Bài giảng hàm số mũ và hàm số lôgarit

Tài liệu gồm 39 trang, trình bày lí thuyết trọng tâm và hướng dẫn giải các dạng bài tập chuyên đề hàm số mũ và hàm số lôgarit, giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình Giải tích 12 chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit.

17 9 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

39 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
TOANMATH.com
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 2
BÀI 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm vững khái niệm và tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit.
+ Trình bày và áp dụng được công thức tìm đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit.
+ Nhận biết dạng đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit.
Kĩ năng
+ Biết cách vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai
biểu thức chứa mũ và lôgarit.
+ Biết cách vẽ đồ thị các hàm số mũ, hàm số lôgarit.
+ Tìm được đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hàm số mũ
Định nghĩa
Hàm số
0; 1
x
y a a a
được gọi là hàm số mũ cơ số a.
Tập xác định
Hàm số
0; 1
x
y a a a
có tập xác định là
.
Đạo hàm
Hàm số
0; 1
x
y a a a
có đạo hàm tại mọi x.
x x
a a a
' ln . '
u u
a a a u
lim 0, lim 1 ;
x x
x x
a a a
 

lim , lim 0 0 1 .
x x
x x
a a a
 

Sự biến thiên
Khi
1
a
hàm số luôn đồng biến.
Khi
0 1
a
hàm số luôn nghịch biến.
Đồ thị
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm
0;1 , 1;
a
và nằm phía trên trục hoành.
Đặc biệt:
' e
x x
e
.
TOANMATH.com
Trang 2
2. Hàm số lôgarit
Định nghĩa
Hàm số
log 0; 1
a
y x a a
được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.
Tập xác định
Tập xác định:
0;

.
Đạo hàm
Hàm số
log 0; 1
a
y x a a
có đạo hàm tại mọi x dương và
1
log '
ln
a
x
x a
.
Giới hạn đặc biệt
0
lim log , lim log 1
a a
x
x
x x a

;
0
lim log , lim log 0 1
a a
x
x
x x a


.
Sự biến thiên
Khi
1
a
hàm số luôn đồng biến.
Khi
0 1
a
hàm số luôn nghịch biến.
Đồ thị
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm
1;0 , ;1
a
và nằm bên phải trục tung.
Nhận xét: Đồ thị của các hàm số
x
y a
và
log
a
y x
0, 1
a a
đối xứng với nhau qua đường thẳng
y x
.
Ứng dụng
1. Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính
trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước
không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì
hạn người gửi không đến rút tiền ra.
Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi
đơn r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau
n kì hạn (
*
n
) là:
1
n
S A nAr A nr
2. Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút
ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Đặc biệt:
1
ln '
x
x
.
1
log ;
n
r
S
n
A
TOANMATH.com
Trang 3
Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi
kép r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau
n kì hạn (
*
n
) là:
1
n
n
S A r
.
3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền
vào một thời gian cố định.
Công thức tính: Đầu mỗi tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng
số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) thì số tiền khách hàng nhận
được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (
*
n
) (nhận tiền cuối tháng, khi
ngân hàng đã tính lãi) là
S
n
.
Ta có
1 1 1
n
n
A
S r r
r
.
4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng
Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng). Mỗi
tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng.
Công thức tính:
1
1 1
n
n
n
r
X A r S
r
.
Khi đó số tiền còn lại sau n tháng là
1 1
1
n
n
n
r
S A r X
r
5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi
suất r (% / tháng). Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn
nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền
là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn
toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có
1 1
1
n
n
n
r
S A r X
r
.
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì
0
n
S
nên
1 1
1 0
n
n
r
A r X
r
.
Suy ra mỗi lần hoàn nợ số tiền là
1 .
1 1
n
n
A r r
X
r
.
6. Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm
là A (đồng/tháng). Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm
% 1;
n
n
S
r
A
1
n
n
S
A
r
1
.
log 1 ;
1
n
r
S r
n
A r
1
.
log 1 ;
1
n
r
S r
n
A r
.
1 1 1
n
n
S r
A
r r
TOANMATH.com
Trang 4
r (% / tháng). Hỏi sau kn tháng, người đó lĩnh được bao nhiêu tiền?
Công thức tính: Lương nhận được sau kn tháng là
1 1
.
k
kn
r
S An
r
.
7. Bài toán tăng trưởng dân số
Công thức tính tăng trưởng dân số:
1 , , ,
m n
m n
X X r m n m n
Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m;
m
X
dân số năm
, X
n
m
dân số năm n.
Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là
% 1
m
m n
n
X
r
X
8. Lãi kép liên tục
Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / năm) thì số tiền
nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm (
*
n
) là:
1
n
n
S A r
.
Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất
mỗi kì hạn là
%
r
m
thì số tiền thu được sau n năm là:
.
1
m n
n
r
S A
m
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là
m

,
gọi là hình thức lãi kép liên tục thì người ta chứng minh được số tiền
nhận được cả gốc lẫn lãi là:
.
n r
S Ae
(công thức tăng trưởng mũ).
TOANMATH.com
Trang 5
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
HÀM SỐ MŨ
HÀM SỐ LÔGARIT
' 0
y
với mọi x
' 0
y
với mọi x
Luôn đồng biến
Luôn nghịch biến
Hàm số
x
y a
1
a
Hàm số
x
y a
0 1
a
Tập xác định
D
Đạo hàm
' ln
x
y a a
Tiệm cận ngang Ox
Đồ thị
Luôn đi qua điểm
0;1
và
a;1
N
ằ
m phía trên
Ox
' 0 0
y x
' 0 0
y x
Luôn đồng biến
Luôn nghịch biến
Hàm số
log
a
y x
1
a
Hàm số
log
a
y x
0 1
a
Tập xác định
0;D

Đạo hàm
1
' , 0
ln
y x
x a
Tiệm cận đứng Oy
Đồ thị
Luôn đi qua điểm
1;0
và
a;1
N
ằ
m bên ph
ả
i
Oy
TOANMATH.com
Trang 6
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Đạo hàm, sự biến thiên của hàm số
Bài toán 1: Tìm đạo hàm của các hàm số mũ – hàm số lôgarit
Phương pháp giải
Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ, lôgarit.
' ln ; ' ln .u'
x x u u
a a a a a a
.
1 1
log ' ; ln '
ln
a
x x
x a x
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây sai?
A.
3 ' 3 ln3
x x
B.
1
ln '
x
x
C.
3
1
log '
xln3
x
D.
2 2
'
x x
e e
Hướng dẫn giải
Ta có:
3 ' 3 .ln3
x x
nên đáp án A đúng.
1
ln '
x
x
nên đáp án B đúng.
3
1
log '
x ln3
x
nên đáp án C đúng.
2 2 2
' 2 '. 2.
x x x
e x e e
nên đáp án D sai.
Chọn D.
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số
2
2
16
x
y
.
A.
2
2 1
' 2 .16
x
y x
B.
2
2
' 8 .16 ln 4
x
y x
C.
2
2
' 16 .ln16
x
y
D.
2
2 4
' 8 .4 .ln 2
x
y x
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2 4
' 2 '.16 .ln16 2 .16 .4ln2 8 .4 .ln 2
x x x
y x x x
.
Chọn D.
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số
2
ln 1
f x x
.
A.
2
' ln 1
f x x
B.
' ln 2
f x x
C.
2
1
'
1
f x
x
D.
2
2
'
1
x
f x
x
TOANMATH.com
Trang 7
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2 2
1 '
2
'
1 1
x
x
f x
x x
Chọn D.
Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của hàm số
ln 1 1
y x
.
A.
1
'
2 1 1 1
y
x x
B.
1
'
2 1 1 1
y
x x
C.
1
'
1 1
x
y
x
D.
1
'
1 1
y
x
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức
'
ln '
u
u
u
, ta có
1 1 '
' ln 1 1 '
1 1
x
y x
x
Mà
1
1 1 '
2 1
x
x
nên
1
'
2 1 1 1
y
x x
.
Chọn B.
Ví dụ 5: Cho hàm số
ln
x x
f x e xe
. Giá trị
' 2
f bằng
A.
1
3
B.
2
3
C.
1
3
D.
2
3
Hướng dẫn giải
Ta có
'
'
1
x x
x x x
x x x x
e xe
e e xe x
f x
e xe e xe x
.
Suy ra
2 2
' 2
1 2 3
f
.
Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hàm số
2
log 2 1
x
y
. Giá trị của
' 1
y bằng
A.
2
3ln 2
B.
2
3
C.
2ln 2
3
D.
1
3ln 2
Hướng dẫn giải
Ta có
2
2 ln 2 2
log 2 1 ' ' 1
3
2 1 ln2
x
x
x
f x f x f
.
Chọn B.
TOANMATH.com
Trang 8
Bài toán 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Phương pháp giải
Hàm số
0; 1
x
y a a a
đồng biến khi
1
a
và nghịch biến khi
0 1
a
.
Ví dụ: Hàm số
1
2
x
y
nghịch biến trên
vì
1
0 1
2
.
Hàm số
log
a
y x
đồng biến khi
1
a
và nghịch
biến khi
0 1
a
.
Ví dụ: Hàm số
2 3
log
a
y x
đồng biến trên
0;

khi và chỉ khi
2 3 1 1
a a
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm a để hàm số
2 5
x
y a nghịch biến trên
.
A.
5
3
2
a
B.
5
3
2
a
C.
3
a
D.
5
2
a
Hướng dẫn giải
Hàm số
2 5
x
y a nghịch biến trên
khi và chỉ khi
5
0 2 5 1 3
2
a a
.
Chọn A.
Ví dụ 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên
?
A.
2
log
y x
B.
2
x
y
C.
3
2
x
y
D.
1
2
log
y x
Hướng dẫn giải
Ta có hàm số
x
y a
luôn đồng biến trên
khi và chỉ khi
1
a
.
Ở phương án B,
1
2
a
thỏa mãn khẳng định trên.
Ta loại phương án A và D vì hàm số
log
a
y x
chỉ xác định trên
0;

.
Ta loại phương án C, vì
3
0 1
2
nên hàm số
3
2
x
y
nghịch biến trên
0;

.
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
3
x
y x e
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
;1

.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
3;1
.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
1;

.
TOANMATH.com
Trang 9
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
1;3
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
' 2 . 3 . . 2 3
x x x
y x e x e e x x
.
1
' 0
3
x
y
x
.
Bảng xét dấu:
x

-3 1

y’
+
0 - 0 +
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho hàm số
.sin
x
y e x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
' cos
x
y e x
B.
' "
y y y
C.
" 2 '
y y y
D.
" 2 cos
x
y e x
Câu 2: Cho hàm số
2
ax bx c
y e
đạt cực trị tại
1
x
và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng
e
. Giá trị của hàm số tại
2
x
là
A.
2 1
y
B.
2
y e
C.
2
2
y e
D.
2
1
2y
e
Câu 3: Cho hàm số
ln
x
y
x
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
1
2 ' xy"y
x
B.
2
1
' xy"y
x
C.
2
1
' xy"y
x
D.
2
1
2 ' xy"y
x
Câu 4: Cho hàm số
3
log 3
x
y x
, biết
1
' 1
4 ln3
a
y
b
với
,a b
. Giá trị của
a b
bằng
A. 2 B. 7 C. 4 D. 1
Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số
.
x
y f x x
tại điểm
1
x
.
A.
' 1f
B.
2
' 1 ln
f
C.
2
' 1 ln
f
D.
' 1 1
f
Câu 6: Tìm đạo hàm của hàm số
log2
y x
.
A.
1
'
ln 2
y
x
B.
1
'
ln10
y
x
C.
1
'
2 ln10
y
x
D.
ln10
'y
x
Câu 7: Cho hàm số
ln
f x x
. Tìm đạo hàm của hàm số
2
3
log '
g x x f x
.
A.
1
'g x
x
B.
1
'
ln3
g x
x
C.
ln3
'g x
x
D.
'
ln3
x
g x
TOANMATH.com
Trang 10
Câu 8: Cho hàm số
cos
x
y e
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
'cos .sin " 0
y x y x y
B.
'sin .cos " 0
y x y x y
C.
'sin ".cos ' 0
y x y x y
D.
'cos .sin " 0
y x y x y
Câu 9: Hàm số
.
x
y x e
đạt cực trị tại
A.
0
x e
B.
2
0
x e
C.
0
1
x
D.
0
2
x
Câu 10: Cho hàm số
2
2
.
x
y x e
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
1 . '
xy x y
B.
2
' 1 .
xy x y
C.
2
1 . '
xy x y
D.
2
' 1 .
xy x y
Câu 11: Hàm số nào sau đây đồng biến trên
?
A.
3
x
y
B.
2 3
3
x
y
C.
3
2
x
y
D.
2 3
x
y
Câu 12: Các giá trị thực của tham số a để hàm số
2
log , 4
M
y x M a
nghịch biến trên tập xác định là
A.
2 5
a B.
5
a
C.
5 2; 2 5
a a
D.
2
a
Câu 13: Với giá trị nào của tham số a thì hàm số
2
3 3
x
y a a
đồng biến?
A.
1
a
B.
2
a
C.
1;2
a D.
;1 2;a
 
Câu 14: Cho
,
a b
là hai số thực thỏa mãn
3 2
2 2
3 4
;log log
4 5
b b
a a
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
0 1, 0 1
a b
B.
0 1, 1
a b
C.
1, 0 1
a b
D.
1, 1
a b
Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2
1 ln 1
f x x x x x
trên đoạn
1;1
là
A.
2
B.
2 1
C.
2 ln 1 2
D.
2 ln 2 1
Câu 16: Đối với hàm số
1
ln
1
y
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
' 1
y
xy e
B.
' 1
y
xy e
C.
' 1
y
xy e
D.
' 1
y
xy e
Câu 17: Đạo hàm của hàm số
x x
x x
e e
y
e e
là
A.
2
2
2
3
'
1
x
x
e
y
e
B.
2
2
2
'
1
x
x
e
y
e
C.
2
2
2
2
'
1
x
x
e
y
e
D.
2
2
2
4
'
1
x
x
e
y
e
Câu 18: Cho hàm số
sin
y x x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
TOANMATH.com
Trang 11
A.
" 2 ' 2sin
xy y xy x
B.
' " ' 2sin
xy yy xy x
C.
' ' ' 2sin
xy yy xy x
D.
" ' 2cos sin
xy y xy x x
Câu 19: Hàm số
2
3 10 2
x
y a a đồng biến trên
;
 
khi
A.
1
;
3
a
B.
3;a

C.
1
;
3
a

D.
1
;3
3
a
Câu 20: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến?
A.
3 5
x
y
B.
2
x
y
e
C.
3
3 2
x
y
D.
1
3
3 2
x
x
y
Câu 21: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trong khoảng
0;

