lOMoARcPSD|44744371 lOMoARcPSD|44744371 Phần 1. Xác suất
§1. Không gian mẫu và biến cố
1. Cho ba biến cố A, B, C. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo A, B, C
a) Cả ba biến cố trên đều xảy ra.
b) Cả ba biến cố trên đều không xảy ra. c) Chỉ có A xảy ra.
d) A, B xảy ra nhưng C không xảy ra.
e) Có ít nhất hai biến cố xảy ra.
f) Có đúng hai biến cố xảy ra.
g) Có ít nhất một biến cố xảy ra.
2. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất.
a) Xây dựng không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau.
A: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số chẵn”.
B: “ ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt một chấm”.
C: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5”.
d) Miêu tả các biến cố AB, BC, và ABC.
3. Gieo một đồng xu hai lần. Hãy mô tả không gian mẫu (không gian các biến
cố sơ cấp). Mô tả biến cố
A: mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần
B: lần gieo thứ hai xuất hiện mặt sấp.
4. Gieo một lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Mô tả không gian các
biến cố sơ cấp. Mô tả biến cố A: mặt trên con xúc xắc xuất hiện số chấm chia hết cho 3.
5. Gieo một đồng xu sau đó gieo một con xúc xắc. Mô tả không gian các biến cố sơ cấp.
6. Gieo liên tiếp một đồng xu đến khi xuất hiện mặt ngửa thì dừng. Mô tả không
gian các biến cố sơ cấp.
7. Một xạ thủ bắn ba lần, mỗi lần một viên đạn vào cùng một mục tiêu.
Gọi Ai là biến cố viên đạn thứ i trúng mục tiêu, i = 1, 2, 3. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo Ai:
a) Cả ba viên đạn đều trúng mục tiêu;
b) Không có viên đạn nào trúng mục tiêu;
c) Có đúng một viên đạn trúng mục tiêu;
d) Có ít nhất hai viên đạn trúng mục tiêu.
8. Hãy mô tả biến cố đối của các biến cố sau:
A: Xuất hiện hai mặt ngửa khi gieo một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần;
B: Cả ba viên đạn đều trúng đích khi bắn độc lập ba lần, mỗi lần một viên đạn vào một mục tiêu.
C: Có ít nhất một viên đạn trúng đích khi bắn độc lập ba lần, mỗi lần một viên đạn vào một mục tiêu.
9. Gọi A là biến cố sinh con gái, B là biến cố sinh con có trọng lượng hơn 3kg.
Hãy mô tả biến cố A B và AB. lOMoARcPSD|44744371
Bài 2. Các định nghĩa về xác suất
1. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố
a) Tổng số chấm xuất hiện bằng 7, b)
Tổng số chấm xuất hiện bằng 8, c) Số
chấm xuất hiện hơn kém nhau 2.
2. Trong một lô N sản phẩm có n sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ lô
đó m sản phẩm. Tìm xác suất để trong m sản phẩm lấy ra đó có k sản phẩm đạt
tiêu chuẩn ( n N,m N,k min(m,n)).
3. Một công ty cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn trong đó có 4 nữ và
2 nam. Giả sử khả năng trúng tuyển của 2 người là như nhau.
a) Tính xác suất để hai người trúng tuyển là nam.
b) Tính xác suất để hai người trúng tuyển là nữ. c)
Tính xác suất để có ít nhất một nữ trúng tuyển.
4. Trên một giá sách có 15 quyển sách trong đó có 5 quyển văn nghệ. Lấy ngẫu
nhiên từ đó ba quyển. Tìm xác suất sao cho có ít nhất một quyển văn nghệ.
5. Một lô sản phẩm có 16 sản phẩm loại I, 4 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên từ
lô đó 2 sản phẩm. Tính xác suất để được ít nhất một sản phẩm loại I.
6. Số lượng nhân viên của một công ty được phân loại theo lứa tuổi và giới tính như sau Giới tính Nam Nữ Tuổi Dưới 30 120 170 Từ 30-40 260 420 Trên 40 400 230
Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên một người của công ty đó thì được
a) Nhân viên dưới 40 tuổi.
b) Nam nhân viên trên 40 tuổi.
c) Nữ nhân viên dưới 40 tuổi.
7. Một lô sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên
lần lượt không hoàn lại từ lô hàng hai sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để:
a. Cả hai sản phẩm được kiểm tra đều tốt.
b. Có ít nhất một sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm đó.
