Bài giảng góc trong không gian

Tài liệu gồm 36 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề góc trong không gian, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Hình học 11 chương 3

108 54 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

36 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI GIẢNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm được khái niệm góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa
hai mặt phẳng.
+ Nắm được phương pháp tính góc trong mỗi trường hợp cụ thể.
Kĩ năng
+ Thành thạo các bước tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc
giữa hai mặt phẳng.
+ Vận dụng các quy tắc tính góc vào giải các bài tập liên quan.
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.
Nhận xét:
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a, b ta lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ
đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a)
 
,90;
o
dP dP
b)
 
,, .dP dP dd AIH

(với d' là hình chiếu của d lên (P)).
Chú ý:

0, 90.
oo
dP
Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 3



,,.
a
ab
b



Chú ý:
 
// , 0 ;
o


 
,0.
o


Diện tích hình chiếu đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác H nằm trong mặt phẳng

P
; S' là diện tích
hình chiếu H' của H trên mặt phẳng

P
và là góc giữa hai mặt phẳng

P
và

P
thì .cos .SS
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
GÓC
Góc giữa hai
đường thẳng
a, b
Góc giữa đường thẳng
d và mặt phẳng (P)
Góc giữa hai
mặt phẳng
Góc giữa hai đường thẳng a
và
b là góc giữa hai đường
thẳng
a' và b' cùng đi qua
một điểm và lần lượt song
song hoặc trùng với
a và b.

,90.
o
ab ab
 
,90;
o
dP dP


,, .
dP
dP dd AIH


(với
d' là hình chiếu
của
d lên (P)).



,,.
a
b
ab



TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 4
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp giải
Để tính góc giữa hai đường thẳng d
1
, d
2
trong không gian ta có thể thực hiện như sau
Bước 1. Chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).
Bước 2. Từ O dựng các đường thẳng
12
,dd

lần lượt song song (có thể trùng nếu O nằm trên một
trong hai đường thẳng) với d
1
và d
2
. Góc giữa hai đường thẳng
12
,dd

chính là góc giữa hai đường thẳng
d
1
, d
2
.
Lưu ý: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác:
222
cos .
2
bca
A
bc

Cách khác: Tìm hai vec tơ chỉ phương
12
,uu
 
của hai đường thẳng d
1
, d
2
.
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d
1
, d
2
xác định bởi

12
12
12
.
cos , .
uu
dd
uu
 
 
Ví dụ:
Góc giữa d
1
, d
2
là góc giữa
12
,dd
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng CD' và A'C'
bằng
A. 30°. B. 90°. C. 60°. D. 45°.
Hướng dẫn giải
Ta thấy
// , , .AC AC CD AC CD AC
 

Do các mặt của hình lập phương bằng nhau nên các đường chéo bằng nhau.
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 5
Ta có
2.AC CD AD a


Suy ra ACD' đều nên

,60.
o
CD AC

Chọn C.
Ví dụ 2.
Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC
và BC. Số đo của góc

,IJ CD
bằng
A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°.
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có
//IJ SB (do IJ là đường trung bình của SCB) và
// , , .
A
BCD IJCD SBAB
Mặt khác, ta lại có SAB đều nên
60 .
o
SBA
Suy ra


,60 ,60.
oo
SB AB IJ CD
Chọn C.
Ví dụ 3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, ,3
A
BaSAa và SA vuông góc
với (ABCD). Góc giữa hai đường thẳng SB và CD là
A. 60°. B. 30°. C. 45°. D. 90°.
Hướng dẫn giải
Ta có ABCD là hình bình hành nên
// .
A
BCD
Do đó


,,.SB CD SB AB SBA
Vì
SA ABCD SA AB SAB vuông tại A
Xét tam giác vuông SAB ta có
3
tan 3 60 .
o
SA a
SBA SBA
A
Ba

TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 6
Vậy

,60.
o
SB CD
Chọn A.
Ví dụ 4.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
,, , 3.SA ABCD SA a AB a BC a Côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng SC và BD bằng
A.
3
.
10
B.
5
.
5
C.
3
.
5
D.
3
.
10
Hướng dẫn giải
Kẻ


// , , .OM SC SC BD OM BD
Ta có
ABCD là hình chữ nhật có ,3 2.
A
BaBCa ACBD a

22
22
22 2
55
,;.
2222 2
55
cos cos , .
2. 5 5
BD SC SA AC a a
BO a OM BM MA AB
OM BO BM
MOB SC BD
OM BO



Chọn B.
Ví dụ 5.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C'D'.
Góc giữa hai đường thẳng MN và AP là
A. 45°. B. 30°. C. 60°. D. 90°.
Hướng dẫn giải
Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a.
Do
//
M
NAC nên


,,.
M
NAP ACAP
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 7
Ta cần tính góc
.
P
AC
Vì A'D'P vuông tại D' nên
2
222
5
.
22
aa
AP AD DP a





AA'P vuông tại A' nên
2
222
53
.
22
aa
AP A A A P a






CC'P vuông tại C' nên
2
222
5
.
42
aa
CP CC C P a


Ta có AC là đường chéo của hỉnh vuông ABCD nên
2.AC a
Áp dụng định lý Côsin trong tam giác
ACP ta có:

222
1
2..cos cos 4590.
2
oo
CP AC AP AC AP CAP CAP CAP
Suy ra

,45
o
AC AP CAP
hay

,45.
o
MN AP
Chọn A.
Lưu ý:
Cách khác:
tính trực tiếp
Áp dụng công thức

.
cos ,
.
M
NAP
MN AP
M
NAP

 

Ta tính được
2
2
3
.
4
32
..
4
a
MN AP
a
MN AP


Suy ra
1
cos ,
2
MN AP


,45
o
MN AP
Ví dụ 6. Cho lăng trụ đều ABC.DEF có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Cosin của góc tạo bởi hai
đường thẳng AC và BF là
A.
5
.
10
B.
3
.
5
C.
5
.
5
D.
3
.
10
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 8
Gọi
M, N, K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CF, AB.
Khi đó


//
,,.
//
MN BF
A
CBF MNMK
MK AC

Xét tam giác
MNK, ta có:
22 22
2
22 2
11 1 5
4;
22 2 2
13
,;
22 2
37
.
42
a
MN BF BC CF a a
aa
MK AC CK
aa
NK KC NC a



Suy ra
222
222
57
1
44 4
cos .
2.
525
2. .
22
aaa
ME MN EN
EMN
ME MN
aa



Vậy

5
cos , cos .
10
AC BF EMN
Chọn A.
Ví dụ 7.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, biết
,
A
BCDa
3
.
2
a
MN
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải
Gọi
I là trung điểm của AC.
Ta có


//
,,.
//
IM AB
A
BCD IM IN
IN CD

Đặt
.MIN
Xét tam giác IMN có
3
,,.
22 22 2
AB a CD a a
IM IN MN
Theo định lí côsin, ta có:
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 9
2
22
22 2
3
22 2
1
cos 0 120 .
2. 2
2. .
22
o
aaa
IM IN MN
MIN
aa
IM IN

 


 
 



Vậy

,60.
o
AB CD
Cách khác:
Ta có
,,
A
BCD IM IN nên ta tính
cos , .IM IN
 

2
2
22
2. .
MN IN IM
MN IN IM
IM IN IN IM





 
Suy ra
22 2 2
..
28
IM IN MN a
IN IM


 
Vậy

1
cos , .
2
AB CD
Do đó

,60.
o
AB CD
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1:
Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
(tham khảo hình vẽ bên). Góc
giữa đường thẳng AD và BB
1
bằng
A. 30°. B. 60°.
C. 45°. D. 90°.
Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng
A. 45°. B. 90°. C. 30°. D. 60°.
Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có I, J tương ứng là trung điểm của BC và BB'. Góc giữa hai
đường thẳng AC và IJ bằng
A. 45°. B. 60°. C. 30°. D. 120°.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có
SA ABC và tam giác ABC vuông tại ,, , 2.BSA aAB aBC a
Gọi I là trung điểm BC. Côsin của góc giữa đường thẳng AI và SC là
A.
2
.
3
B.
2
.
3
C.
2
.
3
D.
2
.
8
Câu 5. Cho tứ diện OABC có ;,,OA OB OC a OA OB OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi I là
trung điểm BC. Góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng
A. 45°. B. 30° . C. 90°. D. 60°.
Câu 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD. Biết
A
BCDa và
3
.
2
a
MN
Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 10
A. 30°. B. 90°. C. 120°. D. 60°.
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có
2.
A
BCD a
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Biết
3,MN a
góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 45°. B. 90°. C. 60°. D. 30°.
Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Côsin của góc giữa hai đường thẳng
AB và DM bằng
A.
3
.
2
B.
3
.
6
C.
3
.
3
D.
1
.
2
Câu 9. Cho tứ diện S.ABC có ;2.SA SB SC AB AC a BC a Góc giữa hai đường thẳng AB và
SC bằng
A. 0°. B. 120°. C. 60°. D. 90°.
Câu 10. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và
CD. Góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC bằng
A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°.
Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài toán 1. Bài tập củng cố lý thuyết
Phương pháp giải
Nắm vững lý thuyết để xác định đúng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Góc giữa đường
thẳng
CD và mặt phẳng (ADB) là góc
A.
.CDA
B.
.CAB
C.
.BDA
D.
.CDB
Hướng dẫn giải
Ta có

.
CB BD
CB ABD
CB BA

Do đó
BD là hình chiếu của CD trên (ABD).
Suy ra góc giữa
CD và (ABD) bằng
.CDB
Chọn D.
Ví dụ 2.
Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc (ABC). Góc giữa SC với (ABC) là góc giữa
A. SC và AC. B. SC và AB. C. SC và BC. D. SC và SB.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 11
Hình chiếu vuông góc của
SC lên (ABC) là BC nên góc giữa SC với (ABC)
là góc giữa
SC và BC.
Chọn C.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật,
.SA ABCD
Góc giữa SB và (SAD) là
góc nào dưới đây?
A.
.
B
SD
B.
.SBA
C.
.
B
SA
D.
.SBD
Hướng dẫn giải
Ta có
.SB SAD S

BA SA
B
ASAD
BA AD

tại A
Suy ra
SA là hình chiếu của SB lên (SAD)



,,.SB SAD SB SA BSA
Chọn C.
Ví dụ 4.
Cho hình chóp S.ABCD có
SA ABCD
và đáy là hình thoi tâm O. Góc giữa đường thẳng SB
và mặt phẳng (SAC) là góc giữa cặp đường thẳng nào?
A. SB và SA . B. SB và AB. C. SB và BC. D. SB và SO.
Hướng dẫn giải
Ta có
,
B
OACBOSA BO SAC
Suy ra hình chiếu của
SB lên mặt phẳng (SAC) là SO.
Vậy



,,.SB SAC SB SO
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm
,.OSA ABCD Góc giữa SA và (SBD) là
A.
.
A
SD B.
.
A
SO C.
.
A
SB D.
.SAB
Hướng dẫn giải
Do
,.SA BD AC BD BD SAC
Gọi H là hình chiếu của A trên SO.
Khi đó , .
A
HSOAHBD
Suy ra
.
A
HSBD
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 12
Do đó hình chiếu của
SA xuống (SBD) là SH.
Vậy góc giữa
SA và (SBD) là
.
A
SH ASO
Chọn B.
Bài toán 2. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp giải
Trường hợp 1.
 

