Phương pháp giải các dạng tích phân thường gặp - Giải Tích 1 | Trường Đại học Giao thông Vận Tải

Phương pháp giải các dạng tích phân thường gặp - Giải Tích 1 | Trường Đại học Giao thông Vận Tải được được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

32 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 1 (GT01)

Trường: Đại học Giao thông vận tải

Thông tin:

44 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
lOMoARcPSD| 40425501
1
TÍCH PHÂN
I.CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Tính tích phân bằng ịnh nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản
2.Phƣơng pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có ạo hàm liên tục trên a b
;
thì:
bb
u x v x dx( ) ( )
'
u x v x( ) ( )
b
v x u x dx( ) ( )
'
aa
a
bb b
hay udv uv vdu.
aa
a
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
• Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng
udv
uvdx
'
bằng cách chọn một phần thích hợp của
f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v x dx
'
( ) . Bước 2: Tính
du
udx
'
và v dv
v x dx
'
( ) .
b b
• Bước 3: Tính
vdu
vudx
'
và
uv
b
.
a
a
a
• Bước 5: Áp dụng công thức trên.
Ví dụ 5: a)Tính tích phân I 1
3
(
3
x
ln x
1)
2 dx (ĐH-KB-2009)
lOMoARcPSD| 40425501
2
I 13 (3x ln x1)2 dx 3 13 (xdx 1)2 13 (xln x 1)2 dx
3
dx 3
3
3
I1 3 1 (x 1)2 (x 1) 1 4
I2 13 (xln x 1)2 dx
Đặt u = lnx du
dx
x
dv
dx
2
. Chọn v
1
(x 1) x 1
lnx
3 3
dx ln3
3
dx
3
dx ln3 3
I2 x 11 1 x(x 1) 4 1 x 1 x 1 4 ln 2
Vậy : I (1 ln3) ln2
e
b) Tính xln xdx
1
ln x
du
dx
Giải: Đặt udv
xdx
v
x
22
x
e xln xdx x2 ln x e 1 e xdx e2x2 e e2 1.
1 2 1 2 1 2 4 1 4
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:
lOMoARcPSD| 40425501
3
2 ln
x
2 1
x
2
x
a) 5 dx b) xcosxdx c) xe dx d) e cosxdx
1
x
0 0 0
u ln x du dx
x
. Do ó:
Giải: a) Đặt 1
dv
x
5
dx v 41
x
4
12 lnx5x dx ln4
x
x4 12 1 12 dx5 ln2 1 14 12
15 2564ln2 .
4x 4 x 64 4
b) Đặt u xcosxdx vdu sindxx . Do ó: dv
2 2
xcos
xdx
xsin
x
2 sin
xdx
cos
x
2
1.
22
00 00
u x du dx
c)Đặt
x
x
. Do ó: dv e
dx v e
lOMoARcPSD| 40425501
4
x1 1
x x1 1 x
xe dx xe e dx ee e e
1
1.
0
0
00
u e
x
du e dx
x
d) Đặt dv cosxdx v sin x
2 2
e
x
cosxdx e
x
sin x2 e
x
sin xdx.
00 0
u e1
Đặt dv sinx xdx vdu e dx1 1 cosx x
1
2 2
e
x
cosxdx e
2
e
x
cosx2 e
x
cosxdx.
00 0
2 x
2
2 x
e
2 1
2 e cosxdx e 1 e cosxdx .
0
0
2
*Cách ặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
lOMoARcPSD| 40425501
5
b
P x e dx(
)
x
a
b
P x( )ln
xdx
a
b
P x(
)cosxdx
a
b e
x
cosxdx
a
u
P(x)
lnx
P(x)
ex
dv
e dx
x
P(x)dx
cosxdx
cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào ể chọn u
và
dv
vdx
'
thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là
phần của f(x) mà khi lấy ạo hàm thì ơn giản, chọn
dv
vdx
'
là phần của f(x)dx là vi phân
một hàm số ã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường ược áp dụng tích phân từng phần:
• Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( ) mà P(x)là a thức chứa x và Q(x) là một
trong
những hàm số: e
ax
, cosax, sinax thì ta thường ặt
u
dv
P x
( ) du P x dxQ x dx
'
( )( )
Q x dx( ) v
• Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( ) mà P(x) là a thức của x và Q(x) là hàm
số
lOMoARcPSD| 40425501
6
u Q x( ) du Q x dx'
ln(ax) thì ta ặt dv P x dx
( )
v P x dx
( )
• Nếu tính tích phân I e
ax
cosbxdxhoặc
u
e
ax du ae dx
ax
b
1sinbx
ta ặt cosbxdx v
dv
u
e
ax
du ae dx
ax
J e
ax
sinbxdx thì
hoặc ặt sinbxdx v
b
1cosbx dv
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau ó trở thành tích
phân ban ầu. Từ ó suy ra kết quả tích phân cần tính. 3. Phƣơng pháp ổi biến số
b
Bài toán: Tính I f x dx( ) ,
a
*Phương pháp ổi biến dạng I
Định lí . Nếu 1) Hàm
x
u t( ) có ạo hàm liên tục trên oạn
;
,
2) Hàm hợp f u t( ( )) ược xác ịnh trên
;
,
3) u( ) a u, ( ) b,
b
lOMoARcPSD| 40425501
7
thì I f x dx( ) f u t u t dt( ( )) ( )
'
.
a
Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau:
2
a ) Tính tích phân I cos x
3
1 cos x.dx
2
(ĐH-KA-2009)
0
1 2
b)
I
x
2
x
3
5dx c) J sin
4
x
1
cosxdx
0 0
2 2
Giải: a) I = cos x.dx
5
cos x.dx
2
0 0
2 2
Ta có: I2 = 0 cos x.dx2 12 0 (1 cos2x).dx = 12 x 12sin2x 02 4
2 2
Mặt khác xét I
1
= cos x.dx
5
cos x.cosx.dx
4
0 0
2 3
= 0 (1 sin x) d(sin x2 2 ) 15sin x5 2sin x3 sin x 02 158
Vậy I = I
1
– I
2
=
8
15 4
lOMoARcPSD| 40425501
8
1
2
3
3 2 d x 3 5 2
b) Ta có d x 5 3x dx x dx
3
1
3
d x
3
5
I x 5
0 3
1 1 x3 5 12 d x( 3 5) 1 (x3 5)12 1 1 2(x3 5) x 5 1
3 0 3 1 0 90
4
6
10
5 .
3 9
2
c) Ta có J 0 (sin
4
x 1) (d sin x)
1
5
sin
5
x sin x 02
6
5
Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau:
4 1
a) 4 x dx
2
b)
dx
2
0 0 1 x
lOMoARcPSD| 40425501
9
Giải: a) Đặt x 2sin ,t t
2
;
2
. Khi x = 0 thì t = 0. Khi
x
2 thì
t 2
.
Từ x 2sint dx 2costdt
4 2 2
4 x dx
2
4 4sin
2
t.2costdt 4 cos
2
tdt .
0 0 0
b) Đặt x tan ,t t
2 2
;
. Khi
x
0 thì
t
0, khi
x
1 thì
t 4
.
Ta có: x tant dx
dt
2
. cos t
1 4 4
1 dxx2 1 tan1 2 t.cosdt2 t dt t 4 4.
0 0 00
Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như:
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng a
2
x
2
, a
2
x
2
và
x
2
a
2
(trong trong ó a là hằng số dương) mà không có cách biến ổi nào khác thì
nên ổi sang các hàm số lượng giác ể làm mất căn thức, cụ thể là:
• Với a
2
x
2
, ặt x asin ,t t
2
;
2
hoặc x acos ,t t 0; .
lOMoARcPSD| 40425501
10
• Với a
2
x
2
, ặt x atan ,t t
2 2
;
hoặc x acott, t 0; .