Bài 3. Các công thức tính xác suất
1. Cho A và B là các biến cố sao cho: 1 3 5 P(B) P(A) = 2 , P( A B) = 4 và 8.
Tìm P(AB),P(AB),P(A B),P(B \ A). Giải 1 5 3 Ta có P(B) = 1 – P( B ) = 8 8 lOMoARcPSD|44744371
Theo công thức cộng xác suất P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(AB) P(A) P(B) P(A B) 1 8. 1 P(AB) P(A B) 1 P(A B) 4 . 1 P(A B) P(AB) 1 P(AB) 4 . 1 P(B\A) = P(B) – P(AB) = 4. P(A) 3 ,P(B) 1 1
2. Cho A và B là các biến cố với 8 2 và P(AB) = 4 . Tìm (i) P(A B), (ii) P(A),P(B),
(iii) P(AB),P(A B),P(B \ A),P(A |B). 3 2 ,vµ P(AB) 1 P(A B) ,P(A)
3. Cho và B là các biến cố với 4 3 4 . Tìm P(A), P(B) và P(A\B).
4. Hệ thống báo cháy gồm một chuông và một đèn tín hiệu. Xác suất để khi có
cháy chuông hỏng là 0,1; đèn hỏng là 0,05; cả hai thiết bị đều hỏng là 0,01. Tìm
xác suất để khi có cháy cả hai thiết bị đều hoạt động.
5. Một lớp sinh viên có 50% học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp, 30% học tiếng
Đức, 20% học tiếng Anh và tiếng Pháp, 15% học tiếng Anh và tiếng Đức, 10%
học Pháp và tiếng Đức, 5% học cả ba thứ tiếng. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu
nhiên một sinh viên của lớp đó thì người đó học ít nhất một trong ba ngoại ngữ kể trên.
6. Cho A, B là hai biến cố bất kỳ, Chứng minh a)P(A B) 1 P(A) P(B) P(AB) b)P(A) P(AB) P(B) P(BA)
7. Một người chuẩn bị đấu thầu hai dự án A và B (A đấu thầu trước B). Người
đó có khả năng trúng thầu dự án A là 70%. Nếu trúng thầu dự án A thì khả năng
trúng thầu dự án B là 90%. Nếu không trúng thầu dự án A thì khả năng trúng
thầu dự án B còn 50% . Tìm khả năng của người đó:
a) Trúng thầu cả hai dự án.
b) Chỉ trúng thầu một dự án. Giải
Gọi A là biến cố người đó trúng thầu dự án A.
B là biến cố người đó trúng thầu dự án B.
C là biến cố người đó chỉ trúng thầu một dự án. Khi đó C = AB AB lOMoARcPSD|44744371
Theo bài ra: P(A) = 0.7; P(B|A) = 0.9; P(B|A) 0.5
a) Theo công thức nhân xác suất ta có: PAB) = P(B | A)P(A) = 0.63.
Vậy xác suất trúng thầu cả hai dự án là 0.63.
b) Tương tự ta có: P(AB) P(B|A)P(A) (1 P(B|A))P(A) 0.07. P(AB) P(B|A)P(A) 0.15 Do đó P(C) P(AB) P(AB) 0.22.
Vậy xác suất để người đó chỉ trúng thầu một dự án là 0,22.
8. Một người chuẩn bị tham dự lấy phiếu tín nhiệm vào một chức vụ, bắt buộc
phải qua hai vùng, ở vùng I khả năng đủ tín nhiệm là 60%. Nếu đủ ở vùng I thì
khả năng đủ tín nhiệm ở vùng II là 85%, nếu không đủ ở vùng I thì khả năng đủ
tín nhiệm ở vùng II là 30%. Tìm khả năng của người đó:
a) Đủ tín nhiệm ở cả hai vùng.
b) Chỉ đủ tín nhiệm ở một vùng.
9. Một người có nguyện vọng thi vào hai trường đại học. Đợt I thi vào trường
A, khả năng đỗ là 90%. Nếu đợt I người đó thi đỗ thì khả năng thi đỗ đợt hai
vào trường B là 99%, ngược lại nếu lần thứ nhất thi trượt thì khả năng thi đỗ lần
hai chỉ còn là 50%. Tính xác suất người đó chỉ thi đỗ một trường.
10. Một người đi mua hàng với xác suất chọn được hàng tốt là 0,9. Nếu lần
trước chọn được hàng xấu thì xác suất chọn được hàng tốt lần sau là 95%, còn
nếu lần trước người đó chọn được hàng tốt thì không có kinh nghiệm gì khi mua
lần sau. Người đó mua hàng hai lần, mỗi lần một sản phẩm. Tìm xác suất để có
một lần mua phải hàng xấu.
11. Cho A và B là các biến cố độc lập. Chứng minh rằng: a) A và B độc lập. b) A và B độc lập. A vµ B c) độc lập.
12. Chứng minh rằng nếu A, B, C là ba biến cố độc lập thì A và B C là hai biến cố độc lâp.
13. Hai xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn vào cùng một bia. Xác suất trúng
đích của người thứ nhất là 0.9, của người thứ hai là 0.7.Tính xác suất của các biến cố:
a) Có đúng một người bắn trúng.
b) Cả hai người đều bắn trúng.
c) Có ít nhất một người bắn trúng. Giải
Gọi A1 = biến cố người I bắn trúng.