,90.
o
dP dP
Trường hợp 2. d không vuông góc với (P). Khi đó ta làm như sau:
Bước 1. Tìm
.dP I
Bước 2. Trên d lấy điểm A khác I. Tìm hình chiếu H của A lên (P). Thông thường ta chọn điểm A trên
d thỏa mãn A thuộc đường thẳng vuông góc với (P). (Khi đó hình chiếu của A là giao điểm của và
(
P)).
Bước 3. Suy ra



,,HI.d P AI AIH
Tính
A
IH (nếu đề bài yêu cầu tính góc).
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy và .SA a
Gọi
là góc tạo bởi SB và mặt phẳng (ABCD). Xác định cot?.
Hướng dẫn giải
Ta có
.SB ABCD B
Trên
SB chọn điểm S. Ta có
SA ABCD nên A là hình chiếu của S lên (ABCD).
Suy ra



,,.SB ABCD SB BA SBA
Vậy
2
cot 2.
AB a
SA a

Ví dụ mẫu
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 13
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên
(
ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Số đo của góc giữa SA và
(
ABC).
A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 75°.
Hướng dẫn giải
Ta có
.SH ABC


,SA ABC SAH

ABC và SBC là hai tam giác đều cạnh a nên
3
.
2
a
AH SH
Suy ra
SHA vuông cân tại
45 .
o
H

Chọn B.
Ví dụ 2.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa A'C' và mặt phẳng (BCC'B') bằng
A. 45°. B. 0°. C. 90°. D. 30°.
Hướng dẫn giải
Dễ dàng thấy góc giữa
A'C' và mặt phẳng (BCC'B') là
45 .
o
ACB

Chọn A.
Ví dụ 3.
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh
,60
o
aABC và .
A
Aa
Góc hợp bởi đường thẳng
BD' và mặt phẳng (ABCD) bằng
A. 90°. B. 60°. C. 30°. D. 45°.
Hướng dẫn giải
Do
DD ABCD
nên góc hợp bởi đường thẳng BD' và mặt phẳng
(ABCD) là
.DBD
3
tan 30 .
3
3
o
DD a
DBD DBD
BD
a


Chọn C.
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC đều cạnh ,3.aAA a
Góc giữa đường thẳng AB'
và (
ABC) bằng
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 14
A. 45°. B. 30°. C. 60°. D. 45°.
Hướng dẫn giải
ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên AB là hình chiếu vuông góc của AB' trên (ABC).
Suy ra góc giữa đường thẳng
AB' và (ABC) bằng
.
B
AB
B'AB vuông tại B nên
tan 3 60 .
o
BB
BAB BAB
AB


Chọn C.
Ví dụ 5.
Cho hình thoi ABCD tâm O có 4 , 2 .
B
DaACa Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho
.SO ABCD Biết
1
tan .
2
SBO Số đo góc giữa SC và (ABCD) bằng
A. 60°. B. 75°. C. 30°. D. 45°.
Hướng dẫn giải
Góc giữa SC và (ABCD) là góc
.SCO
42;
1
.tan 2 . ;
2
2.
B
DaBOa
SO BO SBO a a
A
CaOCa



Vậy
45 .
o
SCO
Chọn D.
Ví dụ 6.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh

,a SA ABCD và .SA a Góc giữa
đường thẳng SB và (SAC) là
A. 30°. B. 75°. C. 60°. D. 45°.
Hướng dẫn giải
Gọi I là tâm của hình vuông của ABCD.
Vì
ABCD là hình vuông nên .
B
DAC
Mặt khác vì

SA ABCD nên .SA BD
Suy ra
B
DSAC
do đó góc giữa đường thẳng SB và (SAC) là góc
.
B
SI
Ta có
2
2;
2
a
SB a BI
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 15
1
sin 30 .
2
o
BI
BSI BSI
SB

Chọn A.
Ví dụ 7.
Cho khối chóp S.ABC có
,SA ABC
tam giác ABC vuông tại , 2 , ,
B
AC a BC a
23.SB a Góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng
A. 45°. B. 30°. C. 60°. D. 90°.
Hướng dẫn giải
Kẻ
1.AH SB H SB
Theo giả thiết, ta có:

2
BC SA
BC SAB BC AH
BC AB
 
Từ (1) và (2) suy ra
.
A
HSBC
Do đó góc giữa
SA và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa SA và SH
bằng
.
A
SH
Ta có
22
3.AB AC BC a
Trong
SAB ta có
31
sin .
2
23
AB a
ASB
SB
a

Vậy
30 .
o
ASB ASH
Do đó góc giữa
SA và mặt phẳng (SBC) bằng 30°.
Chọn B.
Ví dụ 8.
Cho hình chóp S.ABC có
,23, 2,SA ABC SA a AB a
tam giác ABC vuông cân tại B. Gọi
M là trung điểm của SB. Góc giữa đường thẳng CM và mặt phẳng (SAB) bằng
A. 90°. B. 60°. C. 45°. D. 30°.
Hướng dẫn giải
Ta có:

.
BC AB
B
CSAB
BC SA

Do đó
BM là hình chiếu của CM lên mặt phẳng (SAB).
Suy ra


,.CM SAB CMB
Ta có:


22 2
2
22 2.2
tan 1.
23 2
BC AB AB a
CMB
MB SB
SA AB
aa

Suy ra
45 .
o
CMB
Vậy


,45.
o
CM SAB
Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 2
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 16
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC
và mặt phẳng (ABCD) là
A.
.SCB
B.
.CAS
C.
.SCA
D.
.
A
SC
Câu 2. Cho tứ diện ABCB có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB. B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB.
C. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB. D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, 2SA a và
.SA ABCD Góc giữa SC
và (ABCD) bằng
A. 45°. B. 30°. C. 60°. D. 90°.
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3. Số đo của góc giữa cạnh
bên và mặt đáy (làm tròn đến phút) gần bằng
A. 69°18'. B. 28°8' C. 75°2'. D. 61°52'.
Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên 3.AA a
Góc
giữa đường thẳng
AB' và mặt phẳng (ABC) là
A. 45°. B. 30° C. 60°. D. 90°.
Câu 6. Cho hình chóp đều S.ABC có 2, 3.SA a AB a Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng
A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh a, tâm
,.OSA ABCD Góc giữa
SC và (SAB) bằng với
10
tan .
5
Góc giữa SO và (ABCD) bằng
A. 90° . B. 30°. C. 45°. D. 60°.
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có ABCD đều cạnh a, AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) và 2.
A
Ba Gọi M
là trung điểm của
AD. Giá trị tan của góc giữa CM và mặt phẳng (BCD) bằng
A.
23
.
3
B. 23. C.
3
.
2
D. Không xác định.
Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a. Gọi M là trung điểm của SD. Giá
trị tang của góc giữa đường thẳng
BM và mặt phẳng (ABCD) bằng
A.
2
.
3
B.
1
.
3
C.
1
.
2
D.
2
.
5
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy; .SA AB a
Góc giữa
SB và mặt phẳng (SAC) bằng
A. 90°. B. 30°. C. 45°. D. 60°.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với
đáy (
ABCD). Gọi H là trung điểm của ,,.
A
BSH HCSA AB Gọi là góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng (
ABCD). Giá trị tan bằng
A.
23
.
3
B.
3
.
3
C.
3
.
2
D.
1
.
2
Dạng 3. Góc giữa hai mặt phẳng
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 17
Bài toán 1. Các bài tập củng cố lý thuyết
Phương pháp giải
Nắm vững lý thuyết để xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.




,,.
a
ab
b



Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hình chóp S.ABC có
SA ABC
và ,
A
BBC gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?
A.
.SBA B.
.SCA C.
.SCB D.
.SIA
Hướng dẫn giải
Ta có: ,.BC SA BC AB BC SB
Suy ra


,
,
SBC ABC BC
A
BBCAB ABC
SB BC SB SBC






,,.SBC ABC AB SB SBA
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và
.SA ABCD
Gọi O là tâm hình vuông
ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc
.
A
BS
B. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc
.SOA
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc
.SDA
D.
.SAC SBD
Hướng dẫn giải
Ta có


,
,
SAD ABCD AD
A
BADAB ABCD
SA AD SA SAD






,,.SAD ABCD SA AB SAB
Chọn C.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có
SA ABC và đáy ABC vuông ở A. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
.SAB ABC
B.
.SAB SAC
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 18
C. Vẽ ,
A
HBCHBC thì


,.
A
HS SBC ABC
D. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là góc
.SCB
Hướng dẫn giải
+)

SA ABC SAB ABC nên đáp án A đúng.
+)
,
A
BACABSA AB SAC
SAB SAC
nên đáp án B đúng.
+)

;
A
HBCBCSA BC SAH


,.SH BC SBC ABC SHA
Vậy đáp án C đúng.
+)
SBC SAC SC
nhưng BC SC nên đáp án D sai.
Chọn D.
Ví dụ 4.
Cho tứ diện ABCD có
A
CAD và .
B
CBD Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau
đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc
A
IB
B.
.
B
CD AIB
C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là góc
.CBD
D.
.
A
CD AIB
Hướng dẫn giải
Ta có:
A
BC ABD AB
BC

AB
BD
AB


,.
A
BD ABC CBD Đáp án C sai.
Chọn C.
Bài toán 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách dùng định nghĩa
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
và ,
SA a góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng
A. 30°. B. 90°. C. 0°. D. 45°.
Hướng dẫn giải
Ta có

.
AB AD
A
BSAD
AB SA

TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 19
Gọi
E là hình chiếu của A lên SB, dễ thấy

.
A
ESBC
Vậy góc giữa (
SAD) và (SBC) là góc giữa AB và AE.
Ta có
SAB vuông cân tại A nên
45 .
o
SBA
Suy ra
45
o
BAE là góc giữa AB và AE.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (
SAD) và (SBC) bằng 45°.
Chọn D.
Ví dụ 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (
SAB) và (SCD) bằng
A.
3
.
7
B.
2
.
7
C.
2
.
3
D.
3
.
2
Hướng dẫn giải
Gọi H, K là trung điểm của AB, CD.
Do

SAB ABCD
nên SH là đường cao của hình chóp.
Ta có
,1HK AB HK SH HK SAB
Dựng
2.HI SK HI SCD
Từ (1) và (2) ta có góc hợp bởi hai mặt phẳng (
SAB) và (SCD) là

,.HK HI IHK
Ta có
3
;.
2
a
SH HK a
222
22
3
.
111 21
2
.
7
3
4
a
a
HI
HI SH HK
aa

Vây
21
cos .
7
HI
IHK
HK

Chọn A.
Bài toán 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng dựa trên giao tuyến
Phương pháp giải
Dùng cho hai mặt phẳng cắt nhau: “Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông
góc với giao tuyến tại một điểm”.
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 20
Bước 1. Tìm giao tuyến d của (P) và (Q).
Bước 2. Chọn điểm O trên d, từ đó:
+) Trong (
P) dựng
.Ox d
+) Trong (
Q) dựng .Oy d
Khi đó:



,,.Ox Oy

Lưu ý: Việc xác định điểm O có thể được thực hiện theo cách sau: Chọn điểm M trên (Q) sao cho dễ
dàng xác định hình chiếu
H của nó trên (P). Dựng
M
Od thì khi đó


,.
M
OH

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ,
A
Ba cạnh bên SA vuông góc với đáy
và
.
SA a
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) bằng
A. 30°. B. 60°. C. 90°. D. 45°.
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (
SBC) và mặt phẳng (SAD) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng
// // .dBCAD
Vì
,SA d SB d nên



,,.SBC SAD SA SB ASB
Vậy
ASB vuông cân tại A nên
45 .
o
ASB
Chọn D.
Ví dụ 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc
với mặt phẳng đáy (
ABCD) và
3
.
2
a
SO
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 21
Gọi
Q là trung điểm BC, suy ra
.OQ BC
Ta có



,,.
BC OQ
SBC ABCD SQ OQ SQO
BC SO

Tam giác vuông
SOQ có
3
2
tan 3 60 .
2
o
a
SO
SQO SQO
a
OQ

Vậy mặt phẳng (
SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60°.
Chọn C.
Ví dụ 3.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại
,,3,1.
B
SA ABC SA cm AB cm Mặt
bên (SBC) hợp với mặt đáy góc bằng
A. 90°. B. 60°. C. 45°. D. 30°.
Hướng dẫn giải
Ta có
SA ABC nên SA BC mà .
A
BBC
Suy ra
.
B
C SAB SB BC


,.
3
tan 3 60 .
1
o
SBC ABC BC
A
B BC SBC ABC SBA
SB BC
SA
SBA SBA
A
B



Vậy góc giữa (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 60
o
.
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, ,
B
ABCa cạnh bên
2.AA a
Gọi là góc hợp bởi hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC). Khi đó
A.
1
tan .
2
B.
1
tan .
3
C.
tan 2.
D.
6
tan .
3
Hướng dẫn giải
Ta có:

.
BC BA
B
C AABB BC AB
BC AA

 
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 22
Do


;
;
A
BC ABC BC
A
B A BC A B BC
A
B ABC AB BC




nên
ABA
là góc hợp bởi hai mặt
phẳng (A'BC) và (ABC).
Xét A'BC vuông tại A ta có
2
tan 2.
AA a
BA a

Chọn C.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
,
B
SA a
và
,.SA ABC AB BC a
Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng
A. 45°. B. 30°. C. 60°. D. 90°.
Hướng dẫn giải
Ta có
.SAC SBC SC
Gọi F là trung điểm AC thì
.
B
FSAC
Dựng
B
KSC tại



,,.
K
SC BKF SAC SBC KB KF BKF
Dễ thấy
2
.
.
2
.
36
a
a
FK SA FC SA a
CFK CSA FK
FC SC SC
a

∽
BFK vuông tại F có
2
2
tan 3 60 .
6
o
a
FB
BKF BKF
a
FK

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60°.
Chọn C.
Ví dụ 6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng 2a và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu
tan 2
thì góc giữa (SAC) và (SBC) bằng
A. 30°. B. 90° . C. 60°. D. 45°.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 23
Gọi O là tâm đáy và K là hình chiếu vuông góc của O trên SC.
Do
B
DAC
B
DSA
nên
.
B
D SAC BD SO
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc
.SOA
Ta có
tan 2 . 2 .
SA
SA OA a
OA

Do
SC BD
SC OK
nên
.SC BK
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là
.BKO
Ta có

2
2
22
2
2. . 1 2
2
2
tan 3.
1.
1. 2
,
2
BO BO BO
BKO
SA AC
OK
dASC
SA AC

Suy ra
60 .
o
BKO
Chọn C.
Ví dụ 7.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và (SAB)
vuông góc với (ABCD). Gọi là góc tạo bởi (SAC) và (SCD). Giá trị của cos bằng
A.
3
.
7
B.
6
.
7
C.
5
.
7
D.
2
.
7
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 24
Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, CD. Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với
(ABCD) nên
.SH ABCD
Kẻ
,,//.
A
K SC K SC DI SC I SC IP AK P AC
Suy ra

,.IP ID
Ta có
57.14
,2, .
224
aaSMCDa
HC HD SC SD a SM DI
SD

22
14
.
4
232
.
44
14 2 2
.,..
12 3
a
CSA SCD AK DI
aa
CI SK CD DI CK
CI a KI a
CPI CAK IP AK AP AC
CK CK



∽
Áp dụng định lí côsin, ta có
APD có
22
5
2 . .cos 45 .
3
o
a
PD AP AD AP AD
IPD có
22 2
5
cos .
2. . 7
IP ID DP
PID
IP ID


Vậy
5
cos .
7
Chọn C.
Bài toán 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách dùng đinh lý hình chiếu
Phương pháp giải
Dùng định lý về diện tích hình chiếu:
Gọi S là diện tích của đa giác H trong (P) và S' là diện tích hình chiếu của H trên (P') và là góc giữa
(P) và (P') thì .cosSS
hay
cos .
S
S
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đường thẳng
AA', BB', CC' thỏa mãn diện tích của tam giác MNP bằng a
2
. Góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD)
là
A. 60°. B. 30°. C. 45°. D. 120°.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 25
Gọi là số đo góc của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD).
Ta có hình chiếu vuông góc của tam giác MNP lên (ABCD) là ABC.
Áp dụng công thức hình chiếu về diện tích ta có
2
11
.cos . .cos cos 60 .
22
o
ABC MNP
SS ABBCa



Vậy góc của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) bằng 60°.
Chọn A.
Ví dụ 2.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có ,
A
Ba trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại
điểm A ta lấy một điểm D. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) trong trường hợp DBC là tam giác
đều là
A.
1
arccos .
3
B.
3
arccos .
3
C.
3
arccos .
4
D.
3
arccos .
6
Hướng dẫn giải
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC).
Theo công thức diện tích hình chiếu của đa giác, ta có: .cos .
ABC DBC
SS

Mà
2
1133
..sin60 2.2. .
2222
o
DBC
a
SDBDC aa

Mặt khác
2
11
..
22
ABC
SABACa

Suy ra
33
cos arccos .
33
ABC
DBC
S
S


Chọn B.
Ví dụ 3.
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác cân với
, 120 ,
o
AB AC a BAC
cạnh bên .BB a
Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Côsin của góc
giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng
A.
15
.
10
B.
30
.
10
C.
10
.
30
D.
15
.
30
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Côsin cho ABC ta có:
222 222 2
2 . .cos 2 cos120 3 .
o
BC AB AC AB AC A a a a a
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 26
Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
2
222
2222 22
513
2; ; 3 .
24 44
aa aa
BA a AI a BI a





Ta có:
22
222 2
513
2
44
aa
B
AAI a BI ABI


vuông ở A.
Ta có:
2
115 10
...2 .
222 4
AB I
aa
SAIAB a

2
2
13
sin120 .
24
o
ABC
a
Sa

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).
Ta có
2
2
3
330
4
cos .
10
10 10
4
ABC
ABI
a
S
S
a

Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và
,SA ABCD gọi O là tâm hình vuông
ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc
.
A
BS
B. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc
.SOA
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc
.SDA
D.
.SAC SBD
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC
vuông cân ở A và có đường cao
.
A
HH BC Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng
định nào sau đây đúng?
A.
.SA ABC
B.
.SAH SBC
C. .OSC D. Góc giữa (SBC) và (ABC) là
.SBA
Câu 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích tam giác ABC bằng 5. Gọi M, N, P lần lượt thuộc các
cạnh AA', BB', CC' và diện tích tam giác MNP bằng 10. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (MNP) bằng
A. 60° . B. 30° . C. 90°. D. 45°.
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 27
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
;2,DAB aAD DC a
và
.SA ABCD Tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
A.
1
.
2
B.
1
.
3
C. 3. D. 2.
Câu 5. Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh AA' sao cho
3
.
4
a
AM
Tan của góc hợp bởi hai mặt phẳng (MBC) và (ABC) là
A. 2. B.
1
.
2
C.
3
.
2
D.
2
.
2
Câu 6. Cho hình chóp đều S.ABC có chiều cao bằng a, thể tích bằng
3
3.a Góc tạo bởi mặt bên và mặt
đáy bằng
A. 75°. B. 60°. C. 45°. D. 30°.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc mặt
phẳng đáy và
2.SA a
Biết
222.
A
BADDCa
Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là
A. .
3
B. .
4
C. .
6
D. .
12
Câu 8. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
2,a
cạnh bên bằng 2a. Gọi là góc tạo bởi hai
mặt phẳng (SAC)và (SCD). Giá trị của cos bằng
A.
21
.
2
B.
21
.
14
C.
21
.
3
D.
21
.
7
Câu 9. Cho lăng trụ đứng OAB.O'A'B' có các đáy là các tam giác vuông cân ,2.OA OB a AA a

Gọi M, P lần lượt là trung điểm các cạnh OA, AA'. Diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ bởi (B'MP) bằng
A.
2
15
.
12 2
a
B.
2
515
.
12 2
a
C.
2
515
.
62
a
D.
2
15
.
62
a
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 28
ĐÁP ÁN
Dạng 1. Góc giữa hai đường thẳng
1- D 2- D 3- B 4- C 5- D 6- D 7- C 8- B 9- C 10- B
Câu 1.
Ta có


11
11
111
,90.
o
AD ABB A
AD BB AD BB
BB ABB A

Câu 2.
Vì
//
B
DBD

nên góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng góc giữa
hai đường thẳng BA' và BD.
Ta có ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên A'BD là tam giác đều. Khi
đó góc giữa hai đường thẳng BA' và BD bằng
60 .
o
ABD
Câu 3.
Gọi K là trung điểm của AB
Vì ABCD là hình vuông nên
// .
K
IAC
Suy ra góc giữa AC và IJ bằng góc giữa KI và IJ.
Ta có
11 1
;; .
22 2
IK AC IJ B C KJ AB


Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên
.
A
CBCAB KIIJJK


Suy ra IJK là tam giác đều, nên
60 .
o
KIJ
Vậy góc giữa AC và IJ bằng 60°.
Câu 4.
Gọi H là trung điểm SB ta có
// .SC HI
Góc giữa đường thẳng AI và SC bằng góc giữa đường thẳng AI và HI.
22
2
22 2
22 22
222
12
;
222
3
.
22
3
;.
22 2
AB SA a
AH SB
a
AI AB BI a a
SC SA AC a a
HI a AI AH HI




Suy ra tam giác AHI vuông tại
2
,cos .
3
HI
HAIH
AI

TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 29
Vậy côsin của góc giữa đường thẳng AI và SC là
2
cos .
3
AIH
Câu 5.
Vì tứ diện OABC có
;,,OA OB OC a OA OB OC
vuông góc với nhau
từng đôi một nên ta có thể dựng hình lập phương AMNP.OBDC (như hình
vẽ) với I là trung điểm
;.
B
CI OD BC
Cạnh của hình lập phương trên bằng a nên
2
A
BANNBa vậy tam
giác ABN đều.
Dễ thấy
//OI AN nên góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng góc giữa
AB và AN bằng 60°.
Câu 6.
Gọi E là trung điểm của BD.
Vì
//
//
A
BNE
CD ME
nên góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa
hai đường thẳng NE và ME.
Trong tam giác MNE ta có:
22 2
22 2
2
3
1
44 4
cos .
2. 2
2.
4
aa a
ME NE MN
MEN
a
ME NE



Suy ra
120 .
o
MEN
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 60°.
Câu 7.
Gọi P là trung điểm AC, ta có //
P
MCD và //
P
NAB suy ra


,,.
A
BCD PM PN
Dễ thấy
.
P
MPNa Xét PMN ta có:
22 2222
31
cos
2. 2.. 2
120 .
o
PM PN MN a a a
MPN
PM PN a a
MPN



Suy ra

, 180 120 60 .
ooo
AB CD 
Câu 8.
Gọi N là trung điểm của AC.
Khi đó / /
A
BMN nên


,,.DM AB DM MN
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 30
Dễ dàng tính được
3
2
a
DM DN
và
.
2
a
MN
Trong tam giác DMN, ta có:
2
222
3
4
cos .
2. 6
3
2. .
22
a
DM MN DN
DMN
DM MN
aa


Vì
3
cos 0
6
DMN  nên

3
cos , .
6
DM MN Vậy

3
cos , .
6
DM AB
Câu 9.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB, SA.
Góc giữa AB và SC là góc giữa PN và MN.
Ta có:
22
3
;
22
aa
M
NNPPCBP PMPCCM
22
32
.
222
aaa





Suy ra MNP là tam giác đều
60 .
o
MNP Vậy góc giữa AB và SC bằng 60°.
Câu 10.
Đặt
,,.
A
DaABbACc
 
Khi đó, ta có
abcm

và
,,,60.
o
ab bc ca
 
Ta có
... .
2
m
ab bc ca

Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên
11
.
22
M
NADBC acb
  


2
222
2
2
2
12
2. 2. 2. .
422
1.2
2
.cos,.
22 2
2
.
.
2
mm
MN a b c a c a b b c MN
m
mMNBC
MN BC a c b b c MN BC
m
MN BC
m



 
 
 
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 45°.
Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
1- C 2- A 3- A 4- D 5- C 6- A 7- D 8- A 9- B 10- B
11- B
HƯỚNG DẨN GIẢI CHI TIẾT
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 31
Câu 1.
Từ giả thiết ta có
SA ABCD
Suy ra AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Do đó



,,.SC ABCD SC AC SCA
Câu 2.
Từ giả thiết ta có

.
AB BC
A
BBCD
AB CD

Do đó



,,.
A
C BCD AC BC ACB
Câu 3.
Vì SA vuông góc với đáy nên:



,,.SC ABCD SC AC SCA
Trong hình vuông ABCD có
2.AC a
Theo giả thiết, ta có
2.SA a
Suy ra SAC vuông cân tại A.
Vậy
45 .
o
SCA
Câu 4.
Ta có



,,.SC ABCD SC OC SCO
Xét tam giác vuông SCO có:
2
cos 61 52 .
3
o
OC
SCO SCO
SC

Câu 5.
Vì
B
B ABC
nên AB là hình chiếu vuông góc của AB' trên
(ABC).
Suy ra



,,.
A
B ABC AB AB B AB


Tam giác ABB' vuông tại B nên:
tan 3 60 .
o
BB AA
BAB BAB
AB AB



Câu 6.
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 32
Do hình chóp S.ABC đều nên ta có
SG ABC với G là trọng tâm ABC.
Do đó góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là
.SAG
Gọi F là trung điểm của BC ta có
33
.
2
a
AF
Suy ra
2
3.
3
AG AF a
Xét SAG vuông tại G ta có:
33
cos 30 .
22
o
AG a
SAG SAG
SA a

Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là 30°.
Câu 7.
Ta có

BC AB
B
CSAB
BC SA

nên góc là
.CSB
Ta có
10 5 3
tan .
52
10
BC a
SB SA a
SB

Góc giữa SO và (ABCD) là góc
.SOA
Ta có
3
2
tan 3 60 .
2
2
o
a
SA
SOA SOA
AO
a

Câu 8.
Dựng
// ,
M
NABNBD
do
A
BBCD
và M là trung điểm của AD
nên
M
NBCD và N là trung điểm của DB.
Suy ra CN là hình chiếu vuông góc của CM trên mặt phẳng (BCD). Vậy
góc giữa CM và mặt phẳng (BCD) là góc giữa hai đường thẳng CN và
CM.
Ta có:

23
tan , tan .
3
3
2
MN a
CM CN MCN
CN
a

Câu 9.
Gọi
.OACBDSO ABCD
Gọi H là trung điểm của OD.
Xét SOD có MH là đường trung bình nên
// .
M
HSO
Suy ra
.
M
HABCD
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 33
Hình chiếu của đường thẳng BM trên mặt phẳng (ABCD) là BH.
Suy ra



,,
B
MABCD BMBH MBH (
M
BH là góc nhọn).
Xét tam giác vuông ABD có:

22
22
2222.
B
DABAD a a a
332
42
a
BH BD và
1
2.
2
OD BD a
Xét tam giác vuông SOD có:


2
2
22
222.SO SD OD a a a
Suy ra
12
.
22
a
MH SO Ta có
2
1
2
tan .
3
32
2
a
MH
MBH
BH
a

Câu 10.
Ta có góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) là góc
.
B
SO
Xét SOB vuông tại O có
22 22
6
,2.
2
a
SO SA OA SB SA AB a 
Vậy
6
3
2
cos 30 .
2
2
o
a
SO
BSO BSO
SB
a

Câu 11.
2
2
5
.
42
aa
SH HC a
Vì
.
2
a
SA AB a AH
Vì
222
SA AH SH nên SAB vuông cân tại A hay SA AB
Ta có
 
.
SAB ABCD
SAB ABCD AB SA ABCD
SA AB

Hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD) là AC.
Suy ra




1
,,tantan .
22
SA a
SC ABCD SC AC SCA SCA
AC
a

Dạng 3. Góc giữa hai mặt phẳng
1- C 2- B 3- A 4- A 5- C 6- C 7- A 8- D 9- B
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 34
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Ta có:




,,.
,
SAD ABCD AD
A
B AD AB ABCD SAD ABCD SAB
SA AD SA SAD



Vậy đáp án C sai.
Câu 2.
Ta có



.
SAB SAC SA
SAC ABC SA ABC
SAB ABC


Gọi H là trung điểm của
B
CAHBC
mà
B
CSA
.
B
CSAH SBC SAH
Khi đó O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC).
Suy ra
OSH
và


,SBC ABC SHA
D sai.
Câu 3.
Có ABC là hình chiếu của
MNP lên mặt phẳng (ABC).
Theo công thức diện tích hình chiếu có
cosSS
với
;
A
BC MNP
SS SS
 và


;.
A
BC MNP
Suy ra
51
cos .
10 2
S
S

Suy ra 60 .
o
Câu 4.
Ta có
.SBC ABCD BC
Dễ dàng chứng minh được:
.
A
CBC
 

,.
1
tan .
22
B
C SAC BC SC SBC ABCD SCA
SA a
SCA
AC
a
 

Câu 5.
Gọi D là trung điểm của BC.
Ta có
;
M
BC ABC BC
;.
B
CADBCAM BC AMD
TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 35
Do đó



,,.
M
BC ABC DM AD MDA

Vì tam giác MAD vuông tại A nên
32 3
tan . .
42
3
AM a
AD
a

Câu 6.
Gọi M là trung điểm của BC, suy ra
A
MBC (vì ABC đều).
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, suy ra
SO ABC
và .SO a
Khi đó góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) là góc
.SMO
Ta có
3
2
.
.
3
133
.33.
3
SABC
S ABC ABC ABC
V
a
VSOSS a
SO a


Mặt khác
22
3
.33 23.
4
ABC
SABaABa

Xét ABC có
113
..23 .
332
OM AM a a
Xét SOM vuông tại O nên
tan 1 45 .
o
SO a
SMO SMO
OM a

Câu 7.
Gọi M là trung điểm của AB.
Ta có tứ giác ADCM là hình vuông và
CM SAB
. Trong (SAB)
kẻ
M
KSB
tại K.
Khi đó, ta có
SB CMK nên


;.SAB SBC MKC
Từ
B
MK BSA∽ ta suy ra
.1
3
SA BM
MK MK
SB

Trong MKC vuông tại M có
tan 3.
MC
MKC
M
K

Suy ra
.
3
MKC
Câu 8.
Gọi H là hình chiếu của O trên cạnh SC ta có


,.SDC SAC OHD

OHD vuông tại O và
3
;
2
a
OD a OH nên
7
.
2
a
DH
Vậy
21
cos .
7
OH
DH

TOANMATH.co
m
Tr
a
ng 36
Câu 9.
Gọi R là giao điểm của MP và OO', Q là giao điểm của B'R với OB
Thiết diện là tứ giác MPB'Q, ta có
1
.
33
OQ RO a
OQ
OB RO


