Bài giảng phương trình đạo hàm - Toán cao cấp c2 | Trường Đại Học Duy Tân

Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (hệ số hằng) là phương trình có dạng: ( )y ay by f x′′ ′+ +=. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

16 8 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Toán cao cấp c2 (mth 102)

Trường: Đại học Duy Tân

Thông tin:

191 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Chương 1
NHỮNG KIẾN TH N ỨC CƠ BẢ
1.1. Phương trình vi phân
1.1.1. Phương trình vi phân tuy ấến tính c p 1
Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến t í nh cấ ạp 1 là phương trình có d ng:
( ) ( )
y p x y f x
′
+ =
(1)
trong đó,
( ) ( )
,p x f x
là các biểu thức theo biến x.
Nếu
( )
0f x ≡
thì phương trình (1) gọi là phương trình tuyế ấn tính c p 1 thuần
nhất.
Nếu
( )
0f x ≡
thì phương trình (1) g i là phương trìnhọ tuyến tính cấp 1 không
thuần nhất.
Phương pháp giải.
Phương pháp 1. Phương pháp bi ố (Phương pháp Lagrange)ến thiên hằng s
Xét phương trình thuần nhấ ứt tương ng của (1):
( ) ( )
y p x y f x
′
+ =
(2)
Nghi ng: ệm tổng quát c a (2) có dủ ạ
( )
p x dx
y Ce
−
∫
=
Nghi ng: ệm tổng quát c a (1) có dủ ạ
( )
( )
p x dx
y C x e
−
∫
=
(3)
Thay (3) vào (1) để tìm C(x), ta được:
( ) ( )
( )
.
p x dx
C x f x e
∫
′
=
.
T ừ đó ta có:
( ) ( )
( )
.
p x dx
C x C f x e
∫
= +
∫
(4)
V b ới C là hằng số ất kỳ. Thế (4) vào (3) ta đư ệợc nghi m của (1):
(5)
Ví dụ. Giải phương trình:
sin
cos
x
y y x e
−
′
+ =
(*)
4
Giải.
Phương trình thuầ ấn nh t:
cos 0y y x
′
+ =
có nghiệm dạng:
cos
sin
.
xdx
x
y C e Ce
−
−
∫
= =
Nghiệm của phương trình (*) có dạng:
( )
sin
.
x
y C x e
−
=
Thay vào (*) ta có:
( ) ( ) ( )
sin sin sin sin
. . .cos . .cos
x x x x
C x e C x e x C x e x e
− − − −
− + =
Ta suy ra:
( )
sin sin
.
x x
C x e e
− −
′
=
Do đó:
( )
C x x C= +
Vậy nghiệm của phương trình (*) là:
( )
sin x
y e x C
−
= +
.
Phương pháp 2. Phương pháp Bernonlli
Xét phương trình:
( ) ( )
y p x y f x
′
+ =
(1)
Tìm nghiệm của phương trình (1) ở ạ d ng:
( ) ( )
.y u x v x=
) (6
Thế vào phương trình (1) ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. . . .u x v x v x u x p x u x v x f
′ ′+ + =
Suy ra:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
. .u x u x p x v x v x u x f
′ ′
+ + =
(7)
Chọn
( )
u x
là mộ ệt nghi m của phương trình:
( ) ( ) ( )
. 0u x p x u x
′
+ =
(8)
s Giả ử:
( )
( )
p x dx
u x e
−
∫
=
(9)
T ừ (7), (8) và (9) ta có:
( )
( )
( )
.
p x dx
v x e f x
−
∫
′
=
Ta suy ra:
( ) ( )
( )
.
p x dx
v x f x e
∫
′
=
Do đó:
( ) ( )
( )
.
p x dx
v x f x e C
∫
= +
∫
Vậy nghiệm của phương trình (1) là
( )
( )
( )
p x dx p x dx
y e C f x e
−
∫ ∫
= +
∫
.
Ví dụ. Tìm nghiệm của phương trình:
2
2
sin
sin cos , ,
x
y x y x x y
x
′
− = → ∞ →
Giải.
Tìm nghiệm của phương trình dạng:
( ) ( )
.
y u x v x=
5
Ta suy ra:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
sin
. . .sin cos . .
x
u x v x v x u x x x u x v x
x
′ ′+ − =
Chọn
( )
u x
là mộ ệt nghi m của phương trình:
( ) ( )
.sin cos 0u x x u x x
′
− =
Có thể ấ l y
( )
sinu x x=
Khi đó, phương trình trở thành:
( )
2
2
2
sin
sin
x
v x x
x
′
= −
.
Ta suy ra:
( )
2
1
v x
x
′
= −
Do đó:
( )
1
v x C
x
= +
Vậy
( ) ( )
1
. siny u x v x x C
x
= = +
Thoả ề đi u kiện
, 0x y→ ∞ →
khi
0
C =
Vậy
sin x
y
x
=
là nghiệm của phương trình.
Phương pháp 3. Phương pháp ốthừa s tích phân
Xét phương trình:
( ) ( )
y p x y f x
′
+ =
(1)
Nhân cả chai vế ủa (1) cho
( )
p x dx
e
∫
, ta được:
( )
( )
( )
( )
( )
. . . .
p x dx p x dx p x
y e p x y e f x e
∫ ∫ ∫
′
+ =
( )
( )
( )
.
p x dx p x d
d
y e f x e
dx
∫ ∫
⇔ =
Lấy tích phân hai vế ta được:
( )
( )
( )
. .
p x dx p x dx
y e f x e C
∫ ∫
= +
∫
Ta suy ra:
.
Ví dụ. Giải phương trình:
1
.
cos
y y tgx
x
′
+ =
Giải.
Nhân hai vế của phương trình với:
1
cos
tgxdx
e
x
∫
=
, ta được:
2 2
1 sin 1
cos cos cos
x
y y
x x x
′
+ =
2
1 1
.
cos cos
d
y
dx x x
⇔ =
6
L , ấy tích phân hai vế ta được:
1
.
cos
y C tgx
x
= +
Ta suy ra:
( )
cosy x C tgx= +
Vậy nghiệm của phương trình là:
.cos siny C x= +
.
1.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấ ố ằp 2 (hệ s h ng)
Định nghĩa. Phương trình vi phân tuy ốến tính cấp 2 (hệ s hằng) là phương
trình ng:có dạ
( )
y ay by f x
′′ ′
+ + = (10)
trong đó,
( )
f x
. là biểu thức theo biến x; a, b là các hằng số
Nếu
( )
0f x ≡
thì phương trình (10) g i là phương trìnhọ tuyến tính cấp 2 thuần
nhất.
Nếu
( )
0f x ≡
thì phương trình (10) gọi là phương trình tuyến tính cấp 2
không thu n nhầ ất.
Phương pháp giải.
Phương pháp gi i phương trình thu ấả ần nh t.
Xét phương trình:
y’’ + ay’ + by = 0 (11)
Ta tìm nghi m riêng cệ ủa phương trình (11) dưới dạng
kx
y e=
, , trong đó k là
hằng số cần tìm.
Thay vào phương trình (11) ta được:
( )
2
0
kx
e k ak b+ + =
Ta suy ra:
2
0k ak b+ + =
(12)
Phương trình (12) g ủa phương trìnhọ ặi là phương trình đ c trưng c (11)
Xét
2
4a b∆ = −
Ta có 3 trườ ợng h p:
Trường h p 1.ợ
0∆ >
Phương trình (12) có 2 nghiệ ựm th c phân biệt
1
k
và
2
k
.
Khi đó, phương trình (11) có 2 nghiệm:
1 2
1 2
,
k x k x
y e y e= =
.
Hai nghi p tuy n tính vì: ệm này độc lậ ế
( )
1 2
1
2
k k x
y
e
y
−
=
hằng. Do đó, nghiệm tổng
quát của phương trình (11) là:
1 2
1 2
.
k x k x
y C e C e= +
, t rong đó C
1
, C
2
là hai hằng số tuỳ ý.
7
Trường h p 2.ợ
0∆ =
Phương trình (12) có một nghi m kép thệ ực
1 2
k k=
.
, Do đó phương trình (11) có một nghiệm riêng
1
1
k x
y e
=
.
Ta tìm nghi m riêng thệ ứ hai là
2
y
, độc lập tuyến tính với y
1
có dạng:
( ) ( )
1
2 1
.
k x
y y u x u x e= =
Ta có:
1 1
1 1 1
2 1
2
2 1 1
2
k x k x
k x k x k x
y u e k ue
y u e k u e k ue
′ ′
= +
′′ ′′ ′
= + +
Thay vào phương trình (11), ta được:
( )
1
2
1 1 1
(2 ) 0
k x
e u k a u k ak b u
′′ ′
+ + + + + =
Ta suy ra:
( )
2
1 1 1
2 ( ) 0u k a u k ak b u
′′ ′+ + + + + =
Vì
1
k
là nghiệm kép của phương trình (12) nên ta có:
2
1 1
0k ak b+ + =
và
1
2
a
k
−
= hay
1
2 0k a+ =
Ta suy ra:
0
u
′′
=
Vậy
u Ax B= +
.
Chọn A = 1, B = 0, ta được :
u x=
.
Do đó:
1
2
k x
y xe
=
.
Vậy phương trình ệ(11) có nghi m tổng quát là:
( )
1
1 1 2 2 1 2
k x
y C y C y e C C x= + = +
,
với C
1
, C
2
là hai hằng số b . ất kỳ
Trường h p 3.ợ
0∆ <
Phương trình (12) có hai nghiệm phức liên hợp:
1 2
,k i k i
α β α β
= + = −
trong đó:
2
, , 1
2 2
a
i
α β
− −∆
= = = −
.
Hai nghiệ ộm riêng đ c lập tuy n tính cế ủa phương trình (11) là:
1 2
cos , sin
x x
y e x y e
α α
β β
= =
Vậy nghiệm tổ ủng quát c a phương trình (11) là:
[ ]
1 1 2 2 1 2
cos sin
x
y C y C y e C x C x
α
β β
= + = +
.
trong đó, C
1
bvà C
2
là hai hằng số ất kỳ.
8
Ví dụ. Giải phương trình:
10 25 0y y y
′′ ′− + =
vớ ềi đi u kiện
( ) ( )
0 1, 0 5y y
′
= =
.
Giải.
Phương trình đ c trưng tương ặ ứng:
2
10 25 0k k− + =
5k⇔ =
( nghiệm kép).
Vậy nghiệm tổng quát:
5 5
1 2
x x
y C e C xe= +
Ta có:
( )
1
0 1 1y C= ⇒ =
;
( )
1 2 2
0 5 5 6y C C C
′
= ⇒ + = ⇒ =
.
Vậy:
( )
5
1
x
y e x= +
.
Ví dụ. Giải phương trình :
2 4 0y y y
′′ ′+ + =
Giải.
Phương trình đ c trưng tương ặ ứng:
2
2 4 0k k+ + =
1
2
1 3
1 3
k i
k i
= − −
⇔
= − +
Vậy phương trình có nghi ổệm t ng quát là:
1 2
cos 3 sin 3
x
y e C x C x
−
= +
Phương pháp gi i phương trình không thuả ần nhất.
