Bài tập giải tích 1 có đáp án | Trường Đại học Giao thông Vận Tải

lOMoAR cPSD| 40425501 BÀI TẬP GIẢI TÍCH A1 Ts. Lê Xuân Đại Ngày 7 tháng 7 năm 2011 lOMoAR cPSD| 40425501 Mục lục
1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3 1.1
Khái niệm dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa dãy số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2
Tính chất của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2
Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1
Những khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2
Tính chất của giới hạn hữu hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3
Giới hạn vô cùng của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4
Dãy con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.5
Mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số hội tụ . . . . 6 1.3
Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass
. . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1
Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2
Dùng định lý kẹp giữa tìm giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.3
Sử dụng giới hạn cơ bản
lim qn = 0, |q| < 1 để tìm giới hạn của dãy 10 n→+∞ 1.4.4
Sử dụng giới hạn cơ bản
để tìm giới hạn của dãy 11 1.4.5
Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu . . 11 1 1.4.6
Tìm giới hạn của dãy số dùng giới hạn cơ bản lim (1+un)un = e, biết n→∞
rằng khi n → ∞ thì un → 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.7
Dùng mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số để chứng
minh dãy số phân kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 17
2.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Giới hạn của hàm số từ một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại điểm vô cùng
. . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Giới hạn vô cùng của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Giới hạn vô cùng của hàm số tại điểm vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 lOMoAR cPSD| 40425501
2.6 Giới hạn vô cùng bé của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Giới hạn vô cùng lớn của hàm số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8 Tính chất của hàm vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.9 Giới hạn của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.10 Những giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.11 So sánh hàm vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.12 Những hàm vô cùng bé tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.13 So sánh hàm vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.14 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.14.1 Tìm giới hạn của hàm một biến bằng cách thay vô cùng bé tương đương 22
2.14.2 So sánh những hàm vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.14.3 Tìm giới hạn của hàm một biến bằng cách thay vô cùng lớn tương đương 24
2.14.4 So sánh những vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.14.5 Tìm giới hạn của hàm một biến dùng giới hạn cơ bản
e, biết rằng khi x → a thì u(x) → 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.14.6 Tìm giới hạn của biểu thức có dạng f(x)g(x) khi x → a . . . . . . . . 25 Chương 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1 Khái niệm dãy số 1.1.1 Định nghĩa dãy số
Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ f : N −→ R từ tập hợp số tự nhiên lên tập hợp số thực R được gọi là dãy số.
Dãy số được kí hiệu là (xn). 2 lOMoAR cPSD| 40425501 1.1.2 Tính chất của dãy số
1. Tính tăng và tính giảm.
Định nghĩa 1.1.2 Dãy số (xn) được gọi là dãy tăng (dãy giảm) nếu như với mọi n ∈ N luôn có bất
đẳng thức xn < xn+1(xn < xn+1). Ví dụ 1.1.1 Dãy là dãy tăng. Chứng minh. Vì
nên ta chỉ cần chứng minh . Ta có
(Bất đẳng thức Bernuli.) Chứng minh rằng, nếu số h > −1 và h 6= 0 thì luôn có bất đẳng thức
(1 + h)n > 1 + nh với mọi số tự nhiên n > 2.
Chú ý rằng dấu đẳng thức có được là do dùng bất đẳng thức Bernuli.
Như vậy xn < xn+1 Ví dụ 1.1.2 Dãy số là dãy giảm. Chứng minh. Vì
nên ta chỉ cần chứng minh . Ta có
Chú ý rằng dấu bất đẳng thức có được là do dùng bất đẳng thức Bernuli.
Như vậy xn > xn+1 2. Tính bị chặn.
Định nghĩa 1.1.3 Dãy số (xn) ⊂ R được gọi là bị chặn trên (dưới), nếu như tồn tại số ∃M ∈ R (m ∈
R), sao cho với mọi ∀n ∈ N luôn có xn 6 M(xn > m).
