Đề Thi Số 2 Môn Phương trình vi phân & Đạo Hàm riêng | Phương trình vi phân | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

ĐỀ THI SỐ 2
Môn học: Phương trình vi phân và đạo hàm riêng
Thời lượng môn học: 4 tín chỉ
Thời gian thi: 120 phút
Giảng viên: TS. Nguyễn Hoàng Quân; TS. Cao Văn Mai
Câu 1. (2.0 điểm) Tìm nghiệm tổng quát của ODE sau
x2 ⅆx +2 xyⅆy =0
Câu 2. (2.0 điểm) Tìm nghiệm tổng quát của ODE y' '− 2
2 y' +2 y=e x sin ( x)
Câu 3. (2.0 điểm) Tìm nghiệm tổng quát của hệ ODE sau:
{ⅆx=2x+y ⅆt
dy=3 x+4 y dt
Câu 4. (4.0 điểm)Tìm nghiệm tổng quát của PDE = ∂2u 4
, 0< x < L
{ ∂2u∂t2 ∂x2
u (0 , t )=u ( L ,t )=0
u(x , 0)=sin (2 πx / L ); ∂ u (x , 0) /∂ t =0 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2 Câu 1
x2 ⅆx +2 xyⅆy=0
Xét x=0 là nghiệm của phương trình vi phân Xét x2
x ≠ 0 ⇒ xdx +2 ydy=0 ⇒ ∫ xdx+ ∫ 2 yⅆy =0 ⇒ + y2=C 2
Vậy x=0 và x2 + y2=C là nghiệm của PTVP 2 Câu 2
y' '−2 y' +2 y=e2x sin ( x) (2)
Phương trình đặc trưngF (k )=k 2−2 k +2=0 ⇒ k=1 ±i ⇒ y = tn
C ex cos (x )+C ex sin (x ) 1 2
Có P(x )=e2 x sinx có α=2 , β=1 ⇒k ≠ α+iβ ⇒ Nghiệm riêng y¿=e2x( Asinx+Bcos (x )) 1 −2
Thay vào PTVP (2)⇒ A= , B= 5 5 2
Vậy nghiệm tổng quát của PTVP là y =C ex cos( x)+C exsin (x )+e2x (1 sinx− cos(x)) x 1 2 5 5 Câu 3 ⅆ =2x+ y ⅆ
{ xtdy=3x+4y dt
Xét |2−k 1 |=0⇔k =1,k 5 1 2= 3 4−k + =0
Xét k =1⇒{ x y ⇒ x=− y ⇒u [−1] 1= 1 3 x+ 3 y=0 1
Xét k =5⇒ {−3 x+y=0⇒3 x=y ⇒u =[1] 2 2 3 x− y =0 3 t t et+C e5t
⇒ [ x]=C ek1 u +C ek2 u =C et [−1]+C e5t[1]⇒{x=−C1 2 y 1 1 2 2 1 2 1 3 y=C et+ 3 e5t 1 C2 Câu 4
Nghiệm của phương trình có dạng: u( x , t)=X (x)T (t ) ∞ 2nπt 2nπt
u ( x , t)=∑ (A cos +B sin )s ∈(nπx ) n n n= L L 1 L
Thay vào điều kiện đầu: L 2 2 πx nπx A = ∫ sin . sin dx 
A =0 khi n2 ; A =1 n L L 2 L n 0 B =0 n  Nghiệm pt: 4 πt u ( x , t)=cos sin ( 2 πx) L L