Bài giảng Vật lý điện tử__ toán tử | Môn Vật lý điện tử | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Bài giảng Vật lý điện tử__toán tử | Môn Vật lý điện tử | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu gồm 9 trang giúp bạn tham khảo ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem.

26 13 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Vật lý điện tử

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

9 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Trịnh Thảo Anh
Chương 2: TOÁN TỬ.
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH:
1) Ðịnh nghĩa:
TOP
Toán tử là một thực thể toán học mà khi tác dụng lên một hàm số bất kì sẽ cho
ta một hàm số khác.
Nghĩa là ta có:
Trong đó là một toán tử; là các hàm số bất kì với (x) là một tập
hợp tọa độ nào đó chứ không phải chỉ riêng tọa độ x.
2) Các thí dụ:
TOP
3) Toán tử tuyến tính.
TOP
II. CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Tổng và hiệu hai toán tử thì giao hoán đƣợc, còn tích hai toán tử nói chung không
giao hoán đƣợc, khi viết tích hai toán tử ta phải giữ nguyên thứ tự của chúng.
III. HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƢƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
Nói chung khi cho toán tử tác dụng lên hàm thì ta đƣợc hàm số
.(Với (x) là tập hợp biến số nào đó). Nhƣng cũng có trƣờng hợp ta lại đƣợc chính hàm số đó
nhân thêm với một hằng số. Tức là:
Khi đó ta nói là hàm riêng của toán tử Â và phƣơng trình trên gọi là phƣơng trình
trị riêng của toán tửĠ. Còn a đƣợc gọi là trị riêng ứng với hàm riêng của toán tử Â.
Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì tƣơng ứng với một trị
riêng (cũng có thể có trƣờng hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm riêng, trƣờng hợp
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
này ta gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để phân biệt các phƣơng trình trị
riêng và đƣợc viết nhƣ sau:
.
Số trị riêng có thể là hữu hạn hay vô hạn; có thể là gián đoạn hay liên tục.
Ðể tìm trị riêng và hàm riêng của một toán tử, ta phải giải phƣơng trình trị riêng của toán
tử đó.
Thí dụ :
Cho toán tử
Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử Â biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng
(o,L).
(ta không viết đối số tọa độ x để khỏi rƣờm rà)
.
Với C là hằng số đƣợc xác định từ điều kiện chuẩn hóa.
Vì hàm số tuần hoàn trong khoảng (0,L) nên ta có . Tức là:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
.
IV. TOÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (HAY TOÁN TỬ HECMIT):
1- Ðịnh nghĩa toán tử hecmit:
TOP
Cho toán tử Â và các hàm số bất kì . Nếu hệ thức sau đƣợc thỏa mãn :
.
thì Â đƣợc gọi là toán tử hecmit ( hay toán tử tự liên hiệp tuyến tính):
Từ biểu thức của định nghĩa và chú ý rằng hàm sóng là mô tả một trạng thái vật lí nên nó
bằng không khi tọa độ bằng vô cùng,ta dễ dàng chứng minh đƣợc toán tử là toán tử
hecmit, còn toán tử không phải là hecmit.
2- Các tính chất của toán tử hecmit:
TOP
a/ Các trị riêng của toán tử hecmit là những số thực.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
b/ Các hàm riêng của toán tử hecmit trực giao với nhau.
Trƣớc hết ta định nghĩa sự trực giao nhƣ sau:
Nếu có hệ các hàm . (n =1; 2; 3...)
Thí dụ các hàm sin(nx) trực giao trong khoảng
Bây giờ ta chứng minh các hàm riêng của toán tử hecmit trực giao với nhau. Muốn vậy ta
hãy chọn . Khi đó biểu thức định nghĩa là:
.
vì các hàm là các hàm riêng của toán tử Â nên phƣơng trình trên trở
thành:
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Nói chung
Tức là các hàm trực giao với nhau.
