lOMoARcPSD|44744371
Những câu chuyện hay và lí thú về xác suất 319298
xác suất thống kê (Trường Đại học Kinh tế, Đại học Quốc gia Hà Nội) Scan to open on Studocu
Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Downloaded by Ph?m Th? Huy?n (emtenhuyen70@gmail.com) lOMoARcPSD|44744371
Nh ng câu chuy n lí thú và b ích v xác su t 1. Ch n ai ?
Có m t báo treo gi i cho câu ñ xã h i nh± th này: sông, thuy n b chìm. Ng± i duy nh t bi t b¡i là ta. Ta ph i c u ai tr± c?=. Qu là khó khn. Gi i th± ng
ñ± c trao cho c u bé 12 tu i. C u tr l i: Ngh) l i, th y th t là có lý. C u ng± i g n mình nh t thì xác su t thành công cao h¡n (v i ñi u ki n
kho ng cách gi a m i ng± i r t nh so v i kho ng cách t h ñ n b ). Và xác su t c u xong, quay tr l i ñ c u ng± i th hai cing cao.
Th nh±ng, n u c u bé vào tu i 21 và có v , còn ñ ra nh± th này: v i ta. ð n gi a sông, thuy n b chìm. Ng± i duy nh t bi t b¡i là ta. Ta ph i c u ai tr± c?=, ch c c u ch d i
d t gì tr l i câu nh± v y ñâu. Còn m y ông giám kh o mà ch m câu ñ y gi i nh t cing li u cái th n h n.
Th± ng ñ ñã sinh ra Adam. Th y chàng bu n, bèn l y x±¡ng s± n c a chàng làm ra nàng Eva xinh ñ p. ð
r i m t hôm, nàng nghe l i xui d i c a con r n (hình nh± trong Kinh Thánh không nói con r n này là ñ c
hay cái) n qu c m. Nàng quy n ri anh kh Adam sa ngã theo. H ch¡i trò ch¡i Ái Tình. H mãi mê ñ n
n i Th± ng ð b c d c và ñu i h ra kh i Thiên ðàng. Có ph i chng Ái Tình là th tình c m ñ u tiên c a
gi ng Ng± i chúng ta?!. ð u Tiên và Tr± ng T n nh t.
Và ñ n m t ngày xa tít c a th k 21, m t anh chàng ñ ng tr± c ch Tình và ch Hi u không bi t ch n
cái gì, ñành ph i phó thác cho Th± ng ð : M i l n ñi ch¡i, anh chàng mu n ho c ñi v nhà m ho c ñi t i
nhà ng± i yêu. M và ng± i yêu anh ta hai h± ng khác nhau c a con ñ± ng (anh ta gi a). Anh ta th± ng
phân vân không bi t v ñâu. Cu i cùng, anh ta ch n ñ± c gi i pháp thích h p: h có xe buýt h± ng nào
tr± c, thì ñi v h± ng y. Xe buýt c a c hai h± ng c 159 có m t chuy n. Sau m t nm, anh ta t ng k t l i
thì phát hi n s l n ñi v nhà ng± i yêu l n g p hai l n s l n v v i m . Anh chàng sung s± ng: <Ái tình,
Ái tình&Qu không sai ng± i ta g i ng±¡i là ñ tài muôn thu c a con ng± i. Th± ng ñ th t là tâm lý.
Chính Ngài ñã xui khi n cho ta ch n ch Tình nhi u h¡n.=. Khi nghe câu chuy n trên, m t cô b n c a tôi ñã
reo lên: bi t ñi l i th nào cho ph i ñ o n a.=. Tôi nói: báo cho tôi bi t k t qu ra sao.=. B ng ñi m t d o, cô tiu ngh u b o v i tôi: ±a l m thì em ph i ñi ñ n g p nm l n anh kia. Th± ng ð qu là bên tr ng bên khinh.=. Th c ra, t khi
Th± ng ð ñu i Adam và Eva xu ng th gian này thì Ngài ñã phó thác Ái Tình cho Trái Tim c a Con Ng± i
r i. Còn& gi i thích hai hi n t± ng trên ph i dùng xác su t m i xong.
