-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Bài giảng phương trình đạo hàm - Toán cao cấp c2 | Trường Đại Học Duy Tân
Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (hệ số hằng) là phương trình có dạng: ( )y ay by f x′′ ′+ +=. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Toán cao cấp c2 (mth 102) 130 tài liệu
Đại học Duy Tân 1.8 K tài liệu
Bài giảng phương trình đạo hàm - Toán cao cấp c2 | Trường Đại Học Duy Tân
Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (hệ số hằng) là phương trình có dạng: ( )y ay by f x′′ ′+ +=. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Toán cao cấp c2 (mth 102) 130 tài liệu
Trường: Đại học Duy Tân 1.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Chương 1
NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Phương trình vi phân
1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến t í nh cấp 1 là phương trình có ạ d ng: y′ + p( ) x y= f ( )x (1) trong đó, p( )
x , f ( )x là các biểu thức theo biến x. Nếu f ( )
x ≡0 thì phương trình (1) gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất. Nếu f ( )
x ≡0 thì phương trình (1) gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
Phương pháp giải.
Phương pháp 1. Phương pháp biến thiên hằng số (Phương pháp Lagrange)
Xét phương trình thuần nhất tương ứng của (1): y′ + p( ) x y= f ( )x (2)
Nghiệm tổng quát của (2) có dạng: p( ) x dx y Ce−∫ =
Nghiệm tổng quát của (1) có dạng: ( ) p( )x dx y C x e−∫ = (3)
Thay (3) vào (1) để tìm C(x), ta được: ( ) ( ) ( ) . p x dx C x f x e∫ ′ = . Từ đó ta có: ( ) ( ) ( ) . p x dx C x C f x e ∫ = + ∫ (4)
Với C là hằng số bất kỳ. Thế (4) vào (3) ta được nghiệm của (1): − ( p ) x dx ∫ = + ∫ ( ) (p ) . x dx y e C f x e ∫ (5)
Ví dụ. Giải phương trình: sin cos x y y x e− ′ + = (*) 4 Giải. Phương trình thuần n ấ
h t: y′ + ycos x= 0 có nghiệm dạng: − cos ∫ − sin = . xdx x y C e = Ce
Nghiệm của phương trình (*) có dạng: ( ) sin . x y C x e− =
Thay vào (*) ta có: ( ) −sinx − ( ) − sinx + ( ) − sinx − sin . . .cos . .cos x C x e C x e x C x e = x e Ta suy ra: ′( ) −sin − sin . x x C x e = e Do đó: C( ) x x = +C
Vậy nghiệm của phương trình (*) là: −sin = (x y e x+ )C.
Phương pháp 2. Phương pháp Bernonl i Xét phương trình: y′ + p( ) x y= f ( )x (1)
Tìm nghiệm của phương trình (1) ở dạng: y = ( u ). x (v )x (6)
Thế vào phương trình (1) ta được: ( u′ ). x (v )x+ (v′ ) .x (u) x+ ( ) p .x( ) u .( x )v x = ( )f Suy ra:
(u′( )x+ (u )x. (p )x) (v )x+ ′(v ).x (u)x= (f ) (7) Chọn u( )
x là một nghiệm của phương trình:
u (′ )x + (p ) .x (u )x= 0 (8) Giả sử: ( ) ( p ) x dx u x e−∫ = (9)
Từ (7), (8) và (9) ta có: ( ) − ( ) . p x dx v x e∫ ′ = (f )x Ta suy ra: ( ) ( ) ( ) . p x dx v x f x e ∫ ′ = Do đó: ( ) ∫ ( ) ( ) . p x dx v x f x e ∫ = + C
Vậy nghiệm của phương trình (1) là − ( p ) x dx ∫ = + ∫ ( ) (p )x dx y e C f x e ∫ . 2 sin x
Ví dụ. Tìm nghiệm của phương trình: y′sin x− ycos x= , x→ ∞ , y→ 2 x Giải.
Tìm nghiệm của phương trình dạng: y = (u ). x (v )x 5 2
Ta suy ra: ( ′( ) (v )x+ v′( )x (u ))x x − ( x u )x (v) sin x u x . . .sin cos . . x = 2 x Chọn u( )
x là một nghiệm của phương trình: u′( )x.sin x− (u )xcos x= 0 Có thể lấy ( u ) x s = in x 2 sin x
Khi đó, phương trình trở thành: v′( x) 2 sin x= − . 2 x Ta suy ra: ′( ) 1 v x = − 2 x Do đó: ( ) 1 v x = + C x Vậy y (u )x (v ) 1 . x sin x C = = + x Thoả điều kiện x → , ∞ y →0 khi C = 0 Vậy sin x y =
là nghiệm của phương trình. x
Phương pháp 3. Phương pháp thừa số tích phân Xét phương trình: y′ + p( ) x y= f ( )x (1)
Nhân cả hai vế của (1) cho p( )x dx e∫ , ta được: ( p )x dx ∫ ( ) (p )x dx ∫ ( ) ( ) . . . . p x y e p x y e f x ∫ ′ + = e d ( ) y e∫ f ( ) ( ) . p x dx p x d x e ∫ ⇔ = dx
Lấy tích phân hai vế ta được: p ∫ ( )x dx= ∫ ( ) ∫ (p) . . x dx y e f x e + C Ta suy ra: − ( p ) x dx ∫ = + ∫ ( ) (p ) . x dx y e C f x e ∫ .
