lOMoARcPSD lOMoARcPSD|44744371
P ø Hk A  Hk 1Aù  P ø Hk Aù  P ø Hk 1Aù
 P ø Hk ùP ø Aù  P ø Hk 1 ù P ø Aù
 Ckn pk ø1 pù n  k ø1 pù  Ckn 1pk 1 ø1 pùn  k 1 p
 Ckn pk ø1 pù n  k 1  Ckn 1pk ø1 pùn  k 1
 ø Ckn  Ckn 1 ùpk ø1 pùn  k 1
 Ckn 1pk ø1 pù(n+1) k .
Ví dụ 1.17. Xác suất chữa khỏi bệnh A của một phương pháp điều trị là 95%. Với 10
người bị bệnh A được điều trị bằng phương pháp này, tính xác suất để
a) có 8 người khỏi bệnh.
b) có nhiều nhất 9 người khỏi bệnh. Giải
Do việc khỏi bệnh của người này và người khác là độc lập nhau nên số người
khỏi bệnh trong 10 người điều trị thỏa lược đồ Bernoulli với n  10 và p  0,95 .
Theo công thức (1.13). Ta có P ø H k
k ù = C10 0,05k ø 0,95ù10 k
a) Xác suất để có 8 người khỏi bệnh là P ø H 8
8 ù= C10 ø 0,05ù8 ø 0,95ù10 8  0,0746 .
b) Biến cố: “có nhiều nhất 9 người khỏi bệnh” là biến cố đối của biến cố : “có 10
người khỏi bệnh” nên có xác suất là
P ø Hk 9 ù= 1 C1010 ø 0,05ù10 ø 0,95ù10 10  0,4013.
1.5. Tóm tắt chương 1
1. Xác suất của biết cố A: A PøAù  
( A và  lần lượt là số khả năng thuận lợi cho A và  ). 2. Tính chất:
i) 0  PøAù 1.
ii) PøAù 1 PøAù. 3. Công thức cộng:
i) Nếu A1 ,A2 , ...,An xung khắc với nhau từng đôi một thì 25 ) lOMoARcPSD|44744371
PøA1  A2   A2 ù  PøA1ù  PøA2 ù   PøA2 ù.
ii) Với A và B là hai biết cố bất kỳ
PøA  Bù  PøAù  PøBù  PøABù.
4. Công thức xác suất có điều kiện: AB PøA Bù  Pø ù , PøBù  0. Pø Bù 5. Công thức nhân:
i) Nếu A1 ,A2 , ...,An bất kỳ thì
Pø A1A2 ...An ù  P ø A1 ùP ø A2 A1 ù P ø An A1A2 ....An 1 ù.
ii) Nếu A1 ,A2 , ...,An độc lập với nhau từng đôi một thì P ø A1A2
A 2 ù  Pø A1 ù P ø A2 ù Pø An ù.
6. Công thức đầy đủ (toàn phần) và công thức Bayes:
Với B1 , B 2 , ..., Bn là họ đầy đủ các biến cố và với mọi biến cố A, ta có i) Công thức đầy đủ ø ù n  ø i ù ø i ù P A  P B P A B . i=1 ii) Công thức Bayes
Pø Bk ù P ø Aù A Bk ù Pø Bk  n
, k  1,2,...,n. Pø Bi ùPøA Bi ù i=1
7. Công thức Bernoulli:
Đặt Hk :  k  n,0  p  1. Ta có
Pø Hk ù =Pn ø kù = Ckn pk ø1 pùn k . 1.6. Bài tập
Biểu diễn các biến cố
Bài số 1. Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi Ak là biến cố sản phẩm thứ k tốt. Hãy trình bày
các cách biểu diễn qua Ak và qua giản đồ Venn các biến cố sau đây:
A: tất cả đều xấu,
B: có ít nhất một sản phẩm xấu,
C: có ít nhất một sản phẩm tốt, 26 lOMoARcPSD|44744371
2.4.10. Phân phối Fisher: F(n, m)
2.4.10.1. Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên liên tục F có phân phối Fisher, ký hiệu F F(n,
m) nếu hàm mật độ của F có dạng như sau ü n  n  m  m n m  n  m    x 2   2  khi x  0,  f (x)  ý  n  n m   
ø m nx ù 2 khi x  0.  2   0
với n, m là hai bậc tự do.
2.4.10.2. Mệnh đề. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên liên tục có phân phối Chi bình
phương, X 2 (n) , Y 2 (m) và X, Y là hai biến độc lập. Đặt F X 
n thì F có phân phối Fisher với n, m bậc tự do, F F(n, m) . Y m
2.4.10.3. Mệnh đề. Cho F F(n, m) , ta có
i) Trung bình:  F n n   , 2 , n  2
2m 2 (n  m 2  ii) Phương sai: 2  F 2)  , m  4.
n(m  2) 2 (m  4)
2.5. Tóm tắt chương 2
A. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
1. Bảng phân phối xác suất X x1 x2 ... xn ... p p p P 1 2 ... n ...
với p i  P ø X  x i ù,
được gọi là bảng phân phối xác suất của X.
