Giới hạn của dãy số và kiến thức giải tích 1 | Học viện Kỹ thuận Quân sự

lOMoARcP SD| 59256994 1 MỞ ĐẦU
Giải tích 1 là môn học rất cần thiết cho các ngành kỹ thuật, những kết quả
cũng như phương pháp nghiên cứu của môn học óng vai trò quan trọng trong việc
hình thành kiến thức, kỹ năng cũng như phương pháp tư duy cho người kỹ sư.
Chúng ta sẽ nghiên cứu các khái niệm về tập số thực, các phép toán trên tập
số thực, tính ầy ủ của tập số thực, khái niệm cận trên úng, cận dưới úng, căn bậc
n của số thực dương. Đây là những kiến thức mở ầu rất quan trọng của môn học
Giải tích, làm tiền ề cho các phần tiếp theo. Tiếp theo là các khái niệm về dãy số,
giới hạn của dãy số, các tính chất về dãy hội tụ. Các nguyên lý và tiêu chuẩn hội
tụ của dãy số, từ ó áp dụng giải bài tập về giới hạn dãy số. Bài giảng này còn giới
thiệu cho học viên khái niệm về giới hạn của hàm số, các ịnh lý về các tính chất
và phép toán của giới hạn hàm số. Khái niệm VCB, VCL, các tính chất của VCB,
VCL, phân loại các ại lượng này và cách sử dụng chúng ể tìm giới hạn. Và cuối
cùng, các khái niệm về hàm số liên tục, phân loại iểm gián oạn của hàm số, tính
chất của hàm số liên tục trên một oạn kín, khái niệm hàm số liên tục ều cũng sẽ
ược ưa ra trong bài giảng này. Chính sách riêng
Mỗi lần lên bảng chữa bài tập úng ược ghi nhận.
Hết Chương nào nộp Bài làm của Bài tập Chương ấy. Tài liệu tham khảo TT Tên tài liệu Tác giả Nxb Năm xb 1 Giáo trình Giải Tô Văn Ban Giáo dục 2012 tích I 2 Toán học cao cấp Nguyễn Đình Trí Giáo dục 2007 (T2,3) 3 Giải tích 1 Trần Bình KH và KT 2007 4 Bài tập giải tích Nguyễn Xuân HVKTQS 2006 Viên 5 Bài tập Giải sẵn Trần Bình KH và KT 2007 giải tích I 6 Calculus (Early Jon Rogawski W.H. 2007 Transcendentals), Freeman and Co.
BÀI 1. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ lOMoAR cP SD| 59 256 994 2 1.1 SỐ THỰC
1.1.1 Sự mở rộng về số Nhắc lại rằng, =0,1,2,... ...n  =  0, 1, 2,...n...
Q=x x/ = m ,n*,m, ( , )m n =1  n  Rõ ràng Q .
Tập Z tương ương với N , Q tương ương với N , hay Z, Q là những tập ếm ược.
Tập Q còn quá hẹp, xét phương trình x2 − =2 0 =x2 . 2Q. Thật vậy, giả
sử 2Q, khi ó 2 = m ,n ,m 2n2 = m2 m là số chẵn n m=2pn2 =2p2 n chẵn.
mn, có ước số chung là 2. Vô lý 2Q. 1.1.2 Tiên ề số thực
Tập số thực ký hiệu R, trên ó có trang bị hai phép toán, phép cộng và phép
nhân, và một quan hệ thứ tự  thỏa mãn:
a) (R, +, .) là một trường
b) là m ột quan hệ thứ tự toàn phần trong R, nghĩa là , R ta có   hoặc
  , và có các tính ch ất: i) Phản xạ: 
ii) Phản ối xứng:   ,   thì suy ra  = iii) Bắc cầu: 
 ,   thì suy ra  
c) Giữa các phép toán +, . và quan hệ thứ tự có m ối liên hệ:
1.        +  +
2.  0,     .  .
d) Mỗi tập không trống và bị chặn trên ều có cận trên úng. Qui ước:   không âm   
= 00 ;  âm   0;  không dương    = 00 . lOMoARcP SD| 59256 994 3
Với mỗi R . Gọi giá trị tuyệt ối của , kí hiệu ược xác ịnh như sau:
= − khikhi 00
Định lý 1.1.1 (Tính trù mật của tập R) Nếu , R mà   thì tồn tại R sao cho     .