Xét phương trình:
( )
y ay by f x
′′ ′+ + =
(10)
Phương pháp 1. Phương pháp bi ốến thiên hằng s (Lagrange)
Giả sử nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (11) là:
1 1 2 2
y C y C y= +
.
trong đó, C
1
bvà C
2
là hai hằng số ất kỳ.
Bây gi ta xem ờ, C
1
và và C
2
là hai hàm số của biến x , tìm C
1
C
2
để
1 1 2 2
y C y C y= +
. là mộ ệt nghi m của phương trình (10)
Ta có:
1 1 2 2 1 1 2
y C y C y C y C y
′ ′ ′ ′
= + + +
Ch và ọn C
1
C
2
sao cho :
1 1 2 2
0C y C y
′ ′+ =
Khi đó:
1 1 2 2
y C y C y
′ ′ ′
= +
1 1 2 2 1 1 2 2
y C y C y C y C
′′ ′′ ′′ ′ ′ ′ ′
= + + +
Thay vào phương trình (10) ta được:
( )
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2
( ) ( )C y ay by C y ay by C y C y f
′′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′
+ + + + + + + =
Vì y
1
và y
2
là 2 nghiệm của phương trình thuần nhất nên:
( )
1 1 2 2
C y C y f x
′ ′ ′ ′
+ =
Vậy
1 1 2 2
y C y C y= +
là nghiệm của phương trình (10) nên ta có hàm số C
1
(x)
và C
2
(x) thoả mãn hệ phương trình:
9
( )
1 2
1 1 2 2
0C y C y
C y C y f x
′ ′+ =
′ ′ ′ ′
+ =
1 2 1 2
0D y y y y
′ ′
= − ≠
Do y
1
, y
2
là hai nghiệm của phương trình thuầ ấn nh t.
Do đó, h ệ luôn có m t nghiộ ệm duy nhất:
( ) ( )
' '
1 1 2 2
,C x C x
ϕ ϕ
= =
Lấy tích phân hai vế ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2
,C x x k C x x k
φ φ
= + = +
Trong đó
( ) ( )
1 2
,x x
φ φ
là các nguyên hàm của
( ) ( )
1 2
,x x
ϕ ϕ
, k
1
, k
2
là hai hằng số
bất kỳ.
V y ậ nghiệm tổ ủng quát c a phương trình (10) là:
1 1 2 2
y C y C y= +
( ) ( )
1 1 2 2 1 1 2 2
k y k y x y x y
φ φ
= + + +
Ví dụ. Tìm nghi ng quát cệm tổ ủa phương trình:
2
x
e
y y y
x
′′ ′
− + =
Giải.
Phương trình thuần nhấ ứt tương ng:
2 0y y y
′′ ′− + =
Phương trình đặc trưng tương ủứng c a phương trình là:
2
2 1 0k k− + =
1k⇔ =
(nghiệm kép)
Vậ ệy phương trình (2) có nghi m tổng quát là:
1 1 2 2 1 2
x x
y C y C y C xe C e= + = +
với y
1
= xe , y
x
2
= e
x
Ta xem C
1
c . và C
2
là hai hàm số ủa biến x
Ta tìm C
1
và C
2
sao cho
1 1 2 2
y C y C y= +
là nghiệm của phương trình đã cho.
Khi đó C
1
(x) và C
2
(x) thoả mãn hệ phương trình:
( )
1 2
1 1 2 2
0C y C y
C y C y f x
′ ′
+ =
′ ′ ′ ′
+ =
( )
1 1 2
1 2
0
1
x x
x
x x
C xe C e
e
C x e C e
x
′ ′
+ =
⇔
′ ′
+ + =
với
( )
x
e
f x
x
=
Tính các định thức :
2
2 2
1 2
, ,
x
x x
e
D e D D e
x
−
−
= − = =
Do đó:
1
1 2
1
, 1
D
C C
D x
′ ′= = = −
Suy ra:
( )
1 1
1
lnC x dx k x
x
= = +
∫
,
( ) ( )
2 2
C x dx k x= − = −
∫
.
Vậy nghiệm tổ ủng quát c a phương trình đã cho là:
( )
( )
1 1 2 2 1 2
ln
x x
y C y C y k x xe k x= + = + + −
10
với k
1
, k
2
là hai hằng số bất kỳ.
Phương pháp 2. Phương pháp ố ấ h sệ b t định
Trườ ợng h p 1.
( ) ( )
x
n
f x e P x
α
=
, trong đó
( )
n
P x
là đa thức b ậc n của x, cò n
α
là
m ột hằng số thực.
Nếu
α
không phải là nghiệm của phương trình đ c trưng (12) thì nghiặ ệm
riêng của phương trình (10) có dạng:
( )
x
n
y e Q x
α
=
, trong đó
( )
n
Q x
là đa thức cùng
bậc với
( )
n
P x
và có n + 1 chưa biết mà ta xác định như sau:
( ) ( )
x x
n n
y Q x e Q x e
α α
α
′ ′
= +
( ) ( ) ( )
2
2
x x x
n n n
y Q x e Q x e Q x
α α α
α α
′′ ′ ′′
= + +
Thay
, ,y y y
′ ′′
vào phương trình (10) ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
x x
n n n n
e Q x a Q x a b Q x e P
α α
α α α
′′ ′
+ + + + + =
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
n n n n
Q x a Q x a b Q x P x
α α α
′′ ′
⇔ + + + + + =
(13)
Nếu
α
không phải là nghiệm của phương trình đ c trưng thì ặ
2
0a b
α α
+ + ≠
.
Do đó ủ ẳ c trên cũng là mộ ậ, vế trái c a đ ng thứ t đa thức b c n, cùng bậc với đa
th thức ở ế v phải. Đồng nhất các hệ số của luỹ ừa cùng bậc của x ở hai vế của (13),
ta được (n + 1) phương trình bậc nhất với (n + 1) ẩn là các hệ s cố ủa đa thức
( )
n
Q x
.
Phương pháp xác đ ốịnh hệ s của
( )
n
Q x
như trên ọi là phương pháp h ốg ệ s bất
định.
Nếu α là nghiệ ặm đơn của phương trình đ c trưng thì
2
0a b
α α
+ + =
và
2 0a
α
+ =
.
Do đó, trong các trường hợ ứ ở ế ập này đa th c v trái có b c (n – 1) nếu α là
nghi u nghiệ ậm đơn và b c (n 2) n– ế α là ệm kép.
Vậy nghiệm riêng c (10) có dủa phương trình ạng
( )
x
n
y xe Q x
α
=
n ếu α là
nghiệm đơn của phương trình đ c trưng và ặ
( )
2 x
n
y x e Q x
α
=
nếu α là nghi m kép cệ ủa
phương trình đặc trưng.
Ví dụ. Tìm nghi ng quát cệm tổ ủa phương trình:
2
1
y y x x
′′
− = − +
Phương trình thuầ ấ ứn nh t tương ng:
0y y
′′
− =
P
hương trình đ c trưngặ : k
2
– 1 = 0 ⇔
1k = ±
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
1 2
x x
y C e C e
−
= +
, với C
1
,
C
2
b . là hai hằng số ất kỳ
11
Nghi
ệm riêng của phương trình đã cho có dạng: y = A x
2
+ Bx + C, y’ = 2Ax
+ B , y’’ = 2A
Thay vào phương trình, ta có: 2A – Ax
2
– – – Bx C = x
2
x + 1
Ta suy ra :
1 1
1 1
2 1 3
A A
B B
A C C
− = = −
− = − ⇔ =
− = = −
Vậy nghiệm riêng c ủa phương trình đã cho là:
2
3y x x= − + −
Vậy nghiệm tổ ủng quát c a phương trình đã cho là:
2
1 2
3
x x
y C e C e x x
−
= + − + −
Trườ ợng h p 2.
( ) ( ) ( )
[ cos sin
x
n n
f x e P x x Q x x
α
β β
= +
, trong đó
( )
n
P x
,
( )
n
Q x
là
các đa thức bậc n; còn là hai hα, β ằ ựng số th c.
Nếu
i
α β
±
không ph t nghiải là nghiệm của phương trình đ c trưng thì mộặ ệm
riêng của phương trình (10) dạng:
( ) ( )
[ cos sin
x
n n
y e A x x B x x
α
β β
= +
, trong đó A
n
(x)
và B
n
(x) (x) là các đa thức bậc n. Các hệ số của các đa thức A
n
(x), B
n
có thể xác
đị ợ ằ ệnh đư c b ng phương pháp h s b ố ất định.
Nếu
i
α β
±
là một nghiệm của phương trình đ c trưng thì mộ ệặ t nghi m riêng
c 0ủa phương trình (1 ) có dạng:
( ) ( )
[ cos sin
x
n n
y xe A x x B x x
α
β β
= +
Các hệ ứ số của các đa th c A
n
(x), B
n
(x) cũng đư ng phương pháp ợc xác định bằ
hệ số bất định.
Trườ ợng h p 3.
( )
cos sinf x M x N x
β β
= +
(trường hợp đặc biệt), trong đó M,
N,
β
là các hằng số thực ở đây ta có
α
= 0, n = 0.
Nếu
i
β
±
không ph i là nghi t nghả ệm của phương trình đ c trưng thì mộặ iệm
riêng của phương trình (10) có dạng: y = Acos
β
x + Bsin
β
x, trong đó A, B là hai
hằng số.
Nếu
i
β
±
là một nghiệm của phương trình đ c trưng thì mộ ệặ t nghi m riêng của
phương trình (10) có dạng: y = x(Acos
β
x + Bsin
β
x), trong đó A, B l à hai hằng số
chưa biế ể ằt có th xác định b ng phương pháp h ốệ s bất định.
Ví dụ. Tìm nghi ng quát cệm tổ ủa phương trình: y’’ + y = sinx + cos2x
Phương trình thuầ ấ ứn nh t tương ng: y’’ + y = 0
Phương trình đ c trưng tương
ặ ứng là: k
2
+ 1 = 0 ⇔
k i= ±
Do đó nghiệ ổ ủa phương trình m t ng quát c thuần nhất là: y = C
1
cosx + C
2
sinx
trong đó C
1
, C
2
blà hai hằng số ất kỳ.
12
Để tìm nghiệm của phương trình đã cho ta áp dụng phương pháp chồng
nghiệm.
