6 trang 3 lượt tải

Bài tập áp dụng phương trình vi phân | Phương trình vi phân | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

6

Bài 2. Có mô hình về sự lây lan của một bệnh dịch, trong đó tốc độ lây lan tỷ lệ với số người bị nhiễm bệnh và số người không bị nhiễm bệnh. Ở một thị trấn hẻo lánh có 5000 cư dân, số người mắc bệnh dịch vào đầu tuần là 160 và con số này đã tăng lên đến 1200 vào cuối tuần. Hỏi phải mất bao lâu thì 80% cư dân thị trấn đều bị nhiễm bệnh? Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn: Phương trình vi phân (HUS) 10 tài liệu

Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 687 tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 tuần trước
Danh sách Quiz
/6
Bài t p áp d , 7/2021 NGUY ậ ụng phương trình vi phân ĐHKH TỰ NHIÊN, ĐHQG TP.HCM ỄN VĂN THÙY
1
CÁC BÀI TOÁN TH N ÁP D ỰC TIỄ ỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 1. Một cái b chể ứa 100 lít nướ ết. Người ta đổ ịch nước tinh khi dung d c muối chứa 0,1 kg mu i/lít vào b ố ể
với t 10 lít/phút. Dung d c hòa tan và chốc độ ịch đượ ảy ra khỏi b v i t bể ớ ốc độ ằng t chốc độ ảy vào. Hỏi
lượng mu i trong b sau 6 phút là bao nhiêu? ố ể
Bài 2. Có mô hình v s lây lan c a m t b nh d lây lan t l v i s i b nhi m b nh ề ự ủ ộ ệ ịch, trong đó tốc độ ỷ ệ ớ ố ngườ ị ễ ệ
và s i không b nhi m b nh. m t th tr n h o lánh i m c b nh d ch vào ố ngườ ị ễ ệ Ở ộ ị ấ ẻ có 5000 cư dân, số ngườ ắ ệ ị
trấn đều bị nhiễm bệnh?
Bài 3. Một mô hình tăng trưở ủa Von Bertalanffy đượng c c s dử ụng để d ự đoán chiều dài c a m t con cá 𝐿(𝑡) ủ ộ
theo th i gian. N u là chi u dài l n nhờ ế 𝐿
∞
ề ớ ất c a mủ ột loài nào đó, thì ta giả thiết r ng tằ ốc độ tăng trưở ng về
chiều dài c a loài tủ ỷ lệ v i , là chiớ 𝐿 − 𝐿
∞
ều dài t n. ối đa chưa đạt đế
a) L ập và gi tìm mải phương trình vi phân để ột biểu thức cho . 𝐿(𝑡)
b)
Đối v i loài cá tuyớ ết biở ển B c , và tắc, người ta xác định đượ 𝐿 𝑐𝑚,𝐿 0 𝑐𝑚
∞
=53
( )
=10 ỷ lệ không
đổ ố ể ứ ẽi là 0,2. Với các s liệu này thì bi u th c s𝐿(𝑡) nào? như thế
Bài 4. a) Dân s th gi i kho ng 5,28 t 6,07 t Gi s t ố ế ớ ả ỷ người vào năm 1990 và ỷ người vào năm 2000. ả ử ốc độ
tăng trưở ầu như không đổng tỷ lệ với quy mô dân số, hay htốc độ tăng trưởng tương đố i i khi quy mô
dân s nh c g i là hay quy lu ng t nhiên). D a trên d li u này và ố ỏ (còn đượ ọ mô hình hàm mũ ật tăng trưở ự ự ữ ệ
sử d d th gi 25. ụng mô hình đó để ự đoán dân số ế ới năm 20
b) vào mô hình câu (a), hãy cho bi t khi nào dân s th gi i t quá 10 t i? Căn cứ ế ố ế ớ vượ ỷ ngườ
c) Gi s t ả ử ốc độ tăng trưởng tương đối giảm khi dân s u âm khi quy mô dân s ố tăng và bắt đầ ố 𝑃 t quá vượ khả
năng chứa đựng M, là m c dân s tứ ố ối đa mà môi trường có th ch c trong thể ịu đựng đượ ời gian dài (còn được
gọi là mô hình logistic). Biểu th n nhức đơn giả ất biểu diễn t i phù h p v i các giốc độ tăng trưởng tương đố ợ ớ ả
định này là
1
𝑃
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=𝑘 1−(
𝑃
𝑀
).
Sử d ng d li u câu (a) tìm m t mô hình logistic cho dân s th gi i. Gi s kh a d ng là 100 t ụ ữ ệ để ộ ố ế ớ ả ử ả năng chứ ự ỷ
ngườ ự ế ự ạ ừi, hãy dùng mô hình logistic để d đoán dân số th gi 25. So sánh với năm 20 ới d đoán của b n t mô
hình hàm mũ.
d) Căn cứ vào mô hình logistic, hãy cho biết khi nào dân số thế giới vượt quá 10 tỷ người? So sánh với dự
đoán của bạn ở câu (b).
Bài 5. a) Gi i bài toán giá tr u ả ị ban đầ
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=0.1𝑃(1−
𝑃
2000
);𝑃
(
0
)
=100
và s d ng tìm dân s khi . ử ụ nó để ố 𝑡=20
b) Khi nào dân s t n m c 1200? ố đạ đế ứ
Bài t p áp d , 7/2021 NGUY ậ ụng phương trình vi phân ĐHKH TỰ NHIÊN, ĐHQG TP.HCM ỄN VĂN THÙY
2
Bài 6. Định lu t Brentano-Stevens trong ngành tâm lý h c mô ph ng cách mà mậ ọ ỏ ột đối tượng ph n ng l i m t ả ứ ạ ộ
kích thích. Đị ứng đố ột lượnh luật phát biểu rằng nếu bi𝑅 ểu diễn sự phản i với m ng kích thích, thì các 𝑆
tốc độ tăng tương đố i tỷ lệ với nhau
1
𝑅
𝑑𝑅
𝑑𝑡
=
𝑘
𝑆
𝑑𝑆
𝑑𝑡
𝑘 là h ng s . Tìm hàm s ằ ố dương ố 𝑅 theo 𝑆.
