Bài giảng khoảng cách trong không gian

Tài liệu gồm 32 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề khoảng cách trong không gian, có đáp án và lời giải chi tiết

78 39 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

32 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
BÀI GIẢNG KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm vững khái niệm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, từ một điểm đến mặt phẳng
và khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng.
+ Nắm được khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
+ Nắm vững các tính ch
ất về khoảng cách.
Kĩ năng
+ Xác định được hình chiếu của một điểm đến đường thẳng và trên mặt phẳng.
+ Biết cách tính khoảng cách trong từng trường hợp.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng
. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của O trên
. Khi đó khoảng cách
OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến
.
Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho mặt phẳng

và một điểm O. Gọi H là hình
chiếu của O trên mặt phẳng
. Khi đó khoảng
cách OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến
mặt phẳng

.
,.dO OH
Nhận xét:
,OH OM M
,.
dO OH
Nhận xét:
,OH OM M

TOANMATH.co
m
Trang 2
Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt
phẳng
Cho đường thẳng
và mặt phẳng
song song
với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì
trên
đến mặt phẳng
được gọi là khoảng
cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng

và

song song với nhau.
Khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cách giữa
hai mặt phẳng

và

.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b. Độ dài đoạn
vuông góc chung MN của a và b được gọi là
khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b.




,,ddM
 với
M

,,,ddMdN

 với
,.MN

,.dab MN
TOANMATH.co
m
Trang 3
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Khoảng cách từ điểm đến
đường thẳng
Khoảng cách từ điểm đến mặt
phẳng
Khoảng cách từ đường thẳng
đến mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau
,dO OH


,dO OH




,,ddM



;;ddM

M


,dab MN
TOANMATH.co
m
Trang 4
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Phương pháp giải
Bài toán: Xác định khoảng cách từ điểm O đến
mặt phẳng
P
.
Bước 1. Xác định hình chiếu H của O trên
.
+) Dựng mặt phẳng

P
chứa O và vuông góc với
.
+) Tìm giao tuyến

của

P
và

.
+) Kẻ
OH H . Khi đó
;.dO OH
Bước 2. Tính OH.
Lưu ý: Tính chất của tứ diện vuông.
Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O.
;;OA OB OB OC OC OA và H là hình chiếu
của O trên mặt phẳng
A
BC .
Khi đó ta có
2222
1111
.
OH OA OB OC

Ví dụ.
Khối chóp .SABCcó đáy là tam giác vuông
cân tại B và
,
A
BaSA ABC
. Góc giữa cạnh
bên SB và mặt phẳng
A
BC bằng 60
O
. Tính
khoảng cách từ A đến

.SBC
Hướng dẫn giải
Ta có
;
A
HSBAHBC AH SBC
..
A
HdASBC
Tam giác SAB vuông tại A nên
22 2
111 3
2
a
AH
AH SA AB

TOANMATH.co
m
Trang 5
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hình chóp
.SABC
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết
khối chóp
.S ABC
có thể tích bằng
3
a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

SBC .
Hướng dẫn giải
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC và SI.
Ta có
;
A
IBCSABC AK SBC
,.
A
KdASBC
Ta có
2
3
3
;43.
4
ABC
a
VaS SA a

Trong tam giác vuông SAI, ta có
222
1 1 1 4 195
.
65
a
AK
AK SA AI

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ
.'' ' '
A
BCD A B C D
có đáy là hình chữ nhật với 3
A
Da . Tam giác
'
A
AC
vuông cân tại A’ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng
'2
A
Aa . Tính khoảng cách từ D’
đến mặt phẳng
''
A
ACC
Hướng dẫn giải
Trong
'
A
AC , kẻ
'.
A
IAC
Vì

'
A
AC ABCD và
'
A
AC ABCD AC nên
'.
A
IABCD
Vì
''DD AA
nên
'' ' ',' ,'DD AACC d D AAC d D AAC
Kẻ
.DH AC
Ta có
'22 .
A
CAA a CDa
Suy ra


3
,' .
2
a
dD AAC DH

Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
TOANMATH.co
m
Trang 6
A. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng
P
bằng độ dài đoạn AH với H là một điểm bất
kì trên mặt phẳng
P
.
B.
Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng
P
bằng độ dài đoạn AH với

A
HP
.
C.
Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng
P
là độ dài nhỏ nhất của đoạn AH.
D.
Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng

P
bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu
vuông góc của A trên

P
.
Câu 2: Cho hình chóp
.S ABC
có SA vuông góc với mặt phẳng
A
BC
,
A
BC
là tam giác đều cạnh a,
2SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

SBC bằng
A.
57
3
a
B.
57
6
a
C.
257
3
a
D.
57
12
a
Câu 3: Cho hình chóp
.S ABC
có SA vuông góc với mặt phẳng

,
A
BC ABC
là tam giác đều cạnh
bằng a,
2SA a
. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng
SAB bằng
A. a B. 2a C.
3
3
a
D.
3
2
a
Câu 4: Cho hình chóp
.S ABC
có SA vuông góc với mặt phẳng

,
A
BC ABC
là tam giác đều cạnh
bằng a,
2SA a . Gọi M là trung điểm BC. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng
SAB bằng
A.
2
a
B. a C.
3
4
a
D.
3
2
a
Câu 5: Cho hình chóp .SABCD có đáy ABCD là hình thang,
90 , ; 2
o
A
BC BAD BA BC a AD a .
Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và

SAD bằng 30
o
. Khoảng cách từ A đến
SCD
bằng
A. a B. 2a C.
2
a
D. 3a
Câu 6: Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng
,
A
BC ABC là tam giác đều cạnh
bằng a,
2SA a . Gọi G là trọng tâm
A
BC . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng

SBC bằng
A.
57
3
a
B.
57
6
a
C.
257
9
a
D.
57
18
a
Câu 7: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình bình hành với
2, 60
o
BC a ABC. Tam giác SAB
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng
SAB bằng
A.
6
2
a
B.
2
2
a
C. 2a D.
26
3
a
Câu 8: Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng

,
A
BC ABC là tam giác vuông tại B,
2
B
Ca . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng
SAB bằng
TOANMATH.co
m
Trang 7
A.
a
B.
3
2
a
C.
2a
D.
3
4
a
Câu 9: Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng
,
A
BC ABC là tam giác vuông tại B,
,2
A
BaBC a. Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng
A
BC
bằng
45
o
. Khoảng cách từ A đến
mặt phẳng
SBC bằng
A.
2
2
a
B.
3
2
a
C.
3
3
a
D.
6
3
a
Câu 10: Cho hình chóp
.S ABC
có SA vuông góc với mặt phẳng
,
A
BC ABC
là tam giác vuông tại B,
,2,
A
BaBC aSAa . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng
SAC
bằng
A.
25
5
a
B.
25
15
a
C.
45
15
a
D.
65
5
a
Câu 11: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

B
CD bằng
A.
6
2
a
B.
3
3
a
C.
26
3
a
D.
6
3
a
Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD, biết khoảng cách A đến mặt phẳng

B
CD bằng 6a . Diện tích tam
giác ABC bằng
A.
2
93
4
a
B.
2
33
4
a
C.
2
73
4
a
D.
2
93
2
a
Câu 13: Cho hình chóp .S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng
A
BCD , ABCD là hình vuông cạnh
a. Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng
A
BCD bằng
60
o
. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng
SCD bằng
A.
3
4
a
B.
3
2
a
C. a D.
3
6
a
Câu 14: Cho hình chóp
.S ABCD
có SA vuông góc với mặt phẳng
A
BCD , ABCD là hình vuông cạnh
a,
3SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBD bằng
A.
3
4
a
B.
2
2
a
C.
21
3
a
D.
21
7
a
Câu 15: Cho hình chóp .S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng
A
BCD , ABCD là hình chữ nhật với
AB = a, BC= 2a, SA=3a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng
A.
6
7
a
B.
321
7
a
C.
5
7
a
D.
21
7
a
TOANMATH.co
m
Trang 8
Câu 16: Cho hình chóp
.SABCD
có
SAB và
SAD cùng vuông góc với mặt phẳng
A
BCD ,
ABCD là hình vuông cạnh a,
3SA a . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng
SBD bằng
A.
3
4
a
B.
2
2
a
C.
21
3
a
D.
21
7
a
Câu 17: Cho hình chóp
.S ABCD
có SA vuông góc với mặt phẳng
A
BCD
, ABCD là hình vuông tâm
O có cạnh a. Biết góc giữa hai mặt phẳng

SBC và
A
BCD bằng
60
o
. Khoảng cách từ O đến mặt
phẳng
SBC bằng
A.
3
4
a
B.
3
2
a
C. a D.
3
6
a
Câu 18: Cho hình chóp .SABCD có
SAB
và
SAD
cùng vuông góc với mặt phẳng
A
BCD
, ABCD
là hình thoi cạnh a,
120
o
BAD , biết SC hợp với đáy một góc 45
o
. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng
SCD bằng
A.
3
4
a
B.
2
2
a
C.
21
3
a
D.
21
7
a
Câu 19: Cho hình chóp .S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng
,,
A
BCD SA a ABCD là hình thoi
cạnh a,
60
o
ABC . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng
SCD bằng
A.
321
7
a
B.
221
7
a
C.
21
21
a
D.
21
7
a
Câu 20: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a,
SA ABCD và
3SA a . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

SBC
bằng
A.
3
2
a
B.
3
4
a
C.
2
2
a
D. a
Câu 21: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a,
SA ABCD và
3SA a
. Khoảng cách từ trong tâm G của
SAB
đến mặt phẳng

SAC
bằng
A.
2
a
B.
2
4
a
C.
2
6
a
D.
2
3
a
Câu 22: Cho hình chóp .SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C,
,SA ABCD AC a
và
3
A
Ba . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
SAB bằng
A. 2a B. a C.
3
2
a
D.
6
3
a
Câu 23: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, , ,
A
BaACbADc.
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
B
CD bằng
TOANMATH.co
m
Trang 9
A.
222
1
111
abc

