Bài giảng phương trình lôgarit và bất phương trình lôgarit

Tài liệu gồm 34 trang, trình bày lí thuyết trọng tâm và hướng dẫn giải các dạng bài tập chuyên đề phương trình lôgarit và bất phương trình lôgarit, giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình Giải tích 12 chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit.

36 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

34 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
TOANMATH.com
Trang 1
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Mục tiêu
Kiến thức
1. Biết cách giải các dạng phương trình lôgarit.
2. Biết cách giải các dạng bất phương trình lôgarit.
Kĩ năng
1. Giải được một số phương trình mũ và phương trình lôgarit đơn giản bằng các phương pháp đưa
về cùng cơ số, lôgarit hóa, mũ hóa, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số.
2. Nhận dạng được các phương trình và bất phương trình lôgarit.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình lôgarit
Dạng 1:
0 1
log log
0
a a
a
f x g x
f x g x
Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện
0
f x
hoặc
0
g x
tùy thuộc vào độ phức tạp của
0
f x
và
0
g x
Dạng 2:
0 1
log
a
b
a
f x b
f x a
.
2. Bất phương trình lôgarit
log 0 1
a
y x a
.
Dạng 1:
1
0
log log
0 1
0
a a
a
f x g x
f x g x
a
f x g x
Dạng 2:
1
0
log
0 1
b
a
b
a
f x a
f x b
a
f x a
Dạng 3:
1
log
0 1
0
b
a
b
a
f x a
f x b
a
f x a
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
log log
a a
f x g x
1
0
0 1
0
a
f x g x
a
f x g x
log
a
f x b
1
0
0 1
b
b
a
f x a
a
f x a
log log
a a
f x g x
0 1
0
a
f x g x
log
a
f x b
0 1
b
a
f x a
log
a
f x b
1
0 1
0
b
b
a
f x a
a
f x a
TOANMATH.com
Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Phương trình lôgarit
Bài toán 1. Biến đổi về dạng phương trình cơ bản
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
2
3 1
3
log 1 log 2 1
x x x
là
A. 0 B. 2 C. 6 D. 3
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
3 3
2
1
2 1 0
2
log 1 log 2 1 3
0
1 2 1
3
x
x
x x x x
x
x x x
x
Nên phương trình chỉ có một nghiệm là
3
x
.
Chọn D.
Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 3.
Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình
2 3 4 20
log log log log
x x x x
là
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 3 2 4 2 20 2
log log 2.log log 2.log log 2.log
x x x x
2 3 4 20 2
log . 1 log 2 log 2 log 2 0 log 0 1
x x x
Nên phương trình có duy nhất một nghiệm.
Chọn A.
Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 2.
3 3 2
log log 2.log
x x
20 20 2
log log 2.log
x x
Ví dụ 3: Cho phương trình
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4
x x x
. Tổng tất cả các nghiệm của
phương trình là
A.
2 6 4
B. 2 C. 4 D.
2 6
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
2
3
1 0
1
4 4
4 0 4
1
4
4 0
x
x
x
x x
x
x
x
Ta có:
2
2 2 2 2
log 1 log 4 log 4 log 4 4 1 16
x x x x x
2
2
1
4 4 16
2 2 6
1
2
4 4 16
x
x x
x
x
x
x x
(thỏa mãn điều kiện).
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là
2 6 4
x
.
Chọn A.
Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 2.
2
2
log log
a
a
x x
Ví dụ 4: Cho phương trình
2 3 2
log log log 1
x
. Gọi
a
là nghiệm của phương trình, biểu thức nào sau
đây là đúng?
A.
2
log 10
a
B.
2
log 8
a
C.
2
log 7
a
D.
2
log 9
a
Hướng dẫn giải
Điều kiện
2 3 2
0;log 0;log log 0
x x x
suy ra
2
x
Khi đó
9 9
2 3 2 2
log log log 1 2 2 log 9
x x a a
Chọn D.
Ví dụ 5: Tìm nghiệm của phương trình
log log
x x
.
A.
1;S

B.
0;S

C.
1;10
S D.
1;S

Hướng dẫn giải
Điều kiện
0
0
0
x
x
x
(*).
Khi đó
log log log log log 0 1 1;x x x x x x x

Kết hợp với (*) ta được
1;x

thỏa mãn.
Vậy
1;S

Chọn D.
Bài toán 2. Phương trình theo một hàm số lôgarit
Phương pháp giải
Bước 1. Sử dụng công thức lôgarit biến đổi về
lôgarit cùng cơ số
Bước 2. Áp dụng phương pháp giải dạng 1.
Ví dụ: Phương trình
2
2 1
2
2
log 3log log 2
x x x
có hai nghiệm
1 2
,
x x
. Khi đó
1 2
x x
bằng
A.
1
2
2
B.
5
C.
1 5 1 5
2 2
2 2
D.
1
2
2
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2 2 2
4log 3log log 2 0
x x x
2
2 2
4log 2log 2 0
x x
2
2
1
log 1
2
1
log
2
2
x
x
x
x
Khi đó
1 2
1
2
2
x x
Chọn A.
Ví dụ mẫu
TOANMATH.com
Trang 5
Ví dụ 1: Phương trình
1
3 3
log 3 1 .log 3 3 6
x x
có
A. hai nghiệm dương B. một nghiệm dương
C. phương trình vô nghiệm D. một nghiệm kép
Hướng dẫn giải
Ta có:
1
3 3 3 3
log 3 1 .log 3 3 6 log 3 1 .log 3.3 3 6
x x x x
3 3 3 3
log 3 1 .log 3. 3 1 6 log 3 1 . 1 log 3 1 6
x x x x
2
3
3 3
3
log 3 1 2
log 3 1 log 3 1 6 0
log 3 1 3
x
x x
x
3
3
log 10
3 1 9 3 10
28
1 28
log
3 1 3
27
27 27
x x
x x
x
x
Chọn A.
Chú ý: Biến đổi về phương trình có ẩn là
3
log 3 1
x
Bài toán 3. Phương pháp hàm số
Phương pháp giải
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Tính chất 1. Nếu hàm số
y f x
đồng biến (hoặc nghịch biến) trên
;
a b
thì số nghiệm của
phương trình
f x k
trên
;
a b
không nhiều hơn một và
, , ;
f u f v u v u v a b
.
Tính chất 2. Nếu hàm số
y f x
liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến), hàm số
y g x
liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên
D
thì số nghiệm trên
D
của phương trình
f x g x
không nhiều hơn một.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Phương trình
3 7
log 2 log 3 4 2
x x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Hướng dẫn giải
Điều kiện
4
3
x
. Ta có:
3 7
log 2 log 3 4 2 0
x x
.
Đặt
3 7
log 2 log 3 4 2
f x x x
1 1 4
0,
2 .ln3 3 4 .ln 7 3
f x x
x x
Nên phương trình
0
f x
có tối đa một nghiệm.
Mà
1 0
f
nên phương trình có duy nhất một nghiệm
1
x
.
Chọn A.
Ví dụ 2: Phương trình
2 2 2
ln 1 ln 2 1
x x x x x
có tổng bình phương các nghiệm bằng
A. 5 B. 25 C. 9 D. 1
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2 2
ln 1 ln 2 1
x x x x x
2 2 2 2
ln 1 1 ln 2 1 2 1
x x x x x x
Xét hàm số
ln
f t t t
trên
0;

, ta có
1
1 0, 0;f t t
t

Mà
2 2 2 2 2
0
1 2 1 1 2 1 0
1
x
f x x f x x x x x x
x
Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 1.
Chọn D.
Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình
1
ln 1
2
x
x
là
A. 1 B. 0 C. 3 D. 2
Hướng dẫn giải
PT
1, 2
1
ln 1 0
2
x x
x
x
Xét hàm số
1
ln 1
2
y x
x
2
1 1
0, 1; 2
1
2
\
y x
x
x

Lập bảng biến thiên của hàm số trên
1;2 2;D

.
Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Chọn A.
Ví dụ 4: Số nghiệm của phương trình
2 2
3 5
log 2 log 2 2
x x x x
là
A. 3 B. 2 C. 1 D. 4
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0; 2
x x
Đặt
2 2
3 5
2 2 2 2 log log 2
t x x x x t t t
Đặt
3 5
log log 2
t t u
3
5
log
3
5 2 3 5 3 2
5 2 3
log 2
5 2 3 3 2 5
2 5
u
u u u u
u u
u u u u
u
t u
t
t u
t
5 3 2 (1)
3 1
2 1 (2)
5 5
u u
u u
+ Xét (1):
5 3 2
u u
Ta thấy
0
u
là một nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm
0
u
là duy nhất.
Với
2
0 1 2 1 0
u t x x
, phương trình này vô nghiệm.
+ Xét (2):
3 1
2 1
5 5
u u
Ta thấy
1
u
là một nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm
1
u
là duy nhất.
TOANMATH.com
Trang 7
Với
2
0 3 2 3 0
u t x x
, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
0; 2
x x
.
Chọn B.
Ví dụ 5: Biết rằng phương trình
1009
2 3
log 1 2018log
x x
có nghiệm duy nhất
0
x
. Khẳng định nào
dưới đây đúng?
A.
1 1
1008 1006
0
3 3
x
B.
2
1009
0
3
x
C.
1
1008
0
1 3
x
D.
1
1007
0
3 1
x
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0
x
Đặt
1009
2 3
log 1 2018log
t x x
. Khi đó
0
t
.
1009
2018
1 2
3
t
t
x
x
2
3 1
2 1 3 2 1 3 3 1 2 1
2 2
t
t
t t
t t t t
(*)
Ta thấy hàm số
3 1
2 2
t
t
f t
luôn nghịch biến và liên tục trên
0;

và
2 1
f
nên phương
trình (*) có duy nhất một nghiệm
2
t
.
1009
3
x
hay
1
1009
0
3
x
Mà
1 1
0
1009 1008
nên
1
1008
0
1 3
x
Chọn C.
Ví dụ 6: Xét các số nguyên dương
,
a b
sao cho phương trình
2
ln ln 5 0
a x b x
có hai nghiệm phân
biệt
1 2
,
x x
và phương trình
2
5log log 0
x b x a
có hai nghiệm phân biệt
3 4
,
x x
thỏa mãn
1 2 3 4
x x x x
.
Tính giá trị nhỏ nhất
min
S
của
2 3
S a b
.
A.
min
30
S
B.
min
25
S
C.
min
33
S
D.
min
17
S
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0
x
Đặt
ln
t x
,
log
u x
. Khi đó ta được
2
5 0
at bt
(1),
2
5 0
u bu a
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
2 2
0 20 0 20
b a b a
.
Với
1 2 1 2
1 2
ln .
b
t t t t
t
a
t x x e x x e e e e
Với
1 2 1 2
5
3 4
log 10 10 .10 10 10
b
u u u u
u
u x x x x
Ta có:
5
1 2 3 4
10
b b
a
x x x x e
Lấy lôgarit cơ số
e
hai vế ta được
5
ln10 ln10 5 ln10 5
5 5 ln10
b b
ab b a a
(do
,
a b
nguyên dương).
min min min
,
S a b
. Mà
2
min min
3 60 8
a b b
.
2 3 2.3 3.8 30
S a b
Chọn A.
Bài toán 4. Mũ hóa hoặc lấy lôgarit hai vế
Phương pháp giải
Các lí thuyết được sử dụng
+
0 1, 0
log
f x
a
a b
a b
f x b
+
log log
f x g x f x g x
a a
a b a b
.log
a
f x g x b
Hoặc
log log .log .
f x g x
b b b
a b f x a g x
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Phương trình
2
2
log 8
3
8 2
x
x
có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt?
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định:
2
2 2
8 0
2 2
x
x
x
Điều kiện có nghiệm là
2 0 2
x x
Nên nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm của phương trình thỏa mãn
2 2
x
Ta có:
2
2
log 8
3 3
2
2 8
8 2 log 8 log 2
x
x x x
2 2
2 2
2
log 8 log 2 8 2
3
x
x x x x
x
So với điều kiện, ta nhận
3
x
là nghiệm của phương trình.
Chọn C.
Ví dụ 2: Phương trình
2
5 5
log 15 log 5
2
5 22. 5.3 0
x
x x
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
Hướng dẫn giải
Điều kiện
0
x
Ta có:
5 5 5 5
1 log 3 1 2 log 1 log 3 2log
2 2
5 22. 5.3 0 5 22. 5.3.3 0
x x
x x x x
Vì
5 5 5 5
log 15 1 3 3 log
. .3
loc loc x
x x x x x
. Đặt
5
log 5
t
t x x
.
Phương trình trở thành:
2 2
5. 5 22.5 .3 15. 3 0
t t t t
2
5 3
3 5
5 5
5. 22. 15 0 1
3 3
5
5
3
t
t t
t
t
Nên
5
1
log 1
5
x x
Chọn C.
TOANMATH.com
Trang 9
Bài toán 5. Đặt ẩn phụ
Phương pháp giải
Bước 1: Đặt
log
t
a
t f x f x a
1
log ,log , 0
n n
a
f x
f x t a t
t
Bước 2: Chuyển phương trình về phương trình
ẩn
t
Bước 3: Giải phương trình và kết hợp điều kiện.
Có thể đặt ẩn phụ hoàn toàn hoặc không hoàn
toàn để giải phương trình.
Ví dụ: Biết phương trình
2
log log 64 1
x
x
có
hai nghiệm phân biệt. Khi đó tích hai nghiệm
này bằng
A. 2 B. 1
C.
1
4
D.
1
2
Hướng dẫn giải
Điều kiện
0
1
x
x
Với điều kiện trên phương trình đã cho trở thành
2 2
2
6
log 6log 2 1 log 1
log
x
x x
x
2
2 2
log log 6 0
x x
Đặt
2
log
t x
, phương trình trở thành
2
6 0
t t
3
2
t
t
2
2
log 3
log 2
x
x
8
1
4
x
x
Chọn A.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
3 3
3 log log 3 1 0
x x
bằng
A. 35 B. 84 C. 65 D. 28
Hướng dẫn giải
Điều kiện
3
0
0
1
log 0
1
x
x
x
x
x
Phương trình
3 3 3 3 3
3 log log 3 1 0 3 log log 3 log 1 0
x x x x
3 3
log 3 log 2 0
x x
Đặt
3
log ; 0
t x t
.
Phương trình trở thành:
3
1
2
1 2
3 2
log 1
3
1
3 2 0 84
2 log 4 81
x
x
t
t t x x
t x x
Chọn B.
Ví dụ 2: Phương trình
2
3 3
log 12 log 11 0
x x x x
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0
x
Phương trình
2
3 3
log 12 log 11 0
x x x x
là phương trình bậc hai theo ẩn
3
log
x
và tham số
x
.
Giải phương trình tham số
x
, ta được:
3
3
log 1
log 11 (*)
x
x x
Giải phương trình (*), ta có:
3
log 11 0
x x
Đặt
3
log 11
f x x x
trên
0;

, ta có:
1
1 0
ln3
f x
x
nên hàm số
f x
đồng biến trên
0;

.
Do đó, phương trình
0
f x
có tối đa một nghiệm. Mà
9 0
f
nên
9
x
là nghiệm duy nhất của (*)
Tóm lại phương trình có hai nghiệm:
3
x
,
9
x
.
Chọn B.
Bài toán 6. Phương trình tích
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tổng các nghiệm của phương trình
2
2log ln 2ln .log log
x x x x x
là một số có dạng
a b
b
với
,
a b
là các số nguyên dương. Giá trị của
a b
là
A. 11 B. 13 C. 3 D. 5
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2log log ln 2ln .log log 2log 1 ln 2log 1 0
x x x x x x x x x
1
1
log
2log 1 log ln 0
102
log ln 0
log .ln ln 0
x
x
x x x
x x
e x x
1 1
10 10
ln 0 1
x x
x x
Nên tổng các nghiệm của phương trình là
1
1 1 10
1 11
10
10 10
a
a b
b
Chọn A.
Bài toán 7. Phương trình lôgarit chứa tham số
Phương pháp giải
Bước 1: Đặt
2
log ; 0;t x x t

Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét, hoặc cô lập
m
.
Xét hàm
f t
, lập bảng biến thiên để tìm
m
.
Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
10;10
m
để phương trình
2
3 3
log log 0
x x m
có nghiệm?
A. 11 B. 10
C. 12 D. 5
Hướng dẫn giải
Tập xác định
0;D

. Đặt
3
log
x t
.
Khi đó phương trình trở thành
2
0
t t m
(*)
TOANMATH.com
Trang 11
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình
(*) có nghiệm:
1
1 4 0
4
m m
Vậy để phương trình có nghiệm thực thì
1
4
m
Chọn B.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
10;10
m để phương trình
2 4
log 5 1 log 2.5 2
x x
m
có nghiệm
1
x
?
A. 6 B. 8 C. 9 D. 7
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
5 1 0 0
x
x
2 4 2 2
1
log 5 1 log 2.5 2 log 5 1 log 2 5 1
2
x x x x
m m
2
2 2 2 2
log 5 1 1 log 5 1 2 log 5 1 log 5 1 2
x x x x
m m
Đặt
2
log 5 1
x
t
. Khi đó phương trình đã cho trở thành
2
2 0
t t m
(*)
Phương trình đã cho có nghiệm
1
x
khi phương trình (*) có nghiệm
2
t
1 2
1 2
2 (**)
2 (***)
t t
t t
(Loại (**) vì nếu
1 8 0
m
thì (*) có nghiệm
1
2
1 1 8
2,
2
1 1 8
2
m
t m
m
t
Ta có (***)
2 0 6 2 0 3
af m m
Vậy phương trình có nghiệm thực
1
x
thì
3
m
Chọn D.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
10;10
m để phương trình
log
2
log 1
mx
x
có
nghiệm thực duy nhất?
A. 11 B. 16 C. 12 D. 15
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định:
1
0
x
x
log
2 log 2log 1
log 1
mx
mx x
x
2 2
log log 1 1
mx x mx x
2
2 1 0 (*)
x m x
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có một nghiệm thỏa mãn
1
0
x
x
(Ta thấy
(*) luôn có nghiệm khác 0)
+ Trường hợp 1:
Phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn
1 2
1
x x
khi
2
4 0
4
1 0 4
0
0
2
1
2 2
m m
m
af m
m
m
S m
+ Trường hợp 2:
Phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn
1 2
1 ; 1 0 0
x x af m
Các giá trị
m
cần tìm
4
0
m
m
Chọn D.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
10;10
m để phương trình
2 2 3
1 1
2 2
log 4 2 1 log 4 2 0
m x m x m m
có hai nghiệm thực phân biệt trong khoảng
4;6
?
A. 6 B. 8 C. 9 D. 7
Hướng dẫn giải
Đặt
1
2
log 4
x t
. Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2 2 3
2 1 2 0
mt m t m m
(*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm phân biệt
1 2
1
t t
:
2
1 2 1 2
1
1 2
2
1 2
1 2
0
0
0
1
1 0
0
1 0
1 0
1 1 0
1 0
2 0
1 1 0
m
m
m
m
m
t t t t
t
t t
t
t t
t t
2
3 3 2
2
2
0
0
1
1
2 1
2 2 2 4
1 0 0
1
2 1
0
2 0
m
m
m
m
m
m m m m m
m m m
m m
m
m
m
2
0
1
0
1 0 1
2 2
0
2
0
0
m
m
m
m m
m m
m
m
m
m
Vậy
0 1
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TOANMATH.com
Trang 13
Chọn B.
Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
có nghiệm trong
đoạn
3
1;3
?
A. 6 B. 4 C. 1 D. 0
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0
x
Đặt
2
3
log 1
x t
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2 2
2 2 0 2 2
t t m t t m
(*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
1;2
Xét hàm số
2
f t t t
trên đoạn
1;2
. Ta có
2 1, 1;2
f t t t
nên
1;2
min 1 2;max 2 6
f t f f t f
Để (*) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
1;2
thì
2 2 2 6 0 2
m m
Chọn C.
Ví dụ 5: Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình
2
2 1
2
4 log log 0
x x m
có nghiệm thuộc
khoảng
0;1
.
A.
1
0;
4
m
B.
1
;
4
m

C.
;0
m D.
1
;
4
m

Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0
x
2
2
2 1 2 2
2
4 log log 0 log log 0
x x m x x m
Đặt
2
log
t x
, do
0;1 ;0
x t 
Phương trình trở thành
2 2
0
t t m m t t
(*)
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm giữa đồ thị hàm số
2
f t t t
với đường thẳng
y m
Xét hàm số
2
f t t t
trên
;0
t 
Ta có:
1
2 1, 0
2
f t t f t t
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm trong khoảng
0;1
khi
1
4
m
Chọn B.
Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
10;10
m để phương trình
2
2 2
4 log 2 2 log 1 0
m x m x m
có hai nghiệm thỏa mãn
1 2
1 2
x x
?
A. 5 B. 4 C. 1 D. 0
Hướng dẫn giải
Đặt
2
log 2
t
x t x
, khi đó phương trình đã cho trở thành
2
2
2 1
4 2 2 1 0
1
t
m t m t m m
t
(*)
(do
1
t
không phải là nghiệm).
Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm thỏa mãn
1 2
0 1
t t
Xét hàm số
2
3
2 2 1
2 1 1
; ; 0
1 2
1
t
t
f t f t f t t
t
t
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra
4
m
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Nghiệm phương trình là
4
log 1 3
x
A.
63
x
B.
82
x
C.
80
x
D.
65
x
Câu 2: Tổng các nghiệm không âm của phương trình
2
3
3
log log 2 4 3 0
x x x
là
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 3: Phương trình
2
log 4 2 2
x
x
tương đương với phương trình nào sau đây?
A.
4 2 2
x
x
B.
2
4 2 2
x x
C.
2
2 4.2 4 0
x x
D. Cả 3 đáp án đều sai
Câu 4: Cho phương trình
2
log 3 log 2 , 0; 1
a
a
x x x a a
, số nghiệm của phương trình trên là
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 5: Phương trình
3
4
2
log 3 log 3 0
a
a
có bao nhiêu nghiệm?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 6: Một học sinh giải phương trình
2 2
2 2
log log 1 0
x x
theo các bước như sau:
TOANMATH.com
Trang 15
Bước 1: Điều kiện
2
0
0
0
0
0
x
x
x
x
x
Bước 2: Từ điều kiện trên phương trình đã cho trở thành:
2
2 2 2
log 2 log 1 0 log 1
x x x
Bước 3: Vậy nghiệm phương trình là
1
2 2
x
(nhận)
Lời giải trên sai ở bước nào?
A. Bước 1 B. Bước 2 C. Bước 3 D. Không sai bước nào
Câu 7: Nghiệm của phương trình
0,4
log 3 2 0
x
là
A. Vô nghiệm B. Có nghiệm
3
x
C.
2
x
D.
37
4
x
Câu 8: Phương trình
2
ln 7 ln 6 0
x x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 9: Nghiệm của phương trình
2
3
log log 3 0
x
là?
A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
Câu 10: Với giá trị
m
bằng bao nhiêu thì phương trình
2
2 3 2 3
log 3 log 1
mx m
có nghiệm là
1
?
A.
1
1
m
m
B.
1
2
m
m
C.
3
m
D.
3
m
Câu 11: Phương trình
2 1
2
log 2 1 log 1 1
x x
có nghiệm là
A.
3 17
4
3 17
4
x
x
B.
3 17
4
x
C.
3 17
4
x
D.
1
x
Câu 12: Tập nghiệm của phương trình
3
log 1 2
x
là
A.
3
B.
3;4
C.
2; 3
D.
4; 2
Câu 13: Tất cả các giá trị
x
thỏa mãn
3
log 2
2 3
x
x
là
A.
2
x
B. x
C.
2
x
D.
2
x
Câu 14: Với giá trị nào của
m
thì phương trình
3
2
log 4 2
x
m x
có hai nghiệm phân biệt?
A.
1
2
m
B.
3
4
2
x
m
C.
1
0
2
m
D.
0
m
Câu 15: Phương trình
1
3 3
log 3 1 .log 3 3 6
x x
có
A. hai nghiệm dương B. một nghiệm dương
C. phương trình vô nghiệm D. một nghiệm kép
Câu 16: Phương trình
1
log 2 log 0
a
a
a x x
có nghiệm là
A.
x a
B.
2
x a
C.
2 1
x a
D. Phương trình vô nghiệm
Câu 17: Cho phương trình
2
3 2
log log 5 1
x
, tổng bình phương các nghiệm của phương trình trên là
A. 0 B. 244 C. 59 D. 118
Câu 18: Phương trình
3 7
log 2 log
x x
có nghiệm là
A.
4
x
B.
49
x
C.
25
x
D. Đáp án khác
Câu 19: Với giá trị nào của
m
thì phương trình
2 2
3 3
log log 1 3
x x m
có nghiệm trên
1;3
?
A.
1 2;1
m
B.
1 1 2
;
3 3
m
C.
1
;
3
m

D.
1 2
;1
3
m
Câu 20: Tìm tổng các nghiệm của phương trình
2
2
2 1 1
log 2 1 log 2 1 4
x x
x x x
A. 2 B.
5
2
C.
15
4
D.
13
4
Câu 21: Tập nghiệm của phương trình
4 2
log 2 log
x x
là
A.
2; 1
S
B.
2;
S C.
4
S D.
4; 1
S
Câu 22: Giải phương trình
3 3
log log 2 1
x x
ta được nghiệm
A.
3
x
B.
3
x
và
1
x
C.
1
2
x
D.
3
x
và
6
x
Câu 23: Tập nghiệm của phương trình
2
1
log 10 log 2 log 4
2
x x
là
A.
5; 5 5 2
S
B.
5; 5 5 2
S
C.
5; 5 5 2; 5 5 2
S
D.
5 5 2; 5 5 2
S
Câu 24: Tập nghiệm của phương trình
2 3 4 20
log log log log
x x x x
là
A.
1
S B. S
C.
1;2
S D.
2
S
Câu 25: Tập nghiệm của phương trình
2
log 1 3log 1 2 log 1
x x x
là
A.
1
S B. S
C.
1;2
S D.
2
S
Câu 26: Phương trình
2
2
6 2
3
2 2 2 2
1
log 3 4 .log 8 log log 3 4
3
x x x x
có tập nghiệm là
A.
16
1;2;
9
S
B.
1;2
S C.
16
1;
9
S
D.
16
2;
9
S
Câu 27: Tập nghiệm của phương trình
2 3 2 3
log 1 log 2
x x
là
A.
3 5
2
S
B.
3 5 3 5
;
2 2
S
C.
3 5
2
S
D.
3 5
2
S
Câu 28: Tập nghiệm của phương trình
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log 2 3 log 4 log 6
2
x x x
là
TOANMATH.com
Trang 17
A.
2
S B.
1 33
S
C.
2;1 33
S
D.
2;1 33
S
Câu 29: Tìm số nghiệm của phương trình
2
2 2
log 3log 2 0
x x
A. 2 nghiệm B. 1 nghiệm C. Vô nghiệm D. 3 nghiệm
Câu 30: Tìm số nghiệm của phương trình
2 2
2 2 2
log 1 log 1 log 1 2 0
x x x
A. 4 nghiệm B. 1 nghiệm C. 2 nghiệm D. 3 nghiệm
Câu 31: Tìm số nghiệm của phương trình
2 1
log 1 log 16
x
x
A. Vô nghiệm B. 3 nghiệm C. 1 nghiệm D. 2 nghiệm
Câu 32: Tìm số nghiệm của phương trình
4
7
log 2 log 0
6
x
x
A. 2 nghiệm B. 1 nghiệm C. 4 nghiệm D. 3 nghiệm
Câu 33: Tìm số nghiệm của phương trình
2 2
3 3
log 5 log 1 7 0
x x
A. 1 nghiệm B. Vô nghiệm C. 2 nghiệm D. 3 nghiệm
Câu 34: Tìm số nghiệm của phương trình
2 2
2 2
log log 1 1
x x
A. Vô nghiệm B. 2 nghiệm C. 1 nghiệm D. 3 nghiệm
Câu 35: Tìm số nghiệm của phương trình
2
2 2
log 12 log 11 0
x x x x
A. Vô nghiệm B. 3 nghiệm C. 1 nghiệm D. 2 nghiệm
Câu 36: Phương trình
2
log 4 4 3
x
x x
có số nghiệm là
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 37: Giải phương trình
4 3 2 2
1
log 2 log 1 log 1 3log
2
x
ta được nghiệm
x a
. Khi đó giá trị
a
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
0;3
B.
2;5
C.
5;6
D.
6;

Câu 38: Phương trình
2
3
log 4 12 2
x x
. Chọn phương án đúng.
A. Có hai nghiệm cùng dương B. Có hai nghiệm trái dấu
C. Có hai nghiệm cùng âm D. Vô nghiệm
Câu 39: Phương trình
2
log 9 2 3
x
x
có nghiệm nguyên dương là
a
. Tính giá trị của biểu thức
3
2
9
5T a a
a
A.
7
T
B.
12
T
C.
11
T
D.
6
T
Câu 40: Tập nghiệm của phương trình
2
log 2 1 2
x
là
A.
2
2 log 5
B.
2
2 log 5
C.
2
log 5
D.
2
2 log 5
Câu 41: Số nghiệm của phương trình
2
3
log 1 2
x
là
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 42: Tìm
m
để phương trình
3
2
log 3
x x m
có ba nghiệm thực phân biệt.
A.
1
m
B.
0 1
m
C.
0
m
D.
1
m
Câu 43: Tìm
m
để phương trình
2
log 4 1
x
m x
có đúng hai nghiệm phân biệt.
A.
0 1
m
B.
0 2
m
C.
1 0
m
D.
2 0
m
Câu 44: Nghiệm của phương trình
2
log
2.3 3
x
x
là
A.
1
x
B.
3; 1
x x
C.
3; 1
x x
D.
3
x
Câu 45: Tìm tích các nghiệm của phương trình
3 2
3 2
log 1 3 1 3 4 2log 1
x x x x
A.
1
B.
7
C. 7 D. 11
Câu 46: Cho phương trình
6
log
2 6
log 3 log
x
x x
có nghiệm
a
x
b
với
a
b
là phân số tối giản. Khi đó
tổng
a b
bằng?
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
Câu 47: Phương trình
5
log 3
2
x
x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô nghiệm
Câu 48: Gọi
T
là tổng các nghiệm của phương trình
2
1 3
3
log 5log 6 0
x x
. Tính
T
A.
36
T
B.
3
T
C.
5
T
D.
1
243
T
Câu 49: Phương trình
2
3 1
2
3
1
log 3 2 2 2
5
x x
x x
có tổng các nghiệm bằng?
A.
5
B. 3 C.
3
D.
5
Câu 50: Hiệu của nghiệm lớn nhất với nghiệm nhỏ nhất của phương trình
3
1
7
7 2 log 6 5 1
x
x
là
A. 1 B. 2 C.
1
D.
2
Câu 51: Phương trình
2
3
2
2 1
log 4
1
x
x x
x
có nghiệm là
A.
0
x
B.
0; 4
x x
C. Vô nghiệm D.
4
x
Câu 52: Phương trình
3
2 3 3 2 2 1
2 6 9 2 2 1
x m x x x
x x x m
có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
;
m a b
, đặt
2 2
T b a
thì
A.
36
T
B.
64
T
C.
48
T
D.
72
T
Câu 53: Nghiệm của phương trình
3
2
log 1 11
3
x
x
là
A. Vô nghiệm B.
2
x
C.
2
3
x
x
D.
3
x
Câu 54: Cho phương trình
2 1 sin
cos sin
2 sin cos
x
m x x
e e x m x
với
m
là tham số thực. Gọi
S
là tập
các giá trị của
m
để phương trình có nghiệm. Khi đó
S
có dạng
; ;a b
 
