lOMoARcPSD|45315597
ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP TÍCH PHÂN SUY RỘNG lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP III. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
1. Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa Ta gọi +∞ b I = f (x) Dx = LIM Ib = LIM f (x) Dx b→+∞ b→+∞ a a
là tích phân suy rộng loại một của hàm f (x) trên miền [a, +∞).
− Nếu I hữu hạn, ta nói TPSR hội tụ.
− Nếu I = +∞ hoặc I = −∞ hoặc không tồn tại I, ta nói TPSR phân kỳ. VD 1. Tính tích phân +∞ x Dx I = . x2 + 3 0 2 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP
VD 2. Tùy theo α, hãy xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân +∞ Dx I = xα ,α>0. 1 3 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP Giải. • Với α = 1 thì b å b→+∞ x b→+∞ Ç b 1 = b→+∞ ∞ I = LIM Dx = LIM LN x LIM LN b = + , 1 tức là I phân kỳ. • Nếu α = 1 thì b 1 α b 1 α x − b − 1 1 nếu α > 1, α−1 = I= LIM = − b + → ∞ 1 1 −α 1 1 − α +∞ nếu 0 < α < 1.
Vậy I hội tụ khi α > 1 và phân kì khi 0 < α ≤ 1. VD 3. Tính tích phân +∞ I = xe−x Dx. 0 4 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP
Giải. Dùng công thức tích phân từng phần ta được ï I = LIM 1 − b + 1ò = 1. b→+∞ eb
VD 4. Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân +∞ I = COS x Dx, a ∈ R. a
Giải. Với mọi b > a ta có b b
Ib = COS x Dx = SIN x = SIN b − SIN a. a a
Vì khi b → +∞ thì SIN b không có giới hạn. Do đó I phân kỳ. 5 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP Chú ý Định nghĩa tương tự: a a I2 = f (x) Dx := LIMf (x) Dx. b→−∞ −∞ b +∞ a +∞ I3 = f (x) Dx := f (x) Dx + f (x) Dx. −∞ −∞ a
Tích phân I3 hội tụ nếu cả hai tích phân ở vế phải hội tụ. VD 5. Tính tích phân +∞ Dx I = 1 + x2 . −∞ 6 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP +∞ Dx Giải. Tính I = 1 + x2 . −∞ Ta có 0 +∞ 0 b Dx I = + Dx = Dx Dx LIM + LIM 1 + x2 1 + x2 1 + x2 a→−∞ b→+∞1 + x2 −∞ 0 a 0 = a [ARCTAN 0 − b + [ARCTAN LIM b − ARCTAN 0] ARCTAN a] + LIM →−∞ → ∞ π = +π=π. 2 2
VD 6. Tính các tích phân suy rộng +∞ 0 +∞ a) I = xex Dx; b) I = xex Dx; c) I = x2e−x Dx. 0 −∞ 0 7 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP
Kết quả. Sử dụng công thức tích phân từng phần: a) I = b LIM (b − 1) eb +1 =+∞. + → ∞ b) I = a LIM [(1 − a)ea − 1] = −1. →−∞ c) = b→+∞ b2 + 2b + 2 ñ2 b − e ô I LIM = 2.
Ý nghĩa hình học của TPSRL1 +∞ TPSR I =
f (x) Dx là diện tích hình thang cong vô hạn giới hạn a
bởi đồ thị hàm f (x), trục hoành và đường thẳng x = a. 8 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP
MỘT SỐ TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA TPSR LOẠI 1 Định lý 1 (Tiêu chuẩn so sánh) +∞ +∞ Giả sử có I = f (x) Dx và J = g(x) Dx mà a a
0 ≤ f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, +∞). Khi đó
• Nếu J hội tụ thì I hội tụ.
• Nếu I phân kỳ thì J phân kỳ.
VD 7. Xét sự HT, PK của tích phân +∞ Dx I = √ 1 + x3 . 1 9 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP Giải. Ta có 1 1 1 0 < = √ < 3 √ 3 3 ∀x ≥ 1 1 + x x x2 +∞ Dx 3 và J = 3 hội tụ vì > 1.
