1 Bài tập
Bài 0.1. Cho tổng thể với biến ngẫu nhiên gốc 𝑋 có trung bình là 𝜇, phương
sai là 𝜎2. Từ tổng thể, lấy mẫu ngẫu nhiên 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4). Trong các
thống kê sau, thống kê nào là ước lượng không chệch của trung bình tổng
thể? Thống kê nào là ước lượng hiệu quả nhất của trung bình tổng thể? 𝑋 a)
1 + 2𝑋2 + 3𝑋3 + 4𝑋4 𝐺1 = 10
𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋 b) 4 𝐺2 = 10
𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋 c) 3 𝐺3 = 3
d) 𝐺4 = 0, 15𝑋1 0 25 + ,
𝑋2 + 0, 5𝑋3 + 0, 1𝑋4
Bài 0.2. Chứng minh các kết luận sau:
a) Trung bình mẫu là ước lượng vững của trung bình tổng thể.
b) Tỉ lệ mẫu là ước lượng vững của tỉ lệ tổng thể.
Bài 0.3. Từ tổng thể lập hai mẫu ngẫu nhiên độc lập với kích thước mẫu,
trung bình mẫu, phương sai mẫu và tỉ lệ mẫu lần lượt là 𝑛1, 𝑛2, ¯ 𝑋1, ¯
𝑋2, 𝑆2, 𝑆2, ˆ 𝑝 1 2 1, ˆ 𝑝2.
Với giá trị nào của 𝛼 (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) thì ước lượng 𝐺𝛼 là hiệu quả nhất trong
các lớp ước lượng sau:
a) 𝐺𝛼 = 𝛼 ¯𝑋1 + (1 − 𝛼) ¯𝑋2
b) 𝐺𝛼 = 𝛼 ˆ𝑝1 + (1 − 𝛼) ˆ𝑝2 2𝜎4 c) 𝐺 , trong đó
𝛼 = 𝛼𝑆2 + (1 − 𝛼)𝑆2 𝑉 (𝑆2 , 𝑖 1 2 𝑖 ) = = 1, 2. 𝑛𝑖 − 1
Bài 0.4. Gọi 𝑝 là tỉ lệ phế phẩm do một máy sản xuất, 𝑋 = 1 nếu sản phẩm
là phế phẩm, 𝑋 = 0 nếu sản phẩm là chính phẩm. 2
a) Nếu 𝑝 = 0,17 thì mẫu nào sau đây là hợp lí nhất?
𝑤1 = (0, 1, 1, 0, 0, 0, 1);
𝑤2 = (0, 1, 1, 0, 0, 1, 1)
𝑤3 = (0, 1, 1, 0, 1, 1, 1);
𝑤4 = (0, 1, 1, 0, 1, 1, 1)
b) Nếu mẫu điều tra được là 𝑤0 = (0, 1, 1, 0, 0, 1, 0) thì giá trị nào sau
đây là hợp lí nhất cho 𝑝? ˆ 𝑝1 = 0,3; ˆ 𝑝2 = 0,4; ˆ 𝑝3 = 0,5; ˆ 𝑝4 = 0,6
Bài 0.5. Để ước lượng tỉ lệ sinh viên hiện có công việc làm thêm hay không,
người ta hỏi ngẫu nhiên 10 sinh viên thì 7 em trả lời có.
a) Dùng biến ngẫu nhiên 𝑋 để đại diện và lượng hóa cho dấu hiệu nghiên
cứu sinh viên có đi làm thêm hay không. Hãy xác định phân phối xác suất của 𝑋.
b) Viết công thức hàm hợp lí cho bài toán này, từ đó cho biết giá trị nào
sau đây là ước lượng hợp lí nhất cho tỉ lệ sinh viên hiện có công việc làm thêm: 0,6; 0,7; 0,8.
