Bài giảng phương pháp quy nạp toán học, dãy số

Tài liệu gồm 43 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề phương pháp quy nạp toán học, dãy số, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số 

89 45 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

43 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. DÃY SỐ
Mục tiêu
Kiến thức
+ Biết được thứ tự các bước giải toán bằng phương pháp quy nạp.
+ Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, tính chất đơn điệu và bị chặn của dãy số.
+ Nắm được phương pháp giải các dạng bài tập của dãy số như tìm số hạng tổng quát, xét tính
tăng, gi
ảm và bị chặn.
Kĩ năng
+ Chứng minh được các bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học.
+ Biết cách xác định dãy số.
+ Xét được tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số.
+ Tính được tổng của một dãy số.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi giá tr
ị nguyên
dương n, ta thực hiện như sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương
n = k tùy ý

1k , chứng minh rằng mệnh đề đúng với
1nk.
Dãy số
a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên
*
được gọi là
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).
Kí hiệu:

*
:
.
u
nun

Dạng khai triển:
123
; ; ;...; ;...
n
uuu u
Trong đó ta gọi: u
1
là số hạng đầu, u
n
= u(n) là số hạng thứ n
hay số hạng tổng quát của dãy số.
b) Mỗi hàm số u xác định trên tập
1;2;3;...;
M
m với
*
m
c) Các cách cho một dãy số:
Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.
Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay quy nạp):
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n)
đúng với mọi số nguyên dương
np thì:
+) Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với
n = p.
+) Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số
nguyên dương bất kì
nk p và phải chứng
minh mệnh đề đúng với
1nk
Ví dụ 1: Cho dãy (u
n
) với
2
31
n
unn
Ví dụ 2: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
TOANMATH.co
m
Trang 2
Cho số hạng thứ nhất u
1
(hoặc một vài số hạng đầu).
Với 2n , cho một công thức tính u
k
nếu biết u
k-1
(hoặc vài số hạng đứng ngay trước nó).
Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy
số.
Dãy số tăng, dãy số giảm
a) Dãy số (u
n
) được gọi là tăng nếu
1nn
uu
với mọi
*
n
*
1
0,
nn
uu n
 hay

*
1
1, 0
n
n
n
u
nu
u

b) Dãy số (u
n
) được gọi là giảm nếu
1nn
uu
với mọi
*
n
*
1
0,
nn
uu n
 hay

*
1
1, 0
n
n
n
u
nu
u

Dãy số bị chặn
a) Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
*
,
n
uMn .
b) Dãy số (u
n
) được gọi bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
*
,
n
umn
c) Dãy số (u
n
) được gọi bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị
chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho
*
,
n
mu M n
.
1
3
1
1
1
2
nn
u
n
uun


Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) bán kính R. Cho
dãy (u
n
) với u
n
là độ dài cung tròn có số đo là
2
n
của đường tròn (O).
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1:Quy nạp toán học
Phương pháp giải
Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số
tự nhiên n đúng với mọi (
oo
nnn là só tự nhiên
cho trước), ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với
o
nn
Bước 2: Giả sử P(n) đúng khi

o
nkkn (xem
đây là giả thiết để chứng minh bước 3).
Bước 3: Ta cần chứng minh P(n) đúng khi
1nk
Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
2n
, ta luôn có
1
2 23(*)
n
n

Hướng dẫn giải:
Với n = 2 ta có
21
22.2387
 (đúng). Vậy
(*) đúng với n = 2.
Giả sử với , 2nkk thì (*) đúng, có nghĩa ta có
1
223(1)
k
k

Ta phải chứng minh (*) đúng với
n = k + 1, có
nghĩa ta phải chứng minh
2
22(1)3
k
k

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được
TOANMATH.co
m
Trang 3
Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết
luận rằng
P(n) đúng với mọi
o
nn
12
2.2 2(2 3) 2 4 6 2( 1) 3
kk
kkk


Vậy
2
2213
k
k
 (đúng).
Do đó theo nguyên lí quy nạp (*) đúng với mọi số
nguyên dương
2.n
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có

2
1.4 2.7 ... (3 1) 1 (1)nn nn
Hướng dẫn giải
Với n = 1, ta có

2
(1) 1.4 4; (1) 1. 1 1 4VT VP
Suy ra VT(1) = VP(1) với n = 1.
Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k
Khi đó ta có

2
1.4 2.7 ... 3 1 1kk kk
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 hay
 
2
1.4 2.7 ... 3 1 1 3 4 1 2kk k k k k
Thật vậy


 
2
2
1
1.4 2.7 ... 3 1 1 3 4 1 1 3 4
kk
kk kk kk kk




2
12kk (điều phải chứng minh).
Vậy (1) đúng khi
1nk
Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương 2n , ta có

2
234 2
13 2
1.2 2.3 3.4 ... 1 (1)
12
nn n
nn


Hướng dẫn giải
Với n = 2, ta có
2
2.3.8
(1) 1.2 4; (1) 4
12
VT VP
Suy ra VT(1) = VP(1) với n = 2.
Vậy (1) đúng với n = 2.
Giả sử (1) đúng với n = k. Khi đó ta có

2
234 2
13 2
1.2 2.3 3.4 ... 1
12
kk k
kk


Ta phải chứng minh (1) đúng với
1nk
. Có nghĩa ta phải chứng minh
TOANMATH.co
m
Trang 4







2
2
234 2
2
2
234 2
111312
1.2 2.3 3.4 ... 1 1
12
1235
1.2 2.3 3.4 ... 1 1
12
kk k
kkkk
kkkk
kkkk
 




Thật vậy
 
2
234 2
1.2 2.3 3.4 ... 1 1kkkk

22
2
13 2 13 11 10
1
12 12
kk k kk k k
kk



2
1235
1235
12 12
kkkk
kk k k


 (điều phải chứng minh)
Vậy (1) đúng khi
1nk
.
Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương
2n
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có


3
11 1
... (1)
1.2.3 2.3.4 1 2 4 1 2
nn
nn n n n

 
Hướng dẫn giải
Với n = 1, ta có
11.41
(1) ; (1)
64.2.36
VT VP
Suy ra VT(1) = VP(1) khi n = 1.
Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k. Khi đó ta có


3
11 1
...
1.2.3 2.3.4 1 2 4 1 2
kk
kk k k k

 
Ta phải chứng minh (1) đúng với
1nk
. Có nghĩa ta phải chứng minh
 

14
11 1 1
...
1.2.3 2.3.4 1 2 1 2 3 4 2 3
kk
kkk kkk kk


 
Thật vậy




3
41 2
11 1 1
...
1.2.3 2.3.4 1 2 1 2 3
kk
kk
kk k k k k


 

  




2
32
3
11 4
3
41 2 1 2 341 2 3
14
694
41234123
kk
kk
kk kk k kk k
kk
kkk
kk k kk k



  




 

14
42 3
kk
kk


(điều phải chứng minh).
Vậy (1) đúng khi 1nk.
TOANMATH.co
m
Trang 5
Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương 2,n ta có
11 113
... (1)
12 24nn nn


Hướng dẫn giải
Đặt

11 1 1
...
12 1
n
u
nn nn nn


Với n = 2 ta có
2
11713
2 1 2 2 12 24
u 

(đúng)
Giả sử với n = k thì (1) đúng, có nghĩa ta có
11 113
...
12 24kk kk


Ta phải chứng minh (1) đúng với
1nk, có nghĩa ta phải chứng minh

11 1 1 13
...
23 1 124kk kkk k


Thật vậy, xét hiệu

11 1 1 1 11 1
... ...
23 21 1 1 12kk kkk k k kk kk





 
11111111
0
21 1 1 1212 1 12122kk kk k kk k k
  

Suy ra

11 1 1 1 11 1
... ...
23 21 1 1 12kk kkk k k kk kk


Do đó
1
13
24
kk
uu

. Vậy (1) đúng với
1nk
.
Suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương
2n
Ví dụ 5: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh
4n là
3
.
2
nn
Hướng dẫn giải
Đặt

3
2
nn
Sn
Khi n = 4, ta có S(4) = 2. Suy ra mệnh đề đúng với n = 4.
TOANMATH.co
m
Trang 6
Giả sử mệnh đề đúng khi
4nk
, tức là

3
2
kk
Sk
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k +1, tức là chứng minh

12
1
2
kk
Sk


Thật vậy, ta tách đa giác
1k cạnh thành đa giác k cạnh và tam giác
11kk
A
AA
bằng cách nối đoạn
1 k
A
A
.
Khi đó trừ đi đỉnh
1k
A
và 2 đỉnh kề với nó là A
1
, A
k
thì ta còn lại
13 2kk
đỉnh, tương ứng với
(k – 2) đường chéo kẻ từ đỉnh
1k
A
cộng với đường chéo
1 k
A
A
thì ta có số đường chéo của đa giác
1k cạnh là


2
33 12
2
1211
2222
kk kk k k
kk
Sk k k



mệnh đề đúng khi
1nk
.
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi
*
,4nn
.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng mọi n – giác lồi
5n đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.
Hướng dẫn giải
Khi n = 5, ta có một ngũ giác lồi nên mệnh đề đúng với n = 5.
Giả sử mệnh đề đúng khi
5nk, tức là ta có k – giác lồi được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi
1nk, tức là chứng minh mọi

1k 
giác lồi đều được chia
thành hữu hạn các ngũ giác lồi.
Thật vậy, trên các cạnh
11k
A
và
34
A
A
ta lấy các điểm E, F không trùng với các đỉnh. Khi đó đoạn EF
chia

1k 
giác lồi thành 2 đa giác lồi, đó là ngũ giác lồi
123
A
AAFE và k – giác lồi
45 1
...
k
EFA A A
.
Theo giả thiết quy nạp thì k – giác lồi
45 1
...
k
EFA A A
sẽ được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi đồng thời ta
có thêm một ngũ giác lồi
123
A
AAFE nên

1k  giác lồi sẽ được chia thành hữu hạn các ngũ giác lồi
mệnh đề đúng khi
1nk.
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi
*
4nn
Ví dụ 7: Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu 9 1.
n
n
u  Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n
thì u
n
luôn chia hết cho 8.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Trang 7
Ta có
1
1
918u 
chia hết cho 8 (đúng)
Giả sử 91
k
k
u  chia hết cho 8
Ta cần chứng minh
1
1
91
k
k
u
 chia hết cho 8
Thật vậy, ta có
1
1
919.91991898
kkk
kk
uu

Vì
9
k
u
và 8 chia hết cho 8 nên
1k
u
chia hết cho 8.
Theo quy nạp với mọi số nguyên dương n, u
n
chia hết cho 8.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi
*
,1234nnnnnn
chia hết cho 120.
Hướng dẫn giải
Trước hết chứng minh bổ đề “Tích của hai số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8”.
Thật vậy, với n là số nguyên thì 2n và
22n là hai số chẵn liên tiếp.
Khi đó
22 2 4 1nn nn
Mà

1nn là tích hai số nguyên liên tiếp nên
12nn
Suy ra
418nn
Đặt
1234Pn nn n n n
Khi
1n
, ta có

1 120 120P . Suy ra mệnh đề đúng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng với
1nk
, tức là
1 2 3 4 120Pk kk k k k
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với
1nk, tức là chứng minh
1 12345120Pk k k k k k
Thật vậy, ta có


1 12345
123451234
51 2 3 4
Pk k k k k k
kk k k k k k k k
Pk k k k k



Mà
1, 2, 3, 4kk k K
là số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn có 2 sỗ chẵn liên tiếp và một số chia hết
cho 3 trong bốn số đó.
Suy ra
5 1 2 3 4 5.3.8 120kk k k
Mặt khác
120Pk nên
1 120Pk mệnh đề đúng khi 1nk.
Vậy theo nguyên lí quy nạp mệnh đề đúng với mọi
*
n
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1:
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên np (p là một số
tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
TOANMATH.co
m
Trang 8
A.
.kp
B.
.kp
C.
.kp
D.
.kp
Câu 2: Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu
32 31
5.2 3
nn
n
u


Một học sinh chứng minh u
n
luôn chia hết cho 19 như sau:
Bước 1: Khi 1,n ta có
12
11
5.2 3 19 19uu
Bước 2: Giả sử
32 31
5.2 3
kk
k
u


chia hết cho 19 với
1.k
Khi đó ta có
31 3 2 32 31 31
1
5.2 3 8 5.2 3 19.3
kk k k k
k
u


Bước 3: Vì
32 31
5.2 3
kk
và
31
19.3
k
chia hết cho 19 nên
1k
u
chia hết cho 19,
*
n
Vậy u
n
chia hết cho 19,
*
n
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
A. Sai từ bước 1. B. Sai từ bước 3.
C.
Sai từ bước 2. D. Lập luận hoàn toàn đúng.
Câu 3: Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho

;IkA

1,II n A n A n k
Lúc đó ta có
A. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc A.
B. Mọi số nguyên dương đều thuộc A.
C. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.
D. Mọi số nguyên đều thuộc A.
Câu 4: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị
nguyên ,np với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước
Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi 1n
Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi nk (theo giả thiết quy
nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi
1nk
Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.
A. Chỉ có bước 2 đúng. B. Cả hai bước đều đúng.
C. Cả hai bước đều sai. D. Chỉ có bước 1 đúng.
Câu 5: Với mọi
*
,n khẳng định nào sau đây sai?
A.
1
1 2 ... .
2
nn
n

B.
2
1 3 5 ... 2 1 .nn
C.
22 2
12
12... .
6
nn n
n


D.

2
222
2121
2 4 6 ... 2 .
6
nn n
n


Câu 6: Cho

111 1
...
1.2 2.3 3.4 1
n
S
nn

với
*
n . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1
.
n
n
S
n
B.
.
1
n
n
S
n
C.
1
.
2
n
n
S
n
D.
2
.
3
n
n
S
n
TOANMATH.co
m
Trang 9
Câu 7: Cho dãy số
n
u
với

1
2
1
1
.
1
n
nn
u
uu

Số hạng tổng quát u
n
của dãy số là số hạng nào dưới
đây?
A. 1.
n
un B. 1.
n
un C.

2
11.
n
n
u  D. .
n
un
Câu 8: Cho dãy xác định bởi công thức
1
*
1
3
.
1
,
2
nn
u
uun

Số hạng tổng quát của dãy u
n
là
A.
1
3
.
2
n
n
u
B.
3
.
2
n
n
u
C.
3
.
21
n
n
u
D.
3
.
21
n
n
u
Câu 9: Cho hai dãy số
,
nn
uv được xác định như sau
11
3, 2uv và
22
1
1
2
2.
nnn
nnn
uuv
vuv

với
2.n
Công thức tổng quát của hai dãy
n
u và
n
v là
A.

22
22
21 21
.
1
21 21
22
nn
n
nn
n
u
v





B.


22
22
1
21 21
2
.
1
21 21
22
nn
n
nn
n
u
v








C.


22
22
1
21 21
2
.
1
21 21
32
nn
n
nn
n
u
v








D.


22
22
1
21 21
4
.
1
21 21
2
nn
n
nn
n
u
v








Câu 10: Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
1
cos 0
1
,1
2
n
n
u
u
un


. Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là
A.
2020
2020
cos .
2
u



B.
2020
2019
cos .
2
u



C.
2020
2021
sin .
2
u



D.
2020
2020
sin .
2
u



Dạng 2: Tìm số hạng và xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số
Phương pháp giải
Tìm số hạng của dãy số
Dãy số

:
nn
uu fn
với

f
n
là một biểu thức của n.
Bài toán yêu cầu tìm số hạng u
k
ta thay trực tiếp n = k vào
n
ufn
Dãy số
n
u cho bởi

1
1
nn
ua
ufu
với
n
f
u là một biểu
thức của u
n
. Bài toán yêu cầu tìm số hạng u
k
ta tính lần lượt
Ví dụ 1:
Cho dãy số
n
a
Đặt
1
n
nk
k
ua
với

1
1
k
a
kk
a) Tính
1234
;;;.uuuu
b) Tính
2020
u .
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Trang 10
23
; ;...;
k
uu u
bằng cách thế u
1
vào u
2
, thế u
2
vào u
3
,… thế
1k
u
vào
1k
u
.
Dãy số
n
u cho bởi
12
21
;
..
nnn
uaub
ucudue



Bài toán yêu cầu tìm số hạng u
k
. Ta tính lần lượt
34
; ;...;
k
uu u
bằng cách thế u
1
;u
2
vào thế u
3
; thế u
2,
u
3
vào
u
4
;…; thế
21
,
kk
uu

vào u
k
.
Dãy số
n
u
cho bởi

1
1
;
nn
ua
ufnu
với

;
n
f
nu
là kí
hiệu của biểu thức
1n
u
tính theo u
n
và n. Bài toán yêu cầu
tìm số hạng u
k
ta tính lần lượt
23
; ;...;
k
uu u bằng cách thế
1
1; u vào u
2
; thế
2
2;u vào u
3
; ...; thế
1
1;
k
ku
vào u
k
.
Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số
Nếu
n
u
có dạng
12
...
nn
uaa a (kí hiệu
1
n
nk
k
ua
) thì ta biến đổi a
k
thành hiệu của hai số hạng,
dựa vào đó thu gọn u
n
.
Nếu dãy số
n
u được cho bởi một hệ thức truy hồi, ta tính
một số số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính
123
; ; ;...),uuu từ đó dự đón công thức u
n
theo n, rồi chứng
minh công thức này bằng phương pháp quy nạp.
Có thể tính hiệu
1nn
uu
dựa vào đó để tìm công thức u
n
theo n.
a) Ta có
11
11
;
1.2 2
ua


212
3123 23
41234 34
112
;
22.21 3
21 3
;
33.31 4
31 4
.
44.55
uaa
uaaaua
uaaaaua



b) Ta có

111
.
11
k
a
kk k k


do đó
1
111
1 ...
223
n
nk
k
ua




11 11 1
1
111nnnn n





Suy ra có thể quy nạp
2020
1 2020
1
2021 2021
u 
Ví dụ 2:Xác định công thức ;1
1
n
n
un
n

số hạng tổng quát u
n
của dãy số
1
1
3
2
nn
u
uu

Hướng dẫn giải
Ta có
21
2325;uu
32
43
54
2527;
2729;
29211.
uu
uu
uu



Từ các số hạng trên, ta dự đoán số hạng tổng
quát có dạng 2 1, 1 (*)
n
unn
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp
để chứng minh công thức (*) đúng.
Với
1
1; 2. 1 1 3nu (đúng).
Vậy (*) đúng với n = 1.
Giả sử (*) đúng với n = k.
Khi đó ta có 2 1 (1)
k
uk
Ta cần chứng minh (*) đúng với
1nk
.
TOANMATH.co
m
Trang 11
Có nghĩa là ta phải chứng minh
1
21123
k
uk k

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo
(1) ta có
1
22 122 3
kk
uu k k

Do đó (*) đúng khi
1nk
.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là
21, 1.
n
un n
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1:
Cho dãy số
n
u được xác định như sau
1
1
1
2
nn
u
uu

. Tìm số hạng
50
u
.
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có
1
21
32
50 49
1;
2;
2;
...
2.
u
uu
uu
uu



Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được
50
12.49 99u 
Ví dụ 2: Cho dãy số
n
u được xác định như sau
12
21
1; 2
235
nnn
uu
uuu



. Tìm số hạng u
7
.
Hướng dẫn giải
Ta có
321 432
543 654
2 5 12; 2 3 5 35;
2 3 5 111; 2 3 5 332;
uuu uuu
uuu uuu