• Với x
2
a
2
, ặt x sin
a
t , t
2
;
2
\ 0
hoặc x
a
; t 0; \
. cost 2
*Phương pháp ổi biến dạng II
Định lí : Nếu hàm số
u
u x( )ơn iệu và có ạo hàm liên tục trên oạn a b
;
sao cho
b u b( )
f x dx( ) g u x u x dx( ( )) ( )
'
g u du( ) thì I f x dx( )
g u du( ) .
a u a( )
1
Ví dụ 3: Tính I x
2
x
3
5dx
0
Giải: Đặt u x( ) x
3
5.Tacó u(0) 5, (1)u 6 .
1
6
2 6
2
4 10
Từ ó ược: I udu u u 6 6 5 5 6 5
3 9 5 9 9 9
5
Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp ổi biến dạng II:
lOMoARcPSD| 40425501
11
a) 1 2x 1 5 dx b) e2 dx c) 1 24x 2 dx
0 e xln x 0 x x 1
2
d)
2
dx
2
e)
3
cos(3
x
2
)
dx
1 (2x
1)
3
3
Giải: a) Đặt u 2x 1 khi x 0 thì u 1. Khi x 1thì u 3
Ta có du 2dx dx
du
. Do ó:
2
1 2x 1 5 dx 1 3 u du5 u6 3 1 (36
1) = 60 .
0 2 1 12 1 12
b)Đặt
u
lnx. Khi
x
e thì
u
1. Khi
x
e
2
thì
u
2.
Ta có
du
dx
e
2
dx
2
du
ln
u
2
ln2 ln1
ln2. x xln x u1
e 1
lOMoARcPSD| 40425501
12
c)Đặt
u
x
2
x 1. Khi x 0 thì u 1. Khi x 1 thì u 3.
Ta có du (2x 1)dx. Do ó:
1 4x 2
3
2du3
2 dx 2lnu 2(ln3 ln1) 2ln3.
0 x x 1 1 u1
d)Đặt u 2x 1. Khi x 1thì u 1. Khi x 2 thì u 3.
Ta có du 2dx dx
du
. Do ó: 2
2 dx 1
3
du 1 3 1 1 1
( 1) .
1 (2x 1)2 2 1 u 2 2u 1 2 3 3
e)Đặt u 3x 2 . Khi x thì u , khi x 2 thì u 4 .
3 3 3 3 3
Ta có du 3dx dx
du
. Do ó:
3
2
4
4
3 cos(3x 23 )dx 1 3 cosudu 1 sinu 3 1 sin
43 sin 3 3 3 3
3 3 3
lOMoARcPSD| 40425501
13
1
3
3
3
.
3 2 2 3
3.Phƣơng pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có ạo hàm liên tục trên a b
;
thì:
bb
u x v x dx( ) ( )
'
u x v x( ) ( )
b
v x u x dx( ) ( )
'
aa
a
bb b
hay udv uv vdu.
aa
a
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
• Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng
udv
uvdx
'
bằng cách chọn một phần thích hợp của
f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v x dx
'
( ) . Bước 2: Tính
du
udx
'
và v dv
v x dx
'
( ) .
b b
'
b
• Bước 3: Tính
vdu
vudx và uv.
a
a
a
• Bước 5: Áp dụng công thức trên.
lOMoARcPSD| 40425501
14
Ví dụ 5: a)Tính tích phân I 1
3
(
3
x
ln x
1)
2 dx (ĐH-KB-2009)
I 13 (3x ln x1)2 dx 3 13 (xdx 1)2 13 (xln x 1)2 dx
I1 3 13 (xdx 1)2 (x 31) 13 34
I2 13 (xln x 1)2 dx
Đặt u = lnx du
dx
x
dv
dx
2
. Chọn v
1
(x 1) x 1
I2 xlnx 113 13 x(xdx 1) ln34 13 dxx 13 xdx 1 ln34 ln 23
Vậy : I (1 ln3) ln2
e
b) Tính xln xdx
1
ln x du 2
dx
x
u
Giải: Đặt dv
xdx
v
x
2
lOMoARcPSD| 40425501
15
e xln xdx x2 ln x e 1 e xdx e2x2 e e2 1.
2 1 2 2 4 1 4
11
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:
2 ln
x
2 1
x
2
x
a) 5 dx b) xcosxdx c) xe dx d) e cosxdx
1
x
0 0 0
Giải: a) Đặt u ln1x du dx
x
.
Do ó:
dv
x
5
dx v 41
x
4
12 ln5x
dx
ln4 x4 12
14 12 dx5 ln264
14 14 12
15 2564ln2 .
x x x 4x
b) Đặt u xcosxdx vdu sindxx . Do ó: dv
2 2
xcos
xdx
xsin
x
2 sin
xdx
cos
x
2 1.
22
lOMoARcPSD| 40425501
16
00 00
u x du dx
c)Đặ
t
x
x
. Do ó: dv e
dx v e
x1 1
x x1 1 x
xe dx xe e dx ee e e
1
1.
0
0
00
u e
x
du e dx
x
d) Đặt cosxdx v sin x dv
2 2
e
x
cosxdx e
x
sin x2 e
x
sin xdx.
00 0
u e1
Đặt dv
1
sinx xdx vdu e dx1 1 cosx x
2 2
e
x
cosxdx e
2
e
x
cosx2 e
x
cosxdx.
00 0
lOMoARcPSD| 40425501
17
2 x
2
2 x
e
2 1
2 e cosxdx e 1 e cosxdx .
0
0
2
*Cách ặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
b
P x e dx(
)
x
a
b
P x( )ln
xdx
a
b
P x(
)cosxdx
a
b e
x
cosxdx
a
u
P(x)
lnx
P(x)
ex
dv
e dx
x
P(x)dx
cosxdx
cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào ể chọn u
và
dv
vdx
'
thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là
phần của f(x) mà khi lấy ạo hàm thì ơn giản, chọn
dv
vdx
'
là phần của f(x)dx là vi phân
một hàm số ã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường ược áp dụng tích phân từng phần:
• Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( ) mà P(x)là a thức chứa x và Q(x) là một
trong
những hàm số: e
ax
, cosax, sinax thì ta thường ặt
u P x( ) du P x dx
'
( )
dv Q x dx( ) v Q x dx( )
lOMoARcPSD| 40425501
18
• Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( ) mà P(x) là a thức của x và Q(x) là hàm
số
u Q x( ) du Q x dx'
ln(ax) thì ta ặt dv P x dx
( )
v P x dx
( )
• Nếu tính tích phân I e
ax
cosbxdxhoặc J e
ax
sinbxdx thì
u e
cosax bxdx
vdu
b
1ae dxsin
ax
bx ta ặt
dv
u
e
ax du ae dx
ax
hoặc ặt sinbxdx v
b
1cosbx
dv
hoctoan capba.com Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần
sau ó trở thành tích phân ban ầu. Từ ó suy ra kết quả tích phân cần tính.
II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƢỜNG GẶP
1. Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:
lOMoARcPSD| 40425501
19
I 2
dx
a
0 . ax bx c
(trong ó ax bx c
2
0 với mọi
x
;
)
Xét b
2
4ac.
+)Nếu 0 thì
I
dx
2
tính ược.
a x
2b
a
+)Nếu 0 thì
I
1
1
dx
2 ,
a x x x x
(trong ó x
1
b
;x
2
b
)
2a 2a
I 1 ln x x1 .
a x
1
x
2
x
x
2
lOMoARcPSD| 40425501
20
+) Nếu 0thì
I
2
dx
dx
2 2 ax bx c
a ba 4
a
2
x
2
Đặt x
b
2
tgt dx
1
2
1 tg t dt
2
, ta tính ược I.
