Bài Tập Điển Hình Chương 2 Toán Kinh Tế 1 |HVNH

BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH CHƯƠNG 2 Bài 14: Hàm tổng doanh thu:
TR = p . Q + p . Q =¿ 17 Q +21Q 1 1 2 2 1 2 Hàm lợi nhuận: π = − ( TR TC Q ) 1 ;Q2
= 11 Q −4 Q 2−25 Q −2Q 2+3+4 Q Q +17 Q +21 Q 1 1 2 2 1 2 1 2 = 28 Q −4
2−4 Q −2Q 2+3+4 Q Q 1 Q1 2 2 1 2 Ta có hệ phương trình:
{π =28−8Q +4Q 0 1 2= ' Q1 π
=−4+4 Q −4 Q =0 Q ' 1 2 2 =6 →{Q1 Q =5 2 → Đi m ể t i ớ h n
ạ ( Q ;Q )=(6; ) 5 1 2 Ta có: π ' ' =−8; π ' ' =−4 ;π ' ' =π ' ' =4 Q Q Q Q Q Q Q Q 1 1 2 2 1 2 2 1
D(6, 5)=|−8 4 |=16>0 4 −4
Có D(6, 5) > 0 và π ' ' =−8<0 n ê n Q Q 1 1 hàm π đ t ạ c c ự đ i ạ t i ạ (Q ;Q )=( 6;5) 1 2
Vậy để thu lợi nhuận tối đa thì mức sản lượng cần sản xuất là Q =6 vàQ =5 1 2 Bài 15:
Ta có TC= C1 + C2=128 + 0,2 Q2 + 156 + 0,1 Q2 1 2 Ta có TR=p.(Q +Q 2 2 1 )= -0,1 2 Q −0,1 −0,2 Q 1 Q2 1Q2 +600Q + 600Q 1 2
Π= TR –TC= -0,3 Q2−0,2 Q2−0,2 Q Q +600 Q +600 Q −284 1 2 1 2 1 2 Để lợi nhuận tối đa: Điều kiện cần:
π ' =600−0,6 Q −0,2 Q =0 Q 1 1 2
π ' =600−0,2Q −0,4 Q 0 1 2= Q 2
=> Q =600, Q =1200 => ( Q , Q ¿=¿ (600,1200) 1 2 1 2 Điều kiện đủ: D(I) = |−0,6−0,2| = 0,2 −0,2−0,4 } <
Ta có D(I) >0 mà π ¿ => lợi nhuân tối đa Q21
Vậy với Q =600, Q =1200 thì lợi nhuận đạt max 1 2 Bài 16:.
Công ty độc quyền sản xuất nên ta có hàm cung ngược là: p =120−5Q 1 1 p =200−20Q 2 2 Hàm tổng doanh thu:
TR = p . Q + p . Q =¿ 120 2+ − 2 1 1 2 2 Q −5 200Q 20Q 1 Q1 2 2 Hàm lợi nhuận: π = − ( TR TC Q ; Q ) 1 2 = 120 Q −5 2+ − 2− − + ) 1 Q1 200Q 20Q 35 40(Q Q 2 2 1 2 = 80 Q −5
2+160 Q −20Q 2−35 1 Q1 2 2 Ta có hệ phương trình: {π =80−10Q 0 1 = ' Q 1 π =160−40Q =0 Q ' 2 2 =8 →{Q1 Q =4 2 → Điểm tới h n
ạ ( Q ;Q )=(8 ;4) 1 2 Ta có: π ' ' =−10 ; π ' ' =−40 ; π ' ' =π ' ' =0 Q Q Q Q Q Q Q Q 1 1 2 2 1 2 2 1
D(8, 4)=|−10 0 |=400>0 0 −40
Có D(8, 4) > 0 và π ' ' =−10<0 n ê n Q Q 1 1 hàm π đ t ạ c c ự đ i ạ t i ạ
(Q ;Q )=( 8;4) →( p ; p )=(80;120) 1 2 1 2
Vậy để thu lợi nhuận tối đa thì sản phẩm cần sản xuất và giá bán ở mỗi cơ sở là