 
Vậy
765
2 3 5 1002.uuu
Ví dụ 3: Cho dãy số
n
u xác định bởi
1
1
1
2
1
n
n
n
u
u
u
u
. Tìm số hạng u
8
.
Hướng dẫn giải
Ta có
12
23
12
3
2
22
12 3 7
2
;;
3
1112 1 5
1
2
uu
uu
uu



TOANMATH.co
m
Trang 12
34
45
34
717
22
22
17 41
512
;;
717
112 1 29
11
512
uu
uu
uu





56
67
56
41
99
2
2
22
99 239
29
70
;;
41 99
1 70 1 169
11
29 70
uu
uu
uu




Vậy
7
8
7
239
2
2
577
169
;
239
1 408
1
169
u
u
u

Ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi
để tính số hạng u
8
như sau
Quy trình bấm phím:
Nhập : 1
Nhập:
2
1
ANS
ANS
Lặp dấu
(ấn dấu “=” 7 lần)
ta được giá trị số hạng
8
577
.
408
u
Ví dụ 4: Cho dãy số
n
u
với
1
1
1
2
n
n
u
u
u

a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b) Tính số hạng thứ 10 của dãy số.
Hướng dẫn giải
a) Ta có
1
1
2
1
1
2
...
2
n
n
u
u
u
u
u

Nhân vế với vế của các đẳng thức trên, ta được
  

  



1
123 1
123
1
1sè 2
. . ...
11
. . ... 1. 1. 1.
2.2.2...2 2 2
n
n
nn
n
n
uuu u
uuu u u
Vậy

1
1. .
2
n
n
u




b) Số hạng thức 10 của dãy là

9
10
11
1. .
2512
u




Ví dụ 5: Dãy số
n
u được xác định bằng công thức
1
3'
1
1
1
nn
u
n
uun

a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b) Tính số hạng thứ 30 của dãy số.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Trang 13
a) Ta có
33
11
.
nn nn
uunuun

 
Từ đó suy ra


1
3
21
3
32
3
12
3
1
1;
1;
2;
...
2;
1.
nn
nn
u
uu
uu
uu n
uu n





Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được


12112 1 2 1
33
333
33
333
...
11 2 3 ... 2 1
1 1 2 3 ... 2 1
nn nn
n
uuuuu u u uu
nn
unn

 

 
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

2
2
3
333
1.
1 2 3 ... 1
4
nn
n

Vậy
2
2
1
1
4
n
nn
u

b) Số hạng thứ 30 của dãy số là
22
30
30 .29
1 189226
4
u

Ví dụ 6: Cho dãy số
n
u , biết
2
11
3; 1
nn
uu u
 với
1n
a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát
n
u và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Hướng dẫn giải
a) Ta có
22
21 32
22
43 54
110; 111;
112; 113;
 
 
uu uu
uu uu
b) Ta có
12 3 4 5
18, 28, 38, 48, 58uu u u u  
Ta dự đoán
8(1)
n
un
Với 1n , ta có
1
18 3u  (đúng). Vậy (1) đúng với 1n
Giả sử (1) đúng với n = k, có nghĩa ta có
8(2)
k
uk
Ta cần chứng minh (1) đúng với
1nk
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có

2
2
1
118 9
kk
uu k k

TOANMATH.co
m
Trang 14
Do đó (1) đúng với
1nk
Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số là
8, 1.
n
unn
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1:
Cho dãy số
n
u có
11
7; 2 3.
nn
uu u

Khi đó u
3
bằng
A. 17. B. 77. C. 37. D. 9.
Câu 2: Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số
2
1?
n
un
A. 79. B. 89. C. 69. D. 99.
Câu 3: Cho dãy số
n
u
có
2
1
n
unn . Số -19 là số hạng thứ mấy của dãy?
A. 5. B. 7. C. 6. D. 4.
Câu 4: Cho dãy số
2
21
1
n
nn
u
n

. Giá trị u
11
là
A.
11
182
.
12
u
B.
11
1142
.
12
u
C.
11
1422
.
12
u
D.
11
71
.
6
u
Câu 5: Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
*
1
2
5,
nn
u
uu n

. Giá trị u
10
là
A. 57. B. 62. C. 47. D. 52.
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36,… Số hạng tổng quát của dãy số này là
A.
77.
n
un
B.
7. .
n
un
C.
7. 1.
n
un
D.
7.
n
un
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là
1234
0;;;;;...
2345
Số hạng tổng quát của dãy số này là
A.
1
.
n
n
u
n
B. .
1
n
n
u
n
C.
1
.
n
n
u
n
D.
2
.
1
n
nn
u
n
Câu 8: Cho dãy số
n
u
với 2 1
n
un. Số hạng thứ 2019 của dãy là
A. 4039. B. 4390. C. 4930. D. 4093.
Câu 9: Cho dãy số
n
u
có số hạng tổng quát
21
2
n
n
u
n
. Số
167
84
là số hạng thứ mấy của dãy?
A. 300. B. 212. C. 250. D. 249.
Câu 10: Cho dãy số
n
u với
2
1
n
an
u
n
(a là hằng số). Hỏi u
n+1
là số hạng nào sau đây?
A.
2
1
.1
.
2
n
an
u
n
B.
2
1
.1
.
1
n
an
u
n
C.
2
1
.1
.
1
n
an
u
n
D.
2
1
.
.
2
n
an
u
n
Câu 11: Cho dãy số
n
u với
1
1
5
nn
u
uun

. Số hạng tổng quát u
n
của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A.
1
.
2
n
nn
u
B.

1
5.
2
n
nn
u

C.
1
5.
2
n
nn
u

D.
12
5.
2
n
nn
u


TOANMATH.co
m
Trang 15
Câu 12: Cho dãy số
n
u được xác định như sau

1
1
0
.
1
1
nn
u
n
uu
n


Số hạng u
11
là
A.
11
11
.
2
u
B.
11
4.u C.
11
9
.
2
u
D.
11
5.u
Câu 13: Cho dãy số
n
u
với
1
*
1
1
.
21,
nn
u
uunn

Số hạng tổng quát u
n
là
A.
2
.
n
un
B.
2
2.
n
un
C.
2
1.
n
un
D.
2
31.
n
un
Câu 14: Dãy số
n
u được cho bởi
1
1
1
2
nn
u
uu

. Hãy tìm khẳng định
sai trong các khẳng định sau.
A.
,
n
nu
là số lẻ.
B.
2
12
... .
n
uu u n
C. ,21.
n
nu n D.
1
4.
nn
uu n

Câu 15: Cho dãy số
n
u với
1
1
1
.
2
2
nn
u
uu
Công thức số hạng tổng quát của dãy số là
A.
1
2.
n
n
u

B.
1
1
.
2
n
n
u
C.
1
.
2
n
n
u
D.
2
2.
n
n
u
Câu 16: Cho dãy số
n
u với
1
2
1
2
n
n
n
u
u
u


. Công thức số hạng tổng quát của dãy số là
A.
1
.
n
n
u
n

B.
1
.
n
n
u
n
C.
1
.
n
n
u
n

D.
.
1
n
n
u
n

Câu 17: Cho dãy số
n
u với
1
2
1
1
nn
u
uun

Số hạng tổng quát u
n
của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A.
12 1
1.
6
n
nn n
u


B.
12 2
1.
6
n
nn n
u


C.
12 1
1.
6
n
nn n
u


D.
12 2
1.
6
n
nn n
u


Câu 18: Cho dãy số
n
u với
2
1
1
n
n
u
n
, biết
2
.
13
k
u Hỏi u
k
là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?
A. Thứ năm. B. Thứ sáu. C. Thứ ba. D. Thứ tư.
Câu 19: Cho dãy
n
u
xác định bởi
1
1
2
u
và
1
2
nn
uu n
 với mọi 2n . Số hạng u
50
bằng
A. 1274,5. B. 2548,5. C. 5096,5. D. 2550,5.
Câu 20: Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0,001; 0,001; 0,0001;… Số hạng tổng quát của dãy số có
dạng
A.

ch÷ sè 0
0,00...01.
n
n
u B.
1ch÷ sè 0
0,00...01.
n
n
u

C.
1
1
.
10
n
n
u
D.
1
1
.
10
n
n
u
TOANMATH.co
m
Trang 16
Câu 21: Số hạng âm trong dãy số
123
; ; ;...;
n
x
xx x
với
4
5
5
3
143
96
n
nn
n
P
xC
P

là
A.
12
;.
x
x B.
123
;;.
x
xx C.
123
; ; ... .
n
x
xx x D.
1234
;;;.
x
xxx
Câu 22: Cho dãy số
n
u
được xác định bởi
1
1
2
21
nn
u
uun

. Số hạng tổng quát u
n
của dãy số là
A.
2
1.
n
un
B.
2
2.
n
un
C.

2
21.
n
un
D.

2
21.
n
un
Câu 23: Cho dãy số
n
u
với

1
21
1
1
1
n
nn
u
uu

. Số hạng tổng quát u
n
của dãy số là số hạng nào dưới
đây?
A. 2.
n
un B. không xác định. C. 1.
n
un D.
n
un với mọi n.
Câu 24: Cho dãy số
n
u thỏa mãn
1
2u và
1
2
nn
uu
 với mọi 1.n Số hạng
2018
u là
A.
2018
2017
2cos .
2
u
B.
2018
2019
2cos .
2
u
C.
2018
2018
2cos .
2
u
D.
2018
2.u
Câu 25: Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
3*
1
1
,
nn
u
uunn

. Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho
1 2039190
n
u  là
A. 2017.n B. 2019.n C. 2020.n D. 2018.n
Dạng 3: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
Bài toán 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số
Phương pháp giải
Phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy số
Cách 1:
Xét hiệu
1nn
uu
Nếu
*
1
0,
nn
uu n
 thì
n
u là dãy số tăng.
Nếu
*
1
0,
nn
uu n
 thì
n
u là dãy số giảm
Cách 2: Khi
*
0,
n
un
ta xét tỉ số
1n
n
u
u
Nếu
1
1
n
n
u
u
thì
n
u là dãy số tăng.
Nếu
1
1
n
n
u
u
thì
n
u
là dãy số giảm.
Cách 3: Nếu dãy số
n
u được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp
để chứng minh
*
1
,
nn
uun
 (hoặc
*
1
,)
nn
uun
 .
Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số
Dãy số
n
u có
n
uanb tăng khi
0a
và giảm khi
0a
.
TOANMATH.co
m
Trang 17
Dãy số
n
u có
n
n
uq
-
Không tăng, không giảm khi 0q .
-
Giảm khi 01.q
-
Tăng khi 1.q
Dãy số
n
u
có
n
an b
u
cn d
với điều kiện
*
0,cn d n
-
Tăng khi 0.ad bc
-
Giảm khi
0ad bc
Dãy số đan dấu là dãy số không tăng, không giảm.
Nếu dãy số
n
u tăng hoặc giảm thì dãy số
.
n
n
qu (với 0)q không tăng, không giảm.
Dãy số
n
u có
1n
uaub
 tăng nếu
21
0
;
0
a
uu

giảm nếu
21
0
0
a
uu

và không tăng, không
giảm nếu a < 0.
Dãy số
n
u có
1
*
,0, 0,
n
n
n
n
au b
u
cu d
cd u n

tăng nếu
21
0
0
ad bc
uu


và giảm nếu
21
0
0
ad bc
uu


Dãy số
n
u có
1
*
,0, 0,
n
n
n
n
au b
u
cu d
cd u n

không tăng, không giảm nếu 0ad bc
Nếu


n
n
u
v
thì dãy số
.
nn
uv
Nếu

*
*
;0,
;0,
nn
nn
uu n
vv n


thì dãy số
;
nn
uv .
Nếu

n
u và
*
0,
n
un
thì dãy số

n
u
và dãy số

*
,
m
n
um
Nếu

n
u và
*
0,
n
un thì dãy số
1
n
u



.
Nếu


n
n
u
v
thì dãy số
.
nn
uv
Nếu

*
*
;0,
;0,
nn
nn
uu n
vv n


thì dãy số

;
nn
uv .
Nếu

n
u và
*
0,
n
un thì dãy số

n
u và dãy số

*
,
m
n
um .
Nếu

n
u
và
*
0,
n
un
thì dãy số
1
n
u



.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số

n
u biết
5
.
2
n
n
u
n
Hướng dẫn giải
Ta có
1
53 3
11
22 3
nn
n
uu
nn n


Chú ý: Dãy số có dạng
n
an d
u
cn d
Với
*
0,cn d n
-
Nếu ;0cd và
0ad bc
thì
TOANMATH.co
m
Trang 18
Xét hiệu

*
1
33 3
0,
32 23
nn
uu n
nn nn


Vậy

n
u
là dãy số giảm.

n
u
là dãy số tăng.
-
Nếu 0ad bc thì

n
u là
dãy số giảm.
Ví dụ 2: Cho dãy số

1
1
2
:
31
,2
4
n
n
n
u
u
u
un

. Xét tính tăng, giảm của dãy số

n
u
.
Hướng dẫn giải
Dãy số này cho bởi công thức truy hồi.
Ta dự đoán dãy số giảm dựa trên việc thử giá trị ban đầu
1
k
u
Ta có
11
11
31 1
44
nn
nn n
uu
uu u



 
Để chứng minh dãy
n
u giảm, ta chứng minh 1, 1
n
un bằng phương pháp quy nạp.
Thật vậy.
Với
1
121nu (đúng).
Giả sử
1
31
31
11
44
k
kk
u
uu

Theo nguyên lí quy nạp ta có
1, 1 .
n
un
Suy ra
11
0,2
nn n n
uu u u n


hay dãy
n
u
là dãy số giảm.
Ví dụ 3: Cho dãy
n
a được xác định bởi
1
2
1
1
1
nn n
a
aa a

. Xét tính tăng giảm của dãy số
n
a .
Hướng dẫn giải
Ta có
2
11
1
.1
.
nn n n n
n
aaa a a
a

 Ta đi chứng minh 0
n
a với mọi
*
n
Thật vậy.
Với 1n thì
10
n
a 
(đúng).
Với 2n thì
21
1
20
2
aa
 (đúng).
Giả sử
0
n
a
đúng với nk ta chứng minh nó cũng đúng với 1nk
Ta có
1
1
kk
k
aa
a
 là tổng của hai số dương nên nó cũng dương.
Do đó
0
n
a đúng với
1nk
.
Suy ra
0
n
a với mọi
*
n
.
Vậy
11
0.
nn n n
aa a a

 Do đó dãy

n
a
là một dãy tăng.
TOANMATH.co
m
Trang 19
Ví dụ 4: Xét tính tăng, giảm của dãy số
2
1
n
n
n
u
n

Hướng dẫn giải
Ta có
21
12 3
32
12
0; ;
29
uu
uu u
uu

Dãy số không tăng, không giảm.
Bài toán 2. Xét tính bị chặn của dãy số
Phương pháp giải
Phương pháp 1:
Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
Dãy số
n
u có
n
ufn là hàm số có biểu thức.
Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức

*
,
n
ufnMn
hoặc
*
,
n
ufnmn
Dãy số
n
u
có
12
... ...
nkn
uvv v v
(tổng hữu hạn). Ta làm trội kiểu
1kkk
vaa

Lúc đó
12 23 1
... .
nnn
uaa aa aa

Suy ra
*
11
,
nn
uaa Mn

Dãy số
n
u có
123
. . ....
nn
uvvvv với
*
0,
n
vn (tích hữu hạn). Ta làm trội kiểu
1k
k
k
a
v
a
.
Lúc đó
23 1
12
....
n
n
n
aa a
u
aa a
Suy ra
*
1
1
,
n
n
a
uMn
a
 .
Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Nếu dãy số
n
u được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng
minh.
Chú ý: Nếu dãy số
n
u giảm thì nó bị chặn trên, dãy số
n
u tăng thì nó bị chặn dưới.
Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn
Dãy số

n
u
có
1
n
n
uqq bị chặn.
Dãy số
n
u có

1
n
n
uqq không bị chặn.
Dãy số
n
u có
n
uq với 1q bị chặn dưới.
Dãy số

n
u có
n
uanb bị chặn dưới nếu 0a và bị chặn trên nếu 0a .
Dãy số
n
u có
2
n
uanbnc
bị chặn dưới nếu 0a và bị chặn trên nếu 0a .
Dãy số
n
u có
1
11
...
mm
nm m o
uanan ana
 bị chặn dưới nếu 0
m
a và bị chặn trên nếu
0
m
a .
TOANMATH.co
m
Trang 20
Dãy số
n
u
có
1
11
...
nm m
mm o
qan an ana

với
0
m
a
và
1q 
không bị chặn.
Dãy số
n
u có
1
11
...
mm
nm m o
uanan ana
 bị chặn dưới với 0
m
a .
Dãy số
n
u
có
1
3
11
...
mm
nm m o
uanan ana
 bị chặn dưới với
0
m
a
và bị chặn trên nếu
0.
m
a
Dãy số
n
u
có


n
P
n
u
Qn
trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P(n) nhỏ
hơn hoặc bằng bậc của Q(n).
Dãy số
n
u có


n
P
n
u
Qn
trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, chỉ bị chặn dưới hoặc bị chặn
trên nếu bậc của P(n) lớn hơn bậc của Q(n).
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1:
Cho dãy số
n
u biết
1
23
n
u
n
. Xét tính bị chặn dãy số

n
u .
Hướng dẫn giải
Ta có
** *
11 1 1
235, 0 , 0,
235 523
nn n n
nn




1
0.
5
n
u
Suy ra dãy số
n
u bị chặn.
Ví dụ 2: Cho dãy số
n
u biết
45
.
1
n
n
u
n
Xét tính bị chặn dãy số

n
u
Hướng dẫn giải
Ta có
*
45
0,
1
n
n
un
n

Chú ý: Dãy số

n
u
có bậc
của tử thấp hơn bậc của mẫu
thì bị chặn.
Chú ý
: Dãy số

n
u có bậc
của tử bằng bậc của mẫu thì
bị chặn.

