Bài Tập Điển Hình Chương 2 Toán Kinh Tế 1 |HVNH

Bài Tập Điển Hình Chương 2 Toán Kinh Tế 1 với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần. Mời bạn đọc đón xem!

11 6 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Toán kinh tế (HVNH)

Trường: Học viện Ngân hàng

Thông tin:

8 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Thanh Hoa
BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH CHƯƠNG 2
Bài 14:
Hàm tổng doanh thu:
TR =
p
1
. Q . Q
1
+ p
2 2
=¿
17
Q Q
1
+21
2
Hàm lợi nhuận:
π
(Q ;Q
1 2
)
=TR TC−
= 11
Q
1
−4 Q
1
2
−25 Q
2
−2Q
2
2
+3+4 Q
1
Q
2
+17 Q
1
+21 Q
2
= 28
Q Q
1
−4
1
2
−4 Q
2
−2Q
2
2
+3+4 Q
1
Q
2
Ta có hệ phương trình:
{
π
Q
1
' =28− =8 Q
1
+4 Q
2
0
π
Q
2
'
=−4+4 Q
1
−4 Q
2
=0
→
{
Q
1
=6
Q
2
=5
→ Đi mể t iớ h nạ
(
Q
1
;Q
2
)
=( )6 ;5
Ta có:
D(6, 5)=
|
−8 4
4 −4
|
=16>0
Có D(6, 5) > 0 và
π ' '
Q
1
Q
1
=−8<0 n ê n
hàm
π đ tạ c cự đ iạ t iạ
(
Q
1
;Q
2
)
=
(
6 ;5
)
Vậy để thu lợi nhuận tối đa thì mức sản lượng cần sản xuất là
Q
1
=6 vàQ
2
=5
Bài 15:
Ta có TC= C1 + C2=128 + 0,2
Q
1
2
+ 156 + 0,1
Q
2
2
Ta có TR=p.(Q +Q )= -0,1
1 2
Q
1
2
−0,1 Q
2
2
−0,2
Q
1
Q
2
+600Q + 600Q
1 2
Π= TR –TC= -0,3
Q
1
2
−0,2 Q
2
2
−0,2 Q
1
Q
2
+600 Q
1
+600 Q
2
−284
Để lợi nhuận tối đa:
Điều kiện cần:
π
Q1
'
=600−0,6 0,2Q
1
− Q
2
=0
π
Q 2
'
= =600 0,2− Q
1
−0,4 Q
2
0
=>
Q Q
1
=600,
2
=1200
=> (
Q
1
, Q
2
¿ ¿=
(600,1200)
Điều kiện đủ:
D(I) =
|
−0,6−0,2
−0,2−0,4
|
= 0,2
Ta có D(I) >0 mà
} <
π
Q
1
2
¿
=> lợi nhuân tối đa
Vậy với
Q Q
1
=600,
2
=1200
thì lợi nhuận đạt max
Bài 16:.
Công ty độc quyền sản xuất nên ta có hàm cung ngược là:
p
1
=120−5Q
1
p
2
=200−20Q
2
Hàm tổng doanh thu:
TR =
p
1
. Q . Q
1
+ p
2 2
=¿
120
Q Q
1
−5
1
2
+200Q
2
−20Q
2
2
Hàm lợi nhuận:
π
(Q
1
;Q
2
)
=TR TC−
= 120
Q Q
1
−5
1
2
+200Q
2
−20Q
2
2
− −35 40(Q
1
+Q
2
)
= 80
Q Q
1
−5
1
2
+160 Q
2
−20Q
2
2
−35
Ta có hệ phương trình:
{
π
Q
1
' = − =80 10Q
1
0
π
Q
2
'
=160−40Q
2
=0
→
{
Q
1
=8
Q
2
=4
→ Đi mể t iớ h nạ
(
Q
1
;Q
2
)
=( )8 ;4
Ta có:
π ' '
Q
1
Q
1