2a 4a 2 a
b) Tính tích phân: I
mx
2
n
dx, a 0 .
ax bx c
(trong ó f x( )
mx
2
n
liên tục trên oạn
;
) ax bx c
+) Bằng phương pháp ồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
mx n A ax b(2 ) B
ax2 bx c
ax2 bx c ax2 bx c
mx n A ax b(2 )
+)Ta có I= ax2 bx cdx ax2
bx cdx
B
ax
2
bx cdx
A ax b(2 )
2 bx cdx = A
axln2 bx c
. Tích phân
lOMoARcPSD| 40425501
21
ax
dx
Tích phân
2
tính
ược. ax bx c
b
P x( )
dx với P(x) và Q(x) là a c) Tính tích phân I
thức của x. a Q x( )
• Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia a thức.
• Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm ơn
1
,
2
,...,
n
thì ặt
P x( ) A1 A2 An ... .
Q x( ) x
1
x
2
x
n
+ Khi Q x( ) x x
2
px q , p
2
4q 0thì ặt
P x( ) A Bx C
2
px q.
Q x( ) x x
+ Khi Q x( )
x
x
2
với thì ặt
P x( ) A B C
2
.
Q x( ) x x x
lOMoARcPSD| 40425501
22
1
4x 11
Ví dụ 7. Tính tích phân: 2dx.
0 x 5x 6
Giải:
Cách 1.Bằng phương pháp ồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:
2
4x 11 A
2
2x
5
2
B
, x \ 3; 2
x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6
24x 11 2Ax2 5A B , x \ 3; 2 x
5x 6 x 5x 6
52A
A
B
4
11
B
A
1
2
2
4
x
11
2 2
2
x
5
2
1 , x \ 3; 2 .
Vậy
x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6
1
4x 11
1
2x 5
1
dx
Do ó 2dx 2 2dx 2
0 x 5x 6 0 x 5x 6 0 x 5x 6
lOMoARcPSD| 40425501
23
ln
x
2
1 ln
9
.
2ln
x
2
5x 6
1
0x 30 2
Cách 2. Vì x
2
5x 6 x 2 x 3 nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách:
Tìm A, B sao cho:
2
4x 11 A B 3; 2
, x \ x 5x 6 x 2
x 3
24x 11 A B x2 3A B, x \ 3; 2 x
5x 6 x 5x 6
3AA B2B4 11 BA 13
2
4x 11 3 1 3; 2 .
Vậy , x \ x 5x 6
x 2 x 3
1
4x 11
1
dx
1
dx
Do ó 2 dx 3
0 x 5x 6 0 x 2 0 x 3
11
9
3lnx 2 lnx 3 ln
.
00 2
1 dx
lOMoARcPSD| 40425501
24
3
2 .
Ví dụ 8:Tính tích phân:
0 x x 1
Giải:
1 1
Do 2 dx
dx
2
0 x x 10 x 12 34
Đặt x 1 3 tan ,t t ; dx 3 1 tan2 t dt
2 2 6 3 2
1 dx 3
Vậy 2
0 x x 1
6
2
3 1 tan 2 t dt 2 3 3 dt 2 3 3
3 .
3(1 tan 2 t) 39
4 6 6
x3
Ví dụ 9. Tính tích phân: 2 dx.
0 x 1
Giải:
1 1 1 1
lOMoARcPSD| 40425501
25
3
x
02 x2 1dx 02 x x2x 1 dx 12 xdx 02 xxdx2 1
2 1 1
x
2
1
ln
x
2
1 2
1 1
ln
3
.
2 28 2 4 0 0
2. Tích phân các hàm lƣợng giác
2.1.Dạng 1: Biến ổi về tích phân cơ bản Ví
dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:
2
a) J
sin2 sin7x xdx;
2
2
b) K cos (sinx
4
x cos
4
x dx) ;
0
c) M 2 4sin3 x dx.
0 1 cosx
Giải
lOMoARcPSD| 40425501
26
a) J
1
2
cos5xdx
1
2
cos9xdx
1
sin5x
2
1
sin9x
2
4
.
2 2 10 18 45
2 222
b) Ta có cos (sinx
4
x cos
4
x) cosx sin
2
x cos
2
x
2
2sin
2
xcos
2
x
cosx 1
1
2sin 2
2
x cosx 1
1
4 1 cos4x
3
4cosx
1
4cos cos4x x
3
cos
x
1
cos5
x
cos3
x
.
4 8
2
4 4
3 2 1 2 1 2
K cos (sinx x cos x dx) cosxdx cos5xdx co3xdx
0 4 0 8 0 8 0
3 1 13 1 1 11
sin x 2 sin5x 2 sin3x 2 .
4 40 244 40 24 15
0 00
4sin
3
x 4sin
2
xsin x 4(1 cos
2
x)sin x
c) 4(1 cos )sinx x
1 cosx 1 cosx 1 cosx M 2.
lOMoARcPSD| 40425501
27
2
2
1
t
2.2.Dạng 2: Đổi biến số ể hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác
2.2.1.Tính I
dx
asinx bcosx c
Phƣơng pháp:
Đặt t tan
x
dx
2dt
2
2 1 t
Ta có: sin x
2t
2
và cosx
1 t
2
2
1 t 1 t
I
dx
2
2dt
ã biết cách tính. asinx bcosx c c b t 2at b c
dx
Ví dụ 11. Tính
4cosx 3sin x 5
Giải: Đặt t tg 2
x
dt
1
2 1 tan
2
2
x
dx 1
2 dt
t
2 dx
2dt
cosx 3sin x 3 1 2
3
2 2
3
t
2
3t 2 dx
dt
1 t 1 t
lOMoARcPSD| 40425501
28
2
cos
dx
x
t
1tan
2x
1
C .
ln C ln
t 2tan x 2
2
2.2.2. Tính I 2
dx
2
asin x bsin cosx x ccos x d
Phƣơng pháp: I 2
dx
2
a d sin x bsin cosx x c d cos x
dx
2
a d tan x btan x c d Đặt
t
tgx
dt
dx
2
I 2
dt
ã tính ược. cos
x
a d t bt c d
Ví dụ 12. Tính:
I
2
dx
2
.
sin x 2sin cosx x 3cos x
dx
Giải:Ta cóI 2
2
2
sin x 2sin cosx x 3cos x tg x 2tgx 3
2
cos
x
lOMoARcPSD| 40425501
29
Đặt t tgx dt
dx
2
cos x
I
2 dt dt 1ln t 1
C
1ln tgx 1
C
2.2.3.
t 2t 3 t 1 t 3 4 t 34 tgx 3
Tính I msin
x ncosx pdx. asin
x bcosx c
Phƣơng pháp:
+)Tìm A, B, C sao cho:
msinx ncosx p A a sinx bcosx c B a cosx bsinx C, x+)
Vậy I msin
x ncosx p dx= asin
x bcosx c
lOMoARcPSD| 40425501
30
=
A dx B
a
sin
acosx b x b cossinx c x
dx C
asin x b dxcosx c
Tích phân
dx
tính ược
acosx b sinx
Tích phân asin
x b
cos
x c
dx
ln sina
x b
cos
x c
C
dx
asin
x b
cos
x c
tính ược.
Tích phân
Ví dụ 13. Tính: I cosx 2sin x dx.
4cosx 3sin x
Giải:
Bằng cách cân bằng hệ số bất ịnh, tìm A và B sao cho:
cosx 2sinx A 4cosx 3sinx B 4sinx 3cosx , x cosx
2sin x 4A 3B cosx 3A 4B sin ,x x
4A 3B 1
A
52
3A 4
B
2
B
1
5
lOMoARcPSD| 40425501
31
I 52 15 4. 4cossin
x
x 33sincos
x
x dx 52 x 15ln
4cosx 3sin x C .
2.3.Dạng 3: Đổi biến số ể ưa về tích phân hàm lượng giác ơn giản hơn
(Xem ví dụ 17, 20, 21)
2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng
R
sin ,cosx
x dx
, với
R
sin ,cosx
x
là một hàm
hữu
tỉ theo sinx, cosx
Để tính nguyên hàm trên ta ổi biến số và a về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta ã biết
cách tính tích phân.