Gọi: y
*
1
là 1 nghiệm riêng của phương trình: y’’ + y = sinx (*)
y*
2
là 1 nghiệm riêng của phương trình: y’’ + y = cosx (**)
Khi đó phương trình đã cho có nghiệm riêng: y* = y*
1
+ y*
2
Vì
k i= ±
là một nghiệm của phương trình đ c trưng trênặ
y*
1
= x(Acosx + Bsin x)
y*
1
= Acosx + Bsi Asinx + Bcosx)nx + x(-
y*
1
- – = Asinx + Bcosx + ( Asinx + Bcosx) + x(- -Acosx Bsinx)
Thay vào phương trình (*) ta được: - 2Asinx + 2Bcosx = sinx
Ta suy ra:
1
2 1
2
2 0
0
A
A
B
B
−
− =
=
⇔
=
=
Do đó y*
1
=
1
2
−
xcosx
Vì
2i±
không phải là nghiệm của phương trình đ c trưng nên:ặ
y*
2
= Ccos2x + Dsin2x
Ta có:
y*
’
2
- = 2Csin2x + 2Dcos2x
y*
‘’
2
- – = 4Ccos2x 4Dsin2x
Thay vào phương trình (**) ta được: - 3Ccos2x – 3Dsin2x = cos2x
Ta suy ra:
1
3 1
3
3 0
0
C
C
D
D
−
− =
=
⇔
− =
=
Do đó:
*
2
1
cos 2
3
y x
−
=
Vậy nghiệm riêng c ủa phương trình đã cho là:
*
1 1
cos cos 2
2 3
y x x x
−
= −
Do đó nghiệ ổ ủm t ng quát c a phương trình đã cho là:
1 2
1 1
cos sin cos cos 2
2 3
y C x C x x x
= + − −
, trong đó C
1
, C
2
b . là hai hằng số ất kỳ
1.2. B m L ài toán giá trị biên Stur - iouville
1.2.1. Định nghĩa
Bài toán giá trị - biên Sturm Liouville là bài toán có d ng sau:ạ
13
[p(x).y'(x)]'−
+ q(x)y(x) = λr(x)y(x) với a < x < b (1)
vớ ềi đi u kiện biên sau:
C
1
y(a) + C
2
y'
(a) = 0,
C
3
y(b) + C
4
y'
(b) = 0,
trong đó
2 2
1 2
C C 0+ ≠
;
2 2
3 4
C C 0+ ≠
; p(x),
p'
(x), q(x), r(x) liên t c trong (a, b); p(x) > ụ
0 và r(x) > 0 với mọi x∈[a, b]; λ là tham số.
Ví dụ. Phương trình vi phân
y"
+ λy = 0 (0 < x < L) là bài toán Sturm -
Liuoville vớ ệi các điều ki n biên khác nhau sau:
a) y(0) = y(L) = 0: p = 1, q = 0, r = 1, C
1
= C
3
= 1, C
2
= C
4
= 0.
b)
y'
(0) =
y'
(L) = 0: p = 1, q = 0, r = 1, C = 1.
1
= C
3
= 0, C
2
= C
4
c) y(0) =
y'
(L) = 0: p = 1, q = 0, r = 1, C = 0.
1
= C
4
= 1, C
2
= C
3
1.2. Nghi2. ệm của bài toán
Bài toán Sturm - Liouville luôn có nghiệm tầm thường y ≡ 0.
Nói chung có nh ng giá tr có thêm nghi m không tữ ị λ mà bài toán sẽ ệ ầm
thườ ợng. Khi đó, giá trị λ này đư c gọi là giá trị riêng và nghiệm không tầm thường
tương ứng gọi là hàm riêng.
Nghiệm của phương trình (1) có th n dưể biểu diễ ớ ại d ng:
y(x) = α.u
1
(x, (x, ),λ) + β.u
2
λ
trong đó u
1 2
, u là các nghiệm độc lập và α, β là các hằng số tùy ý.
Thay vào điều kiện biên của bài toán ta có hệ:
1 1 2 1 1 2 2 2
3 1 4 1 3 2 4 2
[C u (a, ) C u (a, )] + [C u (a, ) C u (a, )] = 0
[C u (b, ) C u (b, )] + [C u (b, ) C u (b, )] =
′ ′
α λ + λ β λ + λ
′ ′
α λ + λ β λ + λ
Để đả ệ ệ ờ ầ m bảo h không chỉ có nghi m tầm thư ng α = β = 0 thì c n có
1 1 2 1 1 2 2 2
3 1 4 1 3 2 4 2
[C u (a, ) C u (a, )] [C u (a, ) C u (a, )]
[C u (b, ) C u (b, )] [C u (b, ) C u (b, )]
′ ′
λ + λ λ + λ
=
′ ′
λ + λ λ + λ
Giả ẽi phương trình này s cho ta giá trị riêng λ và từ đó có hàm riêng tương
ứ ề ệ ợng thỏa đi u ki n biên khi thay λ tìm đư c vào (1).
1.2.3. Định lý 1
i) Tất cả các giá trị riêng c a bài toán Sturmủ - Liouville đều là số thực và
chúng t o thành m
ạ ột dãy tăng λ
1
< λ
2 n
< … < λ < … có limλ
n
= +∞.
Đặ ệ
c bi t: Nế ấ ả ều q(x) ≥ 0, ∀x∈[a, b] thì t t c giá trị riêng đ u không âm.
14
ii) V ới mỗi giá trị riêng λ cho ta m c lộ ột hàm riêng duy nhất đ ập.
Dãy các hàm riêng tương ứng vớ ệ ới các giá trị riêng phân bi t là trực giao v i
hàm trọ ống s r(x), nghĩa là, giả s yử
i
(x) và (x) là các hàm riêng ng vy
j
ứ ới giá trị
riêng λ
i
và λ
j
khác nhau thì
b
i j
a
y (x)y (x).r(x)dx 0=
∫
.
iii) s Giả ử {y
n
}
n
là dãy các hàm riê ng của bài toán.
Khi đó, dãy các hàm u
n
( x) =
n
n
r(x).y (x)
r(x).y (x)
(n = 1, 2, 3, …) t o thành hạ ọ trực
chu
ẩ ần đ y đủ trong L
2
(a, b).
iv) Giả s ử {y
n
}
n
là dãy các hàm riêng c u f khủa bài toán. Nế ả vi liên tục trong
(a, b);
f "
liên tục từng khúc; f th u ki n biên c a bài toán Sturmỏa mãn các điề ệ ủ -
Liouvlle thì chuỗi
n n
n 1
f,u u (x)
∞
=
∑
h vội tụ ề f(x), với m i xọ ∈(a, b) (trong đó u
n
(x) =
n
n
r(x).y (x)
r(x).y (x)
(n = 1, 2, 3, …)).
So sánh
Trong sách “Analytic Methods for Partial Differential Equations” của
G.Evans, J.Blackledge và P.Yarley đ nh nghĩa bài toán giá trị ị biên S turm-Liouville
như sau:
Bài toán giá trị biên Sturm-L iouville là bài toán có dạng:
d dy
[p(x) ] + [g(x) + r(x)].y(x) = 0
dx dx
λ
(a < x < b),
vớ ềi đi u kiện biên α
1
y(a) + β
1
y'
(a) = 0 và α
2
y(b) + β
2
y'
(b) = 0,
trong đó p(x), g(x), r(x) là hàm thực liên tục trên [a, b]; p kh c trên (a, b) ả vi liên tụ
và thỏa p(x) > 0 (hoặc p(x) < 0), r(x) ≥ 0(hoặc r(x) 0) v≤ ới a ≤ x ≤ b (r(x) không
đồng nhất không trên b n nào c a x trong (a, b)); ất kì lân cậ ủ
2 2 2 2
1 1 2 2
0; 0α + β ≠ α + β ≠
;
λ . là tham số
Phương trình vi phân tuy n tính trong bài toán có thế ể được viế ớt dư i dạng:
[L + λr(x)]y(x) = 0, trong đó L =
d d
[p(x) ] + g(x)
dx dx
.
15
V dới cách viết này thì toán tử ạng L
1
=
2
2 1 0
2
d d
a (x) + a (x) + a (x
dx dx
có thể
đưa về dạng L bằng cách đặt:
p(x) =
1
2
a (x)
dx
a (x )
e
∫
và g(x) =
1
2
a (x)
dx
a (x)
0
2
a (x)
.e
a (x)
∫
.
Ví dụ. L
1
=
2
2 3
2
d d
x + + x
dx dx
, tương ứng ta có:
a
2
(x) = x
2
. , a
1
(x) = 1, a
0
(x) = x
3
Đặt p(x) =
2
1
1
dx
x x
e e
−
∫
=
và g(x) =
1 1
3
x x
2
x
.e x.e
x
− −
=
.
Khi đó, L
1
dđượ ềc đưa v ạng sau:
1 1
x x
d d
[e ] + xe
dx dx
− −
.
1.3. Biến đổi Fourier
1.3.1. Chu ỗi Fourier
Cho
( )
1
F L∈
, nghĩa là F khả tích Lesbesgue trên
, F là một hàm tùy ý
được định nghĩa trong
( )
,l l−
. Chuỗi lượng giác vô hạn
0
1
1
os sin
2
n n
n
n x n x
a a c b
l l
π π
∞
=
+ +
∑
đư ọ ỗợc g i là chu i Fourier của
( )
F x
n s ếu hệ ố
n
a
và
n
b
được cho bởi
( )
1
os
l
n
l
n x
a F x c dx
l l
π
−
=
∫
( )
1
sin
l
n
l
n x
b F x dx
l l
π
−
=
∫
,
trong trư ệ ố trên đư ọ ệ ố ủờng hợp này các h s ợc g i là h s Fourier c a
( )
F x
.
Vì vậy, mỗi hàm lượng giác trong chuỗi Fourier là tuần hoàn trong chu kỳ
2l
, có nghĩa là, n ỗ ộ ụếu chu i h i t tới
( )
F x
trong
( )
,l l−
, thì nó h n mội tụ đế ở rộng
không tu n hoàn chu kầ ỳ
2l
của
( )
F x
.
( ) ( )
F x F x=
( )
l x l− < <
và
( )
( )
2F x F x l= +
với mọi
x
trong miền xác định của
F
, xem bài toán Sturm - Liouville.
N ếu F tuần hoàn chu kỳ
2
π
, ta có đ tương tịnh nghĩa chuỗ ủi Fuorier c a F ự
như trên, trong đó các h ốệ s
,
n n
a b
đư ộ ạợc tính trên m t đo n tùy ý
[ ]
; 2a a
π
+
.
16
N u n ế F là hàm tuần hoàn chu kỳ 2k, bằ ếng phép đổi bi
x
t
k
π
=
, ta đưa về
trườ ợng h p tuần hoàn chu kỳ
2
π
.
Định lý 2 mô tả các điều kiệ ần đ y đủ cho sự h cội tụ ủa chuỗi Fourier, về mặt
tính ch t cấ ủa
( )
F x
. Điề ấ ấ ấu này t t nhiên xu t phát từ tính ch t của
( )
F x
, như đề ậ c p
ở bài toán Sturm - Liouville. Nhắc lại, một hàm là hội tụ điểm hoặc liên tục từng
đoạn trong
( )
,−∞ ∞
nếu chúng có h u h y h u h nh không ầ ế ảt các bước nh ữ ạn xác đị
liên t t kục trong bấ ỳ khoảng có độ dài xác định.
Định lý 2. Cho
( )
F x
được định nghĩa trong
( )
,l l−
và cho
( )
F x
là mở rộng
tuần hoàn v i chu kớ ỳ
2l
của
( )
F x
.
(i) Nếu
( )
F x
và
( )
F x
liên tục từ ạng đo n và chuỗi Fourier
( )
F x
hội tụ điểm
tới
( )
F x
, tại đó
( )
F x
liên tục. Tại mỗi điểm
0
x
mà
( )
F x
có bước nhảy không liên
tục, chuỗi h i tộ ụ đến giá trị trung bình của giới hạn bên trái và gi n bên phới hạ ải
của
( )
F x
tại
0
x
.
(ii) Nếu
( )
F x
liên tục và
( )
F x
′
liên t i tục từ ạng đo n, chuỗi Fourier hộ ụ đều
đến
( )
F x
.
