Bài tập Giải tích B1 - Vi tích phân 1 | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Bài tập Giải tích B1 - Vi tích phân 1 | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem !

22 11 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Vi tích phân 1 (MTH00005)

Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Thông tin:

28 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Phạm Thị Huyền
BỘ MÔN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH B1
KHOA TOÁN TIN HỌC, ĐHKHTN THHCM.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
Chương 1
Dãy số, chuỗi số
A. Bài t ập mở đầu chuỗi số
I Tìm ít nhất 10 tổng riêng phần của chuỗi. Vẽ đồ thị của dãy các số hạng và dãy các
tổng riêng trên cùng hệ trục tọa độ. Chuỗi có vẻ hội tụ hay phân kỳ? Nếu hội tụ thì
tìm tổng của chuỗi. Nếu nó phân kỳ thì giải thích tại sao.
1.
1
X
nD1
12
.5/
n
2.
1
X
nD1
cos n
3.
1
X
nD1
n
p
n
2
C 4
4.
1
X
nD1
7
nC1
10
n
5.
1
X
nD1
1
p
n
1
p
n C1
6.
1
X
nD1
1
n.n C 2/
7. Đặt a
n
D
2n
3n C 1
.
a) Dãy fa
n
g hội tụ hay không.
b) Chuỗi
1
X
nD1
a
n
hội tụ hay không.
8. a) Giải thích sự khác biệt giữa
n
X
iD1
a
i
và
n
X
jD1
a
j
.
b) Giải thích sự khác biệt giữa
n
X
iD1
a
i
và
n
X
iD1
a
j
II Xác định chuỗi hình học hội tụ hay phân kỳ. Nếu hội tụ thì tính tổng.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
A. Bài tập mở đầu chuỗi số 3
9. 3 4 C
16
3
64
9
C
10. 4 C 3 C
9
4
C
27
16
C
11. 10 2 C 0:4 0:08 C
12. 2 C 0:5 C 0:125 C 0:03125 C
13.
1
X
nD1
6.0:9/
n1
14.
1
X
nD1
10
n
.9/
n1
15.
1
X
nD1
.3/
n1
4
n
16.
1
X
nD0
1
.
p
2/
n
17.
1
X
nD0
n
3
nC1
18.
1
X
nD1
e
n
3
n1
III Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ. Nếu hội tụ, tính tổng chuỗi.
19.
1
3
C
1
6
C
1
9
C
1
12
C
1
15
C
20.
1
3
C
2
9
C
1
27
C
2
81
C
1
243
C
2
729
C
21.
1
X
nD1
n 1
3n 1
22.
1
X
kD1
k.k C 2/
.k C 3/
2
23.
1
X
nD1
1 C 2
n
3
n
24.
1
X
nD1
1 C 3
n
2
n
25.
1
X
nD1
n
p
2
26.
1
X
nD1
Œ.0:8/
n1
.0:3/
n
27.
1
X
nD1
ln
n
2
C 1
2n
2
C 1
!
28.
1
X
nD1
1
1 C
2
3
n
29.
1
X
kD0
3
k
30.
1
X
kD0
.cos 1/
k
31.
1
X
nD1
arctan n
32.
1
X
nD1
3
5
n
C
2
n
33.
1
X
nD1
1
e
n
C
1
n.n C 1/
34.
1
X
nD1
e
n
n
2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
4 Chương 1. Dãy số, chuỗi số
IV Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ bằng cách triệt tiêu từng cặp số hạng của tổng
riêng phần s
n
để rút gọn. Nếu chuỗi hội tụ thì tính tổng của chuỗi.
35.
1
X
nD2
2
n
2
1
36.
1
X
nD1
ln
n
n C 1
37.
1
X
nD1
3
n.n C 3/
38.
1
X
nD1
cos
1
n
2
cos
1
.n C 1/
2
39.
1
X
nD1
e
1=n
e
1=.nC1/
40.
1
X
nD2
1
n
3
n
41. Cho x D 0:999999::::
a) x < 1 hay x D 1?
b) Dùng tổng của chuỗi hình học để tìm x.
c) Có bao nhiêu biểu diễn thập phân đại diện cho số 1?
d) Những số nào có hơn một biểu diễn thập phân?
42. Cho dãy được định nghĩa bởi
a
1
D 1; a
n
D .5 n/a
n1
Tính
1
X
nD1
a
n
.
B. Bài t ập tiêu chuẩn tích phân, ước lượng tổng chuỗi
I Dùng Tiêu chuẩn Tích phân để xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ.
1.
1
X
nD1
1
5
p
n
2.
1
X
nD1
1
n
5
3.
1
X
nD1
1
.2n C 1/
3
4.
1
X
nD1
1
p
n C 4
5.
1
X
