Bài tập Biến ngẫu nhiên và rời rạc (Lời giải + đáp án) | Xác suất thống kê | Đại học Bách Khoa Hà Nội

H online t ọc
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
KHOÁ HỌC: XÁC SUẤT THỐNG KÊ.
Chương 02: Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất.
BTTL: Biến ngẫu nhiên rời rạc.
Bài 1. Một chùm chìa khóa gồm 4 chiếc giống nhau, trong đó chỉ có một chiếc mở được cửa.
Người ta thử ngẫu nhiên từng chiếc cho đến khi mở được cửa. Gọi X là s l ố n ầ thử, tìm phân phối
xác suất, kỳ vọng, phương sai và viết hàm phân phối xác su t c ấ ủa X.
Lời giải:
Gọi X là số lần thử thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc và nó nhận các giá tr X = 1, ị 2, 3, 4. Gọi Xi là "mở được cửa l ở n
ầ thứ i" thì X1,X2,X3,X4 t o th ạ ành hệ đầy đủ. 1
+) X = 1 nếu mở được cửa ngay lần đầu. Có P(X=1)=P(X1)   0.25 4
+) X = 2 nếu lần đầu không mở được và lần 2 mở được. Có 3 1 1 P(X  2)  P( 1 X X2 )  .   0.25 4 3 4 3 2 1 1
+) X = 3 là sự kiện X1X2X3 . Có P(X  3)  . .   0.25 4 3 2 4
+) Tương tự với X = 4, có P(X  4)  P( 1 X X2 X3X4 )  0.25
. Bảng phân phối xác su t ấ của X X 1 2 3 4 P(X) 0.25 0.25 0.25 0.25
. Kỳ vọng và phương sai của X
E X  1 x 0.25 + 2 x 0.25 + 3 x 0.25 + 4 x 0.25 = 2.5   2 2 2 2
VX  (1 - 2.5) x 0.25 + (2 - 2.5) x 0.25 + (3 - 2.5) x 0.25 + (4 - 2.5) x 0.25 = 1.25   . Hàm phân phối của X 0, x  1  0.25, 1  x   2     F x   x  X ( ) 0.5, 2 3  0.75, 3 x < 4     1, x  4   
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Lê Tùng Ưng − ULT 1 H online t ọc
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài 2. Một xạ thủ có 5 viên đạn, anh ta phải bắn vào bia với quy định khi nào có 2 viên đạn trung bia hoặc h n
ết đạ thì dừng. Biết xác suất bắn trúng bia ở mỗi l n b ầ
ắn là 0,4 và gọi X là số đạn cần
bắn. Tìm phân phối xác suất, kỳ vọng, phương sai và viết hàm phân phối xác su t c ấ ủa X.
Lời giải:
Gọi X là số đạn cần bắn thì X là biến ngẫu nhiên rời r c
ạ và nhận các giá tr X = 2, ị 3, 4, 5.
+) X = 2 có P(X = 2) = 0.4 × 0.4 = 0.16
+) X = 3 xảy ra nếu có 1 trong 2 lần đầu bắn trúng và lần thứ 3 b n trún ắ
g. Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli, có P(X  3)  2 P (1) x 0.4 = 0.192
+) Tương tự, P(X  4)  3 P (1) x 0.4 = 0.1728
+) X = 5 xảy ra nếu cả hết đạn, trượt cả 5 viên ho c viên cu ặ
ối trúng và 1 trong 4 lần đầu bắn trúng hoặ ỉ
c ch trúng 1 viên duy nhất. 5 P(X  5)  0.6 +  4 P (1) x 0.4 + 5 P (1) 0.4752
. Bảng phân phối xác su t ấ của X X 2 3 4 5 P(X) 0.16 0.192 0.1728 0.4752
. Theo định nghĩa, ta có E X  3.9632, V X  1.3059     . Hàm phân phối của X 0, x  2    0.16, 2  x  3     F x x      X ( ) 0.352, 3 4 0.5248, 4 x < 5     1, x  5   
Bài 3. Tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng viên A trong một cuộc bầu cử tổng thống là 40%. Người ta hỏi ý kiến
20 cử tri được chọn một cách ngẫu nhiên. Gọi X là số i b
ngườ ỏ phiếu cho ông A trong 20 người đó.
a) Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn của X và mod X . b) Tìm P (X = 10).