Bài 7. Việc vận chuyển một ch t qua mao mấ ạch trong ph c mô ph ng b ổi đượ ỏ ằng phương trình vi phân
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=−
𝑅
𝑉
(
ℎ
𝑘 +ℎ
)
trong đó là nℎ ồng độ hoóc môn trong máu, là th i gian, là t v n chuy n t , là th tích c a mao 𝑡 ờ 𝑅 ốc độ ậ ể ối đa 𝑉 ể ủ
mạch, và là m t h ng s dính bám gi a các hoóc môn và en-zim h tr trong quá trình 𝑘 ộ ằ ố dương đo lường độ ữ ỗ ợ
vận chuyển. Gi tìm mải phương trình vi phân để ối qua hệ giữa và . ℎ 𝑡
Bài 8. Một v t th có khậ ể ối lượng 𝑚 đượ ảc th rơi tự do t trừ ạng thái tĩnh, và chúng ta gi ả đị ằnh r ng l c c n c a ự ả ủ
không khí tỷ l v i v n t c c a v t th . N u là kho ng cách c a v t th ệ ớ ậ ố ủ ậ ể ế 𝑆(𝑡) ả ủ ậ ể đượ ảc th rơi sau 𝑡 giây thì v n ậ
tốc c a v t th là và gia t c . N u là gia t c tr ng thì lủ ậ ể 𝑣=𝑠′(𝑡) ố 𝑎=𝑣′(𝑡) ế 𝑔 ố ọng trườ ực tác động vào vật thể
theo phương hướng xu ng là ố 𝑚𝑔 −𝑐𝑣, trong đó 𝑐 là m t h ng s , và tộ ằ ố dương heo định luật th 2 v chuy n ứ ề ể
độ ủng c a Newton ta có
𝑚.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=𝑚𝑔− 𝑐𝑣.
a) Gi ải phương trình này để chứng minh rằng
𝑣=
𝑚𝑔
𝑐
(1 −𝑒
−
𝑐𝑡
𝑚
).
b) Tính vận tốc gi i hớ ạn của vật thể.
c) Tính khoảng cách mà vật thể c sau giây. rơi đượ 𝑡
Bài 9. Một b có th tích 400 L ch y dung d ch h n h c và clo v i n 0.05g clo/lít gi m ể ể ứa đầ ị ỗ ợp nướ ớ ồng độ . Để ả
nồng độ , người ta đổ thêm nướ ốc độ ục đượ clo c tinh khiết vào bể với t 4 L/s. Dung dịch tiếp t c khuấy lên
và bơm ra ngoài vớ ốc độ . Tìm lượi t 10 L/s ng clo trong bể dưới dạng một hàm số theo thời gian.
Bài 10. M t b ch m t dung d ch mu i có n 0.4 kg/L vào b v i t 5 ộ ể ứa 100 L nước. Người ta đổ ộ ị ố ồng độ ể ớ ốc độ
L/phút. Dung dịch được hòa tan và ch y ra kh i b v i t 3 L/phút. N u ả ỏ ể ớ ốc độ ế 𝑦(𝑡) ng mu i (kg) sau là lượ ố 𝑡
phút, ch ng minh r ng th ứ ằ 𝑦 ỏa phương trình vi phân sau
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=2 −
3𝑦
100
+ 2𝑡
.
Giải phương trình ồng độvà tìm n dung dịch sau 20 phút.
Bài t p áp d , 7/2021 NGUY ậ ụng phương trình vi phân ĐHKH TỰ NHIÊN, ĐHQG TP.HCM ỄN VĂN THÙY
3
Bài 11. Các nhà tâm lý h c r n thuy t ọ ất quan tâm đế ế đường cong h c tọ ập. ng cong h c t th c a Đườ ọ ập là đồ ị ủ
hàm s ố 𝑃(𝑡), là hàm s bi u di n k t qu c a mố ể ễ ế ả ủ ột người học m t k ộ ỹ năng dưới dạ ộng m t hàm s theo th i ố ờ
gian o . o hàm c i thi n k t qu h c t p. đào tạ 𝑡 Đạ 𝑑𝑃/𝑑𝑡tượng trưng cho tốc độ ả ệ ế ả ọ ậ
a) Theo bạn thì t là khi nào? 𝑃tăng nhanh nhấ Điều gì xảy ra v i ớ 𝑑𝑃 𝑑𝑡
⁄
khi 𝑡 Hãy gi i thích. tăng? ả
b) N ếu là m𝑀 ức hiệu quả cao nhất i hmà ngườ ọc có thể đạt đượ ại sao phương trình vi c, hãy giải thích t
phân
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=𝑘𝑀− 𝑃(𝑡)
[ ]
trong đó k là mộ dương, t hằng số là mô hình biểu diễn kết quả học tập hợp lý.
c) Gi ải phương trình vi phân và sử ủa phương trình để dụng nghiệm c vẽ đường cong học tập.