A2 = biến cố ngưòi II bắn trúng.
A = biến cố có đúng một người bắn trúng.
B = biến cố cả hai người đều bắn trúng. lOMoARcPSD|44744371
C = biến cố có ít nhất một người bắn trúng. P(A) P(A A A A 1)P(A2) P(A A1)P(A2) 0.34. Khi đó: A 1 2 1 2 B = A1A2 C=A B
Theo bài ra P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.7. Do đó P(B) = P(A1)P(A2) = 0.63.
P(C) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.97.
14. Ba người, mỗi người độc lập bắn một viên vào mục tiêu với xác suất trúng
tương ứng là 0,6; 0,8; 0,7. Tìm xác suất:
a) Chỉ có người thứ hai bắn trúng.
b) Có đúng một người bắn trúng.
c) Có ít nhất một người bắn trúng.
d) Cả ba người cùng bắn trúng.
e) Có đúng hai người bắn trúng.
f) Có ít nhất hai người bắn trúng.
g) Có không quá hai người bắn trúng.
15. Bắn ba viên đạn vào bia một cách độc lập. Xác suất để có ít nhất một lần
trúng đích là 0,875. Tìm xác suất bắn trúng bia trong một lần bắn.
16. Bắn độc lập ba viên đạn vào cùng một bia. Xác suất trúng đích của viên thứ
nhất, viên thứ hai, viên thứ ba lần lượt là 0,4; 0,5; 0,7.
a) Tìm xác suất sao cho trong ba viên có đúng một viên trúng đích.
b) Tìm xác suất để có ít nhất một viên trúng đích. ĐS a) 0.36 b) 0.91.
17. Bắn ba viên đạn vào bia một cách độc lập. Xác suất để có ít nhất một lần
trúng đích là 0,936. Tìm xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn.
18. Một máy tính điện tử gồm n bộ phận hoạt động độc lập. Xác suất hỏng trong
khoảng thời gian t của bộ phận thứ k bằng pk (k = 1, 2, ..., n). Nếu ít nhất một bộ
phận hỏng thì máy sẽ ngừng làm việc. Tính xác suất để máy ngừng làm việc trong khoảng thời gian t.
19. Ở một cơ quan có ba chiếc xe ô tô hoạt động độc lập. Khả năng bị hỏng của
mỗi ô tô tương ứng là 0,15; 0,20; 0,1.
a) Tìm khả năng cả ba ô tô cùng bị hỏng.
b) Tìm khả năng có ít nhất một chiếc hoạt động được.
c) Tìm khả năng cả ba ô tô cùng hoạt động được.
d) Tìm khả năng có không quá hai ô tô bị hỏng.
20. Một chi tiết được gia công một cách độc lập qua ba công đoạn nối tiếp với
nhau và chất lượng chi tiết chỉ được kiểm tra sau khi đã được gia công xong.
Xác suất gây ra khiếm khuyết cho chi tiết ở các công đoạn tương ứng là 0,2;
0,15; 0,1. Tìm xác suất để sau khi gia công chi tiết lOMoARcPSD|44744371 a) Có khiếm khuyết.
b) Bị ít nhất hai khiếm khuyết.
c) Bị cả ba khiếm khuyết.
d) Không bị khiếm khuyết nào.
e) Bị không quá một khiếm khuyết.
Bài 4. Công thức Bernoulli
1. Xác suất nảy mầm của một hạt giống là 0,4. Người ta gieo các hạt giống vào
các hốc, mỗi hốc 4 hạt. Tính xác suất để có ít nhất một hạt nảy mầm. Giải
Gọi A là biến cố mỗi hốc có ít nhất một hạt nảy mầm.
Suy ra A là biến cố bốn hạt đều không nảy mầm.
Theo công thức Becnoulli ta có (1 p) P( 4 (1 p)4 A ) = C04 , p = 0.4.
Suy ra P(A) = 1- P( A ) = 1 – (1 – p)4 = 1 – (0.6)4.
2. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là p = 0,02. Cần
phải lấy một mẫu với cỡ mẫu bằng bao nhiêu sao sao cho xác suất để có ít nhất
một phế phẩm trong mẫu đó không bé hơn 0,95. Giải.
Gọi n là số sản phẩm cần lấy.
A là biến cố có ít nhất một phế phẩm trong n sản phẩm lấy ra.
A là biến cố trong n sản phẩm lấy ra không có sản phẩm nào là phế phẩm.
Theo công thức Becnoulli ta có:
P( A ) = C0np0(1 p)n (1 p)n , p = 0.02.