?
A.
2
log
y x
B.
2
2
log
y x x
C.
2
log
y x x
D.
2
1
log
y
x
Câu 22: Đạo hàm của hàm số
3
log 4 1
y x
là
A.
1
'
4 1 ln3
y
x
B.
4
'
4 1 ln3
y
x
C.
ln3
'
4 1
y
x
D.
4ln3
'
4 1
y
x
Câu 23: Tìm đạo hàm của hàm số
log ln2
y x
.
A.
2
'
ln 2 .ln10
y
x x
B.
1
'
ln 2 .ln10
y
x x
C.
1
'
2 ln 2 .ln10
y
x x
D.
1
'
ln 2
y
x x
Câu 24: Cho hàm số
2
ln 4
f x x x
. Khẳng định nào sau đâ y đúng?
A.
' 3 1,5
f
B.
' 2 0
f
C.
' 5 1
f
D.
' 1 1
f
Câu 25: Tìm đạo hàm của hàm số
2
5
log 1
y x x
.
A.
2
2 1
'
1 ln5
x
y
x x
B.
2
2 1
'
1
x
y
x x
C.
' 2 1 ln5
y x D.
2
1
'
1 ln5
y
x x
Câu 26: Cho hàm số
4
ln 1
f x x
. Đạo hàm
' 1
f bằng
A.
ln 2
2
B. 1 C.
1
2
D. 2
Câu 27: Tìm đạo hàm của hàm số
2
ln 1
y x x
A.
2
1
'
2 1
y
x
B.
2
2
'
1
x
y
x x
C.
2
1
'
1
y
x x
D.
2
1
'
1
y
x
Câu 28: Tìm đạo hàm của hàm số
2
log
y x x
.
TOANMATH.com
Trang 12
A.
2
1
ln10
y
x x
B.
2
2 1
'
x
y
x x
C.
2
2 1
'
log
x
y
x x e
D.
2
2 1
' .log
x
y e
x x
Câu 29: Đạo hàm của hàm số
log 2sin 1
y x
trên tập xác định là
A.
2cos
'
2sin 1
x
y
x
B.
2cos
'
2sin 1
x
y
x
C.
2cos
'
2sin 1 ln10
x
y
x
D.
2cos
'
2sin 1 ln10
x
y
x
Câu 30: Nếu
3 2
0,1 0,1
a a
và
2 1
log log
3
2
b b
thì
A.
10
a
và
1
b
B.
0 10
a
và
0 1
b
C.
0 10
a
và
1
b
D.
10
a
và
0 1
b
Câu 31: Tìm đạo hàm của hàm số
2
2
x
y x x e
.
A.
' 2 2
x
y x e
B.
2
' 2
x
y x e
C.
'
x
y xe
D.
2
' 2
x
y x e
Câu 32: Cho hàm số
x
y ex e
. Nghiệm của phương trình
' 0
y
là
A.
0
x
B.
1
x
C.
1
x
D.
ln 2
x
Câu 33: Tìm đạo hàm của hàm số
2017
3
x
y
.
A.
2017
' 2017ln3.3
x
y
B.
2017
3
'
ln3
y
C.
2017
' 3
y
D.
2017
' ln3.3
x
y
Câu 34: Cho hàm số
x x
y e e
. Giá trị của
" 1
y là
A.
1
e
e
B.
1
e
e
C.
1
e
e
D.
1
e
e
Câu 35: Cho
,
a b
là các số thực dương thỏa mãn
4
3
5
4
a a
và
1 2
log log
2 3
b b
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A.
1, 1
a b
B.
1,0
a b a
C.
0 1,0 1
a b
D.
0 1, 1
a b
Bài tập nâng cao
Câu 36: Cho hàm số
1
ln 2017 ln
x
f x
x
. Tính tổng
' ' 2 ... ' 2017
S f x f f , ta được
kết quả
A.
4035
2018
S B.
2017
S
C.
2016
2017
S D.
2017
2018
S
Câu 37: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 40
20 20 1283
x
y x x e
trên tập hợp các số tự nhiên là
TOANMATH.com
Trang 13
A.
1283
B.
280
163.
e
C.
320
157.
e
D.
300
8.
e
Câu 38: Các giá trị của tham số m để hàm số
2
ln 1 2 2
y x mx
đồng biến trên
là
A. Không tồn tại m B.
1
2
m
C.
1
2
m
D.
1 1
2 2
m
Câu 39: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số
2
4 2 1
x x
y mx
đồng biến trên
khoảng
1;1
là
A.
1
; ln 2
2

B.
;0
 C.
; 2ln 2
 D.
3
; ln 2
2

TOANMATH.com
Trang 14
Dạng 2: Tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit
Bài toán 1. Tìm tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit.
Phương pháp giải
Hàm số
0; 1
x
y a a a
có tập xác định là
.
Hàm số
log 0; 1
a
y x a a
có tập xác định là
0;

.
Ví dụ: Tìm tập xác định D của hàm số
2
1
log 6 9
x
y x x
.
Hứớng dẫn giải
Hàm số xác định:
2
6 9 0
1 0
1 1
x x
x
x
2
3 0
3
1 1 1; \ 2,3
2 2
x
x
x x x
x x
.
Vậy
1; \ 2,3
D  .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tập xác định D của hàm số
1
ln
2
x
y
x
là
A.
1;2
B.
;1 2;
 
C.
\ 2
D.
\ 1,2
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định
1
0 1 2
2
x
x
x
Chọn A.
Ví dụ 2: Điều kiện xác định D của hàm số
9
1
2 1
log
1 2
y
x
x
là
A.
3
x
B.
1
x
C.
3 1
x
D.
0 3
x
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định
1
2
9
2 1
2
log
9
2
1 2
1
3
2
1
2
0
0
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
0 3 1
1
x
x
x
Chọn C
TOANMATH.com
Trang 15
Ví dụ 3: Tìm tập xác định D của hàm số
3 2
x
y
A.
2
log 3;D

B.
3
log 2;D

C.
2
;log 3
D  D.
3
;log 2
D 
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định
3
3 2 0 3 2 log 2
x x
x .
Chọn B.
Bài toán 2. Tìm tham số m để hàm số xác định trên khoảng cho trước
Phương pháp giải
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số
log
a
y f x
xác định trên
trong đó
f x
là một
tam thức bậc hai.
Áp dụng tính chất
Tam thức bậc hai
2
0 f x ax bx c x
khi và chỉ khi
0
0
a
.
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số
log
a
y f x
xác định trên khoảng D.
Cô lập tham số m.
Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
2
ln 2 4
y x mx
xác định với
mọi x
?
A. 5 B. 2 C. 4 D. 3
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định
2
2 4 0, x x mx x
.
2
1 0
0
2 2
0
4 16 0
a
m
m
.
Do
m
nên
1;0;1
m
Chọn D.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số
2
2
log 2 2 2 3
y m x m x m
có tập xác định
D
.
A.
2
m
B.
2
m
C.
2
m
D.
2
m
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên
2
2 2 2 3 0,m x m x m x
(*).
TOANMATH.com
Trang 16
Trường hợp 1:
0
a
.
(*)
2
2 0
0 2
2
0 2 0
4 2 4 2 3 0
m
a m
m
m
m m m
.
Trường hợp 2:
0 2
a m
, ta có
(*)
1 0, x
(đúng), nhận
2
m
Vậy
2
m
.
Chọn D.
Ví dụ 3: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng
10;10
để hàm số
2
log 4 2
x x
y m
có tập xác định
D
?
A. 9 B. 10 C. 11 D. 8
Hướng dẫn giải
Hàm số có tập xác định
D
khi 4 2 0
x x
m x
(1).
Đặt
2 , 0
x
t t
.
Khi đó (1) trở thành
2 2
0 t 0; t 0;t t m m t t

0;
1
max
4
m f t

với
2
f t t t
.
Do
m
và
10;10
m nên
1;2;3;...;8;9
m .
Chọn A.
Ví dụ 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng
10;10
để hàm số
2
3 3
1
log 4log 3
y
m x x m
xác định trên khoảng
0;

?
A. 13 B. 11 C. 12 D. 10
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định
2
3 3
0; log 4log 3 0, 0;x m x x m x

(*).
Đặt
3
log ,t x t
.
(*)
2
4 3 0
mt t m
vô nghiệm.
Trường hợp 1:
0
m
. Phương trình có nghiệm (loại
0
m
).
Trường hợp 2:
0
m
. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi
' 0 4 3 0 4
m m m
hoặc
1
m
.
Do
m
và
10;10
m nên
9; 8; 7; 6; 5;2;3;...8;9
m .
Vậy có 13 giá trị nguyên thỏa mãn.
Chọn A.
TOANMATH.com
Trang 17
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tìm tập xác định D của hàm số
4
2
2
2
3 log 1
y x x x
.
A.
\ 0;1;3
D
B.
1;3
D
C.
0;3 \ 1
D D.
1;3
D
Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số
log100
2
2
2 log 2 3
y x x x
.
A.
3;D

B.
2;3
D
C.
; 1 3;D
 
D.
1;3
D
Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số
4
2 1 log 2
x
y x .
A.
2;D

B.
0;D

C.
0; \ 2
D  D.
0; \ 2
D 
Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số
2
1
log
x
y
x
.
A.
1;D

B.
;0 1;D
 
C.
0;1
D D.
\ 0
D
Câu 5: Tìm tập xác định D của hàm số
2
ln 2
y x x x
.
A.
; 2
D

B.
; 2 2;D
 
C.
; 2 2;D
 
D.
2;2
D
Câu 6: Tìm tập xác định D của hàm số
2
1
5 25 4
x
y x
A.
;3
D  B.
4;D

C.
;3
D

D.
3; \ 4
D 
Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số
2
2
2017
x
y
.
A.
2; 2
D
B.
2; 2
D
C.
2; 2
D
D.
; 2
D

Câu 8: Cho hàm số
2 2
2
1
log 2 2 1 4
y
x m x m x m
. Các giá trị thực của tham số m để hàm số
đã cho xác định với mọi
1;x
là
TOANMATH.com
Trang 18
A.
;2
m  B.
1;1
m C.
;1
m
D.
;1
m

Câu 9: Điều kiện xác định của phương trình
2
4 2
log 1 log 1 25
x x
là
A.
x
B.
1
x
C.
1
x
D.
1
x
Câu 10: Tập xác định D của hàm số
3
2
10
log
3 2
x
y
x x
là
A.
2;10
D B.
1;D

C.
;10
D  D.
;1 2;10
D 
Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
2
ln 2 4
y x mx
có tập xác định
D
.
A.
2 2
m
B.
2
m
hoặc
2
m
C.
2
m
D.
2 2
m
Câu 12: Hàm số
5
2 2
16 ln 24 5
y x x x
có tập xác định là
A.
8; 4 3;
B.
; 4 3;
 
C.
8;3 \ 4
D.
4;3
Câu 13: Tập xác định của hàm số
2
2
log 5 125
x
y
là
A.
1;

B.
1;

C.
2;

D.
2;

Câu 14: Tập xác định của hàm số
ln 1 ln 1
y x x
là
A.
1;

B.
; 2
 C.
D.
2;

Câu 15: Hàm số
2
log 4 2
x x
y m
có tập xác định
D
khi
A.
1
4
m
B.
0
m
C.
1
4
m
D.
1
4
m
Câu 16: Tập xác định D của hàm số
2
log 6 5
y x x
là
A.
;1 5;D
 
B.
1;5
D
C.
;1 5;D
 
D.
1;5
D
Câu 17: Tập xác định của hàm số
2
2 2
3 1
log
1 1
x
x x x x
là.
A.
1
;
3

B.
1
;
3

C.
D.
1
\
3
Dạng 3: Đồ thị hàm số
Ví dụ mẫu
TOANMATH.com
Trang 19
Ví dụ 1: Cho ba số thực dương
, ,
a b c
khác 1. Đồ thị các hàm số
, ,
x x x
y a y b y c
được cho trong
hình vẽ sau
Mệnh đề nào đúng?
A.
a b c
B.
a c b
C.
b c a
D.
c a b
Hướng dẫn giải
Ta có:
x
y a
nghịch biến nên
0 1
a
.
Mặt khác,
,
x x
y b y c
đồng biến, đồng thời cho
1
x y b y c
.
Vậy
a c b
Chọn B.
Ví dụ 2: Từ các đồ thị
log
a
y x
,
log
b
y x
,
log
c
y x
đã cho ở hình vẽ sau:
Khẳn định nào sau đây đúng?
A.
0 1
a b c
B.
0 1
c a b
C. 0 1
c a b
D. 0 1
c b a
Hướng dẫn giải
Ta có:
log
c
y x
nghịch biến nên
0 1
c
.
Mặt khác,
log
a
y x
và
log
b
y x
đồng biến nên
, 1
a b
đồng thời cho
1
y
thì
x a x b
. Vậy
0 1
c a b
.
TOANMATH.com
Trang 20
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho các hàm số
x
y a
,
log
b
y x
,
log
c
y x
có đồ thị như hình vẽ.
Chọn mệnh đề đúng?
A.
b c a
B.
a c b
C.
c b a
D.
c a b
Hướng dẫn giải
Ta có
log
c
y x
nghịch biến nên
0 1
c
còn
log
b
y x
và
x
y a
đồng biến nên
1
b
và
1
a
.
Xét
x
y a
: Với
1 1 2
x y a a
.
Xét
log
b
y x
: Với
1 2
y x b b
.
Do đó
a b
Vậy 1
c a b
.
Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho hàm số
1
5
log
y x
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số có tập xác định là
\ 0
D
.
B.
1
'
ln5
y
x
C. Hàm số nghịch biến trên
0;

