . 4 Lời giải Chọn C 3 4 3 n 1 4 3 1 3 3n n n 3 lim lim lim . n n . Ta có 4n 5 5 5 n4 4 n n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 3 l imn 3 4 1 3 3 3 1 n n 3 n 3 1 lim l lim n . . l im n 0 4n 5 5 4 5 4 4 n n 4 4 Giải nhanh : 3n n n 1 3 .n . 4n 5 4n 4
Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 3 2 3 2 4 A. 3 2n 2n 3 2n 3n 2n 3n lim . B. lim . C. lim . D. lim . 2 2n 1 3 2n 4 2 2n 1 4 2 2n n Lời giải Chọn B
. Theo dấu hiệu ở đã nêu ở phần Chú ý trên thì ta chọn giới hạn nào rơi vào trường hợp
« bậc tử » « bậc mẫu » ! 3 3 2n lim
: « bậc tử » « bậc mẫu » và a b 2.2 4 0. 2 2n 1 m k 2 2n 3 lim
0 : « bậc tử » « bậc mẫu ». 3 2n 4 3 2n 3n lim
: « bậc tử » « bậc mẫu » và a b n k 3 . 2 0. 2 2n 1 2 4 2n 3n 3 3 a m GV: T lim
: « bậc tử » « bậc mẫu » và 3 3 . 4 2 2n n 2 2 b 2 2 k R Ầ N
Câu 13: Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? ĐÌN 3 2 4 2 A. 1 2n n 2n 1 2n 3n n 2n . B. u . C. u . D. u . H CƯ 2 5n 5n n 3 n 2n n 2 3 n 2n n 5n 1 – Lời giải 0834 Chọn C 3321
Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » « bậc mẫu » và a b 0. m k 33 2 4 2n 3n u
: « bậc tử » « bậc mẫu » và a b 3.2 6 0 lim u . n 2 3 n 2n m k n khi a 0 Chú ý : (i) lim m m 1 n a n a n
a n a . m n 1 1 0 khi a 0 n
(ii) Giả sử q max q : i 1;2;m thì i a khi q 1 0 lim . n n n
a q a q a q a
khi a 0, q 1. m m 1 1 0
khi a 0, q1
Ta dùng « dấu hiệu nhanh » này để đưa ra kết quả nhanh chóng cho các bài sau.
Câu 14: Tính giới hạn L 2
lim 3n 5n 3 . A. L 3. B. L . C. L 5. D. L .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn D 2 lim n . L lim 5 3 2
3n 5n 2 3 lim n 2 vì 5 3 . 2 n n l im 2 2 0 2 n n Giải nhanh : 2 2
3n 5n 3 3n .
Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng 1 0;10 để L n 2 a 3 lim 5 3 2 n . A. 17. B. 3. C. 5. D. 10. Lời giải Chọn A 5 Ta có lim 5n 3 2 a 2 3 n 3 lim n 3 2 a 2 2 n 5 a 2 lim 3 2 a 2 2
a 2 0 2 n a 2
Câu 16: Tính giới hạn 4 2
lim 3n 4n n 1 . A. L 7. B. L . C. L 3. D. L . GV: T Lời giải R Ầ N Chọn D ĐÌN H CƯ Ta có 4 l imn – 4 1 1 4 2 4 0834 lim3n 4n n 1 limn 3 vì 4 1 1 . 2 3 4 n n n l im 3 3 0 2 3 4 n n n 3321 Giải nhanh : 4 2 4
3n 4n n 1 3n . 33
Câu 17: Giá trị của giới hạn lim n 5 n 1 bằng: A. 0. B. 1. C. 3. D. 5. Lời giải Chọn A n 5 n 1
n n 0
nhân lượng liên hợp :
n n 4 lim 5 1 lim 0
n 5 n 1
Câu 18: Giá trị của giới hạn 2 2 lim
n 1 3n 2 là: A. 2. B. 0. C. . D. . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn C lim 1 2 2 2
n 1 3n 2 limn 1 3 vì 2 2 n n 1 2 lim n , lim 1 3 1 3 0. 2 2 n n Giải nhanh : 2 2 2 2
n 1 3n 2
n 3n 1 3n .
Câu 19: Giá trị của giới hạn 2 2 lim
n 2n n 2n là: A. 1. B. 2. C. 4. D. . Lời giải Chọn B 2 2 2 2
n 2n n 2n n n 0
nhân lượng liên hợp : n lim 4 4 2 2
n 2n n 2n lim lim 2. 2 2
n 2n n 2n 2 2 1 1 n n Giải nhanh : 4n 4n 2 2
n 2n n 2n 2. 2 2 2 2
n 2n n 2n n n
Câu 20: Có bao nhiêu giá trị của a để 2 2 2 lim
n a n n a 2n 1 0. GV: T A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. R Lời giải Ầ N ĐÌN Chọn B H CƯ 2 2 2
n a n n a 2 2
2 n 1 n n 0
nhân lượng liên hợp: – 2 0834 a a 2 n 1 Ta có lim 2 2 2
n a n n a 2n 1 lim 2 2
n n n 1 3321 1 2 33 a a 2 2 a a 2 a 1 n lim 0 . 1 1 2 a 2 1 1 2 n n
Câu 21: Giá trị của giới hạn 2 2 lim
2n n 1 2n 3n 2 là: A. 0. B. 2 . C. . D. . 2 Lời giải Chọn B 2 2 2 2
2n n 1 2n 3n 2 2n 2n 0
nhân lượng liên hợp :
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com n lim 2 1 2 2
2n n 1 2n 3n 2 lim 2 2
2n n 1 2n 3n 2 1 2 1 lim n . 1 1 3 2 2 2 2 2 2 n n n n Giải nhanh : 2n 1 2n 1 2 2
2n n 1 2n 3n 2 . 2 2 2 2
2n n 1 2n 3n 2 2n 2n 2
Câu 22: Giá trị của giới hạn 2 2 lim
n 2n 1 2n n là: A. 1. B. 1 2. C. . D. . Lời giải Chọn C Giải nhanh : 2 2 2 2
n 2n 1 2n n
n 2n 1 2n . Cụ thể : lim 2 1 1 2 2
n 2n 1 2n n lim . n 1 2 vì 2 n n n 2 1 1 lim n , lim 1 2 1 2 0 2 n n n
Câu 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa 2 2 lim
n 8n n a 0 . GV: T A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số. R Ầ N Lời giải ĐÌN H CƯ Chọn B Nếu 2 2 2
n 8n n a n n 0
nhân lượng liên hợp : – 0834 2 2 2a 8 n 2a 8 2 2 3321
Ta có lim n 8n n a lim lim 2
n n n 1 1 1 33 n 2
a 4 0 a 2 .
Câu 24: Giá trị của giới hạn 2 lim
n 2n 3 n là: A. 1. B. 0. C. 1. D. . Lời giải Chọn A 2 2
n 2n 3 n n n 0
nhân lượng liên hợp : 3 n lim 2 2 3 2 2 3 lim lim n n n n 1 2
n 2n 3 n 2 3 1 1 2 n n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Giải nhanh : 2n 3 2n 2
n 2n 3 n 1. 2 2
n 2n 3 n n n
Câu 25: Cho dãy số u với 2 2
u n an 5 n 1 , trong đó a là tham số thực. Tìm a để n n lim u 1. n A. 3. B. 2. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn C 2 2 2 2
n an 5 n 1 n n 0
nhân lượng liên hợp : an 1 lim u lim
n an n n 4 2 2 5 1 lim 2 2
n an 5 n 1 4 a a lim n a 2. a 5 1 2 1 1 2 2 n n n Giải nhanh : an 4 an a 2 2
1 n an 5 n 1 a 2. 2 2 2 2 2 n an 5 n 1 n n
Câu 26: Giá trị của giới hạn lim3 3 3 3
n 1 n 2 bằng: A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. GV: T Lời giải R Ầ Chọn C N ĐÌN 3 3 3 3 3 3 3 3
n 1 n 2 n n 0
nhân lượng liên hợp : H CƯ 1 3 3 3 3 – lim n 1 n 2 lim 0. 2 0834 3 3 n 3 3 3 3 3
1 n 1. n 2 3 n 2 3321
Câu 27: Giá trị của giới hạn 3 3 2 lim
n 2n n bằng: 33 A. 1. B. 2 . C. 0. D. 1. 3 3 Lời giải Chọn B 3 3 2 3 3
n 2n n n n 0
nhân lượng liên hợp : n
lim n 2n n 2 2 2 2 3 3 2 lim lim . 3 2 n 2n 2 2 3 3 2 2 3 3 .
n n 2n n 2 2 3 3 1 1 1 n n 2 2 Giải nhanh : 2n 2n 2 3 3 2
n 2n n . 3 2 2 3 6 3 3 2 3 3 2 2 3 3 n . 2 . 2 n n n n n n n n n
Câu 28: Giá trị của giới hạn lim
n n 1 n 1 là:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com A. 1. B. . C. 0. D. 1. Lời giải Chọn D
n n 1 n
1 n n n 0
nhân lượng liên hợp :
n n n 2 n 2 lim 1 1 lim lim 1
n 1 n 1 1 1 1 1 n n Giải nhanh : n 2 n 2 n n n 1 1 1.
n 1 n 1 n n Câu 29:
Giá trị của giới hạn n 2 2 lim
n 1 n 3 bằng: A. 1. B. 2. C. 4. D. . Lời giải Chọn B n 2 2
n n n 2 2 1 3
n n 0
nhân lượng liên hợp : n lim n 4 4 2 2
n 1 n 3 lim lim 2 2 2
n 1 n 3 1 3 1 1 2 2 n n 4n 4n 2 2 GV: T
Giải nhanh : n n 1 n 3 2. 2 2 2 2
n 1 n 3 n n R Ầ 2 2 N
Câu 30: Giá trị của giới hạn lim n n n 1 n n6 là: ĐÌN H CƯ A. 7 1. B. 3. C. 7 . D. . 2 – Lời giải 0834 3321 Chọn C 2 2 2 2 33
n n n 1 n n6 n n n 0
nhân lượng liên hợp : n lim n 7 2 2
n n 1 n n 6 lim 2 2
n n 1 n n 6 7 7 lim . 1 1 1 6 2 1 1 2 2 n n n n Giải nhanh : n 7n 7n 7 2 2
n n 1 n n 6 . 2 2 2 2 2 n n 1 n n 6 n n
Câu 31: Giá trị của giới hạn 1 lim là: 2
n 2 n 4 A. 1. B. 0. C. . D. . Lời giải Chọn C
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 2 2
n 2 n 4 n n 0
nhân lượng liên hợp : 1 1 lim lim 1 2 4 2 2 n 2 n 4 lim . n 1 1 2 2 2 2 2 2 4 n n n n vì 1 2 4 lim n , lim 1 1 1 0 2 2 2 n n Giải nhanh : 1 1 1 2 2 n 2 n 4 2 2 n n n . 2 2 2 n 2 n 4 2
Câu 32: Giá trị của giới hạn 9n n n 2 lim là: 3n 2 A. 1. B. 0. C. 3. D. . Lời giải Chọn A 2 2
9n n n 2 9n 3n 0 giải nhanh : 2 2
9n n n 2 9n 1 3n 2 3n 1 1 2 9 2 2 Cụ thể :
9n n n 2 n n n 9 lim lim 1. 3n 2 2 3 GV: T 3 n R Ầ 1 N
Câu 33: Giá trị của giới hạn lim là: 3 3 ĐÌN n 1 n H CƯ A. 2. B. 0. C. . D. . – Lời giải 0834 Chọn B 3321 3 3 3 3
n 1 n n n 0
nhân lượng liên hợp : 33 lim 1 3 3
n 1 n lim 0 3 n 2 3 3 3 2
1 n n 1 n n2 Câu 34: 2 5
Kết quả của giới hạn lim bằng: 3n 2.5n A. 25 . B. 5 . C. 1. D. 5 . 2 2 2 Lời giải Chọn A n 1 2 25 n2 Cụ thể : 2 5 5 25 lim lim . 3n 2.5n n 3 2 2 5
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 26
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com n2 n2 Giải nhanh : 2 5 5 25 3n 2.5n 2.5n 2 n
Câu 35: Kết quả của giới hạn 3 1 lim bằng: 2n 2.3n 1 A. 1. B. 1 . C. 1 . D. 3 . 2 2 2 Lời giải Chọn B n n Giải nhanh : 3 1 3 1 2n 2.3n 1 2.3n 2 n 1 1 n Cụ thể : 3 1 3 1 lim lim . 2n 2.3n 1 n n 2 1 2 2 3 3 n 5 n 1 2 2 1 Câu 36: 2n 3 a 5 Biết rằng lim
c với a, b, c .
Tính giá trị của biểu thức n n 1 2 n 1 5.2 5 3 b 2 2 2
S a b c . A. S 26. B. S 30. C. S 21. D. S 31. Lời giải GV: T Chọn B n n R 2 1 n 3 Ầ n 1 1 2. 2 2 N 5 2 1 2 2n 3 5 5 n ĐÌN lim lim n n n 5.2n 5 1 2 n 1 1 3 2 1 1 5. 5 . 2 H CƯ 5 5 n – 1 5 0834 2 2. 5 5 3321 Giải nhanh : 33 n n n a 1 5 1 2 2 1 n 5 2 3 2 2n 1 5 2 2 b 5. n n 5.2n 5 1 2 n 1 3 5 1 2 n 5 5 c 2 Vậy 2 2 2
S 1 5 2 30. n n 2n Câu 37: 3 2
Kết quả của giới hạn lim là: n n 2n2 3 3 2 A. 1. B. 1. C. . D. 1 . 3 4 Lời giải Chọn D n n 2n n n n n Giải nhanh: 3 2 3 4 4 1 n n 2n2 3 3 2 3 n
3n 4.4n 4.4n 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 27
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com n n 3 1 n n 2n Cụ thể : 3 2 4 4 1 lim lim . n n 2n2 3 3 2 n n 3 4 3. 3. 4 4 4
Câu 38: Kết quả của giới hạn n
lim 3n 5 là: A. 3. B. 5. C. . D. . Lời giải Chọn D Giải nhanh : Vì n 3 5 nên 3n 5 3n . l im3n n Cụ thể : n n n 5 n lim 3 5 lim 3 1 vì . 5 3 l im1 1 0 3
Câu 39: Kết quả của giới hạn 4 n 1
lim 3 .2 5.3n là: A. 2 . B. 1. C. . D. 1. 3 3 Lời giải Chọn C Giải nhanh : 4 n 1 3 .2 5.3n 5
.3n 5 0 . GV: T l im3n n R n n n 2 Ầ Cụ thể : lim 4 1 3 .2 5.3 lim3 1 62.
5 vì n 2 . N 3 l im 162 .
5 5 0 ĐÌN 3 H CƯ n n 1 Câu 40: 3 4.2 3 là:
Kết quả của giới hạn lim – n 3.2n 4 0834 A. 0. B. 1. C. . D. . 3321 Lời giải 33 Chọn A 1 n n n n Giải nhanh : 3 4.2 3 3 3 0. 3.2 4n 4n n 4 n n 1 1 n n n n 1 Cụ thể : 3 4.2 3 8.3 3 3 4.2 3 0 24. 0 lim 0. 3.2n 4n 4n 4 3.2n 4n n 1 Câu 41: 2 3n 10
Kết quả của giới hạn lim là: 2 3n n 2 A. . B. 2 . C. 3 . D. . 3 2 Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 28
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com n n nn 1 n 2 0 3 n Ta có n n k n 3 2
2 C 2 C . Khi đó: n n k 6 6 n 0 2 2 n 2n n l im n 1 2 2 3. 10. n n 1 2 3n 10 2n 2n 2 n lim lim . vì n 1 . 2 2 2 3. 10. 3n n 2 n 1 2 n 3 2 2 2 2 n n lim 0 1 2 3 3 2 n n n n 1 Câu 42: 4 2 1
Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc 0;2018 để 4 lim .
3n 4na 1024 A. 2007. B. 2008. C. 2017. D. 2016. Lời giải Chọn B n 1 1 2. n n 1 4 2 2 1 1 1 4 lim lim . 4 3n 4n a n a a 3 4 2a a 2 2 4 4 n n 1 n Giải nhanh: 4 2 4 1 1 4 a 10 4
2 1024 2 a 10. n n2 3 4 4na 2a 1024 GV: T Mà a 0;20
18 và a nên a 10;201 7
có 2008 giá trị a. R 2 n Ầ n 2n 1 N
Câu 43: Kết quả của giới hạn lim bằng: n ĐÌN 3n 1 3 H CƯ A. 2 . B. 1. C. 1. D. 1 . 3 3 3 – 0834 Lời giải 3321 Chọn C 33 2 n n n 2n 2 1 n 2n 1 Ta có lim lim lim . Ta có 3n 1 3n 3n 1 3n 2 1 2 n 2n n 1 l im lim 3n 1 1 2 3 n n 2n 1 1 3 lim . n 3n1 3n 3 n n n 1 1 1 0 0 lim 0 3n 3 3n n 3n Câu 44: 1 cos 3n
Kết quả của giới hạn lim bằng: n 1 A. 3 . B. 3. C. 5. D. 1. 2 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 29
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn B n n 3n 1 cos 3n 3n 1 cos 3n lim lim Ta có : . n 1 n 1 n 3n 3 l im 3 n 1 1 n 3n 1 cos 3n lim 3. n n 1 cos 3n 1 1 cos 3n n 1 0 0 lim 0 n 1 n 1 n 1
Câu 45: Kết quả của giới hạn lim 2.3n n 2 là: A. 0. B. 2. C. 3. D. . Lời giải Chọn D n Ta có n n n 1
lim 2.3 n 2 lim 3 . 2 2. . Vì 3n 3 lim 3n l im 3n n n n 2 n 0 0 lim 0 n , n 2 3 C nn n n 1 1 n 1 3 n lim 2 2. 2 0 3n 3 2 n 1 GV: T lim 0 3 R Ầ
do đó lim 2.3n n 2 . N ĐÌN
Câu 46: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2 , tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số H CƯ
nhân bằng 9 . Số hạng đầu u của cấp số nhân đó là: 1 – 4 0834 A. 9 u 3. B. u 4. C. u . D. u 5. 1 1 1 1 3321 2 33 Lời giải Chọn A
Gọi q là công bội của cấp số nhân, ta có : u 1 1 2 u 2 1q q 1 1 q 2 . 3 1 q 9 2 9 3 1 q 1 S u . u 2 1 3 4 1 3 1 1 q 4 2 1 1 1
Câu 47: Tính tổng S 9 3 1 3 3 9 3n A. 27 S . B. S 14. C. S 16. D. S 15. 2 Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 30
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 27
S 9 3 1 9 1 9 . n 3 2 4 n 1 3 9 3 3 3 3 3 1
2 1 1 CSN lv : h u q 3 1 1, 3 1 1 1 1 Câu 48:
Tính tổng S 2 1 . 2 4 8 2n A. S 2 1. B. S 2. C. S 2 2. D. 1 S . 2 Lời giải Chọn C Ta có 1 1 1 1 1
S 2 1 2 2 2. 2 4 8 2n 1
1 1 CSN lv : h u 1 , q 2 1 2 2 4 2n
Câu 49: Tính tổng S 1 . 3 9 3n A. S 3. B. S 4. C. S 5. D. S 6. GV: T Lời giải Chọn A R Ầ N ĐÌN Ta có 2 n n H CƯ 2 4 2 2 2 2 1 S 1 1 3. 3 9 3n 3 3 3 2
1 – 2 3 CSN lvh: u 1, q 0834 1 3 n 3321 1 1 1 1 Câu 50: 1
Tổng của cấp số nhân vô hạn , , ,..., ,... bằng: n 1 2 6 18 2.3 33 A. 3 . B. 8. C. 2 . D. 3. 4 3 3 8 Lời giải Chon D . Ta có : n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
S 1 . n 1 2 n 1 2 6 18 2.3 2 3 3 3
2 1 8 1 1 CSN l : vh u q 3 1 1, 3 1 1 1 1 1 1 Câu 51:
Tính tổng S ... ... . 2 3 4 9 2n 3n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 31
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 1 . 3 4 2 Lời giải Chọn D Ta có 1 1 1 1 1 1 S ... ... 2 3 4 9 2n 3n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 . 2 4 2n
3 9 3n 1 1
2 2 1 1 1 1 CSN lv : h 2 3 1 u q CSN l : vh u q 1 2 3 2 n Câu 52: 1 a a ... a
Giá trị của giới hạn lim
a 1, b 1 bằng: 2
1 b b ... n b A. b a 0. B. 1 . C. 1 . D. Không tồn tại. 1 a 1 b Lời giải Chọn B Ta có 2 1 ... n a a
a là tổng n 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1. n 1 1 a n 1 a n 1
1 và công bội là a , nên 2
1 a a ... a . 1 a 1 a GV: T n 1 1 1 b n 1 Tương tự: b n 1 2
1 b b ... b . R 1b 1 b Ầ N n 1 ĐÌN 1 a 2 n n 1 Do đó 1 a a ... a 1 b 1 a 1 1 b lim lim a lim . a 1, b 1 . H CƯ 2 n n 1 n 1
1 b b ... b 1b 1 a 1b 1 a 1b – 0834 Câu 53: Rút gọn 2 4 6 2 1 cos cos cos cos n S x x x
x với cos x 1. 3321 A. 2 1 1 S sin x. B. 2 S cos x. C. S . D. S . 2 sin x 2 cos x 33 Lời giải Chọn C Ta có n 1 1 2 4 6 2
S 1 cos x cos x cos x cos x .
2 2 1 cos x sin x 2 CSN : lvh u 1 , qcos x 1 Câu 54: n Rút gọn 2 4 6 S
x n x sin x 2 1 sin si
1 .sin n x với sin x 1. A. 2 1 S sin x. B. 2 S cos x. C. S . D. 2 S tan x. 2 1 sin x Lời giải Chọn C
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 32
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Ta có n n 1 2 4 6
S 1sin x sin x sin x 2 1 .sin x . 2
1 sin x 2 CSN lv : h 1 u 1, q s n i x Câu 55: Thu gọn 2 3
S 1tan tan tan với 0 . 4 A. 1 S . B. cos S . C. tan S . D. 2 S tan . 1 tan 1 tan 2 sin 4 Lời giải Chọn B
Ta có tan 0
;1 với mọi 0; , do đó 4 1 cos cos 2 3
S 1 tan tan tan .
