CHƯƠNG 3 BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉCTƠ
Bài 1. Với các phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử với một số trong Rn
a) E = {x = (x1, ..., x ) ∈ Rn : x } n 1 = x2 = · · · = xn
b) E = {x = (x1, ..., x ) ∈ Rn : x x · · · + x = 0 n } n 1 + 2 +
c) E = {x = (x1, ..., x ) ∈ Rn : x n 1 = x2 = 0}
d) E = {x = (x1, ..., x ) ∈ Rn : x n 1 + x20}
Bài 2. Các tập nào sau đây là không gian tuyến tính trong Rn
a) E = {x = (x1, ..., x ) ∈ Rn : x = 1} n 1 = x2 = · · · = xn
b) E = {x = (x1, ..., x ) ∈ Rn : x n 1 + x2 = 1}
c) E = {x = (x1, ..., x ) ∈ Rn : x n 1 > 0}
d) E = {x = (x1, ..., x ) ∈ Rn : x > 0} n 1 > 0, x2 > 0, ..., xn
Bài 3. Chứng tỏ rằng R3 với phép toán sau không là không gian tuyến tính
a) (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′ + 1, y + y′, z + z′), t(x, y, z) = (tx, ty, tz).
b) (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + y′, y + z′, z + x′), t(x, y, z) = (tx, ty, tz).
c) (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′ + 1, y + y′, z + z′), t(x, y, z) = (tx + 1, ty, tz).
Bài 4. Trong không gian tuyến tính V trên trường K cho hệ {a1, a2, ..., a }. Hệ độc n
lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính nếu.
a) Véctơ không θ ∈ {a1, a2, ..., an}
b) Trong hệ có hai véctơ bằng nhau.
c) a1 = b1, a2 = b1 + b2, ..., a = b1 + b , và hệ {b } độc lập n 2 + · · · + bn 1, b2, ..., bn tuyến tính. 1 d) a1 = b1, ..., a = b , t ∈ K và hệ {b } độc lập n−1 = bn−1, an n−1 + tbn 1, b2, ..., bn tuyến tính.
Bài 5. Trong R3 chứng tỏ rằng (6, 2, 7) là tổ hợp tuyến tính của hệ các véctơ
a1 = (2, 1, −3), a2 = (3, 2, −5), a3 = (1, −1, 1).
Bài 6. Chứng tỏ rằng x = (7, 14, −1, 2) là một tổ hợp tuyến tính của các véctơ sau:
a1 = (1, 2, −1, −2), a2 = (2, 3, 0, −1), a3 = (1, 2, 1, 3), a4 = (1, 3, −1, 1).
Bài 7. Với bộ ba các véctơ sau, xác định xem trong những trường hợp nào chúng
phụ thuộc tuyến tính, trường hợp nào chúng độc lập tuyến tính.
a) a1 = (1, 2, 1), a2 = (2, 0, −3), a3 = (1, −1, 0) trên R3.
b) a = 4 − 3i, b = −1 − i, c = 2 + i.
c) a = ex, b = cos x, c = sin x.
d) a = x − 1, b = x2 + 1, c = x2 − 2x + 1 trên không gian các đa thức. 1 2  −1 0 0 1 e) a = , b = , c =
trên không gian các ma trận vuông 0 −1 1 1 1 2 cấp 2.
Bài 8. Trong không gian R3 cho hệ {x, y, z} độc lập tuyến tính. Tìm a để các véctơ
sau phụ thuộc tuyến tính
a) u = ax + 4y + 2z; v = x + ay − z.
b) u = ax + y + 3z; v = ax − 2y + z; w = x − y + z
Bài 9. Các hệ véctơ sau đây của Rn độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
a) u1 = (3, 2, 1), u2 = (2, 1, 6), u3 = (1, 1, 0).
b) u1 = (1, 0, 2, 1), u2 = (1, 3, 1, 2), u3 = (1, 6, 0, 3).
c) u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3, 4), u3 = (1, 0, 0, −1), u4 = (2, 1, 1, 0).