Bài 0.6. Giả sử cân nặng của sản phẩm phân phối Chuẩn. Cân ngẫu nhiên
25 sản phẩm thì tìm được trung bình là 186 g và độ lệch chuẩn mẫu là 16 g. Với độ tin cậy 95%.
a) Hãy ước lượng khoảng tin cậy đối xứng của cân nặng trung bình của sản phẩm.
b) Muốn giữ nguyên độ tin cậy ở câu (a) và độ dài khoảng tin cậy giảm
2 lần thì phải cân bao nhiêu sản phẩm? Tổng quát câu trả lời trong
trường hợp muốn độ dài khoảng tin cậy giảm 𝑘 lần.
Bài 0.7. Biết chi tiêu hằng tháng của hộ gia đình phân phối Chuẩn. Điều
tra chi tiêu của 50 hộ gia đình thì tính được trung bình là 13 triệu/tháng và
phương sai là 4,5 (triệu/tháng)2. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng độ phân
tán về chi tiêu hằng tháng của hộ gia đình? 3
Bài 0.8. Điều tra ngẫu nhiên 200 người dân ở một vùng thì có 176 người có bảo hiểm y tế.
a) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng bằng khoảng tin cậy đối xứng tỷ lệ
người dân vùng này có bảo hiểm y tế.
b) Muốn giữ nguyên độ tin cậy ở câu (a) mà sai số của ước lượng không
vượt quá 2% thì phải điều tra thêm bao nhiêu người nữa?
c) Biết cả khu dân cư này có 12.000 người. Với độ tin cậy 90%, hãy ước
lượng số người dân của khu này chưa có bảo hiểm y tế.
Bài 0.9. Tại một khu vực dân cư, điều tra ngẫu nhiên 400 hộ gia đình về
mức chi tiền điện hằng tháng, tìm được trung bình mẫu là 945 nghìn đồng
và độ lệch chuẩn mẫu là 158 nghìn đồng, trong đó có 38 hộ chi tiền điện
từ 1,2 triệu đồng/tháng trở lên. Giả sử mức chi tiền điện hằng tháng của hộ
gia đình phân phối Chuẩn. Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng
a) Mức chi tiền điện trung bình tối đa của một hộ gia đình.
b) Độ phân tán tối thiểu của mức chi tiền điện hằng tháng của các hộ gia đình ở khu này.
c) Tỉ lệ hộ gia đình chi tiền điện hằng tháng từ 1,2 triệu đồng trở lên tối
thiểu là bao nhiêu phần trăm?
Bài 0.10. Sau khi thử nghiệm trên 160 bệnh nhân thì nhóm nghiên cứu báo
cáo rằng tỉ lệ bệnh nhân khỏi bệnh A khi dùng loại thuốc B là từ 82,06%
đến 87,94%. Biết đây là kết quả ước lượng bằng khoảng tin cậy đối xứng.
a) Hãy tìm số bệnh nhân đã khỏi bệnh trong 160 người thử nghiệm.
b) Cho biết độ tin cậy của ước lượng bằng bao nhiêu? 4 Bài tập tổng hợp Câu hỏi đúng sai
Bài 0.11. Cho biết các kết luận dưới đây đúng hay sai, giải thích?
a) Trong các ước lượng điểm của một tham số tổng thể, ước lượng nào
có phương sai bé hơn là ước lượng tốt hơn.
b) Trong các ước lượng điểm của một tham số tổng thể, ước lượng nào
có phương sai bé nhất là ước lượng hiệu quả nhất.
c) Trong hai ước lượng điểm không chệch, ước lượng nào có phương sai
nhỏ hơn là ước lượng tốt hơn.
d) Trung bình mẫu là ước lượng đủ của trung bình tổng thể.
e) Các giá trị của một thống kê là ước lượng không chệch tính trên các
mẫu cụ thể đều đúng bằng giá trị của tham số tổng thể.
f) Dựa trên một mẫu ngẫu nhiên, ta có thể tìm được nhiều ước lượng
không chệch cho một tham số của tổng thể.
g) Trong các bài toán ước lượng khoảng, với một độ tin cậy cho trước,
ta có vô số khoảng tin cậy cho các tham số đang cần ước lượng.