Tứ giác AMQB là hình chiếu vuông góc của tứ giác PMQB' trên mặt
phẳng (OAB) nên
cos
A
MQB
PMQB
S
S
với là góc tạo bởi hai mặt phẳng
(OAB) và (MPB'Q).
Ta có:
22 2
11 5
.
21212
AMQB OAB OMQ
SSS aaa
Hạ
,OH MQ ta có:

.
MQ OH
M
Q OHR MQ HR
MQ OR
 
Vậy
OHR
(
OHR nhọn).
Ta có:
22
cos cos
OH OH
OHR
RH
OH OR

22
2
13
.
15
13 2
a
aa

Vậy
2
515
.
12 2
PMQB
a
S
| 1/36
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI GIẢNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Mục tiêu Kiến thức
+ Nắm được khái niệm góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
+ Nắm được phương pháp tính góc trong mỗi trường hợp cụ thể.  Kĩ năng
+ Thành thạo các bước tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
+ Vận dụng các quy tắc tính góc vào giải các bài tập liên quan. Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Nhận xét:
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a, b ta lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ
đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng a)     ,    90o d P d P ;
b) d  P  d P      d d  , ,  AIH.
(với d' là hình chiếu của d lên (P)).
Chú ý: 0o  ,    90 .o d P
Góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. TOANMATH.com Trang 2
a    ,      a,bb    . 
Chú ý:   / /     ,    0o     ;
       ,    0 .o    
Diện tích hình chiếu đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác H nằm trong mặt phẳng P ; S' là diện tích
hình chiếu H' của H trên mặt phẳng P và  là góc giữa hai mặt phẳng
P và P thì S  S.cos.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA GÓC Góc giữa hai Góc giữa đường thẳng Góc giữa hai
đường thẳng a, b
d và mặt phẳng (P) mặt phẳng
Góc giữa hai đường thẳng a a        ,    90o d P d P ; 
và b là góc giữa hai đường b   
thẳng a' và b' cùng đi qua   ,       a,b.
một điểm và lần lượt song
song hoặc trùng với a và b.
d   P   d P       d d   , ,  AIH .
(với d' là hình chiếu
của d lên (P)).      ,  90 .o a b a b TOANMATH.com Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Góc giữa hai đường thẳng Phương pháp giải
Để tính góc giữa hai đường thẳng d1, d2 trong không gian ta có thể thực hiện như sau
Bước 1. Chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).
Bước 2. Từ O dựng các đường thẳng d , d  lần lượt song song (có thể trùng nếu O nằm trên một 1 2
trong hai đường thẳng) với d  
1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng d , d chính là góc giữa hai đường thẳng 1 2 d1, d2. 2 2 2
b c a
Lưu ý: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác: cos A  . 2bc  
Cách khác: Tìm hai vec tơ chỉ phương u ,u của hai đường thẳng d 1 2 1, d2.   u .u
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cosd ,d  1 2    . 1 2 u u 1 2 Ví dụ:
Góc giữa d1, d2 là góc giữa d , d  1 2 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng CD' và A'C' bằng A. 30°. B. 90°. C. 60°. D. 45°.
Hướng dẫn giải Ta thấy 
AC / / AC  CD , AC 
 CD , AC .
Do các mặt của hình lập phương bằng nhau nên các đường chéo bằng nhau. TOANMATH.com Trang 4
Ta có AC CD  AD  a 2.
Suy ra ACD' đều nên     ,   60 .o CD ACChọn C.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC
và BC. Số đo của góc IJ CD  , bằng A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°.
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có IJ / /SB (do IJ là đường trung bình của SCB) và 
AB / /CD  IJ,CD 
 SB, AB.
Mặt khác, ta lại có SAB đều nên  60 .o SBA  Suy ra    o      , 60 ,  60 .o SB AB IJ CD Chọn C.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB a, SA a 3 và SA vuông góc
với (ABCD). Góc giữa hai đường thẳng SB và CD là A. 60°. B. 30°. C. 45°. D. 90°.
Hướng dẫn giải
Ta có ABCD là hình bình hành nên AB / /C . D Do đó SB CD   SB AB   , ,  . SBA
Vì SA   ABCD  SA AB S
AB vuông tại A SA a 3
Xét tam giác vuông SAB ta có   tan SBA  
 3  SBA  60 .o AB a TOANMATH.com Trang 5 Vậy    , 60 .o SB CD Chọn A.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình chữ nhật,
SA   ABCD, SA a, AB a, BC a 3. Côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng SC và BD bằng 3 5 3 3 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 10
Hướng dẫn giải Kẻ OM
SC  SC BD   OM BD  / / , , .
Ta có ABCD là hình chữ nhật có AB a, BC a 3  AC BD  2 . a 2 2 BD SC SA AC a 5 a 5 2 2 BO   a,OM   
; BM MA AB  . 2 2 2 2 2 2 2 2 
OM BO BM 5  MOB    SC BD 5 cos cos ,  . 2OM .BO 5 5 Chọn B.
Ví dụ 5. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C'D'.
Góc giữa hai đường thẳng MN và AP là A. 45°. B. 30°. C. 60°. D. 90°.
Hướng dẫn giải
Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a.
Do MN / / AC nên MN AP   AC AP  , , . TOANMATH.com Trang 6 Ta cần tính góc  PAC. 2  a a 5
Vì A'D'P vuông tại D' nên 2 2 2
AP AD  D P   a   .    2  2 2    a 5 3a
AA'P vuông tại A' nên 2 2 2
AP AA AP a     .  2  2   2  a a 5
CC'P vuông tại C' nên 2 2 2
CP CC  C P   a   . 4 2
Ta có AC là đường chéo của hỉnh vuông ABCD nên AC a 2.
Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ACP ta có: 1 2 2 2       2 . .cos  cos  
 45o  90 .o CP AC AP AC AP CAP CAP CAP 2 Suy ra     ,   45o AC AP CAP hay    , 45 .o MN AP Chọn A. Lưu ý:
Cách khác: tính trực tiếp     MN AP Áp dụng công thức MN AP  . cos ,
   MN . AP Ta tính được 2
  3a MN.AP  4 2   3 2a MN . AP  . 4   Suy ra MN AP 1 cos ,      ,  45o MN AP 2
Ví dụ 6. Cho lăng trụ đều ABC.DEF có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Cosin của góc tạo bởi hai
đường thẳng AC và BF là 5 3 5 3 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 10
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 7
Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CF, AB. MN / /BF Khi đó 
  AC, BF
  MN,MK . MK / / AC
Xét tam giác MNK, ta có: 1 1 1 a 5 2 2 2 2 MN BF BC CF a  4a  ; 2 2 2 2 1 a a 3
MK AC  ,CK  ; 2 2 2 2 3a a 7 2 2 2
NK KC NC   a  . 4 2 2 2 2 a 5a 7a 2 2 2  
ME MN EN 1 Suy ra  4 4 4 cos EMN     . 2ME.MN a a 5 2 5 2. . 2 2 Vậy  AC BF   5 cos ,  cos EMN  . 10 Chọn A.
Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, biết AB CD a, a 3 MN
. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. 2
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của AC. IM / / AB Ta có    AB,CD
  IM,IN  . IN / /CD Đặt  MIN  . AB a CD a a 3
Xét tam giác IMN có IM   , IN   , MN  . 2 2 2 2 2
Theo định lí côsin, ta có: TOANMATH.com Trang 8 2 2 2  a   a   a 3          2 2 2
IM IN MN  2   2  2   1  cos  
   0  MIN  120 .o 2IM .IN a a 2 2. . 2 2 Vậy    , 60 .o AB CD Cách khác:  
Ta có  AB,CD  IM , IN  nên ta tính IM IN  cos , .
  
