Bài giảng phương trình mũ và bất phương trình mũ

Tài liệu gồm 35 trang, trình bày lí thuyết trọng tâm và hướng dẫn giải các dạng bài tập chuyên đề phương trình mũ và bất phương trình mũ, giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình Giải tích 12 chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit.

34 17 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

TOANMATH.com

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 2.

BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết được cách giải một số dạng phương trình mũ.

+ Biết được cách giải một số dạng bất phương trình mũ.

 Kĩ năng

+ Giải được một số phương trình mũ và bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp đưa về

cùng cơ số, logarit hóa, đặt ẩn phụ, tính chất của hàm số.

+ Nhận dạng được các loại phương trình mũ và bất phương trình mũ.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Phương trình mũ

a = b

+ Nếu



thì phương trình có nghiệm duy nhất

log

x b



+ Nếu



thì phương trình vô nghiệm.

Đặc biệt: Phương trình

x y

a a x y

  

(biến đổi về cùng cơ số).

Dạng 1: Phương trình có dạng









f x g x

a a



+ Nếu



thì









f x g x

a a



nghiệm đúng với mọi x.

+ Nếu

0 1

 

thì









f x g x



Dạng 2: Phương trình có dạng





f x

a b



(với

0 1, 0

a b

  

)









log b.

f x

a b f x  

2. Bất phương trình mũ

Dạng 1: Bất phương trình có dạng









 

. 1

f x g x

a a

+ Nếu



thì













1 .

f x g x

 

+ Nếu



thì (1) nghiệm đúng

 



+ Nếu

0 1

 

thì













1 .

f x g x

 

Dạng 2: Bất phương trình có dạng





f x

a b



(với



). (2)

+ Nếu



thì









2 log .

f x b

 

+ Nếu

0 1

 

thì









2 log .

f x b

 

Dạng 3: Bất phương trình có dạng









. 3

f x

a b

+ Nếu



thì (3) nghiệm đúng

 



+ Nếu

0, 1

b a

 

thì









3 log .

f x b

 

TOANMATH.com

Trang 2

+ Nếu

0 1

 

thì









3 log .

f x b

 

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA







a b











f x g x

a a







f x

a b



Phương trình có nghiệm

log

x b











log b

f x

a b f x  

















f x g x

a a f x g x

  

Phương trình nghiệm đúng với mọi





Phương trình vô nghiệm

PHƯƠNG

TRÌNH MŨ

1, 0

a a

 

0 1

 



BẤT

PHƯƠNG

TRÌNH MŨ





 

f x

a b









f x

a b











log

f x

a b f x b

  









log

f x

a b f x b

  

Tìm điều kiện để





f x

có

nghĩa









log

f x

a b f x b

  









log

f x

a b f x b

  





0 1

 



0 1

 

TOANMATH.com

Trang 3

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Phương trình mũ

Bài toán 1. Biến đổi về dạng phương trình cơ bản

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

x x 



là

A. 0. B. 2. C. 6. D. 1.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có

4 2 2

1 1

2 4 log 0 .

16 16

x x

x x x x

 





        







Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.

Cách 2: Ta có:

4 4 2 2

2 2 4 4 0 .

x x

x x x x

  





         







Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.

Chọn D.

Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình

12 3

25 27

0,6

9 125



   



   

   

là

A. -8. B.

C. 1. D. 0.

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 2

12 3 2 24 9

25 27 3 5 3

0,6 .

9 125 5 3 5

x x x

 

         

  

         

         

2 2

24 2 9 24 2 9

3 3 3 3 3

. 2 24 9 .

5 5 5 5 5

x x x x

x x

  





         



         

         



 

         



Vậy tổng các nghiệm là

Chọn B.

Ví dụ 3. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình

2 2

2 1 2 1

3.5 5.3

x x x x

    



là



Hướng dẫn giải

Ta có:

2 2

2 1

2 1 2 1

2 1

5 5 5 5

3.5 5.3

3 3 3

x x

x x x x

x x

  

 

    

  

 

    

 

 

TOANMATH.com

Trang 4

2 1 1

x x







     







Vậy tổng các nghiệm là

Chọn D.

Ví dụ 4. Gọi T là tích tất cả các nghiệm của phương trình









2 3

2 2

3 2 2 3 2 2 .

x x x

  

  

Tìm T.



 



Hướng dẫn giải

Nhận xét:













3 2 2 3 2 2 1 3 2 2 3 2 2 ,

3 2 2



       



nên

















2 3 2 3

2 2 2 2

3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2

x x x x x x

     

      

2 3 3 2

2 2 0 .

1 5

x x x x x x







         

 









Do đó tích tất cả các nghiệm là 0.

Chọn A.

Bài toán 2. Phương trình theo một hàm số mũ

Phương pháp giải

Chú ý: Ta có thể đặt ẩn phụ sau khi đưa được về phương trình chứa một hàm số mũ.

Ta thường gặp các dạng sau:











. . 0

f x f x

m a n a p

  











. . 0

f x f x

m a n b p

  

, trong đó

. 1

a b



. Đặt





, 0

f x

t a t

 

suy ra

 

f x





 





 

2 2

. . . . 0

f x

f x f x

m a n a b p b

  

. Chia hai vế cho





f x

b và đặt





f x

 

 

 

 

 Ẩn phụ không hoàn toàn: Đặt

a t



khi đó phương trình mới chứa cả x và t. Ta coi t là ẩn; x là

tham số, tìm mối quan hệ x và t.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình

2 2

4 5.2 4 0

x x

  

là

A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.

Hướng dẫn giải

Ta có:

 

2 2 2

4 5.2 4 0 2 5.2 4 0

x x x

      

Đưa phương trình ban

đầu về dạng phương

trình bậc hai ẩn

2 .

TOANMATH.com

Trang 5

 

2 2

2 1

2 5.2 4 0 .

2 4

x x



 





      





 







Chọn A.

Ví dụ 2. Phương trình

1 1

3 3 10

x x 

 

có hai nghiệm

1 2

;

x x

. Khi đó giá trị biểu

thức

1 2 1 2

P x x x x

  

là

A. 0. B. -6. C. -2. D. 2.

Hướng dẫn giải

Ta có:

 

1 1

3 3 10 3.3 10 3. 3 10.3 3 0

x x x x x

 

        

3 3









 



 









Vậy

 

Chọn C.

Đưa phương trình ban

đầu về dạng phương

trình bậc hai ẩn

3 .

Ví dụ 3. Tích các nghiệm của phương trình









2 1 2 1 2 2 0

x x

    

là

A. 2. B. -1. C. 0. D. 1.

Hướng dẫn giải

Ta có









2 1 2 1 1 2 1

2 1

     



nên phương trình thành

     

2 1 2 2 0 2 1 2 2 2 1 1 0

2 1

x x x

 

 

         

 

 

 



 





 

2 1 1 2

2 1 2 1



  







 



 



  





Vậy tích các nghiệm của phương trình là -1.

Chọn B.

Nhận xét:









2 1 2 1 1

  

2 1

  



Đưa phương trình ban

đầu về dạng phương

trình bậc hai ẩn





2 1



Ví dụ 4. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình

3.4 11.6 2.9 0.

x x x

  

. Tìm S.

1 log 3.

 

1 log 2.

 

1 2log 2.

 



Hướng dẫn giải

Ta có:

3.4 11.6 2.9 0 12.4 11.6 2.9 0

x x x x x x

      

Chia 2 vế cho

đưa về

phương trình bậc hai ẩn

TOANMATH.com

Trang 6

6 9 3 3

12 11. 2. 0 2. 11. 12 0

4 4 2 2

x x

   

       

   

   

log 4

3 3

1 1

2 2

x x



 





 

 



 



  



 

 

 





 



 



Vậy

1 2log 2.

 

Chọn C.

là

 

 

 

Ví dụ 5. Phương trình









3 5 3 5 3.2

x x

   

có hai nghiệm

1 2

;

x x

. Giá

trị biểu thức

2 2

1 2

A x x

 

bằng bao nhiêu?

A. 9. B. 13. C. 1. D. 2.

Hướng dẫn giải

Nhận xét

  

3 5 3 5 3 5 3 5

3 5 3 5 4 . 1 .

2 2 2 2



 

   

      

 

 

Do đó:

3 5 3 5 3 5 3 5

3 3. 1 0

2 2 2 2

x x x x

       

   

     

       

       

3 5 3 5

2 2

3 5 3 5

2 2



 

 





 







 

 



 





 

 



 



 



 



Vậy



Chọn D.

Ta có

3 5 3 5

2 2



 

 



 

 

Chia 2 vế cho

đưa về

phương trình bậc hai ẩn

là

3 5

 



 

 

Ví dụ 6. Tổng tất cả các nghiệm thực





3.4 3 10 .2 3 0

x x

    

là

log ,



với

là phân số tối

giản. Giá trị của

a b



bằng

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Hướng dẫn giải

 





 

3.4 3 10 .2 3 0 3. 2 3 10 .2 3 0

x x x x

          

Đặt





2 0 ,

t t  phương trình trở thành





3 3 10 3 0

t x t x

    

Ta xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn là



và tham số x.

TOANMATH.com

Trang 7

Giải phương trình theo tham số x ta được

 

2 3 *

t x











 





Giải phương trình (*), ta có:

2 3 0

  

Đặt









2 3, ' 2 ln 2 1 0,

x x

f x x f x x

       



nên phương trình





f x



có tối đa một nghiệm.

Mà





1 0



nên phương trình





f x



có nghiệm duy nhất



Tóm lại phương trình có nghiệm

1 2 2

log ; 1

x x

 

nên

2 2

1 2

log 1 log .

3 3

S   

Do đó

2, 3

a b

 

suy ra

a b

 

Chọn D.

Bài toán 3. Lấy logarit hai vế

Phương pháp giải

Cho

0 1

 

và

, 0

x y



ta có

log log

a a

x y x y

  

 Phương trình

 

0 1, 0

log

f x

a b

f x b

  



 







 Phương trình

























log log .log

f x g x f x g x

a a a

a b a b f x g x b

    

hoặc

















log log .log .

f x g x

b b b

a b f x a g x

  

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình

7 .3 1

x x



. Tìm S.

log 3.



log 7.



S log 3.



log 2.



Hướng dẫn giải

Ta có:





2 2 2

3 3 3 3

7 .3 1 log 7 .3 log 1 log 7 log 3 0

x x x x x x  

     

 

3 3

.log 7 0 log 7 1 0 .

log 3

log 7

x x x x







      



 





Vậy tổng các nghiệm là

log 3.



Chọn A.

Lấy logarit cơ số 3

hoặc cơ số 7 hai vế.

Ví dụ 2. Phương trình

2 1

3 .5 15





có một nghiệm dạng

log

x b

 

, với a, b

là các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Giá trị của

P a b

 

bằng

bao nhiêu?

TOANMATH.com

Trang 8



13.



Hướng dẫn giải

Ta có:

2 1

2 1 1 1

1 1

3 .5

3 .5 15 1 3 .5 1 log 3 .5 0

3.5

x x x



  

 

 

      

 

 

3 3 3

log 3 log 5 0 1 .log 5 0



      

 

1 . 1 .log 5 0 .

log 5





 

    

 



 

 



Vậy

3, 5

a b

 

suy ra

2 13.

a b

 

Chọn C.

Bài toán 4. Đặt nhân tử chung

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình

2.11 253 23 2

x x x

  

là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Hướng dẫn giải

Ta có:

2.11 253 23 2 2.11 11 .23 23 2 0

x x x x x x x

       









2 11 1 23 11 1 0

x x x

    









2 23 11 1 0

x x

   

11 1 0

  

(vì

2 3 0,

   



)

 

Chọn A.

Ví dụ 2. Phương trình

2 2

2 4.2 2 4 0

x x x x x 

   

có số nghiệm nguyên dương

là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 2 2 2

2 2 2

2 4.2 2 4 0 2 .2 4.2 2 4 0

x x x x x x x x x x x   

        

















2 2

2 2 2

2 . 2 4 2 4 0 2 4 2 1 0

x x x x x x x 

        

2 4

2 2 1

0 0

2 1

x x

x x x







  



  



  









Vậy phương trình có một nghiệm nguyên dương.

Chọn B.

Bài toán 5. Phương pháp hàm số

TOANMATH.com

Trang 9

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1. Nếu hàm số





y f x

 đồng biến (hoặc nghịch biến) trên





;

a b

thì có tối đa một

nghiệm của phương trình





f x k



trên





;

a b

và













, , ; .

f u f v u v u v a b

    

Tính chất 2. Nếu hàm số





y f x

 liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến); hàm số





y g x



liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình









f x g x



không nhiều hơn một.

Tính chất 3. Nếu hàm số





y f x

 đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì bất phương trình









f u f v u v

  

(hoặc

u v



)

, , .

u v D

 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Phương trình

3 5 2

 

có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.

Hướng dẫn giải

Ta có:

3 5 2 3 2 5 0

x x

     

Đặt





3 2 5,

f x x

  

ta có





3 ln3 2 0,

f x x



    



nên phương trình





f x



có tối đa một nghiệm.

Mà





1 0



nên phương trình





f x



có nghiệm duy nhất là



Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 2. Phương trình

2 5 2 5

x x

  

có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 5 2 5 5 2 5 2 0

x x x x

x x

       

Đặt





5 2 5 2,

x x

f x x

   

ta có





5 .ln5 2 ln 2 5

x x

f x



  

Xét





0 5 .ln5 2 ln 2 5 0

x x

f x



    

Ta có





2 2

5 .ln 5 2 ln 2 0,

x x

f x x



    



nên phương trình





f x





có

tối đa một nghiệm.

Vì





lim 5

f x





 

và





lim

f x





 

nên phương trình





f x





có duy

nhất một nghiệm

x x



Do đó, phương trình





f x



có tối đa hai nghiệm.

TOANMATH.com

Trang 10

Mà





 

1 0

0 0















nên phương trình có hai nghiệm



hoặc



Chọn D.

Ví dụ 3. Tổng các nghiệm của phương trình

3 2

23 10 3 2

2 .2 2 23 10

x x x

   

gần bằng số nào dưới đây?