d) Người ta thuê Mark là công nhân m i làm viớ ệc cho một dây chuyền lắp ráp. Mark x c 35 ử lý đượ đơn
v
ị trong gi trong gi thờ đầu tiên và 50 đơn vị ờ ứ 2. Sử dụng mô hình trên và giả sử 𝑃
(
0 =0
)
, ước tính
số t c trong 1 gi . đơn vị ối đa mà Mark xử lý đượ ờ
Bài 12. M t mộ ạch điện đơn giản như hình vẽ có ch a m t su t ứ ộ ấ
điện độ ột máy phát điệng (thường là một ắc-quy hay m n)
làm s n sinh mả ột điện th ế 𝐸(𝑡) vôn (𝑉) và cường độ dòng
điệ ạn ampe t𝐼(𝑡) (𝐴) i th m . Mời điể 𝑡 ạch điện này cũng
ch
ứa một điện tr R ôm ở
(
Ω
)
và m t cu n cộ ộ ảm có điện c m ả
𝐿 hen-ri (𝐻). Theo định lu t Ôm, s s t áp ậ ự ụ do điện tr gây ở
ra là n áp gi m do cu n c m là
𝑅𝐼. Điệ ả ộ ả 𝐿
(
𝑑𝐼 𝑑𝑡
⁄ )
. M t ộ
trong các định luật của Kirchhoff nói rằng tổng sụt áp
bằng v n áp cung c p . Với điệ ấ 𝐸(𝑡) ậy ta có
𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝑅𝐼=𝐸
(
𝑡
)
là phương trình vi phân mô phỏng cường độ dòng điệ ời điể n t𝐼 ại th m . 𝑡
a) Bi
ết ắc-quy t o ra m t hi n thạ ộ ệu điệ ế không đổi 40 V, độ tự cảm 2 H, điện tr 10 , ở Ω 𝐼
(
0 =0
)
. Tìm 𝐼(𝑡)
và n sau 0.1 giây. tìm dòng điệ
b) Bi
ết máy phát điệ ệu điệ V, độn cung cấp một hi n thế 𝐸
(
𝑡
)
=40 sin 60𝑡 tự cảm là 1 H, điện trở là 20
Ω
, và 𝐼
(
0
)
=1 𝐴. Tìm 𝐼(𝑡) n sau 0.1 giây. và tìm dòng điệ
Bài t p áp d , 7/2021 NGUY ậ ụng phương trình vi phân ĐHKH TỰ NHIÊN, ĐHQG TP.HCM ỄN VĂN THÙY
4
Bài 13. Hình dưới đây minh họa m t mộ ạch điện có ch a m t suứ ộ ất điện động, m t t ộ ụ điện có điện dung C farads
(F), và m n tr R ohms . n th gi m khi qua t n là
ột điệ ở
(
Ω
)
Điệ ế ả ụ điệ 𝑄 𝐶
⁄
, trong đó Q là điện tích (cu-lông),
như vậy trong ng h p này, áp dtrườ ợ ụng định luật Kirchhoff, ta có
𝑅𝐼
+
𝑄
𝐶
=𝐸
(
𝑡
)
.
Tuy nhiên, 𝐼=𝑑𝑄 𝑑𝑡
⁄
, vì v y ta có ậ
𝑅
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑄=𝐸
(
𝑡
)
.
a) Gi ả sử điện tr là 5 , ở Ω điện dung là 0.05 F, c-quy cho hi n thắ ệu điệ ế không đổ 60 V, và điệi n tích ban
đầ ạ
u là n t𝑄
(
0
)
=0 𝐶. Tìm điện tích và dòng điệ i th m . ời điể 𝑡
b) Gi
ả s , ử 𝑅=2 Ω 𝐶=0. 0 =0,𝐸 sin01 𝐹,𝑄
( ) (
𝑡
)
=10 60𝑡 𝑉. Tìm điện tích và dòng điện t i thạ ời điểm
𝑡.
Bài 14. Nghề c mô hình hóa b nuôi cá bơn Thái Bình Dương đượ ởi phương trình vi phân sau
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=𝑘𝑦(1 −
𝑦
𝑀
)
Trong đó ối lượ ời điể (đo bằ𝑦(𝑡) là sinh khối (tổng kh ng sinh vật trong quần thể) tính bằng kg tại th m 𝑡 ng
năm) ả, kh c tính là kg, và năng chứa đựng ướ 𝑀=8 × 10
7
𝑘=0.71/năm.
a) N
ếu kg, tìm sinh kh𝑦
(
0 =2 ×
)
10
7
ối c ủa cá bơn một năm sau.
b) Ph ải m sinh kh n mất bao lâu để ối đạt đế ức kg? 4 ×10
7
Bài 15. Gi s m t dân s th a mãn ả ử ộ ố 𝑃(𝑡) ỏ
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=0.4𝑃− 0. ;𝑃 0001𝑃
2
( )
=50
trong đó được đo bằng năm.𝑡
a) Kh ả ng bnăng chứa đự ằng bao nhiêu?
b) 𝑃′(0) bằng bao nhiêu?
c) Khi nào dân số đạt kh50% ả ng? năng chứa đự
Bài 16. Giả sử một dân s ng theo mô hình logistic v i dân số tăng trưở ớ ố ban đầu là 1000 người và khả năng
chứa đự tăng lên 2 ột năm, thì sau bố năm, tổng là 10000 người. Nếu dân số 500 người sau m n ng dân số sẽ
là bao nhiêu?
Bài t p áp d , 7/2021 NGUY ậ ụng phương trình vi phân ĐHKH TỰ NHIÊN, ĐHQG TP.HCM ỄN VĂN THÙY
5
Bài 17. Mô hình s lan truy c l p d a trên nguyên t c: t lan truy n t l v i tích c a ph n ự ền tin đồn đượ ậ ự ắ ốc độ ề ỷ ệ ớ ủ ầ
dân s n v i s n. ố 𝑦nghe được tin đồ ớ ố người không nghe được tin đồ
a) Vi th ết một phương trình vi phân ỏa mãn b i . ở 𝑦
b) Gi ải phương trình vi phân.
c) Một th trị ấn nhỏ có 1000 cư dân. Vào lúc 8 giờ sáng, 80 người nghe đượ ột tin đồn. đến trưac m , một
n Hửa th trị ấn nghe được tin đồn đó. ỏi vào th m nào thì 90% sời điể ố dân th tr n? ị ấn nghe được tin đồ
Bài 18. Các nhà sinh h c nuôi cá trong h vọ ồ ới 400 con cá và ước tính kh ả năng chứa đựng (s ố lượng tối đa loài
cá trong h ng cá trong h p 3 l u tiên. đó ồ) là 10000. Lượ ồ đã tăng lên gấ ần trong năm đầ
a) Gi ả sử quy mô loài cá th , hãy tìm mỏa mãn phương trình logistic ột biểu thức cho quy mô loài cá sau 𝑡
năm.
b) Ph ải mất bao lâu thì s ng ố lượ cá tăng lên 5000 con?