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy.
Câu 2: Tìm phát biểu sai.
A. Đồ thị hàm số
0, 1
x
y a a a
nằm hoàn toàn phía trên Ox.
B. Đồ thị hàm số
0, 1
x
y a a a
luôn đi qua điểm
0;1
A .
TOANMATH.com
Trang 21
C. Đồ thị hàm số
1
, , 0 1
x
x
y a y a
a
đối xứng nhau qua trục Ox.
D. Đồ thị hàm số
1
, , 0 1
x
x
y a y a
a
đối xứng nhau qua trục Oy.
Câu 3: Cho đồ thị của ba hàm số
x
y a
,
x
y b
,
x
y c
như
hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
c b a
B.
b a c
C.
c a b
D.
b c a
Câu 4: Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên?
A.
1
3
x
y
B.
2
1
2
y
C.
3
x
y
D.
2
x
y
Câu 5: Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số
, 1
x
y a a
?
(I)
(II)
(III)
(IV)
A. (I) B. (II) C. (III) D. (IV)
Câu 6: Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số
,0 1
x
y a a
?
(I)
(II)
(III)
(IV)
A. (I) B. (II) C. (IV) D. (III)
TOANMATH.com
Trang 22
Câu 7: Quan sát hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
1, 1
a b
B.
1 0,b 1
a
C.
a 1,0 b 1
D.
0 a 1,0 b 1
Câu 8: Cho hai hàm số y log ,
x
b
x y a
có đồ thị lần lượt là
1
C
và
2
C
như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây
đúng?
A.
1, 1
a b
B.
0 , 1
a b
C.
0 1
a b
D.
1, 1
a b
Câu 9: Cho các hàm số
log
a
y x
và
log
b
y x
có đồ thị
như hình vẽ bên. Đường thẳng
7
x
cắt trục hoành, đồ thị
hàm số
log
a
y x
và
log
b
y x
lần lượt tại H, M, N. Biết
rằng
HM MN
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
7
a b
B.
2
a b
C.
7
a b
D.
2
a b
Câu 10: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số
nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,
D dưới đây?
A.
2
log
y x
B.
0,5
log
y x
C.
1 1
3 3
y x
D.
3 1
y x
Câu 11: Với giá thị nào của a để hàm số
log 0 1
a
y x a
có đồ thị là hình bên ?
A.
1
2
a
B.
2
a
C.
2
a D.
1
2
a
TOANMATH.com
Trang 23
Câu 12: Biết hàm số
2
x
y
có đồ thị là hình bên. Khi đó,
hàm số
2
x
y
có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt
kê ở bốn A, B, C, D dưới đây?
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
A. Hình 4 B. Hình 2 C. Hình 3 D. Hình 1
Câu 13: Giá trị lớn nhất của hàm số
2
x
f x x e
trên đoạn
1;1
là
A.
e
B.
1
e
C.
2
e
D. 0
Câu 14: Cho hàm số
2
log 2
y x
. Khi đó, hàm số
2
log 2
y x
có đồ thị là hình nào trong bốn hình
được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây?
TOANMATH.com
Trang 24
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
A. Hình 3 B. Hình 2 C. Hình 1 D. Hình 4
Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
x
y
trên
2;2
?
A.
1
max 4;min
4
y y
B.
1
max 4;min
4
y y
C.
1
max 1;min
4
y y
D.
max 4;min 1
y y
Câu 16: Hình bên là đồ thị của ba hàm số
log
a
y x
,
log
b
y x
,
log 0 , , 1
c
y x a b c
được vẽ trên cùng một
hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
a c b
B.
a b c
C.
b c a
D.
b a c
Câu 17: Cho hàm số
1
2 3
x
y f x
. Tìm khẳng định sai.
A. Hàm số luôn nghịch biến trên
.
B. Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.
C. Hàm số không có cực trị.
D.
f x
luôn nhỏ hơn 1 với mọi x dương.
TOANMATH.com
Trang 25
Câu 18: Cho
9
9 3
x
x
f x
. Nếu
1
a b
thì
f a f b
là
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 19: Cho hàm số
9
,
3 9
x
x
f x x
. Nếu
3
a b
thì
2
f a f b
có giá trị bằng
A.
1
4
B.
3
4
C. 1 D. 2
Câu 20: Hàm số
3
2
log 4
y x x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 21: Cho ba số thực dương a,b,c khác 1. Đồ thị các hàm
số
log
a
y x
,
log
b
y x
,
log
c
y x
được cho trong hình vẽ
sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
b c a
B.
a b c
C.
c a b
D.
a c b
Câu 22: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
dưới đây?
A.
3
x
y
B.
1
2
x
y
C.
5
2
2
x
y
D.
1
3
x
y
Câu 23: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
dưới đây?
A.
2
x
y
B.
1
2
x
y
C.
2
x
y
D.
1
2
x
y
TOANMATH.com
Trang 26
Câu 24: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
dưới đây?
A.
2
log
y x
B.
2
log 1
y x
C.
3
log 1
y x
D.
3
log 1
y x
Câu 25: Cho hàm số
2
x
y có đồ thị Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?
Hình 1
Hình 2
A.
2
x
y B.
2
x
y C.
2
x
y D.
2
x
y
Câu 26: Cho hàm số
5
x
y
có đồ thị
C
. Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với
C
qua đường
thẳng
y x
?
A.
5
x
y
B.
5
log
y x
C.
5
log
y x
D.
5
x
y
Câu 27: Cho hàm số
2
3
x
y
có đồ thị
C
. Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với
C
qua đường
thẳng
y x
?
A.
3
log
y x
B.
2
3
log
y x
C.
3
log
2
x
y
D.
3
1
log
2
y x
Câu 28: Cho hàm số
2
log
y x
có đồ thị
C
. Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với
C
qua
đường thẳng
y x
?
A.
2
x
y
B.
1
2
x
y
C.
2
x
y
D.
2
2
x
y
Câu 29: Đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số
2
log
y x
là đồ thị nào trong các đồ thị có phương
trình sau đây?
TOANMATH.com
Trang 27
A.
1
2
log
y x
B.
2
x
y
C.
2
log
y x
D.
1
2
x
y
Dạng 4: Bài tập lãi suất
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất
6,9% một năm. Biết rằng tiền lãi hàng năm được cộng vào tiền gốc, hỏi
sau 5 năm người đó rút được cả tiền gốc lẫn tiền lãi gần với con số nào
sau đây?
A. 105370000 đồng B. 111680000 đồng
C. 107667000 đồng D. 116570000 đồng
Hướng dẫn giải
Gọi A là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất hàng năm.
Số tiền gốc và lãi sau năm thứ nhất là
1
. 1
S A A r A r
.
Số tiền gốc và lãi sau năm thứ hai là
2
2 1 1
. 1
S S S r A r
.
…
Số tiền gốc và lãi người đó rút ra được sau 5 năm là
5 5
5
. 1 80000000. 1 6,9% 111680799
S A r (đồng)
Chọn B.
Ghi nhớ:
Khách hàng gửi vào ngân
hàng A đồng với lãi kép r (% /
kì hạn) thì số tiền khách hàng
nhận được cả vốn lẫn lãi sau n
kì hạn
*
n
là:
1
n
n
S A r
Ví dụ 2: Một người gửi ngân hàng 100 triệu với lãi suất 0,5% một
tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi
tháng, số tiền lãi sẽ được cộng vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng
tiếp theo. Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu?
A. 45 tháng B. 46 tháng C. 47 tháng D. 44 tháng
Hướng dẫn giải
Sau n tháng, tổng số tiền gốc và lãi là:
100 1 0,5%
n
.
Theo đề bài:
1 0,5%
125
100 1 0,5% 125 log 44,74
100
n
n
Vậy sau ít nhất 45 tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu.
Chọn A.
Từ công thức lãi kép
1
n
n
S A r
, ta suy ra
1
log
n
r
S
n
A
.
Ví dụ 3: Bác Toản gửi số tiền 58 triệu đồng vào một ngân hàng theo
hình thức lãi kép và ổn định trong 9 tháng thì lĩnh về được 61758000
đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất
Từ công thức lãi kép
1
n
n
S A r
, ta có
TOANMATH.com
Trang 28
không thay đổi trong thời gian gửi.
A. 0.8% B. 0,6% C. 0,7% D. 0,5%
Hướng dẫn giải
Gọi r là lãi suất tiền gửi của ngân hàng theo tháng.
,
n
A S
lần lượt là
số tiền gửi ban đầu và số tiền sau
9
n
tháng. Áp dụng công thức lãi
kép ta có
9
1 61758000 58000000 1
n
n
S A r r
3
9
61758000
1 7.10 0,7%
58000000
r
Vậy lãi suất ngân hàng hàng tháng là 0,7%
Chọn C.
1
n
n
S
r
A
.
Ví dụ 4: Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo
phương thức trả góp với lãi suất 0,85% mỗi tháng. Nếu sau mỗi tháng,
kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10
triệu đồng bao gồm cả tiền lãi vay và tiền gốc. Biết phương thức trả lãi
và gốc không thay đổi trong suốt quá trình anh An trả nợ. Hỏi sau bao
nhiêu tháng anh trả hết nợ ngân hàng?
A. 65 B. 66 C. 67 D. 68
Hướng dẫn giải
Đặt
500
A
triệu là số tiền đã vay,
10
X
triệu là số tiền trả trong
mỗi tháng và
0,85%
r
là lãi suất ngân hàng, n là số tháng anh An phải
trả hết nợ.
Theo đề bài:
Cuối tháng thứ nhất anh An còn nợ số tiền là
1
A Nr X A r X
.
Cuối tháng thứ hai anh An còn nợ số tiền là
2
1 1 1 1 1
A r X A r X r X A r X r
.
Cuối tháng thứ ba anh An còn nợ số tiền là
2 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1
A r X r r X A r X r r
…
Cuối tháng thứ n anh An còn nợ số tiền là
1 2
1 1 1 ... 1 1
n n n
A r X r r r
Để sau n tháng, anh An trả hết nợ thì
Bài toán vay vốn trả góp:
Vay ngân hàng số tiền là A
đồng với lãi suất r (% /
tháng). Sau đúng một tháng kể
từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ;
hai lần hoàn nợ cách nhau
đúng một tháng, mỗi hoàn nợ
số tiền là X đồng và trả hết
tiền nợ sau đúng n tháng.
Cách tính số tiền còn lại sau n
tháng là:
1 1
1
n
n
n
r
S A r X
r
.
Để sau đúng n tháng trả hết
nợ thì
1 1
1 0
n
n
r
A r X
r
.
Suy ra
1
log
r
X
n
X Ar
.
TOANMATH.com
Trang 29
1 2
1 1 1 ... 1 1 0
n n n
A r X r r r
1 2
1 1 1 ... 1 1
n n n
A r X r r r
1
1 1
1 1 log
n
n n
r
r
X X
A r X r n
r X Ar X Ar
Áp dụng ta có:
1 0,0085
10
log 65,38
10 500.0,0085
n n
.
Vậy anh An phải trả trong vòng 66 tháng.
Chọn B.
Ví dụ 5: Bác An có 400 triệu đồng mang đi gửi tiết kiệm ở hai kì hạn
khác nhau đều theo hình thức lãi kép. Bác gửi 200 triệu đồng theo kì
hạn quý với lãi suất 2,1% một quý; 200 triệu còn lại bác gửi theo kì hạn
tháng với lãi suất 0,73% một tháng. Sau khi gửi được đúng 1 năm, bác
rút tất cả số tiền ở loại kì hạn theo quý và gửi theo tháng. Hỏi sau đúng
2 năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, bác An thu được tất cả bao nhiêu tiền
lãi? (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. 75,304 triệu đồng B. 75,303 triệu đồng
C. 470,656 triệu đồng D. 475,304 triệu đồng
Hướng dẫn giải
Công thức tính lãi kép là
1
n
n
S A r
.
Tổng số tiền bác An thu được sau 1 năm theo kì hạn quý là:
4
1
200 1 2,1%
S triệu đồng
Tổng số tiền bác An thu được sau 1 năm theo kì hạn tháng là:
12
2
200 1 0,73%
S triệu đồng
Tổng số tiền bác An thu được sau 1 năm là
1 2
S S
triệu đồng.
Tổng số tiền bác An thu được sau 2 năm là
12
1 2
1 0,73% 475,304
S S S triệu đồng.
Vậy tiền lãi bác An thu được sau 2 năm là
400 75,304
L S
triệu đồng.
Chọn A.
Ví dụ 6: Một người vay ngân hàng số tiền 350 triệu đồng, mỗi tháng trả
TOANMATH.com
Trang 30
góp 8 triệu đồng và lãi suất cho số tiền chưa trả là 0,79% một tháng. Kì
trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất. Hỏi số tiền phải trả ở kì cuối là bao
nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn)
A. 2921000 đồng B. 7084000 đồng
C. 2944000 đồng D. 7140000 đồng
Hướng dẫn giải
Kì trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất nên đây là bài toán vay vốn trả
góp cuối kì.
Gọi A là số tiền vay ngân hàng, B là số tiền trả trong mỗi chu kì,
%
d r
là lãi suất cho số tiền chưa trả trên một chu kì, n là số kì trả nợ.
Số tiền còn nợ ngân hàng (tính cả lãi) trong từng chu kì như sau:
+ Đầu kì thứ nhất là A
+ Cuối kì thứ nhất là
1
A d B
.
+ Cuối kì thứ hai là
2
1 1 1 1 1
A d B d B A d B d
+ Cuối kì thứ ba là
2 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1
A d B d d B A d B d d
…
+ Theo giả thiết quy nạp, cuối kì thứ n là
1
1 1
1 1 ... 1 1 1
n
n n n
d
A d B d d A d B
d
Vậy số tiền còn nợ (tính cả lãi) sau n chu kì là
1 1
1
n
n
d
A d B
d
.
Người đó trả hết nợ ngân hàng khi
1 1
1 0
n
n
d
A d B
d
1,0079 1
350.1,0079 8. 0 53,9
0,0079
n
n
n
.
Tức là phải mất 54 tháng người này mới trả hết nợ.
Cuối tháng thứ 53, số tiền còn nợ (tính cả lãi) là
TOANMATH.com
Trang 31
53
53
53
1,0079 1
350.1,0079 8.
0,0079
S
(triệu đồng)
Kì trả nợ tiếp theo là cuối tháng thứ 54, khi đó phải trả số tiền
53
S
và
lãi của số tiền này nữa là
53 53 53
0,0079. .1,0079 7,139832
S S S
(triệu đồng).
Chọn D.
Ví dụ 7: Ông A vay dài hạn ngân hàng 300 triệu, với lãi suất 12% năm.
Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một năm kể từ
ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng
một năm, số tiền hoàn ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 4
năm kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả
cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất
ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
A.
4
4
36 1,12
1,12 1
m
(triệu đồng) B.
2
36 1,12
m (triệu đồng)
C.
3
3
36 1,12 1
1,12
m
(triệu đồng) D.
4
4
300 1,12
1,12 1
m
( triệu đồng)
Hướng dẫn giải
Số tiền nợ sau năm thứ nhất:
1
300 1 12% 300
T m p m
, với
1 12% 1,12
p
.
Số tiền nợ sau năm thứ hai:
2
2
300 300
T p m p m p mp m
Số tiền nợ sau năm thứ ba:
2 3 2
3
300 300
T p mp m p m p mp mp m
Trả hết nợ sau năm thứ tư:
3 2
300 0
p mp mp m p m
4 3 2 4 3 2
300 0 300 1 0
p mp mp mp m p m p p p
4
4
4
4
1,12 1
1
300 . 0 300 1,12 .
1 0,12
p
p m m
p
4 4
4 4
300 1,12 . 0,12 36 1,12
1,12 1 1,12 1
m m
TOANMATH.com
Trang 32
Vậy
4
4
36 1,12
1,12 1
m
.
Chọn A.
Ví dụ 8: Một người mỗi đầu tháng gửi vào ngân hàng T triệu đồng với
lãi suất kép 0,6% một tháng. Biết cuối tháng thứ 15 thì số tiền cả gốc lẫn
lãi sẽ thu về là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số nào nhất trong các
số sau đây?
A. 535000 đồng B. 635000 đồng
C. 613000 đồng D. 643000 đồng
Hướng dẫn giải
Sau tháng gửi đầu tiên số tiền cả gốc và lãi thu được là
1
T r
Sau tháng thứ hai số tiền cả gốc và lãi thu được là
2
1 1
T r T r
.
…
Sau tháng thứ 15, số tiền cả gốc và lãi thu được là
1
1 1 ... 1
n n
T r T r T r
.
Để số tiền cả gốc lẫn lãi thu về là 10 triệu đồng thì
15 14
1 1 ... 1 10000000
T r T r T r
15
1 1
1 10000000 635.000
r
T r T
r
(đồng).
Chọn B.
