Bài tập Chương 1: Biến cố và xác suất môn Toán kinh tế | Học viện Ngân hàng

Chương 1
Biến cố và xác su t ấ
Tính xác suất bằng định nghĩa. Mối quan hệ giữa các biến cố
1. Một người rút tiền ở cây ATM nhưng quên mất 3 số cuối của mã PIN và chỉ nhớ rằng
chúng khác nhau. Tìm xác suất để người đó nhập một lượt được đúng mã PIN của mình.
2. Một công ty cần tuyển ba nhân viên. Có 30 người nộp đơn, trong đó có 18 nam và 12
nữ. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của mỗi người là như nhau .Tính xác suất:
a) Cả 3 người trúng tuyển đều là nam.
b) Cả 3 người trúng tuyển đều là nữ.
c) Có ít nhất một nữ trúng tuyển.
3. Thang máy của một tòa nhà 10 tầng xuất phát từ tầng 1 với 5 khách. Coi như mỗi người
chọn tầng đến một cách ngẫu nhiên và độc lập với những người khác. Tìm khả năng
xảy ra các tình huống sau:
a) Tất cả cùng ra ở tầng 7.
b) Tất cả cùng ra ở một tầng.
c) Mỗi người ra ở một tầng khác nhau.
4. Có 10 khách tới 3 quầy hàng một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để có đúng 3 người vào quầy số 1.
5. Một người chọn mua ngẫu nhiên một vé xổ số (loại truyền thống). Tính xác suất người đó:
a) Mua được v có 5 chữ số khác nhau.
b) Mua được v có 5 chữ số đều l.
6. Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ. Tính xác suất để:
a) Chỉ có một lá thư bỏ đúng địa chỉ.
b) Cả 3 lá thư đều được bỏ không đúng địa chỉ.
7. Trong tr chơi Monty Hall – “Let’s make a deal” (một tr chơi trên truyền hình tại M),
người ta sp xếp 3 cánh cửa, đằng sau 1 trong 3 cánh cửa là giải thưởng chiếc ô tô, 2
cánh cửa còn lại có 2 con Dê. Người chơi la chọn 1 trong 3 cửa, sau đó để kịch tnh,
người dẫn chương trình luôn mở cánh cửa không trúng ô tô trong 2 cánh cửa cn lại và
hỏi người chơi có đổi hay không đổi phương án la chọn (sang cánh cửa chưa mở cn
lại). Tnh xác suất chọn được chiếc ô tô trong 2 phương án.
a) Người chơi không đổi la chọn?
b) Người chơi đổi la chọn?
8. Một công ty tham gia đấu thầu 2 d án. Gọi 𝐴 công ty đó th 𝑘 là biến cố ng thầu d án
𝑘 (𝑘 = 1,2). Hãy viết bằng kí hiệu các biến cố biểu thị rằng:
a) Công ty chỉ thng thầu một d án.
b) Công ty không thng thầu d án nào.
9. Ba người cùng đầu tư vào một d án. Gọi 𝐴𝑘 là biến cố người thứ 𝑘 đầu tư có lãi (𝑘 =
1,2,3). Hãy biểu thị (tương đương) các biến cố sau theo các biến cố 𝐴1,𝐴2, 𝐴3.
a) A = “Chỉ có người thứ nhất đầu tư có lãi”
b) B = “Chỉ có một người đầu tư có lãi”
c) C = “Chỉ có hai người đầu tư có lãi”
d) D = “Có người đầu tư có lãi”.
Công thức cộng, công thức nhân xác suất, công thức Becnulli
10. Tại tr chơi truyền hình, người ta sp xếp 3 cánh cửa, đằng sau 1 trong 3 cánh cửa là
phần thưởng. Người chơi la chọn 1 trong 3 cửa và có quyền trợ giúp để mở cánh cửa,
nếu cánh cửa đó không trúng thưởng, người chơi được quyền đổi sang 1 trong 2 cánh
cửa cn lại. Tnh xác suất chọn được phần thưởng khi thành công quyền trợ giúp?