MN IN IM 2  
MN  IN IM 2   2 2
IM IN  2IN.IM . 2 2 2 2  
IM IN MN a Suy ra IN.IM    . 2 8 Vậy  AB CD  1 cos ,  . 2 Do đó    , 60 .o AB CD
Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 (tham khảo hình vẽ bên). Góc
giữa đường thẳng AD và BB1 bằng A. 30°. B. 60°. C. 45°. D. 90°.
Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng A. 45°. B. 90°. C. 30°. D. 60°.
Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có I, J tương ứng là trung điểm của BC và BB'. Góc giữa hai
đường thẳng AC và IJ bằng A. 45°. B. 60°. C. 30°. D. 120°.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC và tam giác ABC vuông tại B, SA a, AB a, BC a 2.
Gọi I là trung điểm BC. Côsin của góc giữa đường thẳng AI và SC là 2 2 2 2 A.  . B. . C. . D. . 3 3 3 8
Câu 5. Cho tứ diện OABC có OA OB OC  ; a O ,
A OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi I là
trung điểm BC. Góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng A. 45°. B. 30° . C. 90°. D. 60°.
Câu 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD. Biết AB CD a và a 3 MN
. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 2 TOANMATH.com Trang 9 A. 30°. B. 90°. C. 120°. D. 60°.
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB CD  2 .
a Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Biết
MN a 3, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 45°. B. 90°. C. 60°. D. 30°.
Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Côsin của góc giữa hai đường thẳng
AB và DM bằng 3 3 3 1 A. . B. . C. . D. . 2 6 3 2
Câu 9. Cho tứ diện S.ABC có SA SB SC AB AC  ;
a BC a 2. Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 0°. B. 120°. C. 60°. D. 90°.
Câu 10. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và
CD. Góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC bằng A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°.
Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài toán 1. Bài tập củng cố lý thuyết Phương pháp giải
Nắm vững lý thuyết để xác định đúng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Góc giữa đường
thẳng CD và mặt phẳng (ADB) là góc A.CD . A B. . CAB C. . BDA D. . CDB
Hướng dẫn giải CB   BD Ta có 
CB   ABD. CB   BA
Do đó BD là hình chiếu của CD trên (ABD).
Suy ra góc giữa CD và (ABD) bằng  CD . B Chọn D.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc (ABC). Góc giữa SC với (ABC) là góc giữa
A. SC và AC.
B. SC và AB.
C. SC và BC.
D. SC và SB.
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 10
Hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC) là BC nên góc giữa SC với (ABC)
là góc giữa SC và BC. Chọn C.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật, SA   ABCD. Góc giữa SB và (SAD) là góc nào dưới đây? A.B . SD B. . SBA C.B . SA D. . SBD
Hướng dẫn giải
Ta có SB  SAD  S.
BA SA  BA SAD tại A BA AD
Suy ra SA là hình chiếu của SB lên (SAD)
 SB SAD   SB SA   , ,  B . SA Chọn C.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD và đáy là hình thoi tâm O. Góc giữa đường thẳng SB
và mặt phẳng (SAC) là góc giữa cặp đường thẳng nào?
A. SB và SA .
B. SB và AB.
C. SB và BC.
D. SB và SO.
Hướng dẫn giải
Ta có BO AC, BO SA BO  SAC
Suy ra hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAC) là SO.
Vậy SB SAC   SB SO  , , . Chọn D.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SA   ABCD. Góc giữa SA và (SBD) là A.A . SD B.A . SO C.A . SB D. . SAB
Hướng dẫn giải
Do SA BD, AC BD BD  SAC.
Gọi H là hình chiếu của A trên SO. Khi đó ,
AH SO AH B . D
Suy ra AH  SBD. TOANMATH.com Trang 11
Do đó hình chiếu của SA xuống (SBD) là SH.
Vậy góc giữa SA và (SBD) là   ASH  . ASO Chọn B.
Bài toán 2. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp giải
Trường hợp 1.         ,  90 .o d P d P
Trường hợp 2. d không vuông góc với (P). Khi đó ta làm như sau:
Bước 1. Tìm d  P  I.
Bước 2. Trên d lấy điểm A khác I. Tìm hình chiếu H của A lên (P). Thông thường ta chọn điểm A trên
d thỏa mãn A thuộc đường thẳng  vuông góc với (P). (Khi đó hình chiếu của A là giao điểm của  và (P)).
Bước 3. Suy ra d P   AI    , , HI  AIH. Tính 
AIH (nếu đề bài yêu cầu tính góc).
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy và SA  . a
Gọi  là góc tạo bởi SB và mặt phẳng (ABCD). Xác định cot?.
Hướng dẫn giải
Ta có SB   ABCD    B .
Trên SB chọn điểm S. Ta có SA   ABCD nên A là hình chiếu của S lên (ABCD).
Suy ra SB ABCD   SB BA   , ,  . SBA AB 2a Vậy cot    2. SA a Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 12
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên
(ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Số đo của góc giữa SA và (ABC). A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 75°.
Hướng dẫn giải
Ta có SH   ABC.       ,
SA ABC SAH    a 3
ABC và SBC là hai tam giác đều cạnh a nên AH SH  . 2
Suy ra SHA vuông cân tại   45 .o HChọn B.
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa A'C' và mặt phẳng (BCC'B') bằng A. 45°. B. 0°. C. 90°. D. 30°.
Hướng dẫn giải
Dễ dàng thấy góc giữa A'C' và mặt phẳng (BCC'B') là      45 .o A C B Chọn A.
Ví dụ 3. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh  , 60o a ABC  và AA  . a
Góc hợp bởi đường thẳng BD' và mặt phẳng (ABCD) bằng A. 90°. B. 60°. C. 30°. D. 45°.
Hướng dẫn giải
Do DD   ABCD nên góc hợp bởi đường thẳng BD' và mặt phẳng (ABCD) là  D B  . D DDa 3  tan D BD     D BD  30 .o BD a 3 3 Chọn C.
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC đều cạnh a, AA  3 .
a Góc giữa đường thẳng AB' và (ABC) bằng TOANMATH.com Trang 13 A. 45°. B. 30°. C. 60°. D. 45°.
Hướng dẫn giải
ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên AB là hình chiếu vuông góc của AB' trên (ABC).
Suy ra góc giữa đường thẳng AB' và (ABC) bằng  B . AB    BB
B'AB vuông tại B nên   tan B AB   3  B AB  60 .o AB Chọn C.
Ví dụ 5. Cho hình thoi ABCD tâm O có 4
BD a, AC  2 .
a Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho
SO   ABCD. Biết  1
tan SBO  . Số đo góc giữa SC và (ABCD) bằng 2 A. 60°. B. 75°. C. 30°. D. 45°.
Hướng dẫn giải
Góc giữa SC và (ABCD) là góc . SCO
BD  4a BO  2a;  1 SO  .t
BO an SBO  2 . aa; 2
AC  2a OC  . a Vậy  45 .o SCO Chọn D.
Ví dụ 6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA   ABCD và SA  . a Góc giữa
đường thẳng SB và (SAC) là A. 30°. B. 75°. C. 60°. D. 45°.
Hướng dẫn giải
Gọi I là tâm của hình vuông của ABCD.
Vì ABCD là hình vuông nên BD AC.
Mặt khác vì SA   ABCD nên . SA BD
Suy ra BD  SAC do đó góc giữa đường thẳng SB và (SAC) là góc  BSI. a 2
Ta có SB a 2; BI  2 TOANMATH.com Trang 14 BI 1   sin BSI
  BSI  30 .o SB 2 Chọn A.
Ví dụ 7. Cho khối chóp S.ABC có SA   ABC, tam giác ABC vuông tại ,
B AC  2a, BC a,
SB  2a 3. Góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng A. 45°. B. 30°. C. 60°. D. 90°.
Hướng dẫn giải
Kẻ AH SB H SB   1 . Theo giả thiết, ta có: BC SA
BC  SAB  BC AH 2 BC AB
Từ (1) và (2) suy ra AH  SBC.
Do đó góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa SA và SH bằng  ASH. Ta có 2 2
AB AC BC a 3. AB a Trong SAB ta có  3 1 sin ASB    . SB 2a 3 2 Vậy     30 .o ASB ASH
Do đó góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng 30°. Chọn B.
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC, SA  2a 3, AB  2a, tam giác ABC vuông cân tại B. Gọi
M là trung điểm của SB. Góc giữa đường thẳng CM và mặt phẳng (SAB) bằng A. 90°. B. 60°. C. 45°. D. 30°.
Hướng dẫn giải BC AB Ta có: 
BC  SAB. BC SA
Do đó BM là hình chiếu của CM lên mặt phẳng (SAB).
Suy ra CM SAB   ,  CM . B BC 2AB 2AB 2.2a Ta có:  tan CMB      1. 2 2 MB SB SA AB
2a 32 2a2 Suy ra  45 .o CMB  Vậy     , 45 .o CM SAB Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 2 TOANMATH.com Trang 15
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC
và mặt phẳng (ABCD) là A.SC . B B.CAS. C. . SCA D.ASC.
Câu 2. Cho tứ diện ABCB có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB.
B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB.
C. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB.
D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  2a và SA   ABCD. Góc giữa SC và (ABCD) bằng A. 45°. B. 30°. C. 60°. D. 90°.
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3. Số đo của góc giữa cạnh
bên và mặt đáy (làm tròn đến phút) gần bằng A. 69°18'. B. 28°8' C. 75°2'. D. 61°52'.
Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên AA  a 3. Góc
giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) là A. 45°. B. 30° C. 60°. D. 90°.
Câu 6. Cho hình chóp đều S.ABC có SA  2a, AB  3 .
a Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh a, tâm O, SA   ABCD. Góc giữa 10
SC và (SAB) bằng  với tan 
. Góc giữa SO và (ABCD) bằng 5 A. 90° . B. 30°. C. 45°. D. 60°.
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có ABCD đều cạnh a, AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) và AB  2 . a Gọi M
là trung điểm của AD. Giá trị tan của góc giữa CM và mặt phẳng (BCD) bằng 2 3 3 A. . B. 2 3. C. .
D. Không xác định. 3 2
Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a. Gọi M là trung điểm của SD. Giá
trị tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) bằng 2 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 5
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy; SA AB  . a
Góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng A. 90°. B. 30°. C. 45°. D. 60°.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với
đáy (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, SH HC, SA A .
B Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABCD). Giá trị tan bằng 2 3 3 3 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2
Dạng 3. Góc giữa hai mặt phẳng TOANMATH.com Trang 16
Bài toán 1. Các bài tập củng cố lý thuyết Phương pháp giải
Nắm vững lý thuyết để xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
a   ,
  a,b  b    .  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC và AB BC, gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây? A. . SBA B.SC . A C. . SCB D.SI . A
Hướng dẫn giải Ta có: BC  ,
SA BC AB BC  . SB
SBC  ABC  BC
Suy ra AB BC, AB   ABC
SB BC,SB   SBC
 SBC  ABC   AB SB   , ,  . SBA
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA   ABCD. Gọi O là tâm hình vuông
ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc  ABS.
B. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc . SOA
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc . SDA
D.SAC  SBD.
Hướng dẫn giải
SAD  ABCD  AD
Ta có AB AD, AB   ABCD
SA AD,SA   SAD
 SAD  ABCD   SA AB   , ,  S . AB Chọn C.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC và đáy ABC vuông ở A. Khẳng định nào sau đây sai?
A.SAB   ABC.
B.SAB  SAC. TOANMATH.com Trang 17
C. Vẽ AH BC, H BC thì 
AHS  SBC  ABC  , .
D. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là góc  SC . B
Hướng dẫn giải
+) SA   ABC  SAB   ABC nên đáp án A đúng.
+) AB AC, AB SA AB  SAC
 SAB  SAC nên đáp án B đúng.
+) AH BC; BC SA BC  SAH
SH BC  SBC  ABC   ,  . SHA
Vậy đáp án C đúng.
+) SBC SAC  SC nhưng BC SC nên đáp án D sai. Chọn D.
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD có AC AD và BC B .
D Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc  AIB
B.BCD   AIB.
C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là góc  CB . D
D.ACD   AIB.
Hướng dẫn giải
ABC  ABD  AB
Ta có: BC ABBD AB 
  ABD  ABC   ,  C . BD Đáp án C sai. Chọn C.
Bài toán 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách dùng định nghĩa Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ,
SA a góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng A. 30°. B. 90°. C. 0°. D. 45°.
Hướng dẫn giải AB AD Ta có 
AB  SAD. AB SA TOANMATH.com Trang 18
Gọi E là hình chiếu của A lên SB, dễ thấy AE  SBC.
Vậy góc giữa (SAD) và (SBC) là góc giữa AB và AE.
Ta có SAB vuông cân tại A nên  45 .o SBA  Suy ra  45o BAE
