Bài giảng lôgarit

Tài liệu gồm 21 trang, trình bày lí thuyết trọng tâm và hướng dẫn giải các dạng bài tập chuyên đề lôgarit, giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình Giải tích 12 chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit.

18 9 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

21 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
TOANMATH.com
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT
BÀI 2. LÔGARIT
Mục tiêu
Kiến thức
+ Biết khái niệm và tính chất của lôgarit.
+ Biết các quy tắc lôgarit và công thức đổi cơ số.
+ Biết các khái niệm lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên.
Kĩ năng
+ Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.
+ Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài toán biến đổi, tính toán các biểu thức chứa
lôgarit.
TOANMATH.com
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm lôgarit
Cho hai số dương
,
a b
với
1
a
. Số
thỏa mãn đẳng
thức
a b
được gọi là lôgarit cơ số
của
b
, và ký
hiệu là log
a
b
.
2. Tính chất
Cho
, 0, 1
a b a
. Ta có:
log
log 0; log 1
; log
a
a a
b
a
a
a b a
Nhận xét:
log , 0, 1
a
b a b a b a
Ví dụ:
3
2
log 8 3 2 8
Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0.
3. Quy tắc tính lôgarit
a. Lôgarit của một tích
Cho
1 2
, , 0
a b b
với
1
a
, ta có:
1 2 1 2
log ( )
a a a
b b log b log b
Chú ý: Định lý trên có thể mở rộng cho tích của n số
dương:
1 1
log ... log ... log
a n a a n
b b b b
trong đó
1 2
, , ,..., 0, 1.
n
a b b b a
Ví dụ:
1 1
log log 2 log .2 log 1 0;
2 2
3 3 3 3 3
1 2 3 7 8
log log log ... log log
2 3 4 8 9
3
1 2 3 7 8
log . . ..... .
2 3 4 8 9
3
1
log 2.
9
b. Lôgarit của một thương
Cho
1 2
, , 0
a b b
với
1,
a
ta có:
1
1 2
2
log log log
a a a
b
b b
b
Đặc biệt:
1
log log
a a
b
b
0, 0 .
a b
Ví dụ:
•
5 5 5
125
log log 125 log 25 3 2 1;
25
•
7 7
1
log log 49 2.
49
c. Lôgarit của một lũy thừa
Cho hai số dương
, ,
a b
1.
a
Với mọi
, ta có:
log log
a a
b b
Đặc biệt:
1
log log
n
a a
b b
n
Ví dụ:
•
3
2 2
log 8 3log 8 3.3 9;
•
4
2 2
1 1 3
log 8 log 8 .3 .
4 4 4
4. Đổi cơ số
Cho
, , 0; 1; 1,
a b c a c
ta có:
Ví dụ:
•
2
8
2
log 16
4
log 16 ;
log 8 3
TOANMATH.com
Trang 3
log
log
log
c
a
c
b
b
a
Đặc biệt:
1
log 1 ;
log
a
b
b b
a
1
log log 0 .
a
a
b b
•
3
27
1
log 27 3;
log 3
•
7
128 2
2
1 1
log 2 log 2 log 2 .
7 7
5. Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên
a. Lôgarit thập phân
Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Với
10
0, log
b b
thường được viết là
log
b
hoặc
lg
b
.
b. Lôgarit tự nhiên
Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số
e
. Với
0, log
e
b b
được viết là
ln
b
.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
TOANMATH.com
Trang 4
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Biến đổi biểu thức lôgarit
Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho
, 0
x y
và
2 2
4 12 .
x y xy
Khẳng đinh nào sau đây đúng?
A.
2 2 2
log 2 log log 1.
x y x y
B.
2 2 2
2
log log log .
4
x y
x y
C.
2 2 2
1
log 2 2 log log .
2
x y x y
D.
2 2 2
4log 2 log log .
x y x y
Hướng dẫn giải
Với
, 0
x y
, ta có:
2
2 2
4 12 2 16
x y xy x y xy
2
2 2
log 2 log 16
x y xy
2 2 2
2log 2 4 log log
x y x y
2 2 2
1
log 2 2 log log .
2
x y x y
Chọn C.
Nhận xét: Các lôgarit
có mặt trong các đáp
án đều có cùng cơ số
2. Do đó ta cũng có
thể dùng các quy tắc
của lôgarit, biến đổi
từng đáp án đến khi
thấy xuất hiện biểu
thức không còn
lôgarit và so sánh với
giả thiết ban đầu để
tìm ra đáp án đúng.
Ví dụ 2: Cho các số thực
0
a b
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
2
2 2
ln ln ln .
ab a b
B.
1
ln ln ln .
2
ab a b
C.
ln ln ln .
a
a b
b
D.
2
2 2
ln ln ln .
a
a b
b
Hướng dẫn giải
Vì khi
0
a b
không tồn tại
ln , ln .
a b
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho
, , ,
a b c d
là các số thực dương, khác 1. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
ln .
c d
a c
a b
b d
B.
ln
.
ln
c d
a d
a b
b c
C.
ln
.
ln
c d
a c
a b
b d
D.
ln .
c d
a d
a b
b c
Hướng dẫn giải
Chú ý: Khi biến đổi
biểu thức chứa
lôgarit, ta cần thận
trọng trong việc lựa
chọn tính chất, công
thức, quy tắc sao cho
biểu thức luôn xác
định với điều kiện
ban đầu.
TOANMATH.com
Trang 5
Do
, , ,
a b c d
là các số thực dương, khác 1 nên ta có:
ln
ln ln .
ln
c d
a d
a b c a d b
b c
Chọn B.
Ví dụ 4: Với các số thực dương
,
a b
bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
2 2 2
2
log 1 3log log .
a
a b
b
B.
3
2 2 2
2 1
log 1 log log .
3
a
a b
b
C.
3
2 2 2
2
log 1 3log log .
a
a b
b
D.
3
2 2 2
2 1
log 1 log log .
3
a
a b
b
Hướng dẫn giải
Ta có:
3
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
2
log log 2 log log 2 log log 1 3log log .
a
a b a b a b
b
Chọn A.
Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện. Rút gọn biểu thức.
Phương pháp giải
Để tính
log
a
b
ta có thể biến đổi theo một trong các cách sau:
•
,
b a
từ đó suy ra
log log ;
a a
b a
•
,
a b
từ đó suy ra
1
log b log ;
a
b
b
•
,
a c
,
b c
từ đó ta suy ra
log log .
a
c
b c
Để tính
log
a
c
b
, ta biến đổi
b a
, từ đó suy ra
log log
a a
c c
b a c
Ví dụ:
•
5
7
32
2
7
log 128 log 2 ;
5
•
2 2
log 9 5log 9
32 2 9 .
Ví dụ mẫu
TOANMATH.com
Trang 6
Ví dụ 1: Cho
,b,c,d 0
a
. Rút gọn biểu thức
S ln ln ln ln
a b c d
b c d a
ta được
A.
1.
S
B.
S 0.
C.
ln .
a b c d
S
b c d a
D.
ln .
S abcd
Hướng dẫn giải
Ta có:
ln ln ln ln ln . . . ln1 0.
a b c d a b c d
S
b c d a b c d a
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho
, 0
a b
và
, 1
a b
, biểu thức
3 4
log .log
b
a
P b a
bằng
A. 6 B. 24 C. 12. D. 18.
Hướng dẫn giải
Ta có :
1
2
3 4 3 4
3 1
log .log log .log .4.log . 24.
1
log
2
b b a
a
a
a
P b a b a b
b
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho
,
a b
là các số thực dương thỏa mãn
1,
a
a b
và
log 3.
a
b
Biến đổi biểu thức
P log
b
a
b
a
ta được
A.
5 3 3.
P
B.
1 3.
P
C.
1 3.
P D.
5 3 3.
P
Hướng dẫn giải
Ta có:
1 1
log
log 1 3 1
3 1
2 2
1 3.
1
log 1 3 2
log 1
log
2
a
a
a
a
a
b
b
a
P
b b
b
a
Chọn C.
Ví dụ 4 : Biến đổi biểu thức
Phương pháp giải trắc
nghiệm: Ta thấy các đáp án
đều là các hằng số, như vậy ta
dự đoán giá trị của P không
phụ thuộc vào giá trị của
,
a b
.