Bài 19. Gi s b n m i pha m t c c cà phê có nhi trong mả ử ạ ớ ộ ố ệt độ 95℃ ột căn phòng có nhiệt độ . Gi20℃ ả s cà ử
phê ngu i t /phút khi nhi c a nó m c . ội đi vớ ốc độ 1℃ ệt độ ủ ở ứ 70℃
a) Theo bạn thì cà phê nguội nhanh nh u gì xất khi nào? Điề ảy ra v i t nguớ ốc độ ội của cà phê theo th i ờ
gian? Gi i thích. ả
nhiệt độ gi a v t th ữ ậ ể và môi trường xung quanh c a nó, vủ ới điều ki n s chênh l ch này không quá l n. ệ ự ệ ớ
Viết phương trình vi phân biểu di nh luễn đị ật trao đổi nhiệt c a Newton ch ng hủ o trườ ợp này. Điều kiện
ban đầu là gì?
c) Gi ải phương trình vi phân để ệt độ ời điể tìm nhi của cà phê tại th m . 𝑡
Bài 20. Trong m t ph n ng hóa h n, các phân t c a hai ch t ph n ng A và B t o thành m t ộ ả ứ ọc cơ bả ử đơn ủ ấ ả ứ ạ ộ
phân t c a ch t C: nh lu ng kh ng nói r ng t ph n ng x y ra t l v i ử ủ ấ 𝐴+ 𝐵→𝐶. Đị ật tác độ ối lượ ằ ốc độ ả ứ ả ỷ ệ ớ
tích n phân t c a ch t tham gia ph n ng A và B: ồng độ ử ủ ấ ả ứ
𝑑
[
𝐶
]
𝑑𝑡
=𝑘 .
[
𝐴
][
𝐵
]
Vì v y, n u n phân t u là mol/L và mol/L và chúng ta vi t thì ta có
ậ ế ồng độ ử ban đầ
[
𝐴
]
=𝑎
[
𝐵
]
=𝑏 ế
[
𝐶
]
=𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=𝑘
(
𝑎 −𝑥 𝑏 −𝑥 .
)( )
a) Gi ả sử rằng , tìm 𝑎≠𝑏 𝑥 dưới dạng một hàm số của . S𝑡 ử dụng dữ kiện n u cồng độ ban đầ ủa C bằng
0.
b)
Tìm , gi𝑥
(
𝑡
)
ả sử rằng . Bi𝑎=𝑏 ểu thức này s𝑥
(
𝑡
)
ẽ nào nnhư thế ếu
[
𝐶
]
=𝑎 2
⁄
sau 20 giây?
Bài 21. M t bộ ể chứa 1000 L nước muối v i 15 kg mu i hòa tanớ ố . Người ta đổ nước tinh khi t vào b v i tế ể ớ ốc độ
10 L/phút. Dung d c mu i ti p t c tháo ra kh i b v i t b ng t c ịch nướ ố ế ục hòa tan và đượ ỏ ể ớ ốc độ ằ ốc độ đổ nướ
vào. ng mu i trong b (a) sau t phút và (b) sau 20 phút. Tính lượ ố ể
Bài t p áp d , 7/2021 NGUY ậ ụng phương trình vi phân ĐHKH TỰ NHIÊN, ĐHQG TP.HCM ỄN VĂN THÙY
6
Bài 22. Không khí trong m có th tích 180 u ch a i ột căn phòng ể 𝑚
3
ban đầ ứ 0.15% lượng cacbon điôxit. Ngườ
ta đưa luồn không khí sạch ch chỉ ứa 0.05% cacbon điôxit vào phòng với t 2 ốc độ 𝑚
3
/phút, và lượng không
khí hòa tan đượ ốc độ đưa vào. ần trăm lượng cacbon điôxit trong phòng c hút ra ngoài với cùng t Tìm ph
dướ ạ ố ả ội d ng hàm s theo th u gì xời gian. Điề y ra sau m t thời gian dài?
Bài 23. M t cái thùng có ch a 500 lít bia có pha 4% c n (tính theo th ộ ứ ồ ể tích). Người ta bơm bia có pha 6% c n ồ
vào thùng v i tớ ốc độ 5 lít/phút, và dung d ch hòa tan này l i c ị ạ đượ bơm ra ngoài với cùng v n tậ ốc bơm vào.
Tính % lượng cồn sau nửa giờ đồng hồ.
Bài 24. M t bộ ể chứa 1000 L nước tinh khiết. Người ta đổ nước mu i có ch a 0.05 kg mu c vào b v i ố ứ ối/lít nướ ể ớ
vận tốc 5L/phút, và đổ nước muối có chứa 0.04 kg mu c vào bối/lít nướ ể v i vớ ận tốc là 10 L/phút. Dung
dịch này đượ . Tính lược hòa vào nhau và tháo ra khỏi bể với vận tốc 15 L/phút ng muối trong bể (a) sau 𝑡
phút và (b) sau 1 gi . ờ
Bài 25. Theo định lu t vậ ạn v t h p d n c a Newton, l c h p dậ ấ ẫ ủ ự ấ ẫn trên m t vộ ật thể có kh ng ối lượ 𝑚 c phóng đượ
lên theo phương thẳng đứ ặt trái đấng từ bề m t là
𝐹=
𝑚𝑔𝑅
2
( )
𝑥 +𝑅
2
Trong đó ặt đấ ời điể ủa trái đấ𝑥=𝑥(𝑡) là khoảng cách của vật thể so với m t tại th m , là bán kính c𝑡 𝑅 t, và 𝑔
là gia t c tr
ố ọng trườ . Tương tự, theo địng nh lu t th 2 v chuy ng c a Newton, ậ ứ ề ển độ ủ 𝐹= =𝑚𝑚𝑎
(
𝑑𝑣 𝑑𝑡
⁄ )
nên
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=−
𝑚𝑔𝑅
2
( )
𝑥 +𝑅
2
a) Gi ả sử một tên l c b ng ửa đượ ắn theo phương thẳng đứ hướng lên v i mớ ột vận t u là . Gốc ban đầ 𝑣
0
ọi ℎ
là độ ực đạ ặt đấ cao c i của tên lửa so với m t. Chứng minh rằng
𝑣
0
=
√
2𝑔𝑅ℎ
𝑅 + ℎ
.
