Bài giảng hàm số mũ và hàm số lôgarit Toán 11 Cánh Diều
Tài liệu gồm 170 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, bao gồm tóm tắt kiến thức cơ bản cần nắm, phân loại và phương pháp giải bài tập chuyên đề hàm số mũ và hàm số lôgarit trong chương trình môn Toán 11 Cánh Diều (CD).
Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
CHƯƠNG VI. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu những nội dung sau: phép tính lũy thừa; phép tính logarit; hàm số
mũ, hàm số logarit; phương trình, bất phương trình mũ và logarit.
BÀI 1. PHÉP TÍNH LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Ở lớp dưới, ta đã làm quen với phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số thực và các tính chất của phép tính lũy thừa đó.
Những khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ
hữu tỉ và số mũ thực của một số thực được xây dụng
như thế nào? Những phép tính lũy thừa đó có tình chất gì?
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. PHÉP TÍNH LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ
1. Phép tính lũy thừa với số mũ nguyên
a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy thừa bậc n của a .
b) Với a là số thực tùy ý khác 0 , nêu quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a . Lời giải
a) Lũy thừa bậc n của a , kí hiệu là n
a , là tích của n thừa số a : n a = . a . a .
a . . a (n thừa số a) với n là
số nguyên dương. Số a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.
b) Với a là số thực tùy ý khác 0 , ta quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a là: 0 a =1. Ta có định nghĩa sau:
Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 , ta có −n 1 a = . n a
Như vậy, ta đã xác định được m
a , ở đó a là số thực tùy ý khác 0 và m là một số nguyên. Trong biểu thức m
a , ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ. Chú ý . 0
0 và 0−n ( n nguyên dương) không có nghĩa.
. Lũy thừa với số mũ nguyên có tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức 12 6 1 3 A 4 2 1 1 .8 0,2 .25 243 . 2 3 Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Ta có: 12 − 6 1 − 3 A ( ) 4− − 2 − 1 − 1 .8 0,2 .25 243 . = + + 2 3 4 − 12 1 1 1 1 6 = 2 . + . + .3 3 2 1 8 5 25 243 12 4 6 2 5 3 3 = + + = 2 +1+ 3 =12 9 4 5 2 5 3 12 5 − 1 1 1 − − 1 −
Luyện tập 1. Tính giá trị của biểu thức: M . (0,4) 4 2 .25 . = + 3 27 32 Lời giải 12 5 − 1 1 1 − M ( ) 4− 2 − 1 . 0,4 .25 . = + 3 27 32 12 4 1 5 5 1 = .27 + . .32 2 3 4 25 5 4 27 5 = + .32 12 4 2 3 2 . 25 15 4 3 5 = + .32 12 4 4 3 2 . 5 3 32 = 3 + = 29 4 2
2. Căn bậc n a) Định nghĩa HĐ2:
a.Với a là số thực không ân, nêu định nghĩa căn bậc hai của a .
b.Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa căn bậc ba của a .
Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho số thực a và số nguyên dương n(n ≥ 2) . Số thực b được gọi là căn bậc n của số a nếu n b = a Ví dụ 2. a. Số 1
− có phải là căn bậc 5 của 1 − hay không? 2 32 b. Các số 3 và 3
− có phải là căn bậc 4 của 81 hay không? Lời giải 5 a. Do 1 1 − = − nên số 1 − là căn bậc 5 của 1 − . 2 32 2 32 b. Ta thấy: (− )4 4
3 = 3 = 81. Dó đó các số 3 và 3
− là căn bậc 4 của 81.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Luyện tập 2. Các số 2 và 2
− có phải là căn bậc 6 của 64 hay không? Lời giải
Các số 2 và -2 là căn bậc 6 của 64: 6 64 = 2 ± Nhận xét
. với n và a ∈ : có duy nhất một căn bậc n của a , kí hiệu là n a
. Lũy thừa với số mũ nguyên có tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương. Với n chẵn, ta xét ba trường hợp sau
+ a < 0 : Không tồn tại căn bậc n của a .
+ a = 0 : Có một căn bậc n của a là số 0 .
+ a > 0 : Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, kí hiệu giá trị dương là n a , còn giá trị âm là n − a b) Tính chất HĐ 3:
a.Với mỗi số thực a , so sánh: 2 a và a ; 3 3 a và a .
b.Cho a,b là hai số thực dương. So sánh .
a b và a. b .
Từ định nghĩa, ta có các tính chất sau: . a neu n le n n a = a neu n chan . n .n n a b = .
a b . n a a = n n b b . n .n n a b = .
a b . n k nk a = a
(Ở mỗi công thức trên, ta giả sử các biểu thức xuất hiện trong đó là có nghĩa)
Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức sau: a. 5 5 3 81 − b. 3 5 5 Lời giải a. − = − = (− )5 5 5 5 5 3 81 243 3 = 3 − b. = ( )3 3 3 5 5 5 = 5
Luyện tập 3. Rút gọn mỗi biểu thức sau: 5 5 a) 125 4 98. 343 3 . 81 b) 64 5 64 Lời giải 3 a) 125 5 5 15 3 = 3 . 81 . (3)4 4 4 = .3 = . 64 4 4 4
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 5 5 5 5 5 5 b) 98. 343 33614 2. 7 7 = = = 5 5 5 5 5 64 64 2. 2 2
3. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ
HĐ 4. Thực hiện các hoạt động sau: 6 6 a. So sánh 3 2 và 2 2 b. So sánh 3 2 và 3 6 2 Lời giải 6 6 a) 3 2 2 = 2 b) 3 3 6 2 = 2
Ta có định nghĩa sau:
Cho số thực a dương và số hữu tỉ m
r = , trong đó m∈,n∈,n ≥ 2. Lũy thừa của a với số mũ r n m
được xác định bởi: r n n m
a = a = a Nhận xét: 1 . n n
a = a (a > 0,n∈,n ≥ 2) .
. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên.
Ví dụ 4. Tính 1 2 a. 3 1 b. 5 243− 64 Lời giải 1 3 a. 3 1 1 1 1 = 3 = 3 = 64 64 4 4 2 b. − − − − − 1 5 5 243 = 243 = (3 ) 2 5 = (3 )5 5 2 5 2 2 = 3 = . 9 4 4 3 3
Luyện tập 4. Rút gọn mỗi biểu thức: x y + xy N =
(x > 0, y > 0). 3 3 x + y Lời giải 4 4 3 4 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 x y + xy . . . xy ( 3 3 x + + + y x y x y x x y x y y ) N = = = = = xy 3 3 3 3 3 3 3 3 x + y x + y x + y x + y
II. PHÉP TÍNH LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC 1. Định nghĩa
Ta đã định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Để định nghĩa lũy thừa với số mũ thực tùy ý. Ta cò phải định
nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
HĐ 5: Xét số vô tỉ 2 =1,414213562...
Xét dãy số hữu tỉ r =1;r =1,4;r =1,41 1 2 3
r =1,414;r =1,4142;r =1,41421.... r = 4 5 5 và lim n 2 n r n 3 nr
Bằng cách tính 3 nr , tương ứng, ta nhận được bảng 1 ghi các dãy số 1 1 3
(r và (3nr ) với n =1,2,3....,6. Người ta chứng minh được n ) 2 1,4 4,655536722…
rằng khi n → +∞ thì dãy số (3 nr ) dần đến một giới hạn mà ta 3 1,41 4,706965002…. gọi là 2 3 . 4 1,414 4,727695035….
Nêu dự đoán về giá trị của số 2
3 (đến hàng phần trăm). 5 1,4142 4,728733930… Lời giải 6 1,41421 4,728785881… 2 3 xấp xỉ bằng 4,73.
Cho α là số thực dương, α là số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn tồn tại dãy số hữu tỉ(r có giới hạn là α n ) và dãy số ( nr
a ) tương ứng có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (r . n )
Cho α là số thực dương, α là số vô tỉ, (r là dãy số hữu tỉ và lim r = α . Giới hạn của dãy số ( nr a )gọi n ) n
là lũy thừa của a với số mũ α , kí hiệu aα , α = lim nr a a .
Nhận xét: Từ định nghĩa ta có: 1α =1, α ∀ ∈ .
Ví dụ 5. Xét dãy số hữu tỉ r =1 r =1,4 r =1,41 r =1,414 r =1,4142 r =1,41421 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ….. và lim r = 2 . 5
Bằng cách tính 10 nx tương ứng , ta nhận được bảng 2 ghi các dãy số (r và (10 nr ) với n =1,2,....,6 n )
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Nêu dự đoán về giá trị cúa số 2
10 (đến hàng phần trăm). Lời giải Từ bảng 2, ta dự đoán 2 10 ≈ 25,95. Lời giải 2 10 ≈ 25,95 >10 2.Tính chất
HĐ 6: Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương. Lời giải
Nếu a >1thì aα > aβ ⇔ α > β .
Nếu 0 < a <1 thì aα > aβ ⇔ α < β .
Người ta chứng minh được rằng lũy thừa với số mũ thực của một số thực dương có đầy đủ các tính chất
như lũy thừa với số mũ nguyên. •
Cho a ,b là những số thực dương; α , β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có: α α α
aα.aβ = aα+β ; (ab)α aα.bα = ; a a = β
; a = aα−β ; (aα ) aαβ = . b bα aβ •
Nếu a >1 thì aα > aβ ⇔ α > β .
Nếu 0 < a <1 thì aα > aβ ⇔ α < β . 5 1 + 7− 5
Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức: a .a P = > . + a 0 3 2 ( ) ( 3− 2 a .) Lời giải 5 1 + 7− 5 5 1 + +7− 5 8 Với a .a a a a > 0 , ta có: P = = = = a . ( + − + 7 3− 2 .)3 2 (3 2)(3 2) a a a
Ví dụ 7: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số: 8 3 và 3 3 . Lời giải
Ta có: 3 = 9 . Do 8 < 9 nên 8 < 9 .
Vì cơ số 3 lớn hơn 1 nên 8 3 3 < 3 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Ta có 2 3 3 2 2 3 < 3 2 ⇒ 2 < 2
3. Sử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa với số mũ thực
Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa với số mũ thực. Cụ thể như sau( lấy kết quả với 4
chữ số ở phần thập phân):
Ví dụ 8: Dùng máy tính cầm tay để tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm): a) 5 0,7− ; b) 2 2 1,4 − Lời giải a) 5 0,7− ≈ 5,95 b) 2−2 1,4 ≈ 0,82 Lời giải + a) ( ) 4 2,7 − − ≈ 0,02 b) ( − )34 1 3 1 ≈ 0,45
Ví dụ 9: Trong mẫu của một sinh vật đã chết T năm, tỉ số R của cacbon phóng xạ còn lại và cacbon T
không phóng xạ còn lại có thể được ước tính bằng công thức 8033 R = . A 2,7
. Trong đó, A là tỉ số của
cacbon phóng xạ và cacbon không phóng xạ trong cơ thể sống. (Nguồn: R.I. Challes et al., Algebra 2, Pearson )
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Tính đại lượng R theo A trong mẫu sinh vật đã chết đó sau 2000 năm; sau 4000 năm; sau 8000 năm(
làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Lời giải 2000 Đại lượng −
R trong mẫu sinh vật đã chết đó sau 2000 năm là: 8033 R = . A 2,7 ≈ 0,78.A . 4000 Đại lượng −
R trong mẫu sinh vật đã chết đó sau 4000 năm là: 8033 R = . A 2,7 ≈ 0,61.A . 8000 Đại lượng −
R trong mẫu sinh vật đã chết đó sau 8000 năm là: 8033 R = . A 2,7 ≈ 0,37.A .
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Rút gọn biểu thức 1. Phương pháp
• Giải bằng phương pháp tự luận (kết hợp nhiều tính chấ của lũy thừa)
• Giải bằng casio (dò tìm đáp án đối với trắc nghiệm)
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức K = ( 4 x − x + )( 4 1 x + x + )
1 (x − x + )1 ta được: A. 2 x +1 B. 2 x + x +1 C. 2
x – x +1 D. 2 x –1 Lời giải Chọn B
Cách 1. Tự luận: Dựa vào hằng đẳng thức thứ ba ta có K ( x x
)( x x )(x x ) ( x )2 4 4 1 1 1 1 X = − + + + − + = + − (x− x + )1
= (x + x + )(x − x + ) = (x + )2 2 1 1
1 − x = x + x −1 .
Cách 2. Casio: Biểu diễn qua 100 Nhập ( 4 X − X + ) 1 ( 4 X + X + )
1 ( X − X + )1 Calc →10101 X 100 = 2 2
=100 +100 +1 = x + x +1⇒ B
Cách 3. Casio: Thử lần lượt 4 đáp án. Nhập ( 4 X − X + ) 1 ( 4 X + X + ) 1 (X − X + ) 2
1 : X + X +1 Calc →3;3 ⇒ B X 1 = 2 1 1 1 −
Ví dụ 2. Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn biểu thức 2 2
= − 1− 2 y y K x y + ? x x A. x B. 2x C. x +1 D. x –1 Lời giải Chọn A
Cách 1. Tự luận: Viết biểu thức K dưới dạng
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com − −
K = ( x − y ) ( x y y )2 2 2 1− = = x ⇒ A 2 x x − y x
Cách 2. Casio: Biểu diễn qua 100 và 0,01 2 1 1 1 − Nhập Y Y 2 2
K = X −Y 1− 2 Calc +
→100 = x ⇒ A X 100 = ;Y =0,01 X X
Cách 3. Casio: Thử lần lượt 4 đáp án. Đáp án đúng là đáp án A. 2 1 1 1 − Nhập Y Y 2 2
K = X −Y 1− 2 + : Calc X →1;1⇒ A X 1 = ;Y =0 X X 1 1 5 3 2 2
a a − a
Ví dụ 3. Cho số thực a > 0 và a ≠ 1. Hãy rút gọn biểu thức P = 1 7 19 4 12 12
a a − a
A. P = 1+ a B. P = 1
C. P = a
D. P = 1− a Lời giải Chọn A 1 1 5 3 2 2 1 1
a a − a 3 2 a a ( 2 1− a ) 5 6 a ( 2 1− a ) Ta có P = = = = 1+ a ⇒ A 1 7 19 1 7 5 4 12 12 4 12
a a − a a a (1− a) 6 a (1− a) 2 3 a (3 2− 3 a − a )
Ví dụ 4. Cho hàm số f (a) =
với a > 0, a ≠ 1. Tính giá trị M = f ( 2018 2017 ). 1 8 a (8 3 8 1 a − a− ) A. 2018 M = 2017 +1. B. 1009 2017 . C. 1009 2017 +1. D. 1009 2017 − −1. Lời giải Chọn D Cách 1. Tự luận 2 3
a ( a− − a) 2 2 2 1 3 2 3 − 1 3 3 3 3 − − Ta có f (a) a a a a 1 a 2 = = = = 1 − − a 1 − 8 a ( 3 1 a − a− ) 1 3 1 1 1 8 8 8 8 8 8 2 a a − a a a − a Do đó M = f ( ) = − −( )1 2018 2018 1009 2 2017 1 2017 = 1 − − 2017 .
Cách 2. Casio biểu diễn qua 100
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 3 X (3 2− 3 X − X ) Nhập f ( X ) Cacl = → 11 − = 1 − − 100 = 1 − − X 1 X = 8 X ( 3 1 X − X − ) 100 8 8 Do đó M = f ( 2018 ) 2018 1009 2017 = 1 − − 2017 = 1 − − 2017 . 2 1 x
Ví dụ 5. Cho x, y là các số thực dương và x ≠ y . Biểu thức = ( x x + )2 2 2 2 − 4 x A x y xy bằng A. 2x 2x y − x B. 2x 2x x − y C. ( − )2x x y D. 2x 2x x − y Lời giải Chọn B 4x = + ( )2x 4x + − ( )2x 4x = − ( )2x 4 2 4 2 x S x xy y xy x xy + y = ( − )2 2 2 x x x 2x 2x x y = x − y
Nhận xét: Câu này là câu bẫy với những ai dùng máy tính. Thật vậy 2 1 X Nhập ( X X X +Y )2 2 2 2
− 4 X XY −( 2X 2 X Y − X ) Calc
→0 khoanh đáp án A là sai vì đáp án B mới X =2;Y =3
là đáp án đúng. Để không bị sai khi gặp các đáp án giống nhau mà trong 1 đáp án có dấu trị tuyệt đối thì
ta nên thử với các giá trị đối nhau 2 1 X Nhập ( X X X +Y )2 2 2 2 X 2 X 2 − 4 X Calc
XY − X −Y . { → = = 0 X 2;Y 3 X = 2; − Y = 3 −
Dạng 2. Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa 1. Phương pháp
• Giải bằng phương pháp tự luận (kết hợp nhiều tính chấ của lũy thừa)
• Giải bằng casio (dò tìm đáp án đối với trắc nghiệm)
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 11
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức 16
x x x x : x ta được: A. 4 x B. 6 x C. 8 x D. x Lời giải Chọn a
Cách 1. Theo nguyên tắc "Chia cộng" từ trong ra ngoài ta có 1 3 3 7 7 15 15 2 2 4 4 8 8 16 x x x x = x x .
x x = x x x = x . x x = x x = .
x x = x = x 11 15 11 1 Do đó 16 16 16 4 4
x x x x : x = x : x = x = x .
Chú ý: Trong quá trình thực hành vì cùng 1 ẩn x nên ta chỉ cần nhẩm theo số mũ cho nhanh.
Cách 2. Thử 4 đáp án.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 11 Nhập 16 4 X X X X : Calc
X − X →0 ⇒ A X =2 11 Cách 3. Nhập Calc 1 16 log X X X X − X → ⇒ A X logX X =2 4
Ví dụ 2. Biểu thức 2 2 2 3 3 K =
viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ là: 3 3 3 5 1 1 1 A. 18 2 2 2 8 2 6 2 B. C. D. 3 3 3 3 Lời giải Chọn B Cách 1. Coi 2
X = . Theo nguyên tắc "Chia cộng" ta có 3 1 3 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2
K = X X X = X X.X = X X = X.X = X = X
Cách 2. Thử 4 đáp án. Nhập 3 3 Calc 1 log X X X → ⇒ B X X =2 2 2
Ví dụ 3. Cho a;b > 0 viết 3
a . a và 3 b b b về dạng x, y
a b ; x, y ∈ .
Khi đó 6x +12y là A. 17. B. 7 . C. 14. D. 7 . 12 6 Lời giải Chọn C 2 Calc 7 3 log A A → = x A . A=2 6 Nhập
⇒ 6x +12y =14 . 3 Calc 7 log B B B → = y B B=2 12
Dạng 3. So sánh 1. Phương pháp
• Giải bằng phương pháp tự luận (kết hợp nhiều tính chấ của lũy thừa)
• Giải bằng casio: Sử dụng chức năng Ture/Fasle hoặc thay giá trị trực tiếp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho a 1. Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 2 1 A. a 3 1 a 1 1 . B. 1. C. 3 a a . D. . 5 a a 2018 2019 a a Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn A Ta có 1 5 a . 5 a 3 5 1 Lại có 3 5 3 a a a . 5 a 1 a
Ví dụ 2. So sánh ba số: ( )0,3 0,2 , ( )3,2 0,7 và 0,2 3 ta được
A. (0,7)3,2 < (0,2)0,3 0,2 < 3 .
B. (0,2)0,3 < (0,7)3,2 0,2 < 3 . C. 0,2 < ( )0,3 < ( )3,2 3 0,2 0,7 . D. ( )0,3 0,2 < < ( )3,2 0,2 3 0,7 . Lời giải Chọn A 1 3 1 Ta có: ( )0,3 = ( ) = ( )3 10 10 = ( )10 0,2 0,2 0,2 0,008 . 1 ( ) = ( )32 3,2 = ( )32 10 10 0,7 0,7 0,7 . 1 = ( )1 2 0,2 . 10 2 10 3 3 = 3 . Do ( )32
0,7 < 0,008 < 3 nên (0,7)3,2 < (0,2)0,3 0,2 < 3 . 1 1
Ví dụ 3. Nếu (a − )4 < (a − )3 2
2 thì khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 2 < a < 3. B. a > 2 . C. a < 3. D. a > 3. Lời giải Chọn D 1 1 Ta có 1 1
< và (a − )4 < (a − )3 2
2 nên a − 2 >1 ⇔ a > 3. 4 3 3 − 5 −
Ví dụ 4. Cho ( m − ) 4 < ( m − ) 4 2 1 2
1 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. m ≥1.
B. 1 ≤ m ≤1. C. m >1.
D. 1 < m <1. 2 2 Lời giải Chọn D 3 − 5 − Do 3 − 5 − > nên ta có: ( m − ) 1 4 < ( m − ) 4 2 1 2 1
⇔ 0 < 2m −1<1 ⇔ 1< 2m < 2 ⇔ < m <1. 4 4 2 1 1
Ví dụ 5. Nếu (a − )4 < (a − )3 2
2 thì khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 2 < a < 3. B. a > 2 . C. a < 3. D. a > 3. Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn D 1 1 Ta có 1 1
< và (a − )4 < (a − )3 2
2 nên a − 2 >1 ⇔ a > 3. 4 3 2018 2019
Ví dụ 6. Cho mệnh đề π π A: sin sin >
và mệnh đề B : log > . Khẳng định e 2018 loge 2019 12 12 2 2 nào dưới đây đúng?
A. A sai, B sai.
B. A đúng, B đúng.
C. A đúng, B sai.
D. A sai, B đúng. Lời giải Chọn C 2018 2019 Ta có: π π π sin
< 1và 2018 < 2019 nên sin sin > suy ra A đúng. 12 12 12
Tương tự vì e >1và 2018 < 2019 nên log < suy ra B sai. e 2018 loge 2019 2 2 2
Ví dụ 7. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2017 − 2018 ( 5 2) ( 5 2)− + < + . B. 2018 2019 ( 5 + 2) > ( 5 + 2) . C. 2018 2019 ( 5 − 2) > ( 5 − 2) . D. 2018 2019 ( 5 − 2) < ( 5 − 2) . Lời giải Chọn C 0 < 5 − 2 <1 2018 2019 ⇒ ( 5 − 2) > ( 5 − 2) ⇒ C đúng. 2018 < 2019 5 + 2 >1 2017 − 2018 ⇒ ( 5 + 2) > ( 5 + 2)− ⇒ A sai 2017 − > 2018 − 5 + 2 >1 2018 2019 ⇒ ( 5 + 2) < ( 5 + 2) ⇒ B sai 2018 < 2019 0 < 5 − 2 <1 2018 2019 ⇒ ( 5 − 2) > ( 5 − 2) ⇒ D sai. 2018 < 2019
Ví dụ 8. Mệnh đề nào dưới đây sai? 2019 2018 A. 2017 2018
( 2 − )1 > ( 2 − )1 . B. 2 2 1− < 1− . 2 2 C. 2018 2017
( 3 − )1 > ( 3 − )1 . D. 2 1+ 3 2 > 2 . Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2018 > 2017 2018 2017 Do
nên ( 3 − )1 < ( 3 − )1 . 3 −1 >1
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Tính: 4 0 − ,75 − 2 1, − 5 − a) 3 1 1 + 3 1 1 ; b) − ; 256 27 49 125 c) ( 3+ 3 3 1 − − ) 2− 3 4 4 .2 ; Lời giải 4 0,75 − − 3 4 3 1 1 4 3 4 a) + = 256 + 27 = (4 )4 3 + (3 )3 3 4 3 4 = 4 + 3 = 145 256 27 2 1,5 − − 3 2 3 1 1 2 3 2 b) − = 49 −125 = (7 )2 3 − (5 )3 3 2 3 2 = 7 − 5 = 318 49 125 ( 3+ 3 3 1 4 − 4 − ) 2− 3 3 .2 = 4 ( 3 1 4 − 4− ) 2− 3 2 3 2 − 3 .2 = 2 .2 .( 3 1 4 − 4− ) c) 3 1 − 255 = 4 − 4 = 4
Bài 2. Cho a ,b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 1 1 4 1 a) 13 a . a ; b) 2 3 6
b .b . b ; c) 3 3 a : a ; d) 3 6 b :b ; Lời giải 1 1 1 5 1 1 1 1 1 a) + 3 3 2 6
a ⋅ a = a = a b) + + 2 3 6 2 3 6
b ⋅b ⋅ b = b = b 4 4 1 − 4 1 1 1 1 1 c) − − 3 3 3 3 3 3
a : a = a ⋅a = a = a d) 3 6 3 6 6 b : b = b = b
Bài 3. Rút gọn mỗi biểu thức sau: 4 7 1 5 1 − (4 3 2 a b ) 3 3 3 3 a) a − a a − a −
a > 0,a ≠ 1 ; b)
(a > 0,b > 0) ; 4 1 2 1 ( ) − 3 3 3 3 a − a a + a 3 12 6 a b Lời giải 1 7 1 3 3 3 a − a a ⋅( 2 a − ) 2 1 − a) a 1 = = = a +1 4 1 1 a −1 3 3 3 a − a a ⋅(a − ) 1 1 1 b) 3 12 6 3 = ( 12 6 )2 = ( 12 6 ) 2 6 a b a b a b = a ⋅b
Bài 4. Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 − 1 − 1 a) 1,5 1− 1 1 ;3 ; 4 ; b) 0 2 2022 ; ;5 ; 2 5 Lời giải 2 − a) Có 1,5 1 =1; 1 − 1 3 = ; 1 2 = 2 = 4 . 3 2 ⇒ Thứ tự là: 1− 1,5 3 ; 1 ; 4 . 1 − 1 b) Có 0 2022 =1; 4 5 = ; 2 5 = 5 . 5 4 1 − 1 ⇒ Thứ tự là: 0 4 2 2022 ; ; 5 5
Bài 5. Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau: a) 42 và 3 51; b) 3 16 và 3 2 4 ; c) ( ) 16 0,2 và ( )360 0,2 ; Lời giải 1 1 1 1 a) .3 2 6 42 = 42 = 42 = ( 3 42 )6 6 = 74088 1 1 2. 3 3 6 51 = 51 = 51 = ( 2 51 )1 1 6 6 = 2601 3
74088 > 2601 => 42 > 51 b) = ( ) 3 3 2 2 3 16 4 = 4 2 3 3 2 3 3 2 2 3 < 3 2 ⇒ 4 < 4 ⇒ 16 < 4 1 1 3 3 3 16 = 4, 60 = 60 < 64 = 4 c) 3 ⇒ 16 > 60; 0<0,2<1 ⇒ (0,2) 16 < (0,2)3 60
Bài 6. Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P (
tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng 3
thời gian đó được xác định bởi hàm số 2
P = d , trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời
tính theo đơn vị thiên văn AU ( 1 AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1 AU khoảng 93
000 000 dặm) (Nguồn: R.I. Challes et al., Algebra 2, Pearson )
Hỏi Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần
trăm)? Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là 1,52 AU. Lời giải
Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất số năm Trái Đất là: 3 3 2 2
P = d =1.52 ≈1,87 (năm)
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ( a .b )4 4 3 2
Câu 1: Cho a , b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức P = được kết quả là 3 12 6 a .b A. 2 ab . B. 2 a b . C. ab . D. 2 2 a b . Lời giải Chọn C ( a .b )4 4 3 2 3 2 Ta có: a .b P = = = . a b . 6 a .b (a .b)6 3 12 6 2 Câu 2: Biểu thức 5 3
T = a a với a > 0 . Viết biểu thức T dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ là: 3 2 1 4 A. 5 a . B. 15 a . C. 3 a . D. 15 a . Lời giải Chọn D 1 4 4 Ta có 5 3 T = a a 5 5 3 = .aa 3 = a 15 = a . 2
Câu 3: Cho a là số thực dương, khác 1. Khi đó 4 3 a bằng 8 3 A. 3 a . B. 6 a . C. 3 2 a . D. 8 a . Lời giải Chọn B 2 2 1 Ta có 4 3 3.4 6 6
a = a = a = a .
Câu 4: Cho 0 < a ≠ 1. Giá trị của biểu thức P = ( 3 2 log .a a là a ) A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 5 . 3 3 2 Lời giải Chọn C 2 5 Ta có: P 5 = ( 3 2 log .a a 3 = log .aa 3 = log a = . a ) a a 3 1
Câu 5: Rút gọn biểu thức 3 6
P = x . x với x > 0 . 1 2
A. P = x . B. 8 P = x . C. 9 P = x . D. 2 P = x . Lời giải Chọn A 1 1 1 1 1
Với x > 0 , ta có 3 6 P = x .x 3 6 x + = 2 = x = x .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 3+ 5
Câu 6: Tính giá trị của biểu thức 6 A = . 2+ 5 1+ 5 2 .3 A. 1. B. 5 6− . C. 18 . D. 9 . Lời giải Chọn C 3+ 5 3+ 5 3+ 5 Ta có 6 A 2 .3 = = 3+ 5−2− 5 3+ 5−1− 5 = 2 .3 2 = 2.3 = 18 . 2+ 5 1+ 5 2 .3 2+ 5 1+ 5 2 .3 1
Câu 7: Rút gọn biểu thức 3 4
P = x . x , với x là số thực dương. 1 7 2 2 A. 12 P = x . B. 12 P = x . C. 3 P = x . D. 7 P = x . Lời giải Chọn B 1 1 1 7 3 4 3 4 12
P = x . x = x .x = x . 4 4
Câu 8: Cho x > 0, y > 0 . Viết biểu thức 6 5 5
x . x x về dạng m
x và biểu thức 5 6 5
y : y y về dạng n y .
Tính m − n . A. 11 . B. 8 − . C. 11 − . D. 8 . 6 5 6 5 Lời giải Chọn B
Với x > 0 , y > 0 , ta có 1 4 4 1 6 4 5 1 4 5 1 6 + + 4 5 1 5 5 x . x x 5 5 2 5 6 12 5 6 12
= x . x .x = x .x .x = x ⇒ m = + + . 5 6 12 4 5 6 5
y : y y y = x + 1. Do đó 11 m − n = . 6
Câu 9: Cho a > 0 , b > 0 và x , y là các số thực bất kỳ. Đẳng thức nào sau đúng? x A. ( a + )x x x
a b = a + b . B. x = a . −x b . C. x+y x y a = a + a . D. x
a b = (ab)xy y . b Lời giải Chọn B x x Ta có a a = x . x a b− = . b x b 3
Câu 10: Rút gọn biểu thức 2 5
P = x . x ? 4 3 17 13 A. 7 x . B. 10 x . C. 10 x . D. 2 x . Lời giải Chọn C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 3 3 1 3 1 17 Với x > 0 thì + 2 5 2 5 2 5 10
P = x . x = x .x = x = x . 1 2 2 1
Câu 11: Cho a > 0 , b − 1 a b
> 0 và biểu thức T = 2(a + b) 1 .(ab)2 . 1 + − . Khi đó: 4 b a A. 2 T = . B. 1 T = . C. T = 1. D. 1 T = . 3 2 3 Lời giải Chọn C
Do a > 0 , b > 0 ta có: 1 2 2 2 − a b ab a b ab a − b
T = 2(a + b) .(ab)1 1 1 2 1 2 1 ( ) 2 . 1 + − = . 1+ − 2 + = . 1+ . 4 b a a + b 4 b
a a + b 4 ab 1 (a+b)2 2 2 =
4ab + a − 2ab + b = = 1 . a + b a + b 1 − 3 a (3 3 4 a − a )
Câu 12: Cho hàm số f (a) =
với a > 0,a ≠ 1 . Tính giá trị M = f ( 2016 2017 ) 1 8 a (8 3 8 1 a − a− ) A. 1008 M = 2017 − 1 B. 1008 M = 2017 − − 1 C. 2016 M = 2017 − 1 D. 2016 M = 1− 2017 Lời giải Chọn B 1 − 3 a (3 3 4 a − a ) ( ) 1− a f a = = = 1
− − a nên M = f ( 2016 ) 2016 1008 2017 = 1 − − 2017 = 1 − − 2017 1 − a −1 8 a (8 3 8 1 a − a ) 3+1 2− 3
Câu 13: Rút gọn biểu thức a .a P = với a > 0 ( + a − ) 2 2 2 2
A. P = a B. 3 P = a C. 4 P = a D. 5 P = a Lời giải Chọn D 3+1 2− 3 3 Ta có a .a a 5 P = = = a ( + − 2 −2 ) 2 2 2 4 a a 1 1 3 3
Câu 14: Cho hai số thực dương a,b. Rút gọn biểu thức a b + b a A = ta thu được m = . n A a b . Tích 6 6 a + b của . m n là
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 8 21 9 18 Lời giải Chọn C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 6 6
a .b b + a 1 1 3 3 3 2 3 2
a b + b a a .b + b .a 1 1 3 3 A = = =
= a .b ⇒ m = , 1 n = ⇒ . m n = . 6 6 1 1 1 1 a + b 3 3 9 6 6 6 6 a + b a + b m
Câu 15: Cho biểu thức 5 3 8 2 2 2 n =
, trong đó m là phân số tối giản. Gọi 2 2
P = m + n . Khẳng định nào n sau đây đúng?
A. P ∈(330;340).
B. P ∈(350;360).
C. P ∈(260;370).
D. P ∈(340;350). Lời giải Chọn D 3 1 1 3 1 1 11 Ta có 5 3 5 3 3 + + 5 10 30 5 10 30 15 8 2 2 = 2 2 2 = 2 .2 .2 = 2 = 2 m 11 m = 11 2 2 2 2 ⇒ = ⇒
⇒ P = m + n = 11 + 15 = 346 . n 15 n = 15 11 3 7 3 m
Câu 16: Rút gọn biểu thức a .a A =
với a > 0 ta được kết quả n
A = a trong đó m,n *
∈ N và m là 4 7 5 a . a− n
phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 2 m − n = 312 . B. 2 2 m + n = 543. C. 2 2 m − n = 312 − . D. 2 2 m + n = 409. Lời giải Chọn A 11 7 11 3 7 3 3 3 6 19 Ta có: a .a a .a a 7 A = = = = a 5 − 23 4 7 5 a . a− 4 7 7 a .a a m Mà n
A = a , m,n *
∈ N và m là phân số tối giản 2 2
⇒ m = 19,n = 7 ⇒ m − n = 312 n x −x Câu 17: Cho 4x − −
+ 4−x = 2 và biểu thức 4 2 2 a A = = . Tích .
a b có giá trị bằng: 1+ 2x + 2−x b A. 6 . B. 10 − . C. 8 − . D. 8 . Lời giải Chọn A Ta có: x −x +
= ⇔ ( x )2 + ( −x )2 4 4 2 2 2
+ 2.2x.2−x = 4 ⇔ ( x −x + )2 2 2
= 4 ⇔ 2x + 2−x = 2 − 4 − (2x + − − 2 4 2 2 −x x x ) Ta có: 4 − 2 2 a A = = = = = . 1+ 2x + 2−x
1+ (2x + 2−x ) 1+ 2 3 b
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a = 2 Suy ra: ⇒ . a b = 2.3 = 6 . b = 3 4 1 − 2 3 3 3
a a + a
Câu 18: Cho a là số thực dương. Đơn giản biểu thức P = . 1 3 1 − 4 4 4
a a + a
A. P = a(a +1) .
B. P = a −1.
C. P = a .
D. P = a + 1. Lời giải Chọn C 4 1 − 2 3 3 3 + 4 1 − 4 2 a a a 3 3 3 3 2
a .a + a a a + a a(a +1) P = = = = = a . 1 3 1 − 1 3 1 1 − a + 1 a + 1 4 4 4 4 4 4 4
a a + a a .a + a .a
Câu 19: Cho biểu thức 3 4 3
P = x x x , với x > 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 7 5 7 A. 2 P = x B. 12 P = x 8 24
C. P = x
D. P = x Lời giải Chọn C 1 1 1 7 1 1 1 7 5 Ta có : 3 4 3 3 2 4 3 2 4 3 3 24 8 P = x x x = [ ( x x .x ) ] = [ (
x x ) ] = x .x =x 1 2 2017 Câu 20: Tích ( ) 1 1 1 2017 ! 1 1 ...1 + + +
được viết dưới dạng b
a , khi đó (a, b) là cặp nào 1 2 2017 trong các cặp sau? A. (2018; 2017) . B. (2019; 2018) . C. (2015; 2014) . D. (2016; 2015) . Lời giải Chọn A 1 2 2017 1 2 2016 2017 Ta có ( ) 1 1 1 (
) 2 3 2017 2018 2017 ! 1 1 ... 1 2017 ! ... + + + = 1 2 2017 1 2 2016 2017 = ( ) 2017 1 1 1 1 2018 2017 ! . . ... . 2017 = 2018 . Vậy a = 2018; 2017 b = . 1 2 3 2016 2017 1 1 1+ + m Câu 21: Cho 2 2 ( +1) ( ) = 5 x x f x
. Biết rằng: (1). (2)... (2020) 5n f f f =
với m,n là các số nguyên dương và
phân số m tối giản. Tính 2 m − n n A. 2 m − n = 2021. B. 2 m − n = 1 − . C. 2 m − n = 1 . D. 2
m − n = 2020 . Lời giải Chọn B 2 2 2 2 + + + + 2 1 1
x (x 1) x (x 1) x +x+1 1+ + 1 1 Ta có: 2 2 2 2 1 x (x 1) x (x 1) x(x 1) + − + + + x x+1 f (x) = 5 = 5 = 5 = 5 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2020 1 1 m ∑1 + − m 2020
Do đó: f (1). f (2)... f (2020) x x+1 1 1 m n x 1 = 5 ⇔ 5 = = 5n ⇔ ∑ 1+ − = . x=1 x x + 1 n 1 4084440 m 2 ⇔ 2021− = =
⇒ m = 4084440 = 2021 −1,n = 2021. 2021 2021 n Vậy: 2 m − n = ( 2 − ) 2 2021 1 − 2021 = 1 − . 3
Câu 22: Cho m > 0 , a = m m , m y =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 4 a . m A. 1 y 1 1 1 = . B. y = . C. y = . D. y = . 18 35 a 2 a 9 34 a 6 11 a Lời giải Chọn A 1 1 1 3 1 3 1 1 . 3 13 12 18 m m m a 1 2 18 2 18 12
a = m m = m ⇒ a = m = m , y = = = = = . 2 4 1 2 2 18 35 a . m 2 a a 4 . a a m
Câu 23: Biểu thức C = x x x x x với x > 0 được viết dưới dạng lũy thừa số mũ hữu tỉ là 3 7 15 31 A. 16 x . B. 8 x . C. 16 x . D. 32 x . Lời giải Chọn D Với x > 0 ta có 2 C = x x x x x 4 2
⇔ C = x .x x x x 8 4 2
⇔ C = x .x .x x x 31 16 8 4 2
⇔ C = x .x .x .x x 32 16 8 4 2
⇔ C = x .x .x .x .x 32 31 ⇔ C = x 32 ⇔ C = x . 7 3 5 3 m
Câu 24: Rút gọn biểu thức a .a A =
với a > 0 ta được kết quả n
A = a , trong đó m , *
n∈ và m là 4 7 2 a . a− n
phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 2 m − n = 25 . B. 2 2 m + n = 43 . C. 2 3m − 2n = 2 . D. 2 2m + n = 15 . Lời giải Chọn D 7 5 7 3 5 3 3 3 5 7 2 2 m = 2 Ta có: a .a A = a .a = 4 3 3 7 a + − + = 7 = a ⇒ 2
⇒ 2m + n = 15 . 4 7 2 a . a− 2 − n = 7 4 7 a .a 7 2 − 6 3
Câu 25: Cho a,b là hai số thực dương. Thu gọn biểu thức a .b , kết quả nào sau đây là đúng? 6 2 ab 4 A. a 3 . B. ab . C. b . D. a . b a b Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 7 2 7 2 − − 6 3 6 3 Ta có: a .b a .b 1 1 = = . − a a b = . 1 1 6 2 ab b 6 3 a .b
Câu 26: Cho biểu thức 2 2 2 3 3 P =
. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng? 3 3 3 1 18 1 1 A. 8 2 18 2 P 2 2 = 2 . B. P = . C. P = . D. P = . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D 3 3 1 3 1 . +1 2 2 3 2 2 Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 P = 3 3 = 3 3 = = = . 3 3 3 3 3 3 3 3
Câu 27: Cho a là số dương khác 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? 2019 2019 A. 2019 − 2019 a = a . B. 2019 − 1 a = − . C. 2019 − 1 a = . D. 2019 − 2019 a = −a . a a Lời giải Chọn C 2019 Ta có: 2019 − 1 1 a = = . 2019 a a ( a .b )4 4 3 2
Câu 28: Cho a , b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức P = được kết quả là 3 12 6 a .b A. ab . B. 2 2 a b . C. 2 ab . D. 2 a b . Lời giải Chọn A ( a .b )4 4 3 2 3 2 Ta có: a .b P = = = ab . 6 a .b (a .b)6 3 12 6 2 1 1
Câu 29: Cho biểu thức 2 3 6
P = x .x . x với x > 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 11 7 5
A. P = x B. 6 P = x C. 6 P = x D. 6 P = x Lời giải Chọn A 1 1 1 1 1 + + 2 3 6 2 3 6
P = x .x . x = x = x 3
Câu 30: Cho a là số thực dương. Viết và rút gọn biểu thức 2018 2018 a .
a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu
tỉ. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn đó.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 3 . 1009 1009 1009 2 2018 Lời giải Chọn A 3 3 1 4 2 2018 2018 2018 2018 2018 1009 a . a = a .a = a = a
. Vậy số mũ của biểu thức rút gọn bằng 2 . 1009
Câu 31: Cho số thực a > 1 và các số thực α , β . Kết luận nào sau đây đúng?