11. Ba người chia nhau 2 v đi xem phim bằng cách rút thăm. Có 3 lá thăm trong đó 2 lá
thăm được vé xem phim, 1 l
á không được. Mỗi người lần lượt rút 1 lá thăm. Chứng
minh đây là phương thức công bằng.
12. Một sinh viên phải thi 3 môn một cách độc lập nhau. Xác suất nhận cùng một điểm số
nào đó ở cả 3 môn đều như nhau. Xác suất để thu được một môn điểm 8 là 0,18, dưới
8 là 0,65, xác suất cả 3 môn đều được điểm 10 là 0,000343. Tính xác suất để sinh viên
thi 3 môn được ít nhất là 28 điểm. Điểm thi được cho theo thang điểm 10, không có điểm l.
13. Một công ty đầu tư vào hai d án A và B. Khả năng gặp rủi ro khi đầu tư vào 2 d án
này tương ứng là 9%, 7% và gặp rủi ro đồng thời khi đầu tư cả hai d án là 4%. Nếu
đầu tư cả hai d án, tính xác suất ể đ :
a) Ít nhất một d án gặp rủi ro.
b) Chỉ d án A gặp rủi ro.
14. Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt
3 sản phẩm. Nếu có phế phẩm trong 3 sản phẩm kiểm tra thì không mua lô hàng. Tính
xác suất lô hàng được mua.
15. Một máy có ba bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để các bộ phận bị hỏng
lần lượt là 0,1; 0,3 và 0,2. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Có đúng 2 bộ phận bị hỏng.
b) Có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng.
16. Có ba người A, B và C cùng phỏng vấn xin việc ở một công ty. Xác suất trúng tuyển
của mỗi người lần lượt là 0,8; 0,6 và 0,7. Việc trúng tuyển của mỗi người là độc lập.
a) Tính xác suất có hai người trúng tuyển.
b) Biết rằng có hai người trúng tuyển. Tính xác suất để hai người đó là A và B.
17. Một tờ tiền giả lần lượt được hai người A và B kiểm tra. Xác suất để người A phát hiện
ra tờ này giả là 0,7. Nếu người A cho rằng tờ này là giả, thì xác suất để người B cũng
nhận định như thế là 0,8. Ngược lại, nếu người A cho rằng tờ này là tiền thật thì xác suất ể
đ người B cũng nhận định như thế là 0,4. a) Tính xác suất ể
đ chỉ đúng một trong hai người A hoặc B phát hiện ra tờ này giả.
b) Biết tờ tiền đó đã bị ít nhất ộ
m t trong hai người này phát hiện là giả, tính xác suất
để A phát hiện ra nó là giả.
18. Xác suất bn trúng mục tiêu của 3 người đi săn tương ứng là 0,7; 0,6 và 0,5. Ba người
này cùng bn một con nai và con nai bị trúng 1 viên đạn. Tính xác suất bn trúng của mỗi người.
19. Tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 3%. Chọn ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sản phẩm:
a) Tính xác suất phải chọn đến lần thứ tư mới được phế phẩm.
b) Phải chọn bao nhiêu lần để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 0,9.
20. Một sinh viên phải thi 6 môn kết thúc học kì. Khả năng thi được trên 5 điểm của mỗi
môn là 0,8 và độc lập nhau. Tính xác suất để trong học kì này người đó:
a) Được 5 môn trên 5 điểm.
b) Được ít nhất 4 môn trên 5 điểm.
21. Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất sản xuất ra một phế phẩm của máy là 0,01.
a) Nếu máy xản suất 10 sản phẩm thì xác suất có 2 phế phẩm; có t hơn 3 phế phẩm là bao nhiêu?
b) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một chính phẩm trên 0,99.
22. Một ngân hàng giới thiệu một loại th thanh toán mới thông qua việc quảng cáo trên đài
phát thanh và vô tuyến truyền hình. Biết rằng 34% khách hàng nm được thông tin qua
quảng cáo trên đài phát thanh, 25% khách hàng nm được thông tin này qua quảng cáo trên
vô tuyến truyền hình và 10% khách hàng nm được thông tin qua quảng cáo trên cả hai
phương tiện. Tính tỷ lệ khách hàng nm được thông tin về sản phẩm này.
23. Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất làm ra một phế phẩm của máy là 0,01.
a) Cho máy xản suất 10 sản phẩm. Tính xác suất có 2 phế phẩm; có t hơn 3 phế phẩm.
b) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một chính phẩm trên 0,99.
24. A chơi cờ với B với xác suất thng mỗi ván là p. Tìm giá trị của p để A thng chung
cuộc trong bốn ván dễ hơn trong sáu ván. Biết rằng để thng chung cuộc thì phải thng
ít nhất 1 nửa tổng số ván.
25. Một bài thi trc nghiệm có 40 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1
phương án đúng. Một sinh viên chọn phương án trả lời một cách ngẫu nhiên. Tnh xác
suất sinh viên đó được 9 điểm trở lên b ế
i t rằng mỗi câu đúng được 0,25 điểm?
26. Theo điều tra của một ngân hàng về sử dụng th tín dụng ở công ty, có 50% dùng th
A, 40% dùng th B, 30% dùng th C, 20% dùng th A và B, 15% dùng th A và C, 10%
dùng th B và C, 5% dùng cả ba th A, B, C. Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một người ở công ty đó, thì:
a) Người ấy dùng ít nhất một trong ba loại th nói trên.
b) Người ấy dùng th B, biết rằng người ấy dùng th A.
27. Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến chào hàng ở công ty Phương Đông ba lần. Xác
suất để lần đầu bán được hàng là 0,8. Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất để lần
sau bán được hàng là 0,9, còn nếu lần trước không bán được hàng thì xác suất để lần
sau bán được hàng chỉ là 0,4. Tìm xác suất để:
a) Cả ba lần đều bán được hàng.
b) Có đúng hai lần bán được hàng.
Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayes
28. Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9;
của máy thứ hai là 0,85. Từ một kho chứa 1 sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của 3
máy thứ hai) lấy ngẫu nhiên một sản phẩm để kiểm tra.
a) Tính xác suất lấy được phế phẩm.
b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất .
29. Trong 20 tờ tiền có 3 tờ giả. Một tờ bị rút đi không rõ thật hay giả. Người ta rút ngẫu
nhiên trong các tờ còn lại ha itờ. a) Tính xác suất ể
đ hai tờ tiền được rút ra ở lần thứ hai là tiền thật .
b) Nếu biết rằng hai tờ tiền rút ra ở lần thứ hai là tiền thật. Tìm xác suất để tờ tiền bị rút
đi trước đó cũng là tiền thật.
30. Người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 500 khách hàng về một loại sản sẩm mới d định
đưa ra thị trường và thấy có: 160 người trả lời “Sẽ mua”, 240 người trả lời “Có thể sẽ
mua”, 100 người trả lời “Không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thc s
mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên là 40%, 20% và 2%.
a) Hãy ước tnh tỉ lệ người thc s mua sản phẩm đó?
b) Trong số khách hàng thc s mua sản phẩm thì có khoảng bao nhiêu phần trăm đã trả lời “Sẽ mua”?
31. Một công ty bảo hiểm chia dân cư (đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung
bình, rủi ro cao. Theo thống kê cho thấy tỉ lệ dân cư gặp rủi ro trong 1 năm tương ứng
với các loại trên là: 5%, 10%, 25% và trong toàn bộ dân cư có 20% t rủi ro; 50% rủi ro
trung bình; 30% rủi ro cao.
a) Tính tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm.
b) Nếu một người không gặp rủi ro trong năm thì xác suất người đó thuộc loại ít rủi ro là bao nhiêu?
32. Một người có 3 chỗ ưa thch như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở những chỗ
đó tương ứng là: 0,6; 0,8 và 0,7. Biết rằng ở một chỗ người đó đã thả câu 3 lần và chỉ
câu được một con cá. Tìm xác suất để cá được câu ở chỗ thứ nhất.