Số M (m) được gọi là cận trên (cận dưới) của dãy (xn). 3 lOMoAR cPSD| 40425501
Định nghĩa 1.1.4 Dãy số (xn) ⊂ R được gọi là bị chặn, nếu nó bị chặn trên và chặn dưới có nghĩa
là nếu như tồn tại số ∃M,m ∈ R sao cho với mọi ∀n ∈ N luôn có m 6 xn 6 M.
Định nghĩa 1.1.5 Dãy số (xn) ⊂ R được gọi là không bị chặn trên (dưới), nếu như với mọi số ∀M ∈
R (m ∈ R), tồn tại số hạng của dãy số xn0 sao cho xn0 > M (xn0 < m). Ví dụ 1.1.3 Dãy số
bị chặn dưới bởi số m = 0, và bị chặn trên
bởi số M = (1 + 1)2 = 4.
Chứng minh. Vì dãy này là dãy giảm nên với mọi ∀n ∈ N luôn có xn 6 x1 = 4.
Với mọi ∀n ∈ N ta có xn > 0 Ví dụ 1.1.4 Dãy số
bị chặn dưới bởi số m = 0 và bị chặn trên bởi số M = 4.
Chứng minh. Với mọi ∀n ∈ N luôn có 1.2 Giới hạn của dãy số 1.2.1
Những khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.2.1 Số a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy (xn) ⊂ R, nếu như với mọi ∀ε > 0 tồn tại số
N = N(ε) sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức |xn − a| < ε.
Chú ý. Nếu số a ∈ R là giới hạn của dãy (xn) ⊂ R thì ta viết là lim→∞xn = a. n
Định nghĩa 1.2.2 Dãy số (xn) ⊂ R có giới hạn hữu hạn a ∈ R được gọi là dãy hội tụ đến a. Khi đó ta
viết là xn → a.
Định nghĩa 1.2.3 Dãy số (xn) ⊂ R được gọi là phân kỳ nếu như mọi số ∀a ∈ R không là giới hạn của dãy số này. 4 lOMoAR cPSD| 40425501 1.2.2
Tính chất của giới hạn hữu hạn của dãy số
Định lý 1.2.1 Mọi dãy hội tụ (xn) ⊂ R đều bị chặn.
Chú ý. Điều ngược lại không đúng. Ví dụ dãy an = (−1)n bị chặn nhưng phân kỳ.
Định lý 1.2.2 Nếu dãy số (xn) ⊂ R có giới hạn hữu hạn a thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lý 1.2.3 Nếu dãy số (xn) ⊂ R và (yn) ⊂ R có giới hạn hữu hạn tương ứng là a và b thì luôn có đẳng thức sau:
lim→∞|xn| = |a|. n
lim→∞(xn ± yn) = a ± b
n lim (xn.yn) = a.b n→∞
Nếu bổ sung thêm điều kiện b = 06 thì ta có .
Định lý 1.2.4 Nếu yn 6 xn 6 zn,
∀n > n0 và lim→∞yn = lim→∞zn = a thì lim→∞xn = a. n n n 1.2.3
Giới hạn vô cùng của dãy số
Định nghĩa 1.2.4 Số +∞(−∞;∞) được gọi giới hạn của dãy số (xn) ⊂ R, nếu như với mọi ∀M > 0
tồn tại số N = N(M) >) sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức xn > M(xn < −M;|xn| > M). 1.2.4 Dãy con
Định nghĩa 1.2.5 Cho dãy số (xn) ⊂ R và n1 < n2 < ... < nk < ... một dãy số tự nhiên tăng bất kỳ, khi
đó dãy số xn1,xn2,...,xnk,... được gọi là dãy con của dãy (xn). Dãy con được kí hiệu là (xnk).
Định nghĩa 1.2.6 Số c ∈ R được gọi là giới hạn riêng của dãy (xn), nếu như tồn tại dãy con (xnk) của
dãy (xn), hội tụ đến số c. 5 lOMoAR cPSD| 40425501
1.2.5 Mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số hội tụ
Nếu như dãy (xn) hội tụ đến số a, thì với mọi dãy con (xnk) của dãy (xn), giới hạn của nó là a.
lim xn = a =⇒ lim→∞xn = a k n→∞ k
Định lý 1.2.5 Nếu dãy (xn) hội tụ thì tất cả giới hạn riêng của dãy (xn) đều bằng nhau và bằng giới
hạn của dãy số (xn).