B.
222
111
abc

C.
222
abc
D.
222
1
abc

Câu 24: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
,3,
A
BaBCa SA ABCD . Góc
giữa SC và mặt đáy bằng
45
o
. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
SCD
bằng
A. 2a B.
21
6
a
C.
221
7
a
D. 3a
Câu 25: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABCD là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SB vuông góc mặt
phẳng
A
BC
và
2SB a
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
SAM bằng
A.
5
5
a
B.
2
a
C.
5a
D.
217
17
a
Câu 26: Cho lăng trụ
.'' '
A
BC A B C
có đáy là tam giác vuông cân tại A với
3
A
BAC a
. Hình chiếu
vuông góc của
'
B
lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho
2HC HB
. Biết cạnh bên của lăng trụ bằng
2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng
'
B
AC bằng
A.
2
3
a
B.
3a
C.
33
2
a
D.
2
a
Câu 27: Cho hình lập phương
.'' '
A
BCD A B C
có cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
'
A
CD bằng
A. 2a B.
3
2
a
C.
2
a
D.
2
2
a
Câu 28: Cho hình hộp chữ nhật .'' ' '
A
BCD A B C D có ,2,'3
A
BaBC aBB a . Khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng
''
A
CC A bằng
A.
5
2
a
B. a C.
25
5
a
D. 2a
Câu 29: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng

,60, ,
o
a BAD SO ABCD SO a
. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng
SBC bằng
A.
2
a
B.
3
4
a
C.
3
2
a
D.
39
13
a
Câu 30: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng

,60, ,
o
a BAD SO ABCD SO a . Khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng

SBC
bằng
A.
2
a
B.
3
4
a
C.
3
2
a
D.
39
13
a
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
1-D 2-B 3-D 4-C 5-A 6-D 7-A 8-C 9-A 10-B
11-D 12-A 13-B 14-D 15-A 16-D 17-A 18-D 19-C 20-B
TOANMATH.co
m
Trang 10
21-C 22-D 23-A 24-C 25-D 26-B 27-D 28-C 29-B 30-C
Lời giải chi tiết
Câu 2.
Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM
Ta có:

.
BC AM
B
C SAM SBC SAM
BC SA

;.
A
HSBC dASBC AH
Ta có
3
.
2
a
AM
Xét
SAM vuông tại A có
22 222 2
1111419 57
.
4312 6
a
AH
A
HASAM a a a

Câu 3.
Do
.SA ABC SAB ABC
Dựng
;.CN AB CN SAB d C SAB CN
Do
A
BC
đều cạnh a nên
3
.
2
a
CN
Vậy


3
;.
2
a
dC SAB
Câu 4.
Do
.SA ABC SAB ABC
Dựng
;.CN AB CN SAB d C SAB CN
Do
A
BC
đều cạnh bằng a nên
3
.
2
a
CN
Do M là trung điểm BC nên




13
;;.
24
a
dM SAB dC SAB

Câu 5.
Gọi E là trung điểm AD.
Khi đó ABCE là hình vuông cạnh a. Suy ra CE AD
.
Lại có CE SA
.
Do đó



,30.
o
CE SAD CSE SC SAD
Lại có: .sin 30 2 .
o
SC CE a SC a
TOANMATH.co
m
Trang 11
A
BC
vuông cân tại B nên
2.AC a
Ta có
22
2.SA SC AC a
Do
1
2
CE AD
nên
A
CD vuông tại .CACCD
Dựng
.
A
FSC
Ta có:


.2.2
,.
2
SA SC a a
dASCD AF a
SC a

Câu 6.
Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của
A trêm SM.
Ta có:

.
BC AM
B
C SAM SBC SAM
BC SA

;.
A
HSBC dASBC AH
Xét
SAM vuông tại A có
22 2
111 57
.
6
a
AH
AH AS AM

Do G là trọng tâm
A
BC
nên
1
.
3
GM
M
A
Suy ra




157
;;.
318
a
dG SBC d A SBC

Câu 7.
Dựng
.SH AB
Do
SAB ABCD nên

.SH ABCD
Dựng
CK AB . Vì CK SH nên

.CK SAB
Do
CD AB
nên


,,dD SAB dC SAB CK
36
sin 60 2. .
22
o
a
BC a

Câu 8.
Do
SA ABC nên
.SAB ABC
Mặt khác do
.
B
CAB BC SAB
Suy ra
;2.dC SAB CB a
Câu 9.
Do
SA ABC
nên AB là hình chiếu vuông góc của SB
trên
 
;45.
o
ABC SB ABC SBA
Vậy
SAB
vuông cân tại
.
A
SA AB a
TOANMATH.co
m
Trang 12
Dựng
A
HSB
, ta có:
;.SAB SBC AH SBC d A SBC AH
Xét
SAB vuông tại A nên
222
111 2
.
2
a
AH
AH AS AB

Câu 10.
Do
SA ABC
nên
.SAC ABC
Trong mặt phẳng
A
BC
, dựng
.BH AC
Ta có
B
HSAC
. Suy ra
;dB SAC BH
.
Xét
A
BC vuông tại B nên
222
111 25
.
5
a
BH
BH BA BC

Do G là trọng tâm
SAB
nên
1
.
3
NG
NB
Suy ra




125
;;.
315
a
dG SBC d A SBC

Câu 11.
Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vuông góc của A trên
BM.
Ta có:

1.
CD AM
CD ABM CD AH
CD BM
 
Tương tự, ta chứng minh được
2.BC AH
Tự
1
và
2
suy ra
.
A
HBCD
Suy ra
;dABCD AH và H là trọng tâm .
B
CD
Xét
A
BH vuông tại H có
22
6
.
3
a
AH AB BH

Nhận xét: Trong tứ diện đều, hình chiếu vuông góc của một đỉnh trên mặt phẳng đối diện là trực tâm
(trọng tâm) của mặt đó.
Câu 12.
Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vuông góc của A
trên BM.
Áp dụng kết quả
câu 11, ta có
;dABCD AH
và H là trọng tâm .
B
CD
Xét
A
BH vuông tại H:
222
A
HABBH
TOANMATH.co
m
Trang 13
2
22
23
.
32
A
HAB AB





22
2
63.
3
aABABa

Vậy

2
2
33
93
.
44
ABC
a
a
S

Câu 13.
Do
SA ABCD nên AB là hình chiếu vuông góc của SB
trên mặt phẳng
 

;.
A
BCD SB ABCD SBA
Ta có:

.
BC SA
B
CSAB SAB SBC
BC AB

Xét
SAB vuông tại
:tan 3.ASA AB SBA a
Dựng
;.
A
HSD AH SCD dASCD AH
Xét
SAD vuông tại
222
111 3
:.
2
a
AAH
AH AS AD

Do
A
BCD
nên




3
;; .
2
a
dB SCD dASCD
Câu 14.
Gọi O là tâm hình vuông
B
DOA
ABCD
B
DSA
.
B
DSAO SBD SAO
Dựng
.
A
KSO AK SBD
Suy ra


;.dASBD AK
Xét SAO vuông tại
222
111 21
:.
7
a
AAK
AK AS AO

Câu 15.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD.
Ta có:

.

BD SA
B
D SAH SBD SAH
BD AH
Dựng
.
A
KSH AK SBD
Suy ra


;.dASBD AK
Xét
SAH vuông tại
22 2
111
:A
A
KASAH

222
111 6
.
7
a
AK
AS AB AD




TOANMATH.co
m
Trang 14
Câu 16.
Ta có:



.
()


SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA
Gọi O là tâm hình vuông
B
DOA
ABCD
B
DSA

.
B
DSAO SBD SAO
Dựng

.
A
KSO AK SBD
Suy ra


;.dASBD AK
Xét
SAO
vuông tại A có
222
111 21
.
7
a
AK
AK AS AO

Do
OSBD và O là trung điểm AC nên




21
;; .
7
a
dC SBD d A SBD
Câu 17.
Ta có:

.
BC AB
B
CSAB BCSB
BC SA
 
Suy ra

;.SBC ABCD SBA
Xét
SAB vuông tại
:tan 3.ASA AB SBA a
Vì
B
CSAB
nên
.SAB SBC
Dựng
;.
A
HSB AH SBC dASBC AH
Xét
SAB vuông tại A nên
222
111 3
.
2
a
AH
A
HASAB

Do
CSBC và O là trung điểm AC nên




13
;;.
24
a
dO SBC dA SBC
Câu 18.
Ta có:



.
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA


Tam giác ABC cân tại B và
60 .
o
BAC
Suy ra
,
A
BC ACD đều.
TOANMATH.co
m
Trang 15
Vậy


;45.
o
SC ABCD SCA SA AC a
Gọi M là trung điểm của

.
CD AM
CD CD SAM
CD SA

Dựng
;.
A
HSM AH SCD dASCD AH
Xét
SAM
vuông tại A:
22 2
111 21
.
7
a
AH
A
HASAM

Do
//
A
BSCD nên




21
;; .
7
a
dB SCD dASCD
Câu 19.
A
BC cân tại B và
60 ,
o
A
BC ABC ACD đều.
Gọi M là trung điểm
.CD CD AM
Mà
CD SA nên
.CD SAM
Dựng
;.
A
HSM AH SCD dASCD AH
Xét
SAM
vuông tại A:
22 2
111 21
.
7
a
AH
AH AS AM

Do
 



21
;; .
7
a
AB SCD d B SCD d A SCD
Gọi N là trung điểm BC nên
2
.
3
GS
NS
Suy ra




2
;;
3
dG SCD dN SCD




21 1 21
.; ; .
32 3 21

a
dB SCD dASCD
Câu 20.
Ta có
SAB BC SAB SBC
theo giao tuyến SB.
Kẻ
A
HSB
nên
,.dASBC AH
Vì
OA SBC C nên


,
1
2
,
dO SBC
CO
CA
dASBC





1
,,
2
dO SBC dA SBC


13
,.
24
a
dO SBC AH
TOANMATH.co
m
Trang 16
Câu 21.
Gọi M là trung điểm của AB.
Vì
M
GSAC S
nên


,
2
3
,
dG SAC
GS
MS
dM SAC





2
,,.
3
dG SAC dM SAC
Ta có:
B
OAC và
.
B
OSA BO SAC
Mặt khác:
.
B
MSAC A
Suy ra:




112
,,
224
a
dM SAC dB SAC BO


22 2
,. .
34 6
aa
dG SAC
Câu 22.
Kẻ
.CH AB H AB
Do
CH SA SA ABC nên
.CH SAB
Suy ra
,.dC SAB CH
Xét
A
BC
vuông tại C có:
22
2;BC AB AC a
2222
1113
.
2CH AC BC a

Vậy


6
,.
3
a
dH SBC AH
Câu 23.
Kẻ
A
KBCKBC và
.
A
HDKHDK
Do
do
B
C DA AD ABC nên
.
B
CDAK
Suy ra
.
A
HBC Do
A
HDK nên
,.
A
HBCD dABCD AH
Xét
A
BC vuông tại A có:
22222
11111
.
A
KABACab