A. aα > 1, α ∀ ∈ .
B. aα > aβ ⇔ α > β . C. 1 < 0, α ∀ ∈ .
D. aα < 1, α ∀ ∈ . aα Lời giải Chọn B
Với a > 1 và α , β ∈ . Ta có: aα > aβ ⇔ α > β . Câu 32: Cho α β
π > π . Kết luận nào sau đây đúng? A. α.β = 1. B. α > β . C. α < β . D. α + β = 0 . Lời giải Chọn B
Vì π ≈ 3,14 > 0 nên α β π > π ⇔ α > β.
Câu 33: Với các số thực a , b bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng? A. (3 )b a = 3a+b . B. (3 )b a 3ab = . C. (3 )b a = 3a−b . D. (3 )b a 3 ba = . Lời giải Chọn B a a 5 4
Câu 34: Cho a,b là các số thực thỏa điều kiện 3 4 > và 4 3
b > b .Chọn khẳng định đúng trong các 4 5 khẳng định sau?
A. a > 0 và b > 1.
B. a > 0 và 0 < b < 1 .
C. a < 0 và 0 < b < 1 .
D. a < 0 và b > 1. Lời giải Chọn C a a Vì 3 4 > ⇒ a < 0 . 4 5 5 4 Và 4 3
b > b ⇒ 0 < b < 1.
Câu 35: Cho a thuộc khoảng 2 0;
, α và β là những số thực tuỳ ý. Khẳng định nào sau đây là sai? e
A. (aα )b α. a β = .
B. aα > aβ ⇔ a < β . C. aα .aβ = aα+β .
D. aα > aβ ⇔ α > β . Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 a 0; ∈ ⇒ Hàm số x
y = a nghịch biến.Do đó aα > aβ ⇔ α < β . e
Vậy đáp án sai là D .
Câu 36: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 2017 2018 2018 2017
A. ( 2 −1) > ( 2 −1) .
B. ( 3 −1) > ( 3 −1) . 2018 2017 C. 2 2 2 +1 3 2 > 2 . D. 1− < 1− . 2 2 Lời giải Chọn B 2017 2018 +) 0 < 2 −1 < 1
⇒ ( 2 −1) > ( 2 −1) nên A đúng. 2017 < 2018 2018 2017 +) 0 < 3 −1 < 1
⇒ ( 3 −1) < ( 3 −1) nên B sai. 2018 > 2017 2 > 1 +) 2 +1 3 ⇒ 2 > 2 nên C đúng. 2 + 1 > 3 2 2018 2017 +) 0 < 1− < 1 2 2 2 ⇒ 1− < 1− nên D đúng. 2018 2 2 > 2017
Câu 37: Cho các số thực a; b thỏa mãn 0 < a < 1 < b. Tìm khẳng định đúng:
A. lna > lnb .
B. (0,5)a (0,5)b < .
C. log b < 0. D. 2a 2b > . a Lời giải Chọn B
Do cơ số e ∈(1;+∞) và 0 < a < b nên ta có lna < lnb . Đáp án A sai.
Do cơ số 0,5∈(0;1) và 0 < a < b nên ta có (0,5)a (0,5)b > . Đáp án B sai.
Do cơ số a∈(0;1) và b > 1 nên ta có log b < log 1 ⇔ log b < 0 . Đáp án C đúng. a a a
Do cơ số 2∈(1;+∞) và a < b nên ta có 2a 2b < . Đáp án D sai.
Câu 38: Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2017 − 2018 ( 5 2) ( 5 2)− + < + . B. 2018 2019 ( 5 + 2) > ( 5 + 2) . C. 2018 2019 ( 5 − 2) > ( 5 − 2) . D. 2018 2019 ( 5 − 2) < ( 5 − 2) . Lời giải Chọn C 0 < 5 − 2 < 1 2018 2019 ⇒ ( 5 − 2) > ( 5 − 2) ⇒ C đúng. 2018 < 2019
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 5 + 2 > 1 2017 − 2018 ⇒ ( 5 + 2) > ( 5 + 2)− ⇒ A sai 2017 − > 2018 − 5 + 2 > 1 2018 2019 ⇒ ( 5 + 2) < ( 5 + 2) ⇒ B sai 2018 < 2019 0 < 5 − 2 < 1 2018 2019 ⇒ ( 5 − 2) > ( 5 − 2) ⇒ D sai. 2018 < 2019
Câu 39: Khẳng định nào dưới đây là đúng? 3 3 −π −π 2 50 − 100 A. 3 5 > 1 . B. 1 1 < . C. − 2 1 3 < . D. < ( 2) . 7 8 2 3 5 4 Lời giải Chọn B Ta có: 3 3 3 5 3 5 < ⇒ < . Phương án A sai. 7 8 7 8 1 1 1 −π 1 −π > ⇒ <
. Phương án B đúng. 2 3 2 3 2 − 2 − 2 − 2 1 3 5 3 5 3 < ⇒ > ⇒ > . Phương án C sai. 5 50 1 − < ( 2)100 ⇒ (2 ) 50 − − < (2)100 2 100 100 ⇒ 2 <
2 . Phương án D sai. 4
Câu 40: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 2019 2018 A. 2+1 3 2 2 2 > 2 . B. 1− < 1− . 2 2 2017 2018 2018 2017
C. ( 2 −1) > ( 2 −1) .
D. ( 3 −1) > ( 3 −1) . Lời giải Chọn D
A đúng vì 2 > 1 và 2 + 1 > 3 nên 2+1 3 2 > 2 . 2019 2018 B đúng vì 2 2 2 1− < 1
và 2019 > 2018 nên 1− < 1− . 2 2 2 2017 2018
C đúng vì ( 2 −1) < 1 và 2017 < 2018 nên ( 2 −1) > ( 2 −1) . 2018 2017
D sai vì 3 −1 < 1 và 2017 < 2018 nên ( 3 −1) < ( 3 −1) .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Câu 41: Cho 2 3 4 2 2 3 2 4
P = x + x y + y + x y và Q = ( 3 2 x + y )3 3 2 2
, với x , y là các số thực khác 0 .
So sánh P và Q ta có
A. P < Q .
B. P = Q . C. P = Q − .
D. P > Q . Lời giải Chọn A Ta có 2 x , 2 y , 3 4 2 x y , 3 2 4
x y là những số thực dương. Q = ( 3 2 x + y )3 3 2 2 2 3 4 2 3 2 4 2
= 2 x + 3 x y + 3 x y + y 2 3 4 2 3 2 4 2 2 3 4 2 3 2 4 2
= x + 3 x y + 3 x y + y + x + 3 x y + 3 x y + y 2 3 4 2 3 2 4 2
> x + 3 x y + 3 x y + y 2 3 4 2 3 2 4 2 > x + x y +
x y + y = P
Vậy P < Q .
Câu 42: Tìm tập tất cả các giá trị của a để 21 5 7 2 a > a ? A. a > 0 .
B. 0 < a < 1 . C. a > 1. D. 5 2 < a < . 21 7 Lời giải Chọn B 7 2 21 6
a = a . Ta có 21 5 7 2 21 5 21 6
a > a ⇔ a > a mà 5 < 6 vậy 0 < a < 1 .
Câu 43: Tìm khẳng định đúng. 2016 2017 2016 2017
A. (2 − 3) > (2 − 3) .
B. (2 + 3) > (2 + 3) . 2016 − 2017 − 2016 − 2017 − C. −(2 + 3) > −(2 + 3) . D. (2 − 3) > (2 − 3) . Lời giải Chọn A 2016 2017
Có 0 < 2 − 3 < 1 ⇒ (2 − 3) > (2 − 3) .
Câu 44: Cho a > 1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng. 3 2 1 A. a 1 1 − 1 > 1 B. < C. 3 a > D. 3 a > a a 2017 2018 a a 5 a Lời giải Chọn C Ta có : − 3 1 a 1 1 > ⇔ > 3 5
⇔ a < a luôn đúng với a > 1. 5 a 3 5 a a 1 1
Câu 45: Cho biết (x − )− − 3 > (x − ) 6 2 2
, khẳng định nào sau đây đúng?
A. 2 < x < 3 .
B. 0 < x < 1. C. x > 2 . D. x > 1. Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 26
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn A
Điều kiện: x − 2 > 0 ⇔ x > 2 . 1 1 Ta có 1 1
− < − nên (x − )− − 3 > (x − ) 6 2 2
⇔ x − 2 < 1 ⇔ x < 3 . Vậy 2 < x < 3 . 3 6 Câu 46: Cho 2020 U = 2.2019 , 2020 V = 2019 , 2019 W = 2018.2019 , 2019 X = 5.2019 và 2019 Y = 2019 . Số nào
trong các số dưới đây là số bé nhất?
A. X −Y .
B. U − V .
C. V − W .
D. W − X . Lời giải Chọn C Ta có: 2019 X −Y = 4.2019 . 2020 2019 U − V = 2019 = 2019.2019 . 2019 2019 2019
V − W = 2019.2019 − 2018.2019 = 2019 . 2019
W − X = 2013.2019 .
Vậy trong các số trên, số nhỏ nhất là V − W . a b
Câu 47: Tìm tất cả các số thực m sao cho 4 4 +
= 1 với mọi a + b = 1. 4a + 4b m + m A. m = 2 ± . B. m = 4. C. m = 2. D. m = 8 . Lời giải Chọn A a b
Ta có a + b = 1 ⇔ b = 1− a . Thay vào 4 4 + = 1 ta được 4a + 4b m + m a 1−a a 1 4 4 4 + .4 m + 4 + .4 −a m 2 + = 1 ⇔
= 1 ⇔ m = 4 ⇔ m = 2 ± . a 1−a a 1−a 2 4 + m 4 + m 4 + .4 m + .4 m + m
Câu 48: Gọi x ,x là hai nghiệm của phương trình: 2
x − 6x + 1 = 0 với x > x . Tính giá trị của biểu thức 1 2 1 2 2017 2018 P = x .x 1 2 A. P = 1 B. P = 3 + 2 2
C. P = 3 − 2 2 D. P = ( − )17 3 2 2 Lời giải Chọn C x + x = 6 Ta có 2017 2017 2018 P = x .x = x .x
.x . Theo định lý viet: 1 2 ⇒ P = x 1 2 ( 1 2) 2 2 x .x = 1 1 2 x = 3 + 2 2 Ta có 2 1
x − 6x + 1 = 0 ⇔ ⇒ P = 3 − 2 2 . x = 3 − 2 2 2 2017 2018
Câu 49: Rút gọn biểu thức 3 3 P 9 80 3 9 80 = + ⋅ − + . 4035 A. P = 1. B. 3 P = 9 + 80 . C. 3 P = 9 − 80 . D. 3 P 9 80 = + . Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 27
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn C Đặt 3 3
x = 9 + 80 + 9 − 80 ta có 2 2 3 3 3 3 3 x 9 80 3. 9 80 . 9 80 3. 9 80 . 9 80 = + + + − + + − + 9 − 80 3 3 3 3 18 3. 9 80 . 9 80 . 9 80 9 80 = + + − + + − 3 3 = 18 + 3 .
x 9 + 80 . 9 − 80 = 18 + 3x ⇒ x = 3 3 3 ⇒ 3 − 9 + 80 = 9 − 80 2017 2018 2017 2018 Ta có 3 3 P 9 80 3 9 80 = + ⋅ − + 3 3 = 9 80 9 − 80 + ⋅ 2017 3 3 3 = 9 + 80 . 9 − 80
⋅ 9 − 80 = (3 1)2017 3⋅ 9 − 80 3 = 9 − 80 2018 2017
Câu 50: Tính giá trị của biểu thức P = (7 + 4 3) .(7 − 4 3) A. 1. B. 7 − 4 3 . C. 7 + 4 3 . D. ( + )2017 7 4 3 . Lời giải Chọn C 2018 2017 2017
Ta có P (7 4 3) .(7 4 3) (7 4 3 ).(7 4 3 ) = + − = + − (7+4 3)= 2017 = 1 (7+4 3)=7+4 3.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 28
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 2. PHÉP TÍNH LÔGARIT
Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = −log H + với H + là nồng độ
ion hydrogen. Người ta đo được nồng độ ion hydrrogen của một cốc nước cam là 4 10− , nước dừa là 5 10−
(nồng độ tính bằng mol 1 L− ).
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. KHÁI NIỆM LÔGARIT 1. Định nghĩa
a) Tìm x trong mỗi trường hợp sau: x x 1 3 = 9;3 = . 9
b) Có bao nhiêu số thực x sao cho 3x = 5 ? Lời giải a) x x 1
3 = 9 ⇒ x = 2; 3 = ⇒ x = 2 − 9
b) Có một số thực x sao cho 3x = 5 .
Cho hai số thực dương a,b với a khác 1. Số thực c để c
a = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí
hiệu là log b , nghĩa là = ⇔ = . a c log c b a b a
log b xác định khi và chỉ khi a > 0,a ≠1 và . a b > 0 Ví dụ 1. Tính: a) log 8 1 log 2 ; b) . 3 9 Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a) log 8 = 3 vì 3 2 = 8 . 2 b) 1 log = 2 − vì 2− 1 3 = . 3 9 9
Luyện tập 1. Tính: a) log 81 1 log 3 ; b) . 10 100 Lời giải a) 4 log 81 = log 3 = 4 . b) 1 2 − = = . 3 3 log log 10 2 10 10 100 2. Tính chất
Cho a > 0,a ≠ 1. Tính: a) log ; b) log a a 1 a c) log c a ; d) logab a với b > 0. a Lời giải a) log = ; b) log a = ; a 1 a 1 0 c) log c a = c ; d) logab = . a a b
Với số thực dương a khác 1, số thực dương b , ta có: log = ; log a = = ; loga b a = b . a 1 a 1 0 log c a c a Ví dụ 2. Tính a) 3 log 5 ; b) log27 4 5 Lời giải 1 a) 3 1 3 log 5 = log 5 = . 5 5 3 b) log 7 = ( 2 )log27 2 2 = ( log27 ) 2 4 2 2 = 7 = 49 .
Luyện tập 2. Tính: a) 5 log 16 ; b) log68 36 4 Lời giải 1 a) 5 2 log 16 = log 4 = log 4 = 4 4 ( 2 ) 2 5 5 4 5 b) log68 log6 8 log6 8 36 = 6 .6 = 8.8 = 64
3. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên •
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương b được gọi là lôgarit thập phân của b và kí hiệu là logb hay lgb . •
Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu là ln b .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Ví dụ 3. Tính a) log 0,0001; b) 2 ln e . Lời giải Ta có: a) 4 log 0,0001 log10− = = 4 − . b) 2 ln e = 2 .
Luyện tập 3. Giải bài toán được nêu ở phần đầu bài.
Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = −log H + với H + là nồng độ
ion hydrogen. Người ta đo được nồng độ ion hydrogen của một cốc nước cam là 4 10− , nước dừa là 5 10−
(nồng độ tính bằng mol 1 L− ). Lời giải
Độ pH của cốc nước cam là: 4 log10− − = 4.
Độ pH của cốc nước dừa là: 5 log10− − = 5 .
II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH LÔGARIT
1. Lôgarit của một tích, một thương Cho 7 3 m = 2 ,n = 2 .
a)Tính log mn ; log m + log n và so sánh các kết quả đó. 2 ( ) 2 2
b) Tính log m ; log m − log n và so sánh các kết quả đó. 2 n 2 2 Lời giải
a) log mn = 10; log m + log n =10 ⇒ log mn = log m + log n 2 ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 b) log m =4; log log 4 log m m n − = ⇒ = log m − log n . 2 2 2 2 2 2 n n
Với ba số thực dương a, ,
m n và a ≠ 1, ta có: log mn = m + n ; a ( ) loga loga log m = m − n . a loga loga n Ta có: 1 log = −
b a > a ≠ b > . a loga ( 0, 1, 0) b Ví dụ 4. Tính:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a) log 9 + log 4 ; b) log 100 − log 20 . 6 6 5 5 Lời giải Ta có:
a) log 9 + log 4 = log 9.4 = log 36 = 2 . 6 6 6 ( ) 6 b) 100 log 100 − log 20 = log = log 5 =1. 5 5 5 5 20
Chú ý: Với n số dương b ,b ,...,b log b b b = b + b + +
b a > a ≠ . a ... n loga loga ... loga n 0, 1 1 2 : ( 1 2 ) 1 2 ( ) n Luyện tập 4.Tính: a) ln ( 5 + 2)+ ln( 5 − 2); b) log 400 − log 4 ; c) 32 log 8 + log 12 + log . 4 4 4 3 Lời giải
a) ln ( 5 + 2)+ ln( 5 − 2) = ln( 5 + 2).( 5 − 2) = ln(5− 4) = ln1= 0 b) 400 log 400 log 4 log − = = log100 = 2 4 c) 32 32 log 8 log 12 log log 8. 12. + + = = log 1024 = 5 4 4 4 4 4 3 3
2. Lôgarit của một lũy thừa
Cho a > 0,a ≠ 1,b > 0, α là một số thực. a) Tính logab a α và logab aα .
b) So sánh log bα và α log b . a a Lời giải a) log α a b α α log ; a b a b a bα = = b) log bα = α b a loga
Cho a > 0,a ≠ 1,b > 0. Với mọi số thực α , ta có: log bα = α b . a loga
Cho a > 0,a ≠ 1,b > 0. Với mọi số nguyên dương n ≥ 2 , ta có: n 1 log b = b . a loga n Ví dụ 5. Tính:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a) 2 log 9 b) log 15 − 2log 3 . 3 5 5 Lời giải Ta có: a) 2 2
log 9 = 2log 9 = 2log 3 = 2.2.log 3 = 4 . 3 3 3 3 b) − = − ( )2 15 log 15 2log 3 log 15 log 3 = log 15 − log 3 = log = log 5 =1. 5 5 5 5 5 5 5 5 3 Luyện tập 5. Tính 1 2log 5 − log 50 + log 36 . 3 3 3 2 Lời giải 1 2 1
2log 5 − log 50 + log 36 = log 5 − log 50 + log 6 = log + log 6 = log 3 =1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2
3. Đổi cơ số của lôgarit
HĐ 5: Cho ba số thực dương a,b,c với a ≠1,c ≠1.
a) Bằng cách sử dụng tính chất loga b b = a
, chứng tỏ rằng log b = b⋅ a . c loga logc
b) So sánh log b và log b c . a log a c Lời giải
a) Để chứng minh log b = b⋅
a , chúng ta sẽ sử dụng quy tắc của logarit: loga b = c loga logc b a Và từ quy tắc log log log ca b log a ab log a ab b = a
, ta có: b = (a ) ( )( e ) = a
Từ đó, ta có: log b (log e ab)(logaa) c = a
Sử dụng tính chất của logarit, ta nhận thấy hai vế của phương trình trên đều bằng nhau. Do đó: log b = b⋅ a c loga logc b) Để so sánh log log b b b⋅ a e b
, chúng ta nhận thấy: logc loga logc = = log b a và log a log a a c log a e c Vậy ta kết luận log log b c b bằng nhau. a và log a c
Với a,c là hai số thực dương khác 1 và b là số thực dương, ta có: log log b c b = a log a c
Nhận xét: Với a > 0 và a ≠ 1,b > 0 và b ≠ 1,c > 0,α ≠ 0, ta có những công thức sau: log b⋅ c = c ; a logb loga 1 log b = ; a log a b
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 log = . α b log b a a α
Ví dụ 6. Tính: log 3 9 . Lời giải Ta có: 1 1 log 3 = log 3 = log 3 = . 2 9 3 3 2 2
Luyện tập 6. Tính: l 125 og 64 5 . Lời giải 1 1 3 l 125 og 64 log5 64 3 5 = 5 = 64 = 4
III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÍNH LÔGARIT
Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính lôgarit. Cụ thể như sau (lấy kết quả vối 4 chữ số ở phần thập phân):
Chú ý với máy tính không có phím log [ ] [ ] thì để tính log 3 5
, ta có thể dùng công thức đổi cở số để đưa
về cở số 10 hoặc cơ số e .
Ví dụ 7. Sử dụng máy tính cầm tay để tính độ pH trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng phần mười): a) Bia có H+ = 0,00008 ; b) Rượu có H+ = 0,0004 .
(Nguồn: Giải tích 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021) Lời giải a) pH = −log H+ = −log(0,00008) ≈ 4,1 . b) pH = −log H+ = −log(0,0004) ≈ 3,4 .
Luyện tập 7: Sử dụng máy tính cầm tay để tính: log 19;log 26 7 11 . Lời giải
Ta có: log 19 ≈1,5; log 26 ≈1,3 7 11 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Rút gọn biểu thức 1. Phương pháp
• Sử dụng tư duy tự luận: Kết hợp nhiều tính chất và công thức • Sử dụng Casio
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức 5 3
A log a a a a =
với a > 0,a ≠ 1 ta được kết quả nào sau đây? a A. 7 . B. 5. C. 4 . D. 2. 4 3 3 Lời giải Chọn A Cách 1. Tự luận 1 3 7 Ta có 5 5 5 3 3 7 = = 2 3 4 4
A log a a a a a a a a = a a a = a = a loga . loga . . loga . 4 Cách 2. Casio Nhập 5 3 7 log Calc X X X X − → ⇒ A X 0 X =2 4
Ví dụ 2. Cho a,b > 0 và a,b ≠ 1. Đặt log b = α , tính theo α biểu thức 3
P = log b − log a a 2 a b 2 − α 2 α 2 α 2 α A. 2 5 P − − − = B. 12 P = C. 4 3 P = D. 3 P = α 2α 2α α Lời giải Chọn B Ta có 3 1 3
P = log b − log a = log b − 2log a 2 a b 2 a b 2 1 1 6 α −12 = log b − a = b − = a 6logb log 2 2 a log b α a 2
Ví dụ 3. Cho x > 0 thỏa mãn log log x = log log x 2 ( 8 ) 8 ( 2 ) . Tính (log x)2 2 A. 3 B. 3 3 C. 27 D. 9 Lời giải Chọn C
Cách 1. Đặt t 1 t t t 1
= log x, ta có log x = log x = .log x = ⇒ log = log t ⇔ log = log t 2 3 8 2 2 2 8 2 2 3 3 3 3 3 t 3 t 3 ⇔ log
= log t ⇔ = t ⇔ t = 3 3 ⇒ log x = t = 27 ⇒ C 2 2 ( 2 )2 2 3 3
Cách 2. Nhập log log x − log log Shift+Calc
x →luu A 2 ( 8 ) 8 ( 2 ) x=2
Nhập (log x)2 − 27 Calc →0 ⇒ C 2 X =A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ví dụ 4. Cho log m = a và A = log m m > m ≠ Khi đó mối quan hệ giữa A và a là: m 8 ( 0, ) 1 . 2 − + A. A a a = (3− a) . a B. 3 A = . C. 3 A = .
D. A = (3+ a) . a a a Lời giải Chọn C
Cách 1. Biến đổi log m theo log m m 8 2 + Ta có 3 3 = log a A + m = + = + ⇔ A = ⇒ C m 8 logm 3logm 2 1 1 a a
Cách 2. Từ giả thiết log m = a rút ra m và thế vào 2 Ta có log = ⇔ = 2a m a m khi đó 2 a 1 3 = log + a A m = = + a = ⇒ C m 8 log a 8.2 log 2 log 2 2 ( ) ( 3 2 2 ) a a
Cách 3. Sử dụng Casio. Không mất tính tổng quát cho m = 2 ⇒ a = log 2 =1 2 + Nhập ( M ) 3 log 8 A Calc − → ⇒ C M 0 M A 2 A = =
Ví dụ 5. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn a 2b 3 = 10 , = 10 , =10 c xy yz zx
(a,b,c∈ R) . Tính
P = log x + log y + log z
A. P = 3abc
B. P = a + 2b + 3c C. P a b c = 6abc D. 2 3 P + + = 2 Lời giải Chọn D Ta có α 2b 3c = = = ⇒ ( )2 a+2b+3 10 , 10 , 10 =10 c xy yz zx xyz . Suy ra ( ) 1 ( )2 1 a 2b 3c a 2b 3 log log log log log log10 c P x y z xyz xyz + + + + = + + = = = = . 2 2 2
Ví dụ 6. Cho a, b là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn 2 b −
a b = − . Tính giá trị biểu a b ( 3 ) 8 log 8log 3 thức P = a ab + a ( 3 log ) 2017. A. P = 2019. B. P = 2020. C. P = 2017. D. P = 2016. Lời giải Chọn A Cách 1. Ta có 2 1 8 2 8 log b − a + b + = ⇔ b − = ⇔ b = a 8 logb logb 0 loga 0 loga 2 3 3 log b a 4 1 Do đó 4 1 3 3 P = log a + b + = + b + = ⇒ A a loga 2017 .loga 2017 2019 3 3
Cách 2. Không mất tính tổng quát cho a = 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Nhập ( X )2 − ( 3 8 log 8log 2 Shift Calc X + + → X 4 2 ) X =b=2 3 Nhập P = log ( 3 A AB )+ 2017 Calc → ⇒ B A 2019 A=2;B=4 Nhận xét:
- Thông thường để giải theo kiểu trắc nghiệm ta sẽ cho a hoặc b bằng 1 số thực cụ thể và giải phương
trình theo b hoặc a. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp biểu phức tạp khó giải thì ta nên chọn cho a và b
đồng thời các số thực, quan trọng là chọn như thế nào để thoả mãn bài toán, kinh nghiệm ở đây ta thấy
để rút gọn log b thì n
b = a . Theo giả thiết nên ta kiểm tra như sau: a Nhập 2 B − ( 3A B) 8 log 8log Calc + → thoả mãn A B 0 2 A=2;B=2 3 Nhập P = log ( 3 A AB )+ 2017 Calc → A 2019 A=2;B=4
- Ta có thể nhập như sau: (Y )2 − ( 3 X Y ) 8 log 8log Shift+Calc
+ →1,732050808 luu → A X Y Y =3;X =2 3 Nhập P = log ( 3 X XY )+ 2017 Calc → ⇒ B X 2019
X =a=A;Y =3
Ví dụ 7. Cho a,b là hai số thực dương, khác 1. Đặt log b = m , tính theo m giá trị của 3
P = log b − log a . a 2 a b 2 2 2 2 A. 4m −3 B. m −12 C. m −12 D. m −3 2m 2m m 2m Lời giải Chọn B Cách 1. Ta có 3 1
P = log b − log a = log b − 6log a 2 a b 2 a b 2 1 6 1 6 m −12 = log b − = m − = . 2 a log b m m a 2 Cách 2. Ta có log m
b = m ⇔ b = a thay vào ta được a 2 3 m 3 m 6 m −12
P = log b − log a = log a − log a = − = . 2 2 m a b a a 2 m m
Cách 3. Cho a = m = 2 ⇒ b = 4 2 Nhập 3 m −12
P = log b − log Calc a −
→0 ⇒ B 2 a b a m 2;b 4 2m = = =
Ví dụ 8. Cho x, y, z,a,b,c thoả mãn ln x ln y ln z = = = ln t và 2 2
xy = z t . Tính giá trị của P = a + b − 2c a b c A. 4 B. 1 C. 2 − D. 2 2 Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a x = t b x y z y = t Cách 1. ln ln ln a b 2c 2 = = = ln t ⇒
⇒ t .t = t t ⇔ a + b = 2c + 2 c a b c z = t 2 2 xy = z t
⇒ a + b − 2c = 2 .
Chú ý: Có thể đặt ln x ln y ln z = = = ln t = u a b c ln x a = = log x ln t t
Cách 2. ln x ln y ln z ln = = = ln y t ⇔ b = = log y a b c ln t t ln z c = = log z ln t t xy 2
⇒ a + b − 2c = log x + y − z = = t = . t logt 2logt logt logt 2 2 z
Cách 3. Cho a = 2;b = 3;c = 4 thì từ 2 2 6
xy = z t ⇒ t = 4 ln x Calc a = → A 6 ln t x=2;t= 4 Khi đó ln y Calc b =
→ B ⇒ P = a + b − 2c = A + B − 2C = 2 . 6 ln t y=3;t= 4 ln z Calc c = →C 6 ln t z=2;t= 4 2
Ví dụ 9. Cho log a logb log c = = = log x ≠ 0; b y
= x . Tính y theo p, q, r . p q r ac A. 2 y + = q − pr . B. p r y = .
C. y = 2q − p − r .
D. y = 2q − pr . 2q Lời giải
log a = p log x
Theo giả thiết ta có log a logb log c log x = = =
⇒ logb = q log x p q r logc = r log x 2 2 Và b y = ⇔ log b x = log y x ac ac
⇒ y log x = 2logb − log a − log c = 2q log x − p log x − r log x = log x(2q − p − r)
⇒ y = 2q − p − r (do log x ≠ 0 ). Chọn đáp án C
Ví dụ 10. Cho x > 0, x ≠1 thỏa mãn biểu thức 1 1 1 + +...+
= M . Chọn khẳng định đúng log x log x log x 2 3 2017
trong các khẳng định sau:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A. 2017! = 2017 x B. 2017M x = C. 2017! x = D. M x = 2017! M M Lời giải Chọn D Ta có 1 log b a = ⇒ a = ⇒ M = log + + + x 2
logx 3 ... logx 2017 a .logb 1 logb log a b ⇒ M = log = x ( 2.3.....2017) logx 2017! M ⇒ x = 2017!.
Ví dụ 11. Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn log x = log y = log x + y và 4 6 9 ( )
x −a + b = (a,b +
∈ ). Tính tỉ số S = a + b . y 2 A. S = 6 B. S = 8 C. S = 4 D. S =11 Lời giải Chọn A
Theo giả thiết log x = log y = log x + y có hai ẩn ta đưa về 1 ẩn như sau 4 6 9 ( )
log x = log x + y y = 6 x 4 9 ( ) log4 ⇔
log y = log x
log x = log x + 6 x 6 4 4 9 ( log4 )
log X − log X + 6 X Shift+Calc
→5,162430201 luu → A = x 4 ( ) log4( ) 9 ( ) Nhập X =2 log4( X ) 6 Calc →8,385348209 luu → B = y X =A Mod 7 nhập: ( ) = − 2 A f X X
với a = f ( X ),b = X B a =1
Start =1; End = 9;Step =1 và nhìn trên bảng ta được
⇒ a + b = 6 ⇒ A b = 5 x = 4t
Cách 2. Đặt log x = log y = log x + y = t ⇒ y = 6t 4 6 9 ( )
x + y = 9t x 2 t = y 3 ⇒ − + − + = + a b a t t t 2 t Mod 1 5 1 5 3 4 + 6 − 9 = 0 → = = ⇒
⇒ a + b = 6 ⇒ A 3 2 2 b = 5
Ví dụ 12. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa log37 log711 l 11 og 25 a = 27,b = 49,c
= 11 . Tính giá trị biểu thức 2 2 2 log3 7 log711 l 11 og 25 T = a + b + c
A. T = 76 + 11 B. T = 31141 C. T = 2017 D. T = 469 Lời giải Chọn D
Từ giả thiết biến đổi
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 2 2 log 7 log 11 log 25 log 7 log 11 l 11 og 25 = + +
= ( log 7 ) 3 + ( log 11) 7 + ( l 11 og 25 T a b c a b c ) 11 3 7 3 7 = ( ) 7 + ( )log 11 27 49 + ( 11)l 11 og 25 log3 7 (27)log 7 = ( 33)log37 3 3 = ( log37 3 ) 3 = 7 = 343 Ta có ( 49)log 11 = ( 2 7 )log711 2 7 = ( log711 7 ) 2 = 11 =121 . ( 11) l 11 og 25 1 1 1 l 11 og 25 2 = 11 = ( l 11 og 25 11 )2 2 = 25 = 25 = 5
⇒ T = 343+121+ 5 = 469.
Ví dụ 13. Cho x, y,z là ba số thực khác 0 thỏa mãn 2x = 5y =10−z . Giá trị của biểu thức A = xy + yz + zx bằng? A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Lời giải Chọn B y = = x y − z x y 1 2 10 1 (2 10 x z x z ) 1
Cách 1. Ta có 2 = 5 =10 ⇔ 2 = 5 = ⇔ ⇔ 10z 5 10 y z =1 (5 10 )x y z =1 2 10 xy yz =1 + + ⇔ ⇒ =
= ⇒ A = xy + yz + zx = ⇒ B xy zx (2 10 xy yz )(5 10 xy
zx ) 10xy yz zx 1 0 5 10 =1 = → − y log 4 B Cách 2. Cho y z 5
x = 2 ⇒ 5 =10 = 4 ⇔ z = −log 4 → C 10 Nhập Calc
A = XY +YM + MX →0 ⇒ B
X =2;Y =B;M =C x = log t 2
Cách 3. 2x 5y 10−z t = =
= ⇒ y = log t . Nhập A = xy + yz + zx 5 z = − log t 10
= log M.log M + log M. −log M + −log M .log Calc
M →0 ⇒ B 2 5 5 ( 10 ) ( 10 ) 2 t=M =2 z 2 =10−x z z − −
Cách 4. Ta có 2x = 5y =10−z ⇔ ⇒ 2.5 =10 =10 x y z z ⇔ − − =1 z − x y 5 =10 y
⇔ xy + yz + zx = 0 ⇒ B 1 2 x = t 1 1 1 1
Cách 5. Ta có x y z y − − x y 1 1 1 2 = 5 =10 = t ⇒ 5 = t ⇒ 2.5 =10 ⇔ t . z
t = t ⇔ + = − x y z 1 10 − z = t
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
⇔ xy + yz + zx = 0 ⇒ B
Ví dụ 14. Cho ba điểm A( ; b log b B c c , C ( ;
b 3log b với 0 < a ≠ 1, b > 0, c > 0 . Biết B là a ) a ), ( ;2loga )
trọng tâm của tam giác OAC với O là gốc tọa độ. Tính S = 2b + . c A. S = 9. B. S = 7. C. S =11. D. S = 5. Lời giải Chọn A
0 + b + b = c
Vì B là trọng tâm của tam giác OAC nên 3 0 + log b + b a 3loga = 2log c 3 a b + b = 3c 2b = 3c 2b = 3c ⇔ ⇔ ⇔ 2 3 4log b = c b = c a 6loga 2loga 3loga log b = c a loga 27 2 = 3 b b c = c>0 8 ⇔ →
⇒ S = 2b + c = 9. 2 3 b = c 9 c = 4
Dạng 2. Biểu diễn theo lôga 1. Phương pháp
• Sử dụng tư duy tự luận: Kết hợp nhiều tính chất và công thức • Sử dụng Casio
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Đặt a = log 3, b = log 3 . Hãy biểu diễn log 45 theo a và b. 2 5 6 2 A. + 2 log 45 a ab − = 2 2 log 45 a ab = 6 B. ab 6 ab 2 C. + 2 log 45 a ab − = 2 2 log 45 a ab = 6 D. ab + b 6 ab + b Lời giải Chọn C Cách 1. Tự luận
Ta có log 45 = log 9 + log 5. 6 6 6 2 2 2 2 log 9 = 2log 3 a = = = = . 6 6 log 6 1+ log 2 1 a +1 3 3 1+ a 1 1 log 5 a = = = vì log 2 b = . 6
log 6 log 3+ log 2 b a +1 5 a 5 5 5 ( ) Vậy 2a a a + 2 log 45 ab = + = . 6
a +1 b(a + ) 1 ab + b
Cách 2. Thử lần lượt 4 đáp án. Đáp án đúng là đáp án C.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com log 3 → A
Tính và lưu thành hai biến A và B. Tính 2 log 3 → B 5 + Nhập a 2 log 45 ab Calc − →0 ⇒ C 6 a A;b B ab + b = =
Ví dụ 2. Cho a = log 2 và b = log 5 . Tính log 60 theo a và b. 3 3 10 + + + − − + + + A. 2a b 1 . B. 2a b 1 . C. 2a b 1 . D. a b 1 . a + b a + b a + b a + b Lời giải Chọn A Ta có 2 1 1
log 60 = 2log 2 + log 3+ log 5 = + + 10 10 10 10
1+ log 5 log 2 + log 5 1+ log 2 2 3 3 5 2 1 1 2 1 1 2a + b +1 = log 5 + + = + + = . log 2 + log 5 log 2 b a + b a 3 a + b 3 3 3 1+ 1+ 1+ 1+ log 2 log 5 a b 3 3 Ví dụ 3. Cho log , log axy + log , trong đó
là các số nguyên. Tính giá 54 168 = 1 12 24 = y và 7 12 = x a, b, c bxy + cx
trị biểu thức S = a + 2b + 3 . c A. S = 4. B. S = . 19 C. S = . 10 D. S = . 15 Lời giải Chọn D
Cách 1: Nhận xét về mối quan hệ giữa biểu thức và cơ số để phân tích hợp lí Ta thấy 2 3 3 3
12 = 3.2 ;24 = 3.2 ;54 = 3 .2;168 = 2 .3.7 do đó ta sẽ phân tích theo số 2 và 3. Số 7 làm cơ số trung gian
log 12 = x ⇔ log 3+ 2log 2 = x (1) 7 7 7
xy = log 12.log 24 = log 24 ⇒ log 3+ 3log 2 = xy (2) 7 12 7 7 7
Từ (1) và (2) ta suy ra log 2 = xy − x, log 3 = 3x − 2xy . 7 7 log 168 log ( 3 2 .3.7 7 ) + + Do đó 3log 2 log 3 1 xy +1 7 log 168 = = = = . log 54 log 3 .2 log 2 + 3log 3 5 − xy + 8x 7 ( ) 7 7 54 3 7 7 7
Do đó a =1,b = 5
− ,c = 8 ⇒ S =15 ⇒ D +
Cách 2: Ta có xy log 168 log 24 1 = log 24 và 7 7 log 168 = = 7 54 log 54 log 54 7 7 + + Do đó log 168 log 24 1 a log 24 1 7 7 7 log 168 = = =
. Đồng nhất hai vế ta được 54 log 54 log 54
blog 24 + c log 12 7 7 7 7 a = 1 . Để tìm ,
b c ta có thể làm như sau b log 24+clog 12 = log 54 7 7 7 −
Cách 2.1: Dùng mode7 ta có log 54 clog 12 7 7
blog 24 + c log 12 = log 54 ⇔ b = 7 7 7 log 24 7
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com −
Nhập f (x) log 54 X log 12 7 7 =
(b = f (x);c = X );Start = 9;
− End = 9;Step =1. log 24 7
Ta nhìn bảng trên máy tính. Từ đó suy ra b = 5; − c = 8
Cách 2.2: Giải hệ hai ẩn hai phương trình Mode 5 +1 b
log 24 + c log 12 = log 54 b = 5 − 7 7 7 ⇔
2b + 3c = S −1 c = 8
Dạng 3. So sánh 1. Phương pháp
• Sử dụng tư duy tự luận: Kết hợp nhiều tính chất và công thức • Sử dụng Casio
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 5 3 Ví dụ 1. Nếu 5 3 a > a và 4 5 log < thì b log 5 b 6
A. 0 < a <1, 0 < b <1
B. 0 < a <1, b >1
C. a >1, b >1
D. a >1, 0 < b <1 Lời giải Chọn B 5 3 4 5 < < Cách 1. Vì 5 3 5 6
⇒ 0 < a <1 và ⇒ b >1 5 3 4 5 < 5 3 logb log a > a 5 b 6
Cách 2. Vì phép so sánh là dựa vào cơ số nên ta chỉ thử với cơ số lớn hơn 1 và lớn hơn 0 nhỏ hơn 1. Coi
a = X ;b = Y 5 3 Nhập 5 3 Calc
X − X → < 0 ⇒ C, D loại X =2 1 > Nhập 4 5 log − log Calc → < ⇒ B Y Y 0 Y =2 5 6 13 15
Ví dụ 2. Cho hai số thực dương a, b khác 1 thỏa mãn: 1 2 7 8 a > a , log <
Mệnh đề nào dưới đây b logb . 2 3 đúng?
