Bài soạn Toán Chuyên đề: Số phức và ứng dụng trong Giải tích Phức | Học viện Kỹ thuận Quân sự

lOMoAR cPSD| 58886076 BÀI SOẠN TOÁN CHUYÊN ĐỀ
CHƯƠNG I GIẢI TÍCH PHỨC §1. SỐ PHỨC
I. Dạng đại số của số phức được xác định z = x +iy
trong đó : x = Rez gọi là phần thực của z y
= Imz gọi là phần ảo của z
Cho hai số phức z1 = x1 + iy z1 2; = x2 + iy2 ta nói z1= z2 ⇔ x1 = x2 và y1 = y2 số
phức z = x −iy gọi là số phức liên hợp của z = x + iy
Mặt phẳng phức được thể hiện bởi một hệ trục tọa độ.Trong đó trục 0y được gọi là trục
ảo,còn trục 0x là trục thực .
Khi cho z = x + iy thì tương đương với M(x,y) trên m/p được gọi là tọa vị của M.
Độ dài vectơ OM được gọi là môdun của số phức z = x + iy và OM = x2 + y2 = z = r Góc (0x OM,
) =ϕ π+ k2 được gọi là Argumen của z ,và viết Argz =ϕ π+ k2 còn ϕ= a gzr
gọi là argumen phần chính của z.
z = r c( osϕ ϕ+ isin )được gọi là dạng lượng giác của số phức z 2 = z z. Công thức Moavơrơ:
z = r c( osϕ ϕ+ isin ) zn = r c( osϕ ϕ+ isin ) n = rn (cosnϕ+ isinnϕ) 1 lOMoAR cPSD| 58886076
thừa nhận: osc ϕ ϕ+ isin
= eiϕ(công thức ơle)(dùng khai triển Macloranh ex để giải
thích) Một số lưu ý và ví dụ: a) Arg(z z1 2) = Arg +Argz1 z2 b) Arg z1 = Argz -Argz1 2 z2 c) z z1 2 = z1 z2 d) z1 / z2 = z1 / z2
e) Với Rez > 0 và Rea > 0thì a − z <1 a + z
f) z1 = z2 =1và z1,2 ≠1 thì z1 + z2 ∈ 1+ z z1 2
II. CĂN BẬC n CỦA SỐ PHỨC
W được gọi là căn bậc n của số phức z và viết W = n z n( ∈N)⇔ Wn = z
Với z = r(cosϕ ϕ+ isin) thì W = r1(cosψ ψ+ isin )W = n r(cosϕ π ϕ π+ k2 + + isin k2 ) n n ở đó k = 0,n −1 VD tính: 31−i ; 4 −1 §2. HÀM BIẾN PHỨC 2 lOMoAR cPSD| 58886076
Khái niệm:Hàm f(z) xác định trên tập G với zo ∈G mà f z( o)có duy nhất một giá trị thì hàm
f z( ) gọi là hàm đơn trị,trái lại hàm được gọi là hàm đa trị. I. Giới hạn
Lưu ý: lim f z( ) thì z → zo theo nhiều cách khác nhau z→z 0
với hàm f z( ) biểu diễn dưới dạng f z( ) =U x y( , ) + iV x y( , )với z = x + iy
II. Đạo hàm của hàm biến phức + ∆ W = f z( ) lim f z( o
z) − f z( o) = f ′(z0) và ∆ →z 0 theo nhiều cách khác nhau ∆ →z0 ∆z + ∆ ta có lim f z( o
z) − f z( o) = f ′(zo) với z = x +iy;∆ = ∆ + ∆zx i y ∆ →z0 ∆z
f z( 0 + ∆z) − f z( 0) =U x( 0 + ∆x y, 0 + ∆y) + iV x( 0 + ∆x y, 0 + ∆y) −U x( 0, y0) −iV
x( 0, y0)c ho ∆ =y 0và ∆ →x 0 f ′(z0) =U′x(x0, y0) +iV x yx′( 0, 0) cho ∆ =x 0 và ∆ →y 0
f ′(z0) =Vy′(x y0, 0) −iU′y(x y0, 0)
Ux′(x0, y0) =Vy′(x y0, 0) và V xx′( 0, y0) = −U′y(x0, y0) (Đ/k Côsi-Riman) Nhận xét:
a) nếu hàm số giải tích tại một điểm thì tại đó hàm thỏa mãn đ/k Côsi-Riman.