Chú ý. Để chứng minh dãy (xn) phân kỳ ta làm như sau:
Cách 1. Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau. Cách 2. Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ.
Ví dụ 1.2.1 Nói chung đối với một số dãy số thì có thể tồn tại những giới hạn riêng khác nhau.
Đối với dãy (xn) = (−1)n (n ∈ N), dãy con của nó (x2k) = (−1)2k = 1 và (x2k−1) = (−1)2k−1 = −1
có giới hạn riêng lần lượt là 1 và -1. Chúng không bằng nhau.
Ví dụ 1.2.2 Không phải với dãy số nào cũng có giới hạn riêng.
Dãy số 1,2,...,n,... không có giới hạn riêng. 1.3
Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass
Định lý 1.3.1 Nếu dãy số đơn điệu tăng (giảm) (xn) ⊂ R bị chặn trên (dưới): x1 6 x2 6
... 6 xn 6 ... 6 y (x1 > x2 > ... > xn > ... > z), thì nó có giới hạn hữu hạn. Còn nếu như dãy số đơn điệu
tăng (giảm) (xn) ⊂ R không bị chặn trên (dưới) thì giới hạn của nó là +∞(−∞).
Ví dụ 1.3.1 Chứng minh rằng dãy số
có giới hạn hữu hạn. Giới hạn này
được kí hiệu là e.
Chứng minh. Như ta đã biết dãy (xn) trên là dãy tăng và bị chặn trên. Vì vậy theo định lý
Weierstrass tồn tại giới hạn hữu hạn 6 lOMoAR cPSD| 40425501
Chú ý. Số e là số siêu việt (không phải là số đại số). Nó không là nghiệm của đa thức với hệ số
nguyên có bậc n > 1. Số e ≈ 2,718281828459045, số này còn được gọi là số Neper hay số Ơle. 1.4
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số 1.4.1
Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số Bài 1.4.1 Tìm giới hạn . Giải. . Bài 1.4.2 Tìm giới hạn . Giải. . Bài 1.4.3 Tìm giới hạn . Giải. . Bài 1.4.4 Tìm giới hạn . Giải. . Bài 1.4.5 Tìm giới hạn . Giải. . 7 lOMoAR cPSD| 40425501 √ 4 √ n n I 3 + n − = lim √ Bài 1.4.6 Tìm giới hạn n →∞ n +2+ n +1 . Giải. . 1.4.2
Dùng định lý kẹp giữa tìm giới hạn của dãy số
Định lý 1.4.1 Nếu yn 6 xn 6 zn,
∀n > n0 và lim→∞yn = lim→∞zn = a thì lim→∞xn = a. n n n Bài 1.4.7 Tìm giới hạn . Giải. Đặt . Khi đó ta có . Vì
nên an → 1 khi n → ∞. Bài 1.4.8 ! Giải.
Bằng phương pháp qui nạp toán học ta có thể chứng minh được . Do đó . Mặt khác .
Bài 1.4.9 I = lim √n n n→∞ Giải.
Theo công thức nhị thức Newton ta có . 8 lOMoAR cPSD| 40425501
Với mọi ∀n > 1 ta có . Do đó với mọi . Mặt khác .
Bài 1.4.10 I = lim √n a, a > 1. n→∞ Giải.
Theo công thức nhị thức Newton ta có .
Với a > 1 ta có a > n( a − 1). Do đó Mặt khác lim→∞ = 0 nên n n
lim→∞ √n a − 1 = 0 hay I = 1. n Bài 1.4.11 . Giải.
Nếu q = 0 thì I = 0. Nếu q = 06 thì ta có,
do đó. Từ đó theo bất đẳng thức Bernouli ta có . Mặt khác Bài 1.4.12 . Giải.