A. a <1 và b <1.
B. a >1 và b >1.
C. a >1 và b <1.
D. a <1 và b >1. Lời giải Chọn D 13 15 1 2 7 8 a > a log < b logb Vì 2 3 ⇒ 0 < a <1 13 15 và ⇒ b >1 < 1 2 7 8 < 2 3
Ví dụ 3. Cho hai số thực a và b, với 1< a < b . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
A. log b < < a
B. 1< log b < a a log a 1 logb b C. log a < b <
D. log a < < b b 1 log b loga 1 a Lời giải Chọn B
Cách 1. Dựa vào giả thiết 1< a < b nên ta lấy loga hai vế theo cơ số a và b ta được. a,b > 1 1 = log a < b a log Vì a ⇒ ⇒ log a < < b b 1 log a < b
log a < log b = 1 a b b
Cách 2. Đặc biệt hoá cho a, b là 1 số cụ thể thoả mãn 1< a < b log 3 =1,584962501 >1
Không mất tính tổng quát cho 2
a = 2 < b = 3 ⇒ ⇒ D log 2 = 0,6309297536 < 1 3
Ví dụ 3. Cho 0 < x <1; 0 < a; ;
b c ≠ 1 và log x > > x >
x so sánh a,b,c ta được kết quả: c 0 logb loga
A. a > b > c
B. c > a > b
C. c > b > a
D. b > a > c Lời giải Chọn D
Vì 0 < x < 1⇒ ln x < 0 . Do đó: ln x ln x ln log x x > > x > x ⇔ > > > ⇒ c < < < c 0 logb loga 0 ln 0 lna lnb lnc lnb ln a
Mà hàm số y = ln x đồng biến trên (0;+∞) nên ta suy ra c < a < b
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Tính: a) 3 log 12 ; b) log 0,25 ; c) 3
log a− a > a ≠ . a ( 0, 1) 12 0,5 Lời giải a) 3 log 12 = 3 ; 12 b) 2 log 0,25 = log 0,5 = 2 ; 0,5 0,5 c) 3 log a− = − . a 3 Bài 2. Tính: log81 a) log 1 2 5 8 b) c) log2516 5 . 10 Lời giải a) log25 3log2 5 3 8 = 2 = 5 =125 log81 b) 1 1 − log81 1 = 10 = 10 81 1 c) 2 log2516 log516 5 = 5 = 4
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Bài 3. Cho log b = . Tính: a 2 2 a) ( 2 3 log a b b) log a a c) log b b + . a (2 ) log a ) a 3 b b a 2 Lời giải a b = a + b = a + b = + = a ( 2 3 ) 2 3 a) log loga loga 2loga 3loga 2 6 8 1 1 3 4 a a − 3 3 4 7 2 3 2 3 b) log = a a − b b = a ⋅a − b⋅b = a ⋅ b = − ⋅ = a loga loga loga loga loga loga 2 3 b b 2 3 6 2 2 3 c) log b b b b + = b ⋅ = = b = = a ( 2 ) 2 3 loga loga 2 loga loga 3.2 6 2 2 2
Bài 4. Cho hai số thực dương a,b thoả mãn 3 2
a b =100 . Tính giá trị của biểu thức P = 3log a + 2logb . Lời giải 3 2 P = a + b = a + b = ( 3 2 3log 2log log log
log a ⋅b ) = log100 = 2
Bài 5. Trong nuôi trồng thuỷ sản, độ pH của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khoẻ và sự phát
triển của thuỷ sản. Độ pH thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất là trong
khoảng từ 7,8 đến 8,5 . Phân tích nồng độ H+ + −
trong một đầm nuôi tôm sú, ta thu được 8 H = 8⋅10
(Nguồn: https://nongnghiep.farmvina.com). Hỏi độ pH của đầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không? Lời giải 8
Ta có pH = −log H + = −log8⋅10− ≈ 7,1
=> Độ pH của đầm đó không thích hợp để tôm sú phát triển.
Bài 6. Một vi khuẩn có khối lượng khoảng 13 5 10− ⋅
gam và cứ 20 phút vi khuẩn đó tự nhân đôi một lần
(Nguồn: Câu hỏi và bài tập vi sinh học, NXB ĐHSP, 2008). Giả sử các vi khuẩn được nuôi trong các điều
kiện sinh trưởng tối ưu và mỗi con vi khuẩn đều tồn tại trong ít nhất 60 giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối
lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất (lấy khối lượng của Trái Đất là 27
6⋅10 gam ) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Lời giải
Số lượng tế bào đạt tới khối lượng của Trái Đất là: 27 N ( 13 − = ) 40 6.10 : 5.10 = 1,2.10 Số lần phân chia: n log N − lg N = N .2 No o ⇒ n = = 133 lg 2
Thời gian cần thiết là :
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 133:3=44,3(giờ)
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho các số thực dương a , b thỏa mãn log a = x , log b = y . Tính P = log ( 2 3 a b . 2 ) 2 2 A. 2 3 P = x y B. 2 3
P = x + y
C. P = 6xy
D. P = 2x + 3y Lời giải Chọn D P = log ( 2 3 a b 2 3
= log a + log b = 2log a + 3log b = 2x + 3y . 2 ) 2 2 2 2
Câu 2: Cho a,b > 0 và a,b ≠1, biểu thức 3 4
P = log b .log a có giá trị bằng bao nhiêu? a b A. 18. B. 24 . C. 12. D. 6 . Lời giải Chọn B 3 4
P = log b .log a = (6log b a = . a ).( 4 logb ) 24 a b 1
Câu 3: Cho b là số thực dương khác 1. Tính 2 2
P = log b b . b . A. 3 P = . B. P =1. C. 5 P = . D. 1 P = . 2 2 4 Lời giải Chọn C 1 5 Ta có 2 5 5 2 P = log b b 2
= log b = log b = . b . b 2 b 2
Câu 4: Cho a > 0 , a ≠1. Biểu thức 2 loga a a bằng A. 2a . B. 2 . C. 2a . D. 2 a . Lời giải Chọn D Ta có 2 loga a a 2loga a = a 2 = a .
Câu 5: Giá trị biểu thức log4 9+log2 5 A = 2 là: A. A = 8. B. A =15. C. A = 405 . D. A = 86. Lời giải Chọn B Ta có log4 9+log2 5 log4 9 log2 5 log2 3 log2 5 A = 2 = 2 .2 = 2 .2 = 3.5 =15 . Câu 6: Cho a 1
> 0,a ≠ 1. Tính giá trị của biểu thức P log = 3 a 3 a A. P = 9 − . B. P = 1 − . C. P =1. D. P = 9. Lời giải Chọn A 1 Tự luận : 3 P = log = log a− = 9 − log a = − a a 9 3 1 3 a 3 a
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1
Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, thay a = 2 rồi nhập biểu thức log3 vào máy bấm = a 3 a
ta được kết quả P = 9 − . 2 Câu 7: Cho a
a là số thực dương khác 2 . Tính I = log . a 4 2 A. 1 I = . B. 1 I = − . C. I = 2 . D. I = 2 − . 2 2 Lời giải Chọn C 2 2 log a a a I = = = = . a loga 2loga 2 4 2 2 2 2 2
Câu 8: Cho a là số thực dương và b là số thực khác 0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 3 3 A. 3a 1 log 3a
=1+ log a − 2log b log
=1+ 3log a − 2log b 3 . B. . 2 3 3 b 3 3 2 3 3 b 3 3 C. 3 log a 3a
=1+ 3log a − 2log b log
=1+ 3log a + 2log b 3 . D. . 2 3 3 b 3 2 3 3 b Lời giải Chọn C 3 Ta có 3 log a
= log 3a − log b 3
= log 3+ log a − log b . 2 ( 3) 2 3 3 3 b 3 3 3 3
= log 3+ log a − log b =1+ 3log a − 2log b . 3 3 3 3 3
Câu 9: Cho log3 = a . Tính log9000 theo a . A. 6a B. 2 a + 3. C. 2 3a . D. 2a + 3. Lời giải Chọn D
Cách 1: log9000 = log9 + log1000 = 2log3+ 3 = 2a + 3.
Cách 2: Gán log3 = a . Tính log9000 − (2a + 3) = 0 .
Câu 10: Cho log 9 = a. Tính log 2 theo 6 3 a A. a . B. a + 2. C. a − 2. D. 2− a . 2 − a a a a Lời giải Chọn D Ta có: − log 9 2 2 a = 2log 3 2 ⇔ a = ⇔ log 2 +1 = ⇔ log 2 = . 6 2.3 log 2.3 3 a 3 a 3
Câu 11: Cho a,b > 0 . Rút gọn biểu thức 2 4 log b + b a log 2 a A. 2log b B. 0 C. log b D. 4log b a a a Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn D Ta có 2 4 log 1 b + b = 2log b + b = 4log . a .4.log b a log 2a 2 a a
Câu 12: Cho log x = , log x = với a , b là các số thực lớn hơn 1. Tính P = log . b 3 a 2 x a 2 b A. − 6 . B. −6. C. 1 . D. 1 . 6 6 Lời giải Chọn B
Vì a , b là các số thực lớn hơn 1 nên ta có: 2 3 log x = = a 2 x a 2 3 3 2 ⇔
⇔ a = b ⇔ a = b ⇔ a = b . 3 log x = b 3 x = b P = log x = x = = − = − . − x x a log log 2logb 6 3 1 2 2 2 b b b 2 b
Câu 13: Đặt a = log 3 và b = log 3. Hãy biểu diễn log 45 theo 2 5 6 a và b . 2 A. + 2 log 45 a ab − = . 2 2 log 45 a ab = . 6 B. ab + b 6 ab 2 C. + 2 log 45 a ab − = . 2 2 log 45 a ab = . 6 D. ab 6 ab + b Lời giải Chọn A 1 log ( 2 5.3 + 2 3 ) + log 45 + a ab = log 5 2 3 = b = 2 = . 6 log 2.3 log 2 +1 1 ab + b 3 ( ) 3 +1 a
Câu 14: Cho 2 số thực dương a , b thỏa mãn a ≠ b , a ≠1, log b = . Tính 3 T = log ba . a 2 a b A. 2 T = − . B. 2 T = . C. 2 T = . D. 2 T = − . 5 5 3 3 Lời giải Chọn D Ta có: 1 log b = ⇒ a = . a 2 logb 2 3 3 3 T = log ba = log b + log a 1 1 = + . a a a a a b b b log log 3 3 b a b b 1 1 = + 1 1 = + . log a − log b log a − log b 3 3 3 3 3 3 b b a a log a − − b b 3 3log 2 2 a 1 1 2 = 3 1 + 3 = − . 3 . − 3 − 3.2 2 2 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 15: Với a = log 5 và b = log 5 , giá trị của log 5 bằng 2 3 6 A. ab + . B. a b . C. 1 .
D. a + b . a + b ab a + b Lời giải Chọn A Ta có 1 log 5 ab = 1 1 = = 1 1 = = = . 6
log 6 log 2 + log 3 1 1 log 2 + log 3 1 1 a + b 5 5 5 + 5 5 + a b a b Câu 16: Biết ( 3 log xy ) =1 và ( 2
log x y) =1, tìm log(xy)? A. (xy) 5 log = . B. (xy) 1 log = . C. (xy) 3 log = . D. log(xy) =1. 3 2 5 Lời giải Chọn A Ta có ( 3
log xy ) =1⇔ log(xy) + 2log y =1, ( 2
log x y) =1⇔ log(xy) + log x =1 Vậy 2
log x = 2log y ⇔ x = y Xét
(xy ) = ⇔ (y y ) 1 3 2 3 5 log 1 log
= 1 ⇔ 5log y =1 ⇔ y =10
Vậy log(xy) = log( y ) 3 3 3 5 = log10 = 5
Câu 17: Tính giá trị của biểu thức 10 2 a 2
P = log a b + log +
log b− ( với 0 < a ≠ 1;0 < b ≠ 1). 2 a ( ) 3 a b b A. P = 2 . B. P =1. C. P = 3 . D. P = 2 . Lời giải Chọn B
Sử dụng các quy tắc biến đổi logarit 10 2 a 2
P = log a b + log + log b− 2 a ( ) 3 a b b . 1 10 2 = log a + b + a − b + − b . a loga 2 log a loga 3.( 2)log 2 b 1 [ b b = + + − − = a ] 1 10 2log 2 1 log a 6 1. 2 2
Câu 18: Biết log 5 = a, log 7 = b, log 3 = c thì log 35 tính theo 27 8 2 12
a, b, c bằng: 3(b + ac) 3(b + ac) A. . + +
B. 3b 2ac .
C. 3b 2ac . D. . c + 2 c +1 c + 2 c +1 Lời giải Chọn A Ta có: 1
log 5 = log 5 = a ⇔ log 5 = 3a , 1
log 7 = log 7 = b ⇔ log 7 = 3b . 27 3 3 3 8 2 2 3
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com log 7.5
log 7 + log 5 log 7 + log 3.log 5 3b + .3
c a 3 b + ac 2 ( ) ( ) Mà log 35 = = = = = . 12 log 3.2 log 3+ 2 log 3+ 2 c + 2 c + 2 2 ( 2 ) 2 2 2 2 3 2 2
Câu 19: Cho a,b > 0 , nếu 2
log a + log b = 5 và 2
log a + log b = 7 thì giá trị của ab bằng 8 4 4 8 A. 9 2 . B. 8 . C. 18 2 . D. 2 . Lời giải Chọn A 1 2
log a + log b = 5 + = 2 2 6 log a log b 5 3 log a = 6 a = 2 Ta có: 8 4 2 ⇔ ⇔ ⇔ . 2 3
log a + log b = 7 1 log b = 3 b = 2 4 8 2
log a + log b = 7 2 2 3 Vậy 9 ab = 2 .
Câu 20: Số nào trong các số sau lớn hơn 1 A. 1 log . log 125 . log 36. 1 log . 0,5 B. C. D. 8 0,2 1 0,5 2 6 Lời giải Chọn A Ta có: 1 3 log log 2− = = 3 >1, 3 log 125 = log = 3 − <1. − 5 1 0,5 2 8 − 1 0,2 5 2 1 log 36 = log = 2 − <1, log = log 0,5 =1. − 6 1 1 6 0,5 0,5 2 6
Câu 21: .Cho a , b là các số thực, thỏa mãn 0 < a <1< b , khẳng định nào sau đây đúng? A. log a +
b < . B. log a > . b 1 b loga 0 C. log b > . D. log b + a ≥ . a logb 2 a 0 Lời giải Chọn A
Vì 0 < a <1< b nên log a < ⇔
a < và log b < ⇔ b < . a loga1 loga 0 b logb1 logb 0 Suy ra : log a + b < . b loga 0
Câu 22: Cho các số thực a , b thỏa mãn 1< a < b . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 1 < 1< . B. 1 1 < 1< . log b a log a b b log a logb a C. 1 1 1< < . D. 1 1 < < 1. log b a log b a a log a logb b Lời giải Chọn A
Vì 1< a < b nên ta có log a <
b ⇔ log a < và log a <
b ⇔ 1< log b . a log b 1 b logb a a
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Do đó log a < < b 1 1 ⇔ < 1< . b 1 loga log b a a logb
Câu 23: Cho 0 < a < b <1, mệnh đề nào dưới đây đúng? A. log a > b . B. log a < b . C. log b > . D. log b < . a 0 a 1 b log b loga a Lời giải Chọn A
Do 0 < a <1 nên hàm số y = log x nghịch biến trên (0;+∞). a
Đáp án B sai, vì: Với b <1⇒ log b > ⇔ b > . a loga1 loga 0
Đáp án D sai, vì: Với a < b ⇒ log a > b ⇔ b < . a loga loga 1
Với 0 < a < b <1 ta có 0 < log b < . a 1 Đáp án C sai, vì: Nếu 1 log a < b ⇔ < b ⇔ b > (vô lí). b loga loga (loga )2 1 log b a
Đáp án A đúng, vì: Nếu 1 log a > b ⇔ > b ⇔ b < (luôn đúng). b loga loga (loga )2 1 log b a
Câu 24: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. log 5 > 0 . log 2016 < log 2017 . 3 B. 2 2 2+x 2+x C. log 0,8 < 0 1 > 0,3 . D. log 4 log . 3 4 3 Lời giải Chọn C Ta có: log 0,8 < 0 0 ⇔ > ⇔ > 0,3 0,8 0,3 0,8 1 (sai)
Câu 25: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. log π =1.
B. ln 3 < log e .
C. log 5 > log 4 . D. log 2 > 0 . 3 3 3 7 1 2 Lời giải Chọn C
Ta có: log 5 > log 3 ⇒ log 5 >1 3 3 3
log 4 < log 7 ⇒ log 4 <1 7 7 7 Vậy: log 5 > log 4 . 3 7
Câu 26: Cho a , b là các số thực thỏa mãn 0 < a < b <1. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. log a < . B. m = 3 . C. m = 2 − . D. log b > . a 1 b 0 Lời giải Chọn B
Vì 0 < a < b <1 nên log a > b = ⇒ A sai. b logb 1
⇔ x + 2y + 5z − 5 = 0 ⇒ log a >
b ⇒ B đúng, C sai. b loga log a >
b ⇔ log b < ⇒ D sai. a 1 a loga
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 27: Cho hai số thực a,b thỏa mãn điều kiện 0 < a < b <1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 1< log b <
a . B. log b < < a . a 1 log a logb b
C. 1< log a <
b . D. log a < < b . b 1 log b loga a Lời giải Chọn B
Do 0 < a <1 nên với a < b ta có: 1 = log a > b ⇒ b < . a loga loga 1
Tương tự do 0 < b <1 nên với a < b ta có: log a > b = . b logb 1 Vậy log b < < a . a 1 logb
Câu 28: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Nếu 0 < a < b thì log a < log b .
B. Nếu 0 < a < b thì < . e e log a logb 2 2
C. Nếu 0 < a < b thì ln a < ln b .
D. Nếu 0 < a < b thì log < . π a logπ b 4 4 Lời giải Chọn D π
Nếu 0 < a < b thì log > do <1. π a log π b 4 4 4 Câu 29: Gọi log0,5 4 log0,513 a = 3 ;b = 3
, khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. a <1< b .
B. b < a <1.
C. a < b <1.
D. b <1< a . Lời giải Chọn C Ta có log0,5 4 log0,51 a = 3 < 3 = 1, log0,513 log0,51 b = 3 < 3 = 1 (1) Lại có log0,513 log0,5 4 3 < 3 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ b < a <1
Câu 30: Giả sử x, y là các số thực dương. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. log xy = log x + log y 2 2 2 B. 1 log xy = log x + log y 2 ( 2 2 ) 2
C. log x = log x − log y 2 2 2 y
D. log x + y = log x + log y 2 ( ) 2 2 Lời giải Chọn D
Do log x + log y = log xy 2 2 2 ( ) .
Câu 31: Cho hai số thực dương a và ,
b với a ≠ 1. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. log ab = 2 + 2log b . B. 1
log ab = log b . 2 ( ) 2 ( ) a a a 2 a
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com C. 1 1
log ab = + log b . D. 1
log ab = log b . 2 ( ) 2 ( ) a 2 2 a a 4 a Lời giải Chọn C
Với a, b > 0 và a ≠ 1, ta có 1 1 1 1 1
log ab = log ab = a + b = + b = + b . a a loga loga 1 loga loga . 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2
Câu 32: Với các số thực dương a ,b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ln (ab) = ln a + lnb . B. ln a = ln b − ln a . C. ln (ab) = ln .
a ln b . D. a ln ln a = . b b ln b Lời giải Chọn A
Câu 33: Cho các số thực dương a , b , c khác 1. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây. A. log b = b − c . B. log a c = . a loga loga log b c a log b c C. log bc = b + c . b c = . a ( ) loga loga D. log log b a log a c Lời giải Chọn B
Với các số thực dương a , b , c khác 1, ta có log b = b − c nên A đúng. a loga loga c log log b c b = nên B sai và D đúng. a log a c log bc = b + c nên C đúng. a ( ) loga loga
Câu 34: Giả sử ta có hệ thức 2 2
a + b = 7ab (a,b > 0) . Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. 2log a + b = log a + log . b
2log a + b = log a + log . 2 ( ) 2 2 B. b 2 2 2 3
C. log a + b +
= 2 log a + log b .
4log a b = log a + log . b 2 ( 2 2 ) D. 3 2 2 2 6 Lời giải Chọn B
+) 2log (a + b) = log a + log b ⇔ log (a + b)2 = log ab ⇔ (a + b)2 2 2
= ab ⇔ a + b = −ab 2 2 2 2 2 2 + + +) 2log a b log log a b a b = + ⇔
= ab ⇔ (a + b)2 2 2
= 9ab ⇔ a + b = 7ab 2 2 2 . 3 3
Câu 35: Cho a, b là các số thực dương thoả mãn 2 2
a + b =14ab . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. a + b ln a + ln ln b =
. B. 2log a + b = 4 + log a + log b 2 ( ) . 4 2 2 2
C. 2log a + b = 4 + log a + log b a + b = + 4 ( ) 2 2 . D. 2log log a logb . 4
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn C Ta có ( )2 2 2 14 16 a + b a b ab a b ab + = ⇔ + = ⇔ ab 4 + + Nên ta có a b ln a ln ln = ln b ab = vậy A đúng 4 2
2log (a + b) = log (a + b)2 = log 16ab = 4 + log a + log b vậy B đúng 2 2 2 ( ) 2 2
2log (a + b) = log (a + b)2 = log 16ab = 2 + log a + log b vậy C sai 4 4 4 ( ) 4 4
2log a + b = log a + log b vậy D đúng 2 2 4 Cách 2:.
Câu này ý C sai vì 2log (a + b) = 4 + log a + log b ⇔ log (a + b)2 = 4log 4 + log ab 4 4 4 4 4 4 ⇔ log (a + b)2 4
= log 4 + log ab = log 64ab ⇔ a + b = 64ab 4 4 4 4 ( )2 .
Câu 36: Cho các số thực dương a , b thỏa mãn 3log a + 2logb =1. Mệnh đề nào sau đây đúng. A. 3 2 a + b =1.
B. 3a + 2b =10 . C. 3 2 a b =10 . D. 3 2 a + b =10 . Lời giải Chọn C
Ta có: 3log a + 2logb =1 3 2
⇔ log a + logb =1 ⇔ ( 3 2 log a b ) =1 3 2 ⇔ a b =10 .
Câu 37: Với các số thực dương a , b bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây sai? 2 2 A. 9
log a = 2 + 2log a − 3log b . B. 9
ln a = 2ln 3+ 2ln a − 3ln b . 2 3 2 2 b 3 b 2 2 C. 9
log a = 2log3+ 2log a − 3logb . D. 9
log a = 2 + 2log a − 3log b . 3 b 3 3 3 3 b Lời giải Chọn A 2 Nhận thấy 9
log a = log 9a − log b 3 ( 2) 3 2 2 2 b 2 3
= log 9 + log a − log b = 2log 3+ 2log a − 3log b 2 2 2 2 2 2 Vậy B, C, D đúng.
Câu 38: Với các số thực dương a ,b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ln (ab) = ln a + lnb . B. ln a = ln b − ln a . C. ln (ab) = ln .
a ln b . D. a ln ln a = . b b ln b Lời giải Chọn A
Câu 39: Cho các số thực dương a , b , c khác 1. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây. A. log b = b − c . B. log a c = . a loga loga log b c a log b c
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 26
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com C. log bc = b + c . b c = . a ( ) loga loga D. log log b a log a c Lời giải Chọn B
Với các số thực dương a , b , c khác 1, ta có log b = b − c nên A đúng. a loga loga c log log b c b = nên B sai và D đúng. a log a c log bc = b + c nên C đúng. a ( ) loga loga Câu 40: Cho 2
P = log b với 0 < a ≠ 1 và b < 0 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 4 a A. P = 2 − log b − . P = 2log b − . a ( ) B. a ( ) C. 1 P = − log ( b − ) . D. 1 P = log ( b − ). 2 a 2 a Lời giải Chọn D Ta có 2 1 1
P = log b = 2. log b = log b
− (Do 0 < a ≠ 1 và b < 0 ). 4 a a ( ) 4 2 a
Câu 41: Cho a > 0 , b > 0 và 2 2
a + b = 7ab . Chọn mệnh đề đúng.
A. 2(ln a + ln b) = ln(7ab) . B. (a +b) 1 3ln
= (ln a + ln b) . 2
C. a + b 1 ln 3 = (ln a + ln b) .
D. ln (a + b) = (ln a + ln b). 3 2 2 Lời giải Chọn C
Với a > 0 , b > 0, ta có a + b = ab ⇔ (a + b)2 2 2 7 = 9ab 2 2 a + b ln a + b ab ⇔ = ⇔ = ln (ab) 3 3 a + b a + b 1 ⇔ 2ln
= ln a + ln b ⇔ ln = (ln a + ln b) . 3 3 2
Câu 42: Cho các số a,b > 0 thỏa mãn 2 2
a + b =14ab . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. log (a + b) = 4 + log a + log b .
B. log (a + b)2 = 4 log a + log b . 2 ( 2 2 ) 2 2 2
C. log a + b + = 2 log a + a b 1 log b . D. log = log a + log b . 2 ( 2 2 ) 2 ( 2 2 ) 4 16 2 Lời giải Chọn A 2 Ta có ( )2 2 2 2 2 14 2 16 16 a + b a b ab a b ab ab a b ab + = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = ab . 4
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 27
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2
log a + b ⇒
= log ab ⇔ 2log a + b − 2log 4 = log a + log b. 2 2 2 ( ) 2 2 2 4
⇔ log (a + b) = 4 + log a + log b . 2 2 2 Câu 43: Cho 1
log y − x − log
= 1, với y > 0, y > x . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 1 ( ) 4 y 4
A. 3x = 4y .
B. x = 3y . C. 3 x = y . D. 3 y = x . 4 4 Lời giải Chọn C Ta có 1
log y − x − log
= 1 ⇔ −log y − x + log y =1 ⇔ log y =1+ log y − x 4 4 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 4 y 4 4
⇔ log y = log 4. y − x ⇔ y = 4( y − x) 3 ⇔ = 4 4 ( ) x y . 4
Câu 44: Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn 2 2
a + b = 8ab, mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 1
log(a + b) = (log a + logb) .
B. log(a + b) =1+ log a + logb . 2 C. 1
log(a + b) = (1+ log a + logb) . D. 1
log(a + b) = + log a + logb . 2 2 Lời giải Chọn C Ta có 2 2
a + b = 8ab ⇔ (a + b)2 − 2ab = 8ab ⇔ (a + b)2 =10ab. Hay ta có (a +b)2 log
= log10ab ⇔ 2log(a + b) =1+ log a + logb ⇔ (a +b) 1 log
= (1+ log a + logb) . 2 Câu 45: Cho log ( 2 2
x + y =1+ log xy , với xy > 0 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 2 ) 2
A. x > y .
B. x < y .
C. x = y . D. 2 x = y . Lời giải Chọn C Ta có log ( 2 2
x + y =1+ log xy ⇔ log ( 2 2
x + y = log 2xy 2 2
⇔ x + y = 2xy ⇔ (x − y)2 = 0 2 ) 2 ) 2 2 ⇔ x = y .
Câu 46: Cho log x = ,log x = với a , b là các số thực lớn hơn 1. Tính P = log b 3 a 2 x . a 2 b A. P = −6 . B. 1 P = . C. 1 P = − . D. P = 6. 6 6 Lời giải Chọn A 3 3 1 2 −
Cách 1: log x = , log x = 2 3 a b 2 2
⇒ x = a = b ⇒ a = b ⇒ = = b . b 3 a 2 2 2 b b
Do đó P = log x = = − = − = − . − x x a log 2logb 2.3 6 1 2 2 b b
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 28
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Cách 2: 2
log x = ⇒ x = a > . log x 1
= , log x = ⇒ log a = , 1 log b = . b 3 a 2 a 2 1 x 2 x 3 Khi đó 1 1 1 P = log x = = = = − . a 6 a log a − b b x 2log 1 1 2 log x − x 2. 2 b 2 3
Câu 47: Với các số thực a , b > 0 bất kì, rút gọn biểu thức 2
P = 2log a − log b ta được 2 1 2 A. P = log ( 2 2ab .
B. P = log ab . 2 ( )2 2 ) 2 C. log a P = . 2 = . 2 D. log a P b 2 2 b Lời giải Chọn B Ta có: 2
P = 2log a − log b 2 2
= log a + log b = log ab . 2 ( )2 2 1 2 2 2 P = 2014 . 0 − ,3 10 a
Câu 48: Với các số thực dương a , b bất kì, đặt M =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 5 b A. 1 log M = 3
− log a + logb . B. 1 log M = 3
− log a − logb . 2 2 C. log M = 3
− log a + 2logb .
D. log M = 3log a + 2logb . Hướngdẫngiải Chọn A. 0 − ,3 0 − ,3 10 a 10 3 − M a = = = a 3 5 b 5 0 − ,5 b 3 b 3 − a 3 − 0 − ,5 1 ⇒ log M = log
= log a − logb = 3
− log a + logb 0 − ,5 b 2
Câu 49: Cho a,b > 0,a ≠1,ab ≠1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai. A. 1 log a = . B. 1 log ab = (1+ b . a loga ) ab 1+ log b 2 a C. a 1 log = 1− log b . D. 2
log (ab ) = 4(1+ log b . a a ) 2 ( a a ) b 4 Lời giải Chọn C 1 1 1 log a = = = . ab log ab a b b a log + a loga 1+ loga ab = (ab) 1 1 log log = (1+ b . a a loga ) 2 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 29
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 2 a 1 a 1 1 log = log = a b b a a log − a log = a 1− log 2 ( ) ( a ) b 2 b 4 4
Câu 50: Cho các số thực dương a, x, y , a khác 1. Đẳng thức nào sau đây đúng? A. log log x x a x = . B. log log a x = . log loga e a 10 C. log log x a a x = . D. log log x x = . ln10 log a Lời giải Chọn A Ta có log log x a x = . loga 10
Câu 51: Cho các số thực dương a, b, x thỏa mãn log x = 4log a + 7log b . Mệnh đề nào dưới đây 3 3 3 đúng? 1 1
A. x = 4a + 7b .
B. x = 4a − 7b . C. 4 7 x = a b . D. 4 7 x = a b . Lời giải Chọn C
Ta có: log x = 4log a + 7log b 4 7
⇔ log x = log a + log b ⇔ log x = log ( 4 7 a b 4 7 ⇔ x = a b . 3 3 ) 3 3 3 3 3 3
Câu 52: Cho a > 1,a∈ thỏa mãn log log x = log log x + a . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 ( 4 ) 4 ( 2 ) A. log 4a x = .
B. log x = a + 1 . C. 1 log 2a x + = . D. 1 log 4a x + = . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D Đặt 1 t
= log x ⇒ log x = t . Ta có: 1 a+1 log
t = log t + a ⇔ log t = 2a + 2 ⇔ t = 4 . 2 4 2 2 4 2 2 Vậy: 1 log 4a x + = . 2
Câu 53: Cho log bc + + = x ca = y và mx ny 2 log ab = , với , m ,
n p là các số nguyên. Tính a ,logb c pxy −1
S = m + 2n + 3p A. S = 6 . B. S = 9 . C. S = 0 . D. S = 3 . Lời giải Chọn A log bc + c y 1 x = log a = x = log bc log a
xlog a − log b = 1 c − Ta có xy a c c c 1 ⇔ ⇔ ⇒ . y log ca log ca
log a ylog b 1 = − = − x + 1 b c c c y = log b = log c b xy − 1 c m = 1 Mặt khác, x + y + 2
log ab = log a + log b =
. Do đó n = 1 ⇒ S = m + 2n + 3p = 6 . c c c xy −1 p = 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 30
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 54: Cho hai số thực dương a,b và a ≠ 1 thỏa mãn b 16 log a = ,log b = . Tính ab ? 2 4 a b A. ab = 256. B. ab = 16 . C. ab = 32 . D. ab = 64. Lời giải Chọn A Ta có: b 16 4 log .alog b = .
⇔ log b = 4 ⇔ b = 2 ⇔ b = 16 2 a 2 4 b 2
⇒ log a = 4 ⇔ a = 16 ⇒ .
a b = 16 ⇔ ab = 256 . 2
Câu 55: Cho log bc =
ca = . Tính S = log ab . c ( ) a ( ) 2,logb ( ) 3 A. 7 S = . B. 7 S = . C. 5 S = . D. 6 S = . 5 6 7 7 Lời giải Chọn A
Đặt x = log a,y = log b. c c Ta có b y bc = ⇔ b + c = ⇔ + = ⇒ + = . a ( ) logc 1 1 log 2 log log 2 2 2 a a log a log a x x c c a x ca = ⇔ c + a = ⇔ + = ⇒ + = . b ( ) logc 1 1 log 3 log log 3 3 3 b b log b log b y y c c y + 1 4 = 2 = x + 1 = 2 x y x Do đó ta có hệ 5 x 1 ⇔ ⇔ . x 1 3y + + = = 3 3 y = y 5 Thay vào S = ab = a + b = c ( ) 7 log log log . c c 5
Câu 56: Cho các số thực dương a,b khác 1 và số thực dương x thỏa mãn log (log x) = log (log x . a b b a )
Mệnh đề nào sau đây đúng? log log log loga (loga b) a (loga b) b (loga b) b (loga b) A. log a x = b . B. log a x = a . C. log b x = b . D. log b x = a . a a a a Lời giải Chọn A k x = a Ta có ( x) = ( x) log log log log log b = k ⇔ a b b a log k x = b a k a x = b k log log b a b ⇔ k k b a b k
⇒ b = a = a log b ⇔
= log b ⇔ k = log b ⇒ x = b a a b (loga ) ( ) log a k b a x = a a a Câu 57: Cho 0 < a ≠ 1 tìm số tự nhiên n thỏa mãn 2 2 2 2
log 2019 + 2 log 2019 + 3 log 2019 + ... + n log = n 2019 1008.2017 log 2019 3 a a a a a A. n = 2016 . B. n = 2019 . C. n = 2017 . D. n = 2020 . Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 31
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn A 3 3 3 2 2
log 2019 + 2 log 2019 + 3 log 2019 + ... + n log 2019 = 1008 .2017 log 2019 a a a a a ⇔ ( 3 3 3 3 1 + 2 + 3 + ... + n ) 2 2 log 2019 = 1008 .2017 log 2019 a a n(n +1) 2 ⇔ ( 3 3 3 3 + + + + n ) 2 2 1 2 3 ... = 1008 .2017 2 2 ⇔
= 1008 .2017 ⇔ n = 2016 2
Câu 58: Với a là số dương tùy ý, ln(5a) − ln(3a) bằng: ln(5a) A. . B. ln(2a). C. 5 ln . D. ln5 ln(3a) 3 ln3 Lời giải Chọn C
Ta có ( a) − ( a) 5a 5 ln 5 ln 3 = ln = ln . 3a 3
Câu 59: Cho ba số thực dương a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và a + b + c = 64 . Giá trị của
biểu thức P = 3log ab + bc + ca − log abc bằng: 2 ( ) 2 ( ) A. 18 . B. 6 . C. 24. D. 8 Lời giải Chọn A 2 ac = b Ta có 3 abc = b .
ab+ bc + ca = b
(a+c)+ca = b( −b) 2 64 + b = 64b
Do đó P = 3log (64b) 3
− log b = 3log 64 = 3.6 = 18 . 2 2 2
Câu 60: Cho 3 số 2017 + log a; 2018+ log a; 2019 + log a; theo thứ tự lập thành cấp số cộng. 2 3 4
Công sai của cấp số cộng này bằng: A. 1. B. 12 . C. 9 . D. 20. Lời giải Chọn A
Do 3 số 2017 + log a; 2018 + log a; 2019 + log a; theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Suy ra 2 3 4
2017 + log a + 2019 + log a = 2 2018 + log a 2 4 ( 3 ) 1 .
⇔ log a + log a = 2log a ⇔ 3log a = 4log a ⇔ log a 3 − 4log 2 = 0 ⇔ a = 1. 2 2 3 2 3 2 ( 3 ) 2
Vậy công sai d = log a − log a + 1 = 1 . 3 2
Câu 61: cho các số thực dương a,b,c lớn hơn 1, đặt x = log b + log a,y = log c + log b và a b b c
z = log a + log c . Giá trị của biểu thức 2 2 2
x + y + z − xyz bằng c a A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 32
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ta có: xyz = (log b + log c)(log c + log a)(log a + log b c b a c b a ) = ( b)2 + ( c)2 + ( c)2 + ( b)2 + ( a)2 + ( a)2 log log log log log log + 2 (1) a a b c c b
x + y + z = ( b + c)2 + ( c + a)2 + ( a + b)2 2 2 2 log log log log log log c b a c b a = ( b)2 + ( c)2 + ( c)2 + ( b)2 + ( a)2 + ( a)2 log log log log log log + 6 (2) a a b c c b Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 2
x + y + z − xyz = 4 .
Câu 62: Tìm số tự nhiên n thoả mãn 1 1 1 120 + ++ = với 0 < x ≠ 1 log x log x log x x n log 2 3 3 3 3 A. n = 15 . B. n = 20 . C. n = 12 . D. n = 10 . Lời giải Chọn A
Do 0 < x ≠ 1 nên ta có: 1 1 1 n n + + ++ = log + ++ = = ⋅ x ( . 1 2 3.3 ....3n ) 1 2 n ( ) log 3 log 3 log x log x log x x x n 2 2 3 3 3 . n (n +1) Vậy ta có: = 120 ⇔ n = 15 2
Câu 63: Với mỗi số thực dương x , khi viết x dưới dạng thập phân thì số các chữ số đứng trước dấu
phẩy của x là log x + 1
. Cho biết log2 = 0,30103 . Hỏi số 2017 2
khi viết trong hệ thập phân ta
được một số có bao nhiêu chữ số? (Kí hiệu x
là số nguyên lớn nhất không vượt quá x ). A. 607 . B. 606 . C. 609 . D. 608 . Lời giải Chọn D
Số các chữ số của 2017 2 là ( 2017 log 2
)+1= 2017×log2+1= 2017×0,30103+1= 607,17751+1= 608 . Câu 64: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn 81 xyz = 10 và
(log x . log yz + log y log z = 468 . Tính giá trị của biểu thức 10 ) ( 10 ) ( 10 )( 10 )
S = (log x)2 + (log y)2 + (log z)2 . 10 10 10 A. 75 . B. 936 . C. 625 . D. 25. Lời giải Chọn A a = log x x = 10a 10
Đặt b = log y ⇔ y = 10b ⇒ xyz = 10a+b+c 10 . c = log c z = 10 z 10 81 xyz = 10
a + b + c = 81 Theo bài ta có: ( ⇒ 1 .
log x . log yz + log y log z = 468
ab + ac + bc = 468 10 ) ( 10 ) ( 10 )( 10 ) ( )
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 33
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Vậy thay (1) vào ta có S = a + b + c = (a + b + c)2 2 2 2
− (ab + bc + ac) 2 2 = 81 − 2.468 = 75 .