Vậy I ??? (theo Tiêu chuẩn so sánh) x 2 2 1
VD 8. Xét sự HT, PK của tích phân +∞ 1 + e−x I = Dx. x 1 10 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP
Xét sự HT, PK của tích phân +∞ 1 + e−x I = Dx. x 1 Giải. Ta có 1 + e−x 1 x >x > 0 ∀x ≥ 1 +∞ và J = Dx phân kỳ. Vậy I ??? x 1 11 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP
Định lý 2 (Tiêu chuẩn tương đương)
Giả sử f và g là những hàm không âm, khả tích trên mọi đoạn [a, b] và f (x) LIM = k (0 < k < + ). x→+∞ g(x) ∞ +∞ +∞ Khi đó I =f (x) Dx và J =
g(x) Dx cùng HT hoặc cùng PK. a a
VD 9. Xét sự HT, PK của tích phân +∞ Dx I = √ 1 + x3 . 1 12 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP
VD 10. Xét sự hội tụ của tích phân +∞ Dx I = 1 √ 1 + x · √ 1 + x2 . 13 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP +∞ Dx I = 1 √ 1 + x · √ 1 + x2
Giải. Vì khi x → +∞ thì 1 1 1 1 3 , √1 + x · √1 + x2 ∼ x 2 .x ∼ x 2 +∞ 3 mà J =
Dx3 hội tụ vì α = > 1, do đó I hội tụ. x 2 1 2
VD 11. Xét sự hội tụ của tích phân +∞ x Dx I = √ √ . 3 3 (3x − 8). 4x + 5. x − 2 14 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP
Tích phân hội tụ tuyệt đối +∞ +∞ TPSR I =
f (x) Dx gọi là hội tụ tuyệt đối nếu J = |f (x)| Dx hội a a tụ.
Nếu I hội tụ nhưng J phân kỳ thì I gọi là bán hội tụ. Định lý
Nếu J hội tụ thì I hội tụ.
VD 12. Xét sự HT, PK của tích phân +∞ SIN x I = Dx. x2 1 15 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP +∞ SIN x I = Dx. x2 1 +∞ SIN x Giải. Xét J = Dx. Ta có x2 1 SIN x 1 0 ≤ x3 ≤ x3 , ∀x ≥ 1 +∞ Dx và K = x3 hội tụ do α=3>1.
Vậy J hội tụ ⇒ I hội tụ. 1
VD 13. Xét sự hội tụ của tích phân +∞ SIN x I = Dx. x 1 16 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP b SIN x Giải. Xét Ib =
Dx. Theo công thức tích phân từng phần thì x 1 b COS x b b COS x COS b b SIN x COS x Ib = x Dx = − x − x2 Dx = COS 1− b − x2 Dx. 1 1 1 1 COS b Khi b → +∞ thì b → 0. Mặt khác +∞ COS x 1 Dx 0 ≤ x2 ≤ x2 và K = x2 hội tụ, 1 +∞ COS x tức là J =
Dx hội tụ tuyệt đối. Do đó I hội tụ. x2 1 17 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP
2. Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa
Giả sử hàm f (x) liên tục trên [a, b) và không bị chặn khi x → b−. Ta gọi b c b−ε
I = f (x) Dx = LIM f (x) Dx = LIM f (x) Dx − + c→b ε→0 a a a
được gọi là tích phân suy rộng loại hai của f (x) trên [a, b].
• Nếu I tồn tại và hữu hạn thì TPSR hội tụ.
• Nếu I không tồn tại hoặc bằng vô hạn thì TPSR phân kỳ. 2 c x Dx VD 14. Tích phân I = = x Dx LIM = · · · − x − 2 1 x − 2 c→2 1 18 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP
VD 15. Tích phân sau HT hay PK: 1 x + 2 I = √ Dx. 0 1 − x 19 lOMoARcPSD|45315597 TOÁN CAO CẤP Chú ý
Tương tự cho các trường hợp:
• f (x) liên tục trên (a, b] và LIM f (x) = ∞ thì + x→a b b b I = f (x) Dx := LIM f (x) Dx = LIM f (x) Dx. + + c→a ε→0 a c a+ε
• f (x) liên tục trên [a, c) ∪ (c, b] và LIM f (x) = ∞ thì x→c b c b f (x) Dx := f (x) Dx + f (x) Dx. a a c 20