Ngược lại nếu hàm thỏa mãn Côsi-Riman và các hàmU x y V x y( , ), ( , )cùng các đạo
hàm riêng liên tục tại một điểm thì tại đó nó có đạo hàm. b)
Quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức tương tự như hàm biến thực. ′
Từ đ/k Côsi-Riman ta thấy Ux′ +U = 0 và V +V = 0 đó là các hàm điều hòa. 2 y2 x′ 2 y′ 2
Trong khuôn khổ chương trình ta đi tìm các hàm giải tích mà các hàm thành phần là các hàm điều hòa. 3 lOMoAR cPSD| 58886076
III. MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
1) Hàm W = zn đơn trị và W′ = nzn−1
2) Hàm W = n z ⇔W n = z đa trị , việc lấy đạo hàm của nó phải thực hiện theo từng nhánh
3) Hàm mũ là hàm có phần thực ex cos y và phần ảo ex sin y W = ex iy+ = ez đó là
hàm đơn trị và có các tính chất như hàm mũ thực 4) Hàm lượng giác:cosz = eiz + e−iz ;sin z = eiz − e−iz ;tan z = sin z và cot z = cosz 2 2i cosz sin z Lưu ý:
a) Các tính chất hàm lượng giác phức có tính chất như hàm lượng giác thực.
b) cosz và sin z nói chung không bị chặn như trong thực,chẳng hạn n −n cos(ni) = e + e >1 với n >1 2
5) Hàm Lôgarit là hàm ngược của hàm W =ez và viết W = Lnz .
khai triển ta được Lnz = ln z + i(arg z + k2 )π với k ∈ ,còn ln z = ln z + iarg z được
gọi là nhánh chính của Lnz .Các tính chất của Lnz tương tự như trong thực.Riêng đạo
hàm của Lnz ta phải thực hiện trên từng nhánh.
6) Hàm lượng giác ngược,đó là các hàm đa trị : a) W = Arcsin z = −iLn(iz + 1− z2 ) b) W = Arccosz = −iLn(z + z2 −1) c) W = arctgz =− i ln1+ iz 2 1−iz 4 lOMoAR cPSD| 58886076
Ví dụ:Tính Re(arctgeiϕ) với ϕ nhọn
7) Hàm lũy thừa tổng quát W = za với a =α β+ i và viết W = eaLnz
cụ thể W = e(α β+i ) lnz+iArgz = eα βlnz− Argzei(β αlnz+ Argz)
Lưu ý: cần hiểu dấu đẳng thức trong hàm đa trị theo khái niệm tập hợp.