Sử dụng máy tính bỏ túi Casio,
thay
2
a b
vào biểu thức
3 4
log .log
b
a
b a
rồi bấm =,
được kết quả
24.
P
Chọn B.
Phương pháp giải trắc
nghiệm:
Chọn
3
2, 2 .
a b
Bấm máy ta được
1 3.
P
Chọn C.
TOANMATH.com
Trang 7
2
3
10 2 2
log log log
a a b
a
P a b b
b
(với
0 1, 0 1
a b
)
ta được
A.
2.
P
B.
1.
P
C.
3.
P D.
2.
P
Hướng dẫn giải
Sử dụng các quy tắc biến đổi lôgarit ta có:
2
3
10 2 2
log log log
a a b
a
P a b b
b
10 2
1
log log 2 log log 3. 2 log
2
a a a a b
a b a b b
1 1
10 2log 2 1 log 6 1.
2 2
a a
b b
Chọn B.
Bài toán 3. Tính giá trị biểu thức theo một biểu thức đã cho
Phương pháp giải
Để tính
log
a
b
theo
log ; log
a a
m x n y
ta biến đổi
. . .
b a x y
Từ đó suy ra
log log . . .
a a
b a x y m n
Ví dụ: Cho
log 2,log 3.
a a
b c
Tính giá trị của
2 3
4
log .
a
a b
c
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 3
2 3 4
4
log log a log b log c
a a a a
a b
c
2 3.2 4. 3 20.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho
12
log 27 .
a
Khi đó giá trị của
6
log 16
được tính theo a là
A.
4 3
.
3
a
a
B.
4 3
.
3
a
a
C.
4
.
3
a
a
D.
2
.
3
a
a
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
12 2
2 2
log 27 3log 3
2
a log 27 log 3 .
log 12 2 log 3 3
a
a
Khi đó
6 6
2 2
4 3
4 4 4
log 16 4log 2 .
2
log 6 1 log 3 3
1
3
a
a
a
a
Chọn A.
TOANMATH.com
Trang 8
Ví dụ 2. Cho
lg3 ,lg2 .
a b
Khi đó giá trị của
125
log 30
được tính theo a là:
A.
4 3
.
3
a
b
B.
1
.
3 1
a
b
C.
.
3
a
b
D.
.
3
a
a
Hướng dẫn giải
Ta có:
125
lg30 1 lg3 1
log 30 .
lg125
3 1 lg2 3 1
a
b
Chọn B.
Ví dụ 3. Cho
2 3 7
log 3; log 5; log 2.
a b c
Khi đó
giá trị của
140
log 63
được tính theo a, b, c là:
A.
2 1
.
2 1
ac
abc c
B.
2 1
.
2 1
abc c
ac
C.
2 1
.
2 1
ac
abc c
D.
1
.
2 1
ac
abc c
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2 2 2 2
124
2
2 2 2
2
log 63 log 3 .7 2log 3 log 7
log 63
log 140 2 log 5 log 7
log 2 .5.7
2
7
2 3
7
1
1
2log 3
2
log 2
1 1
2 log 3.log 5 2
log 2
a
c
ab
c
1 2
.
1 2
ac
c abc
Chọn C.
Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: gán lần lượt
2 3 7
log 3,log 5,log 2
cho a, b, c. Lấy
140
log 63
trừ
đi lần lượt các đáp án ở A, B, C, D. Kết quả nào
bằng 0 thì đó là đáp án.
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH
Phương pháp giải
Cơ sở lý thuyết:
0
A B A B
+) Đây là một nhận định cực kì cơ bản nhưng dựa vào nó ta có thể có các kỹ thuật bấm rất nhanh gọn phù
hợp với yêu cầu của thi trắc nghiệm.
+) Khi đề bài cho dưới dạng tính giá trị của biểu thức P và bên dưới cho 4 đáp án. Khi đó 1 trong 4 đáp án
sẽ bằng P và ta sử dụng máy tính bỏ túi để tìm ra đáp án đúng một cách nhanh nhất.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Nếu
15
log 3
a
thì
TOANMATH.com
Trang 9
A.
25
3
log 15 .
5 1
a
B.
25
5
log 15 .
3 1
a
C.
25
1
log 15 .
2 1
a
D.
25
1
log 15 .
5 1
a
Hướng dẫn giải
Tư duy tự luận thì ta làm như sau:
Ta có:
15 3
3 3
1 1 1 1
log 3 log 5 1
log (3.5) 1 log 5 .
a
a
a a
Khi đó:
25 5 5 5
3
1 1 1 1 1
log 15 log 15 log 5.3 1 log 3 1
2 2 2 2 log 5
1 1 1 1
1 1 .
1
2 2 1 2 1
a
a
a a
a
Chọn C.
Bây giờ, ta sẽ sử dụng casio - vinacal theo cơ sở lí thuyết đã trình bày ở trên
để giải bài toán này.
Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị
15
log 3
cho A.
Bấm
15
log 3
.
Bước 2: Nhập biểu thức:
25
log 15 (...)
Lần 1: Nhập
25
3
log 15
3(1 )
A
Loại A.
Lần 2: Bấm để sửa biểu thức thành
25
5
log 15
2(1 )
A
Loại B.
Lần 3: Bấm để sửa biểu thức thành
25
1
log 15
2(1 )
A
Chọn C.
TOANMATH.com
Trang 10
Ví dụ 2. Đặt
2
log 3,
a
5
log 3.
b
Biểu diễn
6
log 45
theo a, b ta được
A.
6
2
log 45 .
a ab
ab
B.
2
6
2 2
log 45 .
a ab
ab
C.
6
2
log 45 .
a ab
ab b
D.
2
6
2 2
log 45 .
a ab
ab b
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 3
1
log 3 log 2a
a
và
5 3
1
log 3 log 5 .
b
b
Khi đó:
3 3 3 3
6
3 3 3 3
1
2
1 2
log 45 log 9 log 5 2 log 5
2
log 45 .
1
log 6 log 3 log 2 1 log 2
1
1
a b
a ab
b
b ab
b a
a
Chọn C.
SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI (CASIO HAY VINACAL) ĐỂ GIẢI NHƯ SAU:
Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị
2
log 3,
5
log 3
cho A, B.
Gán
2
log 3 .
A
Bấm
2
log 3.
Gán
5
log 3 .
B
Bấm
5
log 3.
Bước 2: Nhập biểu thức:
6
log 45 ...
Lần 1: Nhập
6
2
log 45
A AB
AB
Loại A.
Lần 2: Bấm để sửa biểu thức thành
2
6
2 2
log 45
A AB
AB
Loại B.
Lần 3: Bấm để sửa biểu thức thành
6
2
log 45
A AB
AB B
Chọn C.
Ví dụ 3. Nếu
27 8 2
5 ;log 7 ;log 3
log a b c
thì
12
log 35
bằng
TOANMATH.com
Trang 11
A.
3 2
.
2
b ac
c
B.
3 3
.
2
b ac
c
C.
3 2
.
3
b ac
c
D.
3 3
.
1
b ac
c
Hướng dẫn giải
Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị
27
log 5,
8
log 7,
2
log 3
cho A, B, C.
Gán
27
log 5 .
A
Bấm
27
log 5.
Gán
8
log 7 .
B
Bấm
8
log 7.
Gán
2
log 3 .
C
Bấm
2
log 3.
Bước 2: Nhập biểu thức:
12
log 35 ...
Lần 1: Nhập
12
3 2
log 35
2
B AC
C
Loại A.
Lần 2: Bấm để sửa biểu thức thành
12
3 3
log 35
2
B AC
C
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Với mọi số tự nhiên n. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2 2
caên baäc hai
log log ... 2 .
n
n
B.
2 2
caên baäc hai
log log ... 2 .
n
n
C.
2 2
caên baäc hai
2 log log ... 2 .
n
n
D.
2 2
caên baäc hai
2 log log ... 2 .
n
n
Câu 2: Cho a, b là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn
2 3
8
log 8log .
3
a b
b a b
Tính giá trị biểu
thức
3
P log 2017,
a
a ab
ta được
A.
2019.
P
B.
2020.
P
C.
2017.
P
D.
2016.
P
Câu 3: Biết
5
log 3 ,
a
khi đó giá trị của
3
27
log
25
được tính theo a là
A.
3 2
.
a
a
B.
3
.
2
a
C.
3
.
2
a
D.
.
