Bài tập Giải tích 1 | Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội

Bài tập Giải tích 1 | Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!

74 37 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 1 (GT1)

Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Thông tin:

4 trang 5 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương
1 Làm Toán Thỏ
Học kỳ 1 năm học 2019 – 2020 (mã MAT1091)
Bài 1. Tìm gi i h n c : ớ ạ ủa hàm số
lim
x→2
√
2x + 5 −
√
x + 7
x
2
+ 2x + 8
=lim
x→2
(
√
2x + 5 −
√
x + 7)(
√
2x + 5 +
√
x + 7)
( )
x − 2 x + 4
)(
(
√
2x + 5 −
√
x + 7)
=lim
x→2
x − 2
( )
x − 2 x + 4
)(
(
√
2x + 5 +
√
x + 7)
=lim
x→2
1
( )
x + 4 (
√
2x + 5 +
√
x + 7)
=
1
36
.
𝐁à𝐢 𝟐. m để hàm số f
Tìm
(
x
)
={
e
3x
− cos2x
x
khi x≠0
m khi x= 0
liên tục trên R.
Khi x≠0 𝑡ℎì: f
(
x
)
=
e
3x
− cos2x
x
liên tục.
Khi x=0, : limta có
x→0
f
(
x =lim
)
x→0
e
3x
− cos2x
x
=lim
x→0
(
e
3x
− cos2x
)
′
x
′
=lim
x→0
(
3e
3x
+ 2sin2x
1
)=3.
Để hàm số liên tục tại x =0 thì lim
x→0
f
(
x =3= f
) (
0
)
=m
⇔ m=3.
𝐁à𝐢 𝟑.Cho hàm số f =
(
x
)
{
sin4x
x
khi x≠0
4 khi x=0
.Tính đạo hàm f
′
(
0
)
.
Ta có: lim
x→0
f
(
x − f(0)
)
x − 0
=lim
𝑥→0
sin4x
x
− 4
𝑥
=lim
𝑥→0
sin4x − 4x
𝑥
2
=lim
𝑥→0
(
sin4x − 4x
)
′
(
𝑥
2
)
′
lim
𝑥→0
4cos4x − 4
2x
=lim
𝑥→0
(
2cos4x − 2
)
′
x
′
=lim
𝑥→0
(
−8sin4x =0.
)
→f
′
(
0
)
=0.
Bài 4.
Cho hàm số f
(
x
)
=xcos2x. Tính đạo hàm f
(10)
(
0
)
Áp dụng công th c Leibnitz, ta có: ứ
2 Làm Toán Thỏ
f
(
10
)
(
x C
)
=∑
10
k
( )
x
(k) ( −k)
(
cos2x
)
10
10
k=0
=C
10
0
.x. cos2x
( )
(10)
+ C
10
1
.
(
x
)
(1)
(
cos2x
)
(9)
+
+⋯ + C
10
10
.
(
x
)
(
10
)
cos2x
Ta lại có:
(
x
)
(k)
=0 với k≥2
(
cos2x
)
(k)
=2
k
cos(2x+ k
π
2
)
→f
(
10
)
(
x =C
)
10
0
.x. cos2x
( )
(10)
+ C
10
1
.
(
x
)
(1)
(
cos2x
)
(9)
=x.2
10
cos
(
2x 5π+
)
+
+
10.2 cos(
9
2x +
9
2
π)=−2
10
xcos2x − 5.2
10
sin2x=−2
10
(
xcos2x + 5sin2x
)
→f
(
10
)
(
0
)
=0.
𝐁à𝐢 𝟓.Tính tích phân I=∫ e
2x
ln6
0
√e
x
+ 3dx
Đặt u=
√
e
x
+ 3 →u
2
=e + 3→2udu=e
x x
dx
I=2
∫u
2
(
u
2
− 3
)
3
2
du=2.(
u
5
5
− u
3
)|
3
2
=
232
5
.