§3:TÍCH PHÂN HÀM BIẾN PHỨC
I. Định nghĩa:Cho hàm f(z)xác định trên đường L = AB,chia AB bởi các điểm chia theo
thứ tự A ≡ z z z z0, 1, 2, 3....zn ≡ B trên cung từ zk đến zk+1 lấy bất kỳ điểm ξk n
nếu tồn tại giới hạn lim
f (ξk )∆zk trong đó d = max ∆zk với ∆zk = zk+1 − zk d→0 k=0
và giới hạn không phụ thuộc vào phép chia AB và cách chọn ξk thì giới hạn đó gọi là tích
phân hàm f(z)dọc theo cung AB và viết f z dz( ) AB
Với z = x +iy và f z( ) =U x y( , ) +iV x y( , ) trong đó dz = dx + idy thì
f z dz( ) = U x y dx( , ) −V x y dy( , ) +i V x y dx( , ) +U x y dy( , ) AB AB AB
Do đó cách tính và các tính chất của tích phân hàm biến phức hoàn toàn như tích phân đường loại 2. Ví dụ: Tính dz n với n∈ (z − z ) z z− = ε 0 0 5 lOMoAR cPSD| 58886076
Nếu có hàm F z( ) thỏa mãn F z′( ) = f z( )thì ∀ ∈z AB f z dz( )
= F z( ) z B= = F B( ) − F A( ) z A= AB
II. Định lý Côsi:Nếu hàm f(z)giải tích trong miền G có biên L(trơn) thì f z dz( ) = 0 L
III. Công thức tích phân Côsi : Nếu hàm f(z)giải tích trong miền G có biên L(trơn) và
z0 ∈G thì 1 f z( ) dz = f z( o) 2πi L z − zo Chứng minh : Ta có 1 f z( ) dz = 1
f z( ) − f z( o) dz + 1 f z( o) dz 2πi L z − zo 2πi L z − zo 2πi L z − zo
mặt khác do f z( ) − f z( 0) <ε nên 1 f z( ) dz − 1 f z( o) dz = 1 f z( ) − f z( o) dz <ε 2πi L z − zo 2πi L z − zo 2πi L z − zo
tức là 1 f z( ) dz = f z( o) 2πi L z − zo Ví dụ : a) I = dz − =1 2 z − 2 z b) I = z2zdz+9 6 lOMoAR cPSD| 58886076 z− =1 2
IV. Tích phân loại Côsi :Giả sử L là đường cong trơn từng khúc f(z)liên tục trên L,khi đó ∀ ∉z L thì F z( ) =
f ( )ξ dξ được gọi là tích phân loại Côsi. ξ− z L
Định lý : Cho f(z)liên tục trên L,khi đó F z( ) =
f ( )ξ dξ giải tích miền D không chứa L ξ− z L
và F ( )n ( )z = 2nπ!i(ξf−( )ξz)n+1 dξ L Ví dụ : a) I = z− =4 2 (z −1) (cos3 zz−5)2 dz − b) I = z− =1 1 (z2dz 1)3 §4: CHUỖI TAYLOR-LAURENT I.Chuỗi Taylor: f n ( ) ( )a n
Mọi hàm f(z) giải tích tại z = a luôn biểu diễn dưới dạng f z( ) = (z − a) n≥0 n! 7 lOMoAR cPSD| 58886076
Khai triển Taylor của một số hàm sơ cấp cơ bản tại z = 0 ∞ 2n+1 a) sin z = ( 1)− n z n=0 ( 2n +1 !) ∞ 2n b) co zs = ( 1)− n z n= ( 0 2n)! ∞ n c) ez = z n=0 n! ∞
Đặc biệt z= ixta có eix =
(ix)n = ∞ ( 1)− n z2n + i ∞ ( 1)− n z2n+1 n=0 n! n=0 (2n)! n=0 (2n +1 !)