b) Tính 𝑣
𝑒
= lim
ℎ→+∞
𝑣
0
. Gi i h c g i là kh t. ớ ạn này đượ ọ vận t c thoát lyố ỏi trái đấ
c) Sử dụng km và 𝑅=6373 𝑔=9,8 𝑚/𝑠
2
để tính 𝑣
𝑒
b ằng đơn vị 𝑘𝑚/𝑠
Bài 26. M t qu ng ti n gi , m i ngày l i có thêm 50 triộ ốc gia có lượ ề ấy đang lưu hành là 10 tỷ đô la ỗ ạ ệu đô la vào
ngân hàng nhà nước. Chính ph quyủ ết định phát hành ti n m i bề ớ ằng cách để ngân hàng thay th các t ti n ế ờ ề
cũ b ng ti n mằ ề ới khi có b t k tấ ỳ ờ ti i vào ngân hàng. G i ng ti n mền cũ nào gử ọ 𝑥=𝑥(𝑡)là lượ ề ới lưu hành
t
ại th m , v i . ời điể 𝑡 ớ 𝑥
(
0 =0
)
a) L ập một mô hình toán học dưới dạng bài toán giá tr u ị ban đầ để tượng trưng cho “dòng” tiền mới khi
lưu hành.
b) Gi ải bài toán giá tr u c trong câu a. ị ban đầ tìm đượ
c) Ph ải m các t tiất bao lâu để ờ ền m i chi ng ti ? ớ ếm 90% lượ ền đang lưu hành

Tài liệu khác của Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Preview text:

Bài tập áp dụng phương trình vi phân
ĐHKH TỰ NHIÊN, ĐHQG TP.HCM, 7/2021
NGUYỄN VĂN THÙY
CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 1. Một cái bể chứa 100 lít nướ ết. Người ta đổ c tinh khi ịch nướ dung d
c muối chứa 0,1 kg mu i/lít vào b ố ể với tốc
độ 10 lít/phút. Dung dịch được hòa tan và chảy ra khỏi bể với tốc độ bằng tốc độ chảy vào. Hỏi lượng mu i trong b ố
ể sau 6 phút là bao nhiêu?
Bài 2. Có mô hình về s ự lây lan c a ủ m t
ộ bệnh dịch, trong đó tốc độ lây lan t
ỷ lệ với số người bị nhiễm bệnh
và số người không bị nhiễm bệnh. Ở m t
ộ thị trấn hẻo lánh có 5000 cư dân, số người mắc bệnh dịch vào
đầu tuần là 160 và con số này đã tăng lên đến 1200 vào cu i ố tuần. H i ph ỏ
ải mất bao lâu thì 80% cư dân thị
trấn đều bị nhiễm bệnh?
Bài 3. Một mô hình tăng trưởng của Von Bertalanffy được s d
ử ụng để dự đoán chiều dài 𝐿(𝑡) c a m ủ t ộ con cá
theo thời gian. Nếu 𝐿∞ là chiều dài lớn nhất của một loài nào đó, thì ta giả thiết rằng tốc độ tăng trưở ng về
chiều dài của loài tỷ lệ với 𝐿∞ − , là chi 𝐿
ều dài tối đa chưa đạt đến. a) Lập và gi tìm m
ải phương trình vi phân để
ột biểu thức cho 𝐿(𝑡 . )
b) Đối với loài cá tuyết ở biển Bắc, người ta xác định được 𝐿∞ = 5 𝑐𝑚 3 , 𝐿(0) = 1 𝑐𝑚 0 , và tỷ lệ không
đổi là 0,2. Với các số liệu này thì biểu thức 𝐿(𝑡 s ) ẽ nào? như thế
Bài 4. a) Dân số thế giới khoảng 5,28 tỷ người vào năm 1990 và 6,07 tỷ người vào năm 2000. Giả s ử tốc độ
tăng trưởng tỷ lệ với quy mô dân số, hay tốc độ tăng trưởng tương đối ầu
h như không đổi khi quy mô dân s nh ố ỏ ( c còn đượ g i là ọ
mô hình hàm mũ hay quy luật tăng trưởng t nhiên). ự
Dựa trên dữ liệu này và
sử dụng mô hình đó để dự đoán dân số thế gi 25. ới năm 20 b)
vào mô hình câu (a), hãy cho bi Căn cứ
ết khi nào dân số thế giới vượt quá 10 t ỷ người? c) Giả s t
ử ốc độ tăng trưởng tương đối giảm khi dân s
ố tăng và bắt đầu âm khi quy mô dân s
ố 𝑃 vượt quá khả
năng chứa đựng M, là m c ứ dân s t
ố ối đa mà môi trường có thể ch c
ịu đựng đượ trong thời gian dài (còn được
gọi là mô hình logistic). Biểu thức đơn n
giả nhất biểu diễn tốc độ tăng trưởng tương đối phù hợp với các giả định này là 1𝑑𝑃 𝑃 𝑃 𝑑𝑡 = 𝑘 1 ( − 𝑀). Sử d ng d ụ
ữ liệu câu (a) để tìm m t mô hình logistic cho dân s ộ
ố thế giới. Giả sử khả năng chứa d ng là 100 t ự ỷ
người, hãy dùng mô hình logistic để ự d đoán dân số t ế h giới năm 25. 20
So sánh với dự đoán của ạ b n từ mô hình hàm mũ.
d) Căn cứ vào mô hình logistic, hãy cho biết khi nào dân số thế giới vượt quá 10 tỷ người? So sánh với dự
đoán của bạn ở câu (b).
Bài 5. a) Giải bài toán giá trị u ban đầ 𝑑𝑃 𝑃
𝑑𝑡 = 0.1𝑃 (1 − 2000) ; 𝑃(0) = 100 và s d ử ng ụ nó để tìm dân s khi ố 𝑡 = 2 . 0 b) Khi nào dân s ố đạt đến mức 1200? 1
Bài tập áp dụng phương trình vi phân
ĐHKH TỰ NHIÊN, ĐHQG TP.HCM, 7/2021
NGUYỄN VĂN THÙY
Bài 6. Định luật Brentano-Stevens trong ngành tâm lý h c ọ mô ph ng ỏ
cách mà một đối tượng phản ng ứ lại m t ộ
kích thích. Định luật phát biểu rằng nếu 𝑅 biểu diễn sự phản ứng đối với một lượng 𝑆 kích thích, thì các
tốc độ tăng tương đố i tỷ lệ với nhau 1 𝑑𝑅 𝑘 𝑑𝑆 𝑅 𝑑𝑡 = 𝑆 𝑑𝑡
𝑘 là hằng số dương. Tìm hàm s ố 𝑅 theo 𝑆.