3 2
a
a
Câu 4: Cho
2
log 20.
a Giá trị
20
log 5
theo a bằng
TOANMATH.com
Trang 12
A.
5
.
2
a
B.
1
.
a
a
C.
2
.
a
a
D.
1
.
2
a
a
Câu 5: Số thực x thỏa mãn:
1
log log3 2log 3log
2
x a b c
(a, b, c là các số thực dương). Hãy biểu
diễn x theo a, b, c.
A.
3
2
3
.
ac
x
b
B.
2 3
3
.
a
x
b c
C.
3
2
3 .
.
a c
x
b
D.
2
3
.
ac
x
b
Câu 6: Đặt
3
log 5 .
a
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
15
1
log 75 .
2 1
a
a
B.
15
2 1
log 75 .
1
a
a
C.
15
2 1
log 75 .
1
a
a
D.
15
2 1
log 75 .
1
a
a
Câu 7: Cho a, b là các số thực dương,
a 1.
Rút gọn biểu thức:
2
2log
P log 1,
log
a
b
ab
a
ta được
A.
log .
a
P b
B.
log 1 .
a
P b
C.
log 1 .
a
P b
D.
0.
P
Câu 8: Cho
27 8 2
log 5 ,log 7 ,log 3 .
a b c
Giá trị của
12
log 35
bằng
A.
3 3
.
2
b ac
c
B.
3 2
.
2
b ac
c
C.
3 2
.
3
b ac
c
D.
3 3
.
1
b ac
c
Câu 9: Cho
*
a 0,b 0,a 1,b 1,n .
Một học sinh tính:
2 3
1 1 1 1
P ...
log log log log
n
a
a a a
b b b b
theo các bước sau:
Bước I:
2 3
log log log ... log .
n
b b b b
P a a a a
Bước II:
2 3
log . . ... .
n
b
P a a a a
Bước III:
1 2 3 ...
log .
n
b
P a
Bước IV:
1 .log .
b
P n n a
Trong các bước trình bày, bước nào sai?
A. Bước III B. Bước I C. Bước II D. Bước IV
Câu 10: Cho
7 12
log 12 , log 24
x y
và
54
1
log 168 ,
axy
bxy cx
trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính
giá trị biểu thức
2 3 ,
S a b c
ta được
A.
4.
S
B.
19.
S
C.
10.
S
D.
15.
S
Câu 11: Cho
,b 0,a 1
a
thỏa mãn log
4
a
b
b
và
2
16
log .
a
b
Tổng
a b
bằng
A. 12. B. 10. C. 16. D. 18.
Câu 12: Biết rằng
2 3 5
log ,log ,log
a b c
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và có tổng bằng 14, đồng
thời
4 2
2 3 5
log ,log ,log
a b c
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của
P a b c
bằng
A. 125. B. 390725. C. 390625. D. 390710.
TOANMATH.com
Trang 13
Câu 13: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn
4 9 6
log log log 1 .
4
xy
x y
Giá trị của biểu thức
9
4
log 6
log 6
P x y
bằng
A. 2. B. 5. C. 4. D. 6.
Câu 14: Cho
20 30
log 15; log 15
a b biết
4000
log 600
ma nb
ab pb qa
và trong đó
, , , .
m n p q
Giá trị
của biểu thức
S m n p q
bằng
A.
1.
S
B.
2.
S
C.
3.
S
D.
4.
S
Câu 15: Cho
2
log log log
log 0; .
y
a b c b
x x
p q r ac
Tính y theo p, q, r.
A.
2
.
y q pr
B.
.
2
p r
y
q
C.
2 .
y q p r
D.
2 .
y q pr
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chưa lôgarit theo một biểu thức đã cho
Phương pháp giải
Để tính
log
a
b
theo
log ; log ,
a a
m x n y
ta sẽ biến đổi
. . .
b a x y
Từ đó suy ra:
log b log . . .
a a
a x y m n
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho
12
log 27 .
a
Khi đó giá trị của
6
log 16
tính
theo a bằng
A.
4 3
.
3
a
a
B.
4 3
.
3
a
a
C.
4
.
3
a
a
D.
2
.
3
a
a
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
12 2
2 2
log 27 3log 3
2
a log 27 log 3 .
log 12 2 log 3 3
a
a
6 6
2 2
4 3
4 4 4
log 16 4log 2 .
2
log 6 1 log 3 3
1
3
a
a
a
a
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho
log3 ,log2 .
a b
Khi đó giá trị của
125
log 30
tính theo a là
A.
4 3
.
3
a
b
B.
1
.
3 1
a
b
C.
.
3
a
b
D.
.
3
a
a
Thật vậy:
log log . .y
a a
b a x
.log .log
a a
x y
.
m n
Phương pháp trắc nghiệm:
Sử dụng máy tính: gán
12
log 27 .
A
Lấy
6
log 16
trừ đi lần lượt các đáp số ở
A, B, C, D kết quả nào bằng 0 thì đó là
đáp án.
Chọn A.
Phương pháp trắc nghiệm:
Sử dụng máy tính: gán lần lượt
log3 ;log2 .
A B
TOANMATH.com
Trang 14
Hướng dẫn giải
Ta có:
125
log30 1 log3 1
log 30 .
log125
3 1 log2 3 1
a
b
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho
2 3 7
log 3; log 5; log 2.
a b c Khi đó giá trị
của biểu thức
140
log 63
được tính theo a, b, c là
A.
2 1
.
2 1
ac
abc c
B.
2 1
.
2 1
abc ac
ac
C.
2 1
.
2 1
ac
abc c
D.
1
.
2 1
ac
abc c
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2 2 2 2
140
2
2 2 2
2
log 63 log 3 .7 2log 3 log 7
log 63
log 140 2 log 5 log 7
log 2 .5.7
2
7
2 3
7
1
1
2log 3
2
log 2
1 2
1 1
1 2
2 log 3.log 5 2
log 2
a
ac
c
c abc
ab
c
Chọn C.
Lấy
140
log 63
trừ đi lần lượt các đáp án số
ở A, B, C, D, kết quả nào bằng 0 thì đó là
đáp án.
Phương pháp trắc nghiệm:
Sử dụng máy tính: gán lần lượt
2 3 7
log 3 ;log 5 ;log 2 .
A B C
Lấy
140
log 63
trừ đi lần lượt các đáp án số
ở A, B, C, D, kết quả nào bẳng 0 thì đó là
đáp án.
Ví dụ 4. Cho các số thực
, , 1;2
a b c
thỏa mãn điều kiện
3 3 3
2 2 2
log log log 1
a b c
Khi biểu thức
3 3 3
2 2 2
3 log log log
a b c
P a b c a b c
đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của
a b c
bằng
A. 3. B.
3
1
3 3
3.2 .
C. 4. D. 6.
Hướng dẫn giải
Ta xét hàm số
3 3
2 2
3 log log
f x x x x c
với
1;2 .
x
Ta có đạo hàm
2
2
2
2
3log
3
f 3 3log ;
ln2 ln2
x
x x x
x
2
2 2
2 2 2
6 3log
3
f 6 .
ln2
ln 2 ln2
log x x
x x
x
x x
Vì
2 2
3 3 2 3 2
6log 3 log
1 3
6 1 0 1;2
ln 2 ln2 ln 2
x x
f x x
x x x

nên
1 1,67 0.
f x f

TOANMATH.com
Trang 15
Như vậy hàm số
f x
đồng biến và có nghiệm duy nhất trên
1;2
vì
1 0; 2 0
f f
và có đồ thị
lõm trên
1;2
. Do đó ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta nhận thấy rằng
1
f x
cho nên
3 3 3
2 2 2
3 log log log 4
P a b c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1, 2
a b c
và các hoán vị.
Chọn C.
Ví dụ 5. Trong tất cả các cặp
;
x y
thỏa mãn
2 2
2
log 4 4 4 1.
x y
x y
Với giá trị nào của m thì tồn tại
duy nhất cặp
;
x y
sao cho
2 2
2 2 2 0?
x y x y m
A.
2
10 2 .
B.
2
10 2
và
2
10 2 .
C.
10 2
và
10 2.
D.
10 2.
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
4 4 4 0.
x y
Ta có
2 2
2
log 4 4 4 1
x y
x y
2 2
2 2
1
4 4 4 2 2 2 2 .
x y x y x y C
Miền nghiệm của bất phương trình là hình tròn (cả bờ)
1
C
có tâm
1
2;2
I
bán kính
1
2.