• Trường hợp chung: Đặt t tan
x
dx
2dt
2
2 1 t
2t 1 t
2
Ta có sin x
2
;cosx
2
1 t 1 t
• Những trường hợp ặc biệt:
+) Nếu
R
sin ,cosx
x
là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là
R sin , cosx x R sin ,cosx x thì ặt
t
tgx hoặc
t
cot gx, sau ó
ưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.
+) Nếu
R
sin ,cosx
x
là hàm số lẻ ối với sinx nghĩa là:
R sin ,cosxx R sin ,cosx x thì ặt
t
cosx.
lOMoARcPSD| 40425501
32
+) Nếu
R
sin ,cosx
x
là hàm số lẻ ối với cosx nghĩa là:
R sin , cosx x R sin ,cosxx thì ặt
t
sinx.
3.Tích phân hàm vô tỉ
3.1 .Dạng 1: Biến ổi về tích phân vô tỉ cơ bản
1
Ví dụ 14. Tính tích phân: I
dx
.
0
x 1 x
Giải
I 10 dx 10 x 1 x dx 2 x 1 2 x
10 23 2 2 2 x 1 x 3
1 3
x dx
Ví dụ 15:Tính tích phân 1 x
2
.
0 x
1 x dx3 12 2 1
Giải: 1 2 (x3 1 x2 x dx4) 15 .
0 x x
0
3.2.Dạng 2: Biến ổi về tích phân hàm lượng giác
(xem ví dụ 2)
3.3Dạng 3: Biến ổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
lOMoARcPSD| 40425501
33
Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương úng
1
Ví dụ 15:Tính
I x
3
1
x dx
2
0
Giải:
11
I x
3
1 x dx
2
x
2
1 x xdx
2
.
0 0
Đặt t= 1 x
2
t
2
1 x
2
x
2
1 t
2
Ta có: xdx=-tdt, Khi x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0
Vậ
y
I 10(1 t t dt t3 t5 1 152
2 2) 3 5 0
4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt ối
Phƣơng pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt ối
2
Ví dụ 16: Tính J x
2
1dx
2
Giải: Lập bảng xét dấu của x
2
1 trên oạn 2;
2
x
-2 -1 1 2
x2 1
+ 0 - 0 +
lOMoARcPSD| 40425501
34
2 1 1 2
Do ó I x
2
1dx x
2
1 dx 1 x
2
dx x
2
1 dx
2 2 1 1
x
3
3
x 2
1
x
x
3
3
1
1
x
3
3
x 1
2
4.
III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1.Cho hàm số
y
f x( ) liên tục và lẻ trên oạn a a
;
. Khi ó
a
I f x dx( ) 0.
a
2
Ví dụ 17: Chứng minh I
xdx
2
0.
4 sin x
2
Giải: Đặt
x
t dx dt . Khi x=
2
thì t = -
2
, khi
x
thì
t
2 2
2
tdt
lOMoARcPSD| 40425501
35
Do ó : I= 4 sin2 t I
2
2
Suy ra : 2I = 0. Ta ược I
xdx
2
0.
4 sin x
2
2.Cho hàm số
y
f x( ) liên tục và chẵn trên oạn a a
;
. Khi ó
a a
I f x dx( ) 2 f x dx( ) .
a 0
a 0 a
Chứng minh : Ta có I f x dx( ) f x dx( ) f x dx( ) (1)
a a 0
0
Ta tính
J
f x dx( ) bằng cách ặt x t 0 t a dx dt
a
0 0 a a
J f x dx( ) f ( t dt) f t dt( ) f x dx( ) (2)
a a 0 0
a a
lOMoARcPSD| 40425501
36
Thay (2) vào (1) ta ược I f x dx( ) 2 f x dx( )
a 0
Ví dụ 18: Tính tích phân: I
2
x
cos
2
x
dx
4 sin x
2
Giải: Ta có I 2 x cos2x dx 2 x 2 dx 2
cosx2 dx
4 sin x 4 sin x 4 sin x
2 2 2
Do f x1( ) x 2là hàm số lẻ trên 2 2; nên 2
4 sinx 2 xdx 0
4 sin x
2
và f x
2
( )
4
cos
sin
x
2
là hàm số chẵn trên
2 2
;
nên ta có:
x
lOMoARcPSD| 40425501
37
2
cosx
2
cosx
2
d(sin x)
2dx 2 2dx 2
4 sin x 0 4 sin x (sin x 2) sin x 2
2 2
Vậy I 1ln sin
x 2
2
1
ln3.
2 sin x 2 2
0
3.Cho hàm số
y
f x( ) liên tục và chẵn trên oạn
:
. Khi ó
f x( ) 1
I x 1dx 2 f x dx( )
a
Chứng minh: Đặt t= -x dt= - dx
x -
t
a
t
1
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a +1= a +1=
t
a
Khi x= - thì t = ; x = thì t =-
t t
Vậy I f xx( ) 1dx a f tt ( )1 dt aa t 111 f t dt( )
a a
f t( )
f t dt( ) at 1dt f x dx( ) I
lOMoARcPSD| 40425501
38
Suy ra I af xx( ) 1dx 12 f x dx( )
1
: Tính tích phân:
I
xx
4
dx.
Ví dụ 19
2 1
1
Giải:Đặt t= -x dt= - dx
Khi x= - 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =-1
1 xx4 dx 1 t 4 1 t2t 4
Vậy
I
1
2 1
2
t 1dt 1`2 1t dt
1
1 1 4 1
t dt
4
2 1t
t
dt 1x dx
4
I
1 1
Suy ra I 12 11x dx4 12 5x5 1 1 15
4.Cho f(x) liên tục trên oạn 0
;
2
.Khi ó
2 2
lOMoARcPSD| 40425501
39
f (sinx dx) f (cosx dx) .
0 0
Chứng minh:
Đặt t x dx
dt 2
Khi x = 0 thì t , khi x thì t = 0
2 2
2 0 2 2
Do ó f (sin x dx) f (sin( t dt) f (cost dt) f (cosx dx) .
0 2 0 0
2
Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức
xf (sin x dx)
f (sin x dx)
*Nếu f(x) liên tụ
c trên
0;
1
thì
2
2 2
*Nếu f(x) liên tụ
c trên
0;
1
thì xf (cosx dx) f (cosx dx)
lOMoARcPSD| 40425501
40
1
sin
n
x
Ví dụ 20:Chứng minh: I= n
n
dx
.
0 sin x cos x 4
Giải :
Tương tự như trên ta có:
2
sin
n
x
2
cos
n
x
I= n
n
dx
n
n
dx=J 0 sin x cos x
0 sin x cos x
2
sin
n
x
Vậy I= n
n
dx .
0 sin x cos x 4
xsin x
Ví dụ 21: Tính tích phân: 2dx.
1
sin
n
x
2
cos
n
x
+) Vậy I+J= n
n
dx
n
n
dx
0 sin x cos x 0 sin x cos x 2
lOMoARcPSD| 40425501
41
0 1 cos x
Giải: Đặt x t 0 t dx dt.
Khi ó xsin x2dx 0 t sin2 t dt
1 cos x 1 cos t
0
sint tsint
2 dt 2 dt
1 cos t 1 cos t
0 0
sin x xsin x
2dx 2 dx
0 1 cos x 0 1 cos x
2 xsin x2dx sin 2x dx
0 1 cos x 0 1 cos x
xsin x sin x
2
Vậy 2dx 2dx
.
0 1 cos x 2 0 1 cos x 4
lOMoARcPSD| 40425501
42
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.Tính các tích phân sau
2
a I) 2 2sin2x 2 dx b I) 0 xsin xdx
0 cos x 4sin x
( ĐH-KA-2006)
2
c I)
2
sin2
x
sin x
dx
d I)
0 (2
x
1)cos
2
xdx.