h) Muốn giảm sai số của ước lượng khi ước lượng tỉ lệ tổng thể bằng
khoảng tin cậy đối xứng thì cần giảm bớt kích thước mẫu (nếu độ tin cậy không đổi).
i) Trung bình mẫu là ước lượng không chệch cho trung bình của tổng thể phân phối Chuẩn.
j) Phương sai mẫu là ước lượng không chệch cho phương sai của một
tổng thể có phân phối Chuẩn. 5 Bài tập tự luận
Bài 0.12. Nghiên cứu thời gian làm các thủ tục hành chính của người bệnh
để vào nhập viện ở một bệnh viện, người ta tiến hành khảo sát 50 người
bệnh thì tính được thời gian làm thủ tục hành chính trung bình là 20,5 phút,
độ lệch chuẩn là 4,2 phút. Giả thiết thời gian làm thủ tục hành chính để
nhập viện là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Cho 𝑡(𝑛>30) 0,01
= 2,326; 𝑡 (𝑛>30) 0,025
= 1,96; 𝑡 (𝑛>30) 0,05
= 1,645; 𝑡 (𝑛>30) 0,1 = 1,282; 2 2 2 2 𝜒 (49) , ; 𝜒 (49) , ; 𝜒 (49) , ; 𝜒 (49) , 0,025 = 70 22 0,975 = 31 55 0,05 = 66 34 0,95 = 33 93
a) Thời gian làm thủ tục hành chính nhập viện trung bình của người
bệnh nằm trong khoảng nào với độ tin cậy 95%.
b) Ước lượng thời gian làm thủ tục hành chính nhập viện trung bình tối
thiểu của người bệnh với độ tin cậy 0,9?
c) Để sai số của ước lượng không vượt quá 0,8 (phút) và giữ nguyên độ
tin cậy ở câu (a) thì cần phải khảo sát ít nhất bao nhiêu người bệnh?
d) Ước lượng phương sai thời gian làm thủ tục hành chính nhập viện của
bệnh nhân với độ tin cậy 0,95 bằng khoảng tin cậy hai phía.
Đáp số: a) (19,336 ; 21,664); b) 19,739; c) 106 ; d) (12,309 ; 27,396)
Bài 0.13. Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm trong một lô hàng, thấy có
205 sản phẩm do nhà máy A sản xuất.
Cho 𝑧0,025 = 1, 96; 𝑧0,01 = 2,33; 𝑧0,025 = 1,96; 𝑧0,05 = 1,645; 𝑧0,1 = 1,28
a) Ước lượng tỉ lệ sản phẩm do nhà máy A sản xuất trong lô hàng này
bằng khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 0,95.
b) Nếu muốn độ dài khoảng tin cậy ở câu (a) không vượt quá 4% thì cần
kiểm tra ít nhất bao nhiêu sản phẩm của lô hàng?
c) Nếu lô hàng có tổng cộng 100.000 sản phẩm, thì sẽ có tối đa bao
nhiêu sản phẩm do nhà máy A sản xuất, với độ tin cậy 90%.
d) Biết rằng nhà máy A đã cung cấp 2800 sản phẩm vào lô hàng này.
Với độ tin cậy 99% hãy ước lượng tối thiểu số lượng sản phẩm của toàn bộ lô hàng. 6
Đáp số: a) (0,3669 ; 0,4531); b) 2324; c) 44618; d) 6071
Bài 0.14. Mức chi cho y tế trong một năm của hộ gia đình ở khu vực thành
phố là biến ngẫu nhiên có phân phối Chuẩn. Điều tra ngẫu nhiên 100 hộ
gia đình ở khu vực thành phố thì thấy mức chi cho y tế bình quân là 15,8
triệu/năm với độ lệch chuẩn 2,5 triệu/năm.