 

*
411
45 1 19
44,
11 122
n
n
n
un
nn n
Suy ra
*
9
0,
2
n
un
Vậy dãy số

n
u
bị chặn.
Ví dụ 3: Cho dãy số

n
u biết
1.3.5... 2 1
2.4.6.2
n
n
u
n
. Xét tính bị chặn dãy số

n
u .
Hướng dẫn giải
Xét


2
2
21
21 21 21
,1.
2
21
2121
41
k
kk k
k
k
k
kk
k



TOANMATH.co
m
Trang 21
**
135 21 1 1 1
. . ... , 0 ,
357 21 21 3 3
n n
unun
nn
 


Vậy dãy số
n
u bị chặn.
Ví dụ 4: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
n
u , biết
2
31
1
n
nn
u
n

Hướng dẫn giải
Ta có
2
222
1
13 11
31 55 31
2121
nn
nn
nn nn nn
uu
nnnn

  




22
2
55 1 31 2
12
33
0, 1
12
nn n nn n
nn
nn
n
nn
 




1
,1
nn
uun
 dãy
n
u
là dãy số tăng.
Lại có
2
21
12
1
n
nn
un
n


dãy
n
u bị chặn dưới. Dãy
n
U
không bị chặn trên nên nó không bị
chặn.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1:
Cho dãy số

:sin
nn
uu
n
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.
A. Dãy số
n
u
tăng. B.
1
sin .
1
n
u
n
C.
Dãy số
n
u bị chặn. D. Dãy số
n
u không tăng, không giảm.
Câu 2: Trong các dãy số
n
u cho bởi số hạng tổng quát u
n
sau, dãy số nào tăng?
A. .
2
n
n
n
u
B.
2
.
21
n
n
u
n
C.
2
1
.
32
n
n
u
n
D.
2
21.
n
n
un
Câu 3: Cho dãy số
n
u
biết
2
5
n
n
u
n
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
Dãy số
n
u
tăng. B. Dãy
n
u
giảm.
C. Dãy
n
u không tăng, không giảm. D. Dãy số
n
u là dãy hữu hạn.
Câu 4: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
A.
3
.
1
n
n
u
n
B. .
2
n
n
u
C.
2
2
.
n
u
n
D.
1
.
3
n
n
n
u
Câu 5: Trong các dãy
n
u sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn?
TOANMATH.co
m
Trang 22
A.
2
2
1
.
22
n
nn
u
nn


B.
2
31
.
5
n
n
u
n
C.
2
1.
n
unn
D.
3
.
n
un
Câu 6: Cho dãy số
n
u biết 36
n
un. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
Dãy số
n
u tăng. B. Dãy số

n
u giảm.
C. Dãy số
n
u
không tăng, không giảm. D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 7: Xet tính tăng, giảm của dãy số
31
2,
n
n
n
u
ta được kết quả
A.
Dãy số
n
u
tăng. B. Dãy số
n
u
giảm.
C. Dãy số
n
u không tăng, không giảm. D. Dãy số
n
u khi tăng khi giảm.
Câu 8: Cho dãy số
n
u với
1
n
n
un . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
Dãy số
n
u là dãy số bị chặn. B. Dãy số
n
u là dãy số giảm.
C. Dãy số
n
u là dãy số tăng. D. Dãy số
n
u là dãy số không bị chặn.
Câu 9: Cho dãy số
n
a
được xác định bởi
12
21
1; 2
0
nnn
aa
aaa



. Phát biểu nào dưới đây về dãy số
n
a
là đúng?
A.
Dãy số
n
a
không tăng, không giảm. B. Dãy số
n
a
là một dãy giảm.
C. Dãy số
n
a
là một dãy tăng. D. Dãy số
n
a
là một dãy không tăng.
Câu 10: Cho dãy số
n
u biết
1
*
1
1
1,
nn
u
uau n

. Tất cả các giá trị của a để
n
u là dãy số tăng là
A.
0.a B. 0.a C. 0.a D. 1.a
Câu 11: Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số tăng?
A.
sin .
n
un B.
1
.
1
n
n
v
n
C.
1..
n
n
In D. 1.
n
hnn
Câu 12: Cho dãy số
n
u , biết .cos
n
un n . Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?
(1).

n
u
là dãy số tăng.
(2).
n
u
là dãy số bị chặn dưới.
(3)
*
:.
n
nun
A.
0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 13: Cho dãy số
n
u có
1
1u và

*
1
2
1
,
1
nn
uu n
n

. Trong các phát biểu sau, có bao
nhiêu phát biểu đúng?
TOANMATH.co
m
Trang 23
(1).
n
u là dãy số tăng.
(2).
n
u
là dãy số bị chặn dưới.
(3).

n
u
là dãy số bị chặn trên.
A.
0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 14: Cho dãy số
n
u có
n
an b
u
cn d
và
0cd
. Dãy số
n
u là dãy số tăng với điều kiện.
A.
0, 0.ab B. 0.ba C. 0, 0.ab D. 0, 0.ab
Câu 15: Phát biểu nào dưới đây về dãy số
n
a được cho bởi 2
n
n
anlà đúng?
A.
Dãy số
n
a là dãy số giảm. B. Dãy số
n
a là dãy số tăng.
C. Dãy số
n
a là dãy không tăng. D. Dãy số
n
a là dãy không tăng và không giảm.
Câu 16: Trong các phát biẻu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?
(1) Dãy số được xác định bởi
1
1
n
a
n
 là một dãy bị chặn.
(2) Dãy số được xác định bởi
2
n
an là một dãy giảm.
(3) Dãy số được xác định bởi
2
1
n
an
là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.
(4) Dãy số được xác định bởi
2
1
n
n
an là một dãy không tăng, không giảm.
A. 1. B. 2. C.3. D. 4.
Câu 17: Cho dãy số
n
u
biết

12
*
21
1; 2
1,
nn n
uu
uau aun



. Các giá trị của a để dãy số
n
u
tăng là
A.
0.a B. 01.a C. 1.a D. 1.a
Câu 18: Cho dãy số
n
u có
1
1
5
u
và
1
1
,1
5
nn
n
uun
n
 . Tất cả các giá trị n để
2018
2018
1
51
4.5
n
k
k
u
S
k

là
A.
2019.n B. 2018.n C. 2020.n D. 2017.n
Câu 19: Xét tính tăng giảm của dãy số
2
1
n
un n
, ta thu được kết quả
A.
Dãy số
n
u tăng. B. Dãy số
n
u giảm.
C. Dãy số
n
u không tăng, không giảm. D. Dãy số
n
u khi tăng, khi giảm.
Câu 20: Cho dãy số
n
u
biết
1
2
*
1
2
1
,
4
n
n
u
u
un

. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
n
u
là dãy số tăng. B.
n
u
là dãy số giảm.
C.
n
u
là dãy số không tăng, không giảm. D.
n
u
là dãy số không đổi.
TOANMATH.co
m
Trang 24
Câu 21: Xét tính bị chặn của dãy số
31,
n
un
ta thu được kết quả
A.
Dãy số bị chặn. B. Dãy số không bị chặn.
C. Dãy số bị chặn trên. D. Dãy số bị chặn dưới.
Câu 22: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
n
u , biết
2
!
n
n
u
n
, ta thu được kết quả
A.
Dãy số tăng, bị chặn trên. B. Dãy số tăng, bị chặn dưới.
C. Dãy số giảm, bị chặn. D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 23: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
n
u
, biết
2
1
1
n
u
nn

, ta thu được kết quả
A.
Dãy số tăng, bị chặn trên. B. Dãy số tăng, bị chặn dưới.
C. Dãy số giảm, bị chặn. D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 24: Xét tính bị chặn của dãy số

11 1
...
1.3 2.4 2
n
u
nn

, ta thu được kết quả
A.
Dãy số bị chặn. B. Dãy số không bị chặn.
C. Dãy số bị chặn trên. D. Dãy số bị chặn dưới.
Câu 25: Xét tính tăng, giảm của dãy số
1
3
3
1
1
1, 1
nn
u
uun

, ta thu được kết quả
A.
Dãy số tăng. B. Dãy số giảm.
C. Dãy số không tăng, không giảm. D. Cả A, B, c đều sai.
Câu 26: Cho dãy số
n
u biết
1
1
1
.
1
1
2
nn
u
uu

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
Dãy số
n
u bị chặn. B. Dãy số
n
u bị chặn trên.
C.
Dãy số
n
u bị chặn dưới. D. Dãy số
n
u không bị chặn.
Câu 27: Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn?
A. Dãy
,
n
a
với
3*
,.
n
annn B. Dãy
,
n
b
với
2*
1
,.
2
n
bn nn
C.
Dãy
,
n
c với
*
23, .
n
n
cn 
D. Dãy
,
n
d với
*
3
3
,.
2
n
n
dn
n

Câu 28: Cho dãy số
n
u biết
22 2
11 1 1
...
22 3
n
u
n
 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
Dãy số
n
u bị chặn dưới. B. Dãy số
n
u bị chặn trên.
C.
Dãy số
n
u bị chặn. D. Dãy số
n
u không bị chặn.
Câu 29: Cho dãy số
n
u
biết sin cos
n
uanb n. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
Dãy số
n
u không bị chặn. B. Dãy số
n
u bị chặn.
TOANMATH.co
m
Trang 25
C. Dãy số
n
u bị chặn dưới. D. Dãy số
n
u bị chặn trên.
Câu 30: Cho dãy số
n
u , biết
*
1
2
2,
nn
u
uun

. Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số
n
u ?
A.
Dãy số
n
u giảm và bị chặn. B. Dãy số
n
u giảm và không bị chặn.
C. Dãy số
n
u
tăng và bị chặn. D. Dãy số
n
u
tăng và không bị chặn.
Dạng 4. Tính tổng của dãy số
Phương pháp giải
Tính tổng của dãy số cách đều
Giả sử cần tính tổng
12
...
n
S
aa a
Trong đó
1nn
aa d

Ta có
111
2 ...
nn n
S
aa aa naa
Từ đó suy ra
1
.
2
n
na a
S
Công thức tính:
+ Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là
1
1
n
uu n d
với d là khoảng cách giữa 2 số
hạng liên tiếp.
+ Số số hạng = (số hạng cuối – số hạng đầu) :
(khoảng cách) + 1.
+ Tổng = (số hạng đầu + số hạng cuối) x (số số
hạng) : 2.
Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử
liên tiếp
Bước 1:
Ta tìm cách tách
1122 23
; ;...abbabb
Bước 2: Rút gọn
1223 1 1 1
...
nn n
Sbb b b b b bb

 
+ Một số công thức tách thường sử dụng

11a
nn a n n a


;
Ví dụ 1: Tính tổng 1 3 5 ... 2021S 
Hướng dẫn giải
Ta có
2 1 2021 3 2019 5 2017 ...S 
2021 1 2022.2021
Vậy
2022.2021
2043231.
2
S

Ví dụ 2: Tính tổng
222 2
...
1.3 3.5 5.7 97.99
S

Hướng dẫn giải
Ta có
211211
; ;...
1.3 1 3 3.5 3 5

Do đó
1111 1 1 1 98
... 1
1 3 3 5 97 99 99 99
S

TOANMATH.co
m
Trang 26
 
 


 



2
22
2
2
211
;
22
211
;
.! 1! !
a
nnan a nna nan a
na a
n
nna na
nn n n
Bước 3: Nhận định kết quả của tổng là
11n
S
bb

Tính tổng bằng cách đưa về các tổng đã biết
Tìm cách tách
123
...
n
SSSS trong đó
123
; ; ...SSS
đã biết công thức tính tổng.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1:
Cho tổng

111 1
... .
1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2
n
S
nn n


Tính
100
S
Hướng dẫn giải
Ta có
2.1 1 1 2.1 1 1
; ;...
1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4

Suy ra

1111 1 1
2 ...
1.2 2.3 2.3 3.4 1 1 2
n
S
nn n n




3
11
1.2 1 2 2 1 2
nn
nn nn

 
Vậy

100
3
2575
.
4 1 2 10302
n
nn
SS
nn


Ví dụ 2: Cho
1.2 3.4 5.6 ... 2 1 .2
n
S
nn
. Tính
100
S
biết rằng

222 2
11
12 1
2 2 4 6 ...2 1 ; 1 2 3 ...
6
nn
ii
nn n
innni n




Hướng dẫn giải
Ta có


22
11 11
22 1 4 2 4 2
nn nn
n
ii ii
S
ii i i i i





100
4121 141
1
63
100. 100 1 4.100 1
1343300
3
nn n nn n
nn
S
 



Ví dụ 3: Cho tổng
1.4 2.7 3.10 ... 3 1
n
Snn
với
*
n . Biết 294
k
S và
222 2
11
1121
1 2 3 ... ; 1 2 3 ...
26
nn
ii
nn nn n
ini n


 

Tính giá trị của k.
TOANMATH.co
m
Trang 27
Hướng dẫn giải
Ta có


22
11 11
31 3 1 3
nn nn
n
ii ii
S
ii i i i







2
2
32
2
3121 1
1
62
1 294 2 294
68490 6.
k
nn n nn
nn
Skk k kk
kkk k


 
 
Ví dụ 4: Cho
111 1
1 1 1 ... 1
248 2
n
n
S




. Tính S
10
.
Hướng dẫn giải
Ta có
23
11 1 1
...
22 2 2
n
n
Sn




Đặt
23 2 1
11 1 1 11 1
... 2 1 ...
22 2 2 22 2
nn
MM
 
21 23
10
10 10
11 1 11 1 1 1
2 1 ... ... 1
22 2 22 2 2 2
111
11019
222
nnn
n
n
MM M
Sn S




 
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Cho tổng
2 4 6 ... 2
S
nn . Khi đó S
30
bằng
A. 900. B. 930. C. 901. D. 830.
Câu 2: Cho tổng


111 1
...
1.2 2.3 3.4 1
Sn
nn

. Khi đó công thức tính tổng S(n) là
A.

.
2
n
Sn
n
B.

.
1
n
Sn
n
C.

2
.
1
n
Sn
n
D.

.
2
n
n
Sn
Câu 3: Cho tổng


222 2
357 21
... .
1.2 2.3 3.4
1
n
n
S
nn



Giá trị S
10
là
A. 1. B.
121
.
120
C.
119
.
121
D.
120
.
121
w
Câu 4: Tổng sin sin 2 ... sinSx x nx (với
)xk
có công thức thu gọn là
A.
21
cos cos
22
.
2sin
2
xn
x
S
x
B.
21
cos cos
22
.
2sin
2
xn
x
S
x
C.
21
cos cos
22
.
2cos
2
xn
x
S
x
D.
21
cos cos
22
.
2cos
2
xn
x
S
x
TOANMATH.co
m
Trang 28
Câu 5: Tổng

*
11 1 1
... ,
1.4 4.7 7.10 3 2 3 1
n
Sn
nn


có công thức thu gọn là
A.
3
.
31
n
n
S
n
B. .
31
n
n
S
n
C. .
31
n
n
S
n
D. .
32
n
n
S
n
Câu 6: Tổng
1.3 2.5 3.7 ... 2 1
n
Snn có công thức thu gọn là
A.
14 1
.
4
nn n
B.
14 5
.
6
nn n
C.
14 5
.
4
nn n
D.
14 1
.
6
nn n
Câu 7: Tổng
100
23 100
11 1 1
4.5 . ... 1
55 5 5
S




có kết quả bằng
A.
100
51. B.
100
5. C.
101
51. D.
101
5.
Câu 8: Tổng
222 2
...
1.3 3.5 5.7 97.99
S 
có kết quả bằng
A.
99
.
98
B.
90
.
99
C.
98
.
99
D. 1.
Câu 9: Cho
21
1 2.3 3.3 ... .3
n
n
Sn
 . Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?
A.
311
3.
42
n
n
n
S
 B.
31
3.
42
n
n
n
n
S

C.
31
3.
42
n
n
n
n
S

D.
31
3.
42
n
n
n
n
S

TOANMATH.co
m
Trang 29
ĐÁP ÁN
BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC, DÃY SỐ
Dạng 1. Quy nạp toán học
1-B 2-D 3-C 4-C 5-D 6-B 7-D 8-A 9-B 10-B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Chọn B
Mệnh đề A(n) đúng với nk với kp
Câu 2. Chọn D
Lập luận hoàn toàn đúng.
Câu 3. Chọn C
() :Ik A số nguyên dương k thuộc tập A.
() 1 , :II n A n A n k nếu số nguyên dương
nnk thuộc tập A thì số nguyên dương đứng
ngay sau nó
1n cũng thuộc A. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.
Câu 4. Chọn C
Bước 1 sai, vì theo bài toán np nên ta phải chứng minh rằng A(n) đúng khi np .
Bước 2 sai, không thể “Với số nguyên dương tùy ý k” mà phải là “Với số nguyên dương
,kkp
”.
Câu 5. Chọn D
Thử với 1, 2, 3nn n ta kết luận được đáp án D sai.
Ta có

2
222
2121
2 4 6 ... 2
3
nn n
n


mới là kết quả đúng.
Câu 6. Chọn B
Ta có
123
123
,,
234
SSS
dự đoán
1
n
n
S
n
Với
1,n ta được
1
11
1.2 1 1
S 
(đúng)
Giả sử mệnh đề đúng khi
1nkk, tức là

11 1
...
1.2 2.3 1 1
k
kk k


Ta có

11 1
...
1.2 2.3 1 1
k
kk k


TOANMATH.co
m
Trang 30
 
 

2
11 1 1 1
...
1.2 2.3 1 1 2 1 1 2
11 1 1 21
...
1.2 2.3 1 1 2 1 2
11 1 1 1
...
1.2 2.3 1 1 2 2
k
kk k k k k k
kk
kk kk kk
k
kk k k k







Suy ra mệnh đề đúng với
1nk
Câu 7. Chọn D
Ta có
2
1234
1 1 2; 3; 4;...
n
nn n
uu u u u u
 
Dễ dàng dự đoán được
.
n
un
Thật vậy, ta chứng minh được
(*)
n
un
bằng phương pháp quy nạp như sau
Với
1
11nu . Vậy (*) đúng với 1n .
Giả sử (*) đúng với
*
nkk , ta có
k
uk
Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với
1nk, tức là
1
1
k
uk

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số
n
u ta có
2
1
11
k
kk
uu k

Vậy (*) đúng với mọi
*
n
. Số hạng tổng quát của dãy số là
.
n
un
Câu 8. Chọn A
Ta có
121 32
2
13 1 3
3; ; ;...
22 22
uu u uu
Ta đi chứng minh cho dãy số có số hạng tổng quát là
1
3
2
n
n
u
Thật vậy,
1n
thì
1
3u (đúng).
Giả sử với
1nkk
thì
1
3
2
k
k
u
. Ta đi chứng minh
1
3
2
k
k
u
Ta có
1
1
1133
.
2222
kk
kk
uu
 (điều phải chứng minh).
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là
1
3
2
n
n
u
Câu 9. Chọn B
Chứng minh
2
221(1)
n
nn
uv
Ta có
2
22
11 111 1
2222 2
nnnn nnn n
uvuv uvu v
 

Mặt khác
2
11
2322 21uv nên (1) đúng với
1n
TOANMATH.co
m
Trang 31
Giả sử
2
221
k
kk
uv
, ta có


221
11
2221
k
kk k
uvuv
Vậy (1) đúng với
1n
Ta có

2
221
n
nn
uv
Do đó ta suy ra
















22
22
22
22
1
21 21
22121
2
1
22 2 1 2 1
21 21
22
nn
nn
nn
nn
n
n
n
n
u
u
v
v
Câu 10. Chọn B
Do
0 
nên
22
23
1cos
1cos
2
cos cos ; cos cos
222224
uu
 

Vậy
1
cos
2
n
u



với mọi
*
n . Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
Với
1n
thì
1
cosu 
(đúng).
Giả sử với
*
nk ta có
1
cos
2
k
k
u



. Ta chứng minh
1
1
cos
2
k
k
u



Thật vậy
1
2
1
1cos
1
2
cos cos
22 22
k
k
k
kk
u
u



 


 
 
Từ đó ta có
2020
2019
cos
2
u



Dạng 2. Tìm số hạng và xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số
1-C 2-B 3-A 4-D 5-C 6-C 7-B 8-A 9-C
10-A 11-B 12-D 13-A 14-C 15-D 16-C 17-C 18-A
19-B 20-A 21-B 22-A 23-A 24-B 25-C
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
Câu 1. Chọn C
Ta có
32 1 1
2 3 2. 2 3 3 4 9 4.7 9 37.uu u u
Câu 2. Chọn B
Ta có
2
7922 7921 1 89 1 89n
Câu 3. Chọn A
Giả sử
*
19
n
un
TOANMATH.co
m
Trang 32
Suy ra
22
5
119 200 5
4
n
nn nn n
n


(do
*
n
).
Vậy số -19 là số hạng thứ 5 của dãy.
Câu 4. Chọn D
Ta có
2
11
11 2.11 1 71
11 1 6
u


Câu 5. Chọn C
Từ

1
*
1
2
5,
nn
u
uu n
, ta có
1
5
nn
uu

dãy
n
u
là một cấp số cộng với công sai 5d nên
10 1
9 2 45 47uud
Câu 6. Chọn C
Ta có 8 7.1 1;15 7.2 1;22 7.3 1;29 7.4 1;36 7.5 1  
Suy ra số hạng tổng quát
71
n
un
Câu 7. Chọn B
Ta có
01 12 23 34 4
0; ; ; ;
012 113 214 315 41


Suy ra
.
1
n
n
u
n
Câu 8. Chọn A
Ta có
2019
2.2019 1 4039u 
Câu 9. Chọn C
Ta có

167 2 1 167
84 2 1 167 2 250
84 2 84
n
n
unn
n
 
Vậy
167
84
là số hạng thứ 250 của dãy số
n
u
Câu 10. Chọn A
Ta có

22
1
.1 1
11 2
n
an an
u
nn



Câu 11. Chọn B
Ta có

1
5 1 2 3 ... 1 5
2
n
nn
un
Câu 12. Chọn D
TOANMATH.co
m
Trang 33
  
  
  

21 32 43
54 65 76
87 98 109
11 10
11 2 33
1; 11; 1;
22 3 42
4556
12; 1 ; 13;
5627
77 8 19
1; 14; 1;
82 9 22
10
15;
11
uu uu uu
uu uu uu
uu uu u u
uu


  

Câu 13. Chọn A
Ta có
12132 43 1
1; 3; 5; 7;...; 2 1
nn
uuuuu uu uu n

Cộng từng vế với vế của các đẳng thức trên và rút gọn ta được

2
1 3 5 7 ... 2 1 .
n
unn
Câu 14. Chọn C

1
2
3
4
1;
12 11.2;
122 12.2;
1222 13.2;
...
1 2 ... 2 1 1 .2
n
u
u
u
u
un
 
 
 
 
Chứng minh quy nạp ta được
21.
n
un
Câu 15. Chọn D
Ta có
1
21
32
1
1
2
2
2
...
2
nn
u
uu
uu
uu

.
Nhân vế với vế của các đẳng thức trên, ta được
12
123 12 1
1
. . ... .2 . . ... 2
2
nn
nnn
uuu u uu u u

.
Câu 16. Chọn C
Ta có
123
345
;;;
234
uuu  
… suy ra được
1
.
n
n
u
n

Câu 17. Chọn C
Ta có

1
2
21
2
32
2
1
1
1
2
...
1
nn
u
uu
uu
uu n



TOANMATH.co
m
Trang 34
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được

2
22
12
1 1 2 ... 1 1
6
n
nn n
un

 
Câu 18. Chọn A
22
112
5
1113
k
kk
uk
kk



(do
*
k ).
Câu 19. Chọn B
Ta có
1
21
32
49 48
50 49
1
2
2
4
...
2.49
2.50
u
uu
uu
uu
uu




Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được

50
11
2 2 3 ... 50 2 25.51 1 2548,5
22
u  
.
Câu 20. Chọn A
Ta có
Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0;
Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0;
Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0;
…
Suy ra
n
u có n chữ số 0.
Công thức số hạng tổng quát của dãy số là
ch÷ sè 0
1
0,00...01
10
n
n
n
u 

Câu 21. Chọn B
Ta có
4
5
5
3
5432 14354
143
,
24 96 96
n
n
n
nnnn nn
P
c
P
 

4 *
5
5
3
5421727
143
0, 4,
96 96
n
nn
n
nn n n
P
xC n n
P


Vậy các số hạng âm là
123
;;xxx.
Câu 22. Chọn A
Ta có
1
21
32
1
2
2.2 1;
2.3 1;
...
2. 1
nn
u
uu
uu
uu n



TOANMATH.co
m
Trang 35
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được
 
2
2 2. 2 3 ... 1 2 1 2 1 1
n
unnnnnn
Câu 23. Chọn A
Ta có
21
1
11
n
nn n
uu u
 
12132 1
1; 1; 1;...; 1
nn
uuuuu uu

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được
112.
n
un n
Câu 24. Chọn B
Ta có
12
23
22cos 2cos ; 2 22cos 2cos
42 82
uu
 

Dự đoán
1
2cos
2
n
n
u
Chứng minh theo quy nạp ta có:
1
2cos 2
4
u

, công thức (1) đúng với n = 1.
Giả sử công thức (1) đúng với
,1nkk ta có
1
2cos
2
k
k
u
Ta có






2
1
1222
2 2 2cos 2 1 cos 4 cos 2cos
2222
kk
kkkk
uu
(vì
2
0
22
k


với mọi 1k ).
Suy ra công thức (1) đúng với
1nk
Vậy
*
1
2cos ,
2
n
n
un

. Suy ra
2018
2019
2cos
2
u
Câu 25. Chọn C
Ta có

1
3
21
3
333
32
3
1
1
1
2 1 1 2 ... 1
...
n
nn
u
uu
uu u n
uun

 

Ta lại có


2
32
33
1
1 2 ... 1 1 2 3 ... 1
2
nn
nn




Suy ra

2
1
1
2
n
nn
u




Theo giả thiết ta có

1
2020
1 2039190 2039190 1 4078380
2 2019
n
nn
n
unn
n


Mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên n = 2020.
TOANMATH.co
m
Trang 36
Dạng 3. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
1-A 2-C 3-A 4-C 5-A 6-A 7-A 8-D 9-C 10-C
11-B 12-B 13-D 14-C 15-B 16-C 17-D 18-B 19-B 20-B
21-D 22-C 23-C 24-A 25-A 26-A 27-D 28-C 29-B 30-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Chọn A
1
sin
1
n
u
n
nên B đúng.
Do
1sin 1
n

nên dãy số bị chặn, do đó C đúng.
12 3
3
sin 0, sin 1, sin
232
uu u


. Do
12
23
uu
uu
nên dãy số không tăng, không giảm.
Vậy
D đúng. Do đó A sai.
Câu 2. Chọn C
Ta xét đáp án A:
1
12
2
1
2
22
4
n
n
u
n
uuu
u

Loại A
Ta xét đáp án B:
1
12
2
2
1
3
2
21
9
n
u
n
uuu
n
u

Loại B
Ta xét đáp án
C:
2
1
12
2
216
1
540
32 525
840
n
u
n
uuu
n
u



Chọn C
Ta xét đáp án D:

1
2
2123
3
0
21 43
88
n
n
u
unu uuu
u


Loại D
Câu 3. Chọn A
Ta có

1
*
1
2
2
55
0,
1
nn
nn
unu
n
n

Xét tỉ số

2
12 2 2 2
*
1
2
22 2
2121
5521421
.11,
521 21 21
1
n
n
n
n
nn n
u
nnnnnn
n
unnnn nn
n

 

  
Vậy
n
u là dãy số tăng.
TOANMATH.co
m
Trang 37
Câu 4. Chọn C
Xét đáp án A:
Ta có
1
32
;.
12
nn
nn
uu
nn



Khi đó

*
1
23 4
0,
21 11
nn
nn
uu n
nn nn



Vậy
n
u
là dãy số tăng.
Xét đáp án
B:
Ta có
1
1
;.
22
nn
nn
uu

Khi đó
*
1
11
0,
222
nn
nn
uu n

Vậy
n
u
là dãy số tăng.
Xét đáp án
C:
Ta có
 
22
*
1
1
22
22
22
;1,
11
n
nn
n
u
nn
uu n
nun
nn


Vậy
n
u là dãy số giảm.
Xét đáp án
D:
Ta có
123
11 1
;;
3927
uuu


Vậy
n
u
là dãy số không tăng, không giảm.
Câu 5. Chọn A
22
122( 0)nn n n don
Suy ra
2
2
1
1,
22
n
nn
u
nn



với mọi n.
Câu 6. Chọn A
Ta có
1
36 3 1639
nn
un u n n
 
Xét hiệu
*
1
39 3630,
nn
uu n n nN
 
Vậy
n
u là dãy số tăng.
Câu 7. Chọn A
Ta có
11
1
111
3131312.3231
0
22 2 2
nnn nn
nn
nn n n
uu




dãy
n
u là dãy số tăng.
Câu 8. Chọn D
Dãy số
1
n
n
un là dãy số không bị chặn vì lim lim
n
un
Câu 9. Chọn C
Nhận xét:
Mỗi số hạng thứ ba trở đi luôn bằng tổng của hai số đứng ngay trước nó. Đồng thời số hạng
đầu tiên và số hạng thứ hai của dãy là các số dương nên dễ thấy dãy số là một dãy tăng.
Câu 10. Chọn C
TOANMATH.co
m
Trang 38
Xét hiệu


111
11
nn n n nn
u u au au a u u
Áp dụng, ta có
21 2 21
11 1uau a u auua

2
32 21
3
43 32
1
;
;
...
0
n
nn
uu auu a
uuauu a
uua



Để dãy số
n
u
tăng thì
121
... 0
nn
uu uu a

Câu 11. Chọn B
Đáp án A, C dãy không tăng, không giảm.
Xét đáp án
B, ta có
*
1
222
10,
112
nnn
vvv n
nnn


nên
n
v
là dãy số tăng.
Câu 12. Chọn B
Vì cos 1n nên
.
n
un
Phát biểu (3) đúng.
Dãy không tăng, không giảm và không bị chặn dưới.
Vậy có 1 phát biểu đúng trong 3 phát biểu đã cho.
Câu 13. Chọn D
Ta có

*
1
2
1
,
10
nn
nuu
n


nên dãy số tăng. Phát biểu (1) đúng.
Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u
1
. Phát biểu (2) đúng.
Ta lại có
121 32 1
22 2
11 1
1; ; ;
23
nn
uuu uu uu
n

Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được
1
22 2
11 1
... (*)
23
n
uu
n

Mặt khác

2
1 1 11 1111 11
(*) 1 ...
11 1223 1
n
u
nnn n n n n


*
11
12,
1
n
un
n

Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.
Câu 14. Chọn C
Xét hiệu

1
1
nn
ad bc
uu
cn dcn d




. Dãy số
n
u là dãy số tăng khi 0ad bc
Mà
0cdnên chỉ có điều kiện ở đáp án C để 0ad bc.
Câu 15. Chọn B
Ta có
1 *
1
2 12 2.221210,
nnnnn
nn
aa n n n
 
Vậy
n
a là dãy số tăng.
TOANMATH.co
m
Trang 39
Câu 16. Chọn C
*
1
01 2,n
n

nên dãy số xác định bởi
1
1
n
a
n

là một dãy bị chặn.
2
2*
1
1210,
nn
aan n n n
 nên dãy số xác định bởi
2
n
an là dãy tăng.

2
2*
1
111 210,
nn
aa n n n n

nên dãy số xác định bởi
2
1
n
an là dãy số giảm
và không bị chặn dưới.
123
14 9aaa 
nên dãy số xác định bởi
2
1
n
n
an
là dãy không tăng không giảm.
Câu 17. Chọn D
Xét hiệu
21 1 1 1
11
nn n nn nn
uuau auu a uu

 
 

32 21
2
43 32
1
1
11;
11;
...
10
n
nn
uu a uu a
uu a uu a
uua



Để dãy số
n
u tăng suy ra
10 1aa
Câu 18. Chọn B
Ta có
1
1
11
.
515
nn
nn
uu
n
uu
nn n

Đặt
,1.
n
n
u
vn
n

Suy ra
n
v là cấp số nhận có công bội
1
5
q
và
1
.
5
v
Ta có
1
11
1
1
11 151
5
..
1
15 45
1
5
n
nn
nn
k
kn
n
kk
u
q
S
vv T
kq







Do
0, 1
n
vn nên (T
n
) là dãy tăng. Suy ra
2018
2018
2018
51
2018
4.5
n
TTn

Câu 19. Chọn B
Ta có




1
22
11
0
1
111
nn
uu
nn
nn
Vậy dãy
n
u là dãy số giảm.
Câu 20. Chọn B
Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh

1
0
nn
uu bằng quy nạp toán học.
Từ giả thiết suy ra
*
0, .
n
un
Ta có

21
53
20
44
uu
TOANMATH.co
m
Trang 40
Giả sử:
1
0, 1
kk
uu k

Xét hiệu

22
1
21 1 1
11
1
0
444
kk
kk kkkk
uu
uu uuuu



Theo nguyên lí quy nạp suy ra
*
1
0,
nn
uu n

Vậy dãy số
n
u là dãy số giảm.
Câu 21. Chọn D
Ta có
2,
nn
unu bị chặn dưới; dãy
n
u không bị chặn trên.
Câu 22. Chọn C
Ta có
 
11
1
222 !2
:.1,1
1! ! 1! 2 1
nnn
n
n
n
u
n
n
un nn n



Mà
0,
n
un nên
1
,1
nn
uun
 dãy

n
u là dãy số giảm.
Vì
1
02,1
n
uu n nên dãy
n
u
là dãy bị chặn trên.
Câu 23. Chọn C
Ta có
0, 1
n
un

22
*
1
1
2
2
11
1, , 1
33
111
n
nn
n
u
nn nn
nuun
unn
nn
 



dãy
n
u là dãy số giảm.
Mặt khác
01
n
u
dãy
n
u
là dãy bị chặn.
Câu 24. Chọn A
Ta có

11 1 1
0 ... 1 1
1.2 2.3 . 1 1
n
u
nn n


Dãy
n
u bị chặn.
Câu 25. Chọn A
Ta có

33*
33
11
1,
nn nnn n
uu uuun u

 là dãy số tăng.
Câu 26. Chọn A
Ta dự đoán dãy số này bị chặn.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp
*
21,
n
un
Với n = 1 ta có
1
21u
(đúng).
Giả sử mệnh đề trên đúng với
1nk. Tức là 21
k
u
1
11 1 1
12121
22 2 2
kk k
uu u
   
Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được
*
21,
n
un
Vậy
n
u là dãy số bị chặn.
TOANMATH.co
m
Trang 41
Câu 27. Chọn D
Xét dãy
n
a có
3*
0,
n
ann n  nên dãy số
n
a bị chặn dưới.
Xét dãy
n
b
có
2*
1
0,
2
n
bn n
n

nên dãy số
n
b
bị chặn dưới.
Xét dãy
n
c có
*
23,
n
n
cn  nên dãy số
n
c không bị chặn.
Xét dãy
n
d có
*
2
3
,
2
n
n
dn
n

.
Ta có
 
2
3*3
2
3
32 1 20, 23 0 1
2
n
n
nn n n n n n d
n
 
bị chặn.
Câu 28. Chọn C
Xét

2
11 11
,2
11kkkk k


Suy ra
*
11111111 11313 3
1...0,
22233456 1 22 2
n n
u un
nn n

 


Vậy dãu số
n
u bị chặn.
Câu 29. Chọn B
Xét
sin cos
nn
uanbnab abuab
Vậy dãy số
n
u bị chặn.
Câu 30. Chọn C
Ta có
12 3
2; 2 2 ; 2 2 2 ;...; 2 2 2 ... 2
n
uu u u  
Do
1
0
nn
uu
 nên
n
u là dãy số tăng.
Lại có
22
n
u
suy ra dãy số bị chặn.
Dạng 4. Tính tổng của dãy số
1-B 2-B 3-D 4-A 5-C 6-C 7-B 8-C 9-B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Chọn B
Ta có
30
2 4 6 ... 60S 
30
2 2 60 4 58 6 56 ... 60 2S  (có 30 ngoặc đơn)
30
260.30
930
2
S

Câu 2. Chọn B
TOANMATH.co
m
Trang 42


111 1 1111 1111 1
... ... 1
1.2 2.3 3.4 1 1 2 3 4 1 1 1 1
n
Sn
nn n n n n n n


Câu 3. Chọn D
Cách 1:
Ta có
 
22
311511
; ;...
14 49
1.2 2.3

Suy ra


22
2
2
1111 1 1
...
1449
11
n
nn
S
n
nn


Vậy

10
2
10 10 2
120
.
121
10 1
S

Cách 2:
Ta có
 
10
222 2
357 21
...
1.2 2.3 3.4 10.11
S 
Suy ra
10
22 2
1 1 1 1 1 1 1 1 120
... .
1 4 4 9 10 11 1 11 121
S 
Câu 4. Chọn A
Ta có 2 sin . 2sin .sin 2 sin 2 .sin .. 2sin .sin
222 2
xxx x
Sx x nx
33 5 2121 21
cos cos cos cos ... cos cos cos cos
22 2 2 2 2 2 2
xxx x n n xn
xxxx x

 
Vậy
21
cos cos
22
2sin
2
xn
x
S
x
Câu 5. Chọn C
11111111 11 11
1 ... 1
3 4 47 710 1013 3 23 1 3 3 1 3 1
n
n
S
nn n n








Câu 6. Chọn C


22
11 11
2121 1 145
21 2 1 2
626
nn nn
n
ii ii
nn n nn nn n
Sii i ii

 


Câu 7. Chọn B
Đặt
23 100
11 1 1
...
55 5 5
M 
Ta có
299
11 1
5 1 ...
55 5
M 
2 99 2 3 100 100
11 1 11 1 1 1
5 1 ... ... 1
55 5 55 5 5 5
MM

 


TOANMATH.co
m
Trang 43
100 100
100 100
100 100 100
151 51
41 4.5. 15
54.5 4.5
MMS