Xét
A
DK vuông tại A có:
222222
111111
.
A
H AK AD abc

TOANMATH.co
m
Trang 17
Vậy


222
1
,.
111
dABCD AH
abc


Câu 24.
Vì
SA ABCD nên


;45.
o
SC ABCD SCA
Kẻ
1.AH SD H SD
Ta có:
CD AD
và
.CD SA
Suy ra
2.CD SAD CD AH
Từ (1) và (2) suy ra
.
A
HSCD
Do đó
,.dASCD AH
Xét
A
BC vuông tại B có:
22
2.
A
CABBC a
Xét
SAC
vuông tại A có:
.tan45 2 .
o
SA AC a
Xét
SAD
vuông tại A có:
22 2 2
1117 221
.
12 7
a
AH
AH SA AD a

Vậy


221
,.
7
a
dB SCD AH
Câu 25.
Ta có:
A
MBC (
A
BC đều);
A
MSBdoSB ABC
Do đó
.
A
MSBC
Trong mặt phẳng
SBM
, kẻ .
B
HSM
Mà
B
HAM nên

.
B
HSAM
Suy ra
,.dB SAM BH
Xét
SBM vuông tại B có:
2 2 2222
1111417 217
.
44 17
a
BH
BH SB BM a a a

Câu 26.
Ta có: 32 2.BC a HB a
Lại có
'2 2
'2.BH BB HB a
Dựng
;'.HE AC HF B E
Suy ra
','.HF B AC d H B AC HF
TOANMATH.co
m
Trang 18
Ta có
2
2.
3
HE CH
HE a
AB BC

Suy ra
22 2
22
11 1 .' 2
.
'
3
'
HE B H a
HF
HF HE B H
HE B H

Mặt khác


,'
3
.
2
,'
dB BAC
BC
HC
dH BAC

Do đó


3
,' . 3.
2
dB BAC HF a
Câu 27.
Ta có:

'
A
BCD AB ACD 
Khi đó:
,' ,'dB ACD dA ACD
Gọi O là tâm hình vuông
''.
A
DD A
Vì
'CD AA
và
CD AD
nên
''.CD ADD A
Suy ra
CD AO . Mà '
A
OAD nên

'.
A
OACD
Suy ra


'2
,' .
22
AD a
dAACD AO
Vậy


2
,' .
2
a
dB ACD
Câu 28.
Kẻ

.
B
HACHAC
Lại có


' do ' .
B
HAA AA ABCD
Suy ra
'' ; '' .
B
H ACC A d B ACC A BH
Xét
A
BC vuông tại B có:
2222
1115 25
.
45
a
BH
BH AB BC a

Vậy


25
;'' .
5
a
dB ACCA
Câu 29.
Kẻ
.OK BC BC SOK
Trong mặt phẳng
:SOK
Kẻ
,.OH SK OH SBC d O SBC OH
Vì
A
BD có
,60
o
AB AD BAD nên
A
BD đều.
Suy ra
.
2
a
BD a BO
TOANMATH.co
m
Trang 19
Suy ra
2
222
3.
4
a
AO AB BO a a
Trong
OBC
vuông tại O có:
2222
11113 39
.
313

a
OK
OK OB OC a
Trong
SOK
vuông tại O có:
22 22
11116 3
.
34
a
OH
OH OS OK a

Vậy


3
,.
4
a
dO SBC OH
Câu 30.
Kẻ
,.OK BC K BC OH SK H SK 
Ta có:
.
A
DBC AD SBC 
Khi đó
,,dADSBC dM SBC
(với M là giao điểm của
AD và OK).
Kẻ
.
M
NOH N SK
Ta có
SOK SBC
theo giao tuyến SK nên
.OH SBC
Suy ra
.
M
NSBC
Suy ra




3
,, 2.
2
a
dADSBC dM SBC MN OH
Dạng 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài toán 1. Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b trường hợp
ab
Phương pháp giải
TOANMATH.co
m
Trang 20
Dựng mặt phẳng
chứa b và vuông góc với a tại
A.
Dựng
A
Bb
tại b
AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Ví dụ. Cho hình chóp
.S ABC
đáy ABC là tam giác
vuông tại
,,2
B
AB a BC a
; cạnh bên SA vuông
góc với đáy và
2SA a . Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và BC.
Hướng dẫn giải
Ta có:
.
A
BSA
A
BBC
Suy ra AB là đoạn vuông góc
chung của SA và BC.
Vậy
,dSABC AB a
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1
. Cho hình chóp
.S ABCD
đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; cạnh bên SA vuông góc với
đáy; SC hợp với đáy góc
45
o
. Tính khoảng cách giữa hai dường thẳng SC và BD.
Hướng dẫn giải
Ta có: AC là hình chiếu vuông góc của SC lên
A
BCD
.
Suy ra


,45.
o
SC ABCD SCA
Lại có: .
BD AC
B
DSC
BD SA

Gọi
OACBD. Dựng OH SC tại H.
Ta có:
OH SC
OH BD
. Suy ra OH la đoạn vuông góc chung của BD và SC.
Suy ra

,dBDSC OH .
Xét tam giác OHC vuông tại H có:
22
sin 45 . .
222
o
aa
OH OC
TOANMATH.co
m
Trang 21
Ví dụ 2. Cho hình chóp
.SABC
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt phẳng

SBC
vuông góc với mặt đáy.
Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA,BC.
Hướng dẫn giải
Kẻ
1AH BC . Ta có
3
,.
22 2
AB a a
AH SH
Vì
,2.SA ABC BC ABC SA BC
Từ
1 và
2 suy ra
.
B
CSHA
Trong
SAH
, kẻ
HK SA K SA
. Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau SA và BC.
Xét tam giác SHA vuông tại H có
2222
11116 3
.
34
a
HK
HK HS HA a

Vậy

3
,.
4
a
dSABC
Bài toán 2. Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b không vuông góc
Phương pháp giải
Cách 1.
Dựng mặt phẳng
chưa b và song song với a.
Chọn điểm M thích hợp trên a, dựng
MH
tại H.
Qua H, dựng đường thẳng
'/ /aa, cắt b tại B.
Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A.
AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Cách 2.
Dựng mặt phẳng
vuông góc với a tại M.
Dựng hình chiếu b’ trên b lên
.
Dựng hình chiếu vuông góc H của M lên b’.
Từ H, dựng đượng thẳng song song với a, cắt b tại B.
Qua B, dựng đường thẳng song song với MH, cắt a tại A.
AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
SA ABCD
và
,2.SA AB a BC a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Trang 22
Ví
CD SAB nên
,,dCDSB dCD SAB
,.dD SAB
Ta có:
A
DAB và
.
A
DSA
Suy ra
.
A
DSAB
Khi đó
,2.dD SAB DA a
Vậy
;2.dCDSB a
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng
.'' '
A
BC A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại , , 2 ,
A
AB a BC a mặt bên
ACC’A’ là hình vuông. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của , ', ' '
A
CCC AB và H là hình chiếu của A
lên BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MP và HN.
Hướng dẫn giải
Ta xét cặp mặt phẳng song song lần lượt chứa MP và NH.
Xét tam giác ABC vuông ta A có:
2222222
1111 1 4 3
.
32
a
AH
AH AB AC AB BC AB a

Kẻ
,'' ''.
M
KBC K AB PQBC Q AC 
Ta có
P
MMKPQ và
''.HN BCC B
Do
M
KBC
và '
M
QCC
nên
''.
M
KPQ BCC B
Khi đó
,,''.d MP NH d MKPQ BCC B
Do
 