Q =8 ; p =80 và Q =4 ; p =120 1 1 2 2 Bài 17: Q1 = 40 – 2p - p 1 2 Q2 = 35 - p - p 1 2 Suy ra: p = 5 - Q 1 + Q 1 2 2 p = 30 + Q1 - 2Q2 Lợi nhuận: π = TR - TC = p 2 2 1Q + p 1 2Q - (Q 2 1 + 2Q2 + 10) = (5 - Q + Q 2 2 1 2)Q + (30 + Q 1 - 2Q 1 2)Q - (Q 2 1 + 2Q2 + 10) = −2Q 2− 2 + + + − 1 4 Q 5 Q 30 Q 2Q Q 10 2 1 2 1 2
Ta giải hệ phương trình:
' =−4 Q +2 Q +5=0 { πQ 1 2 1
π' =−8 Q +2Q +30=0 Q 2 1 2 =3,5714  {Q1 Q =4,6429 2
=> Ta có điểm dừng (Q , Q 1 ) = (3,5714; 4,6429) 2 Ta có: π '' 2 = −4 Q1 π '' 2 = −8 Q2 π '' ' ' Q Q = π Q Q = 2 1 2 2 1 Ta có: D(I) = |−4 2 |=28>0 2 −8
Có D(I) > 0 và π '' 2 = −4 <0 nên (Q1, Q ) = (3,5714; 4,6429) là điểm cực đại của hàm số Q 2 1 π
Vậy để lợi nhuận đạt tối đa thì sản lượng của mỗi thị trường lần lượt là
Q =3,5714 và Q =4,6429 1 2 Khi đó: p =¿ 1 = 6,0715 và p2 4,2856 Bài 18: Hàm tổng chi phí: TC 2 1 = 2Q + 0.1Q 1 1 + c1 TC 2 2 = 6Q + 0.02Q 2 2 + c2 Hàm tổng doanh thu: TR = P.(Q + Q 2 2 1 ) = 2
66 Q + 66 Q −0,2 Q Q −0,1Q −0,1Q 1 2 1 2 1 2 Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = TR– TC1 – TC2
= 64 Q +60 Q −0,2 Q Q −0,2Q2−0,12Q2+C 1+C 2 1 2 1 2 1 2
Có: π ' = -0,4 Q1 + 64 -0,2Q2= 0 Q1 π ' = -0,24Q + 60 -0,2Q1 = 0 Q 2 2  { Q1=60 Q 2=200
=> Điểm tới hạn là M(60, 200) Tại điểm M(60, 200) π'' = -0.4 Q21 π'' = -0.24 Q22 π'' ' ' Q Q = π Q Q = -0,2 1 2 2 1
D(M) = |−0,4 −0,2 | = 0,056 > 0 −0,2 −0,24
Có D(M) > 0 và π'' < 0 nên M là điểm cực đại Q21
Vậy cần sản xuất 60 sản phẩm ở nhà máy 1 và 200 sản phẩm ở nhà máy 2 và p= 40 để thu được lợi nhuận tối đa Bài 19:
Hàm lợi ích tiêu dùng: U=5 . x0,4 . y0,4
Do ngân sách tiêu dùng là $300 nên: 3 x+5 y =300
Vậy nên, bài toán đã cho là tìm cực trị của hàm số U=5. x0,4 . y0,4
với x>0 , y>0 thỏa mãn điều kiện 300−3 x−5 y =0
Dùng Phương pháp nhân tử Lagrange:  Ta lập hàm Lagrange:
L (x , y , λ ) =5. x0,4 . y0,4+ λ(300−3 x−5 y )  Giải hệ:
{L'(x,y,λ)=5.0,4.x−0.6.y0,4−3λ=0 x
L' ( x , y , λ)=5.0,4 . x0,4 . y−0,6−5 λ=0 y
L' ( x , y , λ)=300−3 x−5 y=0 λ
Ta có nghiệm duy nhất (x , y , λ)=( 50 ;30 ;0,2485)
 Ta có: L =L' ' ( x , y , λ)=−8,947.10−3 11 x2 L =L'' ( 22 x , y , λ)=−0,0249 y2
L =L = '' ( x , y , λ)=0,9411.10−3 12 21 Lxy