d) u1 = (1, 2, 1, 2), u2 = (0, 1, 0, 1), u3 = (1, 0, 1, 0), u4 = (0, 0, 1, 1). 2
Bài 10. Trong R-không gian véctơ R3, tìm a để x là tổ hợp tuyến tính của các véctơ
x1, x2, x3 trong các trường hợp sau:
a) x = (7, −2, a), x1 = (2, 3, 5), x2 = (3, 7, 8), x3 = (1, −6, 1).
b) x = (9, 1, 2, a), x1 = (3, 4, 2), x2 = (6, 8, 7), x3 = (3, 4, 5).
c) x = (1, 3, 5), x1 = (2, 4, 7), x2 = (3, 2, 5), x3 = (5, 6, a).
d) x = (2, 5, a), x1 = (1, 3, 5), x2 = (2, 6, 3), x3 = (3, 9, 7).
Bài 11. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian sau
a) E = {x = (x1, x2, ..., x ) ∈ Rn : x x · · · = xn} n 1 = 2 =
b) E = {x = (x1, x2, ..., x ) ∈ Rn : x n 1 = x2 = 0}
c) E = {x = (0, x2, ..., x ) ∈ Rn : x = 0} n 2 + · · · + xn
Bài 12. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian sau:
a) E = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0} (x b) 1 + x2 + x3 = 0 E = {x = (x } 1, x2, x3) ∈ R3 : 2x1 − x2 + 3x3 = 0 a b  c) E = { |a, b, c ∈ R}. c a a b d) E = { |a, b, c ∈ R} c c a b  e) E = {
|a + b − 2d = 0, a, b, c, d ∈ R} c d f) E = {t, (t + 1)2, t2 + 1}.
Bài 13. Trên cơ sở chính tắc I = {e1, e2, e3} của R3 cho:
W = {a1 = (1, 2, 3), a2 = (0, 2, 1), a3 = (1, 0, 1)}
V = {b1 = (0, 1, 1), b2 = (3, 2, 0), b3 = (1, 0, 1)}
a) Tìm ma trận của hệ W, V trên I. 3
b) Chứng tỏ rằng W và V cũng là cở của R3.
c) Tìm ma trận của hệ I trong cơ sở W.
d) Cho x = (1, −2, 1) tìm tọa độ của x trong cơ sở W.
e) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ W sang cơ sở V.
f) Tìm ma trận của hệ W trong cơ sở V.
Bài 14. Trên cơ sở chính tắc của R3 cho các véctơ x = (15, 3, 1) và:
W = {a1 = (2, 1, 1), a2 = (6, 2, 0), a3 = (7, 0, 7)}
V = {b1 = (0, 1, 1), b2 = (3, 2, 0), b3 = (1, 0, 1)}
a) Chứng tỏ rằng W và V là cơ sở của R3.
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ W sang V và ngược lại.
c) Tìm tọa độ của x trong cơ sở W và V.
Bài 15. Trên cơ sở chính tắc của R4 cho véctơ x = (1, 2, 1, 2) và
W = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1, −1, −1), a3 = (1, −1, 1, −1), a4 = (1, −1, −1, 1)}
V = {b1 = (1, 1, 0, 1), b2 = (2, 1, 3, 1), b3 = (1, 1, 0, 0), b4 = (0, 1, −1, −1)}
a) Chứng minh rằng W và V là cơ sở R4.
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ W sang V và ngược lại.
c) Tìm tọa độ x đối với các cơ sở đó.
Bài 16. Tìm ma trận của các hệ véctơ sau trên P3(t)
a) a = 2 − t + t2 + 2t3, b = 2t + t2 − t3, c = 1 + 2t − t2 − t3, d = 1 − t2 + t3
b) a = 1 − t + t2, b = t − t2 + 2t3, c = 2t + t3, d = −1 + t − t2 + t3 4 Bài 17. Trong R3 cho:
a) x1 = (3, −4, 2), x2 = (2, 3, −1), y1 = (0, −17, 7), y2 = (11, −9, 5).
b) x1 = (2, −1, 5), x2 = (−1, 4, −3), y1 = (1, 3, 8), y2 = (4, 5, 2).