33. Trong một kho rượu số lượng chai rượu loại A và loại B bằng nhau. Người ta lấy ngẫu
nhiên 1 chai rượu trong kho và đưa cho 4 người sành rượu nếm thử để xác định xem
đây là loại rượu nào. Giả sử mỗi người có khả năng đoán đúng là 0,8. Có 3 người kết
luận chai rượu thuộc loại A và một người kết luận chai rượu thuộc loại B. Vậy chai
rượu được chọn thuộc loại A với xác suất bằng bao nhiêu?
34. Trong những hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm, tỉ lệ hộ làm ăn không có lãi là 5%.
Trong các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn không có lãi, tỉ lệ trả nợ ngân
hàng không đúng hạn là 88%. Trong các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn
có lãi, tỉ lệ trả nợ ngân hàng không đúng hạn là 2%.
a) Một hộ đã vay tiền ngân hàng để nuôi tôm, thì xác suất hộ đó không trả nợ ngân
hàng đúng hạn là bao nhiêu.
b) Một hộ nuôi tôm đã không trả nợ ngân hàng đúng hạn, thì xác suất hộ đó làm ăn
không có lãi là bao nhiêu.
35. Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Người ta dùng một thiết bị kiểm tra t động đạt
được độ chính xác khá cao song vẫn có sai sót. Tỷ lệ sai sót đối với chính phẩm là 4%
cn đối với phế phẩm là 1%. Nếu sản phẩm bị kết luận là phế phẩm thì bị l ạ o i.
a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận là chính phẩm mà thc ra là phế phẩm.
b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị kết luận là phế phẩm mà thc ra là chính phẩm.
36. Sản phẩm sản xuất ra phải qua hai máy kiểm tra 1 và 2. Nếu được máy 1 chấp nhận thì
mới được chọn để máy 2 kiểm tra tiếp. Sau khi máy 2 chấp nhận thì sản phẩm mới được
đưa ra thị trường. Xác suất máy 1 chấp nhận là 0,9 và xác suất để máy 2 chấp nhận là
0,8. Biết rằng việc kiểm tra của 2 máy là độc lập.
a) Tính tỉ lệ sản phẩm sản xuất ra không được đưa ra thị trường.
b) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm không được đưa ra thị trường. Tính xác suất để sản
phẩm đó bị loại là do máy 2.
37. Một túi chứa 9 nhẫn bạc và 1 nhẫn vàng. Túi kia có 1 nhẫn bạc và 5 nhẫn vàng. Từ mỗi
túi rút ra ngẫu nhiên một nhẫn. Những chiếc nhẫn còn lại được dồn vào một túi thứ ba.
Từ túi thứ ba này lại rút ngẫu nhiên một chiếc nhẫn. Tính xác suất để ta rút ra được
nhẫn vàng ở túi thứ ba.
HƯỚNG DẪN, ĐÁP SỐ 1. 1 720 2. a) 204 b) 11 c) 811 1015 203 1015 3. a) 1 95 b) 1 94 c) 560 2187 3 4. 𝐶10.27 310 5. 6. a) 1 b) 1 2 3 7. . 8.
9. a) Gọi A = “vé có chữ số 1”, B = “vé có chữ số 5” 5 5
Xs cần tìm là 𝑃(𝐴󰆽 ∪ 𝐵󰆽) = 𝑃(𝐴󰆽) + 𝑃(𝐵󰆽) − 𝑃(𝐴󰆽. 𝐵󰆽) = 2 ( 9 ) − ( 8 ) 10 10
b) Gọi C = “vé có chữ số 2”, D = “vé có chữ số lẻ”. Cần tính 𝑃(𝐶 𝐷) = 1 − 𝑃(𝐶󰆽 ∪ 𝐷󰆽) 10. .
11. HD: Chứng minh xác suất để mỗi người rút được lá thăm được v xem phim đều bằng 2. 3 12. 0,006559 13. . 14. 15. .
16. a) Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố người A, B, C trúng tuyển và K là biến cố có
2 người trúng tuyển.