1 3 cos x
0
(ĐH-KA-2005)
4
) 2 sin2 .cosxxdx f I) 0 x dx
e I0 cos x 1 cos2x
1
(ĐH-KB-2005)
2
sin x cos x
g I)
sin2x dx
1
4
2
cos2x
i I) 0 (sin x 3
dx
cos x 3)
3
tanx
h I)
2
dx
cos x 1 cos x
4
4
k I)
xtan
2
xdx.
lOMoARcPSD| 40425501
43
3
0
1
a I) (x
2
1)e dx
x
0
1
c I) dxex
1
0
2 x e2. x e I)
(x 2)2 dx
0
0
g I)
x e(
2x
3
x1)dx
1
2 ln(1 x)
b I)
2
d
Bài 2.Tính các tích phân sau
3x5 2x33
a I)
dx b I) x x2( 2 1)
2 11
0 x
4
2x
1 1
1
2
1
1
dx c I)
dx d I)
01 2x 1x x
3
e I) x
3
. x
2
1dx f I) dxx3
1x
2 3
1
g I) 5 dx2 ) 5 x 2 x 2 dx x x 4
h I
3
Bài 3. Tính các tích phân sau
dx
lOMoARcPSD| 40425501
44
x
1
x
e
x
3 1
d I) ln .xdx
1 x
3
f I) ln(x
2
x dx).
2
2
h I)
(e
sin x
cos )cos .xxdx
0
| 1/44
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoAR cPSD| 40425501 1 TÍCH PHÂN
I.CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Tính tích phân bằng ịnh nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản
2.Phƣơng pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có ạo hàm liên tục trên a b; thì: bb u x v x dx( ) ( )'
u x v x( ) ( ) b v x u x dx( ) ( )' aa a bb b hay udv uv vdu. aa a
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
• Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv uvdx' bằng cách chọn một phần thích hợp của
f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v x dx' ( ) . Bước 2: Tính du udx' và v dv v x dx' ( ) . b b b • Bước 3: Tính vdu vudx' và uv . a aa
• Bước 5: Áp dụng công thức trên.
Ví dụ 5: a)Tính tích phân I 3 ln x 13 ( x 1)2 dx (ĐH-KB-2009) lOMoAR cPSD| 40425501 2 I 13 (3x ln x1)2 dx 3 13 (xdx 1)2 13 (xln x 1)2 dx 3 dx 3 3 3 I1 3 1 (x 1)2 (x 1) 1 4 I2 13 (xln x 1)2 dx Đặt u = lnx du dx x dv dx 2 . Chọn v 1 (x 1) x 1 lnx 3 3 dx ln3 3 dx 3 dx ln3 3 I2 x 11 1 x(x 1) 4 1 x 1 x 1 4 ln 2 Vậy : I (1 ln3) ln2 e
b) Tính xln xdx 1 du ln x dx x Giải: Đặt udv xdx v x22
e xln xdx x2 ln x e 1
e xdx e2x2 e e2 1. 1 2 1 2 1 2 4 1 4
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: lOMoAR cPSD| 40425501 3 x x 2 ln x 2 1 2 a) 5 dx b) xcosxdx c) xe dx d) e cosxdx x 1 0 0 0 u ln x
du dxx . Do ó: Giải: a) Đặt 1 dv x5 dx v 41x4
12 lnx5x dx ln4xx4 12 1 12 dx5 ln2 1 14 12 15 2564ln2 . 4x 4 x 64 4 b) Đặt u xcosxdx vdu
sindxx . Do ó: dv 2 2 xcosxdx xsin x 2 sin xdx cosx2 1. 22 00 00 u x du dx c)Đặt x . Do ó: dv e x dx v e lOMoAR cPSD| 40425501 4 1 x x1 1 x x1 xe dx xe e dx ee e e 1 1. 0 0 00 u e x du e dx x d) Đặt dv cosxdx v sin x 2 2
ex cosxdx ex sin x2 ex sin xdx. 00 0 u e1 Đặt dv sinx xdx vdu e dx1 1 cosx x 1 2 2
ex cosxdx e 2 ex cosx2 ex cosxdx. 00 0 e 2 x 2 2 x 2 1
2 e cosxdx e 1 e cosxdx . 0 0 2
*Cách ặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. lOMoAR cPSD| 40425501 5 b b b b ex P x e dx( P x( )ln P x( cosxdx ) x xdx a )cosxdx a a a u P(x) lnx P(x) ex dv e dxx P(x)dx cosxdx cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào ể chọn u
và dv vdx' thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là
phần của f(x) mà khi lấy ạo hàm thì ơn giản, chọn dv vdx' là phần của f(x)dx là vi phân
một hàm số ã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường ược áp dụng tích phân từng phần: • Nếu tính tích phân
P x Q x dx( ) ( ) mà P(x)là a thức chứa x và Q(x) là một trong
những hàm số: eax, cosax,
sinax thì ta thường ặt udv P x( ) du P x dxQ x dx'( )( ) Q x dx( ) v • Nếu tính tích phân
P x Q x dx( ) ( ) mà P(x) là a thức của x và Q(x) là hàm số lOMoAR cPSD| 40425501 6 u Q x( ) du Q x dx' ln(ax) thì ta ặt dv P x dx( ) v P x dx( ) dv u eax
• Nếu tính tích phân I eax du ae dxax cosbxdxhoặc J eax sinbxdx thì u eax du ae dxax ta ặt cosbxdx v b1sinbx hoặc ặt sinbxdx v
b1cosbx dv
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau ó trở thành tích
phân ban ầu. Từ ó suy ra kết quả tích phân cần tính. 3. Phƣơng pháp ổi biến số b
Bài toán: Tính I f x dx( ) , a
*Phương pháp ổi biến dạng I ;
Định lí . Nếu 1) Hàm x u t( ) có ạo hàm liên tục trên oạn , ;
2) Hàm hợp f u t( ( )) ược xác ịnh trên ,
3) u( ) a u, ( ) b, b lOMoAR cPSD| 40425501 7 thì I
f x dx( ) f u t u t dt( ( )) ( )' . a
Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau: 2 a ) Tính tích phân I cos x3 1 cos x.dx2 (ĐH-KA-2009) 0 1 2 b)I
x2 x3 5dx c) J
sin 4 x 1 cosxdx 0 0 2 2 Giải: a) I = cos x.dx5 cos x.dx2 0 0 2 2 Ta có: I2 = 0 cos x.dx2 12 0 (1 cos2x).dx = 12 x 12sin2x 02 4 2 2
Mặt khác xét I1 = cos x.dx5 cos x.cosx.dx4 0 0 2 3 = 0 (1 sin x) d(sin x2 2 ) 15sin x5 2sin x3 sin x 02 158 Vậy I = I1 – I2 = 8 15 4 lOMoAR cPSD| 40425501 8 3 2 d x 3 5 2
b) Ta có d x 5 3x dx x dx 3 1 3 d x 3 5 I x 5 0 3 3 1 1 1 x3 5
12 d x( 3 5) 1 (x3 5)12 1 1 2(x3 5) x 5 1 2 3 0 3 1 0 90 4 6 10 5 . 3 9 2 1 c) Ta có J
0 (sin4 x 1) (d sin x) 5sin5 x sin x 02 65
Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau: 4 1 dx a) 4 x dx2 b) 2 0 0 1 x lOMoAR cPSD| 40425501 9
Giải: a) Đặt x 2sin ,t t 2 ; 2
. Khi x = 0 thì t = 0. Khi x 2 thì t 2 .
Từ x 2sint dx 2costdt 4 2 2 4 x dx2
4 4sin 2 t.2costdt 4 cos2 tdt . 0 0 0 ;
b) Đặt x tan ,t t 2 2
. Khi x 0 thì t 0, khi x 1 thì t 4 .
Ta có: x tant dx dt2 . cos t 1 4 4 1 dxx2
1 tan1 2 t.cosdt2 t dt t 4 4. 0 0 00
Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như:
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng
a2 x2 , a2 x2 và
x2 a2 (trong trong ó a là hằng số dương) mà không có cách biến ổi nào khác thì
nên ổi sang các hàm số lượng giác ể làm mất căn thức, cụ thể là:
• Với a2 x2 , ặt x asin ,t t 2 ; 2
hoặc x acos ,t t 0; . lOMoAR cPSD| 40425501 10
• Với a2 x2 , ặt x atan ,t t 2 2;
hoặc x acott, t 0; .