Bài 7. Việc vận chuyển một chất qua mao mạch trong phổi được mô ph ng b ỏ
ằng phương trình vi phân 𝑑ℎ 𝑅 ℎ
𝑑𝑡 = − 𝑉 (𝑘 + ℎ)
trong đó ℎ là nồng độ hoóc môn trong máu, 𝑡 là thời gian, 𝑅 là tốc độ vận chuyển tối đa, 𝑉 là thể tích của mao
mạch, và 𝑘 là một hằng số dương đo lường độ dính bám gi a
ữ các hoóc môn và en-zim h t ỗ rợ trong quá trình
vận chuyển. Giải phương trình vi phân để tìm mối qua hệ giữa ℎ và 𝑡.
Bài 8. Một vật thể có khối lượng 𝑚 được thả rơi tự do t
ừ trạng thái tĩnh, và chúng ta giả định rằng l c c ự ản c a ủ
không khí tỷ lệ với vận t c ố c a
ủ vật thể. Nếu 𝑆(𝑡 là kho )
ảng cách của vật thể đượ ả
c th rơi sau 𝑡 giây thì vận
tốc của vật thể là 𝑣 = 𝑠′(𝑡) và gia t c
ố 𝑎 = 𝑣′(𝑡). Nếu 𝑔 là gia t c
ố trọng trường thì lực tác động vào vật thể
theo phương hướng xu ng là ố
𝑚𝑔 − 𝑐𝑣, trong đó 𝑐 là m t h ộ ằng s
ố dương, và theo định luật thứ 2 về chuyển động của Newton ta có 𝑑𝑣
𝑚. 𝑑𝑡 = 𝑚𝑔 − 𝑐𝑣.
a) Giải phương trình này để chứng minh rằng 𝑚𝑔
𝑣 = 𝑐 (1−𝑒−𝑐𝑡𝑚).
b) Tính vận tốc giới hạn của vật thể.
c) Tính khoảng cách mà vật thể rơi được sau 𝑡 giây.
Bài 9. Một bể có thể tích 400 L chứa đầy dung dịch h n
ỗ hợp nước và clo với nồng độ 0.05g clo/lít . Để giảm
nồng độ clo, người ta đổ thêm nước tinh khiết vào bể với tốc độ 4 L/s. Dung dịch tiếp tục được khuấy lên
và bơm ra ngoài với tốc độ 10 L/s. Tìm lượng clo trong bể dưới dạng một hàm số theo thời gian.
Bài 10. Một bể chứa 100 L nước. Người ta đổ m t ộ dung dịch mu i ố có nồng
độ 0.4 kg/L vào bể với tốc độ 5
L/phút. Dung dịch được hòa tan và chảy ra kh i
ỏ bể với tốc độ 3 L/phút. Nếu 𝑦(𝑡) là lượng mu i (kg) ố sau 𝑡 phút, ch ng minh r ứ
ằng 𝑦 thỏa phương trình vi phân sau 𝑑𝑦 3𝑦 𝑑𝑡 = 2 − 100 + 2𝑡. Giải phương trình ồng độ và tìm n dung dịch sau 20 phút. 2
Bài tập áp dụng phương trình vi phân
ĐHKH TỰ NHIÊN, ĐHQG TP.HCM, 7/2021
NGUYỄN VĂN THÙY
Bài 11. Các nhà tâm lý h c
ọ rất quan tâm đến thuyết đường cong h c
ọ tập. Đường cong h c ọ tập là đồ thị của hàm s ố 𝑃(𝑡), là hàm s bi
ố ểu diễn kết quả c a m ủ ột người học m t k ộ
ỹ năng dưới dạng một hàm s theo ố thời gian đào tạo 𝑡. o hàm Đạ
𝑑𝑃/𝑑𝑡 tượng trưng cho tốc độ cải thiện kết quả h c t ọ ập. a) Theo bạn thì 𝑃 t là khi nào? tăng nhanh nhấ
Điều gì xảy ra với 𝑑𝑃⁄𝑑𝑡 khi 𝑡 tăng? Hãy giải thích.
b) Nếu 𝑀 là mức hiệu quả cao nhất mà người học có thể đạt được, hãy giải thích tại sao phương trình vi phân 𝑑𝑃
𝑑𝑡 = 𝑘[𝑀 − 𝑃(𝑡)]
trong đó k là một hằng số dương,
là mô hình biểu diễn kết quả học tập hợp lý.
c) Giải phương trình vi phân và sử dụng nghiệ ủa phương trình để m c
vẽ đường cong học tập.
d) Người ta thuê Mark là công nhân mới làm việc cho một dây chuyền lắp ráp. Mark xử lý được 35 đơn
vị trong giờ đầu tiên và 50 đơn vị trong giờ thứ 2. Sử dụng mô hình trên và giả sử 𝑃(0) = 0, ước tính
số đơn vị tối đa mà Mark x
ử lý được trong 1 giờ.
Bài 12. Một mạch điện đơn giản như hình vẽ có chứa m t ộ suất
điện động (thường là một ắc-quy hay một máy phát điện)
làm sản sinh một điện thế 𝐸(𝑡) vôn (𝑉) và cường độ dòng điện 𝐼(𝑡) ampe (𝐴) tại thời m
điể 𝑡. Mạch điện này cũng
chứa một điện trở R ôm (Ω) và m t ộ cu n ộ cảm có điện cảm
𝐿 hen-ri (𝐻). Theo định luật Ôm, s ự s t ụ áp do điện trở gây
ra là 𝑅𝐼. Điện áp giảm do cu n
ộ cảm là 𝐿(𝑑𝐼⁄𝑑𝑡). M t ộ
trong các định luật của Kirchhoff nói rằng tổng sụt áp
bằng với điện áp cung cấp 𝐸(𝑡 . V ) ậy ta có 𝑑𝐼
𝐿𝑑𝑡 + 𝑅𝐼 = 𝐸(𝑡)
là phương trình vi phân mô phỏng cường độ dòng điện 𝐼 tại thời điểm 𝑡.