là góc giữa AB và AE.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 45°. Chọn D.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng 3 2 2 3 A. . B. . C. . D. . 7 7 3 2
Hướng dẫn giải
Gọi H, K là trung điểm của AB, CD.
Do SAB   ABCD nên SH là đường cao của hình chóp.
Ta có HK AB, HK SH HK  SAB   1
Dựng HI SK HI  SCD 2.
Từ (1) và (2) ta có góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là HK HI   ,  IHK. a 3 Ta có SH  ; HK  . a 2 a 3 . 1 1 1 a 21 2    HI   . 2 2 2 HI SH HK 3 7 2 2 a a 4 HI Vây  21 cos IHK   . HK 7 Chọn A.
Bài toán 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng dựa trên giao tuyến Phương pháp giải
Dùng cho hai mặt phẳng cắt nhau: “Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông
góc với giao tuyến tại một điểm”. TOANMATH.com Trang 19
Bước 1. Tìm giao tuyến d của (P) và (Q).
Bước 2. Chọn điểm O trên d, từ đó:
+) Trong (P) dựng Ox d.
+) Trong (Q) dựng Oy d.
Khi đó:       Ox Oy  , , .
Lưu ý: Việc xác định điểm O có thể được thực hiện theo cách sau: Chọn điểm M trên (Q) sao cho dễ
dàng xác định hình chiếu H của nó trên (P). Dựng MO d thì khi đó       ,  MOH. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ,
AB a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  .
a Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) bằng A. 30°. B. 60°. C. 90°. D. 45°.
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SAD) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d / /BC / / A . D
Vì SA d, SB d nên SBC SAD   SA SB   , ,  . ASB
Vậy ASB vuông cân tại A nên  45 .o ASB Chọn D.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc a 3
với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO
. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 2 A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°.
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 20
Gọi Q là trung điểm BC, suy ra OQ BC. BC OQ Ta có 
 SBC  ABCD   SQ OQ   , ,  S . QO BC SO a 3 SO
Tam giác vuông SOQ có  2  tan SQO  
 3  SQO  60 .o OQ a 2
Vậy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60°. Chọn C.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA   ABC, SA  3c , m AB  1c . m Mặt
bên (SBC) hợp với mặt đáy góc bằng A. 90°. B. 60°. C. 45°. D. 30°.
Hướng dẫn giải
Ta có SA   ABC nên SA BC mà AB BC.
Suy ra BC  SAB  SB BC.
SBC  ABC  BC  AB BC
 SBC, ABC    SB . ASB BC   SA 3  tan SBA  
 3  SBA  60 .o AB 1
Vậy góc giữa (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 60o.
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, BA BC a, cạnh bên
AA  a 2. Gọi  là góc hợp bởi hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC). Khi đó 1 1 6 A. tan  . B. tan  . C. tan  2. D. tan  . 2 3 3
Hướng dẫn giải BC BA Ta có: 
BC   AAB B
   BC A . B BC AA TOANMATH.com Trang 21
 ABC  ABC  BC
Do AB   ABC; AB BC nên 
ABA   là góc hợp bởi hai mặt AB  
ABC; AB BC
phẳng (A'BC) và (ABC). AA a 2
Xét A'BC vuông tại A ta có tan    2. BA a Chọn C.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA a và
SA   ABC, AB BC  .
a Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng A. 45°. B. 30°. C. 60°. D. 90°.
Hướng dẫn giải
Ta có SAC SBC  SC.
Gọi F là trung điểm AC thì BF  SAC.
Dựng BK SC tại K SC  BKF   SAC SBC   KB KF   , ,  BKF. a 2 . . a FK SA FC SA a Dễ thấy 2 CFK ∽ CSA    FK    . FC SC SC a 3 6 a 2  FB
BFK vuông tại F có  2  tan BKF  
 3  BKF  60 .o FK a 6
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60°. Chọn C.
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu tan  2
thì góc giữa (SAC) và (SBC) bằng A. 30°. B. 90° . C. 60°. D. 45°.
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 22
Gọi O là tâm đáy và K là hình chiếu vuông góc của O trên SC. BD AC Do 
nên BD  SAC  BD  . SO BD SA
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc  SOA  . SA Ta có tan   2  SA  . OA 2  . a OASC BD Do 
nên SC BK. SC OK
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là . BKO 2 2 2 2. . 1  2 BO BO 2BO Ta có  2 tan BKO      3. OK 1 d A SC . SA AC 1. 2 , 2 2 2 SA AC Suy ra  60 .o BKO Chọn C.
Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và (SAB)
vuông góc với (ABCD). Gọi  là góc tạo bởi (SAC) và (SCD). Giá trị của cos bằng 3 6 5 2 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 23
Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, CD. Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với
(ABCD) nên SH   ABCD.
Kẻ AK SC K SC, DI SC I SC, IP / / AK P AC.
Suy ra   IP ID  , . a 5 a 7 SM .CD a 14
Ta có HC HD
, SC SD a 2, SM   DI   . 2 2 SD 4 a 14 CSA S
CD AK DI  . 4 a 2 3a 2 2 2
CI SK CD DI   CK  . 4 4 CI a 14 KI 2a 2 CPI ∽ C
AK IP  .AK  , AP  .AC  . CK 12 CK 3
Áp dụng định lí côsin, ta có  a o 5 APD có 2 2
PD AP AD  2 . AP A . D cos 45  . 3 2 2 2    IP ID DP 5 IPD có  cos PID   . 2. . IP ID 7 5 Vậy cos  . 7 Chọn C.
Bài toán 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách dùng đinh lý hình chiếu Phương pháp giải
Dùng định lý về diện tích hình chiếu:
Gọi S là diện tích của đa giác H trong (P) và S' là diện tích hình chiếu của H trên (P') và  là góc giữa S
(P) và (P') thì S  S.cos hay cos  . S Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đường thẳng
AA', BB', CC' thỏa mãn diện tích của tam giác MNP bằng a2. Góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) là A. 60°. B. 30°. C. 45°. D. 120°.
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 24
Gọi  là số đo góc của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD).
Ta có hình chiếu vuông góc của tam giác MNP lên (ABCD) là ABC.
Áp dụng công thức hình chiếu về diện tích ta có 1 1 2 S  S .cos  A .
B BC a .cos  cos     60 .o ABC MNP 2 2
Vậy góc của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) bằng 60°. Chọn A.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB a, trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại
điểm A ta lấy một điểm D. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) trong trường hợp DBC là tam giác đều là 1 3 3 3 A. arccos . B. arccos . C. arccos . D. arccos . 3 3 4 6
Hướng dẫn giải
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC).
Theo công thức diện tích hình chiếu của đa giác, ta có: SS .cos. ABCDBC  2 1 a o 1 3 3 Mà SD .
B DC.sin 60  a 2.a 2.  . DBC 2 2 2 2 1 1 Mặt khác 2 SA . B AC a . ABC 2 2 S 3 3 Suy ra cos ABC       arccos . S 3 3 DBCChọn B.
Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác cân với    ,  120o AB AC a BAC , cạnh bên BB  .
a Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Côsin của góc
giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng 15 30 10 15 A. . B. . C. . D. . 10 10 30 30
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Côsin cho ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 o 2
BC AB AC  2 .
AB AC.cos A a a  2a cos120  3a . TOANMATH.com Trang 25
Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có: 2 2 2 2  a  5a a 13a 2 2 2 2 2 2 B A
  2a ; AI a  
; B I  3a   .    2  4 4 4 2 2 5a 13a Ta có: 2 2 2 2 B A
  AI  2a    B I  A
B I vuông ở A. 4 4 2 1 1 a 5 a 10 Ta có: S       AI.AB . .a 2 . AB I 2 2 2 4 2 1 a o 3 2 Sa sin120  . ABC 2 4
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I). 2 a 3 S 3 30 Ta có ABC 4 cos      . 2 S  a ABI 10 10 10 4 Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA   ABCD, gọi O là tâm hình vuông
ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc  ABS.
B. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc . SOA
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc . SDA
D. SAC  SBD.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC
vuông cân ở A và có đường cao AH H BC. Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. SA   ABC.
B.SAH   SBC.
C. O SC.
D. Góc giữa (SBC) và (ABC) là . SBA
Câu 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích tam giác ABC bằng 5. Gọi M, N, P lần lượt thuộc các
cạnh AA', BB', CC' và diện tích tam giác MNP bằng 10. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (MNP) bằng A. 60° . B. 30° . C. 90°. D. 45°. TOANMATH.com Trang 26
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và ;
D AB  2a, AD DC a và
SA   ABCD. Tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 1 1 A. . B. . C. 3. D. 2. 2 3
Câu 5. Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh AA' sao cho 3a AM
. Tan của góc hợp bởi hai mặt phẳng (MBC) và (ABC) là 4 1 3 2 A. 2. B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 6. Cho hình chóp đều S.ABC có chiều cao bằng a, thể tích bằng 3
3a . Góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng A. 75°. B. 60°. C. 45°. D. 30°.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc mặt
phẳng đáy và SA a 2. Biết AB  2AD  2DC  2 .
a Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là     A. . B. . C. . D. . 3 4 6 12
Câu 8. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 2, cạnh bên bằng 2a. Gọi  là góc tạo bởi hai
mặt phẳng (SAC)và (SCD). Giá trị của cos bằng 21 21 21 21 A. . B. . C. . D. . 2 14 3 7
Câu 9. Cho lăng trụ đứng OAB.O'A'B' có các đáy là các tam giác vuông cân OA OB a, AA  a 2.
Gọi M, P lần lượt là trung điểm các cạnh OA, AA'. Diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ bởi (B'MP) bằng 2 a 15 2 5a 15 2 5a 15 2 a 15 A. . B. . C. . D. . 12 2 12 2 6 2 6 2 TOANMATH.com Trang 27 ĐÁP ÁN
Dạng 1. Góc giữa hai đường thẳng 1- D 2- D 3- B 4- C 5- D 6- D 7- C 8- B 9- C 10- B Câu 1. AD    ABB A 1 1  Ta có 
AD BB AD, BB  90 .o 1  1   BB ABB A  1  1 1  Câu 2. Vì BD / /B D
  nên góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng góc giữa
hai đường thẳng BA' và BD.
Ta có ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên A'BD là tam giác đều. Khi
đó góc giữa hai đường thẳng BA' và BD bằng  60 .o ABD Câu 3.
Gọi K là trung điểm của AB
Vì ABCD là hình vuông nên KI / / AC.
Suy ra góc giữa AC và IJ bằng góc giữa KI và IJ. 1 1 1
Ta có IK AC; IJ B C
 ; KJ AB . 2 2 2
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên AC B C
  AB  KI IJ JK.
Suy ra IJK là tam giác đều, nên  60 .o KIJ
Vậy góc giữa AC và IJ bằng 60°. Câu 4.
Gọi H là trung điểm SB ta có SC / /HI.
Góc giữa đường thẳng AI và SC bằng góc giữa đường thẳng AI và HI. 2 2 1 AB SA a 2 AH SB   ; 2 2 2 2 a 3 2 2 2
AI AB BI a   . a 2 2 2 2 2 2 SC SA AC a  3a 2 2 2 HI     ;
a AI AH HI . 2 2 2 HI
Suy ra tam giác AHI vuông tại  2 H , cos AIH   . AI 3 TOANMATH.com Trang 28
Vậy côsin của góc giữa đường thẳng AI và SC là  2 cos AIH  . 3 Câu 5.
Vì tứ diện OABC có OA OB OC  ; a O ,
A OB,OC vuông góc với nhau
từng đôi một nên ta có thể dựng hình lập phương AMNP.OBDC (như hình
vẽ) với I là trung điểm BC;I  OD BC.
Cạnh của hình lập phương trên bằng a nên AB AN NB a 2 vậy tam giác ABN đều.
Dễ thấy OI / / AN nên góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng góc giữa
AB và AN bằng 60°. Câu 6.
Gọi E là trung điểm của BD. AB / /NE Vì 
nên góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa CD  / /ME
hai đường thẳng NE và ME.
Trong tam giác MNE ta có: 2 2 2 a a 3a 2 2 2   
ME NE MN 1 4 4 4 cos MEN     . 2 2ME.NE a 2 2. 4 Suy ra  120 .o MEN
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 60°. Câu 7.
Gọi P là trung điểm AC, ta có PM / /CD và PN / / AB suy ra  AB CD   PM PN  , , .
Dễ thấy PM PN  .
a Xét PMN ta có: 2 2 2 2 2 2 
PM PN MN
a a  3a 1 cos MPN     2PM .PN 2. . a a 2 
MPN  120 .o Suy ra    , 180o 120o 60 .o AB CD    Câu 8.
Gọi N là trung điểm của AC. Khi đó /
AB /MN nên DM AB   DM MN   , , . TOANMATH.com Trang 29 a 3 a
Dễ dàng tính được DM DN  và MN  . 2 2
Trong tam giác DMN, ta có: 2 a 2 2 2 
DM MN DN 3 4 cos DMN    . 2DM .MN a 3 a 6 2. . 2 2 Vì  3 cos DMN   0 nên DM MN   3 cos ,  . Vậy DM AB  3 cos ,  . 6 6 6 Câu 9.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB, SA.
Góc giữa AB và SC là góc giữa PN và MN. a a 3 Ta có: 2 2 MN   N ; P PC BP
PM PC CM 2 2 2 2
a 3   a 2  a        .  2   2  2    
Suy ra MNP là tam giác đều    60 .o MNP
Vậy góc giữa AB và SC bằng 60°. Câu 10.
     