Tính chất: pi  1. i
2. Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X: Hàm số f :  xác định bởi x  üp khi x , f ø xù ý i i x  x i ,  0 khi i.
Tính chất : x  , f ø x ù  0, và f ø x ù  1. x 62 lOMoARcPSD|44744371
3. Hàm phân phối xác suất: Cho f :  là hàm xác suất của biến ngẫu nhiên rời
rạc X, hàm số F :  , được xác định bởi
F ø x ù  P ø X  x ù   f ø x i ù, x xi
B. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục
1. Hàm mật độ (xác suất): Hàm số f : 
được gọi là hàm mật của biến số b
ngẫu nhiên liên tục X nếu P ø a  X  bù  f ø xùdx a 
với mọi a, b  , a  b. Ta có :  x 
, f ø x ù  0, và  f ø xùdx  1. 
2. Hàm phân phối (tích lũy): Cho f :  là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên
liên tục X, hàm số F : 
, được gọi là hàm phân phối của biến số ngẫu nhiên liên x
tục X nếu Fø xù  P ø X  xù   f ø t ùdt với mọi x  . 
C. Trung bình và phương sai: Cho X là biến ngẫu nhiên với hàm xác suất (hàm mật
độ xác suất) f ø x ù, 1.Trung bình:
E ø X ù  x i f ø xi ù
khi X là biến số ngẫu nhiên rời rạc, và i 
E ø Xù   xf ø xùdx khi X là biến ngẫu nhiên liên tục.  2.Phương sai
 ø x i  X ù 2 f ø xi ù khi X là biến số ngẫu nhiên rời rạc, 2  X và i 
  ø x  X ù 2 2  X f
ø x ùdx khi X là biến ngẫu nhiên liên tục.  3.Độ lệch chuẩn:
 X  Seø Xù gọi là độ lệch chuẩn của X.
4. Mệnh đề. Cho X là biến số ngẫu nhiên với trung bình E ø X ù . Ta có ø ø ù ù 2 var X ù  E X 2   E ø X   
D. Các quy luật thường gặp 63 lOMoARcPSD|44744371
1. Phân phối nhị thức: X B(n;p)
i) Công thức xác suất
P ø X  k ù  C kn p k (1  p) n k , với k  0,1, 2,..., n.
ii) Trung bình:  X  np ,
iii) Phương sai:  2X  np(1  p),
iv) Giá trị tin chắc nhất : M 0 ø X ù  k 0 , với k0 là số nguyên thỏa bất phương trình
np  q  k 0  np  q 1.
2. Phân phối siêu bội: X H(N, K, n)
i) P ø X  k ù
, với max{0, n  N  K}  k  min{n, C k Cn  k  K N  K K}. CnN
ii) Trung bình:  X  np ,
iii) Phương sai:  2  np(1 p) N
 n  .
X N1
3. Phân phối Poisson : X P( )
i) Công thức xác suất
P ø X  k ù  e  k , với k  0,1, 2,..., n. k!
ii) Trung bình:  X   ,
iii) Phương sai:  2X  .
4. Phân phối chuẩn tắc: X N ø 0,1ù 2 x t 1
i) P ø a  X  b ù   0 ø b ù  0 ø a ù , với 0 e  2 dt. (x)  2 0
ii) Trung bình:  X  0 ,
iii) Phương sai:  2X  1,
5. Phân phối chuẩn: X N ø 2 ,  ù
i) P ø a  X  bù    b       a  
, 0   0  
i) Trung bình:  X   , ii) Phương sai: 2
 2X   . 64 lOMoARcPSD|44744371 2.6. Bài tập
Bài số 1. Cho X là một biến số ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau X 1 2 3 4 5 6 7 PX a 2a 2a 3a a2 2a2 7a 2  a a) Xác định a.
b) Tính P  X  5 , P  X  3.
c) Tính k nhỏ nhất sao cho P  X  k   0,5.
Đáp số: a) a  0,1; b) P  X  5  0, 2; P  X  3  0,3
; c) k  3 . Bài số 2. Xét trò chơi, tung một con xúc xắc ba lần: nếu cả ba lần được 6
nút thì thưởng 6 ngàn đồng, nếu hai lần 6 nút thì thưởng 4 ngàn đồng, một lần 6 nút
thì thưởng 2 ngàn đồng, và nếu không có 6 nút thì không thưởng gì hết. Mỗi lần chơi
phải đóng A ngàn đồng. Hỏi
a) A bao nhiêu thì người chơi về lâu về dài huề vốn (gọi là trò chơi công bằng),
b) A bao nhiêu thì trung bình mỗi lần người chơi mất 1 ngàn đồng.
