Bài tập Giải tích 1 | Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội

Học kỳ 1 năm học 2019 – 2020 (mã MAT1091)
Bài 1. Tìm giới hạn của hàm số: ( lim√2x + 5 − √x + 7
√2x + 5 − √x + 7)(√2x + 5 + √x + 7) x→2 x2 + 2x + 8 = lim x→2
(x − 2)(x + 4)(√2x + 5 − √x + 7) x − 2 1 1 = lim = lim =
x→2 (x − 2)(x + 4)(√2x + 5 + √x + 7) x→2 (x + 4)(√2x + 5 + √x + 7) 36. e3x − cos2x 𝐁à𝐢 𝟐. Tì m m để hàm số f(x) = { x
khi x ≠ 0 liên tục trên R. m khi x = 0 e3x − cos2x Khi x ≠ 0 𝑡ℎì: f(x) = x liên tục. e3x − cos2x (e3x − cos2x)′
Khi x = 0, ta có: limf(x) = lim x→0 x→0 x = lim x→0 x′ 3e3x + 2sin2x = lim ( x→0 1 ) = 3.
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì limf(x) = 3 = f(0) = m ⇔ m = 3. x→0 sin4x
𝐁à𝐢 𝟑. Cho hàm số f(x) = { x khi x ≠ 0 .Tính đạo hàm f′(0). 4 khi x = 0 sin4x f(x) − f(0) sin4x − 4x (sin4x − 4x)′ Ta có: lim x − 4 x→0 x − 0 = lim 𝑥→0 𝑥 = lim 𝑥→0 𝑥2 = lim 𝑥→0 (𝑥2)′ 4cos4x − 4 (2cos4x − 2)′ lim (−8sin4x) = 0. 𝑥→0 2x = lim 𝑥→0 x′ = lim 𝑥→0 → f′(0) = 0.
Bài 4. Cho hàm số f(x) = xcos2x. Tính đạo hàm f (10)(0)
Áp dụng công thức Leibnitz, ta có: 1
Thỏ Làm Toán 10 f(10)(x) = ∑ Ck (k) ( −k) 0 1 10(x)
(cos2x) 10 = C10 .x.(cos2x)(10) + C10. (x)(1)(cos2x)(9) + k=0 + ⋯ + C10 10. (x)(10)cos2x Ta lại có: (x)(k) = 0 với k ≥ 2 ( π cos2x)(k) = 2kcos (2x + k 2) → f(10)(x) = C0 1
10. x. (cos2x)(10) + C10. (x)(1)(cos2x)(9) = x. 210cos(2x + 5π) + 9
+ 10. 29cos (2x + 2π) = −210xcos2x − 5.210sin2x = −210(xcos2x + 5sin2x) → f(10)(0) = 0. ln6
𝐁à𝐢 𝟓. Tính tích phân I = ∫ e2x √ex + 3dx 0
Đặt u = √ex + 3 → u2 = ex + 3 → 2udu = exdx 3 I = 2 ∫ u2(u2 − 3) u5 232 du = 2. ( 5 − u3)|32 = 5 . 2 +∞ 1
𝐁à𝐢 𝟔. Tính tích phân suy rộng: I = ∫ 3x2 + 5x + 2dx 1 +∞ +∞ +∞ 1 1 3 1
I = ∫ (3x + 2)(x + 1)dx= ∫ (3x + 2)(x + 1)dx = ∫ ((3x + 2) − (x + 1))dx 1 1 1 3x + 2 5 6
= (ln(3x + 2) − ln(x + 1)) |+∞ 1 = ln ( x + 1 ) |+∞ 1 = ln3 − ln 2 = ln 5. +∞ n + 2
𝐁à𝐢 𝟕. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n√n2 + 4 n=1 2
Thỏ Làm Toán n + 2 1
Ta dễ dàng thấy: n√n2 + 4 ≤ (n + 2)2 → n + 2 ≥ n√n2 + 4 (n + 2)2 = n + 2 +∞ 1 +∞ n + 2
Mà chuỗi số ∑ n + 2 phân kỳ nên chuỗi số ∑ cũng phân kỳ. n√n2 + 4 n=1 n=1 +∞ n(2x + 1) n
𝐁à𝐢 𝟖. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: ∑ [ 3n + 1 ] n=1 ∞
Chuỗi lũy thừa có dạng ∑ anXn n=0 n n Đặt {an = (3n + 1) X = (2x + 1) n n n 1 Ta có: lim √na = lim ( = lim 𝑛→+∞ n 𝑛→+∞ 3n + 1) 𝑛→+∞ 3n + 1 = 3
→ Bán kính hội tụ R = 3. ∞
Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ anXn l à(−3; 3). n=0 ∞ n n 1
Xét tại R = 3, ta có: chuỗi số ∑ ( n
3n + 1) hội tụ do lim √a = 𝑛→+∞ n 3 < 1. n=0 ∞ n n
Xét tại R = −3, ta có: chuỗi số ∑(−1)n (3n + 1) theo tiêu chuẩn Leibnitz. n=0 ∞
→ Miền hội tụ của huỗi lũy thừa ∑ anXn là [−3; 3] n=0 +∞ n(2x + 1) n
Suy ra miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ [ 3n + 1 ] thỏa mãn: n=1
−3 ≤ 2x + 1 ≤ 3 ⇔ −2 ≤ 𝑥 ≤ 1. 3
Thỏ Làm Toán +∞ n(2x + 1) n
→ Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ [ 3n + 1 ] là [−2;1]. n=1 4
Thỏ Làm Toán