Bài tập chuỗi số | Giải tích 1 | Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội

Bài tập chuỗi số | Giải tích 1 | Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!

106 53 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 1 (GT1)

Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Thông tin:

3 trang 5 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương
Bài tập Giải tích 2 - MAT2303 6
TUẦN 6
Mở đầu về chuỗi số
1 Lý thuyết
1.1 Chuỗi số
Xét dãy số {a
k
: k ∈ N} và đặt S
n
= a a
1
+ ··· +
n
=
n
X
k=1
a
k
. Tổng S
n
được gọi là tổng riêng thứ
n và a
n
được gọi là từ (hoặc số hạng) thứ n. Khi đó chuỗi
∞
X
k=1
a
k
được gọi là
i) hội tụ nếu (S
n
) hội tụ, hay tồn tại S = lim
n→∞
S
n
∈ R và viết S =
∞
X
n=1
a
n
hoặc
X
a
n
;
ii) phân kì nếu (S
n
) có giới hạn vô cùng hoặc không hội tụ (phân kì).
Nếu
∞
X
k=1
a
k
hội tụ thì r
n
=
∞
X
k=n+1
a
k
được gọi là phần dư thứ n và lim
n→∞
r
n
= 0.
Điều kiện cần để
∞
X
k=1
a
k
hội tụ là lim
n→∞
a
n
= 0.
Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy: Chuỗi
∞
X
k=1
a
k
hội tụ khi và chỉ khi (S
n
) là dãy Cauchy, tức là
∀ ∀ε > 0, ∃n n
0
=
0
(ε), n ≥ ≥n
0
, ∀p 1 : |a
n+1
+ ··· + a
n+p
| < ε.
1.2 Chuỗi dương
Chuỗi
∞
X
k=1
a a
k
được gọi là chuỗi dương nếu
n
≥ 0 với mọi n. Khi đó
∞
X
k=1
a
k
hội tụ khi và chỉ khi
dãy (S
n
) bị chặn.
CÁC DẤU HIỆU HỘI TỤ CỦA CHUỖI DƯƠNG: Xét chuỗi dương
∞
X
k=1
a
k
, khi đó:
1. Dấu hiệu so sánh: Nếu 0 ≤ a
n
≤ b
n
với mọi n ≥ n
0
nào đấy và
X
b
n
hội tụ thì
X
a
n
hội tụ,
nếu
X
a
n
phân kì thì
X
b
n
phân kì.
Dạng giới hạn: Nếu lim
n→∞
a
n
b
n
= L ∈ (0, ∞) thì
X
a
n
và
X
b
n
cùng tính hội tụ hoặc phân kì.
2. Tiêu chuẩn căn (Cauchy): Đặt α = lim
n
√
a
n
. Nếu α < 1 thì chuỗi hội tụ, nếu thì chuỗiα > 1
phân kì.
3.
Tiêu chuẩn tỉ số (D’Alambert): Nếu lim
a
n+1
a
n
<
1 thì chuỗi hội tụ, nếu lim
a
n+1
a
n
> 1 thì chuỗi
phân kì.
4.
Tiêu chuẩn Raabe: Nếu lim n
a
n
a
n+1
− 1
> 1 thì chuỗi hội tụ, nếu lim n
a
n
a
n+1
− 1
< 1 thì
chuỗi phân kì.
1
Bài tập Giải tích 2 - MAT2303 6
5. Dấu hiệu tích phân Cauchy: Giả sử tồn tại hàm f là hàm liên tục, đơn điệu giảm sao cho
a
n
= f (n). Nếu
Z
∞
1
f
(t)dt hội tụ thì
X
a
n
hội tụ, nếu
Z
∞
1
f(t)dt phân kì thì
X
a
n
phân kì.
1.3 Chuỗi với dấu bất kì
Chuỗi
∞
X
k=1
a
k
được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
∞
X
k
=1
|a
k
| hội tụ. Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.
Nếu
∞
X
k=1
a
k
hội tụ còn
∞
X
k
=1
|a
k
| thì chuỗi
∞
X
k=1
a
k
được gọi là bán hội tụ.