2. Thánh nhân ñãi k khù kh ?
M t nhà thông thái ngh) mình ñã bi t h t m i vi c trên ñ i. Có l n, ông g p m t bác nông dân trông th t
là&nông dân. Quá t ph vào ki n th c c a mình, ông ta b o bác nông dân: n u tôi không tr l i ñ± c thì tôi tr ông 10 ñ ng. Sau ñó, tôi h i ông m t câu, ông không tr l i ñ± c, ông
tr tôi 1 ñ ng.=. Bác nông dân <ð± c, tôi ch p nh n cá c± c.=. tr l i. Bác nông dân nói ba chân.=. Suy ngh) mãi, nhà thông thái ñành tr l i: Trong cu c s ng th± ng ngày và ngay c trong khoa h c, chúng ta ch ng ki n không bi t bao nhiêu
tr± ng h p: Trong cu n Mathematical Puzzles and Diversions, Martin Gardner ñã d n m t ví d tuy t di u v kh
nng chi n th ng k m nh h¡n nh± sau:
Smit, Brown và John quy t ñ nh ñ u súng tay ba theo lu t sau: ñ u tiên h s b c thm xem ai b n tr± c,
b n nhì và b n cu i. M i ng± i ñ n l± t mình ch b n ñ± c m t phát và có th nh m vào b t kÿ ng± i nào.
Cu c ñ u súng ti p di n ñ n khi ch còns ng sót m t ng± i.
Tho thu n v lu t và b c thm xong, ba ng± i ñ ng vào v trí c a mình (là ñ nh c a tam giác ñ u). C
ba ñ u bi t kh nng hai ñ i th c a mình: Smit không bao gi tr± t, Brown b n trúng ñ n 80% s l n b n,
còn John thì b n tr± t cing nh± b n trúng(50/50). Ai s là ng± i có c¡ h i s ng sót l n nh t? Bi t r ng c ba
ñ u th c hi n chi n thu t t i ±u nh t. Và k t qu b c thm ñ± c s d ng cho c tr n ñ u.
Khi tôi gi i thi u bài toán này v i nh ng ng± i b n, tôi ñã nh n r t nhi u ý ki n gi i ñáp khác nhau.
Downloaded by Ph?m Th? Huy?n (emtenhuyen70@gmail.com) lOMoARcPSD|44744371
Có ng± i cho Smit có kh nng s ng sót nhi u h¡n, có ng± i cho Brown thoát kh i hi m nguy cao nh t.
M t trong s ý ki n ñó có lý lu n sau ñáng chú ý: vi c b c thm s cho c¡ h i ñ ng ñ u cho c ba b n tr± c.
V y xác su t c a m i ng± i ñ± c b n tr± c là 1/3. Ta xét xem xác su t s ng sót c a m i ng± i:
*Tr± ng h p 1: xác su t 1/3, Smit b n tr± c. Chi n thu t t i ±u c a anh ta: b n vào Brown. Anh ta h
Brown, lúc ñó John s b n vào chàng ta v i xác su t trúng ñích là 50%. N u tr t (cing v i xác su t 50%) thì
Smit s k t li u John. V y v i tr± ng h p này xác su t c a anh chàng thi n x ñ± c s ng sót là 1/3 x 1/2 =
1/6. Xác su t s ng sót c a John là 1/6 và c a Brown b ng 0.
*Tr± ng h p 2: xác su t 1/3, Brown b n tr± c. Chi n thu t t i ±u c a anh ta: b n vào Smit. N u h th
ñ± c Smit v i xác su t 4/5, thì xác su t ñ u tr c ti p c a anh ta v i John khi John b n tr± c là 4/9 ñ 5/9
(n u Brown b n tr± c s là 8/9 ñ 1/9). Nh± th , theo h± ng này xác su t John s ng sót là 1/3 x 4/5 x 5/9=
4/27, Brown s ng sót là 1/3 x 4/5 x 4/9 = 16/135. N u không h ñ± c Smit v i xác su t 1/5 thì m i ng± i
Smit và John có xác su t ½ ñ b n ti p theo. Chúng ta có th tính toán cho tr± ng h p này xác su t s ng sót c a t ng ng± i là: Smit: 1/60 + 1/120 =1/40
John: 1/540 +1/60 + 1/120 + 4/27=7/40 Brown: 8/540 + 16/135=2/15
(C ng t t c các s này l i v i nhau s ñ± c 1/3)
*Tr± ng h p 3: John b n tr± c v i xác su t 1/3. Smit: 1/24 + 1/120 =1/20
John: 1/24 +1/120 + 1/54 + 1/27=19/180 Brown: 4/27 + 4/135=8/45
(C ng t t c các s này l i v i nhau s ñ± c 1/3)
Nh± th xác su t s ng sót c a m i ng± i là:
Smit: 1/6 +1/40 + 1/20=29/120 =0.242
John: 1/6 + 7/40 + 19/180 =161/360 =0.447
Brown: 2/15 + 8/45 = 14/45=0.311
Rõ ràng, cách tính trên ñã ch n cách t i ±u cho c ba ng± i là: Khi còn hai ñ i th , ng± i b n nh m vào
k b n gi i h¡n. Lúc ñó, n u c¡ may ñ i th b b n ch t thì ng± i b n vào mình s là tay amat¡ h¡n. Và c¡
h i s ng nhi u h¡n. Lý lu n này ñã ñúng ch±a? Hoá ra, anh chàng thi n x có xác su t s ng còn th p nh t.