Ví dụ. Giải phương trình: 1 y′ + .y tgx= cos x Giải. tgxdx 1
Nhân hai vế của phương trình với: e∫ = , ta được: cosx 1 sin x 1 y′ + y = 2 2 cosx cos x cosx d 1 1 ⇔ . y = 2 dx cos x cos x 6
Lấy tích phân hai vế, ta được: 1 y. = C + tgx cosx Ta suy ra: y co = s (x C +t ) gx
Vậy nghiệm của phương trình là: y .=c Cos x s +in .
1.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (hệ số hằng)
Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (hệ số hằng) là phương trình có dạng: y′ + ay′+ by= (f )x (10) trong đó, f ( )
x là biểu thức theo biến x; a, b là các hằng số. Nếu f ( )
x ≡0thì phương trình (10) gọi là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất. Nếu f ( )
x ≡0thì phương trình (10) gọi là phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất.
Phương pháp giải.
Phương pháp giải phương trình thuần nhất. Xét phương trình: y’ + ay’ + by = 0 (11)
Ta tìm nghiệm riêng của phương trình (11) dưới dạng kx y =e , trong đó, k là hằng số cần tìm.
Thay vào phương trình (11) ta được: kx e ( 2 k a + k +)b 0 = Ta suy ra: 2 k a + k +b 0 = (12)
Phương trình (12) gọi là phương trình ặ đ c trưng ủ c a phương trình (11) Xét 2 ∆ = a −4b Ta có 3 trường hợp:
Trường hợp 1. ∆ > 0
Phương trình (12) có 2 nghiệm t ự h c phân biệt k và k . 1 2
Khi đó, phương trình (11) có 2 nghiệm: k x k x 1 2 y e = , y =e . 1 2
Hai nghiệm này độc lập tuyến tính vì: y1 (k − k ) x 1 2 = e
hằng. Do đó, nghiệm tổng y2
quát của phương trình (11) là: 1 2 = . k x k x y C e C
+ e , trong đó C1, C2 là hai hằng số tuỳ ý. 1 2 7
Trường hợp 2. ∆ = 0
Phương trình (12) có một nghiệm kép thựck = k . 1 2 Do đ ,
ó phương trình (11) có một nghiệm riêng k x 1 y = e . 1
Ta tìm nghiệm riêng thứ hai là
y , độc lập tuyến tính với y1 có dạng: 2 y y = . ( u ) x =(u ) k x1 x e 2 1 Ta có: k x k x 1 1 y′ = u′ e + k ue 2 1 k x k x 2 k x 1 1 1
y′ = u′ e + 2 k u′ e + k ue 2 1 1
Thay vào phương trình (11), ta được: k1x e u′ + (2k + a ) u′+ ( 2k+ ak+ b u= 0 1 1 1 ) Ta suy ra: u′+( 2 k+ ) 2 a u ′ + ( k+ ak+ )b u = 0 1 1 1
Vì k là nghiệm kép của phương trình (12) nên ta có: 1 a 2 k ak + +b 0 = và k − 2k + a =0 1 1 1 = hay 2 1 Ta suy ra: u′ =0 Vậy u A = x + B.
Chọn A = 1, B = 0, ta được : u = x. Do đó: k x 1 y = xe . 2
Vậy phương trình (11) có nghiệm tổng quát là: k x 1 y C = y C + y e = C +C x, 1 1 2 2 ( 1 2 )
với C1, C2 là hai hằng số bất kỳ.
Trường hợp 3.∆ < 0
Phương trình (12) có hai nghiệm phức liên hợp: k = α + iβ , k =α − iβ 1 2 trong đó: − a −∆ 2 α = ,β = ,i = − 1. 2 2 Hai nghiệm riêng ộ
đ c lập tuyến tính của phương trình (11) là: x α = cosβ , αx y e x y= e sinβ 1 2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (11) là: αx y = C y + C y = e c C osβ x+ C sinβ x. 1 1 2 2 [ 1 2 ]
trong đó, C1 và C2 là hai hằng số bất kỳ. 8
Ví dụ. Giải phương trình: y′ −10y′+ 25y= 0 với điều kiện (0 y )= 1, (y ′ )0 = 5. Giải.
Phương trình đặc trưng tương ứng: 2k 10 − k 25 + =0⇔ k =5 (nghiệm kép). Vậy nghiệm tổng quát: 5x 5x y C = e C + xe 1 2 Ta có: (y0) 1= ⇒C 1 = ; ′( y 0) = 5⇒ 5 C+ C= 6⇒ C= . 1 1 2 2 Vậy: 5x y e = (1 + )x .
Ví dụ. Giải phương trình : y′+ 2 ′ y+ 4 y = 0 Giải.
Phương trình đặc trưng tương ứng: 2k 2 + k 4 + =0 k = 1 − −i 3 1 ⇔ k = −1+ i 3 2
Vậy phương trình có nghiệm ổ t ng quát là: − x y = e c C os 3x+ C sin 3x 1 2
Phương pháp giải phương trình không thuần nhất. Xét phương trình: y′ + ay′ + by= f( )x (10)
Phương pháp 1. Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange)
Giả sử nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (11) lày: C = y +C y. 1 1 2 2
trong đó, C1 và C2 là hai hằng số bất kỳ.