R
Mặt khác:
2 2
2 2
2 2 2 0 1 1 * .
x y x y m x y m
Với
0
m
thì
1; 1
x y
(không thỏa mãn
2 2
2 2 2
x y
).
Với
0
m
thì
*
là đường tròn
2
C
có tâm
2
1;1
I
bán kính
2
.
R m
Để tồn tại duy nhất cặp
;
x y
thì
1
C
và
2
C
tiếp xúc với nhau.
Trường hợp 1:
1
C
và
2
C
tiếp xúc ngoài.
TOANMATH.com
Trang 16
Khi đó:
2
1 2 1 2
2 10 10 2 .
R R I I m m
Trường hợp 2:
1
C
nằm trong
2
C
và hai đường tròn tiếp xúc trong.
Khi đó:
2
2 1 1 2
2 10 10 2 .
R R I I m m
Vậy
2
10 2
m
và
2
10 2
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Ví dụ 6. Xét các số thực a, b thỏa mãn
1.
a b
Giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức
2 2
log 3log
a b
b
a
P a
b
bằng
A.
min
19.
P B.
min
13.
P C.
min
14.
P D.
min
15.
P
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2 2
2
log 3log 3 log 1
log
a b b
b
a
a
P a a
a
b
b
2
2
3 log 1 .
1 log
b
a
a
b
TOANMATH.com
Trang 17
Đặt
log 0 1 .
a
b t t
Khi đó
2
4 3
3
1
P f t
t
t
với
0 1.
t
Ta có
3 2
8 3 1
0 .
3
1
f t f t t
t
t
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta có
min
15.
P
Chọn D.
Ví dụ 7. Cho hai số thực x, y thỏa mãn:
2 2
3
x y
và
2 2
2 2 2
log 4 3 4 3 2
x y
x x x y y
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
P x y
Khi đó biểu thức
2 1
T M m
có giá trị gần nhất số nào sau đây?
A. 7. B. 8. C. 9. D. 10.
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2 2 2
2 2 2 2 2
log 4 3 4 3 2 log 4 3 2
x y x y
x x x y y x y x
2
2
2 2 2 2 2
4 3 2 1.
x y x x y x y
Tập hợp các số thực x, y thỏa mãn:
2 2
2
2
3
2 1
x y
x y
những điểm thuộc miền trong hình tròn
1
C
có tâm
2;0 ,
I bán kính
1
1
R
và nằm ngoài hình tròn
2
C
có tâm
0;0
O và bán kính
2
3.
R
TOANMATH.com
Trang 18
Biểu thức:
0
P x y x y P
là họ đường thẳng
song song với đường
.
y x
Các giao điểm của hai hình tròn là
3 3 3 3
; , ;
2 2 2 2
A B
P đạt giá trị nhỏ nhất khi đường thẳng
đi qua A.
Khi đường thẳng
qua điểm A, ta có:
min min
3 3 3 3
0 .
2 2 2
P P
P đạt giá trị lớn nhất khi đường thẳng
tiếp xúc với đường tròn
1
C
ta có:
1 max
2
; 1 2 2 2 2.
1 1
P
d I R P P
Do đó
3 3
2 1 2 2 2 10.
2
T M m
Chọn D
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho
; 1
x y xy
thỏa mãn
2
2
2 2
2 2
3 log 3 log 2 2 .
x y
xy
x y xy
Giá trị lớn nhất của biểu
thức
3 3
2 3
M x y xy
bằng
A. 7. B.
13
.
2
C.
17
.
2
D. 3.
Câu 2: Cho các số thức a, b, c thuộc đoạn
1;3
thỏa mãn
3 3 3
2 2 2
log log log 3.
a b c
Giá trị lớn nhất của
biểu thức
3 3 3
2 2 2
3 log log log
a b c
P a b c a b c
bằng
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 3: Cho hai số thực a, b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn
10.
a b
Gọi m, n là hai nghiệm của phương
trình
log log 2log 3log 1 0.
a b a b
x x x x
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S mn
bằng
A.
16875
.
16
B.
4000
.
27
C. 15625. D. 3456.
Câu 4: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn
2
2 2 2
log 4 4 4 .
2
a b c
a a b b c c
a b c
Giá trị lớn
nhất của biểu thức
2 3
P a b c
bằng
A.
3 10.
B.
12 2 42.
C.
12 2 35.
D.
6 10.
Câu 5: Cho các số thực
, 1
a b
thỏa mãn điều kiện
2 3
log log 1.
a b
Giá trị lớn nhất của biểu thức
3 2
log log
P a b
bằng
A.
3 2
log 2 log 3.
B.
3 2
log 2 log 3.
C.
3 2
1
log 2 log 3 .
2
D.
3 2
2
.
log 2 log 3
TOANMATH.com
Trang 19
Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
log log 1 log .
x y x y
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
S x y
bằng
A.
1 3
.
10
B.
2 3
.
5
C.
3 3
.
30
D.
1 3
.
4
Câu 7: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn
2 2
3
log 3 3 .
2
x y
x x y x xy
x y xy
Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2 3
6
x y
P
x y
bằng
A.
69 249
.
94
B.
43 3 249
.
94
C.
37 249
.
21
D.
69 249
.
94
Câu 8: Cho
0.
b
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
10 log
a
P a b b
bằng
A.
2 log ln10 .
B.
1 1
2 log .
ln10 ln10
C.
1 1
2 log .
ln10 ln10
D.
1 1
2 ln .
ln10 ln10
Câu 9: Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện
0 1.
b a
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
4 3 1
log 8log 1
9
a b
a
b
P a
bằng
A. 6. B.
3
3 2.
C. 8. D. 7.
Câu 10: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn
2
ln ln ln .
x y x y
Giá trị nhỏ nhất
P x y
bằng
A.
min
2 2 3.
P
B.
min
6.
P
C.
min
2 3 2.
P
D.
min
17 3.
P
Câu 11: Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện
1
1.
3
b a
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
3 1
log 12log 3
4
a b
a
b
P a
bằng
A.
min 13.
P
B.
3
1
min .
2
P C.
min 9.
P
D.
3
min 2.
P
Câu 12: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn
2
1 1 1
3 3 3
log log log .
x y x y
Giá trị nhỏ nhất
min
P
của
biểu thức
2 3
P x y
bằng
A.
min
7 2 10.
P
B.
min
3 2.
P
C.
min
7 3 2.
P
D.
min
7 2 10.
P
Câu 13: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn
1
b
và
.
a b a
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P log 2log
a
b
b
a
a
b
bằng
TOANMATH.com
Trang 20
A. 6. B. 7. C. 5. D. 4.
Câu 14: Cho 2 số dương a và b thỏa mãn
2 2
log 1 log 1 6.
a b
Giá trị nhỏ nhất của
S a b
bằng
A.
min 12.
S
B.
min 14.
S
C.
min 8.
S
D.
min 16.
S
Câu 15: Gọi a là giá trị nhỏ nhất của
3 3 3 3
log 2 log 3 log 4 ... log
,
9
n
n
f n với
, 2.
n n
Có bao
nhiêu số n để
.
f n a
A. 2. B. vô số. C. 1. D. 4.
Câu 16: Cho
3 2 33
1 1 1
3 3 3
P 9log log log 1
a a a
với
1
;3
27
a
và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Giá trị của biểu thức
4 3
S M m
bằng
A. 42. B. 38. C.
109
.
9
D.
83
.
2
Câu 17: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn
2 2
3 4
b ab a
và
32
4;2 .
a
Gọi M, m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
8
3
log 4 log .
4 4
b
b
P a
Tính tổng
.
T M m
A.
1897
.
62
T B.
3701
.
124
T C.
2957
.
124
T D.
7
.
2
T
Câu 18: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức:
2 2 2
2log log log 6 .
a b a b
Giá trị lớn nhất
ax
M
P
của biểu thức
2
2 2
2 2
ab b
P
a ab b
bằng
A.
ax
2
.
3
M
P
B.
ax
0.
M
P
C.
ax
1
.
2
M
P
D.
ax
2
.
5
M
P
Câu 19: Cho a, b, c là các số trực thuộc đoạn
1;2
thỏa mãn
3 3 3
2 2 2
log log log 1.
a b c
Khi biểu thức
3 3 3
2 2 2
3 log log log
a b c
P a b c a b c
đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng
a b c
là
A. 3. B.
3
1
3
3.2 .