Đặt AD a, AB  , b AC  . c         
Khi đó, ta có a b c m và  ,    ,    ,   60 .o a b b c c a       m Ta có . a b  . b c  . c a  . 2
Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên  1     
MN   AD BC 1
 a c b. 2 2 1            m m MN
a b c  2 . a c  2 . a b  2 . b c 2 2 2 2 2 2   MN  . 4 2 2 2   m   1     
MN BC  a c b b   c 2 m   MN BC  MN.BC 2 2 . cos ,
     . 2 2 MN . BC m 2 2 . m 2
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 45°.
Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 1- C 2- A 3- A 4- D 5- C 6- A 7- D 8- A 9- B 10- B 11- B
HƯỚNG DẨN GIẢI CHI TIẾT TOANMATH.com Trang 30 Câu 1.
Từ giả thiết ta có SA   ABCD
Suy ra AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Do đó SC ABCD   SC AC   , ,  SC . A Câu 2. AB BC Từ giả thiết ta có 
AB  BCD. AB CD
Do đó  AC BCD   AC BC   , ,  AC . B Câu 3.
Vì SA vuông góc với đáy nên:
SC ABCD   SC AC   , ,  SC . A
Trong hình vuông ABCD có AC a 2.
Theo giả thiết, ta có SA  2 . a
Suy ra SAC vuông cân tại A. Vậy  45 .o SCA Câu 4.
Ta có SC ABCD   SC OC   , ,  S . CO
Xét tam giác vuông SCO có:  OC 2  cos SCO  
SCO  61o52 . SC 3 Câu 5.
Vì BB   ABC nên AB là hình chiếu vuông góc của AB' trên (ABC).
Suy ra  AB  ABC
  ABAB   , ,  B A  . B
Tam giác ABB' vuông tại B nên:  BBAA  tan BAB  
 3  BAB  60 .o AB AB Câu 6. TOANMATH.com Trang 31
Do hình chóp S.ABC đều nên ta có SG   ABC với G là trọng tâm ABC.
Do đó góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là . SAG 3a 3
Gọi F là trung điểm của BC ta có AF  . 2 2
Suy ra AG AF a 3. 3
Xét SAG vuông tại G ta có:  AG a 3 3  cos SAG   
SAG  30 .o SA 2a 2
Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là 30°. Câu 7. BC AB Ta có 
BC  SAB nên góc  là . CSB BC SA BC 10 5a 3 Ta có tan    SB   SA a . SB 5 10 2
Góc giữa SO và (ABCD) là góc  SO . A 3 a SA Ta có  2  tan SOA  
 3  SOA  60 .o AO a 2 2 Câu 8.
Dựng MN / / AB N BD, do AB  BCD và M là trung điểm của AD
nên MN  BCD và N là trung điểm của DB.
Suy ra CN là hình chiếu vuông góc của CM trên mặt phẳng (BCD). Vậy
góc giữa CM và mặt phẳng (BCD) là góc giữa hai đường thẳng CN và CM. MN a Ta có: CM CN    2 3 tan ,  tan MCN    . CN a 3 3 2 Câu 9. Gọi  
O AC BD SO   ABCD.
Gọi H là trung điểm của OD.
Xét SOD có MH là đường trung bình nên MH / /S . O
Suy ra MH   ABCD. TOANMATH.com Trang 32
Hình chiếu của đường thẳng BM trên mặt phẳng (ABCD) là BH.
Suy ra BM ABCD   BM BH    , ,  MBH (  MBH là góc nhọn).
Xét tam giác vuông ABD có:
BD AB AD   a2   a2 2 2 2 2  2 2 . a 3 3 2a  1 BH BD
và OD BD  2 . a 4 2 2
Xét tam giác vuông SOD có:
SO SD OD   a   a2 2 2 2 2 2  2 . a a 2 1 2a MH 1
Suy ra MH SO  . Ta có  2 tan MBH    . 2 2 BH 3 2a 3 2 Câu 10.
Ta có góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) là góc  B . SO
Xét SOB vuông tại O có a 6 2 2 2 2
SO SA OA
, SB SA AB a 2. 2 a 6 SO 3 Vậy  2  cos BSO   
BSO  30 .o SB a 2 2 Câu 11. 2 a a 5 2
SH HC a   . 4 2 a
Vì SA AB a AH  . 2 Vì 2 2 2
SA AH SH nên SAB vuông cân tại A hay SA AB
SAB   ABCD  Ta có 
SAB   ABCD  AB SA   ABCD. SA AB
Hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD) là AC. SA a
Suy ra SC ABCD   SC AC    1 , ,
SCA  tan  tan SCA    . AC a 2 2
Dạng 3. Góc giữa hai mặt phẳng 1- C 2- B 3- A 4- A 5- C 6- C 7- A 8- D 9- B TOANMATH.com Trang 33
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
SAD  ABCD  AD
Ta có: AB AD AB   ABCD  SAD  ABCD   , ,  SA . B
SA AD,SA   SAD Vậy đáp án C sai. Câu 2.
SAB SAC  SA  Ta có 
SAC   ABC
SA   ABC.   SAB   ABC
Gọi H là trung điểm của BC AH BC mà BC SA
BC  SAH   SBC  SAH .
Khi đó O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC).
Suy ra O SH và SBC  ABC   ,  SHA  D sai. Câu 3.
Có ABC là hình chiếu của  MNP lên mặt phẳng (ABC).
Theo công thức diện tích hình chiếu có S  S cos với S  S ; S S
và    ABC MNP  ; . ABC MNP S 5 1 Suy ra cos    . Suy ra 60 .o   S 10 2 Câu 4.
Ta có SBC   ABCD  BC.
Dễ dàng chứng minh được: AC BC.
BC  SAC  BC SC  SBC, ABCD    SC . ASA a 1 tan SCA    . AC a 2 2 Câu 5.
Gọi D là trung điểm của BC.
Ta có MBC  ABC  BC; BC A ;
D BC AM BC   AMD. TOANMATH.com Trang 34
Do đó   MBC  ABC   DM AD   , ,  M . DA AM 3a 2 3
Vì tam giác MAD vuông tại A nên tan   .  . AD 4 a 3 2 Câu 6.
Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AM BC (vì ABC đều).
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, suy ra
SO   ABC và SO  . a
Khi đó góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) là góc . SMO 3 1 3V 3 3a Ta có S.ABC 2 VS . O SS    3 3a . S.ABC 3 ABC ABCSO a 3 Mặt khác 2 2 S
.AB  3 3a AB  2 3 . a ABC 4 1 1 3
Xét ABC có OM AM  . .2 3a  . a 3 3 2 SO a
Xét SOM vuông tại O nên   tan SMO
  1 SMO  45 .o OM a Câu 7.
Gọi M là trung điểm của AB.
Ta có tứ giác ADCM là hình vuông và CM  SAB . Trong (SAB)
kẻ MK SB tại K.
Khi đó, ta có SB  CMK  nên SAB SBC   ;  MKC. . SA BM 1 Từ BMK ∽ BSA  ta suy ra MK   MK SB 3 MC
Trong MKC vuông tại M có  tan MKC   3. MK  Suy ra  MKC  . 3 Câu 8.
Gọi H là hình chiếu của O trên cạnh SC ta có
SDC SAC   ,  OHD  .  a 3 7a
OHD vuông tại O và OD  ; a OH  nên DH  . 2 2 OH 21 Vậy cos   . DH 7 TOANMATH.com Trang 35 Câu 9.
Gọi R là giao điểm của MP và OO', Q là giao điểm của B'R với OB OQ RO 1 a
Thiết diện là tứ giác MPB'Q, ta có    OQ  . O B   RO 3 3
Tứ giác AMQB là hình chiếu vuông góc của tứ giác PMQB' trên mặt S phẳng (OAB) nên AMQB S
với  là góc tạo bởi hai mặt phẳng PMQB cos
(OAB) và (MPB'Q). 1 1 5 Ta có: 2 2 2 SSSa a a . AMQB OAB OMQ 2 12 12 MQ OH
Hạ OH MQ, ta có: 
MQ  OHR  MQ  . HR MQ OR Vậy    OHR (  OHR nhọn). OH OH Ta có:  cos  cosOHR   2 2 RH OH OR a 13 2   . 2 2 a a 15  13 2 2 5a 15 Vậy S   . PMQB 12 2 TOANMATH.com Trang 36