𝐁à𝐢 𝟔.Tính tích phân suy rộ : I =
ng ∫
1
3x + 2
2
+ 5x
dx
+∞
1
I =
∫
1
(
3x + 2 x + 1
)(
)
dx
+∞
1
=∫
1
(
3x + 2 x + 1
)(
)
dx
+∞
1
=∫
(
3
(
3x + 2
)
−
1
(
x + 1
)
)dx
+∞
1
=
(ln
(
3x + 2
)
− ln
(
x + 1
)
)|
+∞
1
=ln(
3x + 2
x + 1
)|
+∞
1
=ln3 ln−
5
2
=ln
6
5
.
𝐁à𝐢 𝟕. ảo sát sự hội tụ của chuỗi số
Kh ∑
n + 2
n n + 4
√
2
+∞
n=1
3 Làm Toán Thỏ
Ta
dễ dàng thấy:n n + 4
√
2
≤
(
n + 2
)
2
→
n + 2
n
√
n + 4
2
≥
n + 2
( )
n + 2
2
=
1
n + 2
Mà
chuỗi số∑
1
n + 2
+∞
n=1
phân kỳ nên ỗi số chu ∑
n + 2
n n + 4
√
2
+∞
n=1
cũng phân kỳ.
𝐁à𝐢 𝟖. ền hội tụ của ỗi hàm:
Tìm mi chu ∑[
n( + 1)2x
3n + 1
]
n
+∞
n=1
Chuỗi lũy ừa dạth có ng ∑a
n
X
n
∞
n=0
Đặt
{
a
n
=(
n
3n
+ 1
)
n
X=(2x + 1)
Ta có: lim
𝑛→+∞
√
a
n
n
= lim
𝑛→+∞
(
n
3n
+ 1
)
n
= lim
𝑛→+∞
n
3n
+ 1
=
1
3
→Bán kính hội tụ R=3.
Miền hội tụ của chuỗi lũy ừa th ∑a
n
X
n
∞
n=0
là
(
−3;3 .
)
Xét
tại R=3, ỗi số ta có chu: ∑ (
n
3n
+ 1
)
n
∞
n=0
hội tụ limdo
𝑛→+∞
√
a
n
n
=
1
3
<1.
Xét
tại R=−3, ỗi số ta có chu: ∑
(
−1
)
n
(
n
3n
+ 1
)
n
∞
n=0
theo tiêu ẩn Leibnitz.chu
→Miền hội tụ của huỗi lũy thừa ∑ a
n
X
n
∞
n=0
là
[
−3;3
]
Suy
ra miền hội tụ của chuỗi lũy ừa th ∑[
n( + 1)2x
3n + 1
]
n
+∞
n=1
thỏa mãn:
−3≤ 2x +1≤3
⇔ −2≤𝑥≤1.
4 Làm Toán Thỏ
→
Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[
n(
2x + 1)
3n + 1
]
n
+∞
n=1
là
[
−2;1
]
.
| 1/4
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Học kỳ 1 năm học 2019 – 2020 (mã MAT1091)
Bài 1. Tìm giới hạn của hàm số: ( lim√2x + 5 − √x + 7
√2x + 5 − √x + 7)(√2x + 5 + √x + 7) x→2 x2 + 2x + 8 = lim x→2
(x − 2)(x + 4)(√2x + 5 − √x + 7) x − 2 1 1 = lim = lim =
x→2 (x − 2)(x + 4)(√2x + 5 + √x + 7) x→2 (x + 4)(√2x + 5 + √x + 7) 36. e3x − cos2x 𝐁à𝐢 𝟐. Tì m m để hàm số f(x) = { x
khi x ≠ 0 liên tục trên R. m khi x = 0 e3x − cos2x Khi x ≠ 0 𝑡ℎì: f(x) = x liên tục. e3x − cos2x (e3x − cos2x)′
Khi x = 0, ta có: limf(x) = lim x→0 x→0 x = lim x→0 x′ 3e3x + 2sin2x = lim ( x→0 1 ) = 3.