và eix = cosx + isin x(Công thức Euler) II.Chuỗi Laurent:
1. Định lý và định nghĩa : Hàm f(z) giải tích trong miền G ={r < z − a < R};z∈G ∞ ∞ ∞ thì luôn có f z( ) = c ( ( n z − a)n = cn z − a)n + c−n
.Khai triển đó gọi là chuỗi n n=−∞ n=0 n=1 (z − a) Laurent của f(z) tại tâm z = a trong đó ∞ • c (
n z − a)n gọi là phần đều n=0 ∞ • c−n
n gọi là phần chính n=1 (z − a) 8 lOMoAR cPSD| 58886076
Chứng minh : Theo tích phân Côsi f z( ) = 1 f ( )ξ dξ= 1 f ( )ξ dξ− 1 f ( )ξ dξ 2π ξi C − z 2π ξi L − z 2π ξi − z 2 L1
trong đó L1 và L2 là hai đường tròn tâm z = aở trong G,sao cho miền giới hạn bởi L1 và L2 chứa z. 1 1 Ta có =
ξ− z (ξ− a) −(z − a) 1 ∞ (z − a)n
với ξ∈L2 ξ− a > z − a ;(ξ− a) − (z − a) = n=0 (ξ− a)n+1 1 f ( )ξ dξ= ∞ 1 f ( )ξ ξdn+1 (z − a)n (1) 2π ξi L − z (ξ− a) 2 n=0 2πi L2 ξ Tương tự với ξ∈L1 1 f ( ) dξ= − ∞ 1 f ( )ξ ξd n (2) (ξ− a) 2π ξi L − z (z − a) 1 n=0 2πi L1 n+1 Trong (2) đặt n + = −1k ∞
21 ( f ( )ξ ξd)n+1 (z − a)n + −∞ 2π1i(ξf ( )−ξ ξad)n+1 (z − a)n n=0 L πi ξ− a trong 2 tích phân trên L 2 L2 n=−1 L1 1 và L2 không phụ thuộc
vào đường lấy tích phân . 9 lOMoAR cPSD| 58886076
Nên ta đặt cn = 21 ( f ( )ξ ξd)n+1 với n = 0, 1, 2,± ± ±3,...Đó là điều phải chứng minh. πi L ξ− a
III.PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG
1) Không điểm: z = a được gọi là không điểm của f(z) nếu f a( ) = 0, còn z = a được
gọi là không điểm cấp m của f(z) nếu: f z( ) = (z − a)mϕ( )z trong đó ϕ( )a ≠ 0 và giải tích tại z = a.
2) Định nghĩa: z = a được gọi là điểm bất thường cô lập của hàmf(z) nếu trong lân cận
của z = a chỉ có duy nhất a là điểm bất thường của f(z).
Giả sử z = a là điểm bất thường cô lập của hàmf(z)
• lim f z( ) = A thì z = a gọi là điểm bất thường bỏ được. z→a
• Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại z = a chỉ có hữu hạn số hạng
∞ tức là c−n n = c−m m + c− +m 1m−1 +...+ c−1 trong đó c−m ≠ 0 thì z = a được n=1
(z − a) (z − a) (z − a) z − a gọi là cực điểm cấp m.
• Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại z = a có vô số số hạng thì z
= a được gọi là điểm bất thường cốt yếu. 3) Định lý : Cho f z( ) = f z1( ) trong đó f2( )z
nhận z = a là không điểm cấp m và f2( )z
f a1( ) ≠ 0 , f z1( ) giải tích tại a.Thì f(z)nhận z = a là cực điểm cấp m.
§5:THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG I.THẶNG DƯ
1) Định nghĩa : Cho z0 là điểm bất thường cô lập của hàm f(z)trong miền giới hạn bởi 1 đường L thì
f z dz( ) không phụ thuộc vào đường lấy tích phân.Nên ta gọi 2πi L 10 lOMoAR cPSD| 58886076 1 1
2πi f z dz( ) là thặng dư của f(z)tại z0 .Ký hiệu Res[ f z z( ),= z ] = o 2πif z dz( ) L L
2) Công thức tính : Ta đã có cn = 21