=− =−10 ; π ' '
Q
2
Q
2
40 ; π ' '
Q
1
Q
2
=π ' '
Q
2
Q
1
=0
D(8, 4)=
|
−10 0
0 −40
|
=400>0
Có D(8, 4) > 0 và
π ' '
Q
1
Q
1
=−10<0 n ê n
hàm
π đ tạ c cự đ iạ t iạ
(
Q
1
;Q
2
)
=
(
8 ;4
)
→
(
p
1
; p
2
)
=
(
80 ;120
)
Vậy để thu lợi nhuận tối đa thì sản phẩm cần sản xuất và giá bán ở mỗi cơ sở là
Q
1
=8 ; p
1
=80 và Q
2
=4 ; p
2
=120
Bài 17:
Q
1
= 40 – 2p - p
1 2
Q
2
= 35 - p - p
1 2
Suy ra: p = 5 - Q + Q
1 1 2
2 1 2
p = 30 + Q - 2Q
Lợi nhuận: π = TR - TC
= p + p - (Q + 2Q + 10)
1
Q
1 2
Q
2 1
2
2
2
= (5 - Q + Q + (30 + Q - 2Q - (Q + 2Q + 10)
1 2
)Q
1 1 2
)Q
2 1
2
2
2
=
−2Q
1
2
−4 Q
2
2
+5 Q
1
+30 Q
2
+2Q
1
Q
2
−10
Ta giải hệ phương trình:
{
π
Q
1
'
=−4 2Q
1
+ Q
2
+5=0
π
Q
2
'
=−8 Q
2
+2Q
1
+30 0=
{
Q
1
=3,5714
Q
2
=4,6429
=> Ta có điểm dừng (Q , Q ) = (3,5714; 4,6429)
1 2
Ta có:
π
Q
1
''
2
=
−4
π
Q
2
''
2
=
−8
π
Q
1
Q
2
''
=
π
Q
2
Q
1
''
= 2
Ta có:
D(I) =
|
−4 2
2 −8
|
=28>0
Có D(I) > 0 và
π
Q
1
''
2
=
−4 <0
nên (Q , Q ) = (3,5714; 4,6429) là điểm cực đại của hàm số
1 2
π
Vậy để lợi nhuận đạt tối đa thì sản lượng của mỗi thị trường lần lượt là
Q
1
=3,5714 và Q
2
=4,6429
Khi đó:
p
1
= 6,0715 và
p
2
=¿
4,2856
Bài 18:
Hàm tổng chi phí:
TC
1
= 2Q + 0.1Q + c
1 1
2
1
TC
2
= 6Q + 0.02Q + c
2 2
2
2
Hàm tổng doanh thu:
TR = P.(Q + Q ) =
1 2
66 Q
1
+66 Q
2
−0,2 Q
1
Q
2
−0,1Q
1
2
−0,1Q
2
2
Hàm lợi nhuận:
= TR – TC
= TR– TC – TC
1 2
=
64 60 0,2Q
1
+ Q
2
− Q
1
Q
2
−0,2Q
1
2
−0,12Q
2
2
+ +C 1 C 2
Có:
π
Q
1
'
= -0,4 Q + 64 -0,2Q2= 0
1
π
Q
2
'
= -0,24Q + 60 -0,2Q1 = 0
2
{
Q 1 60=
Q 2 200=
=> Điểm tới hạn là M(60, 200)
Tại điểm M(60, 200)
π
Q
1
2
''
= -0.4
π
Q
2
2
''
= -0.24
π
Q
1
Q
2
''
=
π
Q
2
Q
1
''
= -0,2
D(M) =
|
−0,4 −0,2
−0,2 −0,24
|
= 0,056 > 0
Có D(M) > 0 và
π
Q
1
2
''
< 0 nên M là điểm cực đại
Vậy cần sản xuất 60 sản phẩm ở nhà máy 1 và 200 sản phẩm ở nhà máy 2 và p= 40 để thu được
lợi nhuận tối đa
Bài 19:
Hàm lợi ích tiêu dùng:
U
=5 . x
0,4
. y
0,4
Do ngân sách tiêu dùng là $300 nên:
3 x+5 y =300
Vậy nên, bài toán đã cho là tìm cực trị của hàm số