1. Tiêu chuẩn Leibniz cho chuỗi đan dấu: Chuỗi dạng
∞
X
k=1
(−1)
k
a
k
với a
k
≥ 0 được gọi là chuỗi
đan dấu. Nếu {a
k
} là dãy đơn điệu giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ.
2. Tiêu chuẩn Abel: Chuỗi
∞
X
k=1
a
k
b
k
hội tụ nếu chuỗi
∞
X
k=1
a
k
hội tụ và dãy (b
n
) đơn điệu, bị chặn.
3. Tiêu chuẩn Dirichlet: Chuỗi
∞
X
k=1
a
k
b
k
hội tụ nếu dãy tổng riêng A
n
=
n
X
k=1
a
k
bị chặn và dãy (b
n
)
đơn điệu với .lim b
n
= 0
2 Bài tập
Câu 1. Tìm các chuỗi và tổng của chúng, biết rằng dãy tổng riêng (S
n
) được cho bởi
1.
S
n
=
n + 1
n
2.
S
n
=
2
n
− 1
2
n
3. S
n
= arctan n
4.
S
n
=
(−1)
n
n
Câu 2. Tính tổng của các chuỗi sau bằng cách xét giới hạn của tổng riêng
1.
∞
X
n=1
1
n(n + 1)
2.
∞
X
n=1
1
n
(n + m)
, m ∈ N
3.
∞
X
n=1
1
n(n + 1)(n + 2)
4.
∞
X
n=1
1
n
(n n+ 1) ···( + m)
, m ∈ N
5.
∞
X
n=1
2n + 1
n
2
(n + 1)
2
6.
∞
X
n=1
n
(4 1)n
2
−
2
7.
∞
X
n=1
n
−
√
n
2
− 1
p
n(n + 1)
8.
∞
X
n=1
1
4n
2
− 1
9.
∞
X
n=1
1
√
n +
√
n + 1
p
n(n + 1)
10.
∞
X
n=1
n
2
(n + 1)( + 2)( + 3)( + 4)n n n
11.
∞
X
n=1
ln
(n + 1)(3 + 1)n
n(3n + 4)
12.
∞
X
n=1
ln
(2n + 1)n
(n + 1)(2n −1)
2
Bài tập Giải tích 2 - MAT2303 6
13.
∞
X
n=1
sin
1
2
n+1
cos
3
2
n+1
14.
∞
X
n=1
sin
n!π
720
15.
∞
X
n=1
n
3 ·5 ···(2n + 1)
16.
∞
X
n=1
(
−1)
n
cos
3
(3
n
x)
3
n
Câu 3. Giả sử (a
n
) là một dãy thoả mãn
lim
n→∞
(a
1
+ 1)( + 1) =a
2
+ 1) ···(a
n
L ∈ (0, ∞].
Chứng minh rằng
∞
X
n=1
a
n
( (
a
1
+ 1)(a
2
+ 1) ··· a
n
+ 1)
= 1 −
1
L
.
Áp dụng tính các tổng sau
1.
∞
X
n=1
n −1
n!
2.
∞
X
n=1
2n −1
2 ·4 ·6 ···(2 )n
3.
∞
X
n=1
1
n
2
1 −
1
2
2
1 −
1
3
2
···
1 −
1
n
2
Câu 4. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1.
∞
X
n=1
1
n
2
2.
∞
X
n=1
1
n
3.
∞
X
n=1
1
√
n
4.
∞
X
n=1
1
2
n
5.
∞
X
n=1
2
n
6.
∞
X
n=1
sin
2023
2
n
7.
∞
X
n=1
2
n
n!
8.
∞
X
n=1
1
p
n(n + 2)
9.
∞
X
n
=1
√
n + 1 −
√
n
4
10.
∞
X
n=2
1
(ln n)
2
11.
∞
X
n=1
3 + (
−1)
n
2
n+1
12.
∞
X
n=1
n
3
2
n
13.