C. 4. D. 6.
Câu 20: Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức:
3
4 1 8
log
log 3log
bc
ac ab
P
a
b c
là
A.
min
20.
P B.
min
10.
P C.
min
18.
P D.
min
12.
P
ĐÁP ÁN
Dạng 1. Biến đổi biểu thức chứa lôgarit
1-B 2-A 3-A 4-C 5-A 6-B 7-A 8-A 9-D 10-D
TOANMATH.com
Trang 21
11-D 12-D 13-C 14-D 15-C
Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức chưa lôgarit theo một biểu thức đã cho
1-B 2-D 3-D 4-C 5-A 6-B 7-D 8-B 9-D 10-A
11-C 12-D 13-C 14-B 15-A 16- 17-B 18-C 19-C 20-A
| 1/21
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT BÀI 2. LÔGARIT Mục tiêu  Kiến thức
+ Biết khái niệm và tính chất của lôgarit.
+ Biết các quy tắc lôgarit và công thức đổi cơ số.
+ Biết các khái niệm lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên.  Kĩ năng
+ Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.
+ Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài toán biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit. TOANMATH.com Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm lôgarit Nhận xét: log 
b    a  b a,b  0, a  a 1
Cho hai số dương a,b với a  1 . Số  thỏa mãn đẳng Ví dụ: 3 log 8  3  2  8 2
thức a  b được gọi là lôgarit cơ số a của b , và ký Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0. hiệu là log  b . a 2. Tính chất
Cho a,b  0, a  1. Ta có: log  0; log a  1 a a loga b a  ; b log a a      3. Quy tắc tính lôgarit Ví dụ: a. Lôgarit của một tích  1  1  log  log 2  log .2  log 1  0;      
Cho a,b ,b  0 với a  1 , ta có: 2  2  1 2 1 2 3 7 8
log (b b )  log b  log b  log  log  log  ...  log  log a 1 2 a 1 a 2 3 3 3 3 3 2 3 4 8 9
Chú ý: Định lý trên có thể mở rộng cho tích của n số  1 2 3 7 8   log . . ..... . dương: 3    2 3 4 8 9 
log b ...b  log b ... log b a 1 n  a 1 a n 1  log  2. 3 9
trong đó a,b ,b ,...,b  0,a  1. 1 2 n
b. Lôgarit của một thương Ví dụ: Cho ,
a b ,b  0 với a  1, ta có: 125 1 2 • log
 log 125  log 25  3  2  1; 5 5 5 25 b1 log   log b  log b a a 1 a 2 b 1 2 • log   log 49  2  . 7 7 49 1 Đặc biệt: log
  log b a  0,b  0. a a b
c. Lôgarit của một lũy thừa Ví dụ:
Cho hai số dương a,b, a  1. Với mọi  , ta có: • 3
log 8  3log 8  3.3  9; 2 2 log b   log b 1 1 3 a a • 4 log 8  log 8  .3  . 2 2 4 4 4 Đặc biệt: n 1 log b  log b a a n 4. Đổi cơ số Ví dụ: Cho , a ,
b c  0;a  1;c  1, ta có: log 16 4 • 2 log 16   ; 8 log 8 3 2 TOANMATH.com Trang 2 log b 1 log c b  • log 27   3; a log a 3 log 3 c 27 1 1 1
• log 2  log 2  log 2  . Đặc biệt: log b  b  7 128 2 2 a  1; log a 7 7 b 1 log     b log b a  0. a 
5. Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên a. Lôgarit thập phân
Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Với b  0, log b 10
thường được viết là log b hoặc lg b . b. Lôgarit tự nhiên
Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e . Với b  0, log b e được viết là ln b . SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA TOANMATH.com Trang 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Biến đổi biểu thức lôgarit
Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho x, y  0 và 2 2
x  4y  12xy. Khẳng đinh nào sau đây đúng? Nhận xét: Các lôgarit có mặt trong các đáp
A. log x  2y  log x  log y 1. 2   2 2 án đều có cùng cơ số  x  2y  B. log  log x    log y. 2. Do đó ta cũng có 2 2 2  4  thể dùng các quy tắc 1 C. log x  2y  2  log x  log y . của lôgarit, biến đổi 2    2 2  2 từng đáp án đến khi
D. 4 log x  2y  log x  log . y 2   2 2 thấy xuất hiện biểu Hướng dẫn giải thức không còn lôgarit và so sánh với
Với x, y  0 , ta có: x  y  xy  x  y2 2 2 4 12 2  16xy
giả thiết ban đầu để
 log x  2y2  log 16xy 2 2 tìm ra đáp án đúng.
 2 log x  2y  4  log x  log y 2   2 2 1
 log x  2y  2  log x  log y . 2 2 2  2 Chọn C.
Ví dụ 2: Cho các số thực a  b  0 . Mệnh đề nào sau đây sai? Chú ý: Khi biến đổi 2 1 biểu thức chứa A. ab   2 a    2 ln ln ln b .
B. ln  ab  lna  lnb. 2 lôgarit, ta cần thận  a  2  a  trọng trong việc lựa C. ln  ln a    ln b . D.   2 a     2 ln ln ln b .  b   b  chọn tính chất, công Hướng dẫn giải thức, quy tắc sao cho
Vì khi a  b  0 không tồn tại ln , a ln . b biểu thức luôn xác Chọn B. định với điều kiện
Ví dụ 3: Cho a, b, c, d là các số thực dương, khác 1. Mệnh đề nào dưới đây ban đầu. đúng?   a d c d ln A. c d a c a  b  ln    . B. a  b   .  b  d ln b c a c   c d ln C. a  b   . D. c d a d a  b  ln    . ln b d  b  c Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 4
Do a, b, c, d là các số thực dương, khác 1 nên ta có: a d c d ln
a  b  c ln a  d ln b   . ln b c Chọn B.
Ví dụ 4: Với các số thực dương ,
a b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng? 3  2a  A. log    1 3log a  log . b 2 2 2 b   3  2a  1 B. log    1 log a  log . b 2 2 2 b 3   3  2a  C. log    1 3log a  log . b 2 2 2 b   3  2a  1 D. log    1 log a  log . b 2 2 2 b 3   Hướng dẫn giải Ta có: 3  2  log a    log  3 2a   log b 3
 log 2  log a  log b  1 3log a  log . b 2 2 2 2 2 2 2 2 b   Chọn A.
Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện. Rút gọn biểu thức. Phương pháp giải
Để tính log b ta có thể biến đổi theo một trong các cách sau: Ví dụ: a 7 • b a 
, từ đó suy ra log b  log a  ; 7 a a • log 128  log 2  ; 5 32 2 5 1 • a b 
, từ đó suy ra log b  log  log 9 5log 9 5  b ; a • 2 2 32  2  9 . b  • a c  , b c  , từ đó ta suy ra log b  log     c . a c   Để tính loga c b , ta biến đổi b a  , từ đó suy ra log c  log a a c b a c   Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 5
Ví dụ 1: Cho a, b,c,d  0 . Rút gọn biểu thức a b c d
S  ln  ln  ln  ln ta được b c d a A. S  1. B. S  0.  a b c d  C. S  ln     . D. S  ln abcd .  b c d a  Hướng dẫn giải a b c d  a b c d 
Ta có: S  ln  ln  ln  ln  ln . . .  ln1    0. b c d a  b c d a  Chọn B. Phương pháp giải trắc
Ví dụ 2: Cho a,b  0 và , a b  1 , biểu thức 3 4
P  log b .log a nghiệm: Ta thấy các đáp án a b
đều là các hằng số, như vậy ta bằng
dự đoán giá trị của P không A. 6 B. 24 C. 12. D. 18.
phụ thuộc vào giá trị của , a b . Hướng dẫn giải
Sử dụng máy tính bỏ túi Casio, Ta có :
thay a  b  2 vào biểu thức 3 4 3 4 3 1
P  log b .log a  log b .log a  .4.log . b  24. 3 4 1 a b b a log b .log a rồi bấm =, 2 a 1 log b a b a 2
được kết quả P  24. Chọn B. Chọn B.