Theo công thức nhị thức Newton ta có . Với a > 1 ta có . Do đó . Mặt khác 9 lOMoAR cPSD| 40425501 . Bài 1.4.13 Giải. Với α > 0 ta có Mặt khác nên I = 0. 1.4.3
Sử dụng giới hạn cơ bản lim qn = 0, |q| < 1 để tìm giới hạn n→+∞ của dãy
Bài 1.4.14 Tìm giới hạn của dãy Giải.
Chia tử số và mẫu số cho 7n ta có Do đó . Bài 1.4.15 Tìm giới hạn Giải.
Chia tử số và mẫu số cho 3n ta có Do đó . Bài 1.4.16 Tìm giới hạn Giải.
Chia tử số và mẫu số cho 5n ta có Do đó . 10 lOMoAR cPSD| 40425501 Bài 1.4.17 Tìm giới hạn Giải.
Chia tử số và mẫu số cho (−6)n ta có Do đó . Bài 1.4.18 Tìm giới hạn Giải.
Chia tử số và mẫu số cho 3n ta có Do đó .
1.4.4 Sử dụng giới hạn cơ bản
để tìm giới hạn của dãy Bài 1.4.19 Tìm giới hạn Giải.
Chia tử số và mẫu số cho (−1)n ta có Do đó .
1.4.5 Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Định lý 1.4.2 Nếu dãy số đơn điệu tăng (giảm) (xn) ⊂ R bị chặn trên (dưới): x1 6 x2 6
... 6 xn 6 ... 6 y (x1 > x2 > ... > xn > ... > z), thì nó có giới hạn hữu hạn. Còn nếu như dãy số đơn điệu
tăng (giảm) (xn) ⊂ R không bị chặn trên (dưới) thì giới hạn của nó là +∞(−∞).
Bài 1.4.20 Chứng minh rằng dãy hội tụ. Giải. 11 lOMoAR cPSD| 40425501
Dãy an là dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vì
nên an+1 > an.
Dãy an bị chặn trên. Thật vậy .
Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Bài 1.4.21 Chứng minh rằng dãy hội tụ. Giải.
Dãy an là dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vì
nên an+1 > an.
Dãy an bị chặn trên. Thật vậy .
Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Bài 1.4.22 Chứng minh rằng dãy
hội tụ và tìm giới hạn của nó. Giải.
Dãy an là dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vì .
nên an+1 < an.
Dãy an bị chặn dưới bởi 0 vì an > 0. Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ.
Giả sử lim an = a. Ta có. Lấy
giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n→∞ n → ∞ ta được .
Do đó a = 0.a ⇒ a = 0. Vậy
Bài 1.4.23 Cho dãy a1 = √2 ,an+1 = √2
an. Chứng minh rằng dãy (an) hội tụ và tìm giới hạn của nó. 12 lOMoAR cPSD| 40425501 Giải.
Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì a1 < a2 < a3 < ....
Ta sẽ chứng minh dãy an bị chặn trên bởi 2.
Thật vậy, a1 = √2 ,a2 = √2a1 < √2.2 = 2.
Giả sử đã chứng minh được rằng an 6 2. Ta sẽ chứng minh an+1 6 2. Thật vậy, an+1 =
√2an 6 √2.2 = 2. Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an 6 2,∀n ∈ N
Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Giả sử lim→∞an = a. Ta có an+1 = √2an ⇒ an2+1 = 2an. Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức n
này khi n → ∞ ta được .
Do đó a2 = 2.a ⇒ a = 0Wa = 2. Vì a >
n √2 nên a = 2. Vậy lim→∞an = 2. n Bài 1.4.24 Cho dãy . n dấu căn Chứng
minh rằng dãy (xn) hội tụ và tìm giới hạn của nó. Giải.
Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì x1 < x2 < x3 < ....
Ta sẽ chứng minh dãy xn bị chặn trên bởi √a + 1.
Thật vậy, x1 = √a < √a+1,x2 = pa +√√a < pa + √a + 1 < pa + 2√a √+ 1 = √a+1.