Câu 8. Chọn C
Ta có
211211
; ;...
1.3 1 3 3.5 3 5

Do đó
1111 1 1 1 98
... 1
1 3 3 5 97 99 99 99
S 
Câu 9. Chọn B
Ta có
23
3 3 2.3 3.3 ... .3
n
n
Sn
Từ đó
21
31 31
2 1 3 3 ... 3 .3 2 .3 .3
242
nn
nn n n
nnn
n
SnSnS

  
| 1/43
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. DÃY SỐ Mục tiêu Kiến thức
+ Biết được thứ tự các bước giải toán bằng phương pháp quy nạp.
+ Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, tính chất đơn điệu và bị chặn của dãy số.
+ Nắm được phương pháp giải các dạng bài tập của dãy số như tìm số hạng tổng quát, xét tính
tăng, giảm và bị chặn. Kĩ năng
+ Chứng minh được các bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học.
+ Biết cách xác định dãy số.
+ Xét được tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số.
+ Tính được tổng của một dãy số.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Phương pháp quy nạp toán học
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n)
Để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi giá trị nguyên đúng với mọi số nguyên dương n p thì:
dương n, ta thực hiện như sau:
+) Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
+) Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương nguyên dương bất kì n k p và phải chứng
n = k tùy ý k  
1 , chứng minh rằng mệnh đề đúng với minh mệnh đề đúng với n k 1 n k  1 . Dãy số
a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên *  được gọi là
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). * u :    Kí hiệu:
n u n.
Dạng khai triển: u ;u ;u ;...;u ;... 1 2 3 n Trong đó ta gọi: u
1 là số hạng đầu, un = u(n) là số hạng thứ n
hay số hạng tổng quát của dãy số.
b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M  1;2;3;...;  m với * m  
c) Các cách cho một dãy số:
Ví dụ 1: Cho dãy (un) với 2
u  3n n 1 n
Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.
Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định bởi
Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay quy nạp): Trang 1
 Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu). u   1  1  n   1 3
 Với n  2 , cho một công thức tính u u   u  2n
k nếu biết uk-1 n 1  n
(hoặc vài số hạng đứng ngay trước nó).
Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) bán kính R. Cho
Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy dãy (un) với un là độ dài cung tròn có số đo là số.
2 của đường tròn (O). n
Dãy số tăng, dãy số giảm
a) Dãy số (un) được gọi là tăng nếu uu với mọi * n   n 1  n u *
u u  0, n    hay n 1 *  1, n    u  0 nn 1  n un
b) Dãy số (un) được gọi là giảm nếu uu với mọi * n   n 1  n u *
u u  0, n    hay n 1 *  1, n    u  0 nn 1  n un Dãy số bị chặn
a) Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho *
u M , n    . n
b) Dãy số (un) được gọi bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho * u  , m n    n
c) Dãy số (un) được gọi bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị
chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho *
m u M , n    . n
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1:Quy nạp toán học Phương pháp giải
Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số n  2 , ta luôn có n 1 2   2n  3 (*)
tự nhiên n đúng với mọi (
n n n là só tự nhiên o o
Hướng dẫn giải:
cho trước), ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n n      o Với n = 2 ta có 2 1 2 2.2 3 8 7 (đúng). Vậy
(*) đúng với n = 2.
Bước 2: Giả sử P(n) đúng khi n k k n (xem Giả sử với ,
n k k  2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có o k 1 
đây là giả thiết để chứng minh bước 3). 2  2k  3 (1)
Bước 3: Ta cần chứng minh P(n) đúng khi Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có n k 1
nghĩa ta phải chứng minh k2 2  2(k 1)  3
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được TOANMATH.com Trang 2 k 1  k 2 2.2  2(2k  3)  2
 4k  6  2(k 1)  3 Vậy k2 2  2k   1  3 (đúng).
Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết Do đó theo nguyên lí quy nạp (*) đúng với mọi số
luận rằng P(n) đúng với mọi n n o
nguyên dương n  2. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 
  n n   nn  2 1.4 2.7 ... (3 1) 1 (1)
Hướng dẫn giải
Với n = 1, ta cóVT   VP    2 (1) 1.4 4; (1) 1. 1 1  4
Suy ra VT(1) = VP(1) với n = 1.
Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k Khi đó ta có 
  k k    k k  2 1.4 2.7 ... 3 1 1
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 hay 
  k k    k   k    k  k  2 1.4 2.7 ... 3 1 1 3 4 1 2
Thật vậy 1.4  2.7  ... k 3k   1  k  
1 3k  4  k k  2 1  k   1 3k  4   kk 2 1
 k  k  2 1
2 (điều phải chứng minh).
Vậy (1) đúng khi n k 1
Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2 , ta có n 2 n 1 3n  2 2 3 4 2  
1.2  2.3  3.4  ...  n   1 n  (1) 12
Hướng dẫn giải 2.3.8 Với n = 2, ta có 2
VT (1)  1.2  4; VP(1)   4 12
Suy ra VT(1) = VP(1) với n = 2.
Vậy (1) đúng với n = 2.
Giả sử (1) đúng với n = k. Khi đó ta có k  2 k 1 3k  2 2 3 4 2  
1.2  2.3  3.4  ...  k   1 k  12
Ta phải chứng minh (1) đúng với n k 1. Có nghĩa ta phải chứng minh TOANMATH.com Trang 3
k  1 k  2
1 1 3 k 1  2 2   2 3 4 2   
1.2  2.3  3.4  ...  k  
1 k k k   1  12
k  1 2k  2k 3k 5 2 2 3 4 2  
 1.2  2.3  3.4 ... k  
1 k k k   1  12 Thật vậy  
  k   k k k  2 2 3 4 2 1.2 2.3 3.4 ... 1 1 k  2 k   1 3k  2 k k   1  2 3k 11k 10 2  
k k   1  12 12 k k  
1 k  23k  5 k   2
1 k  2k 3k  5  
(điều phải chứng minh) 12 12
Vậy (1) đúng khi n k 1.
Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n  2
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 1 1 1 nn  3   ... 
nn  n  
n  n   (1) 1.2.3 2.3.4 1 2 4 1 2
Hướng dẫn giải 1 1.4 1
Với n = 1, ta có VT (1)  ;VP(1)   6 4.2.3 6
Suy ra VT(1) = VP(1) khi n = 1.
Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k. Khi đó ta có 1 1 1 k k  3   ...  1.2.3 2.3.4 k k  
1 k  2 4k   1 k  2
Ta phải chứng minh (1) đúng với n k 1. Có nghĩa ta phải chứng minh 1 1 1 1
k  1k  4   ...   1.2.3 2.3.4 k k  
1 k  2 k  
1 k  2k  3 4k  2k  3 1 1 1 1 Thật vậy   ...  1.2.3 2.3.4 k k  
1 k  2 k  
1 k  2k  3
  kk 3
 4k 1k2 k k  3 1 1  4     k k   4k
1k 2 k 1k 2k 3 4k 1k 2  3  k 3         
k  6k  9k  4 k  2 3 2 1 k  4   4k  
1 k  2k  3 4k  
1 k  2k  3
k  1k  4 (điều phải chứng minh).
4k  2k  3
Vậy (1) đúng khi n k 1. TOANMATH.com Trang 4
Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2, ta có 1 1 1 13   ...  (1) n 1 n  2 n n 24
Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Đặt u   ...  n n 1 n  2
n  n   1 n n 1 1 7 13
Với n = 2 ta có u     (đúng) 2 2 1 2  2 12 24 1 1 1 13
Giả sử với n = k thì (1) đúng, có nghĩa ta có   ...  k 1 k  2 k k 24
Ta phải chứng minh (1) đúng với n k 1, có nghĩa ta phải chứng minh 1 1 1 1 13  ...   k  2 k  3
k k k   1  k   1 24 Thật vậy, xét hiệu 1 1 1 1 1  1 1 1   ...         k k k k k
k   k   ... 2 3 2 1 1 1
k 1 k  2 k k  1 1 1 1 1 1 1 1          k
k  k   k k  k   0 2 1 1 1 1 2 1 2 1
k 1 2k 1 2k  2 Suy ra 1 1 1 1 1 1 1 1  ...       k k k k k
k   k   ... 2 3 2 1 1 1 k 1 k  2 k k 13 Do đó uu
. Vậy (1) đúng với n k 1. k 1  k 24
Suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương n  2 nn  3
Ví dụ 5: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh n  4 là . 2
Hướng dẫn giải n n  3 Đặt S n    2
Khi n = 4, ta có S(4) = 2. Suy ra mệnh đề đúng với n = 4. TOANMATH.com Trang 5 k k  3
Giả sử mệnh đề đúng khi n k  4 , tức là S k     2
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k +1, tức là chứng minh  
S k   k 1k 2 1  2
Thật vậy, ta tách đa giác k  
1 cạnh thành đa giác k cạnh và tam giác A A A bằng cách nối đoạn A A . 1 k k 1  1 k
Khi đó trừ đi đỉnh A và 2 đỉnh kề với nó là A
k    k  đỉnh, tương ứng với k 1 
1, Ak thì ta còn lại   1 3 2
(k – 2) đường chéo kẻ từ đỉnh A cộng với đường chéo A A thì ta có số đường chéo của đa giác k 1  1 k 2  k k  3 k k  3 k k  2 k 1 k  2 k  
1 cạnh là S k     1   k  2      1   k 1   2 2 2 2
 mệnh đề đúng khi n k 1.
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi *
n   ,n  4 .
Ví dụ 6: Chứng minh rằng mọi n – giác lồi n  5 đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.
Hướng dẫn giải
Khi n = 5, ta có một ngũ giác lồi nên mệnh đề đúng với n = 5.
Giả sử mệnh đề đúng khi n k  5 , tức là ta có k – giác lồi được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n k 1, tức là chứng minh mọi k  
1  giác lồi đều được chia
thành hữu hạn các ngũ giác lồi.
Thật vậy, trên các cạnh A A và A A ta lấy các điểm E, F không trùng với các đỉnh. Khi đó đoạn EF 1 k 1  3 4 chia k  
1  giác lồi thành 2 đa giác lồi, đó là ngũ giác lồi A A A FE và k – giác lồi EFA A ...A . 1 2 3 4 5 k 1 
Theo giả thiết quy nạp thì k – giác lồi EFA A ...A sẽ được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi đồng thời ta 4 5 k 1 
có thêm một ngũ giác lồi A A A FE nên k  
1  giác lồi sẽ được chia thành hữu hạn các ngũ giác lồi 1 2 3
 mệnh đề đúng khi n k 1.
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi *
n   n  4
Ví dụ 7: Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu 9n u
1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n n
thì un luôn chia hết cho 8.
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 6 Ta có 1
u  9 1  8 chia hết cho 8 (đúng) 1 Giả sử
u  9k 1 chia hết cho 8 k Ta cần chứng minh k 1 u
 9  1 chia hết cho 8 k 1  Thật vậy, ta có k 1 u
 9  1  9.9k 1  9 9k 1  8  9u  8 k 1    k
Vì 9u và 8 chia hết cho 8 nên u chia hết cho 8. k k 1 
Theo quy nạp với mọi số nguyên dương n, un chia hết cho 8.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi *
n   , nn  
1 n  2n  3n  4 chia hết cho 120.
Hướng dẫn giải
Trước hết chứng minh bổ đề “Tích của hai số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8”.
Thật vậy, với n là số nguyên thì 2n và 2n  2 là hai số chẵn liên tiếp.
Khi đó 2n 2n  2  4nn   1
Mà n n  
1 là tích hai số nguyên liên tiếp nên nn   1 2
Suy ra 4nn   1 8
Đặt P n  nn  
1 n  2n  3n  4
Khi n  1, ta có P   1  120 120 
. Suy ra mệnh đề đúng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng với n k  1, tức là
P k   k k  
1 k  2k  3k  4 120 
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n k 1, tức là chứng minh P k   1  k  
1 k  2k  3k  4k  5 1  20 Thật vậy, ta có P k   1  k  
1 k  2k  3k  4k  5
k k  
1 k  2k  3k  4  5k  
1 k  2k  3k  4
Pk  5k  
1 k  2k  3k  4
Mà k 1, k  2, k  3, K  4 là số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn có 2 sỗ chẵn liên tiếp và một số chia hết cho 3 trong bốn số đó. Suy ra 5k  
1 k  2k  3k  45.3.8 120
Mặt khác P k  12
 0 nên P k   1 120 
 mệnh đề đúng khi n k 1.
Vậy theo nguyên lí quy nạp mệnh đề đúng với mọi * n  
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n p (p là một số
tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng? TOANMATH.com Trang 7 A. k  .
p B. k  .
p C. k  .
p D. k  . p
Câu 2: Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu 3n2 3n 1 u 5.2 3    n
Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:
Bước 1: Khi n  1, ta có 1 2
u  5.2  3  19  u 19  1 1
Bước 2: Giả sử 3k 2 3k 1 u 5.2 3   
chia hết cho 19 với k  1. k Khi đó ta có 3k 1  3k 2 u  5.2  3  8      k   3k 2 3k 1 5.2 3  3k 1 19.3 1 Bước 3: Vì 3k 2 3k 1 5.2 3   và 3 1
19.3 k chia hết cho 19 nên u chia hết cho 19, * n    k 1 
Vậy un chia hết cho 19, * n   
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
A. Sai từ bước 1.
B. Sai từ bước 3.
C. Sai từ bước 2.
D. Lập luận hoàn toàn đúng.
Câu 3: Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho I k  ; A
II nA n 1 , A n   k Lúc đó ta có
A. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc A.
B. Mọi số nguyên dương đều thuộc A.
C. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.
D. Mọi số nguyên đều thuộc A.
Câu 4: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên ,
n p với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước
Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n  1
Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n k (theo giả thiết quy
nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n k 1
Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.
A. Chỉ có bước 2 đúng. B. Cả hai bước đều đúng.
C. Cả hai bước đều sai. D. Chỉ có bước 1 đúng. Câu 5: Với mọi *
n   , khẳng định nào sau đây sai? nn   1
A. 1 2  ... n
. B.      n   2 1 3 5 ... 2 1  n . 2 n n 1 n  2
2n n 1 2n 1 2 2 2   
C. 1  2  ... n
. D. 2  4  6  ...  2n2 2 2 2     . 6 6 1 1 1 1
Câu 6: Cho S    ... với *
n   . Mệnh đề nào sau đây đúng? n 1.2 2.3 3.4 n n   1 n 1 n n 1 n  2 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . n n n n 1 n n  2 n n  3 TOANMATH.com Trang 8 u  1 
Câu 7: Cho dãy số u với 1 
. Số hạng tổng quát u n
n của dãy số là số hạng nào dưới u   u     n  2 1 n n 1 đây? A. u  1 .
n B. u  1 .
n C. u    D. u  . n n  2 1 1 n . n n n u   3 1 
Câu 8: Cho dãy xác định bởi công thức  1
. Số hạng tổng quát của dãy un là * uu , n     n 1   2 n 3 3 3 3 A. u  . B. u  . C. u  . D. u  . n n 1 2  n 2n n 2n 1 n 2n 1 2 2
u u  2v
Câu 9: Cho hai dãy số u , v được xác định như sau u  3,v  2 và n 1 n
n với n  2. nn  1 1 
v  2u .vn 1 n n
Công thức tổng quát của hai dãy u và v là n n   2n 2  1 n   u     u      n  2 1  2 1 n   n n 2 2 1  2 2 1  2   A.  1 B.  . v        1 v       n   n n 2 2 1  2 2 n  n n 2  . 2 1  2 2 1 1  2 2    2 2    1 2n 2  1 n u          u      n   2 1  2 1 n  n n 2 2 1  2 2 1  2   4   C.  . D.  . 1  2n 2 1 n v       v       n   2 1  2 1 n   n n 2 2 1  2 2 1  3 2    2  
u  cos  0     1   
Câu 10: Cho dãy số u xác định bởi
. Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là n   1 unu  , n   1 n 1   2       A. u  cos . B. u  cos . 2020  2020     2  2020 2019  2        C. u  sin . D. u  sin . 2020  2021     2  2020 2020  2 
Dạng 2: Tìm số hạng và xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số Phương pháp giải
Tìm số hạng của dãy số
Ví dụ 1: Cho dãy số a n
Dãy số u  : u f n với f n là một biểu thức của n. n n   n 1
Đặt u  a với a n k k
Bài toán yêu cầu tìm số hạng u k k  
k ta thay trực tiếp n = k vào k 1  1 u f n
a) Tính u ;u ;u ;u . n   1 2 3 4 u   a  b) Tính u . 2020
Dãy số u cho bởi 1
với f u là một biểu n n  u   f un 1  n
Hướng dẫn giải
thức của un. Bài toán yêu cầu tìm số hạng uk ta tính lần lượt TOANMATH.com Trang 9
u ;u ;...;u bằng cách thế u 1 1 2 3 k
1 vào u2, thế u2 vào u3,… thế
a) Ta có u a   ; 1 1 1.2 2 u vào u . k 1  k 1  1 1 2      
u a;u b u a a ; 2 1 2 2 2.2  
Dãy số u cho bởi 1 2 1 3 n
u  .cu d.u en2 n 1  n 2 1 3