• Với x2 a2 , ặt x sina t , t 2; 2 \ 0 hoặc x a ; t 0; \ . cost 2
*Phương pháp ổi biến dạng II
Định lí : Nếu hàm số u u x( )ơn iệu và có ạo hàm liên tục trên oạn a b; sao cho b u b( )
f x dx( ) g u x u x dx( ( )) ( ) '
g u du( ) thì I f x dx( ) g u du( ) . a u a( ) 1
Ví dụ 3: Tính I x2 x3 5dx 0
Giải: Đặt u x( ) x35.Tacó u(0) 5, (1)u 6 . 2 4 10 1 6 2 6 Từ ó ược: I udu u u 6 6 5 5 6 5 3 9 5 9 9 9 5
Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp ổi biến dạng II: lOMoAR cPSD| 40425501 11 a) 1 2x 1 5 dx b) e dx c) 2 1 24x 2 dx 0 e xln x 0 x x 1 2 d) 2 dx 2 e) 3 cos(3x 2 )dx 1 (2x 1) 3 3
Giải: a) Đặt u 2x 1 khi x 0 thì u 1. Khi x 1thì u 3
Ta có du 2dx dx du . Do ó: 2 1 2x 1 5 dx 1
3 u du5 u6 3 1 (36 1) = 60 . 0 2 1 12 1 12
b)Đặt u lnx. Khi x e thì u 1. Khix e2 thì u 2. dx du 2 Ta có du dx e 2 ln ln2 ln1 2 u ln2. x xln x u1 e 1 lOMoAR cPSD| 40425501 12
c)Đặt u x2 x 1. Khi x 0 thì u 1. Khi x 1 thì u 3.
Ta có du (2x 1)dx. Do ó: 1 4x 2 3 2du3 2 dx
2lnu 2(ln3 ln1) 2ln3. 0 x x 1 1 u1
d)Đặt u 2x 1. Khi x 1thì u 1. Khi x 2 thì u 3.
Ta có du 2dx dx du . Do ó: 2 2
dx 1 3 du 1 3 1 1 1 ( 1) . 1 (2x 1)2 2 1 u 2 2u 1 2 3 3
e)Đặt u 3x 2 . Khi x thì u
, khi x 2 thì u 4 . 3 3 3 3 3
Ta có du 3dx dx du . Do ó: 3 2 4 4 3 cos(3x 23 )dx 1
3 cosudu 1 sinu 3 1 sin 43 sin 3 3 3 3 3 3 3 lOMoAR cPSD| 40425501 13 1 3 3 3 . 3 2 2 3
3.Phƣơng pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có ạo hàm liên tục trên a b; thì: bb u x v x dx( ) ( )'
u x v x( ) ( ) b v x u x dx( ) ( )' aa a bb b hay udv uv vdu. aa a
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
• Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv uvdx' bằng cách chọn một phần thích hợp của
f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v x dx' ( ) . Bước 2: Tính du udx' và v dv v x dx' ( ) . ' b b b • Bước 3: Tính vdu vudx và uv. a aa
• Bước 5: Áp dụng công thức trên. lOMoAR cPSD| 40425501 14
Ví dụ 5: a)Tính tích phân I 3 ln x 13 ( x 1)2 dx (ĐH-KB-2009) I 13 (3x ln x1)2 dx 3 13 (xdx 1)2 13 (xln x 1)2 dx I1 3 13 (xdx 1)2 (x 31) 13 34 I2 13 (xln x 1)2 dx Đặt u = lnx du dx x dv dx 2 . Chọn v 1 (x 1) x 1 I2 xlnx 113 13 x(xdx 1) ln34 13 dxx 13 xdx 1 ln34 ln 23 Vậy : I (1 ln3) ln2 e
b) Tính xln xdx 1 ln x du 2 dxx u Giải: Đặt
dv xdx v x 2 lOMoAR cPSD| 40425501 15
e xln xdx x2 ln x e 1
e xdx e2x2 e e2 1. 2 1 2 2 4 1 4 11
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: x x 2 ln x 2 1 2 a) 5 dx b) xcosxdx c) xe dx d) e cosxdx x 1 0 0 0 Giải: a) Đặt u ln1x du dxx . Do ó: dv x5 dx v 41x4 dx 12 ln5x ln4 x4 12 14 12 dx5 ln264 14 14 12 15 2564ln2 . x x x 4x b) Đặt u xcosxdx vdu
sindxx . Do ó: dv 2 2 xcosxdx xsin x 2 sin xdx cosx2 1. 22 lOMoAR cPSD| 40425501 16 00 00 u x du dx c)Đặt x . Do ó: dv e x dx v e 1 x x1 1 x x1 xe dx xe e dx ee e e 1 1. 0 0 00 u e x
du e dx x d) Đặt cosxdx
v sin x dv 2 2
ex cosxdx ex sin x2 ex sin xdx. 00 0 u e1 Đặt dv1 sinx xdx vdu e dx1 1 cosx x 2 2
ex cosxdx e 2 ex cosx2 ex cosxdx. 00 0 lOMoAR cPSD| 40425501 17 e 2 x 2 2 x 2 1
2 e cosxdx e 1 e cosxdx . 0 0 2
*Cách ặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. b b b b ex P x e dx( P x( )ln P x( cosxdx ) x xdx a )cosxdx a a a u P(x) lnx P(x) ex dv e dxx P(x)dx cosxdx cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào ể chọn u
và dv vdx' thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là
phần của f(x) mà khi lấy ạo hàm thì ơn giản, chọn dv vdx' là phần của f(x)dx là vi phân
một hàm số ã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường ược áp dụng tích phân từng phần: • Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )
mà P(x)là a thức chứa x và Q(x) là một trong
những hàm số: eax, cosax,
sinax thì ta thường ặt u P x( ) du P x dx' ( ) dv Q x dx( ) v Q x dx( ) lOMoAR cPSD| 40425501 18 • Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )
mà P(x) là a thức của x và Q(x) là hàm số u Q x( ) du Q x dx' ln(ax) thì ta ặt dv P x dx( ) v P x dx( )
• Nếu tính tích phân I
eax cosbxdxhoặc J
eax sinbxdx thì u ecosax bxdx vdu
b1ae dxsinaxbx ta ặt dv u eax du ae dxax hoặc ặt sinbxdx v
b1cosbx dv
hoctoan capba.com Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần
sau ó trở thành tích phân ban ầu. Từ ó suy ra kết quả tích phân cần tính.
II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƢỜNG GẶP
1. Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: lOMoAR cPSD| 40425501 19 dx I 2 a 0 . ax bx c ;
(trong ó ax bx c2 0 với mọi x ) Xét b2 4ac. dx +)Nếu 0 thì I 2 tính ược. a x 2ba 1 dx +)Nếu 0 thì I 1 2 , a x x x x (trong ó x b b 1 ;x2 ) 2a 2a I 1 ln x x1 . a x 1 x2 x x2 lOMoAR cPSD| 40425501 20 dx dx +) Nếu 0thì I 2 2 2 ax bx c a ba 4 a2 x 2 Đặt x b 2tgt dx 1 2
1 tg t dt2 , ta tính ược I. 2a 4a 2 a n b)
Tính tích phân: I
mx2 dx, a 0 . ax bx c mx n (trong ó f x( ) 2 liên tục trên oạn ; ) ax bx c
+) Bằng phương pháp ồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
mx n A ax b(2 ) B B
ax2 bx c ax2 bx c ax2 bx c ax2 bx cdx mx n A ax b(2 ) +)Ta có I= ax2 bx cdx ax2 bx cdx A ax b(2 ) . Tích phân 2 bx cdx = A axln2 bx c lOMoAR cPSD| 40425501 21 ax dx Tích phân 2 tính ược. ax bx c P x( ) b
c) Tính tích phân I
dx với P(x) và Q(x) là a
thức của x. a Q x( )
• Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia a thức.
• Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm ơn 1, 2,..., nthì ặt
P x( ) A1 A2 An ... . Q x( ) x 1 x 2 x n + Khi Q x( ) x x2
px q , p2 4q 0thì ặt P x( ) A Bx C 2 px q. Q x( ) x x + Khi Q x( ) x x 2 với thì ặt P x( ) A B C 2 . Q x( ) x x x lOMoAR cPSD| 40425501 22 1 4x 11
Ví dụ 7. Tính tích phân: 2dx. 0 x 5x 6 Giải:
Cách 1.Bằng phương pháp ồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho: B 24x 11 A2 2x 5 2 , x \ 3; 2 x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6 24x 11 2Ax2
5A B , x \ 3; 2 x
5x 6 x 5x 6 4 A 52AA B 11 B 12 24x 11 2 22 x 5 2 1 , x \ 3; 2 . Vậy x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6 1 4x 11 1 2x 5 1 dx Do ó 2dx 2 2dx 2 0 x 5x 6 0 x 5x 6 0 x 5x 6 lOMoAR cPSD| 40425501 23 2lnx2 5x 6 1 ln x 2 1 ln 9 . 0x 30 2
Cách 2. Vì x2 5x 6 x 2
x 3 nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách: Tìm A, B sao cho: 24x 11 A B 3; 2 , x \ x 5x 6 x 2 x 3 24x 11 A B x2
3A B, x \ 3; 2 x
5x 6 x 5x 6 3AA B2B4 11 BA 13 24x 11 3 1 3; 2 . Vậy , x \ x 5x 6
x 2 x 3 1 4x 11 1 dx 1 dx Do ó 2 dx 3 0
x 5x 6 0 x 2 0 x 3 9 11 3lnx 2 lnx 3 ln . 00 2 1 dx lOMoAR cPSD| 40425501 24
Ví dụ 8:Tính tích phân: 2 . 0 x x 1 Giải: 1 1 dx Do 2 dx 2 0 x x 10 x 12 34
Đặt x 1 3 tan ,t t ;
dx 3 1 tan2 t dt 2 2 6 3 2 2 t 1 3 1 tan dx 3 2 t dt 2 3 3 3 dt 2 3 3 3 . Vậy 2 3(1 tan 2 t) 39 0 x x 1 4 6 6 6 x3
Ví dụ 9. Tính tích phân: 2 dx. 0 x 1 Giải: 1 1 1 1 lOMoAR cPSD| 40425501 3 25 x 02 x2 1dx 02 x x2x 1 dx 12 xdx 02 xxdx2 1 2 1 1
x 2 1ln x2 1 2 1 1ln 3 . 2 28 2 4 0 0
2. Tích phân các hàm lƣợng giác
2.1.Dạng 1: Biến ổi về tích phân cơ bản Ví
dụ 10: Hãy tính các tích phân sau: 2 a) J sin2 sin7x xdx; 2 2 b) K
cos (sinx 4 x cos4 x dx) ; 0 c) M 2 4sin3 x dx. 0 1 cosx Giải lOMoAR cPSD| 40425501 26 1 1 a) J 2 cos5xdx 2 cos9xdx
1 sin5x 2 1 sin9x 2 4 . 2 2 10 18 45 2 222 b) Ta có cos (sinx
4 x cos4 x) cosx
sin2 x cos2 x 2 2sin2 xcos2 x cosx 1 12sin 22 x cosx 1 14 1 cos4x
34cosx 14cos cos4x x
3cosx 1 cos5x cos3x . 4 8 2 4 3 4 2 1 2 1 2 K
cos (sinx x cos x dx) cosxdx cos5xdx co3xdx 0 4 0 8 0 8 0 3 1 13 1 1 11 sin x 2 sin5x 2 sin3x 2 . 4 40 244 40 24 15 0 00
4sin3 x 4sin2 xsin x 4(1 cos2 x)sin x c) 4(1 cos )sinx x 1 cosx 1 cosx 1 cosx M 2. lOMoAR cPSD| 40425501 27
2.2.Dạng 2: Đổi biến số ể hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác 2.2.1.Tính I dx asinx bcosx c Phƣơng pháp: 2dt
Đặt t tan x dx 2 2 1 t Ta có: sin x
2t 2 và cosx 1 t22 1 t 1 t I dx 2dt 2
ã biết cách tính. asinx bcosx c c b t 2at b c dx Ví dụ 11. Tính 4cosx 3sin x 5 x x 2 dt Giải: Đặt t tg 2 dt 12 1 tan2 2 dx 1 t2 dx 2dt 2 1 t 2 cosx 3sin x 3 1 t 2 3 2 t 2 3
t 2 3t 2 dx dt 1 t 1 t lOMoAR cPSD| 40425501 28 t 1tan 2x 1 C . ln C ln t 2tan x 2 2 dx 2.2.2. Tính I 2 2
asin x bsin cosx x ccos x d dx
Phƣơng pháp: I 2 2
a d sin x bsin cosx x c d cos x dx 2 cos x 2
a d tan x btan x
c d Đặt t tgx dt dx dt 2 I
2 ã tính ược. cos x a d t bt c d dx
Ví dụ 12. Tính: I 2 2 .
sin x 2sin cosx x 3cos x dx 2 dx cos x Giải:Ta cóI 2 2 2
sin x 2sin cosx x 3cos x tg x 2tgx 3 lOMoAR cPSD| 40425501 29 Đặt t tgx dt dx 2 cos x I 2 dt dt 1ln t 1
C 1ln tgx 1 C 2.2.3. t 2t 3 t 1 t 3 4 t 34 tgx 3 Tính I msin x ncosx pdx. asin x bcosx c Phƣơng pháp: +)Tìm A, B, C sao cho:
msinx ncosx p
A a sinx bcosx c
B a cosx bsinx C, x+) Vậy I msin x ncosx p dx= asin x bcosx c lOMoAR cPSD| 40425501 30 = A dx B
asinacosx b x b cossinx c x dx C
asin x b dxcosx c dx Tích phân tính ược
acosx b sinx x b Tích phân
asinx b cosx c dx ln sina cosx c C dx Tích phân
asin x b cos x c tính ược.
Ví dụ 13. Tính: I
cosx 2sin x dx. 4cosx 3sin x Giải:
Bằng cách cân bằng hệ số bất ịnh, tìm A và B sao cho:
cosx 2sinx A 4cosx 3sinx B
4sinx 3cosx , x cosx 2sin x
4A 3B cosx
3A 4B sin ,x x A 4A 3B 1 52 3A 4B 2 B 1 5 lOMoAR cPSD| 40425501 31 I
52 15 4. 4cossinxx 33sincosxx dx 52 x 15ln
4cosx 3sin x C .
2.3.Dạng 3: Đổi biến số ể ưa về tích phân hàm lượng giác ơn giản hơn (Xem ví dụ 17, 20, 21)
2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng
R sin ,cosxx dx , với R sin ,cosx x là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx
Để tính nguyên hàm trên ta ổi biến số và a về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta ã biết cách tính tích phân. 2dt
• Trường hợp chung: Đặt t tan x dx 2 2 1 t 2t 1 t2 Ta có sin x 2 ;cosx 2 1 t 1 t
• Những trường hợp ặc biệt:
+) Nếu R sin ,cosxx là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là R sin , cosx x
R sin ,cosx x thì ặt t tgx hoặc t cot gx, sau ó
ưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.
+) Nếu R sin ,cosx x là hàm số lẻ ối với sinx nghĩa là: R sin ,cosxx
R sin ,cosx x thì ặt t cosx. lOMoAR cPSD| 40425501 32
+) Nếu R sin ,cosx x là hàm số lẻ ối với cosx nghĩa là: R sin , cosx x
R sin ,cosxx thì ặt t sinx.