∞
X
n=1
n
2
+ n
2
n
14.
∞
X
n=1
n
2
+ 1
n
3
+ 2n + 1
15.
∞
X
n=1
n
n
n! + 1
16.
∞
X
n=1
n −1
n
2
+ n + 1
17.
∞
X
n=1
e
−n
√
n
18.
∞
X
n=1
n + 1
n
4
+ 2n − 2
19.
∞
X
n=1
3
n
n! + 2
20.
∞
X
n
=1
1 −cos
2n
√
n + 1
3
n
2
+ 2
21.
∞
X
n=1
n
n
e
n
.n!
Lưu ý: Link điểm danh làm bài tập
3
| 1/3
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Bài tập Giải tích 2 - MAT2303 6 TUẦN 6 Mở đầu về chuỗi số 1 Lý thuyết 1.1 Chuỗi số n Xét dãy số {a X . Tổng
được gọi là tổng riêng thứ
k : k ∈ N} và đặt Sn = a1 + · · · + an = ak Sn k=1 ∞ X
n và a được gọi là từ (hoặc số hạng) thứ được gọi là n n. Khi đó chuỗi ak k=1 ∞ i) hội tụ nếu X (S hoặc X ;
n) hội tụ, hay tồn tại S = lim Sn ∈ R và viết S = an an n→∞ n=1
ii) phân kì nếu (Sn) có giới hạn vô cùng hoặc không hội tụ (phân kì). ∞ ∞ Nếu X X a hội tụ thì
được gọi là phần dư thứ k rn = ak n và lim rn = 0. n→∞ k=1 k=n+1 ∞
Điều kiện cần để X a hội tụ là k lim an = 0. n→∞ k=1 ∞
Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy: Chuỗi X a hội tụ khi và chỉ khi k
(Sn) là dãy Cauchy, tức là k=1
∀ε > 0, ∃n0 = n0(ε), ∀n ≥ n0, ∀p ≥ 1 : |an+1 + · · · + an+p| < ε. 1.2 Chuỗi dương ∞ ∞ Chuỗi X X
a được gọi là chuỗi dương nếu hội tụ khi và chỉ khi k
an ≥ 0 với mọi n. Khi đó ak k=1 k=1 dãy (Sn) bị chặn. ∞
CÁC DẤU HIỆU HỘI TỤ CỦA CHUỖI DƯƠNG: Xét chuỗi dương X a , khi đó: k k=1
1. Dấu hiệu so sánh: Nếu 0 ≤ a với mọi nào đấy và X hội tụ thì X hội tụ, n ≤ bn n ≥ n0 bn an nếu X a phân kì thì X phân kì. n bn Dạng giới hạn: Nếu a lim
n = L ∈ (0, ∞) thì X a và X cùng tính hội tụ hoặc phân kì. n bn n→∞ bn
2. Tiêu chuẩn căn (Cauchy): Đặt √
α = lim n a . Nếu α < 1 thì chuỗi hội tụ, nếu α > 1 thì chuỗi n phân kì.