. Tính
10 20
T a b
A.
1
T
B.
0
T
C.
10 3
T
D.
3 10
T
Câu 55: Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình
2 2
.log 1 .log 1
x x m m x x
có hai nghiệm
thực phân biệt thuộc
1;3
A.
3
m
B.
1 3
m
C.
3
m
D. Không có
m
Câu 56: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình
2
3 3
log 2 log 3 1 0
x m x m
có 2
nghiệm
1 2
,
x x
sao cho
1 2
27
x x
A.
4
3
m
B.
25
m
C.
28
3
m
D.
1
m
Câu 57: Định điều kiện cho tham số
m
để
2
log log log 0
x mx
m x
m m m
có nghiệm.
TOANMATH.com
Trang 19
A.
0
m
B.
0
1
m
m
C.
1
m
D.
1
m
Câu 58: Số nghiệm của phương trình
2
4
2
log log 2
x là
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 59: Nghiệm phương trình
4
log 3 4 .log 2 1
x
x
là
A.
2
x
B.
4
x
C.
1
4
x
x
D. Vô nghiệm
Câu 60: Biết rằng phương trình
2
2
1 3
3
log 9 log 7 0
81
x
x
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
. Tính
1 2
P x x
A.
3
1
9
P
B.
6
3
P
C.
3
9
P
D.
8
3
P
Câu 61: Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
1
2
2
log 1 log 1 1
x x
.
A.
3 13
2
S
B.
3
S
C.
2 5;2 5
S
D.
2 5
S
Câu 62: Biết rằng phương trình
1
3 1
3
log 3 1 2 log 2
x
x
có hai nghiệm
1
x
và
2
x
. Hãy tính tổng
1 2
27 27
x x
S
A.
180
S
B.
45
S
C.
9
S
D.
252
S
Câu 63: Số nghiệm của phương trình
3 2
5 6
0
ln 1
x x x
x
là
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 64: Biết rằng phương trình
2 1
2
2
1
2log log 1 log 2 2
2
x x x x
có nghiệm duy nhất dạng
3
a b
với
,a b
. Tính tổng
S a b
A.
6
S
B.
2
S
C.
2
S
D.
6
S
Câu 65: Phương trình
2
2
3
2 1
log 1 3
x x
x x
x
có tổng các nghiệm bằng:
A. 3 B. 5 C.
5
D. 2
Câu 66: Gọi
S
là tổng các giá trị nguyên của tham số
m
sao cho phương trình
2 2 2
4 2
log 2 2 2 log 2
x x
m
vô nghiệm. Giá trị của
S
bằng
A.
6
S
B.
8
S
C.
10
S
D.
12
S
Câu 67: Tìm các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
log 2
1
log 1
mx
x
có nghiệm duy nhất
A.
0 100
m
B.
0; 100
m m
C.
1
m
D. Không tồn tại
m
Câu 68: Tìm giá trị thực của tham số
m
để phương trình
2
3 3
log log 1 0
x m x
có nghiệm duy nhất
nhỏ hơn 1.
A.
2
m
B.
2
m
C.
2
m D.
0
m
Câu 69: Gọi
0
m
là giá trị thực nhỏ nhất của tham số
m
sao cho phương trình
2
1 1
2 2
1 log 2 5 log 2 1 0
m x m x m
có nghiệm thuộc
2;4
. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A.
5
5;
2
m
B.
4
1;
3
m
C.
10
2;
3
m
D. Không tồn tại
m
Câu 70: Cho phương trình
2
2 2 2
log 2log 3 log 3
x x m x
với
m
là tham số thực. Tìm các giá trị
của
m
để phương trình có nghiệm thuộc
16;

A.
1 2
m
B.
1 5
m C.
3
5
4
m
D.
1 5
m
Câu 71: Có bao nhiêu giá trị
m
nguyên thuộc
2017;2017
để phương trình
log 2log 1
mx x
có
nghiệm duy nhất?
A. 2017 B. 4014 C. 2018 D. 4015
Câu 72: Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình
2
4 1
log 0
4 1
x
x
m
có nghiệm.
A.
0
m
B.
1 1
m
C.
1
m
D.
1 0
m
Câu 73: Cho phương trình
2
1
2
2 2
2 .log 2 3 4 .log 2 2
x m
x
x x x m
với
m
là tham số thực. Tìm
tất cả các giá trị của
m
để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.
A.
1 3
; ;
2 2
m
 
B.
1 3
; ;
2 2
m
 
C.
; 1 1;m
 
D.
;1 1;m

Câu 74: Cho phương trình
2
3 1
3
log 4 log 2 2 1 0
x mx x m
với
m
là tham số thực. Gọi
S
là tập
tất cả các giá trị của
m
để phương trình có nghiệm duy nhất, khi đó
S
có dạng
;
a b c
với
a b c
.
Tính 2 10
P a b c
A.
0
P
B.
15
P
C.
2
P
D.
13
P
Dạng 2. Bất phương trình lôgarit
Bài toán 1. Biến đổi về dạng bất phương trình cơ bản
Phương pháp giải
Áp dụng lý thuyết
Dạng 1:
1
0
log log
0 1
0
a a
a
f x g x
f x g x
a
f x g x
Dạng 2:
1
0
log
0 1
b
a
b
a
f x a
f x b
a
f x a
TOANMATH.com
Trang 21
Dạng 3:
1
log
0 1
0
b
a
b
a
f x a
f x b
a
f x a
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình
3 1
2
log log 0
x
có dạng
;
b
S a
c
, với
b
c
là phân số tối
giản và
a
là số nguyên. Tính
a b c
A. 3 B. 2 C.
2
D. 6
Hướng dẫn giải
Ta có:
3 1 1
2 2
1
log log 0 log 1 0
2
x x x
Nên
0, 1, 2
a b c
, do đó
3
a b c
Chọn A.
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình
2
1 2
2
log log 2 0
x
là
; 0
\
S a b . Tính
3
a b
A. 3 B. 2 C.
2
D. 0
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2 2
1 2 2
2
log log 2 0 0 log 2 1 1 2 2
x x x
2
2
1 1 1
0
0
x x
x
x
. Nên
1; 1
a b
. Do đó
3 2
a b
Chọn B.
Ví dụ 3: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình
2 3
3
log log 3 0
x
A. 7 B. 4 C. 6 D. 5
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
3
3 3
4
log 3 0 3 1
2
x x
x
x x
x
Ta có:
2 3 3
3
3 3
log log 3 0 0 log 3 1
3 1
x
x x
x
1 3 3 4 6
0;2 4;6
1 3 3 2 0
x x
x
x x
Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 4
Chọn B.
Ví dụ 4: Bất phương trình
3 1
2
max log ,log 3
x x
có tập nghiệm là
A.
;27
 B.
8;27
C.
1
;27
8
D.
27;

Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0
x
Ta có
3
3 1
1
2
2
27
log 3
1
max log ,log 3 27
1
log 3
8
8
x
x
x x x
x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
1
;27
8
S
Chọn C.
Bài toán 2. Bất phương trình theo một hàm số lôgarit
Phương pháp giải
Bước 1. Sử dụng công thức lôgarit biến đổi về
lôgarit cùng cơ số
Bước 2. Giải như dạng 1.
Ví dụ: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
2 2
2
2
log 2 2log 4 8 0
x x
là
A. Vô số B. 2
C. 0 D. 1
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
2
2
log 2 2log 4 8 0
x x
2
2 2
4log 2 4log 2 8 0
x x
2
1 1
1 log 2 2 2 4 2
2 4
x x x
Bất phương trình có 2 nghiệm nguyên.
Chọn B.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình
1 1
2
2 ln ln
x x
là
; \
b c
S a e e
, với
, ,a b c
. Tính
a b c
A. 3 B. 2 C. 4 D. 6
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2 2ln . 2 ln
2ln 4ln 2
0 0
2 ln .ln 2 ln .ln
x x
x x
x x x x
Bảng xét dấu:
Do đó:
2
0 ln 2
1
ln 1
x
x e
x
x e
nên
1, 2, 1
a b c
suy ra
4
a b c
Chọn C.
Ví dụ 2: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
6
3 3
log log 3 3
x
x
là
A. 9 B. 0 C. 11 D. 5
Hướng dẫn giải
Ta có:
6
3 3
3
3
1 6
log 3 log 3 0
log 3 1 log
x x
x x
TOANMATH.com
Trang 23
2
3 3
3
3
log 2log 3
0 log 1 0
log 1
x x
x
x
vì
2
3 3
log 2log 3 0, 0
x x x
3
1
log 1 0
3
x x
nên không có giá trị nguyên thỏa mãn bài toán.
Chọn B.
Ví dụ 3: Bất phương trình
2
2
3
log 2 1 0
x x
có tập nghiệm là
; ;
a b c d
. Tính tổng
a b c d
A.
3
2
B. 0 C. 1 D.
17
Hướng dẫn giải
Ta có
2
2
3
log 2 1 0
x x
2
2
1
1
2 1 0
2
1 17 1 17
2 1 1
4 4
x x
x x
x x
x
1 17 1 1 17 1
;
4 2 4 2
1 17 1 17
1 1;
4 4
x a b
x c d
Vậy
1
a b c d
Chọn C
Bài toán 4. Mũ hóa hoặc lấy lôgarit hai vế
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Bất phương trình
2 log
1000
x
x
có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 999 B. 1000 C. Vô số D. 1001
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0
x
Ta có:
2 log 2 log
1000 log log1000
x x
x x
2
log 2 log 3 log 2log 3 0
x x x x
1
1 log 3 1000
10
x x
nên bất phương trình có 999 nghiệm nguyên.
Chọn A.
Chú ý: khi cơ số
1
a
, giữ nguyên chiều bất phương trình;
0 1
a
đảo chiều bất phương trình.
Ví dụ 2: Biết tập nghiệm
S
của bất phương trình
3
6
log log 2 0
x
là khoảng
;
a b
. Tính
b a
A. 2 B. 4 C. 3 D. 5
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
3
2 0
2 2
3
log 2 0
2 1 3
x
x x
x
x
x x
3 3
6
log log 2 0 log 2 1 2 3 5
x x x x
So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình
3;5
S
Do đó:
5 3 2
b a
Chọn A.
Bài toán 5. Đặt ẩn phụ
Phương pháp giải
Bước 1. Đặt
log
t
a
t f x f x a
1
log ,log , 0
n n
a
f x
f x t a t
t
Bước 2. Chuyển phương trình về phương trình
ẩn
t
Bước 3. Giải phương trình và kết hợp điều kiện
Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên
0;30
x
thỏa mãn bất phương trình
2
1 3
3
log 5log 6 0
x x
?
A. 9 B. 10
C. 26 D. 27
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0
x
Xét phương trình:
2
1 3
3
log 5log 6 0
x x
2
3 3
log 5log 6 0
x x
2
3 3
log 5log 6 0
x x
(1)
Đặt
3
log
t x
2
(1) 5 6 0
t t
2 3 0
t t
2
3
t
t
3
3
log 2
log 3
x
x
9
27
x
x
(thỏa mãn)
Do
0;30
x nên có 10 giá trị thỏa mãn.
Chọn B.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
2
2
2
2 2
log
log
2
1
log log 1
x
x
x x
A.
1
0; 1; 2 2;
2

B.
1
0; 1; 2
2
C.
1
0; 2;
2

D.
1
0; 1;
2

Hướng dẫn giải
Điều kiện:
2
2
0
0 0 2
log 1 0
x
x x
TOANMATH.com
Trang 25
2
2
2 2 2
2 2 2 2
log
log log 1 2log
2
1 1
log log 1 log log 1
x
x x x
x x
Đặt
2
log
t x
Bất phương trình trở thành
2
1
1 2 2 1 1
1 0 0
1 1 2
1
t
t t t t
t
t t t t
t
+ Với
2
1:log 1 2
t x x
+ Với
2
1 1
0 : 0 log 1 2
2 2
t x x
+ Với
2
1
1: log 1
2
t x x
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình đã cho có tập nghiệm
1
0; 1; 2 2;
2
S

Chọn A.
Ví dụ 2: Biết rằng bất phương trình
2
5 2
log 5 2 2.log 2 3
x
x
có tập nghiệm là
log ;
a
S b

, với
,
a b
là các số nguyên dương nhỏ hơn 6 và
1
a
. Tính
2 3
P a b
A.
11
P
B.
16
P
C.
18
P
D.
7
P
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2
5 2
2
1
log 5 2 2.log 2 3 log 5 2 2. 3
log 5 2
x
x x
x
(*)
Đặt
2
log 5 2 1
x
t
. Khi đó (*) trở thành
2
2
3 3 2 0 2
t t t t
t
(do
1
t
)
Với
2
t
thì
3
2 2 5
log 5 2 2 log 2 5 2 log 2
x x
x
Suy ra
5
2 3 16
2
a
P a b
b
Chọn B.
Bài toán 6. Bất phương trình tích
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình
4 5 20
log 1 .log 1 log 1
x x x
có dạng là
log
;
ab
b
S a c d
với
, , ,
a b c d
là các số nguyên dương. Tính tổng
a b c d
A. 11 B. 13 C. 12 D. 5
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
1
x
, bất phương trình trở thành:
4 5 20 20
log 1 .log 1 log 4.log 1 0
x x x
4
5 20
4 5 20
4
5 20
log 1 0
log 1 log 4
log 1 . log 1 log 4 0
log 1 0
log 1 log 4
x
x
x x
x
x
20
20
20
log 4
log 4
log 4
2
5 1
5 1 2
2
5 1
x
x
x
x
x
Nên
5, 4, 1, 2
a b c d
. Từ đó ta có:
12
a b c d
Chọn C.
Bài toán 7. Bất phương trình lôgarit chứa tham số
Phương pháp giải
Bước 1. Đặt ẩn phụ
Bước 2. Sử dụng định lý Vi-ét, hoặc cô lập
m
,
xét hàm
f t
, lập bảng biến thiên để tìm
m
Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
10;10
m để bất phương trình
2
2 2
4 log log 0
x x m
nghiệm đúng với
mọi
1;64
x
A. 8 B. 11
C. 10 D. 9
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0
x
Ta có:
2
2 2
4 log log 0
x x m
2
2 2
log log 0
x x m
(*)
Đặt
2
log
x t
Lại có
2
1 64 0 log 6 0 6
x x t
Bất phương trình (*) có dạng
2 2
0
t t m t t m
Ta tìm
m
để
2
t t m
có nghiệm với
0 6
t
Xét hàm
2
f t t t
1
2 1, 0
2
f t t f t t
Lập bảng biến thiên ta có:
Vậy phương trình
2
t t m
có nghiệm với
0 6 0 0
t m m
Chọn D.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
10;10
m để bất phương trình
2
ln ln 3 0
x m x m
nghiệm đúng với mọi
3
x
A. 6 B. 4 C. 1 D. 0
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 27
Ta có:
2
2 2
ln 3
ln ln 3 0 ln 1 ln 3
ln 1
x
x m x m m x x m
x
Đặt
ln ; ln 3
t x t
. Ta xét hàm số
2
3
1
t
f t
t
2
2
3 4 4
1 1 ;
1 1
1
t
f t t f t
t t
t
2
3
4
0 1 0
1
1
t
f t
t
t
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi
3
x
khi
6
m
khi đó có 4 giá trị nguyên
m
thỏa mãn
Chọn B.
Ví dụ 2: Số giá trị nguyên của tham số
m
để bất phương trình
2 2
log5 log 1 log 4
x mx x m
nghiệm đúng với mọi
x
là
A. 2 B. 4 C. 1 D. 0
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định:
2
2
0
0
4 0, 2
2
16 4 0
2
m
m
mx x m x m
m
m
m
2 2 2 2
log5 log 1 log 4 log5 1 log 4
x mx x m x mx x m
2 2 2
5 1 4 5 4 5 0,x mx x m m x x m x
2 2
5 5
5 0 5
2 5 7 3
16 4 5 0 4 5
5 2 3
m m
m m
m m m
m m
m m
Có hai giá trị nguyên thỏa mãn
3;4
m
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Giải bất phương trình
2 2
log 3 2 log 6 5
x x
được tập nghiệm là
;
a b
. Hãy tính tổng
S a b
A.
26
5
S
B.
11
5
S
C.
28
15
S
D.
8
3
S
Câu 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình
2
4 4
log 1 log 3 3
x x
A.
1;2
S B.
; 1 2;S
 
