BÀI T P LÝ THUYẾ Ậ
ẾT XÁC SUẤẾT & THỐẾNG KẾ TOÁN Bài mẫu:
Ví dụ 1. Một hộp gồm 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả.
Tìm xác suất các biến cố sau đây: - Lấy được 2 quả đen
- Lấy được 2 quả khác màu
- Lấy được ít nhất 1 quả đen
Ví dụ 2 Có 3 khách hàng không quen biết nhau cùng đi mua hàng ở một trung
tâm thương mại có 5 cửa hàng lớn. Giả sử khách hàng chọn cửa hàng 1 cách ngẫu
nhiên và chỉ chọn 1 cửa hàng để mua sắm. Tính xác suất các biến cố sau đây:
- Cả ba người cùng vào 1 cửa hàng
- Ba khách vào ba cửa hàng khác nhau
- Có 2 người vào cửa hàng 1
- Có 2 người cùng vào 1 cửa hàng
Ví dụ 3. Cuộc chiến tivi
Điều tra sở thích xem tivi của các cặp vợ chồng cho thấy có 30% các bà vợ
thường xem chương trình thể thao, 50% các ông chồng thường xem chương trình
thể thao. Tuy nhiên nếu vợ xem cùng thì sẽ có 60% các ông chồng cùng xem. Lấy
ngẫu nhiên một cặp vợ chồng.Tính xác suất: - Cả hai cùng xem
- Có ít nhất một người xem - Không có ai xem
- Nếu chồng xem thì vợ xem cùng
- Nếu chồng không xem thì vợ vẫn xem
Ví dụ 4. Hai thùng hàng
Hai thùng hàng cơ cấu các quả cầu như sau: T1 (6 trắng, 4 đỏ), T2 (5 trắng, 5
đỏ). Người ta lấy ngẫu nhiên 2 quả từ thùng 1 bỏ sang thùng 2 rồi từ đó lấy ra 1 quả ở thùng 2.
- Tìm xác suất để lấy được quả đỏ.
- Giả sử lấy được quả đỏ. Tìm xác suất quả đó thuộc thùng 1?
- Giả sử lấy được quả trắng. Tính xác suất hai quả bỏ sang thùng 2 đều là hai quả đỏ?
Bài tập tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
Bài 1: Một lớp sinh viên có 50% học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp, 30% học
tiếng Đức, 20% học tiếng Anh và tiếng Pháp, 15% học tiếng Anh và tiếng Đức,
10% học tiếng Pháp và tiếng Đức, 5% học cả 3 ngoại ngữ. Lấy ngẫu nhiên một
sinh viên để hỏi, tính xác suất:
- Sinh viên đó học ít nhất 1 trong 3 ngoại ngữ trên.
- Chỉ học tiếng Anh và tiếng Đức - Chỉ học tiếng Pháp thuytrang@neu.edu.vn Page 1 BÀI T P LÝ THUYẾ Ậ
ẾT XÁC SUẤẾT & THỐẾNG KẾ TOÁN
Bài 2: Số lượng nhân viên của công ty A được phân loại theo độ tuổi và giới tính như sau: Giới tính Độ tuổi Nam Nữ Dưới 30 120 170 30-40 260 420 Trên 40 400 230
Tìm xác suất để phỏng vấn một nhận viên của công ty đó thì được:
- Nhân viên từ 40 tuổi trở xuống 97/160
- Nhân viên nam trên 40 tuổi 400/1600
- Nữ nhân viên 820/1600 = 41/80
Bài 3: Trong bữa tiệc ở xứ sở thần tiên, 5 nàng công chúa nổi tiếng Snow
white, Cinderela, Rapulzen, Merida, Tiana ngồi ngẫu nhiên vào một chiếc ghế dài. Tính xác suất để:
- Rapulzen ngồi chính giữa 4!/5!
- Snow white và Tiana ngồi ở 2 đầu ghế 3!x2!/5!