Nh±ng các b n hãy chú ý m t ñi m r t nh thôi, nh±ng cing ñánh g y toàn b lý lu n trên ñây. N u xét vi c
b n tr± c là m t c¡ h i t t c a ng± i b n ñ thoát hi m, chúng ta th y ñi u này ch ñúng v i Smit. Ng± c
l i, không ñúng cho John và Brown (cái xác su t s ng sót c a Brown tng lên vì do John ch n sai chi n thu t
t i ±u). Khi John b n tr± c, n u s d ng cách này xác su t s ng còn c a anh ta là 19/180 ñ i v i 1/6 và 7/40
khi Smit và Brown b n tr± c t±¡ng ng. V y vi c gì John ph i b n vào ai ñó, b i vì b t kÿ ng± i nào b n
ti p theo (v n còn ba ng± i) thì xác su t s ng còn c a John v n cao h¡n khi anh ta nh m vào ng± i khác mà
b n? Chi n thu t t i ±u c a John là b n lên tr i. [2] Ngoài nh ng con s trên, chúng ta th y John s d ng
ph±¡ng th c này ñ t nd ng cho hai ñ i th m nh lo i tr nhau. Quan tr ng nh t, theo ñúng lu t khi m t ñ i
th c a John b lo i thì ng± i b n tr± c l i là John. Và trong b t kÿ tr± ng h p nào, anh ta cing có xác su t
h¡n ½ s ng sót. Chi n thu t t i ±u c a Smit ñã rõ, anh ta ph i b n vào Brown. Còn Brown cing v y, bi t
r ng John s ng± ông ñ c l i mà b n vào John không ñ± c. Ch còn cách b n vào Smit ñ tng cao xác su t
s ng còn mình lên. T nh ng lý lu n trên, chúng ta có th thi t l p bi u ñ xác su t cho c ba x th nh±
hình 4: Xác su t cho m i ng± i Brown và Smit b n tr± c là ½ (Khi còn ba ng± i John là outsider, không
tính ñ n vì anh ta không b n vào ai c ). Và di n bi n ti p theo có th d nh n th y theo hình v . Xác su t c a
ba ng± i ñ± c tính nh± sau:
Smit: 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/5 x 1/2 = 3/10 Brown: 1/2 x 4/5 x 4/9 = 8/45
John: 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/5 x 1/2 + 1/2 x 4/5 x 5/9 = 47/90
Nh± v y chúng ta th y m t c¡ may c a hai anh chàng b n gi i c ng l i. Có ph i chng thánh nhân ñãi k khù kh hay là ñi u kÿ di u c a xác su t.
Downloaded by Ph?m Th? Huy?n (emtenhuyen70@gmail.com) lOMoARcPSD|44744371
3. L i an i c a Diêm V±¡ng?
Ng c Hoàng Th± ng ð th c gi c, Ngài phóng m t kh p cõi d±¡ng gian và ñ a ng c xem th n dân c a
mình ra sao. ð n c a ñ a ng c, Ngài th y ba linh h n Ghost, Ma và Quái ñang x p hàng ch ñ n l± t nh p
h kh u. Có l ñêm hôm qua, Ngài không g p ác m ng, nên trong lòng khoan khoái mu n m l± ng t bi.