Đáp số: a) A  1; b) A  2.
Bài số 3. Một nhà đầu tư có 3 dự án. Gọi X i (i  1, 2,3) là số tiền thu được khi thực
hiện dự án thứ i (giá trị âm chỉ số tiền bị thua lỗ). Xi là biến số ngẫu nhiên. Qua
nghiên cứu, giả sử có số liệu như sau : (Đơn vị tính : 100 triệu đồng ) X1 -20 30 60 P 0,3 0,2 0,5 X2 -20 -10 100 P 0,4 0,2 0,4 X3 -25 -30 80 P 0,2 0,3 0,5
Theo anh (chị), ta nên chọn dự án nào ?
Đáp số: Nên chọn dự án 1.
Bài số 4. Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 viên, trong cùng một
số điều kiện nhất định. Xác suất để mỗi xạ thủ bắn trúng mục tiêu lần lượt là 0,6; 0,7;
0,9. Gọi X là số viên đạn trúng mục tiêu. Tính E(X); Var(X) và Mod(X). 65 lOMoARcPSD|44744371 øCù 1 2 Ta có  
 0,45  C 1,64 0 2
Khoảng ước lượng tối đa của p 
f ø1  f ù 
p   0 ; f  C
   0; 0,1577  n   
Khoảng ước lượng tối thiểu của p  f ø1  f ù 
p   f  C
; 1  0,0823; 1.  n   
øCù 1   0,475  C
c) Ta có 0   1,96
và với  0  0, 02 nên áp dụng công thức 2 (3.43), ta có C2f ø1 n  f ù  2  1014,18.  0
Vậy cần quan sát ít nhất 1015 người.
3.5. Tóm tắt chương 3
1. Các đặc trưng đo lường khuynh hướng tập trung
i) Số trung bình mẫu: X  1 k f i x i , n  f1  f 2   f k . n i 1
ii) Mốt (Mode): Mốt là lượng biến có tần số lớn
nhất. +) Đối với đại lượng biến có khoảng cách tổ F  F M M 0 M01 0  x M  0(min)
ù øFM  0 d F M øF 0 M  F 0
M01 M01 ù ii) Số trung vị:
+) Trường hợp số đơn vị tổng thể lẻ ( n  2m 1). Số trung vị sẽ là đại lượng
ở vị trí thứ ( m 1): Me  X m 1.
+) Trường hợp số đơn vị tổng thể chẵn ( n  2m ). Số trung vị sẽ là đại lượng giữa Xm  Xm
vị trí thứ ø mù và ( m 1): Me  1 . 2
Đối với dãy số có lượng biến là khoảng cách tổ 1 f
 i  SMe 1 fMe
Me  XM  d e(min) Me 2 108 lOMoARcPSD|44744371
2. Các đặc trưng đo lường khuỳnh hướng phân tán k S 2 X 1
i) Phương sai hiệu chỉnh: 
f i ø x i x ù 2.
n 1 i 1
ii) Độ lệch chuẩn có hiệu chỉnh: S 2 X  S X .
ii) Tứ phân vị (Quartiles): là chia dãy số thành 4 phần, mỗi phần có số đơn vị bằng nhau.
Cách xác định tứ phân vị cho tài liệu phân tổ có khoảng cách tổ 1
Tổ chứa phân vị thứ i có tần số tích lũy  n 4 i. 1 f
4  i  SQ11
Tứ phân vị thứ 1: Q1  XQ  dQ f . Q 1(min) 1 1 3 f 4  S i Q31
Tứ phân vị thứ 3 : Q3  XQ  d 3(min) Q3 f . Q3
3. Bài toán ước lượng khoảng tin cậy cho giá trị trung bình i) Ước lượng 2 2
 trong phân phối N ø  ,  ù 0 , ( 0 biết)
+) Với mức ý nghĩa  . Ta có : 0 ø Cù  12   Cσ Cσ 0 0 .
Khoảng tin cậy đối xứng: ; X  X     n n  2
+) Với mức ý nghĩa 
 . Ta có : 0 ø Cù  12  Cσ0 .
Khoảng tin cậy phía phải: ; X     n   Cσ  0 .
Khoảng tin cậy phía trái:  ; X+   n  ii) Ước lượng 2 2
 trong phân phối N ø  ,  ù, (  chưa biết)
+) Với mức ý nghĩa  . Ta có: C  t /2 ø n 1ù  CS CS .
Khoảng tin cậy đối xứng: X ; X  X   X   n n 
+) Với mức ý nghĩa  . Ta có: C  t ø  n 1ù 109 lOMoARcPSD|44744371  CS 
Khoảng tin cậy phía phải: X X  ; .  n   CS .
Khoảng tin cậy phía trái: X  ; X    n 
4. Bài toán ước lượng khoảng tin cậy cho phương sai i) Ước lượng 2 2
 trong phân phối N ø  ù 0 , , ( 0 biết).
+) Với mức ý nghĩa 2  , ta có a  ø
 ø n ù và b    n 2  ù 1 2 2  1 n 2 1 n 2
Khoảng tin cậy hai phía: . 
 ø Xi  μ 0 ù ; ø X i  μ 0 ù  a i  b i 1 1 
+) Với mức ý nghĩa 2  , ta có χ α (n)  n 
 ø Xi  μ0 ù2 
Khoảng tin cậy phía phải:  i 1 ; +   .  χ 2 α (n)       n  
ø Xi  μ0 ù2  i
Khoảng tin cậy phía trái:   ; 1 .  χ 21α(n)      ii) Ước lượng 2 2
 trong phân phối N ø  ,  ù, ( chưa biết).
+) Với mức ý nghĩa  , ta có a  b   2 ø  n  2
 ø n 1ù và 1ù 1 2 2
 ø n  1ù S2
ø n 1ù S2 
Khoảng tin cậy hai phía:  X ; X .  b a   
+) Với mức ý nghĩa 2
 , ta có χα (n 1)  n 
 ø Xi  μ0 ù2 
Khoảng tin cậy phía phải:  i 1 ; +   . 2  χα (n 1)      110 lOMoARcPSD|44744371  n   ø Xi  μ0 ù2 
Khoảng tin cậy phía :  ; i 1 .  χ 2 1
 α (n 1)     
5. Bài toán ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ
i) Với mức ý nghĩa  . Ta có : 0 ø Cù  12  f ø1  f ù  
Khoảng ước lượng đối xứng : p   f  f ø1  f ù ;f  . n C C   n  
ii) Với mức ý nghĩa  . Ta có : 0 ø Cù  1  2 2  
Khoảng tin cậy phía phải: p   f  f ø1  f ù C ; 1.  n     f ø1  f ù
Khoảng tin cậy phía trái: p 
  0 ; f  C .    3.6. Bài tập
Bài số 1. Quan sát thời gian cần thiết để sản xuất một chi tiết máy, ta thu được số liệu cho bảng sau
Khoảng thời gian (phút) Số lần quan sát 20–25 2 25–30 14 30–35 26 35–40 32 40–45 14 45–50 8 50–55 4
Tính trung bình mẫu X, phương sai mẫu có hiệu chỉnh S2X .
Đáp số: X  36,6; S2  45,1414. X
Bài số 2. Có tài liệu phân tổ về năng suất lao động của công nhân một doanh nghiệp
Năng suất lao động (Sp/ca) Số công nhân 111 lOMoARcPSD|44744371 :  ü H : 
ü H : 3 üH   ý 0 1 2 ; ý 0 1 ; ý 0 2 3 H: H: H :   3 þ 1 1 2 þ 1 1 3 þ 1 2
Bước 5. Tính chênh lệch về hạng trung bình giữa các nhóm: Ta có  D R 1
R 2  79  103   7,292 12 n1 n 2 8 6 R D 1 R3 79 28      5,21 n n 13 1 3 8 6 D R R 3 103 28 23 2      12,5 n 2 n 3 6 6
Bước 6. Tính giá trị kiểm định  n(n   20
C   2(k  1)1) 
1  1   5,991 21  1  1  7,82 12        n  12   n1 2  12  8 6  n(n   20 1)  1  C   21  1 2(k  1)  1  5,991
 1  7,82 13        n  12   n1 3  12  8 6  n(n   20 21 1 2 1)  1 1    1   C23 
  (k  1)       5,991    8,36 n 6 12 12 6    n 2 3   
Bước 7. So sánh và kết luận
- Ta có D12  C12 nên chưa đủ cơ sở bác bỏ H0 . Kết luận: Tổng giá trị sản
phẩm sản xuất ngành A và B không có sự khác biệt.
- Ta có D13  C13 nên chưa đủ cơ sở bác bỏ H0 . Kết luận: Tổng giá trị sản
phẩm sản xuất ngành A và C không có sự khác biệt.
- Ta có D23  C23 nên ta bác bỏ H0 . Kết luận: Tổng giá trị sản phẩm sản xuất
ngành B và C có sự khác biệt.
4.7. Tóm tắt chương 4
A. Kiểm định tham số
1. Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình, nếu biết 2
0 i) Đối xứng (hai phía) üH0: μ = μ0
Cặp giả thuyết thống kê : ý þH1: μ  μo