L (ξf−( )ξ ξz d)n+1 với n = 0, 1, 2,± ± ±3,...Khi n = −1 πi 0 1 c−1 =
f z dz( ) trong đó c−1 là hệ số trong khai triển Laurent tại z0 .Khi đó 2πi L Res[ f z z( ), = z ] o = c−1 3) Cách tính thặng dư:
a) Thặng dư cực điểm cấp m: Res[ f z z( ), = a] 1 = lim (z − a)m f z( ) (m−1) (m −1)!z→a
b) Cho f z( ) = f z1( ) trong đó f2( )z nhận z = a là không điểm cấp , f a1( ) ≠ 0 f2( )z đồng thời f f a1( )
2( )z giải tích tại z = a thì Res[ f z z( ), = a]= f a2′( )
c) Đối với điểm bất thường cốt yếu để tìm thặng dư ta phải khai triển Laurent qua đó xác định c−1 II.ỨNG DỤNG 11 lOMoAR cPSD| 58886076 1)
Tích phân phức trên đường cong kín : Giả sử a kk ( =1,N)là các điểm bất
thường của f z( ) nằm trong miền giới hạn bởi L (trơn),thì N f z dz( ) = 2πi Res[ f z z( ), = a ] k L k=1 ∞ + 2) Tích phân th ( ự ) c
f x dx trong đó f x( ) là phân thức hữu tỷ −∞
• Bổ đề : Gọi CR là nửa đường tròn tâm 0,bán kính R có Imz > 0 và thỏa mãn
lim zf z( ) = 0 với 0 ≤ arg z ≤π thì lim f z dz( ) = 0. z→∞ R→∞C R π
Chứng minh : phương trình CR :z = Reiϕ (0 ≤ϕ π≤ )
f z dz( )= f (Reiϕ) (d Re )iϕ CR 0 π π từ giả thiết ta có f (Reiϕ)iReiϕdϕ≤
zf z d( )ϕ ε< .Đó là điều 0 phải chứng minh. 0
• Định lý : Cho f z( ) = f z1( ) với f zi( ) có deg f z1( ) + 2 ≤ deg f2( )z và f z( ) f2( )z
có a kk ( =1,N)là các cực điểm ở phía trên 0x và b kk ( =1,M)là cực điểm đơn trên 0x +∞ N M
Khi đó f x dx( )= 2πi Res f z z[ ( ),= a ] ] k +πi Res f z z[ ( ),= bk −∞ k=1 k=1 +∞ +∞ 3)
Tích phân dạng f x c( ) osαxdx và f x( )sinαxdx với (α> 0) −∞ −∞
Theo công thức ơle,ta có f x e( ) i xα = f x(
)cosαx + if x( )sinαx khi đó 12 lOMoAR cPSD| 58886076 +∞ +∞ +∞ f x e( ) i xα dx = f x( )cosαxdx + i f x(
)sinαxdx nếu các tích phân hội tụ. −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞
Qua đó f x c( ) osαxdx = Re
f x e( ) i xα dx và f x( )sinαxdx = Im f x e( ) i xα dx −∞ −∞ −∞ −∞
a) Bổ đề : Gọi CR là cung tròn z = R có Imz > a với a∈ cố định.Nếu
F z( ) =ei xα f z( ) với α> 0 cố định,còn f z( )giải tích trong nửa mặt phẳng Imz ≥ atrừ
một số hữu hạn các điểm bất thường và lim f z( ) = 0 thì lim ei xα f z dz( ) = 0 z→∞ R→∞ C R
b) Định lý : Cho f z( ) = f z1( ) với f zi( ) có deg f z1( ) +1≤ deg f2( )z và f z( ) f2( )z
Có a kk ( =1,N)là các cực điểm ở phía trên 0x và b kk ( =1,M)là cực điểm trên 0x. ∞ + N M Khi
đó f x e( ) i xα dx = 2πiRes f z e( ) i xα ,z = ak+πi Res f z e( ) i xα ,z = bk ∞ − k=1 k=1 2π