A. 0,35. B. 0,40. C. 0,50. D. 0,45.

Hướng dẫn giải

Ta có

3 2 3 2

23 10 3 2 23 3 10 2

2 .2 2 23 10 2 23 2 10

x x x x x x



        

Đặt





2 ,

f t t

 

ta có





2 .ln 2 1 0, .



    



f t t

Mà









3 2

23 10

f x x f x

 

nên

3 2

23 10 .

5 2

x x x







  











Vậy tổng các nghiệm của phương trình là

Chọn B.

Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

3 27 3 27.2 2

x x

m m

  

có nghiệm thực?

A. 6. B. 4.

C. Vô số. D. Không tồn tại m.

Hướng dẫn giải

Ta có

 

3 3 3

3 27 3 27.2 2 27 3 27.2 2 3 . 1

x x x x

m m m m      

Đặt

2 ,



điều kiện:



và

 

3 27.2 3 27. . 2

m v v m u    

(1) trở thành





27 3 . 3

u v m 

Từ (3) và (2) suy ra









3 3 2 2

27 27 . 27 0

u v v u u v u uv v

        

u v

 

2 2

1 3

4 27 0, , ,

2 4

u uv v u v u v

 

         

 

 



nên

3 27 ,

u u

m u u m



    với



Xét hàm số

 

u u

f u





với



Ta có

 

3 27 ; 0 3

f u u f u u

 

    



TOANMATH.com

Trang 11

Suy ra

 





min 54.

f u



 

Do đó có vô số giá trị nguyên của m để phương trình

có nghiệm thực.

Chọn C.

Bài toán 6. Phương trình chứa tham số

Phương pháp giải

Bước 1. Đặt





0 ,

t a t  chuyển phương trình

ban đầu về phương trình ẩn t.

Bước 2. Sử dụng định lý Vi-ét về điều kiện có

nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải

quyết.

Bài toán: Tìm tham số m để phương trình có

Ví dụ 1. Cho phương trình

4 .2 2 0.

x x

m m



  

Biết rằng khi

m m



thì phương trình có hai

nghiệm phân biệt

1 2

x x

thỏa mãn

1 2

x x

 

Mệnh

đề nào sau đây là đúng?

là số nguyên âm.

là số nguyên tố.

là số lẻ.

là số chính phương.

Hướng dẫn giải

Ta có:





 

4 .2 2 0. 2 2 .2 2 0 1

x x x x

m m m m



      

Đặt

2 , 0,

t t

 

phương trình thành





2 2 0 2 .

t mt m  

Ta thấy rằng ứng với một giá trị



ta tìm được

một nghiệm x nên để phương trình có hai nghiệm

1 2

x x

thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

2 1

t t

 

đồng thời

1 2

1 2 1 2

3 2 2 . 8.

x x

x x t t



     

Từ đó, ta có điều kiện

0 4 8 0

0 2 0 4.

8 2 8

m m

S m m

P m



   



    

 

 

 



Vậy



là một số chính phương.

Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình

TOANMATH.com

Trang 12

nghiệm thuộc





1 2

;

x x

ta giải như sau:

Bước 1. Đặt

, 0

t a t

 

vì









1 2

; ; .

x x

x x x t a a  

Bước 2. Chuyển về phương trình ẩn t, cô lập m

chuyển về dạng





f t m



Bước 3. Xét hàm





f t

tìm đạo hàm, lập bảng

biến thiên và đưa ra kết luận.

9 2.3 3 0

x x

   

có nghiệm thuộc





0; .



Đặt





3 , 0 .

t t  Vì





0;x

 

nên





1; .

 

Phương trình trở thành:

2 2

2 3 0 2 3.

t t m m t t

       

Xét hàm số





2 3

f t t t

  

trên khoảng





1; .



Có





2 2 0 1.

f t t t



    

Ta có bảng biến thiên

t 1







f t







f t



Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy



thỏa mãn

yêu cầu đề bài.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

4 .2 2 5 0

x x

m m

   

có hai nghiệm trái dấu?

A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 4.

Hướng dẫn giải

Ta có





4 .2 2 5 0 2 .2 2 5 0

x x x x

m m m m

        

Đặt

2 , 0,

t t

 

phương trình thành





2 5 0 2 .

t mt m   

Đặt





2 5

f t t mt m

   

Nhận xét rằng với một giá trị



ta tìm được một nghiệm x nên để phương

trình có hai nghiệm

1 2

x x

 

thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

2 1

t t

 

đồng thời

1 2

t t

 

(vì

1 2

2 2 2

x x

 

). Từ đó, ta có:

 

8 20 0

4 2 5 0

2 5 0

1. 0

1. 1 2 5 0

m m

f t

m m



  

 

  





 



  

    

  



  



  



   





 



Vậy chỉ có một giá trị nguyên của tham số m thỏa đề.

Chọn C.

TOANMATH.com

Trang 13

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

 

2 3 4 1 *

x x

m  

có nghiệm duy nhất?

A. 3. B. Vô số. C. 1. D. 2.

Hướng dẫn giải

Đặt

2 , 0,

t t

 

phương trình

   

* 3 1 1 .

t m t m



     



Xét hàm số

 

f t







xác định trên tập





0; .

 

Ta có

 

2 2

1 3

1 1

f t

t t







 

Cho

 

0 1 3 0 .

f t t t



     

Bảng biến thiên







+ 0



3 1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với

1 3

 

hoặc

m  phương trình có

nghiệm duy nhất nên có hai giá trị nguyên của tham số m.

Chọn D.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

 

1 1

2.4 5.2 0, *

x x

 

   có nghiệm?

A. 3. B. 0. C. 1. D. 4.

Hướng dẫn giải

Đặt

2 ,





điều kiện



vì

1 1.

  

Khi đó





* 2 5 .

t t m

   

Xét hàm số

2 5

  

y t t

trên

; .

 







 

Ta có

4 5.

y t



  

Cho

0 4 5 0 .

y t t



     







+ 0



TOANMATH.com

Trang 14



Do đó phương trình có nghiệm khi

m 

Chọn A.

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Giá trị của tham số k để hai phương trình





3 30 1

  và





0 2

x k  có nghiệm chung là

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 2: Phương trình

9 4

3 81

x x 



có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 3: Phương trình









6 35 6 35 12

x x

   

có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 4: Phương trình

2 .5 40000

x x



có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 5: Phương trình

3 666661

x

 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 6: Phương trình

4 10.2 16 0

x x

  

có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.

Câu 7: Cho phương trình

4 5

3 9.

x x 



Tổng các lập phương các nghiệm thực của phương trình là

A. 28. B. 27. C. 26. D. 25.

Câu 8: Cho phương trình

3 8 2 1

3 9 ,

x x x

  



khi đó tập nghiệm của phương trình là





2;5 .

S  B.

5 61 5 61

; .

2 2

 

   

 



 

 

 

5 61 5 61

; .

2 2

 

 

 



 

 

 





2; 5 .

  

Câu 9: Phương trình

3 9. 4 0



 

  

 

 

có bao nhiêu nghiệm âm?

A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.

Câu 10: Cho phương trình

2 16 .





 Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên.

B. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.

C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

TOANMATH.com

Trang 15

D. Phương trình vô nghiệm.

Câu 11: Phương trình





2 2

8 8 5

2 .5 0,001. 10

x x



 



có tổng các nghiệm là

A. 7. B. -7. C. 5. D. -5.

Câu 12: Phương trình

9 5.3 6 0

x x

  

có nghiệm là

1, log 3.

x x

 

1, log 2.

x x

  

1, log 2.

x x

 

1, log 2.

x x

   

Câu 13: Cho phương trình

4.4 9.2 8 0.

x x

  

Gọi

1 2

x x

là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó,

tích

1 2

x x

bằng

A. -1. B. 2. C. -2. D. 1.

Câu 14: Cho phương trình

4 4 3.

x x

 

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

4 3.4 4 0.

x x

  

B. Phương trình có một nghiệm.

C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.

D. Phương trình vô nghiệm.

Câu 15: Nghiệm của phương trình

1 1

2 2 3 3

x x x x

 

  

là

log .

x 



log .

x 

Câu 16: Nghiệm của phương trình

6.4 13.6 6.9 0

x x x

  

là





0;1 .

x  B.

2 3

; .

3 2

 



 

 





1;0 .

x   D.





1;1 .

x  

Câu 17: Nghiệm của phương trình

12.3 3.15 5 20

x x x

  

là

log 3 1.

 

log 5.



log 5 1.

 

log 5 1.

 

Câu 18: Phương trình

9 5.3 6 0

x x

  

có tổng các nghiệm là

log 6.

log .

log 6.



Câu 19: Phương trình

5 25 6

x x

 

có tích các nghiệm là

1 21

log .

 



 

 

1 21

log .

 



 

 

C. 5. D.

1 21

5log .

 



 

 

Câu 20: Phương trình









7 4 3 2 3 6

x x

   

có nghiệm là

 

2 3

log 2.





log 3.







log 2 3 .

x  



Câu 21: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

2 2 2

3 2 6 5 2 3 7

4 4 4 1.

x x x x x x     

  





5; 1;1;2 .

x    B.





5; 1;1;3 .

x    C.





5; 1;1; 2 .

   





5; 1;1;2 .

x  

Câu 22: Phương trình













3 2 3 2 10

x x x

   

có bao nhiêu nghiệm thực?

TOANMATH.com

Trang 16

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 23: Cho phương trình

2 2

cos sin

2 4.2 6.

x x

 

Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 2. C. 4. D. Vô số nghiệm.

Câu 24: Phương trình

2 1

.2 2 2 3

x x

x x x



   

có tổng các nghiệm bằng bao nhiêu?

A. 0. B. 4. C. 3. D. 2.

Câu 25: Phương trình













5 2 3 2 7

   

x x x

có bao nhiêu nghiệm?

A. 4. B. 0. C. 3. D. 2.

Câu 26: Phương trình





3 2 3 1 4.3 5 0

x x x

    

có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Câu 27: Phương trình

3 5 6

2 3

x x x

  



có hai nghiệm

1 2

x x

trong đó

1 2

x x



hãy chọn phát biểu đúng?

1 2 3

3 2 log 54.

x x

 

1 2 3

2 3 log 8.

x x

 

1 2 3

2 3 log 54.

x x

 

1 2 3

3 2 log 8.

x x

 

Câu 28: Phương trình

 

2 2

sin cos

4 4 2 2 sin cos

x x

   có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn





0;15 ?

A. 3. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 29: m là tham số thay đổi sao cho phương trình

1 1

9 4.3 27

x x m

 

 

có hai nghiệm phân biệt. Tổng

hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

A. 1. B. -3. C. 2. D. -4.

Câu 30: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình









2 3 2 3

x x

   

có hai nghiệm phân

biệt?









Câu 31: Gọi

1 2

x x

là hai nghiệm của phương trình

   

2 2

2 1 2 2

4 3

2 2 2 2 1.

x x

 

   

Khi đó, tổng hai

nghiệm bằng?

A. -2. B. 2. C. 0. D. 1.

Câu 32: Tìm tập nghiệm S của phương trình

2 2

3 .5 15,

x m

 





là tham số khác 2.





2; log 5 .

S m B.





2; log 5 .

S m  C.





2 .

S  D.





2; log 5 .

S m 

Câu 33: Biết rằng phương trình

1 1

3 .25

x x 



có đúng hai nghiệm

1 2

, .

x x

Tính giá trị của

1 2

3 3 .

x x

P  

P 

26.

P  C.

26.



P 

Câu 34: Phương trình

 

2 2 1

x x x

 

  

có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

TOANMATH.com

Trang 17

Câu 35: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình

2 2

sin cos

2017 2017 cos 2

x x

 

trên đoạn





0; .



 













Câu 36: Biết rằng phương trình





1 2 1

3 1 3 1

x x

 

  

có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng lập phương

hai nghiệm của phương trình bằng

A. 2. B. 0. C. 8. D.



Câu 37: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình

9 2.3 0

x x



  

có hai nghiệm thực

1 2

x x

thỏa mãn

1 2

x x

 



 



Câu 38: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình

4 .2 2 0

x x

m m



  

có hai nghiệm thực

1 2

x x

thỏa mãn

1 2

x x

 



Câu 39: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình

2 1

2017 2 .2017 0



  

x x

m m có hai nghiệm

thực

1 2

x x

thỏa mãn

1 2

x x

 



Câu 40: Cho phương trình









1 16 2 2 3 4 6 5 0

x x

m m m

     

với m là tham số thực. Tập các giá trị

của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng





; .

a b

Tính

P ab



 

P .

 



Câu 41: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình





9 1 3 2 0

x x

m m

   

có nghiệm duy nhất.

5 2 6.

m   B.

0; 5 2 6.

m m  



0; 5 2 6.

m m  

Câu 42: Cho phương trình

2 2

2 1 2 2

4 .2 3 2 0

x x x x

m m

   

   

với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m

để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.



1; 2.

m m

 





Câu 43: Cho phương trình

2 2

5 6 1 6 5

.2 2 2.2

x x x x

m m

   

  

với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá

trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 44: Cho phương trình

 

2 2

1 1 1 1

25 2 5 2 1 0

x x

m m

   

    

với m là tham số thực. Số nguyên dương

m lớn nhất để phương trình có nghiệm là

20.



35.



30.



25.



Dạng 2: Bất phương trình mũ

TOANMATH.com

Trang 18

Bài toán 1. Biến đổi về dạng bất phương trình cơ bản

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Giải bất phương trình





3 1 4 2 3

x

  

Hướng dẫn giải

Ta thấy





3 1 0;1

a    nên ta có:





3 1

1 log 4 2 3 1 2 1.

x x x



       

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là







Chọn D.

Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình

2 1 2 2 2 3

2 2 2 448

x x x  

  

là

; .

 







 

; .

 







 

; .

 

 





 

; .

 

 





 

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 2 2 2 2

1 1 1 7

.2 .2 .2 448 .2 448 2 512

2 4 8 8

x x x x x

      

2 log 512 2 9 .

x x x

     

Chọn B.

Ví dụ 3. Tập nghiệm của bất phương trình

2 4 2 4

2 2 2 3 3 3

x x x x x x

   

    

là

;log .

 

 





 

log ; .

 

 





 

;log .

 

 

 

 

log ; .

 

 

 

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 91 2 13

2 4.2 16.2 3 9.3 81.3 21.2 91.3 .