Giả sử đã chứng minh được rằng xn 6 a + 1. Ta sẽ chứng minh an+1 6 a + 1. Thật vậy, an+1 = √a
+ xn < a + √a + 1 < a + 2√a + 1 = √a + 1. Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có xn 6 √a + 1,∀pn ∈ N p
Như vậy, dãy xn đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Giả sử lim xn = x. Ta có
. Lấy giới hạn 2 vế của đẳng n→∞
thức này khi n → ∞ ta được 13 lOMoAR cPSD| 40425501 Do đó nên . Vậy .
Bài 1.4.25 Tìm giới hạn của dãy an được xác định như sau:
0 < a1 < 1,an+1 = an(2 − an), ∀n > 1. Giải.
Đầu tiên ta sẽ chứng minh an bị chặn, cụ thể là 0 < an < 1.
Thật vậy, ta có 0 < a1 < 1.
Giả sử đã chứng minh được rằng 0 < an < 1. Ta sẽ chứng minh 0 < an+1 < 1. Thật vậy, an+1 =
an(2−an) = 1−(1−an)2. Do 0 < (1−xn)2 < 1 nên 0 < an+1 < 1. Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có 0 <
an+1 < 1,∀n ∈ N
Bây giờ ta sẽ chứng minh dãy an đơn điệu tăng. Thậy vậy
2 − an > 1. Từ đó an+1 > an,∀n ∈ N
Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Giả sử lim→∞an = a. Ta có an+1 = an(2 − an). Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n n → ∞ ta được lim (2
→∞an+1 = lim→∞an. lim→∞ − an). n n n
Do đó a = a.(2 − a) ⇒ a = 0Wa = 1. Vì an > a0 > 0 và an đơn điệu tăng nên a = 1. Vậy
lim an = 1. n→∞
Bài 1.4.26 Cho dãy a1 = √k 5 ,an+1 = √k 5
an, k ∈ N. Chứng minh rằng dãy (an) hội tụ và tìm giới hạn của nó. Giải. 14 lOMoAR cPSD| 40425501
Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì a1 < a2 < a3 < ....
Ta sẽ chứng minh dãy an bị chặn trên bởi k−√1 5. Thật vậy, .
Giả sử đã chứng minh được rằng an 6 k−√1 5.
Ta sẽ chứng minh an+1 6 k−√1 5. Thật vậy, .
Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an 6 k−√1 5,∀n ∈ N
Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Giả sử lim an = a. Ta có
. Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức n→∞
này khi n → ∞ ta được .
Do đó ak = 5.a ⇒ a = 0Wa = k−√1 5. Vì an > √k 5 nên a = k−√1 5. Vậy lim→∞an = k−√1 5. n 15 lOMoAR cPSD| 40425501
Bài 1.4.27 Chứng minh rằng dãy
hội tụ và tìm giới hạn của nó. Giải.
Dãy an là dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vì ,
nên an+1 < an.
Dãy an bị chặn dưới bởi 0 vì an > 0. Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ.
Giả sử lim an = a. Ta có.
Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n→∞ n → ∞ ta được .
Do đó a = e−1.a ⇒ a = 0. Vậy .
1.4.6 Tìm giới hạn của dãy số dùng giới hạn cơ bản e, biết rằng
khi n → ∞ thì un → 0. Bài 1.4.28 Tìm giới hạn Giải. Bài 1.4.29 Tìm giới hạn . Giải. . Bài 1.4.30 Tìm giới hạn . Giải. . Bài 1.4.31 Tìm giới hạn .
Downloaded by Mai Le Thi Nguyet (hoathanvu729@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40425501
1.4.7 Dùng mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số để chứng minh dãy số phân kỳ
Định lý 1.4.3 Nếu dãy (xn) hội tụ thì tất cả giới hạn riêng của dãy (xn) đều bằng nhau và bằng giới hạn
của dãy số (xn).
Chú ý. Để chứng minh dãy (xn) phân kỳ ta làm như sau:
Cách 1. Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau. Cách 2. Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ.