Bài 4: Ba chị em Lọ Lem thay nhau rửa bát. Giả sử 3 người này đều “khéo
léo” như nhau. Trong 1 tháng bà mẹ kiểm tra lại thấy có 4 cái bát bị vỡ. Tính xác suất:
- Lọ Lem đánh vỡ 1 cái, chị cả đánh vỡ 3 cái 4C3/34 = 4/81
- 1 trong 3 người đánh vỡ 3 chén
- 1 trong 3 người đánh vỡ 4 chén 3C1/34
Bài 5: Cho hai thùng ký hiệu T1 có 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen và T2 có 5
quả cầu trắng, 5 quả cầu đen. Kích thước các quả cầu đều như nhau. Từ T1 lấy ra 2
quả và từ T2 lấy ra 1 quả. Tìm xác suất các biến cố sau đây:
- Cả 3 quả lấy ra đều là đen 1/15
- Trong 3 quả lấy ra có đúng 2 quả đen (4C1x5C1x6C1+4C2x5C2)/(10C2x10C1)
- Trong 3 quả lấy ra có ít nhất 1 quả đen 5/6
Bài 6: Chia đôi số quả cần có trong thùng T(8T,6Đ) thành 2 phần đều nhau. Tìm xác suất:
- Cả hai phần có số quả Đ như nhau (6C3x8C4)/14C7
- Có một phần tất cả đều là quả Đ
Bài 7: Chiếc hộp có các viên bi như sau: 6T, 4D, 10X. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tính xác suất:
- Lấy được 1 viên bi D 8/19
- Lấy được ít nhất 2 bi cùng màu 15/19
Bài 8: Chiếc hộp có các viên bi như sau: 6T, 4D, 10X. Lấy ngẫu nhiên ra 4 viên bi. Tính xác suất:
- Lấy được 2 bi D và 2 bi T 6/323
- Lấy được đủ cả ba màu thuytrang@neu.edu.vn Page 2 BÀI T P LÝ THUYẾ Ậ
ẾT XÁC SUẤẾT & THỐẾNG KẾ TOÁN
Bài 9: Chiếc hộp có các viên bi như sau: 6T, 4D, 5X. Lấy ngẫu nhiên ra 7 viên bi. Tính xác suất: - Lấy được 2 màu
- Lấy được mỗi màu có ít nhất một bi=lấy được 3 màu
Bài 10: Tung 2 con xúc xắc đồng thời. Tính các xác suất sau:
- Tổng số chấm 2 mặt xúc xắc bằng 7
- Tổng số chấm không nhỏ hơn 10 - Tổng số chấm lẻ
- Có nhiều nhất 1 mặt 6 chấm
- Được xuất ngựa (có 1 mặt 6 chấm)
Bài 11: Một hộp đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi.
Tính xác suất để lấy được i viên bi màu xanh.
Bài 12: Một đề thi trắc nghiệm có 4 câu hỏi độc lập, mỗi câu có 4 phương án
trả lời trong đó có 1 phương án đúng duy nhất. Mỗi câu trả lời đúng được 1đ, sai
được 0đ. Một học sinh làm bài theo phương pháp ngẫu nhiên. Tìm xác suất: - học
sinh đó được 0đ, - được 2đ.
Bài tập kẻ bảng loại 1 (định lí cộng, nhân)
Bài 1: Hai công ty A và B cùng kinh doanh một mặt hàng. Xác suất để công ty A
thua lỗ là 0,2 còn công ty B có xác suất thua lỗ là 0,4. Tuy nhiên trên thực tế khả
năng hai công ty cùng thua lỗ chỉ là 0,1. Tìm xác suất các biến cố sau: chỉ có một
công ty thua lỗ, có ít nhất 1 công ty làm ăn không thua lỗ. Bài 2:
Thiết bị gồm 2 bộ phận với xác suất hoạt động tốt của bộ phận 1 là 0,9, bộ phận
2 là 0,8 và cả hai là 0,75. Tìm các xác suất sau: khi thiết bị hoạt động có bộ phận bị
hỏng, chỉ có bộ phận 2 hỏng. Bài 3:
Hai người cùng bắn vào một mục tiêu, khả năng chỉ có một người bắn trúng là
0,38. Tìm xác suất bắn trúng của người 1 biết rằng xác suất bắn trúng của người 2 là 0,8. Bài 4:
Tại một siêu thị, hệ thống phun nước chữa cháy được lắp với hệ thống báo động
hỏa hoạn. Khả năng hệ thống phun nước bị hỏng là 0,1; hệ thống báo động hỏng
với xác suất 0,1; còn khả năng cả hai cùng hỏng chỉ là 0,04. Tình xác suất:
- Có ít nhất 1 hệ thống hoạt động bình thường
- Cả hai hệ thống hoạt động bình thường
- Hệ thống phun nước hỏng trong khi hệ thống báo động hoạt động bình thường
- Chỉ hệ thống báo động hỏng thuytrang@neu.edu.vn Page 3 BÀI T P LÝ THUYẾ Ậ
ẾT XÁC SUẤẾT & THỐẾNG KẾ TOÁN
Bài tập kẻ bảng loại 2 (CT Xác suất đầy đủ và Bayes) Bài 1:
đỏ Cho hai thùng T1(6 trắng, 4 đỏ) và T2( 5 trắng, 5 đỏ). Lấy ngẫu nhiên 2 quả
từ T1 và 1 quả từ T2. Sau đó chọn ngẫu nhiên 1 quả từ 3 quả trên. Tìm xác suất chọn được quả.