''.
'' ,
AH BC
A
HBCCB
AH CC CC ABC AH ABC


TOANMATH.co
m
Trang 23
Suy ra
A
HKMQP tại
.IAHKM
Vậy


3
,,'' .
24
AH a
dMPNH d MPKQ BCCB IH
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1:
Cho hai đường thẳng
1
d và
2
d chéo nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Khoảng cách giữa
1
d và
2
d bằng khoảng cách từ điểm A trên
1
d đến
2
d .
B.
Khoảng cách giữa
1
d và
2
d bằng khoảng cách từ điểm B trên
2
d đến
1
d .
C.
Khoảng cách giữa
1
d
và
2
d
là độ dài của đoạn AB với AB vuông góc với
1
d
và
2
d
.
D.
Khoảng cách giữa
1
d
và
2
d
bằng khoảng cách từ điểm A trên
1
d
đến mặt phẳng
P
chứa
2
d
và
1
d song song với
P
.
Câu 2: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường
thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
B.
Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường
thẳng này và song song với mặt phẳng kia.
C.
Một đường thẳng là đường vông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với
cả hai đường thẳng đó.
D. Hai đường thẳng chéo nhau thì có vô số đường vuông góc chung.
Câu 3:
Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A.
2
a
B.
2
2
a
C.
3
2
a
D.
a
Câu 4: Cho hình chóp .SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng
A
BCD và
3SH a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC bằng
A.
257
19
a
B.
23
19
a
C.
3
2
a
D. a
Câu 5: Hình hộp .' ' ' '
A
BCD A B C D có '
A
BAA ADa và
'' 60
o
A AB A AD BAD. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện '
A
ABD bằng
A.
2
a
B.
2
2
a
C.
3
2
a
D. a
Câu 6: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt phẳng
SBC vuông góc với mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
A.
2
a
B.
2
2
a
C.
3
2
a
D.
3
4
a
Câu 7: Cho hình chóp
.S ABCD
có cạnh đáy SA vuông góc với đáy, ABCD là hình vuông cạnh a. Biết
góc giữa SB và mặt đáy bằng 60
o
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng
TOANMATH.co
m
Trang 24
A.
10
5
a
B.
10
10
a
C.
30
10
a
D.
30
5
a
Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng
111
.
A
BC A B C có tam giác ABC vuông cân tại
,,'2
A
AB a CC a
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
1
A
A
và
1
BC
bằng
A.
a
B.
6
2
a
C.
3
2
a
D.
2
2
a
Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng
111
.
A
BC A B C có tam giác ABC vuông cân tại
,,'2
A
AB a CC a
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
A
C và
1
BC
bằng
A.
35
5
a
B.
25
5
a
C.
5
5
a
D.
5
2
a
Câu 10: Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai dường
thẳng
SA và BC bằng
A.
2
2
a
B. a C.
3
2
a
D.
2
a
Câu 11: Cho tứ diện OABC có
,,OA OB OC
đôi một vuông góc với nhau, ,2,2OA a OB a OC a .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC bằng
A.
25
5
a
B.
23
3
a
C.
6
3
a
D.
a
Câu 12: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
,, .D SA ABCD AD DC SA a
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB bằng
A.
2
2
a
B. a C.
3
2
a
D. 3a
Câu 13: Cho hình lập phương .'' ' '
A
BCD A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
'
B
B và CD bằng
A. 2a B. a C.
2
2
a
D.
2
a
Câu 14: Cho hình lập phương .'' ' '
A
BCD A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
'
A
A
và BD bằng
A. a B. 2a C.
2
2
a
D.
2
a
Câu 15: Cho hình chóp .S ABC có đáy tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
A
BC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho 2HA HB . Góc giữa hai đường thẳng SC và mặt phẳng
A
BC bằng 60
o
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a bằng
A.
42
2
a
B.
42
4
a
C.
24
8
a
D.
42
8
a
Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng .' ' '
A
BC A B C có đáy là tam giác ABC vuông tại ,, 3
A
AB a BC a.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
'
A
A
và '
B
C bằng
TOANMATH.co
m
Trang 25
A.
2a
B.
a
C.
3a
D.
6
3
a
Câu 17: Cho hình chóp .SABCD có mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với đáy, ABCD là hình chữ nhật với , 2
A
BaBC a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD
bằng
A.
217
17
a
B.
17
17
a
C.
17
34
a
D.
317
17
a
Câu 18: Cho hình chóp
.S ABCD
có ABCD là hình thoi tam O, cạnh a, góc
60
o
BCD
, có SO vuông
góc với mặt phẳng
A
BCD và SO a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB bằng
A.
57
19
a
B.
257
19
a
C.
257
19
a
D.
57
9
a
Câu 19: Cho hình lăng trụ .' ' '
A
BC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
'
A
trên mặt phẳng
A
BC là trọng tâm tam giác ABC và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60
o
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và
''
A
B bằng
A. a B.
2
a
C.
2
3
a
D.
22
3
a
Câu 20: Cho hình lăng trụ .'' '
A
BC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của
'
A
trên mặt phẳng
A
BC là trọng tâm tam giác ABC và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60
o
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và
'
A
A bằng
A.
3
2
a
B.
2
a
C.
3
4
a
D.
3
2
a
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
1-D 2-B 3-B 4-B 5-B 6-D 7-C 8-D 9-B 10-A
11-B 12-C 13-B 14-C 15-D 16-D 17-B 18-C 19-A 20-C
Lời giải chi tiết
Câu 3.
Gọi K là trung điểm CD.
Suy ra

.
CD AK
CD ABK
CD BK

Dựng
;.HK AB HK d AB CD
Xét tam giác BHK vuông tại H, ta có
2
2
22
32
.
222
aaa
HK BK BH








Vậy

2
;.
2
a
dABCD
TOANMATH.co
m
Trang 26
Nhận xét:
Đối với tứ diện đều cạnh a thì khoảng cách giửa các cặp cạnh đối diện bằng nhau và bằng
2
.
2
a
Suy ra
Câu 4.
Ta thấy

.
DM NC
DM SHC DM SC
DM SH
 
Ta có:
.
M
AD NDC ADM DCN MD NC
Do
SH ABCD nên
.
M
DSH MD SHC
Kẻ
.HK SC K SC
Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC nên
,.dDMSC HK
Ta có:
2
2
5
CD a
HC
CN

và
22
.23
.
19
SH HC a
HK
SH HC

Do đó

23
,.
19
a
dDMSC
Câu 5.
Vì '
A
BAA ADa và
'' 60
o
A AB A AD BAD
nên tứ diện '
A
ABD là tứ diện đều cạnh a. vậy khoảng
cách giữa hai đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ
diện '
A
ABD bằng
2
2
a
(theo kết quả câu 3).
Câu 6.
Gọi H là trung điểm của BC nên

3
,,.
22 2
BC a a
AH SH ABC SH
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên
.SA HK SA
Ta có:
;.
B
CSAH BCHKdSABCHK
Xét tam giác SHA vuông tại H.
Ta có
2222
11116 3
.
34
a
HK
HK SH AH a

Vậy

3
;.
4
a
dSABC
Câu 7.
TOANMATH.co
m
Trang 27
Do
SA ABCD
nên


;60.
o
SB ABCD SBA
Do tam giác SAC vuông tại A nên
.tan 3.SA AB SBA a
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Ta có:

.
BD AC
B
DSAC
BD SA

Trong mặt phẳng
SAC
, dựng
.OH SC
Suy ra
;.dBDSC OH
Dựng
1
.
2
A
KOH OH AK
Xét tam giác SAC vuông tại A:
2222
1115 30
.
65
a
AK
AK AS AC a

Vậy

30
;.
10
a
dBDSC
Câu 8.
Do
11
BB AA
nên
111
.
A
ABCCB
Suy ra
11 1 1 1
;; ;.d AA BC d AA BCCC d A BCCC
Do
1
B
CCC ABC , dựng
,.
A
HBCHBC
Suy ra
11
.
A
HBCCB
Xét tam giác ABC vuông tại
12
:.
22
a
AAH BC
Vậy

11
2
;.
2
a
dAABC
Câu 9.
Gọi O là giao điểm của
1
A
B và
1
.
A
B
Do
11
A
CAC
nên
11
.
A
CBAC
Suy ra
11111111
;;; ;dACBCdACBACdABAC dBBAC
(do
11
OBAC
và O là trung điểm
1
A
B
).
Dựng
11
1.BH AB
Ta có:

11 11
11 11
11 1
AC AB
A
CABBA
AC AA

TOANMATH.co
m
Trang 28
11 1
2.AC B H
Từ (1) và (2) ta có:
111 1111
;.
B
HABC dBABC BH
Xét tam giác
11
A
BB
vuông tại
1
:B

1
22
22
1
11 1
11 15 25
.
45
a
BH
BH a
AB BB

Vậy

1
25
;.
5
a
dBCAC
Câu 10.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC và SA.
Ta có:
B
CSI ( SBC đều) và
B
CAI (
A
BC đều).
Do đó
.1BC SAI BC IK
Mặt khác
SI IA SAI cân tại I.
Có IK là đường trung tuyến nên
.2IK AB
Từ (1) và (2) suy ra IK là đoạn vuông góc chung cùa SA và BC.
Do đó
;.dSABC IK
Xét
A
KI vuông tại K có:
2
2
22
32
.
222
aaa
IK AI AK








Vậy

2
;.
2
a
dSABC
Câu 11.
Kẻ
1.OH BC H BC
Ta có:
OA OB và .OA OC
Suy ra
2.OA OBC OA OH
Từ (1) và (2) suy ra OH là đoạn vuông góc chung cùa OA và BC.
Do đó
;.dOABC OH
Xét
OBC vuông tại O có:
2222
1113 23
.
43
a
OH
OH OB OC a

Vậy

23
;.
3
a
dOABC
Câu 12.
TOANMATH.co
m
Trang 29
Kẻ
1.AH SB H SB
Ta có:
A
DAB và
.
A
DSAdoSA ABCD
Suy ra
2.AD SAB AD AH
Từ (1) và (2) suy ra AH là đoạn vuông góc chung cùa AD và SB.
Do đó
;.dADSB AH
Xét
SAB vuông tại A có:
2222
1114 3
.
32
a
AH
AH SA SB a

Vậy

3
;.
2
a
dADSB
Câu 13.
Ta có '
B
CBB và .
B
CCD
Suy ra BC là đoạn vuông góc chung của
'BB và CD.
Do đó
'; .dBBCD BC a
Câu 14.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Ta có:
A
OBD và '
A
OAA .
Suy ra AO là đoạn vuông góc chung của
'
A
A và BD.
Do đó

2
'; .
22
AC a
dAABD AO
Câu 15.
Ta có



,,60.
o
SC ABC SC HC SCH
A
BC
đều nên
3
2
a
CI với I là trung điểm AB.
Ta có
;.
32 6
aa a
BH BI IH
Suy ra
22
7
.
3
a
CH IH IC
SCH
vuông tại H có
21
.tan60 .
3
o
a
SH HC
Kẻ
A
xBC
. Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên
A
x và SN. Suy ra
.
B
CSAN
Ta có:
3
2
B
AAH nên




3
,, ,.
2
dSABC dB SAN dH SAN
Ta cũng có
A
xSHN nên
A
xHK . Do đó

.HK SAN
TOANMATH.co
m
Trang 30
Suy ra
,.dH SAN HK
23
, sin 60 .
33
o
aa
AH HN AH
22
.42
.
12
SH HN a
HK
SH HN

Vậy

342
,.
28
a
dSABC HK
Câu 16.
Vì
'''
A
ABCCB
nên
'; ' '; ' ' ; ' ' .dAABC dAA BCCB dABCCB
Kẻ
.
A
HBCHBC
Mà
' do ' .
A
HBB BB ABC
Suy ra
''.
A
HBCCB
Do đó
;'' .dABCCB AH
Xét
A
BC vuông tại A có:
22
2
A
CBCABa
2222
1113 6
.
23
a
AH
AH AB AC a

Vậy

6
'; ' .
3
a
dAABC
Câu 17.
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD, H là trung điểm AB.
Do
SAB ABCD và SH AB nên
.SH ABCD
Gọi I là giao điểm của HD và
2.
A
CIDIH
Gọi G là trọng tâm
.SAB
Suy ra
.IG SD SD AGC
;; ;2;.d SD AC d SD AGC d D AGC d H AGC
Dựng
.HK AC AC GHK
Dựng
.HP GK HP GAC
Suy ra
;.dH GAC HP
Ta có
313
;; .
22 2 2 3 6
AB a BC a a
AH HO a SH HG SH
TOANMATH.co
m
Trang 31
Xét tam giác GHK vuông tại H:
2222222
11111117
.
HP HK HG HA HO HG a

Suy ra
17
17
a
HP .
Vậy

17
;.
17
a
dSDAC
Câu 18.
Ta có:
SB SBC
và
// .
A
DSBC
Do đó
,,.dADSB dADSBC
Qua O kẻ
,.
M
NBCMADNBC
Ta có:
B
CMN và
B
CSO (vì
SO ABCD ), suy ra
B
CSMN
Mà
B
C SBC SMN SBC theo giao tuyến SN.
Kẻ
.
M
H SN H SN MH SBC
Khi đó ta có
,, .dADSB dM SBC MH
Ta có
11
..
22
SMN
SMNSOMHSN

22
..
.
MN SO MN SO
MH
SN
SO ON

Do tam giác BCD có
CD CB a và
ˆ
60
o
BCD suy ra tam giác
B
CD đều

3
,.
2
a
dDBC MN
Vậy


257
,, .
19
a
dADSB dM SBC MH
Câu 19.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, theo giả thiết
 

'';'60.
o
AG ABC AA ABC AAG
Xét tam giác
'
A
AG vuông tại G:
23
' .tan ' . .tan 60 .
32
o
a
A
GAG AAG a
Do
'''
B
CABC nên
;'' ; ''' ' .dBCAB dBC ABC AG a
Vậy
;'' .dBCAB a
Câu 20.
TOANMATH.co
m
Trang 32
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Theo giả thiết
'
A
GABC , suy ra


'; ' 60 .
o
AA ABC A AG
Xét tam giác
'
A
AG
vuông tại G:
23
' .tan ' . .tan 60 .
32
o
a
A
GAG AAG a
Gọi M là trung điểm BC.