Câu 65: Cho hai số thực dương x,y ≠ 1 thỏa mãn log y = log x và log (x − y) = log x + y . Tính giá x y ( ) x y trị biểu thức 4 2
S = x − x + 1. A. S = 2. B. S = 3. C. S = 4 . D. S = 5 . Lời giải Chọn A x,y ≠ 1 Điều kiện: . Ta có: x > y > 0 1 y = y = x ⇔ y = ⇔ y = ⇔
⇔ y = x− ⇔ y = . x y x ( x )2 log 1 (L) x 1 1 log log log log 1 log y log y = 1 − (TM) x x x Ta có: (x y) (x y) 1 1 2 1 log log log x log x log x − = + ⇔ − = − + ⇔ − = 0 x y x x x 2 x x x 2 1 4 2 ⇔ x −
= 1 ⇔ x − x −1 = 0 . Vậy 4 2
S = x − x + 1 = 1+ 1 = 2 . 2 x
Câu 66: Có hai cặp số thực (x;y) thỏa mãn đồng thời log x + log y = 4 và log 225 − log 64 = 1 là 225 64 x y
(x ;y và (x ;y . Giá trị biểu thức log x y x y bằng: 30 ( 1 1 2 2 ) 2 2 ) 1 1 ) A. 12 . B. 15 . C. 8 . D. 36. Lời giải Chọn A X = log x
Theo bài ra: log 225 − log 64 = 1 . Đặt 225 ta được hệ: x y Y = log y 64 X + Y = 4 1 1 1 1 ⇒ −
= 1 ⇔ − X = X( − X) 2 4 2 4
⇔ X − 6X + 4 = 0 − = 1 X 4 − X X Y
X = 3 + 5 ⇒ Y = 1− 5 ⇔
X = 3 − 5 ⇒ Y = 1+ 5 3+ 5
X = 3 + 5 x = 225 3− 5
X = 3 − 5 x = 225 Với 1 ⇒ Với 2 ⇒ 1− 5 Y = 1− 5 y = 64 1+ 5 Y = 1+ 5 y = 64 1 2
Khi đó: log (x y x y ) = log ( 6 2 225 .64 = 12 30 1 1 2 2 30 )
Câu 67: Tìm tập hợp tất cả các số thực m để tồn tại duy nhất cặp số thực (x;y) thỏa mãn đồng thời 2 log
4x + 4y − 6 + m = 1 và 2 2
x + y + 2x − 4y + 1 = 0 . 2 2 x +y +2 ( ) A. { } 5 ± . B. { 7 ± , 5 ± ,± } 1 . C. { 5, ± ± } 1 . D. { } 1 ± . Lời giải Chọn C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 34
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
x + y + 2x − 4y +1 = 0
(x+1)2 +(y −2)2 2 2 = 4 (1) Theo đề bài ta có: ⇔ 2 2 2
4x + 4y − 6 + m = x + y + 2 (x −2 )2 +(y −2)2 2 = m (2)
Phương trình (1) là phương trình đường tròn (C có tâm I 1;
− 2 , bán kính R = 2 1 ( ) 1 ) 1
và phương trình (2) là phương trình đường tròn (C có tâm I 2;2 và bán kính R = m 2 ( ) 2 ) 2
Cặp số thực (x;y) tồn tại duy nhất khi và chỉ khi (C , (C tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong 2 ) 1 )
I I = R + R 3 = m + 2 1 2 1 2 m = 1 ±
( R = R ) ⇔
I I = R − R ⇔ 3 = m − 2 ⇔ . 1 2 1 2 1 2 m = 5 ± R ≠ R 1 2 m ≠ 2
Câu 68: cho các số thực dương a,b,c lớn hơn 1, đặt x = log b + log a,y = log c + log b và a b b c
z = log a + log c . Giá trị của biểu thức 2 2 2
x + y + z − xyz bằng c a A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn D
Ta có: xyz = (log b + log c)(log c + log a)(log a + log b c b a c b a ) = ( b)2 + ( c)2 + ( c)2 + ( b)2 + ( a)2 + ( a)2 log log log log log log + 2 (1) a a b c c b
x + y + z = ( b + c)2 + ( c + a)2 + ( a + b)2 2 2 2 log log log log log log c b a c b a = ( b)2 + ( c)2 + ( c)2 + ( b)2 + ( a)2 + ( a)2 log log log log log log + 6 (2) a a b c c b Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 2
x + y + z − xyz = 4 .
Câu 69: Với mỗi số thực dương x , khi viết x dưới dạng thập phân thì số các chữ số đứng trước dấu
phẩy của x là log x + 1
. Cho biết log2 = 0,30103 . Hỏi số 2017 2
khi viết trong hệ thập phân ta
được một số có bao nhiêu chữ số? (Kí hiệu x
là số nguyên lớn nhất không vượt quá x ). A. 607 . B. 606 . C. 609 . D. 608 . Lời giải Chọn D
Số các chữ số của 2017 2 là ( 2017 log 2
)+1= 2017×log2+1= 2017×0,30103+1= 607,17751+1= 608 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 35
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 36
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 3. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT
Một doanh nghiệp gửi ngân hàng 1 tỉ đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất 6,2%/năm. Giả sử trong suốt n năm ( *
n∈ ) , doanh nghiệp đó không rút tiền ra và số tiền lãi sau mỗi năm sẽ được nhập vào vốn ban đầu.
Biết rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian này.
Mối liên hệ giũa số tiền doanh nghiệp đó có đượ (cả gốc và lãi) với số năm gửi ngân hàng gợi nên hàm số nào trong toán học?
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. HÀM SỐ MŨ 1. Định nghĩa
HĐ 1: Xét bài toán ở phần mở đầu.
a) Tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau 1 năm, 2 năm, 3 năm;
b) Dự đoán công thức tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau n năm. Lời giải Sau 1 năm: 1
1.(1+ 0,062) =1,062 tỷ đồng. Sau 2 năm: 2
1.(1+ 0,062) =1,126 084 tỷ đồng. Sau 3 năm: 3
1.(1+ 0,062) =1,193 742 tỷ đồng
Nhận xét: Tương ứng mỗi giá trị x với giá trị (1,062)x y =
xác định một hàm số, hàm số đó gọi là hàm số mũ cơ số 1,062 .
Cho số thực a(a > 0,a ≠ 1) . Hàm số x
y = a được gọi là hàm số mũ cở số a .
Tập xác định của hàm số mũ x
y = a (a > 0,a ≠ 1) là .
Ví dụ 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ? a) 2 y = x b) ( 3)x y = ; c) 1 y = x d) 5 y = x . Lời giải
Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số ( 3)x y = là có dạng x
y = a với a = 3 nên ( 3)x y = là hàm số mũ. số mũ.
Luyện tập 1. Cho hai ví dụ về hàm số mũ
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải 2x; y= 3x y =
2. Đồ thị và tính chất
HĐ 2. Cho hàm số mũ 2x y = .
a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy biểu diễn các điểm trong bảng giá trị ở câu a.
Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm ( ;2x x
) với x∈ và nối lại, ta được đồ thị hàm số 2x y = (Hình 1).
c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số 2x
y = với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.
d) Quan sát đồ thị hàm số 2x
y = , nêu nhận xét về: • lim 2x, lim 2x x→ ∞ − x→+∞ •
Sự biến thiên của hàm số 2x
y = và lập bảng biến thiên của hàm số đó. Lời giải a) x -1 0 1 2 3 1 y 1 2 4 8 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn nhiều điểm ( ;2x x
) với x∈ và nối lại, ta được đồ thị hàm số 2x y = (Hình 1).
c) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, nằm ở phía trên trục hoành và đi lên kể từ trái sang phải.
d) Quan sát đồ thị hàm số 2x
y = , nêu nhận xét về: •
lim 2x = −∞, lim 2x = +∞ x→ ∞ − x→+∞ •
Sự biến thiên của hàm số 2x
y = : Hàm số đồng biến trên .
Ta có bảng biến thiên của hàm số đó x −∞ …. 1 − 0 1 2 3 ……. +∞ 2x y = 0 ….. 0,5 1 2 4 8 …….. +∞
Nhận xét : Đồ thị hàm số 2x
y = là một đường cong liền nét, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1,
nằm ở phía trên trục hoành và đi lên kể từ trái sang phải. x
HĐ 3. Cho hàm số mũ 1 y = . 2
a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x 3 − 2 − 1 − 0 1 y ? ? ? ? ?
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy biểu diễn các điểm ( ;
x y) trong bảng giá trị ở câu a. x x
Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm 1 ; x
với x∈ và nối lại, ta được đồ thị hàm số 1 y = 2 2 (Hình 2). x
c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số 1 y =
với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với 2 trục hoành. x
d) Quan sát đồ thị hàm số 1 y = , nêu nhận xét về: 2 x x • 1 1 lim , lim x→ ∞ − 2 x→+∞ 2 x •
Sự biến thiên của hàm số 1 y =
và lập bảng biến thiên của hàm số đó 2 Lời giải a) x -3 -2 -1 0 1 y 8 4 2 1 1 2
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn các điểm ( ;
x y) trong bảng giá trị ở câu a. x x
làm tương tự, lấy nhiều điểm 1 ; x
với x∈ và nối lại, ta được đồ thị hàm số 1 y = (Hình 2). 2 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
c) Đồ thị cắt trung tung tại điểm có tung độ bằng 1, nằm ở phía trên trục hoành và đi xuống kể từ trái sang phải. x
d) Quan sát đồ thị hàm số 1 y = , nhận xét về: 2 x x • 1 1 lim = +∞, lim = ∞ − x→ ∞ − 2 x→+∞ 2 x •
Sự biến thiên của hàm số 1 y =
:Hàm số nghịch biến trên . 2
Ta có bảng biến thiên của hàm số đó x −∞ …. 1 − 0 1 2 3 ……. +∞ 2x y = +∞ ….. 2 1 0,5 0,25 0,125 …….. 0 x
Nhận xét : Đồ thị hàm số 1 y =
là một đường cong liền nét, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, 2
nằm ở phía trên trục hoành và đi xuống kể từ trái sang phải.
Trong trường hợp tổng quát, ta có nhận xét sau ( Hình 3): Đồ thị hàm số x
y = a (a > 0,a ≠ 1) là một đường cong liền nét, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 ,
nằm ở phía trên trục hoành và đi lên nếu a >1, đi xuống nếu 0 < a <1.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Nhận xét : Cho hàm số mũ x
y = a (a > 0,a ≠ 1). x
y = a (a >1) x
y = a (0 < a <1)
Tập xác định: ; tập giá trị: (0; ∞ + ) .
Tập xác định: ; tập giá trị: (0; ∞ + ) . Tính liên tục Tính liên tục Hàm số x
y = a (a >1) là hàm số liên tục trên Hàm số x
y = a (0 < a <1) là hàm số liên tục . trên . Giới hạn đặc biệt Giới hạn đặc biệt lim x a = 0, lim x a = ∞ + . lim x a = ∞ + , lim x a = 0. x→ ∞ − x→+∞ x→ ∞ − x→+∞ Sự biến thiên Sự biến thiên
Hàm số đồng biến trên .
Hàm số nghịch biến trên . Bảng biến thiên Bảng biến thiên
Chú ý : Từ tính liên tục và sự biến thiên của hàm số mũ, ta có thể chứng minh được mệnh đề sau:
Với mỗi N > 0, đường thẳng y = N cắt đồ thị hàm số mũ x
y = a (a > 0,a ≠ 1) tại một và chỉ một điểm
(Hình 4). Nói cách khác, ta có: Với mỗi N > 0, tồn tại duy nhất số thực α sao cho aα = N .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Ví dụ 2 :
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 3x y = Lời giải Vì hàm số 3x
y = có cở số 3 >1 nên ta có bảng biến thiên như sau: Đồ thị của hàm số 3x
y = là một đường cong liền nét đi qua các điểm 1 A 1; − , B (0; )
1 ,C (1;3), D(2;9) 3 (Hình 5). t
Ví dụ 3 : Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được cho bởi công thức: ( ) 1 . T m t m = ; trong 0 2 đó m m t
0 là khối lượng chất phóng xạ bạn đầu (tại thời điểm t = 0 ),
( ) là khối lượng chất phóng xạ tại
thời điểm t và T là chu kì bán rã ( Nguồn: Giải tích 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Hạt nhân Poloni (
Po) là chất phóng xạ α có chu kì bán rã là 138 ngày ( Nguồn: Vật lí 12 , NXBGD Việt Nam, 2021). Giả
sử lúc đầu có 100 gam Poloni. Tính khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày theo đơn vị gam (làm tròn kết
quả đến hàng phần mười). Lời giải
Khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày là : 100 m( ) 138 1 100 100. = ≈ 60,5( g) 2 II. HÀM SỐ LÔGARIT
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1.Định nghĩa
HĐ 4: Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau: x 1 2 4 8 y = log x ? ? ? ? 2 Lời giải x 1 2 4 8 = log x 2 0 1 2 3
Nhận xét: Tương ứng với mỗi giá trị x dương với giá trị y = log x xác định một hàm số, hàm số đó gọi 2
là hàm số logarit cơ số 2. Ta có định nghĩa sau:
a a > 0,a ≠ 1 . Hàm số y = log x Cho số thực ( ) a
được gọi là hàm số lôgarit cơ số a .
Tập xác định của hàm số lôgarit y = log x a > a ≠ là (0;+∞) . a ( 0, )1
Ví dụ 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôgarit? a) y = log ; b) y = log e ; x 5 x c) y = log x = 5 ; d) 5 y x . Giải
Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số y = log x là có dạng hàm số lôgarit y = log x (a = 5 > 0,a ≠ ) 1 5 a
. Vậy hàm số y = log x là hàm số lôgarit. 5 Lời giải (1) y = log x 4 (2) y = log x 6
2. Đồ thị và tính chất
HĐ 5: Cho hàm số lôgarit y = log x . 2
a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau: x 0,5 1 2 4 8 y ? .? . ? ? ?
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn điểm ( ;
x y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương
ứng, lấy nhiều điểm ( ;
x log x với x∈(0;+∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = log x (Hình 6). 2 ) 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
c) Cho biết tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y = log x với trục hoanhfvaf vị trí của đồ thị hàm số đó so 2 với trục tung.
d ) Quan sát đồ thị hàm số y = log x 2 , nêu nhận xét về:
• lim log x, lim log ; x + 2 2 x→0 x→+∞
• Sự biến thiên của hàm số y = log x 2
và lập bảng biến thiên của hàm số đó. Lời giải a) x 0 1 2 4 8 y || 0 1 2 3
b) Đồ thị hàm số y = log x A 0,5; 1
− ,B 1;0 ,C 2;1 ;D 4;2 E 8;3
2 là đường thẳng đi qua các điểm ( ) ( ) ( ) ( ), ( )
c) Đồ thị hàm số y = log x
2 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 , nằm ở phía biên phải trục tung
và đi lên kể từ trái sang phải d) lim log x = ∞ − , lim log x = ∞ + 2 2 →0+ x x →+∞
• Sự biến thiên: Hàm số đồng biến trên (0; ∞ + ) • Bảng biến thiên
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Nhận xét: Đồ thị hàm số y = log x là một đường cong liền nét, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2
bằng 1, nằm ở phía bên phải trục tungvaf đi lên kể từ trái sang phải.
HĐ 6: Cho hàm số lôgarit y = log x . 1 2
a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau: x 0,5 1 2 4 8 y ? ? ? ? ?
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn điểm ( ;
x y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương
ứng, lấy nhiều điểm ;xlog x với x∈(0;+∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = log (Hình 7). 1 x 1 2 2
c) Cho biết tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y = log x với trục hoành và vị trí của đồ thị hàm số đó so với 1 2 trục tung.
d) Quan sát đồ thị hàm số y = log x , nêu nhận xét về: 1 2
• lim log x, lim log ; x + 1 1 x→0 x→+∞ 2 2
• Sự biến thiên của hàm số y = log x và lập bảng biến thiên của hàm số đó. 1 2 Lời giải a)
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
b) Đồ thị hàm số y = log x A(0,5; ) 1 ,B(1;0),C(2;− ) 1 ;D(4; 2 − ) 1
là đường thẳng đi qua các điểm , 2 E (8; 3 − )
c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, nằm ở phía bên phải trục tung và đi xuống kể từ trái sang phải d) lim log x = ∞ + , lim log x = ∞ − 1 1 →0+ x x →+∞ 2 2
Hàm số nghịch biến trên (0; ∞ + ) Bảng biến thiên
Nhận xét: Đồ thị hàm số y = log x là một đường cong liền nét, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1 2
bằng 1, nằm ở phía bên phải trục tung và đi lên kể từ trái sang phải.
Trong trường hợp tổng quát ta có nhận xét sau (Hình 8):
Đồ thị hàm số y = log x (a > 0,a ≠ )
1 là một đường cong liền nét, cắt trục hoành tại a
điểm có hoành độ bằng 1, nằm ở phía bên phải trục tung và đi lên nếu a >1, đi xuống nếu 0 < a <1 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Nhận xét: Cho hàm số lôgarit y = log x với a > 0,a ≠ 1. a
y = log x a > y = log x < a < a , (0 )1 a , ( )1
1. Tập xác định: (0;+∞)
1. Tập xác định: (0;+∞)
2. Sự biến thiên. 2. Sự biến thiên. 1 1 y ' = > 0, x ∀ > 0 y ' = < 0, x ∀ > 0 xln a xln a
→hàm số luôn đồng biến trên → hàm số luôn nghịch biến (0;+∞) (0;+∞) Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim log x = +∞ x = −∞ + a , lim loga . x→0 x→+∞ lim log x = −∞ x = +∞ + a , lim loga
. Tiệm cận: Oy là tiệm cận đứng. x→0 x→+∞
Tiệm cận: Oy là tiệm cận đứng 3. Bảng biến thiên.
3. Bảng biến thiên. 4. Đồ thị 4. Đồ thị
Ví dụ 5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = log .x 3 Lời giải
Vì hàm số y = log x > 3 có cơ số 3
1 nên ta có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị của hàm số y = log x là một đường cong liền nét đi qua các điểm 1 A ; 1 − , B (1;0) , 3 3 C (3; ) 1 , D(9;2) .(Hình 9)
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số y = log x 1
là đường thẳng đi qua các điểm A(1;0), B(3; -1), C(9;-2), D(1;3) 3
Ví dụ 6. Lốc xoáy là hiện tượng một luồng không khí xoáy tròn mở rộng ra từ một đám mây dông xuống
tới mặt đất (Hình 10). Các cơn lốc xoáy thường có sức tàn phá rất lớn. Tốc độ của gió (đơn vị: dặm/giờ)
gần tâm của một cơn lốc xoáy được tính bởi công thức: S = 93logd + 65, (Nguồn: Ron Larson,
Intermediate Algebra, Cengage) trong đó d (đơn vị: dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy di chuyển được.
Hãy tính tốc độ của gió ở gần tâm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường là: a) 5 dặm; b) 10 dặm. Giải
a) Tốc độ của gió ở gần tâm khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường 5 dặm là:
S = 93log5 + 65 ≈130 dặm/ giờ
b) Tốc độ của gió ở gần tâm khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường 10 dặm là:
S = 93log10 + 65 =158 dặm/ giờ
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số
1. Phương pháp: 0 < a ≠ 1
Hàm số y = log f x xác định khi f (x) > 0 a ( ) 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau : a) y = log ( 2 x + 2x ; 3 ) b) y = log ( 2 4 − x 0,2 ) Lời giải
a) Hàm số y = log ( 2
x + 2x xác định khi 2
x + 2x > 0 hay x < 2 − hoặc x > 0 . 3 )
Vạy tập xác định của hàm số là D = ( ; −∞ 2 − ) ∪ (0;+∞) : b) Hàm số y = log ( 2
4 − x xác định khi 2 4 − x > 0 hay 2 − < x < 2 . 0,2 )
Vậy tập xác định của hàm số là D = ( 2; − 2) .
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau : a) 1 y = log 2 3− x b) 2 y = . log x − 3 4 Lời giải a) Hàm số 1 y = log
xác định khi 1 > 0 hay x < 3. Vạy tập xác định của hàm số là ( ; −∞ 3) . 2 3− x 3− x x > 0 x > 0 b) Hàm số 2 y = xác định khi hay log x − 3 log x ≠ 3 x ≠ 64 4 4
Vạy tập xác định của hàm số là D = (0;64) ∪ (64;+∞) . Dạng 2. So sánh 1. Phương pháp ⊕ a >1: x y
a > a ⇔ x > y
⊕ 0 < a <1: x y
a > a ⇔ x < y
⊕ a >1: log x >
y ⇔ x > y a loga
⊕ 0 < a <1: log x >
y ⇔ x < y a loga 2. Ví dụ
Ví dụ 1: Hãy so sánh mỡi sơ sau với 1: 1, − 2 a) 2 (0,1) ; b) 0,1 (3,5) ; c) 2,7 π − ; d) 5 . 5 Lời giải a) 2 (0,1) <1;
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com b) 0,1 (3,5) >1; c) 2,7 π − <1; 1, − 2 d) 5 >1 . 5
Ví dụ 2: Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm sơ mũ, hãy so sánh mỗi căp sơ sau: a) 3 (1,7) và 1 ; b) 2 (0;3) va 1 ; c) 1,5 (3,2) và 1,6 (3,2) ; d) 3 (0,2)− và 2 (0,2)− ; 2 1,4 e) 1 1 và 5 5 g) 6π và 3,14 6 . Lời giải a) 8 (1,7) >1 b) 2 (0,8) <1; c) 1,5 1,6 (3,2) < (3,2) ; d) 3 − 2 (0,2) (0,2)− > ; 2 1,4 c) 1 1 < 5 5 g) π 8;14 6 > 6 .
Dạng 3. Đồ thị hàm số 1. Phương pháp: Hàm số mũ x y = a . •
Có tập xác định là và tập giá trị là (0; ∞ + ) ; •
Đồng biến trên khi a >1 và nghịch biến trên khi 0 < a <1; • Liên tục trên ; •
Có đồ thị đi qua các điểm (0; )
1 ,(1;a) và luôn nằm phía trên trục hoành.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Hàm số lôgarit y = log x : a •
Có tập xác định là (0; ∞
+ ) và tập giá trị là ; • Đồng biến trên (0; ∞
+ ) khi a >1 và nghịch biến trên (0; ∞
+ ) khi 0 < a <1; • Liên tục trên (0; ∞ + ) ; •
Có đồ thị đi qua các điêm (1;0),(a; )
1 và luôn nằm bên phải trục tung. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị các hàm số a) (0,4)x y = ; b) (2,5)x y = ; c) (0,4)x y = − ; d) | | (2,5) x y = . Lời giải Ví dụ 2: Vẽ đồ thị các hàm số a) y = log x ; b) y | = log x |;
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com c) y = 2ln x ; d) 2 y = ln x . Lời giải
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) 4x y = ; b) y = log x . 1 4 Lời giải a) Bảng biến thiên Đồ thị hàm số 4x
y = là đường thẳng đi qua 1 − 1 A B ( ) C ( ) 1 3 ;
, 0;1 , 1;4 , D ;2, E ;8 . 2 2 2 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com b) Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số y = log x là đường thẳng đi qua 1
A ;1, B(1;0) 1
,C 2; − , D(4; ) 3 − − . 1 1 , E 8; 4 2 2 4
Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số: a) 12x y = ;
b) y = log 2x − 3 ; 5 ( ) c) y = log ( 2 −x + 4 . 1 ) 5
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải a) Đ: TX . b) TXĐ: (0; ∞ + ) . c) TXĐ: (0; ∞ + ) .
Bài 3. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của hàm số đó? Vì sao? x a) 3 y = 2 x 3 b) 26 y = 3 c) y = logπ x d) y = log x . 15 4 Lời giải x a) 3 y =
Hàm số nghịch biến trên vì 3 <1. 2 2 x 3 3 b) 26 y = 26
Hàm số nghịch biến trên vì < 1. 2 2 c) y = log 0; ∞ + π >
π x Hàm số đồng biến trên ( ) vì 1.
d) y = log x Hàm số nghịch biến trên (0; ∞ + ) vì 15 <1. 15 4 4
Bài 4. Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm 0. Khi đó, dân số
của quốc gia đó ở năm thứ t là hàm số theo biến t được cho bởi công thức: rt
S = A⋅e . Trong đó A là
dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm 0 và r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (Nguồn: Giải tích 12,
NXBGD Việt Nam, 2021). Biết rằng dân số Việt Nam năm 2021 ước tính là 98564407 người và tỉ lẹ ̣ tăng
dân số 0,93%/năm (Nguồn: https://danso.org/viet-nam). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm là như nhau
tính từ năm 2021, nêu dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải Ta có: rt
S = A⋅e , trong đó:
S là dân số của Việt Nam năm 2030 (cần dự đoán).
A là dân số của Việt Nam năm 2021, đã biết là 98,564,407 người.
r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, đã biết là 0,93%
t là số năm từ năm 2021 đến năm 2030, tức là t = 2030 − 2021 = 9 năm.
Thay các giá trị vào công thức, ta có: (0,0093.9) S = 98,564,407.e
Sau khi tính toán, ta có kết quả: S ≈107169341 người.
Vậy dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 là khoảng 107 triệu người.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Bài 5. Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau: ( ) (1 kt f t c e− = −
), trong đó c là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, k (kiến thức/ngày)
là tốc độ tiếp thu của học sinh, t (ngày) là thời gian học và f (t) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học
được (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị
kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là k = 0,2 . Hỏi em học sinh sẽ nhớ được
(khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 2 ngày? Sau 8 ngày? Lời giải
Để tính số đơn vị kiến thức học sinh đã học được sau một số ngày nhất định, ta chỉ cần thay giá trị của t vào công thức ( ) ( . ) (1 e kt f t c − = − ), trong đó:
Số đơn vị kiến thức học sinh đã học được sau 2 ngày: Thay t = 2 vào công thức ( ) ( . ) (1 e kt f t c − = − ), và
biết rằng f (t) = 25 (số đơn vị kiến thức đã học được), k = 0.2 (tốc độ tiếp thu), ta có: (2) = ( −kt f c − e ) = ( 0 − ,2.2 1 25. 1− e ) ≈8 (đơn vị)
Trong 8 ngày, em học sinh nhớ được: ( ) = ( −kt f t c − e ) = ( 0 − ,2.8 1 25. 1− e ) ≈ 20 (đơn vị)
Bài 6. Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = −log H+ . Phân tích nồng độ ion hydrogen H+
trong hai mẫu nước sông, ta có kết quả sau: Mẫu + 7 1: H 8 10− = ⋅ ; + − Mẫu 9 2 : H = 2⋅10 .
Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh độ pH của hai mẫu nước trên. Lời giải Độ pH của mẫu 1 là: 7 pH − = − = − ( 7 log 8.10 log8 + log10−
) = −(log8−7log10) = 7−log8 = 7−3log2 Độ pH của mẫu 2 là: 9 pH − = − = − ( 9 log 2.10 log2 + log10− ) = 9−log2 7 < 9 Nhận thấy 3 − log2 < −log2 .
=> 7 − 3log2 < 9 − log2
Bài 7. Một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất
6% / năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và người đó không gửi thêm tiền vào mỗi năm.
Để biết sau y (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là x (đồng), người đó sử dụng công thức
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com log x y =
. Hỏi sau bao nhiêu năm thì người đó có được tổng số tiền cả vốn và lãi là 15 triệu đồng? 1,06 10
20 triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải 15 Có y = log ≈ 7 1,06 10
Vậy sau ít nhất 7 năm thì cô Yên có thể rút ra được số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiệm đó.
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tập xác định của hàm số y = log 10 − 2x là 2 ( ) A. ( ;2 −∞ ) B. (5;+∞) C. ( ; −∞ 10) D. ( ; −∞ 5) Lời giải Chọn D
Hàm số xác định ⇔10−2x > 0 ⇔ x < 5⇒ D = ( ; −∞ 5)
Câu 2: Tập xác định của hàm số y = ( 2 log x + 2x) là A. D = ( 2; − 0) B. D = \{ } 0 C. D = ( ; −∞ 2 − ) ∪(0;+∞) D. D = Lời giải Chọn C x > 0
Hàm số đã cho xác định 2
⇔ x + 2x > 0 ⇔ . Vậy D = ( ; −∞ 2 − ) ∪(0;+∞) x < 2 −
Câu 3: Cho 0 < a <1. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Tập giá trị của hàm số x y = a là
B. Tập xác định của hàm số y = log x a là
C. Tập xác định của hàm số x y = a là
D. Tập giá trị của hàm số y = log x a là Lời giải Chọn D Hàm số y = log x a có tập giá trị là
Câu 4: Tập xác định của hàm số y = log ( 2 3− 2x − x 2 ) là A. D = ( 1; − 3) B. D = (0; ) 1 C. D = ( 1; − ) 1 D. D = ( 3 − ; ) 1 Lời giải Chọn D
Hàm số đã cho xác định 2 ⇔ 3− 2x − x > 0 ⇔ 3 − < x <1. Vậy D = ( 3 − ; ) 1 .
Câu 5: Hàm số y = log ( x x
4 − 2 + m có tập xác định là 2 ) thì
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A. 1 m < B. m > 0 C. 1 m ≥ D. 1 m > 4 4 4 Lời giải Chọn D
Hàm số có tập xác định là x x x x ⇔ 4 − 2 + m > 0, x
∀ ∈ ⇔ m > 2 − 4 ( x ∀ ∈ ) Đặt x 2 = > ⇒ > − (∀ > ) ⇔ > ( ) 1 t 2 0 m t t t 0 m max f t ⇔ m > . t>0 4
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số = ( 2
y ln x − 2mx + 4) xác định với mọi x ∈ . A. m∈[ ; −∞ 2 − ]∪[2;+∞] B. m∈[ 2; − 2] C. m∈( 2;
− 2) ∪(2;+∞) D. m∈( 2; − 2) Lời giải Chọn D
Hàm số xác định với mọi 2 2
x ∈ ⇔ x − 2mx + 4 > 0, x
∀ ∈ ⇒ ∆' = m − 4 < 0 ⇔ 2 − < m < 2
Câu 7: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 2,3 2,3 2 − 2 − A. 10 12 > 7 8 . B. > . 11 11 9 9 C. ( ) 3−,1 > ( ) 3−,1 2,5 2,6 . D. ( )7,3 < ( )7,3 3,1 4,3 . Lời giải Chọn A a,b > 1
Dùng tính chất: x x
a > b ⇒ a > b x > 0 ( + )a 1− 7 4 3 < 7 − 4 3 Câu 8: Nếu thì A. a <1 B. a >1 C. a > 0 D. a < 0 Lời giải Chọn D a 1 − 1 −
BPT ⇔ (7 + 4 3) < (7 + 4 3) ⇒ a −1< 1 − ⇔ a < 0 Câu 9: Cho α β π > π với α,β∈ .
Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. α > β B. α < β C. α = β D. α ≤ β Lời giải Chọn A
Câu 10: Cho M = log 0,07;N = log 0,2.Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 0,3 3
A. 0 > N > M.
B. M > 0 > N.
C. N > 0 > M.
D. M > N > 0. Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn B < < + Ta có: 0 0,3 1
⇒ M = log 0,07 > 0 0,3 0 < 0,07 <1 3 >1 ⇒ N = log 0,2 < 0 3 0 < 0,2 <1
+ Suy ra: M > 0 > N
Câu 11: Mệnh đề nào dưới đây sai? 2019 2018
A. ( − )2017 > ( − )2018 2 1 2 1 . B. 2 2 1− < 1− . 2 2
C. ( − )2018 > ( − )2017 3 1 3 1 . D. 2 1+ 3 2 > 2 . Lời giải Chọn C 2018 > 2017 2018 2017 Do
nên ( 3 − )1 < ( 3 − )1 . 3 −1 >1
Câu 12: Cho 0 < a ≠1; α, β∈ .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? a α α = aβ α α a a = ( a ) (a > 0) a β (a )β α α = aα = ( a ) A. aβ B. C. D. Lời giải Chọn D α aα = ( a ) 3 − 1 −
Câu 13: Có kết luận gì về a nếu (2a + ) 1 > (2a + ) 1 ( )1 A. a ∈ (−∞ − ) 1 ; 1 ∪ − ;0
B. a ∈ (−∞ − ) 1 ; 1 ∪ 0; 2 2
C. a ∈ (−∞ − ) 1 ; 1 ∪ − ;0 D. a ∈ ( ; −∞ 2 − ) ∪ ( 1; − 0) 6 Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: 1
2a +1 ≠ 0 ⇔ a ≠ − . 2 1 1 1− (2a + )2 1 a(a + ) 1 Ta có: ( ) 1 ⇔ > ⇔ > 0 ⇔ < 0 (2a + )3 1 2a +1 (2a + )3 1 (2a + )3 1 1 − < a < 0
Lập bảng xét dấu ta được: 2 . a < 1 −
Câu 14: Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào sai?
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A. log 5 > log π log 5 <1 2 2 B. log π < log e C. log π > log 7 D. 2 1 − 7 2 1 − 3 1 + 3 1 + Lời giải Chọn C
Ta có: 3 +1 >1 do đó π < 7 ⇒ log π < log 7. 3 1 + 3 1 +
Câu 15: Cho 0 < a <1, b >1 và M = log N = log b a 2 ,
2 . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
A. M > 0 và N > 0.
B. M > 0 và N < 0.
C. M < 0 và N < 0.
D. M < 0 và N > 0. Lời giải Chọn D 2 1
Câu 16: Với những giá trị nào của a thì (a )− − − 3 > (a − ) 3 1 1 ?
A. 1< a < 2. B. a > 2 . C. a >1.
D. 0 < a <1. Lời giải Chọn A 2 − 1 − < Vì 3 3
⇒ 0 < a −1<1 ⇔ 1< a < 2 . ( a − ) 2 1 − > (a − ) 1− 3 3 1 19 15 Câu 17: Nếu 5 7 a < a và log + > + thì: b ( 2 7 ) logb ( 2 5)
A. a >1,0 < b <1
B. 0 < a <1,b >1
C. 0 < a <1,0 < b <1 D. a >1,b >1 Lời giải Chọn B 19 15 5 7
a < a vì mũ không là số nguyên nên a > 0 . Mặt khác 19 15 >
nên a <1⇒ 0 < a <1 5 7 log ( 2 + 7) > log ( 2 +
để có nghĩa thì 1 ≠ b > 0 và 2 + 7 > 2 + 5 nên b >1 b b 5)
Câu 18: Cho các số thực a,b thỏa mãn a > b >1. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. log b > a b < a a > a logb B. loga logb C. ln ln b
D. log ab < 0 1 ( ) 2 Lời giải Chọn A
Cho a = 4;b = 2 ta có: 1
log b = ;log a = nên A sai. a b 2 2 3 4
Câu 19: Cho a, b là các số thực dương, thỏa mãn 1 2 4 3 a > a và log < log
. Mệnh đề nào dưới đây b b 2 3 đúng?
A. a >1,0 < b <1
B. 0 < a <1,b >1
C. 0 < a <1,0 < b <1 D. a >1,b >1 Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 3 4 Ta có 3 4 4 3
a > a ⇒ 0 < a <1 do < 4 3 1 2 2 1 Mặt khác log log b 1do < ⇒ > > b b 2 3 3 2
Câu 20: Cho hai số thực a và b sao cho với 5− 4 a a− > và 3 4 log < . Trong các mệnh đề sau b log 4 b 5 mệnh đề nào là đúng?
A. a >1;b >1.
B. a >1;0 < b <1.
C. 0 < a <1;b >1.
D. 0 < a <1;0 < b <1. Lời giải Chọn C 3 4 < 5 − < 4 − Ta có 4 5
⇒ 0 < a <1 và ⇒ b >1. 5 − 4 a > a− 3 4 log < b log 4 b 5
Vậy 0 < a <1;b >1. a b
Câu 21: Cho ( 2 − )1 > ( 2 − )1 . Kết luận nào sau đây đúng?
A. a > b .
B. a < b .
C. a = b .
D. a ≥ b . Lời giải Chọn B
Do 0 < 2 −1<1 nên hàm số mũ ( 2 )1x y = −
nghịch biến trên và ta có: ( a b 2 − ) 1 > ( 2 − ) 1 ⇔ a < b
Câu 22: Tìm tập tất cả các giá trị của a để 21 5 7 2 a > a A. 0 < a <1 B. 5 2 < a < C. a >1 D. a > 0 21 7 Lời giải Chọn A 5 2 21 5 7 2 21 7
a > a ⇔ a > a ⇔ 0 < a <1 2p−q
Câu 23: Cho p, q là các số thực thỏa mãn 1 p−2q m = ,n = e
, biết m > n. So sánh p và q e A. p ≥ q B. p > q C. p ≤ q D. p < q Lời giải Chọn D 2p−q Ta có 1 q−2p p−2q m = = e ,n = e
. Vì m > n nên q − 2p > p − 2q ⇔ q > p. e
Câu 24: Cho a >1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 3 2 1 A. a >1 B. − 3 1 a > C. 1 1 3 a > a D. < a 5 a 2016 2017 a a Lời giải Chọn B
Do a >1 ⇒ vưới m > n thì m n a > a Do − 3 1 1 − 3 > − 5 ⇒ a > = 5 5 a a
Câu 25: Cho 0 < a <1. Khẳng định nào đúng? 1 A. − 2 1 a < B. a 1 1 > 1 C. 3 a < a D. > 3 a 3 2 a 2017 2018 a a Lời giải Chọn A
Phương pháp: Xét hàm số có dạng x y = a ,a > 0,a ≠ 1:
+ Nếu 0 < a <1hàm số nghịch biến trên ( ; −∞ +∞)
+ Nếu a >1: hàm số đồng biến trên ( ; −∞ +∞)
Cách giải: Với0 < a <1: − 2 1 1 1 2 3 a < ⇔ <
⇔ a > a ⇔ 0 < a <1 (luôn đúng). Vậy phương án A đúng. 3 2 3 a a a a 3
> 1 ⇔ a >1 ⇔ a >1 (Loại). Vậy phương án B sai. 3 2 a 1 1 1 3 3 2
a < a ⇔ a < a ⇔ a >1 (Loại). Vậy phương án C sai. 1 1 2017 2018 > ⇔ a < a
⇔ a >1 (Loại). Vậy phương án D sai. 2017 2018 a a
Câu 26: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Khi x > 0 thì 2 log x = 2log . x
B. Khi 0 < a <1 và b < c thì b c a > a . 2 2
C. Với a < b thì log b < a < x > a logb 1.
D. Điều kiện để 2 x có nghĩa là 0. Lời giải Chọn C 1 < log b Đáp án C sai vì với a a < b ⇒ ⇒ log a < < b b 1 log log a < 1 a b
Câu 27: Cho a là số thực dương khác 1. Xét hai số thực x , x 1
2 . Phát biểu nào sau đây đúng? A. Nếu 1x 2 x
a > a thì x > x . x x > x < x . 1 2 B. Nếu 1 2 a a thì 1 2 C. Nếu 1x 2 x
a > a thì (a − )
1 (x − x > 0. D. Nếu 1x 2 x
a > a thì (a − )
1 (x − x < 0. 1 2 ) 1 2 ) Lời giải Chọn C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 26
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 x 2 a >1: x
a > a → x > x 1 2 → (a − )
1 (x − x > 0. 1 2 ) 1 x 2 a <1: x
a < a → x < x 1 2
Câu 28: Cho a là số thực dương khác 1. Hình nào sau đây là đồ thị của hàm số mũ x y = a ? A. B. C. D. Lời giải Chọn C Hàm số x
y = a có tập xác định là và tập giá trị là (0;+∞)
Câu 29: Biết (C1), (C2) ở hình bên là hai trong bốn đồ thị của các hàm số y ( )x 1 x x 1 x 3 , y , y 5 , y = = = =
. Hỏi (C2) là đồ thị của hàm số nào sau đây? 2 3 x x A. x y = ( 3) B. 1 y = C. = 5x y D. 1 y = 2 3 Lời giải Chọn A
- Ta thấy (C1), (C2) đều có hướng đi lên khi x tăng ⇒ (C1), (C2) đồng biến x ∀ ∈ .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 27
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x - Mà hàm x
y = a đồng biến khi a >1, nghịch biến khi 0 < a <1. Do đó ta loại hàm 1 y = 2 x và 1 y = . 3 x x
- Xét khi x > 0 thì (C x
1) ở trên (C2) ⇒ y (C > y C . Mà 5 > ( 3) ⇒ (C : y = 3 . 2 ) ( ) 1 ) ( 2) x
Câu 30: Đối xứng qua đường thẳng y = x của đồ thị hàm số 2
y = 5 là đồ thị nào trong các đồ thị có phương trình sau đây? 1 A. y = log x B. 2 y = log x C. y = log x D. y = log x 5 5 5 5 2 Lời giải Chọn A x x
Ta đưa hàm số về dạng: 2 y = 5 = ( 5) .