3. Tiêu chuẩn tỉ số (D’Alambert): Nếu a a
lim n+1 < 1 thì chuỗi hội tụ, nếu lim n+1 > 1 thì chuỗi an an phân kì.     4. a
Tiêu chuẩn Raabe: Nếu a lim n n n
− 1 > 1 thì chuỗi hội tụ, nếu lim n − 1 < 1 thì an+1 an+1 chuỗi phân kì. 1
Bài tập Giải tích 2 - MAT2303 6
5. Dấu hiệu tích phân Cauchy: Giả sử tồn tại hàm f là hàm liên tục, đơn điệu giảm sao cho Z ∞ Z ∞ a hội tụ, nếu phân kì. n = f (n). Nếu f (t)dt hội tụ thì X an f (t)dt phân kì thì X an 1 1
1.3 Chuỗi với dấu bất kì ∞ ∞ Chuỗi X X
a được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu k
|ak| hội tụ. Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. k=1 k=1 ∞ ∞ ∞ Nếu X X X a hội tụ còn
được gọi là bán hội tụ. k |ak| thì chuỗi ak k=1 k=1 k=1 ∞
1. Tiêu chuẩn Leibniz cho chuỗi đan dấu: Chuỗi dạng X(−1)ka với k
ak ≥ 0 được gọi là chuỗi k=1
đan dấu. Nếu {ak} là dãy đơn điệu giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ. ∞ ∞
2. Tiêu chuẩn Abel: Chuỗi X X a hội tụ nếu chuỗi hội tụ và dãy k bk ak
(bn) đơn điệu, bị chặn. k=1 k=1 ∞ n
3. Tiêu chuẩn Dirichlet: Chuỗi X X a
hội tụ nếu dãy tổng riêng bị chặn và dãy k bk An = ak (bn) k=1 k=1
đơn điệu với lim bn = 0. 2 Bài tập
Câu 1. Tìm các chuỗi và tổng của chúng, biết rằng dãy tổng riêng (Sn) được cho bởi 1. n + 1 3. S Sn = arctan n n = n 2. 2n − 1 (−1)n S 4. n = S 2n n = n
Câu 2. Tính tổng của các chuỗi sau bằng cách xét giới hạn của tổng riêng √ ∞ ∞ 1. X 1 7. X n − n2 − 1 n(n + 1) pn(n + 1) n=1 n=1 ∞ ∞ 2. X 1 , X 1 m ∈ N 8. n(n + m) 4n2 − 1 n=1 n=1 ∞ ∞ 3. X 1 9. X 1 √ √ n(n + 1)(n + 2)  n + n + 1 pn(n + 1) n=1 n=1 ∞ ∞ 4. X 1 , X n2 m ∈ N 10. n(n + 1) · · · (n + m) (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) n=1 n=1 ∞ ∞ 5. X 2n + 1 11. X (n + 1)(3n + 1) ln n2(n + 1)2 n(3n + 4) n=1 n=1 ∞ ∞ 6. X n 12. X (2n + 1)n ln (4n2 − 1)2 (n + 1)(2n − 1) n=1 n=1 2
Bài tập Giải tích 2 - MAT2303 6 ∞ ∞ 13. X 1 3 X n sin cos 15. 2n+1 2n+1 3 · 5 · · · (2n + 1) n=1 n=1 ∞ ∞ 14. X n!π X cos3(3nx) sin 16. (−1)n 720 3n n=1 n=1
Câu 3. Giả sử (an) là một dãy thoả mãn
lim (a1 + 1)(a2 + 1) · · · (an + 1) = L ∈ (0, ∞]. n→∞ Chứng minh rằng ∞ X an 1 = 1 − .
(a1 + 1)(a2 + 1) · · · (an + 1) L n=1
Áp dụng tính các tổng sau ∞ 1. X n − 1 n! n=1 ∞ 2. X 2n − 1 2 · 4 · 6 · · · (2n) n=1 ∞ 1 3. X n2
1 − 1  1 − 1  · · · 1 − 1  n=1 22 32 n2
Câu 4. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∞ ∞ ∞ 1. X 1 8. X 1 15. X nn n2 pn(n + 2) n! + 1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ 2. X 1 9. X√ √ 4 X n − 1 n + 1 − n 16. n n2 + n + 1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ 3. X 1 1 e−n √ 10. X 17. X √ n (ln n)2 n n=1 n=2 n=1 ∞ ∞ ∞ 4. X 1 11. X 3 + (−1)n 18. X n + 1 2n 2n+1 n4 + 2n − 2 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ 5. X X n3 X 3n 2n 12. 19. 2n n! + 2 n=1 n=1 n=1 √ ∞ ∞ ∞   6. X 2023 X n2 + n X 2n n + 1 sin 13. 20. 1 − cos 2n 2n 3n2 + 2 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ 7. X 2n 14. X n2 + 1 21. X nn n! n3 + 2n + 1 en.n! n=1 n=1 n=1
Lưu ý: Link điểm danh làm bài tập 3