U
=5. x
0,4
. y
0,4
với
x>0 , y >0
thỏa mãn điều kiện
300 0−3 x−5 y =
Dùng Phương pháp nhân tử Lagrange:
Ta lập hàm Lagrange:
L
(
x , y , λ
)
=
5. x
0,4
. y
0,4
+ λ
(
300−3 x−5 y
)
Giải hệ:
{
L
x
'
(x , y , λ)=5.0,4 . x
−0.6
. y
0,4
−3 λ=0
L
y
'
( x , y , λ)=5.0,4 . x
0,4
. y
−0,6
−5 λ=0
L
λ
'
(x , y, λ)=300−3 x y−5 =0
Ta có nghiệm duy nhất
(
x , y , λ
)
=
(
50 ;30 ; 0,2485
)
Ta có:
L
11
=L
x
2
' '
(
x , y , λ
)
=−
8,947.10
−3
L
22
=L
y
2
''
(
x , y , λ
)
=−0,0249
L L
12
=L
21
=
xy
''
(
x , y , λ
)
=
0,9411.10
−3
Với
g
(
x , y
)
=3 x +5 y ,
ta có:
g
1
=g
x
'
(
x , y
)
=3
g
2
=g
y
'
(x , y)=5
Tại
(x , y , λ)=( )50 0,2485;30 ;
, ta có:
|
¯
H
|
=
|
0 g
1
g
2
g
1
L
11 12
L
g
2
L
21
L
22
|
=
|
0 3 5
3
−8,947. 10
−3
0,9411. 10
−3
5 0,9411.10
−3
−0.0249
|
=0,4960>0
Vậy để lợi ích tiêu dùng lớn nhất thì hộ gia đình nên tiêu dùng gói hàng
(
x , y
)
=
(
50,30
)
Bài 20:
Hàm sản suất:
Q
=K
0,3
. L
0,5
Do ngân sách cố định là $384 nên:
6 K +2 L=384
Vậy nên, bài toán đã cho là tìm cực trị của hàm số
Q
=K
0,3
. L
0,5
với
K >0 , L>0
thỏa mãn điều kiện
384 0−6 2K − L=
Dùng Phương pháp nhân tử Lagrange:
Ta lập hàm Lagrange:
L
(
K , L , λ
)
=
K
0,3
. L
0,5
+λ
(
384−6 K −2 L
)
Giải hệ:
{
L
K
'
(
K , L , λ
)
= −
0,3. K
−0,7
. L
0,5
6 λ=0
L
L
'
(
K , L, λ
)
=
0,5. K
0,3
. L
−0,5
− =2 λ 0
L
λ
'
(
K , L , λ
)
=384− − =6 K 2L 0
Ta có nghiệm duy nhất
(
K , L , λ
)
=
(
24 ;120 ; 0,0592
)
Ta có:
L
11
=L
K
2
' '
(
K , L , λ
)
=−0,01
L
22
=L
L
2
''
(
K , L, λ
)
=−0,0005
L L
12
=L
21
=
KL
''
(
K , L , λ
)
=0,002
Với
g
(
K , L
)
=6 K +2 L ,
ta có:
g
1
=g
K
'
(
K , L
)
=6
g
2
=g
L
'
(
K , L
)
=2
Tại
(K , L , λ)=
(
24 ; 120 0,0592;
)
, ta có:
|
¯
H
|
=
|
0 g
1
g
2
g
1
L
11 12
L
g
2
L
21
L
22
|
=
|
0 6 2
6 −0,01 0,002
2 0,002 0,0005−
|
=0,106>0
Vậy để thu được sản lượng tối đa, doanh nghiệp đó nên sử dụng đơn vị tư bản (K) và đơn vị lao
động (L) tương ứng là
(
K , L
)
=
(
24,120
)
Bài 21:
Hàm chi phí: TC = 70K + 20L
Vì hợp đồng cung ứng là 5600 sản phẩm nên: K.(L + 5) = 5600