Với g (x , y )=3 x +5 y , ta có:
g =g' (x , y )=3 1 x
g =g' (x , y)=5 2 y
 Tại (x , y , λ)=(50;30 ;0,2485) , ta có: g2 |¯ H|=|0 g1 −3 g L L |=0 3 5 3 −8,947. 10 0,9411. 10−3|=0,4960>0 1 11 12 − g L L 5 0,9411.10 3 −0.0249 2 21 22
Vậy để lợi ích tiêu dùng lớn nhất thì hộ gia đình nên tiêu dùng gói hàng (x , y )=(50,30) Bài 20:
Hàm sản suất: Q=K0,3 . L0,5
Do ngân sách cố định là $384 nên: 6 K +2 L=384
Vậy nên, bài toán đã cho là tìm cực trị của hàm số Q=K0,3 . L0,5
với K >0 , L>0 thỏa mãn điều kiện 384−6 K−2 L=0
Dùng Phương pháp nhân tử Lagrange:  Ta lập hàm Lagrange:
L (K , L , λ )=K0,3 . L0,5+ λ (384−6 K −2 L )  Giải hệ:
{L'(K,L,λ)=0,3.K−0,7.L0,5−6λ=0 K
L' ( K , L, λ )=0,5. K0,3 . L−0,5−2 λ=0 L
L' ( K , L , λ ) =384−6 K −2 L=0 λ
Ta có nghiệm duy nhất (K , L , λ )=(24 ;120 ;0,0592)
 Ta có: L =L' ' ( 11 K , L , λ )=−0,01 K2 L =L'' ( 22 K , L, λ) =−0,0005 L2
L =L = '' ( K , L , λ)=0,002 12 21 LKL
Với g (K , L)=6 K +2 L , ta có:
g =g' ( K , L) =6 1 K
g =g' (K , L)=2 2 L
 Tại (K , L , λ)=( 24 ;120;0,0592) , ta có: g2 |¯ H|=|0 g1 g L L |=0 6 2 6 −0,01 0,002 |=0,106>0 1 11 12 g L L 2 0,002 −0,0005 2 21 22
Vậy để thu được sản lượng tối đa, doanh nghiệp đó nên sử dụng đơn vị tư bản (K) và đơn vị lao
động (L) tương ứng là (K , L) =(24,120 ) Bài 21: Hàm chi phí: TC = 70K + 20L
Vì hợp đồng cung ứng là 5600 sản phẩm nên: K.(L + 5) = 5600
Vậy nên bài toán đã cho là tìm cực trị của hàm số TC = 70K + 20L với K > 0,
L > 0 thỏa mãn điều kiện: 5600−KL−5 K =0
Dùng Phương pháp nhân tử Lagrange:  Ta lập hàm Lagrange:
L(K, L, λ) = 70 K+¿ 20L + λ(5600 5K   KL)
(K , L , λ )=70−λL−5 λ=0
 Giải hệ: { L'KL' ( K,L,λ)=20−Kλ=0 L
L' (K , L , λ) =5600−KL−5 K=0 λ
Ta có nghiệm duy nhất: (K, L, λ) = (40; 135; 0,5) L =L'' (K , L , λ )=0 11 K2  Ta có:
L =L' ' ( K , L , λ)=0 22 L2 L =L =L'' ( K , L , λ)=−0.5 12 21 KL
Với g(K, L) = KL+5 K , ta có: g = ' ( 1 g K K , L)=140 g =¿ ( 2 g'  L K , L ) = 40
 Tại (K, L, λ) = (40; 135; 0,5) ta có: g2 |´H|=|0 g1 g L L |= 0 140 40 140 0 −0.5|=−5600 < 0 1 11 12 g L L 40 −0.5 0 2 21 22
Nên việc sản xuất đạt cực tiểu tại (K, L) = (40; 135)