1 tan sin cos CSN l : vh u 1, q tan 1 2 sin 4 Câu 56: Cho ,
m n là các số thực thuộc 1 ; 1 và các biểu thức: 2 3
M 1 m m m 2 3
N 1 n n n 2 2 3 3
A 1 mn m n m n GV: T
Khẳng định nào dưới đây đúng? R MN MN Ầ A. A . B. A . C. 1 1 1 A . D. 1 1 1 A . N M N 1 M N 1 M N MN M N MN ĐÌN H CƯ Lời giải Chọn A – 0834 1 1 M m 1 3321 Ta có 1 m M , khi đó 1 1 N n 1 33 1 n N 1 1 MN A . 1 mn 1 1 M N 1 1 1 1 M N
Câu 57: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111 được biểu diễn bởi phân số tối giản a . Tính b
tổng T a b. A. 17. B. 68. C. 133. D. 137. Lời giải Chọn B Ta có 2 3 0,5111 0,5 10 10 10 n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 33
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Dãy số 2 3 10 ;10 ;...;10 n
;... là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 2 u 10 , công 1 2 bội bằng u 10 1 1 q 10 nên 1 S . 1 1 q 110 90 Vậy 46 23 a 23
0,5111... 0,5 S
T a b 68. 90 45 b 45
Câu 58: Số thập phân vô hạn tuần hoàn A 0,353535... được biểu diễn bởi phân số tối giản a . Tính b T a . b A. 3456. B. 3465. C. 3645. D. 3546. Lời giải Chọn B Ta có 35 2 35 35 35 a 35 10
A 0,353535... 0, 35 0, 0035 ... ... T 3465. . 2 4 10 10 1 99 b 99 1 2 10
Câu 59: Số thập phân vô hạn tuần hoàn B 5,231231... được biểu diễn bởi phân số tối giản a . Tính b
T a b. A. 1409. B. 1490. C. 1049. D. 1940. GV: T Lời giải R Chọn A Ầ N ĐÌN Ta có H CƯ
B 5, 231231... 5 0, 231 0, 000231... 231 – 3 231 231 231 1742 a 1742 0834 10 5 ... 5 5 T 1409 3 6 10 10 1 999 333 b 333 1 3321 3 10 33
Câu 60: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323 được biểu diễn bởi phân số tối giản a . b
Khẳng định nào dưới đây đúng? A. 15 a b 2 . B. 14 a b 2 . C. 13 a b 2 . D. 12 a b 2 . Lời giải Chọn D Ta có
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 34
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 1 1
0,17232323 0,17 23 4 6 8 1 0 10 10 1 17 17 23 1706 853 10000 23. . 100 1 100 100.99 9900 4950 1100 a 853 12 13
2 T 4097 2 . b 4950
1 3 5 ... 2n 1
Câu 61: Tính giới hạn: lim . 2 3n 4 1 2 A. 0. B. . C. . D. 1. 3 3 Lời giải Chọn B
Ta có: 2 1 3 5 ... 2n 1 n 1 . 2
1 3 5 ... 2n 1 n 1 Vậy: lim lim 2 3n 2 4 3n 4 2 1 2 1 2 n 2n 1 n 1 n lim lim . 2 4 3n 4 3 3 2 GV: T n R 1 1 1 Ầ
Câu 62: Tính giới hạn: lim ... . N 1.2 2.3 ĐÌN nn 1 H CƯ 3 A. 0. B. 1. C. . D. Không có giới 2 – 0834 hạn. 3321 Lời giải 33 Chọn B 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: lim ... lim 1 ... 1.2 2.3 nn 1 2 2 3 n n 1 1 lim 1 1. n 1 1 1 1
Câu 63: Tính giới hạn: lim ... . 1.3 3.5 n2n 1 2n 1 1 A. 1. B. 0. C. . D. 2. 2 Lời giải Chọn c
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 35
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 1 1 Ta có: lim ... 1.3 3.5 n2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 ... lim 1 . 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1 2 1 1 1
Câu 64: Tính giới hạn: lim ... . 1.3 2.4 nn 2 3 2 A. . B. 1. C. 0. D. . 4 3 Lời giải Chọn A 1 1 1 Ta có: ... 1.3 2.4 nn 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 2 4 3 5 n 1 n 1 n n 2 1 1 1 1 1 2 2 n 1 n 2 1 1 1 3 Vậy lim ... . 1.3 2.4 nn 2 4 GV: T 1 1 1 R
Câu 65: Tính giới hạn: lim ... . Ầ N 1.4 2.5 nn 3 ĐÌN 11 3 H CƯ A. . B. 2. C. 1. D. . 18 2 – 0834 Lời giải 3321 Chọn A 33 1 1 1 Ta có: ... 1.4 2.5 nn 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 1 4 2 5 3 6 4 7 n 3 n n 2 n 1 n 1 n 2 n n 3 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 n 1 n 2 n 3 1 1 1 11 Vậy: lim ... . 1.4 2.5 nn 3 18 1 2 3 ... n
Câu 66: Cho dãy u với u
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? n n 2 n 1 1 A. lim u 0. B. C. lim u 1. D. limu không tồn n lim u . n 2 n n tại.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 36
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn B
Dãy số 1, 2, 3, …, n là cấp số cộng có số hạng đầu là u 1 số hạng cuối cùng u n , 1 n công sai d 1. nu n n n 1 1
Khi đó S 1 2 3 ... n . n 2 2 n n 1 Viết lại: u n 2 2 n 1 2 1 n 1 n n 1 n 1 lim u lim lim lim . n 2 2 n 1 2 2 2 n 2 2 n 1 U 1 2
Câu 67: Tìm giới hạn của dãy: . 2 1 Un * U ; n n 1 2 2 A. 2. B. 1. C. 2. D. Không có giới hạn. Lời giải GV: T Chọn B 1 5 57 R Ta có: U ; U ; U ;... Ầ 1 2 3 N 2 8 64 ĐÌN
Ta chứng minh: U 1 n * (bằng phương pháp quy nạp). Vậy dãy bị chặn trên. H CƯ n
Ta chứng minh U là dãy tăng. Thật vậy: n – 0834 2 1 Un 3321 Ta có: U U U n1 n n 2 2 33 2 2 U 2U 1 0 U 1 0 luôn đúng * n , vì U 1. n n n n
Vậy dãy có giới hạn. Đặt a limU limU . n n1 2 2 1 U 1 a Ta có: lim U lim n a 2a 1 2 a n1 2 2 2 2 2
a 2a 1 0 a 1 . U 5 1
Câu 68: Tìm giới hạn của dãy: 2 2 U . n * U ; n n 1 2U n A. 1. B. 2. C. 3. D. Không có giới hạn. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 37
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn B 1 1 Ta có: U
U 2 (theo bất đẳng thức Cô-si với U 0 ). Vậy U là dãy bị n n1 n U 2 n n chặn dưới.
Dấu “=” không xảy ra, nên * U 2, n . n U 2 2 U 1 1 Lại có: n1 2 n . Vì U 2 U 2 2 2 U n n 2U U 2 n n n 1 1 1 1 1 1 * 1 U U , n . n 1 n 2 2 U 2 U 2 2 2 n n
Vậy dãy giảm, khi đó U có giới hạn. Đặt limU lim U a a 0 . n n 1 n 2 2 2 U Ta có: 2 a lim U n lim a 2 2a 2 2 a n1 2U 2a n 2
a 2 a 2 (vì a 0 ). U 2 Câu 69:
Tìm giới hạn của dãy: 1 * U 2.U ; n n1 n 1 7 A. 2. B. 1 2. C. . D. Không có giới 2 GV: T hạn. R Ầ Lời giải N ĐÌN Chọn A H CƯ
Ta có: U 2; U 2 2 ;… 1 2 – 0834
Ta sẽ chứng minh U 2 ; n * n
(bằng phương pháp quy nạp). 3321
n 1, U 2 2 . Giả sử U 2, k 1. 1 k 33 Ta có: U 2U 2.2 4 2. k 1 k
Vậy U 2, n . Lại có: * U 0, n . n n U 2U 2 2 Lại có: n1 n 1 dãy tăng. U U U 2 n n n
Vậy dãy đã cho có giới hạn. Đặt lim U lim U a a 0 n1 n Ta có: 2 lim U
lim 2U a 2a a 2a a 2. n 1 n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 38
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com GV: T R Ầ N ĐÌN H CƯ – 0834 3321 33
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 39
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
CHƯƠNG V: GIỚI HẠN DÃY SỐ
BÀI 16: GIỚI HẠN HÀM SỐ
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Giả sử a;b là một khoảng chứa điểm x và hàm số y f x xác định trên hoặc trên 0 a;b
a;b \{x }. Ta nói hàm số y f x có giới hạn là số L khi x dần đến x nếu với dãy số x bất n 0 0
kì, x a;b \ {x } vaø x x ,tacoù f(x ) L. n 0 n 0 n
Kí hiệu: lim f(x) L hay f(x) L khi x x 0 xx0
lim f(x) L (x ),x a;b \ {x },x x f(x ) L n n 0 n 0 n xx0
Tương tự đối với dãy số, ta có các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm nhu sau:
a)Giaûi söû lim f(x) L vaø lim g(x) M.Khi ñoù: xx xx 0 0
* lim f(x) g(x) L M; xx0 * lim f(x).g(x) L.M; xx0 f(x) L GV: T * lim neáuM 0. xx0 g(x) M R
b)Neáu f(x) 0 vaø lim f(x) L thì :L 0 vaø lim f(x) L. Ầ N xx xx 0 0 ĐÌN
Daáu cuûa f(x) ñöôïc xaùc ñònh treân khoaûng ñang tìm giôùi haïn, vôùi x x0 H CƯ Chú ý: – 0834
* lim c c với c là hằng số. 3321 x x0 33 * lim n n
x x vó́i n . 0 x x0
Nhận biết giới hạn một bên
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng x ;b . 0
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y f x khi x x nếu với dãy số x bất kì, n 0
x x b vaø x x ta coù: f(x ) L. 0 n n 0 n Kí hiệu: lim f(x) L x x 0
lim f(x) L x ,x x b,x x f(x ) L n 0 n n 0 n x x 0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 40
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a;x . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm 0
số y f x khi x x nếu với dãy số x bất kì, a x x vaø x x ta coù: f(x ) L. Kí hiệu: n 0 n 0 n 0 n lim f(x) L. x x 0
lim f(x) L x ,a x x ,x x f(x ) L. n n 0 n 0 n x x 0
2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng (a;). Ta nói hàm số y f x có giới hạn là số L
khi khi x nếu với mọi dãy số x bất kì, x a vaø x ta coù: f(x ) L.. n n n n
Kí hiệu: lim f(x) L hay f(x) L khi x . x
lim f(x) L x ,x a,x f(x ) L. n n n n x
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ( ;
a). Ta nói hàm số y f x có giới hạn là số L khi
khi x nếu với mọi dãy số x bất kì, x a vaø x ta coù: f(x ) L. n n n n
Kí hiệu: lim f(x) L hay f(x) L khi x . x GV: T
lim f(x) L x ,x a,x f(x ) L. n n n n x R Ầ Chú ý: N ĐÌN
- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cŭng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực. H CƯ
- Với c là hằng số, ta có: lim c ,
c lim c c . – x x 0834 3321 1 1
- Với k là một số nguyên dương, ta có: lim 0, lim 0 . k k x x x x 33
3. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM a) Giới hạn vô cực
Giả sử khoảng (a;b) chứa x và hàm số y f (x) xác định trên (a;b) \ x . 0 0
Ta nói hàm số f (x) có giới hạn khi x x nếu với dãy số x bất kì, x (a;b) \x , x x n 0 n 0 n 0
, ta có f x , kí hiệu lim f (x) . n x x0
Ta nói hàm số f (x) có giới hạn khi x x , ki hiệu lim f (x) , nếu lim[ f (x)] . 0 x x x x 0 0
- Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng x ;b . Ta nói hàm số f (x) có giới hạn khi 0
x x về bên phải nếu với dãy số x bất kì thoả mãn x x ,
b x x , ta có f x , ki n n 0 0 n n 0
hiệu lim f (x) . x x 0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 41
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
- Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng a; x . Ta nói hàm số f (x) có giới hạn khi 0
x x về bên trái nếu với dãy số x bất kì thoả mãn a x x , x x , ta có f x , kí n n 0 n 0 n 0
hiệu lim f (x) . x x 0
- Các giới hạn một bên lim f (x) và lim f (x) được định nghĩa tương tự. x x x x 0 0
Chú ý. Các giới hạn lim f (x) ,
lim f (x) , lim f (x) và lim f (x) được định x x x x
nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f (x) tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số y f (x) , xác
định trên khoảng (a; ) , có giới hạn là khi x nếu với dãy số x bất kì, x a và n n
x , ta có f x , kí hiệu lim f (x) hay f (x) khi x . n n x
Một số giới hạn đặc biệt: - lim k
x với k nguyên dương; x - lim k
x với k là số chẵn; x - lim k
x với k là số lẻ. x
b) Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) GV: T
Nếu lim f(x) L 0 vaø lim g(x) hoaëc thì lim f(x)g(x) được tính theo quy tắc trong xx xx xx 0 0 0 R Ầ bảng sau: N ĐÌN H CƯ lim f(x) lim g(x) lim f(x).g(x) xx0 xx0 xx0 – 0834 3321 L 0 33 L 0 - + f(x)
b) Quy tắc tìm giới hạn của tích g(x) lim f(x) lim g(x) Dấu của g(x) f(x) xx lim 0 xx0 xx0 g(x) L Tuỳ ý 0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 42
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com + L 0 - 0 + L<0 -
Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x x ,x x ,x , x 0 0
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn 1. Phương pháp
Nếu hàm số f x xác định trên K x thì lim f x f x . 0 0 xx0
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính lim 2 x x 7. x1 GV: T Hướng dẫn giải R Ầ 2 N
lim x x 7 1 1 7 9. ĐÌN x1 H CƯ 4 5 Ví dụ 2: Tính 3x 2x lim 4 6 – x 1 5x 3x 1 0834 Hướng dẫn giải 3321 4 5 33 3x 2x 3 2 1 lim . 4 6 x 1 5x 3x 1 5 3 1 9 Ví dụ 3: Tính 3 lim 4x 2x 3 x1 Hướng dẫn giải 3
lim 4x 2x 3 4 2 3 5. x1 3 x 1 Ví dụ 4: Tính lim x 1 3 2 x 3 2 Hướng dẫn giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 43
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 3 x 1 1 1 lim 0. x 1 3 3 2 4 2 x 3 2 4 2 x 4x 3 Ví dụ 5: Tính lim 2 x 2 7x 9x 1 Hướng dẫn giải 4 2 x 4x 3 16 16 3 1 lim . 2 x 2 7x 9x 1 28 18 1 3
Dạng 2. Giới hạn tại vô cực 1. Phương pháp
Giới hạn hữu hạn tại vô cực
Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng ;
a . lim f (x) L với mọi dãy số x x x a x
lim f (x) L n , và ta đều có . n n
LƯU Ý: Định nghĩa lim f (x) L được phát biểu hoàn toàn tương tự. x
Giới hạn vô cực tại vô cực GV: T
Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng ;
a . lim f (x) với mọi dãy x R số x x a x
lim f (x) n , và ta đều có . Ầ n n N ĐÌN
LƯU Ý: Các định nghĩa: lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) được phát biểu hoàn toàn x x x H CƯ tương tự. – 0834
Một số giới hạn đặc biệt 3321 c lim
0 ( c là hằng số, k nguyên dương ). 33 k x x lim k
x với k nguyên dương; lim k
x nếu k là số nguyên lẻ; lim k
x nếu k là x x x số nguyên chẵn.
Nhận xét: lim f (x) lim f (x) . x x
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính 3
lim 2x 5x x Lời giải
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị của f x 3 2
x 5x tại một điểm có giá trị âm rất
nhỏ (do ta đang xét giới hạn của hàm số khi x ), chẳng hạn tại 20 10 . Máy hiển thị kết quả như hình:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 44
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Đó là một giá trị dương rất lớn. Vậy chọn đáp án C , tức 3
lim 2x 5x . x 5 Cách 2: Ta có 3 3
2x 5x x 2 . 2 x 5 5 Vì 3 lim x và lim 2 2 0 nên 3 lim x 2 . x 2 x 2 x x x 5 Vậy theo Quy tắc 1, 3 3
lim 2x 5x lim x 2 . 2 x x x Ví dụ 2: Tính 4 2
lim 3x 2x 1 x Lời giải
Cách 1: Theo nhận xét trên thì 4 2
lim 3x 2x
1 ( x , k chẵn và a 0 ). k x 2 1 Thật vậy, ta có 4 2 4
3x 2x 1 x 3 . 2 4 x x 2 1 Vì 4
lim x và lim 3 3 0 nên 4 2
lim 3x 2x 1 . x 2 4 GV: T x x x x R Nhận xét: Ầ N ĐÌN
- Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức là vô cực, chỉ phụ thuộc vào số hạng chứa lũy thừa H CƯ bậc cao nhất. –
- Giới hạn của hàm đa thức tại phụ thuộc vào hệ số của lũy thừa bậc cao nhất. 0834
(Giống với giới hạn của dãy số dạng đa thức). 3321
- Giới hạn của hàm đa thức tại phụ thuộc vào bậc và hệ số của lũy thừa bậc cao 33 nhất.
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số f x 4 2
3x 2x 1 tại 20
x 10 , ta được kết quả như hình :
Kết quả là một số dương rất lớn. Do đó chọn đáp án A,
Ví dụ 3: Cho hàm số f x 2
x 2x 5 . Tính lim f x x Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 45
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Hàm số f x 2
x 2x 5 xác định trên .
Có thể giải nhanh như sau : Vì 2
x 2 x 5 là một hàm đa thức của x nên có giới hạn tại vô cực. Mà 2
x 2x 5 0 với mọi x nên giới hạn của f x 2
x 2x 5 tại chắc chắn là . 2 5 2 5 Thật vậy, ta có 2 2
x 2x 5 x 1 x 1 . 2 2 x x x x 2 5
Vì lim x và lim 1 1 0 nên 2 lim
x 2x 5 . x 2 x x x x
Hoặc ta có thể sử dụng MTCT để tính giá trị của f x tại một giá trị âm rất nhỏ của x , chẳng hạn tại 20
x 10 ta được kết quả như hình:
Kết quả này là một số dương rất lớn. Do đó ta chọn đáp án B. (Dễ thâý kết quả hiển thị
trên máy tính như trên chỉ là kết quả gần đúng do khả năng tính toán hạn chế của MTCT.
Tuy nhiên kết quả đó cũng giúp ta lựa chọn được đáp án chính xác). GV: T Lưu ý: R Ầ N
Ta có lim x . ĐÌN x H CƯ
Khi x thì x 0 . – 2 0834
Với x 0 ta có x x . 3321
Cần đặc biệt lưu ý các điều trên khi tính giới hạn tại của hàm chứa căn thức. 33 Ví dụ 4: 2 2 lim
x x 4x 1 x Lời giải Cách 1: Ta có: 1 1 1 1 2 2 2 2
x x 4x 1 x 1 x 4 x 1 x 4 2 2 x x x x 1 1 x 1 4 2 x x 1 1
Mà lim x và lim 1 4
1 2 1 0 . x 2 x x x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 46
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 1 Vậy 2 2 lim
x x 4x 1 lim x 1 4 . x 2 x x x Lưu ý:
- Độc giả nên đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa căn thức để hiểu hơn tại sao lại có định
hướng giải như vậy (mà không đi nhân chia với biểu thức liên hợp).
- Có thể thấy như sau: Vì 2 2 lim x x ; lim 4x 1 . x x Mà hệ số của 2 x trong 2
4 x 1 lớn hơn hệ số của 2 x trong 2
x x nên suy ra 2 2 lim
x x 4x 1 . x
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 10
x 10 ta được kết quả như hình.
Dạng 3. giới hạn một bên 1. Phương pháp GV: T
Ta cần nắm các tính chất sau R
lim f(x) L x ,x x b, lim x x lim f(x ) L n Ầ 0 n n 0 n n n N xx0 ĐÌN H CƯ
lim f(x) L x ,a x x , lim x x lim f(x ) L n n 0 n 0 n n n x x 0 –
lim f(x) lim f(x) L lim f(x) L 0834 xx xx xx 0 0 0 3321
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 33 x 3 Ví dụ 1: Tính lim x 3 2x 6 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận x 3 x 3 1 lim lim . x 3 2x 6 x 3 2x 3 2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính x 3 Nhập vào màn hình và ấn 5 CALC 3 10 ta được kết quả 2x 6
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 47
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 3 1 x Ví dụ 2: Tính lim 2 x 1 3x x Hướng dẫn giải 3 1 x 0 lim 0. 2 x 1 3x x 4 3 x 2x 3 Ví dụ 3: Tính lim 2 x 2 x 2x Hướng dẫn giải
Tử số có giới hạn là 1
, mẫu số có giới hạn 0 và khi x 2 thì 2 x 2x 0. 3 x 2x 3 Do đó lim . 2 x 2 x 2x 2x x Ví dụ 4: Tính lim x 0 5x x GV: T Hướng dẫn giải R Ầ N ĐÌN x 2 x 1 2 x 1 2x x 1 lim lim lim 1 . H CƯ x 0 5x x x 0 x 5 x 1 x 0 5 x 1 1 – 0834 2 Ví dụ 5: Tính x 4x 3 lim 3 2 3321 x 1 x x 33 Hướng dẫn giải 2 x 4x 3 x 1 x 3 x 1x 3 0 lim lim lim 0. 3 2 x x 2 x x 1 2 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 vôùi x 1
Ví dụ 6: Cho hàm số f x 1 x
. Khi đó lim f x bằng bao nhiêu? x 1 2x 2 vôùi x 1 Hướng dẫn giải 2 x 1 lim f x lim
vì tử số có giới hạn là 2, mẫu số có giới hạn 0 và 1 x 0 với x 1. x 1 x 1 1 x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 48
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 0 Dạng 3. Dạng vô định 0 1. Phương pháp 0 u(x) Nhận dạng vô định : lim
khi lim u(x) lim u(x) 0. 0 xx v(x) xx xx 0 0 0
Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước u(x) (x x )A(x) 0 A(x) A(x) lim lim lim vaø tính lim . x x v(x) xx (x x )B(x) xx B(x) xx o o B(x) 0 o o
Nếu phương trình f x 0 có nghiệm là x thì f x x x .g x 0 0 Đặc biệt: 2
f(x) ax bx c,maø f(x) 0 coù hai nghieäm phaân bieät x ,x
Nếu tam thức bậc hai 1 2
thì f(x) ñöôïc phaân tích thaønhf(x) ax - x x - x 1 2
Phương trình bậc 3: 3 2
ax bx cx d 0 (a 0)
a b c d 0 thì pt coù moät nghieäm laø x 1, ñeå phaân tích 1
thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner
a b c d 0 thì pt coù moät nghieäm laø x 1 , ñeå phaân tích 1 GV: T
thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner R Ầ
Nếu u x và v x có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó N ĐÌN
phân tích chúng thành tích để giản ước. H CƯ A B
löôïng lieân hieäp laø: A B. – 0834 A B
löôïng lieân hieäp laø: A B. 3321 A B löôïng lieân hieäp laø: A B. 3 3 2 3 2 33 A B
löôïng lieân hieäp laø: A B A B . 3 3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø: A B A B .