C.
;1 2;S
 
D.
2;S

Câu 3: Bất phương trình
1 1
2 2
log 2 1 log 2
x x
có tập nghiệm là
A.
3;

B.
;3
 C.
1
;3
2
D.
2;3
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
2
0,8 0,8
log log 2 4
x x x
là
A.
; 4 1;
 
B.
4;1
C.
; 4 1;2
 D.
1;2
Câu 5: Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
2
1 1
2 2
log 3 1 log 4
x x
A.
1
0; 1;
3
S

B.
1
; 1;
3
S

C.
1
;1
3
S
D.
1
0; 1;
3
S
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình
2
ln 3 2 ln 5 2
x x x
là
A.
;0 8;
 
B.
0;1 2;8
C.
2
;0 8;
5
D.
8;

Câu 7: Bất phương trình
4 2
log 7 log 1
x x
có tập nghiệm là
A.
1;4
B.
1;2
C.
5;

D.
;1

Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình
3
3
log log 12
x x
là
A.
0;12
B.
9;16
C.
0;9
D.
0;16
Câu 9: Với
m
là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
2 2
log 2 3 log 3
m m
x x x x
, biết rằng
1
x
là một nghiệm của bất phương trình.
A.
1
2;0 ;3
3
S
B.
1
1;0 ;2
3
S
C.
1
1;0 ;3
3
S
D.
1;0 1;3
S
Câu 10: Tập xác định của hàm số
ln 1 ln 1
y x x
là
A.
1;

B.
; 2

C.
D.
2;

Câu 11: Bất phương trình
3 9
2 4
log log 1
x x
tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A.
3 9 9
2 4 4
log log log 1
x x
B.
3 3
2 2
2log log 1
x x
C.
9 3
4 2
log log 1
x x
D.
3 3
2 2
log 2log 1
x x
Câu 12: Tất cả các giá trị của
m
để bất phương trình
2 2
2 2
log 7 7 log 4
x mx x m
có nghiệm
đúng với mọi giá trị của
x
là
A.
5
m
B.
2 5
m
C.
7
m
D.
2 5
m
TOANMATH.com
Trang 29
Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên dương
x
thỏa mãn điều kiện
log 40 log 60 2
x x
?
A. 20 B. 18 C. 21 D. 19
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình
2 2
2log 1 log 5 1
x x
là
A.
1;5
B.
1;3
C.
1;3
D.
3;5
Câu 15: Bất phương trình
3 1
3
2log 4 3 log 2 3 2
x x
là
A.
3
;
4

B.
3
;
4

C.
3
;3
4
D.
3
;3
4
Câu 16: Bất phương trình
2 3 4 20
log log log log
x x x x
có tập nghiệm là
A.
1;

B.
0;1
C.
0;1
D.
1;

Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình
2 2
log 2 log 2 2
x x
là
A.
10
;
3

B.
2;

C.
2;

D.
2;2
Câu 18: Tập nghiệm của bất phương trình
2
log 2 3 log 3 log 1 0
x x x x
là
A.
4; 2 1;

B.
2;1
C.
1;

D.
Câu 19: Bất phương trình
2 1
2
log 2 1 log 2 1
x x
có tập nghiệm là
A.
2;

B.
2;3
C.
5
2;
2
D.
5
;3
2
Câu 20: Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
2
1 1 2
2
2
log 2 log log 1
x x x x
.
A.
2;S

B.
1;2
S C.
0;2
S D.
1;2
S
Câu 21: Cho bất phương trình
0,2 5 0,2
log log 2 log 3
x x . Nghiệm của bất phương trình đã cho là
A.
3
x
B.
2 3
x
C.
2
x
D.
2 3
x
Câu 22: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
1 1
2 2
1
log log 1
2
x x
là
A. Vô số B. 0 C. 2 D. 3
Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình
log 1 log log20
x x là
A.
5;4
B.
; 5

C.
; 5 4;
 
D.
4;

Câu 24: Tập nghiệm của bất phương trình
2 2 2
log 1 2 log 5 1 log 2
x x x
chứa khoảng nào
dưới đây?
A.
1;2
B.
4;3
C.
2;3
D.
2;5
Câu 25: Bất phương trình
3
3
3
3log 1 log 2 1 3
x x
có tập nghiệm là
A.
1;2
B.
1;2
C.
1
;2
2
D.
1
;2
2
Câu 26: Nghiệm của bất phương trình
3
3
5 0,2
25
log log log 7
x x x
là
A.
25
x
B.
0 25
x
C.
10
x
D.
0 10
x
Câu 27: Nghiệm của bất phương trình
2 2
2log 1 2 log 2
x x
là
A.
2 3
x
B.
2
x
C. 3
x
D.
2 3
x
Câu 28: Nghiệm của bất phương trình
2 2
log 3 1 6 1 log 7 10
x x
là
A.
1
x
B.
369
49
x
C.
369
49
x
D.
369
1
49
x
Câu 29: Nghiệm của bất phương trình
2
3 1 1
3 3
1
log 5 6 log 2 log 3
2
x x x x
là
A.
5
x
B.
3
x
C.
3 4
x
D.
10
x
Câu 30: Giá trị nào của tham số
m
thì bất phương trình
2 2 2
2 2
log 3 2 2 4 1 log 2
x mx m m x
nghiệm đúng với mọi x
?
A.
1 0
m m
B.
1 0
m
C.
0
m
D.
1
m
Câu 31: Tập nghiệm
S
của bất phương trình
2
2 2
log 5log 6 0
x x
là
A.
1
;64
2
S
B.
1
0;
2
S
C.
64;S

D.
1
0; 64;
2
S

Câu 32: Nghiệm của bất phương trình
2
2 2
log 6 log 5
x x
là
A.
32
1
x
x
B.
5
1
x
x
C.
32
0 2
x
x
D.
32
1
x
x
Câu 33: Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
2
2 2
log 2 4log 2 5
x x
A.
63
;0 ; 2
32
S

B.
63
;0 ;
32
S

C.
2;S

D.
;0
S 
Câu 34: Nghiệm của bất phương trình
2
ln 2ln 1
x x
là
A.
0
x e
x
B.
1
x
C.
1
\
x
D. x
Câu 35: Nghiệm của bất phương trình
2
2 2
log 3log 2
x
là
A.
1 2
x
B.
2 4
x
C.
2 4
x
D.
1 2
x
Câu 36: Tập nghiệm của bất phương trình
2
ln 3ln 2 0
x x
là
A.
;1 2;
 
B.
2
;e

C.
2
; ;e e

D.
2
0; ;e e

Câu 37: Tập nghiệm của bất phương trình
3
3 3 3 3
3 1
log .log log 2log
2
3
x
x x
x
là
A.
0;

B.
3
0; 1;
8

C.
3
;1
8
D.
1
;1
27
Câu 38: Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 4
log 6log 4 0
x x
là
A.
1
;16
2
B.
1;4
C.
1;16
D.
1
;4
2
Câu 39: Tập xác định của hàm số
2
ln 3ln 2
y x x
là
A.
2
0; ;e e

B.
;1 2;
 
C.
2
; ;e e

D.
2
;e

TOANMATH.com
Trang 31
Câu 40: Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
2 2
2
2
log 2 2log 4 8 0
x x
A.
1
;2
4
S
B.
;2
S  C.
2;2
S D.
0;2
S
Câu 41: Tập nghiệm của bất phương trình
2
2
2
log 10log 1 0
x x
là
A.
2;

B.
1
4
;2 2;
 
C.
1
4
0;2 2;

D.
1
4
0;2
Câu 42: Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 8
4 2
5
log 9log log 16
2
x x
là
A.
1
;2
16
B.
1
0; 2;
16

C.
1
;
16

D.
2;

Câu 43: Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 0,25
log 2 8log 2 5 0
x x
là
A.
63
;0 ;2
32

B.
63
;
32

C.
; 5 1;

D.
;2

Câu 44: Tập nghiệm của bất phương trình
2
2
2
log 5log 1 0
x x
là
A.
1
4
2 ;2
B.
1
4
0;2 2;

C.
2;

D.
0; 2
Câu 45: Cho bất phương trình
3
4 2
2
log .log 4 log 0
2
x
x x
. Nếu đặt
2
log
t x
, ta được bất phương
trình nào sau đây?
A.
2
11 2 0
t t
B.
2
11 3 0
t t
C.
2
14 2 0
t t
D.
2
14 4 0
t t
Câu 46: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình
2 5 2
3 3
log 25log 750 0
x x
là
A. 925480 B. 38556 C. 378225 D. 388639
Câu 47: Tập nghiệm của bất phương trình
4 1
4
3 1 3
log 3 1 .log
16 4
x
x
là
A.
1;2 3;

B.
1;1 4;

C.
0;4 5;

D.
0;1 2;

Câu 48: Bất phương trình
2 3 2 3
3 2 3 2
2log .log 2log 4log 4 0
x x x x
có nghiệm là
A.
2
3
x
B.
4
9
x
C.
4
9
x
D.
4 2
9 3
x
Câu 49: Bất phương trình
4
3
log log 4
2
x
x
có bao nhiêu nghiệm nguyên trên đoạn
1;5
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 50: Nghiệm của bất phương trình
100
1
log 100 log 0
2
x
x
là
A.
2 2
1 10
x B.
2 2
2 2
1
10
1 10
x
x
C.
2 2
1
0
10
x D.
2 2
2 2
1
0
10
1 10
x
x
Câu 51: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
5
2log log 125 1
x
x
là
A. 1 B. 9 C. 10 D. 11
Câu 52: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
3 3
log log 27 3
x
x
là
A. 9 B. 0 C. 5 D. 11
Câu 53: Giải bất phương trình
ln 2
0
ln 1
x
x
ta được tập nghiệm là
A.
2
1
;
e
e
B.
;
e
 C.
2
1
;
e

D.
;e

Câu 54: Mệnh đề nào sau đây đúng khi phát biểu về bất phương trình
2 3
3 1
1
4 2log 2 3logx x
A. Tập xác định của bất phương trình đã cho là
0;T

B. Tập xác định của bất phương trình đã cho là
0;T

C. Tập xác định của bất phương trình đã cho là
8 8
0; ;4 4;
27 27
T

D. Tập xác định của bất phương trình đã cho là
3 3
0; 9 9;4 4;T

Câu 55: Tập nghiệm của bất phương trình
1 1
2
2 ln ln
x x
là
A.
2
;0 1; ;e e
 
B.
;1

C.
2
1;
\
e e
D.
2
; ;e e
 
Câu 56: Tập nghiệm của bất phương trình
6 4 3
1 1 1
log log log
x x
e e e
là
A.
3; 2 3;4
B.
3;4 3;2
C.
; 2 3;
 
D.
; 3 4;
 
Câu 57: Tập nghiệm của bất phương trình
2 2
1 2
1
4 log 2 log
x x
là
A.
1 1 1
0; ; 2;4 4;
16 4 2

B.
1 1 1
0; ; 2;4 4;
16 4 2

C.
1 1 1
0; ; 2;4 4;
16 4 2

D.
1 1 1
0; ; 4;
16 4 2

Câu 58: Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 2
2
2 2
16log 3log
0
log 3 log 1
x x
x x
là
A.
0;1 2;

B.
1 1
; 1;
2
2 2

C.
1 1
; 1; 2
2
2 2
D.
1
;1 2;
2 2

Câu 59: Tìm
m
để bất phương trình
2
log log 3 0
x m x m
có nghiệm
1
x
A.
3
6
m
m
B.
3 6
m
C.
3
m
D.
6
m
Câu 60: Tập nghiệm của bất phương trình
9
log log 3 9 1
x
x
là
A.
B.
C.
3;

D.
3
log 10;

TOANMATH.com
Trang 33
Câu 61: Tập nghiệm của bất phương trình
4
log log 2 4 1
x
x
là
A.
B.
C.
2
log 5;

D.
2;

Câu 62: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
2
2
log 5 6 1
x
x x
là
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 63: Tập nghiệm của bất phương trình
2
5
log 8 16 0
x
x x
là
A.
3;
\
4
 B.
3;

C.
5;

D.
3;
\
5

Câu 64: Bất phương trình
2 3
log 2 1 log 4 2 2
x x
có tập nghiệm
A.
;0
 B.
0;

C.
;0
 D.
0;

Câu 65: Giải bất phương trình
3
log log 9 72 1
x
x
ta được:
A.
2
x
B.
0 2
1
x
x
C.
9
log 72 2
x
D.
9
log 73 2
x
Câu 66: Tập nghiệm của bất phương trình
2
log 7.10 5.25 2 1
x x
x
là
A.
1;0
B.
1;0
C.
1;0
D.
1;0
Câu 67: Bất phương trình
9 1
3
2log 9 9 log 28 2.3
x x
x
có tập nghiệm là
A.
3
; 1 2;log 14
 B.
3
; 1 2;log 14

C.
12
; 1 2;
5

D.
3
;log 14

Câu 68: Với giá trị nào của tham số
m
thì bất phương trình
2
log 2 5 1
m
x x m
có vô số nghiệm
A.
1
m
B.
0 1
m
C.
1
m
D.
0
m
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Phương trình lôgarit
1- D 2- D 3- B 4- A 5- B 6- D 7- D 8- C 9- D 10- B
11- B 12- D 13- D 14- C 15- A 16- A 17- D 18- B 19- B 20- D
21- B 22- A 23- A 24- A 25- B 26- A 27- C 28- D 29- A 30- C
31- D 32- A 33- B 34- C 35- D 36- B 37- A 38- C 39- C 40- D
41- C 42- A 43- C 44- A 45- C 46- D 47- A 48- A 49- B 50- A
51- B 52- C 53- D 54- C 55- B 56- D 57- A 58- C 59- B 60- A
61- D 62- A 63- B 64- B 65- A 66- C 67- B 68- B 69- A 70- B
71- C 72- A 73- A 74- C
Dạng 2. Bất phương trình lôgarit
1- B 2- D 3- C 4- C 5- A 6- C 7- B 8- C 9- C 10- D
11- B 12- B 13- B 14- C 15- C 16- D 17- A 18- D 19- C 20- B
21- A 22- B 23- D 24- C 25- A 26- B 27- A 28- D 29- C 30- B
31- A 32- C 33- A 34- A 35- C 36- D 37- D 38- A 39- A 40- A
41- C 42- B 43- A 44- A 45- D 46- A 47- D 48- D 49- A 50- D
51- C 52- A 53- A 54- D 55- C 56- A 57- D 58- C 59- A 60- D
61- C 62- C 63- D 64- C 65- D 66- B 67- B 68- A
| 1/34
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Mục tiêu  Kiến thức
1. Biết cách giải các dạng phương trình lôgarit.
2. Biết cách giải các dạng bất phương trình lôgarit.  Kĩ năng
1. Giải được một số phương trình mũ và phương trình lôgarit đơn giản bằng các phương pháp đưa
về cùng cơ số, lôgarit hóa, mũ hóa, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số.
2. Nhận dạng được các phương trình và bất phương trình lôgarit. TOANMATH.com Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phương trình lôgarit  0  a  1 Dạng 1: log f x  g x  a
  loga    f x gx0
Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện f  x  0 hoặc g  x  0 tùy thuộc vào độ phức tạp của f  x  0 và g  x  0  0  a  1 Dạng 2: log f x  b  . a    f   x b  a
2. Bất phương trình lôgarit y  log x 0  a   1 . a  a  1 0  f  x  g x Dạng 1: log f x  g x  a
  loga    0a1   f
  x  g  x  0  a  1 0  f  x b  a Dạng 2: log f x  b  a     0  a 1    f    x b  a   a 1   f    x b  a Dạng 3: log f x  b  a    0  a 1   0  f  x b  a SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA log f  x  log g x a a   log f x  log g x a a    a  1   0  a  1 0  f  x  g x     f
  x  g  x  0  0  a 1    f
  x  g  x  0 PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT log f x  b a   log f x  b log f x  b a   a    0  a  1  a  1     a  1  b f x  a   0  f    b  x b  a f    x  a     0  a 1    0  a  1    f  b    x b  a  0  f  x  a II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Phương trình lôgarit
Bài toán 1. Biến đổi về dạng phương trình cơ bản  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log  2
x  x 1  log 2x 1 là 3  1   3 A. 0 B. 2 C. 6 D. 3 Hướng dẫn giải Ta có:  1 x   x     log  2 1 0 2 2
x  x 1  log 2x 1      x  3 3  3   2      x  0 x x 1 2x 1  x  3
Nên phương trình chỉ có một nghiệm là x  3. Chọn D.
Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 3.
Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình log x  log x  log x  log x là 2 3 4 20 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải
Ta có: log x  log 2.log x  log 2.log x  log 2.log x 2 3 2 4 2 20 2  log .
x 1 log 2  log 2  log 2  0  log x  0  x  1 2  3 4 20  2
Nên phương trình có duy nhất một nghiệm. Chọn A.
Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 2. log x  log 2.log x 3 3 2 log x  log 2.log x 20 20 2
Ví dụ 3: Cho phương trình log  x  2 1  2  log
4  x  log 4  x3 . Tổng tất cả các nghiệm của 4 2 8 phương trình là A. 2 6  4 B. 2 C. 4 D. 2 6 Hướng dẫn giải   x  2 1  0 x  1    4   x  4
Điều kiện: 4  x  0  x  4     x  1    x  3 x  4 4  0  
Ta có: log x 1  log 4  log 4  x  log 4  x 2  4 x 1 16  x 2 2 2 2 x 1  2 4x   4  16  x x  2   2 6    
(thỏa mãn điều kiện). x 1 x  2   2
4x  4 16 x
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là x  2 6  4. Chọn A.
Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 2. 2 log x  log x 2 a a TOANMATH.com Trang 3
Ví dụ 4: Cho phương trình log log log x  1. Gọi a là nghiệm của phương trình, biểu thức nào sau 2  3  2  đây là đúng? A. log a  10 B. log a  8 2 2 C. log a  7 D. log a  9 2 2 Hướng dẫn giải
Điều kiện x  0;log x  0;log log x  0 suy ra x  2 2 3  2 
Khi đó log log log x 9 9
 1  x  2  a  2  log a  9 2 3 2 2 Chọn D.
Ví dụ 5: Tìm nghiệm của phương trình log x  log x . A. S  1; B. S  0; C. S  1;1  0 D. S  1; Hướng dẫn giải  x  0 Điều kiện   x  0 (*).  x  0
Khi đó log x  log x  log x  log x  log x  0  x  1  x 1;
Kết hợp với (*) ta được x 1; thỏa mãn. Vậy S  1; Chọn D.
Bài toán 2. Phương trình theo một hàm số lôgarit  Phương pháp giải
Bước 1. Sử dụng công thức lôgarit biến đổi về Ví dụ: Phương trình 2 log x  3log x  log x  2 2 2 1 lôgarit cùng cơ số 2
có hai nghiệm x , x . Khi đó x  x bằng 1 2 1 2 1 A. 2  B. 5 2 1 5 1 5 1 C. 2 2 2  2 D.  2 2 Hướng dẫn giải Ta có: 2
4 log x  3log x  log x  2  0 2 2 2 2
 4log x  2log x  2  0 2 2 log x  1  1 2 x     1  2 log x  
Bước 2. Áp dụng phương pháp giải dạng 1. 2  2 x  2 1 Khi đó x  x  2  1 2 2 Chọn A.  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Phương trình log 3x 1.log  x 1 3    3  6 có 3 3  A. hai nghiệm dương B. một nghiệm dương
C. phương trình vô nghiệm D. một nghiệm kép Hướng dẫn giải
Ta có: log 3x 1.log  x 1 3  
 3  6  log 3x 1 .log 3.3x  3  6 3 3  3   3  
 log 3x 1 .log 3. 3x 1  6  log 3x 1 . 1 log 3x    1   6 3   3    3    3    x    2 log 3 1 2 3  
 log 3x 1   log 3x 1  6  0   3    3    log 3x 1  3  3    3x 1  9 3x  10 x  log 10 3       x 1 x 28 28 3 1   3  x  log3  27  27  27 Chọn A.
Chú ý: Biến đổi về phương trình có ẩn là log 3x 1 3  
Bài toán 3. Phương pháp hàm số  Phương pháp giải
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
 Tính chất 1. Nếu hàm số y  f  x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên a;b thì số nghiệm của
phương trình f  x  k trên a;b không nhiều hơn một và f u  f v  u  v, u  ,v  ; a b .
 Tính chất 2. Nếu hàm số y  f x liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến), hàm số y  g x
liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f  x  g  x không nhiều hơn một.  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Phương trình log x  2  log 3x  4  2 có bao nhiêu nghiệm? 3   7   A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải 4
Điều kiện x   . Ta có: log x  2  log 3x  4  2  0 . 3   7   3
Đặt f x  log x  2  log 3x  4  2 3   7   f  x 1 1 4           x   0, x x 2 .ln 3 3 4 .ln 7 3
Nên phương trình f  x  0 có tối đa một nghiệm. Mà f  
1  0 nên phương trình có duy nhất một nghiệm x  1. Chọn A.
Ví dụ 2: Phương trình  2 x  x     2 x   2 ln 1 ln 2
1  x  x có tổng bình phương các nghiệm bằng A. 5 B. 25 C. 9 D. 1 Hướng dẫn giải Ta có:  2 x  x     2 x   2 ln 1 ln 2 1  x  x TOANMATH.com Trang 5 
 2x  x   2x  x     2x    2 ln 1 1 ln 2 1 2x   1 1
Xét hàm số f t  ln t  t trên 0; , ta có f t  1  0, t  0; t x  0 Mà f  2 x  x   1  f  2 2x   2 2 2
1  x  x 1  2x 1  x  x  0   x 1
Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 1. Chọn D.
Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình  x   1 ln 1  là x  2 A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 Hướng dẫn giải x 1, x  2  PT     x   1 ln 1   0  x  2 Xét hàm số y  x   1 ln 1  x  2 1 1 y    0,x  1; \ 2 2     x 1 x  2
Lập bảng biến thiên của hàm số trên D  1;2 2; .
Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Chọn A.
Ví dụ 4: Số nghiệm của phương trình 2 log x  2x  log  2 x  2x  2 là 3 5  A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 Hướng dẫn giải
Điều kiện: x  0; x  2 Đặt 2 2
t  x  2x  x  2x  2  t  2  log t  log t  2 3 5  
Đặt log t  log t  2  u 3 5   log t  u    t  3u u u u u       3 5 2 3 5 3 2     5u  2  3u     log t  2  u  t   2  5u 5u  2  3u  3u  2  5u 5   5u  3u  2 (1)    3 u  1 u   2  1 (2)      5   5  + Xét (1): 5u 3u   2
Ta thấy u  0 là một nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm u  0 là duy nhất. Với 2 u  0  t  1
  x  2x 1 0, phương trình này vô nghiệm. 3 u 1 u     + Xét (2):  2  1      5   5 
Ta thấy u  1 là một nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm u  1 là duy nhất. Với 2
u  0  t  3  x  2x  3  0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x  0; x  2 . Chọn B.
Ví dụ 5: Biết rằng phương trình log  1009 1 x
 2018log x có nghiệm duy nhất x . Khẳng định nào 2  3 0 dưới đây đúng? 1 1 2 A. 1008 1006 3  x  3 B. 1009 x  3 0 0 1 1 C. 1008 1  x  3 D. 1007 3  x  1 0 0 Hướng dẫn giải Điều kiện: x  0 Đặt t  log  1009 1 x
 2018log x . Khi đó t  0 . 2  3 1009 1   x  2t   2018 x  3t t    t
2      t   t   t t t t 3  1   2 1 3 2 1 3 3 1  2      1     (*) 2    2  t t     Ta thấy hàm số f t 3 1     
   luôn nghịch biến và liên tục trên 0; và f 2  1 nên phương 2    2 
trình (*) có duy nhất một nghiệm t  2. 1 1009  x  3 hay 1009 x  3 0 1 1 1 Mà 0   nên 1008 1  x  3 1009 1008 0 Chọn C.
Ví dụ 6: Xét các số nguyên dương a,b sao cho phương trình 2
a ln x  b ln x  5  0 có hai nghiệm phân
biệt x , x và phương trình 2
5log x  b log x  a  0 có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x x  x x . 1 2 3 4 1 2 3 4
Tính giá trị nhỏ nhất S của S  2a  3b . min A. S  30 B. S  25 min min C. S  33 D. S 17 min min Hướng dẫn giải Điều kiện: x  0
Đặt t  ln x , u  log x . Khi đó ta được 2 at  bt  5  0 (1), 2 5u  bu  a  0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2 2
   0  b  20a  0  b  20a . b  Với t  1 t t2 1 t t2  ln     . a t x x e x x e e  e  e 1 2 b  Với u  1 u u2 1 u u2 5
u  log x  x  10  x x  10 .10  10 10 3 4 b b   Ta có: a 5 x x  x x  e  10 1 2 3 4
Lấy lôgarit cơ số e hai vế ta được b b 5
   ln10  ab ln10  5b  a ln10  5  a  (do a,b nguyên dương). 5 5 ln10 S  a ,b . Mà 2 a
 3  b  60  b  8. min min min min min TOANMATH.com Trang 7
 S  2a  3b  2.3 3.8  30 Chọn A.
Bài toán 4. Mũ hóa hoặc lấy lôgarit hai vế  Phương pháp giải
Các lí thuyết được sử dụng 0   a  1,b  0 + f  x a  b    f   x  log b a + f  x gx f x gx a  b  log a  log b a a
 f x  g  x.log b a Hoặc f x g x log a  log b  f x a  g x b b  .logb  .  Ví dụ mẫu log  2  2 x 8 Ví dụ 1: Phương trình   x  3 8
2 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt? A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Hướng dẫn giải x  2  2 Điều kiện xác định: 2 x  8  0   x   2 2
Điều kiện có nghiệm là x  2  0  x  2
Nên nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm của phương trình thỏa mãn x  2 2 log  2  2 x 8 Ta có: 8
  x  23  log x 8  log x  23 2 2 8 x    log  2 2
x 8  log x  2 2  x 8  x  2  2 2  x  3
So với điều kiện, ta nhận x  3 là nghiệm của phương trình. Chọn C. Ví dụ 2: Phương trình 2 2 log515 log5 5 5  22.  5.3 x x x
 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Hướng dẫn giải Điều kiện x  0 Ta có: 2 1log   5 3 1 2log5 x 2 1 log5 3 2log5 5  22.  5.3  0  5  22.  5.3.3 x x x x x  0 Vì log  5 15 1 lo 5 c 3 lo 5 c 3 log5   .  .3 x x x x x x . Đặt  log   5t t x x . 5 2 2
Phương trình trở thành: 5.5t  22.5t.3t 15.3t     0  5 t 3   2    5 t   5 t  3  5  5.  22. 15  0   t  1     3 3       5 t   5    3  1 Nên log x  1  x  5 5 Chọn C.
Bài toán 5. Đặt ẩn phụ  Phương pháp giải
Ví dụ: Biết phương trình log x  log 64  1 có 2 x
hai nghiệm phân biệt. Khi đó tích hai nghiệm này bằng A. 2 B. 1 1 1 C. D. 4 2 Hướng dẫn giải
Bước 1: Đặt t  log f  x  f  x t  a x  0 a Điều kiện  x 1 n  f x  t a  t  a   n 1 log ,log f x , 0 t
Với điều kiện trên phương trình đã cho trở thành 6
log x  6 log 2  1  log x   1 2 x 2 log x 2
 log x  log x  6  0 2 2 2
Bước 2: Chuyển phương trình về phương trình
Đặt t  log x , phương trình trở thành 2 ẩn t 2 t  t  6  0
Bước 3: Giải phương trình và kết hợp điều kiện. t  3
Có thể đặt ẩn phụ hoàn toàn hoặc không hoàn     
toàn để giải phương trình. t 2 log x  3 2  log x  2   2 x  8   1 x   4 Chọn A.  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3 log x  log 3x 1  0 bằng 3 3 A. 35 B. 84 C. 65 D. 28 Hướng dẫn giải x  0 x  0 Điều kiện     x 1 log x  0 x   1 3
Phương trình 3 log x  log 3x 1  0  3 log x  log 3  log x 1  0 3 3 3 3 3
 log x  3 log x  2  0 3 3 Đặt t  log x; t  0 . 3   Phương trình trở thành: t 1 log x  1 x  3 2 3 1 t  3t  2  0     x  x  84    1 2 t   2 log x  4 x  81  3  2 Chọn B. Ví dụ 2: Phương trình 2
log x  x 12 log x 11 x  0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? 3   3 TOANMATH.com Trang 9 A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Hướng dẫn giải Điều kiện: x  0 Phương trình 2
log x  x 12 log x 11 x  0 là phương trình bậc hai theo ẩn log x và tham số x . 3   3 3 log x  1
Giải phương trình tham số x , ta được: 3  log x  11 x (*)  3
Giải phương trình (*), ta có: log x  x 11  0 3
Đặt f  x  log x  x 11 trên 0; , ta có: f  x 1 
1  0 nên hàm số f x đồng biến trên 3 x ln 3 0;.
Do đó, phương trình f  x  0 có tối đa một nghiệm. Mà f 9  0 nên x  9 là nghiệm duy nhất của (*)
Tóm lại phương trình có hai nghiệm: x  3, x  9 . Chọn B.
Bài toán 6. Phương trình tích  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tổng các nghiệm của phương trình 2 2log x  ln x  2 ln .
x log x  log x là một số có dạng
a  b với a,b là các số nguyên dương. Giá trị của ab là b A. 11 B. 13 C. 3 D. 5 Hướng dẫn giải Ta có: 2
2 log x  log x  ln x  2ln .
x log x  log x 2log x   1  ln x 2log x   1  0  1  1     x  x x log x x 2 log 1 log ln 0       2   10   log x  ln x  0
log .eln x  ln x  0  1  1 x  x   10    10   ln x  0 x 1 1 1 10 a  1
Nên tổng các nghiệm của phương trình là 1     a  b  11 10 10 b  10  Chọn A.
Bài toán 7. Phương trình lôgarit chứa tham số  Phương pháp giải
Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  1  0;10 để phương trình 2
log x  log x  m  0 có nghiệm? 3 3 A. 11 B. 10 C. 12 D. 5 Hướng dẫn giải Bước 1: Đặt t  log ;
x x  0;  t   2  
Tập xác định D  0; . Đặt log x  t . 3
Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét, hoặc cô lập m .
Khi đó phương trình trở thành 2 t  t  m  0 (*)
Xét hàm f t , lập bảng biến thiên để tìm m .
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình 1
(*) có nghiệm:   1 4m  0  m  4 1
Vậy để phương trình có nghiệm thực thì m  4 Chọn B.  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  1
 0;10 để phương trình
log 5x 1 log 2.5x  2  m có nghiệm x  1? 2   4   A. 6 B. 8 C. 9 D. 7 Hướng dẫn giải
Điều kiện: 5x 1  0  x  0 x x x 1 log 5 1 log 2.5  2   log 5 1 log 2 5x m 1  m 2   4   2   2    2  log 5x   1 1 log 5x   1 2
 2  log 5x 1  log 5x m 1  2m 2 2 2   2  
Đặt log 5x 1  t . Khi đó phương trình đã cho trở thành 2 t  t  2m  0 (*) 2  
Phương trình đã cho có nghiệm x  1 khi phương trình (*) có nghiệm t  2 t  t  2 (**) 1 2   t  2  t (***)  1 2  1 1 8m t   2, m  1
(Loại (**) vì nếu  18m  0 thì (*) có nghiệm 2   1 1 8m t  2  2
Ta có (***)  af 2  0  6  2m  0  m  3
Vậy phương trình có nghiệm thực x  1 thì m  3 Chọn D. log mx
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  1
 0;10 để phương trình   có x   2 log 1 nghiệm thực duy nhất? A. 11 B. 16 C. 12 D. 15 Hướng dẫn giải x  1 
Điều kiện xác định:  x  0 log mx      x   2 log mx 2log x 1 log 1  mx 
x  2  mx  x  2 log log 1 1 2
 x  2  m x 1 0 (*) TOANMATH.com Trang 11 x  1 
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có một nghiệm thỏa mãn  (Ta thấy x  0
(*) luôn có nghiệm khác 0) + Trường hợp 1:
Phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn 1   x  x khi 1 2  2   m  4m  0 m  4   af   1 0     m  0  m  4 S m 2 m   0    1   2 2 + Trường hợp 2:
Phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn x  1   x ;af 1   0  m  0 1 2   m  4
Các giá trị m cần tìm  m  0 Chọn D.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  1
 0;10 để phương trình 2
m log  x  4  2 2 m   1 log  x  4 3
 m  m  2  0 có hai nghiệm thực phân biệt trong khoảng 4;6 ? 1 1 2 2 A. 6 B. 8 C. 9 D. 7 Hướng dẫn giải
Đặt log x  4  t . Khi đó phương trình đã cho trở thành: 1   2 2 mt   2 m   3 2
1 t  m  m  2  0 (*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm phân biệt 1  t  t : 1 2 m  0 m  0 m  0      0   m  2 1  0 m  1       t 1  0 t 1 t 1  0 t t  t  t 1  0  1   1  2  1 2  1 2  t  1  0   t 1  t 1  0  t  t  2  0 2   1   2    1 2  m  0 m  0 m 1   m  1  m  m  2 2 2 3 m   3 2 1 m  2m  2m  4    1  0    0  m m  m 2 2 m    2 1 m  m 1    0  2  0   m  m m  0  m 1 m  0     m  2 2 m  2  m  1  0  m  1   0 m  2 m    0 m  0  m
Vậy 0  m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để 2 2
log x  log x 1  2m 1  0 có nghiệm trong 3 3 đoạn 3 1  ;3    ? A. 6 B. 4 C. 1 D. 0 Hướng dẫn giải Điều kiện: x  0 Đặt 2 log x 1  t 3
Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2 2
t  t  2m  2  0  t  t  2m  2 (*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;2 Xét hàm số   2 f t  t  t trên đoạn
1;2. Ta có f t  2t 1, t  1;2 nên min f t  f  
1  2; max f t  f 2  6 1;2
Để (*) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;2 thì 2  2m  2  6  0  m  2 Chọn C.
Ví dụ 5: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 4log x 2  log x  m  0 có nghiệm thuộc 2 1 2 khoảng 0;  1 .  1   1  1  A. m  0;  B. m   ;   C. m  ;  0 D. m  ;    4    4     4  Hướng dẫn giải Điều kiện: x  0
4log x 2  log x  m  0  log x2  log x  m  0 2 1 2 2 2
Đặt t  log x , do x 0;  1  t   ;  0 2 Phương trình trở thành 2 2
t  t  m  0  m  t  t (*)
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm giữa đồ thị hàm số   2
f t  t  t với đường thẳng y  m Xét hàm số   2
f t  t  t trên t  ;  0
Ta có: f t    t  f t 1 2 1,  0  t   2 Bảng biến thiên: TOANMATH.com Trang 13 1
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm trong khoảng 0;  1 khi m  4 Chọn B.
Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  1
 0;10 để phương trình m  4 2
log x  2 m  2 log x  m 1  0 có hai nghiệm thỏa mãn 1  x  2  x ? 2   2 1 2 A. 5 B. 4 C. 1 D. 0 Hướng dẫn giải Đặt log   2t x t
 x , khi đó phương trình đã cho trở thành 2 2   t   m  4 2 1 2
t  2m  2t  m 1  0  m    (*)  t 1 
(do t  1 không phải là nghiệm).
Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm thỏa mãn 0  t  1  t 1 2 2  2t 1 2  2t 1 1 Xét hàm số f t  ; f t    ; f  t  0  t    3    t 1  t   1 2 Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra m  4 Chọn A.
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Nghiệm phương trình là log x 1  3 4   A. x  63 B. x  82 C. x  80 D. x  65
Câu 2: Tổng các nghiệm không âm của phương trình log x  log 2x  4x  3  0 là 3  2 3  A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 3: Phương trình log 4  2x  2  x tương đương với phương trình nào sau đây? 2   A. 4  2x  2  x B. x 2 4  2  2 x C.  x 2 2 4.2x   4  0
D. Cả 3 đáp án đều sai Câu 4: Cho phương trình  2
log x  3x  log 2x,a  0;a  
1 , số nghiệm của phương trình trên là a a A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 5: Phương trình log 3  log
3  0 có bao nhiêu nghiệm? 3  4 2 a a  A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 6: Một học sinh giải phương trình 2 2
log x  log x 1  0 theo các bước như sau: 2 2 x  0 x  0 Bước 1: Điều kiện     x  0 2 x  0 x   0
Bước 2: Từ điều kiện trên phương trình đã cho trở thành:
log x2  2log x 1  0  log x 1 2 2 2
Bước 3: Vậy nghiệm phương trình là 1 x  2  2 (nhận)
Lời giải trên sai ở bước nào? A. Bước 1 B. Bước 2 C. Bước 3 D. Không sai bước nào
Câu 7: Nghiệm của phương trình log x  3  2  0 là 0,4   A. Vô nghiệm B. Có nghiệm x   3 37 C. x  2 D. x  4
Câu 8: Phương trình  x2 ln
 7 ln x  6  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 9: Nghiệm của phương trình log   là?  log x 3 0 2   3 A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
Câu 10: Với giá trị m bằng bao nhiêu thì phương trình log mx  3  log  có nghiệm là    2 m 1 2 3 2 3  1? m 1 m 1 A.  B.  C. m  3 D. m  3 m  1  m  2 
Câu 11: Phương trình log 2x 1  log x 1  1 có nghiệm là 2   1   2  3  17 x  3  17 3  17 A. 4  B. x  C. x  D. x  1  3  17 4 4 x   4
Câu 12: Tập nghiệm của phương trình log x 1  2 là 3 A.   3 B. 3;  4 C.  2  ;  3 D. 4;   2
Câu 13: Tất cả các giá trị x thỏa mãn log3 2 2 3 x x    là A. x  2  B. x   C. x  2  D. x  2 
Câu 14: Với giá trị nào của m thì phương trình log  x 3
4  2m  x có hai nghiệm phân biệt? 2  1 4x 1 A. m  B. 3 m   C. 0  m  D. m  0 2 2 2
Câu 15: Phương trình log 3x  1 .log  x 1 3    3  6 có 3 3  A. hai nghiệm dương B. một nghiệm dương
C. phương trình vô nghiệm D. một nghiệm kép Câu 16: Phương trình log
2a  x  log x  0 có nghiệm là a 1 a A. x  a B. x  2a C. x  2a 1
D. Phương trình vô nghiệm TOANMATH.com Trang 15
Câu 17: Cho phương trình log  2 log
x  5  1 , tổng bình phương các nghiệm của phương trình trên là 3 2  A. 0 B. 244 C. 59 D. 118 Câu 18: Phương trình log
x  2  log x có nghiệm là 3   7 A. x  4 B. x  49 C. x  25 D. Đáp án khác
Câu 19: Với giá trị nào của m thì phương trình 2 2
log x  log x 1  3m có nghiệm trên 1;  3 ? 3 3 1 1 2  A. m  1 2;  1 B. m   ;  3 3    1  1 2  C. m   ;   D. m  ;1 3    3  
Câu 20: Tìm tổng các nghiệm của phương trình log x  x   x   x  2 1 logx 2 2 2 1 4 2 1 1 5 15 13 A. 2 B. C. D. 2 4 4
Câu 21: Tập nghiệm của phương trình log x  2  log x là 4   2 A. S  2;  1 B. S  2  ; C. S    4 D. S  4;  1
Câu 22: Giải phương trình log x  log x  2  1 ta được nghiệm 3 3   1  A. x  3 B. x  3 và x  1  C. x  D. x  3 và x  6 2 1
Câu 23: Tập nghiệm của phương trình log  x 10 2  log x  2  log 4 là 2 A. S  5; 5   5 2 B. S   5  ;5  5 2 C. S   5  ; 5   5 2; 5   5 2 D. S   5   5 2; 5  5 2
Câu 24: Tập nghiệm của phương trình log x  log x  log x  log x là 2 3 4 20 A. S    1 B. S   C. S  1;  2 D. S    2
Câu 25: Tập nghiệm của phương trình 2
log 1 x  3log 1 x  2  log 1 x là A. S    1 B. S   C. S  1;  2 D. S    2 2 1
Câu 26: Phương trình log 3x  46 .log x  8log x   log 3x  42 3 có tập nghiệm là 2 2 2 2 2 3  16   16  16 A. S  1  ; 2;  B. S  1;  2 C. S  1  ;  D. S  2;   9   9   9 
Câu 27: Tập nghiệm của phương trình log x   1  log x  2 là 2 3 2 3 3 5 
3 5 3 5  A. S    B. S   ;   2    2 2   3 5  3 5  C. S    D. S     2    2   3
Câu 28: Tập nghiệm của phương trình log  x  22  3  log 4  x3  log  x  63 là 1 1 1 2 4 4 4 A. S    2 B. S  1 33 C. S  2;1 33 D. S  2;1 33
Câu 29: Tìm số nghiệm của phương trình 2 log x  3log x  2  0 2 2 A. 2 nghiệm B. 1 nghiệm C. Vô nghiệm D. 3 nghiệm
Câu 30: Tìm số nghiệm của phương trình 2 log  2
x 1  log x 1  log x 1  2  0 2  2   2   A. 4 nghiệm B. 1 nghiệm C. 2 nghiệm D. 3 nghiệm
Câu 31: Tìm số nghiệm của phương trình log x 1  log 16 2   x 1  A. Vô nghiệm B. 3 nghiệm C. 1 nghiệm D. 2 nghiệm 7
Câu 32: Tìm số nghiệm của phương trình log 2  log x   0 x 4 6 A. 2 nghiệm B. 1 nghiệm C. 4 nghiệm D. 3 nghiệm
Câu 33: Tìm số nghiệm của phương trình 2 2
log x  5 log x 1  7  0 3 3 A. 1 nghiệm B. Vô nghiệm C. 2 nghiệm D. 3 nghiệm
Câu 34: Tìm số nghiệm của phương trình 2 2 log x  log x 1  1 2 2 A. Vô nghiệm B. 2 nghiệm C. 1 nghiệm D. 3 nghiệm
Câu 35: Tìm số nghiệm của phương trình 2
log x  x 12 log x 11 x  0 2   2 A. Vô nghiệm B. 3 nghiệm C. 1 nghiệm D. 2 nghiệm Câu 36: Phương trình  2 log
x  4x  4  3 có số nghiệm là x A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1
Câu 37: Giải phương trình log 2 log 1
  log 1 3log x    . Khi đó giá trị 4  3  2  2   ta được nghiệm x a 2
a thuộc khoảng nào sau đây? A. 0;3 B. 2;5 C. 5;6 D. 6;
Câu 38: Phương trình log  2
x  4x 12  2 . Chọn phương án đúng. 3 
A. Có hai nghiệm cùng dương
B. Có hai nghiệm trái dấu C. Có hai nghiệm cùng âm D. Vô nghiệm Câu 39: Phương trình log 9 2x x  
 3 có nghiệm nguyên dương là a . Tính giá trị của biểu thức 2   9 3 T  a  5a  2 a A. T  7  B. T  12 C. T  11 D. T  6
Câu 40: Tập nghiệm của phương trình log 2x 1  2 là 2   A. 2  log 5 B. 2  log 5 C. log 5 D. 2  log 5 2  2  2  2 
Câu 41: Số nghiệm của phương trình log  x  2 1  2 là 3 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 42: Tìm m để phương trình log  3
x  3x  m có ba nghiệm thực phân biệt. 2  A. m 1 B. 0  m 1 C. m  0 D. m 1
Câu 43: Tìm m để phương trình log 4x  m  x 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. 2   A. 0  m 1 B. 0  m  2 C. 1   m  0 D. 2   m  0
Câu 44: Nghiệm của phương trình log2 2.3 x x   3 là TOANMATH.com Trang 17 A. x  1 B. x  3; x  1 C. x  3; x  1 D. x  3
Câu 45: Tìm tích các nghiệm của phương trình log  x  3 1  3 x  2
1  3x  4  2log x 1 3 2     A. 1 B. 7  C. 7 D. 11 a a
Câu 46: Cho phương trình log  3 x x
 log x có nghiệm x  với là phân số tối giản. Khi đó 2  log6  6 b b tổng a  b bằng? A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
Câu 47: Phương trình log5  3 2 x
 x có bao nhiêu nghiệm? A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô nghiệm
Câu 48: Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình 2
log x  5log x  6  0 . Tính T 1 3 3 1 A. T  36 B. T  3  C. T  5 D. T  243 1 xx   
Câu 49: Phương trình log  x 3x  2  2 2 3 1 2 
 2 có tổng các nghiệm bằng? 3    5  A. 5 B. 3 C. 3  D.  5
Câu 50: Hiệu của nghiệm lớn nhất với nghiệm nhỏ nhất của phương trình 7x  2 log 6x  53 1  1 là 7 A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 2x 1 Câu 51: Phương trình 2 log  x  4x có nghiệm là 3 x  2 1 A. x  0 B. x  0; x  4 C. Vô nghiệm D. x  4 Câu 52: Phương trình 3 x2 m3x  3 2 x x x m x2 x 1 2 6 9 2 2      
1 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m a;b , đặt 2 2 T  b  a thì A. T  36 B. T  64 C. T  48 D. T  72 3 x
Câu 53: Nghiệm của phương trình  log x 1 11 là 2   3 x  2 A. Vô nghiệm B. x  2 C.  D. x  3 x  3
Câu 54: Cho phương trình mcosxsinx  2 1sin x e  e
 2  sin x  mcos x với m là tham số thực. Gọi S là tập
các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Khi đó S có dạng  ;  a ;
b  . Tính T 10a  20b A. T  1 B. T  0 C. T  10 3 D. T  3 10
Câu 55: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình . x log x 1  m  .
m log x 1  x có hai nghiệm 2   2  
thực phân biệt thuộc 1;  3 A. m  3 B. 1  m  3 C. m  3 D. Không có m
Câu 56: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2
log x  m  2 log x  3m 1  0 có 2 3   3
nghiệm x , x sao cho x x  27 1 2 1 2 4 28 A. m  B. m  25 C. m  D. m 1 3 3
Câu 57: Định điều kiện cho tham số m để log m  log m  log m  0 có nghiệm. 2 x mx m x m  0 A. m  0 B.  C. m  1 D. m 1 m  1
Câu 58: Số nghiệm của phương trình 2 log x  log 2 là 4 2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 59: Nghiệm phương trình log 3x  4 .log 2  1 là 4   x x  1  A. x  2  B. x  4 C.  D. Vô nghiệm x  4 2 2   x
Câu 60: Biết rằng phương trình log 9x   log
 7  0 có hai nghiệm phân biệt x , x . Tính 1   3 81 1 2  3  P  x x 1 2 1 A. P  B. 6 P  3 C. 3 P  9 D. 8 P  3 3 9
Câu 61: Tìm tập nghiệm S của phương trình log  x   1  log x 1  1. 1   2 2 3 13  A. S    B. S    3  2  
C. S  2  5;2  5 D. S  2  5
Câu 62: Biết rằng phương trình log  x 1
3  1  2x  log 2 có hai nghiệm x và x . Hãy tính tổng 3  1 1 2 3 1 x x2 S  27  27 A. S  180 B. S  45 C. S  9 D. S  252 3 2 x  5x  6x
Câu 63: Số nghiệm của phương trình   là x   0 ln 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1
Câu 64: Biết rằng phương trình 2 log x  log 1 x  log
x  2 x  2 có nghiệm duy nhất dạng 2 1   2   2 2
a  b 3 với a,b   . Tính tổng S  a  b A. S  6 B. S  2 C. S  2  D. S  6  2 x  2x 1 Câu 65: Phương trình 2 log
 x 1  3x có tổng các nghiệm bằng: 3 x A. 3 B. 5 C. 5 D. 2
Câu 66: Gọi S là tổng các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình log  2x x2 2 2  2
 2  log m  2 vô nghiệm. Giá trị của S bằng 4  2 A. S  6 B. S  8 C. S 10 D. S 12 log mx  2
Câu 67: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình   có nghiệm duy nhất x   1 log 1 A. 0  m  100 B. m  0; m  100 C. m 1 D. Không tồn tại m
Câu 68: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2
log x  m log x 1  0 có nghiệm duy nhất 3 3 nhỏ hơn 1. TOANMATH.com Trang 19 A. m  2 B. m  2  C. m  2 D. m  0
Câu 69: Gọi m là giá trị thực nhỏ nhất của tham số m sao cho phương trình 0 m   2 1 log x  2  m  5 log
x  2  m 1  0 có nghiệm thuộc 2;4 . Mệnh đề nào sau đây là 1     1   2 2 đúng?  5   4   10  A. m  5  ;   B. m  1  ;   C. m  2;   D. Không tồn tại m  2   3   3  Câu 70: Cho phương trình 2
log x  2log x  3  m log x  3 với m là tham số thực. Tìm các giá trị 2 2  2 
của m để phương trình có nghiệm thuộc 16; 3 A. 1 m  2 B. 1  m  5 C.  m  5 D. 4 1  m  5
Câu 71: Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc 2017;2017 để phương trình logmx  2log  x   1 có nghiệm duy nhất? A. 2017 B. 4014 C. 2018 D. 4015 4x 1
Câu 72: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình log  m  0 có nghiệm. 2 4x 1 A. m  0 B. 1   m 1 C. m  1  D. 1   m  0 2
Câu 73: Cho phương trình x 1 2 .log  2
x  2x  3  4 xm.log 2 x  m  2 với m là tham số thực. Tìm 2  2  
tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.  1   3   1  3  A. m   ;   ;     B. m   ;   ;       2   2   2  2  C. m  ;    1 1; D. m  ;   1  1;
Câu 74: Cho phương trình log  2
x  4mx  log 2x  2m 1  0 với m là tham số thực. Gọi S là tập 3  1   3
tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất, khi đó S có dạng  ; a b  c với a  b  c . Tính P  2a 10b  c A. P  0 B. P 15 C. P  2 D. P 13
Dạng 2. Bất phương trình lôgarit
Bài toán 1. Biến đổi về dạng bất phương trình cơ bản  Phương pháp giải Áp dụng lý thuyết  a  1 0  f  x  g x Dạng 1: log f x  g x  a
  loga    0a1   f
  x  g  x  0  a  1 0  f  x b  a Dạng 2: log f x  b  a     0  a 1    f    x b  a   a 1   f    x b  a Dạng 3: log f x  b  a    0  a 1   0  f  x b  a  Ví dụ mẫu    b  b
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình log log x  0 có dạng S  a; , với là phân số tối 3 1     c  c 2 
giản và a là số nguyên. Tính a  b  c A. 3 B. 2 C. 2 D. 6 Hướng dẫn giải   1
Ta có: log log x   0  log x 1  0  x  3 1 1 2  2  2
Nên a  0,b  1, c  2 , do đó a  b  c  3 Chọn A.
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình log log   2 2  x   0 S  ; a b \ 0 . Tính a  3b 1 2  là     2 A. 3 B. 2 C. 2 D. 0 Hướng dẫn giải Ta có: log log   2
2  x   0  0  log   2 2  x  2 1  1 2  x  2 1 2 2 2 2 x 1  1   x 1    
. Nên a  1;b  1 . Do đó a  3b  2 2 x  0 x  0 Chọn B.
Ví dụ 3: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log log x  3   0 2  3  3 A. 7 B. 4 C. 6 D. 5 Hướng dẫn giải x   3 x   3 x  4 Điều kiện:     log x 3 0   x 3 1       x  2 3  x  3  3 
Ta có: log log x  3   0  0  log x  3  1  2  3  3   x  3  1 3  1   x  3  3 4  x  6    
 x 0;2 4;6  1   x  3  3  2  x  0
Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 4 Chọn B.  
Ví dụ 4: Bất phương trình max log x,log x  3 có tập nghiệm là 3 1  2   1  A.  ;  27 B. 8;27 C. ;27   D. 27;  8  Hướng dẫn giải Điều kiện: x  0 TOANMATH.com Trang 21 log x  3 x  27 3     1
Ta có max log x,log x  3  log x  3   1   x  27 3 1 1 x  8  2     2  8  1 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  ; 27    8  Chọn C.
Bài toán 2. Bất phương trình theo một hàm số lôgarit  Phương pháp giải
Ví dụ: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2
log 2x  2log 4x 8  0 là 2  2 2  A. Vô số B. 2 C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải Ta có:
Bước 1. Sử dụng công thức lôgarit biến đổi về 2 2 lôgarit cùng cơ số
log 2x  2log 4x  8  0 2 2  
Bước 2. Giải như dạng 1. 2
 4log 2x  4log 2x 8  0 2   2   1 1
 1  log 2x  2   2x  4   x  2 2   2 4
Bất phương trình có 2 nghiệm nguyên. Chọn B.  Ví dụ mẫu 1 1
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình 
 2 là   ; b \ c S a e
e  , với a,b,c  . Tính 2  ln x ln x a  b  c A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 Hướng dẫn giải  x   x 2 2 2ln . 2 ln 2ln x  4ln x  2 Ta có:      x 0 x   x 0 2 ln .ln 2 ln .ln x Bảng xét dấu: 2 0  ln x  2 1   x  e Do đó:   
nên a  1,b  2, c  1 suy ra a  b  c  4 ln x  1 x  e Chọn C.
Ví dụ 2: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 6 log x  log 3  3 là 3 3x A. 9 B. 0 C. 11 D. 5 Hướng dẫn giải 1 6 Ta có: log x   3  log x   3  0 3 3 log 3x 1 log x 6 3 3 2 log x  2log x  3 3 3 
 0  log x 1  0 vì 2
log x  2log x  3  0, x   0 3 log x 1 3 3 3 1
 log x  1  0  x  nên không có giá trị nguyên thỏa mãn bài toán. 3 3 Chọn B.
Ví dụ 3: Bất phương trình log  2
2x  x 1  0 có tập nghiệm là a;b c;d . Tính tổng a  b  c  d 2  3 3 A. B. 0 C. 1 D.  17 2 Hướng dẫn giải Ta có log  2 2x  x 1  0 2  3  1 x    x  1 2 2x  x 1 0  2     2 2x  x 11 1 17 1 17   x   4 4 1 17 1  1 17 1   x   a  ;b   4 2  4 2      1 17  1 17 1   x  c  1; d  4    4
Vậy a  b  c  d 1 Chọn C
Bài toán 4. Mũ hóa hoặc lấy lôgarit hai vế  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Bất phương trình 2 log x x 
 1000 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 999 B. 1000 C. Vô số D. 1001 Hướng dẫn giải Điều kiện: x  0 Ta có: 2log x    2log 1000 log x x x   log1000   x   2 log
2 log x  3  log x  2log x  3  0 1  1 log x  3 
 x 1000 nên bất phương trình có 999 nghiệm nguyên. 10 Chọn A.
Chú ý: khi cơ số a  1 , giữ nguyên chiều bất phương trình; 0  a 1 đảo chiều bất phương trình.
Ví dụ 2: Biết tập nghiệm S của bất phương trình log log x  2   0    a;b . Tính b a 3   là khoảng   6 A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 Hướng dẫn giải x  2  0  x  2 x  2 Điều kiện:       x  3 log x  2  0  x  2  1 x  3 3  
log log x  2   0  log x  2  1  x  2  3  x  5   3   3   6 TOANMATH.com Trang 23
So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S  3;5
Do đó: b  a  5  3  2 Chọn A.
Bài toán 5. Đặt ẩn phụ  Phương pháp giải
Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên x 0;30 thỏa mãn bất phương trình 2
log x  5log x  6  0 ? 1 3 3 A. 9 B. 10 C. 26 D. 27 Hướng dẫn giải
Bước 1. Đặt t  log f  x  f  x t  a Điều kiện: x  0 a Xét phương trình: 2    n  log x 5log x 6 0 f x  t a  t  1 3 a   n 1 log ,log f x , 0 t 3
  log x2  5log x  6  0 3 3
 log x2  5log x  6  0 (1) 3 3 Đặt t  log x 3
Bước 2. Chuyển phương trình về phương trình 2 (1)  t  5t  6  0 ẩn t
 t  2t  3  0
Bước 3. Giải phương trình và kết hợp điều kiện t  2   t  3 log x  2 3   log x  3  3 x  9  (thỏa mãn)  x  27
Do x 0;30 nên có 10 giá trị thỏa mãn. Chọn B.  Ví dụ mẫu x log 2 2 log x
Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 2  1 log x log x 1 2 2  1   1  A. 0;   1; 2 2;    B. 0;    1; 2 2    2     1   1  C. 0;   2;     D. 0; 1;    2 2    Hướng dẫn giải x  0  Điều kiện: 2 x  0  0  x  2 log 1 0  2 x log 2 2 log x log x 1 2log 2 x 2 2 2   1   1 log x log 1 log x log 1 2 2 2 2 Đặt t  log x 2 t  1 2 t 1 2t 2t t 1      1
Bất phương trình trở thành   1        t t   0 0 t t t 1 1  2 t  1  +
Với t  1: log x  1  x  2 2 1 1 +
Với 0  t  : 0  log x   1  x  2 2 2 2 1 +
Với t  1: log x  1  x  2 2  1 
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình đã cho có tập nghiệm S  0;   1; 2  2;   2    Chọn A.
Ví dụ 2: Biết rằng bất phương trình log 5x  2  2.log
 có tập nghiệm là S  log ; b  , với a  x 2 3 2   5 2
a,b là các số nguyên dương nhỏ hơn 6 và a  1. Tính P  2a  3b A. P  11 B. P 16 C. P 18 D. P  7 Hướng dẫn giải x x 1 Ta có log 5  2  2.log      (*) x 2 3 log 5 2 2. 3 2      2 5 2   log 5x 2 2   2 Đặt log 5x t 
 2  1. Khi đó (*) trở thành 2
t   3  t  3t  2  0  t  2 (do t  1) 2   t
Với t  2 thì log 5x  2 3
 2  log 2  5x  2  x  log 2 2 2 5 a  5 Suy ra   P  2a  3b  16 b  2 Chọn B.
Bài toán 6. Bất phương trình tích  Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình log x 1 .log x 1  log x 1 có dạng là 4   5   20   logab b S  a  ; c d  
 với a,b,c, d là các số nguyên dương. Tính tổng a  b  c  d A. 11 B. 13 C. 12 D. 5 Hướng dẫn giải
Điều kiện: x  1, bất phương trình trở thành:
log x 1 .log x 1  log 4.log x 1  0 4   5   20 20   log x 1  0  4    log x 1  log 4  5    log  x   1 .log  x   20 1  log 4  0  4 5 20   log x 1  0  4    log x 1  log 4  5   20 TOANMATH.com Trang 25 x  2  log20 4 x   5 1 log20 4   5 1  x  2  x  2  log20 4 x  5 1
Nên a  5,b  4, c  1, d  2 . Từ đó ta có: a  b  c  d  12 Chọn C.
Bài toán 7. Bất phương trình lôgarit chứa tham số  Phương pháp giải
Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  1  0;10 để bất phương trình
4log x  log x  m  0 nghiệm đúng với 2 2 2 mọi x 1;64 A. 8 B. 11 C. 10 D. 9 Hướng dẫn giải Bước 1. Đặt ẩn phụ Điều kiện: x  0   
Ta có: 4log x 2 log x m 0 2 2 2
 log x  log x  m  0 (*) 2 2 Đặt log x  t 2         Lại có 1 x 64 0 log x 6 0 t 6 2
Bất phương trình (*) có dạng
Bước 2. Sử dụng định lý Vi-ét, hoặc cô lập m , 2 2
t  t  m  0  t  t  m
xét hàm f t , lập bảng biến thiên để tìm m Ta tìm m để 2
t  t  m có nghiệm với 0  t  6 Xét hàm   2 f t  t  t
f t   2t 1, f t 1  0  t   2
Lập bảng biến thiên ta có: Vậy phương trình 2
t  t  m có nghiệm với
0  t  6  m  0  m  0 Chọn D.  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 10;10 để bất phương trình 2
ln x  m ln x  m  3  0 nghiệm đúng với mọi x  3 A. 6 B. 4 C. 1 D. 0 Hướng dẫn giải 2 ln x  3 Ta có: 2
ln x  m ln x  m  3  0  mln x   2 1  ln x  3  m  ln x 1 2 t  3 Đặt t  ln ;
x t  ln 3 . Ta xét hàm số f t  t 1 2  f t t 3 4   t    f t 4 1  1 ; t 1 t 1 t  2 1   f t 4 t 3  0  1  0    t  2 1 t  1
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  3 khi m  6 khi đó có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn Chọn B.
Ví dụ 2: Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình   2x     2 log 5 log 1 log mx  4x  m
nghiệm đúng với mọi x là A. 2 B. 4 C. 1 D. 0 Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: m  0 m  0  2 mx  4x  m  0, x       m  2  m  2 2 16   4m  0 m   2    2x     2 mx  x  m   2x     2 log 5 log 1 log 4 log 5 1 log mx  4x  m   2 x     2
mx  x  m    m 2 5 1 4 5 x  4x  5  m  0, x    m  5 m  5 5   m  0 m  5        
    m  m    m 1  6  4  5 m 2 5 7 3 2  0 4   5 m2 5 m  2 m  3  
Có hai giá trị nguyên thỏa mãn m 3;  4 Chọn A.
 Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Giải bất phương trình log 3x  2  log 6  5x được tập nghiệm là a;b . Hãy tính tổng 2   2   S  a  b 26 11 28 8 A. S  B. S  C. S  D. S  5 5 15 3
Câu 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log      2 x 1 log 3x 3 4 4 TOANMATH.com Trang 27 A. S  1;2 B. S   ;    1  2; C. S   ;   1  2; D. S  2;
Câu 3: Bất phương trình log 2x 1  log x  2 có tập nghiệm là 1   1   2 2  1  A. 3; B.  ;  3 C. ;3   D. 2;3  2 
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình log  2 x  x  log 2  x  4 là 0,8  0,8   A.  ;
 4 1; B.  4  ;  1 C.  ;  4   1;2 D. 1;2
Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log  2 3x 1  log 4x 1  1   2 2  1   1  A. S  0;  1;    B. S   ;   1;     3   3   1   1  C. S  ;1   D. S  0;  1;     3   3 
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình  2
ln x  3x  2  ln5x  2 là A.  ;  08; B. 0;  1  2;8  2  C.  ; 0 8;   D. 8; 5   
Câu 7: Bất phương trình log x  7  log x 1 có tập nghiệm là 4   2   A. 1;4 B. 1;2 C. 5; D. ;  1
Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình log x  log 12  x là 3   3 A. 0;12 B. 9;16 C. 0;9 D. 0;16
Câu 9: Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình  2x  x    2 log 2 3
log 3x  x , biết rằng x  1 là một nghiệm của bất phương trình. m m      A. S    1 2;0  ;3  B. S    1 1;0  ; 2  3    3      C. S    1 1;0  ;3  D. S   1  ;0 1;  3 3   
Câu 10: Tập xác định của hàm số y  ln  x   1  ln  x   1 là A. 1; B. ; 2 C.  D.  2;   
Câu 11: Bất phương trình log x  log x 1 tương đương với bất phương trình nào sau đây? 3 9   2 4 A. log x  log x  log 1 B. 2 log x  log x 1 3 3   3 9 9 2 4 4 2 2 C. log x  log x 1 D. log x  2log x 1 3 3   9 3   4 2 2 2
Câu 12: Tất cả các giá trị của m để bất phương trình log  2 7x  7  log  2 mx  4x  m có nghiệm 2 2 
đúng với mọi giá trị của x là A. m  5 B. 2  m  5 C. m  7 D. 2  m  5
Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên dương x thỏa mãn điều kiện log  x  40  log 60  x  2 ? A. 20 B. 18 C. 21 D. 19
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình 2log x 1  log 5  x 1 là 2   2   A. 1;5 B. 1;  3 C. 1;  3 D. 3;5
Câu 15: Bất phương trình 2 log 4x  3  log 2x  3  2 là 3   1   3  3   3   3   3  A. ;    B. ;    C. ;3  D. ;3  4   4  4     4   
Câu 16: Bất phương trình log x  log x  log x  log x có tập nghiệm là 2 3 4 20 A. 1; B. 0;  1 C. 0;  1 D. 1;
Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình log x  2  log x  2  2 là 2   2   10  A. ;   B. 2; C. 2; D.  2  ;2  3 
Câu 18: Tập nghiệm của bất phương trình  2
log x  2x  3  logx  3  logx   1  0 là A.  4  ; 2
  1; B.  2  ;  1 C. 1; D. 
Câu 19: Bất phương trình log 2x 1  log x  2  1 có tập nghiệm là 2   1   2  5  5  A. 2; B. 2;  3 C. 2;  D. ;3 2     2   
Câu 20: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log  x  2  log  x  log  2 x  x 1. 1 1 2  2 2 A. S  2; B. S  1;2 C. S  0;2 D. S  1;2
Câu 21: Cho bất phương trình log
x  log x  2  log 3. Nghiệm của bất phương trình đã cho là 0,2 5   0,2 A. x  3 B. 2  x  3 C. x  2 D. 2  x  3  1 
Câu 22: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log x  log x  1 là 1 1    2  2 2 A. Vô số B. 0 C. 2 D. 3
Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình log  x   1  log x  log 20 là A.  5  ;4 B.  ;  5 C.  ;  5 4; D. 4;
Câu 24: Tập nghiệm của bất phương trình log x 1  2 log 5  x  1 log x  2 chứa khoảng nào 2   2   2   dưới đây? A. 1;2 B. 4;3 C. 2;3 D. 2;5
Câu 25: Bất phương trình 3log  x   1  log
2x 1  3 có tập nghiệm là 3 3   3  1   1  A. 1;2 B. 1;2 C.  ; 2  D.  ; 2  2    2   
Câu 26: Nghiệm của bất phương trình 3 log x  log x  log x  7 là 3 5 0,2 25 A. x  25 B. 0  x  25 C. x 10 D. 0  x 10
Câu 27: Nghiệm của bất phương trình 2log
x 1  2  log x  2 là 2 2   TOANMATH.com Trang 29 A. 2  x  3 B. x  2  C. 3  x D. 2   x  3
Câu 28: Nghiệm của bất phương trình log
3x 1  6 1  log 7  10  x là 2   2   369 369 369 A. x  1 B. x  C. x  D. 1  x  49 49 49 1
Câu 29: Nghiệm của bất phương trình 2 log x  5x  6  log x  2  log x  3 là 3 1 1   2 3 3 A. x  5 B. x  3 C. 3  x  4 D. x  10
Câu 30: Giá trị nào của tham số m thì bất phương trình log  2 2
3x  2mx  m  2m  4 1 log  2 x  2 2 2 
nghiệm đúng với mọi x   ? A. m  1   m  0 B. 1   m  0 C. m  0 D. m  1 
Câu 31: Tập nghiệm S của bất phương trình 2
log x  5log x  6  0 là 2 2 1   1  A. S  ; 64  B. S  0;  2    2     1  C. S  64; D. S  0; 64;   2   
Câu 32: Nghiệm của bất phương trình 2 log x  6 log x  5  là 2 2 x  32 x  5 x  32 x  32 A.  B.  C.  D.  x 1 x 1 0  x  2 x 1
Câu 33: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2
log 2  x  4 log 2  x  5 2   2       A. S    63 ;0  ; 2   B. S    63 ; 0  ;    32  32  C. S  2; D. S   ;  0
Câu 34: Nghiệm của bất phương trình  x2 ln  2ln x  1  là x  e A.  B. x  1 C. x  \  1 D. x   x  0
Câu 35: Nghiệm của bất phương trình 2 log  3log x  2 là 2 2 A. 1 x  2 B. 2  x  4 C. 2  x  4 D. 1 x  2
Câu 36: Tập nghiệm của bất phương trình 2
ln x  3ln x  2  0 là A.  ;   1 2; B. 2 e ; 2 2   C.  ;  e e ; 
 D. 0;ee ;   3 3 x 1
Câu 37: Tập nghiệm của bất phương trình log .log x  log   2log x là 3 3 3 3 x 3 2  3   3   1  A. 0; B.  0;   1;  C.  ;1 D. ;1   8      8    27 
Câu 38: Tập nghiệm của bất phương trình 2
log x  6 log x  4  0 là 2 4  1   1  A. ;16   B. 1;4 C. 1;16 D. ;4    2   2 
Câu 39: Tập xác định của hàm số 2
y  ln x  3ln x  2 là A.  e 2 0;  e ;  2 2   B.  ;   1 2; C.  ;  e e ;   D. e ;  
Câu 40: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2
log 2x  2log 4x  8  0 2  2 2  1  A. S  ; 2  B. S   ;  2 C. S   2  ;2 D. S  0;2 4   
Câu 41: Tập nghiệm của bất phương trình 2 log x 10log x 1  0 là 2 2 1   1   1   A. 2; B. 4   ;
 2  2; C. 4  0;2  2; D. 4  0;2        5
Câu 42: Tập nghiệm của bất phương trình 2 log x  9 log x  log 16 là 2 8 4 2 2  1   1   1  A. ; 2   B. 0; 2;   C. ;    D. 2; 16  16    16 
Câu 43: Tập nghiệm của bất phương trình 2 log 2  x  8log 2  x  5  0 là 2   0,25      63 A.   63 ;0  ;2   B.  ;   C. ;  5 1; D.  ;  2 32  32   
Câu 44: Tập nghiệm của bất phương trình 2
log x  5log x 1  0 là 2 2 1   1   A. 4  2 ;2 B. 4
 0; 2  2; C. 2; D. 0;2     3  x 
Câu 45: Cho bất phương trình log .
x log 4x  log    0 . Nếu đặt t  log x , ta được bất phương 4 2   2  2  2 trình nào sau đây? A. 2 t 11t  2  0 B. 2 t 11t  3  0 C. 2 t 14t  2  0 D. 2 t 14t  4  0
Câu 46: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình 2 5 2
log x  25log x  750  0 là 3 3 A. 925480 B. 38556 C. 378225 D. 388639 3x  x 1 3
Câu 47: Tập nghiệm của bất phương trình log 3 1 .log  là 4   1 16 4 4 A. 1;23; B. 1;  1 4; C. 0;45; D. 0;  1 2;
Câu 48: Bất phương trình 2log .
x log x  2log x  4log x  4  0 có nghiệm là 2 3 2 3 3 2 3 2 2 4 4 4 2 A. x  B. x  C. x  D.  x  3 9 9 9 3 3
Câu 49: Bất phương trình log x  log 4   có bao nhiêu nghiệm nguyên trên đoạn 1;5 4 x 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1
Câu 50: Nghiệm của bất phương trình log 100  log x  0 là x 100 2  1  1 x  1 0  x  A. 2 2 1  x  10 B.  2 2 10   C. 0  x  D. 2 2 10 2 2 10  2 2 1   x 10 2 2 1   x 10
Câu 51: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 log x  log 125  1 là 5 x A. 1 B. 9 C. 10 D. 11 TOANMATH.com Trang 31
Câu 52: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log x  log 27  3 là 3 3x A. 9 B. 0 C. 5 D. 11 ln x  2
Câu 53: Giải bất phương trình
 0 ta được tập nghiệm là ln x 1  1   1  A. ;e  B.  ;  e C.  ;  D.  ; e  2     e  2  e  3 1
Câu 54: Mệnh đề nào sau đây đúng khi phát biểu về bất phương trình   1 4  2 log x 2  3log x 2 3
A. Tập xác định của bất phương trình đã cho là T  0;
B. Tập xác định của bất phương trình đã cho là T  0;  8   8 
C. Tập xác định của bất phương trình đã cho là T  0;  ;4  4;       27   27 
D. Tập xác định của bất phương trình đã cho là T   3  3 0; 9 9; 44; 1 1
Câu 55: Tập nghiệm của bất phương trình   2 là 2  ln x ln x
A.     e  2 ;0 1; e ;  B. ;  1 C.  2 1;e  \  e D.  e  2 ; e ;  1 1 1
Câu 56: Tập nghiệm của bất phương trình   là log e log e log e 6 4 x 3 x A.  3  ;2 3;4 B. 3;4   3  ;2 C.  ;  2   3; D.  ;  3   4; 1 2
Câu 57: Tập nghiệm của bất phương trình   1 là 4  log x 2  log x 2 2  1  1 1   1   1 1  A. 0;  ;  2;4 4;    B. 0;  ;  2;4 4;      16  4 2      16   4 2   1   1 1   1  1 1  C. 0;  ; 2;44;    D. 0;  ;  4;    16  4 2     16 4 2     2 16log x 3log x
Câu 58: Tập nghiệm của bất phương trình 2 2   0 là 2 log x  3 log x 1 2 2  1 1  A. 0;  1   2; B. ; 1;     2 2 2   1 1   1  C. ;    1; 2  D. ;1   2;     2 2 2   2 2 
Câu 59: Tìm m để bất phương trình 2
log x  m log x  m  3  0 có nghiệm x  1 m  3 A.  B. 3   m  6 C. m  3  D. m  6 m  6
Câu 60: Tập nghiệm của bất phương trình log log 3x  9   1 x 9    là A.  B.  C. 3; D. log 10; 3 
Câu 61: Tập nghiệm của bất phương trình log log 2x  4   1 x 4    là A.  B.  C. log 5; D. 2; 2 
Câu 62: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log x  x   là x  2 5 6 1 2  A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 63: Tập nghiệm của bất phương trình log  2 x  8x 16  0 là x 5 A. 3; \  4 B. 3; C. 5; D. 3; \  5
Câu 64: Bất phương trình log 2x 1 log 4x  
 2  2 có tập nghiệm 2   3   A.  ;  0 B. 0; C.  ;  0 D. 0;
Câu 65: Giải bất phương trình log   ta được: x log 9x 72 1 3   0  x  2 A. x  2 B.  C. log 72  x  2 x  1 9 D. log 73  x  2 9
Câu 66: Tập nghiệm của bất phương trình log 7.10x  5.25x  2x 1 là 2   A.  1  ;0 B. 1;0 C.  1  ;0 D.  1  ;0
Câu 67: Bất phương trình 2log 9x  9  log 28  2.3x  x có tập nghiệm là 9   1   3 A.  ;    1 2;log 14 B.  ;    1 2;log 14 3  3    C.    12 ; 1  2;  D.  ;  log 14 3  5   
Câu 68: Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình  2 log
x  2x  m  5 1 có vô số nghiệm m A. m 1 B. 0  m 1 C. m 1 D. m  0 TOANMATH.com Trang 33
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Phương trình lôgarit 1- D 2- D 3- B 4- A 5- B 6- D 7- D 8- C 9- D 10- B 11- B 12- D 13- D 14- C 15- A 16- A 17- D 18- B 19- B 20- D 21- B 22- A 23- A 24- A 25- B 26- A 27- C 28- D 29- A 30- C 31- D 32- A 33- B 34- C 35- D 36- B 37- A 38- C 39- C 40- D 41- C 42- A 43- C 44- A 45- C 46- D 47- A 48- A 49- B 50- A 51- B 52- C 53- D 54- C 55- B 56- D 57- A 58- C 59- B 60- A 61- D 62- A 63- B 64- B 65- A 66- C 67- B 68- B 69- A 70- B 71- C 72- A 73- A 74- C
Dạng 2. Bất phương trình lôgarit 1- B 2- D 3- C 4- C 5- A 6- C 7- B 8- C 9- C 10- D 11- B 12- B 13- B 14- C 15- C 16- D 17- A 18- D 19- C 20- B 21- A 22- B 23- D 24- C 25- A 26- B 27- A 28- D 29- C 30- B 31- A 32- C 33- A 34- A 35- C 36- D 37- D 38- A 39- A 40- A 41- C 42- B 43- A 44- A 45- D 46- A 47- D 48- D 49- A 50- D 51- C 52- A 53- A 54- D 55- C 56- A 57- D 58- C 59- A 60- D 61- C 62- C 63- D 64- C 65- D 66- B 67- B 68- A