- Giả sử chọn được quả đỏ rồi. Tìm xác suất cả ba quả lấy ra đều là quả đỏ. Tìm
xác suất quả lấy ra được là từ thùng 1. Bài 2:
Cho hai thùng có cơ cấu như sau: T1(6 trắng, 4 đỏ) và T2( 5 trắng, 5 đỏ). Lấy
ngẫu nhiên 1 quả từ T1 sang T2 rồi lại làm ngược lại. Tìm xác suất để lần thứ ba
dlấy ra một quả từ thùng 1 thì được quả đỏ. Bài 3:
Tỷ lệ người bị bệnh Ebola ở Nigeria là 5%. Việc chẩn đoán được tiến hành qua
hai bước là chẩn đoán lâm sàng và xét nghiệm toàn bộ. Nếu chẩn đoán lâm sàng
kết luận có bệnh thì mới xét nghiệm toàn bộ. Khả năng chẩn đoán lâm sàng đúng
với người bị bệnh là 80% và sai với người không bị bệnh là 3%. Khả năng kết luận
này sai là bao nhiêu? (Rủi ro khi bị chẩn đoán nhầm là bao nhiêu?) Bài 4: Chuyện Tấm Cám
Để không cho Tấm tham dự lễ hội nhà vua tổ chức, mẹ con nhà Cám bèn nghĩ ra
cách trộn các hạt thóc lép và các hạt thóc chắc với nhau. Sau đó bắt Tấm phân loại
2 loại ra riêng nhau. Bao lúa thứ nhất nặng 20kg có tỉ lệ hạt lép là 1%; bao lúa thứ
hai 30kg và 2% hạt lép; bao thứ ba 50kg và 3% hạt lép. Trộn cả ba bao lúa vào bao
thứ tư rồi bốc ra 1 hạt.
- Tính xác suất hạt lúa bốc ra là hạt lép.
- Giả sử hạt lúa bốc ra không lép, tính xác suất hạt lúa này là của bao thứ 2.
(Lưu ý không được dùng nước để phân loại vì hạt lép sẽ nổi lên trên, cũng
không được nhờ vả ai, cũng không được khóc lóc để Bụt hiện lên giúp nhá. Thế
này thì có mà tập xác định mút chỉ mới được dự lễ hội.)
Bài 5: Công chúa và mụ phù thủy
Trên chiếc bàn giữa căn phòng, mụ phù thủy đã chuẩn bị sẵn 2 giỏ rất lớn những
hạt dẻ mà nàng công chúa yêu thích. Giỏ thứ nhất có 30% là những hạt dẻ màu đỏ,
20% màu vàng và 50 % màu đen; trong số đó mụ phù thuỷ đã tẩm thuốc độc 50%
hạt dẻ màu đỏ, 70% hạt dẻ màu vàng và 40% hạt dẻ màu đen. Đối với giỏ thứ hai
các tỷ lệ tương ứng là 40%, 30%, 30% và 20%, 50%, 60%.
Công chúa rất mừng rỡ khi lại gần chiếc bàn và nàng bắt đầu chọn những hạt dẻ.
1) Giả sử công chúa chọn tùy ý một hạt dẻ ở giỏ thứ hai. Tính khả năng hạt dẻ đó
bị nhiễm độc? không bị nhiễm độc?
2) Công chúa chọn một hạt dẻ ở giỏ thứ hai và biết rằng hạt đó đã bị nhiễm độc.
Khả năng cao nhất hạt dẻ đó có màu gì?
3) Giả sử công chúa chọn tùy ý ở mỗi giỏ một hạt dẻ. Tính xác suất:
- cả hai hạt dẻ cùng không bị nhiễm độc? thuytrang@neu.edu.vn Page 4 BÀI T P LÝ THUYẾ Ậ
ẾT XÁC SUẤẾT & THỐẾNG KẾ TOÁN
- chỉ có một hạt dẻ bị nhiễm độc?
4) Nếu công chúa chọn ngẫu nhiên một hạt dẻ ở một trong hai giỏ trên. Tính xác
suất hạt dẻ đó bị nhiễm độc? không bị nhiễm độc?
5) Công chúa chọn tùy ý 500 hạt dẻ từ một trong hai giỏ .
- Khả năng nhiều nhất có bao nhiêu hạt dẻ bị nhiễm độc?
- Trung bình có bao nhiêu hạt dẻ bị nhiễm độc?
- Tính xác suất có đúng 230 hạt dẻ bị nhiễm độc?
- Tính xác suất có từ 220 đến 230 hạt dẻ bị nhiễm độc?
6) Hàng ngày trung bình công chúa ăn 3 hạt dẻ. Tính xác suất hôm nay nàng
chỉ ăn một hạt dẻ.
(Chúc công chúa may mắn. hehe) Bài 6:
Ba kiện hàng đều có 20 sản phẩm với số sản phẩm tốt tương ứng là 15, 12 và 10.
Lấy ngẫu nhiên 1 kiện hàng (khả năng như nhau), rồi từ kiện hàng đó chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm.
- Tính xác suất sản phẩm chọn ra là tốt.
- Giả sử sản phẩm chọn ra không tốt, tính xác suất sản phẩm này thuộc kiện hàng thứ ba. Bài 7:
Một vườn lan trồng hai loại lan Ngọc điểm chưa nở hoa, loại I có hoa màu trắng
điểm hoa cà và loại II có màu trắng điểm tím đỏ. Biết số cây lan loại I bằng 7/3 số
cây lan loại II và tỉ lệ nở hoa tương ứng là 95%, 97%. Người mua vào vườn lan
này và chọn ngẫu nhiên 1 cây Ngọc điểm.
- Tính xác suất để cây lan này nở hoa.
- Giả sử cây lan này nở hoa, tính xác suất cây lan này có hoa màu trắng điểm tím đỏ. Bài 8:
Một người buôn bán bất động sản đang cố gắng bán một mảnh đất lớn. Ông ta
tin rằng nếu nền kinh tế tiếp tục phát triển, khả năng mảnh đất được mua là 80%;
ngược lại nếu nền kinh tế ngừng phát triển, ông ta chỉ có thể bán được mảnh đất đó
với xác suất 40%. Theo dự báo của một chuyên gia kinh tế, xác suất nền kinh tế
tiếp tục tăng trưởng là 65%. Tính xác suất để người đó bán được mảnh đất. Bài 9:
Thống kê cho thấy tỉ lệ cặp trẻ sinh đôi khác trứng có cùng giới tính là 50%, cặp
trẻ sinh đôi cùng trứng thì luôn có cùng giới tính. Biết rằng tỉ lệ cặp trẻ sinh đôi
cùng trứng là p (tính trên tổng số các cặp trẻ sinh đôi). Nếu biết 1 cặp trẻ sinh đôi
có cùng giới tính thì xác suất chúng được sinh đôi cùng trứng là 1/3, hãy tính p? Bài 10:
Có 30 thùng hàng giống nhau gồm 3 loại: 18 thùng loại I, 7 thùng loại II và 5
thùng loại III. Mỗi thùng hàng có 15 sản phẩm và số sản phẩm tốt tương ứng cho
mỗi loại lần lượt là 11, 9 và 7. Chọn ngẫu nhiên 1 thùng hàng và từ thùng đó lấy ra 5 sản phẩm. thuytrang@neu.edu.vn Page 5 BÀI T P LÝ THUYẾ Ậ
ẾT XÁC SUẤẾT & THỐẾNG KẾ TOÁN
- Tính xác suất có 2 sản phẩm lấy ra là tốt.
- Tính xác suất có 2 sản phẩm lấy ra là tốt và của thùng hàng loại III.
- Giả sử có 2 sản phẩm lấy ra là tốt, tính xác suất 2 sản phẩm này là của thùng hàng loại III.
Bài tập khác (dùng các Công thức xác suất) Bài 1:
Trong trận không kích ở Trân Châu Cảng, mỗi chiếc máy bay có nhiệm vụ lần
lượt phá hủy các cứ điểm của quân Đồng minh. Mỗi lần thả chỉ được một quả bom
xuống các cứ điểm, biết rằng cứ trúng bom đều phá hủy hoàn toàn các cứ điểm.
Tìm xác suất máy bay phá hủy được một cứ điểm mà tốn không quá 2 quả bom.
Biết xác suất ném bom trúng mục tiêu các lần đều như nhau và bằng 0,7. Bài 2:
Một chi tiết được lấy ngẫu nhiên có thể là chi tiết loại 1 (ký hiệu là A) hoặc chi
tiết loại 2 (ký hiệu là B) hoặc chi tiết loại 3 (ký hiệu là C). Mô tả các biến cố sau đây: a. A + B b. AB + C c. d. AC Bài 3:
Bắn một viên đạn vào hai mục tiêu, xác suất trúng đạn mục tiêu 1 là 0,5, mục
tiêu 2 là 0,3. Sau khi bắn đài quan sát báo có mục tiêu trúng đạn. Tính xác suất
mục tiêu 1 trúng đạn (giả thiết là đạn không thể trúng cùng một lúc cả hai mục tiêu).
Bài 4: Gieo 1 đồng xu 6 lần Tìm xác suất để số lần được mặt sấp nhiều hơn mặt
ngửa, xác suất để số lần mặt sấp và ngửa như nhau. Bài 5:
Xác suất để động cơ thứ nhất của máy bay bị trúng đạn là 0,2; động cơ thứ hai là
0,3 và phi công trúng đạn là 0,1. Tìm xác suất để máy bay rơi biết rằng 2 bộ phận
động cơ hoạt động độc lập với nhau. Bài 6:
Trong quân đội khi truyền tin người ta sử dụng ký hiệu Mooc – xơ (mật mã) và
để đảm bảo thông tin được truyền đến nơi thì một tín hiệu được phát 3 lần với xác
suất thu được của mỗi lần đều là 0,4. Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin sau 3 lần phát?
Nếu muốn xác suất thu được thông tin lên đến 0,99 thì phát ít nhất bao nhiêu lần
hoặc phải cải tiến thiết bị thu tín hiệu lên xác suất là bao nhiêu lần mà chỉ cần 3 lần
phát vẫn truyền được tin?
Bài 7: Bắn liên tiếp vào một mục tiêu đến khi nào viên đạn đầu tiên trúng đích
thì dừng. Tìm xác suất phải bắn đến 6 viên biết xác suất trúng đích của các lần độc lập nhau và bằng 0,2. thuytrang@neu.edu.vn Page 6 BÀI T P LÝ THUYẾ Ậ
ẾT XÁC SUẤẾT & THỐẾNG KẾ TOÁN
Bài 8: Một nhân viên bán hàng mỗi ngày đi chào hàng ở 10 nơi với xác suất bán
được hàng ở mỗi nơi đều là 0,2. Tìm xác suất để trong một ngày người đó bán
được hàng ở 2 nơi, bán được hàng ở ít nhất 5 nơi, không bán được hàng.
Bài 9:Tỷ lệ phế phẩm của 1 nhà máy là 5%. Tìm xác suất để trong 12 sản phẩm
do nhà máy sản xuất ra có 2 phế phẩm, có không quá 2 phế phẩm. thuytrang@neu.edu.vn Page 7