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 2 x 3x 2 Ví dụ 1: Tính lim x 1 x 1 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2 x 3x 2 x 1 x 2 lim lim
lim x 2 1. x 1 x 1 x 1 x 1 x
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 49
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 X 3X 2 Nhập vào màn hình ấn 10 CALC 1 10 ta được kết quả X 1 2 Ví dụ 2: Tính 2x 3x 1 L lim . 2 x 1 1 x Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2 2x 1 x 1 2x 1 2x 3x 1 1 lim lim lim . 2 x 1 x 1 1 x 1 x1 x x 1 1 x 2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2
Nhập vào màn hình 2X 3X 1 ấn 10 CALC 1 10 ta được kết quả 2 1 X GV: T 2 x 3x 2 R Ví dụ 3: Tính Ầ lim 3 N x 1 x 1 ĐÌN H CƯ Hướng dẫn giải –
Cách 1: Giải bằng tự luận 0834 2 x 3x 2 x 1 x 2 3321 x 2 1 lim lim lim . 3 x 1 x 1 x 1 x 2 2 x 1 1 x x 1 x x 1 3 33
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2
Nhập vào màn hình x 3x 2 ấn 10 CALC 1 10 ta được kết quả 3 x 1 4 4 t a Ví dụ 4: Tính lim t a t a Hướng dẫn giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 50
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 4 4 t a lim lim 3 2 2 3 t t a ta a 3 4a . t a t a t a 4 y 1 Ví dụ 5: Tính lim 3 y 1 y 1 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận y 1 y 1 3 2 4 y y y 1 3 2 y y y 1 4 lim lim lim . 3 y 1 y 1 y 1 y 1 2 y y 2 y 1 1 y y 1 3
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 4
Nhập vào màn hình Y 1 ấn 10 CALC 1 10 ta được kết quả 3 Y 1 2 4 x Ví dụ 6: Tính lim x 2 x 7 3 GV: T Hướng dẫn giải R Ầ N
Cách 1: Giải bằng tự luận ĐÌN H CƯ 2 4 x lim x 2 – x 7 3 0834 2 x 4 x 7 3 x 2x 2 x 7 3 3321 lim lim x2 x2 x 7 9 x 7 3 x 7 3 33 lim x 2 x 7 3 2 4. x2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2 4 X Nhập vào màn hình ấn 5 CALC 1 10
ta được kết quả 24. X 7 3
Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 2
4 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 51
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com d 2 4 X dx Nhập x2
rồi ấn phím ta được kết quả chính xác 24. d X 7 3 dx x2 1 x 1 Ví dụ 7: Tính lim x0 x Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 1 x 1 1 x 1 1 1 lim lim lim . x0 x
x0 x 1 x x0 1 1 x 1 2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 1 x 1 1 Nhập vào màn hình ấn 5 CALC 0 10
ta được kết quả . x 2 GV: T R Ầ N ĐÌN 1 H CƯ
Lưu ý: Để ra kết quả chính xác ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau: 2 – 0834 d 1 X 1 dx 3321 1 Nhập
x0 rồi ấn phím ta được kết quả chính xác 0,5 . d 2 33 X dx x0 2 x 6x 8 Ví dụ 8: Tính lim x4 x 2 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2
x 2x 4 x 2 x 6x 8 lim lim
lim x 2 x 2 2 4 8. x4 x4 x 2 x 4 x4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 52
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2 x 6x 8 Nhập vào màn hình ấn 5 CALC 4 10
ta được kết quả 8. x 2
Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 8 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau: d 2 X 6X 8 dx Nhập
x4 rồi ấn phím ta được kết quả chính xác 8. d X 2 dx x4 3 2 x 4 2 Ví dụ 9: Tính lim x2 2 4 2x 8 Hướng dẫn giải GV: T
Cách 1: Giải bằng tự luận R Ầ N ĐÌN 3 2 x 4 2 E lim H CƯ x2 2 4 2x 8 – 0834
Nhân tử và mẫu hai lượng liên hợp: 3321 2 3 2 3 2 2 x 4 2 x 4 4 4 2x 8 33 2 3 2 3 2 3 2 2 x 4 2 x 4 2 x 4 4 4 2x 8 E lim x2 2 2 2 3 2 3 2
4 2x 8 4 2x 8 x 4 2 x 4 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 53
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 x 4 8 2 4 2x 8 lim x2 2 2 16 2x 8 3 2 3 2 x 4 2 x 4 4 2 x 4 2 4 2x 8 lim x2 2 2 2x 4 3 2 3 2
x 4 2 x 4 4 2 4 2x 8 8 1 lim . x2 2 24 3 3 2 3 2 2
x 4 2 x 4 4
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 3 2 x 4 2 1 Nhập vào màn hình ấn 5 CALC 4 10
ta được kết quả . 2 4 3 2x 8
Lời bình: Nếu ta dùng quy tắc Lô-pi-tan GV: T d 3 2 x 4 2 R dx x2 Ầ Nhập
rồi ấn phím ta được kết quả 1 0, 3 . N d 3 ĐÌN 2 4 2x 8 dx x2 H CƯ – 0834 3321 33 4 2 Ví dụ 10: Tính x 12 2 lim 2 x2 x 4 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 4 2 x 12 2 E lim 2 x2 x 4 4 2 4 2 x 12 2 x 12 2 lim x2 2x 4 4 2 x 12 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 54
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 x 12 4 0 lim
(vẫn còn dạng vô định ) x 2 2 x 4 4 2 0 x 12 2 2 2 x 12 4 x 12 4 lim
x 2 2x 44 2 2 x 12 2 x 12 4 2 x 12 16 lim x 2 2 x 4 4 2 2 x 12 2 x 12 4 1 1 lim . x 2 4 2 2 32
x 12 2 x 12 4
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Ta dùng quy tắc Lô-pi-tan d 4 2 x 12 2 dx 1 Nhập
x2 rồi ấn phím ta được kết quả 0,03125 . d 2 32 x 4 dx x2 GV: T R Ầ N ĐÌN 6 x 1 Ví dụ 11: Tính lim H CƯ 2 x 1 x 1 – 0834 Hướng dẫn giải 3321
Cách 1: Giải bằng tự luận 33 6 x 1 E lim 2 x 1 x 1 6 x 6 2 6 1 x x 1 lim x 1 2 x 6 2 6 1 x x 1 x 1 0 lim (Vẫn dạng vô định ) x 1 2 x 6 2 6 1 0 x x 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 55
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com x 1 x 1 lim x 1 x 1 x 6 2 6 1 x x 1 x 1 1 1 lim . x 1 6 2 6 12 x 1 x x 1 x 1
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Ta dùng quy tắc Lô-pi-tan d 6 X 1 dx Nhập x 1
rồi ấn phím ta được kết quả 1 0,08 3 . d 2 12 x 1 dx x 1 Để chuyển 1 0,08 3 ta bấm như sau 0.08Qs3= 12 GV: T R Ầ N ĐÌN Dạng 4. Dạng vô định H CƯ – 1. Phương pháp 0834
Nhận biết dạng vô định 3321 33 u(x) lim
khi lim u(x) , lim v(x) . xx v(x) xx xx 0 0 0 u(x) lim
khi lim u(x) , lim v(x) . x v(x) xx xx 0 0
Chia tử và mẫu cho n
x với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu ( Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử n x rồi giản ước)
Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ
cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x
(thường là bậc cao nhất ở mẫu).
Cách tính giới hạn dạng này hoàn toàn tương tự giới hạn dãy số.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 56
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 4 3 2 Ví dụ 1: Tính 2x x 2x 3 lim 4 x x 2x Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 1 2 3 4 3 2 2 2 4 2x x 2x 3 x x x lim lim 1. 4 x x 1 x 2x 2 3 x Cách 2: Mẹo giải nhanh 4 3 2 4 2x x 2x 3 2x 1. 4 4 x 2x 2x
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính 4 3 2
Nhập vào màn hình 2x x 2x 3 ấn 15 CALC 10
ta được kết quả 1. 4 x 2x GV: T 2
Lời bình: “Bậc tử bằng bậc mẫu” nên kết quả 1 . 2 R Ầ N 4 5 ĐÌN Ví dụ 2: Tính 3x 2x lim 4 x H CƯ 5x 3x 2 – Hướng dẫn giải 0834
Cách 1: Giải bằng tự luận 3321 4 5 33 3x 2x 3 2x lim lim 4 x x 3 2 5x 3x 2 5 3 4 x x 3 2 lim 5 5 0; lim 3 2x . 3 4 x x x x 4 5 Do đó: 3x 2x lim . 4 x 5x 3x 2 Cách 2: Mẹo giải nhanh 4 5 5 3x 2x 2x 2 x . 4 4 5x 3x 2 5x 5
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 57
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 4 5
Nhập vào màn hình 3x 2x ấn 15 CALC 10
ta được kết quả . 4 5x 3x 2
Lời bình: Bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên kết quả là . 4 5 Ví dụ 3: Tính 3x 2x lim 4 6 x 5x 3x 2 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 3 2 4 5 2 3x 2x x x 0 lim lim 0. 4 6 x x 5 2 5x 3x 2 3 3 2 6 x x Cách 2: Mẹo giải nhanh 4 5 5 3x 2x 2x 2 1 . 0. 4 6 6 5x 3x 2 3x 3 x GV: T
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính 4 5 R 3x 2x Ầ Nhập vào màn hình ấn 15 CALC 10
ta được kết quả 0. N 4 6 ĐÌN 5x 3x 2 H CƯ – 0834 3321
Lời bình: “Bậc tử bé hơn bậc mẫu” nên kết quả là 0. 33 4 5 3x 4x 2 Ví dụ 4: Tính lim 5 4 x 9x 5x 4 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 3 2 4 5 4 5 3x 4x 2 x 2 x lim lim . 5 4 x x 5 4 9x 5x 4 3 9 5 x x Cách 2: Mẹo giải nhanh
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 58
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 4 5 5 3x 4x 2 4x 4 2 . 5 4 5 9x 5x 4 9x 9 3
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính 4 5 3x 4x 2 Nhập vào màn hình ấn 15 CALC 10
ta được kết quả 0. 5 4 9x 5x 4 2 Ví dụ 5: Tính x 2x 3x L lim . x 2 4x 1 x 2 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2 2 2 x 1 3x 1 3 x 2x 3x x x 2 lim lim lim . x 2 x x 1 1 2 3 4x 1 x 2 x 4 x 2 4 1 2 2 x x x GV: T
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính R Ầ 2 x 2x 3x 2 N Nhập vào màn hình ấn 15 CALC 10 ta được kết quả . ĐÌN 2 4x 3 1 x 2 H CƯ – 0834 3321 33 2 4x 1 x 5 Ví dụ 6: Tính lim x 2x 7 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 1 1 5 4 2 2 2 4x 1 x 5 x x x 2 0 lim lim 1. x 2x 7 x 7 2 0 2 x
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2 4x 1 x 5 Nhập vào màn hình ấn 25 CALC 10 ta được kết quả 2x 7
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 59
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com x
Ví dụ 7: Tính lim x 5 3 x x 1 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2 5 x 2 1 x x 5 x lim x 5 lim lim 1. 3 3 x x x 1 x 1 x 1 1 3 x
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính x
Nhập vào màn hình x 5 ấn 25 CALC 10 ta được kết quả 3 x 1 GV: T 3 94 2 R x 1 12x Ầ N Ví dụ 8: Tính lim 100 ĐÌN x 2x 3 H CƯ Hướng dẫn giải – 3 94 0834 3 2 1 1 94 2 x 1 x 2 x 1 1 2x 2 3321 x x E lim lim 100 x x 2x 3 100 3 33 x 2 100 x 94 3 6 1 94 1 x 1 x 2 2 x x lim x 100 3 x 2 100 x 3 94 1 1 1 2 x x 3 1 . 2 94 2 lim 93 2 . x 3 2 2 100 x
Dạng 5. Dạng vô định , 0. 1. Phương pháp
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 60
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp
Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức.
Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định ; 0. hoặc 0
chuyển về dạng vô định ; 0
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính lim x 1 x 3 x Hướng dẫn giải 4 x 1 x 3 x lim x 1 x 3 lim lim 0. x x x x 1 x 3 1 3 1 1 x x Ví dụ 2: Tính 2 lim x x 5 x x Hướng dẫn giải 2 2 2 x 5 x 5 5
lim x x 5 x lim x lim . GV: T x x 2 x 5 2 x 5 x 1 1 2 x R Ầ N ĐÌN Ví dụ 3: Tính 2 lim x x 5x x H CƯ Hướng dẫn giải – 0834 2 E lim x x 5x 3321 x 33 Nhân và chia liên hợp 2 x x 5x 2 2 x x 5x x x 5x 2 2 x x 5x E lim lim x 2 x 5 x x 5x x x 1 x 5 x lim (Vì lim x lim x ) x 5 x x x x 1 x 5 5 5 lim . x 5 1 1 0 2 1 1 x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 61
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Ví dụ 4: Tính 1 1 lim 1 x0 x x 1 Hướng dẫn giải 1 1 E lim 1
(Dạng vô định 0. ) x0 x x 1 1 x 1 1 lim lim 1. x0 x x 1 x0 x 1 1 Ví dụ 6: Tính 2 lim x 5 0. x x Hướng dẫn giải 1 2 5 lim x 5 lim 1 1. x x x x Ví dụ 7: Tính 2 lim x x 2 x x Hướng dẫn giải 2 2 2 x 2 x 2 2
lim x x 2 x lim x lim 1 . x x 2 x 2 2 x 2 x 1 1 GV: T 2 x R Ầ 2 x 1 x x 1 N Ví dụ 8: Tính lim ĐÌN x0 x H CƯ Hướng dẫn giải – 0834 2 2 x 1 x x 1 x 1 x x 1 lim lim 3321 x0 x x0 2 x 1 x x 1 33 x 0 lim 0 x0 2 2 x 1 x x 1
Ví dụ 9: Tính lim x 5 x 7 x Hướng dẫn giải x 5 x 7 12 lim x 5 x 7 lim lim x x x x 5 x 7 x 5 x 7 12 x 0 lim 0. x 5 7 2 1 1 x x Ví dụ 10: Tính 2 lim x 5x x . x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 62
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Hướng dẫn giải 2 2 2 x x x 5 x
lim x 5x x lim lim x x 2 x 2 x 5x x x 5x x 5 5 lim . x 5 2 1 1 x 1 Ví dụ 11: Tính 2 lim x 5 1. x x Hướng dẫn giải 5 5 x . 1 x 1 2 2 2 x 5 x x 5 lim lim lim lim 1 1. 2 x x x x x x x x
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 2 x 1
Bài 5.7. Cho hai hàm số f x
và g x x 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? x 1
a) f x g x ;
b) lim f x lim g x . x 1 x 1 GV: T Lời giải R Ầ Ta có: N ĐÌN H CƯ
- Tập xác định của f x : D R 1 –
- Tập xác định của g x R 0834 :
lim f x 2 3321 x 1 33
lim g x 2 x 1
Vậy khẳng định b đúng
Bài 5.8. Tính các giới hạn sau: 2 (x 2) 4 2 x 9 3 a) lim ; b) lim . x0 x 2 x0 x Lời giải
lim4 x 3, lim 2 1 x 2 x 1 x 1 2 2 (x 2) 4 x 4x
a) lim f x lim lim l im x 4 4 x 1 x0 x0 x0 x x
limsinx lim x m 0 m 0 x0 x0 2 x 9 3 1 1 b) lim lim 2 x0 x0 2 x 6 x 9 3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 63
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 0 khi t 0
Bài 5.9. Cho hàm số H t
( hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển 1 khi t 0
trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm t 0).
Tính lim H t và lim H t . x 0 _ x0 Lời giải
lim H t 0 _ x0
lim H t 1 x0
Bài 5.10. Tính các giới hạn một bên: x 2 2 x x 1 a) lim ; b) lim . x 1 x 1 x 4 4 x Lời giải
a)lim x 2 1 0 x 1 lim x 1 0 x 1 x 2 lim x 1 x 1 b) lim 2 x x 1 13 0 x4 GV: T lim 4 x 0 x4 R 2 Ầ x x 1 N lim ĐÌN x4 4 x H CƯ 2 x 5x 6
Bài 5.11. Cho hàm số g x
. Tìm lim g x và lim g x . – x 2 x2 x2 0834 3321 Lời giải 33 Khi x 2
x 2 2 x 2 2 x 5x 6 x 5x 6
x 2 x 3 Ta có: lim lim lim
lim x 3 3 2 1 x 2 x 2 x 2 x 2 2 x x 2 x 2 Khi x 2
x 2 x 2 2 2 x 5x 6 x 5x 6
x 2 x 3 Ta có: lim lim lim limx 3 2 3 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Bài 5.12. Tính các giới hạn sau: 1 2x a) lim ; b) . 2 lim x x 2 x x x 2 x 1 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 64
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 2 1 2x a) lim lim x 2 x 2 x 1 x 1 1 2 x 2 1 x 2 1 b) lim x x x x x 2 2 lim lim x 2 x x 2 x x 1 2 2 1 1 2 x x 2
Bài 5.13. Cho hàm số f x
. Tìm lim f x và lim f x . x 1 x 2 x 2 x 2 Lời giải 2 Khi x 2 x
1 x 2 0 lim x 2 x 1 x 2 2 Khi x 2 x
1 x 2 0 lim x 2 x 1 x 2 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:
Giá trị của giới hạn lim 2 3x 7x 11 là: x 2 A. 37. B. 38. C. 39. D. 40. GV: T Lời giải R Ầ Chọn A N ĐÌN lim 2 3x 7x 2
11 3.2 7.2 11 37 x2 H CƯ Câu 2: Giá trị của giới hạn 2 lim x 4 là: – x 3 0834 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 3321 Lời giải 33 Chọn B
lim x 4 32 2 4 1 x 3 1 Câu 3: Giá trị của giới hạn 2 lim x sin là: x 0 2 1 A. sin . B. . C. . D. 0. 2 Lời giải Chọn D 1 1 Ta có 2 lim x sin 0.sin 0 x0 2 2 2 x 3 Câu 4:
Giá trị của giới hạn lim là: 3 x 1 x 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 65
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 3 A. 1. B. 2. C. 2. D. . 2 Lời giải Chọn B x 3 2 2 1 3 lim 2 3 x x 2 3 1 1 2 3 x x Câu 5:
Giá trị của giới hạn lim là: x 2x 1 4 1 x 3 3 A. 1. B. 2. C. 0. D. . 2 Lời giải Chọn C 3 3 x x 11 lim 0
x 2x 1 4 x 3 2.1 1 4 1 1 3 x 1 Câu 6:
Giá trị của giới hạn lim là: 4
x 1 x x 3 3 2 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Lời giải GV: T Chọn D R x 1 1 1 2 Ầ Ta có lim 4 N
x1 x x 3 1 1 3 3 ĐÌN 2 H CƯ 3x 1 x Câu 7:
Giá trị của giới hạn lim là: x 1 x 1 – 3 1 1 3 0834 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 3321 Lời giải 33 Chọn A 2 3x 1 x 3 1 1 3 Ta có lim x 1 x 1 1 1 2 2 9x x Câu 8:
Giá trị của giới hạn lim là: x 2x 1 4 3 x 3 1 1 A. . B. 5. C. . D. 5. 5 5 Lời giải Chọn C 2 2 9x x 9.3 3 1 lim x 2x 1 4 x 3 2.3 1 4 3 3 3 5
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 66
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 x x 1 Câu 9: Giá trị của giới hạn 3 lim là: 2 x 2 x 2x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 5 Lời giải Chọn B 2 2 x x 1 2 2 1 1 3 lim 2 2 x2 x 2x 2 2.2 2 3 2
3x 4 3x 2
Câu 10: Giá trị của giới hạn lim là: x 2 x 1 3 2 A. . B. . C. 0. D. . 2 3 Lời giải Chọn C 3 2 3
3x 4 3x 2 12 4 6 2 0 Ta có: lim 0 x2 x 1 3 3
Câu 11: Giá trị của giới hạn 3
lim x x 1 là: x A. 1. B. . C. 0. D. . Lời giải GV: T Chọn D R Ầ 3 N lim x ĐÌN x lim 1 1 3 x x 3 1 lim x 1 vì . H CƯ 2 3 1 1 x x x x lim 1 1 0 2 3 x x x – 0834 Giải nhanh: 3 x x 3 1 ~ 1 x
khi x . 3321 3
Câu 12: Giá trị của giới hạn 2
lim x 2x 3 x là: 33 x A. 0. B. . C. 1. D. . Lời giải Chọn B Ta có lim x x x
x x x x x 3 2 3 2 2 3 lim 3 2 2 3 3 lim 1 . 2 x x x x 3 3 Giải nhanh: 2
x 2x 3 x ~ x khi x .
Câu 13: Giá trị của giới hạn là: 2 lim x 1 x x A. 0. B. . C. 2 1. D. . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 67
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn B Giải nhanh: 2 2
x : x 1 x ~
x x 2x .
Đặt x làm nhân tử chung: lim x x x x 1 2 1 lim 1 1 2 x x lim x x vì . 1 lim 1 1 2 0 2 x2 x
Câu 14: Giá trị của giới hạn là: 3 3 2 lim 3x 1 x 2 x A. 3 3 1. B. . C. 3 3 1. D. . Lời giải Chọn B Giải nhanh: 3 3 2 3 3 2 x x x x x 3 : 3 1 2 ~ 3 3 1 x .
Đặt x làm nhân tử chung: lim x x x x 1 2 3 3 2 3 1 2 3 lim 3 1 3 2 x GV: T x x R Ầ lim x N x ĐÌN vì . 1 2 3 H CƯ 3 lim 3 1 3 1 0 3 2 x x x – 0834
Câu 15: Giá trị của giới hạn x là: 2 lim 4x 7x 2x x 3321 A. 4. B. . C. 6. D. . 33 Lời giải Chọn D Đặt 2
x làm nhân tử chung: lim x 7 2 4x 7x 2x 2 lim x 4 2 x x x 2 lim x x vì . 7 lim 4 2 4 0 x x
Giải nhanh: x x 2
x x x x 2 x x 2 : 4 7 2 ~ 4 2 4x .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 68
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 3 x 8
Câu 16: Giá trị của giới hạn lim là: 2 x 2 x 4 A. 0. B. . C. 3.