Ngài quy t ñ nh h i d±¡ng m t trong ba linh h n t i l i kia. Ngài bèn sai Nam Tào, B c ð u vi t tên ba linh
h n lên ba t gi y và ñ o k . Sau ñó, Ngài b c m t t ñ±a cho Nam Tào:
ðây là tên linh h n ñ± c quay v d±¡ng gian. Các ng±¡i mau gõ dây thép xu ng cho Diêm V±¡ng ñ± c bi t! D , tuân l nh.
ðang yên gi c n ng, nh n ñ± c ñi n kh n t Thiên ðình, Diêm V±¡ng v i t nh ng , s a sang l i cân ñai
áo mão cho v i ba linh h n Ghost, Ma, Quái ñ n và phán r ng:
Trong s các ng±¡i, có m t ng± i s ñ± c quay v d±¡ng gian. Mau chu n b tinh th n s n sàng mà h i d±¡ng.
Chà& Ba linh h n quay ra, Diêm V±¡ng th y Ma còn l n ch n không d t bèn h i:
Nhà ng±¡i còn chuy n gì không?
D , th±a Diêm V±¡ng anh minh! Ch c Ngài không mu n ch ra ai trong chúng con ñ± c quay v . Con ch xin Ngài ân hu nh . ð± c! Ng±¡i c nói.
N u nh± m t trong hai linh h n kia ñ± c tha v thì Ngài nêu ra tên ng± i ng± c l i. N u con ñ± c tha
v thì Ngài có th nêu b t kÿ tên m t trong hai linh h n kia.
Diêm V±¡ng suy ngh) m t lúc, và nói:
Thôi ñ± c, có m t ñi u an i cho ng±¡i, ñó là Quái.
Linh h n Ma quay v , th y khoan khoái trong lòng vì ngh) mình ñã l m ñ± c Diêm V±¡ng. B i vì, bây
gi ch còn m t trong hai ng± i Ghost và Ma ñ± c h i d±¡ng. V y xác su t h i d±¡ng c a mình là ½. B ng
d±ng khi ch±a h i, thì xác su t h i d±¡ng là 1/3, bây gi lên ñ± c ½ s± ng quá còn gì.
Còn Diêm V±¡ng thì l m b m: <ðúng là ng c t ! H n c t± ng ta cho h n m t ni m an i&=.
Th thì xác su t ñ± c h i d±¡ng c a Ma là bao nhiêu? Th c ra, xác su t c a Ma v n b ng 1/3. Lúc ban
ñ u khi Ng c Hoàng Th± ng ð ch n tên ñ h i d±¡ng m t cách ng u nhiên nh± th , nên xác su t ñ± c h i
d±¡ng ban ñ u c a c ba là 1/3. ð n l± t Diêm V±¡ng thì nhóm ba ng± i này ñ± c chia thành hai nhóm
nh . Nhóm th nh t là Ma, nhóm th nhì g m c Ghost và Quái v i xác su t t±¡ng ng là 1/3 và 2/3. Theo
ñi u ki n c a Ma, Diêm V±¡ng ch n gi a m t trong hai ng± i Ghost và Quái m t ng± i không ñ± c h i
d±¡ng. Xác su t Diêm V±¡ng ch n ñ± c b ng 1 và không nh h± ng gì ñ n xác su t t ng nhóm. Và khi
Diêm V±¡ng l t y b t kÿ m t ng± i nào trong nhóm hai thì xác su t nhóm hai và nhóm m t không thay ñ i.
Có ngh)a xác su t c a Ma v n b ng 1/3 còn xác su t c a Ghost ñ± c tng lên thành 2/3 b i vì xác su t c a Quái ñã b ng 0.
ð d hi u ta(ng± i chia bài) ch n ba con bài Át C¡, Át Rô và Át Bích chia cho ba ng± i A, B, C. Xác
su t c a m i ng± i nh n ñ± c Át Bích khi chia xong (hay khi ch±a l t con nào c nh±ng m i con bài ñã an v
cho m i ng± i) là 1/3. Bây gi , ta chia ra hai nhóm: nhóm có m i A và nhóm có con bài c a hai ng± i B, C.