Bài toán tiền gửi ngân hàng:
Đầu mỗi tháng, khách hàng
gửi vào ngân hàng số tiền A
đồng với lãi kép r (% / tháng)
thì số tiền khách hàng nhận
được cả vốn lẫn lãi sau n
tháng
*
n
(nhận tiền
cuối tháng, khi ngân hàng đã
tính lãi) là
1 1 1
n
n
A
S r r
r
.
Ví dụ 9: Một huyện A có 100 000 dân. Với mức tăng dân số bình quân
1,8% năm thì sau ít nhất bao nhiêu năm nữa dân số sẽ vượt 150 000 dân.
A. 22 B. 23 C. 27 D. 28
Hướng dẫn giải
Giả sử sau n năm nữa thì dân số sẽ vượt 150 000 dân.
Áp dụng công thức:
' 1
n
X X r
.
Suy ra
1 1 1,8%
' 150000
log log 22,72796911
100000
r
X
n
X
.
Chọn B.
Ví dụ 10: Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức
1,05%. Theo số liệu của Tổng cục Thống kê, dân số của Việt Nam năm
Công thức tính tăng trưởng
dân số:
1
m n
m n
X X r
, ,
m n m n
Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân
số từ năm n đến năm m;
m
X
dân số năm m,
n
X
dân số năm
n.
TOANMATH.com
Trang 33
2014 là 90728900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào năm
2030, dân số của Việt Nam là:
A. 106118331 người B. 198049810 người
C. 107232574 người D. 108358516 người
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức:
2030 2014
1
n
X X r
Trong đó:
2014
90728900; 1,05; 16
X r n
Ta được dân số đến hết năm 2030 là:
2030
107232574.
X
Chọn C.
Ví dụ 11: Trong vật lý, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn
bởi công thức:
1
0
1
2
T
m t m
, trong đó
0
m
là khối lượng ban đầu của
chất phóng xạ (tại thời điểm
0
t
); T là chu kì bán rã (tức là khoảng
thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác).
Chu kì bán rã của Cabon
14
C
là khoảng 5730 năm. Cho trước mẫu
Cabon có khối lượng 100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lượng
còn bao nhiêu gam?
A.
1
5730
1
100.
2
m t
B.
ln 2
5730
100.e
t
m t
C.
100
5730
1
100
2
t
m t
D.
100
5730
100.e
t
m t
Hướng dẫn giải
Theo công thức:
1
0
1
2
T
m t m
ta có:
5730
1
100.
2
t
m t
Chọn A.
Ví dụ 12: Cường độ ánh sáng đi qua môi trường khác không khí (chẳng
hạn sương mù, nước,…) sẽ giảm dần tùy thuộc độ dày của môi trường
và hằng số
gọi là khả năng hấp thu của môi trường, tùy thuộc môi
trường thì khả năng hấp thu tính theo công thức
0
x
I I e
với x là độ
TOANMATH.com
Trang 34
dày của môi trường đó và được tính bằng đơn vị mét. Biết rằng nước
biển có
1,4
. Hãy tính cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu khi từ
độ sâu 2m xuống đến 20m?
A.
25,2
e
B.
22,5
e
C.
32,5
e
D.
52,5
e
Hướng dẫn giải
Cường độ ánh sáng thay đổi khi từ độ sâu
1
x
đến độ sâu
2
x
là:
1
2 1
2
1 0
2 0
x
x x
x
I I e
e
I I e
.
Thay
1 2
2; 20, 1,4
x x
ta có
25,2
1
2
I
e
I
.
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Một người gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng thời hạn 15 tháng, lãi suất 0,6% tháng (lãi kép). Khi
hết kỳ hạn thì số tiền người đó nhận được là
A. 55,664000 triệu B. 54,694000 triệu C. 55,022000 triệu D. 54,368000 triệu
Câu 2: Một người gửi ngân hàng 50 triệu đồng theo hình thức lãi kép kỳ hạn 1 năm với lãi suất 7% mỗi
năm. Hỏi sau 4 năm người đó có bao nhiêu tiền cả gốc và lãi?
A. 70,13 triệu đồng B. 65,54 triệu đồng C. 61,25 triệu đồng D. 65,53 triệu đồng
Câu 3: Một học sinh A khi 15 tuổi được hưởng tài sản thừa kế 200 000 000 đồng. Số tiền này được bảo
quản trong một ngân hàng B với kì hạn thanh toán một năm và học sinh A chỉ nhận được số tiền này khi
18 tuổi. Biết rằng khi 18 tuổi, số tiền mà học sinh A được nhận sẽ là 231525000 đồng. Vậy lãi suất kì hạn
1 năm của ngân hàng B là bao nhiêu?
A. 8% B. 7% C. 6% D. 5%
Câu 4: Một chiếc ô tô mới mua năm 2016 với giá 800 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm, giá chiếc ô tô này bị
giảm 5%. Hỏi đến năm 2020, giá tiền chiếc ô tô này còn khoảng bao nhiêu?
A. 651605000 đồng B. 685900000 đồng C. 619024000 đồng D. 760000000 đồng
Câu 5: Ông An gửi vào ngân hàng 60 triệu đồng theo hình thức lãi kép. Lãi suất ngân hàng là 8% trên
năm. Sau 5 năm ông An tiếp tục gửi thêm 60 triệu đồng nữa. Hỏi sau 10 năm kể từ lần gửi đầu tiên ông
An đến rút toàn bộ tiền gốc và tiền lãi được là bao nhiêu? (Biết lãi suất không thay đổi qua các năm ông
gửi tiền).
A.231,815 (triệu đồng) B. 197,201 (triệu đồng) C. 217,695 (triệu đồng) D. 190,271 (triệu đồng)
TOANMATH.com
Trang 35
Câu 6: Một người vay ngân hàng 90000000 đồng theo hình thức trả góp trong 3 năm. Mỗi tháng người
đó phải trả số tiền bằng nhau. Giả sử lãi suất trong toàn bộ quá trình trả nợ không đổi là 0,8% trên tháng.
Tổng số tiền người đó phải trả trong toàn bộ quá trình trả nợ là
A. 103320000 đồng B. 101320000 đồng C. 105320000 đồng D. 103940000 đồng
Câu 7: Anh Minh gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0,6% tháng. Sau mỗi tháng, anh Minh đến
ngân hàng rút mỗi tháng 3 triệu đồng để chi tiêu cho đến khi hết tiền thì thôi. Sau một số tròn tháng thì
anh Minh rút hết tiền cả gốc lẫn lãi. Biết trong suốt thời gian đó, ngoài số tiền rút mỗi tháng, anh Minh
không rút thêm một đồng nào kể cả gốc lẫn lãi và lãi suất không đổi. Vậy tháng cuối cùng anh Minh sẽ
rút được số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến đồng)?
A. 1840270 đồng B. 3000000 đồng C. 1840269 đồng D. 1840268 đồng
Câu 8: Bác Tuấn gửi tiết kiệm 75 triệu đồng vào ngân hàng theo kì hạn một quý với lãi suất 1,77% một
quý. Nếu Bác Tuấn không rút lãi ở tất cả các định kì thì sau 3 năm Bác Tuấn nhận được số tiền cả vốn lẫn
lãi là bao nhiêu? Biết rằng hết một kì hạn lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong kì tiếp theo.
A. 90930000 đồng B. 92690000 đồng C. 92576000 đồng D. 80486000 đồng
Câu 9: Một sinh viên muốn có 12 triệu đồng để mua laptop nên mỗi tháng gửi vào ngân hàng 250000
đồng với lãi suất 0,72% một tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh ta đủ tiền mua laptop?
A. 41 B. 36 C. 42 D. 37
Câu 10: Cô Ngọc vay ngân hàng một số tiền với lãi suất 1% mỗi tháng. Cô ấy muốn hoàn nợ cho ngân
hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày cho vay, cô ấy bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp
cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là 5 triệu đồng và cô ấy trả hết nợ sau đúng 5 năm
kể từ ngày vay (số tiền hoàn nợ tháng cuối cùng có thể ít hơn 5 triệu đồng). Biết rằng mỗi tháng ngân
hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mà cô Ngọc vay ngân hàng là số nào
trong các số dưới đây?
A. 224 triệu đồng B. 222 triệu đồng C. 221 triệu đồng D. 225 triệu đồng
Câu 11: Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu đồng theo phương thức trả góp với lãi suất
0,85% mỗi tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là
10 triệu đồng bao gồm cả tiền lãi vay và tiền gốc. Biết rằng phương thức trả lãi và gốc không thay đổi
trong suốt quá trình anh An trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh trả hết nợ ngân hàng?
A. 68 B. 66 C. 65 D. 67
Câu 12: Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% một tháng theo thỏa thuận: Sau đúng
một tháng kể từ ngày vay thì ông bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 9
triệu đồng cho đến khi hết nợ (biết rằng, tháng cuối cùng có thể trả dưới 9 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu
tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng?
A. 24 B. 23 C. 22 D. 25
TOANMATH.com
Trang 36
Câu 13: Ông Tuấn đầu tư 500 triệu đồng để mua xe ô tô chở khách. Sau khi mua, thu nhập bình quân mỗi
tháng được 10 triệu đồng (sau khi trừ đi các khoản chi phí khác). Tuy nhiên mỗi năm giá trị xe lại giảm
10% so với năm trước đó. Tổng số tiền lãi sau 4 năm kinh doanh của ông Tuấn bằng bao nhiêu?
A. 480 triệu đồng B. 308,05 triệu đồng C. 328,05 triệu đồng D. Lỗ 171,95 triệu đồng
Câu 14: Anh Hòa gửi ngân hàng 3350000 đồng, theo phương thức lãi đơn với lãi suất 0,4% trên nửa
năm. Hỏi ít nhất bao lâu anh rút được cả vốn lẫn lãi là 4020000 đồng?
A. 5 năm B. 30 tháng C. 3 năm D. 24 tháng
Câu 15: Một khách hàng gửi tiết kiệm 64 triệu đồng, với lãi suất 0,85% một tháng. Hỏi người đó phải
mất ít nhất mấy tháng để được số tiền cả gốc lẫn lãi không dưới 72 triệu đồng?
A. 13 B. 14 C. 15 D. 18
Câu 16: Anh Ngọc muốn vay ngân hàng 200 triệu đồng theo phương thức trả góp (trả tiền vào cuối
tháng) với lãi suất 0,75% mỗi tháng. Hỏi hàng tháng, anh Ngọc phải trả số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến
nghìn đồng) để sau đúng 2 năm thì trả hết nợ ngân hàng?
A. 9236000 đồng B. 9137000 đồng C. 9970000 đồng D. 9971000 đồng
Câu 17: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với mức lương khởi điểm của mỗi
tháng trong ba năm đầu tiên là 6 triệu đồng/tháng. Tính từ ngày đầu làm việc, cứ sau đúng ba năm liên
tiếp thì tăng lương 10% so với mức lương một tháng người đó đang hưởng. Nếu tính theo hợp đồng thì
tháng đầu tiên của năm thứ 16 người đó nhận được mức lương là bao nhiêu?
A.
4
6.1,1
(triệu đồng) B.
6
6.1,1
(triệu đồng) C.
5
6.1,1
(triệu đồng) D.
16
6.1,1
(triệu đồng)
Câu 18: Một người cứ đầu tháng đều gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi
suất 0,6% mỗi tháng. Đến cuối tháng thứ 15 thì người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với
số tiền nào nhất trong các số sau?
A. 535000 đồng B. 635000 đồng C. 643000 đồng D. 613000 đồng
Câu 19: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc trong một công ty với lương năm đầu là 72 triệu
đồng, cứ sau 3 năm thì tăng lương 10%. Nếu tính theo hợp đồng thì sau đúng 21 năm, người đó nhận
được tổng số tiền của công ty là
A.
7
216 1,1 1
(triệu đồng) B.
7
7200 1,1 1
(triệu đồng)
C.
7
720 1,1 1
(triệu đồng) D.
7
2160 1,1 1
(triệu đồng)
Câu 20: Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% một tháng theo hình thức lãi kép với
thỏa thuận: sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì ông bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó
sẽ trả cho ngân hàng 9 triệu đồng cho đến khi hết nợ (biết rằng, tháng cuối cùng có thể trả dưới 9 triệu
đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng?
A. 25 B. 24 C. 22 D. 23
TOANMATH.com
Trang 37
Câu 21: Một người gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,1% năm. Biết rằng nếu không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc và tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi
sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được số tiền lãi ít nhất bằng số tiền gửi ban đầu, giả định trong
thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?
A. 12 năm B. 11 năm C. 10 năm D. 13 năm
Câu 22: Một khách hàng gửi ngân hàng 20 triệu đồng, kì hạn 3 tháng, với lãi suất 0,65% một tháng theo
phương thức lãi kép. Hỏi sau bao lâu vị khách này mới có số tiền lãi nhiều hơn số tiền gốc ban đầu gửi
ngân hàng? Giả sử người đó không rút lãi ở tất cả các định kì.
A. 8 năm 11 tháng B. 19 tháng C. 18 tháng D. 9 năm
Câu 23: Một người vay ngân hàng số tiền 400 triệu đồng, mỗi tháng trả góp 10 triệu đồng và lãi suất cho
số tiền chưa trả là 1% mỗi tháng. Kì trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất. Biết lãi suất không đổi trong suốt
quá trình gửi, hỏi số tiền còn phải trả ở kì cuối là bao nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến
hàng nghìn).
A. 2921000 đồng B. 3387000 đồng C. 2944000 đồng D. 7084000 đồng
Câu 24: Mỗi tháng bà A gửi vào ngân hàng một khoản tiền không đổi với lãi suất cố định là 0,4% mỗi
tháng. Ba năm rưỡi kể từ ngày gửi khoản tiền đầu tiên, bà A rút toàn bộ số tiền để mua xe. Số tiền nhận
về lấy đến hàng nghìn là 91635000 đồng. Hỏi khoản tiền gửi mỗi tháng của bà A là bao nhiêu?
A. 2000000 đồng B. 1800000 đồng C. 1500000 đồng D. 2500000 đồng
Câu 25: Dân số thế giới cuối năm 2010, ước tính 7 tỉ người. Hỏi với mức tăng trưởng dân số 1,5% mỗi
năm thì cuối năm 2020 dân số thế giới là bao nhiêu?
A. 8,12 tỉ người B. 8,05 tỉ người C. 8 tỉ người D. 8,10 tỉ người
Câu 26: Một khu rừng có trữ lượng gỗ
5
4.10
mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong rừng đó
là 4% mỗi năm. Hỏi sau 10 năm khu rừng đó có số mét khối gỗ gần nhất với số nào?
A.
5
5,9.10
B.
5
5,92.10
C.
5
5,93.10
D.
5
5,94.10
Câu 27: Để đo độ phóng xạ của một chất phóng xạ
người ta dùng máy đếm xung. Khi chất này
phóng xạ ra các hạt
, các hạt này đập vào máy làm trong máy xuất hiện một xung điện và bộ đếm tăng
thêm 1 đơn vị. Ban đầu máy đếm được 960 xung trong một phút nhưng sau đó 3 giờ thì chỉ còn 120 xung
trong một phút (trong cùng điều kiện). Hỏi chu kì bán rã của chất này là bao nhiêu giờ?
A. 1 giờ B. 2 giờ C. 0,5 giờ D. 1,5 giờ
Câu 28: Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x
(đo bằng mét), tức là P giảm theo công thức:
0
xi
P Pe
, trong đó
0
760mmHg
P
là áp suất ở mực nước
biển
0
x
, i là hệ số suy giảm. Biết rằng, ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,72 mmHg.
TOANMATH.com
Trang 38
Hỏi áp suất của không khí ở độ cao 12km bằng bao nhiêu? (các kết quả giữ lại sau dấu thập phân 7 chữ
số)