Dựa vào lý thuyết “Hai hàm số x
y = a , y = log x có đồ thị đối xứng nhau qua đường phân giác a
của góc phần tư thứ nhất y = x”
Hoặc thay x = y và y = x ta có x = ( 5)y ⇔ y = log x 5
Câu 31: Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? x A. 1 y = B. 2 y = x 2 C. y = log x = 2 D. x y 2 Lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có tập xác định là và đồng biến trên
Do đó chỉ có đáp án D thỏa mãn
Câu 32: Tìm a để hàm số log x
< a ≠ có đồ thị là hình bên a (0 ) 1 A. a = 2 B. a = 2 C. 1 a = D. 1 a = − 2 2 Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 28
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Đồ thị hàm số đi qua điểm ( ) 2 2;2 ⇒ log
= ⇒ a = ⇒ a = a 2 2 2 2
Câu 33: Nếu gọi (G là đồ thị hàm số x
y = a và (G là đồ thị hàm số y = log x với 0 < a ≠1. Mệnh đề 2 ) 1 ) a nào dưới đây đúng?
A. (G và (G đối xứng với nhau qua trục hoành. 2 ) 1 )
B. (G và (G đối xứng với nhau qua trục tung. 2 ) 1 )
C. (G và (G đối xứng với nhau qua đường thẳng = 2 ) 1 ) y x
D. (G và (G đối xứng với nhau qua đường thẳng = − 2 ) 1 ) y x Lời giải Chọn C
Mọi điểm A(m;n)∈(G ) m
⇒ a = n ⇒ m = log n ⇒ B n;m ∈ G 1 a ( ) ( 2 )
Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
Do đó (G và (G đối xứng nhau qua đường thẳng = 2 ) 1 ) y x
Câu 34: Cho hai hàm số x = , x
y a y = b với a,b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là (C ) 1 và (C )
2 như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 0 < a < b <1
B. 0 < b <1< a
C. 0 < a <1< b
D. 0 < b < a <1 Lời giải Chọn B
- Đồ thị hàm số (C ) x y = a
a > ⇔ a > 1 đồng biến nên ' ln 0 1
- Đồ thị hàm số (C ) x y = b
b < ⇔ < b <
< b < < a 2 nghịch biến nên ' ln 0 0 1. Do đó 0 1
Câu 35: Cho hai hàm số y = log x y =
x có đồ thị (C , C ,
1 ) ( 2 ) được vẽ trên cùng mặt phẳng tọa a , logb
độ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 29
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
A. 0 < b < a <1.
B. 0 < b <1< . a
C. 0 < a < b <1.
D. 0 < a <1< . b Lời giải Chọn B
Ta thấy đồ thị hàm số log x < b < b nghịch biến nên 0 1
Ta thấy đồ thị hàm số log x a > a đồng biến nên 1
Câu 36: Cho a > 0,b > 0,b ≠1. Đồ thị các hàm số x
y = a và y = log x cho như hình vẽ bên. Mệnh đề b nào sau đây là đúng?
A. a >1; 0 < b <1.
B. 1 > a > 0; b >1.
C. 0 < a <1; 0 < b <1. D. a >1; b >1. Lời giải Chọn A
Quan sát đồ thị ta thấy. Hàm số x
y = a đồng biến ⇒ a > 0 . Hàm số y = log x b nghịch biến ⇒ 0 < b <1
Câu 37: Cho đồ thị hàm số x
y = a và y = log x b như hình vẽ:
Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1
0 < a < < b
B. 0 < a <1< b 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 30
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
C. 0 < b <1< a D. 1
0 < a <1,0 < b < 2 Lời giải Chọn B + Xét hàm số x
y = a đi qua (0; )
1 suy ra đồ thị hàm số (1) là đường nghịch biến, suy ra 0 < a <1 .
+ Xét hàm số y = log x đi qua (1;0) suy ra đồ thị hàm số (2) là đường đồng biến suy ra b>1. b
Suy ra 0 < a <1< . b
Câu 38: Cho 3 số a, ,
b c > 0,a ≠1,b ≠1,c ≠1. Đồ thị các hàm số = x, = x, = x
y a y a y c được cho trong hình vẽ dưới.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. b < c < a
B. a < c < b
C. a < b < c
D. c < a < b Lời giải Chọn B
Ta có hàm số = x; = x
y b y c đồng biến, hàm số = x
y a nghịch biến nên a <1;b,c >1. Thay x =10 , ta có 10 10
b > c ⇒ b > c
Câu 39: Cho các hàm số = x
y a , y = log x, y = x b
logc có đồ thị như hình vẽ.
Chọn khẳng định đúng.
A. c > b > a .
B. b > a > c .
C. a > b > c .
D. b > c > a . Lời giải Chọn A Hàm số = x
y a đồ thị có dáng đi xuống từ trái sang phải nên nghịch biến trên do đó 0 < a <1 (1).
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 31
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Hai hàm số y = log x y = x b và
logc đồ thị có dáng đi lên từ trái sang phải nên đồng biến trên
khoảng (0;+∞) do đób >1 > a, c >1 > a (2).
Quan sát đồ thị ta thấy với 0 < x <1 thì log x < x c b b logc , suy ra > .
Quan sát đồ thị ta thấy với x >1 thì log x > x c b b logc , suy ra > .
Suy ra 1< b < c (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra c > b > a . Cách khác:
Dễ thấy a <1, b >1, c >1. Nên a là số nhỏ nhất.
Xét đường thẳng y =1 cắt đồ thị hai hàm số y = log x và y = log x lần lượt tại các điểm b c B(b ) ;1 và C (c ) ;1
(hình vẽ). Dễ thấy c > b vậy c > b > a .
Câu 40: Hình vẽ dưới đây vẽ đồ thị của 3 hàm số mũ.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a > b > c .
B. a > c >1 > b .
C. b > c >1 > a .
D. b > a > c . Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị ở hình 5 ta thấy đồ thị của hàm số = x
y b là nghịch biến nên 0 < b <1.
Vẽ đường thẳng x =1 ta có đường thẳng x =1 cắt đồ thị hàm số = x
y a tại điểm có tung độ
y = a và cắt đồ thị hàm số = x
y c tại điểm có tung độ là y = c . Khi đó điểm giao với = x y a
nằm trên điểm giao với = x
y c nên a > c >1. Vậy a > c >1 > b .
Câu 41: Trên hình 2.13, đồ thị của ba hàm số = x, = x, = x
y a y b y c (a, b, c là ba số dương khác 1 cho
trước) được vẽ trong cùng một mặt phẳng tọa độ. Dựa vào đồ thị và các tính chất của lũy thừa,
hãy so sánh ba số a, b và c A. c > b > a B. b > c > a C. a > c > b D. a > b > c
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 32
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn C
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng: Hàm số x
y = a là hàm số đồng biến; hàm số x x y = b , y = c là hàm số nghịch biến. 0 < b <1 Suy ra a >1và 1 → a > {b; } c . Gọi B( 1;
− y thuộc đồ thị hàm số x y = b ⇒ y = ; B ) 0 < c <1 B b Và 1 C( 1;
− y thuộc đồ thị hàm số x
y = c ⇒ y = . Dựa vào đồ thị, ta có C ) C c 1 1
y > y ⇔ > ⇔ c > b. B C b c
Câu 42: Cho a, b, c là ba số thực dương và khác 1. Đồ thị các hàm số y = log x, y = log x, y = log x a b c
được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. a < b < c B. c < a < b C. c < b < a D. b < c < a Lời giải Chọn B Hàm số y = log x ⇒ < < y = log x, y = log x c nghịch biến 0 c 1, các hàm a b đồng biến nên
a;b >1 Chọn x =100 ⇒ log 100 > log 100 ⇒ a < b ⇒ c < a < b. a b
Câu 43: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số x x
y = log x, y = b , y = c được cho trong a
hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. b < c < a B. a < b < c C. c < a < b D. c < b < a Lời giải Chọn C Hàm số = x
y c là hàm nghịch biến nên 0 < c <1. Hàm số = x
y b là hàm đồng biến nên b >1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 33
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Hàm số y = log x a > y = x a là hàm đồng biến nên
1. Lấy đối xứng đồ thị hàm loga qua đường
phân giác thứ nhất của mặt phẳng toạ độ ta có đồ thị hàm số = x
y b tăng nhanh hơn đồ thị hàm số = x
y a nên b > a
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 34
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 35
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
Dân số được ước tính theo công thức rt
S = A⋅e , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là
dân số sau t năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm.
Hỏi sau bao nhiêu năm, dân số sẽ gấp đôi dân số của năm lấy làm mốc tính?
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Phương trình mũ
HĐ1: Trong bài toán ở phần mở đầu, giả sử r =1,14% / năm.
a) Viết phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu.
b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của luỹ thừa? Lời giải a) Có S = 2A 0,0114. 2 t A = A⋅e 0,0114. => 2 t = e => ln2 = 0,0114.t
b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là t, là số năm cần tìm để dân số gấp đôi dân số ban đầu. Nó nằm
trong lũy thừa của số e , tức là 0,0114.t e
, đây là dấu hiệu cho thấy phương trình là một phương trình mũ.
Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa.
Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mũ? a) 2x 1 5 + = 25 b) x x 1 2 3 + = c) 2 x = 4 Lời giải
Ta thấy: Hai phương trình 2x 1 5 + = 25 và x x 1 2 3 + =
là những phương trình mũ.
LT1. Cho hai ví dụ về phương trình mũ. Lời giải
Hai phương trình 2x 1 3 + =1 và x x 1 6 2 + =
là những phương trình mũ. HĐ2 a) Vẽ đồ thị hàm số 3x
y = và đường thẳng y = 7 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình 3x = 7 . Lời giải a)
b) Số giao điểm của hai đồ thị trên là : 1
=>Số nghiệm của phương trình 3x = 7 là : 1
Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng x
a = b(a > 0,a ≠ 1) . •
Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm. •
Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = log b . a
Nhận xét: Với a > 0,a ≠ 1,b > 0 thì f (x) a
= b ⇔ f (x) = log b . a
Ví dụ 2. Giải mỗi phương trình sau: a) 2x−3 4 = 5 ; b) x 1 10 + − 2.10x = 8. Lời giải Ta có: a) 2x−3 4 = 5 1
⇔ 2x − 3 = log 5 ⇔ 2x = 3+ log 5 ⇔ x = 3+ log 5 . 4 4 ( 4 ) 2
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 . b) x 1
10 + − 2.10x = 8 ⇔ 10.10x − 2.10x = 8 ⇔ 8.10x = 8 ⇔ 10x =1 ⇔ x = log1 ⇔ x = 0 .
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 .
Ví dụ 3. Giải phương trình: x−2 3x 1 4 2 + = . Lời giải Ta có: x−2 3x 1 4 2 + = 2(x−2) 3x 1 2 2 + ⇔ =
⇔ 2(x − 2) = 3x +1
⇔ 2x − 4 = 3x +1 ⇔ x = 5 − . Chú ý:
• Với a > 0,a ≠ 1 thì f (x) g(x) a = a
⇔ f (x) = g (x) .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
• Cách giải phương trình mũ như trên thường được gọi là phương pháp đưa về cùng cơ số
Ví dụ 4. Giải phương trình đưa ra trong Hoạt động 1 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải
Gọi A là số dân ban đầu. Phương trình thể hiện số dân sau t năm gấp đôi số dân ban đầu là: 0,0114.t 0,0114.t ln 2 . A e = 2A ⇔ e
= 2 ⇔ 0,0114.t = ln 2 ⇔ t = ≈ 61. 0,0114
Vậy sau 61 năm dân số sẽ gấp đôi số dân ban đầu. Lời giải a) 16−x x+4 9 = 27 2(16−x) ( 3 x+4) ⇔ 3 = 3
=> 2(16 − x) = 3(x + 4) => x = 4
Vậy phương trình có nghiệm là x = 4 b) x−2 − x+4 16 = 0,25⋅2 . 4(x−2) 2 − − x+4 ⇔ 2 = 2 .2 4(x−2) 2 − +(−x+4) ⇔ 2 = 2 ⇒ x = 2
Vậy phương trình có nghiệm là x = 2
2. Phương trình lôgarit
Chỉ số thay đổi pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = −log H + (trong đó H +
chỉ nồng độ ion hydrogen). Đo chỉ số pH của một số mẫu nước sông, ta có kết quả là pH = 6,1. a)
Viết phương trình thể hiện nồng độ x của hydrogen H +
trong mẫu nước sông đó. b)
Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của lôgarit? Lời giải
a) với chỉ số pH = 6,1 ta có
pH = −log H + 6,1 = −log H +
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Phương trình thể hiện nồng độ x của hydrogen H + +
trong mẫu nước sông là: H = x
b)Phương trình vừa tìm được có ẩn H +
và nằm ở vị trí trong biểu thức dưới dấu lôgarit
Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
Ví dụ 5. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình lôgarit? a) log x +1 = 2 ; b) log ( 2 x + x +1 = 3 ; c) log x + = . x ( )1 3 2 ) 7 ( ) Lời giải
Hai phương trình log x +1 = 2 và log ( 2
x + x +1 = 3 là những phương trình lôgarit. 2 ) 7 ( ) Lời giải
Phương trình logarit: log5 (x + 3) = 7,log3 (6x + 9) a)
Vẽ đồ thị hàm số y = log x và đường thẳng y = 5. 4 b)
Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình log x = 5 4 . Lời giải a)
b) số giao điểm của hai đồ thị trên là 1.
số nghiệm của phương trình log x = 5 4 là 1
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng log x = b a > a ≠ a ( 0, 1).
Phương trình đó có một nghiệm là b x = a .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Nhận xét: Với a > 0,a ≠ 1 thì log f (x) = b ⇔ f (x) b = a . a
Ví dụ 6. Giải mỗi phương trình sau: a) log x = 5 log 5x − 4 = 2 2 ; b) . 4 ( ) Lời giải a) Ta có: log x = 5 5
⇔ x = 2 ⇔ x = 32 2 .
Vậy phương trình có nghiệm là x = 32 .
b) Ta có: log 5x − 4 = 2 2
⇔ 5x − 4 = 4 ⇔ 5x = 20 ⇔ x = 4 . 4 ( )
Vậy phương trình có nghiệm là x = 4 .
Ví dụ 7. Giải phương trình: log 3x − 6 = −log 2x − 2 8 ( ) 1 ( ) 8 Lời giải 3 x − 6 > 0
Điều kiện xác định là: tức là x > 2 . 2x − 2 > 0, x > 2
Ta có log 3x − 6 = −log 2x − 2 ⇔ 3 ( ) 1 (
) log 3x−6 =log 2x−2 8 3 ( ) 8 ( ) x > 2 ⇔ ⇔ x = 4. 3
x − 6 = 2x − 2
f (x) > 0
Nhận xét: Cho a > 0,a ≠ 1.Ta có: log f x = g x ⇔ a
( ) logb ( ) f (x)= g(x).
Ví dụ 8. Giải phương trình đưa ra trong Hoạt động 3. Lời giải
Phương trình thể hiện nồng độ x của inon hydrogen H+
trong mẫu nước sông đó là: 6 − ,1
−log x = 6,1 ⇔ log x = 6 − ,1 ⇔ x =10 .
Vậy nồng độ của inon hydrogen H+ trong mẫu nước sông đó là 6 − ,1 ( 1 10 mol L− ).
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Bất phương trình mũ
Quan sát Hình 11 và nêu nhận xét về tính đồng x
biến, nghịch biến của hàm số 1 y = . Từ đó, hãy 2 x
tìm x sao cho 1 > 2. 2 Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x Hàm số 1 y =
nghịch biến trên R 2 1 x > 2 => x > 1 − 2
• Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa
ẩn ở số mũ của lũy thừa.
• Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình
mũ có một trong nhũng dạng sau:
x > ; x < ; x ≥ ; x a b a b a
b a ≤ b(a > 0,a ≠ ) 1 .
Ví dụ 9. Bất phương trình nào là bất phương trình mũ cơ bản trong các bất phương trình sau:
a)3x > 27; b) x+5 2x 1 2 3 + > ; c) 7x ≤12; Lời giải Ta
thấy: hai bất phương trình 3x > 27 x
và 7 ≤12 là những bất phương trình mũ cơ bản.
Luyện tập - Vận dụng 5. Cho 2 ví dụ về bất phương trình mũ cơ bản. Lời giải 2x > 5 3x >12
Sau đây, ta sẽ nêu cách giải bất phương trình mũ cơ bản
Xét bất phương trình mũ: x
a > b (a > 0; a ≠ 1) . •
Nếu b ≤ 0 , tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (vì x a > 0 ≥ , b x ∀ ∈ ). • Nếu b > 0 x
thì bất phương trình tương đương với loga b a > a .
+ Với a >1, tập nghiệm của bất phương trình là x > log b . a
+ Với 0 < a <1, tập nghiệm của bất phương trình là x < log b . a Lưu ý:
• Với a >1 thì x
a > aα ⇔ x > α .
• Với 0 < a <1 thì x
a > aα ⇔ x < α .
Ví dụ 10: Giải mỗi bất phương trình sau: a) 5x >12 . b) ( )x 1 0,3 + >1,7 . Lời giải Ta có:
a) 5x >12 ⇔ x > log 12 . 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (log 12;+ ∞ . 5 )
a) (0,3)x 1+ >1,7 ⇔ x +1< log 1,7 ⇔ x < 1 − + log 1,7 . 0,3 0,3
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ; −∞ 1 − + log 1,7 . 0,3 )
Nhận xét: các bất phương trình muc cơ bản còn lại được giải tương tự.
Luyện tập 6. Giải mỗi bất phương trình sau: a) x+3 7 < 343 . x b) 1 ≥ 3 . 4 Lời giải x+3 a) 7 < 343 x+3 3 ⇔ 7 < 7 ⇔ x + 3 < 3 ⇔ x < 0 1 x b) ≥ 3 4 ⇔ x ≤ log 3 1 4
Ví dụ 11. Dân số nước ta năm 2021 ước tính là 98 564 407 người.(Nguồn: https://danso.org/viet-nam)
Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm của nước ta là 0,93% . Biết rằng sau t năm, dân số Việt Nam ( tính từ
mốc năm 2021) ước tính theo công thức: = . rt
S A e . Hỏi từ năm nào trở đi, dân số nước ta vượt 110 triệu người? Lời giải Xét bất phương trình: 0,0093t 0,0093 98564407. > 110000000 t e ⇔ e > 110000000 :98564407 110000000 . ⇔ 0,0093t > ln ⇔ t >11,803 98564407
Vậy từ năm 2033 trở đi thì dân số nước ta vượt quá 110 triệu người.
2. Bất phương trình logarit Hoạt động 6:
Quan sát hình 12 và nêu nhận xét về tính đồng biến , nghịch biến của hàm số logarit y = log x . Từ đó, 2
hãy tìm x sao cho log x >1 2 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
Hàm số đồng biến trên (0; ∞ + )
log x >1⇒ x > 2 2 •
Bất phương trình logarit là bất phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu logarit. •
Bất phương trình logarit cơ bản là bất phưng trình logarit có một trong những dạng sau: log x > b x ≥ b x < b
x ≤ b a > a ≠ a ;loga ; loga ; loga ( 0; )1.
Luyện tập 7. Cho hai ví dụ về bất phương trình logarit cơ bản. Lời giải log x > 4 2 log x >16 4
Ví dụ 12. Bất phương trình nào là bất phương trình logarit cơ bản trong các bất phương trình sau? a)log x > 3;
b)log x > log (x +1); c)log x ≤ 2 2 5 9 8 Giải
Ta thấy: hai bất phương trình log x > 3; log x ≤ 2 2 8
là những bất phương trình logarit cơ bản.
Xét bất phương trình log x > b a > a ≠ . a ( 0; )1
Bất phương trình tương đương với log x > log b a . a a
+ Với a >1, tập nghiệm của bất phương trình là b x > a .
+ Với 0 < a <1, tập nghiệm của bất phương trình là 0 b < x < a .
Ví dụ 13. Giải mỗi bất phương trình sau: a) log x > 2
− ; b)log x +1 > 3 . 1 2 ( ) 2 Lời giải Ta có: 2 − a) 1 log x 2 0 x > − ⇔ < < ⇔ 0 < x < 4 . 1 2 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0;4) . a) 3
log (x +1) > 3 ⇔ x +1 > 2 ⇔ x > 7 . 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (7;+∞) .
Nhận xét: các bất phương trình muc cơ bản còn lại được giải tương tự.
Ví dụ 14: Mức cường độ âm L (đơn vị:dB) được tính bởi công thức =10log I L , trong đó I (đơn vị: 12 10−
W/m2) là cường độ âm (Nguồn: Vật lí 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Mức cường độ âm ở một khu dân cư
được quy định là dưới 60dB. Hỏi cường độ âm ở khu vực đó phải dưới bao nhiêu W/m2?
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Ta có : I I 12 L < 60 ⇔ 10log < 60 ⇔ log
< 6 ⇔ log I − log10− < 6 12 − 12 10 10− 6
⇔ log I +12 < 6 ⇔ log I < 6 − ⇔ I <10−
Vậy cường độ âm ở khu vực đó phải dưới 6 − 2 10 (W / m ) .
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP
Dạng 1: Đưa về cùng cơ số 1. Phương pháp ( A x) B(x) a = a
⇔ A(x) = B(x), (a > 0,a ≠ ) 1 > ≠ f x > hoac g x > f x = g x ⇔ a ( ) a
( )a 0,a 1 ( ) 0 ( ( ) 0) log log f
( x) = g ( x) 0 < a <1 f
( x) < g ( x) f (x) g(x) a > a ⇔ a > 1 f
( x) > g ( x) 2. Ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình mũ sau x 1 + a) 2x−4x+5 3 = 9 b) 5x−7 2 1,5 = c) 2x 1− x+2 2 + 4 = 10 3 Giải
a) Đưa hai vế về cùng cơ số 3, ta được phương trình đã cho tương đương với: 2 x −4x+5 2 2 (1) 2 3
= 3 ⇔ x − 4x + 5 = 2 ⇔ x − 4x + 3 = 0 .
Giải phương trình bậc hai này được hai nghiệm là x =1 và x = 3.
b) Đưa về cùng cơ số 1,5, phương trình đã cho tương đương với: 5 7
1,5 x− = −x 1
1,5 − ⇔ 5x − 7 = −x −1 ⇔ x =1.
Vậy x =1 là nghiệm của phương trình.
c) Phương trình đã cho tương đương với 1 x x 33 4 16 4 10 4x ⋅ + ⋅ = ⇔ ⋅ = x 20 20 10 ⇔ 4 = ⇔ x = log . 2 2 4 33 33 Vậy 20 x = log
là nghiệm của phương trình. 4 33
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau a) log (2x +1) = log 5
b) log (x + 3) = log ( 2 2x − x −1 2 2 ) 3 3 c) log (x −1) = 2
d) log (x − 5) + log (x + 2) = 3 5 2 2 Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
a) ĐK: 2x +1 > 0 ⇔ x > ( 1 − / 2)
PT ⇔ 2x +1 = 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thoả ĐK) b) ĐK: 2
x + 3 > 0,2x − x −1 > 0 ta được: x >1 hoạcc ( 3 − ) < x < ( 1 − / 2)
Ta có: log (x + 3) = log ( 2 2x − x − ) 2 2
1 ⇔ x + 3 = 2x − x −1 ⇔ 2x − 2x − 4 = 0 2 2 2
⇔ x − x − 2 = 0 ⇔ x = 1
− (thoả) hoặc x = 2 (thoả)
c) ĐK: x −1 > 0 ⇔ x >1 Ta có: 2
log (x −1) = 2 ⇔ x −1 = 5 ⇔ x = 26 (thoả) 5
d) ĐK: x − 5 > 0 và x + 2 > 0 ta được: x > 5 Ta có: 3
log (x − 5) + log (x + 2) = 3 ⇔ log (x − 5)(x + 2) = 3 ⇔ (x − 5)(x + 2) = 2 2 2 2 2
⇔ x − 3x −18 = 0 ⇔ x = 3
− (loai) hoạcc x = 6 (thoà)
Ví dụ 1: Giải bất phương trình mũ sau: 2x−x 1 3 ≤ 3 −x Lời giải Ta có: 2x−x 1 3 ≤ 3 −x 2 2
⇔ x − x ≤1− x ⇔ x −1≤ 0 ⇔ 1 − ≤ x ≤1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: [ 1; − 1] 4x 2−x
Ví dụ 3: Giải bất phương trình mũ sau: 2 5 ≤ 5 2 Lời giải
- Ta có thể biến đỗi theo 1 trong 2 cách sau (thực tế thì cùng phương pháp).
Cách 1: Bất phương trình được biến đỗi về dạng: 4x 2−x 4x x−2 2 5 2 2 2 ≤ ⇔ ≤ ⇔
4x ≥ x − 2 ⇔ 3x ≥ 2 − ⇔ x − ≥ 5 2 5 5 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 2 ; − +∞ 3
Cách 2: Bất phương trình được biến đổi về dạng: 4x 2−x 4 − x 2 2 5 5 5 −x 2 ≤ ⇔ ≤ ⇔ 4
− x ≤ 2 − x ⇔ 3x ≥ 2 − ⇔ x − ≥ 5 2 2 2 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 2 ; − +∞ 3
Ví dụ 4: Giải bất phưong trình 2 x 1 − − x +3 ( 5 + 2) ≥ ( 5 − 2) . Lời giải Ta có: 1 1 ( 5 2)( 5 2) 1 5 2 ( 5 2)− + − = ⇔ − = = + 5 + 2 Vậy: 2 2 x 1 − − x +3 x 1 − x −3 2 ( 5 + 2) ≥ ( 5 − 2) ⇔ ( 5 + 2) ≥ ( 5 + 2)
⇔ x −1≥ x − 3 2
⇔ x − x − 2 ≤ 0 ⇔ 1 − ≤ x ≤ 2
Vậy BPT có tập nghiệm S = [ 1; − 2]
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ví dụ 5: Giải bất phương trình 2
log x − 5log x − 6 ≤ 0 2 2 Lời giải
Đăt t = log x , khi đó phương trình trở thành: 2 2
t − 5t − 6 ≤ 0 ⇔ (t +1)(t − 6) ≤ 0 ⇔ 1 − ≤ t ≤ 6 Do đó ta có: 1 1 1
− ≤ log x ≤ 6 ⇒ log
≤ log x ≤ log 64 ⇒ ≤ x ≤ 64 2 2 2 2 2 2
Vậy tập nghiệm bất phưong trình là 1 S ;64 = . 2
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ 1. Phương pháp 2x α + β. x a a + γ = 0 . Đặt x
t = a ,(t > 0) 2 α log x + β
x + γ = . Đặt t = log x x > a , ( 0) a .loga 0 2. Ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 9x 4 3x − ⋅ + 3 = 0
b) 9x 3 6x 2 4x − ⋅ + ⋅ = 0 c) x 1 5 + 5 −x − 6 = 0 d) 25x 2.5x − −15 = 0 Lời giải a) 9x 4.3x − + 3 = 0 đặt 3x
t = với t > 0 ta được phương trình: 2
t − 4.t + 3 = 0 ⇔ t =1 hoặc t = 3 ( 2 nghiệm
đều thoả điều kiện t > 0 ). với =1 ⇔ 3x t = 1 ⇔ x = 0 với = 3 ⇔ 3x t = 3 ⇔ x =1
b) 9x 3.6x 2.4x − +
= 0 chia 2 vế của phương trình cho 4x ta được phương trình sau x x 2 9 6 3 x 3 x 3 2 0 3 − + = ⇔ − + 2 = 0 đặt (3 / 2)x t =
với t > 0 ta được phương trình 4 4 2 2 2
t − 3.t + 2 = 0 ⇔ t =1 hoặc t = 2 (2 nghiệm đều thoả t > 0 ) với =1 ⇔ (3 / 2)x t = 1 ⇔ x = 0 vớit x
= 2 ⇔ (3 / 2) = 2 ⇔ x = log 2 3 2 c) x 1
5 + 5 −x − 6 = 0 ⇔ 5x + 5.5−x − 6 = 0 Đặt x
t = 5 (với t > 0 ) thì 5−x =1/ t ta được phương trình: 1 2
t + 5 − 6 = 0 ⇔ t − 6t + 5 = 0 ⇔ t =1 hoặc t = 5 (thoả điều kiện t > 0) t với =1 ⇔ 5x t = 1 ⇔ x = 0 với = 5 ⇔ 5x t = 5 ⇔ x =1 d) d) x x 2 25 2.5 15 0 5 x 2.5x − − = ⇔ − −15 = 0 đặt 5x
t = với t > 0 ta được phương trình 2
t − 2t −15 = 0 ⇔ t = 5 (nhận) hoặc t = 3 − (loại)
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com với = 5 ⇔ 5x t = 1 ⇔ x = 0
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau a) 2
log x + 2log x − 3 = 0 3 3 b) 4log x + log − = x 3 3 0 9 Lời giải a) ĐK: x > 0
Ta đặt t = log x khi đó 2
PT ⇔ t + 2t − 3 = 0 ⇔ t =1 hoạcc t = 3 − 3
Với t =1 ⇔ log x =1 ⇔ x = 3 3 Với 3 t 3 log x 3 x 3− = − ⇔ = − ⇔ = = 1/ 27 3
b) 4log x + log − = ĐK: 0 < x ≠ 1 x 3 3 0 9
PT ⇔ 2log x +1/ log x − 3 = 0 3 3 Ta đặt t = log x khi đó 2
PT ⇔ 2t +1/ t − 3 = 0 ⇔ 2t − 3t +1 = 0 ⇔ t =1 hoặc t =1/ 2 3
Vớit =1 ⇔ log x =1 ⇔ x = 3 (thoả) 3
Vớit =1/ 2 ⇔ log x =1/ 2 ⇔ x = 3 3 (thoả)
Ví dụ 3: Giải bất phương trình mũ sau: x x 1 9 2.3 + + −16 ≥ 0 Lời giải x x 1 9 2.3 + + −16 ≥ 0 (*) Ta đặt 3x
t = (điều kiện t > 0 ), khi đó phương trình ( ) biến đổi về dạng: t ≤ 8 − ( loai ) 2x x 2
3 + 6.3 −16 ≥ 0 ⇔ t + 6t −16 ≥ 0 ⇔ ⇔ t ≥ 2 t ≥ 2 Với: ≥ 2 ⇔ 3x t ≥ 2 ⇔ x ≥ log 2 3
Vậy bất phương trình có tập nghiệm [log 2;+∞ 3 )
Ví dụ 4: Giải bất phương trinh sau: (7 4 3)x 3(2 3)x + − − + 2 ≤ 0 Lời giải Ta có: 2
7 + 4 3 = (2 + 3) và (2 − 3)(2 + 3) =1 nên đặt x
t = (2 + 3) , t > 0 ta có bất phương trình: 2 3 −
+ ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ( 2 3 / 2 0 2 3 0 ( 1)
+ + 3) ≤ 0 ⇔ ≤1⇔ (2 + 3)x t t t t t t t t ≤ 1 ⇔ x ≤ 0
Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là x ≤ 0
Dạng 3: Logarit hóa, mũ hóa 1. Phương pháp 0 a 1 f (x ) a b b 0 .
f (x) log b a > f (x) f (x) 0 log = b ⇔ a f ( x) b = a
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 0 < a <1 f
( x) < log b f (x) a a > b ⇔ a > 1 f
( x) > log b a a > 1 f (x) > g(x).logb f ( x) g ( x) a a > b ⇒ 0 < a <1 f (x) <
g(x).logba a >1 f ( x) b > a
log f x > b ⇒ a ( ) 0 < a < 1 f ( x) b < a 2. Ví dụ
Vi dụ 1: Giải phương trình sau a) 3x = 2 b) 2x 3x ⋅ = 1 Lời giải
a) 3x = 2 ta logarit cơ số 3 hay vế
Pt ⇔ log 3x = log 2 ⇔ x = log 2 3 3 3
b)2x ⋅3x =1 ⇔ (2.3)x =1 ⇔ 6x =1 ⇔ log 6x = log 1 ⇔ x = 0 6 6
Hoặc có thể làm như sau, lấy logarit cơ số 2 của 2 vế ta được log 2x 3x log 1 log 2x 3x 0 log 2x log 3x ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ + = 0 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2
⇔ x + x ⋅log 3 = 0 ⇔ x 1+ log 3 = 0 ⇔ x = 0 2 ( 2 )
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) ln(x + 3) = 1 − + 3
b) log 5 − 2x = 2 − x 2 ( ) Lời giải
a) ĐK: x − 3 > 0 ⇔ x > 3 với điều kiện này ta mũ hóa 2 vế của PT đã cho ta được PT: ln(x+3) 1 − + 3 1 − + 3 e = e ⇔ x + 3 = e 1 3 x e− + ⇔ = − 3 (thoả)
b) log 5 − 2x = 2 − x 2 ( ) ĐK: 5 2x 0 2x − > ⇔ < 5 log x 2 5−2 2 PT ⇔ 2
= 2 −x ⇔ 5 − 2x = 4.2−x Đặt = 2x t
(t > 0,t < 5 do 2x < 5) ta được: 2
5 − t = (4 / t) ⇔ t − 5t + 4 = 0
⇔ t =1 (thoả) hoạc t = 4 (thoả) Vớit =1 ⇔ x = 0 Vớit = 4 ⇔ x = 2
Ví dụ 3: Giải bất phương trình 2x−4 x−2 2 ≥ 5 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bát phương trình đã cho ta có: ≥ − − x log ( 2 2 x 4 2 )≥log ( x 2 5 ) 2
⇔ x − 4 ≥ (x − 2)log 5 ⇔ (x − 2) x + 2 − log 5 ≥ 0 ⇔ 2 2 2 ( 2 ) x ≤ log 5 − 2 2
Vậy BPT có tập nghiệm S = ( ; −∞ log 5 − 2 ∪[2;+∞) 2 ] .
Ví dụ 4: Giải bất phương trình logarit sau: log (4 − 2x) ≥ 2 8 Lời giải
- Điều kiện 4 − 2x > 0 suy ra x < 2 . 2 2
log (4 − 2x) ≥ 2 ⇔ log (4 − 2x) ≥ log 8 ⇔ 4 − 2x ≥ 8 ⇔ 4 − 2x ≥ 64 ⇔ 2x ≤ 60 − ⇔ x ≤ 30 − 8 8 8
Vậy tập nghiệm của bất phương trình logarit là: ( ; −∞ 30] −
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 . Giải mỗi phương trình sau: a) ( )x−3 0,3 =1 . b) 3x−2 5 = 25 . c) x−2 x 1 9 243 + = . d) log x +1 = 3 − 1 ( ) . 2
e) log 3x − 5 = log 2x +1 + = − 5 ( ) 5 ( ) . g) log x 9 log 2x 1 1 ( ) 1 ( ) . 7 7 Lời giải x−3 x−3 0
a) (0,3) =1 ⇔ (0,3) = (0,3) ⇔ x − 3 = 0 ⇔ x = 3 3x−2 3x−2 2 4 b) 5 = 25 ⇔ 5
= 5 ⇔ 3x − 2 = 2 ⇔ 3x = 4 ⇔ x = 3 x−2 x 1 + 2(x−2) ( 5 x+ ) 1 c) 9 = 243 ⇔ 3 = 3
⇔ 2x − 4 = 5x + 5 ⇔ 3
− x = 9 ⇔ x = 3 − d) log x +1 = 3 − 1 ( ) 2
ĐKXĐ: x +1 > 0 ⇒ x > 1 − log x +1 = 3
− ⇔ log x +1 = log 8 ⇔ x +1 = 8 ⇔ x = 7 . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 2 2
e) log 3x − 5 = log 2x +1 5 ( ) 5 ( ) ĐKХĐ: 5 x > 3
log 3x − 5 = log 2x +1 ⇔ 3x − 5 = 2x +1 ⇔ x = 6 5 ( ) 5 ( )
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
g) log x + 9 = log 2x −1 1 ( ) 1 ( ) 7 7 ĐKXĐ: 1 x > 2
log x + 9 = log 2x −1 ⇔ x + 9 = 2x −1 ⇔ x =10 1 ( ) 1 ( ) 7 7 Bài 2.
Giải mỗi bất phương trình sau: 3x−7 a) x 1 3 > ; b) 2 3 ≤ ; 243 3 2 c) x+3 4 ≥ 32x ; d) log(x − ) 1 < 0 ; e) log ≥ log x + 3 ;
g) ln (x + 3) ≥ ln(2x −8). 1 1 ( ) (2x− ) 1 5 5 Lời giải x 1 x 5 a) 3 >
⇔ 3 > 3− ⇔ x > 5 − 243 3x−7 2 3 b) ≤ ⇔ 3x − 7 ≥ 1
− ⇔ 3x ≥ 6 ⇔ x ≥ 2 3 2 x+3 x 2(x+3) 5 c) 4 ≥ 32 ⇔ 2
≥ 2 x ⇔ 2x + 6 ≥ 5x ⇔ 3 − x ≥ 6 − ⇔ x ≤ 2 d) log(x − ) 1 < 0 Đ Đ: KX x >1 log(x − )
1 < 0 ⇔ log(x − ) 1 < log( )
1 ⇔ x −1<1 ⇔ x < 2
Kết hợp với ĐKXĐ: 1< x < 2
e) log 2x −1 ≥ log x + 3 1 ( ) 1 ( ) 5 5 ĐKXĐ: 1 x > 2
log 2x −1 ≥ log x + 3 ⇔ 2x −1≤ x + 3 ⇔ x ≤ 4 1 ( ) 1 ( ) 5 5 Kết hợp với Đ Đ
KX ⇒ 1 < x ≤ 4 2
g) ln (x + 3) ≥ ln(2x −8) ĐKXĐ: x > 3
ln (x + 3) ≥ ln(2x −8) ⇔ x + 3 ≥ 2x −8 ⇔ x ≤11 Kết hợp với Đ Đ
KX ⇒ 3 < x ≤11
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Bài 3.
Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi
suất x% / năm(x > 0) . Sau 3 năm, người đó rút được cả gốc và lãi là 119,1016 triệu đồng. Tìm x , biết
rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi. Lời giải 3 Ta có công thức: 100.1 x + = x x 119,1016 ⇔ 1+ = 1,06 ⇔ = 0,06 ⇔ x = 6 . 100 100 100 Bài 4.
Sử dụng công thức tính mức cường độ âm L ở ví dụ 14, hãy tính mức cường độ âm mà tai
người có thể nghe được, biết rằng tai người có thể nghe được âm với cường độ âm từ 12 − 2 10 W / m đến 2 10W / m . Lời giải
= 10log I ⇔ 130 =10log I L 12 − 12 10 10− I I 13 ⇔ log = 13 ⇔ log = log1.10 12 − 12 10 10− I 13 ⇔ = 1.10 12 10− ⇔ I =10
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Phương trình 2x 1 2 + = 32 có nghiệm là A. 5 x = . B. x = 2 . C. 3 x = . D. x = 3. 2 2 Lời giải Chọn B Ta có 2x 1
2 + = 32 ⇔ 2x +1 = 5 ⇔ x = 2 . 2 x −2x−3
Câu 2: Phương trình 1 x 1 =
7 − có bao nhiêu nghiệm? 7 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn C 2 x −2x−3 2 1 x −2x−3 − x 1 + x 1 = 1 1 1 17 7 − ⇔ = 2
⇔ x − 2x − 3 = −x +1 2
⇔ x − x − 4 = 0 x ± ⇔ = 7 7 7 2
Câu 3: Phương trình log x = log x + 2 có bao nhiêu nghiệm? 2 2 ( ) A. 0 . B. 2 . C. 3. D. 1. Lời giải Chọn A 2
log x = log x + 2 2 2 ( )
log x = log x + 2 ⇔ 2 2 ( ) x>0
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x = 1 − 2 x = x + 2 2
x − x − 2 = 0 1 ⇔ ⇔
⇔ x = 2 ⇔ x = 2. x > 0 x > 0 2 x > 0
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Câu 4: Số nghiệm của phương trình log ( 2
x + 4x + log 2x + 3 = 0 3 ) 1 ( ) là 3 A. 3. B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn C x > 0 2 x 4x 0 + > Điều kiện x < 4 − ⇔ ⇔ x > 0 . 2x + 3 > 0 3 x > − 2
Phương trình đã cho ⇔ log ( 2
x + 4x = log 2x + 3 3 ) 3 ( ) x =1 2
⇔ x + 4x = 2x + 3 2
⇔ x + 2x − 3 = 0 ⇔ . x = 3 −
Kết hợp điều kiện ta được x =1. x 3x 1 −
Câu 5: Tập nghiệm S của phương trình 4 7 16 − = 0 là 7 4 49 A. 1 S = − . B. S = { } 2 . C. 1 1 ; − . D. 1 S = − ; 2 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A x 3x 1 − 2 − x 1 + 2 Ta có 4 7 16 − = 4 4 0 ⇔ = ⇔ 2 − x +1 = 2 1 ⇔ x = − . 7 4 49 7 7 2 2
Câu 6: Cho phương trình ( +
)x +x 1− =( + )x−2 7 4 3 2 3
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phương trình có hai nghiệm không dương.
B. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.
D. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. Lời giải Chọn A Do + = ( + )2 7 4 3 2
3 nên phương trình ban đầu tương đương với = ( x 0 +
) ( 22x+x− )1 =( + )x−2 2 3 2 3 2
⇔ 2x + 2x − 2 = x − 2 2 ⇔ 2x + x = 0 ⇔ 1 . x = − 2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm không dương.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 7: Nghiệm của phương trình log x +1 +1= log 3x −1 2 ( ) 2 ( ) là A. x = 3. B. x = 2 . C. x = 1 − . D. x =1. Lời giải Chọn A x > 1 x +1 > 0 − Điều kiện xác định 1 ⇔ 1 ⇔ x > . 3 x −1 > 0 x > 3 3
Khi đó phương trình trở thành
log 2x + 2 = log 3x −1 ⇔ 2x + 2 = 3x −1 ⇔ −x = 3 − ⇔ x = 3 2 ( ) 2 ( ) .
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
Câu 8: Số nghiệm thực của phương trình 3log (x − )
1 − log (x −5)3 = 3 là 3 1 3 A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Lời giải Chọn B
Điều kiện: x > 5 3log (x − )
1 − log (x −5)3 = 3 ⇔ 3log x −1 + 3log x −5 = 3 3 ( ) 3 ( ) 3 1 3
⇔ log x −1 + log x − 5 =1 ⇔ log x −1 x − 5 =1 ⇔ x −1 x − 5 = 3 3 ( )( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )( ) 2
⇔ x − 6x + 2 = 0 ⇔ x = 3± 7
Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm x = 3+ 7
Câu 9: Nghiệm của phương trình x 1+ x 1− 1 2 .4 . = 16x là 1 8 −x A. x = 3. B. x =1. C. x = 4. D. x = 2. Lời giải Chọn D x 1 + x 1 − 1 x x 1 + 2(x− ) 1 ( 3 x− ) 1 4 2 .4 . = 16 ⇔ 2 .2 .2 = 2 x 1 8 −x
⇔ x +1+ 2(x − ) 1 + 3(x − )
1 = 4x ⇔ x = 2.
Câu 10: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 x −2x 1 − x −2 2 .3 x =18 bằng A. 1. B. 1 − . C. 2 . D. 2 − . Lời giải Chọn C Ta có 2 2 2 x −2x 1 − x −2x x −2x 2 2 2 .3 = 18 ⇔ 6
= 36 ⇔ x − 2x = 2 ⇔ x − 2x − 2 = 0 . Phương trình 2
x − 2x − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí vi-et tổng hai nghiệm của phương trình là: x + x = 2. 1 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 11: Tổng các nghiệm của phương trình log (x − 2) + log (x − 4)2 = 0 là S = a + b 2 . Giá trị của 3 3 biểu thức Q = . a b bằng A. 0. B. 3. C. 9. D. 6. Lời giải Chọn D
Điều kiện: 2 < x ≠ 4 .
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương
2log x − 2 + 2log x − 4 = 0 ⇔ log x − 2 x − 4 = 0 ⇔ x − 2 x − 4 =1 3 ( ) 3 3 ( ) ( )
(x − 2)(x − 4) 2 = 1
x − 6x + 7 = 0 x = 3± 2 ⇔
So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm ( ⇔ ⇔
x − 2)(x − 4) 2 = 1 −
x − 6x + 9 = 0 x = 3 x = 3+ 2;x = 3 1 2
Ta được: S = x + x = 6 + 2 ⇒ a = 6;b =1 1 2 . Vậy Q = . a b = 6.
Câu 12: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2
log x − 3log x + 2 = 0 . Tính P = x + x . 1 2 2 2 1 2 A. 6 . B. 3 − . C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn A log x =1 x = 2 2
log x − 3log x + 2 = 0 2 1 ⇒ ⇒ . 2 2 log x 2 = x = 4 2 2
Vậy P = x + x = 2 + 4 = 6 . 1 2
Câu 13: Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình 2 log x − 3log . x log 3+ 2 = 0 2 3 2 A. 20 B. 18 C. 6 D. 25 Lời giải Chọn A 2 2 log x − 3log .
x log 3+ 2 = 0 ⇔ log x − 3log x + 2 = 0 2 3 2 2 2 log x =1 x = 2 2 1 2 2 ⇔ ⇔ ⇒ x + x = 20 1 2 log x = 2 x = 4 2 2
Câu 14: Phương trình 2x 1− x 1 6 5.6 − −
+1 = 0 có hai nghiệm x , x . Khi đó tổng hai nghiệm x + x là. 1 2 1 2 A. 5. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn D 2x x 1 = x− x− 6 5.6 6x 2 2 1 1 2 6 − 5.6 +1 = 0 ⇔ −
+1 = 0 ⇔ 6 x − 5.6x + 6 = 0 ⇔ . 2 6 6 6x = 3 1 x 2 x 1 x + 2
⇒ 6 .6 = 3.2 ⇔ 6 x = 6 ⇔ x + x =1. 1 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 15: Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình 2
log x − 5log x + 4 = 0 . Tính T . 1 3 3 A. T = 4. B. T = 5 . C. T = 84 . D. T = 4 − . Lời giải Chọn C Phương trình log x = 1 x = 3 2 2 3
log x − 5log x + 4 = 0⇔ log x − 5log x + 4 = 0⇔ ⇔ . 1 3 3 3 log x 4 = x = 81 3 3 Vậy T = 3+81= 84 .
Câu 16: Phương trình x x 2x 1 9 6 2 + − = có bao nhiêu nghiệm âm? A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Lời giải Chọn B 2x x Ta có: x x 2x 1 9 6 2 + − = x x x 3 3 9 6 2.4 ⇔ − = ⇔ − − 2 = 0 2 2 3 x = 1 − (L) 2 ⇔ ⇔ x = log 2 . 3 3 x = 2 2 2
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm. Câu 17: x x Gọi x , x − + + = 1
2 là nghiệm của phương trình (2 3) (2 3) 4. Khi đó 2 2 x + 2x bằng 1 2 A. 2. B. 3. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn B
Ta có: (2 3)x .(2 3)x − +
= 1. Đặt t = ( − )x t > ⇒ ( + )x 1 2 3 , 0 2 3 = . t
Phương trình trở thành: 1 2
t + = 4 ⇒ t − 4t +1 = 0 ⇔ t = 2 ± 3 . t
Với = 2 − 3 ⇒ (2− 3)x t = 2 − 3 ⇔ x = 1.
Với = + ⇒ ( − )x = + ⇔ ( − )x − t = ( − ) 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 ⇔ x = 1 − . Vậy 2 2 x + 2x = 3 . 1 2
Câu 18: Biết rằng phương trình 2
log x − log 2018x − 2019 = 0 2 2 ( )
có hai nghiệm thực x , x .Tích x x 1 2 1 2 bằng A. log 2018 2 B. 0,5 C. 1 D. 2 Lời giải Chọn D 2
log x − log 2018x − 2019 = 0 2 2 ( ) . ( ) 1
Điều kiện x > 0.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Đặt t = log x . Phương trình trở thành 2 − − − = (2) 2 t t log 2018 2019 0. 2
Do ac < 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm t ,t .Khi đó phương trình ( )
1 có 2 nghiệm x , x 1 2 1 2
thỏa mãn t = log x ;t = log x . 1 2 1 2 2 2
Theo Vi-et ta có t + t =1 hay log x x =1 ⇔ x x = 2 2 ( 1 2 ) . 1 2 1 2
Câu 19: Tìm số nghiệm thực của phương trình 2 2 log x − log ( 2 4x − 5 = 0 . 2 4 ) A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 Lời giải Chọn B
Điều kiện x ≠ 0 . Phương trình 2 2 log x 1 − log ( 2 4x − 5 = 0 2 2 2
⇔ log x − log x − 6 = 0 2 4 ) 2 2 2 2 1 97 log x + ⇔ = 1 97 ∨ 2 log x − =
. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. 2 4 2 4
Câu 20: Cho phương trình log (5x ) 1 .log ( x 1 5 + − − 5 =1. Khi đặt log 5x t =
−1 , ta được phương trình 5 ( ) 5 25 ) nào dưới đây? A. 2t −1 = 0
B. 2t + t − 2 = 0 C. 2t − 2 = 0 D. 2
2t + 2t −1 = 0 Lời giải Chọn B log (5x ) 1 .log ( x 1 5 + − − 5 =1 ( ) 1 5 25 ) TXĐ: D = ( 0;+∞) . Ta có ( x 1+ x 1 log 5 − 5 = log 5.5 − 5 = log 5x −1 +1 . 25 ) 2 5 ( ) ( 5( ) ) 2 Đặt log 5x t = −1 (t > 0). 5 ( ) Phương trình ( ) 1 trở thành 1 t. (t + ) 1 =1 2
⇔ t + t − 2 = 0 . 2
Câu 21: Tích tất cả các nghiệm của phương trình x 4
3 + 3 −x = 30 bằng A. 3. B. 1. C. 9. D. 27 . Lời giải Chọn A x 4−x x 81 3 + 3 = 30 ⇔ 3 + = 30 . 3x Đặt = 3x t
(t > 0), phương trình đã cho trở thành: 81 2 t +
= 30 ⇔ t − 30t + 81 = 0 t t =
= 27 ⇒ 3x = 27 ⇔ x = 3 Vậy tích tất cả các nghiệm của phương trình là 1.3 3.
⇔ t =3⇒3x =3⇔ x =1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 22: Biết phương trình 2log x + 3log = có hai nghiệm thực x < x . Tính giá trị của biểu thức x 2 7 2 1 2 = ( ) 2x T x 1 A. T = 64 . B. T = 32 . C. T = 8. D. T =16 . Lời giải Chọn D x > 0 Điều kiện: . x ≠ 1 Ta có: 2log x + 3log = 3 ⇔ 2log x + = 7 x 2 7 2 2 log x 2 log x = 3 2 x = 8 2
⇔ 2log x − 7log x + 3 = 0 ⇔ ⇔ . 2 2 1 log x = 2 x = 2 2 ⇒ x = 2 x = 8 x ⇒ = = ( )8 2 =16 1 ; T (x . 1 ) 2 2
Câu 23: Phương trình 2 2 x +x 1 − x +x 1 3.9 10.3 − −
+ 3 = 0 có tổng các nghiệm thực là: A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 2 − . Lời giải Chọn D Đặt 2 1 3x x t + − =
, điều kiện t > 0. t = 3
Khi đó phương trình đã cho có dạng: 2
3t −10t + 3 = 0 ⇔ 1 t = 3 = + − x 1 Với 2 x x 1 2 2 t = 3 ⇒ 3
= 3 ⇔ x + x −1 =1 ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ x = 2 − 1 = + − x x x 1 0 Với 2 1 2 2 t = ⇒ 3
= ⇔ x + x −1 = 1
− ⇔ x + x = 0 ⇔ 3 3 x = 1 −
Tập nghiệm của phương trình là S = { 2; − 1 − ;0; }
1 nên tổng tất cả các nghiệm thực là 2 − .
Câu 24: Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình x x 1 + 2 16 − .4 m
+ 5m − 45 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A. 13 B. 3 C. 6 D. 4 Lời giải Chọn B Đặt = 4x t
,(t > 0) . Phương trình trở thành: 2 2
t − 4mt + 5m − 45 = 0.
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt t > 0.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com ∆′ > 0 2 −m + 45 > 0 3 − 5 < m < 3 5 ⇔ P > 0 2 ⇔ 5
m − 45 > 0 ⇔ m < 3
− ∨ m > 3 ⇔ 3 < m < 3 5 . S > 0 4m > 0 m > 0
Vì m nguyên nên m∈{4;5; }
6 . Vậy S có 3 phần tử.
Câu 25: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình x x 1 4 .2 m + −
+ 2m = 0 có hai nghiệm x , x thỏa 1 2
mãn x + x = 3 ? 1 2 A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3. Lời giải Chọn C
Phương trình ⇔ 4x − 2 .2x m + 2m = 0 ( ) 1 Đặt 2x
t = , t > 0 phương trình trở thành 2 t − 2 .
m t + 2m = 0 (2) . Để phương trình ( )
1 có hai nghiệm x , x thỏa mãn x + x = 3 điều kiện là phương trình (2) 1 2 1 2
có hai nghiệm t , t > 0 thỏa mãn 1 x 2 x 1 x + 2 x = =
= suy ra 2m = 8 ⇔ m = 4 . 1 2 t .t 2 .2 2 8 1 2
Câu 26: Tìm giá trị thực của m để phương trình 2
log x − mlog x + 2m − 7 = 0 có hai nghiệm thực x , x 3 3 1 2 thỏa mãn x x = 81. 1 2 A. m = 4 −
B. m = 44
C. m = 81
D. m = 4 Lời giải Chọn D
Đặt t = log x ta được 2t − mt + 2m − 7 = 0 , tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm t ,t 3 1 2
t + t = log x + log x = log x x = log 81 = 4 1 2 3 1 3 2 3 ( 1 2 ) 3
Theo vi-et suy ra t + t = m ⇒ m = 4 1 2
Câu 27: Số nghiệm của phương trình (x − 2)log
( 2x −5x+6 +1 = 0 0,5 ) là A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn D ĐKXĐ: x > 3 2
x − 5x + 6 > 0 ⇔ . x < 2 Kết hợp ĐKXĐ ta có: (x − 2)log
( 2x −5x+6)+1 = 0 ⇔ log ( 2x −5x+6 = 1 − 0,5 0,5 ) = − x 1 2 1 2
⇔ x − 5x + 6 = 0,5 ⇔ x − 5x + 4 = 0 ⇔ . x = 4
Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 9 − 7 = 2
Câu 28: Tập nghiệm của phương trình log ( 2
x − x + 2 =1 là 2 ) A. { } 0 . B. {0; } 1 . C. { 1; − } 0 . D. { } 1 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn B x = 0 Ta có: log ( 2 x − x + 2 =1 2
⇔ x − x + 2 = 2 ⇔ . 2 ) x = 1
Câu 29: Nghiệm của phương trình log(x − )1 = 2 là A. 5. B. 21. C. 101. D. 1025 . Lời giải Chọn C
Điều kiện của phương trình là x >1 . (x − ) 2 log
1 = 2 ⇔ x −1 = 10 ⇔ x = 101 .
Vậy x =101 thỏa mãn điều kiện nên phương trình đã cho có nghiệm là x =101 .
Câu 30: Tập nghiệm của phương trình log x + log x + log x = 7 là: 2 4 16 A. { } 16 . B. { 2}. C. { } 4 . D. {2 2}. Lời giải Chọn A
Điều kiện: x > 0 . 1 1 7
log x + log x + log x = 7 ⇔ log x + log x + log x = 7 ⇔ log x = 7. 2 4 16 2 2 2 2 2 4 4 4
⇔ log x = 4 ⇔ x = 2 ⇔ x =16 . 2
Câu 31: Tích các nghiệm của phương trình 2x 1− 2x+3 2 = 3 bằng A. 3 − log 3 . B. −log 54 . C. 4 − . D. 1− log 3. 2 2 2 Lời giải Chọn B Ta có: 2x 1− 2x+3 2 2 = 3
⇔ x −1 = (2x + 3) 2
log 3 ⇔ x − 2log 3.x −1− 3log 3 = 0. 2 2 2
Vì ac < 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x và 1 2 x x = 1
− − 3log 3 = −log 2 − log 27 = −log 54 . 1 2 2 2 2 2
Câu 32: Gọi x , x x x − x = x + x
1 2 là hai nghiệm của phương trình 2 2 2 .5 1. Khi đó tổng 1 2 bằng A. 2−log 2 . B. 2 − + log 2 . C. 2+ log 2 . D. 2−log 5 . 5 5 5 2 Lời giải 2
2x.5x − x =1 ⇔ log ( 2 2 x x −2 2 .5 x ) 2
= 0 ⇔ x log 2 + x − 2x = 0 ⇔ x log 2 + x − 2 = 0 5 5 ( 5 ) x = 0 . 1 ⇒ . x = 2 − log 2 2 5 x 1 −
Câu 33: Phương trình 27 x .2x = 72 có một nghiệm viết dưới dạng x = −log b a
, với a , b là các số
nguyên dương. Tính tổng S = a + b . A. S = 4. B. S = 5 . C. S = 6 . D. S = 8 . Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn B
Điều kiện x ≠ 0 . 3x−3 x 1 − x 1 3 − x 3 3x−3 Phương trình 27 3 2 −2 x .2x = 72 x x 2 3 ⇔ 3 .2 = 3 .2 ⇔ = x 3 ⇔ 3 = 2 −x 2 3 2x x−3 x − 3 x − 3 1 x 3 ⇔ 3 = 2 −x 3 ⇔ = log 2 −x ⇔
= −(x − 3)log 2 ⇔ (x − 3) + log 2 = 0 3 x 3 x 3 x x = 3 x = 3(N ) ⇔ 1 ⇔ . − log 2 =
x = − log 3 N 2 ( ) 3 x a = 2 Suy ra
. Vậy tổng S = a + b = 5. b = 3
Câu 34: Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log 3.2x −1 = x −1 4 ( ) A. 2 . B. 1. C. 5. D. 6 − . Lời giải Chọn A log (3.2x ) x x 1 1 1 3.2 1 4 4x 12.2x x − − = − ⇔ − = ⇔ − + 4 = 0 4 Đặt = 2x t
(t > 0) . Phương trình trở thành: 2t −12t + 4 = 0 ⇔ t = 6± 4 2 Với = 6 + 4 2 ⇒ 2x t
= 6 + 4 2 ⇔ x = log 6 + 4 2 . 2 ( )
Với = 6 − 4 2 ⇒ 2x t
= 6 − 4 2 ⇔ x = log 6 − 4 2 . 2 ( )
Tổng các nghiệm là log 6 + 4 2 + log 6 − 4 2 = log 4 = 2 . 2 ( ) 2 ( ) 2
Câu 35: Phương trình log 5− 2x = 2 − x có hai ngiệm x , x . Tính P = x + x + x x . 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 A. 11. B. 9 . C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn D
Điều kiện: 2x < 5 2x =1 x = 0
log 5 − 2x = 2 − x ⇔ x 2 5 − 2 = 2 −x ⇔ x 4 5 − 2 = ⇔ ⇔ 2 ( ) 2x 2x = 4 x = 2
⇒ P = x + x + x x = 2 1 2 1 2
Câu 36: Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log 3.4x + 2.9x = x +1 bằng 6 ( ) A. 4 B. 1 C. 0 D. 3 Lời giải Chọn B 2x x
Phương trình đã cho tương đương x x x 1 + 2 2 3.4 2.9 6 3. 6. + = ⇔ − + 2 = 0 3 3
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x
Đặt 2 = t,(t >
0). Khi đó ta có phương trình 2
3t − 6t + 2 = 0 3
Hiển nhiên phương trình có 2 nghiệm phân biệt t ,t dương và thỏa mãn 1 2 1 x 2 2 2 2 x 2 t .t = ⇒ . = ⇒ x + x = 1. 1 2 1 2 3 3 3 3
Câu 37: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình: x (m ) x+ − + 1 4
3 .2 + m + 9 = 0 có hai
nghiệm dương phân biệt. A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. Vô số. Lời giải Chọn A Đặt: = 2x t
( x > 0 ⇒ t > 1) , phương trình đã cho trở thành: 2t −2(m+ 3)t + m+9 = 0.
Bài toán trở thành: Tìm các giá trị nguyên của tham số m để phương trình: 2
t − 2(m + 3)t + m + 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt t ,t thỏa mãn 1 < t < t 1 2 1 2 ∆′ = 2 m + 5m > 0 ∆′ = 2 m + 5m > 0 (t 1 t 1 0 t t t t 1 0 * 1 )( 2 ) ⇔ − − > ⇔ − 1 2 ( + 1 2 ) + > ( ) S S = m + 3 > 1 = m + 3 > 1 2 2
Phương trình: 2t − 2(m + 3)t + m + 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt t ,t nên theo Viet ta có: 1 2
t + t = 2 m 3 1 2 ( + )
t .t = m + 9 1 2 m < −5 2 m + 5m > 0 m > 0
Thay vào hệ (*) ta được
−m + 4 > 0 ⇔ m < 4 ⇔ 0 < m < 4 m + 3 > 1 m > − 2
Vì m∈, 0 < m < 4 ⇒ m∈{1;2 } ;3 .
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 38: Cho phương trình x x+ − 2 4
2 + m − 2 = 0 với m là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x ,x thỏa mãn 0 ≤ x < x ? 1 2 1 2 A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn A x x+ − 2 4
2 + m − 2 = 0 ⇔ 4x − 4.2x + m − 2 = 0(1) . Đặt = 2x t (t > 0) ( ) ⇔ 2 1
t − 4t + m − 2 = 0 (2)
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 26
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Để phương trình (1)có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 0 ≤ x < x 1 2 ⇔ 0 2 ≤ 1 2x < x2
2 ⇔ 1 ≤ t < t 1 2
Thì phương trình (2) thỏa: 0 ≤ t −1 < t −1 1 2 ∆ > 0
16 − 4(m − 2) > 0 m < 6
⇔ t + t > 2 ⇔ 4 > 2 ⇔
. Vậy m = 5 thỏa yêu cầu. 1 2 ( m ≥ 5 t −1 t 1 0
t t −(t +t ) + 1 ≥ 0 1 )( − 2 ) ≥ 1 2 1 2 x x
Câu 39: Phương trình (1+ 2) +(1− 2a)( 2 −1) − 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1 2 x − x = log
3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 1+ 2 A. 3 a 3 3 3 ∈ −∞;− . B. a∈ − ;0 . C. a∈0; . D. a∈ ;+∞ . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B x x Vì (1 1
+ 2 )( 2 −1) = 1. Đặt t = (1+ 2) (t > 0) ⇒ ( 2 −1) = t Phương trình trở thành: 1− 2a t + − 4 = 0 ⇔ 2
t − 4t + 1− 2t = 0 (1) . t
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) phải có hai nghiệm dương t , t . 1 2
∆′ = 2a + 3 > 0 −3 1
t + t = 4 > 0 ⇔ < a < . 1 2 2 2
t t = 1− 2a > 0 1 2 x x Và thỏa mãn t x − x = log 3 ( ) − ⇔ + 1 2 1 2
= 3 ⇔ 1 = 3 ⇔ t = 3t . 1 2 1+ 2 t 1 2 2 t = 3t t = 3 t = 3 1 2 1 1
t + t = 4 ⇔ t 1 t 1 1 2 = ⇔ 2 = 2 t t = 1− 2a
t t = 1− 2a = 1.3 a = − 1 1 2 1 2
Vậy với a = −1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 40: Cho phương trình x+1 4 − (8 + 5)2x m
+ 2m + 1 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2
thỏa mãn x x = −1. Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 2
A. m∈(1;3).
B. m∈(−5;− 3) .
C. m∈(−3;0) . D. m∈(0;1). Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 27
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x+1 4 − (8 + 5)2x m + 2m + 1 = 0 (*) Đặt = 2x t
, điều kiện t > 0 , phương trình (*) trở thành 2
4t − (8m + 5)t + 2m + 1 = 0 ⇔ (4t −1)(t − 2m −1) = 0 1 t = ⇔ 1 4 t = 2m + 1. 2 2m + 1 > 0 1 m > −
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 ⇔ 2 (* *) 2m + 1 ≠ 3 4 m ≠ − . 8 Lại có x x 1 1 = −1 log t log t 1 ⇔ log ⋅log 2m 1 1 ⇔ log 2m 1 2 ( + ) = 2 2 ( + ) = − 1 2 ⇔ ⋅ = − 2 1 2 2 4 2 2 1 ⇔ 2m +1 = 2 ⇔ − m = . 2
Câu 41: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp (x;y)thỏa mãn các điêu kiện log
(4x 4y 4) 1 và 2 x + 2
y + 2x − 2y + 2 − m = 0. Tổng các giá trị của S 2 2 + − = x +y +2 bằng A. 33. B. 24. C. 15. D. 5. Lời giải Chọn B
Điều kiện: 4x + 4y − 4 > 0 2 2 log (4x 4y 4) 1 2 2 + − = x y x y x y 4 4 6 0 2 + − − + = Ta có + + ⇔
có nghiệm duy nhất (x;y) 2 x + 2
y + 2x − 2y + 2 − m = 0 2 x + 2
y + 2x − 2y + 2 − m = 0 . Với 2 x + 2
y − 4x − 4y + 6 = 0 là phương trình đường tròn tâm (
A 2;2) , bán kính R = 2 . 1 Với 2 x + 2
y + 2x − 2y + 2 − m = 0 là phương trình đường tròn tâm (
B −1;1) , bán kính R = m 2 với m > 0 .
Hai đường tròn có điếm chung duy nhất khi xảy ra các trường hợp sau:
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài AB = R + R ⇔ m + 2 = 10 ⇔ m = ( 10 − 2 2) . 1 2
Hai đường tròn tiếp xúc trong AB = R − R ⇔ m − 2 = 10 ⇔ m = ( 10 + 2 2) . 1 2
Vậy tổng các giá trị của tham số m = − 2 + + 2 ( 10 2) ( 10 2) = 24 . 2 x −4x+3
Câu 42: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 1
m để phương trình = 4 m − 2 m + 1 có 4 nghiệm 5 phân biệt?
A. 0 < m < 1. B. m < 1. C. m > −1. D. m < 0 . Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 28
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn A Vì 4 m − 2
m + 1 > 0,∀m nên phương trình tương đương với 2
x − 4x + 3 = log m m 1 (1) 1 ( 4 − 2 + ) 5
Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = 2 x − 4x + 3
Từ đó suy ra đồ thị hàm số y = 2 x − 4x + 3
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 0 < log m m 1 1 m m 1 1 0 m 1 . 1 (
4 − 2 + ) < ⇔ < 4 − 2 + < ⇔ < < 5 5
Câu 43: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x = log y = log x + y x 4 6 9 (
). Giá trị của tỉ số bằng y A. 1 − + 5 . B. 1± 5 . C. 1+ 5 . D. 1 − + 5 . 2 2 4 4 Lời giải Chọn A x = 4t
Đặt log x = log y = log x + y = t ⇒ y = 6t 4 6 9 ( ) .
x+ y = 9t x 1 − − 5 = (l) y 2 Mà t t t 2 =
⇒ x(x + y) 2 4 .9 (6 ) = y 2 2 x xy y 0 ⇔ + − = ⇔ . x 1 − + 5 = (t / m) y 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 29
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 44: Nghiệm của bất phương trình x+2 1 3 ≥ là 9 A. x ≥ 4 − . B. x < 0 . C. x > 0 . D. x < 4 . Lời giải Chọn A x+2 1 x+2 2 3 3 3− ≥ ⇔ ≥ ⇔ x + 2 ≥ 2 − ⇔ x ≥ 4 − . 9 2 x −4x
Câu 45: Tập nghiệm S của bất phương trình 1 < 8 là: 2 A. S = ( ; −∞ 3) .
B. S = (1;+∞) . C. S = ( ; −∞ )
1 ∪(3;+∞) . D. S = (1;3) . Lời giải Chọn C 2 x −4x 2 x −4x 3 − Ta có 1 < 1 1 8 ⇔ < 2
⇔ x − 4x > 3 − 2
⇔ x − 4x + 3 > 0 ⇔ x <1∨ x > 3 . 2 2 2 Vậy S = ( ; −∞ ) 1 ∪(3;+∞) . 2 x −4
Câu 46: Giải bất phương trình 3 ≥
1 ta được tập nghiệm T . Tìm T . 4 A. T = [ 2; − 2] .
B. T = [2;+∞). C. T = ( ; −∞ 2 − ]. D. T = ( ; −∞ 2 − ]∪[2;+∞) Lời giải Chọn A 2 x −4
Bất phương trình 3 2
≥1 ⇔ x − 4 ≤ 0 ⇔ x ∈[ 2; − 2] 4
Vậy tập nghiệm T = [ 2; − 2] .
Câu 47: Bất phương trình 2x > 4 có tập nghiệm là:
A. T = (2;+∞) . B. T = (0;2) . C. T = ( ;2 −∞ ) . D. T = ∅ . Lời giải Chọn A x x 2
2 > 4 ⇔ 2 > 2 ⇔ x > 2 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = (2;+∞) .
Câu 48: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log x −3 ≥ log 4 . 1 ( ) 1 2 2
A. S = (3; 7].
B. S = [3; 7]. C. S = ( ; −∞ 7].
D. S = [7; + ∞). Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 30
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ta có: log x − 3 ≥ log 4 ⇔ 0 < x − 3 ≤ 4 ⇔ 3 < x ≤ 7 . 1 ( ) 1 2 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (3; 7].
Câu 49: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 − x +3 2 x < 4
A. S = (∞; )
1 ∪(2;+∞) . B. S = (−∞; ) 1 .
C. S = \{1; } 2 .
D. S = (2;+∞) . Lời giải Chọn A > − + x 2
Bất phương trình tương đương với 2 x 3x 2 2 2 2
< 2 ⇔ −x + 3x < 2 ⇔ x − 3x + 2 > 0 ⇔ . x <1 − x
Câu 50: Tập nghiệm S của bất phương trình x+2 1 5 < là 25 A. S = ( ;2 −∞ ) . B. S = (−∞ ) ;1 .
C. S = (1;+∞) .
D. S = (2;+∞) . Lời giải Chọn D − x x+2 1 x+2 5 <
⇔ 5 < (5)2x ⇔ 2 < x . 25
Câu 51: Tập nghiệm của bất phương trình 2x x+4 2 < 2 là A. (0;4) . B. ( ;4 −∞ ) . C. (0;16) . D. (4;+∞) . Lời giải Chọn B Ta có 2x x+4 2 < 2
⇔ 2x < x + 4 ⇔ x < 4 .
Câu 52: Tập nghiệm của bất phương trình 2
ln x < 2ln (4x + 4) là: A. 4 ; − +∞ 4 4 . B. ( 1; − +∞) \{ } 0 . C. − ;+∞ \{ } 0 . D. − ;+∞ \{ } 0 . 5 5 3 Lời giải Chọn C 4 x < − Đk: 1 − < x ≠ 0; 2
ln x < 2ln (4x + 4) ⇔ 2
x < (4x + 4)2 ⇔ 2
15x + 32x +16 > 0 ⇔ 3 . 4 x > − 5
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm 4 S ; = − +∞ \{ } 0 . 5
Câu 53: Tập nghiệm của bất phương trình log x < log 12 −3x 2 2 ( ) là: A. (0;6) . B. (3;+∞) . C. ( ; −∞ 3) . D. (0;3). Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 31
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x > 0
Ta có log x < log 12 − 3x ⇔ ⇔ 0 < x < 3 2 2 ( ) .
x <12 − 3x
Câu 54: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình log 2x + 5 > log x −1 2 ( ) 2 (
). Hỏi trong tập S có bao
nhiêu phần tử là số nguyên dương bé hơn 10? A. 9. B. 15. C. 8 . D. 10. Lời giải Chọn C 2x + 5 > 0 Điều kiện: ⇔ x >1. x −1 > 0
log 2x + 5 > log x −1 ⇔ x + > x − x > − 2 ( ) 2 ( ) 2 5 1 ⇔ 6.
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình: S = (1;+∞) .
Vậy trong tập S có 8 phần tử là số nguyên dương bé hơn 10.
Câu 55: Bất phương trình log x + 7 > log x +1 4 ( ) 2 (
) có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 3. B. 1. C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn D
Điều kiện x > 1 − .
log (x + 7) > log (x + ) 2
1 ⇔ x + 7 > x + 2x +1 4 2 2
⇔ x + x − 6 < 0 ⇔ 3 − < x < 2 .
Do điều kiện nên tập nghiệm của bất phương trình là S = {0, } 1 .
Câu 56: Tập nghiệm của bất phương trình log 2x < log 9 − x e e ( ) là 3 3 A. (3;+∞) . B. (3;9) . C. ( ; −∞ 3) . D. (0;3). Lời giải Chọn C 2x > 0 x > 0
log 2x < log 9 − x ⇔ − > ⇔ < e e ( ) 9 x 0
x 9 ⇔ 3 < x < 9 . 3 3 2x > 9− x x > 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (3;9).
Câu 57: Tập nghiệm của bất phương trình log (9x −5) < log (3x + ) 1 là 4− 3 4− 3 A. (1;+∞). B. 5 ;1 . C. 1 − ;1 . D. 1 5 − ; . 9 3 3 9 Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 32
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 5 9 x − 5 > 0 x > Điều kiện: 9 ⇔ 5 ⇔ x > . 3 x +1 > 0 1 x > − 9 3 Ta có: log (9x −5) < log (3x + )
1 ⇔ 9x − 5 < 3x +1 ⇔ x <1. 4− 3 4− 3
Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là: 5 S ;1 = . 9
Câu 58: Tập nghiệm của bất phương trình: log x −3 + log x ≥ 2 2 ( ) 2 là A. (3;+∞) . B. [4;+∞) . C. ( ; −∞ − ]
1 ∪[4;+∞). D. (3;4] . Lời giải Chọn B
Điều kiện xác định: x > 3. x ≥ 4
log x − 3 + log x ≥ 2 2
⇔ x − 3x ≥ 4 ⇔ S = 4;+∞ 2 ( ) 2
. Vậy tập nghiệm của bpt là [ ). x ≤ 1 − 2x 10 −
Câu 59: Bất phương trình 2x−3x+4 1 2 ≤
có bao nhiêu nghiệm nguyên dương? 2 A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 3. Lời giải Chọn D
Bất phương trình tương đương với 2x−3x+4 10−2 2 ≤ 2 x 2
⇔ x − 3x + 4 ≤10 − 2x 2
⇔ x − x − 6 ≤ 0 ⇔ 2
− ≤ x ≤ 3. Do x > 0 nên 0 < x ≤ 3 . Mà x +
∈ nên x ∈{1;2; }
3 .Vậy có 3 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán. x−
Câu 60: Tập nghiệm của bất phương trình ( 3 5) 1 x+3 < 5 là: A. ( ; −∞ 5 − ) . B. ( ;0 −∞ ). C. ( 5; − +∞) . D. (0;+∞). Lời giải Chọn C x− x 1 − Ta có: ( 3 5) 1 x+3 < 5 x −1 3 x+3 ⇔ 5 < 5 ⇔
< x + 3 ⇔ x −1< 3x + 9 ⇔ x > 5 − . 3 x 1 − x 1 −
Câu 61: Tập nghiệm của bất phương trình ( 5 + 2) ≤ ( 5 − 2) là A. S = (−∞ ] ;1 .
B. S = [1;+ ∞) . C. S = (−∞ ) ;1 .
D. S = (1;+ ∞) . Lời giải Chọn A ( x 1 − − x 1 +
+ )x 1− ≤ ( − )x 1− 5 2 5 2
⇔ ( 5 + 2) ≤ ( 5 + 2) ⇔ x −1≤ −x +1 ⇔ x ≤1. Vậy S = (−∞ ] ;1 .
Câu 62: Tập nghiệm của bất phương trình x x 1 2 3 + > là:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 33
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A. ∅. B. ; −∞ log 3 ; −∞ log 3 log 3;+∞ 2 . C. ( 2 ] . D. 2 . 3 3 Lời giải Chọn B Cách 1: x x 1 2 3 + x log ( x 1 3 + > ⇔ >
⇔ x > x +1 log 3 ⇔ x 1− log 3 > log 3 2 ) ( ) 2 ( 2 ) 2 2 log 3 2 ⇔ x log > log 3 ⇔ x < ⇔ x < log 3. 2 2 2 3 2 3 log2 3 x
Cách 2: x x 1 + 2 2 3 > ⇔ > 3 ⇔ x < log 3 . 2 3 3
Câu 63: Giải bất phương trình 2 3x 2x <
A. x∈(0;+∞) . B. x∈(0;log 3 x ∈ 0;log 2 x∈ 0;1 2 ) . C. ( 3 ) . D. ( ). Lời giải Chọn C Ta có: 2 3x 2x < 2 log 3x log 2x ⇔ < 2
⇔ x − x log 2 < 0 ⇔ < < . 3 3 3 0 x log 2 3
Câu 64: Tập nghiệm của bất phương trinh x x 1 2 3 + > là A. ∅. B. ; −∞ log 3 ; −∞ log 3 log 3;+∞ 2 . C. ( 2 ] . D. 2 . 3 3 Lời giải Chọn B
Cách 1: x x 1 2 3 + x log ( x 1 3 + > ⇔ >
⇔ x > x +1 log 3 ⇔ x 1− log 3 > log 3 2 ) ( ) 2 ( 2 ) 2 2 log 3 2 ⇔ x log > log 3 ⇔ x < ⇔ x < log 3. 2 2 2 3 2 3 log2 3 x
Cách 2: x x 1 + 2 2 3 > ⇔ > 3 ⇔ x < log 3 . 2 3 3 x
Câu 65: Cho hàm số ( ) 1 2 .5x f x =
. Khẳng định nào sau đây là sai? 2 A. f (x) 2
>1 ⇔ x + x log2 5 > 0 . B. f (x) 2
> 1 ⇔ x − x log2 5 < 0. C. f (x) 2
>1 ⇔ x − x log5 2 > 0 . D. f (x) 2
> 1 ⇔ −x ln 2 + x ln 5 > 0 . Lời giải Chọn A x 1 x
Ta có: f (x) >1 1 2 ⇔ .5x > 2
1 ⇔ log .5x > 0 2 2 2 1 x 2 ⇔ log + log 5x > 0 2
⇔ −x + x log 5 > 0 nên phương án A sai. 2 2 2 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 34
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 66: Giải bất phương trình log 2x −1 > 3 3 ( ) A. x > 4 . B. x >14
C. x < 2 .
D. 2 < x <14. Lời giải Chọn B log 2x −1 > 3
x − > ⇔ x >14 3 ( ) ⇔ 3 2 1 3 .
Câu 67: Giải bất phương trình log 2x −1 < 2 3 ( ) ta được nghiệm là
A. 1 < x < 5 . B. 1 x > . C. x < 5. D. x > 5. 2 5 Lời giải Chọn A 1 2x −1 > 0 x > log 2x −1 < 2 ⇔ ⇔ 3 ( ) 2 . 2x −1< 9 x < 5
Câu 68: Giải bất phương trình log 1− x < 0 ? 1 ( ) 2 A. x = 0 . B. x < 0 . C. x > 0 . D. 1 − < x < 0 . Lời giải Chọn B 1 − x > 0 log 1− x < 0 ⇔ ⇔ x < 0 . 1 ( ) 1 − x >1 2
Câu 69: Các giá trị x thỏa mãn bất phương trình log 3x −1 > 3 2 ( ) là: A. x > 3.
B. 1 < x < 3. C. x < 3 . D. 10 x > . 3 3 Lời giải Chọn A
Ta có log 3x −1 > 3 ⇔ 3x −1> 8 ⇔ x > 3 2 ( ) .
Câu 70: Bất phương trình log0,5 (2x − )
1 ≥ 0 có tập nghiệm là? A. 1 ; +∞ B. 1 ;+∞ C. (1;+∞) D. 1 ;1 2 2 2 Lời giải Chọn D
Điều kiện: 2x −1 > 0 1 ⇔ x > . 2 log 0 0,5 (2x − )
1 ≥ 0 ⇔ 2x −1≤ 0,5 ⇔ 2x ≤ 2 ⇔ x ≤1.
So sánh với điều kiện ta có tập nghiệp của bất phương trình là 1 S ;1 = . 2
Câu 71: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log 9 − x ≤ 3 2 ( ) . A. 7 . B. 6 . C. 8 . D. 9.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 35
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn C
Ta có: log 9 − x ≤ 3 ⇔ 0 < 9 − x ≤ 8 ⇔ 1≤ x < 9
⇒ x ∈ 1;2;3;4;5;6;7;8 2 ( ) . Vì x∈ { }. Vậy có 8 nghiệm nguyên.
Câu 72: Tập nghiệm của bất phương trình log x −1 < 3 2 ( ) là: A. (−∞;10) . B. (1;9) . C. (1;10) . D. (−∞;9) . Lời giải Chọn B
Điều kiện: x −1 > 0 ⇔ x >1.
Ta có: log x −1 < 3 ⇒ x −1< 8 ⇔ x < 9 2 ( ) .
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (1;9) .
Câu 73: Tập nghiệm của bất phương trình log ( 2
x + 2 ≤ 3 là: 3 ) A. S = ( ; −∞ − 5]∪[5;+ ∞) . B. S = ∅ . C. S = . D. P = [ 5; − 5] . Lời giải Chọn D Ta có: log ( 2 x + 2 ≤ 3 2 ⇔ x + 2 ≤ 27 2 ⇔ x ≤ 25 ⇔ 5 − ≤ x ≤ 5 . 3 )
Câu 74: Số nghiệm thực nguyên của bất phương trình ( 2
log 2x −11x +15) ≤1 là A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6. Lời giải Chọn B ĐK: 2 5
2x −11x +15 > 0 ⇔ x < hoặc x > 3. 2 ( 2
log 2x −11x +15) ≤1⇔ 2
2x −11x +15 ≤10 ⇔ 2
2x −11x + 5 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5 . 2
Kết hợp điều kiện ta có: 1 5
≤ x < hoặc 3 < x ≤ 5. Vậy BPT có 4 nghiệm nguyên là: 2 2 x∈{1;2;4; } 5 .
Câu 75: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: 2 log > 2 . 1 x −1 2
A. S = (1;1+ 2) . B. S = (1; 9) .
C. S = (1+ 2; + ∞) . D. S = (9; + ∞) . Lời giải Chọn B x −1 > 0 2 x >1 x >1 log > 2 ⇔ ⇔ ⇔ . 1 x −1 2 1 < x −1 < 8 x < 9 2 x −1 4
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 36
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 76: Bất phương trình max log x, log x < 3 có tập nghiệm là 3 1 2 A. ( ; −∞ 27). B. (8;27). C. 1 ; 27 . D. (27;+∞). 8 Lời giải Chọn C
Điều kiện: x > 0 . log x < 3 x < 27 3 max 1
log x,log x < 3 ⇔ log x < 3 ⇔ 1 ⇔ < x < 27 . 3 1 1 x > 8 2 2 8
Vậy tập nghiệm của BPT là: 1 ;27 . 8
Câu 77: Tập nghiệm của bất phương trình log (log ( 2x −1 ≤ 1 − là: 1 2 ) 2 A. S = 1; 5 . B. S = (− ; ∞ − 5 ∪ 5;+∞ ).
C. S = − 5; 5 .
D. S = − 5;− ) 1 ∪ (1; 5. Lời giải Chọn B
log ( 2x −1 > 0 2 ) * ĐKXĐ: 2
⇔ x −1 >1 ⇔ x ∈( ; −∞ − 2)∪( 2;+ ∞) . 2 x −1 > 0 −
Bất phương trình log (log ( 2 1 x −1 ≤ 1 − log x 1 ⇔ − ≥ = 2 2 ⇔ − ≥ 2 ( ) 1 2 (x )1 4 1 2 ) 2 2 2
⇔ x ≥ 5 ⇔ x ∈(− ; ∞ − 5 ∪ 5;+ ∞ ).
* Kết hợp điều kiện ta được: x∈( ;
−∞ − 5 ∪ 5;+ ∞ ).
Câu 78: Cho phương trình 2x 10 + x+4 3 − 6.3 − 2 < 0( ) 1 . Nếu đặt x+5
t = 3 (t > 0) thì ( ) 1 trở thành phương trình nào? A. 2
9t − 6t − 2 < 0.
B. 2t − 2t − 2 < 0.
C. 2t −18t − 2 < 0. D. 2
9t − 2t − 2 < 0. Lời giải. Chọn B 2x 10 + x+4 2(x+5) x+5 3 − 6.3 − 2 < 0 ⇔ 3 − 2.3 − 2 < 0 Vậy khi đặt x+5
t = 3 (t > 0) thì ( )
1 trở thành phương trình 2t − 2t − 2 < 0.
Câu 79: Cho phương trình x 1
25 + − 26.5x +1 > 0. Đặt 5x
t = , t > 0 thì phương trình trở thành
A. 2t − 26t +1 > 0. B. 2
25t − 26t > 0 . C. 2
25t − 26t +1 > 0 . D. 2t − 26t > 0 . Lời giải Chọn C Ta có x 1
25 + − 26.5x +1 > 0 2 25.5 x 26.5x ⇔ − +1 > 0 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 37
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Vậy nếu đặt 5x
t = , t > 0 thì phương trình trên trở thành 2
25t − 26t +1 > 0 .
Câu 80: Xét bất phương trình 2x x+2
5 − 3.5 + 32 < 0. Nếu đặt 5x
t = thì bất phương trình trở thành bất
phương trình nào sau đây?
A. 2t − 3t + 32 < 0.
B. 2t −16t + 32 < 0 .
C. 2t − 6t + 32 < 0 .
D. 2t − 75t + 32 < 0 . Lời giải Chọn D 2x x+2 5 − 3.5 + 32 < 0 2x 2 5 3.5 .5x ⇔ − + 32 < 0 2 5 x 75.5x ⇔ − + 32 < 0 . Nếu đặt 5x t =
> 0 thì bất phương trình trở thành bất phương trình 2
t − 75t + 32 < 0 .
Câu 81: Cho phương trình 2 2 x −2x x −2x+3 4 + 2 − 3 ≥ 0 . Khi đặt 2 2 2x x t − =
, ta được phương trình nào dưới đây?
A. 2t + 8t − 3 ≥ 0 . B. 2 2t − 3 ≥ 0 .
C. 2t + 2t −3 ≥ 0 .
D. 4t − 3 ≥ 0 . Lời giải Chọn A 2 Phương trình 2 2 x −2x x −2x+3 4 + 2
− 3 ≥ 0 ⇔ ( 2x−2x ) 2 3 x −2 2 + 2 .2 x − 3 ≥ 0 . Kho đó, đặt 2 2 2x x t − =
, ta được phương trình 2t + 8t − 3 ≥ 0 .
Câu 82: Khi đặt t = log x thì bất phương trình 2
log 5x − 3log x − 5 ≤ 0 trở thành bất phương trình nào 5 ( ) 5 5 sau đây?
A. 2t −6t − 4 ≤ 0.
B. 2t −6t −5 ≤ 0 .
C. 2t − 4t − 4 ≤ 0 .
D. 2t −3t −5 ≤ 0. Lời giải Chọn C 2
log 5x − 3log x − 5 ≤ 0 ⇔ (log x +1 − 6log x − 5 ≤ 0 2
⇔ log x − 4log x − 4 ≤ 0 . 5 )2 5 ( ) 3 5 5 5
Với t = log x bất phương trình trở thành: 2t − 4t − 4 ≤ 0 . 5
Câu 83: Bất phương trình 2
log x − 2019log x + 2018 ≤ 0 có tập nghiệm là A. 2018 S = 10 ;10 2018 2018 . B. S = 10 ;10
). C. S =[1; 2018].
D. S = (10;10 ). Lời giải Chọn A
Điều kiện: x > 0 . Ta có 2 2018
log x − 2019log x + 2018 ≤ 0 ⇔ 1≤ log x ≤ 2018 ⇔ 10 ≤ x ≤10 .
Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là 2018 S = 10 ;10 .
Câu 84: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 2
log x − 8log x + 3 < 0 2 2 A. 5 . B. 1 . C. 7 . D. 4 . Lời giải Chọn A
Điều kiện: x > 0 . 1 2
log x − 8log x + 3 < 0 2 2
⇔ log x − 8log x + 3 < 0 2
⇔ log x − 4log x + 3 < 0 2 2 2 2 2 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 38
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
⇔ 1 < log x < 3 ⇔ 2 < x < 8 . So với điều kiện ta được 2 < x < 8 . 2
Câu 85: Tìm tập nghiệm S của phương trình 2
log x −5log x + 4 ≥ 0 2 2 A. S = ( ; −∞ 2]∪[16;+∞) .
B. S = (0;2]∪[16;+∞) . C. S = ( ; −∞ ]
1 ∪[4;+∞) . D. S = [2;16] . Lời giải Chọn B ĐK: x > 0
Đặt t = log x , t ∈ 2 . t ≤1
Bất phương trình tương đương 2t − 5t + 4 ≥ 0 ⇔ . t ≥ 4
• log x ≤1 ⇔ 0 < x ≤ 2 . 2
• log x ≥ 4 ⇔ x ≥16 . 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình S = (0;2]∪[16;+∞) .
Câu 86: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 3x + 9.3−x <10 là A. Vô số. B. 2 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn D Đặt 3x
t = (t > 0), bất phương trình có dạng 9 t + <10 2
⇔ t −10t + 9 < 0 ⇔ 1< t < 9 . t Khi đó 1 3x <
< 9 ⇔ 0 < x < 2. Vậy nghiệm nguyên của phương trình là x =1.
Câu 87: Tập nghiệm của bất phương trình 16x 5.4x − + 4 ≥ 0 là: A. T = ( ; −∞ ) 1 ∪(4;+ ∞) . B. T = ( ; −∞ ] 1 ∪[4;+ ∞) . C. T = ( ; −∞ 0) ∪(1;+ ∞). D. T = ( ; −∞ 0]∪[1;+ ∞) . Lời giải Chọn D Đặt 4x t = , t > 0. t ≥ 4 t ≥ 4 4x ≥ 4 x ≥1 16x 5.4x − + 4 ≥ 0 trở thành 2
t − 5.t + 4 ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ . t ≤1 0 < t ≤1 0 < 4x ≤1 x ≤ 0 Vậy T = ( ; −∞ 0]∪[1;+ ∞) .
Câu 88: Biết S = [ ;
a b] là tập nghiệm của bất phương trình 3.9x 10.3x −
+ 3 ≤ 0 . Tìm T = b − a . A. 8 T = . B. T =1. C. 10 T = . D. T = 2. 3 3 Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 39
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ta có 3.9x 10.3x − + 3 ≤ 0 ( x)2 3. 3 10.3x ⇔ − + 3 ≤ 0 1 3x ⇔ ≤ ≤ 3 1 ⇔ log ≤ x ≤ log 3 3 3 3 3 ⇔ 1
− ≤ x ≤1. Khi đó bất phương trình có tập nghiệm là S = [ 1; − ]
1 , do vậy T =1−(− ) 1 = 2.
Câu 89: Nghiệm của bất phương trình 2 x 1
5 + 5 < 5 + x + 5 x là.
A. 0 ≤ x ≤1.
B. 0 < x <1.
C. 0 < x ≤1.
D. 0 ≤ x <1. Lời giải Chọn B Ta có: 2 x 1
5 + 5 < 5 + x + 5 x . ⇒ ( < x < x )2 5 x 5 1 5
− 6.5 x + 5 < 0 ⇒ ⇒ 5 x >1 x > 0
Câu 90: Bất phương trình 64.9x 84.12x 27.16x − + < 0 có nghiệm là:
A. 1< x < 2. B. 9 3 < x < .
C. x <1 hoặc x > 2 . D. Vô nghiệm. 16 4 Lời giải Chọn A 2 x x x 4 x 4 x 64.9 84.12 27.16 0 27. 84. − + < ⇔ −
+ 64 < 0 ⇔ 1< x < 2 . 3 3
Câu 91: Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình 9x − 2( + ) 1 3x m
− 3− 2m > 0 nghiệm đúng với mọi số thực x . A. m∈( 5
− − 2 3;− 5 + 2 3). B. 3 m < − . 2 C. 3 m ≤ − . D. m ≠ 2 . 2 Lời giải Chọn C Đặt 3x
t = , t > 0. Khi đó, bất phương trình trở thành: 2 t − 2(m + )
1 t −3− 2m > 0 ⇔ (t + )
1 (t −3− 2m) > 0 ⇔ t −3− 2m > 0 ⇔ t > 3+ 2m ( ) 1 (Do t > 0).
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ thì ( )
1 phải nghiệm đúng với mọi t ∈(0;+ ∞) .
Điều này tương đương với 3+ 2m ≤ 0 3 ⇔ m ≤ − . 2
Vậy giá trị cần tìm của m là 3 m ≤ − . 2 x−2
Câu 92: Cho Hàm số f (x) 3 =
. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai? 2 x −4 7
A. f (x) > ⇔ (x − ) − ( 2 1
2 log3 x − 4)log7 > 0.
B. f (x) >1⇔ (x − 2)log 3−( 2 x − 4 log 7 > 0 . 0,3 ) 0,3
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 40
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
C. f (x) > ⇔ (x − ) − ( 2 1
2 ln 3 x − 4)ln 7 > 0.
D. f (x) >1⇔ x − 2 −( 2
x − 4)log 7 > 0 . 3 Lời giải Chọn B x−2 x−2 f (x) 3 > 1 ⇔ > 1 3 ⇔ log
< log 1 ⇔ (x − 2)log 3− ( 2 x − 4 log 7 < 0 . 0,3 ) 2 x −4 7 0.3 2 0,3 x −4 7 0,3
Câu 93: Biết tập nghiệm của bất phương trình − 2 2 x +5x−6 1 3 ≥
là một đoạn a;b ta có a + b bằng: 3x
A. a + b = 11.
B. a + b = 9 .
C. a + b = 12 .
D. a + b = 10 . Lời giải Chọn A Điều kiện: 2
x + 5x − 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1∨ x ≤ −6
Ta có: − 2x+ x− 1 − 2 2 5 6 2 x +5x−6 − 3 ≥ ⇔ 3 ≥ 3 x ⇔ 2 − 2
x + 5x − 6 ≥ −x ⇔ 2
x + 5x − 6 ≤ x + 2 3x 2
x + 5x − 6 ≥ 0
x ≤ −6 ∨ x ≥ 1 ⇔ x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2 ⇔ x ∈ 1;10 2 2
x + 5x − 6 ≤ x + 4x + 4 x ≤ 10
Vậy a + b = 11
Câu 94: Cho bất phương trình 25x +15x − 2.9x ≤ .3x (5x − 3x m
) (mlà tham số thực). Tập hợp tất cả các
giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn 0 ; 1 là A. 11 m 11 11 11 ≤ . B. m > . C. m < . D. m ≥ . 2 2 3 3 Lời giải Chọn D 2x x
Chia hai vế của bất phương trình cho 2
3 x ( 3x > 0 ), ta được 5 5 + (1− m) + m − 2 ≤ 0 3 3 x Đặt 5 = t . 3 Với 5 x ∈ 0 ;1 ⇒ t ∈ 2
1 ; , ta có bất phương trình bậc hai t + (1− m)t + m − 2 ≤ 0 3
Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình: 2t + (1− m)t + m − 2 ≤ 0 , 5 ∀t ∈ 1 ; 3 2 5 t
(1 m)t m 2 0, t 1 ;
(t 1)(t 2 m) 5 + − + − ≤ ∀ ∈ ⇔ − + − ≤ 0,∀t ∈ 1 ; (*) 3 3 Vì 5 t 5 5 11
− 1 ≥ 0,∀t ∈ 1 ; , nên (*)
⇔ t + 2 − m ≤ 0,∀t ∈ 1 ;
⇔ + 2 − m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3 3 3 3
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 41
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 95: Giả sử phương trình 2
log x − m 2 log x 2m 0 có hai nghiệm thực phân biệt x ,x thỏa 2 ( + ) + = 2 1 2
mãn x + x = 6 . Giá trị của biểu thức x − x là 1 2 1 2 A. 3 . B. 8 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C
Điều kiện: x > 0 . Đặt t = log x . 2 t = 2 log x = 2 x 4
Khi đó phương trình đã cho có dạng: 2t − (m + 2) =
t + 2m = 0⇔ ⇔ 2 ⇔ . t = m log x = m x = 2m 2 Do + = 6⇔4 + 2m x x
= 6⇔ m = 1. Vậy x − x = 4 − 1 2 = 2 . 1 2 1 2
Câu 96: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 0;2019
của tham số m để phương trình
4x − ( + 2018)2x m
+ (2019 + 3m) = 0 có hai nghiệm trái dấu? A. 2016 B. 2019 . C. 2013 D. 2018 . Lời giải Chọn B
Ta có 4x + ( −1)2x m + (4 + 3m) = 0 (1) . Đặt = 2x t
, t > 0 . Phương trình đã cho trở thành: 2t + (m −1)t + 4 + 3m = 0 (2)
Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm t ,t thỏa 1 2 af (1) < 0
0 < t < 1 < t ⇔
⇔ −1 < m < 2013 1 2 af (0) > 0
Vì m∈,m∈ 0;2019
suy ra m ∈{0;1;2;...; } 2012 a+ b
Câu 97: Giả sử phương trình 2
log 2x 3log x 2 0 có một nghiệm dạng = 2 c x với +
a,b,c∈ và 2 ( )− − = 2
b < 20 . Tính tổng + + 2 a b c . A. 10. B. 11. C. 18. D. 27. Lời giải Chọn A
Điều kiện x > 0 . Ta có:
log 2x 3log x 2 0 1 log x 3log x 2 0 2 ( )− − = ⇔ 2 ( + 2 )2 2 − − = 2 1+ 5 1+ 5 x = 2 2 log x = 2 ⇔ . ⇔ 2 x − x − = ⇔ 2 log log 1 0 1− 5 2 2 1− 5 x = 2 2 log x = 2 2
Vậy: a = 1;b = 5;c = 2 ⇒ a + b + 2 c = 10 .
Câu 98: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 2 x − 2 m x − 2 log cos logcos m + 4 = 0 vô nghiệm.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 42
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
A. m∈( 2;2).
B. m∈(− 2; 2) .
C. m∈(− 2;2).
D. m∈(−2; 2) . Lời giải Chọn C Ta có: 2 x − 2 m x − 2 log cos logcos m + 4 = 0 ⇔ 2 x − m x − 2 log cos 2 log cos m + 4 = 0
Đặt log cosx = t . Điều kiện: t ≤ 0
Khi đó phương trình trở thành: 2t − mt − 2 2
m + 4 = 0, t ≤ 0.
Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình vô nghiệm hoặc có các nghiệm đều
dương. Điều này xảy ra khi và chỉ khi 2 m −1.(− 2 m + 4) < 0 ∆′ < 0 2 2m − 4 < 0 2 m −1.(− 2 m + 4) ≥ 0 − 2 < m < 2 ∆′ ≥ 0 2 2m − 4 ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔ m ≥ 2
⇔ − 2 < m < 2 t + t > 0 2m 2m > 0 1 2 > 0 1 2
−2 < m < 2 t .t > 0 1 2 −m + 4 > 0 − 2 m + 4 > 0 1
Câu 99: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình x x− − 1 m + 2 16 .4
5m − 44 = 0 có hai nghiệm đối nhau. Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn B x x− − 1 m + 2 16 .4 5m − 44 = 0 m ⇔ ( x )2 − x + 2 4 .4 5m − 44 = 0 4 ⇔ ( x )2 − x m + 2 4 4 .4 20m −176 = 0 , (1). Đặt = 4x t
điều kiện t > 0 từ (1) ta có 2t − m t + 2 4
. 20m −176 = 0 , (∗).
Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau x ;x thì x + x = 0 khi và chỉ khi phương 1 2 1 2
trình (∗) có hai nghiệm dương t ;t thỏa mãn t .t = 1. Nhưng vì phương trình (∗) có 1 2 1 2 c 176 = −
= −44 < 0 nên không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. a 4
Câu 100: Cho phương trình 9x − 2(2 +1)3x m
+ 3(4m −1) = 0 có hai nghiệm thực x , x thỏa mãn 1 2
(x + 2)(x + 2) = 12. Giá trị của m thuộc khoảng 1 2 A. (9;+ ∞). B. (3;9). C. (−2;0) . D. (1;3) . Lời giải Chọn D Đặt = 3x t
, t > 0 . Phương trình đã cho trở thành: 2t − 2(2m +1)t + 3(4m −1) = 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực x , x khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm 1 2 dương phân biệt
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 43
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 m ≠ 1 ∆′ > 0
4m − 8m + 4 > 0 m ≠ 1 1 S 0 2(2m 1) ⇔ > ⇔ + > 0
⇔ m > − ⇔ 1 . 2 m P 0 3(4m −1) > > > 0 4 1 m > 4
Khi đó phương trình có hai nghiệm là t = 4m −1 và t = 3 .
Với t = 4m −1 thì 1
3x = 4m −1 ⇔ x = log 4m 1 . 1 3 ( − )
Với t = 3 thì x2 3 = 3 ⇔ x = 1. 2 Ta có (x 5
+ 2)(x + 2) = 12 ⇔ x = 2 ⇔ log 4m 1 2 ⇔ m = . 3 ( − ) = 1 2 1 2
Vậy giá trị m cần tìm là 5
m = nên m thuộc khoảng (1;3) . 2
Câu 101: Cho phương trình ( − 5).3x + (2 − 2).2x. 3x + (1− ).4x m m m
= 0 , tập hợp tất cả các giá trị của
tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt là khoảng (a;b) . Tính S = a + b. A. S = 4.
B. S = 5. C. S = 6 . D. S = 8 . Lời giải Chọn D
Ta có( − 5).3x + (2 − 2).2x. 3x + (1− ).4x m m m = 0 (1) x x x ( m 5) 3 3 3 ⇔ − . + (2m−2) . + 1− m = 0 . Đặt t =
, điều kiện t > 0 . 4 2 2
Khi đó phương trình trở thành: (m − ) 2
5 t + (2m − 2)t +1− m = 0 ,(2).
Do đó để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2)có hai nghiệm dương a ≠ 0 m ≠ 5 ∆ > 0 m > phân biệt 3 ⇔ ⇔
⇔ 3 < m < 5 ⇔ m∈(3;5) . P > 0 m < 1 S > 0 1 < m < 5
Vậy a = 3 , b = 5 nên a + b = 8 .
Câu 102: Cho phương trình 2
log x − 4log x + m − 3 = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để 3 3
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x < x thỏa mãn x − 81x < 0. 1 2 2 1 A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 6 . Lời giải Chọn C Xét phương trình: 2
log x − 4log x + m − 3 = 0 1 . Điều kiện: x > 0. 3 3 ( )
Đặt t = log x phương trình (1) trở thành: 2t − 4t + m − 3 = 0 (2). 3
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 44
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
⇔ ∆' > 0 ⇔ 4 − m + 3 > 0 ⇔ m < 7 (i) .
Gọi x < x là 2 nghiệm của phương trình (1) thì phương trình (2) có 2 nghiệm tương ứng là 1 2
t = log x ;t = log x . Vì x < x nên t < t . 1 3 1 2 3 2 1 2 1 2
Mặt khác, x − 81x < 0 ⇔ 0 < x < 81x ⇔ log x < 4 + log x 2 1 2 1 3 2 3 1
⇔ t < 4 + t ⇔ 0 < t − t < 4 ⇔ (t − t 16 t t 4t t 16 . 2 1 )2 < ⇔ ( + 2 1 )2 − < 2 1 2 1 1 2 ⇔ 2
4 − 4(m − 3) < 16 ⇔ m > 3 (ii) .
Từ (i) và (ii) suy ra 3 < m < 7 và m∈ nên có 3 số nguyên thỏa mãn. x x
Câu 103: Phương trình (2 + 3) +(1− 2a).(2 − 3) − 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1 2 x − x = log
3 . Khi đó a thuộc khoảng 1 2 2+ 3 A. 3 3 3 −∞;− . B. (0;+ ∞). C. ;+ ∞ . D. − ;+ ∞ . 2 2 2 Lời giải Chọn D x x
Đặt (2 + 3) = t , t > 0 khi đó ( 1 2 − 3) = . t x x
Nhận xét: Với cách đặt đó thì (2 + 3) 1 = t , (2 + 3) 2 = t nên từ x − x = log 3 , ta có 1 2 1 2 2+ 3 ( )x −x + 1 2 2 3
= 3 hay t1 = 3 ⇔ t = 3t . 1 2 t2
Vậy bài toán đã cho tương đương với bài toán tìm a để phương trình 1
t + (1− 2a). − 4 = 0 (*) t
có hai nghiệm dương t ,t thỏa mãn nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia. 1 2 Ta thấy: ( ) ⇔ 2 *
t − 4t + 1− 2a = 0 . − ∆′ > 3 0 a 4 − (1− 2a) > > 0
Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi P > ⇔ ⇔ 2 0 (* *) . 1− 2a > 0 1 S > 0 a < 2
Cách 1: Nhận xét rằng phương trình ẩn t có tổng hai nghiệm bằng 4 mà nghiệm này gấp 3
nghiệm kia nên phương trình phải có 1 nghiệm băng 1 và 1 nghiệm bằng 3, từ đó
1− 2a = 3 ⇔ a = −1. t + t = 4
Cách 2: Theo định lí Viet, ta có 1 2 . t t = 1− 2a 1 2
Phương trình (*) có nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia khi t = 3t 1
2 ⇔ (t − 3t . t 3t 0 3 t t 10t .t 0 1 2 ) ( − 2 1 ) = ⇔ − ( 2 + 2 1 2 ) + = t = 1 2 3t 2 1 ⇔ −3(t + t 6t t 10t .t 0 48 16 1 2a 0 a
1 thỏa mãn điều kiện (* *) . 1 2 )2 + + = ⇔ − + 1 2 1 2 ( − ) = ⇔ = −
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 45
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Giá trị này của a thuộc đáp án D
Cách 3. Dựa vào điều kiện có 2 nghiệm dương loại đáp án A, suy luận nếu a thuộc đáp án B, C
thì cũng thuộc đáp án D
Câu 104: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình 2 x − x+ − 2 3 2 4 x 6− + = 3 .3 3 3 x m + m (1) có
đúng 3 nghiệm phân biệt. A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn C Đặt − 2 4 x 6− u u − v = > 3 3 0, 3 x v
= u > 0 phương trình trở thành m + v = u + m ⇔ m = (u − v) v v v = u 6−3x 4− 3 = 2 3 x (I)
⇔ (u − v)(m − v) = 0 ⇔ ⇔ v = m 4− 2 3 x = m (II) 2 x = x x 1 Giải (I): 6−3 4− 3 = 3 ⇔ 2
x − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 2
Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (II) xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình (II) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm x = 1 và một x = 1
nghiệm x ≠ 2 . Với x = 1 2 2 ta có 4− m = 1 3 = 27 . Khi đó 4− 3 x = 27 ⇔ − 2 4 x = 3 ⇔ . x = −1 ≠ 2
Vậy m = 27 là một giá trị cần tìm.
Trường hợp 2: Phương trình (II) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm x = 2 và một x = 2
nghiệm x ≠ 1. Với x = 2 2 2 ta có 4− m = 2 3 = 1. Khi đó 4− 3 x = 1 ⇔ − 2 4 x = 0 ⇔ . x = −2 ≠ 1
Vậy m = 1 là một giá trị cần tìm.
Trường hợp 3: Phương trình (II) có đúng 1 nghiệm x khác 1;2 Từ − 2 4 3 x = m ⇔ 2
x = 4 − log m ≥ 0 để có một nghiệm thì nghiệm đó là x = 0 ⇒ 4 − log m = 0 3 3
⇔ m = 81, đồng thời x = 0 thỏa mãn khác 1;2 nên m = 81 là một giá trị cần tìm.
Vậy có ba giá trị m = 1; m = 27 ; m = 81 thỏa mãn bài toán.
Câu 105: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để không tồn tại bộ số thực (x, y)
nào thỏa mãn đồng thời các hệ thức 2
x + ( y − 2)2 ≤ 9 và log
2mx + 2y + m − 2 ≥1. Số 2 2 ( ) x + y 1 +
phần tử của S là: A. 2. B. 1. C. 3. D. Vô số. Lời giải Chọn A Miền biểu diễn 2
x + ( y − 2)2 ≤ 9 là hình tròn (C) có tâm I (0,2) và bán kính R = 3 log
2mx + 2y + m − 2 ≥1 2 2
⇔ 2mx + 2y + m − 2 ≥ x + y +1 2 2 ( ) x + y 1 +
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 46
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
⇔ (x − m)2 + ( y − )2 2
1 ≤ m + m − 2 .
Miền biểu diễn (x − m)2 + ( y − )2 2
1 ≤ m + m − 2 là hình tròn (C′) có tâm I′(m ) ,1 và bán kính 2
R′ = m + m − 2
Để tồn tại bộ số thực (x, y) thỏa mãn bài toán thì: 2 + − < 2 − < m <1 m m 2 0 ⇔ ⇒ m∈{ 1; − } 0 . 2 2
II′ > R + R′
m +1 > 3 + m + m − 2 (VN )
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 47
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI
Câu 1: Điều kiện xác định của 3 x− là:
A. x∈ .
B. x ≥ 0 .
C. x ≠ 0 .
D. x > 0 . Lời giải Chọn C 3
Câu 2: Điều kiện xác định của 5 x là:
A. x∈ .
B. x ≥ 0 .
C. x ≠ 0 .
D. x > 0 . Lời giải Chọn A
Câu 3: Tập xác định của hàm số y = log ( 2
x − 2x +1 là: 0,5 ) A. . B. \{ } 1 . C. (0;+∞). D. (1;+∞). Lời giải Chọn D y = log ( 2 2x − x 0,5 ) 2
=> 2x − x > 0 ⇒ 0 < x < 2
Câu 4: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó? x x A. (0,5)x y x = . B. 2 y = e .
C. y = ( 2) . D. y = . 3 π Lời giải Chọn C
Câu 5: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
A. y = log x y = log x = 3 . B. .
C. y log x .
D. logπ x . 3 1 e Lời giải Chọn C Vì 1 0 < <1. e
Câu 6: Nếu 3x = 5 thì 2 3 x bằng: A. 15. B. 125. C. 10. D. 25 . Lời giải Chọn D
Vì 3x = 5 ⇒ x = log 5 2x 2log35 ⇒ 3 = 3 ⇒ x = 25 3 Câu 7: Cho log2 3 A = 4
. Khi đó giá trị của A bằng: A. 9. B. 6 . C. 3 . D. 81. Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2
Câu 8: Nếu log b = a 3 thì log b a bằng: A. 9. B. 5. C. 6 . D. 8. Lời giải Chọn C Vì 2 log b = b = = . a 2loga 2.3 6
Câu 9: Nghiệm của phương trình 2x−5 3 = 27 là: A. 1. B. 4 . C. 6 . D. 7 . Lời giải Chọn B 2x−5 3
= 27 ⇔ 2x − 5 = 3 ⇔ x = 4
Câu 10: Nghiệm của phương trình log 2 − x = 1 − là: 0,5 ( ) A. 0 . B. 2,5. C. 1,5. D. 2 . Lời giải Chọn A log 2 − x = 1 − ⇔ log 2 − x = log
2 ⇔ 2 − x = 2 ⇔ x = 0 0,5 ( ) 0,5 ( ) 0,5 ( )
Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình (0,2)x >1 là: A. ( ; −∞ 0,2) . B. (0,2 ;+∞). C. (0 ;+∞) .
D. (−∞ ;0) . Lời giải Chọn D
Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình log x > 2 − là: 1 4 A. ( ; −∞ 16). B. (16;+∞). C. (0;16) . D. ( ;0 −∞ ). Lời giải Chọn C log x > 2 − Đ Đ: KX x > 0 1 4 2 1 − log x 2 x > − ⇔ < ⇔ x < 16 1 4 4
Kết hợp với ĐKXĐ ⇒ 0 < x <16.
Câu 13: Cho ba số thực dương a,b,c khác 1 và đồ thị ba hàm số mũ x = , x = , x
y a y b y = c được cho bởi
hình 14. Kết luận nào sau đây là đúng đối với ba số a,b,c ?
A. c < a < b .
B. c < b < a .
C. a < b < c .
D. b < c < a .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn A Nhận thấy x
y = c nghịch biến trên ⇒ 0 < c <1 x = ; x
y a y = b đồng biến trên ⇒ a,b >1.
Cho cùng giá trị của x = x x x < 0 ta thấy 0 0 a b .
Câu 14: Cho ba thực dương a,b,c khác 1 và đồ thị ba hàm số logarit y = log x y =
x , y = log x a , logb c
được cho bởi hình 15. Kết luận nào sau đây là đúng với ba số a,b,c
A. c < a < b .
B. c < b < a .
C. a < b < c .
D. b < c < a . Lời giải Chọn D
Nhận thấy y = log x đồng biến nên a >1. a y = log x =
x nghịch biến nên 0 < , b c <1. b , y logc
Nhận thấy b < c . ⇒ b < c < a .
Câu 15: Viết các biểu thức sau về lũy thừa cơ số a 5 a) 1 4. 2 3 A = 5 a ∀ = 5 . b) B = a ∀ = 2 . 5 3 4
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải 1 1 − 1 1 1 2 1 1 3 3 3 3 2 2 6 6 a) A = 5 = 5 = 5.5 = 5 = 5 = a 5 5 b) Có 2 a = 2 ⇒ a = 2 1 11 11 22 2 5 2 ⋅ 46 5 5 5 5 4 2 2 ⋅2 2 a a 15 B = = = = = = a 3 1 2 2 4 2⋅ 2 4 ⋅ 3 3 3 3 2 2 a a
Câu 16: Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn biểu thức sau: 5 5 35 4 4 x .y + . x y 4 A = ; x y = 7 5 B . . 4 4 x + y y x Lời giải 1 1 5 5 1 1 4 4
xy x + y 4 4 4 4 a)
x ⋅ y + x ⋅ y
x ⋅ x ⋅ y + x⋅ y ⋅ y A = = = = xy 4 1 1 1 1 4 x ⋅ y 4 4 4 4 x + y x + y 25 35 35 95 1 − 4 4 4 4 4 4 5 5 35 b) x y x x x x x B = 7 5 7 7 = ⋅ = = = y x y y y y y
Câu 17: Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: a) 5 y = ; b) 25 5x y = − ; 2x − 3 c) x y =
; d) y = 1− log x . 1− ln x 3 Lời giải a) 5 y = 2x − 3 ĐKXĐ: 2x 3 0 2x − ≠ ⇒
≠ 3 ⇒ x ≠ log 3 ⇒ TXÐ : D = \lo g 3 2 2 b) 25 5x y = − ĐKXĐ: 25 5x − ≥ 0 x 2
⇒ 5 ≤ 5 ⇒ x ≤ 2 TXĐ: D = ( ∞ − ;2]
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com c) x y = 1−lnx x > 0 x > 0 ĐKXĐ: => 1 lnx 0 − ≠ x ≠ e D = (0; ∞ + ) \ e
d) y = 1− log x 3 x > 0 x > 0 ĐKXĐ: ⇒ 1 log x 0 − ≥ x ≤ 3 3 3
Câu 18: Cho a > 0,a ≠1 và 5 a = b 9 a) Viết 6 3 ; ; a a a b
theo lũy thừa cơ số b . 9 b b) Tính: a b a b . a a ( 2 5 log ;log );log5a b Lời giải 15 3 5 10 5 a 3 3 9 15 6 a b 5 10 3 5 5 6 6
a) a = a = b ; a b = a ⋅b = b ⋅b = b ; = = = b 9 9 9 b b b 3 b) log b = a 5 2 5 2 5 3 log a b = a + b = a + b = + ⋅ = a loga loga 2loga 5loga 2 5 5 5 a 3 log =
log a − log b = 5log a − b = − ⋅ = a a a a 5loga 5 5 2 5 5 5 b 5
Câu 19: Giải mỗi phương trình sau:
a) 2x−4x+5 3 = 9 ; b) 2x−4 0,5 = 4;
c) log 2x −1 = 3; d) log x + log(x − 3) =1. 3 ( ) Lời giải 2 = − + x 3 x 4x 5 2 2 a) 3
= 9 ⇔ x − 4x + 5 = 2 ⇔ x − 4x + 3 = 0 ⇔ x =1 2x−4 b) 0,5
= 4 ⇔ 2x − 4 = log 4 ⇔ 2x − 4 = 2
− ⇔ 2x = 2 ⇔ x =1 0,5
c) log 2x −1 = 3 ⇔ log 2x −1 = log 27 ⇔ 2x −1 = 27 ⇔ x =14 3 ( ) 3 ( ) 3
d) logx + log(x −3) =1, ĐKXĐ: x > 3
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
logx + log(x −3) =1 ⇔ log( 2
x − 3x) = log10 x = 5 2 2
⇔ x − 3x =10 ⇔ x − 3x −10 = 0 ⇔ x = 2( − không t/m đkxđ) ⇒ x = 5
Câu 20: Giải mỗi bất phương trình sau: 2x 1 +
a) 5x < 0,125 ; b) 1 ≥ 3 ; 3
c) log x > 0 ; d) ln (x + 4) > ln (2x −3) . 0,3 Lời giải
a) 5x < 0,125 ⇔ x < log 0,125 5 2x 1 1 + b)
≥ 3 ⇔ 2x +1≤ log 3 ⇔ 2x +1≤ 1 − ⇔ x ≤ 1 − 1 3 3
c) log > 0 ⇔ x <1 0,3
d) ln (x + 4) > ln (2x −3) , ĐKXĐ: 3 x > 2
ln (x + 4) > ln(2x −3) ⇔ x + 4 > 2x −3 ⇔ x < 7
Kết hợp vs ĐKXĐ: 3 < x < 7 . 2
Câu 21: Trong một trận động đất, năng lượng giải tỏa E (đơn vị: Jun, kí hiệu J ) tại tâm địa chấn ở M
độ Richter được xác định xấp xỉ bởi công thức: log E ≈11,4 +1,5M .