D. Không xác định. Lời giải Chọn C 3 2 2 x 8
(x 2)(x 2x 4) x 2x 4 12 Ta có lim lim lim 3 2 x 2 x 2 x 2 x 4
(x 2)(x 2) x 2 4 5 x 1
Câu 17: Giá trị của giới hạn lim là: 3 x 1 x 1 3 3 5 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 3 3 Lời giải Chọn D x 1 4 3 2 5
x x x x x 4 3 2 1 1
x x x x 1 5 lim lim lim . 3 x x 1 x x 1 2 1 1 x x 2 x 1 1 x x 1 3 3 2x 6 3
Câu 18: Biết rằng lim a 3 . b Tính 2 2 a b . 2 x 3 3 x A. 9. B. 25. C. 5. D. 13. Lời giải GV: T Chọn A R 2 2 3 Ầ
2x 3x 3x 3 2x 3x x 3 2 3 3 N Ta có lim lim lim ĐÌN 2 x 3 x 3 3 x
3x 3 x x 3 3 x H CƯ 2 2 3 3. 3 3 18 a 3 – 2 2 3 3
a b 9 . 0834 3 3 2 3 b 0 3321 2 x x 6
Câu 19: Giá trị của giới hạn lim là: 33 2 x 3 x 3x 1 2 5 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 5 Lời giải Chọn C 2 x x 6 x 3 x 2 x 2 3 2 5 lim lim lim . 2 x 3 x 3 x 3x x x x 3 3 x 3 3 3 x
Câu 20: Giá trị của giới hạn lim là: x 3 3 27 x 1 5 3 A. . B. 0. C. . D. . 3 3 5 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 69
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn B
Ta có 3 x 0 với mọi x 3, do đó: 3 x 3 x lim lim x 3 3 x 3 27 x 3 x 2
9 3x x 3 x 3 3 lim 0. x 3 2 2 9 3x x 9 3.3 3 2 21 x 7 21 12x
Câu 21: Giá trị của giới hạn lim là: x 0 x 21 2 21 2 21 2 21 12 A. . B. . C. . D. . 7 9 5 7 Lời giải Chọn A Ta có 2 21 x 7 21 1 2 x 2 21
x 7 1 2x 21 1 2 lim lim lim x . x 0 x 0 x 0 x x 7 2
x x x
Câu 22: Giá trị của giới hạn lim là: 2 x 0 x A. 0. B. . C. 1. D. . GV: T Lời giải Chọn D R Ầ N 2 ĐÌN 2
x xx x x x 1 Ta có lim lim lim 2 x 0 x 0 2 2 x 0 2 H CƯ x
x x x x
x x x – 2 0834
vì 1 0 ; lim x x x và 2
x x x 0 với mọi x 0. 0 x 0 3321 3 x 1
Câu 23: Giá trị của giới hạn lim là: x 1 3 33 4x 4 2 A. 1. B. 0. C. 1. D. . Lời giải Chọn C (x 1) x x x 1 3 4 4 2 4 4 4 3 2 3 Ta có lim lim x 1 3 x 1 4x 4 2
4x 483 2 3 x x 1 34x42 3
2 4x 4 4 12 lim 1. x 1 3 2 3 x x 12 4 1 3
2 1 x 8 x
Câu 24: Giá trị của giới hạn lim là: x 0 x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 70
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 5 13 11 13 A. . B. . C. . D. . 6 12 12 12 Lời giải Chọn B 3 3 2 1 x 8 x 2 1 x 2 2 8 x Ta có lim lim x 0 x 0 x x x 2 1 1 13 lim 1 . x 0 3 x 1 1 3
4 2 8 x 8 x 2 12 12
3 ax 1 1bx
Câu 25: Biết rằng b 0, a b 5 và lim
2 . Khẳng định nào dưới đây sai? x 0 x
A. 1 a 3. B. b 1. C. 2 2 a b 10.
D. a b 0. Lời giải Chọn A 3 3 ax 1 1 bx ax 1 1 1 1 bx Ta có lim lim x 0 x 0 x x x ax bx lim x 0 3 2 3 x1 1 1 1 1 x x x x a b a b lim 2. GV: T x 0 3 2 3 1 1 1 1 1 x x x 3 2 R Ầ N a b 5 a b ĐÌN 5 Vậy ta được: a b
a 3, b 2 2 2a 3b 12 H CƯ 3 2 2 – 2x 5x 3
Câu 26: Kết quả của giới hạn lim là: 0834 2
x x 6x 3 3321 A. 2. B. . C. 3. D. 2 . 33 Lời giải Chọn D 5 3 2 2 2 2x 5x 3 Ta có lim lim x x 2 . 2
x x 6x 3 x 6 3 1 2 x x 2 2 2x 5x 3 2x
Giải nhanh : khi x thì : 2. 2 2 x 6x 3 x 3 2 2x 5x 3
Câu 27: Kết quả của giới hạn lim là: 2 x x 6x 3 A. 2. B. . C. . D. 2 . Lời giải Chọn C
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 71
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 5 3 3 2 2 3 2x 5x 3 Ta có: lim lim . x x x . 2 x x 6x 3 x 6 3 1 2 x x 3 2 3 2x 5x 3 2x
Giải nhanh : khi x thì : 2x . 2 2 x 6x 3 x 3 2 2x 7x 11
Câu 28: Kết quả của giới hạn lim là: 6 5
x 3x 2x 5 A. 2. B. . C. 0. D. . Lời giải Chọn C 2 7 11 3 2 3 4 6 2x 7x 11 0 Ta có: lim lim x x x 0. 6 5
x 3x 2x 5 x 2 5 3 3 6 x x 3 2 3 2x 7x 11 2x 2 1
Giải nhanh : khi x thì : . 0. 6 5 6 3 3x 2x 5 3x 3 x 2x 3
Câu 29: Kết quả của giới hạn lim là: x 2 x 1 x A. 2. B. . C. 3. D. 1 . Lời giải GV: T Chọn D R Ầ Khi x thì 2 2 2 x x
x 1 x x x x x 2 x 0 N ĐÌN 3 2 H CƯ 2x 3
chia cả tử và mẫu cho x , ta được lim lim x 1 . x 2 x 1 x x 1 – 1 1 2 0834 x 2a 3321 x 3 Câu 30: Biết rằng
có giới hạn là khi x (với a là tham số). Tính giá trị nhỏ nhất 2 x 1 x 33 2
của P a 2a 4. A. P 1. B. P 3. C. P 4. D. P 5. min min min min Lời giải Chọn B Khi x thì 2 2 2 x x
x 1 x x x x x 0
Nhân lượng liên hợp:
2 ax 3 3 1 Ta có lim lim 2 ax 3 2x 1 x 2 lim x 2 a 1 1 . 2 x 2 1 x x x x x x 2 lim x x
2ax 3 Vì lim 1 x 2 lim 1 1 4 0 x 1 x 2 x x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 72
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 3 lim 2a
2a 0 a 2 . x x 2x 3
Giải nhanh : ta có x 2 x 1 x
ax 2x x ax 2 2 3 1 2 .
x x 22ax a 2 . Khi đó 2
P a 2a 4 a 2
1 3 3, P 3 a 1 2 P 3. min 2 4x x 1
Câu 31: Kết quả của giới hạn lim là: x x 1 A. 2. B. 1. C. 2. D. . Lời giải Chọn C 2 2 4x x 1 4x 2 x
Giải nhanh: khi x 2. x 1 x x 1 1 4 2 2 4x x 1 x x 4 Cụ thể: lim lim 2. x x 1 x 1 1 1 x 2
4 x 2x 1 2 x
Câu 32: Kết quả của giới hạn lim là: x 2
9x 3x 2x GV: T 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 5 R Ầ N ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn D – Giải nhanh : khi 0834 2 2
4 x 2x 1 2 x 4 x x 2 x x 1 3321 x . 2 2 3x 2x 5 9x 3x 2x 9x 2x 33 2 1 2 4 1 2 2
4x 2x 1 2 x x x x 1 Cụ thể : lim lim . x 2 9x 3x 2 x x 3 5 9 2 x 2
4 x 2x 1 2 x
Câu 33: Biết rằng L lim
0 là hữu hạn (với a,b là tham số). Khẳng định nào x 2
ax 3x bx dưới đây đúng. 3 3 A. a 0. B. L C. L D. b 0. a b b a Lời giải Chọn B Ta phải có 2
ax 3x 0 trên ;
a 0.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 73
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Ta có 2 2 x
4x 2x 1 2 x 4x x 3 x 0. 2
Như vậy xem như “tử” là một đa thức bậc 1. Khi đó 4 x 2x 1 2 x lim 0 khi và chỉ khi x 2
ax 3x bx 2
ax 3x bx là đa thức bậc 1. Ta có 2 2
ax 3x bx
ax bx a b x
a b 0. 2
4x 2x 1 2 x 3 x 3 Khi đó
L 0 b a 0 b a. 2
ax 3x bx
a bx b a 3 3 2 x 2x 1
Câu 34: Kết quả của giới hạn lim là: x 2 2x 1 2 2 A. . B. 0. C. . D. 1. 2 2 Lời giải Chọn C 3 3 2 3 3 x 2 x 1 x x 1
Giải nhanh: x . 2 2 2 x 1 2x 2x 2 2 1 3 1 3 3 2 3 x 2x 1 x x 1 Cụ thể: lim lim . x 2 2x 1 x 1 2 2 2 GV: T x R 2 Ầ
Câu 35: Tìm tất cả các giá trị của a để lim là . 2x 1 ax x N ĐÌN A. a 2. B. a 2. C. a 2. D. a 2. H CƯ Lời giải – 0834 Chọn B 3321 Giải nhanh: 2 2 x
2x 1 ax 2x x 33
2x ax a 2x a 2 0 a 2. 1
Cụ thể: vì lim x nên lim 2 2x 1 ax lim x 2 a x 2 x x x 1 lim 2 a
a 2 0 a 2. 2 x x
Câu 36: Giá trị của giới hạn 3 2
lim 2x x là: x A. 1. B. . C. 1. D. . Lời giải Chọn D Giải nhanh : 3 2 3 x
2x x 2x .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 74
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 3 lim x 1 x Cụ thể: lim 3 2 2x x 3 lim x 2 vì . 1 x x x lim 2 2 0 x x 1 1
Câu 37: Giá trị của giới hạn lim là: 2
x 2 x 2 x 4 A. . B. . C. 0. D. 1. Lời giải Chọn A 1 1 x 21 x 1 Ta có lim lim lim 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x 4 x 4 Vì lim x 1 3 0; lim và 2
x 4 0 với mọi x 2 ;2. 2 x 4 0 x 2 x 2 x 15
Câu 38: Kết quả của giới hạn lim là: x 2 x 2 15 A. . B. . C. . D. 1. 2 Lời giải Chọn A lim x1 5 13 0 x x 15 Vì 2 lim . lim x2 x2
0 & x 2 0, x 2 x 2 x2 GV: T x 2 R
Câu 39: Kết quả của giới hạn lim là: Ầ x 2 x 2 N ĐÌN A. . B. . H CƯ 15 C. .
D. Không xác định. 2 – 0834 Lời giải 3321 Chọn B 33
lim x 2 2 0 x2 x 2 lim . x2
lim x 2 0 & x 2 0, x 2 x 2 x2 3x 6
Câu 40: Kết quả của giới hạn lim là: x 2 x 2 A. . B. 3. C. .
D. Không xác định. Lời giải Chọn B
Ta có x 2 x 2 với mọi x 2, do đó : 3x 6 3 x 2 3x 2 lim lim lim lim 3 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 75
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 x
Câu 41: Kết quả của giới hạn lim là: 2 x 2 2x 5x 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn C 2 x 2 x 1 1 Ta có lim lim lim . 2 x 2 x 2 2x 5x 2
2 x12x x 2 1 2x 3 2 x 13x 30
Câu 42: Kết quả của giới hạn lim là: x 3 x 3 2 x 5 2 A. 2. B. 2. C. 0. D. . 15 Lời giải Chọn C
Ta có x 3 0 với mọi x 3, nên: 2 x 13x 30 x 3 x 1 0 x 3. x 1 0 3 3 3 7 lim lim lim 0 . x 3 x 3 2 x x 3 5 x 3 2 x x 3 2 5 x 5 2 3 5 2x víi x 1
f x 1 x . GV: T 2 3x 1 víi x 1 Câu 43: Cho hàm số
Khi đó lim f x là: x 1 R Ầ N A. . B. 2. C. 4. D. . ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn B – 0834 lim f x 2 2
lim 3x 1 3.1 1 2 x 1 x 1 3321 2 x 1 33 víi x 1
Câu 44: Cho hàm số f x 1 x
. Khi đó lim f x là: x 1 2x 2 víi x 1 A. . B. 1. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn A 2 2 lim x 1 2 f x x 1 lim lim vì x 1 . x 1 x 1 1 x
lim 1 x 0 & 1 x 0 x 1 x 1 2
x 3 víi x 2
Câu 45: Cho hàm số f x
. Khi đó lim f x là:
x 1 víi x 2 x2 A. 1. B. 0. C. 1. D. Không tồn tại. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 76
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn C
lim f x lim 2 x 3 1 Ta có x2 x2
lim f x lim f x 1 lim f x 1.
lim f x lim x x2 x2 x2 1 1 x2 x2 x víi x Câu 46: Cho hàm số f x 2 3 2
. Tìm a để tồn tại lim f x . ax 1 víi x 2 x 2 A. a 1. B. a 2. C. a 3. D. a 4. Lời giải Chọn B
lim f x lim ax 1 2a 1 Ta có x2 x2 .
lim f x lim x 2 3 3 x2 x2
Khi đó lim f x tồn tại lim f x lim f x 2a 1 3 a 2. x 2 x2 x2 2
x 2x 3 víi x 3 Câu 47: Cho hàm số f x 1
víi x 3. Khẳng định nào dưới đây sai? 2 3 2x víi x 3
A. lim f x 6.
B. Không tồn tại lim f x. x3 x3
C. lim f x 6.
D. lim f x 1 5. x3 x3 Lời giải GV: T Chọn C R Ầ 2 N
lim f x lim x x 2 3 6 ĐÌN Ta có x3 x3
lim f x lim f x
lim f x lim x x x 2 3 2 3 3 15 H CƯ x3 x3 –
không tồn tại giới hạn khi x 3. 0834
Vậy chỉ có khẳng định C sai. 3321 a b b a lim L lim 33 3 3 Câu 48: Biết rằng x 1 x 1
a b 4 và 1 x 1 x
hữu hạn. Tính giới hạn 1 x 1 x . A. 1. B. 2. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn C 2 2 Ta có a b a ax ax b a ax ax b lim lim lim . 3 3 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 2 1 1 1 1 x x a b Khi đó lim hữu hạn 2 1 . a 1 .
a 1 b 0 2a b 1 . 3 x 1
1 x 1 x a b 4 a 1 a b Vậy ta có L lim 3 x 1 2a b 1 b 3
1 x 1 x 2 x x 2 x 2 lim lim 1 . x 1 x 2 1 1 x x 2 x 1 1 x x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 77
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Câu 49: Giá trị của giới hạn 2 lim
1 2x x là: x A. 0. B. . C. 2 1. D. . Lời giải Chọn B 1 Ta có lim 2
1 2x x lim x 2 1 2 x x x 1 Vì lim x ; lim 2 1 2 1 0. 2 x x x Giải nhanh : 2 2 x
1 2x x 2x x 2x x 2 1 x .
Câu 50: Giá trị của giới hạn 2 lim
x 1 x là: x 1 A. 0. B. . C. . D. . 2 Lời giải Chọn A 2 2 x
x 1 x x x x x 0
Nhân lượng liên hợp. 1 1 1 Giải nhanh: 2 x
x 1 x 0. 2 2 2 1 x x x x x GV: T 1 1 0 R 2 x Ầ Cụ thể: lim x 1 x lim lim 0. x x 2 x N x 1 x 1 2 ĐÌN 1 1 2 x H CƯ Câu 51: Biết rằng
x x x a
b Tính S 5a . b x 2 lim 5 2 5 5 . – 0834 A. S 1. B. S 1. C. S 5. D. S 5. 3321 Lời giải 33 Chọn A 2 2 x
5x 2x x 5
5x x 5 5x x 5 0
Nhân lượng liên hợp: Giải nhanh: 2 x
5x 2x x 5 2x 2x 2x 1 . 2 2
5x 2x x 5 5x x 5 2 5x 5 2x Cụ thể: Ta có lim
x x x x 2 5 2 5 lim x 2
5x 2x x 5
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 78
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 2 2 1 1 a lim 5 5 S 1. x 2 2 5 5 5 5 5 b 0 x
Câu 52: Giá trị của giới hạn 2 2 lim
x 3x x 4x là: x 7 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn B . Khi 2 2 2 2 x
x 3x x 4x x x 0
Nhân lượng liên hợp: Giải nhanh: 2 2 x
x 3x x 4x x x x 1 . 2 2 2 2 2x 2 x 3x x 4x x x Cụ thể: 2 2 lim
x 3x x 4x x x 1 1 lim lim . x 2 2
x 3x x 4 x x 3 4 2 1 1 x x GV: T
Câu 53: Giá trị của giới hạn 3 3 2 lim
3x 1 x 2 là: x R A. 3 3 1. B. . C. 3 3 1. Ầ D. . N ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn D – 1 2 0834 lim 3 3 2
3x 1 x 2 3 lim x 3 1 3 2 x x x x 3321 1 2 33 Vì 3 3 lim x , lim 3 1 3 1 0. 3 2 x x x x Giải nhanh: 3 3 2 3 3 2 x x x x x 3 3 1 2 3 3 1 x .
Câu 54: Giá trị của giới hạn 2 3 3 2 lim
x x x x là: x 5 A. . B. . C. 1. D. . 6 Lời giải Chọn A Khi 2 3 3 2 2 3 3 x
x x x x x x x x 0
Nhân lượng liên hợp:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 79
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 3 3 2
x x x x 2 3 3 2 lim lim
x x x x x x x x 2 x x 1 1 5 lim . x 2 2 3 x x
x x x 1 3 2 3 6 1 3 x 2 3 1 Giải nhanh: 2 3 3 2 2 3 3 2 x x x x x x x
x x x 2 2 x x x x 2 2 3 x 1 x 1 3 3 2 2 2 3 3 6 6 3 1 x x
x x x x x x x x 1 1 5
x . 2 3 6
Câu 55: Giá trị của giới hạn 3 3 lim
2x 1 2x 1 là: x A. 0. B. . C. 1. D. . Lời giải Chọn A 3 3 3 3 x 2x 1 2x 1
2x 2x 0
nhân lượng liên hợp: lim 2 3 3
2x 1 2x 1 lim 0. x x 2x 2 3 1 2x 1 2x 1 2x 2 3 3 1 GV: T Giải nhanh: 3 3 2 x 1 2 x 1 R 2 2 2 Ầ 0. N 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 ĐÌN 2x
1 4x 1 2x 3 3 3 3 1
4x 4x 4x 3 4x H CƯ
Câu 56: Kết quả của giới hạn 1 lim x 1 là: x 0 x – 0834 A. . B. 1. C. 0 . D. . 3321 Lời giải 33 Chọn B Ta có 1 lim x 1
lim x 1 0 1 1. x 0 x 0 x
Câu 57: Kết quả của giới hạn x lim x 2 là: 2 x 2 x 4 A. 1 . B. . C. 0 . D. . Lời giải Chọn C Ta có x x x 2 . x 0. 2 lim 2 lim 0 . 2 x 2 x 2 x 4 x 2 2
Câu 58: Kết quả của giới hạn 2 x 1 lim x là: 3 2 x 3x x 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 80
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 A. . B. 6 . C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn B 1 2 2x 1 x x 2 2 1 6 lim lim lim x x . 3 2 3 2 x 3x x 2 x 3x x 2 x 1 2 3 3 3 x x Giải nhanh: 2 x 1 2 x 6 1 6 1 6 x x x. .x . .x . . 3 2 2 2 3 x x 2 3 x 3 3 x 3 x 1
Câu 59: Kết quả của giới hạn 2
lim x sin x là: 2 x 0 x A. 0. B. 1 . C. . D. . Lời giải Chọn B 1 Ta có 2
lim x sin x lim 2
x sin x 1 1. 2 x 0 x 0 x
Câu 60: Kết quả của giới hạn x lim là: 3 x 1 x 2 1 x 1 GV: T A. 3 . B. . C. 0 . D. . R Ầ Lời giải N ĐÌN Chọn C H CƯ x
Với x 1; 0 thì x 1 0 và 0 . – x 1 0834 x x 3 2 3321 Do đó lim x 1 lim x 1 x x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 33 x lim x 1 2 x x 1 0 x 1 x 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 81
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng (a;b) chứa điểm x . Hàm số f (x) được gọi là liên tục 0
tại điềm x nếu lim f (x) f x . 0 0 x x0
Hàm số f (x) không liên tục tại x được gọi là gián đoạn tại điểm đó. 0
2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG
Hàm số y f (x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
Hàm số y f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và
lim f (x) f (a), lim f (x) f (b) x a x b
Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a;b],[ ;
a ), được định nghĩa theo cách
tương tự. Có thể thấy đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
- Hàm số đa thức và các hàm số y sin x, y cos x liên tục trên .
- Các hàm số y tan x, y cot x, y x và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên GV: T
tục trên tập xác định của chúng. R Ầ
3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN N ĐÌN
Giả sử hai hàm số y f (x) và y g(x) liên tục tại điểm x . Khi đó: 0 H CƯ
a) Các hàm số y f (x) g(x), y f (x) g(x) và y f (x)g(x) liên tục tại x ; 0 – 0834 f (x) b) Hàm số y
liên tục tại x nếu g x 0 . 0 g(x) 0 3321 33
Nhận xét. Nếu hàm số y f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f (a) f (b) 0 thì tồn tại ít nhất một
điểm c (a;b) sao cho f (c) 0 .
Kết quả này được minh hoạ bằng đồ thị như Hình 5.8
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 82
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm 1. Phương pháp
Ta cần phải nắm vững định nghĩa:
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng K và x K. Hàm số y f x gọi là liên tục tại x nếu 0 0
lim f(x) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ). 0 0 xx0 xx xx o o
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho x 2 2 x f x
với x 0. Phải bổ sung thêm giá trị f 0 bằng bao nhiêu thì x
hàm số liên tục tại x 0? Lời giải x 2 2 x x 2 2 x lim f x lim lim x0 x0 x
x0 x 2 2 x 2 1 lim .
x0 x 2 2 x 2
Như vậy để hàm số liên tục tại x 0 thì phải bổ sung thêm giá trị 1 f 0 . 2 2
a x vôùi x 1 vaø a Ví dụ 2: Cho hàm số f x
. Giá trị của a để f x liên tục tại x 1 là bao 3 vôùi x 1 GV: T nhiêu? R Lời giải Ầ N ĐÌN TXĐ: D . Ta có: 2 H CƯ
lim f x lim a x a 1. x 1 x 1 –
Để hàm số liên tục tại x 1 lim f x f
1 a 1 3 a 4. 0834 x 1 2 3321 x 1
Ví dụ 3: Cho hàm số vôùi x 3 vaø x 2 f x 3 . x
Tìm b để f x liên tục tại x 6 x 3. 33 b 3 vôùi x 3 vaø b Lời giải TXĐ: D . Ta có: 2 x 1 3 lim f x lim ; f 3 b 3. 3 x 3 x 3 x x 6 3 3 2 3
Để hàm số liên tục tại x 3 lim f x f 3 b 3 b . x 3 3 3 a 2 khi x 2 Ví dụ 4: Cho hàm số f x .
Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x 2. sin khi x 2 x Lời giải TXĐ: D . Ta có
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 83
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com f 2 sin 1 2
lim f x lim a 2 a 2 x 2 x 2
lim f x lim sin 1 x2 x2 2
Hàm số liên tục tại x 2 khi a 1 2 a 3.
Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm x . 0 3 3x 2 2 neáu x 2 f x x 2 ; x 2. 0 ax 2 neáu x 2 Lời giải TXĐ: D . Ta có: 3 3x 2 2 3x 2 1 lim f x lim lim . 2 x2 x2 x 2 x2 4
x 23 3x 2 3 2 3x 2 4
lim f x ax 2 2a 2. x 2
Lại có: f 2 2a 2 . GV: T 1 7
Hàm số liên tục tại x 2 nếu 2a 2 a . 0 4 8 R Ầ x 2 N vôùi 5 x 4 ĐÌN x 5 H CƯ
Ví dụ 6: Cho hàm số f x mx 2 vôùi x 4
. Tìm giá trị của m để f x liên tục tại x 4 . x – vôùi x 4 0834 3 3321 Lời giải 33 x 2 2 x 2 Ta có: lim f x lim ; lim . x4 x4 x 5 3 x4 3 3 Và f 4 4m 2
Để hàm số liên tục tại x 4 thì lim f x lim f x f 4 x 4 x 4 2 1 4m 2 m . 3 3 2 x 8 3 neáu x 1 Ví dụ 7: Cho hàm số f x 2 x 4x 3
. Tìm giá trị của a để f x liên tục tại x 1 1 2 cos x a x neáu x 1 6 . Lời giải TXĐ: D .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 84
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 1 f 2 2 1
cos a 1 a 1. 6 6 1 1 lim f x 2 2 lim cos x a x a 1. x 1 x 1 6 6 2 2 2
x 8 3 x 8 3 x 8 3 lim f x lim lim 2 x 4x 3 2 x 4x 3 2 x 1 x 1 x 1 x 8 3 2 x 1 x 1 x 8 9 lim lim 2 x 4x 3 2 x 8 3 x 1 x 3 2 x 1 x 1 x 8 3 x 1 1 lim . 2 x 1 6 x 3 x 8 3
Để hàm số liên tục tại x 1 lim f x lim f x f 1 x 1 x 1 1 2 1 a 1 a 1. 6 6
Dạng 2. Hàm số liên tục trên tập xác định 1. Phương pháp
Để chứng minh hàm số y f x liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về
hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận. GV: T
Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính R Ầ N ĐÌN
liên tục trên tập xác định của nó. H CƯ
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không – 0834
liên tục tại các điểm nào 3321
Hàm số y f x được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc 33 khoảng đó.
Hàm số y f x được gọi là liên tục trên đoạn a,b nếu nó liên tục trên và a,b
lim f(x) f(a) , lim f(x) f(b . ) x a x b
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng : 2 2 x 4 x 2 khi x 2 khi x 2 a)
f x x 2
b) f x x 2 4
khi x 2 2 2 khi x 2 Lời giải
a) Hàm số f x liên tục với x 2 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 85
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 x 4
x 2 x 2
lim f x lim lim
lim x 2 2 2 4. x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 f 2 4
lim f x f 2
f x liên tục tại x 2 2 x 2 Từ
1 và 2 ta có f x liên tục trên .
b) Hàm số f x liên tục với x 2 1 2 x
x 2x 2 2
lim f x lim lim
lim x 2 2 2 2 2. x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
f 2 2 2 lim f x f 2 f x liên tục tại x 2 2 x 2 Từ
1 và 2 ta có f x liên tục trên .
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng: 2 2
x x 2
x x khi x 1 khi x 2 a)
f x x 2
b) f x 2 khi x 1
m khi x 2
mx 1 khi x 1 Lời giải
a) Hàm số f x liên tục với x 2 . GV: T
Do đó f x liên tục trên f x liên tục tại x 2 lim f x f 2 1 x2 2 R x x 2
x 2 x 1 Ầ
Ta có lim f x lim lim lim x
1 2 1 3; f 2 . m N x2 x2 x2 x 2 x 2 x2 ĐÌN H CƯ Khi đó
1 3 m m 3 . 2 –
b) Ta có: lim f x lim mx 1 m 1; lim f x lim x x 11 2; f 1 2. 0834 x 1 x 1 x 1 x 1 3321
Từ YCBT lim f x lim f x f
1 m 1 2 m 1. x 1 x 1 33
Dạng 3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng 1. Phương pháp
Chứng minh phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm
- Tìm hai số a và b sao cho f a.f b 0
- Hàm số f x liên tục trên đoạn a;b
- Phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm x a;b 0
Chứng minh phương trình f x 0 có ít nhất k nghiệm
- Tìm k cặp số a ,b sao cho các khoảng a ;b rời nhau và i i i i
f(a )f(b ) 0, i 1,...,k i i
- Phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm x a ;b . i i i
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 86
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Khi phương trình f x 0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho : -
f a, f b không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.
- Hoặc f a, f b còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x
1 x 2 2x 1 0. Lời giải
Đặt f x mx 1 x 2 2x 1.
Tập xác định: D nên hàm số liên tục trên . Ta có: f 1 3; f 2 3 f 1 .f 2 0.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) m x 3 2 2 1
1 x x 3 0
b) cos x m cos 2x 0
c) m2cos x 2 2sin5x 1 Lời giải m 1 a) Xét . Phương trình có dạng 2
x x 3 0 nên PT có nghiệm GV: T m 1 R Ầ m 1 N Với
giả sử f x m x 3 2 2 1
1 x x 3 ĐÌN m 1 H CƯ
f x liên tục trên R nên f x liên tục trên 1 ;0 – 2 Ta có f
1 m 1 0; f 0 1
0 f 1 .f 0 0 0834 3321
Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m 33
b) Đặt f x cos x mcos 2x f x liên tục trên R 1 3 1 3 Ta có f 0; f 0 f .f 0 4 2 4 2 4 4
Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
c) Đặt f x m2cos x 2 2sin5x 1 f x liên tục trên R 3 Ta có f
2 1 0; f 2 1 0 f .f 0 4 4 4 4
Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
Ví dụ 3. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) 3
x 3x 1 0 b) 3
2x 6 1 x 3 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 87
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
a Dễ thấy hàm f x 3
x 3x 1 liên tục trên R . Ta có: f 2 1 f 2 . f
1 0 tồn tại một số a 2; 1 : f a 0 1 . 1 1 f 1 3 f 0 1
f 0. f
1 0 tồn tại một số a 0;1 : f a 0 2 . 2 2 f 1 1 f 1 1 f
1 . f 2 0 tồn tại một số a 1; 2 : f a 0 3 . 3 3 f 2 3
Do ba khoảng 2; 1 , 0;
1 và 1; 2 đôi một không giao nhau nên phương trình 3
x 3x 1 0
có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.
Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên 3
x 3x 1 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. b Đặt 3 3 3
1 x t x 1 t 2t 6t 1 0 .
Xét hàm số f t 3
2t 6t 1 liên tục trên R .
f 2. f 1 3.5 0
Ta có: f 0. f 1 1. 3
0 tồn tại 3 số t , t và t lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một 1 2 3 GV: T f
1 . f 2 3.5 0 R Ầ N
không giao nhau là 2; 1 , 0;
1 và 1; 2 sao cho f t f t f t 0 và do đây là 1 2 3 ĐÌN H CƯ
phương trình bậc 3 nên f t 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. –
Ứng với mỗi giá trị t , t và t ta tìm được duy nhất một giá trị x thỏa mãn 3
x 1 t và hiển 1 2 3 0834
nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt. 3321
Ví dụ 4. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: 33 a) 5
x 3x 3 0 b) 4 3 2
x x 3x x 1 0 Lời giải
a Xét f x 5
x 3x 3.
lim f x tồn tại một số x 0 sao cho f x 0. 1 1 x
lim f x tồn tại một số x 0 sao cho f x 0. 2 2 x
Từ đó f x . f x 0 luôn tồn tại một số x x ; x : f x 0 nên phương trình 0 2 1 0 1 2 5
x 3x 3 0 luôn có nghiệm.
b Xét f x 4 3 2
x x 3x x 1 liên tục trên R Ta có: f 1 3 0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 88
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
lim f x tồn tại một số a 0 sao cho f a 0 . x 2
x x 3 0 nên luôn tồn tại một số x 0; a thỏa mãn f x 0 nên phương trình 0 0 4 3 2
x x 3x x 1 0 luôn có nghiệm. 1
Ví dụ 5. Chứng minh rằng phương trình 2
ax bx c 0 luôn có nghiệm x 0; với và a 0 3
2a 6b 19c 0 . Lời giải Đặt 2
f x ax bx c f x liên tục trên R x 0
Nếu c 0 thì f x 0 có 2 nghiệm là 1 x 3 1 a b 1 c
Nếu c 0 , ta có f 0 ; c f c
2a 6b 18c 3 9 3 18 18 2 1 c 1 f 0.f 0
. Do đó f x 0 có nghiệm trong 0; 3 18 3
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 5.14. Cho f x và g x là các hàm số liên tục tại x 1. Biết f 1 2 và GV: T
lim2 f x g x 3 . Tính g 1 . x 1 R Ầ N ĐÌN Lời giải H CƯ
Vì f x và g x liên tục tại x 1 suy ra 2 f 1 g
1 lim2 f x g x 3 suy ra g 1 1. x 1 –
Bài 5.15. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 0834 x
a) f x 3321 2 x 5x 6 2 33 1 x khi x 1
b) f x 4 x khi x 1. Lời giải x x
a) f x 2 x 5x 6
x 2 x 3
Tập xác định của f x : D R 2 ; 3
Suy ra f x liên tục trên ; 3 , 3 ; 2 và 2 ; .
b) Tập xác định: D R
Ta thấy lim4 x 3, lim 2 1 x
. Do đó không tồn tại giới hạn lim f x . 2 x 1 x 1 x 1
Vậy hàm số gián đoạn tại 1.
Bài 5.16. Tìm giá trị của tham số m đề hàm số liên tục trên .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 89
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com sin x khi x 0
f x
x m khi x 0 Lời giải
Ta có: limsinx 0 . x 0
Để hàm số liên tục trên R thì limsinx lim x m 0 m 0 x 0 x 0
Bài 5.17. Một bảng giá cước taxi được cho như sau:
Gía mở cửa 0,5km
Gía cước các km tiếp theo đến 30km Giá cước từ km thứ 31 10000 đồng 13500 đồng 11 000 đồng
a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a. Lời giải
10000x khi x 0.5 a)
f x 5000 13500 x 0.5 khi 0.5 x 30
403250 11000x 30khi x 30 GV: T R D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Ầ N ĐÌN 2
x x 2 Câu 1: khi x 2
Tìm giá trị thực của tham số
m để hàm số f x
liên tục tại x 2. H CƯ x 2 m khi x 2 – 0834 A. m 0. B. m 1. C. m 2. D. m 3. 3321 Lời giải 33 Chọn D
Tập xác định: D , chứa x 2 . Theo giả thiết thì ta phải có 2
m f f x x x 2 2 lim lim limx 1 3. x2 x2 x2 x 2 3 2
x x 2x 2 Câu 2: khi x 1
Tìm giá trị thực của tham số
m để hàm số f x x 1 liên tục tại 3 x m khi x 1 x 1. A. m 0. B. m 2. C. m 4. D. m 6. Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 90
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
. Hàm số xác định với mọi x . Theo giả thiết ta phải có 2 2 x 1 2 3 2 x x x x 2
3 m f
1 lim f x lim lim lim 2 x 2 3 m 0. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 khi x 1
Câu 3: Tìm giá trị thực của tham số k để hàm số y f x x 1
liên tục tại x 1. k 1 khi x 1 1 1 A. k . B. k 2. C. k . D. k 0. 2 2 Lời giải Chọn C
Hàm số f x có TXĐ: D 0;. Điều kiện bài toán tương đương với x 1 1 1 1
Ta có: k 1 y 1 lim y lim lim k . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 3 x khi x 3
Câu 4: Biết rằng hàm số f x x 1 2
liên tục tại x 3 (với m là tham số). m khi x 3
Khẳng định nào dưới đây đúng? GV: T A. m 3;0. B. m 3 . C. m 0;5. D. m5;. R Ầ Lời giải N ĐÌN Chọn B H CƯ
Hàm số f x có tập xác định là 1
; . Theo giả thiết ta phải có – 0834 x
3 x x 1 2 3 3321
m f 3 lim f x lim lim
lim x 1 2 4. x 3 x 3 x 3 x 3 x 1 2 x 3 33 3 khi x 1 4 x x
Câu 5: Hàm số f x khi x 1
, x 0 liên tục tại: 2 x x 1 khi x 0
A. mọi điểm trừ x 0, x 1.
B. mọi điểm x .
C. mọi điểm trừ x 1 . D. mọi điểm trừ x 0. Lời giải Chọn B
Hàm số y f x có TXĐ: D .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 91
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Dễ thấy hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ; 1 , 1
; 0 và 0; . (i) Xét tại x 1 , ta có x x 1 2 4 x x x x 1
lim f x lim lim lim 2
x x 1 3 f 1 . 2 x 1 x 1 x 1 x x x x x 1 1
hàm số y f x liên tục tại x 1 .
(ii) Xét tại x 0 , ta có x x 1 2 4 x x x x 1
lim f x lim lim lim 2
x x 1 1 f 0 . 2 x0 x0 x0 x x x x x0 1
hàm số y f x liên tục tại x 0 . 0, 5 khi x 1
x x 1
Câu 6: Số điểm gián đoạn của hàm số f x khi x 1 , x 1 là: 2 x 1 1 khi x 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải GV: T Chọn B R Ầ
Hàm số y f x có TXĐ D . N ĐÌN x x 1 H CƯ
Hàm số f x
liên tục trên mỗi khoảng ; 1 , 1 ;1 và 1; . 2 x 1 – 0834 x x 1 x 1 (i) Xét tại x 1
, ta có lim f x lim lim f 1 Hàm số liên 2 x1 x1 x1 x 1 x 1 2 3321 tục tại x 1 . 33 x x 1 x
lim f x lim lim 2 (ii) Xét tại x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1, ta có x x 1 x
lim f x lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Hàm số y f x gián đoạn tại x 1. 2 2 m x khi x 2
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f x liên tục
1 m x khi x 2 trên ? A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 92
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn A
TXĐ: D . Hàm số liên tục trên mỗi khoảng ; 2 ; 2; .
Khi đó f x liên tục trên f x liên tục tại x 2
lim f x f 2 lim f x lim f x f 2. * x 2 x 2 x 2 f 2 2 4m m 1
Ta có lim f x lim 1 m x 21 m * 2 4m 2 1 m 1 . x2 x2 m f x 2 2 2 2 lim
lim m x 4m x2 x2 x khi x 0;4
Câu 8: Biết rằng hàm số f x tục trên 0;
6 . Khẳng định nào sau đây 1 m khi x 4;6 đúng? A. m 2. B. 2 m 3. C. 3 m 5. D. m 5. Lời giải Chọn A
Dễ thấy f x liên tục trên mỗi khoảng 0;4 và 4;6 . Khi đó hàm số liên tục trên GV: T
đoạn 0;6 khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x 4, x 0, x 6 . R Ầ N
lim f x f 0 ĐÌN x0
Tức là ta cần có lim f x f 6 . * H CƯ x6
lim f x lim f x f 4 – x4 x4 0834 3321
lim f x lim x 0
lim f x lim 1 m 1 m x0 x0 • ; x6 x6 • ; 33
f 0 0 0
f 6 1 m
lim f x lim x 2 x4 x4
• lim f x lim 1 m 1 m; Khi đó * trở thành 1 m 2 m 1 2. x4 x4
f 4 1 m 2
x 3x 2 khi x 1
Câu 9: Có bao nhiêu giá trị của tham số
a để hàm số f x x 1 liên tục trên a khi x 1 . A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 93
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn C
Hàm số f x liên tục trên ;1 và 1;
. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khi
và chỉ khi nó liê tục tại x 1, tức là ta cần có
lim f x f
1 lim f x lim f x f 1 . * x 1 x 1 x 1
x 2 khi x 1
lim f x lim 2 x 1 Ta có f x x 1 x 1 a khi x 1
* không tỏa mãn với mọi
lim f x lim x 2 1 2
x khi x 1 x 1 x 1 a .
Vậy không tồn tại giá trị a thỏa yêu cầu. 2 x 1 khi x 1 Câu 10: Biết rằng
f x x 1
liên tục trên đoạn 0
;1 (với a là tham số). Khẳng định a khi x 1
nào dưới đây về giá trị a là đúng?
A. a là một số nguyên.
B. a là một số vô tỉ. C. a 5. D. a 0. Lời giải Chọn A
Hàm số xác định và liên tục trên 0;
1 . Khi đó f x liên tục trên 0 ;1 khi và chỉ khi GV: T
lim f x f 1 . * x 1 R Ầ f 1 a N ĐÌN Ta có 2 * a 4. f x x 1 lim lim lim x 1 x 1 4 x 1 x 1 x 1 H CƯ x 1 – x 1 khi x 1 0834 Câu 11:
Xét tính liên tục của hàm số f x 2 x 1
. Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 x khi x 1 3321
A. f x không liên tục trên .
B. f x không liên tục trên 0;2. 33
C. f x gián đoạn tại x 1.
D. f x liên tục trên . Lời giải Chọn D
f 1 2
Ta có lim f x lim 2 x 2
f x liên tục tại x 1. x 1 x 1 f x x 1 lim lim lim 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1
Vậy hàm số f x liên tục trên .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 94
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2
x 5x 6 khi x 3
Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a để hàm số f x 4x 3 x liên tục tại . x 3 2 1 a x khi x 3 A. 2 . B. 2 . C. 4 . D. 4 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A
Điều kiện bài toán trở thành: lim f x lim f x f 3 . * x 3 x 3 f 2 3 1 3a 2 x 2 4x 3 5 6 x x x
Ta có lim f x lim lim 3 x3 x 3 x 3 4x 3 x 1 x
lim f x lim 2 1 a x 3 1 3a . x3 x 3 * 2 2 a a . min 3 3 3 3x 2 2 khi x 2
Câu 13: Tìm giá trị lớn nhất của
a để hàm số f x x 2 liên tục tại x 2. 1 2 a x khi x 2 4 A. a 3. B. a 0. C. a 1. D. a 2. max max max max GV: T Lời giải R Ầ N ĐÌN Chọn C H CƯ
Ta cần có lim f x lim f x f 2. * x 2 x 2 – 0834 f 2 7 2 2a 4 3321 3 Ta có f x 3x 2 2 1 lim lim * a 1 a 1. max x2 x 2 33 x 2 4
lim f x 1 7 2 2 lim a x 2a x2 x 2 4 4 1
cos x khi x 0
Câu 14: Xét tính liên tục của hàm số
f x
. Khẳng định nào sau đây đúng? x 1 khi x 0
A. f x liên tục tại x 0.
B. f x liên tục trên ;1 .
C. f x không liên tục trên .
D. f x gián đoạn tại x 1. Lời giải Chọn C
Hàm số xác định với mọi x .
Ta có f x liên tục trên ; 0 và 0; .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 95
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
f 01
Mặt khác lim f x lim 1cos x 1cos 0 0
f x gián đoạn tại x 0. x 0 x 0
lim f x lim x1 011 x0 x 0 x x
Câu 15: Tìm các khoảng liên tục của hàm số f x cos khi 1 2
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
x1 khi x 1
A. Hàm số liên tục tại x 1 .
B. Hàm số liên tục trên các khoảng , 1 ; 1; .
C. Hàm số liên tục tại x 1 .
D. Hàm số liên tục trên khoảng 1 , 1 . Lời giải Chọn A
Ta có f x liên tục trên ; 1 , 1 ; 1 , 1; . f 1 cos 0 Ta có 2
f x gián đoạn tại x 1. lim f
x lim x 1 2 x 1 x 1 f GV: T 1 cos 0 2
Ta có lim f x lim x 1 0
f x liên tục tại x 1. R x 1 x 1 Ầ N x ĐÌN
lim f x lim cos 0 x 1 x 1 2 H CƯ
Câu 16: Hàm số f x có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu? – 0834 y 3321 3 33 1 x O 1 2 A. x 0. B. x 1. C. x 2. D. x 3. Lời giải Chọn B
Dễ thấy tại điểm có hoành độ x 1 đồ thị của hàm số bị ' đứt ' nên hàm số không liên tục tại đó.
Cụ thể: lim f x 0
3 lim f x nên f x gián đoạn tại x 1. x 1 x 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 96
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 x
khi x 1, x 0 x Câu 17: Cho hàm số f x 0 khi x 0
. Hàm số f x liên tục tại: x khi x 1
A. mọi điểm thuộc .
B. mọi điểm trừ x 0 .
C. mọi điểm trừ x 1 .
D. mọi điểm trừ x 0 và x 1 . Lời giải Chọn A
Hàm số y f x có TXĐ: D .
Dễ thấy hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ; 0,0 ;1 và 1; .
f 00 2 Ta có x
lim f x lim lim x 0
f x liên tục tại x 0. x 0 x 0 x 0 x 2 x
lim f x lim lim x 0 x0 x 0 x 0 x
f 11 2 Ta có x
lim f x lim lim x 1 f x liên tục tại x 1. x 1 x 1 x 1 x GV: T
lim f x lim x 1 x 1 x 1 R Ầ N
Vậy hàm số y f x liên tục trên . ĐÌN 2 H CƯ x 1
khi x 3, x 1 x 1 – Câu 18: Cho hàm số
f x 4 khi x 1
. Hàm số f x liên tục tại: 0834
x1 khi x 3 3321 33
A. mọi điểm thuộc .
B. mọi điểm trừ x 1 .
C. mọi điểm trừ x 3 .
D. mọi điểm trừ x 1 và x 3 . Lời giải Chọn D
Hàm số y f x có TXĐ: D .