4) Tích phân dạng f (cos ,sintt dt) 0 Từ cost = e + − it e−it và sint = eit e−it . 2 2i Đặt z = eit z =1 1 1 1 1 cost = z + và sint = z − .Do đó 2 z 2i z f (cos ,sintt dt) = −i f z + , z − dz 13 lOMoAR cPSD| 58886076 0z=1 2 z 2i z z VÍ DỤ: +∞ 1. I = − x2x−cos2xxdx+10 ∞ +∞ 2. I = − x2x−sin2xxdx+10 ∞ +∞ 3. I = − x2x+sin4xxdx+ 20 ∞ ∞ + sin I = 2 4.xdx ∞ − (x − 4)(x −1) ∞ + dx I = 2 5. x 2 − x 10 ∞ − + ∞ + 2 x 1 + = 6. I dx 4 0 x +1 2π 7. I = dt cost + sint + 2 0 14 lOMoAR cPSD| 58886076 §6: PHÉP BIẾN ĐỔI Z
I.Định nghĩa và tính chất
1) Định nghĩa:Cho dãy số ∞ + x() n
biến đổi Z của dãy số trên được xác định { } ∞ − +∞ ∞ + x()n z − n
nếu chuỗi hội tụ.Ký hiệu x n z( ) −n = X z( ) và {x n( )}+ ∞ − ∞ X z( ) n=−∞ n=−∞
VÍ DỤ:Tìm biến đổi Z của dãy số: 2π 1 1 1 1 15 lOMoAR cPSD| 58886076 x n( ) = an khi n ≥ 0 0 khi n < 0 ∞ + + ∞
2) Tính chất: Giả sử { x() n } X (z) và y() n ∞ − { } − ∞ Y z( ) ∞ + a) Tuyến tính :{ α x() n +β x() n } + ∞ − α X ( z) β Y( z) b) Tính trễ { ∞ + : x n( − n o ) } z−n ∞ − 0 X z( ) + ∞ ∞ + + ∞ ( n − − k +n ) n − o Vì { x( n − o n }) x( n −n z) = x() k o z =z X (z) o ∞ − n=−∞ k=−∞ ∞ + c) Nhân với n : { nx() n } z − X ′( z ) ∞ − +∞ +∞ +∞ Vì từ
x n z( ) −n = X z( ) X z′( ) = − nx n z( ) − −n 1 = −z−1 nx n z( ) −n n=−∞ n=−∞ n=−∞ ∞ + () n − nxnz z − X ′(
z ) .Đó là điều phải chứng minh. n=−∞
Ví dụ :Tìm biến đổi Z của dãy số: x n( ) = khi n ≥ 0 n2 0 khi n < 0 1 khi n ≥ 0 n2 khi n ≥ 0 −z −z Ta có
z với z >1 0 khi n < 0 z ′ ′ 0 khi n < 0 z −1 z −1 z2 + z Qua đó X z( ) = 3 với z >1 (z −1) 16 lOMoAR cPSD| 58886076
II.Phép biến đổi Z ngược : Phần này ta giải quyết bài toán với một hàm W = f z( )hãy tìm
một dãy số x n( )sao cho qua biến đổi Z dãy x n( )cho ảnh là W = f z( ).
CHƯƠNG II:CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
§1:PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE I.KHÁI NIỆM:
1) Định nghĩa : Hàm số f t( )được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn các điều kiện sau
0. Hàm f t( ) liên tục hay liên tục từng khúc ∀ ≥t 0
1. ∃M > 0,s0 ≥ 0sao cho f t( ) < Mes t0 .Khi đós0 được gọi là chỉ số tăng của f t( ).
2. f t( ) = 0 với ∀ hàm có biến là biến thời gian. VÍ DỤ: 1. η( )t = 1 khi t > 0 0 khi t < 0 sin 2. η( )t sint = t khi t > 0 0 khi t < 0
Quy ước:Khi η( ) ( )t f t là hàm gốc ta chỉ cần ghi f t( )là hàm gốc . +∞
2) Định lý: Giả sử so là chỉ số tăng của f t( ),với p = s + iσ thì tích phân f t e( ) −ptdt 17 lOMoAR cPSD| 58886076 o ∞ + −
hội tụ ∀ >s so ,hơn nữa lim f t e( ) ptdt = 0 p→∞ o +∞+∞
Chứng minh:Ta có f t e( ) −ptdt ≤ M e− −(s s t ) odt = M với s > so .Tức là tích phân oo s − so ∞ + f ( t) −
e ptdt hội tụ.Mặt khác khi p → ∞ tức là s → ∞ o
+∞+∞ hay f t e( ) −ptdt<ε lim f t e( ) −ptdt = 0. op→∞ o +∞ Đặt F p( ) =
f t e( ) −ptdt ,khi đó F p( ) gọi là hàm ảnh của hàm gốc f t( ) và được gọi là o toán tử Laplace.