A. 178,8176855 B. 176,8176855 C. 177,8176855 D. 175,8176855
Câu 29: Người ta thả một số lá bèo vào một hồ nước, sau 10 giờ số lượng lá bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt
hồ. Biết rằng sau mỗi giờ số lượng lá đều tăng gấp 10 lần số lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng không
đổi. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu số lượng lá bèo phủ kín tối thiểu một phần tư hồ?
A.
10 log 4
(giờ) B.
10log 4
(giờ) C.
1 10log 4
(giờ) D.
10 10log 4
(giờ)
Câu 30: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ ponoli 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng
của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Thời gian phân rã phóng xạ ponoli 210 để từ 20 gam còn lại
15
2,22.10
gam gần đúng với đáp án nào nhất?
A. Khoảng 18 năm B. Khoảng 21 năm C. Khoảng 19 năm D. Khoảng 20 năm
TOANMATH.com
Trang 39
BÀI 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT
Dạng 1: Đạo hàm, sự biến thiên của hàm số
1 - C 2 - B 3 - A 4 - B 5 - B 6 - C 7 - B 8 - B 9 - C 10 - D
11 - B 12 - C 13 - D 14 - B 15 - C 16 - C 17 - A 18 - A 19 - D 20 - D
21 - D 22 - B 23 - B 24 - B 25 - A 26 - D 27 - D 28 - D 29 - C 30 - C
31 - D 32 - C 33 - A 34 - A 35 - D 36 - D 37 - B 38 - C 39 - C
Dạng 2: Tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit
1 - C 2 - C 3 - C 4 - B 5 - C 6 - D 7 - C 8 - D 9 - D 10 - D
11 - A 12 - C 13 - B 14 - D 15 - A 16 - A 17 - A
Dạng 3: Đồ thị hàm số
1 - A 2 - C 3 - D 4 - A 5 - A 6 - B 7 - C 8 - C 9 - D 10 - B
11 - A 12 - D 13 - A 14 - C 15 - D 16 - D 17 - B 18 - A 19 - C 20 - C
21 - A 22 - D 23 - A 24 - D 25 - C 26 - B 27 - A 28 - C 29 - A
Dạng 4: Lãi suất ngân hàng
1 - B 2 - B 3 - D 4 - A 5 - C 6 - D 7 - A 8 - C 9 - C 10 - D
11 - B 12 - A 13 - B 14 - B 15 - B 16 - B 17 - C 18 - B 19 - D 20 - B
21 - A 22 - D 23 - B 24 - A 25 - A 26 - B 27 - A 28 - D 29 - A 30 - D
| 1/39
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 2
BÀI 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm vững khái niệm và tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit.
+ Trình bày và áp dụng được công thức tìm đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit.
+ Nhận biết dạng đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit.  Kĩ năng
+ Biết cách vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai
biểu thức chứa mũ và lôgarit.
+ Biết cách vẽ đồ thị các hàm số mũ, hàm số lôgarit.
+ Tìm được đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Hàm số mũ Định nghĩa Hàm số x y  a a  0; a  
1 được gọi là hàm số mũ cơ số a. Tập xác định Hàm số x y  a a  0; a  
1 có tập xác định là  . Đạo hàm Đặc biệt:  x ' ex e  . Hàm số x y  a a  0; a  
1 có đạo hàm tại mọi x.  x ' x a  a ln a  u ' u a  a ln . a u ' lim x a  0, lim x a   a   1 ; x x lim x a  , lim x a  0 0  a   1 . x x Sự biến thiên
 Khi a  1 hàm số luôn đồng biến.
 Khi 0  a  1 hàm số luôn nghịch biến. Đồ thị
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm  0; 
1 , 1;a và nằm phía trên trục hoành. TOANMATH.com Trang 1 2. Hàm số lôgarit Định nghĩa
Hàm số y  log x a  0; a  
1 được gọi là hàm số lôgarit cơ số a. a Tập xác định
Tập xác định: 0; . Đạo hàm 
Hàm số y  log x a  0; a  
1 có đạo hàm tại mọi x dương và Đặc biệt:  x 1 ln ' . a x  x  . a  1 log ' x ln a Giới hạn đặc biệt
lim log x  , lim log x   a   1 ; a a x0 x
lim log x  , lim log x   0  a   1 . a a x0 x Sự biến thiên
 Khi a  1 hàm số luôn đồng biến.
 Khi 0  a  1 hàm số luôn nghịch biến. Đồ thị
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm
1;0,  ;a 1 và nằm bên phải trục tung.
Nhận xét: Đồ thị của các hàm số x
y  a và y  log x a  0, a   1 a
đối xứng với nhau qua đường thẳng y  x . Ứng dụng
1. Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính
trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước
không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì
hạn người gửi không đến rút tiền ra.
Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi
đơn r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau
n kì hạn ( n   * ) là: S  A  nAr  A1 nr n 
2. Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút  S  n  log n  ; 1 r  
ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.  A  TOANMATH.com Trang 2
Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi S r% n n  1;
kép r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau A S
n kì hạn ( n   * ) là: S  A1 rn . n A  n 1 rn
3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền  S .r  n  log n  1;
vào một thời gian cố định. 1r  A1 r    
Công thức tính: Đầu mỗi tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng  S .r  n  log n  1;
số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) thì số tiền khách hàng nhận 1r  A1 r    
được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n   * ) (nhận tiền cuối tháng, khi S .r n A 
ngân hàng đã tính lãi) là S .
1 r1 rn 1 n   A Ta có S    r    r n 1 n 1 1  r   .
4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng
Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng). Mỗi
tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. r
Công thức tính: X   A1 rn  S  . n   1 rn 1 1 n n  r 1
Khi đó số tiền còn lại sau n tháng là S  A  r  X n 1    r
5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi
suất r (% / tháng). Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn
nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền
là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn
toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có n  r  S  A  r  X . n  n 1  1 1 r
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì S  0 nên n n   A  rn 1 r 1 1  X  0 . r A1 rn .r
Suy ra mỗi lần hoàn nợ số tiền là X  . 1 rn 1
6. Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm
là A (đồng/tháng). Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm TOANMATH.com Trang 3
r (% / tháng). Hỏi sau kn tháng, người đó lĩnh được bao nhiêu tiền?
Công thức tính: Lương nhận được sau kn tháng là 1 rk 1 S  A . n . kn r
7. Bài toán tăng trưởng dân số
Công thức tính tăng trưởng dân số: X X r  m n      m  n m n 1 m n , , ,
Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m;
X dân số năm m, X dân số năm n. m n X
Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là r% m  mn 1 X n 8. Lãi kép liên tục
Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / năm) thì số tiền
nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm ( n   * ) là: S  A1 rn . n
Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất r mỗi kì hạn là
% thì số tiền thu được sau n năm là: m m.n  r  S  A 1 n    m 
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m   ,
gọi là hình thức lãi kép liên tục thì người ta chứng minh được số tiền
nhận được cả gốc lẫn lãi là: n.r S  Ae
(công thức tăng trưởng mũ). TOANMATH.com Trang 4 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA HÀM SỐ MŨ y '  0 y '  0 Tập xác định với mọi x với mọi x D   Luôn đồng biến Luôn nghịch biến Đạo hàm x y '  a ln a Hàm số Hàm số x x  y  a y a Tiệm cận ngang Ox a  1 0  a  1 Đồ thị
 Luôn đi qua điểm 0;  1 và a;  1  Nằm phía trên Ox HÀM SỐ LÔGARIT y '  0 x  0 y '  0 x   0 Tập xác định D  0; Luôn đồng biến Luôn nghịch biến Đạo hàm 1 y '  , x  0 Hàm số Hàm số x ln a y  log x y  log x a a a  1 0  a  1 Tiệm cận đứng Oy Đồ thị
 Luôn đi qua điểm 1;0 và a;  1  Nằm bên phải Oy TOANMATH.com Trang 5 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Đạo hàm, sự biến thiên của hàm số
Bài toán 1: Tìm đạo hàm của các hàm số mũ – hàm số lôgarit Phương pháp giải
Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ, lôgarit.  x ' x  ln ;  u ' u a a a a  a ln . a u' .  x  x  . a  1   1 log ' ; ln ' x ln a x Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây sai? A. 3x ' 3x  ln3 B.  x 1 ln '  x 1 C. log x '  D.  2x  2 ' x e  e 3  xln3 Hướng dẫn giải Ta có: 3x' 3 .x  ln 3 nên đáp án A đúng.  x 1 ln
'  nên đáp án B đúng. x  1 log x '  nên đáp án C đúng. 3  xln3  2x    2x 2 ' 2 '.  2. x e x e e nên đáp án D sai. Chọn D.
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số 2 2 16x y   . A.   2 2 1 ' 2 .16x y x    B. 2 x  2 y '  8 . x 16 ln 4 C. 2 x 2 y '  16 .ln16 D. 2 2x 4 y '  8 . x 4 .ln 2 Hướng dẫn giải Ta có: y  x   2 2 2 2 x  2 x  2 2x  4 ' 2 '.16 .ln16  2 . x 16 .4ln 2  8 . x 4 .ln 2 . Chọn D.
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số f  x   2 ln x   1 . A. f  x   2 ' ln x   1 B. f ' x  ln 2x 1 2x C. f ' x  D. f ' x  2 x 1 2 x 1 TOANMATH.com Trang 6 Hướng dẫn giải  2x  1' 2x Ta có: f ' x   2 2 x  1 x  1 Chọn D.
Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của hàm số y  ln 1 x 1. 1 1 A. y '  B. y '  2 x  11 x 1 2 x  11 x 1 x  1 1 C. y '  D. y '  1 x 1 1 x 1 Hướng dẫn giải u
Áp dụng công thức  u ' ln '  , ta có u   y     x   1 x 1' ' ln 1 1 '  1  x 1 1 Mà   x   1 1 1 '  nên y '  . 2 x 1 2 x  11 x 1 Chọn B.
Ví dụ 5: Cho hàm số    ln  x  x f x
e  xe  . Giá trị f '2 bằng 1 2 1  2  A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải  x  x e  xe ' x  x x e  e  xe x Ta có f ' x     .  x x  x  x e  xe e  xe 1 x Suy ra f   2 2 ' 2     . 1  2 3 Chọn D. Ví dụ 6: Cho hàm số log 2x y 
1 . Giá trị của y '  1 bằng 2   2 2 2ln 2 1 A. B. C. D. 3ln 2 3 3 3ln 2 Hướng dẫn giải 2x x ln 2 2
Ta có f  x  log 2 1  f ' x   f ' 1  . 2     2x     1 ln 2 3 Chọn B. TOANMATH.com Trang 7
Bài toán 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ và hàm số lôgarit Phương pháp giải Hàm số x y  a a  0; a   1 đồng biến khi a  1  1 x 
Ví dụ: Hàm số y    nghịch biến trên  vì
và nghịch biến khi 0  a  1.  2  1 0   1. 2
Hàm số y  log x đồng biến khi a  1 và nghịch Ví dụ: Hàm số y  log x đồng biến trên a 2a3 biến khi 0  a  1.
0; khi và chỉ khi 2a  3 1 a  1. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm a để hàm số  2  5x y a nghịch biến trên  . 5 5 5 A.  a  3 B.  a  3 C. a  3 D. a  2 2 2 Hướng dẫn giải 5 Hàm số  2  5x y a
nghịch biến trên  khi và chỉ khi 0  2a  5  1   a  3 . 2 Chọn A.
Ví dụ 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ? x x     3  A. y  log x B. y  C. y  D. y  log x 2      2   2  1   2 Hướng dẫn giải Ta có hàm số x
y  a luôn đồng biến trên  khi và chỉ khi a  1.  Ở phương án B, a 
 1 thỏa mãn khẳng định trên. 2
Ta loại phương án A và D vì hàm số y  log x chỉ xác định trên 0; . a x 3  3 
Ta loại phương án C, vì 0   1 nên hàm số y  
 nghịch biến trên 0; . 2  2    Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số   2  3 x y x
e . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   1 .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;  1 .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . TOANMATH.com Trang 8
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  1  ;3 . Hướng dẫn giải Ta có: x    2   x x y x e x e  e  2 ' 2 . 3 . . x  2x  3. x  1 y '  0   . x  3  Bảng xét dấu: x  -3 1  y’ + 0 - 0 + Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản Câu 1: Cho hàm số x
y  e .sin x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. ' x y  e cos x B. y ' y  y" C. y"  2 y ' y D. "  2 x y e cos x Câu 2: Cho hàm số 2 ax bx c y e   
đạt cực trị tại x  1 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng e . Giá trị của hàm số tại x  2 là 1 A. y2  1 B. y 2  e C. y  2 2  e D. y 2  2 e ln x Câu 3: Cho hàm số y 
, khẳng định nào sau đây đúng? x 1 1 1 1 A. 2 y ' xy"   B. y ' xy"  C. y ' xy"   D. 2 y ' xy"  2 x 2 x 2 x 2 x a
Câu 4: Cho hàm số  log 3x y  x , biết y   1 ' 1  
với a,b   . Giá trị của a  b bằng 3   4 bln 3 A. 2 B. 7 C. 4 D. 1
Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số     . x y f x
x  tại điểm x  1. A. f '  1   B. f   2 ' 1    ln C. f   2 ' 1     ln D. f '  1  1
Câu 6: Tìm đạo hàm của hàm số y  log 2x . 1 1 1 ln10 A. y '  B. y '  C. y '  D. y '  x ln 2 x ln10 2x ln10 x
Câu 7: Cho hàm số f  x  ln x . Tìm đạo hàm của hàm số g  x  log  2 x f ' x . 3   x A. g x 1 '  B. g  x 1 '  C. g  x ln3 '  D. g ' x  x x ln3 x ln3 TOANMATH.com Trang 9 Câu 8: Cho hàm số cos x y  e
. Khẳng định nào sau đây đúng? A. y 'cos x  . y sin x  y"  0 B. y 'sin x  . y cos x  y"  0
C. y 'sin x  y".cos x  y '  0 D. y 'cos x  . y sin x  y"  0 Câu 9: Hàm số . x y x e  đạt cực trị tại A. x  e B. 2 x  e C. x  1 D. x  2 0 0 0 0 2 x  Câu 10: Cho hàm số 2 y  . x e
. Khẳng định nào sau đây đúng? A. xy   2 1 x .y' B. xy   2 ' 1  x .y C. xy   2 1 x .y' D. xy   2 ' 1  x .y
Câu 11: Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ? x x  3 x   2  3   3  x    A. y   B. y  C. y  D. y           3        2    2  3 
Câu 12: Các giá trị thực của tham số a để hàm số 2
y  log x, M  a  4 nghịch biến trên tập xác định là M A. 2  a  5 B. a  5 C.  5  a  2  ; 2  a  5 D. a  2 x
Câu 13: Với giá trị nào của tham số a thì hàm số y   2
a  3a  3 đồng biến? A. a  1 B. a  2 C. a 1;2 D. a  ;   1  2; 3 2 3 4
Câu 14: Cho a,b là hai số thực thỏa mãn 2 2 a  a ;log  log
. Mệnh đề nào sau đây là đúng? b 4 b 5