Bài 1.4.32 Chứng minh rằng dãy phân kỳ. Giải.
Xét 2 dãy con với chỉ số chẵn và lẻ ta có khi n → ∞.
Vậy tồn tại 2 dãy con có giới hạn khác nhau nên dãy đã cho phân kỳ. 17
Downloaded by Mai Le Thi Nguyet (hoathanvu729@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40425501 Chương 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1
Giới hạn của hàm số tại một điểm
Cho X ⊂ R là 1 tập hợp số nào đó, còn a ∈ R là 1 số cố định nào đó.
Định nghĩa 2.1.1 Nếu số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X ⊂ R, thì tồn tại dãy số (xn) ⊂ X \ a hội
tụ về điểm a này xn → a.
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp số X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X.
Định nghĩa 2.1.2 (theo Côsi) Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → a, nếu như với
mọi ∀ε > 0 tồn tại ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ X \ a thỏa mãn |x − a| < δ luôn có |f(x) − A| < ε.
Định nghĩa 2.1.3 (theo Gene)
Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → a, nếu như với mọi dãy
∀(xn) ⊂ X\a hội tụ về a : xn → a, dãy giá trị của hàm số tương ứng hội tụ về A : f(xn) → A. 2.2
Giới hạn của hàm số từ một phía
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R còn a ∈ R là 1 số nào đó. Xét tập hợp .
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R còn a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp .
Định nghĩa 2.2.1 (giới hạn của hàm số từ 1 phía) 18
Downloaded by Mai Le Thi Nguyet (hoathanvu729@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40425501
Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → a từ bên phải (từ bên trái) nếu như
Chúng được kí hiệu là Ví dụ. 1, x > 0 x = 0 x < 0
f(x) = signx = 0, −1, Dễ dàng thấy rằng
f(0 + 0) = lim f(x) = 1 x→0+0 còn .
Cho a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp Xa+ = {x ∈ X \ x > a} và tập hợp Xa− = {x ∈ X \ x < a}. Khi
đó a cũng là điểm giới hạn của tập hợp X. Khi đó ta có định lý sau:
Định lý 2.2.1 (về mối quan hệ giữa giới hạn từ 2 phía và từ 1 phía của hàm số tại 1 điểm.)
Đẳng thức lim f(x) = A tương đương với 2 đẳng thức sau x→a 2.3
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại điểm vô cùng
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và +∞(−∞,∞) là điểm giới hạn của tập hợp X.
Định nghĩa 2.3.1 Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → +∞(x → −∞,x → ∞) nếu
như với mọi ∀ε > 0 tồn tại số ∃N = N(ε) > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức x >
N(x < −N,|x| > N) luôn có bất đẳng thức |f(x) − A| < ε. 2.4
Giới hạn vô cùng của hàm số tại một điểm
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X này. 19
Downloaded by Mai Le Thi Nguyet (hoathanvu729@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40425501
Định nghĩa 2.4.1 Số +∞(−∞,∞) được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → a nếu như với mọi
∀M > 0 tồn tại số δ = δ(M) > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ X \ a thỏa mãn bất đẳng thức |x − a| < δ luôn
có bất đẳng thức f(x) > M(f(x) < −M,|f(x)| > M). 2.5
Giới hạn vô cùng của hàm số tại điểm vô cùng
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và +∞(−∞,∞) là điểm giới hạn của tập hợp X.
Định nghĩa 2.5.1 Số +∞(−∞,∞) được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → +∞(x → −∞,x → ∞)
nếu như với mọi ∀M > 0 tồn tại số ∃N = N(M) > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức
x > N(x < −N,|x| > N) luôn có bất đẳng thức f(x) > M(f(x) < −M,|f(x)| > M). 2.6
Giới hạn vô cùng bé của hàm số
Cho hàm số α = α(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X.
Định nghĩa 2.6.1 Hàm số α = α(x) được gọi là hàm vô cùng bé khi x → a, nếu như giới hạn của nó bằng 0 : lim . 2.7
Giới hạn vô cùng lớn của hàm số
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X.