Tính chất Archimede: R có tính chất Archimede sau ây: *  0 , A  0 , n   : n A . Sự trù mật
Định nghĩa: Cho hai tập hợp số thực A, B, vớiA B . Ta nói tập hợp A trù mật
trong tập hợp B nếu:  b B,  0,  a A: b−  +a b .
Lưu ý: Ta vẫn thu ược ịnh nghĩa tương ương nếu bất ẳng thức sau cùng thay bởi b−  +a
b(hay b−  +a bhay b−  +a b ).
Định lý: Q trù mật trong R.
Hệ quả: Cho x và y là hai số thực bất kỳ vớix y . Tồn tại số hữu tỷ a ể x a y 
1.1.3 Cận trên và cận dưới
Định nghĩa 1.1.3 Cho tập số thực ER .
1. Nếu    M R x: , x M
thì ta nói tập số thực  bị chặn trên bởi số.
(    m R x x m thì ta nói rằng tập số thực bị chặn dưới bởi số m)
2. Tập số thực là bị chặn  K 0 sao cho x : x K .
3. Sốtrong tập số thực bị chặn trên ược gọi là cận trên của tập. Ta gọi số
nhỏ nhất trong các cận trên của tập là cận trên úng của tập và ký hiệuSup  .
4. Sốm trong tập số thực bị chặn dưới ược gọi là cận dưới của tập. Ta gọi số
lớn nhất trong các cận dưới của tập là cận dưới úng của tập và ký hiệu inf   . Ví dụ 3:  1 Supsin x=1, Sup   không tồn tại. x Từ
ịnh nghĩa suy ra tính chất sau: lOMoAR cP SD| 59 256 994 4
a. =Sup      x 0: xx0: x0  − 
b. = inf       x 0,: x0x : x0  + 
Chứng minh a. () =Sup  theo ịnh nghĩa sup là cận trên, ta có  x : x . 
Giả sử 0  0: x E x,  − 0  Mâu thuẫn là Sup  .
( )  0 x0 : x0 − ,  x
: x , giả sử  không phải là số nhỏ nhất,
  x    ặt  0 =
−  0 − 0  x0 , suy ra        + 0 = + −    vô lý.
 là số bé nhất,  là Sup  .
Cận trên úng và cận dưới úng có thể thuộc hoặc không thuộc tập ấy, ví dụ:
−1, 1, (−1, 0 ,) −1, 0 ...)
Định lý 1.1.4 Cho  R, 
i. Nếu tập bị chặn trên thì nó có Sup  . ii.
Nếu tập bị chặn dưới thì nó có inf   . 1.1.4 Số thực mở rộng
Ta ưa ến số thực hai ký hiệu − +,
x R − x + x 0: .(x +) =+ x 0: x.(+) =− x.(−) =− x.(−) =+ x x =+ =− 0 0 R R =  +  
* Với tập số thực ở trên một tập  R không bị chặn ta qui ịnh:
Sup  =+ (không bị chặn trên) inf  =− (không bị chặn dưới).
Căn bậc n của số thực dương: Cho  R n+,
 . Căn bậc n của số là một số  sao cho  =n . lOMoARcP SD| 59256 994 5
Mệnh ề.   a 0, nnguyên dương,  ! b 0 sao cho bn =a . Bài
tập: Cho a, b thuộc Q, a < b. CMR: a) Tồn tại c thuộc Q sao cho a < c < b
b) Tồn tại m thuộc tập vô tỉ sao cho a < m < b 1.2 GIỚI HẠN CỦA DÃY
1.2.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.2.1 Ta xét ánh xạ: f : →* R  =*\ 0  n f n( )
Ta nói ánh xạ f cho ta một dãy số.
Định nghĩa 1.2.2 Ta kí hiệu a 
n n=1 ( an )là một dãy số. Số a ược gọi là giới
hạn của dãy số  a  *
n n=1 khi n→ nếu     0 n0 sao cho  n n0 thì ta có
a an −  và viết Liman = a n→
Ví dụ 1. Chứng minhn+1 có giới hạn là 1 (n→).  n 
Xét nn+1 − =1 n+ −n1 n = 1n    n  1 . Ta lấy n0 =  1 . lOMoAR cPSD|59 256 99 4 6 Rõ ràng là   =   0 ta lấyn0
 1 * sao cho n n0 thì 1n .
Ví dụ 2. Chứng minhn không có giới hạn.
Ta dùng pp phản chứng. Giả sử số a là giới hạn của n, n a n a−  − 1. Lấy  = 0
1n ta có n −a  −  =n a 1 0 (n ủ lớn) trái với ịnh nghĩa.
Chứng tỏa không là giới hạn của n.
Ví dụ 3. Chứng minh(−1)n không có giới hạn.
Định nghĩa 1.2.3 Giả sử  an là một dãy và k : N* → N* n k(n) = kn
là một dãy số nguyên dương tăng nghiêm ngặt. Dãy số un = a(k(n)) = ak gọi là một n
dãy con của dãy  an .
Ví dụ 4. Dãy số 1, 1,..., 1 ,... 2 4 2n và dãy số 1, ,...
là những dãy con của dãy số 1 1 1 1, , ,..., ,... 2 3 n
1.2.2. Các phép toán về giới hạn
Định lý 1.2.4 Nếu an có giới hạn thì giới hạn ó là duy nhất.
Định lý 1.2.5 Giả sử hai dãy số an và bn có giới hạn a và b khin→. Khi ó ta có: 1. a  ) n bn
cũng có giới hạn và lim(an bn = lim an  lim bn.
2. a bn n.  cũng có giới hạn và lim(a bn n. )= lim an.lim bn. lOMoARcP SD| 59256994 7
3.  abnn (b 0) cũng có giới hạn và limabnn = limlim abnn
Định nghĩa 1.2.6 Dãy số  a 
n n=1 ược gọi là bị chặn nếu   M 0 n 1 ta có an M .
Định lý 1.2.7 Nếu  a 
n n=1 ( an )có giới hạn khi n→ thì nó bị chặn.
Chứng minh: Giả sử  a *
n →a n( →) khi ó với=1  n1
 n n1 a an − 1   +  an a 1 n n1 a a an −  n −a
Ta ặt M = max a , a ...., a , a 1 2 n
+1 0 an  M  n 1.
Định lý 1.2.8 Nếu lim an =a thì lim an = a .
Chứng minh: 0 xét an − a  an − a
Vì an → a n0sao cho n n0 thì ta có a an − 
Do ó: an −a    n n0 nên lim an = a .
Lưu ý: Điều ngược lại của ịnh lý này không úng.
Xét lại ví dụ 3: (−1)n
Định lý 1.2.9 Nếu  an 1 có giới hạn a n( →) thì mọi dãy con của nóamnn
cũng có giới hạn là a tức amn →a n( →).
Chứng minh: Giả thiết lim a *
n = a nên     0 n0 sao cho  n n0, ta có n→ a an − .
Xét dãy con bất kỳ amnn /(m n,  ược rút ra từ tập các số tự nhiên sao = − cho m m ( 1  2  ... n) an
1)n có dãy con am =1 (m1 = 2,m2 = 4,m3 = 6) lOMoAR cP SD| 59 256 994 8    m n nn
0 amn −a chứng tỏ limn→amn =a .
Nhận xét: Hai dãy con của một dãy có hai giới hạn khác nhau thì dãy ó không có giới hạn.
Định lý 1.2.10 (Dấu hiệu kẹp) Cho ba dãy a ,b ,cn
nn thoả mãn bn    an cn n N và lim bn = lim cn =a . Khi ó lim an =a . n→
Ví dụ 5. Tìm giới hạn của dãy số sinn .  n 
Bổ ề cantor Cho hai dãy  a  
n và bn thoả mãn an  bn n, an 1+ ,bn 1+ a ,b   n n
và lim(b an − n) = 0  !c R c a b,  n, n n:lim ak = lim bk =c. k→ k→
Định lý 1.2.11 (Bolzano-Weierstrass) Từ một dãy bị chặn ta rút ra ược một dãy con hội tụ.
Định lý 1.2.12 Dãy nhận ược bởi một phép hoán vị các số hạng của một dãy hội
tụ là một dãy hội tụ.
(Định lý này là hệ quả của ịnh lý về tính duy nhất của giới hạn dãy số) hoặc chứng minh bằng phản chứng:
Giả thiết a  b (a b, là hai giới hạn của dãyan và bn (sau khi ã hoán vị))
r a r b:   Vì lim an = a,a  r nên N1  n N :a1 n  r , N2  n N : b2 n  r suy ra an bn vô lý.
1.2.3 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn. (Điều kiện có giới hạn)
Định nghĩa 1.2.13 (Dãy Cauchy) Dãy an gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu    0 n ( ) 0
  n n0( ) thì a an − m . m n 0( ) lOMoARcP SD| 59256994 9 Ví dụ 6. Cho  a 
n n=1 lim an = a . Khi ó dãy  an là dãy Cauchy trên R . 
Thật vậy vì an →a nên    0 n0( )  n n0( ) − an a. 2 
   0 n0( )  m n0( )  − a am . 2
Mặt khác, a an − m  a a an − + m −a . Thoả mãn iều kiện của dãy Cauchy. Định
lí 1.2.14 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy)
Điều kiện cần và ủ ể một dãy số thực a an n R hội tụ (trong R) là với
  0 n0( ) sao chon m n,  0( ) a an − m .
Ví dụ 7: Xét sự hội tụ của dãy số 1 1 xn = + + +1 ... . 2 n Xét x xn − 2n = 1 + +... 1  + + = 1 ... 1 1 0. Dãy  xn không là dãy Cauchy n+1 2n 2n 2n 2 nên nó không hội tụ.
Định nghĩa 1.2.15 Cho  a  n n=1.
Dãy an n=1 là tăng (tăng ngặt) nếu và chỉ
nếu an an+1  =n 1, 2,....(an an+1  =n 1, 2,...).
Dãy an n=1 là giảm (giảm ngặt) nếu và chỉ nếu
an an+1  =n 1, 2,....(an an+1  =n 1, 2,...).
Một dãy tăng hoặc giảm gọi là dãy ơn iệu.
Định lý 1.2.16 (Dấu hiệu ơn iệu) Nếu dãy a 
n n=1 ơn iệu và bị chặn thì nó có giới hạn.
Ví dụ 8. Chứng minh dãy số sau có giới hạn lOMoAR cP SD| 59 256 994 10
xn =1− 11− 12 ... 1 − 1n  2 2   2  Thật vậy,
0  xn =1− 11− 12 ... 1 − 1n 1 và xn =2 1 1n − +n = +1 n1 1  2 2   2  xn+1 2 1− 2 1−
Dãy  xn là dãy ơn iệu giảm và bị chặn dưới nên theo Định lý 1.2.16 tồn tại lim xn. n→ Ví dụ*: an = +1 1 + +.... 1 (p*) n n+1 np
Ta chứng minh  an ơn iệu giảm và bị chặn dưới an+1 = 1 + 1 + +....
1 (p*) an+1 −an n+1 n+ 2 (n+1)p Xét a 1 n+1 − =an
+ 1 + +.... 1 − 1 pn+1 pn+ 2
(n+1)p n  1 1−  − =1 1 0 np n n n an+1 −an 0
Mặt khác: an  0   n 1  an ơn iệu giảm và bị chặn dưới. Số e
Ví dụ 9: Xét an = 1+ 1n  n
Dãy  an ơn iệu tăng và bị chặn trên.
Theo Định lý 3.2.9,  an có giới hạn. lim(1+ 1)n =e 2  e 3. elà số vô tỉ. n→ n e= 2,718281828459045... lOMoARcP SD| 59256 994 11
1.3 BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SÓ
Bài số 1: Tìm các giới hạn sau
1. nlim1.21 + 2.31 + +... nn( 1+1) → 2. limxn n→ x = = + = + + 1 2 , x2 2 2, ...., xn 22 .... − 3. lim 1 → n
 − 21    2 1 312 ... 1 − n12  
4. lim 1  − 131− 16... 1 − nn( 1+ n→ 1)  2   1 1 1 
5. limn  2.4 + 4.6 + +... 2n n(2 + 2). →
6. lim (k n+ −1 k n n)k k−1+1 , k 1, k n→ 12+ + + +32 52 ... (2n −1)2
7. lim n→ 22+ + + +42 62 ... (2n)2
Bài tập làm thêm: Cho a, b thuộc Q, a < b. CMR: a) Tồn
tại c thuộc Q sao cho a < c < b
b) Tồn tại m thuộc tập vô tỉ sao cho a < m < b khi ó n(b-a) > 2 => nb
> 2 + na chọn q = (√2 + na) là số vô tỉ, vì √2 là số vô tỉ và na là số
hữu tỉ. Ta có: na < √2 + na < 2 + na < nb hay na < q < nb => a < q/n < b.
Vậy tồn tại m = q/n là số vô tỉ thỏa mãn bt.