u a a a u a    ; 3 1 2 3 2 3
Bài toán yêu cầu tìm số hạng u 3 3.3   1 4
k. Ta tính lần lượt
u ;u ;...;u bằng cách thế u 3 1 4          3 4 k
1;u2 vào thế u3; thế u2, u3 vào u a a a a u a . 4 1 2 3 4 3 4 4 4.5 5
u4;…; thế u ,u vào u k 2 k 1  k. 1 1 1 b) Ta có a    . u   a kk k   1 k k 1
Dãy số u cho bởi 1 với f  ; n u là kí n n  u   f ; n un 1  n n  1   1 1 
do đó u  a  1   ... n k    
hiệu của biểu thức u tính theo u k 1   2   2 3  n 1 
n và n. Bài toán yêu cầu tìm số hạng u  1 1   1 1  1
k ta tính lần lượt u ; u ;...; u bằng cách thế       2 3 k 1    
n 1 n   n n 1 n 1 1;u vào u 2;u vào u k 1;u vào u 1  2; thế  2  3; ...; thế  k 1  
k. Suy ra có thể quy nạp
Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số 1 2020 u 1 
Nếu u có dạng u a a ... a (kí hiệu 2020 2021 2021 n n 1 2 n n n
Ví dụ 2:Xác định công thức u  ; n  1
u  a ) thì ta biến đổi a n n k
k thành hiệu của hai số hạng, n 1 k 1 
số hạng tổng quát un của dãy số
dựa vào đó thu gọn un. u  3
Nếu dãy số u được cho bởi một hệ thức truy hồi, ta tính 1 n  u u  2  n 1 n
một số số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính
Hướng dẫn giải
u ;u ;u ;...), từ đó dự đón công thức u 1 2 3
n theo n, rồi chứng
Ta có u u  2  3  2  5; 2 1
minh công thức này bằng phương pháp quy nạp.
u u  2  5  2  7; 3 2
Có thể tính hiệu u
u dựa vào đó để tìm công thức u n 1  n n
u u  2  7  2  9; 4 3 theo n.
u u  2  9  2  11. 5 4
Từ các số hạng trên, ta dự đoán số hạng tổng quát có dạng 2
u n 1, n  1 (*) n
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp
để chứng minh công thức (*) đúng.
Với n  1;u  2.11  3 (đúng). 1
Vậy (*) đúng với n = 1.
Giả sử (*) đúng với n = k.
Khi đó ta có u  2k 1 (1) k
Ta cần chứng minh (*) đúng với n k 1. TOANMATH.com Trang 10
Có nghĩa là ta phải chứng minh u
 2 k 1 1  2k  3 k 1   
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (1) ta có u
u  2  2k 1 2  2k  3 k 1  k
Do đó (*) đúng khi n k 1.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là
u  2n 1, n   1. n Ví dụ mẫu u  1
Ví dụ 1: Cho dãy số u được xác định như sau 1 . Tìm số hạng u . n  u u  2  50 n 1  n
Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có u  1; 1 u u  2; 2 1 u u  2; 3 2 ... u u  2. 50 49
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được u  1 2.49  99 50 u   1;u  2
Ví dụ 2: Cho dãy số u được xác định như sau 1 2 . Tìm số hạng u n   7. u
 2u  3u  5  n2 n 1  n
Hướng dẫn giải Ta có
u  2u u  5  12;
u  2u  3u  5  35; 3 2 1 4 3 2
u  2u  3u  5  111;
u  2u  3u  5  332; 5 4 3 6 5 4
Vậy u  2u  3u  5  1002. 7 6 5 u 1 1 
Ví dụ 3: Cho dãy số u xác định bởi 
u  2 . Tìm số hạng u n n u8. n 1   u 1  n
Hướng dẫn giải 3  2    Ta có u 2 1 2 3 u 2 7 1 2 2 u    ; u    ; 2 3 u  1 1 1 2 u 1 3 5 1 2 1 2 TOANMATH.com Trang 11 7 17  2  2 u  2 17 u  2 41 3 5 4 12 u    ; u    ; 4 5 u  1 7 12 u 1 17 29 3 4 1 1 5 12 41 99
Ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi  2  2 u  2 99 u  2 239 5 29 6 70 u    ; u    ;
để tính số hạng u8 như sau 6 7 u 1 41 70 u  1 99 169 5 6 1 1
Quy trình bấm phím: 29 70 Nhập : 1 239  2  Vậy u 2 577  7 169 u    ; Nhập: ANS 2 8 u 1 239 408  7 1 ANS 1 169
Lặp dấu (ấn dấu “=” 7 lần)
ta được giá trị số hạng 577 u  . 8 408 u  1  1 
Ví dụ 4: Cho dãy số u với n   un u   n 1  2
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b) Tính số hạng thứ 10 của dãy số.
Hướng dẫn giảiu  1  1  u1 u  2  a) Ta có 2  ...   un 1 u   n  2
Nhân vế với vế của các đẳng thức trên, ta được n1 u u u u
u .u .u ...u 1 1 . . ... 1 . n u 1 . 1 . 1 2 3 n     1 2 3 1   n     n1        2.2.2...2 2  2  n1sè 2 n   Vậy u   n   1 1 . .    2  9  
b) Số hạng thức 10 của dãy là 1 1 u  1  .   . 10      2  512 u  1
Ví dụ 5: Dãy số u được xác định bằng công thức 1   n n 1 3'
u u nn 1 n
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b) Tính số hạng thứ 30 của dãy số.
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 12 a) Ta có 3 3 u
u n u u n . Từ đó suy ra n 1  n n 1  n u  1; 1 3 u u  1 ; 2 1 3 u u  2 ; 3 2 ... uun nn  23 ; 1 2 u un n n  3 1 . 1
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được
u u u u u  ...  u
u u u 1 2 1 1 2 n 1  n2 n n 1 
 11  2  3 ...  n  23  n  3 3 3 3 1
u  11  2  3  ...  n   n n  23  3 3 3 3 1
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được n n
1  2  3  ...  n    2 2 3 1 . 3 3 3 1  4 n n  2 2 1 Vậy u  1 n 4 2 2
b) Số hạng thứ 30 của dãy số là 30 .29 u  1   189226 30 4
Ví dụ 6: Cho dãy số u , biết 2    với n u 3;u 1 u n  1 1 n 1  n
a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. n
Hướng dẫn giải a) Ta có 2 2
u  1 u  10;
u  1 u  11; 2 1 3 2 2 2
u  1 u  12;
u  1 u  13; 4 3 5 4
b) Ta có u  1 8, u  2  8, u  3  8, u  4  8, u  5  8 1 2 3 4 5
Ta dự đoán u n  8 (1) n Với 1
n  , ta có u  1 8  3 (đúng). Vậy (1) đúng với 1 n  1
Giả sử (1) đúng với n = k, có nghĩa ta có u k  8 (2) k
Ta cần chứng minh (1) đúng với n k 1
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có u  1 u  1 k   k   k  82 2 9 k 1 TOANMATH.com Trang 13
Do đó (1) đúng với n k 1
Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số là u n  8, n  1. n
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho dãy số u có u  7;u  2u  3. Khi đó u n  1 n 1  n 3 bằng
A. 17. B. 77. C. 37. D. 9.
Câu 2: Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số 2 u n 1? n
A. 79. B. 89. C. 69. D. 99.
Câu 3: Cho dãy số u có 2
u  n n 1. Số -19 là số hạng thứ mấy của dãy? n n
A. 5. B. 7. C. 6. D. 4. 2 n  2n 1
Câu 4: Cho dãy số u  . Giá trị u n 11 là n 1 182 1142 1422 71 A. u  . B. u  . C. u  . D. u  . 11 12 11 12 11 12 11 6 u   2
Câu 5: Cho dãy số u xác định bởi 1 . Giá trị u n   10 là * u
u  5, n   n 1  n
A. 57. B. 62. C. 47. D. 52.
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36,… Số hạng tổng quát của dãy số này là
A. u  7n  7. B. u  7. .
n C. u  7.n 1. D. u n  7. n n n n 1 2 3 4
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là 0; ; ; ; ;... Số hạng tổng quát của dãy số này là 2 3 4 5 n 1 n n 1 2 n n A. u  . B. u  . C. u  . D. u  . n n n n 1 n n n n 1
Câu 8: Cho dãy số u với 2
u n 1. Số hạng thứ 2019 của dãy là n n
A. 4039. B. 4390. C. 4930. D. 4093. 2n 1 167
Câu 9: Cho dãy số u có số hạng tổng quát u  . Số
là số hạng thứ mấy của dãy? n n n  2 84
A. 300. B. 212. C. 250. D. 249. 2
Câu 10: Cho dãy số u với an
(a là hằng số). Hỏi u n u
n+1 là số hạng nào sau đây? n n  1 . a n  2 1 . a n  2 1 2  2 A. . a n 1 . a n u  . B. u  . C. u  . D. u  . n 1     n  2 n 1 n  1 n 1 n 1 n 1 n  2 u  5
Câu 11: Cho dãy số u với 1
. Số hạng tổng quát u n  
n của dãy số là số hạng nào dưới đây? uu nn 1 nn  1nn  1nn  1n
n  1n  2 A. u
. B. u  5 
. C. u  5 
. D. u  5  . n 2 n 2 n 2 n 2 TOANMATH.com Trang 14 u  0 1 
Câu 12: Cho dãy số u được xác định như sau Số hạng u n   . n 11 là uu  1  n 1  n   n  1 A. 11 9 u
. B. u  4. C. u  . D. u  5. 11 2 11 11 2 11 u 1
Câu 13: Cho dãy số u với 1
Số hạng tổng quát u n   . n là *
u u  2n 1,n   n 1  n A. 2
u n . B. 2
u  2n . C. 2
u n 1. D. 2 u  3n 1. n n n nu  1
Câu 14: Dãy số u được cho bởi 1
. Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau. n  u u 2  n 1 n A.  , n u là số lẻ. B. 2
u u  ...  u n . n 1 2 n C.  ,
n u  2n 1.
D. u u  4 . n n n n 1   1 u
Câu 15: Cho dãy số u với 1
Công thức số hạng tổng quát của dãy số là n   2 . u  2un 1 n   A. 1 n 1 u 2    . B. u  . C. 1 u  . D. n2 u  2 . n n n 1 2  n 2n nu  2  n
Câu 16: Cho dãy số u với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số là n   1 u  2   n 1   un    A. n 1 n n n u   . B. 1 u  . C. 1 u   . D. u   . n n n n n n n n 1 u 1
Câu 17: Cho dãy số u với 1
Số hạng tổng quát u n  
n của dãy số là số hạng nào dưới đây? 2
u u nn 1 n n n   1 2n   1 n n   1 2n  2 A. u  1
. B. u  1  . n 6 n 6 n n   1 2n   1 n n   1 2n  2 C. u  1
. D. u  1  . n 6 n 6 n 1 2
Câu 18: Cho dãy số u với u  , biết u  . Hỏi u n n
k là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho? 2 n 1 k 13
A. Thứ năm. B. Thứ sáu. C. Thứ ba. D. Thứ tư. 1
Câu 19: Cho dãy u xác định bởi u  và u u  2n với mọi 2
n  . Số hạng u n  1 50 bằng 2 n n 1 
A. 1274,5. B. 2548,5. C. 5096,5. D. 2550,5.
Câu 20: Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0,001; 0,001; 0,0001;… Số hạng tổng quát của dãy số có dạng A. 1 1 u   0,  
00...01. B. u  0,00...01. u  . D. u  . n n    C. n n 1 10  n n 1 10  n ch÷ sè 0 n 1  ch÷ sè 0 TOANMATH.com Trang 15 143P
Câu 21: Số hạng âm trong dãy số x ; x ; x ;...; x với 4 n5 x C  là 1 2 3 n n n5 96Pn3
A. x ; x . B. x ; x ; x . C. x ; x ; x ...x . D. x ; x ; x ; x . 1 2 1 2 3 1 2 3 n 1 2 3 4 u  2
Câu 22: Cho dãy số u được xác định bởi 1
. Số hạng tổng quát u n   n của dãy số là u
u  2n 1  n 1 n A. 2
u n 1. B. 2
u  2  n . C. u   n
D. u   n n  2 2 1 . n  2 2 1 . n n u   1 
Câu 23: Cho dãy số u với 1
. Số hạng tổng quát u n  
n của dãy số là số hạng nào dưới u   u      n  2 1 1 n n 1 đây? A. u  2  .
n B. không xác định. C. u  1 .
n D. u  n với mọi n. n n n
Câu 24: Cho dãy số u thỏa mãn u  2 và u  2  u với mọi n 1. Số hạng u là n  1 n 1  n 2018    A. u  2 cos . B. u  2cos . C. u  2 cos . D. u  2. 2018 2017 2 2018 2019 2 2018 2018 2 2018 u   1
Câu 25: Cho dãy số u xác định bởi 1
. Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n   3 * u
u n , n     n 1  n u 1  2039190 là n
A. n  2017. B. n  2019. C. n  2020. D. n  2018.
Dạng 3: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
Bài toán 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số Phương pháp giải
Phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy số
Cách 1: Xét hiệu uu n 1  n  Nếu * uu  0, n
   thì u là dãy số tăng. n n 1  n  Nếu * uu  0, n
   thì u là dãy số giảm n n 1  n Cách 2: Khi u * u  0, n
   ta xét tỉ số n 1 n un
 Nếu un 1  1 thì u là dãy số tăng. n un
 Nếu un 1  1 thì u là dãy số giảm. n un
Cách 3: Nếu dãy số u được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp n  để chứng minh * uu , n    (hoặc * uu , n    ) . n 1  n n 1  n
Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số
 Dãy số u có   tăng khi và giảm khi . n u an b a  0 a  0 n TOANMATH.com Trang 16
 Dãy số u có nn u q n
- Không tăng, không giảm khi q  0 .
- Giảm khi 0  q  1. - Tăng khi q  1. 
 Dãy số u có an b  với điều kiện *      n u cn d 0, n n cn d
- Tăng khi ad bc  0.
- Giảm khi ad bc  0
 Dãy số đan dấu là dãy số không tăng, không giảm.
 Nếu dãy số u tăng hoặc giảm thì dãy số  n
q .u (với q  0) không tăng, không giảm. n n       a 0 a 0 Dãy số u có   tăng nếu giảm nếu và không tăng, không n u au b  ;  n 1  u u  0  u u  0 2 1  2 1 giảm nếu a < 0.au b n u          ad bc 0 ad bc 0
Dãy số u có n 1 cu d tăng nếu và giảm nếu n   n    u u  0  u u  0  * ,
c d  0, u  0, n     2 1 2 1 nau b n u   
Dãy số u có n 1 cu d
không tăng, không giảm nếu   n   n ad bc 0  * ,
c d  0, u  0, n     n u     u   n n   Nếu       thì dãy số u v Nếu  thì dãy số u v n n  . n n  .  v     v   n n
u u n    
u u n     n  * ; 0, n  * ; 0,  Nếu nn 
thì dãy số u ;v  . Nếu 
thì dãy số u ;v  . n n n n   v v n    
v v n     n  * ; 0, n  * ; 0, n n  Nếu u  và * u  0, n
   thì dãy số  u   Nếu u  và * u  0, n    thì dãy số n n n n n m và dãy số 
u  và dãy số  u m    . n   * , n
u m m    n  * ,      Nếu         u  và * u  0, n   thì dãy số 1    . Nếu u  và * u 0, n  thì dãy số 1 . n n n n uun n Ví dụ mẫu
Chú ý: Dãy số có dạng
Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số  n u biết 5 u  . n n n  2 an d u n
Hướng dẫn giải cn d Với *      cn d 0, n Ta có n 5 3 3 u   1  u  1   n n 1  - Nếu ;
c d  0 và ad bc 0 thì n  2 n  2 n  3 TOANMATH.com Trang 17
u là dãy số tăng. n  Xét hiệu 3 3 3 * uu     0, n    n 1  n n  3 n  2
n  2n 3
- Nếu ad bc  0 thì u là n
Vậy u là dãy số giảm. dãy số giảm. n  u  2 
Ví dụ 2: Cho dãy số u  
. Xét tính tăng, giảm của dãy số u . n n  1 : 3u 1 n 1 u   , n   2  n  4
Hướng dẫn giải
Dãy số này cho bởi công thức truy hồi.
Ta dự đoán dãy số giảm dựa trên việc thử giá trị ban đầu u  1 k   Ta có 3u 1 1 u n 1  n 1 u u   u   n n 1  n 1  4 4
Để chứng minh dãy u giảm, ta chứng minh u  1, n
  1 bằng phương pháp quy nạp. n n Thật vậy.
Với n  1  u  2  1 (đúng). 1   Giả sử 3u 1 3 1 u  1 ku    1 k k 1  4 4
Theo nguyên lí quy nạp ta có u  1, n   1. n Suy ra u u
 0  u u , n
  2 hay dãy u là dãy số giảm. n n n 1  n n 1  a   1
Ví dụ 3: Cho dãy a được xác định bởi 1 
. Xét tính tăng giảm của dãy số a . n n  2
a a a  1  n 1 n n
Hướng dẫn giải Ta có 1 2 a
.a a  1  aa
Ta đi chứng minh a  0 với mọi * n   n 1  n n n 1  n a . n n Thật vậy.
 Với n  1 thì a  1  0 (đúng). n  Với 1
n  2 thì a a   2  0 (đúng). 2 1 2
Giả sử a  0 đúng với n k ta chứng minh nó cũng đúng với n k 1 n Ta có 1 aa
là tổng của hai số dương nên nó cũng dương. k 1  k ak
Do đó a  0 đúng với n k 1. n
Suy ra a  0 với mọi * n   . n Vậy a
a  0  a a .Do đó dãy a là một dãy tăng. n n 1  n n 1  n TOANMATH.com Trang 18
n   n 1
Ví dụ 4: Xét tính tăng, giảm của dãy số u n 2 n
Hướng dẫn giảiu u Ta có 1 2 2 1 u  0;u  ;u    1 2 3 2 9 u u  3 2
 Dãy số không tăng, không giảm.
Bài toán 2. Xét tính bị chặn của dãy số Phương pháp giải
Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
 Dãy số u có u f n là hàm số có biểu thức. n   n
Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức u f n *  M, n
   hoặc u f n m n    n   * , n
 Dãy số u có u v v ... v ...  v (tổng hữu hạn). Ta làm trội kiểu v a a n n 1 2 k n k k k 1 
Lúc đó u  a a a a ... a a . n 1 2 
 2 3  n n 1 Suy ra *
u a aM, n    n 1 n 1   Dãy số  a
u có u v .v .v ....v với * v  0, n
   (tích hữu hạn). Ta làm trội kiểu k 1 v   . n n 1 2 3 n n k ak Lúc đó a a a 2 3 1 u . ... n  n a a a 1 2 n Suy ra an 1  * u   M, n    . n a1
Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Nếu dãy số u được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng n  minh.
Chú ý: Nếu dãy số u giảm thì nó bị chặn trên, dãy số u tăng thì nó bị chặn dưới. n n
Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn
 Dãy số u có n u q q  bị chặn. n  1 n
 Dãy số u có n u q q   không bị chặn. n  1 n
 Dãy số u có u q với q 1 bị chặn dưới. n n
 Dãy số u có u an b bị chặn dưới nếu a  0 và bị chặn trên nếu a  0. n n
 Dãy số u có 2
u an bn c bị chặn dưới nếu a  0 và bị chặn trên nếu a  0 . n n
 Dãy số u có m m 1
u a n a
n   ...  a n a bị chặn dưới nếu a  0 và bị chặn trên nếu n n m m 1  1 o m a  0 . m TOANMATH.com Trang 19
 Dãy số u có n q m m 1 a n a
n   ...  a n a
với a  0 và q  1  không bị chặn. m m 1  1 o n m
 Dãy số u có m m 1 u a n a