Bây giờ, ta xem C1 và C2 là hai hàm số của biến x , tìm C1 và C2 để y C
= y +C y là một nghiệm của phương trình (10). 1 1 2 2
Ta có: y = C y′+ C y′+ C′ y+ C′ y 1 1 2 2 1 1 2 Chọn C1 và C2 sao cho : C′ y+ C ′ y= 0 1 1 2 2
Khi đó: y′ = C y′ + C y′ 1 1 2 2
y′ = C y′ + C y′+ C′ y′+ C ′ ′ 1 1 2 2 1 1 2 2
Thay vào phương trình (10) ta được: ( C y′ + ay′+ b )y+ ( C ′ y+ a′y+ ) by+ ′ C′ y + ′ C ′ y = f 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ( )
Vì y1 và y2 là 2 nghiệm của phương trình thuần nhất nên: C′ y′+ C′ y′ = f x 1 1 2 2 ( ) Vậy y C
= y +C y là nghiệm của phương trình (10) nên ta có hàm số C 1 1 2 2 1(x)
và C2(x) thoả mãn hệ phương trình: 9 C′y + C′ y= 0 1 2 C ′y′ + C′ y′ = f x 1 1 2 2 ( ) D= y y ′ − ′y y≠ 0 1 2 1 2
Do y1, y2 là hai nghiệm của phương trình thuần nhất.
Do đó, hệ luôn có một nghiệm duy nhất: C ' =ϕ ( ) ' x, C =ϕ x 1 1 2 (2 )
Lấy tích phân hai vế ta được: C x =φ x+ ,k C x=φ x+ k 1 ( ) 1( ) 1 (2 ) (2 ) 2
Trong đó φ x ,φ x là các nguyên hàm của ϕ x ,ϕ x , k 1 ( ) 2( ) 1 ( ) 2( ) 1, k2 là hai hằng số bất kỳ.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10) là: y C = y +C y= k y + k y+φ x y+φ x y 1 1 2 2 (1 ) 1 (2 ) 1 1 2 2 2 x e
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y′ − 2 y′+ y= x Giải.
Phương trình thuần nhất tương ứng: y′ − 2 y′+ y= 0
Phương trình đặc trưng tương ứng của phương trình là: 2 k 2 − k 1 + =0⇔ k =1 (nghiệm kép)
Vậy phương trình (2) có nghiệm tổng quát là: x x y C = y C + y C = xe +C e 1 1 2 2 1 2 với y x 1 = xe , y2 = ex
Ta xem C1 và C2 là hai hàm số của biến x. Ta tìm C1 và C2 sao cho y C
= y +C y là nghiệm của phương trình đã cho. 1 1 2 2 Khi đó C1(x) và C2(x
) thoả mãn hệ phương trình: x x C′ xe + C ′ e= 0 C y ′ + C′ y =0 1 1 2 x 1 2 e ⇔ x e với f ( ) x = C′y′ + C′ y′ = f ( )x C ′(1 + ) x x x e+ C ′ e= x 1 1 2 2 1 2 x 2x − e Tính các định thức : 2 − x 2 D = e − , D = , x D = e 1 2 x D Do đó: 1 1 C′ = = ,C′ = −1 1 2 D x Suy ra: 1 C x = dx= k+ ln x C x = d − x = k − x. 1 ( ) ∫ , 2 ( ) ∫ ( ) 1 x 2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : = + (= ln+ ) x (+ ) x y C y C y k x xe k −x 1 1 2 2 1 2 10
với k1, k2 là hai hằng số bất kỳ.
Phương pháp 2. Phương pháp hệ số bất định
Trường hợp 1. f ( ) α x x = e (
P )x, trong đó P (x)là đa thức b ậc n của x, cò n α là n n một hằng số thực .
Nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (12) thì nghiệm
riêng của phương trình (10) có dạng: αx
y = e Q x, trong đó Q x là đa thức cùng n ( ) n ( )
bậc với P (x)và có n + 1 chưa biết mà ta xác định như sau: y′ =α Q ( ) αx x e + ′ ( Q ) αx x e n n n 2 y′ = α Q ( ) αx x e +2α ′ ( Q ) α x x e+ ′ (Q ) α x x n n n Thay ,
y y′, y′ vào phương trình (10) ta có: α x e ′( Q′ )x+( α + )a ′( Q )x+ ( 2 2 α + a α + )b ( Q ) α x x = e P n n n n( ) ⇔ Q′ ( x) + ( α + ) a Q′ ( )x+ ( 2 2 α + aα + b Q x = P x (13) n n ) n( ) (n )
Nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì 2 α + aα + b≠ 0 .
Do đó, vế trái của đẳng thức trên cũng là một đa thức ậ b c n, cùng bậc với đa
thức ở vế phải. Đồng nhất các hệ số của luỹ thừa cùng bậc của x ở hai vế của (13),
ta được (n + 1) phương trình bậc nhất với (n + 1) ẩn là các hệ số của đa thức Q x . n ( )
Phương pháp xác định hệ số của Q x như trên gọi là phương pháp hệ số bất n ( ) định.
Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì 2 α + aα + b= 0 và 2α + a= 0.
Do đó, trong các trường hợp này đa t ứ h c ở vế trái có ậ b c (n – 1) nếu α là nghiệm đơn và ậ
b c (n – 2) nếu α là nghiệm kép.