a) Biết ắc-quy tạo ra m t hi ộ
ệu điện thế không đổi 40 V, độ tự cảm 2 H, điện trở 10 Ω, 𝐼(0) = 0. Tìm 𝐼(𝑡)
và tìm dòng điện sau 0.1 giây.
b) Biết máy phát điện cung cấp một hiệu điện thế 𝐸(𝑡) = 40 sin 60𝑡 V, độ tự cảm là 1 H, điện trở là 20
Ω, và 𝐼(0) = 1 𝐴. Tìm 𝐼(𝑡) n sau 0.1 giây. và tìm dòng điệ 3
Bài tập áp dụng phương trình vi phân
ĐHKH TỰ NHIÊN, ĐHQG TP.HCM, 7/2021
NGUYỄN VĂN THÙY
Bài 13. Hình dưới đây minh họa m t
ộ mạch điện có chứa m t
ộ suất điện động, m t ộ t
ụ điện có điện dung C farads
(F), và một điện trở R ohms (Ω .
) Điện thế giảm khi qua tụ n là điệ
𝑄⁄ 𝐶, trong đó Q là điện tích (cu-lông),
như vậy trong trường hợp này, áp dụng định luật Kirchhoff, ta có 𝑄 𝑅𝐼 + 𝐶 = 𝐸(𝑡).
Tuy nhiên, 𝐼 = 𝑑𝑄⁄𝑑𝑡, vì vậy ta có 𝑑𝑄 1
𝑅 𝑑𝑡 + 𝐶𝑄 = 𝐸(𝑡).
a) Giả sử điện trở là 5 Ω, điện dung là 0.05 F, ắc-quy cho hiệu điện thế không đổi 60 V, và điện tích ban
đầu là 𝑄(0) = 0 𝐶. Tìm điện tích và dòng điện tại thời điểm 𝑡. b) Giả s
ử 𝑅 = 2 Ω, 𝐶 = 0.01 𝐹, 𝑄(0) = 0, 𝐸(𝑡) = 10 sin 60𝑡 𝑉. Tìm điện tích và dòng điện tại thời điểm 𝑡.
Bài 14. Nghề nuôi cá bơn Thái Bình Dương được mô hình hóa bởi phương trình vi phân sau 𝑑𝑦 𝑦
𝑑𝑡 = 𝑘𝑦 (1 − 𝑀)
Trong đó 𝑦(𝑡) là sinh khối (tổng ối
kh lượng sinh vật trong quần thể) tính bằng kg tại thời điểm 𝑡 (đo bằng năm), khả c tính là năng chứa đựng ướ
𝑀 = 8 × 107 kg, và 𝑘 = 0.71/năm.
a) Nếu 𝑦(0) = 2 × 107 kg, tìm sinh khối c ủa cá bơn một năm sau. b) Phải m sinh kh ất bao lâu để n m ối đạt đế ức 4 × 107 kg? Bài 15. Giả s m ử t dân s ộ ố 𝑃(𝑡 th ) a mãn ỏ 𝑑𝑃
𝑑𝑡 = 0.4𝑃 − 0.001𝑃2; 𝑃(0) = 50
trong đó 𝑡 được đo bằng năm.
a) Khả năng chứa đựng bằng bao nhiêu?
b) 𝑃′(0) bằng bao nhiêu?
c) Khi nào dân số đạt 50 kh % ả năng chứa đựng?
Bài 16. Giả sử một dân số tăng trưởng theo mô hình logistic với dân số ban đầu là 1000 người và khả năng
chứa đựng là 10000 người. Nếu dân số tăng lên 2500 người sau một năm, thì sau bốn năm, tổng dân số sẽ là bao nhiêu? 4
Bài tập áp dụng phương trình vi phân
ĐHKH TỰ NHIÊN, ĐHQG TP.HCM, 7/2021
NGUYỄN VĂN THÙY
Bài 17. Mô hình s lan ự
truyền tin đồn được lập dựa trên nguyên tắc: tốc độ lan truyền t ỷ lệ với tích c a ủ phần dân s
ố 𝑦 nghe được tin đồn với s
ố người không nghe được tin đồn.
a) Viết một phương trình vi phân thỏa mãn bởi 𝑦.
b) Giải phương trình vi phân.
c) Một thị trấn nhỏ có 1000 cư dân. Vào lúc 8 giờ sáng, 80 người nghe được một tin đồn. đến trưa, một nửa thị tr H
ấn nghe được tin đồn đó. ỏi vào thời điểm nào thì 90% số dân thị tr n? ấn nghe được tin đồ
Bài 18. Các nhà sinh h c nuôi ọ cá trong h
ồ với 400 con cá và ước tính khả năng chứa đựng (s ố lượng tối đa loài cá trong h đó
ồ) là 10000. Lượng cá trong h
ồ đã tăng lên gấp 3 lần trong năm đầu tiên.
a) Giả sử quy mô loài cá thỏa mãn phương trình logi , hãy tìm m stic
ột biểu thức cho quy mô loài cá sau 𝑡 năm.
b) Phải mất bao lâu thì số lượng cá tăng lên 5000 con? Bài 19. Giả s ử bạn mới pha một c c
ố cà phê có nhiệt độ 95 trong m ℃
ột căn phòng có nhiệt độ 20 . Gi ℃ ả s cà ử
phê nguội đi với tốc độ 1 /phút khi nhi ℃ ệt độ c a nó ủ ở mức 70 . ℃
a) Theo bạn thì cà phê nguội nhanh nhất khi nào? Điều gì xảy ra với tốc
độ nguội của cà phê theo thời gian? Giải thích.
b) Định luật trao đổi nhiệt c a Ne ủ
wton nói rằng tốc độ tản nhiệt c a m ủ t v
ộ ật thể tỷ lệ với phần chênh lệch nhiệt độ gi a v ữ
ật thể và môi trường xung quanh c a
ủ nó, với điều kiện sự chênh lệch này không quá lớn.
Viết phương trình vi phân biểu di nh ễn đị
luật trao đổi nhiệt c a Ne ủ
wton cho trường hợp này. Điều kiện ban đầu là gì?
c) Giải phương trình vi phân để tìm nhiệt độ của cà phê tại thời điểm 𝑡. Bài 20. Trong m t
ộ phản ứng hóa học cơ bản, các phân tử đơn c a ủ hai chất phản ng ứ A và B tạo thành m t ộ phân t
ử của chất C: 𝐴 + 𝐵 → 𝐶. nh Đị luật tác ng độ
khối lượng nói rằng tốc độ phản ứng xảy ra t ỷ lệ với tích n phân t ồng độ c ử a ch ủ
ất tham gia phản ứng A và B: 𝑑[𝐶] 𝑑𝑡 = 𝑘[𝐴][𝐵]. Vì vậy, nếu n phân t ồng độ ử u là ban đầ
[𝐴] = 𝑎 mol/L và [𝐵] = 𝑏 mol/L và chúng ta viết [𝐶] = 𝑥 thì ta có 𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 𝑘(𝑎 − 𝑥 𝑏 )( − 𝑥).
a) Giả sử rằng 𝑎 ≠ 𝑏, tìm 𝑥 dưới dạng một hàm số của 𝑡. Sử dụng dữ kiện nồng độ ban đầu của C bằng 0.
b) Tìm 𝑥(𝑡), giả sử rằng 𝑎 = . Bi
𝑏 ểu thức 𝑥(𝑡) này sẽ nào n như thế
ếu [𝐶] = 𝑎⁄ 2 sau 20 giây?
Bài 21. Một bể chứa 1000 L nước muối với 15 kg mu i hòa ố
tan. Người ta đổ nước tinh khiết vào bể với tốc độ
10 L/phút. Dung dịch nước mu i
ố tiếp tục hòa tan và được tháo ra kh i ỏ bể với tốc
độ bằng tốc độ đổ nước
vào. Tính lượng muối trong bể (a) sau t phút và (b) sau 20 phút. 5
Bài tập áp dụng phương trình vi phân
ĐHKH TỰ NHIÊN, ĐHQG TP.HCM, 7/2021
NGUYỄN VĂN THÙY
Bài 22. Không khí trong một căn phòng có thể tích 180 𝑚3 ban đầu chứa 0.15% lượng cacbon điôxit. i Ngườ
ta đưa luồn không khí sạch chỉ chứa 0.05% cacbon điôxit vào phòng với tốc độ 2 𝑚3/phút, và lượng không
khí hòa tan được hút ra ngoài với cùng tốc độ đưa vào. Tìm ần
ph trăm lượng cacbon điôxit trong phòng
dưới dạng hàm số theo thời gian. Điều gì xảy ra sau một thời gian dài?
Bài 23. Một cái thùng có chứa 500 lít bia có pha 4% c n (tính theo ồ
thể tích). Người ta bơm bia có pha 6% cồn
vào thùng với tốc độ 5 lít/phút, và dung dịch hòa tan này lại được bơm ra ngoài với cùng vận tốc bơm vào.
Tính % lượng cồn sau nửa giờ đồng hồ.
Bài 24. Một bể chứa 1000 L nước tinh khiết. Người ta đổ nước mu i có ố chứa 0.05 kg mu c
ối/lít nướ vào bể với
vận tốc 5L/phút, và đổ nước muối có chứa 0.04 kg muối/lít nước vào bể với vận tốc là 10 L/phút. Dung
dịch này được hòa vào nhau và tháo ra khỏi bể với vận tốc 15 L/phút. Tính lượng muối trong bể (a) sau 𝑡 phút và (b) sau 1 giờ.
Bài 25. Theo định luật vạn vật hấp dẫn c a
ủ Newton, lực hấp dẫn trên m t v
ộ ật thể có khối lượng 𝑚 được phóng
lên theo phương thẳng đứng từ bề mặt trái đất là 𝑚𝑔𝑅2 𝐹 = (𝑥 + 𝑅)2
Trong đó 𝑥 = 𝑥(𝑡) là khoảng cách của vật thể so với mặt đất tại thời điểm 𝑡, 𝑅 là bán kính của trái đất, và 𝑔 là gia t c ố trọng trườ . Tương ng
tự, theo định luật th 2
ứ về chuyển động c a Ne ủ
wton, 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚(𝑑𝑣⁄𝑑𝑡) nên 𝑑𝑣 𝑚𝑔𝑅2
𝑚 𝑑𝑡 = − (𝑥 + 𝑅)2
a) Giả sử một tên lửa được bắn theo phương thẳng đứng hướng lên với một vận tốc ban đầu là 𝑣0. Gọi ℎ
là độ cao cực đại của tên lửa so vớ ặt đấ i m t. Chứng minh rằng 𝑣0 = √2𝑔𝑅ℎ 𝑅 + ℎ. b) Tính 𝑣𝑒 = lim 𝑣 ớ ạn này đượ ọ vận t c thoát ly ố ỏi trái đấ ℎ→+∞ 0. Gi i h c g i là kh t.
c) Sử dụng 𝑅 = 6373 km và 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠2 để tính 𝑣𝑒 bằng đơn vị 𝑘𝑚/𝑠
Bài 26. Một quốc gia có lượng tiền giấy đang lưu hành là 10 tỷ , m đô la i
ỗ ngày lại có thêm 50 triệu đô la vào
ngân hàng nhà nước. Chính ph quy ủ
ết định phát hành tiền mới bằng cách để ngân hàng thay thế các tờ tiền
cũ bằng tiền mới khi có bất k t
ỳ ờ tiền cũ nào gửi vào ngân hàng. G i ọ 𝑥 = 𝑥(𝑡 ) ng ti là lượ ền mới lưu hành
tại thời điểm 𝑡, với 𝑥(0) = 0.
a) Lập một mô hình toán học dưới dạng bài toán giá trị ban đầu để tượng trưng cho “dòng” tiền mới khi lưu hành.
b) Giải bài toán giá trị ban đầu tìm được trong câu a. c) Phải m các t ất bao lâu để
ờ tiền mới chiếm 90% lượng tiền đang lưu hành? 6

Tài liệu liên quan: