[TCC] - Tóm tắt lý thuyết chương 1 dãy số - Giải tích 1. Môn Giải tích 1 (GT01) | Trường Đại học Giao thông Vận tải.

lOMoAR cPSD| 58833082
H ọ c online t ạ i: http s : //mapstudy.edu.v n
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT: GIẢI TÍCH I CHƯƠNG I: DÃY SỐ I. DˆY SỐ 1. Định nghĩa
Định nghĩa: Một dãy số thực (nói ngắn gọn là dãy số) là một ánh xạ từ N* vào R: n →  N* xn R
Người ta thường dùng ký hiệu:   xn ;n =1,2,..., hoặc x ,x ,...,x ,...1 2
n để chỉ dãy số. Số i = 1, 2, …, n,
… được gọi là chỉ số.
Chœ th ch: Trong nhiều tài liệu, dãy số cũng có thể bắt đầu từ chỉ số 0, khi đó, tập N* trong định
nghĩa nói trên được thay bằng N. Ví dụ:
a)   xn ; xn = 1 ; x1 =1; x2 = 1 ;...;xn = 1 ;... n 2 n b)   x = = = =
n ; xn 1; x1 1; x2 1;...;xn 1;... = − = − c)   x ( =− = ( n ; xn 1)n ; x1 1; x2 1;...;xn
1)n ;...
● Dãy đơn điệu:
• Dãy tăng: xn 1+  x :n   n N*
• Dãy giảm: xn 1+  x :n   n N*
● Dªy bị chặn:
Dªy {xn} gọi là bị chặn trên ( dưới, bị chặn) nếu tập hợp  x :n   n N là bị chặn trên (dưới, bị
chặn) nghĩa là:   C R,   n N : xn  C( C,C  0)
2. Giới hạn dãy số
Định nghĩa: Dªy {x )
n} gọi là hội tụ nếu        −  a ε 0( nε n nεx a εn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam 1 lOMoAR cPSD| 58833082
H ọ c online t ạ i: http s : //mapstudy.edu.v n
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ta cũng nói rằng dãy {xn} hội tụ đến a, hay a là giới hạn của dãy xn} và viết xn → a khi
n→ hay lim x = n a n→
● Nếu dãy xn} không hội tụ, ta nói rằng nó phân kỳ
Chœ : Ta hoàn toàn có thể sử dụng định nghĩa để chứng minh giới hạn dãy số
3. Các tính chất và phép toán của dãy hội tụ a) x → → n a,xn  =a’ a’
a (tính chất duy nhất) b) x → n  − →a (xn a) 0 c) n: x = → n
c  xn c c( = const) Trường  d) x → → ( → n a, zn
a, xn  yn  zn yn
a): nguyên lý kẹp e) x → n     a c 0, n: xn  c   f) x → ( n
a, a  p( p)  n ,0   n n : x0 n p) g) x → → n a,yn   →  b xn yn a b h) x → → → n a, yn  b x .yn n a.b i)x → → → n
a, yn b,b  0, x / yn n a/ b
4. Giới hạn vô hạn và các dạng vô định
a) Giới hạn vô hạn
Định nghĩa: Dªy (xn) gọi là có giới hạn bằng dương vô cùng (âm vô cùng) nếu:
       −M0, n ,0 n n0 M( M )0
Ký hiệu: limx =+ →+ n
 − ( ) hay xn  − ( )
Các tính chất: 1. x →+ ( ) →+ n  −  (
), n; yn  xn  xn  yn  −( ) 2. x →+ + →+ n  −  (
), n: yn  c xn yn  −( )
3. xn →+ − (
),yn →+ − ( )
xn + yn →+ − ( ) 4. x →+ → →+ n  − ( ),yn a
0(a  0),x yn n  − − + ( ) ( )
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam 2 lOMoAR cPSD| 58833082
H ọ c online t ạ i: http s : //mapstudy.edu.v n
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5. x →+ →+ →+ n  − (
),yn  − − + ( ) (
) x yn n  −( ) 6. x →+ → → →+ n
 −  ( ) 1/ xn 0;xn 0 xn  0( 0) 1/ xn  − ( )
b) Các dạng vô định
  n   n 0    − XØt hai dªy x v y
, cÆc dạng vô định sẽ c dạng: ; ; 0. ; 0 
→ Khi t m giới hạn, gặp cÆc dạng n y ta phải biến đổi để khử chúng đi, sau đó áp dụng cÆc t nh
chất của dªy hội tụ ta sẽ tìm được giới hạn cụ thể.