Vậy nên bài toán đã cho là tìm cực trị của hàm số TC = 70K + 20L với K > 0,
L > 0 thỏa mãn điều kiện:
5600 0−KL−5 K =
Dùng Phương pháp nhân tử Lagrange:
Ta lập hàm Lagrange:
L(K, L, λ) =
70 K+¿
20L + λ(5600 5K KL)
Giải hệ:
{
L
'
K
(
K , L , λ
)
= =70−λL−5 λ 0
L
'
L
(
K , L, λ
)
= =20−Kλ 0
L
'
λ
(
K , L , λ
)
=5600−KL−5 K=0
Ta có nghiệm duy nhất: (K, L, λ) = (40; 135; 0,5)
Ta có:
L
11
=L
''
K
2
(
K , L , λ
)
=0
L L
22
=
' '
L
2
(
K , L , λ
)
=0
L L
12
=
21
=L
''
KL
(
K , L, λ
)
=−0.5
Với g(K, L) =
KL+5 K ,
ta có:
g g
1
=
'
K
(
K , L
)
=140
g
2
=¿
g
'
L
(
K , L
)
= 40
Tại (K, L, λ) = (40; 135; 0,5) ta có:
|
´
H
|
=
|
0 g
1
g
2
g
1
L
11 12
L
g
2
L L
21 22
|
=
|
0 140 40
140 0 0.5−
40 −0.5 0
|
=−5600
< 0
Nên việc sản xuất đạt cực tiểu tại (K, L) = (40; 135)
| 1/8
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH CHƯƠNG 2 Bài 14: Hàm tổng doanh thu:
TR = p . Q + p . Q =¿ 17 Q +21Q 1 1 2 2 1 2 Hàm lợi nhuận: π = − ( TR TC Q ) 1 ;Q2
= 11 Q −4 Q 2−25 Q −2Q 2+3+4 Q Q +17 Q +21 Q 1 1 2 2 1 2 1 2 = 28 Q −4
2−4 Q −2Q 2+3+4 Q Q 1 Q1 2 2 1 2 Ta có hệ phương trình:
{π =28−8Q +4Q 0 1 2= ' Q1 π
=−4+4 Q −4 Q =0 Q ' 1 2 2 =6 →{Q1 Q =5 2 → Đi m ể t i ớ h n
ạ ( Q ;Q )=(6; ) 5 1 2 Ta có: π ' ' =−8; π ' ' =−4 ;π ' ' =π ' ' =4 Q Q Q Q Q Q Q Q 1 1 2 2 1 2 2 1
D(6, 5)=|−8 4 |=16>0 4 −4
Có D(6, 5) > 0 và π ' ' =−8<0 n ê n Q Q 1 1 hàm π đ t ạ c c ự đ i ạ t i ạ (Q ;Q )=( 6;5) 1 2
Vậy để thu lợi nhuận tối đa thì mức sản lượng cần sản xuất là Q =6 vàQ =5 1 2 Bài 15:
Ta có TC= C1 + C2=128 + 0,2 Q2 + 156 + 0,1 Q2 1 2 Ta có TR=p.(Q +Q 2 2 1 )= -0,1 2 Q −0,1 −0,2 Q 1 Q2 1Q2 +600Q + 600Q 1 2
Π= TR –TC= -0,3 Q2−0,2 Q2−0,2 Q Q +600 Q +600 Q −284 1 2 1 2 1 2 Để lợi nhuận tối đa: Điều kiện cần:
π ' =600−0,6 Q −0,2 Q =0 Q 1 1 2
π ' =600−0,2Q −0,4 Q 0 1 2= Q 2
=> Q =600, Q =1200 => ( Q , Q ¿=¿ (600,1200) 1 2 1 2 Điều kiện đủ: D(I) = |−0,6−0,2| = 0,2 −0,2−0,4 } <
Ta có D(I) >0 mà π ¿ => lợi nhuân tối đa Q21
Vậy với Q =600, Q =1200 thì lợi nhuận đạt max 1 2 Bài 16:.