3.Tích phân hàm vô tỉ
3.1 .Dạng 1: Biến ổi về tích phân vô tỉ cơ bản 1
Ví dụ 14. Tính tích phân: I dx . 0 x 1 x Giải I 10 dx 10 x 1 x dx 2 x 1 2 x 10 23 2 2 2 x 1 x 3 1 3 x dx
Ví dụ 15:Tính tích phân 1 x2 . 0 x 1 x dx3 12 2 1 Giải: 1 2
(x3 1 x2 x dx4) 15 . 0 x x 0
3.2.Dạng 2: Biến ổi về tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2)
3.3Dạng 3: Biến ổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức lOMoAR cPSD| 40425501 33
Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương úng 1 I x 1 Ví dụ 15:Tính 3 x dx2 0 Giải: 11 I x3 1 x dx2 x2 1 x xdx2. 0 0 Đặt t= 1 x2
t2 1 x2 x2 1 t2
Ta có: xdx=-tdt, Khi x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0 Vậy I 10(1 t t dt t3 t5 1 152 2 2) 3 5 0
4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt ối
Phƣơng pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt ối 2
Ví dụ 16: Tính J x2 1dx 2
Giải: Lập bảng xét dấu của x2 1 trên oạn 2;2 x -2 -1 1 2 x + 0 - 0 + 2 1 lOMoAR cPSD| 40425501 34 2 1 1 2 Do ó I x2 1dx x2 1 dx 1 x2 dx x2 1 dx 2 2 1 1 1 x33 x 21 x x33 1 x33 x 12 4.
III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1.Cho hàm số y f x( ) liên tục và lẻ trên oạn a a; . Khi ó a I f x dx( ) 0. a 2 xdx
Ví dụ 17: Chứng minh I 2 0. 4 sin x 2 Giải: Đặt x t
dx dt . Khi x= 2 thì t = - 2 , khi x thì t 2 2 2 tdt lOMoAR cPSD| 40425501 35 Do ó : I= 4 sin2 t I 2 2 xdx
Suy ra : 2I = 0. Ta ược I 2 0. 4 sin x 2
2.Cho hàm số y f x( ) liên tục và chẵn trên oạn a a; . Khi ó a a I
f x dx( ) 2 f x dx( ) . a 0 a 0 a
Chứng minh : Ta có I
f x dx( ) f x dx( ) f x dx( ) (1) a a 0 0 Ta tính J
f x dx( ) bằng cách ặt x t 0 t a dx dt a 0 0 a a J f x dx( )
f ( t dt) f t dt( ) f x dx( ) (2) a a 0 0 a a lOMoAR cPSD| 40425501 36
Thay (2) vào (1) ta ược I
f x dx( ) 2 f x dx( ) a 0 x x
Ví dụ 18: Tính tích phân: I 2 cos2 dx 4 sin x 2 Giải: Ta có I 2 x cos2x dx 2 x 2 dx 2 cosx2 dx 4 sin x 4 sin x 4 sin x 2 2 2 Do f x1( )
x 2là hàm số lẻ trên 2 2; nên 2 4 sinx 2 xdx 0 4 sin x 2 và f x2( ) 4 cossinx2 là hàm số chẵn trên ; 2 2 nên ta có: x lOMoAR cPSD| 40425501 37 2 cosx 2 cosx 2 d(sin x) 2dx 2 2dx 2 4 sin x 0 4 sin x
(sin x 2) sin x 2 2 2 Vậy I 1ln sin x 2 2 1ln3. 2 sin x 2 2 0
3.Cho hàm số y f x( ) liên tục và chẵn trên oạn : . Khi ó f x( ) 1
I x 1dx 2 f x dx( ) a
Chứng minh: Đặt t= -x dt= - dx x -t at 1
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a +1= a +1= t a
Khi x= - thì t = ; x = thì t =- t t
Vậy I f xx( ) 1dx a f tt ( )1 dt
aa t 111 f t dt( ) a a f t( ) f t dt( ) at 1dt f x dx( ) I lOMoAR cPSD| 40425501 38 Suy ra I
af xx( ) 1dx 12 f x dx( ) 1
: Tính tích phân: I xx4 dx. Ví dụ 19 2 1 1 Giải:Đặt t= -x dt= - dx
Khi x= - 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =-1 1 xx4 dx 1 t 4 1 t2t 4 I Vậy
12 1 2 t 1dt 1`2 1t dt 1 1 1 4 1 t t dt4 2 1t dt 1x dx4 I 1 1 Suy ra I 12
11x dx4 12 5x5 1 1 15 ;
4.Cho f(x) liên tục trên oạn 0 2 .Khi ó 2 2 lOMoAR cPSD| 40425501 39 f (sinx dx)
f (cosx dx) . 0 0 Chứng minh: Đặt t x dx dt 2
Khi x = 0 thì t , khi x thì t = 0 2 2 2 0 2 2 Do ó f (sin x dx)
f (sin( t dt) f (cost dt) f (cosx dx) . 0 2 0 0 2
Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức
*Nếu f(x) liên tục trên 0;1 thì xf (sin x dx)
f (sin x dx) 2 2 2
*Nếu f(x) liên tục trên 0;1 thì xf (cosx dx)
f (cosx dx) lOMoAR cPSD| 40425501 40 1 sinn x
Ví dụ 20:Chứng minh: I= n n dx . 0 sin x cos x 4 Giải :
Tương tự như trên ta có: 2 sinn x 2 cosn x I= n n dx n n dx=J 0 sin x cos x 0 sin x cos x 2 sinn x Vậy I= n n dx . 0 sin x cos x 4 xsin x
Ví dụ 21: Tính tích phân: 2dx. 1 sinn x 2 cosn x +) Vậy I+J= nn dx n n dx 0 sin x cos x 0 sin x cos x 2 lOMoAR cPSD| 40425501 41 0 1 cos x Giải: Đặt x t 0 t dx dt. Khi ó
xsin x2dx 0 t sin2 t dt 1 cos x 1 cos t 0 sint tsint 2 dt 2 dt 1 cos t 1 cos t 0 0 sin x xsin x 2dx 2 dx 0 1 cos x 0 1 cos x 2
xsin x2dx sin 2x dx 0 1 cos x 0 1 cos x
xsin x sin x 2 Vậy 2dx 2dx . 0 1 cos x 2 0 1 cos x 4 lOMoAR cPSD| 40425501 42 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.Tính các tích phân sau 2 a I) 2 2sin2x 2 dx
b I) 0 xsin xdx 0 cos x 4sin x ( ĐH-KA-2006) 2 x c I) 2 sin2x sin xdx d I) 0 (2 1)cos 2 xdx. 1 3 cos x 0 (ĐH-KA-2005) 4 ) 2 sin2 .cosxxdx f I) 0 x dx e I0 cos x 1 cos2x 1 (ĐH-KB-2005) h I) 2 dx 2 sin x cos x cos x 1 cos x g I) sin2x dx 4 1 4 4 k I) xtan2 xdx. 2 cos2x i I) 0 (sin x 3 dx cos x 3) 3 tanx lOMoAR cPSD| 40425501 43 0
Bài 2.Tính các tích phân sau 0 3x5 2x33 dx g I) x e( 2x 3 a I) dx b I) x x2( 2 1) x1)dx 1 2 11 0 x 2 ln(1 x) 2x 1 4 1
1 2 1 1 dx c I) dx d I) 01 2x 1x x 3 3 e I)
x3. x2 1dx f I) dxx3 1x 2 3 1 g I) 5 dx2
) 5 x 2 x 2 dx x x 4 h I 3
Bài 3. Tính các tích phân sau 1 b I) a I) (x2 1)e dxx 0 1 c I) dxex 1 0 2 x e2. x e I) 2 (x 2) 2 dx d 0 lOMoAR cPSD| 40425501 44 x 1 x x e 3 1 d I) ln .xdx 1 x 3 f I) ln(x2 x dx). 2 2 h I)
(esin x cos )cos .xxdx 0