3 21 3 3

 

          

 

 

x x x x x x x x

Vì cơ số

 

0;1

a  

nên bất phương trình thành

log .

x 

Chọn A.

Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình

   

5 2 5 2

x

   là









; 1 0;1 .

   B.





1;0 .











; 1 0; .

   









1;0 1; .

  

Hướng dẫn giải

Ta thấy













5 2 5 2 1 5 2 5 2



       nên bất phương trình thành

TOANMATH.com

Trang 19

   

 

5 2 5 2 . 1



  

Vì cơ số





5 2 0;1

a    nên

 

1 0

2 2

1 0 0 .

1 1 1

  





        





  



x x x x

x x

x x x

Chọn D.

Bài toán 2. Bất phương trình theo một hàm số mũ

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Bất phương trình

5.4 2.25 7.10 0

x x x

  

có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

Hướng dẫn giải

Ta có:

5.4 2.25 7.10 0

x x x

  

25 10 5 5

5 2. 7. 0 2. 7. 5 0

4 4 2 2

x x

   

       

   

   

5 5

1 0 1.

2 2

 

     

 

 

Vậy bất phương trình có hai nghiệm nguyên.

Chọn A.

Ví dụ 2. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

2 2

2 2 1

4 5.4 4 0

x x x x 

  

là

A. 2. B. 4. C. 0. D. 1.

Hướng dẫn giải

Ta có:





 

2 2 2 2

2 2 1

4 5.4 4 0 4 5.4 .4 4. 4 0

x x x x x x x x 

      





2 2

4 5.4 4 0

x x x x 

   

4 1

4 4

x x









 

 



 





















 







Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2.

Chọn A.

Ví dụ 3. Bất phương trình

4 3.2 8

2 1

x x



 





có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?

A. 2. B. -1. C. 0. D. 1.

TOANMATH.com

Trang 20

Hướng dẫn giải

Ta có:





2 6.2 8

4 3.2 8

0 0

2 1 2.2 1

x x



 

  

 

Lập bảng xét dấu của

 

6 8

,2 .

2 1

t t

f t t

 

 





2 4





+ 0



0 +

Từ bảng xét dấu ta có:

 

2 4

2 6.2 8

0 .

1 1

2.2 1

2 2





 







  



  



 







x x

Vậy bất phương trình không có nghiệm nguyên âm.

Chọn C.

Ví dụ 5. Bất phương trình

1 1

5 1 5 5

x x





 

có tập nghiệm dạng









; ;S a b a

   

với



. Giá trị

tổng

a b



là

A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

Hướng dẫn giải

Ta có:

   

1 1 1 1 5 5 5.5 1

0 0

5 1 5 5 5.5 1 5 5

5.5 1 . 5 5

x x

x x x x

x x



  

     

   

 

       

5 5 5.5 1 6 6.5

0 0

5.5 1 . 5 5 5.5 1 . 5 5

x x x

x x x x

   

   

   

Đưa vế trái về dạng một ẩn chứa 5

sau đó xét dấu

Lập bảng xét dấu

 

   

6.t

,5 .

5. 1 . 5

f t t

t t



 

 



1 5





+ 0



Từ bảng xét dấu ta có

   

5 5

6 6.5

0 .

1 0

5.5 1 . 5 5

5 1

x x











  



  

 

 







Vậy

1, 0 1.

a b a b

    

Chọn D.

Bài toán 3. Lấy logarit hai vế

TOANMATH.com

Trang 21

Phương pháp giải

Cho

0 1

 

và

, 0

x y



ta có:

+ Nếu

0 1

 

thì

log log .

a a

x y x y

  

+ Nếu



thì

log log .

a a

x y x y

  

Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình

3 2 1

1 1

3 3

x x



   



   

   

là





1; .

 

 

; 1; .

 

    

 

 

;1 .

 

 

 

 

; .

 

  

 

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 2

3 2 1 3 2 1

1 1

3 3

1 1 1 1

log log

3 3 3 3

x x x x

 

       

  

       

       

3 2 1 0

x x

   



 











Vậy

 

; 1; .

 

    

 

 

Chọn B.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tập nghiệm của bất phương trình

2 1





 



 

 

là





1; .

 

 

; 1; .

 

    

 

 

;1 .

 

 

 

 

; .

 

  

 

 

Hướng dẫn giải

Ta có

2 2

2 1 3 2 1 3 2 1

3 3

3 3 3 log 3 log 3

x x x x x



  

 

    

 

 

3 2 1

x x

  

   

TOANMATH.com

Trang 22

Vậy

;1 .

 

 

 

 

Chọn C.

Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình

5 1

1 1

2 4

x x x

  

   



   

   

là









;1 2; .

   





;1 .

S  





\ 1;2 .

S 







2; .

 

Hướng dẫn giải

Ta có

2 2

5 1 5 2 2

1 1 1 1

2 4 2 2

x x x x x x

     

       

  

       

       

5 2 2

1 1

2 2

1 1

log log

2 2

x x x

  

   

 

   

   

5 2 2

x x x

    

3 2 0

x x

    

3 2 0

x x

   













Vậy









;1 2; .

   

Chọn A.

Ví dụ 3. Nghiệm của bất phương trình

8 36.3





 là

3 2

  









log 6 2

   









4 2

   









log 18 2

   









Hướng dẫn giải

Ta có

4 4

2 4 4

2 2 2

3 3

8 36.3 2 3 log 2 log 3

x x x

 

  

  

    

 

log 2

log 2 4 4 1 0

2 2

x x



 

      

 

 

 

3 3

4 0 4

log 2 log 2 2

1 0 0

2 2

x x

  

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

TOANMATH.com

Trang 23

log 18

log 18 2



















  









 



   

















log 18 2









   



Chọn D.

Ví dụ 4. Bất phương trình

2 .5 10

x



có tập nghiệm là









; ; .

b a a

    Khi đó

b a



bằng

log 5.

log .

 C. 1. D.

2 log 5.



Hướng dẫn giải

Ta có

2 1 1

1 1

1 1 1

5 5

2 .5

2 .5 10 1 2 .5 1 log 2 .5 log 1

2.5

x x x

 



 

  

 

      

 

 

   

5 5

1 1

1 .log 2 0 1 . log 2 0

1 1

x x



 

       

 

 

 









5 5

1 . x.log 2 log 2 1

  

 



Bảng xét dấu:



log 10



-1 1





0 +

Từ bảng xét dấu ta có









5 5

1 1

1 . x.log 2 log 2 1

0 .

log 10

  

  



 



   





Do đó

log 5.

log 10

b a





  







Chọn A.

Bài toán 4. Đặt nhân tử chung

Phương pháp giải

Phân tích để xuất hiện nhân tử và đặt nhân tử chung. Ta có





. .

A B A C A B C

  

Với bài phức tạp ta có thể đặt ẩn phụ để giải.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tập nghiệm S của bất phương trình

8.3 3.2 24 6

x x x

  

có dạng





; .

S a b

 Giá trị tổng

a b



bằng

A. 4. B.

2 2

 . C.

1 3.

 D. 0.

Hướng dẫn giải

TOANMATH.com

Trang 24

Ta có

8.3 3.2 24 6 8.3 3.2 2 .3 24 0

x x x x x x x

       

















3 8 2 3. 2 8 0 2 8 3 3 0

x x x x x

        

  

2 8

3 3 1

2 8 3 3 0 1 3.

2 8

3 3







 











 





 



        





 



























x x

Vậy

1, 3

a b

 

nên

a b

 

Chọn A.

Ví dụ 2. Nghiệm của bất phương trình

2 1

5 5 5 5

x x x



  

là

0 1.

 

0 1.

 

0 1.

 

0 x 1.

 

Hướng dẫn giải

Ta có





2 1

5 5 5 5 5 6.5 5 0



      

x x x x x





5 5 5.5 5 0

x x x

    









5 5 5 1 0

x x

   

1 5 5

  

0 1.

  

Chọn B.

Bài toán 5. Phương pháp hàm số

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Tính chất:

+ Nếu hàm số





y f x

 luôn đồng biến trên D thì bất phương trình:









, , .

f u f v u v u v D

    

+ Nếu hàm số





y f x

 luôn nghịch biến trên D thì bất phương trình:









, , .

f u f v u v u v D

    

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Bất phương trình

1 1

8 2 27 3

x x x x

 

   có tập nghiệm là

;log 3 ,

 

 

 

 

với

là phân số

tối giản. Giá trị của

a b

bằng

A. 2. B. 3. C. 6. D. 12.

TOANMATH.com

Trang 25

Hướng dẫn giải

Ta có









3 3

1 1 1 1

8 2 27 3 2 2 3 3

x x x x x x x x

   

      

Đặt





f t t t

 

ta có





3 1 0,



    



f t t t nên hàm số đồng biến trên



Mà

   

1 1

2 3 2 3 2 3.3 3

x x x x x x

f f

 

 

      

 

 

Vì

 

0;1

 nên

log 3



từ đó

2, 3

a b

 

nên

. 6.

a b



Chọn C.

Ví dụ 2. Tập nghiệm S của bất phương trình

2 1 0



  





;3 .

S   B.





3; .

 





;3 .

S   D.





3; .

 

Hướng dẫn giải

Xét hàm số





2 1

f x x



  

có





2 ln 2 1 0, .

f x x





     



Do đó hàm số





f x

nghịch biến trên



Mà ta có





3 0



nên:













0 3 3

f x f x f x

    

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là





;3 .

S  

Chọn A.

Ví dụ 3. Cho phương trình

2 2

2 15 10 10 50 2

2 2 25 150 0.

x x x x

x x

   

    

Số nghiệm nguyên của bất

phương trình là

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Hướng dẫn giải

Đặt

2 15 100

25 150

10 50

u x x

u v x x

v x x



  



    



  





Thay vào bất phương trình ta được:

2 2 0 2 2 .

u v u v

       

Xét hàm





f t t

 

ta có





2 ln 2 1 0, ,

f t t



    



suy ra hàm số





f t

đồng biến trên



Mà









f u f v

 nên

u v



Do đó:

2 2 2

2 15 100 10 50 25 150 0 10 15.

x x x x x x x           

Vì x





nên





10;11;12;13;14;15 .

x 

Chọn D.

Ví dụ 4. Cho bất phương trình





3 3

36 2 3 9.8 4.27 .

x x x x

   Nghiệm của bất phương trình là





2; .

  









2; \ 1 .

x   





1; .

 





; 2 .

  

TOANMATH.com

Trang 26

Hướng dẫn giải

 

3 3 3 3 3 3

3 2 3 2

8 27

36 2 3 9.8 4.27 2 3 2 3 2 3

4 9

x x

x x x x x x x x x x

 

          

Đặt

3 2

u x

v x







 



khi đó

3 3

3 2 3 2

2 3 2 3 2 3 2 3

x x x x u u v v

 

      

Xét hàm





2 3

t t

f t

 

trên







2 ln 2 3 ln3 0, .

t t

f t x



    



Do đó hàm số





f t

đồng biến trên



Mà

       

3 3

3 2 3 2 0 1 2 0

f u f v u v x x x x x x

             

   

2; \ 1

 



    







Chọn B.

Ví dụ 5. Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

2 2 2

sin cos cos

4 5 .7

x x x

m  có

nghiệm là

;

 

 





 

với a, b là các số nguyên dương và

tối giản. Tổng

S a b

 

là

13.



15.



11.



Hướng dẫn giải

Ta có:

2 2

2 2 2

cos cos

sin cos cos

1 5

4 5 .7 4 .

28 7

x x

x x x

m m

   

    

   

   

Xét

 

2 2

cos cos

1 5

28 7

x x

f x

   

 

   

   

với





cos

1 1

28 28

5 5

7 7



 





 

 





 



 



 



nên

 

4 5

28 7

f x

 

hay

 

f x



Dấu đẳng thức xảy ra khi

cos 1 sin 0 .

x x x k

     

Vậy

 

min .

f x





Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi





min

m f x





 

hay

; 13.

m S

 

   





 

Chọn A.

Bài toán 6. Bất phương trình chứa tham số

Phương pháp giải

 Đặt





t a t

 

TOANMATH.com

Trang 27

+ Chuyển về bất phương trình ẩn t.

+ Sử dụng định lý Vi-ét và điều kiện có nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải quyết.

 Khi gặp dạng: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thuộc





1 2

;

x x

ta giải như sau:

+ Đặt









1 2

, 0, ; ;

x xx

t a t x x x t a a

    

+ Chuyển về phương trình ẩn t, cô lập m. Chuyển về dạng









; ,

f t m f t m

 

+ Xét hàm





f t

tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận.

Chú ý:

Hàm





f x

liên tục trên





a b

. Xét phương trình





f x m



Có nghiệm





x a b



 





min

a b

f x m



 





max

a b

f x m



Đúng với mợi





x a b



 





max

a b

f x m



Tương tự





f x m



thì:

 





max

a b

f x m



 





min

a b

f x m



 





min

a b

f x m







f x m



thì mọi trường hợp

 





max

a b

f x m







f x m



thì mọi trường hợp

 





min

a b

f x m



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

9 .3 3 0

x x

m m

   

nghiệm đúng

 



A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.

Hướng dẫn giải

Đặt

3 , 0,

t t

 

bất phương trình thành:





2 2 2

3 0 3 1 3

t mt m mt m t m t t

           

Vì



nên

1 0

 

do đó ta có







Xét hàm số

 

f t







trên khoảng





0; ,



ta có

 

2 3

t t

f t

 







Cho

 

0 .

f t







 



 



Bảng biến thiên:

t 0 1







f t





0 +

Có min/max tại





x a b







f x



không đổi dấu

TOANMATH.com

Trang 28





f t



Dựa vào bảng biến thiên, ta có



thì bất phương trình nghiệm đúng

 



Do đó có một giá trị nguyên dương của tham số m thỏa đề.

Chọn C.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình





.9 2 1 .6 .4 0

x x x

m m m

   

nghiệm đúng với mọi





0;1 ?

x 

A. 8. B. Vô số. C. 5. D. 6.

Hướng dẫn giải

Ta có

   

9 3

.9 2 1 .6 .4 0 . 2 1 . 0.

4 2

x x

x x x

m m m m m m

   

        

   

   

Đặt

 



 

 

vì





0;1

x  nên

1 .

