Bài tập củng cố phần 8 – 9 – 10 điểm trong đề thi THPT Quốc gia 2017 môn Toán – Lục Trí Tuyên

Tài liệu gồm 54 trang tuyển tập các bài toán trắc nghiệm ở mức độ vận dụng và vận dụng cao giúp củng cố phần 8 – 9 – 10 điểm trong đề thi THPT Quốc gia 2017 môn Toán. Các bài tập đều có đáp án (được gạch chân).

26 13 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Môn: Toán

Thông tin:

54 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 1
BÀI TẬP CỦNG CỐ PHẦN 8 – 9 – 10 ĐIỂM
TRONG ĐỀ THI THPTQG MÔN TOÁN 2017
Chi tiết xem thêm tại http://estudy.edu.vn
1. HÀM SỐ
1.1. Cực trị của hàm số
a. Hàm bậc 3:
Ví dụ 1: Hàm số
()y f x
có
23
'( ) ( 1) ( 1)f x x x x
có bao nhiêu cực trị
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Ví dụ 2: Hàm số
2
3
y x x
có bao nhiêu cực trị
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Ví dụ 3: Tìm
m
để hàm số
32
( 1) 5mxy x m x
đạt cực đại tại
1x
A.
2m
B.
2m 
C.
D.
m
Ví dụ 4: Tìm điều kiện của
m
để hàm số
3 2
( 1) 4y x m x mx m
có cực trị
A.
3 21 3 21
22
m


B.
3 21
2
3 21
2
m
m
C.
3 21
2
m
D.
3 21
2
m
Ví dụ 5: Biết rằng có hai giá trị của
m
để hàm số
32
1
( 2) 5
3
y x mx m x
có hai cực trị
12
,x x
thoả mãn
22
12
26xx 
là
1
m
và
2
m
. Giá trị của
12
m m
bằng:
A.
11
2
B.
1
2
C.
1
D.
3
2
Ví dụ 6: Cho hàm số
32
2 12 13y x ax x
. Tìm
a
để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
sao cho chúng cách đều trục tung.
A.
0a
B.
0a
C.
2a
D.
a
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 2
Ví dụ 7: Cho hàm số
3 2 3
31
22
y x mx m
. Tìm tất cả các giá trị của
m
để đồ thị hàm số có
các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
yx
.
A.
}2{0;m
B.
}2{m
C.
2m
D.
m
Ví dụ 8: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
3y x x m x m
có các điểm cực đại, cực tiểu đối
xứng nhau qua đường thẳng
2 5 0xy
.
A.
0
1
m
m

B.
0m
C.
1m 
D.
m
Ví dụ 9: Từ bảng biến thiên sau, hãy chỉ ra số cực trị của hàm số
A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
Ví dụ 10: Tìm số điểm cực trị của hàm số
2
| 2| 1)(y x x 
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Ví dụ 11: Cho hàm số
()y f x
có đồ thị của
'( )y f x
như hình sau. Xác định số cực trị của
hàm
()y f x
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 3
A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
Ví dụ 12: Cho hàm số
()y f x
có đồ thị
()y f x
cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ
abc
như hình vẽ.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
( ) ( ) ( ).f a f b f c
B.
( ) ( ) ( ).f c f b f a
C.
( ) ( ) 2 ( ) 0.f c f a f b
D.
( ) ( ) ( ) ( ) 0.f b f a f b f c
b. Hàm bậc 4 trùng phương
Ví dụ 1: Tìm điều kiện
m
để hàm số
42
( 1) 1mxy x m
có 3 cực trị
A.
1m 
B.
1m 
C.
1m
D.
1m 
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số
42
( 1) 2y mx m x
có đúng một cực đại
A.
0m
B.
0m
C.
1m
D.
0 1m
Ví dụ 3: Cho hàm số
4 3 2
8 3 1 2 4y x mx m x
. Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà
không có cực đại.
A.
1
6
7
6
71
m

B.
17
6
1
6
2
17
m
m


ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 4
C.
m
D.
1
2
m 
Ví dụ 4: Tìm
m
để đồ thị hàm số
4 2 4
2y x mx m m
có 3 cực trị mà 3 điểm cực trị tạo
thành tam giác
a. Đều
b. Vuông cân
c. Có diện tích bằng 32
d. Tạo với O tứ giác OBAC là hình thoi
e. Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
2
f. Nhận
(0; 1)H
làm trực tâm.
1.2. Điều kiện đồng biến, nghịch biến
a. Hàm bậc 3
Ví dụ 1: Cho hàm số
32
3 3 1y x x mx
. Tìm m để hàm số:
1) Đồng biến trên tập xác định
Đáp số:
1m
2) Nghịch biến trên tập (0;3)
Đáp số:
3m 
3) Đồng biến trên tập (2;+
)
Đáp số:
0m
Ví dụ 2: Tìm
m
đề hàm số
32
11
( 1) 3( 2)
33
y mx m x m x
đồng biến trên (2;+
)
Đáp số:
2
3
m
Ví dụ 3: Cho hàm số
3 2 2
4) 9( 1) (y x m x m x 
. Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến
trên tập xác định.
Đáp số:
1 3 3
2
1 3 3
2
m
m

Ví dụ 4: Cho hàm số
32
3y x x mx m
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập có độ dài bằng
1
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 5
Đáp số:
9
4
m
Ví dụ 5: Cho hàm số
32
2 3 2 1y x mx m
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên (1;2).
Đáp số:
2m
Ví dụ 6: Cho hàm số
3 2 2
1 2 2 (232 1)y x x m mm x m m
. Tìm m để hàm số đồng
biến trên (2;+
)
Đáp số:
2
2
3
m 
Ví dụ 7: Tìm m để hàm số
32
( 1) 3y mx mx m x
đồng biến trên
Đáp số:
0m
Ví dụ 8: Tìm m để hàm số
3 2 2
(3( 531) 6 )mxy x m mx
nghịc biến trên khoảng (2;3)
Đáp số:
1 2m
b. Hàm bậc nhất trên bậc nhất
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
2
3
mx
y
xm

nghịch biến trên các khoảng xác định.
Đáp số:
12m
Ví dụ 2: Tìm m đề hàm số
1
xm
y
mx
đồng biến trên từng khoảng xác định
Đáp số:
11m
Ví dụ 3: Tìm m đề hàm số
1
xm
y
mx
đồng biến trên (1;+
)
Đáp số:
0 1m
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số
2
3
mx
y
xm

nghịch biến trên (
)
Đáp số:
1
3
2
m
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 6
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số
1
sn
sin
i
mx
y
xm
nghịch biến trên khoảng
0;
2



Đáp số:
0 1m
Ví dụ 6: Tìm m để hàm số
cot
cot 1
xm
y
mx
đồng biến trên
( ; )
42

Đáp số:
11m
c. Hàm khác
Ví dụ 1: Tìm m để làm số
2
1ln( )yx mx
đồng biến trên
Đáp số:
1m 
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số
sin 3xy mx
nghịch biến trên tập xác định
Đáp số:
1m 
Ví dụ 3: Tìm m đề hàm số
sin cos ( 2) 3xxy mx
đồng biến trên
Đáp số:
22m 
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số
tany x m x
nghịch biến trên
(0; )
4
Đáp số:
1m 
1.3. GTLN – GTNN
a. Hàm chứa tham số
Ví dụ 1: Hàm số
2
1
xm
y
x
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn
0;1
bằng 1 khi m bằng bao nhiêu?
Đáp số:
0m
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì trên [0; 2] hàm số
32
69y x x x m
có giá trị nhỏ nhất
bằng
4
.
Đáp số:
4m 
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 7
Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
sin cos2 sin 2y x x x
trên khoảng
;
22




bằng
mấy?
Đáp số:
23
27
Ví dụ 4: Cho hai số thực x,y thỏa mãn
22
2xy
. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
33
2( ) 3P x y xy
theo thứ tự là bao nhiêu?
Đáp số:
6.5Max
,
7Min 
Ví dụ 5: Hàm số
32
32
1 1 1
2 , 0y x x x x
x x x
có GTNN là bao nhiêu?
Đáp số:
2GTNN 
Ví dụ 6: Cho hàm số
42
2y x x
. Gọi
là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm
số đã cho và có hệ số góc
m
. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực
m
sao cho tổng
khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến
nhỏ nhất là:
A.
0.
B.
1.
C.
.
D.
1
.
2
Phương trình
:0y mx mx y
. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
(1; 1); ( 1; 1)AB
Tổng khoảng cách từ A, B đến
:
2 2 2
1
1
1
11
1
1m m m m
T
m m m
. Bây giờ tìm GTNN
của hàm
2
1
()
1
1mm
fm
m
bằng 2 cách:
- Cách 1: Chia trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối.
- Cách 2: Dùng MTCT chức năng table.
Đáp số
1x
và giá trị nhỏ nhất bằng
2
Ví dụ 7: Cho các số thực
,xy
thỏa mãn
22
2 3 4.x xy y
Giá trị lớn nhất của biểu thức
2
P x y
là
A.
max 8.P
B.
max 4.P
C.
max 12.P
D.
max 16.P
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 8
Giải: Với
240y Px
Với
0y
Đặt
x ky
2 2 2
2
2 3) 4
2
(
3
4
yk
k
ky
k

. Khi đó
22
22
22
84
2
4( 1) 4
( 1)
323
kk
P y k
k
k
kkk


. Có
2
2 2 2
2 3) 2
16 16 32 16( 1)( 2)
'( )
( 3)(
k k k k
Pk
k kkk

Từ bảng biến thiên tìm được
max 12.P
b. Bài toán ứng dụng
Ví dụ 1: Trong hệ toạ độ Oxy cho parabol (P): y = 1 - x
2
. Một tiếp tuyến của (P) di động có
hoành độ dương cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại A và B. Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất
khi hoành độ của điểm M gần nhất với số nào dưới đây:
A. 0,9 B. 0,7 C. 0,6 D. 0,8
Ví dụ 2: Cho tam giác đều cạnh a; Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm
trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AB và AC. Xác định vị trí điểm M
sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó
A.
2
a
BM
và
2
3
8
a
S
B.
4
a
BM
và
2
3
8
a
S
C.
3
4
a
BM
và
2
3
4
a
S
D. Một kết quả khác
Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R. Chu vi hình chữ
nhật lớn nhất khi tỉ số
MN
MQ
bằng:
A. 2 B. 4
C. 1 D. 0,5
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 9
Ví dụ 4: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh học thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị
diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng
480 20P n n
(gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để
sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
12
6.5km
2
yx
. Khoảng cách ngắn nhất từ M đến
Đáp số:
Ví dụ
7: Cho điểm M di chuyển trên Parabol (P):
A(3;0) bằng bao nhiêu?
Đáp số:
5d
Ví dụ 8: Một màn hình lớn TV cao 1.4m tại phòng chờ nhà ga được treo trên tường cách mặt
đất 2.2m. Một hành khách cao 1.78 đang đúng đọc thông tin trên màn hình. Hỏi hành khách
Đáp số:
Ví dụ
5: Một chủ hộ kinh doanh có 50 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là
2.000.000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ thêm
50.000đ/tháng, thì sẽ có 1 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao
nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất?
Đáp số: 2.250.000đ
Ví dụ 6: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B
trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi
km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc
với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo
ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng:
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 10
này phải đứng cách tường bao xa để góc nhìn lớn nhất biết rằng khoảng cách từ mắt đến đỉnh
đầu anh ta là 8cm.
Đáp số:
95
10
x
Ví dụ 9: Chiều dài bé nhất của cái thang
AB
để nó có thể tựa vào tường
AC
và mặt đất
BC
,
ngang qua một cột đỡ
DH
cao
4m
song song và cách tường
0,5CH m
là bao nhiêu ?
1.4. Suy đồ thị
Ví dụ 1: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số
| ( )|y f x
từ đồ thị hàm số
()y f x
Hướng dẫn:
- Giữ nguyên đồ thị của
()y f x
ở phần nằm trên trục Ox
- Lấy đối xứng phần đồ thị
()y f x
lên trên qua Ox
Ví dụ 2: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số
(| |)y f x
từ đồ thị hàm số
()y f x
- Giữ nguyên phần độ thị của
()y f x
bên phải Oy và xoá bên trái.
- Lấy đói xứng phần này sang trái qua Oy
Ví dụ 3: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số
()y f x
từ đồ thị hàm số
()y f x
- Lấy đối xứng qua Ox
Ví dụ 4: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
từ đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
D
A
C
B
H
Đáp số:
Ví dụ 10: Một nạn nhân đuối nước ở vị trí cách bờ hồ 200m. Một người phát hiện tai nạn đang
đứng trên bờ cách nạn nhân 500m. Anh ta phải chọn vị trí cách vị trí hiện tại bao xa để xuống
hồ bơi ra cứu nạn nhân sao cho mất ít thời gian nhất, biết rằng vận tốc chạy bộ kéo theo chiếc
thuyền nhỏ của anh ta là 20km/h và vận tốc cheo thuyền là 10km/h.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 11
- Giữa nguyên đồ thị của
1
1
x
y
x
ở bên phải đường thẳng
1x
(tiệm cận đứng)
- Lấy đối xứng đồ thị
1
1
x
y
x
ở bên trái đường
1x
qua Ox
Ví dụ 5: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
từ độ thị hàm số
2
1
x
y
x
- Giữ nguyên đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
ở phần bên phải đường thẳng
2x
- Lấy đối xứng phần đồ thị
2
1
x
y
x
ở bên trái đường
2x
qua Ox
Ví dụ 6: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số
2
4)(y x x
từ đồ thị hàm số
2
4)(y x x
- Giữ nguyên đồ thị hàm số
2
4)(y x x
ở bên phải Oy
- Lấy đối xứng phần đồ thị của
2
4)(y x x
ở bên trái Oy qua Ox
2
2 6 ln(2 3) 4y x x x
với trục hoành.
Ví dụ 2: Hỏi phương trình
23
6 ln( 1)3 1 0xxx 
có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
Đáp số: 3
2
1
23
2
24
0
y x x x 
và trục Ox là bao nhiêu?
Ví dụ 1: Tim m để phương trình
32
2 3 12 2 1 0x x x m
có 3 nghiệm phân biệt
Đáp số:
19
4
2
m
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình
3 2 1 2
3 2 2 02
m
x x
có 3 nghiệm phân biệt.
1.5. Tương giao
a. Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ví dụ 1: Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số
Đáp số: 1
Ví dụ 3: Số giao điểm của đồ thị hàm số
Đáp số: 3
b. Tương giao khi cô lập tham số
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 12
Đáp số:
1
0
2
m
Ví dụ 3: Giá trị m để phương trình
42
13
4
2
1
m
xx 
có 8 nghiệm phân biệt
Đáp số:
0m
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình
3
31xxm
có 6 nghiệm phân biệt.
Đáp số:
01m
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình
3
2
6 9 1 0x x x m
có 6 nghiệm phân biệt.
Đáp số:
15m
Ví dụ 6: Tìm m để đồ thị (C) của hàm số
32
322 mmy xx
cắt trục hoành tại 3 điểm phân
12m
log( ) 2log( 1)mx x
Đáp số:
4
0
m
m
Ví dụ 8: Tìm m để phương trình
2
2ln( 1) ln( ) ( 2) 1x mx x m x
có nghiệm
Đáp số:
4
0
m
m
Ví dụ 9: Tìm m để phương trình
2
11
39
mx xx
có nghiệm.
Đáp số:
2m 
Ví dụ 10: Tìm m để phương trình
2
)1( 4xx m
có 4 nghiệm phân biệt.
Đáp số:
0.8... 0m
Ví dụ 11: Có bao nhiêu số nguyên
m
sao cho bất phương trình sau đúng với mọi
x
thuộc
.
22
log5 log 1 log 4x mx x m
Đáp số:
2 3m
biệt.
Đáp số:
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 13
Ví dụ 12: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực
m
sao cho phương trình
2
1
x
m
x
có
đúng
2
nghiệm phân biệt là:
A.
1;2 0 .
B.
1;2 0 .
C.
D.
1;2 .
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 14
2. MŨ – LOGARIT
a. Đồ thị của hàm mũ, logarit
Ví dụ 1: Đô thi hình bên la cua ham sô nao ?
A.
2
log ( 1)yx
B.
2
log 1yx
C.
3
logyx
D.
3
log ( 1)yx
Ví dụ 2: Đồ thị bên dưới là đồ thị của hàm số nào?
A.
lnyx
B.
lnyx
C.
ln( 1)yx
D.
ln 1yx
Ví dụ 3: Cho đồ thị của các hàm số
,
,
x
yc
(a,b,c dương và khác 1). Chọn đáp án
B.
b c a
D.
c b a
đúng:
A.
abc
C.
bac
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 15
Ví dụ 4: Đâu là đồ thị hàm số
ln( 1)yx
Đáp số: C
,
log
b
yx
và
log
c
yx
(với a, b, c là ba số dương khác 1 cho
rước) như hình vẽ bên. Dựa vào đồ thị
và các tính chất của l thừa hãy so
sánh các số a, c
Ví dụ 5: Cho đồ thị của ba hàm số
log
a
yx
t
ũy
b, .
A.
abc.
B.
c ab.
C.
c ba.
D.
b ac.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 16
Ví dụ 5: Cho các hàm số
log
a
yx
và
log
b
yx
có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng
7x
cắt trục hoành, đồ thị hàm số
log
a
yx
và
log
b
yx
lần lượt tại
,HM
và
.N
Biết rằng
.HM MN
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
7
.ab
B.
2
.ab
C.
2.ab
D.
7.ab
b. Phương trình dạng chứa tham số
Ví dụ 1: Tìm m để phương trinh
1
4 2 2 0
xx
mm
có hai nghiệm phân biệt
12
,x x
va
12
3x x
Đáp số:
4m
Ví dụ 2: Tìm nguyên dương lớn nhất để phương trình
22
1 1 1 1
25 ( 2)5 2 1 0
xx
mm
có
nghiệm.
Đáp số:
5
3
1
3
1
2
5 2m
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình
2
33
log ( 2)log 3 1 0m mx x 
có 2 nghiệm
12
,xx
sao cho
12
. 27x x
.
1m
2
log 4 1
x
xm 
có đúng 2 nghiệm phân biệt.
10m
2
2
log 2 l ()ogx mx
có 1 nghiệm duy nhất.
0m
Đáp số:
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình
Đáp số:
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình
Đáp số:
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 17
Ví dụ 6: Tìm m để bất phương trình
2272
xx
m
có nghiệm
Đáp số:
3m
Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình
3 5 33
xx
m
nghiệm đúng
x
Đáp số:
4m
Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình
4 20
xx
m
có nghiệm
[1;2]x
Đáp số:
20m
Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2
3 3 2
4 3 022
x x m x
x xm
Đáp số:
1m
Ví dụ 10: Tìm m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm
2
123 2
2017 2017 3 03
mxxx
xxmx

Đáp số:
1 2m
Ví dụ 11: Tập nghiệm của bất phương trình
2
12
2 2 ( 1) 1
mx x x
x m x

nghiệm đúng với
x
31m
( 4).9 ( 5).3 1 0
xx
xx
là?
Hướng dẫn: Xét phương trình
( 4).9 ( 5).3 1 0
xx
xx
3
0
1
1
4
1
3
x
x
x
x
x


Xét dấu
( ) ( 4).9 ( 5).3 1
xx
f x x x
x

-1 0

()fx
+ 0 - 0 +
( 1;0)
22
22
7).24 ( 12 4 0
xx
xx
Hướng dẫn: Giải phương trình
22
22
7).24 ( 12 4 0
xx
xx
2
2
2
2
1
4
23
2
x
x
x
x
x


mọi
Đáp số:
V
í dụ 12: Tập nghiệm của bất phương trình
S
Vậy
Ví dụ 13: Tập nghiệm của bất phương trình
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 18
Xét dấu:
x

2
-1 1
2

()fx
+ 0 - 0 + 0 - 0 +
( 2; 1 (1 2)) ;
A. 143562000 đồng.
C. 137500000 đồng.
A.
rx
f x e
A
0r
B. 107232574 người.
2%
S
Tập nghiệm
c. Bà toán thực tế
Ví dụ 1. Anh Việt muôn mua một ngôi nha trị gia 500 triệu đồng sau 3 năm nưa. Vậy ngay từ
bây giờ Việt phải gửi tiết kiệm vao ngân hang theo thể thức lãi kép la bao nhiêu tiền để có đủ
tiền mua nha, biết rằng lãi suất hang năm vẫn không đổi la 8% một năm va lãi suất được tính
theo kỳ hạn một năm? (kết quả lam tròn đến hang triệu)
A. 397 triệu đồng. B. 396 triệu đồng. C. 395 triệu đồng. D. 394 triệu đồng.
Ví dụ 2. Anh Nam gửi 100 triệu đồng vao ngân hang Vietcombank. Lãi suất hang năm không
thay đổi la 7,5%/năm va được tính theo kỳ hạn một năm. Nếu anh Nam hang năm không rút lãi
thì sau 5 năm sô tiền anh Nam nhận được cả vôn lẫn tiền lãi la bao nhiêu? (kết quả lam tròn đến
hang ngan)
B. 1641308000 đồng.
D. 133547000 đồng.
Ví dụ 3. Sư tăng trưởng của một loai vi khuẩn tuân theo công thức , trong đó là
số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng , x (tính thoe giờ) la thời gian tăng
trưởng. Biết sô lượng vi khuẩn ban đầu có 1000 con va sau 10 giờ la 5000 con. Hỏi sau bao lâu
thì sô lượng vi khuẩn tăng gấp 25 lần?
A. 50 giờ. B. 25 giờ. C. 15 giờ. D. 20 giờ.
Ví dụ 4. Tỉ lệ tăng dân sô hang năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,05%. Theo sô liệu của Tổng
Cục Thông Kê, dân sô của Việt Nam năm 2014 la 90.728.900 người. Với tôc độ tăng dân sô như
thế thì vao năm 2030 thì dân sô của Việt Nam la bao nhiêu?
A. 107232573 người.
C. 105971355 người. D. 106118331 người.
Ví dụ 5: Một công nhân làm việc cho một công ty được tăng lương cứ 3 năm tăng 10% so với
mức lương trước. Anh ta mỗi tháng trích ra 20% lương của mình hàng tháng để gửi tiết kiệm
thoe hình thức lãi kép 6%/tháng thì sau 48 tháng anh ta thu được 100 triệu tiền lãi từ ngân
hàng. Hỏi lương khởi điểm của anh ấy là bao nhiêu?
Ví dụ 6: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất
một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ
hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền là bao
nhiêu?
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 19
Ví dụ 7: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất ban đâu
4%
/năm và lãi hàng
năm được nhập vào vốn. Cứ sau một năm lãi suất tăng
0,3%.
Hỏi sau 4 năm tổng số tiền
người đó nhận được bao nhiêu?
Ví dụ 8: Một người đi mua chiếc xe máy với giá 90 triệu đồng. Biết rằng cứ sau một năm giá trị
của chiếc xe chỉ còn
60%
. Hỏi sau bao nhiêu năm thì giá trị chiếc xe chỉ còn 10 triệu.
Ví dụ 9: Đô chân đông
M
cua môt cơn đia chân đươc đo băng thang Richter xac đinh bơi công
thưc: 󰇡
󰇢, trong đo
I
la biên đô tôi đa đươc đo băng đia kê chân,
0
I
la biên đô
chuân.Tinh độ chấn động theo thang Richter trân đông đât ơ California (My) năm 1992 co biên
đô tôi đa
7
0
3,16.10II
(tính chính xác tới hàng phần trăm).
2
1%.
1,15%
6
Ví dụ 10: Anh Nam mong muốn rằng sau năm sẽ có tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải
gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau hàng năm gần nhất với giá trị nào
sau đây, biết rằng lãi suất của ngân hàng là /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
8%
Ví dụ 11: Một người muốn sau 4 tháng có 1 tỷ đồng để xây nhà. Hỏi người đó phải gửi mỗi
tháng là bao nhiêu tiền (như nhau). Biết lãi suất 1 tháng là
Ví dụ 12: Bà Nguyên vay ngân hàng 50 triệ
u đồng và trả góp trong vòng 4 năm với lãi suất
mỗi tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay bà sẽ hoàn nợ cho ngân hàng và số tiền
hoàn nợ mỗi tháng là như nhau. Hỏi mỗi tháng bà phải trả bao nhiêu tiền cho ngân hàng?
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 20
3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
a. Đổi biến số đặc biệt
- Áp dụng công thức hàm hợp bậc nhất:
()
()
F ax b
I f ax b dx c
a
Ví dụ 1: Cho
3
1
( ) 2f x dx
. Tính
1
0
(2 1)I f x dx
Đáp số: 1
Ví dụ 2: Cho
1
0
(5 ) 2f x dx
. Tính
5
0
()I f x dx
Đáp số: 10
Ví dụ 3: Cho
1
0
( ) 2f x dx
. Tính
4
0
sin2 )c 2( osxxI dxf
Đáp số: 1
Ví dụ 4: Cho
ln2
0
( ) 4
xx
f e e dx
. Tính
2
1
)(xI dxf
Đáp số: 4
Ví dụ 5: Cho
1
0
( ) 2f x dx
và
3
0
( ) 5f x dx
. Tính
3
1
()I f x dx
Đáp số: 3
Ví dụ 6: Cho
1
0
( ) 2f x dx
và
3
1
(2 1) 2f x dx
. Tính
5
0
()I f x dx
Đáp số: 6
Ví dụ 7: Cho
4
0
sin2 )cos( 2 1xxf xd
và
3
1
( 1) 2f x dx
. Tính
1
2
()I f x dx
Đáp số: 4
- Áp dụng công thức từng phần:
. ' . '
b
a
bb
aa
u v dx uv v u dx

Ví dụ 1: Cho
1
0
( 1) '( ) 10x f x dx
và
2 (1) (0) 2ff
. Tính
1
0
()I f x dx
Đáp số:
8I 
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 21
Ví dụ 2: Cho
1
0
(5 1) '( ) 6x f x dx
và
6 (1) (0) 3ff
. Tính
1
0
()I f x dx
Đáp số:
3
5
I 
Ví dụ 3: Cho
1
0
(5 1) '(2 ) 6x f x dx
và
1
3 (2) (0) 3
2
ff
. Tính
2
0
()I f x dx
Đáp số:
12
5
I 
Ví dụ 4: Cho
1
0
. '( ) 5
x
e f x dx
và
. (1) (0) 2e f f
. Tính
1
0
. ( )
x
I e f x dx
Đáp số:
3I 
Ví dụ 5: Cho
0
3
1
. '(2 ) 5
x
e f x dx
và
3
1
. (2) (0) 1
2
e f f
. Tính
3
1
0
(2 )
x
I e f x dx
Đáp số:
8
3
I 
Ví dụ 6: Cho
()Gx
là một nguyên hàm của hàm
()gx
và
3 (1) (0) 3GG
. Biết
1
0
(2 1). ( ) 5x g x dx
. Tính
1
0
()I G x dx
.
Đáp số:
1I 
- Áp dụng công thức
()
()
( ) ( )
vx
ux
G x f t dt
'( ) ( ) . '( ) ( ) . '( )G x f v x v x f u x u x
Ví dụ 1: Cho
2
0
( ) sin
x
G x tdt
. Tính
'( )Gx
Đáp số:
22
'( ) sin . 'G x x x
sin .2xx
2 sinxx
Ví dụ 2: Xác định cực trị của hàm số
2
( ) ln
x
x
G x t tdt
với
(0; )x 
Đáp số: cực tiểu tại
3
1
22
x
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 22
Hướng dẫn: Có
'( ) 2 ln2 .2 lnG x x x x x
4ln2 lnx x x
.
'( ) 0Gx
3
0 ( )
1
22
xl
x
.
Dễ dàng kiểm tra thấy hàm số đạt cực tiểu tại
3
1
22
x
- Áp dụng công thức đặc biệt
( ) ( )
bb
aa
f x dx f a b x dx

Ví dụ 1: Cho hàm số
()fx
liên tục trên và thoả mãn
( ) 2 ( ) cos ,f x f x xx 
. Tính
2
2
()I f x dx
Đáp số:
2
3
I
Ví dụ 2: Cho hàm số
()fx
liên tục trên và thoả mãn
( ) ( ) 2 2cos2 ,f x f xxx 
.
Tính
3
2
3
2
()I f x dx
Đáp số:
6I
Ví dụ 3: Cho hàm số
()fx
liên tục trên và thoả mãn
2
( ) (1
1
)
x
f x f x
x

. Tính
1
0
()I f x dx
Đáp số:
ln2
4
I
Ví dụ 4: Cho hàm số
()fx
liên tục trên và thoả mãn
2
( ) 2 (5 ) 25f x f x x x
. Tính
5
0
()I f x dx
Đáp số:
125
9
I
Ví dụ 5: Cho
()fx
là hàm chẵn liên tục trên và
1
0
( ) 2f x dx
. Tính
1
1
()I f x dx
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 23
Đáp số:
4I
Ví dụ 6: Cho
()fx
là hàm chẵn liên tục trên và
2
0
( ) 3f x dx
. Tính
2
2
()
2 1
x
fx
I dx
Đáp số:
3I
Ví dụ 7: Cho
()fx
là hàm chẵn liên tục trên và
1
1
()
10
2 1
x
fx
dx
. Tính
1
0
()I f x dx
Đáp số:
10I
Ví dụ 8: Tính tích phân
2017
2017 2
2
017
0
sin
sin cos
x
I dx
xx
Đáp số:
4
I
Ví dụ 9: Cho hàm số
()fx
lên tục trên thoả mãn
0
(sin 5)x dxf
. Tính
0
sin ).(I x f x dx
Đáp số:
5
2
I
Ví dụ 10: Cho hàm số
()fx
lên tục trên thoả mãn
0
(sin 5)x dxf
. Tính
0
(2 1). (sin )xdf xIx

Đáp số:
5 1I
Ví dụ 11: Cho
()fx
là hàm liên tục trên
0;3
và
( ) (3 ) 1f x f x
với mọi
[0;3]x
. Tính
3
0
1 ( )
dx
K
fx
Đáp số:
3
2
K
b. Ứng dụng
- Thể tích biết diện tích thiết diện
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 24
Ví dụ 1: Tính thể tích khối giới hạn bởi 2 mặt phẳng
0,xx

và thiết diện cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với Ox là đường tròn bán kính
sin x
.
Ví dụ 2: Tính thể tích khối giới hạn bởi 2 mặt phẳng
0, 4xx
và thiết diện cắt bởi mặt
.
x
xe
bởi đường tròn
22
16xy
(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc
với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Tính thể tích của vật thể.
Ví dụ 4: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn
bởi đường tròn
22
16xy
(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc
với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Tính thể tích của vật thể
Ví dụ 5: Tính thể tích phần bôi đậm trong hình vẽ
phẳ
ng vuông góc với Ox là hình vuông có cạnh là .
Ví dụ 3: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 25
Ví dụ 6: Tính thể tích khối in đậm trong hình vẽ sau
Ví dụ 7: Hình chiếc phao bơi hình xuyến với bán kính vòng trong là
25r
cm, bán kính vòng
ngoài
50R
cm. Tính thể tích của chiếc phao bơi
- Vật tròn xoay
Ví dụ 1: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường:   . Tính thể tích khối
tròn xoay tạo thành khi H quay quanh .
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 26
Ví dụ 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
22
1
4,
3
y x y x
quay xung quanh trục
Ox. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành
Ví dụ 5: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
91yx
và trụ hoành. Tính
thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox.
- Hình dạng đồ thị và diện tích
Ví dụ 1: Xác định công thức tính diện tích phần bôi đen trong phần đồ thị sau
Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số
'( )y f x
có đồ thị như hình vẽ. Hãy so sánh
( ), ( ), ( )f a f b f c
Ví dụ 3: Xác định công thức tính diện tích phần tô đậm trong hình sau
Ví dụ 3: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị 
 . Tính thể tích
khối tròn xoay có được khi xoay (H) quanh Ox.
Ví dụ 4: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường   . Tính thể tích khối
tròn xoay có được khi xoay (H) quanh Ox.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 27
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol có kích thước như hình sau
- Bài toán ứng dụng
Ví dụ 1: Một vật đang chuyển động đều với vận tốc
30 /ms
thì chuyện động chậm dần đều
với gia tốc
2
70 /ms
. Hỏi từ lúc giảm tốc đến khi dừng hẳn thì vật di chuyển được quãng
đường bao xa?
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi phần tô đậm trong hình sau
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 28
Ví dụ 2: Vật A chuyển động đều từ D với vận tốc
30 /ms
được
10s
thì chuyển động chậm dần
với gia tốc
2
10 /ms
. Sau khi vật A khởi hành được
8s
thì vật B bắt đầu xuất phát cùng chiều
từ D nhanh dần đều với gia tốc
2
50 /ms
. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc B khởi hành hai vật gặp
nhau? Khi gặp nhau thì vật A đã dừng lại chưa?
Ví dụ 3: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
1
( ) 7 ( / )v t t m s
. Đi được
5(s) người lái xe gặp chướng ngại vật nên phải phanh gấp cho xe chạy chậm dần đều với gia
tốc
2
70 ( )/ms
. Tính quãng đường đi được của o tô từ lúc chuyển bánh đến khi dừng hẳn.
Ví dụ 4: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian
( ) 3 2v t t
(m/s). Tại thời
điểm
2t
(s) vật đã đi được quãng đường là
10
(m). Hỏi tại thời điểm
30t
(s) thì vật đã đi
được quãng đường bao nhiêu?
Ví dụ 5: Một vật đang chuyển động với vận tốc
10
(m/s) thì tăng tốc với gia tốc
2
() ta t t
(
2
/ms
). Hỏi sau
10
(s) kể từ thời điểm tăng tốc, vật đã di chuyển được quãng đường bao
nhiêu?
Ví dụ 6: Một vật đang chuyển động với vận tốc
10
(m/s) thì giảm tốc với gia tốc
2
( / )( ) 4a t t ms
. Tính quãng vật đi được thi khi thay đổi chuyển động đến khi vật tốc đạt
giá trị lớn nhất?
Ví dụ 7: Một đám vi trùng ngày thứ
t
có số lượng là
Nt
. Biết rằng
4000
'
1 0,5
Nt
t
và lúc
đầu đám vi trùng có 250.000 con. Sau 10 ngày số lượng vi trùng là (lấy xấp xỉ hàng đơn vị).
Ví dụ 8 : Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách
đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng
chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng
rượu (đơn vị lít) xấp xỉ bao nhiêu?
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 29
tích phần không gian phía trong trại theo
3
.m
Ví dụ 9: Một Chi đoàn thanh niên đi dự trại ở một đơn vị bạn, họ dự định dựng một lều trại có
dạng parabol (nhìn từ mặt trước, lều trại được căng thẳng từ trước ra sau, mặt sau trại cũng là
parabol có kích thước giống như mặt trước) với kích thước: nền trại là một hình chữ nhật có
chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 30
4. SỐ PHỨC
a. Điểm biểu diễn số phức
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn :
2
2
z
và điểm A trong hình vẽ là một điểm biểu diễn số
phức z. Hổi điểm biểu diễn số phức
1
w
iz
là điểm nào
A. Điểm Q B. Điểm M C. Điểm N D. Điểm P
Đáp số: N
Ví dụ 3: Cho số phức z có
2z
được biểu diễn bởi điểm M. Điểm biểu diễn số phức
1
w
z
được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D?
Ví dụ 2: Số phức z được biểu diễn bởi điểm M. Hỏi số phức 2z được biểu diễn bởi điểm nào
trong các điểm N, P, Q, R.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 31
Đáp số: B
Ví dụ 4: Cho số phức z thay đổi, luôn có
2.z
Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức
1 2 3w i z i
là:
A. Đường tròn
2
2
3 2 5.xy
B. Đường tròn
2
2
3 20.xy
C. Đường tròn
2
2
3 20.xy
D. Đường tròn
2
2
3 2 5.xy
Ví dụ 5: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
3.z
Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn
số phức
3 2 2w i i z
là một đường tròn. Hãy tính bán kính của đường tròn đó.
A.
3 2.
B.
3 5.
C.
3 3.
D.
3 7.
Ví dụ 6 : Trong mặt phẳng phức, Cho số phúc z thõa mãn
3 4 2zi
và
w 2z 1i
.Tập
hợp biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm I, bán kính R. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R.
A.
3; 4 , 2IR
B.
5; 7 , 4IR
C.
4; 5 , 4IR
D.
7; 9 , 4IR
Ví dụ 7 : Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
3 4 2.zi
Trong mặt phẳng
Oxy
tập hợp điểm
biểu diễn số phức
21w z i
là hình tròn có diện tích:
A.
9S
. B.
12S
. C.
16S
. D.
25S
.
Ví dụ 8: Cho thỏa mãn
z
thỏa mãn
10
2 1 2i z i
z
. Biết tập hợp các điểm biểu diễn
cho số phức
3 4 1 2w i z i
là đường tròn
I
, bán kính
R
. Khi đó.
A.
1; 2 .,5IR
B.
1;2 , .5IR
C.
1;2 , 5.IR
D.
1; 2 , 5.IR
b. Tổng bậc cao của số phức
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 32
Ví dụ 1: Gọi
12
,zz
là hai nghiệm của phương trình phức
2
3 4 3 0zz
với
2
z
có phần ảo âm.
Tính
2017 2016
12
.P z z
Hướng dẫn:
2017 2016
12
.P z z
2016
1 2 1 1
.z z z z
Ví dụ 2: Gọi
12
,zz
là hai nghiệm của phương trình phức
2
2 4 0zz
. Tính
2017 2017
12
P z z
.
Hướng dẫn:
12
,31zz i
33
12
8zz
. Vậy
672
12
8 zPz
672 2017
8 .2 2
Ví dụ 3: Tìm phần phần ảo của số phức sau:
2 3 200
1 1 1 1 ... 1i i i i
A.
10
21
B.
10
21
C.
100
21
D.
10
21
Hướng dẫn: Dùng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.
1
11
n
n
i
Su
i
201
11i
i

. Chú ý:
2
1 2i i
Ví dụ 4: Mô đun của số phức
2 3 19
1 1 1 1 .... 1z i i i i
bằng:
A.
20z
B.
10
21z 
C.
1z
D.
10
21z 
Hướng dẫn: Tương tự Ví dụ 3.
Ví dụ 5: Tính
2 3 2017
2 3 ... 2017S i i i i
Hướng dẫn: Có
2 3 4 2017 2018
2 3 ... 2016 2017iS i i i i i
S iS
2 3 2017 2018
... 2017iii i i
2017
2018
1
2017
1
i
ii
i

2017.( 1)i
2017 i
. Vậy
2017
1
i
S
i
c. GTLN – GTNN của mô đun số phức
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn:
12z i z i
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
z
Đáp số:
1
2
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn:
3 4 4zi
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
z
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 33
Đáp số:
1
Ví dụ 3: Cho hai số phức
12
,zz
thỏa mãn
1 2 2
5 5, 1 3 3 6z z i z i
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của
12
zz
Hướng dẫn: Gọi
,MN
biểu diễn
12
,zz
ta có:
M thuộc đường tròn tâm
( 5;0)I
bán kính
5R
. N thuộc đường trung trực của AB với
( 1;3)A
và
(3;6)B
. Vậy MN nhỏ nhất bằng
( , )d I AB R
Đáp số:
5
2
Ví dụ 4: Xét số phức
0z
thỏa mãn
3 . 1 2 6z z z z iz
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
11
43
z
. B.
11
32
z
. C.
1
1
2
z
. D.
1
4
z
.
Hướng dẫn: Cô lập
z
để láy được mô đun 2 vế. Từ đó tính được
z
.
Ví dụ 5 Cho số phức z thoả mãn
3 4 5zi
.Gọi M và m lần lượt là gia trịn lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của bểu thức
22
2P z z i
.Tính modun của số phức
w M mi
A.
2 314w
B.
2 309w
C.
1258w
D.
3 137w
Hướng dẫn: Biểu thức
22
2P z z i
0ax by c P
(d). Đường thẳng (d) có điểm
chung với đường tròn
3 4 5zi
( , )dI Rd
Pm M 
Ví dụ 6: Trong các số phức z thỏa mãn
2 4 2,zi
gọi
1
z
và
2
z
là số phức có môđun lớn
nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của
1
z
và
2
z
bằng:
A.
8.i
B. 4. C.
8.
D. 8.
Ví dụ 7: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1 2.z 
Tìm giá trị lớn nhất của
2.T z i z i
A.
max 8 2.T
B.
max 4.T
C.
max 4 2.T
D.
max 8.T
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 34
Hướng dẫn: Gọi I là tâm đường tròn
12z 
. Biểu thức T hiểu dưới dạng
T MA MB
thì
I là trung điểm của AB. Theo công thức trung tuyến:
2 2 2
2
24
M B
M
BMA A
I 
22
0MA MB k
(không đổi). Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski
2
22
2 MAMA MB MB
tìm được giá trị lớn nhất của
T MA MB
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn
1z
. Đặt
21
2
z
A
iz
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
1A
. B.
1A
. C.
. D.
1A
.
Hướng dẫn: Rút
z
theo
A
được
21
2
A
z
Ai
221A Ai
. Gọi
A x yi
ta được:
221A Ai
là phương trình hình tròn. Bài toán trở thành bài toán tìm GTLN, GTNN
của
TA
với điểm biểu diễn A nằm trong hình tròn.
Ví dụ 9: Cho sô phưc
z
, tim gia tri lơn nhât cua
z
biêt răng
z
thoa man điêu kiên
23
11
32
i
z
i


A. 3. B. 2. C. 1. D.
2.
Ví dụ 10: Cho hai số phức
12
,zz
thoả mãn
1
4 3 2zi
và
22
2 3 1 2izzi
. Tìm
GTNN của
12
P zz
Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 3.
Đáp số:
34
2
2
Ví dụ 11: Biết rằng số phức z thỏa mãn
( 3 )( 1 3 )u z i z i
là một số thực. Tìm giá trị nhỏ
nhất của |z|.
Hướng dẫn: Gọi
z x yi
thay vào
u
. Cho phần ảo của
u
bằng 0 ta được
( , )xy
thoả mãn
phương trình đường thẳng. Giá trị nhỏ nhất của
z
là khoảng cách từ O đến đường thẳng đó.
Đáp số:
22
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 35
Ví dụ 12: Cho số phức
z
thỏa mãn
4
2
i
z
z

. Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của
||z
. Tính
Mm
?
A.
2 5.
B.
2.
C.
5.
D.
13
.
Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức:
1 2 1 2
zzz z
. Dấu “=” xảy ra khi
12
z kz
với
0k
.
Ta có:
4
2
4 i
z
z
z
z
4
22 z
z

2
2
20
20
4
4
zz
zz

. Giải hệ bất phương trình
này được
11 55 z
. Do bất đẳng thức đánh giá 1 lần nên đảm bảo dấu bằng xảy
ra. Vậy
25Mm
.
Ví dụ 13: Cho 3 số phức
1 2 3
,,z z z
phân biệt thỏa mãn
1 2 3
| | | | | | 3z z z
và
1 2 3
1 1 1
z z z

. Biết
1 2 3
,,z z z
lần lượt được biểu diễn bởi các điểm
,,A B C
trên mặt phẳng phức. Tính góc
ACB
?
A.
60
B.
90
C.
150
D.
120
.
Hướng dẫn: Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn
1 2 3
,,zzz
thì A,B,C nằm trong đường
tròn tâm O bán kính 3 (không quan trọng bán kính). Từ
1 2 3
1 1 1
z z z

1
2 2 2
1
3
2
2
3
zz
z
z
zz
231
z z z 
, hay
''OA OB OC

(với A’, B’, C’ là điểm đối xứng của A, B, C qua Ox).
Có A’, B’, C’ cùng thuộc đường tròn O mà
''OA OB OC

nên OA’C’B’ là hình bình hành và
do đó là hình thoi. Mà đường chéo OC’ bằng cạnh hình thoi nên đây là hình thoi đặc biệt với
0
' ' ' 120A C B
. Vậy
0
120ACB
Ví dụ 14: Cho số phức
z
thoả mãn điều kiện
1 2 1 2 6z i z i
. Tìm GTLN, GTNN của
Pz
Hướng dẫn: Ta có
0
0z
;
1
12zi
;
2
12z i
. Nên
12
0
2
z
z
z
.
Tính
6 / 2 3a 
;
12
2 2 5czz
5c
. Vậy có ngay
22
2bab
.
Vậy
max 3P
và
min 2P
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 36
Ví dụ 15: Cho số phức thoả mãn điều kiện
2 2 6zz
. Tìm GTLN, GTNN của
1P z i
Đáp số: Đang chờ bấm máy…
Hướng dẫn:
2 2 6zz
là phương trình Elip dạng chính tắc với
3a
,
2c
5b
Vậy phương trình chính tắc của Elip là:
22
1
95
xy

2
5
9
3
xy 
Có
22
2
11P x y
2
2
11
5
9
3
x x



1,2
fx
Bấm TABLE trên máy Casio trên đoạn
3;2
cho cả hai hàm
1,2
fx
tìm được GTLN, GTNN
của
2
P
.
Ví dụ 16: Cho số phức
z
thoả mãn điều kiện
(1 ) 1 2 (1 ) 1 2 2 5i z i i z i
. Tìm
GTLN, GTNN của
Pz
Đáp số:
min 0P
và
1
10
max
2
P OF
Hướng dẫn: Điều kiện giả thiết tương đương với
1 3 1 3
10
2 2 2 2
z i z i
10
2
a
Tương tự Ví dụ 14 tính được
10
2
c
. Vậy đây không phải Elip mà là đoạn thẳng
12
FF
. Mà O
lại là trung điểm của
12
FF
. Vậy
min 0P
và
1
10
max
2
P OF
Ví dụ 17: Cho 2 số phức
12
,zz
thoả mãn
12
zz
và
1 2 2
z z z
. Tính giá trị
22
1
1 2
2
zz
P
Đáp số: 1
zz

ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 37
Hướng dẫn: Vì biểu thức
P
chứa ẩn phụ là
1
2
z
z
z
nên không nhất thiết phải tìm từng số
12
,zz
(thực tế không tìm được) mà chỉ cần tìm
1
2
z
z
.
Từ giả thiết ta có:
1
2
1
z
z
và
1
2
11
z
z

. Gọi
1
2
z
z x yi
z
, ta có hệ:
22
2
2
1
11
x
y
y
x

Rất dễ giải được hệ phương trình này, ta được
3
2
1
2
z i
.
Vậy
22
31
2222
1 3
iP i



1
Ví dụ 18: Trong các cặp số phức
12
,zz
thoả mãn
1 2 2
(2 3 )z i z z
. Tìm số thực
0k
lớn
nhất sao cho
12
z k z
.
Đáp số:
13 1
Hướng dẫn: Đặt
1
2
z
z
z
. Bài toán tương đương với
2 3 1zi
. Tìm giá trị lớn nhất của
Pz
. Dễ dàng giải được giá trị lớn nhất bằng
13 1OI R
, với I là tâm đường tròn
2 3 1zi
.
3 2 4 2 10zz
. Tìm GTNN của
z
Bài toán trở thành
3 4 10MA MB
, tìm GTLN, GTNN của
OM
. Trong đó,
( 2;0)A
,
(2;0)B
và
O
là gốc toạ độ. Thấy rằng O là trung điểm của AB.
Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
2 2 2
2
24
M B
O
BMA A
M 
. Áp dụng BĐT
bunhiakovski, ta có:
2
2 2 2 2
100 3 4 43MA MB MBMA
22
25 BMA M
. Vậy
22
4MA MB
. Thay vào công thức trung tuyến được
2
2 1 1OM
. Vậy
1OM
. Do đánh
giá BĐT một lần nên đảm bảo dấu “=” xảy ra. Vậy GTNN của
z
bằng 1.
Ví dụ
19: Cho số phức thoả mãn điều kiện
z
Đáp số: 1
Hướng dẫn:
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 38
Ví dụ 20: Cho số phức thoả mãn điều kiện
3 4 10z i z i
. Tìm GTNN của
z
Đáp số: 1
Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 19.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 39
5. KHỐI ĐA DIỆN
a. Thể tích:
Ví dụ 1: Cho hình chóp
.S ABCDEF
có
ABCDEF
là hình lục giác đều tâm
O
và có thể tích
V
.
Gọi
M
laftrung điểm của cạnh
SD
. Mặt phẳng
()AMF
cắt các cạnh
,,SB SC SE
lần lượt tại
,,H K N
. Tính thể tích của hình chóp
.S AHKMNF
theo
V
.
A.
1
3
V
B.
1
9
V
C.
13
36
V
D.
14
27
V
Ví dụ 2: Thể tích của khối đa diện tạo bởi hình sau là:
A.
3
328cm
. B.
3
456cm
. C.
3
584cm
. D.
3
712cm
.
Ví dụ 3: Cho hinh chop
.S ABCD
co
ABCD
la hinh thoi tâm
O
,
5, 4 , 2 2 .AB a AC a SO a
Goi
M
la trung điêm
SC
. Biêt
SO
vuông goc vơi mặt phăng
ABCD
, tinh thê tich khôi chop
.M OBC
.
A.
3
22a
. B.
3
2a
. C.
. D.
3
4a
.
Ví dụ 4: Cho hinh lăng tru
. ' ' 'ABC A B C
va
M
la trung điêm cua
'CC
. Goi khôi đa diên
()H
la phân con lai cua khôi lăng tru
. ' ' 'ABC A B C
sau khi căt bo đi khôi chop
.M ABC
. Ty sô thê
tich cua
()H
va khôi chop
.M ABC
la:
A.
1
6
. B.
6
. C.
1
5
. D.
5
.
b. Tỷ số thể tích
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 40
Ví dụ 1: Cho hình chóp
.S ABCD
với
, , ,SA AB SB SC SC SA SA SB SC a
. Gọi
', 'BC
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
S
trên
AB
và
AC
. Thể tích của khối chóp
. ' 'S AB C
là:
A.
3
1
6
a
B.
3
1
24
a
C.
3
1
12
a
D.
3
1
48
a
Ví dụ 2: Cho khối chóp
.S ABC
. Trên 3 cạnh
,,SA SB SC
lần lượt lấy 3 điểm
' ' '
,,A B C
sao cho
' ' '
1 1 1
;;
3 4 2
SA SA SB SB SC SC
. Gọi V và
'
V
lần lượt là thể tích của các khối chóp
.S ABC
và
' ' '
.S ABC
. Khi đó tỷ số
'
V
V
là:
A. 12 B.
1
12
C. 24 D.
1
24
Ví dụ 3: Cho khối lăng trụ đều
.ABC A B C
và M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng
()B C M

chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó:
A.
6
5
B.
7
5
C.
1
4
D.
3
8
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành, có thể tích bằng
V
.
Gọi
I
là trọng tâm tam giác
.SBD
Một mặt phẳng chứa
AI
và song song với
BD
cắt các cạnh
,,SB SC SD
lần lượt tại
, , .B C D
Khi đó thể tích khối chóp
.S AB C D
bằng:
A.
.
18
V
B.
.
9
V
C.
.
27
V
D.
.
3
V
Ví dụ 5: Cho khối chóp tứ giác đều
.S ABCD
. Mặt phẳng chứa
AB
đi qua điểm
C
nằm trên
SC
chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số
SC
SC
.
A.
51
2
. B.
2
3
. C.
1
2
. D.
4
5
.
Ví dụ 6: Cho khối lăng trụ đều
' ' '
.ABC ABC
và
M
là trung điểm của cạnh
AB
. Mặt phẳng
''
()BC M
chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó:
A.
7
5
B.
6
5
C.
1
4
D.
3
8
Ví dụ 7: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có độ dài cạnh đáy bằng
.a
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
SAC
. Mặt phẳng chứa
AB
và đi qua
G
cắt các cạnh
,SC SD
lần lượt tại
M
và
N
. Biết mặt
bên của hình chóp tạo với đáy một góc bằng
o
60
. Thể tích khối chóp
.S ABMN
bằng:
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 41
A.
3
3
.
8
a
B.
3
33
.
16
a
C.
3
3
.
4
a
D.
3
3
.
16
a
Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC. Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh bên AA,
CC sao cho
MA MA
và
4NC NC
. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ
diện GABC, BBMN, ABBC và ABCN, khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?
A. Khối ABCN B. Khối GABC
C. Khối ABBC D. Khối BBMN
Ví dụ 9: Cho khôi lăng tru
.ABC A B C
. Goi
M
,
N
lân lươt la trung điêm cua hai canh
AA
va
BB
. Măt phăng
C MN
chia khôi lăng tru đa cho thanh hai phân. Goi
1
V
la thê tich khôi
.C MNB A
và
2
V
la thê tich khôi
.ABC MNC
. Khi đo ty sô
1
2
V
V
băng:
A.
2
3
. B.
2
. C.
1
2
. D.
3
2
.
Ví dụ 10: Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
. Gọi
M
là điểm đối xứng với
C
qua
D
;
N
là
trung điểm của
SC
, mặt phẳng
BMN
chia khối chóp
.S ABCD
thành hai phần. Tính tỉ số thể
tích giữa hai phần đó.
A.
9
5
B.
8
5
C.
7
6
D.
7
5
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 42
6. KHỐI TRÒN XOAY
r
6
A.
2
16 r
B.
2
18 r
C.
2
9 r
D.
2
36 r
180cm
80cm
Ký hiệu
1
V
là thể tích của thùng gò được theo cách thứ nhất và
2
V
là tổng thể tích của ba thùng
gò được theo cách thứ 2. Tính tỉ số
1
2
V
V
a. Thể tích 1 phần khối tròn xoay
7
Ví dụ 1: Người ta xếp viên bi có cùng bán kính vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các
viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với viên bi xung quanh và mỗi
viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của
cái lọ hình trụ là:
90cm
Ví dụ 2: Từ tấm tôn hình chữ nhật cạnh x người ta làm các thùng đựng nước
hình trụ có chiều cao bằng theo 2 cách (Xem hình minh họa dưới)
Cách 1. Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng
Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành 3 tấm bằng nhau và gò các tấm đó thành mặt xung quanh
của thùng.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 43
A.
3
B.
1
3
C.
1
2
D.
12
Ví dụ 3: Một hình trụ tròn xoay có diện tích toàn phần là
1,S
diện tích đáy là
.S
Cắt đôi hình
trụ này bằng 1 mặt phẳng vuông góc và đi qua trung điểm của đường sinh, ta được 2 hình trụ
nhỏ có diện tích toàn phần là
2.S
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
21
1
.
2
S S S
B.
21
1
.
2
SS
C.
21
2.SS
D.
21
1
( ).
2
S S S
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại
A
và
B
,
AB BC a
,
2AD a
,
SA ABCD
và
2SA a
. Gọi E là trung điểm của AD. Kẻ
EK SD
tại K. Bán
kính mặt cầu đi qua sáu điểm S, A, B, C, E, K bằng:
A.
1
2
a
B.
a
C.
6
2
a
D.
3
2
a
Ví dụ 5: Một hình hộp chữ nhật kích thước
66h
chứa một khối cầu lớn có bán kính bằng
3
và
8
khối cầu nhỏ bán kính bằng
3
2
. Biết rằng các khối cầu đều tiếp xúc nhau và tiếp xúc với
các mặt của hình hộp (như hình vẽ). Thể tích của hình hộp là:
A.
64 32 7.
B.
108 36 7.
C.
108 108 7.
D.
32 32 7.
Ví dụ 6: hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh
X
của một
hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích
V
của vật thể tròn xoay
khi quay mô hình trên xung quanh trục
XY
.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 44
A.
125 1 2
6
V
. B.
125 5 2 2
12
V
.
C.
125 5 4 2
24
V
. D.
125 2 2
4
V
.
Gọi
1
là tổng diện tích của 3 quả bóng bàn,
2
là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số
12
/SS
bằng:
A. 1. B. 2. C.
3
2
. D.
6
5
.
I
I
chiều cao của khối nón này bằng bao nhiêu?
A.
2
h
B.
3
h
C.
2
3
h
D.
3
3
h
Ví dụ
7: Người ta bỏ 3 quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy
bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 3 lần đường kính của quả bóng bàn.
S
S
Ví dụ 8: Cho khối nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có
đỉnh là tâm của đáy và đáy là một thiết diện song song với đáy
của hình nón đã cho. Để thể tích của khối nón đỉnh lớn nhất thì
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 45
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB=a, biết SA=2a và
SAABC) , gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB và SC. Xác định tâm I và
tính bán kính R của mặt cầu qua các điểm A, B, C, H, K .
A. I là trung điểm của AC,
R=a 2
. B. I là trung điểm của AC,
a2
2
R
.
C. I là trung điểm của AB,
Ra
. D. I là trung điểm của AB,
2
a
R
b. GTLN – GTNN của thể tích
Ví dụ 1: Cho hình nón có bán kính
x
, chiều cao
y
nội tiếp mặt cầu bán kính
2
a
R
. Xác định
,xy
sao cho khối nón có thể tích lớn nhất? (Xem hình vẽ bên)
A.
2 2 4
,
33
aa
xy
. B.
2
a
xy
.
C.
22
,
33
aa
xy
. D.
2
3
a
xy
.
Ví dụ 2: Một khúc gỗ có dạng hình lăng trụ đứng với đáy là hình thang cân, đáy nhỏ bằng
a
,
đáy lớn bằng
4a
, cạnh bên bằng
5
2
a
; có chiều cao bằng
. Người ta chế tac khúc gỗ đó
thành một khúc gỗ có dạng hình trụ (hình vẽ dưới đây). Thể tích
V
lớn nhất của khúc gỗ sau
khi được chế tac là bao nhiêu?
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 46
A.
3
43
3
a
V
. B.
3
23
3
a
V
. C.
3
43Va
. D.
3
23Va
.
V
A.
3
4V
B.
3
V
C.
3
2V
D.
3
6V
ABA'B'
ACA'C'
20 m
5m
xm
BC
. Hình lăng trụ có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu ?
A. Thể tích lớn nhất
3
250( )Vm
B. Thể tích lớn nhất
3
5 2( )Vm
C. Thể tích lớn nhất
3
50( )Vm
D. Thể tích lớn nhất
3
2500( )Vm
Ví dụ 5: Một xí nghiêp chê biên thưc phẩm muôn sản xuât nhưng loai hộp hình tru có thê tích
V
cho trươc đê đưng thit bò. Goi
, 0, 0x h x h
lân lươt la độ dai ban kinh đay va chiều cao
cua hình tru. Đê sản xuât hộp hinh tru tôn ít vât liêu nhât thì giá tri cua tông
xh
là:
A.
3
2
V
. B.
3
3
2
V
. C.
3
2
2
V
. D.
3
3
2
V
.
V
A.
3
2
V
R
. B.
3
V
R
. C.
2
V
R
. D.
V
R
.
Ví dụ 7: Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi và có chiều rộng là a, chiều dài là b, người ta
gấp lại để tạo thành một hình trụ có chiều cao bằng a. Khối trụ được tạo thành có thể tích lớn
nhất khi:
Ví dụ 3: Cho mộ
t hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều .Thể tích của hình lăng trụ là .
Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là:
Ví dụ 4:
Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng. Hai mặt bên
và là hai tấm kính hình chữ nhật dài , rộng . Gọi là độ dài của cạnh
Ví dụ
6: Khi sản xuất vỏ hộp sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phi
nguyên liệu làm vỏ hộp là ít nhất, tức là diện tích toàn phẩn của hình trụ nhỏ nhất. Muốn thể
tích khối trụ đó bằng và diện tích toàn phẩn hình ưụ nhỏ nhất thì bản kính đáy bằng:
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 47
A.
3ba
B.
ba
C.
5ba
D.
2ba
Ví dụ 8: Trong cac hinh tru co thê tich
V
không đôi, ngươi ta tim đươc hinh tru co diên tich
toan phân nho nhât. Hay so sanh chiêu cao
h
va ban kinh đay cua hinh tru nay.
A.
2
R
h
B.
2hR
C.
2hR
D.
hR
98cm
30cm
A.
22 lít
B.
20 lít
C.
25 lít
D.
30 .lít
5m
1m
2m
20cm
10cm
A.
1180
viên;
8800
lít B.
1182
viên;
8820
lít
C.
1180
viên;
8820
lít D.
1182
viên;
8800
lít
Ví dụ 11: Người thợ cần làm một cái bể cá hai ngăn, không
3
1,296 m
,,abc
,,abc
A.
3,6 , 0,6 , 0,6a m b m c m
.
B.
2,4 , 0,9 , 0,6a m b m c m
.
Ví dụ
9: Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài , chiều rộng được uốn lại
thành mặt xung quanh của một thùng đựng nước. Biết rằng chỗ mối ghép mất 2cm. Hỏi thùng
đựng tối đa được bao nhiêu lít nước?
Ví dụ 10: Người ta muốn xây dựng một bồn
chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong
một phòng tắm. Biết chiều dài, chiều rộng,
chiều cao của khối hộp đó lần lượt là ,
, (như hình vẽ). Biết mỗi viên gạch có
chiều dài , chiều rộng , chiều cao
. Hỏi người ta cần sử dụng ít nhất bao
5cm
nhiêu viên gạch để xây hai bức tường phía
bên ngoài của bồn. Bồn chứa được bao nhiêu
lít nước? (Giả sử lượng xi măng và cát không
đáng kể)
có nắ
p ở phía trên với thể tích . Người thợ này
cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ
nhật với 3 kích thước như hình vẽ. Hỏi người thợ
phải thiết kế các kích thước bằng bao nhiêu để đỡ
tốn kính nhất, giả sử độ dầy của kính không đáng kể.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 48
C.
1,8 , 1,2 , 0,6a m b m c m
.
D.
1,2 , 1,2 , 0,9a m b m c m
.
Ví dụ 12: Một sợ dây kim loại dài
60 cm
được cắt ra thành 2 đoạn. Đoạn dây thứ nhất có độ
dài
x
được uốn thành một hình vuông. Đoạn dây còn lại được uốn thành một vòng tròn. Để
tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì giá trị
x
xấp xỉ bao nhiêu centimet?
A.
28,2
B.
33,6
C.
30
D.
36
Ví dụ 13: Cho hình lăng trụ tam giác
. ' ' 'ABC A B C
.Một đường thẳng đi qua trung điểm I của
AB và song song với BC cắt AC tại J. Mặt phẳng
'IJA
chia khối lăng trụ thành 2 khối. Tính tỉ
số thể tích giữa 2 khối đó (số bé chia cho số lớn).
A.
1
11
B.
1
6
C.
1
3
D.
1
4
V
A.
3
4V
B.
3
V
C.
3
2V
D.
3
6V
Ví dụ 15: Phải xây dựng một hố ga, dạng hình
hộp chữ nhật có thể tích
3
3.m
Tỉ số giữa
chiều cao của hố
h
và chiều rộng của đáy
y
bằng
4
. Biết rằng hố ga chỉ có các mặt
x
A.
1
B.
1,5
C.
2
D. 3
Ví dụ 16: Cho mặt cầu tâm
,O
bán kính
.R
Xét mặt phẳng
P
thay đổi cắt mặt cầu theo giao
tuyến là đường tròn
.C
Hình nón
N
có đỉnh
S
nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn
C
và có chiều cao
h h R
. Tính
h
để thể tích khối nón được tạo nên bởi
N
có giá trị lớn
nhất.
x
y
h
h - chiều cao
x - chiều dài
y - chiều rộng
Ví dụ 14:
Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều .Thể tích của hình lăng trụ là .
Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là:
bên và mặt đáy (tức không có mặt trên).
Chiều dài của đáy gần nhất với giá trị
nào ở dưới để người thợ tốn ít nguyên vật
liệu để xây hố ga.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 49
A.
3.hR
B.
2.hR
C.
4
.
3
R
h
D.
3
2
R
h
.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 50
7. TOẠ ĐỘ OXYZ
a. GTLN- GTNN khoảng cách
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(1;2;2)A
;
(5,4,4)B
và mặt
phẳng
( ):2 6 0P x y z
. Tọa độ điểm M nằm trên (P) sao cho
22
MA MB
nhỏ nhất là:
A. M(3;3;3) B. M(2;1;9) C.
1;1;5M
D.
1; 1;7M
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;2;2 , 5;4;4AB
và mặt
phẳng
: 2 – 6 0P x y z
. Tọa độ điểm
M
nằm trên
P
sao cho
22
MA MB
nhỏ
nhất là:
A.
1;1;5M
B.
0;0;6M
C.
1;1;9M
D.
0; 5;1M
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
(1;1;1), (0;1;2), ( 2;0;1)A B C
,
( ): 1 0P x y z
. Tìm điểm
()NP
sao cho
2 2 2
2S NA NB NC
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
1 5 3
;;
244
N



. B.
(3;5;1)N
. C.
( 2;0;1)N
. D.
31
; ; 2
22
N




.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
( ):2 2 14 0P x y z
,
2 2 2
( ): 2 4 2 3 0S x y z x y z
. Tìm tọa độ điểm
()MS
sao cho khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
()P
là lớn nhất.
A.
(0;0;2)M
B.
( 1; 1; 3)M 
. C.
(3; 3;1)M
. D.
(1;0;2)M
.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng
11
:
2 3 1
x y z
và hai điểm
1;2; 1A
,
3; 1; 5B 
. Gọi d là
A.
35
2 2 1
x y z

. B.
2
1 3 4
x y z

.
C.
1 2 1
1 2 1
x y z

. D.
21
3 1 1
x y z

.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt phẳng
: 2 2 3 0P x y z
và mặt
cầu
2 2 2
: 2 4 2 5 0.S x y z x y z
Giả sử
MP
và
NS
sao cho
MN
cùng
phương với vectơ
1;0;1u
và khoảng cách giữa
M
và
N
lớn nhất. Tính
.MN
A.
3.MN
B.
1 2 2.MN 
C.
3 2.MN
D.
14.MN
đường thẳ
ng đi qua điểm A và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng
d là lớn nhất. Phương trình của d là:
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 51
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
(2; 1;1)A
. Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
A.
2 6 0x y z
B.
2 6 0x y z
C.
2 6 0x y z
D.
2 6 0x y z
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có
phương trình:
11
2 1 3
x y z

. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và
khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
A.
7 5 77 0x y z
B.
7 5 77 0x y z
C.
7 5 77 0x y z
D.
7 5 77 0x y z
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số
2 ; 2 ; 2 2x t y t z t
. Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và
A.
2 9 0xz
B.
2 9 0xy
C.
2 9 0xz
D.
2 9 0xy
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
12
:
2 1 2
x y z
d


và điểm
(2;5;3)A
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn
nhất.
A.
4 3 0x y z
B.
4 3 0x y z
C.
4 3 0x y z
D.
4 3 0x y z
(0; 1;2)M
( 1;1;3)N
(0;0;2)K
A.
30x y z
B.
2 3 0x y z
C.
– 3 0x y z
D.
30x y z
I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa và có
khoảng cách đến (d) là lớn nhất.
Ví dụ 11: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm
và . Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) là
lớn nhất.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 52
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
(9;1;1)M
, cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
A.
1
7 3 3
x y z
B.
1
2 3 3
x y z
C.
1
27 3 3
x y z
D.
1
27 3 3
x y z
Ví dụ 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
(1;2;3)M
, cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức
2 2 2
1 1 1
OA OB OC

có giá trị nhỏ
nhất.
A.
( ): 2 3 14 0P x y z
B.
( ): 2 3 14 0P x y z
C.
( ): 2 3 14 0P x y z
D.
( ): 2 3 14 0P x y z
Ví dụ 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
(2;5;3)M
, cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức
OA OB OC
có giá trị nhỏ
nhất
A.
( ): 1
2 6 10 5 10 15 3 6 15
x y z
P
B.
( ): 1
2 6 10 5 10 15 3 6 15
x y z
P
C.
( ): 1
2 6 10 5 10 15 3 6 15
x y z
P
D.
( ): 1
2 6 10 5 10 15 3 6 15
x y z
P
b. GTLN-GTNN góc
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q):
2 5 0x y z
và đường
thẳng
1 1 3
:
2 1 1
x y z
d

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với
mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 53
A.
40yz
B.
40xz
C.
40yz
D.
40xz
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
( 1; 1;3), (1;0;4)MN
và mặt
phẳng (Q):
2 5 0x y z
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một
góc nhỏ nhất.
A.
( ): 4 0P x z
B.
( ): 4 0P y z
C.
( ): 4 0P y z
D.
( ): 4 0P y z
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:2
2
xt
d y t
zt

. Viết phương
trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
A.
5 2 9 0xyz
B.
5 2 9 0x y z
C.
5 2 9 0xyz
D.
5 2 9 0x y z
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
12
:
1 2 1
x y z
d


và
2
21
:
2 1 2
x y z
d


. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
1
d
sao cho góc giữa mặt phẳng
(P) và đường thẳng
2
d
là lớn nhất.
A.
7 5 9 0x y z
B.
7 5 9 0x y z
C.
7 5 9 0x y z
D.
7 5 9 0x y z
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 2 1
:
1 1 1
x y z
d

và
1;0)
A.
( ): 2 1 0P x y z
B.
( ): 2 1 0P x y z
C.
( ): 2 1 0P x y z
D.
( ): 2 1 0P x y z
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q):
2 2 0x y z
và điểm
(1;1; 1)A
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và
tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
2;A(
điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt
phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất.
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Trang 54
A.
( ): 0P y z
hoặc
( ):2 5 6 0P x y z
B.
( ): 0P y z
hoặc
( ):2 5 6 0P x y z
C.
( ): 0P x z
hoặc
( ):2 5 6 0P x y
D.
( ): 0P y z
hoặc
( ):2 5 6 0P x y z
| 1/54
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
BÀI TẬP CỦNG CỐ PHẦN 8 – 9 – 10 ĐIỂM
TRONG ĐỀ THI THPTQG MÔN TOÁN 2017
Chi tiết xem thêm tại http://estudy.edu.vn 1. HÀM SỐ
1.1. Cực trị của hàm số a. Hàm bậc 3:
Ví dụ 1: Hàm số y f ( ) x có 2 3
f '(x)  x(x 1) (x 1) có bao nhiêu cực trị A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Ví dụ 2: Hàm số 3 2 y
x x có bao nhiêu cực trị A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số 3 2
y x mx  (m 1)x  5 đạt cực đại tại x  1 A. m  2 B. m  2  C. m  2 D. m 
Ví dụ 4: Tìm điều kiện của m để hàm số 3 2
y x x m
 (m 1)x m  4 có cực trị  3  21 m  3  21 3  21 2 3  21 3  21 A.  m  B.  C. m  D. m  2 2  3  21 2 2 m   2 1
Ví dụ 5: Biết rằng có hai giá trị của m để hàm số 3 2 y
x mx  (m  2)x  5 có hai cực trị 3
x , x thoả mãn 2 2
x x  26 là m và m . Giá trị của m m bằng: 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1 3 A. B. C. 1 D. 2 2 2
Ví dụ 6: Cho hàm số 3 2
y  2x ax 12x 13 . Tìm a để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
sao cho chúng cách đều trục tung. A. a  0 B. a  0 C. a  2 D. a  Trang 1
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 3 1
Ví dụ 7: Cho hàm số 3 2 3 y x mx
m . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 2
các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y x . A. m {0;  2} B. m {  2} C. m  2 D. m 
Ví dụ 8: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 2
y x  3x m x m có các điểm cực đại, cực tiểu đối
xứng nhau qua đường thẳng x  2 y  5  0 . m  0 A.  B. m  0 C. m  1  D. m  m  1 
Ví dụ 9: Từ bảng biến thiên sau, hãy chỉ ra số cực trị của hàm số A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
Ví dụ 10: Tìm số điểm cực trị của hàm số 2 y |
x  2 | (x 1) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Ví dụ 11: Cho hàm số y f ( )
x có đồ thị của y f '( )
x như hình sau. Xác định số cực trị của hàm y f ( ) x Trang 2
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
Ví dụ 12: Cho hàm số y f ( )
x có đồ thị y f (  )
x cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ
a b c như hình vẽ.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. f ( ) a f ( ) b f ( ) c . B. f ( ) c f ( ) b f ( ) a . C. f ( )
c f (a)  2 f ( ) b  0.
D. f (b)  f (a) f (b)  f (c)  0.
b. Hàm bậc 4 trùng phương
Ví dụ 1: Tìm điều kiện m để hàm số 4 2
y x  (m 1)x m 1 có 3 cực trị A. m  1  B. m  1  C. m  1 D. m  1 
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số 4 2
y mx  (m 1)x  2 có đúng một cực đại A. m  0 B. m  0 C. m  1 D. 0  m  1
Ví dụ 3: Cho hàm số 4 3
y x mx    m 2 8 3 1 2
x  4 . Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. 1 7 1 7   m  1 7 1 7 A.  m  B. 6 6  6 6  1 m    2 Trang 3
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 1 C. m  D. m   2
Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 4
y x  2mx m m có 3 cực trị mà 3 điểm cực trị tạo thành tam giác a. Đều
d. Tạo với O tứ giác OBAC là hình thoi b. Vuông cân
e. Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 c. Có diện tích bằng 32 f. Nhận H (0; 1  ) làm trực tâm.
1.2. Điều kiện đồng biến, nghịch biến a. Hàm bậc 3
Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2
y x  3x  3mx 1. Tìm m để hàm số:
1) Đồng biến trên tập xác định Đáp số: m  1
2) Nghịch biến trên tập (0;3) Đáp số: m  3 
3) Đồng biến trên tập (2;+  ) Đáp số: m  0 1 1
Ví dụ 2: Tìm m đề hàm số 3 2 y
mx  (m 1)x  3(m  2)x
đồng biến trên (2;+  ) 3 3 2 Đáp số: m  3
Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2 2
y x  (m 1)x  (m  4)x  9 . Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến trên tập xác định.  1   3 3 m  2 Đáp số:  1   3 3 m   2
Ví dụ 4: Cho hàm số 3 2
y x  3x mx m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập có độ dài bằng 1 Trang 4
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 9 Đáp số: m  4
Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2
y  2x  3mx  2m 1. Tìm m để hàm số nghịch biến trên (1;2). Đáp số: m  2
Ví dụ 6: Cho hàm số 3
y x  m   2 x   2 1
2m  3m  2 x  2 (
m 2m 1) . Tìm m để hàm số đồng biến trên (2;+  ) 3 Đáp số: 2   m  2
Ví dụ 7: Tìm m để hàm số 3 2
y mx mx  (m 1)x  3 đồng biến trên Đáp số: m  0
Ví dụ 8: Tìm m để hàm số 3 2 2
y x  3(m 1)x  (3m  6 )
m x  5 nghịc biến trên khoảng (2;3)
Đáp số: 1  m  2
b. Hàm bậc nhất trên bậc nhất mx  2
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y x m  nghịch biến trên các khoảng xác định. 3
Đáp số: 1  m  2 x m
Ví dụ 2: Tìm m đề hàm số y mx  đồng biến trên từng khoảng xác định 1 Đáp số: 1   m 1 x m
Ví dụ 3: Tìm m đề hàm số y mx  đồng biến trên (1;+ ) 1
Đáp số: 0  m  1 mx  2 3
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y   ;  )
x m  nghịch biến trên ( 3 2 3
Đáp số: 1  m  2 Trang 5
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 msin x 1   
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng 0;   sin x m  2 
Đáp số: 0  m  1 cot x m  
Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y
m cot x  đồng biến trên ( ; ) 1 4 2 Đáp số: 1   m 1 c. Hàm khác
Ví dụ 1: Tìm m để làm số 2
y  ln(x 1)  mx đồng biến trên Đáp số: m  1 
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y  sin x mx  3 nghịch biến trên tập xác định Đáp số: m  1 
Ví dụ 3: Tìm m đề hàm số y  sin x  cos x  (m  2)x  3 đồng biến trên
Đáp số: m  2  2 
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y x m tan x nghịch biến trên (0; ) 4 Đáp số: m  1 
1.3. GTLN – GTNN
a. Hàm chứa tham số 2x m
Ví dụ 1: Hàm số y
0;1 bằng 1 khi m bằng bao nhiêu? x
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn   1 Đáp số: m  0
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì trên [0; 2] hàm số 3 2
y x  6x  9x m có giá trị nhỏ nhất bằng 4  . Đáp số: m  4  Trang 6
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717    
Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y  sin x  cos 2x  sin x  2 trên khoảng  ;   bằng  2 2  mấy? 23 Đáp số: 27
Ví dụ 4: Cho hai số thực x,y thỏa mãn 2 2
x y  2 . Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 3 3
P  2(x y )  3xy theo thứ tự là bao nhiêu?
Đáp số: Max  6.5 , Min  7  1  1   1 
Ví dụ 5: Hàm số 3 2 y x   x   2 x  , x  0     có GTNN là bao nhiêu? 3 2 xx   x  Đáp số: GTNN  2 
Ví dụ 6: Cho hàm số 4 2
y x  2x . Gọi  là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm
số đã cho và có hệ số góc m . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho tổng
khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến  nhỏ nhất là: 1 A. 0. B. 1.  C. .  D.  . 2
Phương trình  : y mx mx y  0 . Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số ( A 1; 1  ); B( 1  ; 1  ) m 1 m 1
m 1  m 1
Tổng khoảng cách từ A, B đến  : T    . Bây giờ tìm GTNN 2 2 2 m 1 m 1 m 1
m 1  m 1
của hàm f (m)  bằng 2 cách: 2 m 1
- Cách 1: Chia trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối.
- Cách 2: Dùng MTCT chức năng table. Đáp số x  1
 và giá trị nhỏ nhất bằng 2
Ví dụ 7: Cho các số thực , x y thỏa mãn 2 2
x  2xy  3y  4. Giá trị lớn nhất của biểu thức    2 P x y là A. max P  8. B. max P  4. C. max P  12. D. max P  16. Trang 7
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Giải: Với y  0  x  2   P  4 4
Với y  0 Đặt x ky  2 2 2
y (k  2k  3)  4  y  2
k  2k  . Khi đó 3 2 2 4(k 1) 4k  8k  4 2
16k 16k  32
16(k 1)(k  2) 2 2
P y (k 1)   P '(k)   2 2 k  2k  . Có 3 k  2k  3 2 2 2 (k  2k  3) (k  2k  3)
Từ bảng biến thiên tìm được max P  12.
b. Bài toán ứng dụng
Ví dụ 1: Trong hệ toạ độ Oxy cho parabol (P): y = 1 - x2. Một tiếp tuyến của (P) di động có
hoành độ dương cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại A và B. Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất
khi hoành độ của điểm M gần nhất với số nào dưới đây: A. 0,9 B. 0,7 C. 0,6 D. 0,8
Ví dụ 2: Cho tam giác đều cạnh a; Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm
trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AB và AC. Xác định vị trí điểm M
sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó a 2 3a a 2 3a A. BM  và S B. BM  và S  2 8 4 8 3a 2 3a C. BM  và S
D. Một kết quả khác 4 4
Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R. Chu vi hình chữ MN
nhật lớn nhất khi tỉ số bằng: MQ A. 2 B. 4 C. 1 D. 0,5 Trang 8
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 4: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh học thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị
diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng
P n  480  20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để
sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? Đáp số 12 :
Ví dụ 5: Một chủ hộ kinh doanh có 50 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là
2.000.000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ thêm
50.000đ/tháng, thì sẽ có 1 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao
nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất? Đáp số: 2.250.000đ
Ví dụ 6: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B
trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi
km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc
với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo
ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng: Đáp số 6.5km : 2
Ví dụ 7: Cho điểm M di chuyển trên Parabol (P): y x . Khoảng cách ngắn nhất từ M đến A(3;0) bằng bao nhiêu? Đáp số: d  5
Ví dụ 8: Một màn hình lớn TV cao 1.4m tại phòng chờ nhà ga được treo trên tường cách mặt
đất 2.2m. Một hành khách cao 1.78 đang đúng đọc thông tin trên màn hình. Hỏi hành khách Trang 9
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
này phải đứng cách tường bao xa để góc nhìn lớn nhất biết rằng khoảng cách từ mắt đến đỉnh đầu anh ta là 8cm. 95 Đáp số: x  10
Ví dụ 9: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC ,
ngang qua một cột đỡ DH cao 4m song song và cách tường CH  0,5m là bao nhiêu ? A D C B H Đáp số:
Ví dụ 10: Một nạn nhân đuối nước ở vị trí cách bờ hồ 200m. Một người phát hiện tai nạn đang
đứng trên bờ cách nạn nhân 500m. Anh ta phải chọn vị trí cách vị trí hiện tại bao xa để xuống
hồ bơi ra cứu nạn nhân sao cho mất ít thời gian nhất, biết rằng vận tốc chạy bộ kéo theo chiếc
thuyền nhỏ của anh ta là 20km/h và vận tốc cheo thuyền là 10km/h.
1.4. Suy đồ thị
Ví dụ 1: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số y |
f (x) | từ đồ thị hàm số y f ( ) x Hướng dẫn:
- Giữ nguyên đồ thị của y f ( )
x ở phần nằm trên trục Ox
- Lấy đối xứng phần đồ thị y f ( ) x lên trên qua Ox
Ví dụ 2: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số y f (| x |) từ đồ thị hàm số y f ( ) x
- Giữ nguyên phần độ thị của y f ( )
x bên phải Oy và xoá bên trái.
- Lấy đói xứng phần này sang trái qua Oy
Ví dụ 3: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số y   f (x) từ đồ thị hàm số y f ( ) x - Lấy đối xứng qua Ox x  1 x 1
Ví dụ 4: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số y y
x  từ đồ thị hàm số 1 x 1 Trang 10
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 x 1
- Giữa nguyên đồ thị của y
x  (tiệm cận đứng)
x  ở bên phải đường thẳng 1 1 x 1
- Lấy đối xứng đồ thị y x  qua Ox x  ở bên trái đường 1 1 x  2 x  2
Ví dụ 5: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số y y x  từ độ thị hàm số 1 x  1 x  2
- Giữ nguyên đồ thị hàm số y x x
ở phần bên phải đường thẳng 2 1 x  2
- Lấy đối xứng phần đồ thị y x  qua Ox
x  ở bên trái đường 2 1
Ví dụ 6: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số 2
y x (x  4) từ đồ thị hàm số 2
y x(x  4)
- Giữ nguyên đồ thị hàm số 2
y x(x  4) ở bên phải Oy
- Lấy đối xứng phần đồ thị của 2
y x(x  4) ở bên trái Oy qua Ox
1.5. Tương giao
a. Xét phương trình hoành độ giao điểm 2
Ví dụ 1: Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số y  2x  6x  ln(2x  3)  4 với trục hoành. Đáp số: 1
Ví dụ 2: Hỏi phương trình 2 3
3x  6x  ln(x 1) 1  0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt? Đáp số: 3
Ví dụ 3: Số giao điểm của đồ thị hàm số y  2x  3  1 2
x  2x  4 
và trục Ox là bao nhiêu? 20 Đáp số: 3
b. Tương giao khi cô lập tham số
Ví dụ 1: Tim m để phương trình 3 2
2x  3x 12x  2m 1  0 có 3 nghiệm phân biệt 19 Đáp số:   m  4 2
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 3 2 1 2 2 3 2 2 m x x    
 0 có 3 nghiệm phân biệt. Trang 11
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 1 Đáp số: 0  m  2 1
Ví dụ 3: Giá trị m để phương trình 4 2 x  2 1  3m x có 8 nghiệm phân biệt 4 Đáp số: m  0
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình 3
x  3x 1  m có 6 nghiệm phân biệt.
Đáp số: 0  m  1 3
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình 2
x  6x  9 x m 1  0 có 6 nghiệm phân biệt.
Đáp số: 1  m  5
Ví dụ 6: Tìm m để đồ thị (C) của hàm số 3 2
y  2x  3mx m  2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Đáp số 1 :  m  2
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình log(m )
x  2log(x 1) có nghiệm duy nhất. m  4
Đáp số: m  0
Ví dụ 8: Tìm m để phương trình 2
2ln(x 1)  ln(mx)  x  (m  2)x 1 có nghiệm m  4
Đáp số: m  0 2  
Ví dụ 9: Tìm m để phương trình x mx 1 x 1 3  9 có nghiệm. Đáp số: m  2 
Ví dụ 10: Tìm m để phương trình 2 x 1 (x  )
4  m có 4 nghiệm phân biệt. Đáp số: 0  .8...  m  0
Ví dụ 11: Có bao nhiêu số nguyên m sao cho bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc .   2x    2 log5 log 1
log mx  4x m
Đáp số: 2  m  3 Trang 12
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 x  2
Ví dụ 12: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình  m x  có 1
đúng 2 nghiệm phân biệt là: A. 1;2   0 . B. 1;2   0 . C. 0;2. D. 1;2. Trang 13
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 2. MŨ – LOGARIT
a. Đồ thị của hàm mũ, logarit
Ví dụ 1: Đồ thị hình bên là của hàm số nào ?
A. y  log (x 1)
B. y  log x 1 2 2
C. y  log x
D. y  log (x 1) 3 3
Ví dụ 2: Đồ thị bên dưới là đồ thị của hàm số nào?
A. y  ln x
B. y  ln x
C. y  ln(x 1)
D. y  ln x 1
Ví dụ 3: Cho đồ thị của các hàm số x y a , x y b , x y c
(a,b,c dương và khác 1). Chọn đáp án đúng:
A. a b c
B. b c a
C. b a c
D. c b a Trang 14
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 4: Đâu là đồ thị hàm số y  ln(x 1) Đáp số: C
Ví dụ 5: Cho đồ thị của ba hàm số
y  log x , y  log x và y  log x a b c
(với a, b, c là ba số dương khác 1 cho r
t ước) như hình vẽ bên. Dựa vào đồ thị
và các tính chất của lũy thừa hãy so
sánh các số a, b c , .
A. a b c.
B. c a b.
C. c b a.
D. b a c. Trang 15
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 5: Cho các hàm số y  log x và y  log x có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x  7 a b
cắt trục hoành, đồ thị hàm số y  log x và y  log x lần lượt tại H , M và N. Biết rằng a b
HM MN. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 7 a b . B. 2 a b . C. a  2 . b D. a  7 . b
b. Phương trình dạng chứa tham số
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x x 1 4  2 m
 2m  0 có hai nghiệm phân biệt x , x và 1 2 x x  3 1 2 Đáp số: m  4 2 2
Ví dụ 2: Tìm nguyên dương lớn nhất để phương trình 1 1 x 1 1 25  (  2)5 x m  2m 1  0 có nghiệm. 1 1 Đáp số: 5   m  5 2  3 3 2
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2
log x  (m  2) log x  3m 1  0 có 2 nghiệm x , x sao cho 3 3 1 2 x .x  27 . 1 2 Đáp số: m  1
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình log 4x m x 1 có đúng 2 nghiệm phân biệt. 2   Đáp số: 1   m  0
Ví dụ 5: Tìm m để phương trì nh log
x  2  log (mx) có 1 nghiệm duy nhất. 2 2 Đáp số: m  0 Trang 16
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 6: Tìm m để bất phương trình 2x  7  2x  2  m có nghiệm Đáp số: m  3
Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình 3x  3  5  3x m nghiệm đúng x   Đáp số: m  4
Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình 4x  2x m  0 có nghiệm x [1;2] Đáp số: m  20 2
Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 3  xm x 3  2 2
 2  x  4x m  3  0 Đáp số: m  1
Ví dụ 10: Tìm m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm 2 x 3  mx 1  x2 2 2017  2017
x  3mx x  3  0
Đáp số: 1  m  2 2
Ví dụ 11: Tập nghiệm của bất phương trình mx 1  x x 2 2  2
x  (m 1)x 1 nghiệm đúng với mọi x  Đáp số: 3   m 1
Ví dụ 12: Tập nghiệm của bất phương trình (  4).9x  (  5).3x x x 1 0 là? 3x 1 x  0 
Hướng dẫn: Xét phương trình (  4).9x  (  5).3x x x 1  0    x 1 3  x  1   x  4
Xét dấu ( )  (  4).9x  (  5).3x f x x x 1 x  -1 0  f ( ) x + 0 - 0 + Vậy S  ( 1  ;0) 2 2 x 2 x 2
Ví dụ 13: Tập nghiệm của bất phương trình 4  (x  7).2 12  4x  0 2 x      2 2 2 4 x 2
Hướng dẫn: Giải phương trình x 2 x 2
4  (x  7).2 12  4x  0     2 x 2 2  3 xx  1  Trang 17
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 Xét dấu: x   2 -1 1 2  f ( ) x + 0 - 0 + 0 - 0 +
Tập nghiệm S  ( 2; 1  )  (1; 2)
c. Bà toán thực tế
Ví dụ 1. Anh Việt muốn mua một ngôi nhà trị giá 500 triệu đồng sau 3 năm nữa. Vậy ngay từ
bây giờ Việt phải gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép là bao nhiêu tiền để có đủ
tiền mua nhà, biết rằng lãi suất hàng năm vẫn không đổi là 8% một năm và lãi suất được tính
theo kỳ hạn một năm? (kết quả làm tròn đến hàng triệu)
A. 397 triệu đồng. B. 396 triệu đồng. C. 395 triệu đồng. D. 394 triệu đồng.
Ví dụ 2. Anh Nam gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng Vietcombank. Lãi suất hàng năm không
thay đổi là 7,5%/năm và được tính theo kỳ hạn một năm. Nếu anh Nam hàng năm không rút lãi
thì sau 5 năm số tiền anh Nam nhận được cả vốn lẫn tiền lãi là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng ngàn) A. 143562000 đồng. B. 1641308000 đồng. C. 137500000 đồng. D. 133547000 đồng.
Ví dụ 3. Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức    A. rx f x e , trong đó A là
số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng r  0 , x (tính thoe giờ) là thời gian tăng
trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sau bao lâu
thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 25 lần? A. 50 giờ. B. 25 giờ. C. 15 giờ. D. 20 giờ.
Ví dụ 4. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,05%. Theo số liệu của Tổng
Cục Thống Kê, dân số của Việt Nam năm 2014 là 90.728.900 người. Với tốc độ tăng dân số như
thế thì vào năm 2030 thì dân số của Việt Nam là bao nhiêu? A. 107232573 người. B. 107232574 người. C. 105971355 người. D. 106118331 người.
Ví dụ 5: Một công nhân làm việc cho một công ty được tăng lương cứ 3 năm tăng 10% so với
mức lương trước. Anh ta mỗi tháng trích ra 20% lương của mình hàng tháng để gửi tiết kiệm
thoe hình thức lãi kép 6%/tháng thì sau 48 tháng anh ta thu được 100 triệu tiền lãi từ ngân
hàng. Hỏi lương khởi điểm của anh ấy là bao nhiêu?
Ví dụ 6: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2%
một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ
hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền là bao nhiêu? Trang 18
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 7: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất ban đâu 4% /năm và lãi hàng
năm được nhập vào vốn. Cứ sau một năm lãi suất tăng 0,3%. Hỏi sau 4 năm tổng số tiền
người đó nhận được bao nhiêu?
Ví dụ 8: Một người đi mua chiếc xe máy với giá 90 triệu đồng. Biết rằng cứ sau một năm giá trị
của chiếc xe chỉ còn 60%. Hỏi sau bao nhiêu năm thì giá trị chiếc xe chỉ còn 10 triệu.
Ví dụ 9: Độ chấn động M của một cơn địa chấn được đo bằng thang Richter xác định bởi công I
thức: M = log ( ), trong đó I là biên độ tối đa được đo bằng địa kế chấn, I là biên độ I 0 0
chuẩn.Tính độ chấn động theo thang Richter trận động đất ở California (Mỹ) năm 1992 có biên độ tối đa 7
I  3,16.10 I (tính chính xác tới hàng phần trăm). 0
Ví dụ 10: Anh Nam mong muốn rằng sau 6 năm sẽ có 2 tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải
gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau hàng năm gần nhất với giá trị nào
sau đây, biết rằng lãi suất của ngân hàng là 8% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
Ví dụ 11: Một người muốn sau 4 tháng có 1 tỷ đồng để xây nhà. Hỏi người đó phải gửi mỗi
tháng là bao nhiêu tiền (như nhau). Biết lãi suất 1 tháng 1 là %.
Ví dụ 12: Bà Nguyên vay ngân hàng 50 triệu đồng và trả góp trong vòng 4 năm với lãi suất
1,15% mỗi tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay bà sẽ hoàn nợ cho ngân hàng và số tiền
hoàn nợ mỗi tháng là như nhau. Hỏi mỗi tháng bà phải trả bao nhiêu tiền cho ngân hàng? Trang 19
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
a. Đổi biến số đặc biệt
F (ax b)
- Áp dụng công thức hàm hợp bậc nhất: I
f (ax b)dx   ca 3 1 Ví dụ 1: Cho
f (x)dx  2  . Tính I
f (2x 1)dx  1 0 Đáp số: 1 1 5 Ví dụ 2: Cho
f (5x)dx  2  . Tính I f (x)dx  0 0 Đáp số: 10  1 Ví dụ 3: Cho
f (x)dx  2  . Tính 4 I f s
( in 2x) cos 2xdx  0 0 Đáp số: 1 ln 2 2 Ví dụ 4: Cho ( x ) x f e e dx  4  . Tính I f (x)dx  0 1 Đáp số: 4 1 3 3 Ví dụ 5: Cho
f (x)dx  2  và
f (x)dx  5  . Tính I f (x)dx  0 0 1 Đáp số: 3 1 3 5 Ví dụ 6: Cho
f (x)dx  2  và
f (2x 1)dx  2  . Tính I f (x)dx  0 1 0 Đáp số: 6  3 1
Ví dụ 7: Cho 4 f s ( in 2x) cos 2 x xd  1  và
f (x 1)dx  2  . Tính I f (x)dx  0 1 2  Đáp số: 4 b b b
- Áp dụng công thức từng phần: .
u v 'dx uv  . v u 'dx   a a a 1 1 Ví dụ 1: Cho
(x 1) f '(x)dx  10 
và 2 f (1)  f (0)  2 . Tính I f (x)dx  0 0 Đáp số: I  8  Trang 20
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 1 1 Ví dụ 2: Cho
(5x 1) f '(x)dx  6 
và 6 f (1)  f (0)  3 . Tính I f (x)dx  0 0 3 Đáp số: I   5 1 1 2 Ví dụ 3: Cho
(5x 1) f '(2x)dx  6  và 3 f (2) 
f (0)  3 . Tính I f (x)dx  0 2 0 12 Đáp số: I   5 1 1 Ví dụ 4: Cho x
e . f '(x)dx  5  và .
e f (1)  f (0)  2 . Tính x I
e . f (x)dx  0 0 Đáp số: I  3  1 1 1 Ví dụ 5: Cho 3x
e . f '(2x)dx  5  và  3
e . f (2)  f (0)  1. Tính 3x I
e f (2x)dx  0 2 0 8 Đáp số: I   3
Ví dụ 6: Cho G( )
x là một nguyên hàm của hàm g(x) và 3 ( G 1)  ( G 0)  3 . Biết 1
1 (2x 1).g(x)dx  5 
. Tính I G(x)dx  . 0 0 Đáp số: I  1  v( x)
- Áp dụng công thức G(x)  f (t)dt
G '(x)  f v(x).v'(x)  f u(x).u '(x) u ( x) 2 x
Ví dụ 1: Cho G(x)  sin tdt  . Tính G '(x) 0 Đáp số: 2 G x x  2 '( ) sin
. x '  sin x .2x  2xsin x 2 x
Ví dụ 2: Xác định cực trị của hàm số G(x)  t ln tdt  với x (0; )  x 1
Đáp số: cực tiểu tại x  3 2 2 Trang 21
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 x  0 (l) 
Hướng dẫn: Có G'( ) x  2xln 2 .
x 2  xln x x 4ln 2x  ln x . G'( ) x  0  1  . x  3  2 2 1
Dễ dàng kiểm tra thấy hàm số đạt cực tiểu tại x  3 2 2 b b
- Áp dụng công thức đặc biệt
f (x)dx
f (a b x)dx   a a
Ví dụ 1: Cho hàm số f ( ) x liên tục trên
và thoả mãn f (x)  2 f (x)  cos , x x   . Tính  2 I f (x)dx 2 2 Đáp số: I  3
Ví dụ 2: Cho hàm số f ( ) x liên tục trên
và thoả mãn f (x)  f (x)  2  2cos 2x, x   . 3 2 Tính I f (x)dx 32 Đáp số: I  6 x
Ví dụ 3: Cho hàm số f ( ) x liên tục trên
và thoả mãn f (x)  f (1 x)  . Tính 2 x 1 1 I f (x)dx 0 ln 2 Đáp số: I  4
Ví dụ 4: Cho hàm số f ( ) x liên tục trên và thoả mãn 2
f (x)  2 f (5  x)  x 25  x . Tính 5 I f (x)dx 0 125 Đáp số: I  9 1 1
Ví dụ 5: Cho f ( )
x là hàm chẵn liên tục trên và
f (x)dx  2  . Tính I f (x)dx  0 1  Trang 22
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 Đáp số: I  4 2 2 f (x)
Ví dụ 6: Cho f ( )
x là hàm chẵn liên tục trên và
f (x)dx  3  . Tính I dx  0 2x 1 2  Đáp số: I  3 1 f (x) 1
Ví dụ 7: Cho f ( )
x là hàm chẵn liên tục trên và dx  10  . Tính I f (x)dx  2x 1 1  0 Đáp số: I  10  2 2017 sin x
Ví dụ 8: Tính tích phân I dx  2017 2017 sin x  cos x 0  Đáp số: I  4  
Ví dụ 9: Cho hàm số f ( ) x lên tục trên
thoả mãn f (sin x)dx  5  . Tính I  . x f s ( in x)dx  0 0 5 Đáp số: I  2 
Ví dụ 10: Cho hàm số f ( ) x lên tục trên
thoả mãn f (sin x)dx  5  . Tính 0 
I  (2x 1). f (sin x)dx 0
Đáp số: I  5   1
Ví dụ 11: Cho f ( )
x là hàm liên tục trên 0;  3 và f ( ) x f (3  )
x 1 với mọi x [0;3] . Tính 3 dx
K  1 f (x) 0 3 Đáp số: K  2 b. Ứng dụng
- Thể tích biết diện tích thiết diện Trang 23
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 1: Tính thể tích khối giới hạn bởi 2 mặt phẳng x  0, x   và thiết diện cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với Ox là đường tròn bán kính sin x .
Ví dụ 2: Tính thể tích khối giới hạn bởi 2 mặt phẳng x  0, x  4 và thiết diện cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với Ox là hình vuông có cạnh là . x x e .
Ví dụ 3: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2
x y  16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc
với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Tính thể tích của vật thể.
Ví dụ 4: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2
x y  16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc
với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Tính thể tích của vật thể
Ví dụ 5: Tính thể tích phần bôi đậm trong hình vẽ Trang 24
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 6: Tính thể tích khối in đậm trong hình vẽ sau
Ví dụ 7: Hình chiếc phao bơi hình xuyến với bán kính vòng trong là r  25 cm, bán kính vòng
ngoài R  50 cm. Tính thể tích của chiếc phao bơi - Vật tròn xoay
Ví dụ 1: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑒. Tính thể tích khối
tròn xoay tạo thành khi H quay quanh 𝑂𝑥. Trang 25
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 1
Ví dụ 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 y  4  x , y
x quay xung quanh trục 3
Ox. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành
Ví dụ 3: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2. Tính thể tích
khối tròn xoay có được khi xoay (H) quanh Ox.
Ví dụ 4: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường 𝑦 = ln 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 2. Tính thể tích khối
tròn xoay có được khi xoay (H) quanh Ox.
Ví dụ 5: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x  2 9 1 và trụ hoành. Tính
thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox.
- Hình dạng đồ thị và diện tích
Ví dụ 1: Xác định công thức tính diện tích phần bôi đen trong phần đồ thị sau
Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y f '( )
x có đồ thị như hình vẽ. Hãy so sánh f (a), f (b), f (c)
Ví dụ 3: Xác định công thức tính diện tích phần tô đậm trong hình sau Trang 26
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol có kích thước như hình sau
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi phần tô đậm trong hình sau
- Bài toán ứng dụng
Ví dụ 1: Một vật đang chuyển động đều với vận tốc 30m / s thì chuyện động chậm dần đều với gia tốc 2 7
 0m / s . Hỏi từ lúc giảm tốc đến khi dừng hẳn thì vật di chuyển được quãng đường bao xa? Trang 27
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 2: Vật A chuyển động đều từ D với vận tốc 30m / s được 10s thì chuyển động chậm dần với gia tốc 2 1
 0m / s . Sau khi vật A khởi hành được 8s thì vật B bắt đầu xuất phát cùng chiều
từ D nhanh dần đều với gia tốc 2
50m / s . Hỏi sau bao lâu kể từ lúc B khởi hành hai vật gặp
nhau? Khi gặp nhau thì vật A đã dừng lại chưa?
Ví dụ 3: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v (t)  7t (m / s) . Đi được 1
5(s) người lái xe gặp chướng ngại vật nên phải phanh gấp cho xe chạy chậm dần đều với gia tốc 2 70
 (m / s ) . Tính quãng đường đi được của o tô từ lúc chuyển bánh đến khi dừng hẳn.
Ví dụ 4: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian (
v t)  3t  2 (m/s). Tại thời
điểm t  2 (s) vật đã đi được quãng đường là 10 (m). Hỏi tại thời điểm t  30 (s) thì vật đã đi
được quãng đường bao nhiêu?
Ví dụ 5: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 (m/s) thì tăng tốc với gia tốc 2
a(t)  t t ( 2
m / s ). Hỏi sau 10 (s) kể từ thời điểm tăng tốc, vật đã di chuyển được quãng đường bao nhiêu?
Ví dụ 6: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 (m/s) thì giảm tốc với gia tốc 2
a(t)  4  t (m / s ) . Tính quãng vật đi được thi khi thay đổi chuyển động đến khi vật tốc đạt giá trị lớn nhất?
Ví dụ 7: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng là N t  . Biết rằng N t  4000 '  1 và lúc 0,5t
đầu đám vi trùng có 250.000 con. Sau 10 ngày số lượng vi trùng là (lấy xấp xỉ hàng đơn vị).
Ví dụ 8 : Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách
đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng
chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng
rượu (đơn vị lít) xấp xỉ bao nhiêu? Trang 28
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 9: Một Chi đoàn thanh niên đi dự trại ở một đơn vị bạn, họ dự định dựng một lều trại có
dạng parabol (nhìn từ mặt trước, lều trại được căng thẳng từ trước ra sau, mặt sau trại cũng là
parabol có kích thước giống như mặt trước) với kích thước: nền trại là một hình chữ nhật có
chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể
tích phần không gian phía trong trại theo 3 m . Trang 29
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 4. SỐ PHỨC
a. Điểm biểu diễn số phức 2
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn : z
và điểm A trong hình vẽ là một điểm biểu diễn số 2 1
phức z. Hổi điểm biểu diễn số phức w  là điểm nào iz A. Điểm Q B. Điểm M C. Điểm N D. Điểm P
Ví dụ 2: Số phức z được biểu diễn bởi điểm M. Hỏi số phức 2z được biểu diễn bởi điểm nào
trong các điểm N, P, Q, R. Đáp số: N 1
Ví dụ 3: Cho số phức z có z  2 được biểu diễn bởi điểm M. Điểm biểu diễn số phức w  z
được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D? Trang 30
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 Đáp số: B
Ví dụ 4: Cho số phức z thay đổi, luôn có z  2. Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức
w  1 2iz  3i là:
A. Đường tròn x   y  2 2 3  2 5.
B. Đường tròn x   y  2 2 3  20.
C. Đường tròn x   y  2 2 3  20.
D. Đường tròn  x  2 2 3  y  2 5.
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn
số phức w  3  2i  2  iz là một đường tròn. Hãy tính bán kính của đường tròn đó. A. 3 2. B. 3 5. C. 3 3. D. 3 7.
Ví dụ 6 : Trong mặt phẳng phức, Cho số phúc z thõa mãn z  3  4i  2 và w  2z  i 1 .Tập
hợp biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm I, bán kính R. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R. A. I 3; 4  , R  2 B. I 5; 7  , R  4 C. I 4; 5
 , R  4 D. I 7; 9  , R  4
Ví dụ 7 : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm
biểu diễn số phức w  2z 1 i là hình tròn có diện tích: A. S  9 .
B. S  12 .
C. S  16 .
D. S  25 .
Ví dụ 8: Cho thỏa mãn z
thỏa mãn   i 10 2 z
1 2i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn z
cho số phức w  3  4iz 1 2i là đường tròn I , bán kính R . Khi đó. A. I  1  ; 2  , R  5.
B. I 1;2, R  5. C. I  1
 ;2,R  5. D. I 1; 2
 , R  5.
b. Tổng bậc cao của số phức Trang 31
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 1: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình phức 2
3z  4z  3  0 với z có phần ảo âm. 1 2 2 Tính 2017 2016 P z .z 1 2 Hướng dẫn: 2017 2016 P z .z  z z .z z 1 2 2016 1 2 1 1
Ví dụ 2: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình phức 2
z  2z  4  0 . Tính 2017 2017 P zz . 1 2 1 2
Hướng dẫn: z , z  1 3i 3 3
z z  8  . Vậy 672 P  8 z z 672 2017  8 .2  2 1 2  1 2 1 2 2 3 200
Ví dụ 3: Tìm phần phần ảo của số phức sau: 1 1 i  1 i  1 i  ...  1 iA. 10 2  1 B. 10 2 1 C. 100 2  1 D. 10 2 1  n 1  i 1
Hướng dẫn: Dùng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân. S u n 1 i   i201 1 1 
. Chú ý:   i2 1  2i i 2 3 19
Ví dụ 4: Mô đun của số phức z  1 1 i  1 i  1 i  ....  1 i bằng: A. z  20 B. 10 z  2 1 C. z  1 D. 10 z  2 1
Hướng dẫn: Tương tự Ví dụ 3.
Ví dụ 5: Tính 2 3 2017
S i  2i  3i  ...  2017i Hướng dẫn: Có 2 3 4 2017 2018
iS i  2i  3i  ...  2016i  2017iS iS 2017 i 1 2 3 2017 2018
i i i ... i  2017i 2018  i  2017ii
  2017  i . Vậy i  2017.( 1) 1 2017  i S  1  i
c. GTLN – GTNN của mô đun số phức
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn: z i 1  z  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z 1 Đáp số: 2
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn: z  3  4i  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z Trang 32
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 Đáp số: 1
Ví dụ 3: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  5  5, z 1 3i z  3  6i . Tìm giá trị nhỏ 1 2 1 2 2
nhất của z z 1 2
Hướng dẫn: Gọi M , N biểu diễn z , z ta có: 1 2
M thuộc đường tròn tâm I ( 5
 ;0) bán kính R  5. N thuộc đường trung trực của AB với ( A 1  ;3) và (
B 3;6) . Vậy MN nhỏ nhất bằng d(I, A ) B R 5 Đáp số: 2
Ví dụ 4: Xét số phức z  0 thỏa mãn z 3 .
z z 1  z 2  6iz . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 1 1 1 1 A. z  . B. z  . C. z  1. D. z  . 4 3 3 2 2 4
Hướng dẫn: Cô lập z để láy được mô đun 2 vế. Từ đó tính được z .
Ví dụ 5 Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5 .Gọi M và m lần lượt là gia trịn lớn nhất và giá 2 2
trị nhỏ nhất của bểu thức P z  2  z i .Tính modun của số phức w M mi A. w  2 314 B. w  2 309 C. w  1258 D. w  3 137 2 2
Hướng dẫn: Biểu thức P z  2  z i ax by c P  0 (d). Đường thẳng (d) có điểm
chung với đường tròn z  3  4i  5  d(I, d)  R m P M
Ví dụ 6: Trong các số phức z thỏa mãn z  2  4i  2, gọi z và z là số phức có môđun lớn 1 2
nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của z và z bằng: 1 2 A. 8 . i B. 4. C. 8.  D. 8.
Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1  2. Tìm giá trị lớn nhất của
T z i z  2  i . A. maxT  8 2. B. maxT  4. C. maxT  4 2. D. maxT  8. Trang 33
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Hướng dẫn: Gọi I là tâm đường tròn z 1  2 . Biểu thức T hiểu dưới dạng T MA MB thì 2 2 2 MA MB B A
I là trung điểm của AB. Theo công thức trung tuyến: 2 MI   2 4 2 2
MA MB k  0 (không đổi). Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski
MAMB2   2 2
2 MA MB  tìm được giá trị lớn nhất của T MA MB 2z 1
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Đặt A  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? iz A. A  1. B. A  1. C. A  1. D. A  1. 2 A 1
Hướng dẫn: Rút z theo A được z
 2A 1  2  Ai . Gọi A x yi ta được: 2  Ai
 2A 1  2  Ai là phương trình hình tròn. Bài toán trở thành bài toán tìm GTLN, GTNN
của T A với điểm biểu diễn A nằm trong hình tròn.
Ví dụ 9: Cho số phức z , tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thoả mãn điều kiện 2   3i z 1 1 3  2i A. 3. B. 2. C. 1. D. 2.
Ví dụ 10: Cho hai số phức z , z thoả mãn z  4  3i  2 và z  2  3i z 1 2i . Tìm 1 2 1 2 2
GTNN của P z z 1 2
Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 3. 34 Đáp số:  2 2
Ví dụ 11: Biết rằng số phức z thỏa mãn u  (z  3  i)(z 1 3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.
Hướng dẫn: Gọi z x yi thay vào u . Cho phần ảo của u bằng 0 ta được ( , x y) thoả mãn
phương trình đường thẳng. Giá trị nhỏ nhất của z là khoảng cách từ O đến đường thẳng đó. Đáp số: 2 2 Trang 34
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 4i
Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn z
 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ z
nhất của | z | . Tính M m ? A. 2 5. B. 2. C. 5. D. 13 .
Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức: z z z z . Dấu “=” xảy ra khi z kz với k  0 . 1 2 1 2 1 2 2  4 4i 4
z  2 z  4  0  Ta có: z   z   2  2   z   2  
. Giải hệ bất phương trình z z z 2
z  2 z  4  0  này được 1
  5  z  1 5 . Do bất đẳng thức đánh giá 1 lần nên đảm bảo dấu bằng xảy
ra. Vậy M m  2 5 . 1 1 1
Ví dụ 13: Cho 3 số phức z , z , z phân biệt thỏa mãn | z | |  z | |  z | 3 và   . Biết 1 2 3 1 2 3 z z z 1 2 3
z , z , z lần lượt được biểu diễn bởi các điểm ,
A B,C trên mặt phẳng phức. Tính góc ACB ? 1 2 3 A. 60 B. 90 C. 150 D. 120 .
Hướng dẫn: Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn z , z , z thì A,B,C nằm trong đường 1 2 3 1 1 1 z z z
tròn tâm O bán kính 3 (không quan trọng bán kính). Từ   1 2 3    z z z 2 2 2 1 2 3 z z z 1 2 3
z z z , hay OA  OB'  OC ' (với A’, B’, C’ là điểm đối xứng của A, B, C qua Ox). 1 2 3
Có A’, B’, C’ cùng thuộc đường tròn O mà OA  OB '  OC ' nên OA’C’B’ là hình bình hành và
do đó là hình thoi. Mà đường chéo OC’ bằng cạnh hình thoi nên đây là hình thoi đặc biệt với 0
A'C ' B '  120 . Vậy 0 ACB  120
Ví dụ 14: Cho số phức z thoả mãn điều kiện z 1 2i z 1 2i  6 . Tìm GTLN, GTNN của P z z z
Hướng dẫn: Ta có z  0 ; z  1
  2i ; z 1 2i . Nên 1 2 z  . 0 1 2 0 2
Tính a  6 / 2  3; 2c z z  2 5  c  5 . Vậy có ngay 2 2
b a b  2 . 1 2
Vậy max P  3 và min P  2 Trang 35
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 15: Cho số phức thoả mãn điều kiện z  2  z  2  6 . Tìm GTLN, GTNN của
P z 1 i
Đáp số: Đang chờ bấm máy…
Hướng dẫn: z  2  z  2  6 là phương trình Elip dạng chính tắc với a  3, c  2  b  5 2 2 x y 5
Vậy phương trình chính tắc của Elip là:  1 2  y   9  x 9 5 3   2 2 5 Có 2
P   x   1   y   1  x  2 2 1   
9  x 1  f x 1,2   3  
Bấm TABLE trên máy Casio trên đoạn  3
 ;2 cho cả hai hàm f x tìm được GTLN, GTNN 1,2   của 2 P .
Ví dụ 16: Cho số phức z thoả mãn điều kiện (1 i)z 1 2i  (1 i)z 1 2i  2 5 . Tìm
GTLN, GTNN của P z 10
Đáp số: min P  0 và max P OF  1 2 1 3 1 3 10
Hướng dẫn: Điều kiện giả thiết tương đương với z
i z   i  10  a  2 2 2 2 2 10
Tương tự Ví dụ 14 tính được c
. Vậy đây không phải Elip mà là đoạn thẳng F F . Mà O 2 1 2 10
lại là trung điểm của F F . Vậy min P  0 và max P OF  1 2 1 2
Ví dụ 17: Cho 2 số phức z , z thoả mãn z z
và z z z . Tính giá trị 1 2 1 2 1 2 2 2 2  z   z  1 2 P        z z 2   1  Đáp số: 1 Trang 36
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 z
Hướng dẫn: Vì biểu thức P chứa ẩn phụ là 1 z
nên không nhất thiết phải tìm từng số z , z z 1 2 2 z
(thực tế không tìm được) mà chỉ cần tìm 1 . z2 2 2 z z zx y 1 
Từ giả thiết ta có: 1  1 và 1 1  1. Gọi 1 z
x yi , ta có hệ:  z z z   x   2 2   2 2 2 1 y 1 1 3
Rất dễ giải được hệ phương trình này, ta được z   i . 2 2 2 2  1 3   1 3  Vậy P    i    i   1 2 2 2 2    
Ví dụ 18: Trong các cặp số phức z , z thoả mãn z  (2  3i)z z . Tìm số thực k  0 lớn 1 2 1 2 2
nhất sao cho z k z . 1 2 Đáp số: 13 1 z Hướng dẫn: Đặt 1 z
. Bài toán tương đương với z  2  3i  1. Tìm giá trị lớn nhất của z2
P z . Dễ dàng giải được giá trị lớn nhất bằng OI R  13 1, với I là tâm đường tròn
z  2  3i  1.
Ví dụ 19: Cho số phức z thoả mãn điều kiệ 3
n z  2  4 z  2  10 . Tìm GTNN của z Đáp số: 1 Hướng dẫn:
Bài toán trở thành 3MA  4MB  10 , tìm GTLN, GTNN của OM . Trong đó, ( A 2  ;0) , B(2;0)
và O là gốc toạ độ. Thấy rằng O là trung điểm của AB. 2 2 2 MA MB B A
Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có: 2 OM   . Áp dụng BĐT 2 4 2 bunhiakovski, ta có:
  MA MB   2 2 3   2 2 100 3 4 4
MA MB    2 2 25 MA B M  . Vậy 2 2
MA MB  4 . Thay vào công thức trung tuyến được 2
OM  2 1  1. Vậy OM  1. Do đánh
giá BĐT một lần nên đảm bảo dấu “=” xảy ra. Vậy GTNN của z bằng 1. Trang 37
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 20: Cho số phức thoả mãn điều kiện 3 z i  4 z i  10 . Tìm GTNN của z Đáp số: 1
Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 19. Trang 38
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 5. KHỐI ĐA DIỆN a. Thể tích:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCDEF có ABCDEF là hình lục giác đều tâm O và có thể tích V .
Gọi M laftrung điểm của cạnh SD . Mặt phẳng (AMF) cắt các cạnh S ,
B SC, SE lần lượt tại
H, K, N . Tính thể tích của hình chóp S.AHKMNF theo V . 1 1 13 14 A. V B. V C. V D. V 3 9 36 27
Ví dụ 2: Thể tích của khối đa diện tạo bởi hình sau là: A. 3 328cm . B. 3 456cm . C. 3 584cm . D. 3 712cm .
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O ,
AB a 5, AC  4a, SO  2 2 .
a Gọi M là trung điểm SC . Biết SO vuông góc với mặt phẳng
ABCD , tính thể tích khối chópM.OBC . 3 2a A. 3 2 2a . B. 3 2a . C. . D. 3 4a . 3
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ AB .
C A' B'C ' và M là trung điểm của CC ' . Gọi khối đa diện (H)
là phần còn lại của khối lăng trụ AB .
C A' B'C ' sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC . Tỷ số thể
tích của (H) và khối chóp M.ABC là: 1 1 A. . B. 6 . C. . D. 5 . 6 5
b. Tỷ số thể tích Trang 39
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD với SA A ,
B SB SC, SC S ,
A SA SB SC a . Gọi
B ', C ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên AB và AC . Thể tích của khối chóp
S.AB 'C ' là: 1 1 1 1 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 6 24 12 48
Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC . Trên 3 cạnh S , A S ,
B SC lần lượt lấy 3 điểm ' ' '
A , B ,C sao cho 1 1 1 ' ' ' SA S ; A SB S ; B SC SC . Gọi V và '
V lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và 3 4 2 ' V ' ' '
S.A B C . Khi đó tỷ số là: V 1 1 A. 12 B. C. 24 D. 12 24
Ví dụ 3: Cho khối lăng trụ đều ABC.A BC
  và M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (B CM
 ) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó: 6 7 1 3 A. B. C. D. 5 5 4 8
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích bằngV .
Gọi I là trọng tâm tam giác SB .
D Một mặt phẳng chứa AI và song song với BD cắt các cạnh S ,
B SC, SD lần lượt tại B ,
C ,D . Khi đó thể tích khối chóp S.AB CD   bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 18 9 27 3
Ví dụ 5: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD . Mặt phẳng chứa AB đi qua điểm C nằm trên SC
SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số . SC 5 1 2 1 4 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 5
Ví dụ 6: Cho khối lăng trụ đều ' ' ' AB .
C A B C và M là trung điểm của cạnh AB . Mặt phẳng ' '
(B C M ) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó: 7 6 1 3 A. B. C. D. 5 5 4 8
Ví dụ 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng .
a Gọi G là trọng tâm tam giác
SAC . Mặt phẳng chứa AB và đi qua G cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M và N . Biết mặt
bên của hình chóp tạo với đáy một góc bằng o
60 . Thể tích khối chóp S.ABMN bằng: Trang 40
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 3 a 3 3 3a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 16 4 16
Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC. Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh bên AA,
CC sao cho MA MA và NC  4NC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ
diện GABC, BBMN, ABBC và ABCN, khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất? A. Khối ABCN B. Khối GABC C. Khối ABBC D. Khối BBMN
Ví dụ 9: Cho khối lăng trụ ABC.A BC
  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA và
BB . Mặt phẳng C MN
 chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Gọi V là thể tích khối 1 V C .MNB A
  và V là thể tích khối ABC.MNC. Khi đó tỷ số 1 bằng: 2 V2 2 1 3 A. . B. 2 . C. . D. . 3 2 2
Ví dụ 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là
trung điểm của SC , mặt phẳng  BMN  chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 9 8 7 7 A. B. C. D. 5 5 6 5 Trang 41
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 6. KHỐI TRÒN XOAY
a. Thể tích 1 phần khối tròn xoay
Ví dụ 1: Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các
viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi
viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là: A. 2 16 r B. 2 18 r C. 2 9 r D. 2 36 r
Ví dụ 2: Từ tấm tôn hình chữ nhật cạnh 90cm x 180cm người ta làm các thùng đựng nước
hình trụ có chiều cao bằng 80cm theo 2 cách (Xem hình minh họa dưới)
Cách 1. Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng
Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành 3 tấm bằng nhau và gò các tấm đó thành mặt xung quanh của thùng.
Ký hiệu V là thể tích của thùng gò được theo cách thứ nhất và V là tổng thể tích của ba thùng 1 2 V
gò được theo cách thứ 2. Tính tỉ số 1 V2 Trang 42
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 1 1 A. 3 B. C. D. 12 3 2
Ví dụ 3: Một hình trụ tròn xoay có diện tích toàn phần là S1, diện tích đáy là S. Cắt đôi hình
trụ này bằng 1 mặt phẳng vuông góc và đi qua trung điểm của đường sinh, ta được 2 hình trụ
nhỏ có diện tích toàn phần là S 2. Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. S S S. B. S S . 2 1 2 2 1 2 1 C. S  2S . D. S  (S S ). 2 1 2 1 2
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB BC a ,
AD  2a , SA   ABCD và SA a 2 . Gọi E là trung điểm của AD. Kẻ EK SD tại K. Bán
kính mặt cầu đi qua sáu điểm S, A, B, C, E, K bằng: 1 6 3 A. a B. a C. a D. a 2 2 2
Ví dụ 5: Một hình hộp chữ nhật kích thước 6  6  h chứa một khối cầu lớn có bán kính bằng 3 3
và 8 khối cầu nhỏ bán kính bằng
. Biết rằng các khối cầu đều tiếp xúc nhau và tiếp xúc với 2
các mặt của hình hộp (như hình vẽ). Thể tích của hình hộp là: A. 64  32 7. B. 108  36 7. C. 108 108 7. D. 32  32 7.
Ví dụ 6: hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một
hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay
khi quay mô hình trên xung quanh trục XY . Trang 43
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 1251 2 1255  2 2 A. V  . B. V  . 6 12 1255  4 2 1252  2 C. V  . D. V  . 24 4
Ví dụ 7: Người ta bỏ 3 quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy
bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 3 lần đường kính của quả bóng bàn.
Gọi S là tổng diện tích của 3 quả bóng bàn, S là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số 1 2 S / S bằng: 1 2 3 6 A. 1. B. 2. C. . D. . 2 5
Ví dụ 8: Cho khối nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có
đỉnh là tâm I của đáy và đáy là một thiết diện song song với đáy
của hình nón đã cho. Để thể tích của khối nón đỉnh I lớn nhất thì
chiều cao của khối nón này bằng bao nhiêu? h h A. B. 2 3 2h h 3 C. D. 3 3 Trang 44
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB=a, biết SA=2a và
SAABC) , gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB và SC. Xác định tâm I và
tính bán kính R của mặt cầu qua các điểm A, B, C, H, K . a 2
A. I là trung điểm của AC, R=a 2 .
B. I là trung điểm của AC, R  . 2 a
C. I là trung điểm của AB, R a .
D. I là trung điểm của AB, R  2
b. GTLN – GTNN của thể tích a
Ví dụ 1: Cho hình nón có bán kính x , chiều cao y nội tiếp mặt cầu bán kính R  . Xác định 2
x, y sao cho khối nón có thể tích lớn nhất? (Xem hình vẽ bên) 2a 2 4a a A. x  , y  . B. x y  . 3 3 2 a 2 2a 2a C. x  , y  . D. x y  . 3 3 3
Ví dụ 2: Một khúc gỗ có dạng hình lăng trụ đứng với đáy là hình thang cân, đáy nhỏ bằng a , 5a
đáy lớn bằng 4a , cạnh bên bằng
; có chiều cao bằng 2a 3 . Người ta chế tác khúc gỗ đó 2
thành một khúc gỗ có dạng hình trụ (hình vẽ dưới đây). Thể tích V lớn nhất của khúc gỗ sau
khi được chế tác là bao nhiêu? Trang 45
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 3 4 a 3 3 2 a 3 A. V  . B. V  . C. 3 V  4 a 3 . D. 3 V  2 a 3 . 3 3
Ví dụ 3: Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều .Thể tích của hình lăng trụ là V .
Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là: A. 3 4V B. 3 V C. 3 2V D. 3 6V
Ví dụ 4: Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng. Hai mặt bên ABA'B'
và ACA'C' là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 m , rộng 5m . Gọi x m là độ dài của cạnh
BC . Hình lăng trụ có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu ? A. Thể tích lớn nhất 3 V  250(m ) B. Thể tích lớn nhất 3 V  5 2(m ) C. Thể tích lớn nhất 3 V  50(m ) D. Thể tích lớn nhất 3 V  2500(m )
Ví dụ 5: Một xí nghiệp chế biến thực phẩm muốn sản xuất những loại hộp hình trụ có thể tích
V cho trước để đựng thịt bò. Gọi x, hx  0,h  0 lần lượt là độ dài bán kính đáy và chiều cao
của hình trụ. Để sản xuất hộp hình trụ tốn ít vật liệu nhất thì giá trị của tổng x h là: V 3V V V A. 3 2 . B. 3 2 . C. 3 2 2 . D. 3 3 2 .
Ví dụ 6: Khi sản xuất vỏ hộp sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phi
nguyên liệu làm vỏ hộp là ít nhất, tức là diện tích toàn phẩn của hình trụ nhỏ nhất. Muốn thể
tích khối trụ đó bằng V và diện tích toàn phẩn hình ưụ nhỏ nhất thì bản kính đáy bằng: V V V V A. 3 R  . B. 3 R  . C. R  . D. R  . 2  2 
Ví dụ 7: Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi và có chiều rộng là a, chiều dài là b, người ta
gấp lại để tạo thành một hình trụ có chiều cao bằng a. Khối trụ được tạo thành có thể tích lớn nhất khi: Trang 46
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 A. b a 3 B. b a C. b a 5 D. b  2a
Ví dụ 8: Trong các hình trụ có thể tích V không đổi, người ta tìm được hình trụ có diện tích
toàn phần nhỏ nhất. Hãy so sánh chiều cao h và bán kính đáy của hình trụ này. R A. h  B. h R 2 C. h  2R D. hR 2
Ví dụ 9: Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài 98cm , chiều rộng 30cm được uốn lại
thành mặt xung quanh của một thùng đựng nước. Biết rằng chỗ mối ghép mất 2cm. Hỏi thùng
đựng tối đa được bao nhiêu lít nước? A. 22 lít B. 20 lít C. 25 lít D. 30 lít.
Ví dụ 10: Người ta muốn xây dựng một bồn
chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong
một phòng tắm. Biết chiều dài, chiều rộng,
chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 5m, 1m
, 2m(như hình vẽ). Biết mỗi viên gạch có
chiều dài 20cm , chiều rộng 10cm, chiều cao
5cm . Hỏi người ta cần sử dụng ít nhất bao
nhiêu viên gạch để xây hai bức tường phía
bên ngoài của bồn. Bồn chứa được bao nhiêu
lít nước? (Giả sử lượng xi măng và cát không đáng kể) A. 1180 viên; 8800 lít B. 1182 viên; 8820 lít C. 1180 viên; 8820 lít D. 1182 viên; 8800 lít
Ví dụ 11: Người thợ cần làm một cái bể cá hai ngăn, không 3
có nắp ở phía trên với thể tích 1, 296 m . Người thợ này
cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ
nhật với 3 kích thước a, ,
b c như hình vẽ. Hỏi người thợ
phải thiết kế các kích thước a, ,
b c bằng bao nhiêu để đỡ
tốn kính nhất, giả sử độ dầy của kính không đáng kể. A. a  3,6 , m b  0,6 , m c  0,6 m . B. a  2, 4 , m b  0,9 , m c  0,6 m . Trang 47
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 C. a  1,8 , m b  1, 2 , m c  0,6 m . D. a  1, 2 , m b  1, 2 , m c  0,9 m .
Ví dụ 12: Một sợ dây kim loại dài 60 cm được cắt ra thành 2 đoạn. Đoạn dây thứ nhất có độ
dài x được uốn thành một hình vuông. Đoạn dây còn lại được uốn thành một vòng tròn. Để
tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì giá trị x xấp xỉ bao nhiêu centimet? A. 28, 2 B. 33,6 C. 30 D. 36
Ví dụ 13: Cho hình lăng trụ tam giác AB .
C A' B'C ' .Một đường thẳng đi qua trung điểm I của
AB và song song với BC cắt AC tại J. Mặt phẳng  A'IJ chia khối lăng trụ thành 2 khối. Tính tỉ
số thể tích giữa 2 khối đó (số bé chia cho số lớn). 1 1 1 1 A. B. C. D. 11 6 3 4
Ví dụ 14: Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều .Thể tích của hình lăng trụ là V .
Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là: A. 3 4V B. 3 V C. 3 2V D. 3 6V
Ví dụ 15: Phải xây dựng một hố ga, dạng hình
hộp chữ nhật có thể tích  3
3 m . Tỉ số giữa h - chiều cao
chiều cao của hố h và chiều rộng của đáy x - chiều dài  h y - chiều rộng
y  bằng 4 . Biết rằng hố ga chỉ có các mặt y
bên và mặt đáy (tức không có mặt trên). Chiều dài của đáy  x
x gần nhất với giá trị
nào ở dưới để người thợ tốn ít nguyên vật liệu để xây hố ga. A.1 B.1,5 C. 2 D. 3
Ví dụ 16: Cho mặt cầu tâm O, bán kính .
R Xét mặt phẳng  P thay đổi cắt mặt cầu theo giao
tuyến là đường tròn C . Hình nón  N  có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn
C và có chiều cao hh R. Tính h để thể tích khối nón được tạo nên bởi N có giá trị lớn nhất. Trang 48
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 4R 3R A. h  3 . R B. h  2 . R C. h  . D. h  . 3 2 Trang 49
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 7. TOẠ ĐỘ OXYZ
a. GTLN- GTNN khoảng cách
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( A 1;2;2) ; ( B 5,4,4) và mặt phẳng ( )
P : 2x y z  6  0 . Tọa độ điểm M nằm trên (P) sao cho 2 2
MA MB nhỏ nhất là: A. M(3;3;3) B. M(2;1;9) C. M  1  ;1;5 D. M 1; 1  ;7
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1;2;2, B 5;4;4 và mặt
phẳng  P : 2x y – z  6  0 . Tọa độ điểm M nằm trên  P sao cho 2 2 MA MB nhỏ nhất là: A. M  1  ;1;5 B. M 0;0;6 C. M 1;1;9 D. M 0; 5  ;  1
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ( A 1;1;1), ( B 0;1;2),C( 2  ;0;1) , ( )
P : x y z 1  0 . Tìm điểm N ( ) P sao cho 2 2 2
S  2NA NB NC đạt giá trị nhỏ nhất.  1 5 3   3 1  A. N  ; ;   .
B. N(3;5;1) . C. N( 2  ;0;1) . D. N ;  ; 2   .  2 4 4   2 2 
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ( )
P : 2x y  2z 14  0 , 2 2 2
(S) : x y z  2x  4y  2z  3  0 . Tìm tọa độ điểm M (S) sao cho khoảng cách từ M
đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. A. M (0;0;2) B. M ( 1  ; 1  ; 3  ). C. M (3; 3  ;1) . D. M (1;0;2) . x 1 y z 1
Ví dụ 5: Cho đường thẳng  :   A 1; 2; 1  , B3; 1  ; 5  . Gọi d là 2 3 1  và hai điểm  
đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng
d là lớn nhất. Phương trình của d là: x  3 y z  5 x y  2 z A.     2 2 1  . B. 1  . 3 4 x 1 y  2 z 1 x  2 y z 1 C.     1 2 1  . D. 3 1 1  .
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : x  2y  2z  3  0 và mặt cầu S  2 2 2
: x y z  2x  4y  2z  5  0. Giả sử M   P và N S  sao cho MN cùng
phương với vectơ u 1;0; 
1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN. A. MN  3. B. MN  1 2 2. C. MN  3 2. D. MN  14. Trang 50
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( A 2; 1
 ;1) . Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
A. 2x y z  6  0
B. 2x y z  6  0 C.
2x y z  6  0
D. 2x y z  6  0
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có x 1 y z 1 phương trình:  
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và 2 1 3
khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
A. 7x y  5z  77  0
B. 7x y  5z  77  0
C. 7x y  5z  77  0
D. 7x y  5z  77  0
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số x  2
  t; y  2
t; z  2  2t . Gọi  là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và
I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa  và có
khoảng cách đến (d) là lớn nhất.
A. 2x z  9  0
B. 2x y  9  0
C. 2x z  9  0
D. 2x y  9  0 x 1 y z  2
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :   và điểm 2 1 2 (
A 2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.
A. x  4y z  3  0 B.
x  4 y z  3  0
C. x  4y z  3  0
D. x  4y z  3  0
Ví dụ 11: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M (0; 1  ;2) và N( 1  ;1;3). Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
A. x y z  3  0 B.
x y 2z  3  0
C. x y – z  3  0
D. x y z  3  0 Trang 51
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M (9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. x y z x y z A.    1 B.    1 7 3 3 2 3 3 x y z x y z C.    1 D.    1 27 3 3 27 3 3
Ví dụ 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm 1 1 1
M (1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức   có giá trị nhỏ 2 2 2 OA OB OC nhất. A. ( )
P : x  2y  3z 14  0 B. ( )
P : x  2y  3z 14  0 C. ( )
P : x  2y  3z 14  0 D. ( )
P : x  2y  3z 14  0
Ví dụ 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M (2;5;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA OB OC có giá trị nhỏ nhất x y z A. (P) :    1 2  6  10 5  10  15 3  6  15 x y z B. (P) :    1 2  6  10 5  10  15 3  6  15 x y z C. (P) :    1 2  6  10 5  10  15 3  6  15 x y z D. (P) :    1 2  6  10 5  10  15 3  6  15 b. GTLN-GTNN góc
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x  2y z  5  0 và đường x 1 y 1 z  3 thẳng d :  
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với 2 1 1
mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất. Trang 52
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717
A. y z  4  0
B. x z  4  0
C. y z  4  0
D. x z  4  0
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M ( 1  ; 1
 ;3), N(1;0;4) và mặt
phẳng (Q): x  2y z  5  0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc nhỏ nhất. A. ( )
P : x z  4  0 B. ( )
P : y z  4  0 C. ( )
P : y z  4  0 D. ( )
P : y z  4  0 x  1 t
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  2
  t . Viết phương  z  2t
trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
A. x  5y  2z  9  0
B. x  5y  2z  9  0
C. x  5y  2z  9  0
D. x  5y  2z  9  0 x 1 y  2 z
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :   1 1 2 1  và x  2 y 1 z d :  
d sao cho góc giữa mặt phẳng 2 2 1 
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 2 1
(P) và đường thẳng d là lớn nhất. 2
A. 7x y  5z 9   0
B. 7x y  5z 9   0 C.
7x y  5z 9   0
D. 7x y  5z 9   0 x 1 y  2 z 1
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :   1 1 1  và điểm A(2; 1
 ;0) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt
phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất. A. ( )
P : x y  2z 1  0 B. ( )
P : x y  2z 1  0 C. ( )
P : x y  2z 1  0 D. ( )
P : x y  2z 1  0
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x y z  2  0 và điểm ( A 1;1; 1
 ) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và
tạo với trục Oy một góc lớn nhất. Trang 53
ThS. Lục Trí Tuyên – Bồi dưỡng KT và LTĐH – Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu ĐT: 0972177717 A. ( )
P : y z  0 hoặc ( )
P : 2x  5y z  6  0 B. ( )
P : y z  0 hoặc ( )
P : 2x  5y z  6  0 C. ( )
P : x z  0 hoặc ( )
P : 2x  5y  6  0 D. ( )
P : y z  0 hoặc ( )
P : 2x  5y z  6  0 Trang 54
Document Outline

  • Untitled