A. 0  a  1, 0  b  1 B. 0  a  1, b  1 C. a  1, 0  b  1 D. a  1, b  1
Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x 2  x   x  2 1
ln x  x 1 trên đoạn 1; 1 là A. 2 B. 2 1 C. 2  ln 1 2 D. 2  ln  2   1 1
Câu 16: Đối với hàm số y  ln
. Khẳng định nào sau đây đúng? x  1 A. ' 1 y xy  e B. '1 y xy  e C. ' 1 y xy  e D. '1 y xy  e x x e  e
Câu 17: Đạo hàm của hàm số y  là x  x e  e 2 3 x e 2 x e 2 2 x e 2 4 x e A. y '   B. y '  C. y '  D. y '  x 2 2 2 e  2 2 1  2x e   1  2x e   1  2x e   1
Câu 18: Cho hàm số y  xsin x . Khẳng định nào sau đây đúng? TOANMATH.com Trang 10 A. xy" 2 y ' xy  2  sin x
B. xy ' yy" xy '  2sin x
C. xy ' yy ' xy '  2sin x
D. xy" y ' xy  2cos x  sin x x Câu 19: Hàm số y   2 3
 a 10a  2 đồng biến trên  ;   khi  1   1  1  A. a   ;    B. a  3  ; C. a   ;   D. a  ;3    3  3    3 
Câu 20: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến? x     2 x   3 x     x 1 x A. y    B. y    C. y    D. y  3    3  5   e   3  2   3  2 
Câu 21: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trong khoảng 0; ? 1 A. y  log x B. 2 y  x  log x C. y  x  log x D. y  log 2 2 2 2 x
Câu 22: Đạo hàm của hàm số y  log 4x 1 là 3   1 4 ln3 4ln 3 A. y '   B. y '  C. y '  D. y '  4x   1 ln 3 4x  1ln3 4x 1 4x 1
Câu 23: Tìm đạo hàm của hàm số y  logln 2x . 2 1 1 1 A. y '  B. y '  C. y '  D. y '  x ln 2 . x ln10 x ln 2 . x ln10 2x ln 2 . x ln10 x ln 2x
Câu 24: Cho hàm số f  x   2
ln 4x  x  . Khẳng định nào sau đâ y đúng? A. f '3  1  ,5 B. f '2  0 C. f '5  1 D. f '  1  1
Câu 25: Tìm đạo hàm của hàm số y  log  2 x  x  1 . 5  2x 1 2x 1 1 A. y '   B. y '  C. y '  2x   1 ln5 D. y '  2 x  x   1 ln 5 2 x  x  1  2x  x  1ln5
Câu 26: Cho hàm số f  x   4 ln x   1 . Đạo hàm f '  1 bằng ln 2 1 A. B. 1 C. D. 2 2 2
Câu 27: Tìm đạo hàm của hàm số y   2 ln x  x 1 1 2x 1 1 A. y '  B. y '  C. y '  D. y '  2 2 x  1 2 x  x  1 2 x  x  1 2 x  1
Câu 28: Tìm đạo hàm của hàm số y   2 log x  x . TOANMATH.com Trang 11 1 2x 1 2x 1 2x 1 A. y   B. y '  C. y '  D. y '  .log e 2 x  xln10 2 x  x  2x  xloge 2 x  x
Câu 29: Đạo hàm của hàm số y  log2sin x  
1 trên tập xác định là 2  cos x 2cos x 2cos x 2  cos x A. y '  B. y '  C. y '  D. y '  2sin x 1 2sin x 1 2sin x  1ln10 2sin x  1ln10 2 1
Câu 30: Nếu  a 3   a 2 0,1 0,1 và log  log thì b 3 b 2 A. a  10 và b  1
B. 0  a  10 và 0  b  1 C. 0  a  10 và b  1 D. a  10 và 0  b  1
Câu 31: Tìm đạo hàm của hàm số  2 2  x y x x e   . A. '  2  2 x y x e B.  2 ' 2 x y x e   C. ' x y xe  D.  2 ' 2 x y x e    Câu 32: Cho hàm số x y ex e  
. Nghiệm của phương trình y '  0 là A. x  0 B. x  1 C. x  1 D. x  ln 2
Câu 33: Tìm đạo hàm của hàm số 2017 3 x y  . 2017 3 A. 2017 ' 2017ln 3.3 x y  B. y '  C. 2017 y '  3 D. 2017 ' ln 3.3 x y  ln3 Câu 34: Cho hàm số x x y e e   . Giá trị của y"  1 là 1 1 1 1 A. e  B. e  C. e  D. e  e e e e 3 4 1 2
Câu 35: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn 4 5 a  a và log  log . Mệnh đề nào sau đây b 2 b 3 đúng? A. a  1,b  1 B. a  1,0  b  a
C. 0  a  1,0  b  1 D. 0  a  1,b  1 Bài tập nâng cao  x  
Câu 36: Cho hàm số f  x 1  ln 2017  ln
 . Tính tổng S  f ' x  f '2  ...  f '2017 , ta được  x  kết quả 4035 2016 2017 A. S  B. S  2017 C. S  D. S  2018 2017 2018
Câu 37: Giá trị nhỏ nhất của hàm số   2    40 20 20 1283 x y x x e
trên tập hợp các số tự nhiên là TOANMATH.com Trang 12 A. 1283 B. 280 163.e C. 320 157.e D. 300 8.e
Câu 38: Các giá trị của tham số m để hàm số y   2 ln x  
1  2mx  2 đồng biến trên  là 1 1 1 1 A. Không tồn tại m B. m  C. m   D.   m  2 2 2 2
Câu 39: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số x x2 y  4  2
 mx 1 đồng biến trên khoảng 1;  1 là  1   3  A.  ;   ln 2  B.  ;  0 C.  ;  2  ln 2 D.  ;   ln 2  2    2    TOANMATH.com Trang 13
Dạng 2: Tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit
Bài toán 1. Tìm tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit. Phương pháp giải Hàm số x y  a a  0;a  
1 có tập xác định là  . Ví dụ: Tìm tập xác định D của hàm số y  log   .   2 x 6x 9 x 1 
Hàm số y  log xa  0;a   1 có tập xác định là a 0;. Hứớng dẫn giải 2 x  6x  9  0 
Hàm số xác định: x 1  0 x 11    x  2 3  0 x  3    x  1
 x 1  x 1; \ 2,  3 . x 2   x  2   
Vậy D  1; \ 2,  3 . Ví dụ mẫu  1 x 
Ví dụ 1: Tập xác định D của hàm số y  ln   là  x  2  A. 1;2 B.  ;   1  2; C.  \   2 D.  \ 1,  2 Hướng dẫn giải 1  x Hàm số xác định   0  1  x  2 x  2 Chọn A. 1
Ví dụ 2: Điều kiện xác định D của hàm số y  là 2x 1 log  9 x 1 2 A. x  3 B. x  1 C. 3  x  1  D. 0  x  3 Hướng dẫn giải 1  2x 1  2x 2 log     9 9  x  1 2  x 1 2x Hàm số xác định       3 2x 2x x  1  0    0  x 1  x 1 x  3   0  3  x  1  x  1 Chọn C TOANMATH.com Trang 14
Ví dụ 3: Tìm tập xác định D của hàm số 3x y   2 A. D  log 3; B. D  log 2; 3  2  C. D   ;  log 3 D. D   ;  log 2 3  2  Hướng dẫn giải
Hàm số xác định  3x  2  0  3x  2  x  log 2 . 3 Chọn B.
Bài toán 2. Tìm tham số m để hàm số xác định trên khoảng cho trước Phương pháp giải
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y  log f x xác định trên  trong đó f  x là một a   tam thức bậc hai. Áp dụng tính chất a  0
 Tam thức bậc hai f x 2
 ax  bx  c  0 x   khi và chỉ khi  .   0
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y  log f x xác định trên khoảng D. a    Cô lập tham số m.
 Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y   2
ln x  2mx  4 xác định với mọi x   ? A. 5 B. 2 C. 4 D. 3 Hướng dẫn giải Hàm số xác định 2
x    x  2mx  4  0, x    . a  0 1   0      2   m  2 . 2   0 4m 16  0  Do m   nên m  1  ;0;  1 Chọn D.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y  log m  2 2
x  2 m  2 x  m  3 2   
 có tập xác định D   . A. m  2 B. m  2 C. m  2 D. m  2 Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên   m   2
2 x  2m  2 x  m  3  0, x    (*). TOANMATH.com Trang 15 Trường hợp 1: a  0 . a  0 m  2  0  m  2 (*)        m   .   0 4  m  2 2
2  4m  2m  3  0 m  2  0
Trường hợp 2: a  0  m  2 , ta có (*)  1  0, x
   (đúng), nhận m  2 Vậy m  2 . Chọn D.
Ví dụ 3: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng 10;10 để hàm số  log 4x  2x y
 m có tập xác định D   ? 2   A. 9 B. 10 C. 11 D. 8 Hướng dẫn giải
Hàm số có tập xác định D   khi 4x  2x  m  0 x    (1). Đặt  2x t ,t  0 . Khi đó (1) trở thành 2
t  t  m     2 0 t 0;  m  t  t t  0;  m  f t  1 max  với   2 f t  t  t . 0; 4
Do m   và m 10;10 nên m 1;2;3;...;8;  9 . Chọn A.
Ví dụ 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng 10;10 để hàm số 1 y 
xác định trên khoảng 0; ? 2 mlog x  4log x  m  3 3 3 A. 13 B. 11 C. 12 D. 10 Hướng dẫn giải
Hàm số xác định x 0; 2
 mlog x  4log x  m  3  0,x  0; (*). 3 3  
Đặt t  log x,t   . 3 (*) 2
 mt  4t  m  3  0 vô nghiệm.
Trường hợp 1: m  0 . Phương trình có nghiệm (loại m  0 ).
Trường hợp 2: m  0 . Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi
 '  0  4  mm  3  0  m  4  hoặc m  1.
Do m   và m 10;10 nên m  9  ; 8  ;7;6; 5  ;2;3;...8;  9 .
Vậy có 13 giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn A. TOANMATH.com Trang 16
Bài tập tự luyện dạng 2  
Câu 1: Tìm tập xác định D của hàm số y  3x  x   log x  4 2 2 1 . 2 A. D   \ 0;1;  3 B. D  1;3 C. D  0;3 \   1 D. D  1;  3
Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số y   x  2log100  log  2 x  2x  3 . 2  A. D  3; B. D  2;3 C. D   ;    1  3; D. D   1  ;3
Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số x y    x  4 2 1 log 2 . A. D  2; B. D  0;
C. D  0; \   2
D. D  0; \   2 x 1
Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số y  log . 2 x A. D  1; B. D   ;  0  1; C. D  0;  1 D. D   \   0
Câu 5: Tìm tập xác định D của hàm số y   2 ln x  x  2  x. A. D   ;  2   B. D  ; 2    2; C. D   ;
 2  2; D. D   2  ;2
Câu 6: Tìm tập xác định D của hàm số x y x  2 1 5 25 4       A. D   ;  3 B. D  4; C. D   ;   3
D. D  3; \   4
Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số 2 2 2017 x y   . A. D   2; 2 B. D   2; 2 C. D   2; 2        D. D  ; 2 1
Câu 8: Cho hàm số y  
. Các giá trị thực của tham số m để hàm số x  m 2 log x  22m   2 1 x  4m  2  
đã cho xác định với mọi x  1; là TOANMATH.com Trang 17 A. m  ;  2 B. m 1;  1 C. m  ;   1 D. m  ;   1
Câu 9: Điều kiện xác định của phương trình x    x  2 4 2 log 1 log 1  25 là A. x   B. x  1 C. x  1 D. x  1 10  x
Câu 10: Tập xác định D của hàm số y  log là 3 2 x  3x  2 A. D  2;10 B. D  1; C. D   ;  10 D. D   ;   1  2;10
Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   2
ln x  2mx  4 có tập xác định D   . A. 2  m  2 B. m  2 hoặc m  2 C. m  2 D. 2  m  2 5  Câu 12: Hàm số y   2 x     2 16
ln 24  5x  x  có tập xác định là
A. 8;4  3; B.  ;  4    3; C. 8;3 \   4 D. 4;3
Câu 13: Tập xác định của hàm số y  log  x2 5 125 là 2  A. 1; B. 1; C. 2; D. 2;
Câu 14: Tập xác định của hàm số y  ln  x   1  ln  x   1 là A. 1; B.  ;  2  C.  D.  2;  
Câu 15: Hàm số  log 4x  2x y
 m có tập xác định D   khi 2   1 1 1 A. m  B. m  0 C. m  D. m  4 4 4
Câu 16: Tập xác định D của hàm số y   2 log x  6x  5 là A. D   ;   1  5; B. D  1;5 C. D   ;   1  5; D. D  1;5 3x 1
Câu 17: Tập xác định của hàm số log là. 2 2 2 x  x 1  x  x 1  1   1   1 A.  ;   B.  ;   C.  D.  \    3   3   3
Dạng 3: Đồ thị hàm số Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 18
Ví dụ 1: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số x  , x  , x
y a y b y  c được cho trong hình vẽ sau Mệnh đề nào đúng? A. a  b  c B. a  c  b C. b  c  a D. c  a  b Hướng dẫn giải Ta có: x
y  a nghịch biến nên 0  a  1. Mặt khác, x  , x
y b y  c đồng biến, đồng thời cho x  1  y  b  y  c . Vậy a  c  b Chọn B.
Ví dụ 2: Từ các đồ thị y  log x , y  log x , y  log x đã cho ở hình vẽ sau: a b c
Khẳn định nào sau đây đúng? A. 0  a  b  1  c B. 0  c  1  a  b C. 0  c  a  1  b D. 0  c  1  b  a Hướng dẫn giải
Ta có: y  log x nghịch biến nên 0  c  1. c
Mặt khác, y  log x và y  log x đồng biến nên a,b  1 đồng thời cho y  1 thì x  a  x  b . Vậy a b 0  c  1  a  b . TOANMATH.com Trang 19 Chọn B.
Ví dụ 3: Cho các hàm số x
y  a , y  log x , y  log x có đồ thị như hình vẽ. b c Chọn mệnh đề đúng? A. b  c  a B. a  c  b C. c  b  a D. c  a  b Hướng dẫn giải
Ta có y  log x nghịch biến nên 0  c  1 còn y  log x và x
y  a đồng biến nên b  1 và a  1. c b Xét x
y  a : Với x  1  y  a  1  a  2 .
Xét y  log x : Với y  1  x  b  b  2 . b Do đó a  b Vậy c  1  a  b . Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho hàm số y  log x . Khẳng định nào sau đây sai? 1 5
A. Hàm số có tập xác định là D   \   0 . 1 B. y '  x ln5
C. Hàm số nghịch biến trên 0;
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy.
Câu 2: Tìm phát biểu sai. A. Đồ thị hàm số x y  a a  0,a  
1 nằm hoàn toàn phía trên Ox. B. Đồ thị hàm số x y  a a  0,a  
1 luôn đi qua điểm A0;  1 . TOANMATH.com Trang 20 x  1 x 
C. Đồ thị hàm số y  a , y  ,0  a    
1 đối xứng nhau qua trục Ox.  a  x  1 x 
D. Đồ thị hàm số y  a , y  ,0  a    
1 đối xứng nhau qua trục Oy.  a 
Câu 3: Cho đồ thị của ba hàm số x y  a , x y  b , x y  c như
hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. c  b  a B. b  a  c C. c  a  b D. b  c  a
Câu 4: Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên?  1 x  2  1  A. y    B. y   3     2  x C. 3x y  D. y   2
Câu 5: Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số x y  a ,a  1? (I) (II) (III) (IV) A. (I) B. (II) C. (III) D. (IV)
Câu 6: Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số x y  a ,0  a  1? (I) (II) (III) (IV) A. (I) B. (II) C. (IV) D. (III) TOANMATH.com Trang 21
Câu 7: Quan sát hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a  1,b  1 B. 1  a  0,b  1 C. a  1,0  b  1
D. 0  a  1,0  b  1
Câu 8: Cho hai hàm số y  log x, x
y  a có đồ thị lần lượt là b
C và C như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây 2  1  đúng? A. a  1,b  1 B. 0  a,b  1 C. 0  a  1  b D. a  1,b  1
Câu 9: Cho các hàm số y  log x và y  log x có đồ thị a b
như hình vẽ bên. Đường thẳng x  7 cắt trục hoành, đồ thị
hàm số y  log x và y  log x lần lượt tại H, M, N. Biết a b
rằng HM  MN . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. a  7b B. a  2b C. 7 a  b D. 2 a  b
Câu 10: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số
nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây? A. y  log x B. y  log x 2 0,5 1 1 C. y   x  D. y  3  x 1 3 3
Câu 11: Với giá thị nào của a để hàm số y  log x0  a   1 a
có đồ thị là hình bên ? 1 A. a  B. a  2 2 1 C. a  2 D. a  2 TOANMATH.com Trang 22 Câu 12: Biết hàm số 2x y 
có đồ thị là hình bên. Khi đó, hàm số 2 x y 
có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt
kê ở bốn A, B, C, D dưới đây? Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 A. Hình 4 B. Hình 2 C. Hình 3 D. Hình 1
Câu 13: Giá trị lớn nhất của hàm số   2 x
f x  x e trên đoạn 1;  1 là 1 A. e B. C. 2e D. 0 e
Câu 14: Cho hàm số y  log 2x . Khi đó, hàm số y  log 2x có đồ thị là hình nào trong bốn hình 2   2  
được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây? TOANMATH.com Trang 23 Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 A. Hình 3 B. Hình 2 C. Hình 1 D. Hình 4
Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 x y  trên 2;2? 1 1 A. max y  4;min y   B. max y  4;min y  4 4 1 C. max y  1;min y  D. max y  4;min y  1 4
Câu 16: Hình bên là đồ thị của ba hàm số y  log x , a y  log x , y  log x
 a b c  được vẽ trên cùng một c 0 , , 1 b
hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. a  c  b B. a  b  c C. b  c  a D. b  a  c x  
Câu 17: Cho hàm số y  f  x 1  
 . Tìm khẳng định sai.  2  3 
A. Hàm số luôn nghịch biến trên  .
B. Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.
C. Hàm số không có cực trị.
D. f  x luôn nhỏ hơn 1 với mọi x dương. TOANMATH.com Trang 24 x Câu 18: Cho f  x 9 
. Nếu a  b  1 thì f a  f b là 9x  3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 x
Câu 19: Cho hàm số f  x 9 
, x   . Nếu a  b  3 thì f a  f b  2 có giá trị bằng 3  9x 1 3 A. B. C. 1 D. 2 4 4
Câu 20: Hàm số y  log  3
x  4x có bao nhiêu điểm cực trị? 2  A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 21: Cho ba số thực dương a,b,c khác 1. Đồ thị các hàm
số y  log x , y  log x , y  log x được cho trong hình vẽ a b c sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. b  c  a B. a  b  c C. c  a  b D. a  c  b
Câu 22: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây? x x  1  A. y   3 B. y     2   1 x x 5  C. y  2  D. y    2  3 
Câu 23: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây?  1 x  A. 2x y   B. y     2   1 x  C. 2x y  D. y     2  TOANMATH.com Trang 25
Câu 24: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây? A. y  log x B. y  log x 1 2   2 C. y  log x 1 D. y  log x 1 3   3 x
Câu 25: Cho hàm số y   2 có đồ thị Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây? Hình 1 Hình 2 x x x x A. y   2 B. y   2 C. y   2 D. y    2 Câu 26: Cho hàm số 5x y 
có đồ thị C . Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với C  qua đường thẳng y  x ? A. 5 x y   B. y  log x C. y  log x D. 5 x y    5 5 x Câu 27: Cho hàm số 2
y  3 có đồ thị C  . Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với C  qua đường thẳng y  x ?  x  1 A. y  log x B. 2 y  log x C. y  log D. y  log x 3 3 3    2  3 2
Câu 28: Cho hàm số y  log x có đồ thị C . Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với C  qua 2 đường thẳng y  x ? 1  x A. 2x y  B.  2 x y C. 2 x y   D. 2 y  2
Câu 29: Đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số y  log x là đồ thị nào trong các đồ thị có phương 2 trình sau đây? TOANMATH.com Trang 26  1 x  A. y  log x B. 2x y  C. y  log x D. y  1 2    2  2
Dạng 4: Bài tập lãi suất Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất Ghi nhớ:
6,9% một năm. Biết rằng tiền lãi hàng năm được cộng vào tiền gốc, hỏi Khách hàng gửi vào ngân
sau 5 năm người đó rút được cả tiền gốc lẫn tiền lãi gần với con số nào hàng A đồng với lãi kép r (% / sau đây?
kì hạn) thì số tiền khách hàng A. 105370000 đồng B. 111680000 đồng
nhận được cả vốn lẫn lãi sau n C. 107667000 đồng D. 116570000 đồng
kì hạn n   * là: Hướng dẫn giải S  A1 rn n
Gọi A là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất hàng năm.
Số tiền gốc và lãi sau năm thứ nhất là S  A  . A r  A 1 r . 1  
Số tiền gốc và lãi sau năm thứ hai là S  S  S .r  A1 r2 . 2 1 1 …
Số tiền gốc và lãi người đó rút ra được sau 5 năm là S  .
A 1 r5  80000000.1 6,9%5 111680799 (đồng) 5 Chọn B.
Ví dụ 2: Một người gửi ngân hàng 100 triệu với lãi suất 0,5% một Từ công thức lãi kép
tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi S  A1 rn , ta suy ra n
tháng, số tiền lãi sẽ được cộng vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng  S 
tiếp theo. Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu? n  log n  . 1 r    A  A. 45 tháng B. 46 tháng C. 47 tháng D. 44 tháng Hướng dẫn giải
Sau n tháng, tổng số tiền gốc và lãi là: 1001 0,5%n  . n 125
Theo đề bài: 1001 0,5%  125  n  log  44,74 10,5% 100
Vậy sau ít nhất 45 tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu. Chọn A.
Ví dụ 3: Bác Toản gửi số tiền 58 triệu đồng vào một ngân hàng theo Từ công thức lãi kép
hình thức lãi kép và ổn định trong 9 tháng thì lĩnh về được 61758000 S  A1 rn , ta có n
đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất TOANMATH.com Trang 27
không thay đổi trong thời gian gửi. S n n r  1. A. 0.8% B. 0,6% C. 0,7% D. 0,5% A Hướng dẫn giải
Gọi r là lãi suất tiền gửi của ngân hàng theo tháng. , A S lần lượt là n
số tiền gửi ban đầu và số tiền sau n  9 tháng. Áp dụng công thức lãi kép ta có S  A  rn    r n  9 1 61758000 58000000 1 61758000 3 9 r 1 7.10      0,7% 58000000
Vậy lãi suất ngân hàng hàng tháng là 0,7% Chọn C.
Ví dụ 4: Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo Bài toán vay vốn trả góp:
phương thức trả góp với lãi suất 0,85% mỗi tháng. Nếu sau mỗi tháng, Vay ngân hàng số tiền là A
kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 đồng với lãi suất r (% /
triệu đồng bao gồm cả tiền lãi vay và tiền gốc. Biết phương thức trả lãi tháng). Sau đúng một tháng kể
và gốc không thay đổi trong suốt quá trình anh An trả nợ. Hỏi sau bao từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ;
nhiêu tháng anh trả hết nợ ngân hàng?
hai lần hoàn nợ cách nhau A. 65 B. 66 C. 67 D. 68
đúng một tháng, mỗi hoàn nợ
số tiền là X đồng và trả hết Hướng dẫn giải
tiền nợ sau đúng n tháng.
Đặt A  500 triệu là số tiền đã vay, X  10 triệu là số tiền trả trong Cách tính số tiền còn lại sau n
mỗi tháng và r  0,85% là lãi suất ngân hàng, n là số tháng anh An phải tháng là: trả hết nợ. 1 n n  r 1 Theo đề bài: S  A  r  X . n 1    r
Cuối tháng thứ nhất anh An còn nợ số tiền là
Để sau đúng n tháng trả hết
A  Nr  X  A1 r  X . nợ thì
Cuối tháng thứ hai anh An còn nợ số tiền là n   A  rn 1 r 1 1  X  0 .
A  r  X   A  r  X  r  X  A  r2 1 1 1  X 1 r 1       . r
Cuối tháng thứ ba anh An còn nợ số tiền là Suy ra    X  A  r2  X    r  
   r X  A r3  X  r2 1 1 1 1 1 1  1r 1    n  log . 1 r    X  Ar  …
Cuối tháng thứ n anh An còn nợ số tiền là
A  rn  X   rn 1    rn2 1 1 1
 ...  1 r 1  
Để sau n tháng, anh An trả hết nợ thì TOANMATH.com Trang 28
A  rn  X   rn 1    rn2 1 1 1
 ...  1 r 1  0  
 A  rn  X   rn1    rn2 1 1 1
 ...  1 r 1   n        rn 1 r 1 X X A 1  X  1 rn   n  lo g1r   r X  Ar  X  Ar   10 
Áp dụng ta có: n  log  n  65,38. 10,0085   10  500.0,0085 
Vậy anh An phải trả trong vòng 66 tháng. Chọn B.
Ví dụ 5: Bác An có 400 triệu đồng mang đi gửi tiết kiệm ở hai kì hạn
khác nhau đều theo hình thức lãi kép. Bác gửi 200 triệu đồng theo kì
hạn quý với lãi suất 2,1% một quý; 200 triệu còn lại bác gửi theo kì hạn
tháng với lãi suất 0,73% một tháng. Sau khi gửi được đúng 1 năm, bác
rút tất cả số tiền ở loại kì hạn theo quý và gửi theo tháng. Hỏi sau đúng
2 năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, bác An thu được tất cả bao nhiêu tiền
lãi? (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn). A. 75,304 triệu đồng B. 75,303 triệu đồng C. 470,656 triệu đồng D. 475,304 triệu đồng Hướng dẫn giải
Công thức tính lãi kép là S  A1 rn . n
Tổng số tiền bác An thu được sau 1 năm theo kì hạn quý là:
S  2001 2,1%4 triệu đồng 1
Tổng số tiền bác An thu được sau 1 năm theo kì hạn tháng là:
S  2001 0,73%12 triệu đồng 2
Tổng số tiền bác An thu được sau 1 năm là S  S triệu đồng. 1 2
Tổng số tiền bác An thu được sau 2 năm là
S  S  S 1 0,73%12  475,304 triệu đồng. 1 2
Vậy tiền lãi bác An thu được sau 2 năm là L  S  400  75,304 triệu đồng. Chọn A.
Ví dụ 6: Một người vay ngân hàng số tiền 350 triệu đồng, mỗi tháng trả TOANMATH.com Trang 29
góp 8 triệu đồng và lãi suất cho số tiền chưa trả là 0,79% một tháng. Kì
trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất. Hỏi số tiền phải trả ở kì cuối là bao
nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn) A. 2921000 đồng B. 7084000 đồng C. 2944000 đồng D. 7140000 đồng Hướng dẫn giải
Kì trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất nên đây là bài toán vay vốn trả góp cuối kì.
Gọi A là số tiền vay ngân hàng, B là số tiền trả trong mỗi chu kì,
d  r% là lãi suất cho số tiền chưa trả trên một chu kì, n là số kì trả nợ.
Số tiền còn nợ ngân hàng (tính cả lãi) trong từng chu kì như sau:
+ Đầu kì thứ nhất là A
+ Cuối kì thứ nhất là A1 d   B . + Cuối kì thứ hai là
A  d   B  d   B  A  d 2 1 1 1  B 1 d  1     + Cuối kì thứ ba là   A d2  B   d  
   dB A d3 B  d2 1 1 1 1 1 1 1d 1    …
+ Theo giả thiết quy nạp, cuối kì thứ n là n  
A  d n  B   d n 1     d     A  d n 1 d 1 1 1 ... 1 1 1  B   d
Vậy số tiền còn nợ (tính cả lãi) sau n chu kì là 1 n n  d 1 A1 d     B . d 1 n n  d 1
Người đó trả hết nợ ngân hàng khi A1 d     B  0 d 1,0079n  n 1  350.1,0079  8.  0  n  53,9 . 0,0079
Tức là phải mất 54 tháng người này mới trả hết nợ.
Cuối tháng thứ 53, số tiền còn nợ (tính cả lãi) là TOANMATH.com Trang 30 53 1,0079 1 53 S  350.1,0079  8. (triệu đồng) 53 0,0079
Kì trả nợ tiếp theo là cuối tháng thứ 54, khi đó phải trả số tiền S và 53
lãi của số tiền này nữa là S  0,0079.S  S .1,0079  7,139832 53 53 53 (triệu đồng). Chọn D.
Ví dụ 7: Ông A vay dài hạn ngân hàng 300 triệu, với lãi suất 12% năm.
Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một năm kể từ
ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng
một năm, số tiền hoàn ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 4
năm kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả
cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất
ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ. 361,124 A. m  (triệu đồng) B. m   2 36 1,12 (triệu đồng) 1,124 1 361,123 1 3001,124 C. m  (triệu đồng) D. m  ( triệu đồng) 1,123 1,124 1 Hướng dẫn giải
Số tiền nợ sau năm thứ nhất: T  300 1  12%  m  300 p  m , với 1   p  1 12%  1,12 .
Số tiền nợ sau năm thứ hai: T  300 p  m 2
p  m  300 p  mp  m 2
Số tiền nợ sau năm thứ ba: T   2 300 p  mp  m 3 2
p  m  300 p  mp  mp  m 3
Trả hết nợ sau năm thứ tư:  3 2
300 p  mp  mp  m p  m  0 4 3 2 4 
p  mp  mp  mp  m   p  m 3 2 300 0 300 p  p  p   1  0  p  1 1,124 4 1 300 p . m 0 3001,124 4 . m        p 1 0,12 3001,124 .0,12 361,124  m   m  1,124 1 1,124 1 TOANMATH.com Trang 31 361,124 Vậy m  . 1,124 1 Chọn A.
Ví dụ 8: Một người mỗi đầu tháng gửi vào ngân hàng T triệu đồng với Bài toán tiền gửi ngân hàng:
lãi suất kép 0,6% một tháng. Biết cuối tháng thứ 15 thì số tiền cả gốc lẫn Đầu mỗi tháng, khách hàng
lãi sẽ thu về là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số nào nhất trong các gửi vào ngân hàng số tiền A số sau đây?
đồng với lãi kép r (% / tháng) A. 535000 đồng B. 635000 đồng
thì số tiền khách hàng nhận C. 613000 đồng D. 643000 đồng
được cả vốn lẫn lãi sau n Hướng dẫn giải
tháng n   * (nhận tiền
Sau tháng gửi đầu tiên số tiền cả gốc và lãi thu được là T 1 r
cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là
Sau tháng thứ hai số tiền cả gốc và lãi thu được là A S    r    r n 1 n 1 1  T   r2 1  T 1 r. r   . …
Sau tháng thứ 15, số tiền cả gốc và lãi thu được là T  r n T  r n 1 1 1      ...  T 1 r .
Để số tiền cả gốc lẫn lãi thu về là 10 triệu đồng thì
T   r15  T   r14 1 1
 ...  T 1 r 10000000    T   r  r15 1 1 1
 10000000  T  635.000 (đồng). r Chọn B.
Ví dụ 9: Một huyện A có 100 000 dân. Với mức tăng dân số bình quân Công thức tính tăng trưởng
1,8% năm thì sau ít nhất bao nhiêu năm nữa dân số sẽ vượt 150 000 dân. dân số: A. 22 B. 23 C. 27 D. 28 X  X 1 rmn m n Hướng dẫn giải  , m n    ,m  n
Giả sử sau n năm nữa thì dân số sẽ vượt 150 000 dân.
Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân Áp dụng công thức: '  1 n X X r .
số từ năm n đến năm m; X m  X '  150000 Suy ra n  log  log  22,72796911. 1 r   11,8%  X  100000
dân số năm m, X dân số năm n Chọn B. n.
Ví dụ 10: Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức
1,05%. Theo số liệu của Tổng cục Thống kê, dân số của Việt Nam năm TOANMATH.com Trang 32
2014 là 90728900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào năm
2030, dân số của Việt Nam là: A. 106118331 người B. 198049810 người C. 107232574 người D. 108358516 người Hướng dẫn giải Áp dụng công thức:  1 n X X  r 2030 2014   Trong đó: X
 90728900; r 1,05; n 16 2014
Ta được dân số đến hết năm 2030 là: X  107232574. 2030 Chọn C.
Ví dụ 11: Trong vật lý, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn 1  1 T 
bởi công thức: mt   m
, trong đó m là khối lượng ban đầu của 0    2  0
chất phóng xạ (tại thời điểm t  0 ); T là chu kì bán rã (tức là khoảng
thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác).
Chu kì bán rã của Cabon 14C là khoảng 5730 năm. Cho trước mẫu
Cabon có khối lượng 100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lượng còn bao nhiêu gam? 1 t ln 2 5730  1   A. mt  100.  B. mt  5730  100.e  2  100t  100t 5730  1   C. mt   100  D. mt  5730  100.e  2  Hướng dẫn giải 1  1 T 
Theo công thức: mt   m ta có: 0    2  t mt 1 5730  100. 2 Chọn A.