Cho 𝑡(𝑛>30) 2 2 ,
; 𝑡(𝑛>30) , ; 𝜒 (99) (99) , ; 0,025 = 1 96 0,05 = 1 645
0,025 = 128,4; 𝜒0,975 = 73 36 2 2 𝜒 (99) , ; 𝜒 (99) , 0,1 = 117 44 0,9 = 81 45
a) Hãy ước lượng độ biến động của mức chi cho y tế trong năm của các
hộ gia đình thành phố (đo bằng phương sai) với độ tin cậy 0,95.
b) Ước lượng tối đa độ lệch chuẩn của mức chi tiêu cho y tế của các hộ
gia đình khu vực thành phố với độ tin cậy 90%.
c) Hãy tìm độ dài khoảng tin cậy khi ước lượng mức chi tiêu cho y tế
trung bình của các hộ gia đình khu vực thành phố với độ tin cậy 95%.
Đáp số: a) (4,819 ; 8,434); b) 2,756; c) 0,98
Bài 0.15. Quan sát ngẫu nhiên 150 khách hàng vào siêu thị A thì tính được
mức chi tiêu bình quân trong lần mua sắm tại siêu thị là 132,5 nghìn đồng,
độ lệch chuẩn là 22,5 nghìn đồng; và thấy có 24 khách có mức chi tiêu trên
2 triệu đồng. Mức chi tiêu của khách hàng tại siêu thị được giả sử là có phân phối Chuẩn. Cho 2 2
𝑡 (𝑛>30) ,
; 𝑡(𝑛>30) (149) (149) , 0,025 = 1 96 0,05
= 1,645; 𝜒0,05
= 179,6; 𝜒0,95 = 122 7
a) Ước lượng mức chi tiêu trung bình của khách hàng tại siêu thị A với độ tin cậy 0,95.
b) Với độ tin cậy 90%, độ đồng đều (đo bằng độ lệch chuẩn) của mức
chi tiêu các khách hàng nằm trong khoảng nào?
c) Hãy ước lượng tỉ lệ tối đa khách hàng có mức chi tiêu mỗi lần tại siêu
thị A nhiều hơn 2 triệu đồng, với độ tin cậy 0,95.
Đáp số: a) (128,899 ; 136,101); b) (20,494 ; 24,794); c) 0,2092
Bài 0.16. Khảo sát ngẫu nhiên 100 sinh viên trường đại học A về việc học
môn Xác suất thống kê thì thấy điểm tổng kết môn học của các sinh viên 7
này bình quân là 7,65 và độ lệch chuẩn là 0,5 điểm; trong đó có 88 sinh
viên cho rằng việc học môn này ở trường mình là thực sự hữu ích. Cho 2
𝑡 (𝑛>30) (99) 0,025
= 1,96; 𝑡 (𝑛>30) 0,05
= 1,645; 𝑡 (𝑛>30) 0,01
= 2,33; 𝜒0,1 = 117,4; 2 𝜒 (99) , ; 𝑧 0,9 = 81 45
0,01 = 2,33; 𝑧0,1 = 1,28
a) Ước lượng điểm tổng kết trung bình môn Xác suất thống kê của sinh
viên trường đại học A với độ tin cậy 98%.
b) Tìm khoảng tin cậy 80% cho độ phân tán (đo bằng độ lệch chuẩn)
điểm tổng kết môn Xác suất thống kê của sinh viên trường đại học A.
c) Ước lượng tối thiểu số sinh viên của trường đại học A cho rằng việc
học môn Xác suất thống kê là thực sự hữu ích với độ tin cậy 99%,
biết rằng trường đại học A có 5500 sinh viên có học môn này.