Công ty độc quyền sản xuất nên ta có hàm cung ngược là: p =120−5Q 1 1 p =200−20Q 2 2 Hàm tổng doanh thu:
TR = p . Q + p . Q =¿ 120 2+ − 2 1 1 2 2 Q −5 200Q 20Q 1 Q1 2 2 Hàm lợi nhuận: π = − ( TR TC Q ; Q ) 1 2 = 120 Q −5 2+ − 2− − + ) 1 Q1 200Q 20Q 35 40(Q Q 2 2 1 2 = 80 Q −5
2+160 Q −20Q 2−35 1 Q1 2 2 Ta có hệ phương trình: {π =80−10Q 0 1 = ' Q 1 π =160−40Q =0 Q ' 2 2 =8 →{Q1 Q =4 2 → Điểm tới h n
ạ ( Q ;Q )=(8 ;4) 1 2 Ta có: π ' ' =−10 ; π ' ' =−40 ; π ' ' =π ' ' =0 Q Q Q Q Q Q Q Q 1 1 2 2 1 2 2 1
D(8, 4)=|−10 0 |=400>0 0 −40
Có D(8, 4) > 0 và π ' ' =−10<0 n ê n Q Q 1 1 hàm π đ t ạ c c ự đ i ạ t i ạ
(Q ;Q )=( 8;4) →( p ; p )=(80;120) 1 2 1 2
Vậy để thu lợi nhuận tối đa thì sản phẩm cần sản xuất và giá bán ở mỗi cơ sở là
Q =8 ; p =80 và Q =4 ; p =120 1 1 2 2 Bài 17: Q1 = 40 – 2p - p 1 2 Q2 = 35 - p - p 1 2 Suy ra: p = 5 - Q 1 + Q 1 2 2 p = 30 + Q1 - 2Q2 Lợi nhuận: π = TR - TC = p 2 2 1Q + p 1 2Q - (Q 2 1 + 2Q2 + 10) = (5 - Q + Q 2 2 1 2)Q + (30 + Q 1 - 2Q 1 2)Q - (Q 2 1 + 2Q2 + 10) = −2Q 2− 2 + + + − 1 4 Q 5 Q 30 Q 2Q Q 10 2 1 2 1 2
Ta giải hệ phương trình:
' =−4 Q +2 Q +5=0 { πQ 1 2 1
π' =−8 Q +2Q +30=0 Q 2 1 2 =3,5714  {Q1 Q =4,6429 2
=> Ta có điểm dừng (Q , Q 1 ) = (3,5714; 4,6429) 2 Ta có: π '' 2 = −4 Q1 π '' 2 = −8 Q2 π '' ' ' Q Q = π Q Q = 2 1 2 2 1 Ta có: D(I) = |−4 2 |=28>0 2 −8
Có D(I) > 0 và π '' 2 = −4 <0 nên (Q1, Q ) = (3,5714; 4,6429) là điểm cực đại của hàm số Q 2 1 π
Vậy để lợi nhuận đạt tối đa thì sản lượng của mỗi thị trường lần lượt là
Q =3,5714 và Q =4,6429 1 2 Khi đó: p =¿ 1 = 6,0715 và p2 4,2856 Bài 18: Hàm tổng chi phí: TC 2 1 = 2Q + 0.1Q 1 1 + c1 TC 2 2 = 6Q + 0.02Q 2 2 + c2 Hàm tổng doanh thu: TR = P.(Q + Q 2 2 1 ) = 2
66 Q + 66 Q −0,2 Q Q −0,1Q −0,1Q 1 2 1 2 1 2 Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = TR– TC1 – TC2
= 64 Q +60 Q −0,2 Q Q −0,2Q2−0,12Q2+C 1+C 2 1 2 1 2 1 2
Có: π ' = -0,4 Q1 + 64 -0,2Q2= 0 Q1 π ' = -0,24Q + 60 -0,2Q1 = 0 Q 2 2  { Q1=60 Q 2=200
=> Điểm tới hạn là M(60, 200) Tại điểm M(60, 200) π'' = -0.4 Q21 π'' = -0.24 Q22 π'' ' ' Q Q = π Q Q = -0,2 1 2 2 1
D(M) = |−0,4 −0,2 | = 0,056 > 0 −0,2 −0,24
Có D(M) > 0 và π'' < 0 nên M là điểm cực đại Q21
Vậy cần sản xuất 60 sản phẩm ở nhà máy 1 và 200 sản phẩm ở nhà máy 2 và p= 40 để thu được lợi nhuận tối đa Bài 19:
Hàm lợi ích tiêu dùng: U=5 . x0,4 . y0,4
Do ngân sách tiêu dùng là $300 nên: 3 x+5 y =300
Vậy nên, bài toán đã cho là tìm cực trị của hàm số U=5. x0,4 . y0,4
với x>0 , y>0 thỏa mãn điều kiện 300−3 x−5 y =0