Rõ ràng nhóm c a hai ng± i B, C có xác su t có con Át Bích b ng 2/3. Nhìn hai lá bài c a B, C và ch n ra lá
khác Át Bích l t ra (xác su t b ng 1). ði u này hoàn toàn không làm nh h± ng ñ n xác su t c a hai nhóm.
Duy ch có ñi u, nhóm hai bây gi ch còn m t ng± i và xác su t c a anh ta tng g p ñôi b ng 2/3. Trong khi
ñó nhóm 1 xác su t c a A không ñ i b ng 1/3.[4] Ta l i t ñ t cho mình hai tình hu ng n a: Sau khi chia
bài ta rút m t con bài nào ñó và l t ra. N u con bài ñó không ph i Át Bích thì xác su t c a hai ng± i còn l i
b ng bao nhiêu? Tr± ng h p này, ta hoàn toàn không ch n gì c và xác su t con bài b l t là Át Bích v n
b ng 1/3. Lúc này, ba con bài v n n m trong m t nhóm tính xác su t ñ ng nh t và b ng 1. Khi l t lá bài kia
ra và phát hi n không ph i Át Bích, xác su t c a nhóm v n b ng 1, nh±ng vì hai ph n bài còn l i hoàn toàn
t±¡ng ñ±¡ng nhau trong nhóm nên xác su t c a chúng tr thành ½. Sau khi chia bài, ta l i c m l y c ba và
l t m t con bài không ph i Át Bích ra. Lý lu n t±¡ng t trên ta cing s th y xác su t c a m i tay bài còn l i
là Át bích b ng ½. Hai tr± ng h p này có xác su t gi ng nhau và lý lu n cing gi ng nhau, v y t i sao ph i
chia thành hai tr± ng h p???
Downloaded by Ph?m Th? Huy?n (emtenhuyen70@gmail.com) lOMoARcPSD|44744371
Tr± ng h p nh t, ta cùng ba ng± i ch¡i phó m c cho s ph n khi l t con bài kia ra. Cái reo vui c a hai
anh chàng còn l i vì ñ± c tng xác su t ñ i b ng cái s u th m c a anh th ba. Và anh th ba không trách ta
không kéo dài th i gian vui thêm m t lúc. Vi c ban phát bu n vui là c a Th± ng ð .
Tr± ng h p hai, chính ta ch n và ta l i ban cho hai anh này m t ni m vui ng n ng i còn anh th ba m t
n i bu n. (n u nh± có con Át Bích s ñ± c 1000$ ch ng h n). 4. T ng k t
Vi c ban phát bu n vui là vi c c a ta. Cing không c n thi t hai ñ u ñ± ng. N u nh± m t b n xe buýt có
các s 01 ch y v nhà m , 02 ch y v nhà cô giáo, 03 ch y v N Hoàng và 04 ch y ñ n v i ng± i yêu, ta
v n thi t l p ñ± c l ch trình và tính xác su t c th cho t ng tr± ng h p. Có ng± i nói, n u lý lu n trên thì ai
cing ch cho hai ñ i th c a mình sát h i l n nhau, r i ñ n l± t mình b n ch t ng± i còn l i. ði u này ñúng
nh±ng không dành cho Smit vì anh ta là ng± i b n trm phát trm trúng và ñây là cu c ñ u súng nên anh ta
không th nh m vào c t ñi n mà b n ñ± c. Anh ta ph i h sát ng± i nào ñó khi ñ n l± t. Và d n t i Brown
cing ph i b n vào Smit n u có l± t tr± c Smit. Nh ng lý lu n trên có th s không ñúng v i tr± ng h p 4
hay nhi u h¡n ng± i. Ch ng h n có cu c ñ u súng tay t và thêm anh chàng Holmes nào ñ y v i xác su t
b n trúng là 40%...thì xác su t s ng sót m i ng± i hoàn toàn khó tính. V n ñ r t quan tr ng là khi ñ y, ta
g p m t vòng l n qu n. Tìm chi n thu t t i ±u xong tính xác su t. Nh±ng khi tính toán xong ta m i nh n ra
chi n thu t t i ±u nh± th nào. Vì l này, ng± i gi i c n tính toán t t c các kh nng x y ra và v ch ra chi n
thu t t i ±u cho t ng ng± i. M t vi c làm không d dàng.
Downloaded by Ph?m Th? Huy?n (emtenhuyen70@gmail.com)