Nếu các hàm riêng đƣợc chuẩn hóa thì ta có thể gộp cả hai điều kiện trực giao và chuẩn
hóa lại làm một điều kiện gọi là điều kiện trực chuẩn nhƣ sau:
c/ Các hàm riêng của toán tử hecmit lập thành một hệ đủ.
Tính chất này có nội dung nhƣ sau:
Nếu ta có hàm f(x) bất kì và các hàm riêng của toán tử hecmit thì ta có thể phân
tích f(x) thành:
Ta thừa nhận tính chất này ,mà không cần phải chứng minh
V.CHÚ THÍCH VỀ TRƢỜNG HỢP TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC
Một toán tử có các trị riêng là liên tục thì đƣợc gọi là toán tử có phổ liên tục. Ðối với toán
tử có phổ liên tục thì phƣơng trình trị riêng đƣợc viết:
Ðể phân biệt với toán tử có phổ gián đoạn.
Trong phƣơng trình trị riêng này ta đã lấy trị riêng của toán tử làm chỉ số chạy. Nhƣ vậy a
là thông số biến đổi liên tục chứ không phải là các số nguyên. Ðối với toán tử có phổ liên tục,
các tính chất vẫn nhƣ toán tử có phổ gián đoạn. Tức là:
- Trị riêng là những số thực.
- Hệ các hàm riêng lập thành hệ đủ.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
- Các hàm riêng trực giao với nhau.
Nhƣng điều kiện chuẩn hóa lại khác. Khi đó ta có:
khi tọa độ tiến tới vô cực.
Với gọi là hàm đenta Derac, là một hàm suy rộng cho bởi quy tắc tích phân.
Ví dụ hàm đenta đối số x là:
.
Miễn sao trong khoảng (a,b) có chứa điểm x = 0 hay x = c.
Ta cũng chú ý rằng khi phân tích hàm f(x) theo hệ các hàm riêng của toán tử có phổ liên
tục thì ta phải dùng công thức:
thay cho công thức:
trong trƣờng hợp toán tử có phổ gián đoạn.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
BÀI TẬP CHƢƠNG 2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
| 1/9
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chương 2: TOÁN TỬ.
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH: 1) Ðịnh nghĩa: TOP
Toán tử là một thực thể toán học mà khi tác dụng lên một hàm số bất kì sẽ cho ta một hàm số khác. Nghĩa là ta có:
Trong đó là một toán tử;
là các hàm số bất kì với (x) là một tập
hợp tọa độ nào đó chứ không phải chỉ riêng tọa độ x. 2) Các thí dụ: TOP
3) Toán tử tuyến tính. TOP cuu duong than cong . com
II. CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Tổng và hiệu hai toán tử thì giao hoán đƣợc, còn tích hai toán tử nói chung không
giao hoán đƣợc, khi viết tích hai toán tử ta phải giữ nguyên thứ tự của chúng.
III. HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƢƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
Nói chung khi cho toán tử tác dụng lên hàm thì ta đƣợc hàm số cuu duong than cong . com
.(Với (x) là tập hợp biến số nào đó). Nhƣng cũng có trƣờng hợp ta lại đƣợc chính hàm số đó
nhân thêm với một hằng số. Tức là: Khi đó ta nói
là hàm riêng của toán tử Â và phƣơng trình trên gọi là phƣơng trình
trị riêng của toán tửĠ. Còn a đƣợc gọi là trị riêng ứng với hàm riêng của toán tử Â.
Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì tƣơng ứng với một trị
riêng (cũng có thể có trƣờng hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm riêng, trƣờng hợp CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
này ta gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để phân biệt các phƣơng trình trị
riêng và đƣợc viết nhƣ sau: .
Số trị riêng có thể là hữu hạn hay vô hạn; có thể là gián đoạn hay liên tục.
Ðể tìm trị riêng và hàm riêng của một toán tử, ta phải giải phƣơng trình trị riêng của toán tử đó. Thí dụ : Cho toán tử
Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử Â biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng (o,L).