Dễ thấy hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ; 1 ,1; 3 và 3; . f 1 4 Ta có 2 f x gián đoạn tại x 1. f x x 1 lim lim limx 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 97
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com f 3 2 Ta có 2 f x gián đoạn tại x 3. f x x 1 lim lim lim x 1 4 x 3 x 3 x 3 x 1 2
x khi x 0
Câu 19: Số điểm gián đoạn của hàm số hx 2
x 1 khi 0 x 2 là:
3x1 khi x 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải Chọn A
Hàm số y hx có TXĐ: D .
Dễ thấy hàm số y hx liên tục trên mỗi khoảng ;
0,0;2 và 2; . h 0 1 Ta có
f x không liên tục tại x 0 .
lim h x lim 2x 0 x 0 x 0 h2 5
Ta có lim h x lim x
f x liên tục tại x 2 . 2 1 5 x2 x2
lim h x lim 3x 1 5 x2 x2 GV: T 2
x x khi x 1 R Câu 20: liên tục tại Ầ
Tính tổng S gồm tất cả các giá trị m để hàm số f x 2 khi x 1 x 1 N 2 ĐÌN m
x 1 khi x 1 H CƯ . A. S 1. B. S 0. C. S 1. D. S 2. – 0834 Lời giải 3321 Chọn B 33
Hàm số xác định với mọi x .
Điều kiện bài toán trở thành lim f x lim f x f 1 . * x 1 x 1 f 1 2
Ta có lim f x lim m x m m 2 2 1 1 * 2 1 2 x 1 x 1
lim f x lim x x 2 2 x 1 x 1 m 1 S 0.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 98
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com x
cos x khi x 0 2 Câu 21: x Cho hàm số
f x
khi 0 x 1. Hàm số f x liên tục tại: 1 x 3 x khi x 1
A. mọi điểm thuộc x .
B. mọi điểm trừ x 0.
C. mọi điểm trừ x 1.
D. mọi điểm trừ x 0; x 1. Lời giải Chọn C
Hàm số y f x có TXĐ: D .
Dễ thấy f x liên tục trên mỗi khoảng ; 0,0 ;1 và 1; . f 0 0
Ta có lim f x lim x cos x 0
f x liên tục tại x 0 . x0 x0 2 x
lim f x lim 0 x0 x0 1 x f 1 1 2 x 1
Ta có lim f x lim
f x không liên tục tại x 1 . GV: T x 1 x 1 1 x 2
lim f x 3 lim x 1 R x 1 Ầ x 1 N ĐÌN
Câu 22: Cho hàm số f x 3 4
x 4x 1. Mệnh đề nào sau đây là sai? H CƯ
A. Hàm số đã cho liên tục trên . – 0834
B. Phương trình f x 0 không có nghiệm trên khoảng ; 1 . 3321
C. Phương trình f x 0 có nghiệm trên khoảng 2 ;0. 33 1 D. Phương trình
có ít nhất hai nghiệm trên khoảng f x 0 3; . 2 Lời giải Chọn B
(i) Hàm f x là hàm đa thức nên liên tục trên A đúng. f 1 1 0 (ii) Ta có
f x có nghiệm , mà x trên 2 ;1 f 0 2 23 0 1 2 ; 1 2 ;0 ; 1 B sai và C đúng
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 99
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
f 0 1 0 (iii) Ta có
f x 0 1 1 có nghiệm
Kết hợp với (1) suy ra x thuộc 1 0; . 2 f 0 2 2 2 1
f x 0 có các nghiệm x , x thỏa: 3 x 1 0 x D đúng. 1 2 1 2 2
Câu 23: Cho phương trình 4 2
2x 5x x 1 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng 1 ; 1 .
B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng 2 ;0.
C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng 2 ;1 .
D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng 0; 2. Lời giải Chọn D
Hàm số f x 4 2
2x 5x x 1 là hàm đa thức có tập xác định là nên liên tục trên . Ta có f 0 1 (i) f
1 . f 0 0
f x 0 có ít nhất một nghiệm x thuộc 1;0 1 f 1 3 GV: T . R Ầ N f 0 1 ĐÌN (ii)
f 0. f 1 0
f x 0 có ít nhất một nghiệm x thuộc 0 ;1 . 2 f 1 1 H CƯ – f 1 1 0834 (iii) f
1 . f 2 0
f x 0 có ít nhất một nghiệm x thuộc 1;2. 3 f 2 15 3321 33
Vậy phương trình f x 0 đã cho có các nghiệm x , x , x thỏa 1 2 3 1
x 0 x 1 x 2 1 2 3 Câu 24: Cho hàm số 3
f ( x ) x 3x 1 . Số nghiệm của phương trình f x 0 trên là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D
Hàm số f x 3
x 3x 1 là hàm đa thức có tập xác định là nên liên tục trên . Do đó
hàm số liên tục trên mỗi khoảng 2 ; 1 , 1 ;0, 0;2. Ta có
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 100
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com f 2 3 f 2 f 1 0
1 có ít nhất một nghiệm thuộc 2 ; 1 . f 1 1 f 1 1 f
1 f 0 0
1 có ít nhất một nghiệm thuộc 1 ;0 . f 0 1 f 21
f 2 f 0 0
1 có ít nhất một nghiệm thuộc 0;2 . f 0 1
Như vậy phương trình
1 có ít nhất ba thuộc khoảng 2;2 . Tuy nhiên phương trình
f x 0 là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm. Vậy phương trình f x 0 có đúng nghiệm trên .
Câu 25: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1
;4 sao cho f
1 2 , f 4 7 . Có thể nói gì về số
nghiệm của phương trình f x 5 trên đoạn [ 1 ;4] : A. Vô nghiệm.
B. Có ít nhất một nghiệm. C. Có đúng một nghiệm. D. Có đúng hai nghiệm. Lời giải Chọn B GV: T
Ta có f x 5 f x5 0 . Đặt gx f x5. Khi đó R g 1 f 1 5 2 5 3 Ầ N g 1 g 4 0. ĐÌN
g 4 f 45 7 5 2 H CƯ
Vậy phương trình gx 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 1;4 hay phương trình –
f x 5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 1;4 . 0834 3321
Câu 26: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 1 0;10 để phương 33 trình 3 2
x 3x 2m 2x m 3 0 có ba nghiệm phân biệt x , x , x thỏa mãn 1 2 3 x 1
x x ? 1 2 3 A. 19. B. 18. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn C
Xét hàm số f x 3 2
x 3x 2m2x m3 liên tục trên .
● Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x , x , x sao cho x 1
x x . Khi đó 1 2 3 1 2 3
f x x x x x x x . 1 2 3 Ta có f 1 1 x 1 x 1
x 0 (do x 1
x x ). 1 2 3 1 2 3 Mà f 1 m 5 nên suy ra m
5 0 m 5.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 101
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
● Thử lại: Với m 5 , ta có
▪ lim f x nên tồn tại a 1 sao cho f a 0 . 1 x ▪ Do m 5 nên f 1 m 5 0 . 2
▪ f 0 m 3 0 . 3
▪ lim f x nên tồn tại b 0 sao cho f b 0 . 4 x Từ 1 và
2 , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng ; 1 ; Từ 2 và 3 , suy
ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng 1 ;0 ; Từ
3 và 4 , suy ra phương trình có
nghiệm thuộc khoảng 0; . Vậy khi m 5 thỏa mãn m
m 9;8;7;6 m . 10;10 GV: T R Ầ N ĐÌN H CƯ – 0834 3321 33
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 102
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG V
GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM Câu 5.18:
Cho dãy số u với 2 u
n 1 n . Mệnh đề đúng là n n A. lim u . B. lim u 1. C. lim u . D. lim u 0 . n n n n n n n n Lời giải Chọn C 2 2 2 2n Câu 5.19: Cho u
. Giới hạn của dãy số u bằng n n 2n A. 1. B. 2. C. -1. D. 0. Lời giải Chọn D 2 Câu 5.20:
Cho cấp số nhân lùi vô hạn u với u
. Tổng của cấp số nhân này bằng n n 3n A. 3. B. 2. C. 1. D. 6. Lời giải GV: T Chọn C R Ầ N ĐÌN 2 2 1 u có u , q n n 1 3 3 3 H CƯ 2 – u 1 3 0834 S 1 1 q 1 1 3321 3 33 Câu 5.21:
Cho hàm số f x x 1 x 2 . Mệnh đề đúng là 1
A. lim f x .
B. lim f x 0 .
C. lim f x 1 .
D. lim f x . x x x x 2 Lời giải Chọn B 2 x x Câu 5.22:
Cho hàm số f x
. Khi đó lim f x bằng x x 0 A. 0. B. 1. C. . D. -1. Lời giải Chọn B
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 103
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com x 1 Câu 5.23:
Cho hàm số f x
. Hàm số f x liên tục trên x 1 A. ; B. ; 1 . C. ; 1 1 ; . D. 1 ; Lời giải Chọn C 2
x x 2 khi x 1 Câu 5.24:
Cho hàm số f x x 1
. Hàm số f x liên tục tại x 1 khi a khi x 1 A. a 0 . B. a 3. C. a 1 . D. a 1. Lời giải Chọn B 2 x x 2 lim l im x 2 3 x 1 x 1 x 1
Để f x liên tục tại x 1 thì lim f x f 1 suy ra a 3 . x 1 PHẦN 2: TỰ LUẬN 2
Bài 5.25. Cho dãy số u có tính chất u 1
. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này? GV: T n n n R Ầ N Lời giải ĐÌN 2 2 2 2 2 H CƯ u ∣ 1 u 1 1 u 1 n n n n n n n n – 2 2 0834 lim 1 1; lim 1 1 n n 3321 limu 1 n 33
Bài 5.26. Tìm giới hạn của các dãy số sau: 2 n a) u . n 2 3n 7n 2 n 3k 5k b) v n . 6k k 0 sinn c) w . n 4n Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 104
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 n 1 1 a) lim lim lim n 2 3n 7n 2 7 2 3 3 2 n n k k 1 5 n 3k 5k n 2 6 b) lim lim 0 6k k 1k k 0 0 sinn sinn 1 1 c) lim lim 4 n 4 4
Bài 5.27. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số. a) 1, 01 ; b) 5,132 . Lời giải a) Ta có: 1,
01 1 0, 01 0, 0001 0, 000001 2 4 6
1110 110 110
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với 2
u 1, q 10 nên 1 u 1 100 1 1, 01 2 1 q 110 99
b) Ta có: 5,132 5 0,132 0,000132 0,000000132 3 6 9 5 132 10 132 10 132 10 3 6 9
132 10 132 10 132 10 là tổng của cấp số nhân lưi vô hạn với 3 3 u 132 10 , q 10 GV: T 1 3 u 132 10 1709 1 R nên 5.132 5 Ầ 3 N 1 q 110 333 ĐÌN
Bài 5.28. Tính các giới hạn sau: H CƯ x 2 3 3 x 1 a) lim ; b) lim ; – 2 x7 x 1 x 7 x 1 0834 3321 2 x x 2 c) lim ; d) lim . 2 x 1 (1 x) x 2 33 4x 1 Lời giải x 2 3 1 1 a) lim lim x7 x7 x 7 x 2 3 6 3 2 x 1 x x 1 3 b) lim lim . 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 x 1 c) lim lim2 x 2 2 x 1 x 1 (1 x) (1 x) lim 2 x 1 x 1 1 lim 2 x 1 (1 x)
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 105
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 x lim x 1 x2 1 2 1 x 2 1 d) lim lim x x 2 4x 1 x 1 2 4 2 x
Bài 5.29. Tính các giới hạn một bên: 2 x 9 x a) lim . b) lim . x 3 x 3 x 1 1 x Lời giải
a) x 3 x 3 0 2 2 x 9 x 9 lim lim
lim x 3 6 x3 x3 x3 x 3 x 3 b) limx 1 x 1 1 lim x 1 1 x x lim GV: T x 1 1 x R x Ầ
Bài 5.30. Chứng minh rằng giới hạn lim không tồn tại. N x0 ĐÌN x H CƯ Lời giải – x 0834
f x lim x 0 x 3321 33 1 1 1
Ta lấy hai dãy của biến hội tụ về 1 2 0x ; x Khi đó: lim 1 n f x n lim 1 n n n n 1 n 1 2 lim n x n lim 1 1 n lim 1 x x n 2 l im n x x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 106
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com x Vậy không tồn tại lim . x0 x
Bài 5.31. Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho. 1 khi x 0
a) f x x
tại điểm x 0; 1 khi x 0 1
x khi x 1
b) g x tại điểm x 1
2 x khi x 1 Lời giải 1
a) lim f x lim x0 x0 x f 0 1
Vì f 0 lim f x suy ra hàm số gián đoạn tại x 0 . x0
b) lim g x lim 1 x 2 x 1 x 1
lim g x lim2 x 1 . x 1 x 1 do đó không tồn tại lim gx GV: T x 1
Vậy hàm số gián đoạn tại x 1. R Ầ N
Bài 5.32. Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái ĐÌN Đất là H CƯ – GMr 0834 khi r R 3 R r) 3321 GM khi r R, 2 r 33
trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét
tính liên tục của hàm số F r . Lời giải
Fr liên tục trên khoảng 0;
Bài 5.33. Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên
các khoảng xác định của chúng. cosx x 2
a) f x ;
b) g x . 2 x 5x 6 sinx Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 107
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
a) Tập xác định : D R \ 2 ; 3 .
b) Tập xác định: D R\k.
x 1 khi x a
Bài 5.34. Tìm các giá trị của a để hàm số f x liên tục trên . 2 x khi x a Lời giải
lim f x lim x 1 a 1 xa xa lim f x 2 2 lim x a xa xa
x 1 khi x a
Để f x
liên tục trên thì lim f x lim f x .a 2 x khi x a xa xa 1 5 a 2 2 2
a a 1 a a 1 0 1 5 a 2 GV: T R Ầ N ĐÌN H CƯ – 0834 3321 33
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 108
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG V PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM n n 1 3 4.2 3
Câu 1: Kết quả của lim bằng: 3.2n 4n A. . B. . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn C n n n 3 1 1 n n 1 n n 2. 3. 3 4.2 3 3 2.2 3 4 2 4 lim lim lim 0 3.2n 4n 3.2n 4n n 1 3. 1 2
Câu 2: Giá trị đúng của 2 2 lim
n 1 3n 2 là: A. . B. . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn B GV: T lim 1 2 2 2
n 1 3n 2 lim n 1 3 . 2 2 R n n Ầ N ĐÌN 1 2 H CƯ
Vì lim n ; lim 1 3 1 3 0 . 2 2 n n – 0834
Câu 3: Giá trị đúng của lim 3n 5n là: 3321 A. . B. . C. 2 . D. 2 . 33 Lời giải Chọn B n n n n 3 lim 3 5 lim 5 1 . 5 n n 3 Vì lim 5 ; lim 1 1 . 5
Câu 4: Tính giới hạn n 1 n n 1 lim 16 4 16 3n T 1 1 1 A. T 0 B. T C. T D. T 4 8 16 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 109
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn C 4n 3n Ta có T n 1 n n 1 lim 16 4 16 3 lim n 1 n n 1 16 4 16 3n n 3 1 4n 3n 4 1 1 lim lim .
16.16n 4n 16.16n 3n n n 1 3 4 4 8 16 16 4 4 3u 1
Câu 5: Cho dãy số u có limu 2 . Tính giới hạn lim n . n n 2u 5 n 1 3 5 A. B. C. D. 5 2 9 Lời giải Chọn C 3u 1 3.2 1 5
Từ lim u 2 ta có lim n . n 2u 5 2.2 5 9 n 3 2 2n n 4 1 Câu 6: Biết lim
với a là tham số. Khi đó 2 a a bằng 3 an 2 2 A. 12 . B. 2 . C. 0 . D. 6 . GV: T Lời giải Chọn A R Ầ N 1 4 3 ĐÌN 3 2 n 2 3 Ta có 2n n 4 n n 2 1 lim lim . H CƯ 3 an 2 2 3 a 2
n a 3 n – 0834
Suy ra a 4 . Khi đó 2 2
a a 4 4 12 . 3321 1 1 1 Câu 7: Tìm L lim ... 1 1 2
1 2 ... n 33 5 3 A. L . B. L . C. L 2 . D. L . 2 2 Lời giải Chọn C
Ta có 1 2 3 ... k là tổng của cấp số cộng có u 1, d 1 nên 1 1 k k
1 2 3 ... k 2 1 2 2 2 , * k . 1 2 ... k k k 1 k k 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 110
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L lim ... lim 2 . 1 2 2 3 3 4 n n 1 1 n 1 Câu 8: Tính I n 2 2 lim n 2 n 1 . 3 A. I B. I C. I 1, 499 D. I 0 2 Lời giải Chọn B 3n 3 3 Ta có: I n 2 2 lim n 2 n 1 lim lim 2 2
n 2 n 1 2 1 2 1 1 2 2 n n
Câu 9: Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại? 3n 1 2n 1 4n 1 n 1 A. lim B. lim C. lim D. lim 3n 1 2n 1 3n 1 n 1 Lời giải Chọn C Ta có 1 1 GV: T 3 2 3n 1 3 1 2n 1 2 1 lim lim
n 1 vì lim 0 ; lim lim
n 1 vì lim 0 R 3n 1 1 3 n 2n 1 1 2 n Ầ 3 2 N ĐÌN n n H CƯ 1 1 4 1 4n 1 4 n 1 n 1 n 1 – lim lim vì lim 0 ; lim lim 1 vì lim 0 . 0834 3n 1 1 3 n n 1 1 n 3 1 n n 3321 2 3 3 33
Câu 10: Tính lim n 4n 3 8n n. 2 A. . B. 1. C. . D. . 3 Lời giải Chọn D Ta có: n 2 3 3 lim
4n 3 8n n n 2 n n 3 3 lim 4 3 2 2n 8n n n 2 n n n 3 3 lim 4 3 2 2n 8n n .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 111
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 3n 3 3 Ta có: n 2 lim
4n 3 2n lim lim . 2
4n 3 2n 3 4 4 2 2 n 2 n Ta có: n 3 3 lim
2n 8n n lim 2 3
4n 2n 8n n 3 3 8n n2 3 1 1 lim . 2 12 1 1 3 3 4 2 8 8 2 2 n n 3 1 2 Vậy lim n 2 3 3
4n 3 8n n . 4 12 3 x 2
Câu 11: Giới hạn lim bằng 2 x2 x 4 1 A. 2 . B. 4 . C. . D. 0 . 4 Lời giải Chọn C x 2 x 2 1 1 GV: T lim lim lim . 2 x2 x2 x 4
x 2 x 2 x2 x 2 4 R Ầ x 3 N
Câu 12: Tính giới hạn L lim ĐÌN x3 x 3 H CƯ A. L B. L 0 C. L D. L 1 Lời giải – 0834 Chọn B 3321 x 3 3 3 33 Ta có L lim 0 . x3 x 3 3 3 4x 1 Câu 13: lim bằng
x x 1 A. 2 B. 4 C. 1 D. 4 Lời giải Chọn D 1 4 4x 1 lim lim x 4 .
x x 1 x 1 1 x 3x 2 Câu 14: lim bằng
x 2x 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 112
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 3 3 A. . B. . C. 1. D. . 2 4 2 Lời giải Chọn D 2 3 3x 2 3 Ta có: lim lim x .
x 2x 4 x 4 2 2 x
Câu 15: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 1 1 1 1 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 5 x 0 x x 0 x x0 x x 0 x Lời giải Chọn B 1 Ta có: lim
do lim x 0 và x 0 . Vậy đáp án A đúng. x 0 x x 0 Suy ra đáp án B sai.