II. C`C TI˚U CHUẨN TỒN TẠI GIỚI HẠN
1. NguyŒn l Weierstrass
Mọi dãy   x (
n đơn điệu kh ng giảm (không tăng) và bị chặn trên (dưới) đều hội tụ v xn  limxn  limx ) n
→ Dãy đơn điệu bị chặn Trường
2. NguyŒn l Bolzano - Weierstrass
Mọi dãy số vô hạn   xn bị chặn đều c một dªy con hội tụ
● Dãy con: L những dªy số nằm bŒn trong dªy mẹ =
V dụ:   x 1 n ;xn : 1, 1 , 1 ,... n 2 3 →   yn : 1, , ,
,... l dªy con của   xn
● Tính chất: limx = n
a→ Mọi dãy con đều c giới hạn l a
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam 3 lOMoAR cPSD| 58833082
H ọ c online t ạ i: http s : //mapstudy.edu.v n
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
→ Sử dụng để chứng minh dªy ph n kỳ:   Dªy con ph n k 
Hai dªy con giới hạn khÆc nhau 3. NguyŒn l Cauchy
● Dãy số gọi là 1 dãy cơ bản nếu:      ε 0; n ;0 n n0
   −  mn0xn xmε
● Nguyên lý Cauchy:
Dªy   xn  R hội tụ (trong R) khi v chỉ khi n l một dãy cơ bản (dªy Cauchy)
III. DÃY SỐ CHO THEO KIỂU QUY NẠP
1. Dãy số cho theo kiểu quy nạp ‒ theo hệ thức truy hồi
+) Cho giá trị đầu của dãy + CT truy hồi. +) VD: 1, u = = = 0
0; u1 1; un un 1− +un 2− (n  2) 2, u = = = 1 1; un
unun 12− −2un 1− +1 (n  2) + 3, u = = 1 1 1; un un 1− (n  2) un 1−
2. Tìm giới hạn của dãy số cho theo kiểu quy nạp - Tính chất
+) Nếu un hội tụ → a  un 1− →a un 2− → a ........ - Các bước giải
B1: Sử dụng các tiêu chuẩn hội tụ để chứng minh dãy hội tụ
B2: Sử dụng tính chất đã nêu  chuyển công thức truy hồi qua giới hạn
B3: Tính toán và tìm giới hạn. Trường
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam 4 lOMoAR cPSD| 58833082
H ọ c online t ạ i: http s : //mapstudy.edu.v n
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ví dụ: Cho u1  0, un = 1  un 1− +
1   (n  2) . Tìm giới hạn của dãy   un . 2 un 1− 
Hướng dẫn giải 1  1  1 1 +) = +    −
= 1 ( BĐT Co si) → Dãy bị chặn dưới n u n1 u − 2 n1 u − 2  n1 u −  2 n1 u − 1  1  1  1  +) − = +  −  = −    n u n1 u − u − u − u − 0 n1 u n1 n1 2 
un 1−  2 un 1−   Dãy giảm
 Dãy hội tụ theo nguyên lý Weierstrass +) Giả
sử un hội tụ →a  un 1− HT →a = +
Suy ra: a 1  a 1   =  =a 1 a
1 (do un  1) 2 a  a Vậy lim u = n 1
- Lưu ý: Để chứng minh dãy phân kỳ, ngoài sử dụng các tiêu chuẩn hội tụ, có thể dùng cách thay
biến giới hạn vào công thức truy hồi, rồi suy ra phương trình vô nghiệm + Ví dụ: u 1 (
1  0, un 1+ = un
u  1). Chứng minh dãy phân kỳ un
Hướng dẫn giải
 un 1+ → a  
+) Giả sử dãy hội tụ →a  u → n a  ......  = +  =a a 1 0 1 (v nghiệm) → dªy ph n kỳ a a = +) u 1 =+ n 1+ −un
 0  Dãy tăng  limun 
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam 5 lOMoAR cPSD| 58833082
H ọ c online t ạ i: http s : //mapstudy.edu.v n
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ un ___HẾT___ Trường
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam 6