Lời giải:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Lê Tùng Ưng − ULT 2 H online t ọc
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Gọi X là số người bỏ phiếu cho ông A trong 20 người. Khi đó, X  x x y
ả ra nếu có đúng x người
trong n = 20 người bầu cho ông A, biết xác suất mỗi người bầu cho ông A là p = 0.4 và mọi người
bỏ phiếu độc lập với nhau.
+) Do đó bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli. Như vậy  P(X x  ) P  (x)  20 x  x 20 x 20 0.4 x 0.6
Hay nói cách khác, X có phân phối nhị thức. . E X  np  8, (
 X)  V X  np(1 p)  20 x 0.4 x 0.6  2.19    
và mod X chính là số có khả
năng nhất trong lược đồ Bernoulli.
mod X = np  q 1  8   . P(X  10)  2 P 0(10)  0.1171
Bài 4. Biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ có 2 giá trị x và x (x  x ). Xác suất để X nhận giá tr ị x là 1 2 1 2 1 0,2. Tìm lu t phân ậ phối xác su t c
ấ ủa X, biết kỳ vọng E(X )  2,6 và độ lệch tiêu chuẩn (X  )  0,8 .
Lời giải: Ta có hệ phương trình 0
 .2x  0.8x  E X  2.6  1 2    2 2 2 (  1 x  2.6) x 0.2 + ( 2
x  2.6) x 0.8 =  (X)  0.64 Giải ra được 1 x  1, 2 x  3 và 1 x  4.2  2 x
 2.2, loại. Ta thu được bảng phân phối X 1 2 P(X) 0.2 0.8
Bài 5. Tung đồng xu 10 lần. Biến ngẫu nhiên X được định nghĩa như sau: (X = 1) nếu sự kiện đúng 3 l n ầ ra m t ặ s p x ấ
ảy ra và (X = 0) trong trường hợp còn l i. Tính ạ
kỳ vọng E(X) và phương sai V(X).
Lời giải:
X được coi như một kiểu indicator random variable.
Gọi A là "đúng 3 lần xảy ra m t ặ s p" thì d ấ
ễ tính được P(A) theo lược đồ Bernoulli và có
P(X  1)  P(A)  P (3)   10 3 7 10 3 0.5 x 0.5  0.1172
Như vậy ta có hàm khối lượng 0  .1172, x  1 p x  X( ) 0.8828, x 0 
Suy ra E X  p  0.1172   và 2
V X  p p  0.1035  
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Lê Tùng Ưng − ULT 3 H online t ọc
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Bài 6. Có 5 s n
ả phẩm trong đó có 4 chính phẩm và 1 phế phẩm. Người ta lấy ra lần lượt hai sản
phẩm (lấy không hoàn lại).
a) Gọi X là “số chính ph m g ẩ p ph ặ ải”. Lập b n
ả g phân phối xác suất của X. Tính E(X) và V(X).
b) Gọi Y là “Số phế phẩm gặp phải”. Lập hệ thức cho mối quan hệ giữa X và Y.
Lời giải: a) Gọi X là s ch ố ính ph m g ẩ p ph ặ
ải thì nó là biến ngẫu nhiên rời rạc.
Do chỉ có 1 phế phẩm nên X không thể bằng 0. X nhận giá tr X = 1; ị X = 2 4 x 1
+) X = 1 xảy ra nếu ta l y
ấ ra 1 chính, 1 phế. Dễ tính P(X 1) 2 x 0.4 5 x 4 4 x 3
+) Tương tự P(X 2)  0.6 5 x 4 B ng ph ả ân phối xác su t c ấ ủa X X 1 2 P(X) 0.4 0.6 Suy ra E X  1.6   và V X  0.24  
b) Gọi Y là số phế phẩm g p l
ặ ại thì Y = 2 − X vì ta chỉ chọn ra 2 s n ph ả m và m ẩ ỗi s n ả ph m ẩ chỉ có thể là chính ph m h ẩ o c ph ặ ế phẩm
Bài 7. Có hai kiện hàng. Kiện I có 3 s n ph ả ẩm ố
t t và 2 sản phẩm xấu. Kiện II có 2 s n ả phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. L y ng ấ
ẫu nhiên từ kiện I 2 sản ph m và t ẩ ừ kiện II 1 sản ph m. L ẩ ập b ng ph ả ân phối
xác suất cho biến ngẫu nhiên chỉ số s n ph ả ẩm tốt trong 3 s n ph ả m l ẩ ấy ra.
Lời giải: Gọi i
A (i  0,1,2) là "l y ra i s ấ ản ph m t ẩ t t
ố ừ kiện I ra" và Bj (j  0,1) là "l y ấ ra j s n ả ph m t ẩ ốt từ kiện II ra" thì AiBj t o th ạ ành hệ đầy đủ. Gọi X là số sản ph m t ẩ ốt l y r ấ a trong 3 s n ả ph m thì X là bi ẩ
ến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị X = 0, 1, 2, 3. +) X = 0 ch x ỉ ảy ra khi 2 s n ả ph m ẩ từ kiện I và 1 s n ph ả
ẩm từ kiện II là xấu, có nghĩa là X = 0 chính 2 1 C C là sự kiện A 2 3 0B0 . Suy ra P( 0 A 0 B )  .  0.06 2 1 5 C 5 C
+) Tương tự, X = 1 xảy ra nếu lấy ra 2 xấu từ I, 1 tốt từ II ho c 1 t ặ t, 1 x ố
ấu từ I, 1 xấu từ II, hay X = 2 1 1 1 2 1 C C C C C là 3 2 3 2 2 1 A 0 B  0 A 1 B , có P(X 1) P( 1 A 0 B ) P( 0 A 1 B )  .  . 0.36 0.04 0.4 2 1 2 1 C5 C5 C5 C5 +) X  2 là A2B0  1 A 1 B . Có
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Lê Tùng Ưng − ULT 4 H online t ọc
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2 1 1 1 1 3 C 3 C 3 C 2 C 2 C P(X 2) P( 2 A 0 B ) P( 1 A 1 B )  .  . 0.18 0.24 0.42 2 1 2 1 5 C 5 C 5 C 5 C 2 1 C C +) X = 3 2 2 2 A 1 B . Suy ra P(X)  3  P( 2 A 1 B )  .  0.12 2 1 C5 C5 Bảng phân phối xác su t ấ của X X 0 1 2 3 P(X) 0.06 0.4 0.42 0.12
Bài 8. Một người đi làm từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư. Xác suất để người đó gặp đèn đỏ ở
các ngã tư tương ứng là 0,2; 0,4 và 0,5. Gọi X là số đèn đỏ mà người đó gặp phải trong mộ ần t l đi
làm (giả sử 3 đèn giao thông ở ngã tư hoạt động độc lập với nhau). a) L p b ậ n
ả g phân phối xác suất của X. Tính kỳ vọng, phương sai của X. Tìm hàm phân phối xác suất của X.
b) Hỏi thời gian trung bình ph i
ả ngừng trên đường là bao nhiêu biết rằng mỗi khi gặp đèn đỏ
người ấy phải đợi khoảng 3 phút.
Lời giải:
Gọi X là số đèn đỏ người đó gặp phải thì X là biến ngẫu nhiên rời r c nh ạ ận các giá tr X = 0, ị 1, 2, 3.
Sử dụng công thức cộng, công thức nhân, có
+) P(X = 0) = 0.8 × 0.6 × 0.5 = 0.24
+) P(X = 1) = 0.2 × 0.6 × 0.5 + 0.8 × 0.4 × 0.5 + 0.8 × 0.6 × 0.5 = 0.46
+) P(X = 2) = 0.2 × 0.4 × 0.5 + 0.8 × 0.4 × 0.5 + 0.2 × 0.6 × 0.5 = 0.26
+) P(X = 3) = 0.2 × 0.4 × 0.5 = 0.04 a) B ng ph ả ân phối xác su t c ấ ủa X X 0 1 2 3 P(X) 0.24 0.46 0.26 0.04
Ta tính được E X  1.1   và V X  0.65  
Hàm phân phối của X là 0, x < 0 0.24, 0  x <1  F x    x ( ) 0.7, 1 x < 2 0.96, 2  x < 3  1, x  3 
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Lê Tùng Ưng − ULT 5 H online t ọc
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) Gọi Y là thời gian ph i ng ả
ừng trên đường thì Y = 3X (phút). Từ đó suy ra
E Y  3E X  3.3     phút
Bài 9. Một người chơi trò chơi tung con xúc sắ ng ch c cân đối đồ t ba ấ l n ầ . Nếu c b ả a l u xu ần đề ất hiện m t 6 t ặ
hì thu về 36$, nếu hai lần xu t hi ấ ện m t
ặ 6 thì thu về 2,8$, nếu một lần xu t hi ấ ện m t ặ 6
thì thu về 0,4$. Biết rằng khi chơi người đó phải nộp x$.
a) Tìm x sao cho trò chơi là vô thưởng vô phạt. b) x b ng bao nhiêu ằ
thì trung bình mỗi lần chơi, người chơi mất 1$?
