Bài tập chuỗi số | Giải tích 1 | Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội

Bài tập Giải tích 2 - MAT2303 6 TUẦN 6 Mở đầu về chuỗi số 1 Lý thuyết 1.1 Chuỗi số n Xét dãy số {a X . Tổng
được gọi là tổng riêng thứ
k : k ∈ N} và đặt Sn = a1 + · · · + an = ak Sn k=1 ∞ X
n và a được gọi là từ (hoặc số hạng) thứ được gọi là n n. Khi đó chuỗi ak k=1 ∞ i) hội tụ nếu X (S hoặc X ;
n) hội tụ, hay tồn tại S = lim Sn ∈ R và viết S = an an n→∞ n=1
ii) phân kì nếu (Sn) có giới hạn vô cùng hoặc không hội tụ (phân kì). ∞ ∞ Nếu X X a hội tụ thì
được gọi là phần dư thứ k rn = ak n và lim rn = 0. n→∞ k=1 k=n+1 ∞
Điều kiện cần để X a hội tụ là k lim an = 0. n→∞ k=1 ∞
Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy: Chuỗi X a hội tụ khi và chỉ khi k
(Sn) là dãy Cauchy, tức là k=1
∀ε > 0, ∃n0 = n0(ε), ∀n ≥ n0, ∀p ≥ 1 : |an+1 + · · · + an+p| < ε. 1.2 Chuỗi dương ∞ ∞ Chuỗi X X
a được gọi là chuỗi dương nếu hội tụ khi và chỉ khi k
an ≥ 0 với mọi n. Khi đó ak k=1 k=1 dãy (Sn) bị chặn. ∞
CÁC DẤU HIỆU HỘI TỤ CỦA CHUỖI DƯƠNG: Xét chuỗi dương X a , khi đó: k k=1
1. Dấu hiệu so sánh: Nếu 0 ≤ a với mọi nào đấy và X hội tụ thì X hội tụ, n ≤ bn n ≥ n0 bn an nếu X a phân kì thì X phân kì. n bn Dạng giới hạn: Nếu a lim
n = L ∈ (0, ∞) thì X a và X cùng tính hội tụ hoặc phân kì. n bn n→∞ bn
2. Tiêu chuẩn căn (Cauchy): Đặt √
α = lim n a . Nếu α < 1 thì chuỗi hội tụ, nếu α > 1 thì chuỗi n phân kì.
3. Tiêu chuẩn tỉ số (D’Alambert): Nếu a a
lim n+1 < 1 thì chuỗi hội tụ, nếu lim n+1 > 1 thì chuỗi an an phân kì.     4. a
Tiêu chuẩn Raabe: Nếu a lim n n n
− 1 > 1 thì chuỗi hội tụ, nếu lim n − 1 < 1 thì an+1 an+1 chuỗi phân kì. 1
Bài tập Giải tích 2 - MAT2303 6
5. Dấu hiệu tích phân Cauchy: Giả sử tồn tại hàm f là hàm liên tục, đơn điệu giảm sao cho Z ∞ Z ∞ a hội tụ, nếu phân kì. n = f (n). Nếu f (t)dt hội tụ thì X an f (t)dt phân kì thì X an 1 1
1.3 Chuỗi với dấu bất kì ∞ ∞ Chuỗi X X
a được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu k
|ak| hội tụ. Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. k=1 k=1 ∞ ∞ ∞ Nếu X X X a hội tụ còn
được gọi là bán hội tụ. k |ak| thì chuỗi ak k=1 k=1 k=1 ∞
1. Tiêu chuẩn Leibniz cho chuỗi đan dấu: Chuỗi dạng X(−1)ka với k
ak ≥ 0 được gọi là chuỗi k=1
đan dấu. Nếu {ak} là dãy đơn điệu giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ. ∞ ∞
2. Tiêu chuẩn Abel: Chuỗi X X a hội tụ nếu chuỗi hội tụ và dãy k bk ak
(bn) đơn điệu, bị chặn. k=1 k=1 ∞ n
3. Tiêu chuẩn Dirichlet: Chuỗi X X a
hội tụ nếu dãy tổng riêng bị chặn và dãy k bk An = ak (bn) k=1 k=1
đơn điệu với lim bn = 0. 2 Bài tập
Câu 1. Tìm các chuỗi và tổng của chúng, biết rằng dãy tổng riêng (Sn) được cho bởi 1. n + 1 3. S Sn = arctan n n = n 2. 2n − 1 (−1)n S 4. n = S 2n n = n
Câu 2. Tính tổng của các chuỗi sau bằng cách xét giới hạn của tổng riêng √ ∞ ∞ 1. X 1 7. X n − n2 − 1 n(n + 1) pn(n + 1) n=1 n=1 ∞ ∞ 2. X 1 , X 1 m ∈ N 8. n(n + m) 4n2 − 1 n=1 n=1 ∞ ∞ 3. X 1 9. X 1 √ √ n(n + 1)(n + 2)  n + n + 1 pn(n + 1) n=1 n=1 ∞ ∞ 4. X 1 , X n2 m ∈ N 10. n(n + 1) · · · (n + m) (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) n=1 n=1 ∞ ∞ 5. X 2n + 1 11. X (n + 1)(3n + 1) ln n2(n + 1)2 n(3n + 4) n=1 n=1 ∞ ∞ 6. X n 12. X (2n + 1)n ln (4n2 − 1)2 (n + 1)(2n − 1) n=1 n=1 2
Bài tập Giải tích 2 - MAT2303 6 ∞ ∞ 13. X 1 3 X n sin cos 15. 2n+1 2n+1 3 · 5 · · · (2n + 1) n=1 n=1 ∞ ∞ 14. X n!π X cos3(3nx) sin 16. (−1)n 720 3n n=1 n=1
Câu 3. Giả sử (an) là một dãy thoả mãn
lim (a1 + 1)(a2 + 1) · · · (an + 1) = L ∈ (0, ∞]. n→∞ Chứng minh rằng ∞ X an 1 = 1 − .
(a1 + 1)(a2 + 1) · · · (an + 1) L n=1
Áp dụng tính các tổng sau ∞ 1. X n − 1 n! n=1 ∞ 2. X 2n − 1 2 · 4 · 6 · · · (2n) n=1 ∞ 1 3. X n2
1 − 1  1 − 1  · · · 1 − 1  n=1 22 32 n2
Câu 4. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∞ ∞ ∞ 1. X 1 8. X 1 15. X nn n2 pn(n + 2) n! + 1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ 2. X 1 9. X√ √ 4 X n − 1 n + 1 − n 16. n n2 + n + 1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ 3. X 1 1 e−n √ 10. X 17. X √ n (ln n)2 n n=1 n=2 n=1 ∞ ∞ ∞ 4. X 1 11. X 3 + (−1)n 18. X n + 1 2n 2n+1 n4 + 2n − 2 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ 5. X X n3 X 3n 2n 12. 19. 2n n! + 2 n=1 n=1 n=1 √ ∞ ∞ ∞   6. X 2023 X n2 + n X 2n n + 1 sin 13. 20. 1 − cos 2n 2n 3n2 + 2 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ 7. X 2n 14. X n2 + 1 21. X nn n! n3 + 2n + 1 en.n! n=1 n=1 n=1
Lưu ý: Link điểm danh làm bài tập 3