Chứng tỏ L{x1, x2} = L{y1, y2}.
Bài 18. Trong R3 cho các véctơ
a = (1, −1, 0), b = (3, −1, 2), u = (1, 2, 3), v = (2, −1, 1)
Tìm λ để u + λv ∈ L{a, b}. Bài 19. Trong D2×2 cho  1 −1 2 1  1 2  1 −1  1 −1 a = , b = , c = , d = , d = . −1 2 1 −1 2 0 −1 2 −1 −3
a) Tìm λ để u + λv ∈ L{a, b}.
b) Với λ = −2 chứng tỏ hệ {a, b, u − 2v} là cơ sở của D2×2 tìm tọa độ của  3 −2 x = trên cơ sở đó. −1 1 Bài 20. Trong R4 cho:
a1 = (1, 0, 0, −1), a2 = (2, 1, 1, 0), a3 = (1, 1, 1, 1), a4 = (1, 2, 3, 4), a5 = (0, 1, 2, 3).
Tìm hạng của ma trận {a1, a2, a3, a4, a5} và cơ sở của L{a1, a2, a3, a4, a5}. Bài 21. Trong R5 cho:
a1 = (1, 1, 1, 1, 0), a2 = (1, 1, −1, −1, −1), a3 = (2, 2, 0, 0, −1), a4 = (1, 1, 5, 5, 2), a5 = (1, −1, −1, 0, 0).
Tìm hạng của ma trận {a1, a2, a3, a4, a5} và cơ sở của L{a1, a2, a3, a4, a5}.
Bài 22. Trong R4 chứng tỏ rằng các tập con sau là không gian tuyến tính, tìm cơ sở và chiều
a) F = {x = (x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x1 = x3
b) F = {x = (x1, x2, x3, x4) : x1 = x2, x3 = x4, 5
c) F = {x = (x1, x2, x3, x4) : x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0, x1 = x3
Bài 23. Trong không gian R3 cho họ véctơ M = {(1, 2, 0), (2, 1, 3), (1, 1, 1)}. Hỏi M
là hệ độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Véctơ x = (2, −1, 3) có phải là
một tổ hợp tuyến tính của hệ véctơ M không?
Bài 24. Trong không gian P2[x] cho hệ véctơ E = {x2 +x+1, x2 +x+2, x2 +2x+1}.
Chứng minh rằng E là một cơ sở của P2[2]. Tìm tọa độ của p(x) = 2 − 5x đối với cơ sở đó.
Bài 25.Gọi M2(R) là R-không gian cac ma trận vuông cấp 2. Chứng minh rằng các
tập U sau đây là các không gian con. Tìm một cơ sở và số chiều của U. a b  a) U = {A = | a + b − c + 2d = 0}. c d a b b) U = {A = | a + d = 0, b + c = 0}. c d
Bài 26. Trong R-không gian véctơ R3, cho hai hệ véctơ (u) = {u1 = (1, −1, 1), u2 =
(−1, 2, 1), u3 = (2, −2, 5)} và (v) = {v1 = (5, −7, 4), v2 = (−6, 7, −10), v3 = (−1, 2, −2)}.
Tìm ma trận chuyển cơ sở từ (u) sang (v).
Bài 27. Cho {e1, e2, e3} là một cơ sở của R-không gian véc tơ V và {v1, v2, v3} ⊂ V
với v1 = 2e1 + 3e2 − 3e3; v2 = e1 + e2 − 2e3; v3 = 2e2 + e3.
a) Chứng minh rằng {v1, v2, v3} là một cơ sở của V.
b) Cho v ∈ V và tọa độ của v đối với cơ sở (e) là (5, 5, 7). Tìm tọa độ của v đối với cơ sở {v1, v2, v3}. 6