(ta không viết đối số tọa độ x để khỏi rƣờm rà) cuu duong than cong . com .
Với C là hằng số đƣợc xác định từ điều kiện chuẩn hóa.
Vì hàm số tuần hoàn trong khoảng (0,L) nên ta có . Tức là: CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt .
IV. TOÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (HAY TOÁN TỬ HECMIT):
1- Ðịnh nghĩa toán tử hecmit: TOP
Cho toán tử Â và các hàm số bất kì
. Nếu hệ thức sau đƣợc thỏa mãn : .
thì Â đƣợc gọi là toán tử hecmit ( hay toán tử tự liên hiệp tuyến tính):
Từ biểu thức của định nghĩa và chú ý rằng hàm sóng là mô tả một trạng thái vật lí nên nó
bằng không khi tọa độ bằng vô cùng,ta dễ dàng chứng minh đƣợc toán tử là toán tử hecmit, còn toán tử không phải là hecmit.
2- Các tính chất của toán tử hecmit: TOP cuu duong than cong . com
a/ Các trị riêng của toán tử hecmit là những số thực. CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
b/ Các hàm riêng của toán tử hecmit trực giao với nhau.
Trƣớc hết ta định nghĩa sự trực giao nhƣ sau: Nếu có hệ các hàm . (n =1; 2; 3...)
Thí dụ các hàm sin(nx) trực giao trong khoảng
Bây giờ ta chứng minh các hàm riêng của toán tử hecmit trực giao với nhau. Muốn vậy ta hãy chọn
. Khi đó biểu thức định nghĩa là: cuu duong than cong . com . vì các hàm
là các hàm riêng của toán tử Â nên phƣơng trình trên trở thành: . CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt Nói chung Tức là các hàm trực giao với nhau.
Nếu các hàm riêng đƣợc chuẩn hóa thì ta có thể gộp cả hai điều kiện trực giao và chuẩn
hóa lại làm một điều kiện gọi là điều kiện trực chuẩn nhƣ sau:
c/ Các hàm riêng của toán tử hecmit lập thành một hệ đủ.
Tính chất này có nội dung nhƣ sau:
Nếu ta có hàm f(x) bất kì và các hàm riêng
của toán tử hecmit thì ta có thể phân tích f(x) thành:
Ta thừa nhận tính chất này ,mà không cần phải chứng minh
V.CHÚ THÍCH VỀ TRƢỜNG HỢP TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC
Một toán tử có các trị riêng là liên tục thì đƣợc gọi là toán tử có phổ liên tục. Ðối với toán
tử có phổ liên tục thì phƣơng trình trị riêng đƣợc viết: cuu duong than cong . com
Ðể phân biệt với toán tử có phổ gián đoạn.
Trong phƣơng trình trị riêng này ta đã lấy trị riêng của toán tử làm chỉ số chạy. Nhƣ vậy a
là thông số biến đổi liên tục chứ không phải là các số nguyên. Ðối với toán tử có phổ liên tục,
các tính chất vẫn nhƣ toán tử có phổ gián đoạn. Tức là:
- Trị riêng là những số thực.
- Hệ các hàm riêng lập thành hệ đủ. CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
- Các hàm riêng trực giao với nhau.
Nhƣng điều kiện chuẩn hóa lại khác. Khi đó ta có:
khi tọa độ tiến tới vô cực. Với
gọi là hàm đenta Derac, là một hàm suy rộng cho bởi quy tắc tích phân.
Ví dụ hàm đenta đối số x là: .
Miễn sao trong khoảng (a,b) có chứa điểm x = 0 hay x = c. cuu duong than cong . com
Ta cũng chú ý rằng khi phân tích hàm f(x) theo hệ các hàm riêng của toán tử có phổ liên
tục thì ta phải dùng công thức: thay cho công thức:
trong trƣờng hợp toán tử có phổ gián đoạn. CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt BÀI TẬP CHƢƠNG 2 cuu duong than cong . com CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt cuu duong than cong . com CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt