



















Preview text:
  lOMoAR cPSD| 59256994
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH  1. MA TRẬN. 
1.1. Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2  A In . Chứng minh rằng A có ma trận 
nghịch ảo và tìm ma trận nghịch ảo của A.    5 6 2   1.2. Cho M N, 
 là các ma trận vuông cấp 3 thỏa mãn MN 6 7 2  6 6 1  a. Tính (MN)2 . 
b. Chứng minh NM khả nghịch. Tìm ma trận nghịch ảo của NM . 
1.3. Cho A là ma trận cấp n thỏa mãn A2  A. Chứng minh rằng ma trận B 2A I có ma trận  nghịch ảo.  1.4. Cho ma trận   ( )   
a. Chứng minh rằng nếu thì 
b. Tìm sao cho tồn tại ể   ( )    1.5. Tính    1 0 1n  2 1 0n      
a. 0 1 0  b. 0 1 0     0 0 1  0 0 2  
1.6. Tính lũy thừa bậc n của A cosx sinx sinx cosx  .    2017 1 2017      1.7. Cho ma trận A 2016 
2 2017  . Xác ịnh các phần tử nằm trên ường chéo chính    lOMoAR cPSD| 59256994   2016 1 2016 
của ma trận S  I  A A2  A2017. 
1.8. Cho là ma trận vuông cấp     ( )   
Tính , với là số nguyên dương. 
1.9. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng . 
1.10. Cho thỏa mãn Chứng minh rằng tồn tại ma trận khác ma trận 0 thỏa mãn 
1.11. Cho ma trận vuông A, B cấp n. Vết của ma trận A là tổng tất cả các phần tử trên ường 
chéo chính của A, kí hiệu Tr A . Chứng minh rằng: a. Tr A B   Tr A Tr B    . 
b. Tr kA kTr A k ,  . 
c. Tr AB Tr BA  
1.12. Chứng minh rằng không tồn tại các ma trận A B C D,  ,  ,   vuông cấp n  sao cho    AC BD I     và CA BD 
 0, I là ma trận ơn vị, 0 là  ma trận không.  1.13. (Đẳng thức Wagner) 
a. Chứng minh rằng với mọi ma trận A B C,  ,  vuông cấp 2 ta luôn có 
ABBA C2 C AB BA2  0 
b. Chứng minh rằng với mọi ma trận A B C, , vuông cấp 2 ta luôn có 
ABBA2016CC AB BA2016  0    1 2 1 1 1    
1.14. Tùy theo giá trị của m , hãy tìm hạng của ma trận A m 1  1 1 1     1 m 0 1 1      1 2 2 1 1     lOMoAR cPSD| 59256994   3 1 4 1    
1.15. Tìm m ể hạng của ma trận sau nhỏ nhất A m 2  3  1    3 1 1 0          3 3 7 2  1 m 0 ... 0 0   1 m ... 0    0 ... ... ... ...   0   
0 ... ... 1 .... Tìm m ể hạng của ma trận A  
1.16. Cho ma trận vuông cấp n: A...  0 0 ... 0 m     1  0  m  nhỏ hơn n. 
1.17. Chứng minh rằng mọi ma trận hạng r ều có thể phân tích ược thành tổng của r ma trận  có hạng bằng 1. 
1.18. Giả sử A, B là các ma trận vuông cấp n thỏa mãn AB BA A ,  2016  0, B2017  0. 
a. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k ể A Bk  0. 
b. Chứng minh rằng r I   A B r I   A B n.  2. ĐỊNH THỨC  1 x x2 x3   
2.1. Giải phương trình: 1 2 4 8  0    1 3 9 27    1 4 14 64  2.2. Tính ịnh thức :    1  1  1  1a   b  c d 
a. x12 x22 x32 x42 b. bc  ad da bc x1  x2 x3 x4    x13 x23 x33 x43d  c b a    lOMoAR cPSD| 59256994   a b c    2.3. Tính b c a 
trong ó a b c,, là 3 nghiệm của phương trình bậc 3 : x3  px q  0.    c a b   
2.4. Cho m, n, p, q là các nghiệm của phương trình x4   x 1  0 và      m1 1  1  1      1 n1 1  1   A      1  1  p 1  1       1     1  1  1  q   Tính det A . 
2.5. Tính các ịnh thức cấp n sau :  1 2  2  ...  21   2  3   ... n  2 2  2  ...  21   0  3   ... n    a. 2 2 3   ...  2;   b. 1 2 0   ... n   . . .   ...  ..  .  .   ...  .   2 2 2   ...   21  2 3 ...  0  0 1  1  ...  1a b  b ... b 1  0 x ... xb  a b ... b  c. 1 x 0  ... x ;   d.b b a ... b   . . .   ...  .. . .  ...  .    1 x x ... x     b b b ... a  1 x2 x  0 x ...  0  x e.  D 1  ...  0  n  1 x2  0  x  x2  ...  0,  ...  .  .  .  .  ...  0  0  0    lOMoAR cPSD| 59256994 1 x2 
Dn là ịnh thức cấp n mà các phần tử nằm trên ường chéo chính bằng 1+x2, các phần tử 
thuộc hai ường chéo gần ường chéo chính bằng x và các phần tử còn lại bằng 0.  2.6.  a. 
A là một ma trận vuông cấp n thỏa mãn A1  A. Chứng minh det(A I ) 0 hoặc  det(A I ) 2n.  b. 
A B, là hai ma trận vuông cùng cấp n thỏa mãn AB BA B  . Chứng minh det(B)   0. 
2.7. Cho A B, là các ma trận thực vuông cấp n thỏa mãn AB A B  và A2016  0. Chứng minh  rằng det( )B  0. 
2.8. Cho các ma trận vuông A B, thỏa mãn A A I B B It  ; t  . Biết det A det B. Chứng 
minh rằng det(A B)  0.  
2.9. Cho ma trận vuông cấp n A a  ij 
;aij  mini j, . Tính det A .   2.10.  Cho A a   ij 
 là một ma trận vuông cấp n2 và A11  A12  A1n  0, 
trong ó A1j là phần bù ại số của a1j . Chứng minh rằng tồn tại số thực  ể  a2n
 a11  a12  ... a1n  a   21  a22 ...     ... an1 2016    an2  ...  ...  ...  ...  ann 
3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 
3.1. Giải hệ phương trình:    lOMoAR cPSD| 59256994  
 3x  y 2z   t u  1 
 2x  y 7z  3t   5u  2  x 3y  2z  5t 7u  3 
3x 2y 7z  5t 8u   3 
3.2. Giải hệ phương trình thuần nhất sau:   x1  x2  x3  0   x2  x3  x4  0   x3  x4  x5  0        ........ 
 x8  x9  x10  0   
x1  ... x9  x10  0    
x1  x2  ...x10  0   
3.3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau 
 mxxx    myy y  mzzz  ttt 111 
b. 4xxx287xyy2   y4y4 zzzz16114tttt   1mm2 1 a. 
3.4. Cho là các số nguyên. Giải hệ:        lOMoAR cPSD| 59256994     { 
3.5. Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm khác nghiệm tầm thường:    {     trong ó và n lẻ. 
3.6. Tìm m ể hệ sau có nghiệm duy nhất   mx 8z  7t  m1 
3xmy  2z  4t  m      mz  5t  m2 1     5z mt  2m 2 
3.7. Tùy theo giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của hệ :      mx   y z  t  m 
 3y 2z (5m3)t  m 1  2x 
(m1)x3y 2z (m2 m t)  4   
3.8. Tìm iều kiện của m ể hai hệ sau có nghiệm chung     2x   y  z  2t  3u  3      x    y z t u  1       3x   y  z  3t  4u  2m    x y 2z 2mt  0     2x   y z  t  m    lOMoAR cPSD| 59256994 3.9. Cho a b c d, , , 
 . Chứng minh rằng hệ phương trình sau chỉ có nghiệm tầm  thường: 
 1a2x   by   cz  dt  0    
  bx 1 a2 y   dz  ct  0       
   cx dy 1 a2z   bt 0    
    dx cy  bz 1 a2t  0  4. ĐA THỨC 
4.1. (Xác ịnh a thức) Tìm tất cả các a thức P x( ) có hệ số nguyên sao cho   
P P x('( ))  P P x'(( )), x   
4.2. (Nghiệm của a thức) Cho P x( ) là a thức bậc n có n nghiệm phân biệt x x1 2,  ,...,xn.  Chứng minh rằng:  a.  1  1  ... 1  0.  P x'( 1) P x'( 2)  P x'( n)  b. 
P x' ( 1) P x' ( 2)  ... P x' ( n)  0.  P x'( 1) P x'( 2)  P x'( n) 
4.3. (Đa thức với yếu tố giải tích) Với mỗi số nguyên dương n2xét a thức P xn( ) nxn 
xn1   ... x 1. Hỏi P xn( ) có bao nhiêu nghiệm thực:  a.  Khi n  2;n  3?  b.  Khi n  4? 
4.4. (Tính chia hết của a thức) Cho m n, là các số nguyên dương. Chứng minh rằng iều kiện 
cần và ủ ể a thức xm  xn 1chia hết cho x2  x 1 là mn2 chia hết cho 3. 
4.5. Cho a thức P x( )  4x3 ax2 bx c trong ó a b c, , là các số thực. Hãy tìm a b c, , sao 
cho P x( ) 1 với mọi x thoả mãn x 1. 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ĐS OLIMPIC    lOMoAR cPSD| 59256994 MA TRẬN 
1.1 Có A A(  I) In  A có ma trận nghịch ảo là A – I  1.2 a) Có (MN)2  I3 
b)Ta có det(MN)  1 detNM1  NM có ma trận nghịch ảo det(MN)   0 
detM  0 và detN  0  N và M có ma trận nghịch ảo   
(MN)2  I3 MNMN  I3 
NM M N1 1  (NM)1. Vậy NM có ma trận nghịch ảo là  NM. 
1.3 Ta có (2A I )(2A I ) 4A2     4A I 4A 4A I I  B có ma trận nghịch ảo là chính  nó.  1.4 a) tính suy ra   
 b) Sử dụng phân tích ý 1) rồi tìm ra a,b,c.  1.5  1 0 1n 1 0 n 
0 1 0  0 1 0   
 0 0 1 0 0 1   2 1 0n 2n n0       
 0 1 0   0 1 0    
 0 0 2  0 0 2n  
An  cosnx sinnx  1.6 sinnx cosnx     lOMoAR cPSD| 59256994 2017 1.7 Cho ma trận 
chéo chính của 1 2016   A 2016 
2016 1 Ta có A I B B, 2016  1 2016  1  2016 2017  1 2017   
2017  . Dễ dàng kiểm tra B2  0. Do ó, với mọi số tự nhiên k  
2 2017  . Xác ịnh các 
ma trận S  I  A A2  A2017. 
phần tử nằm trên ường  2017 
ta có: Ak  I kB . Từ ó suy ra S  2018I 1009.2017.B. 
Vậy các phần tử trên ường chéo chính của ma trận S là s11  2018 
1009.2017.2016 ; s22  2018 1009.2017 ;s33  2018 1009.2017.2017 ;  1.8 HD : , với .  1.9 HD: suy ra . Suy ra . 
ừ iều kiện suy ra không khả nghịch. Do ó tồn tại các ma trận  1.10 HD: T 
 khác ma trận 0, sao cho , ặt là ma trận cần tìm.  1.11 Dễ dàng chứng minh 
1.12. Giả sử tồn tại các ma trận A B C D,  ,  , 
 vuông cấp n sao cho ACBD  I và  CABD  0   
CA BD 0 Tr CA BD  0   
Tr AC BD   nTr ACTr BD nTr CA Tr BD    n Tr CA BD   n  , vô lí . Suy ra pcm. 
1.13. a. AB BA C C AB BA 2    2  0    lOMoAR cPSD| 59256994 Ta có Tr AB BA     0 AB BA 
x yxAB BA   2 x2 0 yz 
x2 0 yzx2  yz I z  Ta có IC CI , suy ra pcm.  b. cmtt 
1.14 r A   3m 1; r A   4 m 1   
3 1 4 1 3 1 4 1  3 1 4 1      2 3 1       
1.15 A  m31 10  m022 3311   m0 22 
33 11. Ta thấy r A 2.  Dấu “=”   
3 3 7 2 0 2 3 1 0 0 0 0  xảy ra khi m  0 
1.16 Khai triển ịnh thức theo cột 1, ta ược det A   1  1n1mn. 
Hạng của ma trận A nhỏ hơn n khi và chỉ khi   
det A    01  1n1mn   0 1n1mn 1 
Nếu n lẻ thì m1. Nếu n chẵn thì m1. .   
1.17 Giả sử ma trận A cấpm n có hạng bằng r. Bằng cách sử dụng các phép biến ổi sơ cấp  Ir 0  
trên hàng hoặc cột của A có thể ưa A về dạng R  
 , tức là tồn tại các ma trận không  0 0m n 
suy biến P Q, sao cho A  PRQ( các thầy cô xem chứng minh trong giáo trình ại số tuyến tính của  thầy Vĩnh, nếu cần ). 
Ta phân tích R R R 1  2 ... Rr , trong ó Ri là các ma trận có tất cả các phần tử ều bằng 0 trừ phần 
tử ở hàng i, cột i bằng 1.    lOMoAR cPSD| 59256994 Ta có r PRQ  i 
r R i 1 (các phép biến ối sơ cấp không làm thay ổi hạng của ma trận).  Vậy A P R     1  R2... R Q PRQr 
 1  ... PRQr là cách phân tích thỏa mãn yêu cầu của bt. 
1.18 a) Do AB BA nên A B k k CABki i k i .  i0 
Vì A2016  0, B2017  0 nên k2017thì A B k  0. 
b) Vì A B k  0,k  2017 nên ta có 
I  I A B k I  A B I 
 A B  ... A B k1     
  1det I  detI  A B.det I A B  ... A B k  1    
 detI  A B 0 r I  A Bn 
Ta có: I  I A B 2 1k I  A B I A B  ... A B 2k . Tương 
tự như trên suy ra r I   A B n. Suy ra pcm.  ĐỊNH THỨC 
2.1 Khi khai triển ịnh thức ở vế trái theo dòng ầu, ta sẽ có vế trái là a thức bậc 3 của x , ký hiệu 
là f x( ) . Ta có f (2)  0 vì khi ó ịnh thức có 2 dòng ầu bằng nhau. Tương tự, có f (3)  0, f (4)  
0. Vì f x( ) là a thức bậc 3 nên có 3 nghiệm 2, 3, 4 nên pt có 3 nghiệm 2, 3, 4.  2.2 a)   1  1  1  1   0  x2 −x1  x3 −x1  x4 −x1   0  (x2 −x1)(x2 +x1)  (x3 −x1)(x3 +x1)  (x4 −x1)(x4 +x1)  0 
(x2 −x1)(x22 +x2x1 +x12) (x3 −x1)(x32 +x3x1 
+x12) (x4 −x1)(x42 +x4x1 +x12)    lOMoAR cPSD| 59256994 1 1  1  =(x2 −x1)(x3 −x1)(x4  −x1)x2 +x1  x3 +x1  x4 +x1 
x22 +x2x1 +x12 x32 +x3x1 +x12 x42 +x4x1 +x12    1  0  0  =(x2 −x1)(x3 −x1)(x4  −x1)x2 +x1  x3 −x2  x4 −x2   x22 +x2x1 +x12 
(x3 −x2)(x3 +x2 −x1) (x4 −x2)(x4 +x2 −x1)    1  1 
=(x2 −x1)(x3 −x1)(x4 −x1)(x3 −x2)(x4 −x2)x3  +x2 −x1 x4 +x2 −x1  =∏(x ) i −xj  i>j  b) Ta có:  2  a b  c   da b  c da    b c  d  b a  d  cb  a  d c b a  d c    .   c  d   a  b c d  a   bc  d  a b  d c b   ad  c b  ad c   b  a   
a2   b2 c2 d2 0 0 0 0 a2   b2 c2 d2 0 0    0  0  a2   b2 c2  d2 0    0  0  0  a2   b2  c2  d2  a 4 2   b2  c2 d2     a  b   c  d  ba  d  ca  2   b2  c2  d2 2   c  d   a  b   d  c b  a    lOMoAR cPSD| 59256994
2.3 Theo ịnh lý Viet, ta có a b c   0, nên    a  b  ca  b  a b ca  b  0 b  c  a  b   c  a  b  cb  c   0 0    c a  bc  a a b cc  a 0   
2.4. Ta có m, n, p, q là nghiệm của phương trình x x4   1 0 theo  ịnh lý Viet 
Nhân cột 4 với -1 rồi cộng vào các cột còn lại ta có   m 0  0  1   0  n  0   1n  0  10 0   1  = m  detA=0  0   p  10  p   1 +q n 0  1 
−q −q −q q+1−q −q 1+q0 p 1  =mnp+mnq+mpq+npq+mnpq=1+1=2  2.5 
a) Nhân dòng 2 với (-1) sau ó cộng vào các dòng (3), (4),…., (n). Ta có  1 2 2  ...  21  2  2  ...   21  2  2  ...  2  2 2 2  ...  22  2  2  ...   20  2  2  ... 2  (1)  2 2 3 ... 2  0 0 1  ... 0  0 0  1  ...  0 2(n 2)!  . . . ... .. . . ...  .. . . ... . 2 2 2 ...  22 2 2 ... n22 2 2  ... n2 
(1) : Nhân dòng (1) với (-2) sau ó cộng vào dòng (2).    lOMoAR cPSD| 59256994
b) Lần lượt cộng dòng (1) vào các dòng (2), (3), …., (n)    1  2  3 ... n1 2  3  ...  n   1 0  3 ... n0 2  6  ...  2n   1  2  0  ...  n  0 0  3  ...  2nn!    .  .  .  ... .. .  .  ...  .    1 2  3  ...  00  0  0  ...  n   
Khai triển theo hàng 1 ta có:  c)    = 1 
( + x 2 )D n − 1− x 2 D n − 2 ; D 1 = 1 + x 2    Mặt khác,    D2 =(1+x2)2 −x2 =x4 +x2 +x 
Dn −Dn−1 =x2(Dn−1 −Dn−2).... 
Dn =Dn−1 +x2n ⇒Dn =1+x2 +x4 +....+x2n 
d) Đầu tiên cộng các cột (2), (3), …, (n) vào cột (1). Sau ó nhân dòng (1) với (-1) cộng vào các 
dòng (2), (3), …(n). Ta có    lOMoAR cPSD| 59256994 a b b ... ba  (n 1)b b b ... b  a (n 1)b  b  b  ...   b b a b  ... ba (n 1)b a b  ... b  0  a b 0  ...   0  b      b b a ... b   a (n 1)b b a ...0  0  a b ... 0 a n 1b a  b  n1  .  . . ...  ..  . . ...  ..  .  .  ...  .  b b b  ... aa (n 1)b b b ... a  0  0  0  ... a b  2.6  a) 
Ta có A A 1       A2 I (A I)2 2(A I) detA I 2 2n detA I  . Suy ra iều  phải cm.  b)  Ta có AB BA B 
 . Nhân cả 2 vế với Bk1 vào bên phải các ma trận ta có : 
AB. k B AB.. k1  Bk. Lấy det 2 vế : 0  det A. det Bk det Bk .det AdetBk . Suy ra iều  phải chứng minh.    2.7 
Ta có A2016  0 det(A2016) (det A)2016  0 det A0    AB    A  B B AB  A  B  A B(  I)  det B  det  A.det(BI)  0  2.8 
Ta có, det A1,det B 1. Do det A det Bdet Adet B 0. Xét 
det B.det(A B )  det B.detA B t  det( .B At I)  det( .B At  AA. t )   
 det A.det(A B ) det B.det(A B ) 
Mà det B  0 det(A B)  0. Điều phải cm. 
2.9. Nhân hàng 1 với -2; -3; ...;-n rồi cộng tương ứng vào các hàng 2, 3,....n.    lOMoAR cPSD| 59256994 1 1  1  ...  1 
−1 0 0 ... 0 detA=−2 −1 0 0    ...  ...  ...  .... 
 −(n−1) −(n− 2 −(n− 3)  .... 0  −1 0 0 ... 0 −2 −1 0 0 
Khai triển theo cột n detA= −(  1)n+1−2  −1  ... =    ...  ... 
 −(n−1) −(n− 2) −(n− 3)  ... −1 
= −( 1)n+1.(−1)n−1 = −( 1)2n =1     2.10 Cho A a  ij 
 là một ma trận vuông cấp n 2 và A A11  12  A1n  0, trong ó A1j là phần 
bù ại số của a1j . Chứng minh rằng tồn tại số thực  ể  a ...  11  a12   a1n   a ...  21 a22  ...   ...  a ...  a2n 2016  n1 ...  ...    an2  ann  Ta có    lOMoAR cPSD| 59256994 a11  a12   ...  a1n a11   a12  ...   a     1n  ... a21 a22   ...   a2na21   a22  ...  a2na21 a22   ...  a  n  2 
 A A  A ... A  ... ...  ...  ......  ...  ...  ......  ...  ...  ...11  12  1n an1  an2  ...  annan1 an2  ...  annan1 an2  ...  ann    2016 A  Suy ra    . 
A11  A12  A1n 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  3.1 Gợi ý: Đổi 
chỗ hai pt cuối lên trên rồi giải hệ bằng phương pháp khử Gauss:  1 3  2 5   73 1  3 2 5 73  3  2 7  5   83 0  11 7 5 83  ↔  3 1  2 1 11 3 1 
2 1 11 2 1 7  3 52  2 1 7 3 52  3.2 
 Tổng 10 phương trình ta ược 3(x1+…. + x9+ x10)=0 nhóm 3 số hạng lại thành một nhóm ược 
x10=0 suy ra x1+x2=0 nên x3=0 suy ra x6= x9=0 nên x8=0 nên x7= x5= x2= x1=0… hệ chỉ có  nghiệm tầm thường.  3.3 
a) Lập ma trận hệ số mở rộng và dùng các phép biến ổi sơ cấp ưa ma trận về dạng bậc thang:              lOMoAR cPSD| 59256994                      
Do . Ta có các khả năng sau:   
Nếu . hệ có vô số nghiệm             
Nếu . hệ có vô số nghiệm         
Nếu . hệ có vô số nghiệm     
b) Lập ma trận hệ số mở rộng và dùng các phép biến ổi sơ cấp ưa ma trận về dạng bậc thang:                    Nếu . Hệ vô nghiệm.   
Nếu . Hệ có vô số nghiệm      lOMoAR cPSD| 59256994
3.4 Hệ phương trình tương ương với:       
Gọi là ma trận hệ số của phương trình trên. Ta có:     
Do ó là một số chẵn. Suy ra và có cùng tính chẵn lẻ, với mọi n. Mà là số 
lẻ nên cũng là số lẻ. do ó . Vậy hệ trên là hệ Cramer và có nghiệm duy nhất :   . 
3.5 Gọi A là ma trận các hệ số. Ta có do ó . Mà nên   (do n lẻ) 
Bởi vậy detA = 0 tức là r(A) < n. Theo ịnh lý Cronecker – Capelly hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 
vào (n – r ) tham số. Do ó hệ có nghiệm khác 0.   m 0   8  7   3 m     2  4m  0m  52 2   3.6  detA= m  m   25   0 0   m  53 m5  m    0 0 5 m 
Hệ có nghiệm duy nhất ↔ detA≠0↔m≠0