Vậy nghiệm riêng của phương trình (10) có dạngy αx = xe ( Q )x nếu α là n
nghiệm đơn của phương trình đặc trưng và 2 α x
y = x e Q x nếu α là nghiệm kép của n ( )
phương trình đặc trưng.
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:y 2 ′ − y= x − x+1 Phương trình thuần n ấ
h t tương ứng: y′ − y =0
Phương trình đặc trưng: k2 – 1 = 0 ⇔ k = 1 ±
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: x x y C e C e − = + , với C 1 2 1,
C2 là hai hằng số bất kỳ. 11
Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: y = A x2 + Bx + C, y’ = 2Ax + B , y’ = 2A
Thay vào phương trình, ta có: 2A – Ax2 – Bx – C = x2 – x + 1 − A =1 A= 1 − Ta suy ra : B 1 − = − ⇔ B =1 2A C 1 − = C= − 3
Vậy nghiệm riêng c ủa phương trình đã cho là: 2 y = x − + x 3 −
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: x − x 2 y = C e+ C e − x+ x − 3 1 2
Trường hợp 2. f ( ) αx x = e [ P( )xcosβ x+ Q( ) s
x inβ x, trong đóP ( x) ,Q ( x) là n n n n
các đa thức bậc n; còn α, β là hai hằng số thực.
Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì một nghiệm
riêng của phương trình (10) dạng: αx y = e [ A x β x+ B x β x, trong đó A n( ) cos (n ) sin n(x)
và Bn(x) là các đa thức bậc n. Các hệ số của các đa thức An(x), Bn(x) có thể xác định được ằ
b ng phương pháp hệ số bất định.
Nếu α ± iβ là một nghiệm của phương trình đặc trưng thì một nghiệm riêng
của phương trình (10) có dạng: y = xeα [x A x β x+ B x β x n ( )cos n ( )sin
Các hệ số của các đa thức An(x), Bn(x) cũng được xác định bằng phương pháp hệ số bất định.
Trường hợp 3. f ( )
x = M cosβ x+ N sinβ x (trường hợp đặc biệt), trong đó M,
N, β là các hằng số thực ở đây ta có α = 0, n = 0.
Nếu ±iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì một nghiệm
riêng của phương trình (10) có dạng: y = Acos
βx + Bsinβx, trong đó A, B là hai hằng số.
Nếu ±iβ là một nghiệm của phương trình đặc trưng thì một nghiệm riêng của
phương trình (10) có dạng: y = x(Acosβx + Bsinβx), trong đó A, B là hai hằng số
chưa biết có thể xác định bằng phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y’ + y = sinx + cos2x Phương trình thuần n ấ
h t tương ứng: y’ + y = 0
Phương trình đặc trưng tương ứng là: k2 + 1 = 0 ⇔ k = ±i Do đó nghiệm ổ
t ng quát của phương trình thuần nhất là: y = C1cosx + C2sinx
trong đó C1, C2 là hai hằng số bất kỳ. 12
Để tìm nghiệm của phương trình đã cho ta áp dụng phương pháp chồng nghiệm.
Gọi: y*1 là 1 nghiệm riêng của phương trình: y’ + y = sinx (*)
y*2 là 1 nghiệm riêng của phương trình: y’ + y = cosx (**)
Khi đó phương trình đã cho có nghiệm riêng: y* = y*1 + y*2
Vì k = ±i là một nghiệm của phương trình đặc trưng trên y*1 = x(Acosx + Bsin x)
y*1 = Acosx + Bsinx + x(-Asinx + Bcosx )
y*1 = - Asinx + Bcosx + (-Asinx + Bcosx) + x(-Acosx – Bsinx)
Thay vào phương trình (*) ta được: - 2Asinx + 2Bcosx = sinx 1 2 − A = 1 − Ta suy ra: A = ⇔ 2 2B 0 = B = 0 Do đó y* − 1 = 1 xcosx 2 Vì 2
± i không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên: y*2 = Ccos2x + Dsin2 x Ta có: y*’2 = - 2Csin2x + 2Dcos2x
y* ‘’2 = - 4Ccos2x – 4Dsin2x
Thay vào phương trình (**) ta được: - 3Ccos2x – 3Dsin2x = cos2x −1 Ta suy ra: −3C = 1 C = ⇔ 3 −3D = 0 D = 0 1 Do đó: − * y = cos 2x 2 3 − 1 1
Vậy nghiệm riêng c ủa phương trình đã cho là: * y = c x os x− cos 2x 2 3 Do đó nghiệm ổ
t ng quát của phương trình đã cho là: 1 1 y = c C os x+ C sin x− c x os x− cos 2, trong đó C là hai hằng số ất kỳ 1 2 2 3 1, C2 b .
1.2. Bài toán giá trị biên Sturm - Liouvil e 1.2.1. Định nghĩa
Bài toán giá trị biên Sturm - Liouville là bài toán có dạng sau: 13 [
− p(x).y'(x)]' + q(x)y(x) = λr(x)y(x) với a < x < b (1) với đ ề i u kiện biên sau: C1y(a) + C2y' (a) = 0, C3y(b) + C4y' (b) = 0, trong đó 2 2 C C + ≠ 0; 2 2 C C +
≠ 0; p(x), p'(x), q(x), r(x) liên tục trong (a, b); p(x) > 1 2 3 4
0 và r(x) > 0 với mọi x∈[a, b]; λ là tham số.
Ví dụ. Phương trình vi phân y" + λy = 0 (0 < x < L) là bài toán Sturm -
Liuovil e với các điều kiện biên khác nhau sau:
a) y(0) = y(L) = 0: p = 1, q = 0, r = 1, C1 = C3 = 1, C2 = C4 = 0.
b) y' (0) = y' (L) = 0: p = 1, q = 0, r = 1, C1 = C3 = 0, C2 = C4 = 1.
c) y(0) = y' (L) = 0: p = 1, q = 0, r = 1, C1 = C4 = 1, C2 = C3 = 0.
1.2.2. Nghiệm của bài toán
Bài toán Sturm - Liouville luôn có nghiệm tầm thường y ≡ 0.
Nói chung có những giá trị λ mà bài toán sẽ có thêm nghiệm không tầm
thường. Khi đó, giá trị λ này đ ợ
ư c gọi là giá trị riêng và nghiệm không tầm thường
tương ứng gọi là hàm riêng.
Nghiệm của phương trình (1) có thể biểu diễn dưới dạng:
y(x) = α.u1(x, λ) + β.u2(x, λ), trong đó u1, 2
u là các nghiệm độc lập và α, β là các hằng số tùy ý.
Thay vào điều kiện biên của bài toán ta có hệ: [
α C u (a,λ )+ C u′ (a,λ )] + β [C u (a,λ )+ C u ′ (a, λ )] = 0 1 1 2 1 1 2 2 2 [
α C u (b,λ) + C u′ (b,λ )] + β [C u (b,λ )+ C u′ (b,λ )] = 3 1 4 1 3 2 4 2
Để đảm bảo hệ không chỉ có nghiệm tầm th ờ
ư ng α = β = 0 thì cần có [C u (a,λ )+ C u′ (a, λ )] [C u (a λ ,+ ) C ′ u ( λ a, )] 1 1 2 1 1 2 2 2 =
[C u (b,λ )+ C u′ (b,λ )] [C u (b λ, + ) C′ u (b λ , )] 3 1 4 1 3 2 4 2
Giải phương trình này sẽ cho ta giá trị riêng λ và từ đó có hàm riêng tương ứng thỏa đ ề
i u kiện biên khi thay λ tìm được vào (1). 1.2.3. Định lý 1
i) Tất cả các giá trị riêng của bài toán Sturm - Liouville đều là số thực và
chúng tạo thành m ột dãy tăng λ1 < λ2 < … < λn < … có limλn = +∞. Đặc b ệ
i t: Nếu q(x) ≥ 0, ∀x∈[a, b] thì tất cả giá trị riêng đều không âm. 14
i ) Với mỗi giá trị riêng λ cho ta một hàm riêng duy nhất ộ đ c lập.
Dãy các hàm riêng tương ứng với các giá trị riêng phân biệt là trực giao ớ v i
hàm trọng số r(x), nghĩa là, giả sử yi(x) và yj(x) là các hàm riêng ứng với giá trị b
riêng λi và λj khác nhau thì y (x)y (x).r(x)dx = 0 ∫ . i j a
i i) Giả sử {yn}n là dãy các hàm riê ng của bài toán. r(x).y (x)
Khi đó, dãy các hàm un( x) = n
(n = 1, 2, 3, …) tạo thành họ trực r(x).y (x) n chuẩn ầ đ y đủ trong L2(a, b).
iv) Giả sử {yn}n là dãy các hàm riêng của bài toán. Nếu f khả vi liên tục trong
(a, b); f " liên tục từng khúc; f thỏa mãn các điều kiện biên của bài toán Sturm- ∞ Liouvlle thì chuỗi f ,u u (x) ∑
hội tụ về f(x), với mọi x∈(a, b) (trong đó u n n n(x) = n 1 = r(x).y (x) n (n = 1, 2, 3, …)). r(x).y (x) n So sánh
Trong sách “Analytic Methods for Partial Differential Equations” của
G.Evans, J.Blackledge và P.Yarley định nghĩa bài toán giá trị biên S turm-Liouvil e như sau:
Bài toán giá trị biên Sturm-L iouvil e là bài toán có dạng: d dy [p(x) ] + [g(x) + r
λ(x)].y(x) = 0 (a < x < b), dx dx với đ ề
i u kiện biên α1y(a) + β1y' (a) = 0 và α2y(b) + β2y' (b) = 0,
trong đó p(x), g(x), r(x) là hàm thực liên tục trên [a, b]; p khả vi liên tục trên (a, b)
và thỏa p(x) > 0 (hoặc p(x) < 0), r(x) ≥ 0(hoặc r(x) ≤ 0) với a ≤ x ≤ b (r(x) không
đồng nhất không trên bất kì lân cận nào của x trong (a, b)2 α ); 2 2 2 + β 0 ≠ ; α + β ≠ 0; 1 1 2 2 λ là tham số.
Phương trình vi phân tuyến tính trong bài toán có thể được viết dưới dạng: d d
[L + λr(x)]y(x) = 0, trong đó L = [p(x) ] + g(x). dx dx 15 2 d d
Với cách viết này thì toán tử dạng L1 =a (x) + a (x) + a (x có thể 2 2 1 0 dx dx
đưa về dạng L bằng cách đặt: a (x) a (x) 1 dx 1 dx a (x) p(x) = ∫ ∫ a (x) 0 a (x) 2 e và g(x) = 2 .e . a (x) 2 2 d d Ví dụ. L 2 3 1 = x + + x , tương ứng ta có: 2 dx dx
a2(x) = x2 , a1(x) = 1, a0(x) = x3. 1 1 3 1 1 dx x − − Đặt p(x) = 2 x x e e− ∫ = và g(x) = .e x = x. x e . 2 x 1 1 d − d − Khi đó, L x x [e ] + xe .
1 được đưa về dạng sau: dx dx
1.3. Biến đổi Fourier 1.3.1. Chuỗi Fourier Cho 1
F ∈ L ( ) , nghĩa là F khả tích Lesbesgue trên
, F là một hàm tùy ý
được định nghĩa trong (−l,l ) . Chuỗi lượng giác vô hạn 1 ∞ nπ x nπ x a a os c b sin + + ∑ 0 2 n n l l n 1 = được ọ g i là chuỗi Fourier của
F (x) nếu hệ số a và b được cho bởi n n 1 l nπ x 1 l nπ x a F x c = dx b F x = dx, n ( ) sin n ( ) os l ∫ l l ∫ l − l l −
trong trường hợp này các ệ h số trên được ọ g i là hệ số Fourier củ F a ( x) .
Vì vậy, mỗi hàm lượng giác trong chuỗi Fourier là tuần hoàn trong chu kỳ
2l, có nghĩa là, nếu ch ỗ
u i hội tụ tới F (x) trong (−l,l ), thì nó hội tụ đến mở rộng không tuần hoàn chu kỳ 2 l của F (x). F (x) = ( F )x ( l− < x < )l và F( ) x = ( F x 2 + )l
với mọi x trong miền xác định của
F , xem bài toán Sturm - Liouvil e. Nếu F tuần hoàn chu kỳ
2π , ta có định nghĩa chuỗi Fuorier của F tương tự
như trên, trong đó các hệ số a , b được tính trên một đ ạ o n tùy ý[ ; a a+ 2π ]. n n 16 π x
Nếu F là hàm tuần hoàn chu kỳ 2k, bằng phép đổi biếtn = , ta đưa về k
trường hợp tuần hoàn chu kỳ 2π .
Định lý 2 mô tả các điều kiện đầy đủ cho sự hội tụ của chuỗi Fourier, về mặt tính chất của F ( )
x . Điều này tất nhiên xuất phát từ tính chất của F (x) , như đề cập
ở bài toán Sturm - Liouvil e. Nhắc lại, một hàm là hội tụ điểm hoặc liên tục từng đoạn trong ( − , ∞ )
∞ nếu chúng có hầu hết các bước n ả
h y hữu hạn xác định không
liên tục trong bất kỳ khoảng có độ dài xác định.
Định lý 2. Cho F (x) được định nghĩa trong (−l,l ) và cho F (x) là mở rộng tuần hoàn với chu kỳ 2l của F (x) . (i) Nếu F (x) và
F (x) liên tục từng đoạn và chuỗi Fourier F (x) hội tụ điểm tới F (x) , tại đó F ( )
x liên tục. Tại mỗi điểm x mà
F (x) có bước nhảy không liên 0
tục, chuỗi hội tụ đến giá trị trung bình của giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của F ( ) x tại x . 0 (i ) Nếu
F (x) liên tục và F ′ (x ) liên tục từng đoạn, chuỗi Fourier hội tụ đều đến F ( ) x . (i i) Nếu F (x) thuộc p C và nếu ( p+ )1 F
(x ) liên tục từng đoạn, chuỗi đạt được
bằng cách lấy vi phân chuỗi Fourier cho
F (x) đạo hàm j lần hội tụ đều đến ( j) F (x) .
1.3.2. Chuỗi Fourier suy rộng
Để mở rộng khái niệm ch ỗ
u i Fourier, trước hết ta nhắc ạ l i định nghĩa tích
trong của hai véctơ trong RN:
x.y hoặc < x, y > ≡ x1y1 + x2y2 + . . . + xNyN
Một tập các véctơ {x1, x2, . . ., xM} trong RN là một họ trực giao nếu < xi , xj
> = 0 với i ≠ j, (i, j = 1,2, . . ., M); nó là một họ trực chuẩn nếu: 0 i ≠ j x , x = δij ≡ i j 1 i = j 17
Rõ ràng, một họ trực giao không chứa vectơ không luôn có thể được tạo
thành một họ trực chuẩn bằng cách chia mỗi vectơ xi cho chuẩn của nó, 1 x = x , x 2 . i i i
Định nghĩa. Một họ trực giao là ầ
đ y đủ trong RN nếu chỉ vectơ trực giao với
mỗi thành phần của họ là vectơ không.
Định lý 3. Mỗi họ trực giao đầy đủ { x1, . . ., xM} là một cơ sở của RN ,
trong trường hợp đó một vectơ v của nó có biểu diễn: N v = , v x x ∑ n n n=1
Hệ số cn ≡ trong (0.22) được biểu thị bởi biểu thức Pithagorean N 2 v = c . ∑ n n 1 = b
Cho F(x) là một hàm xác định trên trên (a, b) và thỏa mãn F 2 (x) dx < ∞ ∫ a
Tập hợp tất cà các hàm sẽ được biểu thị bởi L2(a, b). Hai đối tượng, F và G, b
được nói là bằng nhau t rong L2(a, b), theo nghĩa nếu 2 [ F (x )− G ( ) x ] dx= 0 ∫ . a
Khái niệm bằng nhau này thường sử dụng để định nghĩa nhưng coi là hội tụ
trung bình của một chuỗi vô hạn các hàm trong L2(a, b): F 1(x) + F2(x) + . . . b N
hội tụ đến giới hạn F(x) trong L2(a, b) nếul 2 im [F(x) − F (x )] dx ∫ ∑ = 0 i N →∞ i 1 a =
(loại hội tụ này thường định nghĩa là ộ
h i tụ trung bình bình phương) b
Với giới thiệu tích trong F,G = F(x)G(x)dx ∫ a
L2(a, b) trở thành một không gian tích trong. Tính trực giao, trực chuẩn và
tính đầy đủ được định nghĩa chính xác như trong RN. Trong L2(a,b) , một họ trực
chuẩn đầy đủ thì cần thiết vô hạn, nhưng một họ trực chuẩn vô hạn thì không cần thiết ầ đ y đủ.
Ví dụ. Trong L2(-l, l), cả hai họ sau là không trực chuẩn không đầy ủ đ 1 πx 1 2π x 1 3 π x π x π x sin , sin , sin ,.. và 1 1 1 2 , cos , cos ,. l l l l l l 2l l l l l
Chẳng hạn như, cho F(x) ≡ 1, 18 l 1 nπ x 1 n π x 1, sin = sin dx = 0, n = 1,2, . ∫ l l l l l −
Tuy nhiên, hợp của hai ọ
h trên là một họ trực ch ẩ
u n đầy đủ, và nó sinh ra
chuỗi Fourier ở trên với hàm khả tích bình phương F(x).
Định lý 4. Nếu {un(x)}, n = 1, 2, . . . , là một họ trực ch ẩ u n đầy đủ trong
L2(a, b), thì với bất kỳ F(x) trong L2(a, b), ∞ F(x) ≈ F, u u ( ) x ∑ n n n 1 =
(hội tụ trung bình bình phương của ch ỗ u i đến F(x)). ∞ 2 2 F(x ) = F ∑ (hội tụ thường) n n=1 được ọ
g i là đẳng thức Parseval.
Xét bài toán Sturm - Liouvil e ở trên, sự mở rộng hàm riêng nghĩa là mở
rộng chuỗi Fourier cho một hàm F trong2
L ( ,a )b dựa trên họ (0.14) không chỉ hội
tụ trung bình theo chuẩn bình phương (định lí 4), mà còn theo định lí sau : Định lý 5.
(i) Nếu F và F′ là hai hàm liên tục trên khoảng ( , a )
b thì chuỗi hội tụ từng F ( x )+ + ( F x )− điểm đến giá trị
tại mỗi x trong khoảng ( ,a )b. 2
(i ) Nếu F và F′ liên tục trên khoảng ( , a )
b , F′ liên tục từng đoạn và F thỏa
mãn các điều kiện biên của bài toán Sturn-Liouvil e ở trên, thì chuỗi hội tụ đều đến F (x) trong khoảng ( , a ) b . 1.3.3. Tích phân Fourie r Cho Cho 1 f ∈ L ( ) , ta đặt: +∞ +∞ (A ) 1 t= (f )u utdu ( ) 1 cos , B t = ∫ ∫ ( f) sin u u π π −∞ −∞ +∞ Hàm (f )x= ∫ (A)cos t tx + ( ) B sin t tx
được gọi là tích phân Fourier của 0 f (x) .
Nếu f (x) là hàm chẵn, cụ thể làf (x) =f ( − )x thì 19 +∞ (A) 2 t=
∫ (f ) cuos ut ,du ( )B t= 0 π −∞ +∞ Khi đó: f ( )
x = ∫ (A )ctos txd là tích phân Fuorier Cosine 0
Nếu f (x) là hàm lẻ, cụ thể là f (x) = − f( )x thì +∞ (A )t= ( ) 2 0, B t= (f ) s u in utd π ∫ 0 +∞ Khi đó: f (x) = B
∫ ( )tsin txdtlà tích phân Fuorier Sine 0
1.3.4. Biến đổi Fourier
1.3.4.1. Định nghĩa. Với mọi 1 f ∈ L ( ) , ta có +∞ ( ) = (α) iα x f x F e dα ∫ , −∞ trong đó +∞ (α ) 1 = ( ) −iαx F f x e dx 2π ∫ . −∞
Hàm F (α ) được gọi là biến đổi Fourier của f( )
x , kí hiệu F ( f ) = F(α ). Kh i đó, f ( ) x là biến ổ
đ i Fourier ngược của F (α ).
1.3.4.2. Các tính chất ( ) 1. F ( n f ( )x) = ( iα )n (Fα ) . 2. F ( n x f ( )x) = ( )n ( )n i F (α ) . 3. F ( f( x− ) − ic c = eα (Fα ) (. c= ) cons 4. ( −icx F e f ( )x) = ( F α − )c .
5. F (c f x + c f x = c Fα + c Fα 1 1 ( ) 2 2( ) 1 ( 1 ) 2 (2 ) 6. F ( f ( c )x 1 = c− (Fα )c . F ( F (x)) 1 7. = f( α − ) . 2π +∞
8. (F f∗ (g )x = 2π (Fα) (Gα) , trong đó f ∗ g (x)= f ( x− ∫ )y ( g )y d: gọi là −∞
tích chập của hàm f và g . 20
1.3.4.3. Biến đổi Fourier của các hàm thông dụn g 1. F( − −α −cx e ) = ( 4π ) 2 2 1 c 2 e 4 c ( c> )0 2.F ( −λ λ x e )= λ > 0 π ( 2 2 α + λ ) ( ) 2 λ 3. F = e−λα (λ > )0 2 2 x + λ 1 khi x< A α F (I ( ) x ) sinA 4. = , trong đó I (x ) = A πα A 0 kh i x> A 2sinAx 5. F = I ( α A ) x 0 khi x< 0 F (E x = ⋅ a> , trong đó E x = a ( ) a ( )) 1 1 6. ( Re )0 2π a + iα a − x e k h i x > 0
1.3.4.4. Biến đổi Fourier và tích phân Laplace
Định lý 1 (i) và (iii) đều ề
đ cập đến trị riêng n = 0,1,2.. và hàm riêng { in }x e± của bài toá n ′ ( w )x= λ (w ) x − π < x < π ( w π − ) = ( w π ) w′( π − ) = w′(π )
Nó thuộc loại Sturm - Liouville, ngoại trừ điều kiện biên, không tuần hoàn
thay vì điều kiện tách. Do đó ớ v i f (x) tùy ý trong 2 L ( π − ,π ) , ta có: π f ∫ ( ) x − f ( ) 2 lim x dx= 0 (a ) N π − N trong đó f ( ) inx x = F e ∑ (b) N n − N π và 1 F = f (x) inx e dx n= ± ± (c) n ( 0, 1, 2, )... 2π ∫ π − Giả sử f (x) trong 2 L ( − ,
∞ ∞). Nếu f (x) không đồng nhất bằng 0, không
tuần hoàn và có mở rộng không hợp lệ. Tuy nhiên trong trường hợp này ta có: 21 ∞ f ∫ ( )x − f ( )2 lim x dx= 0 (d) N N→∞ −∞ N
Khi đó f ( )x = ∫ (Fα) iαx e dα (e) N − N ∞ và (α ) 1 = ( ) i−αx F f x e dx (f 2π ∫ ) −∞
Chú ý sự tương tự giữa (a), (b), (c) và (d), (e), (f). Hàm F (α ) định nghĩa
trong (c) được gọi là biến đổi Fourier của hàmf (x). Ta sẽ mô tả mối liên hệ giữa hai hàm F { f (x)} = (
F α) hoặc F 1− {F (α )} = f( )x
Các tính chất toán tử của biến đổi Fourier được liệt kê ở Bảng 1-1. Ngoài ra,
Bảng 1-2 được gọi là biến đổi Fourier củaf (x). Mục đích của chúng ta là nghịch đảo của b ế
i n đổi Fourier được chỉ ra bởi bảng 1-2 như một từ điển. Chú ý rằng,
dòng 7 của bảng 1-1 tương đương với công thức nghịch đảo ∞ (α) iαx F e dα = ∫ (f )x −∞
Hàm f ∗g được định nghĩa ở dòng 8 được gọi là phép tích nhập của hàm f
và g . Rõ ràng toán tử tích nhập là đối xứng, kết hợp và phân phối với phép nhân.
Bảng 1-1. Các tính chất của biến đổi Fourie r f (x) ∞ (α ) 1 = ( ) i−αx F f x e dx 2π ∫ −∞ 1. (n) f (x) ( α )n i F (α ) 2. n x f ( )x n n i F (α) 3. f (x − )c − icα (n) e F (α ) c= o c ns 4. icx e (f )x F (α − c) c o c = ns 5. C f x +C f x C F α + C F α 1 1 ( ) 2 2( ) 1 1 ( ) 2 (2 ) 6. f ( c )x − 1 c F (α )c c o c = ns 7. F (x) 1 f ( α − ) 2π 22 ∞ 2π F (α )G(α ) 8. f ∗g ( ) x = f ( x− ) y ( g )y d ∫ −∞
Bảng 1-2. Cặp biến đổi Fourier f (x) ∞ (α) 1 = ( ) −iαx F f x e dx 2π ∫ −∞ 1. 2 cx e− α π 2 2 α + λ 2. − x e λ n n i F (α) λ > 0 − 3. 2α e λα 2 2 α + λ 1 x < A sin A α 4. I x ≡ A ( ) 0 x> A πα 2sin Ax I 5. α A ( ) x 0 x < 0 1 1 6. E ≡ Reα > 0 α ( x) α− x e x> 0 2π a+ i α
Biến đổi Fourier như được mô tả ở đây theo hàm f (x) trong 2 L ( − , ∞ ) ∞ . A
liên quan tới biến đổi tích phân, được gọi là biến ổ
đ i Laplace, được định nghĩa bởi ∞ F { f (t)} = f (t) −st e dt≡ (f )s ∫ 0
Biến đổi này có thể đề cập tới hàm f(t ) được định nghĩa với −∞ < t < ∞ và
thỏa mãn f (t ) = 0 với t < 0 . Chú ý rằng f (t ) không cần thuộc 2 L ( − , ∞ ) ∞ ; Chỉ cần
tồn tại hằng số dương M và b để ( ) bt f t M ≤ ≤e với t > 0.
Bảng 1-3 liệt kê các công thức mở rộng cho biến ổ đ i Laplace, và bảng 1-3
đưa ra biến đổi Lap l ac e của các hàm ặ đ c biệt. 23