 

Khi đó bất phương trình trở thành

 

.t 2 1 .t 0 .

m m m m

     



Đặt

 

f t





với

1 .

 

Ta có

 

, 0 1.

f t f t t

 

 

    



Bảng biến thiên







f t









f t



Dựa vào bảng biến thiên ta có





lim 6

m f t



 

thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi





0;1 .

x 

Chọn D.

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Nghiệm của bất phương trình

2 1 3

3 3

x x

 



là





 



TOANMATH.com

Trang 29

Câu 2: Nghiệm của bất phương trình





2 2





 là





1; .







;0 .

 C.





; 8 .

 





6; .



Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình

2 1 5

2 5

5 2

x x x

  

   



   

   

là

 



 









 









Câu 4: Tập hợp các số x thỏa mãn

4 2

2 3

3 2

x x



   



   

   

là

; .

 







 

; .

 

 





 

; .

 







 

; .

 







 

Câu 5: Nghiệm của bất phương trình

3 2

3.9 729



 là

4 0.

  

 



 









Câu 6: Nghiệm của bất phương trình

2 5 6

x x

  



là

10.





1 10.

 











Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình

2 2

5 5

x x



   



   

   

là





1;2 .









; 2 1; .

   





1; .







1;2 .

Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình

1 2

x x

 

là





;0 .

 B.





;1 .

 C.





2; .







0;2 .

Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình

2 1

2 4

x x

 



là





4;0 .

 B.





2;1 .

 C.





; 4 .

 





0; .



Câu 10: Nghiệm của bất phương trình

3 3 1 1

2 .3 2 .3 288

x x x x 

   là









Câu 11: Bất phương trình

2 1 2 2 2 3

2 2 2 448

x x x  

  

có nghiệm là





 

 

Câu 12: Bất phương trình

2 1 2

2 5 2 5

x x x x

  

  

có nghiệm là

log .

 



 

 

log .

 



 

 

log .

 



 

 

log .

 



 

 

TOANMATH.com

Trang 30

Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình

   

5 2 5 2

x

   là









; 1 0;1 .

   B.





1;0 .

 C.









; 1 0; .

   









1;0 1; .

  

Câu 14: Số nghiệm nguyên của bất phương trình

   

3 1

1 3

10 3 10 3

x x

 

   là

A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.

Câu 15: Bất phương trình

   

3 1

1 3

2 3 2 3

x x

 

   có nghiệm là















1 3.

 

Câu 16: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình









2 3 7 4 3

x x



   bằng



B. 4. C. 5. D. 0.

Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình

4 7.2 8 0

x x

  

là









; 1 8; .

   





0;4 .





;3 .

 D.





3; .



Câu 18: Bất phương trình

9 3 6 0

x x

  

có tập nghiệm là





1; .







;1 .

 C.





1;1 .

 D.





; 1 .

 

Câu 19: Bất phương trình

4 2 3

x x

 

có tập nghiệm là





1;3 .





2;4 .





log 3;5 .





;log 3 .



Câu 20: Tập nghiệm của bất phương trình

2 1

3 10.3 3 0

x x

  

là





1;1 .

 B.





1;0 .

 C.





0;1 .





1;1 .



Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình

2 1

3 2.3 1 0

x x

  

trên tập số thực là





;0 .

 B.





0; .







;1 .

 D.





1; .



Câu 22: Cho bất phương trình





3 3 0

 

. Tập nghiệm của bất phương trình là





;0 .

 B.





0;1 .





;1 .

 D.



Câu 23: Đặt



thì bất phương trình

2 2

5 3.5 32 0

x x

  

trở thành bất phương trình nào sau đây?

75 32 0.

t t

  

6 32 0.

t t

  

3 32 0.

t t

  

16 32 0.

t t

  

Câu 24: Bất phương trình

1 1 1

4 5.2 16 0

    

  

x x x x

có nghiệm là

2 3







 













1 3.

 











Câu 25: Tập nghiệm của bất phương trình

3 3 8 0

x x 

  

là





;0 .

 B.





0; .







;1 .

 D.





1; .



Câu 26: Bất phương trình

5 5 20

x x

 

có tập nghiệm là

TOANMATH.com

Trang 31





;2 .

 B.





;1 .

 C.





0;2 .





2; .



Câu 27: Cho bất phương trình

2 2 9.

x x

 

Tập nghiệm của bất phương trình là





0;3 .





0;2 .





0;4 .





0;1 .

Câu 28: Giải bất phương trình

2 3

2 1

3 2

x x

   

 

   

   

ta được

log 2.



log .

x 

log 2.



log 2.



Câu 29: Tập nghiệm của bất phương trình

3 2

1 2

27 3



 

là





0;1 .





1;2 .

 

 

 





2;3 .

Câu 30: Giải bất phương trình

4 1 2 2

2 1 2 1

2 2 1

x x

 

 

 

ta được



 







  



 

Câu 31: Cho bất phương trình

5.4 2.25 7.10 0

x x x

  

. Tập nghiệm của bất phương trình là





1;2 .





0;1 .





2; 1 .

 





1;0 .



Câu 32: Nghiệm của bất phương trình

8 18 2.27 0

x x x

  

là









Câu 33: Tập nghiệm của bất phương trình

1 2 1

3 2 12 0

x x 

  

là





0; .







1; .







;0 .

 D.





;1 .



Câu 34: Cho bất phương trình

5.4 2.25 7.10 0.

x x x

  

Tập nghiệm của bất phương trình là





1;2 .





0;1 .





2; 1 .

 





1;0 .



Câu 35: Tập nghiệm của bất phương trình

3.4 5.6 2.9 0

x x x

  

là





;0 .

 B.

;1 .

 

 

 

0; .

 

 

 





0;1 .

Câu 36: Bất phương trình

2 2

2.5 5.2 133. 10

x x x

 

 

có tập nghiệm là





;

S a b

 thì

b a



bằng

A. 6. B. 10. C. 12. D. 16.

Câu 37: Bất phương trình

2 2 2

2 1 2 1 2

25 9 34.15

x x x x x x

       

 

có tập nghiệm là









;1 3 0; 2 1 3; .

 

      

 





0; .

 





2; .

 





1 3;0 .

S  

Câu 38: Bất phương trình

64.9 84.12 27.16 0

x x x

  

có nghiệm là

TOANMATH.com

Trang 32

9 3

16 4

 

1 2.

 











D. Vô nghiệm.

Câu 39: Bất phương trình

5.4 2.25 7.10 0

x x x

  

có nghiệm là

0 1.

 

1 2.

 

2 1.

   

1 0.

  

Câu 40: Nghiệm của bất phương trình









2 3 2 3 14

x x

   

là

1 1.

  

2 2.

  

 









 









Câu 41: Giải bất phương trình









2 2

1 2

3 5 3 5 2 0

x x x x

x x

 

 

    

ta được

















0;2 .

 

;1 2; .

2 2

 

 

 

 

Câu 42: Tổng của tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình

1 1

3 5 3 1

x x



 

là

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Câu 43: Nghiệm của bất phương trình

4 3.2 8

2 1

x x



 





là

1 1

  









1 1

  











 







1 2







 



Câu 44: Cho bất phương trình

1 1

5 1 5 5

x x





 

Tìm tập nghiệm của bất phương trình.









1;0 1; .

   

S B.









1;0 1; .

   





;0 .

S   D.





;0 .

S  

Câu 45: Cho bất phương trình

1 1

8 2 27 3 .

x x x x

 

   Tập nghiệm của bất phương trình là





;log 3 .

 B.

;log 3 .

 



 

 





log 2; .







;0 .



Câu 46: Tập nghiệm của bất phương trình

3 2 1

3 5

x x x

  

 là





2 log 5;1 .

 B.





2 log 5;1 .











;2 log 5 1; .

   









;2 log 5 1; .

   

Câu 47: Tập nghiệm của bất phương trình

2 1 2 5 2

2 5

x x x

  



là

;2 log 2 .

 



 

 

2 log 2

; .

2 2



 

 

 

 

; 2 log 2; .

 

   

 

 

 

; 2 log 5; .

 

    

 

 

TOANMATH.com

Trang 33

Câu 48: Số nghiệm nguyên của bất phương trình



 



 

 

là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 49: Tập nghiệm của bất phương trình

3 5 6

2 3

  



x x x





0;2 .





;2 .

 C.





2 log 2;3 .

 D.





0; .



Câu 50: Cho hàm số

4 .3 ,

x x

y 

khẳng định nào sau đây sai?





3 2 log 2 1.

f x x x

   





3 2 ln 2 ln3.

f x x x   





3 log3 2 log 2 log3.

f x x x    D.





3 log 4 1.

f x x x

   

Câu 51: Cho hàm số

 

5 .7 .

x x

f x



 Khẳng định nào sau đây sai?





5 5

1 log 7 log 7 0.

f x x x

    





1 ln 5 ln 7 ln 7 0.

f x x x

    





1 log 5 1.

    

f x x x D.





5 5

1 1 log 7 log 7.

f x x    

Câu 52: Bất phương trình

2 .5 10

x



với

 

có tập nghiệm là





;

a b

. Khi đó

b a



bằng

log .

 B.

2 log 5.



C. 1. D. 2.

Câu 53: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

3 .5 1

x x



là





log 3;0 .

 B.





log 5;0 .





log 3;0 .

 D.





log 5;0 .

Câu 54: Tập nghiệm của bất phương trình

2 1

 

là





;0 .

 B.







0; .





Câu 55: Tập nghiệm của bất phương trình

2 3 13 2

x x



  

là





; 1 .

 









;e e ; .

  





1; .







;1 .



Câu 56: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

2 1 0.



  





;1 .

S   B.





;3 .

S   C.





;3 .

 D.





3; .



Câu 57: Tập nghiệm của bất phương trình

 

 

 

 

là





; 1 .

 





1; .

 





1; .







;1 .



Câu 58: Tập nghiệm của bất phương trình

3 5 2

 

là







;1 .

 C.





; 1 .

 





1; .



Câu 59: Tập nghiệm của bất phương trình

4 3 5

x x x

 

là







;2 .

 C.





;0 .

 D.





2; .



Câu 60: Nghiệm của bất phương trình

5 3 8

x x x

 

là

TOANMATH.com

Trang 34

x 1.



x 2.



x 2.



x 1.



Câu 61: Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình

2 3 1

 

là

A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.

Câu 62: Tập nghiệm của bất phương trình

3.2 7.5 49.10 2

x x x

  





; 1 .

 





1;0 .

 C.









; 1 0; .

   





1; .



Câu 63: Cho bất phương trình

3 3 2

4 2



 





Tập nghiệm của bất phương trình là

; .

 



 

 

;2 .

 

 

 





2; .



;2 .

 





 

Câu 64: Với giá trị nào của m thì bất phương trình





9 2 1 3 3 2 0

x x

m m

    

nghiệm đúng với mọi





 

 





5 2 3; 5 2 3 .

m      D. không tồn tại m.

Câu 65: Tất cả các giá trị của m để bất phương trình









3 1 12 2 6 3 0

x x x

m m

    

nghiệm đúng

 

là





2; .

 





; 2 .

 

; .

 

 

 

 

2; .

 

 

 

 

Câu 66: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

9 .3 3 0

x x

m m

   

nghiệm đúng với mọi x?



hoặc

 



6 2.

  

Câu 67: Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình

2 2 2

sin cos sin

2 3 .3

x x x

m  có nghiệm?







Câu 68: Với điều kiện nào của tham số m thì bất phương trình 2 7 2 2

x x

   

có nghiệm?

0 3.

 

3 5.

 





III. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Dạng 1. Phương trình mũ

1- B 2- C 3- B 4- A 5- B 6- D 7- A 8- A 9- C 10- B

11- C 12- C 13- C 14- D 15- A 16- D 17- D 18- A 19- B 20- A

21- A 22- A 23- D 24- D 25- B 26- A 27- D 28- A 29- B 30- B

31- C 32- D 33- A 34- A 35- A 36- B 37- C 38- C 39- D 40- A

41- D 42- D 43- C 44- D

TOANMATH.com

Trang 35

Dạng 2. Bất phương trình mũ

1- D 2- C 3- C 4- B 5- D 6- C 7- A 8- C 9- A 10- C

11- B 12- C 13- D 14- B 15- D 16- A 17- D 18- B 19- D 20- A

21- B 22- A 23- A 24- B 25- B 26- A 27- A 28- D 29- C 30- A

31- B 32- A 33- A 34- B 35- D 36- B 37- A 38- B 39- A 40- B

41- C 42- D 43- B 44- A 45- B 46- A 47- A 48- D 49- C 50- B

51- D 52- D 53- C 54- C 55- D 56- C 57- B 58- B 59- B 60- A

61- B 62- A 63- D 64- B 65- B 66- C 67- B 68- D

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/35

| | Tải xuống

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 2.
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Mục tiêu  Kiến thức
+ Biết được cách giải một số dạng phương trình mũ.
+ Biết được cách giải một số dạng bất phương trình mũ.  Kĩ năng
+ Giải được một số phương trình mũ và bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp đưa về
cùng cơ số, logarit hóa, đặt ẩn phụ, tính chất của hàm số.
+ Nhận dạng được các loại phương trình mũ và bất phương trình mũ. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phương trình mũ x a = b
+ Nếu b  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x  log b . a
+ Nếu b  0 thì phương trình vô nghiệm.
Đặc biệt: Phương trình x y
a  a  x  y (biến đổi về cùng cơ số).
Dạng 1: Phương trình có dạng f x gx a  a . + Nếu a  1 thì f x gx a  a
nghiệm đúng với mọi x.
+ Nếu 0  a  1 thì f  x  g  x.
Dạng 2: Phương trình có dạng f x a
 b (với 0  a  1,b  0 ) f  x a
 b  f x  log b. a 2. Bất phương trình mũ
Dạng 1: Bất phương trình có dạng f x gx a  a .   1 + Nếu a  1 thì  
1  f  x  g x.
+ Nếu a  1 thì (1) nghiệm đúng x  . 
+ Nếu 0  a  1 thì  
1  f  x  g  x.
Dạng 2: Bất phương trình có dạng f x a  b (với b  0). (2)
+ Nếu a  1 thì 2  f  x  log . b a
+ Nếu 0  a  1 thì 2  f  x  log . b a
Dạng 3: Bất phương trình có dạng f x a  . b 3
+ Nếu b  0 thì (3) nghiệm đúng x   . 
+ Nếu b  0, a  1 thì 3  f  x  log . b a TOANMATH.com Trang 1
+ Nếu 0  a  1 thì 3  f  x  log . b a SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA b  0
Phương trình có nghiệm x  log b a x a  b b  0 Phương trình vô nghiệm
Phương trình nghiệm đúng với mọi PHƯƠNG a  1 x   f x gx TRÌNH MŨ a  a a  1, a  0 f x gx a  a  f x  g x 0  a  1 f x f  x a  b a  b  f x  log b a b  0 f  x a  b  f x  log b a  1 a f  x a  b  b  0 f  x a  b  f x  log b a   BẤT 0 a 1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Tìm điều kiện để f  x có b  0 nghĩa f x a  b f  x 0  a  1 a  b  f x  log b a b  0 f a  1 x a  b  f x  log b a TOANMATH.com Trang 2 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Phương trình mũ
Bài toán 1. Biến đổi về dạng phương trình cơ bản Ví dụ mẫu x  x 1
Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 4 2  là 16 A. 0. B. 2. C. 6. D. 1. Hướng dẫn giải  x  x x 1 1 1 Cách 1: Ta có 2 4 2 2 2   x  x  4  log  x  x  0  . 2 16 16  x  0
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1. x  0 Cách 2: Ta có: 2xx4 4  2 2 2  2  x  x  4  4   x  x  0  .   x  1
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1. Chọn D. 2 x 1  2 3 x  25   27 
Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình 0,6      là  9  125  1 A. -8. B. . C. 1. D. 0. 2 Hướng dẫn giải 2 2 x 1  2 3 x 2x 24 9 x  25   27   3   5   3  Ta có: 0,6   .             9  125   5   3   5  2 2 x 242x 9 24 x2x 9  x  3  3   3   3   3   3  2 . 2x x 24 9                      5 .  5   5   5   5   5  x    2 1
Vậy tổng các nghiệm là . 2 Chọn B.
Ví dụ 3. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 2 2 x2x 1  2x x 1 3.5 5.3   là 1 3 3 1 A.  . B. . C.  . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2 2 2  x x 1 x 2x 1    x x   x x 5 5  5  5 Ta có: 2 2 2 1 2 1 3.5  5.3     2   2x x 1 3  3  3  3 TOANMATH.com Trang 3  x  0 2 2x x 1 1        1 . x   2 1
Vậy tổng các nghiệm là . 2 Chọn D. 2 3 x  x2 x 2
Ví dụ 4. Gọi T là tích tất cả các nghiệm của phương trình 3 2 2  3 2 2 . Tìm T. A. T  0. B. T  2. C. T  1. D. T  1. Hướng dẫn giải  Nhận xét:             1 1 3 2 2 3 2 2 1 3 2 2 3 2 2 , nên 3  2 2 2 3 2 3 x  x2 x 2 x  x2 2x 32 2
 3 2 2  3 2 2  3 2 2 x  0 2 3 3 2 x x 2 2 x x x x 0            . 1 5  x   2
Do đó tích tất cả các nghiệm là 0. Chọn A.
Bài toán 2. Phương trình theo một hàm số mũ Phương pháp giải
Chú ý: Ta có thể đặt ẩn phụ sau khi đưa được về phương trình chứa một hàm số mũ.
Ta thường gặp các dạng sau:  2 f x f x . m a  . n a  p  0  f x f  x . m a  . n b  p  0 , trong đó . a b  1 . Đặt f  x t  a ,t  0 suy ra f x 1 b  . t f x   a  2 f  x . m a  . n  . a b f x 2 f  x  . p b
 0 . Chia hai vế cho 2 f x b và đặt  t  0.    b 
 Ẩn phụ không hoàn toàn: Đặt x
a  t khi đó phương trình mới chứa cả x và t. Ta coi t là ẩn; x là
tham số, tìm mối quan hệ x và t. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 2 2 4x 5.2x   4  0 là A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Hướng dẫn giải Đưa phương trình ban đầu về dạng phương x Ta có: x x   2 2 2 2 2 4 5.2 4 0 2 5.2x       4  0 trình bậc hai ẩn 2 2x . TOANMATH.com Trang 4   x   x   x  2x  2 2 2 1 0 0 2 2 2  5.2x  4  0       . 2 2 2x  4 x  2  x   2 Chọn A.
Ví dụ 2. Phương trình 1x 1 3
 3 x  10 có hai nghiệm x ; x . Khi đó giá trị biểu 1 2
thức P  x  x  2x x là 1 2 1 2 A. 0. B. -6. C. -2. D. 2. Hướng dẫn giải Đưa phương trình ban x x x 3 Ta có: 3  3 10  3.3  10  3.    x 3x2 1 1 10.3x 3 0 đầu về dạng phương 3 x  trình bậc hai ẩn 3 . 3x  3  x 1    . Vậy P  2. x 1  3  x  1   3 Chọn C. x x Nhận xét:
Ví dụ 3. Tích các nghiệm của phương trình  2   1   2  
1  2 2  0 là  2 1 2 11 A. 2. B. -1. C. 0. D. 1. Hướng dẫn giải 1  2 1  2 1 Ta có      1 2 1 2 1  1  2 1  nên phương trình thành 2 1 Đưa phương trình ban x đầu về dạng phương    x    2 1 x x   2 1 2 2 0 2 1         2 2       2  1 10 2 1  trình bậc hai ẩn x   2  1 .  x 2   1  1 2  x  1       .  x x  1  2 1  2 1
Vậy tích các nghiệm của phương trình là -1. Chọn B.
Ví dụ 4. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình x 1
3.4  11.6x  2.9x  0. . Tìm S. A. S  1 log 3. B. S  1 log 2. 2 3 C. S  1 2log 2. D. S  1. 2 3 Hướng dẫn giải Ta có: x 1
3.4  11.6x  2.9x  0  12.4x 11.6x  2.9x  0 Chia 2 vế cho 4x đưa về
phương trình bậc hai ẩn TOANMATH.com Trang 5 2 6 9  3 x   3 x x x  x   3  12 11.  2.  0  2. 11. 12  0     là .   4x 4x  2   2   2   3 x   4   x  log 4 x  log 4 3 2  2     2   3 .  3 x 3      x  1  x 1     2  2 Vậy S  1 2log 2. 2 3 Chọn C. x x
Ví dụ 5. Phương trình 3 5  3 5 3.2x    
có hai nghiệm x ; x . Giá 1 2 trị biểu thức 2 2
A  x  x bằng bao nhiêu? 1 2 A. 9. B. 13. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải Ta có 1   3  5 3  5 3  5  3 5  1    
Nhận xét 3 53 5  4  . 1     . 3 5 3 5    2 2 2  2    2  2    x x 2x x  3 5   3 5   3 5   3 5  Chia 2 vế cho 2x đưa về Do đó:       3     3.  1  0  2   2   2   2         
phương trình bậc hai ẩn x x     3  5  3  5 3 5    là   .    2   2 2    x  1      .  x    x  1  3 5 3  5     2  2   Vậy A  2. Chọn D. a a
Ví dụ 6. Tổng tất cả các nghiệm thực 3.4x  3 10.2x x  3 x  0 là S  log , với là phân số tối 2 b b
giản. Giá trị của a  b bằng A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải
x     x      x 2 3.4 3 10 .2 3 0 3. 2  3 10.2x x x x  3  x  0
Đặt 2x  t t  0, phương trình trở thành 2
3t  3x 10t  3  x  0
Ta xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn là 2x t  và tham số x. TOANMATH.com Trang 6  1  x 1 t  2 
Giải phương trình theo tham số x ta được  3   3   t  3  x 2x  3 x     *
Giải phương trình (*), ta có: 2x  x  3  0 .
Đặt    2x   3, '   2x f x x f x ln 2 1  0, x
   nên phương trình f x  0 có tối đa một nghiệm. Mà f  
1  0 nên phương trình f  x  0 có nghiệm duy nhất x  1 . 1 1 2
Tóm lại phương trình có nghiệm x  log ; x  1 nên S  log 1  log . 1 2 2 3 2 2 3 3
Do đó a  2,b  3 suy ra a  b  5. Chọn D.
Bài toán 3. Lấy logarit hai vế Phương pháp giải
Cho 0  a  1và x, y  0 ta có x  y  log x  log y a a 0  a  1,b  0  Phương trình f x a  b   f   x .  log b a  Phương trình f x gx f x g x a  b  log a  log b  f x  g x b a a    .loga hoặc f  x g x log a  log b  f x a  g x b b  .logb  . Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 2 7x .3x  1. Tìm S. A. S  log 3. B. S  log 7. C. S  log 3. D. S  log 2. 7 3 2 3 Hướng dẫn giải Ta có: Lấy logarit cơ số 3 2 7x .3x  1  log  2 7x .3x  2
 log 1  log 7x  log 3x  0 hoặc cơ số 7 hai vế. 3 3 3 3 x  0 2 x .log 7 x 0 x x log 7 1 0         1 . 3  3  x   log 3 7  log 7  3
Vậy tổng các nghiệm là S  log 3. 7 Chọn A. 2 x 1 
Ví dụ 2. Phương trình 3 .x5 x  15 có một nghiệm dạng x   log b , với a, b a
là các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Giá trị của P  a  2b bằng bao nhiêu? TOANMATH.com Trang 7 A. P  8. B. P  5. C. P  13. D. P  3. Hướng dẫn giải 2x 1  2x 1  x x 1  x 1    x 3 .5 x Ta có: x 1  x 1 3 .5 x  15 
 1  3 .5 x 1  log 3  .5 x   0 3 3.5   x 1    x x 1 1
 log 3  log 5 x  0  x 1 .log 5  0 3 3 3 x       x   1 x 1 1 . 1 .log 5  0  .  3   x   x   log 5  3
Vậy a  3,b  5 suy ra a  2b  13. Chọn C.
Bài toán 4. Đặt nhân tử chung Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 2.11x 253x 23x    2 là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Ta có: 2.11x 253x 23x 2 2.11x 11 .x23x 23x        2  0 211x 1 23x 11x      1  0 2 23x11x     1  0 11x 
1  0 (vì 2  3x  0, x   )  x  0. Chọn A. Ví dụ 2. Phương trình 2 2 x  x x x 2 2  4.2
 2 x  4  0 có số nghiệm nguyên dương là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 2 2 x  x x x 2 x x  x 2 x x x 2 2  4.2  2  4  0  2 .2  4.2  2 x  4  0 2 x x 
 x   x      x   2 2 2 2 2 . 2 4 2 4 0 2 4 2x x   1  0 2  2 x  4  2x  2  x 1      . 2 2  2x x 1 x  x  0  x  0
Vậy phương trình có một nghiệm nguyên dương. Chọn B.
Bài toán 5. Phương pháp hàm số TOANMATH.com Trang 8 Phương pháp giải
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Tính chất 1. Nếu hàm số y  f  x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên a;b thì có tối đa một
nghiệm của phương trình f  x  k trên a;b và f u  f v  u  v, u  ,v  ; a b.
Tính chất 2. Nếu hàm số y  f  x liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến); hàm số y  g  x
liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f  x  g  x không nhiều hơn một.
Tính chất 3. Nếu hàm số y  f  x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì bất phương trình
f u  f v  u  v (hoặc u  v ), u  ,v  . D Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Phương trình 3x  5  2x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải Ta có: 3x  5  2  3x x  2x  5  0 Đặt    3x f x
 2x  5, ta có    3x f x ln 3  2  0, x
  nên phương trình
f  x  0 có tối đa một nghiệm. Mà f  
1  0 nên phương trình f  x  0 có nghiệm duy nhất là x  1.
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm. Chọn C.
Ví dụ 2. Phương trình 2x  5x  2  5x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải
Ta có: 2x  5x  2  5  5x  2x x  5x  2  0 Đặt    5x  2x f x
 5x  2, ta có    5 .xln 5 2x f x ln 2  5
Xét    0  5x.ln 5  2x f x ln 2  5  0 Ta có f  x x 2 x 2
 5 .ln 5  2 ln 2  0, x
   nên phương trình f x  0 có tối đa một nghiệm.
Vì lim f  x  5 và lim f  x   nên phương trình f  x  0 có duy x x
nhất một nghiệm x  x . 0
Do đó, phương trình f  x  0 có tối đa hai nghiệm. TOANMATH.com Trang 9  f   1  0 Mà 
nên phương trình có hai nghiệm x  0 hoặc x  1.  f  0  0 Chọn D.
Ví dụ 3. Tổng các nghiệm của phương trình 3 2 23x x 10 x 3 2 2 .2  2  23x  10x  x
gần bằng số nào dưới đây? A. 0,35. B. 0,40. C. 0,50. D. 0,45. Hướng dẫn giải Ta có 3 2 3 2 23x x 10x 3 2 23x x 3 10 x 2 2 .2  2  23x 10x  x  2  23x  x  2 10x Đặt    2t f t
 t, ta có    2t f t .ln 2 1  0,t  .   x  0 Mà f  3 x  x  f  2 23 10x  nên 3 2 23x x 10x     . 5  2  x   23 10
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là . 23 Chọn B.
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 3 3  27 3  27.2x  2x m m có nghiệm thực? A. 6. B. 4. C. Vô số. D. Không tồn tại m. Hướng dẫn giải Ta có 3 3 x x 3 x 3
3  27 3  27.2  2  27 3  27.2  2 x m m m  3 . m   1
Đặt 2x  u, điều kiện: u  0 và 3 x 3
3m  27.2  v  v  3m  27. . u 2 (1) trở thành 3 u  27v  3 . m 3 Từ (3) và (2) suy ra 3 3 u  v  v  u  u  v  2 2 27 27
. u  uv  v  27  0  u  . v 2 2  1  3v Do 2 2
u  uv  v  4  u  v   27  0, u  ,v  ,   nên  2  4 3 u  27u 3 3m  27u  u  m  , với u  0. 3 3 u  27u Xét hàm số f u  với u  0. 3 1 Ta có f u   3
3u  27; f u  0  u  3 do u  0. 3 TOANMATH.com Trang 10 Suy ra min f u  5
 4. Do đó có vô số giá trị nguyên của m để phương trình 0; có nghiệm thực. Chọn C.
Bài toán 6. Phương trình chứa tham số Phương pháp giải
Ví dụ 1. Cho phương trình x x 1 4 . m 2    2m  0.
Biết rằng khi m  m thì phương trình có hai 0
nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x  x  3. Mệnh 1 2 1 2
đề nào sau đây là đúng? A. m là số nguyên âm. 0 B. m là số nguyên tố. 0 C. m là số lẻ. 0
D. m là số chính phương. 0 Hướng dẫn giải Bước 1. Đặt x
t  a t  0, chuyển phương trình Ta có:
ban đầu về phương trình ẩn t. x x      x 2 1 4 .2 2 0. 2  2 .2x m m m  2m  0   1 Đặt  2x t
,t  0, phương trình thành 2
t  2mt  2m  0 2.
Bước 2. Sử dụng định lý Vi-ét về điều kiện có Ta thấy rằng ứng với một giá trị t  0 ta tìm được
nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải một nghiệm x nên để phương trình có hai nghiệm quyết.
x , x thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 1 2 t  t  0 đồng thời 2 1  1 x 2 x 3 x  x  3  2  2  t .t  8. 1 2 1 2
Từ đó, ta có điều kiện 2   0 4m 8m  0   S  0   2m  0  m  4. P 8   2m  8  
Vậy m  4 là một số chính phương. 0 Chọn D. Ví dụ 2. Tìm m để phương trình
Bài toán: Tìm tham số m để phương trình có TOANMATH.com Trang 11
nghiệm thuộc  x ; x ta giải như sau:
9x  2.3x  3  m  0 có nghiệm thuộc 0;. 1 2  Bước 1. Đặt x t  a ,t  0
Đặt 3x  t,t  0. Vì x 0; nên t 1;.
vì  ;    1x 2 ; x x x x t a a . 1 2 
Bước 2. Chuyển về phương trình ẩn t, cô lập m Phương trình trở thành:
chuyển về dạng f t   m 2 2
t  2t  3  m  0  m  t  2t  3.
Bước 3. Xét hàm f t : tìm đạo hàm, lập bảng Xét hàm số f t 2
 t  2t  3 trên khoảng 1;.
biến thiên và đưa ra kết luận.
Có f t  2t  2  0  t 1. Ta có bảng biến thiên t 1  f t  +  f t  2
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy m  2 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4x  .2x m
 2m  5  0 có hai nghiệm trái dấu? A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải Ta có x x       x 2 4 .2 2 5 0 2  .2x m m m  2m  5  0 Đặt  2x t
,t  0, phương trình thành 2
t  mt  2m  5  0 2. Đặt f t 2  t  mt  2m  5
Nhận xét rằng với một giá trị t  0 ta tìm được một nghiệm x nên để phương
trình có hai nghiệm x  0  x thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 1 2
t  t  0 đồng thời t  1  t (vì 1x 0 2 2 2 2x   ). Từ đó, ta có: 2 1 1 2          m    m   2 2 m 8m 20 0 0 4 2 5  0   5  P  0  2m  5  0  m  5      2   m  4. S  0 m  0 2      f t     m  m   m 0 1. 0 1. 1 2 5  0       m  4
Vậy chỉ có một giá trị nguyên của tham số m thỏa đề. Chọn C. TOANMATH.com Trang 12
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 2x  3  4x m
1* có nghiệm duy nhất? A. 3. B. Vô số. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải t  3 Đặt  2x t
,t  0, phương trình * 2
 t  3  m t 1  m    1 . 2 t 1 t  3 Xét hàm số f t 
xác định trên tập D  0;. 2 t 1 1 3t Ta có f t   . Cho f t 1
 0  1 3t  0  t  . 2 t   2 1 t 1 3 Bảng biến thiên 1 x  0  3 y + 0  10 y 3 1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 1  m  3 hoặc m  10 phương trình có
nghiệm duy nhất nên có hai giá trị nguyên của tham số m. Chọn D.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình x 1  x 1 2.4 5.2    m  0,  * có nghiệm? A. 3. B. 0. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải 1 Đặt x 1 t 2  
, điều kiện t  vì x 1  1  . 2 Khi đó   2 *  2t  5t   . m 1  Xét hàm số 2 y  2t  5t trên ;  .   2  5
Ta có y  4t  5. Cho y  0  4t  5  0  t  . 4 1 5 x   2 4 y + 0  TOANMATH.com Trang 13 25 8 y 2  25
Do đó phương trình có nghiệm khi m  . 8 Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Giá trị của tham số k để hai phương trình 3x  30  x  
1 và x  k  02 có nghiệm chung là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 2: Phương trình 3x9x4 3
 81có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x x
Câu 3: Phương trình  6 35   6 35  12 có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 4: Phương trình x2
2 .5x  40000 có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 5: Phương trình x2 3
 666661 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 6: Phương trình 4x 10.2x 
16  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 7: Cho phương trình 2x4x5 3
 9.Tổng các lập phương các nghiệm thực của phương trình là A. 28. B. 27. C. 26. D. 25.
Câu 8: Cho phương trình 2x3x8 2 x 1 3 9  
, khi đó tập nghiệm của phương trình là
5 61 5 61 A. S  2;  5 . B. S   ; .  2 2   5 61 5  61 C. S   ; . D. S  2;  5 .  2 2   x 1  x  1 
Câu 9: Phương trình 3  9.  4  0   có bao nhiêu nghiệm âm?  3  A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. 28 x4 Câu 10: Cho phương trình 2 3 x 1 2 16  
.Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên.
B. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ. TOANMATH.com Trang 14
D. Phương trình vô nghiệm. 1x Câu 11: Phương trình 2 2 8 x 8 x   5 2 .5
0,001. 10  có tổng các nghiệm là A. 7. B. -7. C. 5. D. -5.
Câu 12: Phương trình 9x 5.3x   6  0 có nghiệm là A. x  1, x  log 3. B. x  1  , x  log 2. C. x  1, x  log 2. D. x  1  , x   log 2. 2 3 3 3 Câu 13: Cho phương trình x x 1 4.4 9.2  
 8  0. Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó, 1 2 tích x .x bằng 1 2 A. -1. B. 2. C. -2. D. 1. Câu 14: Cho phương trình x 1
4  4 x  3. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2 4 x 3.4x   4  0.
B. Phương trình có một nghiệm.
C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.
D. Phương trình vô nghiệm.
Câu 15: Nghiệm của phương trình x x 1  x x 1 2 2 3 3     là 3 2 A. x  log . B. x  1. C. x  0. D. x  log . 3 4 4 3 2 3
Câu 16: Nghiệm của phương trình 6.4x 13.6x 6.9x    0 là 2 3 A. x 0;  1 . B. x   ; . C. x  1  ;  0 . D. x  1  ;  1 . 3 2
Câu 17: Nghiệm của phương trình x x x 1 12.3 3.15 5     20 là A. x  log 3 1. B. x  log 5. C. x  log 5 1. D. x  log 5 1. 5 3 3 3
Câu 18: Phương trình 9x 5.3x 
 6  0 có tổng các nghiệm là 2 3 A. log 6. B. log . C. log . D.  log 6. 3 3 3 3 2 3 Câu 19: Phương trình x 1
5  25 x  6 có tích các nghiệm là 1 21  1 21  1 21  A. log  . B. log  . C. 5. D. 5log  . 5  2  5   5     2   2   x x
Câu 20: Phương trình 7  4 3  2  3  6 có nghiệm là A. x  log 2. B. x  log 3. C. x  log 2  3 . D. x  1. 2   2 3 2
Câu 21: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 2 x 3x2 x 6 x5 2 x 3x7 4  4  4 1. A. x 5; 1  ;1;  2 . B. x 5; 1  ;1;  3 . C. x  5  ; 1  ;1;  2 . D. x 5; 1  ;1;  2 . x x x
Câu 22: Phương trình  3  2   3  2   10 có bao nhiêu nghiệm thực? TOANMATH.com Trang 15 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 23: Cho phương trình 2 2 cos x sin 2 4.2 x 
 6. Phương trình có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 2. C. 4. D. Vô số nghiệm. Câu 24: Phương trình x 2 x 1 . x 2 x 2 2    
 3x có tổng các nghiệm bằng bao nhiêu? A. 0. B. 4. C. 3. D. 2. x x x
Câu 25: Phương trình  5  2   3  2   7  có bao nhiêu nghiệm? A. 4. B. 0. C. 3. D. 2. Câu 26: Phương trình 2 3 x  2 3x   1  4.3x x
 5  0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Câu 27: Phương trình 2 x3 x 5x6 2  3
có hai nghiệm x , x trong đó x  x hãy chọn phát biểu đúng? 1 2 1 2
A. 3x  2x  log 54. B. 2x  3x  log 8. C. 2x  3x  log 54. D. 3x  2x  log 8. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Câu 28: Phương trình 2 2 sin x cos 4
 4 x  2 2 sin x  cos x có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 0;1  5 ? A. 3. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 29: m là tham số thay đổi sao cho phương trình 2 x x 1  m 1 9 4.3 27   
có hai nghiệm phân biệt. Tổng
hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 1. B. -3. C. 2. D. -4. x x
Câu 30: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2  3  2  3  m có hai nghiệm phân biệt? A. m  2. B. m  2. C. m  2. D. m  2. 2 x   2x 1 2 2 2 x 2 4 
Câu 31: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2 x 3 2  2  2  2 1. Khi đó, tổng hai 1 2 nghiệm bằng? A. -2. B. 2. C. 0. D. 1. 2 x2m
Câu 32: Tìm tập nghiệm S của phương trình x 1
3  .5 xm  15, m là tham số khác 2. A. S  2;mlog 5 . B. S  2;m  log 5 . C. S    2 . D. S  2;m  log 5 . 3  3  3  x  x 3
Câu 33: Biết rằng phương trình 2 1 1 3 .25 
có đúng hai nghiệm x , x . Tính giá trị của 25 1 2 1 x 2 3 3x P   . 26 26 A. P  . B. P  26. C. P  26. D. P  . 5 25 Câu 34: Phương trình 2 x x  x   x  2 1 2 2 1 có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. TOANMATH.com Trang 16
Câu 35: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 sin x cos 2017
 2017 x  cos 2x trên đoạn 0;.   3 A. T  .  B. T  . C. T  . D. T  . 4 2 4
Câu 36: Biết rằng phương trình 2x 1   2x  x 1 3 1 3   
 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng lập phương
hai nghiệm của phương trình bằng A. 2. B. 0. C. 8. D. 8  .
Câu 37: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x x 1 9 2.3  
 m  0 có hai nghiệm thực x , x 1 2 thỏa mãn x  x  1. 1 2 A. m  6. B. m  3. C. m  3. D. m  1.
Câu 38: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x x 1 4 . m 2  
 2m  0 có hai nghiệm thực x , x 1 2 thỏa mãn x  x  2. 1 2 A. m  4. B. m  3. C. m  2. D. m  1.
Câu 39: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2 x 1 2017   2 .2017x m  m  0 có hai nghiệm
thực x , x thỏa mãn x  x  1. 1 2 1 2 A. m  0. B. m  3. C. m  2. D. m  1.
Câu 40: Cho phương trình    1 16x  22  3 4x m m
 6m  5  0 với m là tham số thực. Tập các giá trị
của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng  ; a b. Tính P  a . b 3 5 A. P  4. B. P  4. C. P   . D. P  . 2 6
Câu 41: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 9x     1 3x m
 2m  0 có nghiệm duy nhất. A. m  5  2 6. B. m  0; m  5  2 6. C. m  0. D. m  0;m  5  2 6. Câu 42: Cho phương trình 2 2 x 2x 1  x 2x2 4  . m 2
 3m  2  0 với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m
để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. A. m  1. B. m  1; m  2. C. m  2. D. m  2. Câu 43: Cho phương trình 2 2 x 5x6 1x 65 .2  2  2.2 x m
 m với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá
trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 44: Cho phương trình 2  x     2 1 1 1 1 25 2 5 x m
 2m 1  0 với m là tham số thực. Số nguyên dương
m lớn nhất để phương trình có nghiệm là A. m  20. B. m  35. C. m  30. D. m  25.
Dạng 2: Bất phương trình mũ TOANMATH.com Trang 17
Bài toán 1. Biến đổi về dạng bất phương trình cơ bản Ví dụ mẫu x
Ví dụ 1. Giải bất phương trình    1 3 1  4  2 3 Hướng dẫn giải
Ta thấy a  3 10;  1 nên ta có: x 1  log
4  2 3  x 1  2  x  1. 3 1   
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  ;   1 Chọn D.
Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình 2x 1  2x2 2x3 2  2  2  448 là  9  9   9   9  A.  ;  .  B. ;  .   C.  ;   .  D.  ; .   2   2  2     2  Hướng dẫn giải 1 x 1 x 1 x 7 Ta có: 2 2 2 2 x 2 .2 .2 .2 448 .2 448 2 x        512 2 4 8 8 9
 2x  log 512  2x  9  x  . 2 2 Chọn B.
Ví dụ 3. Tập nghiệm của bất phương trình x x2 x4 x x2 x4 2  2  2  3  3  3 là  13  13  A. T    ;  log . B. T  log ;  . 2 3 2  3 3   3   13   13  C. T    ;  log . D. T  log ;  . 2 3 2  3 3   3  Hướng dẫn giải 2 91  2 x x x x x x x x x x 13
Ta có: 2  4.2 16.2  3  9.3  81.3  21.2  91.3     . x   3 21  3  3 2 13
Vì cơ số a   0; 
1 nên bất phương trình thành x  log . 3 2 3 3 Chọn A. 2 x x
Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình  x 1 5 2     5  2 là A.  ;    1 0;  1 . B. 1;0. C.  ;    1 0;.
D. 1;01;. Hướng dẫn giải 
Ta thấy             1 5 2 5 2 1 5 2 5 2
nên bất phương trình thành TOANMATH.com Trang 18  2x  x x 1 5 2     5  2 .   1
Vì cơ số a  5  2 0;  1 nên 2   2x 2x x  x 1  x  0 1   x   x  0   0  . x 1 x 1 x 1   x  1 Chọn D.
Bài toán 2. Bất phương trình theo một hàm số mũ Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Bất phương trình 5.4x 2.25x 7.10x  
 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Hướng dẫn giải Ta có: 5.4x 2.25x 7.10x    0 2 25 10  5 x   5 x x x   5  2.  7.  0  2.  7.  5  0     4x 4x  2   2   5 x  5  1    0  x  1.    2  2
Vậy bất phương trình có hai nghiệm nguyên. Chọn A.
Ví dụ 2. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 2x x  x 2x 1 4 5.4 4     0 là A. 2. B. 4. C. 0. D. 1. Hướng dẫn giải 2 2 Ta có: 2 2 2x x x 2 x 1 4 5.4 4     0   2 4x  2
 5.4x .4x  4.4x   0 2   2 4x x  2  5.4x x  4  0 2 x x 2  4 1 x  x  0     2 2 4x x   4 x  x  2  x  0  x 1   . x  1    x  2
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2. Chọn A. x x 1 4  3.2   8
Ví dụ 3. Bất phương trình
 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên âm? x 1 2  1 A. 2. B. -1. C. 0. D. 1. TOANMATH.com Trang 19 Hướng dẫn giải    2x2 1  6.2x x x  8 4 3.2 8 Ta có:  0   0 x 1 2  1 2.2x 1 2 t  6t  8
Lập bảng xét dấu của f t   , 2x  t. 2t 1 1 x  2 4  2 VT  + 0  0 +
Từ bảng xét dấu ta có:  2  2x x x  4 2  6.2  8  x  2 0     . x 1 2.2 1 x    2  2  1   x  1 2
Vậy bất phương trình không có nghiệm nguyên âm. Chọn C. 1 1
Ví dụ 5. Bất phương trình 
có tập nghiệm dạng S  a;b a; với a  0 . Giá trị x 1 5  1 5  5x tổng a  b là A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Hướng dẫn giải 1 1 1 1 5  5x  5.5x 1 Ta có:     0   0 x 1 5  1 5  5x 5.5x 1 5  5x 5.5x  1.55x 5  5x  5.5x 1 6  6.5x      x    x   0  x    x   0 5.5 1 . 5 5 5.5 1 . 5 5
Đưa vế trái về dạng một ẩn chứa 5x sau đó xét dấu 2 t  6.t
Lập bảng xét dấu f t  x    t     t ,5 t. 5. 1 . 5 1 x  1 5  5 VT  + 0  +  5x  x 5 6  6.5  x 1 Từ bảng xét dấu ta có       5.5x   1 .5  5x  0 . 1
  5x 1 1 x  0 5
Vậy a  1,b  0  a  b  1. Chọn D.
Bài toán 3. Lấy logarit hai vế TOANMATH.com Trang 20 Phương pháp giải
Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình
Cho 0  a  1 và x, y  0 ta có: 2 3x 2x 1 1 1           là
+ Nếu 0  a  1 thì x  y  log x  log y.  3   3  a a
+ Nếu a  1 thì x  y  log x  log . y A. S  1;. a a  1  B. S  ;  1;   .  3   1  C. S   ;1 .    3   1  D. S   ;   .    3  Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 3x 2x 1  3x 2x 1 1 1 1 1            log  log     1   1    3   3   3   3  3 3 2  3x  2x 1  0  1 x     3.   x  1  1  Vậy S  ;  1;   .  3  Chọn B. Ví dụ mẫu 2 3  1  x 
Ví dụ 1. Tập nghiệm của bất phương trình 2x 1  3    là  3   1  A. S  1;. B. S  ;  1;   .  3   1   1  C. S   ;1 .   D. S   ;   .    3   3  Hướng dẫn giải 2 3  1  x  Ta có 2 2 2x 1  3x 2 x 1  3x 2x 1  3  3  3  log 3  log 3    3 3  3  2  3x  2x 1 1    x  1. 3 TOANMATH.com Trang 21  1  Vậy S   ;1 .    3  Chọn C. 2  x 5x x 1 1 1     
Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình      là  2   4  A. S   ;   1  2;. B. S  ;  1 . C. S   \1;  2 . D. S  2;. Hướng dẫn giải 2 2  x 5x x 1  x 5x 2 x2  1   1   1   1  Ta có             2   4   2   2  2  x 5x 2x2  1   1   log  log 1   1    2   2  2 2 2  x  5x  2x  2 2  x  3x  2  0 2  x  3x  2  0 x  2  .   x  1 Vậy S   ;   1  2;. Chọn A. x
Ví dụ 3. Nghiệm của bất phương trình  2 2 8  36.3 x x  là  3   x  2 log 6  x  2  A. .  B. 2 .  x  4 x  4  4   x  2  log 18  x  2  C. .  D. 3 .  x  1 x  4 Hướng dẫn giải x x4 x4 Ta có x2 2 x x2 4x x2 4 8  36.3  2  3  log 2  log 3 x 3 3 x  4  log 2  
log 2  4  x   x  4 3 1  0 3   x  2  x  2  x  4  0 x  4   x  4  0 x  4     log 2 log 2  2  x 3 3  1  0    0  x 2    x  2 TOANMATH.com Trang 22 x  4 x  4 x  4     x  4  log 18  x  3   0  log 18  x  2    3  x  2 x  4  .   log 18  x  2   3 Chọn D. 2x
Ví dụ 4. Bất phương trình x x 1
2 .5   10 có tập nghiệm là  ;  b
  a;a. Khi đó b  a bằng A. log 5. B. 2 log . C. 1. D. 2  log 5. 2 5 2 Hướng dẫn giải 2 x 2x x x 1  x 1 x 1     x 2 .5 Ta có  x 1   x 1 x 1 x 1  x 1 2 .5 10  1  2 .5
 1  log 2 .5    log 1 5 5 2.5   x 1  1    x   1 .log 2   0  x 1 . log 2   0 5    5  x 1  x 1 x   1 .x.log 2  log 2 1 5 5    0. x 1 Bảng xét dấu: x   log 10 -1 1  2 VT  +  0 + x   1 .x.log 2  log 2 1 1  x  1 5 5  Từ bảng xét dấu ta có  0  . x 1   x  log 10  2 a 1 Do đó   b  a  log 5. 2 b  log 10  2 Chọn A.
Bài toán 4. Đặt nhân tử chung Phương pháp giải
Phân tích để xuất hiện nhân tử và đặt nhân tử chung. Ta có . A B  . A C  AB  C
Với bài phức tạp ta có thể đặt ẩn phụ để giải. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tập nghiệm S của bất phương trình 8.3x 3.2x 24 6x   
có dạng S  a;b. Giá trị tổng a  b bằng A. 4. B. 2  2 . C. 1 3. D. 0. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 23 Ta có 8.3x 3.2x 24 6x 8.3x 3.2x 2 .x3x        24  0 3x 8 2x  3.2x 8 0 2x 83 3x           0 2x  8 x  3  x x   x   x   3  3   1 2 8 3 3  0    1  x  3.   2x  8 x  3      x  x 1 3 3
Vậy a  1,b  3 nên a  b  4 Chọn A.
Ví dụ 2. Nghiệm của bất phương trình 2 x 1 5  5  5  x  5 x là A. 0  x  1. B. 0  x  1. C. 0  x  1. D. 0  x  1. Hướng dẫn giải Ta có x    x  x   x 2 2 1 5 5 5 5 5  6.5 x  5  0  x2 5 5 x 5.5 x     5  0 5 x 55 x     1  0 1 5 x    5  0  x  1. Chọn B.
Bài toán 5. Phương pháp hàm số Phương pháp giải
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Tính chất:
+ Nếu hàm số y  f  x luôn đồng biến trên D thì bất phương trình:
f u  f v  u  v, u  ,v  . D
+ Nếu hàm số y  f  x luôn nghịch biến trên D thì bất phương trình:
f u  f v  u  v, u  ,v  . D Ví dụ mẫu   a
Ví dụ 1. Bất phương trình x x x 1  x 1 8 2 27 3    
có tập nghiệm là S    ;
 log 3, với là phân số a  b b 
tối giản. Giá trị của . a b bằng A. 2. B. 3. C. 6. D. 12. TOANMATH.com Trang 24 Hướng dẫn giải 3 3 Ta có x x x 1  x 1   x x  x 1 x 1 8 2 27 3 2 2 3 3         Đặt f t  3
 t  t, ta có f t 2
 3t 1  0,t   nên hàm số đồng biến trên  . x x x x x x  2 x  Mà f 2   f  1 3  1  2  3  2  3.3   3    3  2 Vì 0; 
1 nên x  log 3 từ đó a  2,b  3 nên . a b  6. 3 2 3 Chọn C.
Ví dụ 2. Tập nghiệm S của bất phương trình 4 2 x  x 1  0 A. S  ;  3 . B. S  3;. C. S   ;  3. D. S  3;. Hướng dẫn giải Xét hàm số   4  2 x f x  x 1 có   4  2 x f x  ln 2 1  0, x   . 
Do đó hàm số f  x nghịch biến trên . 
Mà ta có f 3  0 nên: f  x  0  f  x  f 3  x  3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;   3 . Chọn A.
Ví dụ 3. Cho phương trình 2 2 2x 1  5x 1  0 x 1  0x50 2 2  2
 x  25x 150  0. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải 2 u   2x 15x 100 Đặt 2 
 u  v  x  25x 150 2 v  x 10x  50
Thay vào bất phương trình ta được: 2u  2v    0  2u   2v u v u  . v Xét hàm    2t f t  t ta có    2t f t ln 2 1  0, t
  , suy ra hàm số f t đồng biến trên . 
Mà f u  f v nên u  . v Do đó: 2 2 2
2x 15x 100  x 10x  50  x  25x 150  0  10  x  15.
Vì x   nên x  10;11;12;13;14;1  5 . Chọn D.
Ví dụ 4. Cho bất phương trình  3 3 36 2x 3x  9.8x 4.27x   
. Nghiệm của bất phương trình là A. x  2  ;. B. x  2  ; \  1 . C. x 1;. D. x  ;  2. TOANMATH.com Trang 25 Hướng dẫn giải x x 36 3 3 2x  3x  3 3 x x x x 8 27 3 3 x x 3x2 3x2
 9.8  4.27  2  3    2  3  2  3 4 9 3 u   x Đặt  khi đó 3 3 x x 3x2 3x2 2  3  2  3  2u  3u  2v  3v v  3x  2 Xét hàm   2t 3t f t 
 trên ,    2t ln 2  3t f t ln 3  0,x  .
 Do đó hàm số f t đồng biến trên . 
Mà f u  f v  u  v  x  x   x  x     x  2 3 3 3 2 3 2 0 1  x  2  0 x  2   
 x 2; \  1 x  1 Chọn B.
Ví dụ 5. Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 2 2 sin x cos x cos 4  5  .7 x m có a  a nghiệm là m  ;  
 với a, b là các số nguyên dương và tối giản. Tổng S  a  b là b  b A. S  13. B. S  15. C. S  9. D. S  11. Hướng dẫn giải 2 2 cos x cos x x x  1   5 x  Ta có: 2 2 2 sin cos cos 4  5  . m 7  4   . m      28   7  2 2 cos x cos  1   5 x  Xét f  x  4      với x  .   28   7  2 cos  1 x  1      28  28 Do  nên f  x 4 5   hay f  x 6  . 2 cos  5 x  5 28 7 7       7  7
Dấu đẳng thức xảy ra khi 2
cos x  1  sin x  0  x  k .  Vậy f  x 6 min
 . Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m  min f x  7  6  6  m  hay m  ;   S  13.   7 7  Chọn A.
Bài toán 6. Bất phương trình chứa tham số Phương pháp giải  Đặt x t  a t  0 TOANMATH.com Trang 26
+ Chuyển về bất phương trình ẩn t.
+ Sử dụng định lý Vi-ét và điều kiện có nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải quyết.
 Khi gặp dạng: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thuộc  x ; x ta giải như sau: 1 2  + Đặt x
t  a ,t  0, x   x ; x   t  1x x2 a ; a 1 2 
+ Chuyển về phương trình ẩn t, cô lập m. Chuyển về dạng f t   ; m f t  , m
+ Xét hàm f t tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận. Chú ý:
Hàm f  x liên tục trên a,b . Xét phương trình f  x  m
Tương tự f  x  m thì: Có nghiệm x a,b min f x  m max f  x  m a,b a,b max f  x  m min f x  m Có min/max tại x  a,b 0   a,b a,b
Đúng với mợi x a,b
f   x kh ông đổi dấu max f  x  m min f x  m a,b a,b
f  x  m thì mọi trường hợp max f  x  m
f  x  m thì mọi trường hợp min f  x  m a,b a,b Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 9x  .3x m  m  3  0 nghiệm đúng x  ? A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải Đặt  3x t
,t  0, bất phương trình thành: 2 2
t  mt  m    mt  m  t   mt   2 3 0 3 1  t  3 2 t  3
Vì t  0 nên t 1  0 do đó ta có m  . t 1 2 t  3 2 t  2t  3 Xét hàm số f t  