n   ...  a n a bị chặn dưới với a  0 . n n m m 1  1 o m
 Dãy số u có m m 1 3 u a n a
n   ...  a n a bị chặn dưới với a  0 và bị chặn trên nếu n n m m 1  1 o m a  0. m P n
 Dãy số u có u
trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P(n) nhỏ n n Q n
hơn hoặc bằng bậc của Q(n). P n
 Dãy số u có u
trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, chỉ bị chặn dưới hoặc bị chặn n n Q n
trên nếu bậc của P(n) lớn hơn bậc của Q(n). Ví dụ mẫu
Chú ý: Dãy số u có bậc n
Ví dụ 1: Cho dãy số u biết 1 u
. Xét tính bị chặn dãy số u . n n n 2n  3
của tử thấp hơn bậc của mẫu
Hướng dẫn giải thì bị chặn. Ta có 1 1 1 1 * * *
2n  3  5, n     0   , n        0, n    2n  3 5 5 2n  3
  1  u  0. Suy ra dãy số u bị chặn. n  5 n
Chú ý: Dãy số u có bậc n  
Ví dụ 2: Cho dãy số  n u biết 4 5 u
. Xét tính bị chặn dãy số u
của tử bằng bậc của mẫu thì n n n n  1 bị chặn.
Hướng dẫn giải  Ta có 4n 5 * u   0, n    n n  1 4n  5 4 n   1  u   1   1   1  9 4 4
, n  * n n  1 n  1 n  1 2 2 Suy ra 9 * 0  u  , n    n 2
Vậy dãy số u bị chặn. n  1.3.5...2n   1
Ví dụ 3: Cho dãy số u biết u
. Xét tính bị chặn dãy số u . n n n 2.4.6.2n
Hướng dẫn giải 2 1 2 1 2k k k  2 1  Xét 2k 1    , k   1. 2 2k 4k 1
2k  12k  1 2k 1 TOANMATH.com Trang 20 1 3 5 2 1 1 1 1 * *  u  . . ...   , n
    0  u  , n    n n 3 5 7 2n  1 2n  1 3 3
Vậy dãy số u bị chặn. n  2  
Ví dụ 4: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số  n 3n 1 u , biết u n n n 1
Hướng dẫn giải n  2 1  3n   2 2 2 1 1       Ta có n 3n 1 n 5n 5 n 3n 1 uu     n 1  n n  2 n  1 n  2 1 n
 2n 5n5n 1 2n 3n 1n2 
n  1n  2 2 n  3n  3     
n  n   0, n 1 1 2
u u , n
  1  dãy u là dãy số tăng. n n 1  n 2   Lại có n 2n 1 u
n 1  2  dãy u bị chặn dưới. Dãy U không bị chặn trên nên nó không bị n n n  1 n chặn.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Cho dãy số u   : u  sin
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây. n n n
A. Dãy số u tăng. B. u  sin . n n 1  n 1
C. Dãy số u bị chặn. D. Dãy số u không tăng, không giảm. n n
Câu 2: Trong các dãy số u cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng? n  2  n A. n n n 1 u  . B. u  . C. u  . D. u   n n   2 2 1. n 2n n 2 2n 1 n 3n  2
Câu 3: Cho dãy số  5n u biết u
. Mệnh đề nào sau đây đúng? n n 2 n
A. Dãy số u tăng.
B. Dãy u giảm. n n
C. Dãy u không tăng, không giảm. D. Dãy số u là dãy hữu hạn. n n
Câu 4: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?   n 1 A. n 3 n 2 u  . B. u  . C. u  . D. u  . n n  1 n 2 n 2 n n 3n
Câu 5: Trong các dãy u sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn? n  TOANMATH.com Trang 21 2   2  A. n n 1 3n 1 u  . B. u  . C. 2
u  n n 1. D. 3 u n . n 2 n  2n  2 n n  5 n n
Câu 6: Cho dãy số u biết u  3n  6 . Mệnh đề nào sau đây đúng? n n
A. Dãy số u tăng. B. Dãy số u giảm. n n
C. Dãy số u không tăng, không giảm. D. Cả A, B, C đều sai. n n
Câu 7: Xet tính tăng, giảm của dãy số 3 1 u
ta được kết quả n 2n,
A. Dãy số u tăng.
B. Dãy số u giảm. n n
C. Dãy số u không tăng, không giảm. D. Dãy số u khi tăng khi giảm. n n
Câu 8: Cho dãy số  n
u với u  
n . Mệnh đề nào sau đây đúng? n  1 n
A. Dãy số u là dãy số bị chặn. B. Dãy số u là dãy số giảm. n n
C. Dãy số u là dãy số tăng. D. Dãy số u là dãy số không bị chặn. n n
a  1;a  2
Câu 9: Cho dãy số a được xác định bởi 1 2 
. Phát biểu nào dưới đây về dãy số a n n a
a a  0  n2 n 1  n là đúng?
A. Dãy số a không tăng, không giảm. B. Dãy số a là một dãy giảm. n n
C. Dãy số a là một dãy tăng. D. Dãy số a là một dãy không tăng. n n  u 1
Câu 10: Cho dãy số u biết 1 
. Tất cả các giá trị của a để u là dãy số tăng là n n  *
u au 1, n     n 1  n
A. a  0. B. a  0. C.
a  0. D. a  1.
Câu 11: Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số tăng? A. n n u  sin . n B. 1 v  . C. I  
n D. h n n 1. n  1 . . n n n  1 n
Câu 12: Cho dãy số u , biết u  .
n cos n . Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng? n n
(1). u là dãy số tăng. n
(2). u là dãy số bị chặn dưới. n  (3) * n    : u  . n n
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 13: Cho dãy số  1
u có u  1 và * uu  , n
   . Trong các phát biểu sau, có bao n  1 n 1  n 1 n2 nhiêu phát biểu đúng? TOANMATH.com Trang 22
(1). u là dãy số tăng. n
(2). u là dãy số bị chặn dưới. n
(3). u là dãy số bị chặn trên. n
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 
Câu 14: Cho dãy số  an b u có u
và c d  0 . Dãy số u là dãy số tăng với điều kiện. n n n cn d
A. a  0,b  0. B. b a  0. C.
a  0, b  0. D. a  0, b  0.
Câu 15: Phát biểu nào dưới đây về dãy số a được cho bởi a  2n n là đúng? n n
A. Dãy số a là dãy số giảm. B. Dãy số a là dãy số tăng. n n
C. Dãy số a là dãy không tăng. D. Dãy số a là dãy không tăng và không giảm. n n
Câu 16: Trong các phát biẻu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?
(1) Dãy số được xác định bởi 1 a  1  là một dãy bị chặn. n n
(2) Dãy số được xác định bởi 2
a n là một dãy giảm. n
(3) Dãy số được xác định bởi 2
a  1  n là một dãy số giảm và không bị chặn dưới. n
(4) Dãy số được xác định bởi a  
n là một dãy không tăng, không giảm. n  n 2 1 A. 1. B. 2. C.3. D. 4.
u  1;u  2 
Câu 17: Cho dãy số  1 2 u biết 
. Các giá trị của a để dãy số u tăng là n n  u
au   a u n      n 1  * , n 2 1 n
A. a  0. B. 0  a  1. C.
a  1. D. a  1.  n 2018 
Câu 18: Cho dãy số  1 n 1 u 5 1 u có u  và uu , n
  1 . Tất cả các giá trị n để k S    n  1  5 n 1 5 n n 2018  k k 1 4.5 là
A. n  2019. B. n  2018. C.
n  2020. D. n  2017.
Câu 19: Xét tính tăng giảm của dãy số 2
u n n 1 , ta thu được kết quả n
A. Dãy số u tăng. B. Dãy số u giảm. n n
C. Dãy số u không tăng, không giảm. D. Dãy số u khi tăng, khi giảm. n n  u  2 1 
Câu 20: Cho dãy số u biết 2  
. Mệnh đề nào sau đây đúng? n u 1 n * u  , n    n 1   4
A. u là dãy số tăng. B.u là dãy số giảm. n n
C. u là dãy số không tăng, không giảm. D.u là dãy số không đổi. n n  TOANMATH.com Trang 23
Câu 21: Xét tính bị chặn của dãy số u  3n 1, ta thu được kết quả n
A. Dãy số bị chặn.
B. Dãy số không bị chặn.
C. Dãy số bị chặn trên. D. Dãy số bị chặn dưới. n
Câu 22: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số u , biết 2 u
, ta thu được kết quả n n n!
A. Dãy số tăng, bị chặn trên. B. Dãy số tăng, bị chặn dưới.
C. Dãy số giảm, bị chặn. D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 23: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số  1 u , biết u
, ta thu được kết quả n n 2 1 n n
A. Dãy số tăng, bị chặn trên. B. Dãy số tăng, bị chặn dưới.
C. Dãy số giảm, bị chặn. D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 24: Xét tính bị chặn của dãy số 1 1 1 u    ... 
, ta thu được kết quả n 1.3 2.4 n n  2
A. Dãy số bị chặn.
B. Dãy số không bị chặn.
C. Dãy số bị chặn trên. D. Dãy số bị chặn dưới. u  1 
Câu 25: Xét tính tăng, giảm của dãy số 1 
, ta thu được kết quả 3 3
u u 1,n  1  n 1 n A. Dãy số tăng. B. Dãy số giảm.
C. Dãy số không tăng, không giảm. D. Cả A, B, c đều sai. u  1 1 
Câu 26: Cho dãy số u biết 
. Mệnh đề nào sau đây đúng? n  1 uu 1  n 1  2 n
A. Dãy số u bị chặn. B. Dãy số u bị chặn trên. n n
C. Dãy số u bị chặn dưới. D. Dãy số u không bị chặn. n n
Câu 27: Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn? A. Dãy  1 a , với 3 *
a n n, n
   . B. Dãy b với 2 * b n  , n n    . n  , n n n 2 C. Dãy  n 3n
c , với c    n
   D. Dãy d với * d  , n    . n  , n   * 2 3, . n n 3 n  2
Câu 28: Cho dãy số  1 1 1 1 u biết u    ... 
. Mệnh đề nào sau đây đúng? n n 2 2 2 2 2 3 n
A. Dãy số u bị chặn dưới. B. Dãy số u bị chặn trên. n n
C. Dãy số u bị chặn.
D. Dãy số u không bị chặn. n n
Câu 29: Cho dãy số u biết u asin n b cosn . Mệnh đề nào sau đây đúng? n n
A. Dãy số u không bị chặn. B. Dãy số u bị chặn. n n  TOANMATH.com Trang 24
C. Dãy số u bị chặn dưới. D. Dãy số u bị chặn trên. n n  u  2
Câu 30: Cho dãy số u , biết 
. Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số u ? n n  *
u  2  u ,n    n 1  n
A. Dãy số u giảm và bị chặn. B. Dãy số u giảm và không bị chặn. n n
C. Dãy số u tăng và bị chặn. D. Dãy số u tăng và không bị chặn. n n
Dạng 4. Tính tổng của dãy số Phương pháp giải
Tính tổng của dãy số cách đều
Ví dụ 1: Tính tổng S  1 3  5  ...  2021
Giả sử cần tính tổng S a a  ...  a
Hướng dẫn giải 1 2 n
Trong đó a ad Ta có 2S  1 
2021  3  2019  5  2017  ... n n 1 
Ta có 2S  a a ...  a a n a a  2021  1  2022.2021 1 n
n 1  1 n  .
n a a 1 n  Từ đó suy ra Vậy 2022.2021 S S   2043231. 2 2 Công thức tính:
+ Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là
u u n 1 d với d là khoảng cách giữa 2 số n 1   hạng liên tiếp.
+ Số số hạng = (số hạng cuối – số hạng đầu) : (khoảng cách) + 1.
+ Tổng = (số hạng đầu + số hạng cuối) x (số số hạng) : 2.
Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp
Ví dụ 2: Tính tổng 2 2 2 2 S    ...  1.3 3.5 5.7 97.99
Bước 1: Ta tìm cách tách
Hướng dẫn giải
a b b ;a b b ;... 1 1 2 2 2 3 Ta có 2 1 1 2 1 1   ;   ;...
Bước 2: Rút gọn 1.3 1 3 3.5 3 5
S b b b b  ...  b bb b 1 2 2 3 n n 1  1 n 1  Do đó 1 1 1 1 1 1 1 98 S     ...    1  1 3 3 5 97 99 99 99
+ Một số công thức tách thường sử dụng a 1 1   ;
n n an n a TOANMATH.com Trang 25 2a 1 1
n n an 2a  n n a  ;   
n an  2a 2na  2 a  1  1 n  ; n a2 2 2 nn a2 .
n n !  n   1 ! n !
Bước 3: Nhận định kết quả của tổng là S b b 1 n 1 
Tính tổng bằng cách đưa về các tổng đã biết
Tìm cách tách S S S S  ... trong đó n 1 2 3
S ; S ; S ... đã biết công thức tính tổng. 1 2 3 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho tổng 1 1 1 1 S     ...  Tính S n
n n  n   . 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 100
Hướng dẫn giải Ta có 2.1 1 1 2.1 1 1   ;   ;... 1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4 Suy ra 1 1 1 1 1 1 2S     ...   n 1.2 2.3 2.3 3.4 n n   1
n  1n  2 1 1 n n  3    1.2 n   1 n  2 2 n   1 n  2 n n  3 Vậy 2575 S   S n 4 n   1 n  2 . 100 10302
Ví dụ 2: Cho S  1.2  3.4  5.6  ...  2n   1 .2n . Tính S biết rằng n 100 n n n n n
2i  2 46...2n nn  1 2 1 2 2 2 2   
1 ;i  1 2  3 ...  n i 1  i 1  6
Hướng dẫn giải n n n n
Ta có S  2i i    i i  i   i n 2 1  2 4 2  2 4 2 i 1  i 1  i 1  i 1  4n n   1 2n   1   
nn   nn  1 4n 1 1  6 3 100.100   1 4.100   1  S   1343300 100 3
Ví dụ 3: Cho tổng S  1.4  2.7  3.10  ...  n3n   1 với *
n   . Biết S  294 và n k n n n   1 n n n 1 2n 1 2 2 2 2   
i 123... n
; i  1 2  3 ...  n i 2 i 6 1 1
Tính giá trị của k. TOANMATH.com Trang 26
Hướng dẫn giải n n n n
Ta có S  i i    i   i  i n 3 1  2 3  2 1 3 i 1  i 1  i 1  i 1  3n n   1 2n   1 n n   1  
nn  2 1 6 2
S k k  
k k k k  2 3 2 1 294 2 294  k  6 2
k  8k  49  0  k  6.         Ví dụ 4: Cho 1 1 1 1 S  1  1  1  ...  1 . Tính S10. n          2   4   8   2n
Hướng dẫn giải   Ta có 1 1 1 1 S n     ...  n   2 3  2 2 2 2n  Đặt 1 1 1 1 1 1 1 M     ...   2M  1  ...  2 3 n 2 n 1 2 2 2 2 2 2 2   1 1 1   1 1 1 1  1
 2M M M  1   ...     ...   1     2 n 1  2 3  2 2 2   2 2 2 2n  2n 1 1 1
S n 1  S  10 1  9  n n 10 10 10 2 2 2
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Cho tổng S n  2  4  6  ...  2n . Khi đó S30 bằng
A. 900. B. 930. C. 901. D. 830.
Câu 2: Cho tổng S n 1 1 1 1    ... 
. Khi đó công thức tính tổng S(n) là 1.2 2.3 3.4 n n   1 A.    n n 2n n S n
. B. S n  . C. S n 
. D. S n  . n  2 n  1 n  1 2nCâu 3: Cho tổng 3 5 7 2n 1 S      Giá trị S10 là n 1.2 ... . 2 2.32 3.42 nn    2 1 
A. 1. B. 121. C. 119 . D. 120 . w 120 121 121
Câu 4: Tổng S  sin x  sin 2x  ...  sin nx (với x k )
 có công thức thu gọn là x 2n 1 x 2n 1 cos  cos x cos  cos x A. 2 2 S  . B. 2 2 S  . x x 2 sin 2 sin 2 2 x 2n 1 x 2n 1 cos  cos x cos  cos x C. 2 2 S  . D. 2 2 S  . x x 2 cos 2 cos 2 2 TOANMATH.com Trang 27 Câu 5: Tổng 1 1 1 1 * S     ... 
n   có công thức thu gọn là n
n   n  , 1.4 4.7 7.10 3 2 3 1 A. 3n n n n S  . B. S  . C. S  . D. S  . n 3n  1 n 3n 1 n 3n  1 n 3n  2
Câu 6: Tổng S  1.3  2.5  3.7  ...  n 2n  
1 có công thức thu gọn là n n n   1 4n   1 n n   1 4n  5 n n   1 4n  5 n n   1 4n   1 A. . B. . C. . D. . 4 6 4 6   Câu 7: Tổng 1 1 1 1 100 S  4.5 .   ...  1   có kết quả bằng 2 3 100  5 5 5 5  A. 100 5 1. B. 100 5 . C. 101 5 1. D. 101 5 . Câu 8: Tổng 2 2 2 2 S    ...  có kết quả bằng 1.3 3.5 5.7 97.99
A. 99 . B. 90 . C. 98 . D. 1. 98 99 99 Câu 9: Cho 2 1 S 1 2.3 3.3 ... .3n n      
. Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương? n n n A. 3 1 1 n S    3 .n B. 3 1 S    3 .n n 4 2 n 4 2 n n C. 3 1 n n S   3 .n D. 3 1 S    3 .n n 4 2 n 4 2 TOANMATH.com Trang 28 ĐÁP ÁN
BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC, DÃY SỐ
Dạng 1. Quy nạp toán học
1-B 2-D 3-C 4-C 5-D 6-B 7-D 8-A 9-B 10-B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Chọn B
Mệnh đề A(n) đúng với n k với k p Câu 2. Chọn D
Lập luận hoàn toàn đúng. Câu 3. Chọn C
(I)k A : số nguyên dương k thuộc tập A.
(II)n A n  1 , A n
  k : nếu số nguyên dương n n k thuộc tập A thì số nguyên dương đứng
ngay sau nó n  
1 cũng thuộc A. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A. Câu 4. Chọn C
Bước 1 sai, vì theo bài toán n p nên ta phải chứng minh rằng A(n) đúng khi n p .
Bước 2 sai, không thể “Với số nguyên dương tùy ý k” mà phải là “Với số nguyên dương k, k p”. Câu 5. Chọn D
Thử với n  1,n  2,n  3 ta kết luận được đáp án D sai.
2n n 1 2n  1
Ta có 2  4  6  ...  2n2 2 2 2    
mới là kết quả đúng. 3 Câu 6. Chọn B Ta có 1 2 3 n S  , S  , S   dự đoán S  1 2 3 2 3 4 n n  1 Với 1 1
n  1, ta được S   (đúng) 1 1.2 1 1
Giả sử mệnh đề đúng khi 1 1 1 k
n k k   1 , tức là   ...   1.2 2.3 k k   1 k  1 Ta có 1 1 1 k   ...   1.2 2.3 k k   1 k  1 TOANMATH.com Trang 29 1 1 1 1 k 1   ...     1.2 2.3 k k   1
k  1k  2 k 1 k  1k  2 2 1 1 1 1 k  2k 1   ...    1.2 2.3 k k   1
k  1k  2 k  1k  2 1 1 1 1 k  1   ...    1.2 2.3 k k   1
k  1k  2 k  2
Suy ra mệnh đề đúng với n k 1 Câu 7. Chọn D Ta có uu  
u   u u u nn  2n 1 1 2; 3; 4;... 1 n 2 3 4
Dễ dàng dự đoán được u  . n n
Thật vậy, ta chứng minh được u n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau n
Với n  1  u  1. Vậy (*) đúng với n  1. 1
Giả sử (*) đúng với   * n
k k    , ta có u k k
Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n k 1 , tức là uk 1 k 1 
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số  k u ta có uu  1   k 1 k 1  k  2 n  Vậy (*) đúng với mọi *
n   . Số hạng tổng quát của dãy số là u  . n n Câu 8. Chọn A Ta có 1 3 1 3 u  3;u u  ;u u  ;... 1 2 1 3 2 2 2 2 2 2
Ta đi chứng minh cho dãy số có số hạng tổng quát là 3 u n n 1 2 
Thật vậy, n  1 thì u  3 (đúng). 1 Giả sử với 3 3