(iii) Nếu
( )
F x
thuộc
p
C
và nếu
( )
( )
1p
F x
+
liên tục từ ạng đo n, chuỗ ợi đ t đưạ c
bằng cách lấy vi phân chu i Fourier cho ỗ
( )
F x
đạo hàm
j
lần hội tụ đề ếu đ n
( )
( )
j
F x
.
1.3. 2. Chuỗ ội Fourier suy r ng
Để m rở ộng khái niệ ỗm chu i Fourier, trư nh nghĩa tích ớ ế ắ ạc h t ta nh c l i đị
trong c
ủa hai véctơ trong R
N
:
x.y ho c < x, y > ặ ≡ x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ . . . + x
N
y
N
Một tập các véctơ {x
1
, x
2
, . . ., x
M
} trong R
N
là một họ trực giao nếu < x
i
, x
j
> = 0 v c chuới i t h≠ j, (i, j = 1,2, . . ., M); nó là mộ ọ trự ẩn nếu:
i j
0 i j
x , x
1 i = j
ij
δ
≠
= ≡
17
Rõ ràng, m c giao không chột họ trự ứa vectơ không luôn có thể được tạo
thành m n bột họ trực chuẩ ằng cách chia mỗi vectơ x
i
cho chu n c a nó,ẩ ủ
1
2
i i
x x , x
i
=
.
Đị
nh nghĩa. Một họ trự ầc giao là đ y đủ trong R
N
nếu chỉ vectơ trực giao với
m ỗ ủi thành phần c a họ là vectơ không.
Đị
nh lý 3. Mỗ ọi h trực giao đầy đủ { x
1
, . . ., x
M
} là một cơ sở của R
N
,
trong trư p đó mộờng hợ t vectơ v của nó có biểu diễn:
1
,
N
n n
n
v v x x
=
=
∑
H s cệ ố
n
b≡ <v, x
n
> trong (0.22) được biểu thị ởi biểu thức Pithagorean
2
1
v .
N
n
n
c
=
=
∑
Cho F(x) là m nh trên trên (a, b) và thột hàm xác đị ỏa mãn
2
( )
b
a
F x dx < ∞
∫
T
ập hợp tất cà các hàm sẽ đượ ể ị ởc bi u th b i L
2
(a, b). Hai đối tượng, F và G,
đư
ợ ằc nói là b ng nhau t rong L
2
(a, b), u theo nghĩa nế
2
[ ( ) ( )] 0
b
a
F x G x dx
− =
∫
.
Khái ni ng sệm bằ ờng nhau này thư ử ụ ể d ng đ định nghĩa nhưng coi là hội tụ
trung bình c n các hàm trong Lủa một chuỗi vô hạ
2
(a, b): F
1
(x) + F
2
(x) + . . .
hội tụ đến giới hạn F(x) trong L
2
(a, b) nếu
2
1
lim [F(x) F ( )] 0
b
N
i
N
i
a
x dx
→∞
=
− =
∑
∫
(loại hội tụ này thư ng đ ộờ ịnh nghĩa là h i tụ trung bình bình phương)
Với giới thiệu tích trong
F,G F(x)G(x)
b
a
dx
=
∫
L
2
(a, b) tr thành m t không gian tích trong. Tính tr n và ở ộ ực giao, tr c chuự ẩ
tính đ
ầ ợy đủ đư c định nghĩa chính xác như trong R
N
. Trong L (a,b) , m
2
ột họ trực
chuẩ ần đ y đủ thì cần thiết vô hạn, nhưng một họ trực chuẩn vô hạn thì không cần
thiế ầt đ y đủ.
Ví d
ụ. Trong L
2
(- sau là không trl, l), cả hai họ ực chuẩn không đ ủầy đ
1 1 2 1 3
sin , sin , sin ,..
x x x
l l l
l l l
π π π
và
1 1 1 2
, cos , cos ,.
2
x x
l l
l l l
π π
Chẳng hạn như, cho F(x) ≡ 1,
18
1 1
1, sin sin 0, n = 1,2, .
l
l
n x n x
dx
l l
l l
π π
−
= =
∫
Tuy nhiên, h p cợ ủ ọ ộ ọa hai h trên là m t h trự ẩc chu n đ y đầ ủ, và nó sinh ra
chu trênỗi Fourier ở v ới hàm khả tích bình phương F(x).
Định lý 4. Nếu {u
n
(x)}, n = 1, 2, . . . , là một họ trự ẩ ầc chu n đ y đủ trong
L
2
(a, b), thì với b t kấ ỳ F(x) trong L (a, b),
2
1
F( ) F, ( )
n n
n
x u u x
∞
=
≈
∑
(hội tụ trung bình bình phương củ ỗa chu i đến F(x)).
2
2
n=1
F( ) F
n
x
∞
=
∑
(h ội tụ thường)
đư ọợc g i là đẳng thức Parseval.
Xét bài toán Sturm - Liouville ở trên, sự ở m rộng hàm riêng nghĩa là mở
r ngộ chuỗi Fourier cho một hàm F trong
( )
2
,L a b
dựa trên họ (0.14) không chỉ hội
tụ trung bình theo chuẩ ịn bình phương (đ nh lí nh lí sau :4), mà còn theo đị
Định lý 5.
(i) Nếu
F
và
F
′
là hai hàm liên tục trên khoảng
( )
,a b
thì chu i h i tỗ ộ ụ từng
điểm đến giá trị
( ) ( )
2
F x F x+ + −
tại mỗi
x
trong khoảng
( )
,a b
.
(ii) Nếu
F
và
F
′
liên tục trên khoảng
( )
,a b
,
F
′′
liên tục từ ạng đo n và
F
thỏa
mãn các điề ệu ki n biên c a bài toán Sturn-ủ Liouville ở trên, thì chuỗi hội tụ đề ếu đ n
( )
F x
trong khoảng
( )
,a b
.
1.3.3. Tích phân Fourier
Cho Cho
( )
1
f L∈
, ta đặt:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
cos , sinA t f u utdu B t f u u
π π
+∞ +∞
−∞ −∞
= =
∫ ∫
Hàm
( ) ( ) ( )
0
cos sinf x A t tx B t tx
+∞
= +
∫
được gọi là tích phân Fourier của
( )
f x
.
N u ế
( )
f x
là hàm chẵn, cụ thể là
( ) ( )
f x f x= −
thì
19
( ) ( ) ( )
2
cos , 0A t f u utdu B t
π
+∞
−∞
= =
∫
Khi đó:
( ) ( )
0
cosf x A t txd
+∞
=
∫
là tích phân Fuorier Cosine
N u ế
( )
f x
là hàm l , cẻ ụ thể là
( ) ( )
f x f x= −
thì
( ) ( ) ( )
0
2
0, sinA t B t f u utd
π
+∞
= =
∫
Khi đó:
( ) ( )
0
sinf x B t txdt
+∞
=
∫
là tích phân Fuorier Sine
1.3.4. Biến đổi Fourier
1.3.4.1. Định nghĩa. Với mọi
( )
1
f L∈
, ta có
( ) ( )
i x
f x F e d
α
α α
+∞
−∞
=
∫
,
trong đó
( ) ( )
1
2
i x
F f x e dx
α
α
π
+∞
−
−∞
=
∫
.
Hàm
( )
F
α
được gọi là biến đổi Fourier của
( )
f x
, kí hiệu
( ) ( )
F f F
α
=
. Kh i
đó,
( )
f x
là biế ổn đ i Fourier ngược của
( )
F
α
.
1.3.4.2. Các tính chất
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1. .
2. .
3. .
n
n
n
n
n
ic
F f x i F
F x f x i F
F f x c e F c cons
α
α α
α
α
−
=
=
− = =
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 2 2 1 1 2 2
1
4. .
5.
6. .
1
7. .
2
icx
F e f x F c
F c f x c f x c F c F
F f cx c F c
F F x f
α
α α
α
α
π
−
−
= −
+ = +
=
= −
( )
( )
( ) ( )
8. 2F f g x F G
π α α
∗ =
, trong đó
( ) ( ) ( )
f g x f x y g y d
+∞
−∞
∗ = −
∫
: gọi là
tích ch a hàm ập củ
f
và
g
.
20
1.3. 4.3. Biế ụn đổi Fourier của các hàm thông d ng
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
1
4
2
2 2
2 2
1. 4 0
2. 0
2
3. 0
cx
c
x
F e c e c
F e
F e
x
α
λ
λ α
π
λ
λ
π α λ
λ
λ
λ
−−
−
−
−
= >
= >
+
= >
+
( )
( )
sin
4.
A
A
F I x
α
πα
=
, trong đó
( )
1
0
A
khi x A
I x
khi x A
<
=
>
( )
2sin
5.
A
Ax
F I
x
α
=
( )
( )
( )
1 1
6. Re 0
2
a
F E x a
a i
π α
= ⋅ >
+
, trong đó
( )
0 0
0
a
ax
khi x
E x
e khi x
−
<
=
>
1.3.4. 4. Biến đổi Fourier và tích phân Laplace
Định lý 1 (i) và (iii) đ p đề ề ậu đ c ến trị riêng
0,1,2..
n =
và hàm riêng
{ }
inx
e
±
c ủa bài toán
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
w x w x x
w w
w w
λ π π
π π
π π
′′
= − < <
− =
′ ′
− =
Nó thu i Sturm Liouville, ngo u ki n biên, không tu n hoàn ộc loạ - ại trừ điề ệ ầ
thay vì điều kiệ ớn tách. Do đó v i
( )
f x
tùy ý trong
( )
2
,
L
π π
−
, ta có:
( )
( )
2
lim 0
N
f x f x dx
π
π
−
− =
∫
( a)
trong đó
( )
N
inx
N n
N
f x F e
−
=
∑
(b)
và
( ) ( )
1
0, 1, 2,...
2
inx
n
F f x e dx n
π
π
π
−
= = ± ±
∫
(c)
Giả s ử
( )
f x
trong
( )
2
,L −∞ ∞
. Nếu
( )
f x
không đồng nhất bằng 0, không
tuần hoàn và có m ng không h p lở rộ ợ ệ. Tuy nhiên trong trường hợp này ta có:
21
( ) ( )
2
lim 0
N
N
f x f x dx
∞
→∞
−∞
− =
∫
(d)
Khi đó
( ) ( )
N
i x
N
N
f x F e d
α
α α
−
=
∫
) (e
và
( ) ( )
1
2
i x
F f x e dx
α
α
π
∞
−
−∞
=
∫
) (f
Chú ý sự tương tự giữa (a), (b), (c) và (d), (e), (f). Hàm
( )
F
α
định nghĩa
trong (c) được gọi là biến đổi Fourier của hàm
( )
f x
. mTa sẽ mô tả ối liên hệ giữa
hai hàm
F
( )
{ }
( )
f x F
α
=
hoặc F
1−
( )
{ }
( )
F f x
α
=
Các tính chất toán tử c B -ủa biế ợn đổi Fourier đư c liệt kê ở ảng 1 1. Ngoài ra,
Bảng 1-2 được gọi là biế ủn đổi Fourier c a
( )
f x
. Mục đích của chúng ta là nghịch
đả ế ợ ả ừ ể ằo của bi n đ i Fourier đưổ c chỉ ra bởi b ng 1-2 như một t đi n. Chú ý r ng,
dòng 7 c ng 1- i công th c nghủa bả 1 tương đương vớ ứ ịch đảo
( ) ( )
i x
F e d f x
α
α α
∞
−∞
=
∫
Hàm
f g∗
được định nghĩa ở dòng 8 đượ ậc gọi là phép tích nh p của hàm
f
và
g
. Rõ ràng toán t ng, k p và phân ph i phép nhân.ử ậ tích nh p là đối xứ ết hợ ối vớ
B -1. ảng 1 Các tính ch t c a biấ ủ ến đổi Fourier
( )
f x
( ) ( )
1
2
i x
F f x e dx
α
α
π
∞
−
−∞
=
∫
1.