Định nghĩa 2.7.1 Hàm số f(x) được gọi là hàm vô cùng lớn khi x → a nếu xlim→a |f(x)| = +∞. 2.8
Tính chất của hàm vô cùng bé
Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) xác định trên cùng 1 tập hợp X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X.
1o Nếu hàm số α = α(x) và β = β(x) là hàm vô cùng bé khi x → a thì hàm số α ± β = α(x) ± β(x)
cũng là hàm vô cùng bé khi x → a. 20
Downloaded by Mai Le Thi Nguyet (hoathanvu729@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40425501
2o Nếu α = α(x) là hàm vô cùng bé khi x → a thì với mọi ∀c ∈ R tích c.α(x) cũng là hàm vô cùng bé khi x → a.
3o Nếu α = α(x) và β = β(x) là hàm vô cùng bé khi x → a thì tích của nó α.β = α(x).β(x) cũng là hàm
vô cùng bé khi x → a. 2.9 Giới hạn của hàm hợp
Định lý 2.9.1 Cho lim→a f(x) = b, ylim→b g(y) = c và tồn tại số δ0 > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ x
X \ a thỏa mãn bất đẳng thức |x − a| < δ0 luôn có f(x) =6
b thì giới hạn của hàm hợp là
lim g(f(x)) = c. x→a 2.10
Những giới hạn cơ bản 1. 2. 3. 21
Downloaded by Mai Le Thi Nguyet (hoathanvu729@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40425501 4. 5. 6. 7. 8. 9. 2.11 So sánh hàm vô cùng bé
Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) xác định trên cùng 1 tập xác định X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X.
Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) với cùng 1 tập xác định X ⊂ R là những hàm vô cùng bé khi x → a, khi đó nếu như 1.
được gọi là hàm vô cùng bé có bậc cao hơn β(x). 2.
được gọi là hàm vô cùng bé có cùng bậc. 3.
được gọi là hàm vô cùng bé có bậc thấp hơn β(x). 4. không tồn tại
hữu hạn hay vô cùng thì α(x),β(x) được gọi là những hàm vô
cùng bé không so sánh được. 2.12
Những hàm vô cùng bé tương đương
Định nghĩa 2.12.1 Những hàm vô cùng bé α = α(x) và β = β(x) khi x → a được gọi là tương đương nếu như .
Định lý 2.12.1 (nguyên lý thay thế hàm vô cùng bé tương đương.) 22
Downloaded by Mai Le Thi Nguyet (hoathanvu729@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40425501
Cho hàm vô cùng bé α = α(x) khi x → a tương đương với hàm vô cùng bé α = α(x) còn hàm vô
cùng bé β = β(x) khi x → a tương đương với hàm vô cùng bé
β = β(x). Khi đó luôn có đẳng thức
nếu như có ít nhất 1 trong 2 giới hạn trên tồn tại.
Bảng những hàm vô cùng bé tương đương.
Khi x → 0 những hàm vô cùng bé sau tương đương. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 2.13 So sánh hàm vô cùng lớn
Cho hàm số f(x) và g(x) xác định trên cùng 1 tập xác định X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X.
Cho hàm số f(x) và g(x) với cùng 1 tập xác định X ⊂ R là những hàm vô cùng lớn khi x → a, khi đó nếu như 23
Downloaded by Mai Le Thi Nguyet (hoathanvu729@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40425501 1.
được gọi là hàm vô cùng lớn có bậc cao hơn g(x). 2.
được gọi là hàm vô cùng lớn có cùng bậc. 3.
được gọi là hàm vô cùng lớn có bậc thấp hơn g(x). 4. không tồn tại
hữu hạn hay vô cùng thì f(x),g(x) được gọi là những hàm vô
cùng lớn không so sánh được.
Định nghĩa 2.13.1 Những hàm vô cùng lớn f(x) và g(x) khi x → a được gọi là tương đương nếu như .