Các đáp án C và D đúng. Giải thích tương tự đáp án A . 2x 1 GV: T
Câu 16: Tính giới hạn lim .
x x 1 R 1 Ầ N A. . B. 1. C. 2 . D. 1. ĐÌN 2 H CƯ Lời giải – Chọn C 0834 3321 1 2 2x 1 lim lim x 2. 33
x x 1 x 1 1 x x
Câu 17: Xác định lim . 2 x0 x A. 0 . B. . C. Không tồn tại. D. . Lời giải Chọn C x x 1 Ta có lim lim lim . 2 2 x 0 x 0 x 0 x x x x x 1 lim lim lim . 2 2 x 0 x 0 x 0 x x x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 113
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com x Vậy không tồn tại lim . 2 x0 x 2
a 2x 3 2017 1
Câu 18: Cho số thực a thỏa mãn lim
. Khi đó giá trị của a là x 2x 2018 2 2 2 1 1 A. a . B. a . C. a . D. a . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 3 2017 a 2 2
a 2x 3 2017 1 2 x x 1 a 2 1 2 Ta có: lim lim a . x 2x 2018 2 x 2018 2 2 2 2 2 x
Câu 19: Cho các giới hạn: lim f x 2 ; lim g x 3 , hỏi lim 3 f x 4g x bằng x 0 x x 0 x x 0 x A. 5 . B. 2 . C. 6 . D. 3 . Lời giải Chọn C
Ta có lim 3 f x 4g x
lim 3 f x lim 4g x 3 lim f x 4 lim g x 6 . x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x GV: T
Câu 20: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? R Ầ N 4 4 4 4 ĐÌN x x x x x x x x A. lim . B. lim 1. C. lim . D. lim 0 . x 1 2x x 1 2x x 1 2x x 1 2x H CƯ Lời giải – 0834 Chọn A 3321 2 1 2 1 33 4 . x x x x x Vì x x lim lim lim . Vậy A đúng. x 1 2 x x 1 x 1 x 2x 2x x x x 1
Câu 21: Giới hạn lim bằng
x x 22 2 3 A. . B. . C. 0 . D. . 16 Lời giải Chọn A x 1 1 Ta có: lim lim . x 1 . 2 2
x2 x 2
x2 x 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 114
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 Do lim
và lim x 1 1 0 .
x x 22 2 x 2 2 3x 1 1 2 x x 2
Câu 22: Cho I lim và J lim
. Tính I J . x0 x x1 x 1 A. 6. B. 3. C. 6 . D. 0. Lời giải Chọn A Ta có 2 3x 1 1 6x 6 I lim lim lim 3 . x0 x0 x
x 3x 1 x0 1 3x 1 1 2 x x 2 x 1 x 2 J lim lim
lim x 2 3 . x1 x 1 x 1 x 1 x 1
Khi đó I J 6 . 4x 3
Câu 23: Tìm giới hạn lim x 1 x 1 A. . B. 2 . C. . D. 2 . Lời giải Chọn A GV: T 4x 3 R Ta có lim
vì lim 4x 3 1 , lim x
1 0 , x 1 0 khi x 1 . Ầ x 1 x 1 x 1 x 1 N ĐÌN cos x H CƯ
Câu 24: Tìm giới hạn L lim . x 2 x – 2 0834 A. L 1 B. L 1 C. L 0 D. L 3321 2 33 Lời giải Chọn B
Đặt: t x . 2 cos t 2 sin t Khi x
thì t 0 . Vậy L lim lim 1. 2 t0 t0 t t
Câu 25: Tìm giới hạn I . 2 lim x 1 x x 2 x A. I 1 2 . B. I 46 31 . C. I 17 11. D. I 3 2 . Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 115
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 2
x x x 2 Ta có: I I lim 1 2 lim x 1 x x 2 x x 2
x x x 2 2 1 x 2 3 I lim x
1 I lim 1 I . x 2
x x x 2 x 1 2 2 1 1 2 x x 3
x 1 x 5
Câu 26: Giới hạn lim bằng x3 x 3 1 1 1 A. 0 . B. . C. . D. . 2 3 6 Lời giải Chọn D 3 3
x 1 x 5
x 12 x 5 2 Ta có: lim lim x3 x 3 x3 x 3 x 1 4 x 5 8 lim lim x
x 3 x 1 2 2 3
x3 x 3 3 x5 3 2. x 5 4 1 1 1 1 1 lim lim . x 1 2 x x x 52 3 3 3 3 2. x 5 4 4 12 6 4 2020 GV: T x a Câu 27: Tính lim . 505 505 xa x a R Ầ N A. 2010 2a . B. 1515 4a . C. . D. 505 4a . ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn B – 0834 4 2020 505 505 2 1010 x a
x a x a x a 3321 lim lim 505 505 505 xa x a 505 xa x a 33 505 2 1010 2 lim x a x a 505 505 a a 505 a 1010 a 1515 4a . 505 xa 2 2x 3x 2 Câu 28: lim bằng 2 x2 x 4 5 5 1 A. . B. . C. . D. 2 . 4 4 4 Lời giải Chọn A 2 2x 3x 2 2x 1 x 2 2x 1 5 Ta có lim lim lim . 2 x2 x 4 x 2
x 2 x 2 x2 x 2 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 116
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 x 3x 4 Câu 29: lim bằng. 2 x4 x 4x 5 5 A. 1. B. 1 . C. . D. . 4 4 Lời giải Chọn C 2 x 3x 4 x 1 5 Ta có: lim lim . 2 x4 x 4x x 4 x 4 2x 3 Câu 30: Tính lim . x 2 2x 3 1 1 A. . B. . C. 2 . D. 2 . 2 2 Lời giải Chọn D 3 3 x 2 3 x 2 2 2x 3 x x 2 Ta có: lim lim lim lim x 2 x 2 2x 3 x 3 x 3 x 3 2 . x 2 x 2 2 2 x 2 x 2 x
Câu 31: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai GV: T 3 A. 2 lim
x x 1 x 2 . B. 2 lim
x x 1 x 2 . R x x Ầ 2 N ĐÌN 3x 2 3x 2 C. lim . D. lim . H CƯ x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải – 0834 Chọn C 3321 2 2
x x 1 x 4x 4 + Với đáp án A ta có: 2 lim
x x 1 x 2 lim 33 x x 2
x x 1 x 2 3 x 3 3x 3 x 3 lim lim A đúng. x 2
x x 1 x 2 x 1 1 2 2 x 1 1 2 x x x 2 2
x x 1 x 4x 4
+ Với đáp án B ta có: lim
x x x x 2 1 2 lim x 2
x x 1 x 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 117
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 3 x 3 3x 3 x 3 lim lim lim B đúng. x 2 x x 1 x 2 x 1 1 2 x 0 x 1 1 2 x x x
+ Với đáp án C ta có lim x
1 0 , x 1 0 với mọi x 1
và lim 3x 2 1 0 . x 1 x 1 3x 2 Vậy lim C sai. x 1 x 1
+ Với đáp án D ta có lim x
1 0 , x 1 0 với mọi x 1 và lim 3x 2 1 0 . x 1 x 1 3x 2 Vậy lim D đúng. x 1 x 1 4x 1 1
Câu 32: Tính giới hạn K lim . 2 x0 x 3x 2 2 4 A. K . B. K . C. K . D. K 0 . 3 3 3 Lời giải Chọn A GV: T 4x 1 1 4x 4 2 Ta có K lim lim lim . 2 x0 x 3x x0 x0 3 R x x 3 4x 1 1 x 3 4x 1 1 Ầ N ĐÌN 2
ax bx khi x 1 H CƯ
Câu 33: Cho hàm số f (x)
. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x 1 thì
2x 1 khi x 1 – 0834
2a b bằng: A. 2 . B. 5 . C. 2 . D. 5 . 3321 Lời giải 33 Chọn A
f x f 1 2x 11 lim lim 2 ; x 1 x 1 x 1 x 1 2
f x f 1 2
ax bx a b a x
1 b x 1 x
1 a x 1 b lim lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
lim a x 1 b
2a b x 1
f x f 1
f x f 1
Theo yêu cầu bài toán: lim lim
2a b 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 34: lim bằng
x 6x 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 118
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 1 1 A. . B. . C. . D. 1. 2 6 3 Lời giải Chọn B 1 1 x 1 1 Ta có lim lim x .
x 6x 2 x 2 6 6 x Câu 35: Tính 2 lim x 4x 2 x x A. 4 . B. 2 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn B 2 2 2 4
x 4x 2 x 4 x 2 lim lim lim x 2 lim x 4x 2 x x
x 2x 4x2x x 2x 4x2x x 4 2 1 1 2 x x 2 . 2 x 4x 4 Câu 36: Tìm lim . x2 x 2 GV: T A. Không tồn tại. B. 1. C. 1. D. 1. R Ầ Lời giải N ĐÌN Chọn A H CƯ 2 x 4x 4 x 22 x 2 lim lim lim . – x2 x2 x2 x 2 x 2 x 2 0834 3321 Xét: 33 x 2 x 2 lim lim 1. x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 lim lim 1 . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Ta có: lim lim nên không tồn tại lim . x 2 x 2 x 2 x 2 x2 x 2 x 1 Câu 37: Tính lim . 2018 x x 1 A. 1. B. 1. C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 119
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 1 2 x 1 1 lim lim . x x 0 . 2018 2017 x x 1 x x 1 1 2017 x
Câu 38: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f x liên tục trên đoạn ;
a b và f a. f b 0 thì phương trình f x 0 có nghiệm.
II. f x không liên tục trên ;
a b và f a. f b 0 thì phương trình f x 0 vô nghiệm. A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng.
C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai. Lời giải Chọn A
Câu 39: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1
I . f x
liên tục với mọi x 1. x 1
II . f x sin x liên tục trên . x
III . f x
liên tục tại x 1. x
A. Chỉ I đúng.
B. Chỉ I và II . C. Chỉ I và III . D. Chỉ II và III . GV: T Lời giải Chọn D R Ầ N
Ta có II đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định. ĐÌN x H CƯ , khi x 0 x Ta có x
III đúng vì f x . – x x 0834 , khi x 0 x 3321
Khi đó lim f x lim f x f 1 1. x 1 x 1 33 x
Vậy hàm số y f x
liên tục tại x 1. x
x 2 khi x 4 Câu 40: Cho hàm số x 4 f (x)
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất ? 1 khi x 4 4
A. Hàm số liên tục tại x 4 .
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x 4 .
C. Hàm số không liên tục tại x 4 . D. Tất cả đều sai. Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 120
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com x 2 1 1
Ta có : lim f (x) lim lim f (4) x4 x4 x4 x 4 x 2 4
Hàm số liên tục tại điểm x 4 . 2
x 3x 2 2 khi x 1
Câu 41: Cho hàm số f (x) x 1
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất ? 2
3x x 1 khi x 1
A. Hàm số liên tục tại x 1.
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm.
C. Hàm số không liên tục tại x 1. D. Tất cả đều sai. Lời giải Chọn C
(x 1)(x 2)
lim f (x) lim 2 2 x 1 x 1 x 1
lim f (x) lim 2 3x x 1 3 lim f (x) x 1 x 1 x 1
Hàm số không liên tục tại x 1.
2 x m khi x 0
Câu 42: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số f x mx 2 khi x 0 GV: T liên tục trên . R Ầ A. m 2 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 0 . N ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn C – 0834
Trên khoảng 0; hàm số f x 2 x m là hàm số liên tục. 3321 Trên khoảng ;
0 hàm số f x mx 2 là hàm số liên tục. 33
Ta có lim f x lim
x m m f
và lim f x lim mx 2 2 . 2 0 x0 x0 x 0 x 0
Hàm số f x liên tục trên khi và chỉ khi
lim f x lim f x f 0 m 2 m 2 . x 0 x 0 2
2x 7x 6 khi x 2
Câu 43: Cho hàm số y f x x 2
. Biết a là giá trị để hàm số f x liên 1 x a khi x 2 2 x 7
tục tại x 2 , tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 x ax 0 . 0 4 A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 121
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn D
Tại x 2 , ta có: 0 1
f 2 a 4 1 x 1
lim f x lim a a . x 2 x 2 2 x 4 2 2x 7x 6
x 22x 3
lim f x lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
x 22x 3 lim
lim 2x 3 1 . x 2 x 2 x 2
Để hàm số liên tục tại x 2 thì f 2 lim f x lim f x 0 x 2 x 2 1 3 a 1 a . 4 4 3 3 7 7
Với a , xét bất phương trình 2 x x 0 x 1 4 4 4 4 GV: T
Mà x nên x 1 ; 0 . R Ầ N ĐÌN
Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên. H CƯ
Câu 44: Cho hàm số y f x liên tục trên khoảng ;
a b . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên – 0834 tục trên đoạn ; a b là? 3321
A. lim f x f a và lim f x f b .
B. lim f x f a và lim f x f b . x a x b x a x b 33
C. lim f x f a và lim f x f b .
D. lim f x f a và lim f x f b . x a x b x a x b Lời giải Chọn A
Hàm số f xác định trên đoạn ;
a b được gọi là liên tục trên đoạn ;
a b nếu nó liên tục trên khoảng ;
a b, đồng thời lim f x f a và lim f x f b . x a x b
1 x 1 x khi x 0
Câu 45: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số x f x liên tục tại 1 x m khi x 0 1 x x 0 . A. m 1. B. m 2 . C. m 1. D. m 0 . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 122
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn B Ta có 1 x
lim f x lim m m 1 . x 0 x 0 1 x
1 x 1 x 2 x 2
lim f x lim lim lim 1 . x 0 x 0 x x0
x 1 x 1 x x0 1 x 1 x
f 0 m 1
Để hàm liên tục tại x 0 thì lim f x lim f x f 0 m 1 1 m 2 . x 0 x 0 2 x
khi x 1, x 0 x
Câu 46: Cho hàm số f x 0 khi x 0 . Khẳng định nào đúng x khi x 1
A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn 0 ;1 .
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 0 .
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc . GV: T
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 1 . R Lời giải Ầ N ĐÌN Chọn C H CƯ
Tập xác định D . – 0834
Nếu x 0 , x 1 thì hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ; 0,0 ;1 và 1; 3321 . 33 2 2 x x
Nếu x 0 thì f 0 0 và lim f x lim
lim x 0; lim f x lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x .
Suy ra: lim f x 0 f 0 . x0
Do đó, hàm số y f x liên tục tại x 0 . 2 x lim f x lim lim x 1
Nếu x 1 thì f 1 1 và x 1 x 1 x 1 x
lim f x 1 f 1 . x 1
lim f x lim x 1 x 1 x 1
Do đó, hàm số y f x liên tục tại x 1 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 123
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Vậy hàm số y f x liên tục trên . 1 cos x khi x 0
Câu 47: Cho hàm số f x 2 x . 1 khi x 0
Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
A. f x có đạo hàm tại x 0 . B. f 2 0.
C. f x liên tục tại x 0 .
D. f x gián đoạn tại x 0 . Lời giải Chọn D
Hàm số xác định trên x 2 2 sin 1 cos x 1
Ta có f 0 1 và f x 2 lim lim lim 2 2 x0 x0 x0 x x 2 4. 2
Vì f 0 lim f x nên f x gián đoạn tại x 0 . Do đó f x không có đạo hàm tại x0 x 0 . GV: T 1 cos x x
0 f x 0 nên f 2 0. VậyA, B,C sai. R 2 Ầ x N ĐÌN 2
x x 2 H CƯ khi x 1
Câu 48: Cho hàm số f x x 1
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để – 3m khi x 1 0834
hàm số gián đoạn tại x 1. 3321 A. m 2. B. m 1. C. m 2. D. m 3. 33 Lời giải Chọn B
Tập xác định của hàm số là . 2 x x 2
Hàm số gián đoạn tại x 1 khi lim f x f 1 lim 3m x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 lim
3m lim x 2 3m 3 3m m 1. x 1 x 1 x 1 2
x x 12 khi x 4
Câu 49: Tìm tham số thực m để hàm số y f x x 4 liên tục tại điểm
mx 1 khi x 4 x 4 . 0 A. m 4 . B. m 3 . C. m 2 . D. m 5 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 124
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn C
Tập xác định: D . Ta có: 2 x x 12
x 3 x 4
+ lim f x lim lim
lim x 3 7 . x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 + f 4 4 m 1.
Hàm số f x liên tục tại điểm x 4
khi và chỉ khi lim f x f 4 4 m 1 7 0 x 4 m 2 . 2
x ax b x 1
Câu 50: Cho a,b là hai số thực sao cho hàm số f x x 1
liên tục trên . Tính
2ax 1, x 1 a b . A. 0 B. 1 C. 5 D. 7 Lời giải GV: T Chọn D R Ầ Ta có f 1 2a 1. N ĐÌN 2 H CƯ
x ax b
Để hàm số liên tục trên thì phải tồn tại lim
và lim f x f 1 . x 1 x 1 x 1 – 0834 2
x ax b Để tồn tại lim thì 2
x ax b x 1 1 a b 0 b a 1 . 3321 x 1 x 1 33 2
x ax b
x 1 x a 1 Suy ra lim lim
lim x a 1 a 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Do đó để hàm số liên tục trên thì t . 2 2 x 1 neáu x 1
Câu 51: Giá trị của m sao cho hàm số f x x 1
liên tục tại điểm x 1 là 3
x m neáu x 1 A. 5 . B. 1. C. 1. D. 5 . Lời giải Chọn B 2 x 1 Ta có f
1 3 m và lim f x lim lim x 1 2 . x 1 x 1 x 1 x 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 125
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Hàm số f x liên tục tại điểm x 1 lim f x f
1 3 m 2 m 1 . x 1 2
x 3x 4 khi x 1
Câu 52: Cho hàm số f x x 1
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x 1. 2 ax 1 khi x 1 A. a 3. B. a 2. C. a 2 . D. a 1 . Lời giải: Chọn C
Tập xác định D . Ta có f 1 1 2a 2 x 3x 4
và lim f x lim 2ax
1 1 2a; lim f x lim
lim x 4 5. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Hàm số đã cho liên tục tại x 1 f
1 lim f x lim f x 1 2a 5 a 2 . x 1 x 1
Câu 53: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục trên x 1 khi x 1
f x ln x x 1 2 . m e 1 2mx khi x 1 1 GV: T A. m 1. B. m 1. C. m . D. m 0 . 2 R Ầ Lời giải N ĐÌN Chọn D H CƯ
Tập xác định D , f 1 1 m . – 0834
Ta thấy hàm số f x liên tục trên các khoảng ; 1 và 1; . 3321 x 1 lim f x lim 1, lim f x x 1 2 lim . m e 1 2mx 1 m . 33 x 1 x 1 ln x x 1 x 1
Hàm số f x liên tục trên khi và chỉ khi hàm số f x liên tục tại x 1
lim f x lim f x f 1 . x 1 x 1
1 m 1 m 0 . 2
x 4x 3 khi x 1
Câu 54: Tìm m để hàm số f (x) x 1
liên tục tại điểm x 1 . mx 2 khi x 1 A. m 2 . B. m 0 . C. m 4 . D. m 4 . Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 126
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 x 4x 3 x 1 x 3
Ta có: lim f x lim lim
lim x 3 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
lim f x lim mx 2 m 2 . x 1 x 1 f 1 m 2 .
Để hàm số đã cho liên tục tại điểm x 1 thì lim f x lim f x f 1 x 1 x 1
2 m 2 m 0 .
3x a 1, khi x 0
Câu 55: Cho hàm số f x 1 2x 1
. Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho , khi x 0 x
liên tục tại điểm x 0 . A. a 1 . B. a 3 . C. a 2 . D. a 4 . Lời giải Chọn C Ta có:
f 0 lim f x lim 3x a 1 a 1 . x 0 x 0 GV: T 1 2x 1 2x 2 R lim f x lim lim . Ầ lim 1 N x0 x0 x x0 x 1 2x 1 x0 1 2x 1 ĐÌN H CƯ
Hàm số liên tục tại x 0 f 0 lim f x lim f x a 1 1 a 2 . x 0 x 0 – 0834 2 2 m x khi x 2 Câu 56: liên tục 3321
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f x 1m
x khi x 2 33 trên ? A. 0 . B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn B
Ta có hàm số luôn liên tục x 2 .
Tại x 2 , ta có lim f x lim 1 m x 1 m2 ; x 2 x 2
lim f x lim ; f 2 2 4m . 2 2 m x 2 4m x2 x2
Hàm số liên tục tại x 2 khi và chỉ khi
lim f x lim f x f 2 2
4m 1 m 2
2 4m 2m 2 0 1 x 2 x 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 127
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Phương trình luôn có hai nghiệm thực phân biệt. Vậy có hai giá trị của m . PHẦN 2: TỰ LUẬN
Câu 57: Tính các giới hạn sau 2
3n 4n 1 a) lim . 2 2n 3n 7 3 n 4 b) lim . 3 5n n 8 n 1 2n 1 c) lim .
3n 2n 3 Lời giải 4 1 2 3 2 3
n 4n 1 3 a) lim lim n n . 2 2n 3n 7 3 7 2 2 2 n n 1 3 1 3 n 4 1 b) lim lim n . 3 5n n 8 1 8 5 5 2 3 n n 1 1 1 2 n 1 2n 1 n n 1.2 2 GV: T c) lim lim .