P(A) = 1- P( A ) = 1 – (1 – p)n = 1 – (1-0.02)n = 1 – (0.98)n. P(A) 0.95 1 (0.98)n 0.95 n ln(0.05) ln100 ln5 0.05 (0.98) n n 148.
Vậy số hạt giống cần lấy là n = 148.
3. Tỷ lệ học sinh trong trường bị cận thị là 1%. Hỏi cần lấy một mẫu cỡ bao
nhiêu (chọn bao nhiêu học sinh) sao cho trong mẫu đó có ít nhất một học sinh bị
cận thị với xác suất không bé hơn 0,95. ĐS: 298.
4. Bắn liên tiếp 14 viên đạn vào một mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi viên
đạn bằng 0,2. Mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn nếu có ít nhất hai viên trúng đích.
Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn.
5. Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy là 3%. Tìm xác suất để trong 10 sản phẩm
do nhà máy đó sản xuất ra có a) 2 phế phẩm. b) Không quá 2 phế phẩm. lOMoARcPSD|44744371
6. Phải gieo 2 đồng xu bao nhiêu lần để với xác suất không nhỏ hơn 0,99 có thể
tin rằng có ít nhất một lần được cả hai mặt sấp.
Bài 5. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
1. Tại một phòng khám bệnh chuyên khoa, trong số những người đến khám có
80% mắc bệnh. Phòng khám dùng một dụng cụ chuyên dụng để chuẩn đoán
bệnh. Nếu có bệnh thì thiết bị cho kết quả dương tính với xác suất 0,8. Nếu
không có bệnh thì cho kết quả dương tính với xác suất 0,3.
a) Tìm xác suất để một người đến khám bệnh cho kết quả dương tính.
b) Giả sử một người đến khám bệnh và máy cho kết quả dương tính. Tính
xác suất để người đó có bệnh; không có bệnh. Giải
a) Gọi B1 là biến cố người đến khám có bệnh;
B2 là biến cố người đến khám không có bệnh;
A là biến cố thiết bị cho kết quả dương tính.
Khi đó B1, B2 lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố. Theo bài ra P(B1) = 0,8; P(B2) = 0,2 P(A|B1) = 0,8; P(A|B2) = 0,3.
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) = 0,8.0,8 + 0,2.0,3 = 0,7.
b) Theo công thức nhân xác suất ta có: P(A|B1)P(B1) = P(B1|A)P(A) P(B | A)
P(A | B1)P(A1) 0,64 0, 91 1 P(A) 0, 7 . Tương tự ta được: P(B | A)
P(A | B2 )P(B2 ) 0, 06 0, 086. 2 P(A) 0, 7
2. Tiến hành thử phản ứng thuốc trên 100 người trong đó có 50 người khoẻ và
50 người yếu. Tỷ lệ phản ứng dương tính trong số người khoẻ là 0,05; còn trong
số người yếu là 0,8. Chọn ngẫu nhiên một người trong số đó.
a) Tính xác suất để người đó có phản ứng dương tính.
b) Giả sử người đó có phản ứng dương tính. Tìm xác suất để người đó là người
khoẻ; người đó là yếu.
3. Đem kiểm tra một lô hàng gồm các sản phẩm do hai xí nghiệp I và II sản
xuất. Sản phẩm của xí nghiệp I chiếm 45%, xí nghiệp II chiếm 55% toàn bộ lô
hàng. Tỷ lệ sản xuất ra phế phẩm của xí nghiệp I là 2%, xí nghiệp II là 25%.
Biết rằng sản phẩm đem kiểm tra là phế phẩm. Hỏi sản phẩm đó có nhiều khả
năng do xí nghiệp nào sản xuất.
4. Hai nhà máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm của nhà máy I
là 0,03; của nhà máy II là 0,02. Từ một kho gồm 2/3 sản phẩm của nhà máy I và
1/3 của nhà máy II ta lấy ra một sản phẩm.
a) Tính xác suất để sản phẩm đó là tốt.
b) Giả sử sản phẩm lấy ra là tốt. Tìm xác suất để sản phẩm đó thuộc lô I, lô II. lOMoARcPSD|44744371
5. Có 14 xạ thủ: 5 người bắn trúng đích với xác suất 0,8; 7 người bắn trúng đích
với xác suất 0,6 và 2 người bắn trúng đích với xác suất 0,5. Chọn ngẫu nhiên
một người cho bắn một phát nhưng không trúng. Người đó có khả năng thuộc nhóm nào nhất.
6. Trong một thùng kín có 10 viên bi gồm 8 bi trắng và 2 bi đen; trong thùng
thứ hai có 20 viên bi trong đó có 4 trắng và 16 đen. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi
thùng một viên bi và sau đó lại lấy ngẫu nhiên một trong hai viên bi đó. Tính
xác suất để lấy được bi trắng.