Cách tìm công thức tổng quát của dãy số | Học viện Kỹ thuận Quân sự

lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền
CÁC TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI
Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên
Ví dụ 1.1: Cho dãy số u  n
có dạng khai triển sau: 1; 1; 1;1;5;11;19; 29;41;55;.....
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo? Bài giải:
Nhận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với những
cách cho này ta thường làm phương pháp sau:
Đặt: uk  uk1 uk 2uk uk1 uk
 3uk 2uk1 2uk ……..
Ta lập bảng các giá trị  uk, 2uk,3uk.....nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng lại,
sau đó kết luận un là đa thức bậc 1, 2, 3,…..và ta đi tìm đa thức đó. Lời giải: Bảng giá trị ban đầu: uk 1 -1 -1 1 5 11 19 29 41 55 uk -2 0 2 4 6 8 10 12 14 2uk 2 2 2 2 2 2 2 2
Ta thấy hàng của 2uk không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai: un
an bn c a2    0 (1) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy. Tìm a b c, , như sau:
Cho n1;2;3 thay vào công thức (1) ta được hệ phương trình sau: a  b c 1 a 1 1 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền   2 4a 2b  c
1 b 5    un n 5n 5  
9a3b c1 c  5
Số hạng tiếp theo u11  71
Ví dụ 1.2: Cho dãy số u  n
có dạng khai triển sau:  5; 3;11;43;99;185;307;471;....
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và 2 số hạng tiếp theo Bài giải: Bảng giá trị ban đầu uk -5 -3 11 43 99 185 307 471 uk 2 14 32 56 86 122 164 2uk 12 18 24 30 36 42 3uk 6 6 6 6 6
Ta thấy hàng của 3uk không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc ba: un
 an3 bn2 cnd a  0 (2) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy. Tìm a b c d, , , như sau:
Cho n1;2;3;4 thay vào công thức (2) ta được hệ phương trình sau: a b c d   5 a b c d   5 a1   
8a   4b 2c d 3 7a  3b c 2 b 0   
27a   9b 3c d 11 26a  8b 2c 16 c5
64a16b  4c d 43 63a15b 3c 48 d 1    un n35n 1
Hai số hạng tiếp theo là: u9  683; u10  949 2 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền
Lời bình: Công thức tìm được trên là không duy nhất vì hiển nhiên các số hạng đã cho
cũng thỏa mãn, chẳng hạn dãy số sau: un  n2 5n 5 P n  . n1n2n3
(Của ví dụ 1.1) un  n3 5n 1 P n n1n2n3n4 (của ví dụ 1.2)
Với P n  là một đa thức bất kỳ
Vậy cách tìm trên đây là mới chỉ tìm được một dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn mà không
tìm được tất cả các dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn. Bài tập tương tự:
Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số 1)
8;14;20;26;32;..... (Đs: un  6n 2)
2) 1; 2; 2;1;7;16;28;43;  61;...
(Đs: un  3 n2 15 n7 ) 2 2 3) 1;6;17;34;57;86;121;..... (Đs: un  3n2 4n 2) 3 7 2 4) 2;3;7;14;24;37;..... (Đs: un  n  n 4) 2 2 5) 3;5;10;18;29;.....
(Đs: un  3 n2  5 n 4) 2 2
6) 2;1;5;14;28;47;71;100;134;173;217;....
(Đs: un  5 n2 17 n8) 2 2
7) 2;2;8;26;62;122;212;338;....
(Đs: un  n3 3n2  2n 2) 3 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền u  a
DẠNG 2: Dạng cơ sở: Cho dãy u  n biết  1
un1  qun d, n 1
Với q d, là các hằng số thực. GIẢI: u a1 
• Trường hợp 1: Nếu q 0  un1 d, n1
 u1  a , un  d, n *,n  2 u a1 
• Trường hợp 2: Nếu q 1  un1 u dn  , n1 u  n
là cấp số cộng với số hạng đầu u1  a và công sai bằng d un  a n 1d u a1 
• Trường hợp 3: Nếu d  0  un1 qun, n1 u  n
là cấp số nhân với số hạng đầu u1  a và công bội bằng q un aq. n1 d
• Trường hợp 4: Nếu q 0,q1,d  0. Đặt dãy  vn sao cho un vn  (1) 1q
Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có: d  d  vn1  q q v n 1 qd 1 vn1 qvn, n1 d d 4 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền
 vn là một cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1   a và công bội 1q 1q bằng q  d   vn a q qn1,n1  1 un vn  a qqn1 1 dq d  d  1q  1 5 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền
Ví dụ 2.1: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy u  n biết: u 1 1)  1 (Đs: un  3n4 ) un1 un 3, n1 u 1 2)  1 (Đs: un  4.2n1 3) un1  2un 3, n1 Giải: u 1 1)  1 un1 un 3, n1 Vì un1 un 3, n1 u  n
là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 1 và công sai d  3
un u1 n1d  13n 1 3n4 u1 1 2)  un1  2un 3,n1
Nhận xét: Dãy số này có dạng 1 với q1,d 3 d
Đặt dãy  vn sao cho: un vn  vn 3 (1) 1q
Thay (1) vào công thức truy hồi ta được
vn1  3 2vn  3 3 vn1  2vn
 vn là cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1    3 1 3 4 và công bội q 2
vn  4.2n1  2n1
un vn  3 2n1 3 6 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền u1 1 Nhận xét: Câu 1:  Còn có các cách sau: un1 un 3, n1 Cách 2: Ta có: u1 1 u2 u1 3 u3 u2 3 …….. un un1 3
Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:
u u1  2 u3 ......un   1 u u1 2 u3 .....un13(n1) un  1 3n1 un  3n4 Cách 3:
Dựa vào công thức truy hồi ta tính được dạng khai triển của dãy u  n là: 1;2;;5;8;11;14;17;.... uk -1 2 5 8 11 14 17 uk 3 3 3 3 3 3
un an b a ,  0 (1) a b 1 a 3
Thay n1 và n 2 thay vào (1) ta được:  2a b  2 b4 un  3n4
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy u  n biết: u 1 1)  1 (Đs: un  7n6) un1 un 7, n1 7 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền u  3 2)  1 (Đs: un  2n1.3 ) un1  2un, n1 u 1 3)  1 (Đs: un 1) un1  2un 1, n1  5 u 2n  1  4 4)  (Đs: un   3 )
un1  2un  3, n1 4  4 u 2 1 1 n  (Đs: u 5)  1 n  1  ) un1  2un  , n1 3  3
Lời bình: Dạng 2 gọi là dạng cơ sở vì:
- Với 3 trường hợp 1, 2, và 3, dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy số hằng,
cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đều đã tìm được công thức của số hạng tổng quát.
- Trên cơ sở của 3 dãy này, để giải trường hợp 4: bằng phương pháp đặt một dãy số mới  v 
n liên hệ với dãy số un
bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa được về dãy số v   n
mà vn dãy số hằng hoặc cấp cộng hoặc cấp số nhân.
- Vấn đề đặt ra là: Mối liên hệ giữa u  n
và  vn bởi biểu thức nào mới có thể đưa dãy số v  n
thành dãy số hằng hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân hoặc trường
hợp 4. Qua quá trình tìm tòi, tôi đã tìm ra được một số dạng sau: 8 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền u a LOẠI 2.1:  1
với q c d, , R và q c,  0
un1 qu cn dn  , n1 GIẢI: u a1 
 Trường hợp 1: Nếu q 1  un1 u cn dn   Cách 1: Ta có: u1  a u2  u1 c.1d u3  u2
c.2d u4  u3 c.3d ………….
un un1 c n.  1 d
Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được: cn n 1
un  a c.1c.2c.3......c n.  1 n1d  a n1d 2
Cách 2: Dùng công thức DẠNG 1 (Viết dãy số theo dạng khai triền)
 Trường hợp 2: Nếu q1 cn Đặt dãy v  n sao cho: un  vn 
, thay vào công thức truy hồi ta được 1q c n 1  cn  vn1   q v n 1 q cnd 1q   c  vn1  qvn  d 1q v1  u1  c  1q 9 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền 
Từ đó ta có dãy  vn với 
Khi đó dãy  vn lại c vn1  qvn  d  qvn d ', n1  1q có DẠNG 1
Ví dụ 2.2: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy u  n biết: u  5 1)  1 (Đs: un  3n2 7n14 )
un1 un 3n2, n1 2 10 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền u 11 2)  1 (Đs: un 10n n)
un1 10un  1 9n, n1 u 1 3)  1 (Đs: un  3n 1 3n) un1  3un 6n1 Bài giải: u  5 1)  1
un1 un 3n2, n1 Cách 1: Ta có: u1  5
u2  u1 3.12 u3  u2 3.22 u4  u3 3.32 u5  u4 3.42 …………..
un un1 3.n 1 2
Cộng vế với vế ta được: 7 14 3n1n 3n2 n
 un  53.13.23.3....3.n 1 2n  1 5 2n 1 2 2 Cách 2:
Ta có dạng khai triển của dãy số u  n là: 5;6;10;17;27;40;56;75;..... uk 5 6 10 17 27 40 56 75 11 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền uk 1 4 7 10 13 16 19 2uk 3 3 3 3 3 3  un  an2 bnc (*)
Thay n1,n 2,n 3 vào (*) ta được: a  32 a  b c 5    7  
4a 2b c 6 b  9a3b   c 10 c  7 2  
 un  3 n2  7 n 7 3n2 7n14 2 2 2 u1 11 2) 
un1 10un  1 9n, n 1 Đặt dãy v  n
sao cho: un  vn n n, 1
Thay vào công thức truy hồi ta được:
vn1   n 110vn n 1 9n  vn1 10vn
 vn là một cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1  1 10 và công bội q10  vn 10.10n1 10n  un 10n n u 1 3)
u1n1  3un 6n1 12 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền Đặt dãy v   n
sao cho: un  vn 3n, thay vào công thức truy hồi của dãy un ta được:
vn1 3n 1 3vn 3n6n1  vn1  3vn 2 v1  u1  32
 vn được xác định bởi: 
vn1  3vn 2, n 1 Đặt dãy y   n
sao cho vn  yn 1,n 1, thay vào công thức truy hồi của dãy vn ta được
yn1  1 3yn  1 2  yn1  3yn y  n
là một cấp số nhân với số hạng đầu y1     v1 1 2 1 3 và công bội q  3 yn 3.3n1 3n  vn  3n 1
Vây: un   3n 1 3n
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy u  n biết: u1  99 2 1)  (Đs: un 100n )
un1  un 2n1, n 1 3 3 3 n n 12 u1 1
(Đs: un   1 12  ... n1   2) u ) n1  un n3, n 1   2  u1 1
3) un1  un  2n n2, 1  13 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền    LOẠI 2.2: Cho dãy u  a n xác định bởi: u1 n với q  0
un1  qun rc , n1 GIẢI: u1  a
• Trường hợp 1: Nếu q 1  n ta có thể làm bằng phương un1  un rc , n1 pháp sau:
Ta có: u1  a u2  u1 rc1
u3  u2 rc2 u4  u3 rc3
……………….. un  un1 rcn1
Cộng vế với vế ta được: 2 3 1 c c n1 1r un   a (c
c c ....cn )r  a c1 u  a
• Trường hợp 2: Nếu c q  1 1 qun rcn, n1 un  rcn Đặt dãy v  n sao cho: un  vn 
, thay vào công thức truy hồi ta được cq 1 rcn1  rcn  rcn vn   q vn   cq  cq   vn1  qvn 2 2 2 2
(Đs: un  12 1  2 3 ....n1  1 n1 n 2n1 14 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền 3 15 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền rc rc
 vn là một cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1   a và công bội cq cq bằng q  rc   vn a cq qn1  rcn  rc  n  un  vn  cq a cq qn1  crcq u1  a
 Trường hợp 3: Nếu c  q  n
un  qvn rq , n 1 Đặt dãy số  v 
n sao cho: un  q vn. n, thay vào công thức truy hồi của dãy un ta được q v  n1 n1 q q v n n rqn r vn1 vn  q u a r
 vn là một cấp số cộng với số hạng đầu v1  1  và công sai d  q q q u1 1 
Ví dụ 2.3: Cho dãy u  n
biết un1 un  1n với nN * .    2 n1  
Xác định số hạng tổng quát của dãy u  n (Đs: un  2  1 ) 1 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền  2 Bài giải: Cách 1: Ta có: u1 1 u2 u1  1 2 2 u3 u2   1  2 3
u4 u3   1  2 ………… n1  1 un  un1    2
Cộng vế với vế ta được: n  1 2 n1 1
1  1  1   2  1 n1 un   1   .....   2  
2  2  2 1  2 Cách 2: n  1     2  vn 2.
 1 n thay vào công thức truy hồi ta
Đặt dãy số  vn sao cho: un  vn  2 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền   2 được: n1 n n
vn1 2  1 vn 2  1  1  2  2  2  vn1  vn   1
 dãy  vn được xác định bởi: v1  u1  2  2   1 1 2 vn1  vv  vn  v1  2,n 1 n n1  1  1
Vậy: un  2 2   2    2  2
Ví dụ 2.4: Viết công thức của số hạng tổng quát của các dãy số u  n với: u1  8 n1 n 1) u u n n 1 (Đs: un  5.2 3 )  n1  2 n 3 , u1 1 1 n n1 u
2) un1  5un 3n,n 1 (Đs: n  23 5  ) u1 101 n n1 u
3) un1  7un 7n1,n 1 (Đs: n  n.7 94.7 ) 3 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền u1 1 un  3 .2n n 5.2n1 ) 4) un1  2 n n 1 (Đs: un 6.2 ,
u1  0 un  33n1 n.3n ) 5) u u n n n 1 (Đs: 2  n1  n  2 .3 , Bài giải: u1  8
1) un1  2un 3n,n 1 Đặt u 
n  vn 3n,n 1 thay vào công thức truy hội của dãy un ta được: v 
n1 3n1  2vn 3n 3n  vn1  2vn
 vn là một cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1  3 5và công bội q  2  vn  5.2n1  un  5.2n1 3n u1 1
2) un1  5un 3n,n 1 3n Đặt un  vn 
thay vào công thức truy hồi ta được 2 n1 n 4 lOMoAR cPSD| 59256994 GV: Phạm Thị Thu Huyền vn1 
3 5vn  3 3n 2  2   vn1  5vn
 vn là một cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1  3 1 và công bội q  5 2 2  vn  1.5n1 2  u 
n  1.5n1  1.3n  1 3n 5n1 2 2 2 u1 101 3) u  7 7n1 n 1 u n1 n  ,
Đặt un  7nvn thay vào công thức truy hồi ta được
7n1vn1  7.7nvn 7n1  vn1  vn 1 101 u1 và công sai d 1
 vn là một cấp số cộng với số hạng đầu v1   7 7  vn  101    n 1 n 94 7 7  un  n.7n 94.7n1 u1 1 4) 
n n 1 un1  2un 6.2 , 5