Lời giải:
Gọi X là số tiền người chơi thu về sau 3 lần thì X là biến ngẫu nhiên rời r c nh ạ ận các giá tr X ị = 36, 2.8, 0.4, 0 Ta có 2 3 1 3.5 3.5 5 P(X 36)  , P(X 2.8)  , P(X=0.4)= , P(X=0)= 3 3 3 3 6 6 6 6
a) Trò chơi là vô thưởng vô ph t n
ạ ếu E X  x   , hay x  0.5055
b) Điều kiện này có nghĩa là EX  x  1   , hay x  1.5055
Bài 10. Một hộp đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 10 quả còn mới. Lần đầu ta l y ấ ra 3 quả để thi
đấu, sau đó trả lại 3 quả đó vào hộp. Lần thứ hai l i l
ạ ấy ra 3 quả. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số
quả bóng mới trong 3 quả lấy ra. L p b ậ ng phân ph ả ối xác su t, t ấ ính kỳ v a ọng, phương sai củ X.
Lời giải: Gọi i
A (i = 0, 1, 2, 3) là "số quả mới lấy ra ở lần đầu" thì Ai t o thành ạ hệ đầy đủ với 3 1 2 2 1 3 C5 2 1 C 0C5 20 1 C 0C5 45 1 C 0 24 P( 0 A )   , P( 1 A )  , P(A2)  , P(A3)  3 91 3 91 3 91 3 91 C15 C15 C15 C15
Gọi X là số bóng mới trong 3 quả l y ra ấ
(lần sau) thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0,
1, 2, 3. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có 3 3 3 3 2 C 20 C 45 C 24 C +) 5 6 7 8 P(X  0)      0.0806 91 3 91 3 91 3 91 3 1 C 5 1 C 5 1 C 5 1 C 5 1 2 1 2 1 2 1 2 2 C C 20 C C 45 C C 24 C C +) 10 5 9 6 8 7 7 8 P(X  1)      0.3663 91 3 91 3 91 3 91 3 C15 C15 C15 C15 2 1 2 1 2 1 2 1 2 C C 20 C C 45 C C 24 C C +) 10 5 9 6 8 7 7 8 P(X  2)      0.4256 91 3 91 3 91 3 91 3 1 C 5 1 C 5 1 C 5 1 C 5
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Lê Tùng Ưng − ULT 6 H online t ọc
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3 3 3 3 2 C 20 C 45 C 24 C + 10 9 8 7 P(X  3)      0.1275 91 3 91 3 91 3 91 3 1 C 5 1 C 5 1 C 5 1 C 5 Bảng phân phối xác su t ấ của X X 0 1 2 3
P(X) 0.0806 0.3663 0.4256 0.1275
Dễ tính được E X  1.6   và V X  0.6562  
Bài 11. Một cơ sở thí nghiệm có 3 phòng thí nghiệm như nhau. Xác suất thực hiện thành công một
thí nghiệm của các phòng lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Một sinh viên chọn một phòng b t kì v ấ à tiến
hành 3 thí nghiệm độc l p. G ậ ọi X là s
ố thí nghiệm thành công. a) L p b ậ n
ả g phân phối xác suất của X, tính kỳ vọng E(X) và phương sai V(X). b) Theo anh, ch thì kh ị
ả năng chắc chắn sẽ thành công mấy thí nghiệm?
Lời giải: Gọi i
A (i = 1, 2, 3) là "sinh viên chọn phòng thí nghiệm thứ i" thì Ai là hệ đầy đủ với 1 P( 1 A )  2 P(A )  P( 3 A )  3 1 +) 3 3 3
P(X  0)  (0.4 0.3 0.2 )  0.033 3 1 3 +)  2 2 2 P(X 1)
0.6 x 0.4 + 0.7 x 0.3 + 0.8 x 0.2       0.191 3 1     1  3 +)  2 2 2 P(X 2)
  0.6 x 0.4 + 0.7 x 0.3 + 0.8 x 0.2    0.419 3 2     1 +) 3 3 3
P(X  3)  (0.6 0.7 0.8 )  0.357 3 a) B ng ph ả ân phối xác su t c ấ ủa X X 0 1 2 3 P(X) 0.033 0.191 0.4334 0.357
Từ đó có được E X  2.1288   và V X  0.6711   b) Số thí nghiệm ch c ch ắ ắn nh t v
ấ ề khả năng thành công chính là điể ại đó m mà t xác suất là lớn nhất: mod X = 2 --- HẾT ---
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Lê Tùng Ưng − ULT 7