trên khoảng 0;, ta có f t  . t 1 t  2 1 t  Cho f t 1  0  .  t  3  Bảng biến thiên: t 0 1  f t   0 + TOANMATH.com Trang 27  3 f t  2
Dựa vào bảng biến thiên, ta có m  2 thì bất phương trình nghiệm đúng x  . 
Do đó có một giá trị nguyên dương của tham số m thỏa đề. Chọn C.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình .9x  2   1 .6x  .4x m m m
 0 nghiệm đúng với mọi x 0;  1 ? A. 8. B. Vô số. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải x x x  9 x   3 x  Ta có . m 9  2m   1 .6  . m 4  0  . m    2m  1.  m  0.    4   2   3 x  3
Đặt t    vì x0;  1 nên 1  t  .  2  2 t
Khi đó bất phương trình trở thành 2 . m t  2m   1 .t m  0  m  . t  2 1 t 3 Đặt f t   với 1  t  . t  2 1 2 t  1 Ta có f t  , f  t  0  t  1  . 3   t  1 Bảng biến thiên  3 1 1 t 2 f t  0    f t  6
Dựa vào bảng biến thiên ta có m  lim f t  6 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 0;  1 . 3 t 2 Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Nghiệm của bất phương trình 2x 1  3 3  3 x là 3 2 2 2 A. x  . B. x  . C. x   . D. x  . 2 3 3 3 TOANMATH.com Trang 28 x
Câu 2: Nghiệm của bất phương trình   2 x3 2  2 là A. 1;. B.  ;  0. C.  ;  8. D. 6;. 2 x 2 x 1  x5  2   5 
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình      là  5   2  x  4  x  1  A. x  4. B. x  1. C. .  D. .  x  1 x  4 4 x 2  2   3 x 
Câu 4: Tập hợp các số x thỏa mãn      là  3   2   2  2  2   2 A.  ;  .  B.  ; .   C. ;  .   D.  ;  .  5     3  5  3   2 3x 2
Câu 5: Nghiệm của bất phương trình 3.9  729x x là x  4  A. 4  x  0. B. x  4. C. x  0. D. .  x  0  x  x 1
Câu 6: Nghiệm của bất phương trình 2 2 5 6 3  là 3x x  1 A. x  10. B. x  1. C. 1  x  10. D. .  x  10 2  2 x   2 x 
Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình      là  5   5  A. 1;2. B.  ;  2  1;. C. 1;. D. 1;2. 1 2x
Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình   0 là 2 x 2 x 2 2 A.  ;  0. B.  ;   1 . C. 2;. D. 0;2.
Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình x2 x 1 2 4   là A. 4;0. B. 2;  1 . C.  ;  4. D. 0;.
Câu 10: Nghiệm của bất phương trình 3x x 3x 1  x 1 2 .3 2 .3    288 là A. x  3. B. x  3. C. x  2. D. x  2.
Câu 11: Bất phương trình 2x 1  2x2 2x3 2  2  2  448 có nghiệm là 9 9 9 9 A. x  . B. x  . C. x   . D. x   . 2 2 2 2
Câu 12: Bất phương trình x2 x 1  x x2 2
 5  2  5 có nghiệm là  20   20   3   3  A. x  log . B. x  log . C. x  log . D. x  log . 5          3  2  3  5  20  2  20  2 5 2 5 TOANMATH.com Trang 29 2 x x
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình  x 1 5 2     5  2 là A.  ;    1 0;  1 . B. 1;0. C.  ;    1 0;.
D. 1;01;. 3x x 1 
Câu 14: Số nghiệm nguyên của bất phương trình   x 1    x3 10 3 10 3 là A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. x3 x 1 
Câu 15: Bất phương trình   x 1    x3 2 3 2 3 có nghiệm là x 1 A. .  B. x  1. C. x  3. D. 1  x  3. x  3 2 x x4
Câu 16: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình 2  3  7  4 3 bằng A. 7. B. 4. C. 5. D. 0.
Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình 4x 7.2x   8  0 là A.  ;   
1 8;. B. 0;4. C.  ;   3 . D. 3;.
Câu 18: Bất phương trình 9x 3x
  6  0 có tập nghiệm là A. 1;. B.  ;   1 . C. 1;  1 . D.  ;    1 .
Câu 19: Bất phương trình x x 1 4 2    3 có tập nghiệm là A. 1;3. B. 2;4. C. log 3;5 . D.  ;  log 3 . 2  2 
Câu 20: Tập nghiệm của bất phương trình 2x 1
3  10.3x  3  0 là A. 1;  1 . B. 1;0. C. 0;  1 . D. 1;  1 .
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình 2x 1
3   2.3x 1  0 trên tập số thực là A.  ;  0. B. 0;. C.  ;   1 . D. 1;. x
Câu 22: Cho bất phương trình 3x   3  0 . Tập nghiệm của bất phương trình là A.  ;  0. B. 0;  1 . C.  ;   1 . D. .  Câu 23: Đặt 5x t  thì bất phương trình 2x x2 5  3.5
 32  0 trở thành bất phương trình nào sau đây? A. 2 t  75t  32  0. B. 2 t  6t  32  0. C. 2 t  3t  32  0. D. 2 t 16t  32  0.
Câu 24: Bất phương trình x x 1  x x 1  1 4 5.2   16  0 có nghiệm là x 1 x 1 x 1 A. .  B. .  C. 1  x  3. D. .  2  x  3 x  2 x  2
Câu 25: Tập nghiệm của bất phương trình x  x2 3  3  8  0 là A.  ;  0. B. 0;. C.  ;   1 . D. 1;.
Câu 26: Bất phương trình x 3
5  5 x  20 có tập nghiệm là TOANMATH.com Trang 30 A.  ;  2. B.  ;   1 . C. 0;2. D. 2;.
Câu 27: Cho bất phương trình x 3
2  2 x  9. Tập nghiệm của bất phương trình là A.0;  3 . B. 0;2. C. 0;4. D. 0;  1 . 2 x 3 x    
Câu 28: Giải bất phương trình  2  1     ta được  3   2  2 A. x  log 2. B. x  log . C. x  log 2. D. x  log 2. 2 2 3 2 2 3 3 3 x 1 2
Câu 29: Tập nghiệm của bất phương trình 3 2 3   là 27x 3 1 A. 0;  1 . B. 1;2. C.  . D. 2;3. 3 4 x 1  22 x
Câu 30: Giải bất phương trình 2x 1  2x 1 2 2   1 ta được  1 x   1 1 A.  2 . B.   x  1. C. x  1. D. x   .  2 2 x  1
Câu 31: Cho bất phương trình 5.4x 2.25x 7.10x  
 0 . Tập nghiệm của bất phương trình là A. 1;2. B. 0;  1 . C. 2;  1 . D. 1;0.
Câu 32: Nghiệm của bất phương trình 8x 18x 2.27x    0 là A. x  0. B. x  0. C. x  1. D. x  1. x
Câu 33: Tập nghiệm của bất phương trình x 1  2 x 1  2 3  2 12  0 là A. 0;. B. 1;. C.  ;  0. D.  ;   1 .
Câu 34: Cho bất phương trình 5.4x 2.25x 7.10x  
 0. Tập nghiệm của bất phương trình là A. 1;2. B. 0;  1 . C. 2;  1 . D. 1;0.
Câu 35: Tập nghiệm của bất phương trình 3.4x 5.6x 2.9x    0 là  2   2  A.  ;  0. B. ;1 .   C. 0; .   D. 0;  1 .  3   3 
Câu 36: Bất phương trình x2 x2 2.5  5.2
 133. 10x có tập nghiệm là S   ; a b thì b  2a bằng A. 6. B. 10. C. 12. D. 16.
Câu 37: Bất phương trình 2 2 2  x 2x 1   x 2x 1   x 2 25  9  34.15 x có tập nghiệm là A. S   ;
 1 3 0;2 1   3;   . B. S  0;. C. S  2;. D. S  1 3;0.
Câu 38: Bất phương trình 64.9x 84.12x 27.16x    0 có nghiệm là TOANMATH.com Trang 31 9 3 x  1 A.  x  . B. 1  x  2. C. . D. Vô nghiệm. 16 4  x  2
Câu 39: Bất phương trình 5.4x 2.25x 7.10x    0 có nghiệm là A. 0  x  1. B. 1  x  2. C. 2  x  1. D. 1  x  0. x x
Câu 40: Nghiệm của bất phương trình 2  3  2  3 14 là x  1  x  2  A. 1  x  1. B. 2  x  2. C. .  D. .  x  1 x  2 2 2 2 xx 2xx
Câu 41: Giải bất phương trình        2 12 3 5 3 5  2 xx  0 ta được x  0  1  A. .  B. x  2. C. 0;  2 . D. ;1   2;   . x  2  2 2  1 1
Câu 42: Tổng của tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình  là x x 1 3  5 3  1 A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. x x 1 4  3.2   8
Câu 43: Nghiệm của bất phương trình  0 là x 1 2  1 1 1  x 1  1   x  1  x  1 x 1 A. .  B. .  C.  2 . D. .  x  2 x  2  1   x  2 x  4 1 1
Câu 44: Cho bất phương trình 
. Tìm tập nghiệm của bất phương trình. x 1 5  1 5  5x A. S   1  ;01;. B. S   1  ;01;. C. S   ;  0. D. S   ;  0.
Câu 45: Cho bất phương trình x x x 1  x 1 8 2 27 3    
. Tập nghiệm của bất phương trình là   A.  ;  log 3 . B.   ;  log 3. C. log 2; . D.  ;  0. 3  2  2  3 
Câu 46: Tập nghiệm của bất phương trình 2x3x2 1 3  5 x là A. 2  log 5;1 . B. 2  log 5;1 . 3  3  C.  ;
 2  log 5  1; . D.  ;
 2  log 5  1; . 3    3   
Câu 47: Tập nghiệm của bất phương trình 2 2x 1  2x 5x2 2  5 là  1   1 2  log 2  A. ;2  log 2 .  B. 5 ; . 5     2   2 2   1   1  C.  ;     2  log 2; . D.  ;      2  log 5;  . 2  5   2   2  TOANMATH.com Trang 32 2 4  1 x 
Câu 48: Số nghiệm nguyên của bất phương trình x2  3   là  2  A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 49: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x3 x 5 x6 2  3 A. 0;2. B.  ;  2. C. 2  log 2;3 . D. 0;. 3  Câu 50: Cho hàm số 2 4x.3x y 
, khẳng định nào sau đây sai? A. f  x 2
 3  x  2x log 2  1. B. f  x 2
 3  x  2x ln 2  ln 3. 3 C. f  x 2
 3  x log3  2x log 2  log 3. D. f  x 2
 3  x  x log 4  1. 3
Câu 51: Cho hàm số f  x 5 x x 1 5 .7  
. Khẳng định nào sau đây sai? A. f  x 5
1  x  x log 7  log 7  0. B. f  x 5
 1  x ln 5  x ln 7  ln 7  0. 5 5 C. f  x 5 1  x log 5  x  1  . D. f  x 4
 1  1 x log 7  log 7. 7 5 5 2x
Câu 52: Bất phương trình x x 1
2 .5   10 với x  1 có tập nghiệm là a;b . Khi đó b  a bằng A. 5  log . B. 2  log 5. C. 1. D. 2. 2 2
Câu 53: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 3x.5x  1 là A.  log 3;0 . B. log 5;0 . C. log 3;0 . D. log 5;0 . 3  5  3  5 
Câu 54: Tập nghiệm của bất phương trình 2x  1 x là A.  ;  0. B. .  C. 0;. D. . 
Câu 55: Tập nghiệm của bất phương trình x x 1 2 3   13 2x là A.  ;    1 . B.    2 ;e e ; . C. 1;. D.  ;   1 .
Câu 56: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 4 2 x  x 1  0. A. S   ;   1 . B. S  ;3. C.  ;   3 . D. 3;.  1 x 
Câu 57: Tập nghiệm của bất phương trình  x  4   là  3  A.  ;    1 . B. 1;. C. 1;. D.  ;   1 .
Câu 58: Tập nghiệm của bất phương trình 3x  5  2x là A. .  B.  ;   1 . C.  ;    1 . D. 1;.
Câu 59: Tập nghiệm của bất phương trình 4x 3x 5x   là A. .  B.  ;  2. C.  ;  0. D. 2;.
Câu 60: Nghiệm của bất phương trình 5x 3x 8x   là TOANMATH.com Trang 33 A. x  1. B. x  2. C. x  2. D. x  1. x
Câu 61: Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình x 2 2  3 1 là A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
Câu 62: Tập nghiệm của bất phương trình 3.2x 7.5x 49.10x    2 A.  ;    1 . B. 1;0. C.  ;   
1  0;. D. 1;. 2 3 x  3  2x
Câu 63: Cho bất phương trình
 0. Tập nghiệm của bất phương trình là 4x  2  1  1   1  A.  ;  .   B. ; 2 . C. 2;. D. ; 2 .   2  2    2   
Câu 64: Với giá trị nào của m thì bất phương trình 9x  2   1 3x m
 3  2m  0 nghiệm đúng với mọi x   ? 3 A. m  2. B. m   . 2 C. m 5 2 3; 5   2 3. D. không tồn tại m.
Câu 65: Tất cả các giá trị của m để bất phương trình 3  
1 12x  2  6x  3x m m  0 nghiệm đúng x  0 là  1   1  A. 2;. B.  ;  2. C.  ;   .   D. 2;  .    3   3 
Câu 66: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình 9x  .3x m
 m  3  0 nghiệm đúng với mọi x? A. m  2. B. m  2 hoặc m  6. C. m  2. D. 6  m  2.
Câu 67: Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình 2 2 2 sin x cos x sin 2  3  .3 x m có nghiệm? A. m  4. B. m  4. C. m  1. D. m  1.
Câu 68: Với điều kiện nào của tham số m thì bất phương trình 2x  7  2x  2  m có nghiệm? A. 0  m  3. B. 3  m  5. C. m  3. D. m  3.
III. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1. Phương trình mũ 1- B 2- C 3- B 4- A 5- B 6- D 7- A 8- A 9- C 10- B 11- C 12- C 13- C 14- D 15- A 16- D 17- D 18- A 19- B 20- A 21- A 22- A 23- D 24- D 25- B 26- A 27- D 28- A 29- B 30- B 31- C 32- D 33- A 34- A 35- A 36- B 37- C 38- C 39- D 40- A 41- D 42- D 43- C 44- D TOANMATH.com Trang 34
Dạng 2. Bất phương trình mũ 1- D 2- C 3- C 4- B 5- D 6- C 7- A 8- C 9- A 10- C 11- B 12- C 13- D 14- B 15- D 16- A 17- D 18- B 19- D 20- A 21- B 22- A 23- A 24- B 25- B 26- A 27- A 28- D 29- C 30- A 31- B 32- A 33- A 34- B 35- D 36- B 37- A 38- B 39- A 40- B 41- C 42- D 43- B 44- A 45- B 46- A 47- A 48- D 49- C 50- B 51- D 52- D 53- C 54- C 55- D 56- C 57- B 58- B 59- B 60- A 61- B 62- A 63- D 64- B 65- B 66- C 67- B 68- D TOANMATH.com Trang 35

Bài giảng phương trình mũ và bất phương trình mũ

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Toán 11: Một vài mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit - Sách Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực sách Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 19: Lôgarit sách Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit sách Kết Nối Tri Thức

Top 200 câu vận dụng cao đạo hàm ôn thi THPT môn Toán