Ví dụ 3: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a  1, a  b và Phương pháp giải trắc log b  3. nghiệm: a Chọn 3 a  2,b  2 . b
Biến đổi biểu thức P  log ta được b a Bấm máy ta được a P  1   3. A. P  5   3 3. B. P  1   3. Chọn C. C. P  1   3. D. P  5   3 3. Hướng dẫn giải Ta có: b 1 b   a  a  1 log log 1 a  3 1 2 2 3 1 P      1   3. b log b 1 1 3  2 log a log b 1 a 2 a a Chọn C.
Ví dụ 4 : Biến đổi biểu thức TOANMATH.com Trang 6   10 2 a 2 P  log a b  log 
  log b (với 0  a  1, 0  b  1) 2 a   3 a b  b  ta được A. P  2. B. P  1. C. P  3. D. P  2. Hướng dẫn giải
Sử dụng các quy tắc biến đổi lôgarit ta có:   10 2 a 2 P  log a b  log    log b 2 a   3 a b  b  1 10 2
 log a  log b   2 log a  log b  3. 2    log b 2 a a a a b   1  1   1
 0  2 log b  2 1 log b  6  1. 2  a    2 a   Chọn B.
Bài toán 3. Tính giá trị biểu thức theo một biểu thức đã cho Phương pháp giải
Để tính log b theo m  log ;
x n  log y ta biến đổi Ví dụ: Cho log b  2,log c  3  . a a a a a b a .x .y  . 2 3 a b Tính giá trị của log . a 4 c
Từ đó suy ra log b  log a .x .y    m  n . a a Hướng dẫn giải Ta có: 2 3 a b 2 3 4 log  log a  log b  log c a 4 a a a c
 2  3.2  4.3  20. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho log 27  .
a Khi đó giá trị của log 16 được tính theo a là 12 6 43 a 43 a 4a 2a A. . B. . C. . D. . 3 a 3  a 3 a 3 a Hướng dẫn giải log 27 3log 3 2a Ta có: 2 2 a  log 27    log 3  . 12 2 log 12 2  log 3 3 a 2 2 4 4 4 43 a
Khi đó log 16  4 log 2     . 6 6 log 6 1 log 3 2a 3  a 2 2 1 3a Chọn A. TOANMATH.com Trang 7
Ví dụ 2. Cho lg3  a,lg 2  .
b Khi đó giá trị của log 30 được tính theo a là: 125 43 a 1 a a a A. . B. . C. . D. . 3  b 31 b 3 b 3 a Hướng dẫn giải lg30 1 lg3 1 a Ta có: log 30    . 125
lg125 31 lg2 31 b Chọn B.
Ví dụ 3. Cho a  log 3;b  log 5;c  log 2. Khi đó Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: gán lần lượt 2 3 7
giá trị của log 63 được tính theo a, b, c là:
log 3,log 5,log 2 cho a, b, c. Lấy log 63 trừ 2 3 7 140 140 2ac 1 abc  2c 1
đi lần lượt các đáp án ở A, B, C, D. Kết quả nào A. . B. . abc  2c 1 2ac 1
bằng 0 thì đó là đáp án. 2ac 1 ac 1 C. . D. . abc  2c 1 abc  2c 1 Hướng dẫn giải Ta có: 2 log 63 log 3 .7 2 log 3  log 7 2 2 2 2 log 63    124 2
log 140 log 2 .5.7 2  log 5  log 7 2 2 2 2 1 1 2 log 3  2 2 log 2 a  7 c   1 1 2  log 3.log 5  2  ab  2 3 log 2 c 7 1 2ac  . 1 2c  abc Chọn C.
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH Phương pháp giải
Cơ sở lý thuyết: A  B  A  B  0
+) Đây là một nhận định cực kì cơ bản nhưng dựa vào nó ta có thể có các kỹ thuật bấm rất nhanh gọn phù
hợp với yêu cầu của thi trắc nghiệm.
+) Khi đề bài cho dưới dạng tính giá trị của biểu thức P và bên dưới cho 4 đáp án. Khi đó 1 trong 4 đáp án
sẽ bằng P và ta sử dụng máy tính bỏ túi để tìm ra đáp án đúng một cách nhanh nhất. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Nếu a  log 3 thì 15 TOANMATH.com Trang 8 3 5 A. log 15  . B. log 15  . 25 51 a 25 31 a 1 1 C. log 15  . D. log 15  . 25 21 a 25 51 a Hướng dẫn giải
Tư duy tự luận thì ta làm như sau: 1 1 1 1 a Ta có: a  log 3    log 5  1  15 3 log (3.5) 1 log 5 a . a 3 3 1 1 1 1  1 
Khi đó: log 15  log 15  log 5.3  1 log 3  1 25 5 5    5   2 2 2 2 log 5  3    1  1  1  a  1  1   1      2  a 2  1  a  21 a . 1    a  Chọn C.
Bây giờ, ta sẽ sử dụng casio - vinacal theo cơ sở lí thuyết đã trình bày ở trên để giải bài toán này.
Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log 3 cho A. 15 Bấm log 3 . 15
Bước 2: Nhập biểu thức: log 15  (...) 25 3 Lần 1: Nhập log 15   25 3(1 ) A Loại A. 5 Lần 2: Bấm
để sửa biểu thức thành log 15   25 2(1  ) A Loại B. 1 Lần 3: Bấm
để sửa biểu thức thành log 15   25 2(1 ) A Chọn C. TOANMATH.com Trang 9
Ví dụ 2. Đặt a  log 3, b  log 3. Biểu diễn log 45 theo a, b ta được 2 5 6 a  2ab 2 2a  2ab A. log 45  . B. log 45  . 6 ab 6 ab a  2ab 2 2a  2ab C. log 45  . D. log 45  . 6 ab  b 6 ab  b Hướng dẫn giải 1 1
Ta có: log 3  a  log 2  và log 3  b  log 5  . 2 3 a 5 3 b Khi đó: 1 2
log 45 log 9  log 5 2  log 5  a 1 2b b a  2ab 3 3 3 3   log 45       . 6 log 6 log 3  log 2 1 log 2 1 b 1 a b  ab 3 3 3 3   1 a Chọn C.
SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI (CASIO HAY VINACAL) ĐỂ GIẢI NHƯ SAU:
Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log 3, log 3 cho A, B. 2 5 Gán log 3  . A Bấm log 3. 2 2 Gán log 3  . B Bấm log 3. 5 5
Bước 2: Nhập biểu thức: log 45  ... 6   A  2AB Lần 1: Nhập log 45   6 AB Loại A. 2 2A  2AB Lần 2: Bấm
để sửa biểu thức thành log 45   6 AB Loại B. A  2AB Lần 3: Bấm
để sửa biểu thức thành log 45   6 AB  B Chọn C. Ví dụ 3. Nếu log 5  ; a log 7  ;
b log 3  c thì log 35 bằng 27 8 2 12 TOANMATH.com Trang 10 3b  2ac 3b  3ac 3b  2ac 3b  3ac A. . B. . C. . D. . c  2 c  2 c  3 c 1 Hướng dẫn giải
Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log 5, log 7, log 3 cho A, B, C. 27 8 2 Gán log 5  . A Bấm log 5. 27 27
Gán log 7  B. Bấm log 7. 8 8
Gán log 3  C. Bấm log 3. 2 2
Bước 2: Nhập biểu thức: log 35  ... 12   3B  2AC Lần 1: Nhập log 35   12 C  2 Loại A. 3B  3AC Lần 2: Bấm
để sửa biểu thức thành log 35   12 C  2 Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Với mọi số tự nhiên n. Khẳng định nào sau đây đúng? A. n   log log ... 2 . n  log log ... 2 . 2 2  B. 2 2  n caên baäc hai n caên baäc hai C. n  2  log log ... 2 . n  2  log log ... 2 . 2 2  D. 2 2  n caên baäc hai n caên baäc hai 8
Câu 2: Cho a, b là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn 2
log b  8log a b   Tính giá trị biểu a b  3  . 3 thức   3
P log a ab  2017, ta được a A. P  2019. B. P  2020. C. P  2017. D. P  2016. 27 Câu 3: Biết log 3  ,
a khi đó giá trị của log được tính theo a là 5 3 25 3a  2 3a 3 a A. . B. . C. . D. . a 2 2a 3a  2
Câu 4: Cho a  log 20. Giá trị log 5 theo a bằng 2 20 TOANMATH.com Trang 11 5a a 1 a  2 a 1 A. . B. . C. . D. . 2 a a a  2 1
Câu 5: Số thực x thỏa mãn: log x  log3a  2 log b  3log c (a, b, c là các số thực dương). Hãy biểu 2 diễn x theo a, b, c. 3 3ac 3a 3 3a.c 3ac A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 2 b 2 3 b c 2 b 2 b Câu 6: Đặt log 5  .
a Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 a 1 2a 1 2a 1 2a 1 A. log 75  . B. log 75  . C. log 75  . D. log 75  . 15 2a 1 15 a 1 15 a 1 15 a 1 2 logb
Câu 7: Cho a, b là các số thực dương, a  1.Rút gọn biểu thức: 2 P  log ab   ta được a   1, loga A. P  log b . B. P  log b 1 . C. P  log b 1 . D. P  0. a a a
Câu 8: Cho log 5  a,log 7  b,log 3  .
c Giá trị của log 35 bằng 27 8 2 12 3b  3ac 3b  2ac 3b  2ac 3b  3ac A. . B. . C. . D. . c  2 c  2 c  3 c 1 Câu 9: Cho *
a  0,b  0,a  1,b  1,n   . 1 1 1 1 Một học sinh tính: P     ...  theo các bước sau: log b log b log b log b 2 3 n a a a a Bước I: 2 3
P  log a  log a  log a  ... log n a . b b b b Bước II: P   2 3 log . a a .a ... n a b . Bước III: 1 2 3 ... P log n a      . b
Bước IV: P  nn   1 .log . a b
Trong các bước trình bày, bước nào sai? A. Bước III B. Bước I C. Bước II D. Bước IV axy 1
Câu 10: Cho log 12  x, log 24  y và log 168 
, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính 7 12 54 bxy  cx
giá trị biểu thức S  a  2b  3 , c ta được A. S  4. B. S  19. C. S  10. D. S  15. b 16 Câu 11: Cho ,
a b  0,a  1 thỏa mãn log b  và log a  . Tổng a  b bằng a 4 2 b A. 12. B. 10. C. 16. D. 18. Câu 12: Biết rằng log ,
a log b,log c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và có tổng bằng 14, đồng 2 3 5 thời 4 2
log a ,log b ,log c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của P  a  b  c bằng 2 3 5 A. 125. B. 390725. C. 390625. D. 390710. TOANMATH.com Trang 12  xy 
Câu 13: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log x  log y  log  
1. Giá trị của biểu thức 4 9 6  4  log4 6 log9 6 P  x  y bằng A. 2. B. 5. C. 4. D. 6. 
Câu 14: Cho a  log 15; b  log 15 biết log 600 ma nb  và trong đó m,n, p,q  .  Giá trị 20 30 4000 ab  pb  qa
của biểu thức S  m  n  p  q bằng A. S  1. B. S  2. C. S  3. D. S  4. 2 log a log b logc b Câu 15: Cho    log x  0; y  x . Tính y theo p, q, r. p q r ac p  r A. y  2 q  pr. B. y  . C. y  2q  p  r. D. y  2q  pr. 2q
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chưa lôgarit theo một biểu thức đã cho Phương pháp giải Thật vậy:
Để tính log b theo m  log x;n  log y, ta sẽ biến đổi log b log a .x .y  a a a a a b a .x .y  .
   .log x   .log y a a
Từ đó suy ra: log b  log a .x .y    m  n .    m  n . a a Ví dụ mẫu
Phương pháp trắc nghiệm: Ví dụ 1: Cho log 27  .
a Khi đó giá trị của log 16 tính Sử dụng máy tính: gán log 27  . A 12 6 12 theo a bằng
Lấy log 16 trừ đi lần lượt các đáp số ở 6 43 a 43 a 4a 2a
A, B, C, D kết quả nào bằng 0 thì đó là A. . B. . C. . D. . 3 a 3 a 3 a 3 a đáp án. Hướng dẫn giải Chọn A. log 27 3log 3 2a Ta có: 2 2 a  log 27    log 3  . 12 2 log 12 2  log 3 3 a 2 2 4 4 4 43 a log 16  4 log 2     . 6 6 log 6 1 log 3 2a 3  a 2 2 1 3a Chọn A.
Ví dụ 2: Cho log3  a,log 2  .
b Khi đó giá trị của log 30 125 tính theo a là 43 a
Phương pháp trắc nghiệm: 1 a a a A. . B. . C. . D. . 3  b 31 b 3 b 3 a
Sử dụng máy tính: gán lần lượt log3  ; A log2  . B TOANMATH.com Trang 13 Hướng dẫn giải
Lấy log 63 trừ đi lần lượt các đáp án số 140 log30 1 log3 1 a Ta có: log 30    .
ở A, B, C, D, kết quả nào bằng 0 thì đó là 125
log125 31 log2 31 b đáp án. Chọn B.
Ví dụ 3: Cho a  log 3;b  log 5;c  log 2. Khi đó giá trị 2 3 7
của biểu thức log 63 được tính theo a, b, c là 140 2ac 1 abc  2ac 1 A. . B. . abc  2c 1 2ac 1 2ac 1 ac 1 C. . D. . abc  2c 1 abc  2c 1
Phương pháp trắc nghiệm: Hướng dẫn giải
Sử dụng máy tính: gán lần lượt 2 log 63 log 3 .7 2log 3  log 7 Ta có: 2 2 2 2 log 63    140 2
log 140 log 2 .5.7 2  log 5  log 7 log 3  ; A log 5  ; B log 2  C. 2 2 3 7 2 2 2
Lấy log 63 trừ đi lần lượt các đáp án số 140 1 1
ở A, B, C, D, kết quả nào bẳng 0 thì đó là 2 log 3  2 2 log 2 a  c 1 2ac 7    đáp án. 1 1 1 2 2  log 3.log 5  2 c  abc  ab  2 3 log 2 c 7 Chọn C.
Ví dụ 4. Cho các số thực , a , b c 1  ;2 
 thỏa mãn điều kiện 3 3 3
log a  log b  log c  1 2 2 2 Khi biểu thức 3 3 3  
  3log a  log b  log c P a b c a b
c đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của a  b  c 2 2 2  bằng 1 A. 3. B. 3 3 3 3.2 . C. 4. D. 6. Hướng dẫn giải Ta xét hàm số f  x 3 3
 x  3x log x  log c với x  1  ;2. 2 2   3 3log x
Ta có đạo hàm f x 2 2 2  3x  3log x   ; 2 ln 2 x ln 2 log x x f x 2 3 6 3log 2 2  6x    . 2 2 2 x ln2 x ln 2 x ln 2  1  3 6 log x 3  log x Vì f  x 2  2   6 1    0 x     1  ;2 nên 3 3 2 3 2 x ln 2 x ln 2 x ln 2    
f  x  f    1  1,67  0. TOANMATH.com Trang 14
Như vậy hàm số f x đồng biến và có nghiệm duy nhất trên 1  ;2   vì f  
1  0; f 2  0 và có đồ thị lõm trên 1  ;2 
 . Do đó ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta nhận thấy rằng f x  1 cho nên 3 3 3
P  3  log a  log b  log c  4 2 2 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  1,c  2 và các hoán vị. Chọn C.
Ví dụ 5. Trong tất cả các cặp x; y thỏa mãn log
4x  4y  4  1. Với giá trị nào của m thì tồn tại 2 2 x y 2  
duy nhất cặp x; y sao cho 2 2
x  y  2x  2y  2  m  0? A.   2 10 2 . B.   2 10 2 và   2 10 2 . C. 10  2 và 10  2. D. 10  2. Hướng dẫn giải
Điều kiện: 4x  4y  4  0. Ta có log 4x  4y  4  1 2 2 x y 2  
 4x  4y  4  x  y  2  x  22  y  22 2 2  2 C . 1 
Miền nghiệm của bất phương trình là hình tròn (cả bờ) C có tâm I 2;2 bán kính R  2. 1   1  1 2 2 Mặt khác: 2 2
x  y  2x  2y  2  m  0  x   1  y   1  m *. 2 2
Với m  0 thì x  1; y  1 (không thỏa mãn x  2  y  2  2).