Đáp số: a) (7,5335 ; 7,7665); b) (0,459 ; 0,551); c) 4424
Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 0.1. Cho các thống kê: 𝐺 2 1 1 = 𝑋 𝑋 𝑋 𝑋 3
1 + 13 2 ; 𝐺2 = 5 1 + 45 2 được
xây dựng trên mẫu kích thước 𝑛 = 2 lập từ tổng thể có trung bình là 𝜇 và
phương sai là 𝜎2. Đâu là ước lượng không chệch của trung bình tổng thể:
A. Chỉ thống kê 𝐺1
C. Chỉ thống kê 𝐺2
B. Cả hai thống kê 𝐺1 và 𝐺2
D. Không có thống kê nào
Câu 0.2. Xét mẫu ngẫu nhiên kích thước 𝑛 = 3, 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, 𝑋3) được lập
từ tổng thể có trung bình là 𝜇 và phương sai là 𝜎2. Trong số các ước lượng
không chệch của trung bình tổng thể dưới đây, ước lượng nào là ước lượng tốt nhất: 1 3 1 1 1 1 1 1 𝐺1 = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋 𝑋1 + 𝑋 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 5 5 3; 𝐺 2 = 2; 𝐺 3 = 5 2 2 4 2 4
A. Thống kê 𝐺1
C. Thống kê 𝐺3
B. Thống kê 𝐺2
D. Cả 3 thống kê tốt như nhau
Câu 0.3. Một ước lượng điểm được gọi là ước lượng hiệu quả nếu nó là: 8
A. Ước lượng không chệch
C. Ước lượng không chệch và có phương sai bé nhất
B. Ước lượng có phương sai bé nhất
D. Ước lượng chệch nhưng phương sai bé nhất
Câu 0.4. Khi cần ước lượng tỉ lệ chuyến xe tốn nhiên liệu của một công ty
vận tải thì tham số cần ước lượng là:
A. Phương sai tổng thể
B. Tỉ lệ tổng thể
C. Trung bình tổng thể
D. Độ lệch chuẩn tổng thể
Câu 0.5. Ước lượng khoảng đối xứng cho tỉ lệ tổng thể, có thể giảm độ dài
khoảng tin cậy bằng cách (nếu các yếu tố khác giữ nguyên)
A. Tăng kích thước mẫu
C. Giảm độ tin cậy
B. Giảm kích thước mẫu
D. Cả A và C đều đúng
Câu 0.6. Khi ước lượng cho trung bình của tổng thể phân phối Chuẩn, nếu
giữ nguyên các yếu tố khác, và trung bình mẫu tăng lên, thì độ dài khoảng tin cậy sẽ: A. Tăng lên C. Không thay đổi B. Giảm xuống
D. Có thể tăng hoặc giảm
Câu 0.7. Điều tra ngẫu nhiên 40 người tại một vùng thấy có 15 người có sử
dụng sản phẩm của doanh nghiệp. Với độ tin cậy 90%, khoảng tin cậy tỉ lệ
người có sử dụng sản phẩm của doanh nghiệp trong vùng là:
A. (0, 2993; 0, 3406)
C. (0, 2249; 0, 3251)
B. (0, 0563; 0, 1237)
D. (0, 2491; 0, 5009)
Cho 𝑧0,01 = 2,33; 𝑧0 96; ,025 = 1,
𝑧0,05 = 1,645; 𝑧0,1 = 1,28
Câu 0.8. Cân nặng của trẻ sơ sinh được cho là có phân phối chuẩn. Điều
tra cân nặng 100 trẻ sơ sinh tại một bệnh viện thấy trung bình mẫu bằng
3,2 kg; độ lệch chuẩn mẫu 0,2 kg. Cho 2 𝜒 (99) 2(99) , ;
0,025 = 128,4; 𝜒0,975 = 73 36 2 𝜒 (99) 2(99) 0,05
= 123,2; 𝜒0,95 = 77,05 Với độ tin cậy 90%, độ lệch chuẩn của cân
nặng trẻ sơ sinh nằm trong khoảng: 9
A. (0, 1754; 0, 2321) (kg)
C. (0, 0321; 0, 0513) (kg2)
B. (0, 1792; 0, 2264) (kg)
D. (0, 0308; 0, 0539) (kg2)
Câu 0.9. Tạp chí USA Today khảo sát 369 cha mẹ làm việc thì thấy có 200
người cho biết họ dành quá ít thời gian cho con cái của họ bởi các cam kết
về công việc. Cho 𝑧0,01 = 2,33; 𝑧0,025 = 1,96; 𝑧0,05 = 1,645; 𝑧0,1 = 1,28.