( )
( )
n
f x
( ) ( )
n
i F
α α
2.
( )
n
x f x
( )
n n
i F
α
3.
( )
f x c−
( )
( )
nic
e F
α
α
−
onsc c
=
4.
( )
icx
e f x
( )
F c
α
−
onsc c=
5.
( ) ( )
1 1 2 2
C f x C f x+
( ) ( )
1 1 2 2
C F C F
α α
+
6.
( )
f cx
( )
1
c F c
α
−
onsc c=
7.
( )
F x
( )
1
2
f
α
π
−
22
8.
( ) ( ) ( )
f g x f x y g y d
∞
−∞
∗ = −
∫
( ) ( )
2 F G
π α α
B -2. C ảng 1 ặp biến đổi Fourier
( )
f x
( ) ( )
1
2
i x
F f x e dx
α
α
π
∞
−
−∞
=
∫
1.
2
cx
e
−
2 2
α π
α λ
+
2.
x
e
λ
−
( )
n n
i F
α
0
λ
>
3.
2 2
2
α
α λ
+
e
λ α
−
4.
( )
1
0
A
x A
I x
x A
<
≡
>
sin A
α
πα
5.
2sin Ax
x
( )
A
I
α
6.
( )
0 0
0
x
x
E x
e x
α
α
−
<
≡
>
1 1
2 a i
π α
+
0Re
α
>
Biế ợn đổi Fourier như đư c mô tả ở đây theo hàm
( )
f x
trong
( )
2
,L −∞ ∞
.
A
liên quan tới biến đổi tích phân, đư ọ ổ nh nghĩa bợc g i là biến đ i Laplace, được đị ởi
F
( )
{ }
( )
( )
0
st
f t f t e dt f s
∞
−
= ≡
∫
Biế ển đổi này có th cđề ập tới hàm
( )
f t
được định nghĩa với
t−∞ < < ∞
và
thỏa mãn
( )
0f t =
với
0t <
. Chú ý rằng
( )
f t
không cần thuộc
( )
2
,L −∞ ∞
; Chỉ cần
tồn tại hằng số dương
M
và
b
để
( )
bt
f t M e≤ ≤
với
0t >
.
B rảng 1-3 liệt kê các công thức mở ộng cho biế ổn đ i Laplace, và bảng 1-3
đưa ra bi n đế ổ ặi Lap l ac e của các hàm đ c biệt.
23
| 1/191
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chương 1
NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Phương trình vi phân
1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến t í nh cấp 1 là phương trình có ạ d ng: y′ + p( ) x y= f ( )x (1) trong đó, p( )
x , f ( )x là các biểu thức theo biến x. Nếu f ( )
x ≡0 thì phương trình (1) gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất. Nếu f ( )
x ≡0 thì phương trình (1) gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
Phương pháp giải.
Phương pháp 1. Phương pháp biến thiên hằng số (Phương pháp Lagrange)
Xét phương trình thuần nhất tương ứng của (1): y′ + p( ) x y= f ( )x (2)
Nghiệm tổng quát của (2) có dạng: p( ) x dx y Ce−∫ =
Nghiệm tổng quát của (1) có dạng: ( ) p( )x dx y C x e−∫ = (3)
Thay (3) vào (1) để tìm C(x), ta được: ( ) ( ) ( ) . p x dx C x f x e∫ ′ = . Từ đó ta có: ( ) ( ) ( ) . p x dx C x C f x e ∫ = + ∫ (4)
Với C là hằng số bất kỳ. Thế (4) vào (3) ta được nghiệm của (1): − ( p ) x dx ∫  = + ∫ ( ) (p ) . x dx y e C f x e ∫  (5)    
Ví dụ. Giải phương trình: sin cos x y y x e− ′ + = (*) 4 Giải. Phương trình thuần n ấ
h t: y′ + ycos x= 0 có nghiệm dạng: − cos ∫ − sin = . xdx x y C e = Ce
Nghiệm của phương trình (*) có dạng: ( ) sin . x y C x e− =
Thay vào (*) ta có: ( ) −sinx − ( ) − sinx + ( ) − sinx − sin . . .cos . .cos x C x e C x e x C x e = x e Ta suy ra: ′( ) −sin − sin . x x C x e = e Do đó: C( ) x x = +C
Vậy nghiệm của phương trình (*) là: −sin = (x y e x+ )C.
Phương pháp 2. Phương pháp Bernonl i Xét phương trình: y′ + p( ) x y= f ( )x (1)
Tìm nghiệm của phương trình (1) ở dạng: y = ( u ). x (v )x (6)
Thế vào phương trình (1) ta được: ( u′ ). x (v )x+ (v′ ) .x (u) x+ ( ) p .x( ) u .( x )v x = ( )f Suy ra:
(u′( )x+ (u )x. (p )x) (v )x+ ′(v ).x (u)x= (f ) (7) Chọn u( )
x là một nghiệm của phương trình:
u (′ )x + (p ) .x (u )x= 0 (8) Giả sử: ( ) ( p ) x dx u x e−∫ = (9)
Từ (7), (8) và (9) ta có: ( ) − ( ) . p x dx v x e∫ ′ = (f )x Ta suy ra: ( ) ( ) ( ) . p x dx v x f x e ∫ ′ = Do đó: ( ) ∫ ( ) ( ) . p x dx v x f x e ∫ = + C
Vậy nghiệm của phương trình (1) là − ( p ) x dx ∫  =  + ∫ ( ) (p )x dx y e C f x e ∫ .   2 sin x
Ví dụ. Tìm nghiệm của phương trình: y′sin x− ycos x= , x→ ∞ , y→ 2 x Giải.
Tìm nghiệm của phương trình dạng: y = (u ). x (v )x 5 2
Ta suy ra: ( ′( ) (v )x+ v′( )x (u ))x x − ( x u )x (v) sin x u x . . .sin cos . . x = 2 x Chọn u( )
x là một nghiệm của phương trình: u′( )x.sin x− (u )xcos x= 0 Có thể lấy ( u ) x s = in x 2 sin x
Khi đó, phương trình trở thành: v′( x) 2 sin x= − . 2 x Ta suy ra: ′( ) 1 v x = − 2 x Do đó: ( ) 1 v x = + C x Vậy y (u )x (v )  1 . x sin x C  = = +  x    Thoả điều kiện x → , ∞ y →0 khi C = 0 Vậy sin x y =
là nghiệm của phương trình. x
Phương pháp 3. Phương pháp thừa số tích phân Xét phương trình: y′ + p( ) x y= f ( )x (1)
Nhân cả hai vế của (1) cho p( )x dx e∫ , ta được: ( p )x dx ∫ ( ) (p )x dx ∫ ( ) ( ) . . . . p x y e p x y e f x ∫ ′ + = e d  ( ) y e∫  f   ( ) ( ) . p x dx p x d x e ∫ ⇔ = dx 
Lấy tích phân hai vế ta được: p ∫ ( )x dx= ∫ ( ) ∫ (p) . . x dx y e f x e + C Ta suy ra: − ( p ) x dx ∫  = + ∫ ( ) (p ) . x dx y e C f x e ∫  .    
Ví dụ. Giải phương trình: 1 y′ + .y tgx= cos x Giải. tgxdx 1
Nhân hai vế của phương trình với: e∫ = , ta được: cosx 1 sin x 1 y′ + y = 2 2 cosx cos x cosx d  1  1 ⇔ . y =   2 dx cos x cos x 6
Lấy tích phân hai vế, ta được: 1 y. = C + tgx cosx Ta suy ra: y co = s (x C +t ) gx
Vậy nghiệm của phương trình là: y .=c Cos x s +in .
1.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (hệ số hằng)
Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (hệ số hằng) là phương trình có dạng: y′ + ay′+ by= (f )x (10) trong đó, f ( )
x là biểu thức theo biến x; a, b là các hằng số. Nếu f ( )
x ≡0thì phương trình (10) gọi là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất. Nếu f ( )
x ≡0thì phương trình (10) gọi là phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất.
Phương pháp giải.
Phương pháp giải phương trình thuần nhất. Xét phương trình: y’ + ay’ + by = 0 (11)
Ta tìm nghiệm riêng của phương trình (11) dưới dạng kx y =e , trong đó, k là hằng số cần tìm.
Thay vào phương trình (11) ta được: kx e ( 2 k a + k +)b 0 = Ta suy ra: 2 k a + k +b 0 = (12)
Phương trình (12) gọi là phương trình ặ đ c trưng ủ c a phương trình (11) Xét 2 ∆ = a −4b Ta có 3 trường hợp:
Trường hợp 1. ∆ > 0
Phương trình (12) có 2 nghiệm t ự h c phân biệt k và k . 1 2
Khi đó, phương trình (11) có 2 nghiệm: k x k x 1 2 y e = , y =e . 1 2
Hai nghiệm này độc lập tuyến tính vì: y1 (k − k ) x 1 2 = e
hằng. Do đó, nghiệm tổng y2
quát của phương trình (11) là: 1 2 = . k x k x y C e C
+ e , trong đó C1, C2 là hai hằng số tuỳ ý. 1 2 7
Trường hợp 2. ∆ = 0
Phương trình (12) có một nghiệm kép thựck = k . 1 2 Do đ ,
ó phương trình (11) có một nghiệm riêng k x 1 y = e . 1
Ta tìm nghiệm riêng thứ hai là
y , độc lập tuyến tính với y1 có dạng: 2 y y = . ( u ) x =(u ) k x1 x e 2 1 Ta có: k x k x 1 1 y′ = u′ e + k ue 2 1 k x k x 2 k x 1 1 1
y′ = u′ e + 2 k u′ e + k ue 2 1 1
Thay vào phương trình (11), ta được: k1x e  u′ + (2k + a ) u′+  ( 2k+ ak+ b u= 0 1 1 1 )  Ta suy ra: u′+( 2 k+ ) 2 a u ′ + ( k+ ak+ )b u = 0 1 1 1
Vì k là nghiệm kép của phương trình (12) nên ta có: 1 a 2 k ak + +b 0 = và k − 2k + a =0 1 1 1 = hay 2 1 Ta suy ra: u′ =0 Vậy u A = x + B.
Chọn A = 1, B = 0, ta được : u = x. Do đó: k x 1 y = xe . 2
Vậy phương trình (11) có nghiệm tổng quát là: k x 1 y C = y C + y e = C +C x, 1 1 2 2 ( 1 2 )
với C1, C2 là hai hằng số bất kỳ.
Trường hợp 3.∆ < 0
Phương trình (12) có hai nghiệm phức liên hợp: k = α + iβ , k =α − iβ 1 2 trong đó: − a −∆ 2 α = ,β = ,i = − 1. 2 2 Hai nghiệm riêng ộ
đ c lập tuyến tính của phương trình (11) là: x α = cosβ , αx y e x y= e sinβ 1 2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (11) là: αx y = C y + C y = e c C osβ x+ C sinβ x. 1 1 2 2 [ 1 2 ]
trong đó, C1 và C2 là hai hằng số bất kỳ. 8
Ví dụ. Giải phương trình: y′ −10y′+ 25y= 0 với điều kiện (0 y )= 1, (y ′ )0 = 5. Giải.
Phương trình đặc trưng tương ứng: 2k 10 − k 25 + =0⇔ k =5 (nghiệm kép). Vậy nghiệm tổng quát: 5x 5x y C = e C + xe 1 2 Ta có: (y0) 1= ⇒C 1 = ; ′( y 0) = 5⇒ 5 C+ C= 6⇒ C= . 1 1 2 2 Vậy: 5x y e = (1 + )x .
Ví dụ. Giải phương trình : y′+ 2 ′ y+ 4 y = 0 Giải.
Phương trình đặc trưng tương ứng: 2k 2 + k 4 + =0  k = 1 − −i 3 1 ⇔  k  = −1+ i 3  2
Vậy phương trình có nghiệm ổ t ng quát là: − x y = e  c C os 3x+ C sin 3x 1 2  
Phương pháp giải phương trình không thuần nhất. Xét phương trình: y′ + ay′ + by= f( )x (10)
Phương pháp 1. Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange)
Giả sử nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (11) lày: C = y +C y. 1 1 2 2
trong đó, C1 và C2 là hai hằng số bất kỳ.
Bây giờ, ta xem C1 và C2 là hai hàm số của biến x , tìm C1 và C2 để y C
= y +C y là một nghiệm của phương trình (10). 1 1 2 2
Ta có: y = C y′+ C y′+ C′ y+ C′ y 1 1 2 2 1 1 2 Chọn C1 và C2 sao cho : C′ y+ C ′ y= 0 1 1 2 2
Khi đó: y′ = C y′ + C y′ 1 1 2 2
y′ = C y′ + C y′+ C′ y′+ C ′ ′ 1 1 2 2 1 1 2 2
Thay vào phương trình (10) ta được: ( C y′ + ay′+ b )y+ ( C ′ y+ a′y+ ) by+ ′ C′ y + ′ C ′ y = f 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ( )
Vì y1 và y2 là 2 nghiệm của phương trình thuần nhất nên: C′ y′+ C′ y′ = f x 1 1 2 2 ( ) Vậy y C
= y +C y là nghiệm của phương trình (10) nên ta có hàm số C 1 1 2 2 1(x)
và C2(x) thoả mãn hệ phương trình: 9 C′y + C′ y= 0  1 2 C  ′y′  + C′ y′ = f x  1 1 2 2 ( ) D= y y ′ − ′y y≠ 0 1 2 1 2
Do y1, y2 là hai nghiệm của phương trình thuần nhất.
Do đó, hệ luôn có một nghiệm duy nhất: C ' =ϕ ( ) ' x, C =ϕ x 1 1 2 (2 )
Lấy tích phân hai vế ta được: C x =φ x+ ,k C x=φ x+ k 1 ( ) 1( ) 1 (2 ) (2 ) 2
Trong đó φ x ,φ x là các nguyên hàm của ϕ x ,ϕ x , k 1 ( ) 2( ) 1 ( ) 2( ) 1, k2 là hai hằng số bất kỳ.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10) là: y C = y +C y= k y + k y+φ x y+φ x y 1 1 2 2 (1 ) 1 (2 ) 1 1 2 2 2 x e
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y′ − 2 y′+ y= x Giải.
Phương trình thuần nhất tương ứng: y′ − 2 y′+ y= 0
Phương trình đặc trưng tương ứng của phương trình là: 2 k 2 − k 1 + =0⇔ k =1 (nghiệm kép)
Vậy phương trình (2) có nghiệm tổng quát là: x x y C = y C + y C = xe +C e 1 1 2 2 1 2 với y x 1 = xe , y2 = ex
Ta xem C1 và C2 là hai hàm số của biến x. Ta tìm C1 và C2 sao cho y C
= y +C y là nghiệm của phương trình đã cho. 1 1 2 2 Khi đó C1(x) và C2(x
) thoả mãn hệ phương trình: x x C′ xe + C ′ e= 0 C y ′ + C′ y =0  1 1 2 x 1 2  e  ⇔ x  e với f ( ) x = C′y′ + C′ y′ = f  ( )x C  ′(1 + ) x x x e+ C ′ e= x 1 1 2 2 1 2  x 2x − e Tính các định thức : 2 − x 2 D = e − , D = , x D = e 1 2 x D Do đó: 1 1 C′ = = ,C′ = −1 1 2 D x Suy ra: 1 C x = dx= k+ ln x C x = d − x = k − x. 1 ( ) ∫ , 2 ( ) ∫ ( ) 1 x 2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : = + (= ln+ ) x (+ ) x y C y C y k x xe k −x 1 1 2 2 1 2 10
với k1, k2 là hai hằng số bất kỳ.
Phương pháp 2. Phương pháp hệ số bất định
Trường hợp 1. f ( ) α x x = e (
P )x, trong đó P (x)là đa thức b ậc n của x, cò n α là n n một hằng số thực .
Nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (12) thì nghiệm
riêng của phương trình (10) có dạng: αx
y = e Q x, trong đó Q x là đa thức cùng n ( ) n ( )
bậc với P (x)và có n + 1 chưa biết mà ta xác định như sau: y′ =α Q ( ) αx x e + ′ ( Q ) αx x e n n n 2 y′ = α Q ( ) αx x e +2α ′ ( Q ) α x x e+ ′ (Q ) α x x n n n Thay ,
y y′, y′ vào phương trình (10) ta có: α x e  ′( Q′ )x+( α + )a ′( Q )x+  ( 2 2 α + a α + )b ( Q ) α x x = e P n n n n( )  ⇔ Q′ ( x) + ( α + ) a Q′ ( )x+ ( 2 2 α + aα + b Q x = P x (13) n n ) n( ) (n )
Nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì 2 α + aα + b≠ 0 .
Do đó, vế trái của đẳng thức trên cũng là một đa thức ậ b c n, cùng bậc với đa
thức ở vế phải. Đồng nhất các hệ số của luỹ thừa cùng bậc của x ở hai vế của (13),
ta được (n + 1) phương trình bậc nhất với (n + 1) ẩn là các hệ số của đa thức Q x . n ( )
Phương pháp xác định hệ số của Q x như trên gọi là phương pháp hệ số bất n ( ) định.
Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì 2 α + aα + b= 0 và 2α + a= 0.
Do đó, trong các trường hợp này đa t ứ h c ở vế trái có ậ b c (n – 1) nếu α là nghiệm đơn và ậ
b c (n – 2) nếu α là nghiệm kép.
Vậy nghiệm riêng của phương trình (10) có dạngy αx = xe ( Q )x nếu α là n
nghiệm đơn của phương trình đặc trưng và 2 α x
y = x e Q x nếu α là nghiệm kép của n ( )
phương trình đặc trưng.
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:y 2 ′ − y= x − x+1 Phương trình thuần n ấ
h t tương ứng: y′ − y =0
Phương trình đặc trưng: k2 – 1 = 0 ⇔ k = 1 ±
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: x x y C e C e − = + , với C 1 2 1,
C2 là hai hằng số bất kỳ. 11
Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: y = A x2 + Bx + C, y’ = 2Ax + B , y’ = 2A
Thay vào phương trình, ta có: 2A – Ax2 – Bx – C = x2 – x + 1 − A =1  A= 1 − Ta suy ra :  B 1  − = − ⇔ B  =1  2A C 1  − = C= − 3  
Vậy nghiệm riêng c ủa phương trình đã cho là: 2 y = x − + x 3 −
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: x − x 2 y = C e+ C e − x+ x − 3 1 2
Trường hợp 2. f ( ) αx x = e [ P( )xcosβ x+ Q( ) s
x inβ x, trong đóP ( x) ,Q ( x) là n n n n
các đa thức bậc n; còn α, β là hai hằng số thực.
Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì một nghiệm
riêng của phương trình (10) dạng: αx y = e [ A x β x+ B x β x, trong đó A n( ) cos (n ) sin n(x)
và Bn(x) là các đa thức bậc n. Các hệ số của các đa thức An(x), Bn(x) có thể xác định được ằ
b ng phương pháp hệ số bất định.
Nếu α ± iβ là một nghiệm của phương trình đặc trưng thì một nghiệm riêng
của phương trình (10) có dạng: y = xeα [x A x β x+ B x β x n ( )cos n ( )sin
Các hệ số của các đa thức An(x), Bn(x) cũng được xác định bằng phương pháp hệ số bất định.
Trường hợp 3. f ( )
x = M cosβ x+ N sinβ x (trường hợp đặc biệt), trong đó M,
N, β là các hằng số thực ở đây ta có α = 0, n = 0.
Nếu ±iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì một nghiệm
riêng của phương trình (10) có dạng: y = Acos
βx + Bsinβx, trong đó A, B là hai hằng số.
Nếu ±iβ là một nghiệm của phương trình đặc trưng thì một nghiệm riêng của
phương trình (10) có dạng: y = x(Acosβx + Bsinβx), trong đó A, B là hai hằng số
chưa biết có thể xác định bằng phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y’ + y = sinx + cos2x Phương trình thuần n ấ
h t tương ứng: y’ + y = 0
Phương trình đặc trưng tương ứng là: k2 + 1 = 0 ⇔ k = ±i Do đó nghiệm ổ
t ng quát của phương trình thuần nhất là: y = C1cosx + C2sinx
trong đó C1, C2 là hai hằng số bất kỳ. 12
Để tìm nghiệm của phương trình đã cho ta áp dụng phương pháp chồng nghiệm.
Gọi: y*1 là 1 nghiệm riêng của phương trình: y’ + y = sinx (*)
y*2 là 1 nghiệm riêng của phương trình: y’ + y = cosx (**)
Khi đó phương trình đã cho có nghiệm riêng: y* = y*1 + y*2
Vì k = ±i là một nghiệm của phương trình đặc trưng trên y*1 = x(Acosx + Bsin x)
y*1 = Acosx + Bsinx + x(-Asinx + Bcosx )
y*1 = - Asinx + Bcosx + (-Asinx + Bcosx) + x(-Acosx – Bsinx)
Thay vào phương trình (*) ta được: - 2Asinx + 2Bcosx = sinx 1 2 − A = 1  − Ta suy ra: A  =  ⇔ 2 2B 0  =   B = 0  Do đó y* − 1 = 1 xcosx 2 Vì 2
± i không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên: y*2 = Ccos2x + Dsin2 x Ta có: y*’2 = - 2Csin2x + 2Dcos2x
y* ‘’2 = - 4Ccos2x – 4Dsin2x
Thay vào phương trình (**) ta được: - 3Ccos2x – 3Dsin2x = cos2x  −1 Ta suy ra: −3C = 1 C =  ⇔  3 −3D = 0  D = 0  1 Do đó: − * y = cos 2x 2 3 − 1 1
Vậy nghiệm riêng c ủa phương trình đã cho là: * y = c x os x− cos 2x 2 3 Do đó nghiệm ổ
t ng quát của phương trình đã cho là: 1 1 y = c C os x+ C sin x− c x os x− cos 2, trong đó C là hai hằng số ất kỳ 1 2 2 3 1, C2 b .