Những giới hạn cơ bản của vô cùng lớn. 1. 2. 2.14 Bài tập
2.14.1 Tìm giới hạn của hàm một biến bằng cách thay vô cùng bé tương đương
Tìm giới hạn của những hàm số sau: Bài 2.14.1 Giải.
Ta có lim ln(1+xtanx) = 0 và lim x2 +sin3 x = 0 nên ta có thể thay chúng bằng những
x→0 x→0 vô cùng bé tương đương.
Khi x → 0 thì ln(1 + xtanx) ∼ xtanx ∼ x2 vì ln(1 + u(x)) ∼ u(x) khi u(x) → 0 và tanx ∼ x.
Khi x → 0 thì x2 + sin3 x ∼ x2. Vậy . Bài 2.14.2 24
Downloaded by Mai Le Thi Nguyet (hoathanvu729@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40425501 Giải. Ta có
nên ta có thể thay chúng bằng những vô cùng bé tương đương. Khi khi .
Khi x → 0 thì ln(1 + x2) ∼ x2. Vậy . Bài 2.14.3 Giải.
Ta có lim sin(ex−1 −1) = 0 và lim→ lnx = 0 nên ta có thể thay chúng bằng những vô cùng x→1 x 1 bé tương đương.
Khi x → 1 thì sin(ex−1 − 1) ∼ ex−1 − 1 ∼ x − 1 vì sin(u(x)) ∼ u(x),eu(x) − 1 ∼ u(x) khi u(x) → 0.
Khi x → 1 thì lnx = ln(1 + (x − 1)) ∼ x − 1. Vậy Bài 2.14.4 Giải.
Ta có lim(ex − 1)(cosx − 1) = 0 và lim→ sin3 x + 2x4 = 0 nên ta có thể thay chúng bằng x→0 x
0 những vô cùng bé tương đương. Khi nên Khi . Vậy Bài 2.14.5 2.14.2
So sánh những hàm vô cùng bé
Bài 2.14.6 Hãy so sánh hai vô cùng bé α(x) = x − sinx,β(x) = mx3,m 6= 0.
Bài 2.14.7 Tìm α,β để các vô cùng bé sau đây tương đương f(x) = xcosx − sinx,g(x) = αxβ, khi x → 0.
Bài 2.14.8 Tìm α,β để các vô cùng bé sau đây tương đương
x)x,g(x) = αxβ, khi x → 0. 25
Downloaded by Mai Le Thi Nguyet (hoathanvu729@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40425501
2.14.3 Tìm giới hạn của hàm một biến bằng cách thay vô cùng lớn tương đương
Tìm giới hạn của những hàm số sau: Bài 2.14.9 Bài 2.14.10 Bài 2.14.11
Tìm giới hạn của những dãy số sau: Bài 2.14.12 Bài 2.14.13 Bài 2.14.14 2.14.4
So sánh những vô cùng lớn
Bài 2.14.15 Vô cùng lớn nào sau đây có bậc cao nhất khi x → +∞ : 3x+ln3 x,xlnx,√3 x,x(2+ sin4 x)
Bài 2.14.16 Vô cùng lớn nào sau đây có bậc cao nhất khi x → +∞ : 2x,x2,x2+sin4 x,xlnx 2.14.5
Tìm giới hạn của hàm một biến dùng giới hạn cơ bản lim(1+ x→0
biết rằng khi x → a thì u(x) → 0. Bài 2.14.17 Bài 2.14.18 Bài 2.14.19 Bài 2.14.20 26
Downloaded by Mai Le Thi Nguyet (hoathanvu729@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40425501 Bài 2.14.21 Bài 2.14.22 Bài 2.14.23 2.14.6
Tìm giới hạn của biểu thức có dạng f(x)g(x) khi x → a
Tìm giới hạn của những dãy số sau:
Bài 2.14.24 I = lim √n n
2.3n + 4n n→∞
Bài 2.14.25 I = nlim→∞pn n + (−1)n Bài 2.14.26 Bài 2.14.27 Bài 2.14.28 27
Downloaded by Mai Le Thi Nguyet (hoathanvu729@gmail.com)