3n 2n 3 2 3 3.1 3 3 1 R n n Ầ N ĐÌN
Câu 58: Tính các giới hạn sau H CƯ 2 2
n n 3 n 1 3 3
8n n 2n 1 2 2
n n 1 2n 3 a) lim . b) lim . c) lim . 2 – n 1 3n 1 3n n 1 0834 Lời giải 3321 2 2
n n 3 n 1 1 1 33 2 2 1 3 1 2
n n 3 n 1 n n n 1 3 1 a) lim lim lim 4. n 1 1 1 1 1 1 n n 1 1 3 3 3 8 2 2 2
8n n 2n 1 n n 8 2 4 b) lim lim . 3n 1 1 3 3 3 n 2 2
n n 1 2n 3 1 3 2 2 1 2 2 2 2
n n 1 2n 3 n n n 1 2 c) lim lim lim 1. 2 2 3n n 1 3n n 1 1 1 3 3 2 2 n n n
Câu 59: Tính các giới hạn sau
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 128
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com n 2n 1 3n 2 2n
1 n 2 n a) lim . b) lim . 3 6n 3 1 n n Lời giải 1 2 2 3 n 2n 1 3n 2 n n 2.3 1 a) lim lim . 6n 3 3 3 1 1 6 36 6 n 1 1 2 1 2 1 2n 1 n 2 2 n n n n n b) lim lim 0. 3 n n 1 1 2 n
Câu 60: Tính các giới hạn sau 2 2
4n n 3n 2
9n n 3n 1 a) lim . b) lim . 2 n 1 2 n 2 Lời giải 4 1 2 2 3 2 3
4n n 3n a) n n lim lim 3. 2 n 1 1 1 2 n 9 1 3 1 GV: T 2 2 3 2
9n n 3n 1 b) n n n n lim lim 0. R 2 n 2 2 Ầ N 1 2 ĐÌN n H CƯ
Câu 61: Tính các giới hạn sau 2 2 2 2 – n
1 2n n n 1
3n 2n 3 n 0834 a) lim . b) lim . n 1 2 n 2 3 3n 3 2n 1 3321 Lời giải 33 1 1 1 1 n 1 2 2n n 2 1 2 3 n 1 n n n n 1.2 a) lim lim 1. n 1 2 n 2 3 3n 1 2 1.1 3 1 1 3 2 n n 2 3 1 2 3n 2n 3 2 3 1 2 n n n n b) lim lim 3. 3 2n 1 1 1 3 n
Câu 62: Tính các giới hạn sau 1 4n 2n 5.3n 3n 4n a) lim . b) lim . c) lim . 1 4n 3n 1 3n 4n Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 129
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 n 1 1 4 n 1 a) 4 lim lim 1 1 4n 1 1 1 4n n 2 5 2n 5.3n b) 3 lim lim 5 3n 1 1 1 3n n 3 1 3n 4n c) 4 lim lim 1 3n 4n n 3 1 4
Câu 63: Tính các giới hạn sau a) 3 3 2 lim
n 3n n. b) 3 3 2 lim
n 3 n 2 . Lời giải 3 2 3
n 3n n 3 a) lim 3 3 2
n 3n n lim lim 3 2 n 3n 2 2 2 3 3 2 3 n . n n 3n 3 3 3 3 1 1 1 n n 2 GV: T 1 3 3 3 Khi n thì: 3 3 3 lim 0 lim 1 1 lim 1 1 1 1 n n n n R Ầ N ĐÌN Do đó, 3 3 2 lim
n 3n n 3 H CƯ – 3 3 2 3 3 2 0834
b) lim n 3 n 2 lim n 3 n limn n 2 3321 33 3 3 2 2 n 3 n n n 2 3 2 lim lim lim lim 2 2 2 2 3 n 2 3 3 n n 2
n n n 3 n 2 3 3 3 3 n n 2 3 . 3 3 n . n n 3 2 Khi n thì: 3 n 2 3 3
n n n 2 3 lim 3 . 3
; lim n n 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 130
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 3 2 lim lim 0. Do đó, 3 3 2 lim
n 3 n 2 0 2 2 3 2 3 3 3 2 3 . 3 n n n n n n
Câu 64: Tính các giới hạn sau 2
n n n a) 2
lim n 1 n n . b) lim . 2
4n 3n 2n Lời giải 1 2 2 1 n 1 n n n 1 1 a) lim 2 1 lim lim lim n n n n 2
n 1 n n
n 1 n n 1 1 1 2 1 1 n n 1 Do đó, lim 2
n 1 n n . 2 3 2 2 2 2 4 2
n n n
n n n
4n 3n 2n 1 n 2 b) lim lim . lim 2 2 2 2
4n 3n 4n 3
4n 3n 2n
n n n 1 3 1 1 n 2
n n n 2 Do đó, lim 2 3
4n 3n 2n GV: T
Câu 65: Tính các giới hạn sau R Ầ 3 2 3 N 2 3 2 3
2n n n ĐÌN
a) lim 4n n 2n 8n . b) lim . 2
n n n H CƯ Lời giải – 0834 a) 2 3 2 3 n n n n
2n n n 3 2 3 lim 4 2 8 lim 4 2 lim
2n 8n 2n 3321 2 2 2 3 3 33
4n n 4n
2n 8n 8n lim lim 2 2
4n n 2n 2 3 2n 8n 2 3 2 3
3 4n 2n 2n 8n 2 n 2n lim lim 2
4n n 2n 2n 8n 2 1 2 3 2 3 3 3 4n 2 . n 8n 1 4n 1 1 2 1 1 3 3 1 1 lim 4 2 lim 2. 1 2 2 1 n 4n 4n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 131
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 lim 4 2 2 2 0 n 1 Khi n thì: lim 0 2 1 n 3 3 1 1 lim 2. 1 2 2 1 2 2 2 2 4n 4n 1 1 2 1 1 3 3 1 1 lim 4 2 lim 2. 1 2 2 1 n 4n 4n Do đó, 2 3 2 3 lim
4n n 2n 8n 3 2 3 2 3 3 2
2n n n
2n n n
n n n b) lim lim . 2 2 2
n n n
n n n 2 3 2n n 2 2 3 2 3 3
n n 2n n 1 1 n n 1 n 1 1 n n lim lim 2 2 2 2 3 6 2 3 2 2 3 3 n . 1 n . n n 1 3 1 1 1 n n n n 2 GV: T 3 2 2 3 lim 1 1 1 1 11 1 R n n Ầ 1 N Khi n thì: lim 0 ĐÌN n 1 H CƯ lim 1 1 1 n – 0834 1 1 1 3 2 3 3321 n
2n n n lim 1. Do đó, lim 1 2 2
n n n 33 3 2 2 3 1 1 1 n n
Câu 66: Tìm các giới hạn sau 2 x 3x 2 2 x 2x a) lim b) lim x2 x 2 2
x2 2x 6x 4 3 x 3x 2 3 2
x x x 1 c) lim d) lim 4 x 1 x 4x 3 2 x 1
x 3x 2 Lời giải 2 x 3x 2 x 1 x 2 a) lim lim lim x 1 1 x2 x2 x2 x 2 x 2 2 x 2x x x 2 x x 2 x b) lim lim lim lim 1 2 x 2
x 6x 4 x 2 2 2 2
x 3x 2 x2 2 x 1 x 2 x2 2 x 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 132
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com x 3x 2 x 2 3 1 x 2 x 2 3 1 c) lim lim lim 4 x 1 x 1 x 4x 3 x 2
1 x 2x 3 2 2 x 1
x 2x 3 6 2
x x x 1 x 2 3 2 1 x 1 x 1 x 1 d) lim lim lim 0 2 x 1 x 1
x 3x 2 x 1 x 2 x 1 x 2
Câu 67: Tìm giới hạn các hàm số sau: 4 2 x x 72 3 2
x 5x 3x 9 a) lim b) lim 2 x3 x 2x 3 4 2 x3 x 8x 9 2 6
x 5x 4x 4 4 x a c) lim d) lim x 1 x2 1 xa x a Lời giải x x x 3 3 2 4 2
x 3x 8x 24 72 3 2
x 3x 8x 24 51 a) lim lim lim 2 x3 x3 x 2x 3 x 1 x 3 x3 x 1 2
x x x x 3 2 3 2 x 2x 3 5 3 9 2 x 2x 3 b) lim lim lim 0 4 2 x x 8x 9 x x 3 3 2 3 3
x 3x x 3 3 2
x3 x 3x x 3 c) GV: T R Ầ N ĐÌN H CƯ – 0834 3321 33 x 1 5 4 3 2 2 6
4x 4x 4x 4 5 4 x x x x x 5 4 3 2
4x 4x 4x 4x x lim lim lim x 1 x2 x 1 x2 1 1 x 1 x 1
x a 3 2 2 3 4 4
x ax a x a x a d) 3 2 2 3
x ax a x a 3 lim lim lim 4a xa xa xa x a x a
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 133
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Câu 68: Tính các giới hạn sau 2 x 16 2 4 x 2 x 3x 2 a) lim b) lim c) lim 2
x4 x x 20 3 x2 x 8 2
x2 2x x 6 Lời giải 2 x 16
x 4 x 4 x 4 8 a) lim lim lim 2 x4 x4 x x 20
x 4 x 5 x4 x 5 9 2 4 x
2 x2 x 2 x 1 b) lim lim lim 3 x x 8
x x 2 2 2 2
x 2x 4 2
x2 x 2x 4 3 2 x 3x 2 x 1 x 2 x 1 1 c) lim lim lim 2 x 2 x 2 2x x 6
x 22x 3
x2 2x 3 9
Câu 69: Tính các giới hạn sau 2 x x 30 2 2x 5x 2 2 2x 3x 1 a) lim b) lim c) lim 2
x5 2x 9x 5 2 1 2 x1 x 4x 1
x 4x 5 2 Lời giải 2 x x 30
x 5 x 6 x 6 a) lim lim lim 1 2 x 5 x5 2x 9x 5
x 52x x5 1 2x 1 2 2x 5x 2 2x 1 x 2 x 2 3 b) lim lim lim 2 1 1 1 GV: T x 4x 1 x 2x 1 2x 1 x 2x 1 4 2 2 2 R 2 2x 3x 1 2x 1 x 1 Ầ 2x 1 1 N c) lim lim lim 2 ĐÌN x 1 x 1
x 4x 5 x 1 5 x x1 5 x 6 H CƯ
Câu 70: Tính các giới hạn sau 3 3 2 – x 3x 2
x x 2x 4 0834 a) lim b) lim c) 3 2 x 1
x x x 1 2 x 1 x 3x 4 3321 4 2 x 6x 27 lim 3 2 33 x 3
x 3x x 3 Lời giải x 3x 2 x 2 3 1 x 2 x 2 3 a) lim lim lim 3 2 x
x x x 1 x x 2 1 1 1 x x 1 1 x 1 2
x x x x 1 2 3 2 x 2x 4 2 4 2 x 2x 4 7 b) lim lim lim 2 x 1 x1 x 3x 4 x 1 x 4 x 1 x 4 5 x x 2 x 3 2 x 9 2 4 2
x 3 x 3 6 27 36 c) lim lim lim 3 2 x
x 3x x 3 x 2 3 3 x 1 x 3 2 x 3 x 1 5
Câu 71: Tính các giới hạn sau 3 x 3x 2 2 4x x 18 4 2 x x 72 a) lim b) lim c) lim 4 x 1 x 4x 3 3 x2 x 8 2 x3 x 2x 3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 134
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải x 3x 2 x 2 3 1 x 2 x 2 3 1 a) lim lim lim 4 x 1 x 1 x 4x 3 x 2
1 x 2x 3 2 2 x 1 x 2x 3 6 2 2 4x x 18
x 24x 9 4x 9 17 b) lim lim lim 3 x x 8 x x 2 2 2 2
x 2x 4 2
x2 x 2x 4 12 x x 2
x 8 x 3 x 3 2 4 2
x 8 x 3 72 51 c) lim lim lim 2 x3 x3 x 2x 3 x 1 x 3 x3 x 1 2
Câu 72: Tính các giới hạn sau 5 x 1 5 x 1 a) lim b) lim 3 x1 x 1 3 x 1 x 1 3 2
x 5x 3x 9 c) lim 4 2 x3 x 8x 9 Lời giải x 1 4 3 2 5
x x x x x 4 3 2 1 1
x x x x 1 5 a) lim lim lim 3 x x 1 x x 1 2 1 1 x x 2 x1 1 x x 1 3 x 1 4 3 2 5
x x x x x 4 3 2 1 1
x x x x 1 5 b) lim lim lim 3 x x 1 x x 1 2 1 1 x x 2 x 1 1 x x 1 3 GV: T
x x x x 3 2 3 2 x 2x 3 5 3 9 2 x 2x 3 R c) lim lim lim 0 Ầ 4 2 2 2 x3 x3 x3 x 8x 9 N x
1 x 3 x 3 x 1 x 3 ĐÌN H CƯ
Câu 73: Tính các giới hạn sau 2 1 1 3 – a) lim b) lim c) 0834 2 x 1 x 1 x 1 3 x 1 1 x 1 x 3321 1 4 lim 2
x2 x 2 x 4 33 Lời giải 2 1 2 x 1 1 x 1 1 a) lim lim lim lim 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 3 2
1 x x 3 x 1 x 2 b) lim lim lim 3 x 1 x 1 x x 1 x 2
1 x x x 1 x 2 1 1 1
1 x x x 2 lim 1 2 x 1
1 x x 1 4 x 2 4 1 1 c) lim lim lim 2 x 2 x2 x 2 x 4
x 2 x 2 x2 x 2 4
Câu 74: Tìm giới hạn các hàm số sau
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 135
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com x 3 2 2 x 2 2x 7 3 a) lim b) lim c) lim 2 x7 49 x 2
x2 x 3x 2 3 2 x 1 x 4x 3 Lời giải x
x 3 2 x 3 2 3 2 1 1 a) lim lim lim 2 x7 x7 49 x
x 3 27 x7 x x7 7 x x 3 2 56 x
2 x 22 x 2 2 2 1 1 b) lim lim lim 2 x2 x2 x 3x 2 x
1 x 22 x 2 x2 x 1 2 x 2 4 c) x
2x 7 3 2x 7 3 2 7 3 2 1 lim lim lim 3 2 x 1 x 1 x 4x 3 x 1 2
x 3x 3 2x 7 3 x 1 2
x 3x 3 2x 7 3 15
Câu 75: Tìm giới hạn các hàm số sau 2 1 x 3 4x 1 3 x x 2 a) lim b) lim c) lim 2 x 1
x 3x 2 2 x2 x 4 3 x2 x 8 Lời giải x 2 2 3x 3 2 2 2 x 3 2 3 x 1 1 a) lim lim lim 2 x 1 x 1
x 3x 2 2
x x x x 1 2
x x 2 2 3 3 1 2 2 3 3 2 GV: T 4x 1 3 4x 1 3 R 4x 1 3 4 1 Ầ b) lim lim lim N 2 x2 x2 x2 x 4 6 ĐÌN
x 2 x 2 4x 1 3
x 2 4x 1 3 H CƯ c) – x x 2 x 2 x 2 0834 x x 2 x 1 1 lim lim lim 3 x2 x2 2 x2 2 x 8 16 x 2 x 2x 4 x x 2 x 2x 4 x x 2 3321 33
Câu 76: Tìm giới hạn các hàm số sau 3 x 1 3 1 1 x a) lim b) lim 3
x1 2x 5x 3 2 x0 2x x
3 2x 12 x 4 x 1 c) lim d) lim 2 x2 x 2x 3 2 x 1 x x 2 Lời giải x
3 x 13 2 3 3 x x.1 1 1 1 a) lim lim lim 1 2 x 1 x1 2x 5x 3 x
1 2x 3 3 2 3
x x.1 x 1 1
2x 3 3 2 3 x x.1 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 136
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com b)
1 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x 2 3 3 3 3 1 1 lim lim lim 2 x0 x0 2x x x x x 2 3
1 1 x 1 x 2 0 x 2 3
1 1 x 1 x 2 3 3 6
3 2x 12 x 3 2x 12 x 2x 12 x 3 2x 12 x 2 3 2 c) lim lim 2 x 2 x 2 x 2x
x x 2 2 3 3 2
(2x 12) x 2x 12 x x 2 2
x 2x 12 2 x 2x 12 5 lim lim x 2
x x 2 3 3 2 x x x
x x2 2 3 3 2 x x x x 6 2 (2 12) 2 12 (2 12) 2 12 x 4 x 1 4 4 x 1 x x 1 1 d) lim lim 3 2 x 1 x 1 x x 2 x 1 2
x x 2 4 x 1 x 1
x 1 x 1 1 1 lim lim x 1 x 2
x x 4 x x x 1 2
x x 4 x x 12 1 2 1 1 2 1 1
Câu 77: Tính các giới hạn sau
2x 7 x 4 3 x 3x 2 2 3
x 3 x 3x a) lim b) lim c) lim 3 2 x 1 x 4x 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1 GV: T Lời giải R 2 Ầ
2x 7 x 4
2x 7 x 4 N a) Ta có lim lim ĐÌN 3 2 x 1 x 1 x 4x 3 3 2 2
x x 3x 3 2x 7 x 4 H CƯ 2
x 10x 9 x 1 9 x – lim x 1 2 2 0834
x 3x
1 2x 7 x 4 x
1 x 3 x
1 2x 7 x 4 3321 9 x 9 1 4 lim x 1 2 33
x x x x 1 3.23 1 4 15 3 1 2 7 4 2 3 6 6
x 3 x 3x x 3x 2
x 1 3x 3 b) lim lim lim 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1 3
x 3x 2 x 1 x 1 x 1 3
x 3x 2 3 x 1 3 x 1 3 x 1 x 1 3 x 1 2 x x 1 3 lim lim x 1 x 1 x 1 3
x 3x 2 x 1 x 1 x 1 3
x 3x 2 3 x 1 2 2 x x 1 3 1 1 1 1 1 3 2.3 3 3 lim x 1 x 3 x x 1 1 1 1 2.2 4 1 3 2 x 3 x 3 3 3 x x x x 2 2 3 2 3 2 6 4 2
x 3 x 6x 9x c) lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 2 3
x 3 x 3x x 1 x 1 2 3
x 3 x 3x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 137
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 6 4 2 6 4 4 2 2
x 6x 8x 3
x x 5x 5x 3 3x lim lim x 1 x 1 2 3
x 3 x 3x x 1 x 1 2 3
x 3 x 3x 2 x 1 4 2
x 5x 3 x 1 4 2
x 5x 3 1 1 1 5 3 1 lim lim x 1 x 2 3 x
x x x 1 2 3 x x x 2 1 3 2 1 3 3 3 3
Câu 78: Tính các giới hạn sau 2x 1 2 x 1 x x 1 a) lim b) lim c) lim x x 1 2
x 1 3x 5x 2
x x x 1 Lời giải 1 2 2x 1 2 0 a) lim lim x 2 x x 1 x 1 1 0 1 x 1 2 1 2 x 1 1 0 1 b) lim lim x 2
x 1 3x 5 x x 1 3 0 3.0 5 5 5 2 x x 1 1 2 x x 1 x x 0 0 c) lim lim 0 2
x x x 1 x 1 1 1 0 0 1 2 GV: T x x Câu 79: R
Tính các giới hạn sau Ầ N 2 ĐÌN 3x 2x 1 3 2 3x 2x 1 3 3x 2x 2 a) lim b) lim c) lim 4 3 2 H CƯ
x 5x 1 2 x 2x
x 4x 3x 2
x 2x 2x 1 – Lời giải 0834 3 3321 x 2 x 6 3 2 1 2 6 3.0 6 a) lim lim x 33
x 5x 1 2 x 2x x 1 2 5 01 2.0 5 5 1 x x 3 2 1 3 2 2 4 3x 2x 1 3.0 2.0 0 b) lim lim x x x 0 4
x 4x 3x 2 x 3 2 4 3.0 2.0 4 3 4 x x 2 2 3 3 2 3 3x 2x 2 3 2.0 2.0 3 c) lim lim x x 3 2
x 2x 2x 1 x 2 1 2 2.0 0 2 2 3 x x
Câu 80: Tính các giới hạn sau 2
x 3x 2x 2
x x 2 3x 1 x x 3 a) lim b) lim c) lim x 3x 1 x 2 2
4x 1 1 x x x 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 138
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
a) Đặt x t
. Với x t 3 2 2 1 2
x 3x 2x
t 3t 2t t 1 3.0 2 1 Khi đó lim lim lim x 3x 1 t 3 t 1 t 1 3 0 3 3 t 1 2 1 1 3 2 2
x x 2 3x 1 b) x x x lim lim 4 x 2 4x 1 1 x x 1 1 4 1 2 x x Đặt x t
. Với x t . Khi đó 1 2 1 1 3 2 2 2
x x 2 3x 1
t t 2 3t 1 t t t 2 lim lim lim x 2 t 2
4x 1 1 x 4t 1 1 t t 1 1 3 4 1 2 t t 1 3 2 x x 3 x x 0 3.0 c) lim lim 0 2 x x 1 x 1 1 0 1 2 x
Câu 81: Tính các giới hạn sau GV: T 2 x 4 2 x 2 x R a) lim b) lim c) lim 2 2 Ầ x 2 x 2 x2 2x 5x 2 x2 2x 5x 2 N ĐÌN Lời giải H CƯ 2 x 4 x 2 a) lim lim – x2 x2 0834 x 2 x 2 3321 2 x x 2 1 1 b) lim lim lim 2 x 2 x 2 2x 5x 2
x 22x x 2 1 2x 1 3 33 2 x 2 x 1 1 c) lim lim lim 2 x 2 x 2 2x 5x 2
x 22x x 2 1 2x 1 3
Câu 82: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra : x 3 khi x 1 a)
f x x 1 (tại x 1 ) 1 khi x 1 x 3 2 khi x 1 b) f x x 1 (tại x 1 ) 1 khi x 1 4 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 139
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 3
a Ta có: f 1 1 1 1 x 3
lim f x lim 1 f
1 hàm số liên tục tại x 1 x 1 x1 x 1 1
b Ta có : f 1 . 4 x 3 2
x 3 2 x 3 2 1
lim f x lim lim lim f 1 x 1 x 1 x x 1 1 x 1 x 3 2 x 1 x 3 2
Vậy hàm số liên tục tại x 1 .
Câu 83: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: 2 3
2 7x 5x x khi x 2 a) f x 2 x 3x 2 (tại x 2 ) 1 khi x 2 x 5 khi x 5
b) f x 2x 1 3 (tại x 5 )
x 52 3 khi x 5 Lời giải
a Ta có: f 2 1 GV: T x 2 2 2 3 x 3x x x x 2 1 2 7 5 x 3x 1 Mà lim f x lim lim lim 1 f 2 R 2 Ầ x2 x2 x2 x 3x 2
x 2 x x2 1 x 1 N ĐÌN
Vậy hàm số liên tục tại x 2 H CƯ
b Ta có: f 2 5 5 5 3 3 . – 0834
Lại có lim f x lim x 52 3 3 x 5 x 5 3321 x 5 2x 1 3 33 x 5 2x 1 3 Và lim f x lim lim lim 3 x 5 x 5 x 5 2x 1 3
2x 1 3 2x 1 3 x 5 2
Từ đó f 5 lim f x hàm số liên tục tại x 5 . x5
Câu 84: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng : 3
x x 2 khi x 1 3 a) f x x 1 4 khi x 1 3 2
x 3x 4 khi x 2
b) f x 5 khi x 2
2x 1 khi x 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 140
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải 3 3 x x 2
x 1 x 1 1 4
a lim f x lim lim lim 1 3 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 3
Do đó, hàm số này liên tục tại x 1 b lim 2 x 3x 4 =2; lim 2x 1 5 x 2 x 2
Mà f x 5 khi x 2 nên lim f x lim f x lim f x x2 x 2 x2
Do đó, hàm số đã cho liên tục khi x 2
Câu 85: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng : 2 2 x 4 x 2 khi x 2 khi x 2 a)
f x x 2
b) f x x 2 4 khi x 2 2 2 khi x 2 Lời giải
a Hàm số f x liên tục với x 2 1 2 x 4
x 2 x 2
lim f x lim lim
lim x 2 2 2 4. x 2 x 2 x 2 x 2 GV: T x 2 x 2 R f 2 4
lim f x f 2
f x liên tục tại x 2 2 Ầ x 2 N ĐÌN Từ
2 ta có f x liên tục trên . H CƯ 1 và –
b Hàm số f x liên tục với x 2 1 0834 3321 2 x
x 2x 2 2
lim f x lim lim
lim x 2 2 2 2 2. 33 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
f 2 2 2 lim f x f 2 f x liên tục tại x 2 2 x 2 Từ
1 và 2 ta có f x liên tục trên .
Câu 86: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) 3
x 3x 1 0 b) 3
2x 6 1 x 3 Lời giải
a Dễ thấy hàm f x 3
x 3x 1 liên tục trên R . Ta có:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 141
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com f 2 1 f 2 . f
1 0 tồn tại một số a 2 ; 1 : f a 0 1 . 1 1 f 1 3 f 0 1
f 0. f
1 0 tồn tại một số a 0;1 : f a 0 2 . 2 2 f 1 1 f 1 1 f
1 . f 2 0 tồn tại một số a 1; 2 : f a 0 3 . 3 3 f 2 3 Do ba khoảng 2 ; 1 , 0
;1 và 1;2 đôi một không giao nhau nên phương trình 3
x 3x 1 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.
Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên 3
x 3x 1 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. b Đặt 3 3 3
1 x t x 1 t 2t 6t 1 0 .
Xét hàm số f t 3
2t 6t 1 liên tục trên R .
f 2. f 1 3.5 0
Ta có: f 0. f 1 1. 3
0 tồn tại 3 số t , t và t lần lượt thuộc 3 khoảng đôi 1 2 3 f
1 . f 2 3.5 0
một không giao nhau là 2 ; 1 , 0
;1 và 1; 2 sao cho f t f t f t 0 và 1 2 3 GV: T
do đây là phương trình bậc 3 nên f t 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. R Ầ
Ứng với mỗi giá trị t , t và t ta tìm được duy nhất một giá trị x thỏa mãn 3 x 1 t 1 2 3 N ĐÌN
và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt. H CƯ
Câu 87: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: – 0834 a) 5
x 3x 3 0 b) 4 3 2
x x 3x x 1 0 3321 Lời giải 33
a Xét f x 5
x 3x 3.
lim f x tồn tại một số x 0 sao cho f x 0. 1 1 x
lim f x tồn tại một số x 0 sao cho f x 0. 2 2 x
Từ đó f x . f x 0 luôn tồn tại một số x x ; x : f x 0 nên phương trình 0 2 1 0 1 2 5
x 3x 3 0 luôn có nghiệm.
b Xét f x 4 3 2
x x 3x x 1 liên tục trên R Ta có: f 1 3 0
lim f x tồn tại một số a 0 sao cho f a 0 . x 2
x x 3 0 nên luôn tồn tại một số x 0; a thỏa mãn f x 0 nên phương 0 0 trình 4 3 2
x x 3x x 1 0 luôn có nghiệm.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 142
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com GV: T R Ầ N ĐÌN H CƯ – 0834 3321 33
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 143