n k k   1 thì u  . Ta đi chứng minh uk k 1  2  k 1 2k Ta có 1 1 3 3 uu  . 
(điều phải chứng minh). k 1  k k 1 2 2 2  2k
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là 3 u n n 1 2  Câu 9. Chọn B n Chứng minh u v   n n  2 2 2 1 (1)
Ta có u  2v u
 2v  2 2u v       u 2v n n n n n n nn 2 2 2 1 1 1 1 1 1
Mặt khác u  2v  3  2 2   2  2
1 nên (1) đúng với n  1 1 1 TOANMATH.com Trang 30 k 2 2k 1 Giả sử u v   , ta có u  2vu  2v  2  k  1 1 k 1  k     k k  2 2 2 1
Vậy (1) đúng với n   1 2n
Ta có u  2v n n  2  1 2n 2 1 n n nu un   2     2  n  2 1  2         1 2 2 1 2 1    2   Do đó ta suy ra   n n   n n 2 2v  2 2 2 2 1  v n
 2  1  2     1  n  2  1  2      1   2 2   Câu 10. Chọn B  1 cos       Do 1 cos 0     nên 2 2 2 u   cos  cos ;u   cos  cos 2 3 2 2 2 2 2 4    Vậy u  cos  với mọi  * n
. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp. 1  2n 
Với n  1 thì u  cos (đúng). 1       Giả sử với *
n k   ta có u  cos . Ta chứng minh u  cos k     k 1   2   k 1 k 1  2      1 cos   k 1           Thật vậy 1 u 2 k 2 u    cos  cos k 1      2 2  2k   2k     Từ đó ta có u  cos 2020   2019  2 
Dạng 2. Tìm số hạng và xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số
1-C 2-B 3-A 4-D 5-C 6-C 7-B 8-A 9-C
10-A 11-B 12-D 13-A 14-C 15-D 16-C 17-C 18-A
19-B 20-A 21-B 22-A 23-A 24-B 25-C
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT Câu 1. Chọn C
Ta có u  2u  3  2. 2u  3  3  4u  9  4.7  9  37. 3 2  1  1 Câu 2. Chọn B Ta có 2
7922  7921 1  89  1  n  89 Câu 3. Chọn A
Giả sử u    * 19 n   n  TOANMATH.com Trang 31 n  5 Suy ra 2 2
n n 1  1
 9  n n  20  0   n  5  (do * n   ). n  4 
Vậy số -19 là số hạng thứ 5 của dãy. Câu 4. Chọn D 2   Ta có 11 2.11 1 71 u   11 11 1 6 Câu 5. Chọn C u  2 Từ  1 , ta có uu  5  uu n n 5, n   * 1 n1 n
 dãy u là một cấp số cộng với công sai d  5 nên u u  9d  2  45  47 n  10 1 Câu 6. Chọn C
Ta có 8  7.11;15  7.2 1;22  7.3 1;29  7.4 1;36  7.5 1
Suy ra số hạng tổng quát u  7n 1 n Câu 7. Chọn B Ta có 0 1 1 2 2 3 3 4 4 0  ;  ;  ;  ;  0 1 2 1 1 3 2  1 4 3 1 5 4  1 Suy ra n u  . n n 1 Câu 8. Chọn A Ta có u  2.2019 1  4039 2019 Câu 9. Chọn C  Ta có 167 2n 1 167 u     84   n   n n 2 1 167 2 250 84 n  2 84
Vậy 167 là số hạng thứ 250 của dãy số u n  84 Câu 10. Chọn A . a n  2 1 a n  2 1 Ta có u   n 1  n  11 n  2 Câu 11. Chọn B n n  
Ta có u       n    1 5 1 2 3 ... 1 5 n 2 Câu 12. Chọn D TOANMATH.com Trang 32 1 1 2 3 3 u u  1  ; u u  1  1; u u  1  ; 2  1  3  2  4  3  2 2 3 4 2 4 5 5 6 u u 1  2; u u  1  ; u u  1  3; 5  4  6  5  7  6  5 6 2 7 7 7 8 1 9 u u 1  ; u u 1  4; u u  1  ; 8  7  9  8  10  9  8 2 9 2 2 10 u u 1  5; 11  10  11 Câu 13. Chọn A
Ta có u  1;u u  3;u u  5;u u  7;...;u u  2n 1 1 2 1 3 2 4 3 n n 1   
Cộng từng vế với vế của các đẳng thức trên và rút gọn ta được u        n   2 1 3 5 7 ... 2 1  n . n Câu 14. Chọn C u  1; 1
u  1 2  1 1.2; 2
u  1  2  2  1  2.2; 3
u  1  2  2  2  1  3.2; 4 ...
u  1  2  ...  2  1  n   1 .2 n
Chứng minh quy nạp ta được u  2n 1. n Câu 15. Chọn D  1 u   1 2  u  2u 2 1 
Ta có u  2u . 3 2 ...  u  2u n n 1  
Nhân vế với vế của các đẳng thức trên, ta được 1 n 1  n2
u .u .u ...u
.2 .u .u ...uu  2 . 1 2 3 n 1 2 n 1  2 n Câu 16. Chọn C  Ta có 3 4 5 n
u   ;u   ;u   ; … suy ra được 1 u   . 1 2 3 2 3 4 n n Câu 17. Chọn C u  1 1  2 u u 1 2 1  Ta có 2 u u  2 3 2 ... 
u u  n    2 1 n n 1 TOANMATH.com Trang 33 n n 1 n  2
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được u  11  2  ...  n    n  2 2 2    1 1 6 Câu 18. Chọn A k 1 k 1 2 u     k  5 (do * k   ). k 2 2 k  1 k  1 13 Câu 19. Chọn B  1 u   1 2  u u  2 2 1 
Ta có u u  4  3 2 ...  
u u  2.49 49 48
u u  2.50  50 49
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được 1 1 u
 2 2  3 ...  50   2 25.511  2548,5 . 50     2 2 Câu 20. Chọn A Ta có
Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0;
Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0;
Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0; …
Suy ra u có n chữ số 0. n
Công thức số hạng tổng quát của dãy số là 1 u   0,00...01 n    10n n ch÷ sè 0 Câu 21. Chọn B
n  5 n  4 n  3 n  2 143P
143 n  5 n  4 4          Ta có n 5 c  ,  n5 24 96P 96 n3 143P
n  5 n  4 2n 17 2n  7 4       n 5 * x C    0, n   4,n   n n5 96P 96 n3
Vậy các số hạng âm là x ; x ; x . 1 2 3 Câu 22. Chọn A u  2 1
u u 2.21; 2 1 
Ta có u u  2.31; 3 2 ... 
u u  2.n 1  n n 1  TOANMATH.com Trang 34
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được u  
    n n    n  n    n   2 2 2. 2 3 ... 1 2 1 2 1 n  1 n Câu 23. Chọn A Ta có  uu    u nn  2n 1 1 1 1 n
u  1;u u 1;u u 1;...;u u 1 1 2 1 3 2 n n 1 
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được u  1 n   1  2  . n n Câu 24. Chọn B    
Ta có u  2  2 cos  2 cos
;u  2  2  2 cos  2cos 1 2 2 3 4 2 8 2  Dự đoán u  2 cos n n 1 2  
Chứng minh theo quy nạp ta có: u  2 cos  2 , công thức (1) đúng với n = 1. 1 4 
Giả sử công thức (1) đúng với n k,k  1 ta có u  2 cos k k 1 2      2     Ta có u
 2  u  2  2cos  2 1 cos  4cos  k  2 cos 1 k k 1  k 2   k2  k  2  2   2  2 2   (vì 0 
 với mọi k  1). k 2 2 2
Suy ra công thức (1) đúng với n k 1   Vậy * u  2 cos , n    . Suy ra u  2 cos n n 1 2  2018 2019 2 Câu 25. Chọn C u  1 1  3 u u 1  2 1 
Ta có u u  2  u  11  2 ...  n n  3 3 3 3 1 3 2 ...  3
u u n n 1  n   n n 1 
Ta lại có 1  2  ...  n   1
 1 2  3...  n     2 3 2 3 3 1    2  
nn   2 1  Suy ra u  1   n 2   n n   1 n  2020
Theo giả thiết ta có u 1  2039190 
 2039190  n n    n  1 4078380  2 n  2019 
Mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên n = 2020. TOANMATH.com Trang 35
Dạng 3. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
1-A 2-C 3-A 4-C 5-A 6-A 7-A 8-D 9-C 10-C
11-B 12-B 13-D 14-C 15-B 16-C 17-D 18-B 19-B 20-B
21-D 22-C 23-C 24-A 25-A 26-A 27-D 28-C 29-B 30-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Chọn A u  sin nên B đúng. n 1  n 1 
Do 1  sin  1 nên dãy số bị chặn, do đó C đúng. n   3 u u
u  sin   0,u  sin  1,u  sin  . Do 1 2 
nên dãy số không tăng, không giảm. 1 2 3 2 3 2 u u  2 3
Vậy D đúng. Do đó A sai. Câu 2. Chọn C  1 u   1  Ta xét đáp án A: n 2 u   
u u  Loại A n n 1 2 2 2 u  2  4  1 u   1  Ta xét đáp án B: n 3 u   
u u  Loại B n 2 1 2 2n  1 2 u  2  9  2 16 u   2  1   Ta xét đáp án C: n 1 5 40 u   
u u  Chọn C n 1 2 3n  2 5 25 u   2  8 40 u  0 1 
Ta xét đáp án D: u  
n   u
u u u  Loại D nn 2 2 1 4 3 2 1 2 3 u  8  8  3 Câu 3. Chọn A n n 1  Ta có 5 5 * u   0, n     u n 2 n 1  nn  2 1 u 5nn 5n
n  2n  1 4n  2n 1 2n     n  2 1 2 2 2 2 1 2n 1 Xét tỉ số n 1 *       n    u n n n n n n n n   . 1 1, 2 n 2 2 2 1 5 2 1 2 1 2 1
Vậy u là dãy số tăng. n  TOANMATH.com Trang 36 Câu 4. Chọn C Xét đáp án A:     Ta có n 3 n 2 n 2 n 3 4 u  ;u  . Khi đó * uu     0, n    n n 1   n 1 n  2 n 1 n n  2 n  1
n  1n  1
Vậy u là dãy số tăng. n  Xét đáp án B:   Ta có n n 1 n 1 n 1 u  ;u  . Khi đó * uu     0, n    n n 1   2 2 n 1 n 2 2 2
Vậy u là dãy số tăng. n  Xét đáp án C: 2 2 Ta có 2 2 u n n n 1  * u  ;u      1, n    n 2 n 1  nn  2 1 u n n n  2 2 1
Vậy u là dãy số giảm. n  Xét đáp án D:   Ta có 1 1 1 u  ;u  ;u  1 2 3 3 9 27
Vậy u là dãy số không tăng, không giảm. n Câu 5. Chọn A 2 2
n n 1  n  2n  2 (do n  0) 2   Suy ra n n 1 u   1, với mọi n. n 2 n  2n  2 Câu 6. Chọn A
Ta có u  3n  6  u
 3 n 1  6  3n  9 n n 1    Xét hiệu u
u n   n    n  N n 3 9 3 6 * 3 0, n 1
Vậy u là dãy số tăng. n Câu 7. Chọn A n 1  n n 1  n n       Ta có 3 1 3 1 3 1 2.3 2 3 1 uu    
 0  dãy u là dãy số tăng. n n 1  n n 1  n n 1  n 1 2 2 2 2  Câu 8. Chọn D Dãy số u  
n là dãy số không bị chặn vì lim u  lim n   n  n 1 n Câu 9. Chọn C
Nhận xét: Mỗi số hạng thứ ba trở đi luôn bằng tổng của hai số đứng ngay trước nó. Đồng thời số hạng
đầu tiên và số hạng thứ hai của dãy là các số dương nên dễ thấy dãy số là một dãy tăng. Câu 10. Chọn C TOANMATH.com Trang 37 Xét hiệu u
u au  1  au  1  a u u n1 n
n   n1   n n1
Áp dụng, ta có u au 1  a 1  u 1  a u u a 2 1 2 2 1
u u au u  2  a ; 3 2 2 1
u u au u  3  a ; 4 3 3 2 ... n
u u a  0 n 1  n
Để dãy số u tăng thì u u  ...  u u a  0 n n n 1  2 1 Câu 11. Chọn B
Đáp án A, C dãy không tăng, không giảm.
Xét đáp án B, ta có 2 2 2 * v  1   v v    0, n
   nên v là dãy số tăng. n n n 1  n  1 n n  1 n  2 Câu 12. Chọn B
Vì cos n  1 nên u  .
n Phát biểu (3) đúng. n
Dãy không tăng, không giảm và không bị chặn dưới.
Vậy có 1 phát biểu đúng trong 3 phát biểu đã cho. Câu 13. Chọn D Ta có 1 * n
   ,u u
nên dãy số tăng. Phát biểu (1) đúng. n 1  n 1 n2  0
Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u1. Phát biểu (2) đúng. Ta lại có 1 1 1
u  1;u u  ;u u  ;u u  1 2 1 2 3 2 2 1  2 2 3 n n n
Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được 1 1 1 u u    ...  (*) n 1 2 2 2 2 3 n Mặt khác 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  
  (*)  u  1     ...   2 n n n   1 n 1 n n 1 2 2 3 n 1 n 1 1 *
u  1   2, n    n 1 n
Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng. Câu 14. Chọn C  Xét hiệu ad bc uu
. Dãy số u là dãy số tăng khi ad bc  0 n n 1  nc  n  
1  d cn d 
Mà c d  0 nên chỉ có điều kiện ở đáp án C để ad bc  0 . Câu 15. Chọn B Ta có n 1  n n n n * a
a  2  n 1 2  n  2.2  2 1  2 1  0, n    n 1  n
Vậy a là dãy số tăng. n  TOANMATH.com Trang 38 Câu 16. Chọn C 1 * 0  1   2, n
   nên dãy số xác định bởi 1 a  1  là một dãy bị chặn. n n n aa n
n n   n
   nên dãy số xác định bởi 2  là dãy tăng.  a n n  2 2 * 1 2 1 0, n 1 n a
a   n
  n n   n
   nên dãy số xác định bởi 2   là dãy số giảm  a 1 n n 1  21  2 1  * 2 1 0, n 1 n
và không bị chặn dưới. n a  1
  a  4  a  9
 nên dãy số xác định bởi a  
n là dãy không tăng không giảm. n   2 1 1 2 3 Câu 17. Chọn D Xét hiệu u
u au  1 a u u a 1 u u n2 n 1  n 1    n n 1 
 n 1 n
u u a 1 u u a 1 ; 3 2   2 1  
u u  a  
1 u u   a  2 1 ; 4 3 3 2 ...  uu a   nn  n 1 1 0 1
Để dãy số u tăng suy ra a 1  0  a  1 n Câu 18. Chọn B  Ta có n 1 u 1 u n 1 uu    . n n 1  5 n n n  1 5 n Đặt un v  , n
  1. Suy ra v là cấp số nhận có công bội 1 q  và 1 v  . n n n 5 5 n  1  1    n n n n     Ta có u 1 q 1 5 1 5 1 k S    v v  .  .  T k 1  k   q k k 1 5 1 n n 1 1 4 5 1  5 2018  Do 5 1 v  0, n
  1 nên (Tn) là dãy tăng. Suy ra T   Tn  2018 n n 2018 2018 4.5 Câu 19. Chọn B Ta có uu  1  1  n 0 1 nn   1  n  2 1  1 n  2 n  1
Vậy dãy u là dãy số giảm. n Câu 20. Chọn B
Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh u
u  bằng quy nạp toán học.  0 n 1 n Từ giả thiết suy ra * u  0, n    . n 5 
Ta có u u    3 2  0 2 1 4 4 TOANMATH.com Trang 39 Giả sử: uu  0, k   1 k 1  k 2 2   Xét hiệu u 1 u 1 1 k 1  k uu    uu uu  0 k 2 k 1 
k 1 k  k 1 k  4 4 4
Theo nguyên lí quy nạp suy ra * uu  0, n    n 1  n
Vậy dãy số u là dãy số giảm. n Câu 21. Chọn D
Ta có u  2, n
  u bị chặn dưới; dãy u không bị chặn trên. n nn Câu 22. Chọn C n 1  n n 1  Ta có u 2 2 2 n! 2 n 1      n   u n n n n n   :   . 1, 1 1 ! ! 1 ! 2n 1 Mà u  0, n
 nên u u , n
  1 dãy u là dãy số giảm. n n n 1  n
Vì 0  u u  2, n
  1 nên dãy u là dãy bị chặn trên. n n 1 Câu 23. Chọn C
Ta có u  0, n   1 n 2 2 u n n 1 n n  1 n 1  *    1, n
    u u , n
  1  dãy u là dãy số giảm. n   u n n nn   n n 2  n   2 1 3 3 1 1 1
Mặt khác 0  u  1  dãy u là dãy bị chặn. n n Câu 24. Chọn A Ta có 1 1 1 1 0  u   ...     n n n   1 1 1.2 2.3 . 1 n 1
Dãy u bị chặn. n Câu 25. Chọn A Ta có 3 3 * 3 3 u
u 1  u u u , n
    u là dãy số tăng. n 1  n n 1  n nn Câu 26. Chọn A
Ta dự đoán dãy số này bị chặn.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp * 2
  u  1, n    n Với n = 1 ta có 2
  u  1 (đúng). 1
Giả sử mệnh đề trên đúng với n k  1. Tức là 2   u  1 k 1 1 1 1  1   u   2
  u 1    2   u  1 k k k 1  2 2 2 2
Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được * 2
  u  1, n    n
Vậy u là dãy số bị chặn. n  TOANMATH.com Trang 40 Câu 27. Chọn D Xét dãy a có 3 *
a n n  0, n
   nên dãy số a bị chặn dưới. n n n Xét dãy  1 b có 2 * b n   0, n
   nên dãy số b bị chặn dưới. n n n 2n Xét dãy  n c có c    n
   nên dãy số c không bị chặn. n n   * 2 3, n  Xét dãy  3n d có * d  , n    . n n 2 n  2 Ta có n
n  3n  2  n  2 3 3 1 n  2 * 3  0, n
    n  2  3n  0 
 1  d bị chặn. 2   n  2 n Câu 28. Chọn C Xét 1 1 1 1    ,  2 2 k
k  1k k 1 k           Suy ra 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 3 * u   1       ...  
    0  u  , n   n           2 
2   2 3   3 4   5 6 
n 1 n  2 n 2 n 2
Vậy dãu số u bị chặn. n Câu 29. Chọn B
Xét u asin n b cos n a b   a b u a b n   n
Vậy dãy số u bị chặn. n Câu 30. Chọn C
Ta có u  2;u  2  2 ;u  2  2  2 ;...;u  2  2  2  ...  2 1 2 3 n Do u
u  0 nên u là dãy số tăng. n n 1  n
Lại có 2  u  2 suy ra dãy số bị chặn. n
Dạng 4. Tính tổng của dãy số
1-B 2-B 3-D 4-A 5-C 6-C 7-B 8-C 9-B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Chọn B
Ta có S  2  4  6  ...  60 30
 2S  2  60  4  58  6  56 ...  60  2 (có 30 ngoặc đơn) 30         2 60.30  S   930 30 2 Câu 2. Chọn B TOANMATH.com Trang 41   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n S n    ...              n n   ... 1 1.2 2.3 3.4 1 1 2 3 4 n 1 n n n  1 n  1 n  1 Câu 3. Chọn D Cách 1: Ta có 3 1 1 5 1 1     1.2 ; ;... 2 1 4 2.32 4 9 1 1 1 1 1 1 n n  2
Suy ra S      ...    n 2 1 4 4 9 nn  2 1 n  2 1 10 10  2 Vậy 120 S   . 10 10 2 1 121 Cách 2: Ta có 3 5 7 21 S    ...  10
1.22 2.32 3.42 1 2 0.11 Suy ra 1 1 1 1 1 1 1 1 120 S     ...      . 10 2 2 2 1 4 4 9 10 11 1 11 121 Câu 4. Chọn A Ta có x x x x 2 sin
.S  2 sin x.sin
 2sin 2x.sin ..  2sin nx.sin 2 2 2 2 x 3x 3x 5x 2n 1 2n 1 x 2n 1  cos  cos  cos  cos x ...  cos x x  cos x  cos  cos x 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2n  1 cos  cos x Vậy 2 2 S x 2 sin 2 Câu 5. Chọn C 1  1   1 1   1 1   1 1   1 1  1  1  n S  1        ...    1   n             3 
4   4 7   7 10   10 13 
 3n  2 3n 1 3  3n 1  3n  1 Câu 6. Chọn C n n n n n n n n n
S  i i    i   i  i    nn n n 2 1  2 1 2 1 1 1 4 5 2 2  2         1 2 i 1  i 1  i 1  i 1  6 2 6 Câu 7. Chọn B Đặt 1 1 1 1 M    ...  2 3 100 5 5 5 5 Ta có 1 1 1 5M  1   ...  2 99 5 5 5  1 1 1   1 1 1 1  1
 5M M  1  ...     ...   1     2 99 2 3 100 100  5 5 5   5 5 5 5  5 TOANMATH.com Trang 42 100 100 1 5 1 5 1 100 100  4M  1  M   S  4.5 . 1  5 100 100 100 5 4.5 4.5 Câu 8. Chọn C Ta có 2 1 1 2 1 1   ;   ;... 1.3 1 3 3.5 3 5 Do đó 1 1 1 1 1 1 1 98 S     ...    1  1 3 3 5 97 99 99 99 Câu 9. Chọn B Ta có 2 3
3S  3  2.3  3.3  ...  .3n n n n n Từ đó    n n n 3 1 n 3 1 2 1 2S  1
  3  3 ...  3  .
n 3  2S    .3 nS    .3n n n 2 n 4 2 TOANMATH.com Trang 43