Xs cần tính là 𝑃(𝐾) = 𝑃(𝐴𝐵𝐶󰆽 + 𝐴𝐵󰆽𝐶 + 𝐴󰆽𝐵𝐶), đ/s 0,452.
b) Xs cần tính là 𝑃(𝐴𝐵|𝐾) = 𝑃(𝐴𝐵𝐾) = 𝑃(𝐴𝐵𝐶󰆽), đ/s 36 . 𝑃(𝐾) 𝑃(𝐾) 113
17. Gọi A, B lần lượt là các biến cố người A, B phát hiện tiền giả. Từ giả thiết có: P(A)
= 0,7; P(B|A) = 0,8; 𝑃(𝐵󰆽|𝐴󰆽) = 0,4.
a) Cần tính P(𝐴𝐵󰆽 + 𝐴󰆽𝐵)
b) Gọi K = “t nhất một trong hai người phát hiện tờ tiền là giả”, cần tính
𝑃(𝐴|𝐾) = 𝑃(𝐴𝐾) = 𝑃(𝐴𝐵+𝐴𝐵󰆽),tương t ý b bài 15. 𝑃(𝐾) 𝑃(𝐾) 18. . 19. a) ≈ 0,0274
b) P(“có ít nhất một phế phẩm trong n lần chọn”) = 1 - P(“không có phế phẩm nào
trong n lần chọn”) ≥ 0,9. Đ/s: ít nhất 76 lần. 20. . 21. 49% 22.
23. Cần tìm p để: P(“A thắng chung cuộc trong bốn ván”) > P(“A thắng chung cuộc trong sáu ván”) 𝐶2 3 4
4 𝑝2(1 − 𝑝)2 + 𝐶4 𝑝3(1 − 𝑝)1 + 𝐶4 𝑝4(1 − 𝑝)0 > 𝐶3 4 5 6
6 𝑝3(1 − 𝑝)3 + 𝐶6 𝑝4(1 − 𝑝)2 + 𝐶6 𝑝5(1 − 𝑝)1 + 𝐶6 𝑝6(1 − 𝑝)0 24. 25. 26. 27. 28. 29.
30. Chọn ngẫu nhiên một người. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người được chọn
thuộc loại ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao. {H1, H2, H3} lập nên một nhóm
đầy đủ các biến cố. Gọi A = “chọn được người gặp rủi ro”.
a) Tính P(A) bằng công thức xs đầy đủ. Tnh được P(A) = 0,135. Suy ra, tỉ lệ dân gặp
rủi ro trong một năm là 13,5%.
b) Xác suất cần tính là P(H1|𝐴).
31. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người đó chọn câu chỗ thứ nhất, thứ hai và
thứ 3 tương ứng. {H1, H2, H3}lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố.
Gọi A = “thả câu ba lần và chỉ câu được 1 con cá”, tính P(A) theo công thức xs
đầy đủ, các xs P(A|Hi) có thể tính theo công thức Becnulli.
Xác suất cần tính là: P(H1|A), sử dụng công thức Bayes để tính xs này.
32. Gọi A = “chai rượu lấy ra thuộc loại A”, B = “chai rượu lấy ra thuộc loại B”, K
= “3 người kết luận chai rượu loại A và 1 người kết luận loại B”. XS cần tính là
P(A|K), tính xs này theo công thức Bayes (nhóm đầy đủ các biến cố là A, B) .
Chú ý: Biến cố (K|A) = “3 người kết luận đúng và 1 người kết luận sai”, (K|B) =
“3 người kết luận sai và một người kết luận đúng” do đó các xs P(K|A) và P(K|B)
có thể tính theo công thức Becnulli. Đ/s: 𝑷(𝑨|𝑲) = 𝟏𝟔 𝟏𝟕 33. 34. 35.
36. Gọi H1 = “Hai nhẫn được ra từ mỗi túi là nhẫn vàng”, H1 = “Hai nhẫn được rút ra
từ mỗi túi là nhẫn bạc”, H3 = “Hai nhẫn được rút ra từ mỗi túi gồm 1 vàng và 1
bạc” và A = “rút ra được nhẫn vàng ở túi thứ ba”. {H1, H2, H3}lập nên nhóm đầy
đủ các biến cố. Tính P(A) theo công thức xác suất đầy đủ.