1.2. Bài toán giá trị biên Sturm - Liouvil e 1.2.1. Định nghĩa
Bài toán giá trị biên Sturm - Liouville là bài toán có dạng sau: 13 [
− p(x).y'(x)]' + q(x)y(x) = λr(x)y(x) với a < x < b (1) với đ ề i u kiện biên sau: C1y(a) + C2y' (a) = 0, C3y(b) + C4y' (b) = 0, trong đó 2 2 C C + ≠ 0; 2 2 C C +
≠ 0; p(x), p'(x), q(x), r(x) liên tục trong (a, b); p(x) > 1 2 3 4
0 và r(x) > 0 với mọi x∈[a, b]; λ là tham số.
Ví dụ. Phương trình vi phân y" + λy = 0 (0 < x < L) là bài toán Sturm -
Liuovil e với các điều kiện biên khác nhau sau:
a) y(0) = y(L) = 0: p = 1, q = 0, r = 1, C1 = C3 = 1, C2 = C4 = 0.
b) y' (0) = y' (L) = 0: p = 1, q = 0, r = 1, C1 = C3 = 0, C2 = C4 = 1.
c) y(0) = y' (L) = 0: p = 1, q = 0, r = 1, C1 = C4 = 1, C2 = C3 = 0.
1.2.2. Nghiệm của bài toán
Bài toán Sturm - Liouville luôn có nghiệm tầm thường y ≡ 0.
Nói chung có những giá trị λ mà bài toán sẽ có thêm nghiệm không tầm
thường. Khi đó, giá trị λ này đ ợ
ư c gọi là giá trị riêng và nghiệm không tầm thường
tương ứng gọi là hàm riêng.
Nghiệm của phương trình (1) có thể biểu diễn dưới dạng:
y(x) = α.u1(x, λ) + β.u2(x, λ), trong đó u1, 2
u là các nghiệm độc lập và α, β là các hằng số tùy ý.
Thay vào điều kiện biên của bài toán ta có hệ:  [
α C u (a,λ )+ C u′ (a,λ )] + β [C u (a,λ )+ C u ′ (a, λ )] = 0 1 1 2 1 1 2 2 2  [
α C u (b,λ) + C u′ (b,λ )] + β [C u (b,λ )+ C u′ (b,λ )] = 3 1 4 1 3 2 4 2
Để đảm bảo hệ không chỉ có nghiệm tầm th ờ
ư ng α = β = 0 thì cần có [C u (a,λ )+ C u′ (a, λ )] [C u (a λ ,+ ) C ′ u ( λ a, )] 1 1 2 1 1 2 2 2 =
[C u (b,λ )+ C u′ (b,λ )] [C u (b λ, + ) C′ u (b λ , )] 3 1 4 1 3 2 4 2
Giải phương trình này sẽ cho ta giá trị riêng λ và từ đó có hàm riêng tương ứng thỏa đ ề
i u kiện biên khi thay λ tìm được vào (1). 1.2.3. Định lý 1
i) Tất cả các giá trị riêng của bài toán Sturm - Liouville đều là số thực và
chúng tạo thành m ột dãy tăng λ1 < λ2 < … < λn < … có limλn = +∞. Đặc b ệ
i t: Nếu q(x) ≥ 0, ∀x∈[a, b] thì tất cả giá trị riêng đều không âm. 14
i ) Với mỗi giá trị riêng λ cho ta một hàm riêng duy nhất ộ đ c lập.
Dãy các hàm riêng tương ứng với các giá trị riêng phân biệt là trực giao ớ v i
hàm trọng số r(x), nghĩa là, giả sử yi(x) và yj(x) là các hàm riêng ứng với giá trị b
riêng λi và λj khác nhau thì y (x)y (x).r(x)dx = 0 ∫ . i j a
i i) Giả sử {yn}n là dãy các hàm riê ng của bài toán. r(x).y (x)
Khi đó, dãy các hàm un( x) = n
(n = 1, 2, 3, …) tạo thành họ trực r(x).y (x) n chuẩn ầ đ y đủ trong L2(a, b).
iv) Giả sử {yn}n là dãy các hàm riêng của bài toán. Nếu f khả vi liên tục trong
(a, b); f " liên tục từng khúc; f thỏa mãn các điều kiện biên của bài toán Sturm- ∞ Liouvlle thì chuỗi f ,u u (x) ∑
hội tụ về f(x), với mọi x∈(a, b) (trong đó u n n n(x) = n 1 = r(x).y (x) n (n = 1, 2, 3, …)). r(x).y (x) n So sánh
Trong sách “Analytic Methods for Partial Differential Equations” của
G.Evans, J.Blackledge và P.Yarley định nghĩa bài toán giá trị biên S turm-Liouvil e như sau:
Bài toán giá trị biên Sturm-L iouvil e là bài toán có dạng: d dy [p(x) ] + [g(x) + r
λ(x)].y(x) = 0 (a < x < b), dx dx với đ ề
i u kiện biên α1y(a) + β1y' (a) = 0 và α2y(b) + β2y' (b) = 0,
trong đó p(x), g(x), r(x) là hàm thực liên tục trên [a, b]; p khả vi liên tục trên (a, b)
và thỏa p(x) > 0 (hoặc p(x) < 0), r(x) ≥ 0(hoặc r(x) ≤ 0) với a ≤ x ≤ b (r(x) không
đồng nhất không trên bất kì lân cận nào của x trong (a, b)2 α ); 2 2 2 + β 0 ≠ ; α + β ≠ 0; 1 1 2 2 λ là tham số.
Phương trình vi phân tuyến tính trong bài toán có thể được viết dưới dạng: d d
[L + λr(x)]y(x) = 0, trong đó L = [p(x) ] + g(x). dx dx 15 2 d d
Với cách viết này thì toán tử dạng L1 =a (x) + a (x) + a (x có thể 2 2 1 0 dx dx
đưa về dạng L bằng cách đặt: a (x) a (x) 1 dx 1 dx a (x) p(x) = ∫ ∫ a (x) 0 a (x) 2 e và g(x) = 2 .e . a (x) 2 2 d d Ví dụ. L 2 3 1 = x + + x , tương ứng ta có: 2 dx dx
a2(x) = x2 , a1(x) = 1, a0(x) = x3. 1 1 3 1 1 dx x − − Đặt p(x) = 2 x x e e− ∫ = và g(x) = .e x = x. x e . 2 x 1 1 d − d − Khi đó, L x x [e ] + xe .
1 được đưa về dạng sau: dx dx
1.3. Biến đổi Fourier 1.3.1. Chuỗi Fourier Cho 1
F ∈ L ( ) , nghĩa là F khả tích Lesbesgue trên
 , F là một hàm tùy ý
được định nghĩa trong (−l,l ) . Chuỗi lượng giác vô hạn 1 ∞  nπ x   nπ x a a os c b sin  + + ∑ 0 2 n   n l  l  n 1 =     được ọ g i là chuỗi Fourier của
F (x) nếu hệ số a và b được cho bởi n n 1 l  nπ x 1 l  nπ x a F x c  = dx b F x  = dx, n ( ) sin n ( ) os l ∫  l  l ∫  l  −     l l −
trong trường hợp này các ệ h số trên được ọ g i là hệ số Fourier củ F a ( x) .
Vì vậy, mỗi hàm lượng giác trong chuỗi Fourier là tuần hoàn trong chu kỳ
2l, có nghĩa là, nếu ch ỗ
u i hội tụ tới F (x) trong (−l,l ), thì nó hội tụ đến mở rộng không tuần hoàn chu kỳ 2 l của F (x).  F (x) = ( F )x ( l− < x < )l và F( )  x = ( F x 2 + )l
với mọi x trong miền xác định của 
F , xem bài toán Sturm - Liouvil e. Nếu F tuần hoàn chu kỳ
2π , ta có định nghĩa chuỗi Fuorier của F tương tự
như trên, trong đó các hệ số a , b được tính trên một đ ạ o n tùy ý[ ; a a+ 2π ]. n n 16 π x
Nếu F là hàm tuần hoàn chu kỳ 2k, bằng phép đổi biếtn = , ta đưa về k
trường hợp tuần hoàn chu kỳ 2π .
Định lý 2 mô tả các điều kiện đầy đủ cho sự hội tụ của chuỗi Fourier, về mặt tính chất của  F ( )
x . Điều này tất nhiên xuất phát từ tính chất của F (x) , như đề cập
ở bài toán Sturm - Liouvil e. Nhắc lại, một hàm là hội tụ điểm hoặc liên tục từng đoạn trong ( − , ∞ )
∞ nếu chúng có hầu hết các bước n ả
h y hữu hạn xác định không
liên tục trong bất kỳ khoảng có độ dài xác định.
Định lý 2. Cho F (x) được định nghĩa trong (−l,l ) và cho  F (x) là mở rộng tuần hoàn với chu kỳ 2l của F (x) . (i) Nếu F (x) và 
F (x) liên tục từng đoạn và chuỗi Fourier F (x) hội tụ điểm tới  F (x) , tại đó  F ( )
x liên tục. Tại mỗi điểm x mà 
F (x) có bước nhảy không liên 0
tục, chuỗi hội tụ đến giá trị trung bình của giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của  F ( ) x tại x . 0 (i ) Nếu 
F (x) liên tục và F ′ (x ) liên tục từng đoạn, chuỗi Fourier hội tụ đều đến  F ( ) x . (i i) Nếu  F (x) thuộc p C và nếu ( p+ )1 F
(x ) liên tục từng đoạn, chuỗi đạt được
bằng cách lấy vi phân chuỗi Fourier cho
F (x) đạo hàm j lần hội tụ đều đến ( j) F (x) .
1.3.2. Chuỗi Fourier suy rộng
Để mở rộng khái niệm ch ỗ
u i Fourier, trước hết ta nhắc ạ l i định nghĩa tích
trong của hai véctơ trong RN:
x.y hoặc < x, y > ≡ x1y1 + x2y2 + . . . + xNyN
Một tập các véctơ {x1, x2, . . ., xM} trong RN là một họ trực giao nếu < xi , xj
> = 0 với i ≠ j, (i, j = 1,2, . . ., M); nó là một họ trực chuẩn nếu: 0 i  ≠ j x , x = δij ≡  i j 1 i = j  17
Rõ ràng, một họ trực giao không chứa vectơ không luôn có thể được tạo
thành một họ trực chuẩn bằng cách chia mỗi vectơ xi cho chuẩn của nó, 1 x = x , x 2 . i i i
Định nghĩa. Một họ trực giao là ầ
đ y đủ trong RN nếu chỉ vectơ trực giao với
mỗi thành phần của họ là vectơ không.
Định lý 3. Mỗi họ trực giao đầy đủ { x1, . . ., xM} là một cơ sở của RN ,
trong trường hợp đó một vectơ v của nó có biểu diễn: N v = , v x x ∑ n n n=1
Hệ số cn ≡ trong (0.22) được biểu thị bởi biểu thức Pithagorean N 2 v = c . ∑ n n 1 = b
Cho F(x) là một hàm xác định trên trên (a, b) và thỏa mãn F 2 (x) dx < ∞ ∫ a
Tập hợp tất cà các hàm sẽ được biểu thị bởi L2(a, b). Hai đối tượng, F và G, b
được nói là bằng nhau t rong L2(a, b), theo nghĩa nếu 2 [ F (x )− G ( ) x ] dx= 0 ∫ . a
Khái niệm bằng nhau này thường sử dụng để định nghĩa nhưng coi là hội tụ
trung bình của một chuỗi vô hạn các hàm trong L2(a, b): F 1(x) + F2(x) + . . . b N
hội tụ đến giới hạn F(x) trong L2(a, b) nếul 2 im [F(x) − F (x )] dx ∫ ∑ = 0 i N →∞ i 1 a =
(loại hội tụ này thường định nghĩa là ộ
h i tụ trung bình bình phương) b
Với giới thiệu tích trong F,G = F(x)G(x)dx ∫ a
L2(a, b) trở thành một không gian tích trong. Tính trực giao, trực chuẩn và
tính đầy đủ được định nghĩa chính xác như trong RN. Trong L2(a,b) , một họ trực
chuẩn đầy đủ thì cần thiết vô hạn, nhưng một họ trực chuẩn vô hạn thì không cần thiết ầ đ y đủ.
Ví dụ. Trong L2(-l, l), cả hai họ sau là không trực chuẩn không đầy ủ đ  1 πx 1 2π x 1 3 π x  π x π x sin , sin , sin ,..    và 1 1 1 2 , cos , cos ,.    l l l l l l   2l l l l l 
Chẳng hạn như, cho F(x) ≡ 1, 18 l 1 nπ x 1 n π x 1, sin = sin dx = 0, n = 1,2, . ∫ l l l l l −
Tuy nhiên, hợp của hai ọ
h trên là một họ trực ch ẩ
u n đầy đủ, và nó sinh ra
chuỗi Fourier ở trên với hàm khả tích bình phương F(x).
Định lý 4. Nếu {un(x)}, n = 1, 2, . . . , là một họ trực ch ẩ u n đầy đủ trong
L2(a, b), thì với bất kỳ F(x) trong L2(a, b), ∞ F(x) ≈ F, u u ( ) x ∑ n n n 1 =
(hội tụ trung bình bình phương của ch ỗ u i đến F(x)). ∞ 2 2 F(x ) = F ∑ (hội tụ thường) n n=1 được ọ
g i là đẳng thức Parseval.
Xét bài toán Sturm - Liouvil e ở trên, sự mở rộng hàm riêng nghĩa là mở
rộng chuỗi Fourier cho một hàm F trong2
L ( ,a )b dựa trên họ (0.14) không chỉ hội
tụ trung bình theo chuẩn bình phương (định lí 4), mà còn theo định lí sau : Định lý 5.
(i) Nếu F và F′ là hai hàm liên tục trên khoảng ( , a )
b thì chuỗi hội tụ từng  F  ( x )+ + ( F x )− điểm đến giá trị
 tại mỗi x trong khoảng ( ,a )b. 2
(i ) Nếu F và F′ liên tục trên khoảng ( , a )
b , F′ liên tục từng đoạn và F thỏa
mãn các điều kiện biên của bài toán Sturn-Liouvil e ở trên, thì chuỗi hội tụ đều đến F (x) trong khoảng ( , a ) b . 1.3.3. Tích phân Fourie r Cho Cho 1 f ∈ L (  ) , ta đặt: +∞ +∞ (A ) 1 t= (f )u utdu ( ) 1 cos , B t = ∫ ∫ ( f) sin u u π π −∞ −∞ +∞ Hàm (f )x=  ∫  (A)cos t tx + ( ) B sin t tx 
được gọi là tích phân Fourier của 0 f (x) .
Nếu f (x) là hàm chẵn, cụ thể làf (x) =f ( − )x thì 19 +∞ (A) 2 t=
∫ (f ) cuos ut ,du ( )B t= 0 π −∞ +∞ Khi đó: f ( )
x = ∫ (A )ctos txd là tích phân Fuorier Cosine 0
Nếu f (x) là hàm lẻ, cụ thể là f (x) = − f( )x thì +∞ (A )t= ( ) 2 0, B t= (f ) s u in utd π ∫ 0 +∞ Khi đó: f (x) = B
∫ ( )tsin txdtlà tích phân Fuorier Sine 0
1.3.4. Biến đổi Fourier
1.3.4.1. Định nghĩa. Với mọi 1 f ∈ L ( ) , ta có +∞ ( ) = (α) iα x f x F e dα ∫ , −∞ trong đó +∞ (α ) 1 = ( ) −iαx F f x e dx 2π ∫ . −∞
Hàm F (α ) được gọi là biến đổi Fourier của f( )
x , kí hiệu F ( f ) = F(α ). Kh i đó, f ( ) x là biến ổ
đ i Fourier ngược của F (α ).
1.3.4.2. Các tính chất ( ) 1. F ( n f ( )x) = ( iα )n (Fα ) . 2. F ( n x f ( )x) = ( )n ( )n i F (α ) . 3. F ( f( x− ) − ic c = eα (Fα ) (. c= ) cons 4. ( −icx F e f ( )x) = ( F α − )c .
5. F (c f x + c f x = c Fα + c Fα 1 1 ( ) 2 2( ) 1 ( 1 ) 2 (2 ) 6. F ( f ( c )x 1 = c− (Fα )c . F ( F (x)) 1 7. = f( α − ) . 2π +∞
8. (F f∗ (g )x = 2π (Fα) (Gα) , trong đó f ∗ g (x)= f ( x− ∫ )y ( g )y d: gọi là −∞
tích chập của hàm f và g . 20
1.3.4.3. Biến đổi Fourier của các hàm thông dụn g 1. F( − −α −cx e ) = ( 4π ) 2 2 1 c 2 e 4 c ( c> )0 2.F ( −λ λ x e )= λ > 0 π ( 2 2 α + λ ) ( ) 2  λ 3. F = e−λα (λ >   )0 2 2 x  + λ  1 khi x< A α F (I ( ) x ) sinA 4.  = , trong đó I (x ) =  A πα A 0  kh i x> A   2sinAx 5. F  = I   ( α A )  x  0  khi x< 0 F (E x = ⋅ a> , trong đó E x = a ( ) a ( )) 1 1 6. ( Re )0 2π a  + iα a − x e k h i x > 0 
1.3.4.4. Biến đổi Fourier và tích phân Laplace
Định lý 1 (i) và (iii) đều ề
đ cập đến trị riêng n = 0,1,2.. và hàm riêng { in }x e± của bài toá n ′ ( w )x= λ (w ) x − π < x < π ( w π − ) = ( w π ) w′( π − ) = w′(π )
Nó thuộc loại Sturm - Liouville, ngoại trừ điều kiện biên, không tuần hoàn
thay vì điều kiện tách. Do đó ớ v i f (x) tùy ý trong 2 L ( π − ,π ) , ta có: π f ∫ ( )  x − f ( ) 2 lim x dx= 0 (a ) N π − N trong đó  f ( ) inx x = F e ∑ (b) N n − N π và 1 F = f (x) inx e dx n= ± ± (c) n ( 0, 1, 2, )... 2π ∫ π − Giả sử f (x) trong 2 L ( − ,
∞ ∞). Nếu f (x) không đồng nhất bằng 0, không
tuần hoàn và có mở rộng không hợp lệ. Tuy nhiên trong trường hợp này ta có: 21 ∞ f ∫ ( )x − f ( )2 lim x dx= 0 (d) N N→∞ −∞ N
Khi đó f ( )x = ∫ (Fα) iαx e dα (e) N − N ∞ và (α ) 1 = ( ) i−αx F f x e dx (f 2π ∫ ) −∞
Chú ý sự tương tự giữa (a), (b), (c) và (d), (e), (f). Hàm F (α ) định nghĩa
trong (c) được gọi là biến đổi Fourier của hàmf (x). Ta sẽ mô tả mối liên hệ giữa hai hàm F { f (x)} = (
F α) hoặc F 1− {F (α )} = f( )x
Các tính chất toán tử của biến đổi Fourier được liệt kê ở Bảng 1-1. Ngoài ra,
Bảng 1-2 được gọi là biến đổi Fourier củaf (x). Mục đích của chúng ta là nghịch đảo của b ế
i n đổi Fourier được chỉ ra bởi bảng 1-2 như một từ điển. Chú ý rằng,
dòng 7 của bảng 1-1 tương đương với công thức nghịch đảo ∞ (α) iαx F e dα = ∫ (f )x −∞
Hàm f ∗g được định nghĩa ở dòng 8 được gọi là phép tích nhập của hàm f
và g . Rõ ràng toán tử tích nhập là đối xứng, kết hợp và phân phối với phép nhân.
Bảng 1-1. Các tính chất của biến đổi Fourie r f (x) ∞ (α ) 1 = ( ) i−αx F f x e dx 2π ∫ −∞ 1. (n) f (x) ( α )n i F (α ) 2. n x f ( )x n n i F (α) 3. f (x − )c − icα (n) e F (α ) c= o c ns 4. icx e (f )x F (α − c) c o c = ns 5. C f x +C f x C F α + C F α 1 1 ( ) 2 2( ) 1 1 ( ) 2 (2 ) 6. f ( c )x − 1 c F (α )c c o c = ns 7. F (x) 1 f ( α − ) 2π 22 ∞ 2π F (α )G(α ) 8. f ∗g ( ) x = f ( x− ) y ( g )y d ∫ −∞
Bảng 1-2. Cặp biến đổi Fourier f (x) ∞ (α) 1 = ( ) −iαx F f x e dx 2π ∫ −∞ 1. 2 cx e− α π 2 2 α + λ 2. − x e λ n n i F (α) λ > 0 − 3. 2α e λα 2 2 α + λ 1  x < A sin A α 4. I x  ≡ A ( ) 0 x> A πα  2sin Ax I 5. α A ( ) x 0 x < 0 1 1 6. E ≡ Reα > 0 α ( x)  α− x e x> 0 2π a+ i  α
Biến đổi Fourier như được mô tả ở đây theo hàm f (x) trong 2 L ( − , ∞ ) ∞ . A
liên quan tới biến đổi tích phân, được gọi là biến ổ
đ i Laplace, được định nghĩa bởi ∞ F { f (t)} = f (t) −st  e dt≡ (f )s ∫ 0
Biến đổi này có thể đề cập tới hàm f(t ) được định nghĩa với −∞ < t < ∞ và
thỏa mãn f (t ) = 0 với t < 0 . Chú ý rằng f (t ) không cần thuộc 2 L ( − , ∞ ) ∞ ; Chỉ cần
tồn tại hằng số dương M và b để ( ) bt f t M ≤ ≤e với t > 0.
Bảng 1-3 liệt kê các công thức mở rộng cho biến ổ đ i Laplace, và bảng 1-3
đưa ra biến đổi Lap l ac e của các hàm ặ đ c biệt. 23