Ký hiệu : f t( ) F p( ) hoặc F p( )= L f t{ ( )} +∞
Hơn nữa F p′( ) = −tf t e( ) −ptdt tức là −tf t( ) F p′( ) o II.Các tính chất 1) Tuyến tính:Cho f t( ) F p( )và g t( ) G p( );αβ, = const thì
αf t( ) +βg t( ) αF p( ) +βG p( )
2) Tính đồng dạng : cho f t( ) F p( )thì f (λt) 1 F p với λ> 0 λ λ
3) Dịch chuyển ảnh : cho f t( ) F p( )thì e f tat ( ) F p( − a) 18 lOMoAR cPSD| 58886076
4) Tính trễ :Cho hàm f t( )thì hàm η(t − a f t) ( − a) gọi là hàm trễ của f t( )với a
> 0 và khi f t( ) F p( )thì η(t − a f t) ( − a) e−paF p( )
5) Hàm xung và biểu diễn hàm qua hàm η( )t :Hàm xung là hàm có dạng
ϕ( )t khi a < f t( ) = 0 khi t∉(a b, )
khi đó ta có f t( ) =η ϕ η ϕ(t − a) ( )t − (t −b) ( )t T e− pt f t dt( )
6) Ảnh của hàm tuần hoàn:Cho f t( ) = f t( +T)thì f t( ) 0 pT 1−e +∞ +∞ +∞ ta có f t( )
e− pt f t dt( )= e− pt f t( +T dt) = e− pT e− pu f u du( ) o o T +∞ T T = e− pT
e− pu f u du( ) − e− pu f u du( ) = e− pT F p( ) − e− pu f u du( ) = F p( ) 0 0 0 T e− pu f u du( ) F p( ) = 0 1− epT
VÍ DỤ:Tìm ảnh của hàm f t( ) = sint
7) Đạo hàm của hàm gốc: cho f t( )
F p( ) .Tìm ảnh của hàm f ( )k ( )t +∞+∞ với k =1 ta có f t′( )
e− pt f t dt′( )= e− pt f t( )+∞ + p e− pt f t dt( )= pF p( ) − f (0) 0 0 0 19 lOMoAR cPSD| 58886076
với k = 2 thì f ′ ( )t p pF p[ ( ) − f (0)] = p F p2 ( ) − pf (0) − f ′(0) vậy
f ( )k ( )t p F pk ( ) − pk−1 f (0) − pk−2 f ′(0) −....− pf (k−2)(0) − f (k−1)(0) t
8) Tích phân hàm gốc : cho f t( ) F p( ).Tìm ảnh của hàm f u du( ) 0 t
Chứng minh : Giả sử f u du( ) =ϕ( )t và ϕ φ( )t ( )p .Khi đó ϕ′( )t pφ ϕ( )p − (0)nhưng 0
ϕ(0) = 0.Mặt khác ϕ′( )t = f t( ),nên φ( )p = F p( ) . p
9) Đạo hàm hàm ảnh: cho f t( ) F p( ).Tìm gốc của F( )k ( )p +∞
Chứng minh:Ta đã có F p′( ) = −tf t dt( ) −tf t( ) F p′( ) nên tiếp tục lấy đạo hàm theo 0 p +∞
hai vế ta được F′ ( )p = (−t)2 f t dt( ) ,tức là (−t)2 f t( ) F′ ( )p F( )k ( )p (−t)k f t( ) 0 ∞
10) Tích phân hàm ảnh : cho f t( ) F p( ).Tìm gốc của F u du( ) (nếu hội tụ) p Chứng minh: Ta có ∞ +∞ +∞ +∞ +∞ ∞
e−ut f t dt du( ) = f t dt( ) e−utdu = f t( )e− ptdt F u du( ) f t( ) 0 0 p 0 t p t p 20