'.
'
BC AM
B
CAAM
BC A G

Dựng
';'.
M
NAA dBCAA MN
Xét tam giác AMN vuông tại N:
33
.sin .sin60
24
o
aa
MN AM NAM. Vậy

3
;' .
4
a
dBCAA
| 1/32
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI GIẢNG KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Mục tiêu Kiến thức
+ Nắm vững khái niệm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, từ một điểm đến mặt phẳng
và khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng.
+ Nắm được khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
+ Nắm vững các tính chất về khoảng cách.  Kĩ năng
+ Xác định được hình chiếu của một điểm đến đường thẳng và trên mặt phẳng.
+ Biết cách tính khoảng cách trong từng trường hợp.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng  . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của O trên  . Khi đó khoảng cách
OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến  .
d O,   OH.
Nhận xét: OH OM , M   
Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho mặt phẳng   và một điểm O. Gọi H là hình
chiếu của O trên mặt phẳng   . Khi đó khoảng
cách OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng   .
d O,   OH.
Nhận xét: OH OM , M    Trang 1
Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng
Cho đường thẳng  và mặt phẳng   song song
với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì
trên  đến mặt phẳng   được gọi là khoảng
cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng   .
d ,   d M ,  với M 
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng   và   song song với nhau.
Khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cách giữa
hai mặt phẳng   và   .
d  ,   d M ,   d N,  với
M  , N  .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b. Độ dài đoạn
vuông góc chung MN của a và b được gọi là
khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b.
d a,b  MN. TOANMATH.com Trang 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Khoảng cách từ điểm đến
d O,  OH đường thẳng
Khoảng cách từ điểm đến mặt
d O,   OH phẳng
d ,   d M , 
Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai mặt
d  ;  
d M ;  phẳng song song M   
Khoảng cách giữa hai đường
d a,b  MN thẳng chéo nhau TOANMATH.com Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng Phương pháp giải
Bài toán: Xác định khoảng cách từ điểm O đến Ví dụ. Khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông
mặt phẳng P .
cân tại B và AB a, SA   ABC . Góc giữa cạnh
bên SB và mặt phẳng  ABC bằng 60O . Tính
khoảng cách từ A đến SBC. Hướng dẫn giải
Ta có AH SB; AH BC AH  SBC
Bước 1. Xác định hình chiếu H của O trên   .
AH d  . A SBC.
+) Dựng mặt phẳng P chứa O và vuông góc với    .
+) Tìm giao tuyến   của P và   .
+) Kẻ OH   H   . Khi đó d  ;
O    OH. Bước 2. Tính OH.
Tam giác SAB vuông tại A nên
Lưu ý: Tính chất của tứ diện vuông. 1 1 1 a 3    AH 2 2 2
Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O. AH SA AB 2 OA  ;
OB OB OC;OC OA và H là hình chiếu
của O trên mặt phẳng  ABC . 1 1 1 1 Khi đó ta có    . 2 2 2 2 OH OA OB OC TOANMATH.com Trang 4 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết
khối chóp S.ABC có thể tích bằng 3
a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC . Hướng dẫn giải
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC và SI.
Ta có AI BC; SA BC AK  SBC
AK d  , A SBC. 2 a 3 Ta có 3
V a ; S
SA  4a 3. ABC  4
Trong tam giác vuông SAI, ta có 1 1 1 4a 195    AK  . 2 2 2 AK SA AI 65
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ A .
BCD A' B 'C ' D ' có đáy là hình chữ nhật với AD a 3 . Tam giác A' AC
vuông cân tại A’ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng A' A a 2 . Tính khoảng cách từ D’
đến mặt phẳng  A' ACC ' Hướng dẫn giải
Trong  A' AC , kẻ A' I AC.
Vì  A' AC   ABCD và  A' AC  ABCD  AC nên A' I   ABCD.
Vì DD '  AA' nên DD '   A' ACC '  d D ', A' AC  d D, A' AC Kẻ DH AC.
Ta có AC A' A 2  2a CD  . a a
Suy ra d D A AC 3 , '  DH  . 2
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Mệnh đề nào sau đây đúng? TOANMATH.com Trang 5
A. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng P bằng độ dài đoạn AH với H là một điểm bất
kì trên mặt phẳng P .
B. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng P bằng độ dài đoạn AH với AH  P .
C. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng P là độ dài nhỏ nhất của đoạn AH.
D. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng P bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu
vuông góc của A trên P .
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC , ABC là tam giác đều cạnh a,
SA  2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 57a 57a 2 57a 57a A. B. C. D. 3 6 3 12
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC, AB
C là tam giác đều cạnh
bằng a, SA  2a . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB bằng 3a 3a
A. a B. 2a C. D. 3 2
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC,ABC là tam giác đều cạnh
bằng a, SA  2a . Gọi M là trung điểm BC. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAB bằng a 3a 3a
A. B. a C. D. 2 4 2
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,     90o ABC BAD
, BA BC a; AD  2a .
Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và SAD bằng 30o . Khoảng cách từ A đến SCD bằng a
A. a B. a 2 C. D. a 3 2
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC,ABC là tam giác đều cạnh
bằng a, SA  2a . Gọi G là trọng tâm ABC . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SBC bằng 57a 57a 2 57a 57a A. B. C. D. 3 6 9 18
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với   2,  60o BC a ABC . Tam giác SAB
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SAB bằng a 6 a 2 2a 6 A. B.
C. a 2 D. 2 2 3
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC, ABC
là tam giác vuông tại B,
BC  2a . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB bằng TOANMATH.com Trang 6 3a 3a A. a B.
C. 2a D. 2 4
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC, ABC
là tam giác vuông tại B,
AB a, BC  2a . Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC bằng 45o . Khoảng cách từ A đến
mặt phẳng SBC bằng a 2 a 3 a 3 a 6 A. B. C. D. 2 2 3 3
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC, ABC
là tam giác vuông tại B,
AB a, BC  2a, SA a . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SAC bằng 2 5a 2 5a 4 5a 6 5a A. B. C. D. 5 15 15 5
Câu 11: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD bằng a 6 a 3 2a 6 a 6 A. B. C. D. 2 3 3 3
Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD, biết khoảng cách A đến mặt phẳng BCD bằng a 6 . Diện tích tam giác ABC bằng 2 9 3a 2 3 3a 2 7 3a 2 9 3a A. B. C. D. 4 4 4 2
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD , ABCD là hình vuông cạnh
a. Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABCD bằng 60o . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng 3a 3a 3a A. B.
C. a D. 4 2 6
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD , ABCD là hình vuông cạnh
a, SA a 3 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng 3a 2a 21a 21a A. B. C. D. 4 2 3 7
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD , ABCD là hình chữ nhật với
AB = a, BC= 2a, SA=3a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng 6a 3 21a 5a 21a A. B. C. D. 7 7 7 7 TOANMATH.com Trang 7
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD ,
ABCD là hình vuông cạnh a, SA a 3 . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD bằng 3a 2a 21a 21a A. B. C. D. 4 2 3 7
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD , ABCD là hình vuông tâm
O có cạnh a. Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và  ABCD bằng 60o . Khoảng cách từ O đến mặt
phẳng SBC bằng 3a 3a 3a A. B.
C. a D. 4 2 6
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD , ABCD
là hình thoi cạnh a,  120o BAD
, biết SC hợp với đáy một góc 45o . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng 3a 2a 21a 21a A. B. C. D. 4 2 3 7
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD, SA a, ABCD là hình thoi cạnh a,  60o ABC
. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SCD bằng 3 21a 2 21a 21a 21a A. B. C. D. 7 7 21 7
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a, SA   ABCD và
SA a 3 . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SBC bằng a 3 a 3 a 2 A. B. C. D. a 2 4 2
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a, SA   ABCD và
SA a 3 . Khoảng cách từ trong tâm G của SAB đến mặt phẳng SAC bằng a a 2 a 2 a 2 A. B. C. D. 2 4 6 3
Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA   ABCD, AC a và
AB a 3 . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB bằng a 3 a 6
A. a 2 B. a C. D. 2 3
Câu 23: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB a, AC b, AD c .
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD bằng TOANMATH.com Trang 8 1 1 1 1 1 A. B.   C. 2 2 2
a b c D. 1 1 1 2 2 2 a b c 2 2 2  
a b c 2 2 2 a b c
Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, BC a 3, SA   ABCD. Góc
giữa SC và mặt đáy bằng 45o . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD bằng a 21 2a 21
A. a 2 B. C. D. a 3 6 7
Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SB vuông góc mặt
phẳng  ABC và SB  2a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAM  bằng a 5 a 2a 17 A.
B. C. a 5 D. 5 2 17
Câu 26: Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB AC  3a . Hình chiếu
vuông góc của B ' lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC  2HB . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng
2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng B ' AC bằng 2a 3a 3 a A.
B. a 3 C. D. 3 2 2
Câu 27: Cho hình lập phương A .
BCD A' B 'C ' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
A'CD bằng a 3 a a 2
A. a 2 B. C. D. 2 2 2
Câu 28: Cho hình hộp chữ nhật A .
BCD A' B 'C ' D ' có AB a, BC  2a, BB '  a 3 . Khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng  ACC ' A' bằng a 5 2a 5 A.
B. a C. D. 2a 2 5
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng  ,  60o a BAD
, SO   ABCD, SO a . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SBC bằng a a 3 a 3 a 39 A. B. C. D. 2 4 2 13
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng  ,  60o a BAD
, SO   ABCD, SO a . Khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng SBC bằng a a 3 a 3 a 39 A. B. C. D. 2 4 2 13
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
1-D 2-B 3-D 4-C 5-A 6-D 7-A 8-C 9-A 10-B
11-D 12-A 13-B 14-D 15-A 16-D 17-A 18-D 19-C 20-B TOANMATH.com Trang 9
21-C 22-D 23-A 24-C 25-D 26-B 27-D 28-C 29-B 30-C Lời giải chi tiết Câu 2.
Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM BC AM Ta có: 
BC  SAM   SBC  SAM . BC SA
AH  SBC  d  ;
A SBC  AH. a 3 Ta có AM  . 2
Xét SAM vuông tại A có 1 1 1 1 4 19 a 57       AH  . 2 2 2 2 2 2 AH AS AM 4a 3a 12a 6 Câu 3.
Do SA   ABC  SAB   ABC.
Dựng CN AB CN  SAB  d C;SAB  CN. a 3
Do ABC đều cạnh a nên CN  . 2 a
Vậy d C SAB 3 ;  . 2 Câu 4.
Do SA   ABC  SAB   ABC.
Dựng CN AB CN  SAB  d C;SAB  CN. a 3
Do ABC đều cạnh bằng a nên CN  . 2
Do M là trung điểm BC nên
d M SAB 1
d C SAB a 3 ; ;  . 2 4 Câu 5.
Gọi E là trung điểm AD.
Khi đó ABCE là hình vuông cạnh a. Suy ra CE AD .
Lại có CE SA . Do đó           ,  30 .o CE SAD CSE SC SAD Lại có: .sin 30o SC
CE a SC  2 . a TOANMATH.com Trang 10
ABC vuông cân tại B nên AC a 2. Ta có 2 2
SA SC AC a 2. 1
Do CE AD nên ACD vuông tại C AC C . D 2
Dựng AF SC. SA SC a a
Ta có: d A SCD . 2. 2 ,  AF    . a SC 2a Câu 6.
Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A trêm SM. BC AM Ta có: 
BC  SAM   SBC  SAM . BC SA
AH  SBC  d  ;
A SBC  AH.
Xét SAM vuông tại A có 1 1 1 a 57    AH  . 2 2 2 AH AS AM 6 GM 1
Do G là trọng tâm ABC nên  . MA 3 1 57a
Suy ra d G;SBC  d  ;
A SBC  . 3 18 Câu 7. Dựng SH  . AB
Do SAB   ABCD nên SH   ABCD.
Dựng CK AB . Vì CK SH nên CK  SAB.
Do CDAB nên d D,SAB  d C,SAB  CK a o 3 6
BC sin 60  a 2.  . 2 2 Câu 8.
Do SA   ABC nên SAB   ABC.
Mặt khác do BC AB BC  SAB.
Suy ra d C;SAB  CB  2 . a Câu 9.
Do SA   ABC nên AB là hình chiếu vuông góc của SB trên        ;   45 .o ABC SB ABC SBA
Vậy SAB vuông cân tại A SA AB  . a TOANMATH.com Trang 11
Dựng AH SB , ta có:
SAB  SBC  AH  SBC  d  ;
A SBC  AH.
Xét SAB vuông tại A nên 1 1 1 a 2    AH  . 2 2 2 AH AS AB 2 Câu 10.
Do SA   ABC nên SAC ABC.
Trong mặt phẳng  ABC , dựng BH AC.
Ta có BH  SAC . Suy ra d B;SAC  BH .
Xét ABC vuông tại B nên 1 1 1 2 5a    BH  . 2 2 2 BH BA BC 5 NG 1
Do G là trọng tâm SAB nên  . NB 3 1 2 5a
Suy ra d G;SBC  d  ;
A SBC  . 3 15 Câu 11.
Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vuông góc của A trên BM. CD   AM Ta có: 
CD   ABM   CD AH   1 . CD   BM
Tương tự, ta chứng minh được BC AH 2. Tự  
1 và 2 suy ra AH  BCD. Suy ra d  ;
A BCD  AH và H là trọng tâm B . CD Xét A
BH vuông tại H có a 6 2 2
AH AB BH  . 3
Nhận xét: Trong tứ diện đều, hình chiếu vuông góc của một đỉnh trên mặt phẳng đối diện là trực tâm
(trọng tâm) của mặt đó. Câu 12.
Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vuông góc của A trên BM.
Áp dụng kết quả câu 11, ta có d  ;
A BCD  AH và H là trọng tâm B . CD Xét A
BH vuông tại H: 2 2 2
AH AB BH TOANMATH.com Trang 12 2  2 3  2 2
AH AB   . AB   3 2    2 2 2
 6a AB AB  3 . a 3  a2 2 3 3 9 3a Vậy S   . ABC 4 4 Câu 13.
Do SA   ABCD nên AB là hình chiếu vuông góc của SB
trên mặt phẳng  ABCD  SB ABCD   ;  S . BA BC SA Ta có: 
BC  SAB  SAB  SBC. BC AB
Xét SAB vuông tại 
A : SA AB tan SBA a 3.
Dựng AH SD AH  SCD  d  ;
A SCD  AH. 1 1 1 3a
Xét SAD vuông tại A :    AH . 2 2 2 AH AS AD 2 a
Do ABCD nên d B SCD  d A SCD 3 ; ;  . 2 Câu 14. BD OA
Gọi O là tâm hình vuông ABCD   BD SA
BD  SAO  SBD  SAO.
Dựng AK SO AK  SBD. Suy ra d  ;
A SBD  AK. 1 1 1 21a Xét SAO  vuông tại A :    AK  . 2 2 2 AK AS AO 7 Câu 15.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD. BD SA Ta có: 
BD  SAH   SBD  SAH . BD AH
Dựng AK SH AK  SBD. Suy ra d  ;
A SBD  AK. 1 1 1
Xét SAH vuông tại A :   2 2 2 AK AS AH 1  1 1  6a     AK  . 2  2 2  ASAB AD  7 TOANMATH.com Trang 13 Câu 16.
SAB   ABCD 
Ta có: SAD   ABCD  SA   ABCD.
SAB(SAD)   SABD OA
Gọi O là tâm hình vuông ABCD   BD SA
BD  SAO  SBD  SAO.
Dựng AK SO AK  SBD. Suy ra d  ;
A SBD  AK. 1 1 1 21a
Xét SAO vuông tại A có    AK  . 2 2 2 AK AS AO 7
Do O SBD và O là trung điểm AC nên
 SBD  d A SBD 21a d C; ;  . 7 Câu 17. BC AB Ta có: 
BC  SAB  BC S . B BC SA
Suy ra SBC  ABCD  ;  S . BA
Xét SAB vuông tại 
A : SA AB tan SBA a 3.
Vì BC  SAB nên SAB  SBC. Dựng
AH SB AH  SBC  d  ;
A SBC  AH.
Xét SAB vuông tại A nên 1 1 1 3a    AH  . 2 2 2 AH AS AB 2
Do C SBC và O là trung điểm AC nên
O SBC 1
d A SBC 3a d ; ;  . 2 4 Câu 18.
SAB   ABCD 
Ta có: SAD   ABCD
SA   ABCD.
SAB  SAD  SA
Tam giác ABC cân tại B và  60 .o BAC  Suy ra ABC, ACD  đều. TOANMATH.com Trang 14 Vậy      ;   45o SC ABCD SCA
SA AC  . a CD   AM
Gọi M là trung điểm của CD  
CD  SAM . CD   SA
Dựng AH SM AH  SCD  d  ;
A SCD  AH.
Xét SAM vuông tại A: 1 1 1 21a    AH  . 2 2 2 AH AS AM 7 a
Do AB / / SCD nên d B SCD  d A SCD 21 ; ;  . 7 Câu 19. A
BC cân tại B và   60o ABCABC, ACD đều.
Gọi M là trung điểm CD CD AM .
Mà CD SA nên CD  SAM . Dựng
AH SM AH  SCD  d  ;
A SCD  AH.
Xét SAM vuông tại A: 1 1 1 21a    AH  . 2 2 2 AH AS AM 7 a
Do AB SCD  d B SCD  d A SCD 21 ; ;  . 7 GS 2
Gọi N là trung điểm BC nên  . NS 3 2
Suy ra d G;SCD  d N;SCD 3 2 1     1     21 . ; ;  a d B SCD d A SCD . 3 2 3 21 Câu 20.
Ta có SAB  BC  SAB  SBC theo giao tuyến SB.
Kẻ AH SB nên d  ,
A SBC  AH.
Vì OA  SBC  C nên
d O,SBC CO 1   d  ,
A SBC CA 2
d O SBC 1 ,  d  , A SBC 2
d O SBC 1 a 3 ,  AH  . 2 4 TOANMATH.com Trang 15 Câu 21.
Gọi M là trung điểm của AB.
d G,SAC GS 2
Vì MG  SAC  S nên  
d M ,SAC MS 3
d G SAC 2 ,
d M ,SAC. 3
Ta có: BO AC và BO SA BO  SAC.
Mặt khác: BM  SAC    A . Suy ra:
d M SAC 1
d B SAC 1 a 2 , ,  BO  2 2 4
d G SAC 2 a 2 a 2 ,  .  . 3 4 6 Câu 22.
Kẻ CH AB H AB.
Do CH SASA   ABC nên CH  SAB.
Suy ra d C,SAB  CH.
Xét ABC vuông tại C có: 2 2
BC AB AC a 2; 1 1 1 3    . 2 2 2 2 CH AC BC 2a a
Vậy d H SBC 6 ,  AH  . 3 Câu 23.
Kẻ AK BC K BC và AH DK H DK .
Do BC DA do AD   ABC nên BC  DAK .
Suy ra AH BC. Do AH DK nên
AH  BCD  d  ,
A BCD  AH. Xét A
BC vuông tại A có: 1 1 1 1 1     . 2 2 2 2 2 AK AB AC a b Xét A
DK vuông tại A có: 1 1 1 1 1 1      . 2 2 2 2 2 2 AH AK AD a b c TOANMATH.com Trang 16 1 Vậy d  ,
A BCD  AH  . 1 1 1   2 2 2 a b c Câu 24.
Vì SA   ABCD nên      ;   45 .o SC ABCD SCA
Kẻ AH SD H SD  1 .
Ta có: CD AD và CD  . SA
Suy ra CD  SAD  CD AH 2.
Từ (1) và (2) suy ra AH  SCD. Do đó d  ,
A SCD  AH. Xét A
BC vuông tại B có: 2 2
AC AB BC  2 . a
Xét SAC vuông tại A có:  .tan 45o SA AC  2 . a
Xét SAD vuông tại A có: 1 1 1 7 2a 21     AH  . 2 2 2 2 AH SA AD 12a 7 a
Vậy d B SCD 2 21 ,  AH  . 7 Câu 25.
Ta có: AM BC ( ABC đều); AM SB do SB   ABC
Do đó AM  SBC.
Trong mặt phẳng SBM , kẻ BH SM.
Mà BH AM nên BH  SAM .
Suy ra d B,SAM   BH. Xét SBM  vuông tại B có: 1 1 1 1 4 17 2a 17       BH  . 2 2 2 2 2 2 BH SB BM 4a a 4a 17 Câu 26.
Ta có: BC  3a 2  HB a 2. Lại có '2 2
B ' H BB HB a 2.
Dựng HE AC; HF B ' E.
Suy ra HF  B ' AC  d H,B ' AC  HF. TOANMATH.com Trang 17 HE CH 2 Ta có    HE  2 . a AB BC 3 1 1 1 HE.B ' H 2a Suy ra    HF   . 2 2 2 2 2 HF HE B ' H
HE B ' H 3
d B,B ' AC BC 3 Mặt khác  
d H,B ' AC . HC 2
Do đó d B B AC 3 , '
 .HF a 3. 2 Câu 27.
Ta có: ABCD AB  A'CD
Khi đó: d B, A'CD  d  ,
A A'CD
Gọi O là tâm hình vuông ADD ' A'.
Vì CD AA' và CD AD nên CD   ADD ' A'.
Suy ra CD AO . Mà AO A' D nên AO   A'CD. AD a
Suy ra d A A CD ' 2 , '  AO   . 2 2 a
Vậy d B A CD 2 , '  . 2 Câu 28.
Kẻ BH AC H AC.
Lại có BH AA'do '
AA   ABCD.
Suy ra BH   ACC ' A'  d B; ACC ' A'  BH. Xét A
BC vuông tại B có: 1 1 1 5 2a 5     BH  . 2 2 2 2 BH AB BC 4a 5 a
Vậy d B ACC A  2 5 ; ' '  . 5 Câu 29.
Kẻ OK BC BC  SOK .
Trong mặt phẳng SOK  :
Kẻ OH SK OH  SBC  d O,SBC  OH. Vì ABD có   ,  60o AB AD BAD nên ABD đều. a
Suy ra BD a BO  . 2 TOANMATH.com Trang 18 2 a Suy ra 2 2 2
AO AB BO a   a 3. 4
Trong OBC vuông tại O có: 1 1 1 13 39      a OK . 2 2 2 2 OK OB OC 3a 13
Trong SOK vuông tại O có: 1 1 1 16 a 3     OH  . 2 2 2 2 OH OS OK 3a 4 a
Vậy d O SBC 3 ,  OH  . 4 Câu 30.
Kẻ OK BC K BC,OH SK H SK .
Ta có: ADBC AD SBC.
Khi đó d AD,SBC  d M ,SBC (với M là giao điểm của AD và OK).
Kẻ MN OH N SK .
Ta có SOK   SBC theo giao tuyến SK nên OH  SBC.
Suy ra MN  SBC. a
Suy ra d AD SBC  d M SBC 3 , ,
MN  2OH  . 2
Dạng 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài toán 1. Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b trường hợp a b Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 19
Dựng mặt phẳng   chứa b và vuông góc với a tại Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác A.
vuông tại B, AB a, BC  2a ; cạnh bên SA vuông
Dựng AB b tại b
góc với đáy và SA  2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. Hướng dẫn giải
AB là đoạn vuông góc chung của a và b. AB SA Ta có: 
. Suy ra AB là đoạn vuông góc AB BC chung của SA và BC. Vậy d S ,
A BC   AB a Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; cạnh bên SA vuông góc với
đáy; SC hợp với đáy góc 45o . Tính khoảng cách giữa hai dường thẳng SC và BD. Hướng dẫn giải
Ta có: AC là hình chiếu vuông góc của SC lên  ABCD . Suy ra      ,   45 .o SC ABCD SCABD AC Lại có:   BD SC. BD SA Gọi  
O AC BD . Dựng OH SC tại H. OH   SC Ta có: 
. Suy ra OH la đoạn vuông góc chung của BD và SC. OH   BD
Suy ra d BD, SC  OH . a a o 2 2
Xét tam giác OHC vuông tại H có: OH OC sin 45  .  . 2 2 2 TOANMATH.com Trang 20
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt phẳng SBC vuông góc với mặt đáy.
Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA,BC. Hướng dẫn giải AB a a 3
Kẻ AH BC   1 . Ta có AH   , SH  . 2 2 2
Vì SA   ABC, BC   ABC  SA BC 2. Từ  
1 và 2 suy ra BC  SHA.
Trong SAH  , kẻ HK SAK SA . Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau SA và BC. 1 1 1 16 a 3
Xét tam giác SHA vuông tại H có     HK  . 2 2 2 2 HK HS HA 3a 4 a
Vậy d SA BC 3 ,  . 4
Bài toán 2. Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b không vuông góc
Phương pháp giải Cách 1.
Dựng mặt phẳng   chưa b và song song với a.
Chọn điểm M thích hợp trên a, dựng MH    tại H.
Qua H, dựng đường thẳng a '/ /a , cắt b tại B.
Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A.
AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Cách 2.
Dựng mặt phẳng   vuông góc với a tại M.
Dựng hình chiếu b’ trên b lên   .
Dựng hình chiếu vuông góc H của M lên b’.
Từ H, dựng đượng thẳng song song với a, cắt b tại B.
Qua B, dựng đường thẳng song song với MH, cắt a tại A.
AB là đoạn vuông góc chung của a và b.  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA   ABCD và
SA AB a, BC a 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 21
Ví CD SAB nên d CD, SB  d CD,SAB
d D,SAB.
Ta có: AD AB và AD S . A
Suy ra AD  SAB.
Khi đó d D,SAB  DA a 2. Vậy d C ;
D SB  a 2.
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại ,
A AB a, BC  2a, mặt bên
ACC’A’ là hình vuông. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của ,
AC CC ', A' B ' và H là hình chiếu của A
lên BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MP và HN. Hướng dẫn giải
Ta xét cặp mặt phẳng song song lần lượt chứa MP và NH.
Xét tam giác ABC vuông ta A có: 1 1 1 1 1 4 a 3       AH  . 2 2 2 2 2 2 2 AH AB AC AB BC AB 3a 2
Kẻ MK BC K AB, PQB 'C 'Q A'C '.
Ta có PM  MKPQ và HN  BCC ' B '.
Do MK BC và MQCC ' nên MKPQ  BCC ' B '.
Khi đó d MP, NH   d MKPQ,BCC ' B '. AH BC  Do    AH CC
CC  ABCAH  
ABC AH BCC 'B'. ' ' , TOANMATH.com Trang 22
Suy ra AH  KMQP tại I  AH KM. AH a
Vậy d MP NH   d MPKQ BCC B  3 , , ' '  IH   . 2 4
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho hai đường thẳng d và d chéo nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2
A. Khoảng cách giữa d và d bằng khoảng cách từ điểm A trên d đến d . 1 2 1 2
B. Khoảng cách giữa d và d bằng khoảng cách từ điểm B trên d đến d . 1 2 2 1
C. Khoảng cách giữa d và d là độ dài của đoạn AB với AB vuông góc với d và d . 1 2 1 2
D. Khoảng cách giữa d và d bằng khoảng cách từ điểm A trên d đến mặt phẳng P chứa d và 1 2 1 2
d song song với P . 1
Câu 2: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường
thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
B. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường
thẳng này và song song với mặt phẳng kia.
C. Một đường thẳng là đường vông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với
cả hai đường thẳng đó.
D. Hai đường thẳng chéo nhau thì có vô số đường vuông góc chung.
Câu 3: Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng a 2a 3a A. B. C. D. a 2 2 2
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng  ABCD và
SH a 3 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC bằng 2 57a 2 3a 3a A. B. C. D. a 19 19 2
Câu 5: Hình hộp A .
BCD A' B 'C ' D ' có AB AA'  AD a và    '  '   60o A AB A AD BAD . Khoảng
cách giữa hai đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện ' A ABD bằng a 2a 3a A. B. C. D. a 2 2 2
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt phẳng SBC vuông góc với mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng a 2a a 3 a 3 A. B. C. D. 2 2 2 4
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy SA vuông góc với đáy, ABCD là hình vuông cạnh a. Biết
góc giữa SB và mặt đáy bằng 60o . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng TOANMATH.com Trang 23 10a 10a 30a 30a A. B. C. D. 5 10 10 5
Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có tam giác ABC vuông cân tại ,
A AB a,CC '  2a . 1 1 1
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng 1 1 6a 3a a 2 A. a B. C. D. 2 2 2
Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có tam giác ABC vuông cân tại ,
A AB a,CC '  2a . 1 1 1
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC bằng 1 3 5a 2 5a 5a a 5 A. B. C. D. 5 5 5 2
Câu 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai dường
thẳng SA và BC bằng a 2 a 3 a A.
B. a C. D. 2 2 2
Câu 11: Cho tứ diện OABC có ,
OA OB,OC đôi một vuông góc với nhau, OA a,OB a 2,OC  2a .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC bằng 2a 5 2a 3 a 6 A. B. C. D. a 5 3 3