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì limf(x) = 3 = f(0) = m ⇔ m = 3. x→0 sin4x
𝐁à𝐢 𝟑. Cho hàm số f(x) = { x khi x ≠ 0 .Tính đạo hàm f′(0). 4 khi x = 0 sin4x f(x) − f(0) sin4x − 4x (sin4x − 4x)′ Ta có: lim x − 4 x→0 x − 0 = lim 𝑥→0 𝑥 = lim 𝑥→0 𝑥2 = lim 𝑥→0 (𝑥2)′ 4cos4x − 4 (2cos4x − 2)′ lim (−8sin4x) = 0. 𝑥→0 2x = lim 𝑥→0 x′ = lim 𝑥→0 → f′(0) = 0.
Bài 4. Cho hàm số f(x) = xcos2x. Tính đạo hàm f (10)(0)
Áp dụng công thức Leibnitz, ta có: 1
Thỏ Làm Toán 10 f(10)(x) = ∑ Ck (k) ( −k) 0 1 10(x)
(cos2x) 10 = C10 .x.(cos2x)(10) + C10. (x)(1)(cos2x)(9) + k=0 + ⋯ + C10 10. (x)(10)cos2x Ta lại có: (x)(k) = 0 với k ≥ 2 ( π cos2x)(k) = 2kcos (2x + k 2) → f(10)(x) = C0 1
10. x. (cos2x)(10) + C10. (x)(1)(cos2x)(9) = x. 210cos(2x + 5π) + 9
+ 10. 29cos (2x + 2π) = −210xcos2x − 5.210sin2x = −210(xcos2x + 5sin2x) → f(10)(0) = 0. ln6
𝐁à𝐢 𝟓. Tính tích phân I = ∫ e2x √ex + 3dx 0
Đặt u = √ex + 3 → u2 = ex + 3 → 2udu = exdx 3 I = 2 ∫ u2(u2 − 3) u5 232 du = 2. ( 5 − u3)|32 = 5 . 2 +∞ 1
𝐁à𝐢 𝟔. Tính tích phân suy rộng: I = ∫ 3x2 + 5x + 2dx 1 +∞ +∞ +∞ 1 1 3 1
I = ∫ (3x + 2)(x + 1)dx= ∫ (3x + 2)(x + 1)dx = ∫ ((3x + 2) − (x + 1))dx 1 1 1 3x + 2 5 6
= (ln(3x + 2) − ln(x + 1)) |+∞ 1 = ln ( x + 1 ) |+∞ 1 = ln3 − ln 2 = ln 5. +∞ n + 2
𝐁à𝐢 𝟕. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n√n2 + 4 n=1 2
Thỏ Làm Toán n + 2 1
Ta dễ dàng thấy: n√n2 + 4 ≤ (n + 2)2 → n + 2 ≥ n√n2 + 4 (n + 2)2 = n + 2 +∞ 1 +∞ n + 2
Mà chuỗi số ∑ n + 2 phân kỳ nên chuỗi số ∑ cũng phân kỳ. n√n2 + 4 n=1 n=1 +∞ n(2x + 1) n
𝐁à𝐢 𝟖. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: ∑ [ 3n + 1 ] n=1 ∞
Chuỗi lũy thừa có dạng ∑ anXn n=0 n n Đặt {an = (3n + 1) X = (2x + 1) n n n 1 Ta có: lim √na = lim ( = lim 𝑛→+∞ n 𝑛→+∞ 3n + 1) 𝑛→+∞ 3n + 1 = 3
→ Bán kính hội tụ R = 3. ∞
Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ anXn l à(−3; 3). n=0 ∞ n n 1
Xét tại R = 3, ta có: chuỗi số ∑ ( n
3n + 1) hội tụ do lim √a = 𝑛→+∞ n 3 < 1. n=0 ∞ n n
Xét tại R = −3, ta có: chuỗi số ∑(−1)n (3n + 1) theo tiêu chuẩn Leibnitz. n=0 ∞
→ Miền hội tụ của huỗi lũy thừa ∑ anXn là [−3; 3] n=0 +∞ n(2x + 1) n
Suy ra miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ [ 3n + 1 ] thỏa mãn: n=1
−3 ≤ 2x + 1 ≤ 3 ⇔ −2 ≤ 𝑥 ≤ 1. 3
Thỏ Làm Toán +∞ n(2x + 1) n
→ Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ [ 3n + 1 ] là [−2;1]. n=1 4
Thỏ Làm Toán