Với m  0 thì * là đường tròn C có tâm I 1;1 bán kính R  m. 2   2  2
Để tồn tại duy nhất cặp  ;
x y thì C và C tiếp xúc với nhau. 2  1 
Trường hợp 1: C và C tiếp xúc ngoài. 2  1  TOANMATH.com Trang 15
Khi đó: R  R  I I  m  2  10  m   10  22 . 1 2 1 2
Trường hợp 2: C nằm trong C và hai đường tròn tiếp xúc trong. 2  1 
Khi đó: R  R  I I  m  2  10  m   10  22 . 2 1 1 2 Vậy m    2 10 2 và m    2 10
2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Ví dụ 6. Xét các số thực a, b thỏa mãn a  b  1. Giá trị nhỏ nhất P của biểu thức min 2   2  a  P log a   3log bằng a b   b  b  A. P  19. B. P  13. C. P  14. D. P  15. min min min min Hướng dẫn giải Ta có: 2       2 a P  a        a  a  2  2 log 3log 3 b logb 1  b a b   log   a b    2  2      3   log a 1. 1 log b b  a  TOANMATH.com Trang 16 4 3
Đặt log b  t 0  t   1 . Khi đó P 
  3  f t với 0  t  1. 2   a 1  t t 8 3 1 Ta có f t    f  t  0  t  . 3 2    t t 3 1 Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta có P  15. min Chọn D.
Ví dụ 7. Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 2 2 x  y  3 và 2 2 2 log
x 4x 3x  4y 3y   2 2 2 x y    
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y.
Khi đó biểu thức T  2M  m  
1 có giá trị gần nhất số nào sau đây? A. 7. B. 8. C. 9. D. 10. Hướng dẫn giải Ta có 2 2 2 2 2 log
x 4x 3x  4y 3y   2  log  x  y 4x 3   2 2 2 x y    2 2  x y   
 x  y  x    x  y 2  x  2 2 2 2 2 2 4 3 2  y  1. 2 2 x  y  3 
Tập hợp các số thực x, y thỏa mãn: 
những điểm thuộc miền trong hình tròn C có tâm 1   x  2  2 2  y  1
I 2;0, bán kính R 1 và nằm ngoài hình tròn C có tâm O0;0 và bán kính R  3. 2  1 2 TOANMATH.com Trang 17
Biểu thức: P  x  y  x  y  P  0 là họ đường thẳng  song song với đường y  x.  3 3   3 3 
Các giao điểm của hai hình tròn là A ; , B ;   2 2   2 2     
P đạt giá trị nhỏ nhất khi đường thẳng  đi qua A. 3 3 3 3
Khi đường thẳng  qua điểm A, ta có: P 0 P       . min min 2 2 2
P đạt giá trị lớn nhất khi đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn C ta có: 1    2  P d I;  R   1  P  2  2  P  2  2. 1 max 11   
Do đó T  M  m   3 3 2 1  22  2    10.  2    Chọn D
Bài tập tự luyện dạng 2 2 xy 2 Câu 1: Cho x  ; y xy  1 thỏa mãn   3 log    22  3 xy x y
log 2  2xy . Giá trị lớn nhất của biểu 2 2   thức M   3 3 2 x  y 3xy bằng 13 17 A. 7. B. . C. . D. 3. 2 2
Câu 2: Cho các số thức a, b, c thuộc đoạn 1  ;3   thỏa mãn 3 3 3
log a  log b  log c  3. Giá trị lớn nhất của 2 2 2 biểu thức 3 3 3  
  3log a  log b  log c P a b c a b c bằng 2 2 2  A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 3: Cho hai số thực a, b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a  b  10. Gọi m, n là hai nghiệm của phương
trình log xlog x  2log x 3log x 1  0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  mn bằng a b a b 16875 4000 A. . B. . C. 15625. D. 3456. 16 27 a  b  c
Câu 4: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn log
 a a  4  b b  4  c c  4 . Giá trị lớn 2 2 2 2       a  b  c  2
nhất của biểu thức P  a  2b  3c bằng A. 3 10. B. 12  2 42. C. 12  2 35. D. 6 10. Câu 5: Cho các số thực ,
a b  1 thỏa mãn điều kiện log a  log b  1. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 P  log a  log b bằng 3 2 1 2 A. log 2  log 3. B. log 2  log 3. C. log 2  log 3 . D. . 3 2  3 2 3 2 2 log 2  log 3 3 2 TOANMATH.com Trang 18
Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x  log y 1  logx  y. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  x  3y bằng 1 3 2  3 3 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 10 5 30 4 x  y
Câu 7: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn log
 x x  3  y x  3  xy. Giá trị 3 2 2     x  y  xy  2 x  2y  3
nhỏ nhất của biểu thức P  bằng x  y  6 69  249 43 3 249 37  249 69  249 A. . B. . C. . D. . 94 94 21 94 2
Câu 8: Cho b  0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức      10a P a b  log b2 bằng  1  1  A. 2 logln10. B. 2   log . ln10   ln10   1  1   1  1  C. 2   log . D. 2   ln . ln10   ln10  ln10   ln10 
Câu 9: Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện 0  b  a  1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 43b   1 2 P  log  8log a 1 bằng a 9 b a A. 6. B. 3 3 2. C. 8. D. 7.
Câu 10: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn x  y   2 ln ln
ln x  y. Giá trị nhỏ nhất P  x  y bằng A. P  2 2  3. B. P  6. C. P  2  3 2. D. P  17  3. min min min min 1
Câu 11: Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện
 b  a  1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3  3b 1 2 P  log 12 log a    3 bằng a  4 b  a 1 A. min P  13. B. min P  . C. min P  9. D. 3 min P  2. 3 2
Câu 12: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log x  log y  log  2
x  y . Giá trị nhỏ nhất P của 1 1 1  min 3 3 3
biểu thức P  2x  3y bằng A. P  7  2 10. B. P  3  2. C. P  7  3 2. D. P  7  2 10. min min min min
Câu 13: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn b  1 và a  b  .
a Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  a  P  log a  2 log bằng a b   b  b  TOANMATH.com Trang 19 A. 6. B. 7. C. 5. D. 4.
Câu 14: Cho 2 số dương a và b thỏa mãn log a 1  log b 1  6. Giá trị nhỏ nhất của S  a  b 2   2   bằng A. min S  12. B. min S  14. C. min S  8. D. min S  16. log 2 log 3 log 4 ... log n
Câu 15: Gọi a là giá trị nhỏ nhất của f n  3
 3  3   3  
, với n  ,n  2. Có bao 9n
nhiêu số n để f n  . a A. 2. B. vô số. C. 1. D. 4.  1  Câu 16: Cho 3 3 2 3 P  9 log
a  log a  log a 1 với a
;3 và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và 1 1 1  27  3 3 3 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Giá trị của biểu thức S  4M  3m bằng 109 83 A. 42. B. 38. C. . D. . 9 2
Câu 17: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 2 2 b  3ab  4a và 32 a  4;2 . 
 Gọi M, m lần lượt là giá 3 b
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  log 4a  log . Tính tổng T  M  . m b 2 4 4 8 1897 3701 2957 7 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  . 62 124 124 2
Câu 18: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức: 2 log a  log b  log a  6b . Giá trị lớn nhất 2 2 2   2 ab  b P của biểu thức P  bằng M ax 2 2 a  2ab  2b 2 1 2 A. P  . B. P  0. C. P  . D. P  . M ax 3 M ax M ax 2 M ax 5
Câu 19: Cho a, b, c là các số trực thuộc đoạn 1  ;2   thỏa mãn 3 3 3
log a  log b  log c  1. Khi biểu thức 2 2 2 3 3 3  
  3log a  log b  log c P a b c a b
c đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng a  b  c là 2 2 2  1 A. 3. B. 3 3 3.2 . C. 4. D. 6.
Câu 20: Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất P của biểu thức: min 4 1 8 P    là 3 log a log b 3log c bc ac ab A. P  20. B. P  10. C. P  18. D. P  12. min min min min ĐÁP ÁN
Dạng 1. Biến đổi biểu thức chứa lôgarit 1-B 2-A 3-A 4-C 5-A 6-B 7-A 8-A 9-D 10-D TOANMATH.com Trang 20 11-D 12-D 13-C 14-D 15-C
Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức chưa lôgarit theo một biểu thức đã cho 1-B 2-D 3-D 4-C 5-A 6-B 7-D 8-B 9-D 10-A 11-C 12-D 13-C 14-B 15-A 16- 17-B 18-C 19-C 20-A TOANMATH.com Trang 21