Ví dụ 12: Cường độ ánh sáng đi qua môi trường khác không khí (chẳng
hạn sương mù, nước,…) sẽ giảm dần tùy thuộc độ dày của môi trường
và hằng số  gọi là khả năng hấp thu của môi trường, tùy thuộc môi
trường thì khả năng hấp thu tính theo công thức  x
I  I e  với x là độ 0 TOANMATH.com Trang 33
dày của môi trường đó và được tính bằng đơn vị mét. Biết rằng nước
biển có   1,4 . Hãy tính cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu khi từ
độ sâu 2m xuống đến 20m? A. 25,2 e B. 22,5 e C. 32,5 e D. 52,5 e Hướng dẫn giải
Cường độ ánh sáng thay đổi khi từ độ sâu x đến độ sâu x là: 1 2  1 x I I e 1 0    2 x 1 x    e .  2 x I I e 2 0 I
Thay x  2; x  20,   1,4 ta có 1 25,2  e . 1 2 I2 Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Một người gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng thời hạn 15 tháng, lãi suất 0,6% tháng (lãi kép). Khi
hết kỳ hạn thì số tiền người đó nhận được là A. 55,664000 triệu B. 54,694000 triệu C. 55,022000 triệu D. 54,368000 triệu
Câu 2: Một người gửi ngân hàng 50 triệu đồng theo hình thức lãi kép kỳ hạn 1 năm với lãi suất 7% mỗi
năm. Hỏi sau 4 năm người đó có bao nhiêu tiền cả gốc và lãi? A. 70,13 triệu đồng B. 65,54 triệu đồng C. 61,25 triệu đồng D. 65,53 triệu đồng
Câu 3: Một học sinh A khi 15 tuổi được hưởng tài sản thừa kế 200 000 000 đồng. Số tiền này được bảo
quản trong một ngân hàng B với kì hạn thanh toán một năm và học sinh A chỉ nhận được số tiền này khi
18 tuổi. Biết rằng khi 18 tuổi, số tiền mà học sinh A được nhận sẽ là 231525000 đồng. Vậy lãi suất kì hạn
1 năm của ngân hàng B là bao nhiêu? A. 8% B. 7% C. 6% D. 5%
Câu 4: Một chiếc ô tô mới mua năm 2016 với giá 800 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm, giá chiếc ô tô này bị
giảm 5%. Hỏi đến năm 2020, giá tiền chiếc ô tô này còn khoảng bao nhiêu? A. 651605000 đồng B. 685900000 đồng C. 619024000 đồng D. 760000000 đồng
Câu 5: Ông An gửi vào ngân hàng 60 triệu đồng theo hình thức lãi kép. Lãi suất ngân hàng là 8% trên
năm. Sau 5 năm ông An tiếp tục gửi thêm 60 triệu đồng nữa. Hỏi sau 10 năm kể từ lần gửi đầu tiên ông
An đến rút toàn bộ tiền gốc và tiền lãi được là bao nhiêu? (Biết lãi suất không thay đổi qua các năm ông gửi tiền).
A.231,815 (triệu đồng) B. 197,201 (triệu đồng) C. 217,695 (triệu đồng) D. 190,271 (triệu đồng) TOANMATH.com Trang 34
Câu 6: Một người vay ngân hàng 90000000 đồng theo hình thức trả góp trong 3 năm. Mỗi tháng người
đó phải trả số tiền bằng nhau. Giả sử lãi suất trong toàn bộ quá trình trả nợ không đổi là 0,8% trên tháng.
Tổng số tiền người đó phải trả trong toàn bộ quá trình trả nợ là A. 103320000 đồng B. 101320000 đồng C. 105320000 đồng D. 103940000 đồng
Câu 7: Anh Minh gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0,6% tháng. Sau mỗi tháng, anh Minh đến
ngân hàng rút mỗi tháng 3 triệu đồng để chi tiêu cho đến khi hết tiền thì thôi. Sau một số tròn tháng thì
anh Minh rút hết tiền cả gốc lẫn lãi. Biết trong suốt thời gian đó, ngoài số tiền rút mỗi tháng, anh Minh
không rút thêm một đồng nào kể cả gốc lẫn lãi và lãi suất không đổi. Vậy tháng cuối cùng anh Minh sẽ
rút được số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến đồng)? A. 1840270 đồng B. 3000000 đồng C. 1840269 đồng D. 1840268 đồng
Câu 8: Bác Tuấn gửi tiết kiệm 75 triệu đồng vào ngân hàng theo kì hạn một quý với lãi suất 1,77% một
quý. Nếu Bác Tuấn không rút lãi ở tất cả các định kì thì sau 3 năm Bác Tuấn nhận được số tiền cả vốn lẫn
lãi là bao nhiêu? Biết rằng hết một kì hạn lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong kì tiếp theo. A. 90930000 đồng B. 92690000 đồng C. 92576000 đồng D. 80486000 đồng
Câu 9: Một sinh viên muốn có 12 triệu đồng để mua laptop nên mỗi tháng gửi vào ngân hàng 250000
đồng với lãi suất 0,72% một tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh ta đủ tiền mua laptop? A. 41 B. 36 C. 42 D. 37
Câu 10: Cô Ngọc vay ngân hàng một số tiền với lãi suất 1% mỗi tháng. Cô ấy muốn hoàn nợ cho ngân
hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày cho vay, cô ấy bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp
cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là 5 triệu đồng và cô ấy trả hết nợ sau đúng 5 năm
kể từ ngày vay (số tiền hoàn nợ tháng cuối cùng có thể ít hơn 5 triệu đồng). Biết rằng mỗi tháng ngân
hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mà cô Ngọc vay ngân hàng là số nào
trong các số dưới đây? A. 224 triệu đồng B. 222 triệu đồng C. 221 triệu đồng D. 225 triệu đồng
Câu 11: Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu đồng theo phương thức trả góp với lãi suất
0,85% mỗi tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là
10 triệu đồng bao gồm cả tiền lãi vay và tiền gốc. Biết rằng phương thức trả lãi và gốc không thay đổi
trong suốt quá trình anh An trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh trả hết nợ ngân hàng? A. 68 B. 66 C. 65 D. 67
Câu 12: Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% một tháng theo thỏa thuận: Sau đúng
một tháng kể từ ngày vay thì ông bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 9
triệu đồng cho đến khi hết nợ (biết rằng, tháng cuối cùng có thể trả dưới 9 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu
tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng? A. 24 B. 23 C. 22 D. 25 TOANMATH.com Trang 35
Câu 13: Ông Tuấn đầu tư 500 triệu đồng để mua xe ô tô chở khách. Sau khi mua, thu nhập bình quân mỗi
tháng được 10 triệu đồng (sau khi trừ đi các khoản chi phí khác). Tuy nhiên mỗi năm giá trị xe lại giảm
10% so với năm trước đó. Tổng số tiền lãi sau 4 năm kinh doanh của ông Tuấn bằng bao nhiêu? A. 480 triệu đồng B. 308,05 triệu đồng C. 328,05 triệu đồng
D. Lỗ 171,95 triệu đồng
Câu 14: Anh Hòa gửi ngân hàng 3350000 đồng, theo phương thức lãi đơn với lãi suất 0,4% trên nửa
năm. Hỏi ít nhất bao lâu anh rút được cả vốn lẫn lãi là 4020000 đồng? A. 5 năm B. 30 tháng C. 3 năm D. 24 tháng
Câu 15: Một khách hàng gửi tiết kiệm 64 triệu đồng, với lãi suất 0,85% một tháng. Hỏi người đó phải
mất ít nhất mấy tháng để được số tiền cả gốc lẫn lãi không dưới 72 triệu đồng? A. 13 B. 14 C. 15 D. 18
Câu 16: Anh Ngọc muốn vay ngân hàng 200 triệu đồng theo phương thức trả góp (trả tiền vào cuối
tháng) với lãi suất 0,75% mỗi tháng. Hỏi hàng tháng, anh Ngọc phải trả số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến
nghìn đồng) để sau đúng 2 năm thì trả hết nợ ngân hàng? A. 9236000 đồng B. 9137000 đồng C. 9970000 đồng D. 9971000 đồng
Câu 17: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với mức lương khởi điểm của mỗi
tháng trong ba năm đầu tiên là 6 triệu đồng/tháng. Tính từ ngày đầu làm việc, cứ sau đúng ba năm liên
tiếp thì tăng lương 10% so với mức lương một tháng người đó đang hưởng. Nếu tính theo hợp đồng thì
tháng đầu tiên của năm thứ 16 người đó nhận được mức lương là bao nhiêu? A. 4 6.1,1 (triệu đồng) B. 6 6.1,1 (triệu đồng) C. 5 6.1,1 (triệu đồng) D. 16 6.1,1 (triệu đồng)
Câu 18: Một người cứ đầu tháng đều gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi
suất 0,6% mỗi tháng. Đến cuối tháng thứ 15 thì người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với
số tiền nào nhất trong các số sau? A. 535000 đồng B. 635000 đồng C. 643000 đồng D. 613000 đồng
Câu 19: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc trong một công ty với lương năm đầu là 72 triệu
đồng, cứ sau 3 năm thì tăng lương 10%. Nếu tính theo hợp đồng thì sau đúng 21 năm, người đó nhận
được tổng số tiền của công ty là A.  7 216 1,1   1 (triệu đồng) B.  7 7200 1,1   1 (triệu đồng) C.  7 720 1,1   1 (triệu đồng) D.  7 2160 1,1   1 (triệu đồng)
Câu 20: Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% một tháng theo hình thức lãi kép với
thỏa thuận: sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì ông bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó
sẽ trả cho ngân hàng 9 triệu đồng cho đến khi hết nợ (biết rằng, tháng cuối cùng có thể trả dưới 9 triệu
đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng? A. 25 B. 24 C. 22 D. 23 TOANMATH.com Trang 36
Câu 21: Một người gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,1% năm. Biết rằng nếu không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc và tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi
sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được số tiền lãi ít nhất bằng số tiền gửi ban đầu, giả định trong
thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra? A. 12 năm B. 11 năm C. 10 năm D. 13 năm
Câu 22: Một khách hàng gửi ngân hàng 20 triệu đồng, kì hạn 3 tháng, với lãi suất 0,65% một tháng theo
phương thức lãi kép. Hỏi sau bao lâu vị khách này mới có số tiền lãi nhiều hơn số tiền gốc ban đầu gửi
ngân hàng? Giả sử người đó không rút lãi ở tất cả các định kì. A. 8 năm 11 tháng B. 19 tháng C. 18 tháng D. 9 năm
Câu 23: Một người vay ngân hàng số tiền 400 triệu đồng, mỗi tháng trả góp 10 triệu đồng và lãi suất cho
số tiền chưa trả là 1% mỗi tháng. Kì trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất. Biết lãi suất không đổi trong suốt
quá trình gửi, hỏi số tiền còn phải trả ở kì cuối là bao nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn). A. 2921000 đồng B. 3387000 đồng C. 2944000 đồng D. 7084000 đồng
Câu 24: Mỗi tháng bà A gửi vào ngân hàng một khoản tiền không đổi với lãi suất cố định là 0,4% mỗi
tháng. Ba năm rưỡi kể từ ngày gửi khoản tiền đầu tiên, bà A rút toàn bộ số tiền để mua xe. Số tiền nhận
về lấy đến hàng nghìn là 91635000 đồng. Hỏi khoản tiền gửi mỗi tháng của bà A là bao nhiêu? A. 2000000 đồng B. 1800000 đồng C. 1500000 đồng D. 2500000 đồng
Câu 25: Dân số thế giới cuối năm 2010, ước tính 7 tỉ người. Hỏi với mức tăng trưởng dân số 1,5% mỗi
năm thì cuối năm 2020 dân số thế giới là bao nhiêu? A. 8,12 tỉ người B. 8,05 tỉ người C. 8 tỉ người D. 8,10 tỉ người
Câu 26: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 5
4.10 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong rừng đó
là 4% mỗi năm. Hỏi sau 10 năm khu rừng đó có số mét khối gỗ gần nhất với số nào? A. 5 5,9.10 B. 5 5,92.10 C. 5 5,93.10 D. 5 5,94.10
Câu 27: Để đo độ phóng xạ của một chất phóng xạ   người ta dùng máy đếm xung. Khi chất này
phóng xạ ra các hạt   , các hạt này đập vào máy làm trong máy xuất hiện một xung điện và bộ đếm tăng
thêm 1 đơn vị. Ban đầu máy đếm được 960 xung trong một phút nhưng sau đó 3 giờ thì chỉ còn 120 xung
trong một phút (trong cùng điều kiện). Hỏi chu kì bán rã của chất này là bao nhiêu giờ? A. 1 giờ B. 2 giờ C. 0,5 giờ D. 1,5 giờ
Câu 28: Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x
(đo bằng mét), tức là P giảm theo công thức: xi
P  P e , trong đó P  760mmHg là áp suất ở mực nước 0 0
biển  x  0 , i là hệ số suy giảm. Biết rằng, ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,72 mmHg. TOANMATH.com Trang 37
Hỏi áp suất của không khí ở độ cao 12km bằng bao nhiêu? (các kết quả giữ lại sau dấu thập phân 7 chữ số) A. 178,8176855 B. 176,8176855 C. 177,8176855 D. 175,8176855
Câu 29: Người ta thả một số lá bèo vào một hồ nước, sau 10 giờ số lượng lá bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt
hồ. Biết rằng sau mỗi giờ số lượng lá đều tăng gấp 10 lần số lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng không
đổi. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu số lượng lá bèo phủ kín tối thiểu một phần tư hồ? A. 10  log 4 (giờ) B. 10log 4 (giờ) C. 1 10log 4 (giờ) D. 10 10log 4 (giờ)
Câu 30: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ ponoli 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng
của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Thời gian phân rã phóng xạ ponoli 210 để từ 20 gam còn lại 15
2,22.10 gam gần đúng với đáp án nào nhất? A. Khoảng 18 năm B. Khoảng 21 năm C. Khoảng 19 năm D. Khoảng 20 năm TOANMATH.com Trang 38
BÀI 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT
Dạng 1: Đạo hàm, sự biến thiên của hàm số 1 - C 2 - B 3 - A 4 - B 5 - B 6 - C 7 - B 8 - B 9 - C 10 - D 11 - B 12 - C 13 - D 14 - B 15 - C 16 - C 17 - A 18 - A 19 - D 20 - D 21 - D 22 - B 23 - B 24 - B 25 - A 26 - D 27 - D 28 - D 29 - C 30 - C 31 - D 32 - C 33 - A 34 - A 35 - D 36 - D 37 - B 38 - C 39 - C
Dạng 2: Tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit 1 - C 2 - C 3 - C 4 - B 5 - C 6 - D 7 - C 8 - D 9 - D 10 - D 11 - A 12 - C 13 - B 14 - D 15 - A 16 - A 17 - A
Dạng 3: Đồ thị hàm số 1 - A 2 - C 3 - D 4 - A 5 - A 6 - B 7 - C 8 - C 9 - D 10 - B 11 - A 12 - D 13 - A 14 - C 15 - D 16 - D 17 - B 18 - A 19 - C 20 - C 21 - A 22 - D 23 - A 24 - D 25 - C 26 - B 27 - A 28 - C 29 - A
Dạng 4: Lãi suất ngân hàng 1 - B 2 - B 3 - D 4 - A 5 - C 6 - D 7 - A 8 - C 9 - C 10 - D 11 - B 12 - A 13 - B 14 - B 15 - B 16 - B 17 - C 18 - B 19 - D 20 - B 21 - A 22 - D 23 - B 24 - A 25 - A 26 - B 27 - A 28 - D 29 - A 30 - D TOANMATH.com Trang 39