(Nguồn: Giải tích 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021).
a) Tính xấp xỉ năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter.
b) Năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 8 độ Richter gấp khoảng bao nhiêu lần năng lượng giải
tỏa tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter? Lời giải
a) Tính xấp xỉ năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter:
Thay M = 5 vào công thức, ta có: logE ≈11,4 +1,5.5 ≈18,9 18,9 ⇒ E ≈10
b) Tính tỷ lệ năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở 8 độ Richter so với tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter: 23,4
logE ≈11,4 +1,5.8 ≈ 23,4 ⇒ E ≈10 ⇒ Gấp khoảng 31623 lần.
Câu 22: Trong cây cối có chất phóng xạ 14C . Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được phóng 6
xạ của nó bằng 86% độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ
đó. Biết chu kì bán rã của 14C là T = 5730 năm, độ phóng xạ của chất phóng xạ tại thời điểm t 6
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
được cho bởi công thức − t
H = H e λ với H là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0 ); 0 0 ln 2 λ =
là hằng số phóng xạ (Nguồn: Vật lí 12, NXBGD Việt Nam, 2021). T Lời giải
Từ đó, ta có thể tính được hằng số phóng xạ: ln2 ln2 λ = = ≈ 0.12 T 5,730
Giờ ta cần tìm thời gian t mà đã trôi qua từ thời điểm mẫu gỗ cổ được sinh ra đến thời điểm
hiện tại. Để tìm thời gian này, ta sử dụng tỷ lệ phóng xạ giữa mẫu gỗ cỗ và mẫu gỗ tươi cùng loại: H −λt ln0.86
= 0.86 = e ⇒ t = ≈ 3,078 năm H −λ 0
Vậy độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó là khoảng 3,078 năm. BÀI TẬP TỔNG ÔN A. TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tìm tập xác định + D của hàm số x 1 y ln = . 1 x − A. D = \{ } 1 . B. [ 1; − ] 1 . C. D = ( 1; − ) 1 . D. D = ( ; −∞ − ) 1 ∪(1;+∞). Lời giải Chọn C
Điều kiện: x +1 > 0 ⇔ x∈( 1; − ) 1 . 1− x
Câu 2: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log (x − 75x − 2499)3 2 2
= log −x + 75x + 2501 . 125 5 A. 75. − B. 75. C. 125. D. 125. − Lời giải Chọn B
log (x − 75x − 2499)3 2 2
= log −x + 75x + 2501 125 5 ⇔ log ( 2
x − 75x − 2499) 2
= log −x + 75x + 2501 5 5 2 2
x −75x − 2499 = −x + 75x + 2501 ⇔ 2
x − 75x − 2499 > 0 2
x − 75x − 2499 > 0 2 2
⇔ −x + 75x + 2501= x − 75x − 2499 2 2
−x + 75x + 2501 = −x + 75x + 2499 2
x − 75x − 2499 > 0 ⇔ 2
2x −150x − 5000 = 0
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x = 25 − 1 ⇔ ⇒ x + x = 75. 1 2 x = 100 2
Câu 3: Cho phương trình 2 ( 2
ln x ) −3lnx −1= 0 (x > 0) (*) . Đặt t = lnx , phương trình (*) trở thành
phương trình nào sau đây? A. 2
2t + 3t −1 = 0 . B. 2
4t + 3t −1 = 0 . C. 2
4t − 3t −1 = 0 . D. 2
2t − 3t −1 = 0 . Lời giải Chọn C Ta có:
(x )− x− = ⇔ (x ) 2 2 2 2 ln 3ln 1 0 ln − 3lnx −1= 0 ⇔ ( x)2 −
x − = ⇔ ( x)2 2ln 3ln 1 0 4 ln − 3lnx −1 = 0
Do đó, đặt t = lnx phương trình (*) trở thành: 2
4t − 3t −1 = 0 .
Câu 4: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. lna > lnb ⇔ b > a .
B. lna > lnb ⇔ a > b > 0.
C. lna > lnb ⇔ a > b .
D. lna > lnb ⇔ b > a > 0. Lời giải Chọn B
Phương án A sai vì e > 1 và chưa đủ điều kiện.
Phương án C sai vì chưa đủ điều kiện.
Phương án D sai vì cơ số e > 1. Câu 5: 2 2
Biết P là tích tất cả các nghiệm của phương trình x −2020 x −2019 4 + 2 − 3 = 0 , tính P . A. P = 0. B. P = 1 − . C. P = 2020 − . D. P = 2020. Lời giải Chọn C Ta có: ( 2x−2020 2 ) 2 x −2020 2 + 2 ⋅2 − 3 = 0 ⇒ ( 2x−2020 )2 2 x −2020 2 + 2 ⋅2 − 3 = 0 2 x −2020 2 = 1 ⇒ 2 x −2020 2 = 3 − (loai) 2 ⇒ x − 2020 = 0 . ⇒ x = ± 2020 .
Do đó P = 2020 ⋅(− 2020) = 2020 − . m Câu 6: Biết m n P = 2 = 2 ( * * m ∈ , n ∈ ,
là phân số tối giản). Tính S = m + n . n 2019 can bac hai A. 2000 . B. 2020 S = 2 +1. C. 2018 S = 2 +1. D. 2019 S = 2 +1. Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 1 1 1 1 Ta có :2 1 1 2 2 ( 2) 2 3 4 2 2 2 = 2 ; 2 = 2 = 2 = 2 = 2 ; 2 = 2 ; 1 Do đó 2019 2 2 = 2 2019 can bac hai Vậy 2019 S = 2 +1.
Câu 7: Cho a > 0;a ≠ 1 và b ≠ 0. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 4 1
loga b = loga | b | . B. 4
loga b = 4loga .b 4 C. 4 1
loga b = loga .b D. 4
loga b = 4loga | b | . 4 Lời giải Chọn D
Theo công thức logarit, ta có đáp án là D
Câu 8: Phương trình log x + log 4 − x = 1 3 3 ( ) có tập nghiệm là A. S = {1; } 3 . B. S = { } 1 . C. S = { } 3 . D. S = . ∅ Lời giải Chọn A
Điều kiện: 0 < x < 4 x = 1
Phương trình tương đương log (x(4 − x)) 2
= 1 ⇔ −x + 4x = 3 ⇔ (TM ) 3 x = 3 Vậy chọn A
Câu 9: Cho a > a ≠ P = ( a + a e)2 2 2 0, 1, 2ln log
+ ln a − loga e. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2
P = 3ln a − 4. B. 2 P = 3ln a + 4. C. 2
P = 5ln a − 4. D. 2 P = 5ln a + 4. Lời giải Chọn D Ta có ln .
a loga e = loge .aloga e = loge e =1, nên ta có:
P = (2ln a + loga e)2 2 2
+ ln a − loga e 2 2 2 2 = 4ln a + 4ln .
a loga e + loga e + ln a − loga e 2 = 5ln a + 4
Câu 10: Cho a > 0,a ≠1,b > 0,α ≠ 0,β ≠ 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. log β β log β α α b = log b α b = b B. a ( ) a ( ) loga α a β C. log β β = α b = αβ b D. α b b a ( ) 1 log log a ( ) loga a αβ Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 x −2x
Câu 11: Có tất cả mấy giá trị nguyên của tham số m để phương trình 1 2 = m + m + 1 có đúng 4 3 nghiệm phân biệt? A. 4. B. 1. C. 2. D. 0. Lời giải Chọn D 2 x −2 1 x 2 = m + m + 1 (1) 3 Xét f (x) 2 = x − 2x Đặt 2
x − 2x = t Theo BBT phương trình 2
x − 2x = t có hai nghiệm phân biệt khi t > 1 − 2 x −2 1 x 2 2
= m + m +1 ⇔ x − 2x = log ( 2 m + m + ) 1 ⇔ t = log ( 2 1 1 m + m + )1 (2) 3 3 3
(1) Có đúng 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt t > 1 − 2 m + m + > m ∀ ⇔ 0 < log ( 1 0 2 m + m + ) 2 ( ) 2 1
1 <1 ⇔ < m + m +1<1 ⇔ 3 3 2 3 m + m < 0 ⇔ 1
− < m < 0 . Do m∈ nên không có số nguyên m nào thỏa đề. Câu 12: + + Cho a . m abc . n c 1
= log 3;b = log 5;c = log 2 . Biết log 140 = ( * * m∈ ;n∈ .Tính 63 ) 2 3 7 2ac +1
S = m − n . A. S = 3. B. S = 3. − C. S = 1. − D. S =1. Lời giải Chọn C log log 140 ( 2 2 2 .5.7) 2
2 + log 5 + log 7 2 + log 5.log 3+ log 7 log63140 = = = = log 63 log 3 .7 2log 3+ log 7 2log 3+ log 7 2 ( 2 2 ) 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1
2 + ab + c abc+2c+1 = = = 1 =
. Suy ra m 1;n 2 , S = m − n = 1 − . 2ac +1 2a + c 1−2x
Câu 13: Phương trình 1 x+2 =
2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải Chọn C 1−2 1 x = 2 + ⇔ (2− )1−2 2 1 x x x+2 2x 1 − x+2 = 2 ⇔ 2 = 2
⇔ 2x −1 = x + 2 ⇔ x = 3. 2
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Câu 14: Cho a ∈,a > 0,α ∈, β ∈ .
Khẳng định nào sau đây đúng? β A. ( β α β aα ) (aβ = ) . B. βα α. a a β = .
C. (aα ) aα+β = .
D. (aα ) aβ−α = . Lời giải Chọn A Câu 15: Cho *
a ∈ R,n∈ N . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2n 2n a =1. B. 2n 2n a = a . C. 2n 2n a = . a D. 2n 2n a = − . a Lời giải Chọn B
Theo tính chất của căn bậc . n
Câu 16: Cho a∈ R,a > 0,m∈ Z,n∈ N,n ≥ 2. Khẳng định nào sau đây đúng? m m m m m A. a n m n a a − = . B. n n m a = a . C. n m n a = a . D. n a = . n a Lời giải Chọn B
Theo tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ. 5 5 4 4
Câu 17: Cho biểu thức x y + xy P =
(x > 0, y > 0). Khẳng định nào sau đây đúng? 4 4 x + y
A. P = x .y
B. P = x + .y C. P =1.
D. P = 2x .y Lời giải Chọn A 1 1 5 5 4 4 x .
y x + y 4 4 Ta có x y + xy P = = = xy 4 1 1 4 x + y 4 4 x + y Vậy P = x . y
Câu 18: Cho hàm số y = log x a >
a ≠ Khẳng định nào sau đây đúng ? a ( 0, )1. 1 1 ln a A. y′ =
(x > 0). B. y′ = (x > 0). C. y′ =
(x > 0). D. y′ = log x x > a ( 0). xln a x x Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn A Câu 19: Cho log 7 245 = a,log 5 = . b Tính P = log theo a, . b 25 2 5 32 A. 10 P 4a 2. B. 10
P 8a 2.
C. P 8a10b 2. D. 5 P 2a 2. b b 2b Lời giải Chọn C Ta có 245 245 245 P log log 2log 1 5 5 32 2 5 32 32 2(log 245log 32) 5 5 2 5 2(log 5.7 log 2 ) 5 5 2(1 2log 7 5log 2). 5 5 Mặt khác, do 1
a log 7 log 7 log 7 log 7 2 . a 2 25 5 5 5 2 1 1
log 5 b log 2 . 2 5 log 5 b 2 Suy ra 1 5 10 P 2 1
2.2a5. 2 1 4a
2 8a . b b b
Câu 20: Cho a 0, a 1. Khẳng định nào sau đây sai? A. log a a a a a = . a B. loga1= 0. C. loga a =1. D. log a =1. Lời giải Chọn D
a 0, a 1ta có log a Do đó loga a 1 a a . a a 1.
Câu 21: Cho phương trình ( x ) x 1− 1 log 2 1 .log 2 + + = 1. Khi đặt log 2x t = +1 , ta được phương 2 ( ) 2 4 2 trình nào dưới đây. A. 2
t + t − 2 = 0. B. 2
2t + 2t −1 = 0.
C. 2t −t − 2 = 0. D. 2
2t − 2t −1= 0. Lời giải Chọn C ( + ) x x x 1 − 1 x 2 1 log 2 1 .log 2 + = 1 ⇔ log 2 +1 .log + =1 2 4 2 ( ) 4 2 2 2 x 1 x x 1 log 2 1 .log . 2 1 1 log 2 1 . log log 2x 1 ⇔ + + = ⇔ + + + = 1 2 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 4 ( ) 2 2 ⇔ log (2x + ) 1 1 1 . − + log (2x + ) 1 1 2
1 =1 ⇔ t. − + t =1 ⇔ t − t − 2 = 0 2 2 2 2 2 2
Câu 22: Cho số dương x , viết biểu thức x x x x dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ. 15 3 15 7 A. 18 x . B. 16 x . C. 16 x . D. 18 x . Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn C Ta có: 1 3 3 7 7 15 15 2 2 4 4 8 8 16
x x x x = x x .xx = x x x = x .xx = x x =
.xx = x = x 4 2 1 − 15 Nhận xét: 4 2 16 x x x x = x = x
Câu 23: Cho hai số dương a,b thỏa mãn: log a + log b = log a + b 2 2 2 ( ) . Khi đó:
A. a + b = ab .
B. a + b = 2ab . C. 2 2
a + b = a b .
D. 2(a + b) = ab. Lời giải Chọn A
Ta có log a + log b = log a + b ⇔ log ab = log a + b ⇔ ab = a + b 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
Câu 24: Tập xác định của hàm số y ( x ) 3 3 6 − = − là
A. D = (2;+∞) . B. D = \{ } 2 . C. .
D. D = (0;+∞) . Lời giải Chọn B
Hàm số xác định 3x − 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 ⇒ TXĐ: D = \{ } 2 .
Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x x 1 9 .3 m + −
+ 6m + 3 = 0 có hai nghiệm x1
và x thỏa mãn x + x = 3 . 2 1 2
A. m = 4 B. m =1.
C. m = 2.
D. m = 3. Bài giải Chọn A x x+ − + + = ⇔ ( x )2 1 9 .3 6 3 0 3 − 3 .3x m m m + 6m + 3 = 0
Để phương trình có 2 nghiệm thì: 4 − 2 7 m ≤ ∆ = (− m)2 − ( m + ) 2 3 3 4.1. 6
3 = 9m − 24m −12 ≥ 0 ⇔ 4 + 2 7 m ≥ 3
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 1 x 2 x 1 x + 2 x 3 3 .3 = 3
= 3 = 27 = 6m + 3 ⇒ m = 4 (chọn) 2 x +2
Câu 26: Cho bất phương trình 1 2 >
125 x có tập nghiệm là: 25 A. S = \{ 2; − } 1 B. S = ( ; −∞ 2)∪( 1; − +∞) C. S = ( 2; − − ) 1 D. S = (1;2) Bài giải Chọn C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 x +2 1 1 >125 ⇔
>125 ⇔ 1 > 25 + .125 ⇔ 1 > + (5 ) 2 2 x +2 2 2 2 2 2 3 . 5 x x x x x 2 ( ) x 2 25 25 2 2x +6x+4 2 ⇔ 1 > 5
⇔ 2x + 6x + 4 < 0 ⇔ 2 − < x < 1. −
Câu 27: Bất phương trình 1+log3 x x
> 81x có tập nghiệm là 1 1 A. S 0; = ∪ (9;+∞ ). B. S = ;9. 9 9 1 C. S 0; = .
D. S = (9;+∞). 9 Lời giải Chọn A
Bất phương trình 1+log3 x x > 81 .
x Điều kiện x > 0
Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế của bất phương trình ta được 1+log3 x x
> 81x ⇔ (1+ log x .log x > log 81+ log x 3 ) 3 3 3 x > 9 log x > 2 2 3 log x 4 ⇔ > ⇔ ⇔ 3 1 log x < 2 − < 3 x 9 x > 9
Kết hợp điều kiện x > 0 ta có bất phương trình 1+log3 x x > 81x ⇔ 1 0 < x < 9 1
Vậy tâp nghiệm của bát phương trình trên là S 0; = ∪ (9;+∞ ) 9
Câu 28: Đạo hàm của hàm số 4x 6x y = + bằng
A. 4 .xln 4 6 .x + ln 6.
B. 4x 6 .x +
C. 4 .xlog 4 6 .x + log6. D. x 1 − x 1 x(4 6 − + ). Lời giải Chọn A 4x 6x y = + ⇒ ' (4x)' (6x y = +
)' = 4 .xln 4 6 .x + ln 6.
Câu 29: Tập xác định của hàm số ( x y ) 2 2 8 − = − là:
A. D = [3;+∞).
B. D = (3;+∞). C. D = \{ } 3 . D. D = . Lời giải: Chọn C Vì − 2 −
− ∈ ⇒ 2x −8 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 ⇒ Tập xác định của hàm số = ( x y − ) 2 2 8 là D = \{ } 3 .
Câu 30: Tính chất nào của hàm số 3 y x− =
đúng trên nửa khoảng (0;+∞)?
A. Hàm số luôn nghịch biến.
B. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0;0).
C. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0; ) 1 .
D. Hàm số luôn đồng biến. Lời giải:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn A − Ta có: 3 − 2 − 3
y = x ⇒ y′ = 3 − x = < 0 với x ∀ > 0. 2 x
Hàm số luôn nghịch biến trên (0;+∞).
Câu 31: Phương trình log ( 2
x −1 = log x −1 +1có bao nhiêu nghiệm thực? 3 ) 3 ( ) A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn C
Điều kiện: x >1
Với điều kiện trên ta có log ( 2
x −1 = log x −1 +1 3 ) 3 ( ) ⇔ log ( 2 x − ) 1 = log (x − ) 1 + log 3 ⇔ log ( 2
x −1 = log 3. x −1 3 3 3 3 ) 3 ( ) x =1 L 2
⇔ x −1 = 3.(x − ) 2 ( )
1 ⇔ x − 3x + 2 = 0 ⇔ . x = 2
Vậy phương trình có một nghiệm.
Câu 32: Đạo hàm của hàm số: = ( 2 − 2 + 2) x y x x e bằng: A. 2 − . x x e . B. (2 − 2) x x e . C. ( 2 − 2) x x e . D. 2 x x e . Lời giải Chọn D
Ta có: = ( 2 − + ) x + ( 2 − + )( x ) = ( − ) x + ( 2 ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 − 2 + 2) x y x x e x x e x e x x e . = ( 2 − + − + ) 2 2 2 2 2 x x x x x e = x e 3 2 Câu 33: Nếu 3 2 a > a và 3 4 log < thì: b log 4 b 5
A. a >1 và b >1.
B. 0 < a <1và b >1.
C. 0 < a <1và 0 < b <1. D. a >1 và 0 < b <1. Lời giải Chọn B 3 2 3 4 3 2 a > a log < b log 4 b 5
⇔ 0 < a <1; ⇔ b >1 3 2 < 3 4 < 3 2 4 5
Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của m để biểu thứ A = log 1− 2m 5 ( ) có nghĩa. A. 1 m ≥ . B. 1 m > . C. 1 m ≤ . D. 1 m < . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com ĐKXĐ: 1
1− 2m > 0 ⇔ m < . 2
Câu 35: Đạo hàm của hàm số y = log ( 2 x + x +1 bằng 2 ) 1 + 2x +1 A. 2x 1 ln 2 ( . B. . C. . D. . 2 x + x + )1ln 2 2 x + x +1 2 x + x +1 ( 2x + x+ )1.ln2 Lời giải Chọn D ( 2x x )1′ + + 2x +1 y′ = ( = . 2 x + x + ) 1 ln 2 ( 2 x + x + ) 1 ln 2 4 3
Câu 36: Rút gọn biểu thức a P = (a > 0) . 2 a 2 2 10 − − 10 A. 3 a . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 a . Lời giải Chọn B 4 2 −2 − 3 3 P = a = a .
Câu 37: Tính đạo hàm của hàm số y = ( x − )4 4 3 .
A. y = ( x − )4 ' 16 4 3 .
B. y = ( x − )3 ' 4 4 3 .
C. y = ( x − )4 ' 4 4 3 .
D. y = ( x − )3 ' 16 4 3 . Lời giải Chọn D
y = ( x − ) ( x − )3 =
( x − )3 = ( x − )3 ' 4. 4 3 ' 4 3 4.4. 4 3 16 4 3 .
Câu 38: Cho các mệnh đề sau:
I. Với x , x > 0, ta có: 5log − 5log = 5 log − log = 5log x x x x x . 1 2 ( 1 2 ) 2 1 2 x1
II. Với x , x , x > 0,0 < a ≠ 1, ta có: log x + x + x = x x x a (
loga .loga .loga . 1 2 3 ) 1 2 3 1 2 3 III. 1 1 log( 12 = log 12 = 1+log 2 . 2 2 .3) 6 ( 6 ) 12 2
IV. Cho các số dương a,b, với a ≠ 1, ta có: 1 1 log ab = + log . b 2 ( ) a 2 2 a
Số mệnh đề sai là bao nhiêu? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn B
Mệnh đề I, II và III sai
Câu 39: Cho a > 0,a ≠1. Đơn giản biểu thức 2 4 3 B = log a a a ( . ).
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 10 11 A. 3 a . B. 4 a . C. 11. D. 10 . 4 3 Lời giải Chọn C 11 2 4 3 4 (a . a ) a 11 B = log = = a loga . 4 Câu 40: Hàm số 5 − x y =
có tập xác định D . Khi đó: log x − 2 2 ( ) A. D = (2;5) .
B. D = [2;5] C. D = (2;5] .
D. D = (2;5]\{3}. Lời giải Chọn D 5 − x ≥ 0 x ≤ 5
Điều kiện: x 2 0
− > ⇔ x > 2 x 2 1 − ≠ x ≠ 3
Vậy tập xác định D = (2;5] \{3}.
Câu 41: Tìm tập nghiệm của phương trình 2 9x 17 − x 10 + 7−5 2 = 2 x. A. 1 1; − − . B. 1 1; . C. { 1; − } 3 . D. { 3 − ; } 1 . 3 3 Lời giải Chọn B x = 1 Ta có: 2 9x 17 − x 10 + 7−5x 2 2 2 2
9x 17x 10 7 5x 9x 12x 3 0 = ⇔ − + = − ⇔ − + = ⇔ 1 x = 3 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1; . 3
Câu 42: Cho phương trình 4x 4.2x −
+ 3 = 0 có hai nghiệm 1x, 2
x với 1x < 2
x . Tính giá trị của biểu thức 3 1x + 2 2 x . A. 3log2 3. B. 2log2 3. C. 3log3 2. D. 1. Lời giải Chọn B Đặt = 2x t
(t > 0). Phương trình đã cho trở thành: 2 t = 1 (TM )
t − 4.t + 3 = 0 ⇔ t = 3 (TM )
Với t = 1. Ta có 2x =1 ⇔ x = 0.
Với t = 3. Ta có 2x =3 ⇔ x = log2 3.
Do phương trình đã cho có hai nghiệm 1x, 2
x với 1x < 2
x nên ta chọn 1x = 0 và 2 x = log2 3.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Vậy 3 1x + 2 2 x = 2log2 3.
Câu 43: Bất phương trình 2 x x 3
log 3 −1 − 2log 3 −1 + ≥ 0 có tập nghiệm là: 4 ( ) 4 ( ) 4 A. S = (0; ] 1 ∪[2;+∞). B. S = (0; ) 1 ∪(2;+∞) . C. S = ( ; −∞ )
1 ∪(2;+∞). D. S = (2;+∞) . Lời giải Chọn A
ĐK: 3x −1 > 0 ⇔ x > 0. Đặt log 3x t = −1 . 4 ( ) 1 t ≤
Ta có bất phương trình: 2 3 2
t − 2t + ≥ 0 ⇔ 4 3 t ≥ 2 Với 1 x 1
≤ ⇒ log 3 −1 ≤ ⇔ 0 < 3x t
−1≤ 2 ⇔ 0 < x ≤1. 4 ( ) 2 2 Với 3 t ≥ x 3
⇒ log 3 −1 ≥ ⇔ 3x −1≥ 8 ⇔ x ≥ 2 4 ( ) 2 2
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm S = (0; ] 1 ∪[2;+∞).
Câu 44: Đạo hàm của hàm số y = ln(1− x −1) bằng: A. 1 . B. 1 .
2 x −1 − 2 (x − )2 1
2 x −1 + 2 (x − )2 1 C. 1 − . D. 1 − .
2 x −1 + 2 (x − )2 1
2 x −1 − 2 (x − )2 1 Lời giải Chọn D
Tập xác định của hàm số: D = [1;2) . ′ x 1 ′ − − Ta có: y ( ( x ) ( ) 1 − 1 ln 1 1 − ′ = − − = = = . 1− x −1
2 x −1(1− x −1) 2 x −1− 2 (x − )2 1
Câu 45: Một người gửi 88 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn một quý với lãi suất
1,68% (mỗi quý). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó có được 100 triệu đồng cả vốn lẫn
lãi từ số vốn ban đầu? (giả sử rằng lãi suất không đổi). A. 2 năm. B. 1,5 năm. C. 8 năm. D. 3 năm. Lời giải Chọn A
Gọi M là vốn và lãi sau n kỳ hạn.
A là số vốn ban đầu.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
r là lãi suất (theo quý). Ta có: = (1+ )n M A r n ⇔ = + ⇔ ( + )n 25 100000000 88000000(1 1,68%) 1 0,0168 = ⇔ n ≈ 8 22
Vậy : Sau 8 quý (tức là sau 2 năm) người đó sẽ có được 100 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. B. TỰ LUẬN
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x x 1 + 2 4 − .2 m + 2m − 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt? Lời giải Ta có: x x 1 + 2 4 − .2 m + 2m − 5 = 0 x x 2 ⇔ 4 − 2 .2
m + 2m − 5 = 0 . Đặt 2x
t = , t > 0, ta được phương trình: 2 2
t − 2mt + 2m − 5 = 0 ( ) 1 .
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình ( )
1 có hai nghiệm dương phân biệt − 5 < m < 5 ∆′ > 0 2 −m + 5 > 0 10 m < − 10 ⇔ 2
S > 0 ⇔ 2m > 0 ⇔ ⇔ < m < 5 . 2 P > 10 0 2 2m − 5 > 0 m > 2 m > 0
Vậy m = 2 là giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Câu 2: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x x 1 4 .2 m + −
+ 3m − 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu. Lời giải Phương trình x x 1 4 .2 m + − + 3m − 3 = 0( )
1 ⇔ 4x − 2 .2x
m + 3m − 3 = 0 . Đặt 2x
t = , (t > 0) ta có phương trình 2t − 2mt + 3m −3 = 0(2) . Phương trình ( )
1 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm t ,t 1 2 2
m − 3m + 3 > 0 3 m − 3 > 0 m >1
thỏa mãn 0 < t <1< t ⇔ ⇔ 1 2 m > 0 t
.t − t + t +1 < 0 1 2 ( 1 2 ) (
t −1 t −1 < 0 1 )( 2 ) m >1 m > 1 ⇔ ⇔ ⇔ m∈(1;2) . 3
m − 3 − 2m +1 < 0 m < 2
Câu 3: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log x = log y = log 2x + 2y 6 9 4 (
) . Tính tỉ số x ? y Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x = 6t (1)
Giả sử log x = log y = log 2x + 2y = t y = 9t (2) 6 9 4 ( ) . Ta có: .
2x + 2y = 4t (3) t t Khi đó x 6 2 = = > 0 . y 9t 3
Lấy (1), (2) thay vào (3) ta có 2 t 2 = 1+ 3 = (thoûa) 2t t
2.6t 2.9t 4t 3 + = 2 2 2. − ⇔ − − 2 = 3 1 0 ⇔ . 3 3 2 t = 1− 3 (loaïi) 3
Câu 4: Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng thức 3x x + ≥ 6x + 9x a
đúng với mọi số thực x .
Mệnh đề nào sau đây đúng? Lời giải Ta có 3x x + ≥ 6x + 9x a x ⇔
−18x ≥ 6x + 9x − 3x −18x a x ⇔
−18x ≥ 3x (2x − ) 1 − 9x (2x a − ) 1 x ⇔ −18x ≥ 3x − (2x − ) 1 (3x a − ) 1 (*) . Ta thấy (2x − ) 1 (3x − ) 1 ≥ 0, x ∀ ∈ ⇒ 3x − (2x − ) 1 (3x − ) 1 ≤ 0, x ∀ ∈ .
Do đó, (*) đúng với mọi số thực x x ⇔ −18x a ≥ 0, x ∀ ∈ x a ⇔ ≥ 1, x ∀ ∈ 18 a ⇔
=1 ⇔ a =18∈(16;18]. 18
Câu 5: Tìm m để phương trình 9x − 2(2 + ) 1 .3x m + 3(4m − )
1 = 0 có hai nghiệm thực x , x thỏa mãn 1 2
(x + 2 x + 2 =12 1 )( 2 ) Lời giải Đặt 3x
t = (t > 0) thì phương trình đã cho trở thành 2t − 2(2m + ) 1 t + 3(4m − ) 1 = 0 (1). 2 ∆′ > 0 ( 2m + ) 1 − 3(4m − ) 1 > 0 m ≠ 1
(1) có hai nghiệm dương phân biệt khi
S > 0 ⇔ 2m +1 > 0 ⇔ 1 . m > P > 0 4m −1 > 0 4 t = 4m −1 1 3x = 4m −1
x = log 4m −1 1 3 ( ) Khi đó ⇒ ⇒ . t = 3 2 3x = 3 x = 1 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Ta có (x 5
+ 2 x + 2 =12 ⇔ log 4m −1 = 2 ⇔ m = (thỏa điều kiện). 3 ( ) 1 )( 2 ) 2 log x 2 2
Câu 6: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 log x 2 − ≤ 1. log x log x −1 2 2 Lời giải log x x > 0 2 2 2 log x 2 − ≤ 1 ( ) 1 . ĐK: 2 x > 0 ⇔ 0 < x ≠ 2 . log x log x −1 2 2 log x −1≠ 0 2
( ) log x −1 2log x 2 2 1 ⇔ − ≤1. log x log x −1 2 2
Đặt t = log x . 2 t >1 2
Bất phương trình trở thành: t −1 2t 2 − t − t +1 1 − ≤1 ⇔ ≤ ⇔ ( t . t t t t − ) 0 0 < ≤ −1 1 2 t ≤ 1 −
• t >1 ⇔ log x >1 ⇔ x > 2 . 2 • 1 1
0 < t ≤ ⇔ 0 < log x ≤ ⇔ 1< x < 2 . 2 2 2 1 • t ≤ 1 − ⇔ log x ≤ 1 − ⇔ x ≤ . 2 2
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình ( ) 1 có tập nghiệm 1 S = 0; ∪ (1; 2 ∪(2;+∞ ). 2
Câu 7: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình 2
log x − 3log x + 2m − 7 = 0 có hai nghiệm 3 3
thực x ; x thỏa mãn (x + 3 x + 3 = 72. 1 )( 2 ) 1 2 Lời giải 2
log x − 3log x + 2m − 7 = 0 1 3 3 ( )
Điều kiện: x > 0 Đặt = log ⇔ = 3t t x x
thì phương trình tương đương 2t − 3t + 2m − 7 = 0 3
( )1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm phân biệt.
Giả sử (2) có 2 nghiệm t = log x ,t = log x khi đó ( 1t+t2 ) x x = 3 = 27 . 1 3 1 2 3 2 1 2
Suy ra(x + 3 x + 3 = 72 ⇔ x x + 3 x + x = 63 ⇔ x + x =12 1 )( 2 ) 1 2 ( 1 2) 1 2
Vậy x , x là 2 nghiệm phương trình 2
x −12x + 27 = 0 ⇔ x = 9 ∨ x = 3 1 2 9 x = 9 suy ra 2
log 9 − 3log 9 + 2m − 7 = 0 ⇔ m = . 3 3 2 9 x = 3 suy ra 2
log 3− 3log 3+ 2m − 7 = 0 ⇔ m = . 3 3 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Vậy 9 m = . 2
Câu 8: Tìm các giá trị nguyên của tham số m để phương trình log (x − )
1 = log mx −8 có hai 2 2 ( ) nghiệm phân biệt Lời giải. x >1 ( > x − ) x 1 log 1 = log mx −8 ⇔ ⇔ . 2 2 ( ) ( x − )2 2 1 = mx −8 x − (m + 2) x +9 = 0
Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực lớn hơn 1 thì điều kiện sau thỏa mãn. m < 8 − 2
m + 4m − 32 > 0 m > 4 ∆ > 0 ( x 1 x 1 0 ⇔ − +
− > ⇔ m > 0 ⇔ 4 < m < 8 1 ) ( 2 ) 1< x < x 1 2 (
x −1 x −1 > 0 8 − m > 0 1 )( 2 )
Vì m∈ ⇒ m∈{5,6 } ,7 .
Câu 9: Phương trình 2 log x − ( 2
m − 3m log x + 3 = 0 . Tìm 2 ) 2
m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x , x thỏa mãn x x =16 . 1 2 1 2 Lời giải 2 log x − ( 2
m − 3m log x + 3 = 0 1 . 2 ) 2 ( )
Điều kiện x > 0 .
Đặt log x = t . Ta được phương trình 2t − ( 2
m − 3m)t + 3 = 0 (2). 2
Ta có: x x =16 ⇔ log x x = 4 ⇔ log x + log x = 4 . 2 ( 1 2 ) 1 2 2 1 2 2 Phương trình ( )
1 có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x x =16 khi và chỉ khi (2) có hai 1 2 1 2
nghiệm phân biệt t , t thỏa mãn t + t = 4 . 1 2 1 2 m = 4 Vậy suy ra 2
m − 3m = 4 ⇔ . m = 1 −
Thử lại thấy thỏa mãn.
Câu 10: Giải bất phương trình 3x −1 log log ≤ 0 1 2 x +1 2 Lời giải 3x −1 − − − x ≥ 3 log log 3x 1 3x 1 x 3 ≤ 0 ⇔ log ≥1 ⇔ ≥ 2 ⇔ ≥ 0 ⇔ . 1 2 x +1 x +1 x +1 x +1 x < 1 − 2 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( 1; − +∞) ∪[3;+∞) .
Câu 11: Tìm m để phương trình ( 2
log x + mx) = log(x + m − ) 1 có nghiệm duy nhất Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com g (x) 2
= x + mx = x + m − g (x) 2 1
= x − (1− m) x +1− m = 0( ) 1 Phương trình ⇔ ⇔ .
x + m −1 > 0
x >1− m
PT đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi xảy ra 1 trong 2 TH sau: TH1: PT ( )
1 có nghiệm kép x >1− m ∆ = 0 ( m =
1− m)2 − 4(1− m) 1 = 0 1 − m ⇔ ⇔ ⇔ m = 3 − ⇔ m∈∅ > 1− m 1 − m < 0 2 m > 1 TH2: PT ( )
1 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x <1− m = x 1 2 2 ∆ > 0
m + 2m −3 > 0 Đk: S 1 > 1 − m − m ⇔ > 1− m
:Không có m thỏa mãn. 2 2 g (1− m) = 0 ( 1− m
)2 −(1− m)(1− m)+1− m = 0
TH3:Phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x <1− m < x 1 2 ∆ > 0
x + x = 1− m ĐK: (*) trong đó 1 2
x − 1− m x − 1− m < 0 x x = 1− 1 ( ) 2 ( ) m 1 2 2 2
m + 2m −3 > 0
m + 2m − 3 > 0 Khi đó (*) thành ⇔ ⇔ m >1. x x −
(1− m)(x + x )+(1− m)2 < 0 1 − m < 0 1 2 1 2 KL: m >1.
Câu 12: Giải phương trình 2 1
log x + log x −1 = log log 3 49 7 ( )2 7 ( 3 ) 2 Lời giải x ≠ 0 Điều kiện . x ≠ 1 2 1
log x + log x −1 = log log 3 ⇔ log x + log x −1 = log 2 49 7 ( )2 7 ( 3 ) 2 7 7 7 x(x − ) 1 = 2 2
x − x − 2 = 0 x = 2
⇔ log x x −1 = log 2 ⇔ ⇔ ⇔ . 7 ( ) 7 x ( x − ) 1 = 2 − 2
x − x + 2 = 0 x = 1 −
Câu 13: Tìm m để phương trình 2
log x − 3log x + 2m − 7 = 0 có hai nghiệm thực phân biệt x , x thỏa 3 3 1 2
mãn (x + 3 x + 3 = 72. 1 )( 2 ) Lời giải
Ta có (x + 3 x + 3 = 72 ⇒ x x + 3 x + x = 63. 1 )( 2 ) 1 2 ( 1 2) Xét 2
log x − 3log x + 2m − 7 = 0, đặt t = log x , PT trở thành 2t − 3t + 2m − 7 = 0 ( ) 1 . 3 3 3
Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt x , x ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt 1 2 ⇔ − ( m − ) 37 9 4 2 7 > 0 ⇔ 8
− m + 37 > 0 ⇔ m < . 8 Khi đó, giả sử ( )
1 có hai nghiệm t ,t , tương ứng PT đã cho có hai nghiệm x , x . 1 2 1 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com t + t = 3 Theo Vi-et ta có 1 2 . t t = 2m− 7 1 2
log x + log x = 3 ⇒ x .x = 27 Nên 3 1 3 2 1 2
log x .log x = 2m − 7 * 3 1 3 2 ( ) x .x = 27 x = 9
Kết hợp với giả thiết ta có 1 2 1 ⇔ . Thay vào (*) ta được 9 m = (TM). x x 12 + = x = 3 2 1 2 2 _
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 24
Document Outline
- Bài 6.1. Lũy thừa với số mũ thực_Lời giải
- BÀI 1. PHÉP TÍNH LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
- A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
- B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
- Dạng 1. Rút gọn biểu thức
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 2. Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 3. So sánh
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
- D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
- BÀI 1. PHÉP TÍNH LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
- Bài 6.2_Logarit_Lời giải
- BÀI 2. PHÉP TÍNH LÔGARIT
- A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
- B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
- Dạng 1. Rút gọn biểu thức
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 2. Biểu diễn theo lôga
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 3. So sánh
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
- D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
- BÀI 2. PHÉP TÍNH LÔGARIT
- Bài 6.3_Hàm số mũ và hàm số loga_Lời giải
- BÀI 3. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT
- A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
- B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
- Dạng 1. Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số
- 1. Phương pháp:
- 2. Các ví dụ
- Dạng 2. So sánh
- 1. Phương pháp
- 2. Ví dụ
- Dạng 3. Đồ thị hàm số
- 1. Phương pháp:
- 2. Các ví dụ
- C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
- D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
- BÀI 3. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT
- Bài 6.4_Pt và BPt mũ loga_Lời giải
- BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
- A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
- B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP
- Dạng 1: Đưa về cùng cơ số
- Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
- Dạng 3: Logarit hóa, mũ hóa
- C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
- D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
- BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
- Bài 6.5_ÔN TẬP CHƯƠNG 6_Lời giải
- BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI
- BÀI TẬP TỔNG ÔN
- A. TRẮC NGHIỆM
- B. TỰ LUẬN