Khoảng tin cậy 95% của tỉ lệ tổng thể các cha mẹ làm việc mà họ cảm thấy
dành quá ít thời gian cho con cái bởi các cam kết công việc là?
A. (0, 491; 0, 593)
C. (0, 556; 0, 586)
B. (0, 499; 0, 585)
D. (0, 498; 0, 526)
Câu 0.10. Ước lượng mức giá trung bình trên thị trường của 1 loại hàng
hóa thông qua một mẫu kích thước 20 với trung bình mẫu 30 USD, phương
sai mẫu là 9 USD2. Biết rằng giá của hàng hóa này có phân phối chuẩn. Cho 𝑡(19) , ; 𝑡(19) 0,025 = 2 093
0,05 = 1, 729. Với độ tin cậy 95% thì sai số biên của
ước lượng trong khoảng đối xứng là: A. 2, 808 B. 4, 212 C. 1, 404 D. 1, 315
Câu 0.11. Ước lượng cho tỉ lệ sinh viên có việc làm sau 1 năm tốt nghiệp,
khảo sát trên một mẫu 200 sinh viên, thu được tỉ lệ mẫu là 85%. Trong
các khoảng sau, khoảng nào có thể là kết quả ước lượng khoảng tin cậy đối
xứng cho tỉ lệ tổng thể? A. 80%-88% B. 86%-92% C. 74%-82% D. 80%-90%
Câu 0.12. Giá đóng cửa của một loại cổ phiếu niêm yết trên sàn chứng
khoán HOSE được giả sử là có phân phối chuẩn. Theo dõi giá đóng cửa
của cổ phiếu này trong 100 phiên giao dịch thì thấy giá bình quân là 32,85
(nghìn đồng), phương sai mẫu là 7,5625 (nghìn đồng)2. Với độ tin cậy
95%, giá đóng cửa trung bình của loại cổ phiếu này nằm trong khoảng nào? Cho 𝑡(99) ,
0,025 = 1, 96; 𝑡 (99) 0,05 = 1 645
A. (32,311 ; 33,389) nghìn đồng
B. (31,367 ; 34,333) nghìn đồng
C. (32,397 ; 33,303) nghìn đồng
D. (31,606 ; 34,094) nghìn đồng 10
Câu 0.13. Khi ước lượng tối đa độ dao động của giá một loại cổ phiếu với
độ tin cậy 0,9; sử dụng số liệu về giá đóng cửa của cổ phiếu đó trong 50
phiên giao dịch thì cần giá trị tới hạn nào dưới đây? Biết rằng giá cổ phiếu
đó có phân phối chuẩn và chưa biết kì vọng. A. 2 2 2 2(49) 𝜒 (49) B. 𝜒 (49) C. 𝜒 (49) D. 𝜒 0,05 0,95 0,9 0,95
Câu 0.14. Đâu là công thức đúng cần sử dụng để ước lượng tối đa cho tỉ lệ của tổng thể: √ √ A. ˆ 𝑝 (1 ˆ −𝑝) ˆ
𝑝 (1− ˆ𝑝) ˆ 𝑝 − √ 𝑧 √ 𝑧 𝑛 𝛼 B. ˆ𝑝 + 𝑛 𝛼 √ √ C. ˆ
𝑝 (1− ˆ𝑝) ˆ 𝑝 ˆ 𝑝 + (1− ˆ𝑝) √ 𝑧 𝛼 D. ˆ𝑝 − √ 𝑧 𝛼 𝑛 2 𝑛 2
Câu 0.15. Đâu là công thức đúng của độ dài khoảng tin cậy trong bài toán
ước lượng trung bình của tổng thể phân phối chuẩn, chưa biết phương sai tổng thể: A. 𝑆
√ 𝑡 (𝑛−1)
B. 2 𝑆𝑡(𝑛−1) 𝑛 𝛼 𝑛 𝛼 2 2 √ C. ˆ 𝑝 (1 ˆ −𝑝) 1 √ 𝑧 𝛼 D. 2 𝑆
√ 𝑡 (𝑛− ) 𝑛 𝛼 2 𝑛 2