Dùng Phương pháp nhân tử Lagrange:  Ta lập hàm Lagrange:
L (x , y , λ ) =5. x0,4 . y0,4+ λ(300−3 x−5 y )  Giải hệ:
{L'(x,y,λ)=5.0,4.x−0.6.y0,4−3λ=0 x
L' ( x , y , λ)=5.0,4 . x0,4 . y−0,6−5 λ=0 y
L' ( x , y , λ)=300−3 x−5 y=0 λ
Ta có nghiệm duy nhất (x , y , λ)=( 50 ;30 ;0,2485)
 Ta có: L =L' ' ( x , y , λ)=−8,947.10−3 11 x2 L =L'' ( 22 x , y , λ)=−0,0249 y2
L =L = '' ( x , y , λ)=0,9411.10−3 12 21 Lxy
Với g (x , y )=3 x +5 y , ta có:
g =g' (x , y )=3 1 x
g =g' (x , y)=5 2 y
 Tại (x , y , λ)=(50;30 ;0,2485) , ta có: g2 |¯ H|=|0 g1 −3 g L L |=0 3 5 3 −8,947. 10 0,9411. 10−3|=0,4960>0 1 11 12 − g L L 5 0,9411.10 3 −0.0249 2 21 22
Vậy để lợi ích tiêu dùng lớn nhất thì hộ gia đình nên tiêu dùng gói hàng (x , y )=(50,30) Bài 20:
Hàm sản suất: Q=K0,3 . L0,5
Do ngân sách cố định là $384 nên: 6 K +2 L=384
Vậy nên, bài toán đã cho là tìm cực trị của hàm số Q=K0,3 . L0,5
với K >0 , L>0 thỏa mãn điều kiện 384−6 K−2 L=0
Dùng Phương pháp nhân tử Lagrange:  Ta lập hàm Lagrange:
L (K , L , λ )=K0,3 . L0,5+ λ (384−6 K −2 L )  Giải hệ:
{L'(K,L,λ)=0,3.K−0,7.L0,5−6λ=0 K
L' ( K , L, λ )=0,5. K0,3 . L−0,5−2 λ=0 L
L' ( K , L , λ ) =384−6 K −2 L=0 λ
Ta có nghiệm duy nhất (K , L , λ )=(24 ;120 ;0,0592)
 Ta có: L =L' ' ( 11 K , L , λ )=−0,01 K2 L =L'' ( 22 K , L, λ) =−0,0005 L2
L =L = '' ( K , L , λ)=0,002 12 21 LKL
Với g (K , L)=6 K +2 L , ta có:
g =g' ( K , L) =6 1 K
g =g' (K , L)=2 2 L
 Tại (K , L , λ)=( 24 ;120;0,0592) , ta có: g2 |¯ H|=|0 g1 g L L |=0 6 2 6 −0,01 0,002 |=0,106>0 1 11 12 g L L 2 0,002 −0,0005 2 21 22
Vậy để thu được sản lượng tối đa, doanh nghiệp đó nên sử dụng đơn vị tư bản (K) và đơn vị lao
động (L) tương ứng là (K , L) =(24,120 ) Bài 21: Hàm chi phí: TC = 70K + 20L
Vì hợp đồng cung ứng là 5600 sản phẩm nên: K.(L + 5) = 5600
Vậy nên bài toán đã cho là tìm cực trị của hàm số TC = 70K + 20L với K > 0,
L > 0 thỏa mãn điều kiện: 5600−KL−5 K =0
Dùng Phương pháp nhân tử Lagrange:  Ta lập hàm Lagrange:
L(K, L, λ) = 70 K+¿ 20L + λ(5600 5K   KL)
(K , L , λ )=70−λL−5 λ=0
 Giải hệ: { L'KL' ( K,L,λ)=20−Kλ=0 L
L' (K , L , λ) =5600−KL−5 K=0 λ
Ta có nghiệm duy nhất: (K, L, λ) = (40; 135; 0,5) L =L'' (K , L , λ )=0 11 K2  Ta có:
L =L' ' ( K , L , λ)=0 22 L2 L =L =L'' ( K , L , λ)=−0.5 12 21 KL
Với g(K, L) = KL+5 K , ta có: g = ' ( 1 g K K , L)=140 g =¿ ( 2 g'L K , L ) = 40
 Tại (K, L, λ) = (40; 135; 0,5) ta có: g2 |´H|=|0 g1 g L L |= 0 140 40 140 0 −0.5|=−5600 < 0 1 11 12 g L L 40 −0.5 0 2 21 22
Nên việc sản xuất đạt cực tiểu tại (K, L) = (40; 135)