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D, SA   ABCD, AD DC SA  .
a Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB bằng a 2 a 3 A.
B. a C. D. a 3 2 2
Câu 13: Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB ' và CD bằng a 2 a
A. a 2 B. a C. D. 2 2
Câu 14: Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BD bằng a 2 a
A. a B. a 2 C. D. 2 2
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB . Góc giữa hai đường thẳng SC và mặt phẳng
ABC bằng 60o . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a bằng a 42 a 42 a 24 a 42 A. B. C. D. 2 4 8 8
Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác ABC vuông tại ,
A AB a, BC a 3 .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC ' bằng TOANMATH.com Trang 24 a 6
A. a 2 B. a C. a 3 D. 3
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với đáy, ABCD là hình chữ nhật với ,
AB a BC  2a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng 2 17a 17a 17a 3 17a A. B. C. D. 17 17 34 17
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tam O, cạnh a, góc  60o BCD  , có SO vuông
góc với mặt phẳng  ABCD và SO a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB bằng 57a 2 57a 2 57a 57a A. B. C. D. 19 19 19 9
Câu 19: Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
A' trên mặt phẳng  ABC là trọng tâm tam giác ABC và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60o .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và A' B ' bằng a 2a 2 2a
A. a B. C. D. 2 3 3
Câu 20: Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của
A' trên mặt phẳng  ABC là trọng tâm tam giác ABC và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60o .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AA' bằng 3a a 3a 3a A. B. C. D. 2 2 4 2
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
1-D 2-B 3-B 4-B 5-B 6-D 7-C 8-D 9-B 10-A
11-B 12-C 13-B 14-C 15-D 16-D 17-B 18-C 19-A 20-C
Lời giải chi tiết Câu 3. Gọi K là trung điểm CD. CD AK Suy ra 
CD   ABK . CD BK
Dựng HK AB HK d A ; B CD.
Xét tam giác BHK vuông tại H, ta có 2 2
a 3   a a 2 2 2
HK BK BH      .     2    2  2 a
Vậy d AB CD 2 ;  . 2 TOANMATH.com Trang 25 Nhận xét: a 2
Đối với tứ diện đều cạnh a thì khoảng cách giửa các cặp cạnh đối diện bằng nhau và bằng . 2 Suy ra Câu 4. DM NC Ta thấy 
DM  SHC  DM SC. DM SH Ta có:   MAD ND
C ADM DCN MD NC.
Do SH   ABCD nên MD SH MD  SHC.
Kẻ HK SC K SC.
Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC nên
d DM , SC  HK. 2 CD 2a SH.HC 2 3a Ta có: HC   và HK   . CN 5 2 2 SH HC 19 a
Do đó d DM SC 2 3 ,  . 19 Câu 5.
Vì AB AA'  AD a và    '  '   60o A AB A AD BAD nên tứ diện '
A ABD là tứ diện đều cạnh a. vậy khoảng
cách giữa hai đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ 2a diện ' A ABD bằng (theo kết quả câu 3). 2 Câu 6.
Gọi H là trung điểm của BC nên BC a AH  
SH   ABCa 3 , , SH  . 2 2 2
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SA HK  . SA
Ta có: BC  SAH   BC HK d S ;
A BC   HK.
Xét tam giác SHA vuông tại H. 1 1 1 16 a 3 Ta có     HK  . 2 2 2 2 HK SH AH 3a 4 a
Vậy d SA BC 3 ;  . 4 Câu 7. TOANMATH.com Trang 26
Do SA   ABCD nên      ;   60 .o SB ABCD SBA
Do tam giác SAC vuông tại A nên  SA  .t
AB an SBA a 3.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. BD AC Ta có: 
BD  SAC. BD SA
Trong mặt phẳng SAC , dựng OH SC. Suy ra d B ;
D SC   OH. 1
Dựng AK OH OH AK. 2
Xét tam giác SAC vuông tại A: 1 1 1 5 30a     AK  . 2 2 2 2 AK AS AC 6a 5 a
Vậy d BD SC 30 ;  . 10 Câu 8.
Do BB AA nên AA  BCC B . 1  1 1  1 1
Suy ra d AA ; BC d AA ; BCCCd ; A BCCC . 1 1   1  1    1 
Do BCCC ABC , dựng AH BC,H BC. 1   
Suy ra AH  BCC B . 1 1  1 a 2
Xét tam giác ABC vuông tại A : AH BC  . 2 2 a 2
Vậy d AA ; BC  . 1 1  2 Câu 9.
Gọi O là giao điểm của AB và A . B 1 1
Do AC A C nên AC  BAC . 1 1  1 1
Suy ra d AC; BC d AC; BAC d ; A BA Cd B ; BAC 1   1 1 
  1 1  1  1 1
(do O BAC và O là trung điểm AB ). 1 1  1
Dựng B H A B 1 . 1 1   A C A B Ta có: 1 1 1 1 
A C ABB A 1 1  1 1  A C AA  1 1 1 TOANMATH.com Trang 27
AC B H 2 . 1 1 1  
Từ (1) và (2) ta có: B H A BC d B ; A BCB H. 1  1 1  1  1 1 1
Xét tam giác A BB vuông tại B : 1 1 1 1 1 1 5 2 5a     B H  . 2 B H A B BB 4a 5 1  1 12  12 2 1 2 5a
Vậy d BC ; AC  . 1  5 Câu 10.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC và SA.
Ta có: BC SI ( SBC
đều) và BC AI ( ABC đều).
Do đó BC  SAI   BC IK.  1
Mặt khác SI IA SAI cân tại I.
Có IK là đường trung tuyến nên IK  . AB 2
Từ (1) và (2) suy ra IK là đoạn vuông góc chung cùa SA và BC. Do đó d S ;
A BC   IK. Xét A
KI vuông tại K có: 2 2
a 3   a a 2 2 2
IK AI AK      .     2    2  2 a
Vậy d SA BC 2 ;  . 2 Câu 11.
Kẻ OH BC H BC  1 .
Ta có: OA OB và OA OC.
Suy ra OA  OBC  OA OH 2.
Từ (1) và (2) suy ra OH là đoạn vuông góc chung cùa OA và BC. Do đó d O ;
A BC   OH. Xét OBC vuông tại O có: 1 1 1 3 2a 3     OH  . 2 2 2 2 OH OB OC 4a 3 a
Vậy d OA BC 2 3 ;  . 3 Câu 12. TOANMATH.com Trang 28
Kẻ AH SB H SB  1 .
Ta có: AD AB và AD SAdo SA   ABCD.
Suy ra AD  SAB  AD AH 2.
Từ (1) và (2) suy ra AH là đoạn vuông góc chung cùa AD và SB.
Do đó d AD; SB  AH. Xét SAB  vuông tại A có: 1 1 1 4 a 3     AH  . 2 2 2 2 AH SA SB 3a 2 a
Vậy d AD SB 3 ;  . 2 Câu 13.
Ta có BC BB ' và BC C . D
Suy ra BC là đoạn vuông góc chung của BB ' và CD.
Do đó d BB ';CD  BC  . a Câu 14.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Ta có: AO BD và AO AA' .
Suy ra AO là đoạn vuông góc chung của AA' và BD. AC a
Do đó d AA BD 2 ';  AO   . 2 2 Câu 15. Ta có          , ,   60 .o SC ABC SC HC SCHa 3
ABC đều nên CI
với I là trung điểm AB. 2 a a a
Ta có BH  ; BI   IH  . 3 2 6 7a Suy ra 2 2
CH IH IC  . 3  a o 21
SCH vuông tại H có SH HC.tan 60  . 3
Kẻ AxBC . Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN. Suy ra BC  SAN . 3 3
Ta có: BA AH nên d S ,
A BC   d B,SAN   d H,SAN . 2 2
Ta cũng có Ax  SHN  nên Ax HK . Do đó HK  SAN . TOANMATH.com Trang 29
Suy ra d H,SAN   HK. 2a a o 3 AH
, HN AH sin 60  . 3 3 SH.HN a 42 HK   . 2 2 SH HN 12 a
Vậy d SA BC 3 42 ,  HK  . 2 8 Câu 16.
Vì AA'  BCC ' B ' nên
d AA'; BC '  d AA';BCC ' B '  d  ;
A BCC ' B '.
Kẻ AH BC H BC.
Mà AH BB 'do '
BB   ABC.
Suy ra AH  BCC ' B '. Do đó d  ;
A BCC ' B '  AH. Xét A
BC vuông tại A có: 2 2
AC BC AB a 2 1 1 1 3 a 6     AH  . 2 2 2 2 AH AB AC 2a 3 a
Vậy d AA BC  6 '; '  . 3 Câu 17.
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD, H là trung điểm AB.
Do SAB   ABCD và SH AB nên SH   ABCD.
Gọi I là giao điểm của HD và AC ID  2IH.
Gọi G là trọng tâm SA  . B
Suy ra IGSD SD  AGC.  d S ;
D AC   d  ;
SD AGC  d  ;
D AGC  2d H; AGC.
Dựng HK AC AC  GHK .
Dựng HP GK HP  GAC.
Suy ra d H;GAC  H . P AB a BC a 3 1 a 3 Ta có AH   ; HO   a; SH
HG SH  . 2 2 2 2 3 6 TOANMATH.com Trang 30
Xét tam giác GHK vuông tại H: 1 1 1 1 1 1 17       . 2 2 2 2 2 2 2 HP HK HG HA HO HG a 17a Suy ra HP  . 17 a
Vậy d SD AC 17 ;  . 17 Câu 18.
Ta có: SB  SBC và AD / / SBC.
Do đó d AD, SB  d AD,SBC.
Qua O kẻ MN BC M AD, N BC.
Ta có: BC MN và BC SO (vì SO   ABCD ), suy ra
BC  SMN
Mà BC  SBC  SMN   SBC theo giao tuyến SN.
Kẻ MH SN H SN   MH  SBC.
Khi đó ta có d AD, SB  d M ,SBC  MH. 1 1 Ta có S
MN.SO MH.SN SMN 2 2 MN.SO MN.SOMH   . 2 2 SN SO ON a
Do tam giác BCD có CD CB a và ˆ 60o BCD  suy ra tam giác B
CD đều d D BC 3 ,   MN. 2 a
Vậy d AD SB  d M SBC 2 57 , ,  MH  . 19 Câu 19.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, theo giả thiết          ' ';  '  60 .o A G ABC AA ABC A AG
Xét tam giác A' AG vuông tại G:  2 a 3
A'G A .
G tan A' AG  . .tan 60o  . a 3 2
Do BC   A' B 'C ' nên d BC; A' B '  d BC; A' B 'C '  A'G  . a
Vậy d BC; A' B '  . a Câu 20. TOANMATH.com Trang 31
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Theo giả thiết A'G   ABC , suy ra      ';  '  60 .o AA ABC A AG
Xét tam giác A' AG vuông tại G:  2 a 3
A'G A .
G tan A' AG  . .tan 60o  . a 3 2 Gọi M là trung điểm BC. BC AM  
BC   A' AM .
BC A'G
Dựng MN AA'  d BC; AA'  MN.
Xét tam giác AMN vuông tại N:  a 3 a a o 3
MN AM .sin NAM  .sin 60 
. Vậy d BC AA  3 ; '  . 2 4 4 TOANMATH.com Trang 32