nD1
n
n
2
C 1
6.
1
X
nD1
n
2
e
n
3
II Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
B. Bài tập tiêu chuẩn tích phân, ước lượng tổng chuỗi 5
7.
1
X
nD1
1
n
p
2
8.
1
X
nD3
n
0:9999
:
9. 1 C
1
8
C
1
27
C
1
64
C
1
125
C
10. 1C
1
2
p
2
C
1
3
p
3
C
1
4
p
4
C
1
5
p
5
C
11. 1 C
1
3
C
1
5
C
1
7
C
1
9
C
12.
1
5
C
1
8
C
1
11
C
1
14
C
1
17
C
13.
1
X
nD1
p
n C 4
n
2
14.
1
X
nD1
n
2
n
3
C 1
:
15.
1
X
nD1
1
n
2
C 4
:
16.
1
X
nD3
3n 4
n
2
2n
:
17.
1
X
nD1
ln n
n
3
:
18.
1
X
nD1
1
n
2
C 6n C 13
:
19.
1
X
nD2
1
n ln n
:
20.
1
X
nD2
1
n.ln n/
2
:
21.
1
X
nD1
e
1=n
n
2
:
22.
1
X
nD3
n
2
e
n
:
23.
1
X
nD1
1
n
2
C n
3
:
24.
1
X
nD1
n
n
4
C 1
:
III Giải thích tại sao Tiêu chuẩn Tích phân không thể áp dụng để xác định chuỗi hội tụ
hay không.
25.
1
X
nD1
cos . n/
p
n
.
26.
1
X
nD1
cos
2
n
n
2
C 1
:
IV Tìm giá trị p để chuỗi hội tụ.
27.
1
X
nD2
1
n.ln n/
p
:
28.
1
X
nD3
1
n ln nŒln .ln n/
p
:
29.
1
X
nD1
n.1 C n
2
/
p
:
30.
1
X
nD1
ln n
n
p
:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
6 Chương 1. Dãy số, chuỗi số
C. Bài t ập tiêu chuẩn Leibnitz (chuỗi đan dấu)
I Kiểm tra sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi.
1.
2
3
2
5
C
2
7
2
9
C
2
11
2.
2
5
C
4
6
6
7
C
8
8
10
9
C
3.
1
p
2
1
p
3
C
1
p
4
1
p
5
C
1
p
6
4.
1
X
nD1
.1/
n1
2n C 1
5.
1
X
nD1
.1/
n1
ln .n C 4/
6.
1
X
nD1
.1/
n
3n 1
2n C 1
7.
1
X
nD1
.1/
n
n
p
n
3
C 2
8.
1
X
nD1
.1/
n
e
n
9.
1
X
nD1
.1/
n
p
n
2n C 3
10.
1
X
nD1
.1/
nC1
n
2
n
3
C 4
11.
1
X
nD1
.1/
nC1
ne
n
12.
1
X
nD1
.1/
n1
e
2=n
13.
1
X
nD1
.1/
n1
arctan n
14.
1
X
nD0
sin .n C
1
2
/
1 C
p
n
15.
1
X
nD1
n cos n
2
n
16.
1
X
nD1
.1/
n
sin.
n
/
17.
1
X
nD1
.1/
n
cos.
n
/
18.
1
X
nD1
.1/
n
n
n
n!
19.
1
X
nD1
.1/
n
.
p
n C 1
p
n/
II Chứng minh rằng chuỗi hội tụ. Ta cần cộng bao nhiêu số hạng của chuỗi để tìm tổng
với sai số tương ứng.
20.
1
X
nD1
.1/
nC1
n
6
,
ˇ
ˇ
sai số
ˇ
ˇ
< 0:00005
21.
1
X
nD1
.1/
n
n5
n
,
ˇ
ˇ
sai số
ˇ
ˇ
< 0:0001
22.
1
X
nD0
.1/
n
10
n
n!
,
ˇ
ˇ
sai số
ˇ
ˇ
< 0:000005
23.
1
X
nD1
.1/
n1
ne
n
,
ˇ
ˇ
sai số
ˇ
ˇ
< 0:01
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
D. Bài tập tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối, Cauchy, D’ Alembert 7
III Xấp xỉ tổng của chuỗi đúng đến 4 chữ số thập phân.
24.
1
X
nD1
.1/
n
.2n/!
25.
1
X
nD1
.1/
nC1
n
6
26.
1
X
nD1
.1/
n1
n
2
10
n
27.
1
X
nD1
.1/
n
3
n
n!
D. Bài t ập tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối, Cauchy, D’ Alembert
1-27. Cho biết chuỗi hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện, hay phân kỳ?
1.
1
X
nD1
.2/
n
n
2
2.
1
X
nD1
n
n
5
3.
1
X
nD1
.1/
n1
n
n
2
C 4
4.
1
X
nD0
.1/
n
5n C 1
5.
1
X
nD0
.3/
n
.2n C 1/!
6.
1
X
kD1
k
2
3
k
7.
1
X
nD1
n!
100
n
8.
1
X
nD1
.1/
n
.1:1/
n
n
4
9.
1
X
nD1
.1/
n
n
p
n
3
C 2
10.
1
X
nD1
.1/
n
e
1=n
n
3
11.
1
X
nD1
sin 4n
4
n
12.
1
X
nD1
10
n
.n C 1/4
2nC1
13.
1
X
nD1
n
10
.10/
nC1
14.
1
X
nD1
.1/
n
arctan n
n
2
15.
1
X
nD1
3 cos n
n
2=3
2
16.
1
X
nD1
.1/
n
ln n
17.
1
X
nD1
n!
n
n
18.
1
X
nD1
cos n=3
n!
19.
1
X
nD1
.2/
n
n
n
20.
1
X
nD1
n
2
C 1
2n
2
C 1
!
n
21.
1
X
nD2
2n
n C 1
5n
22.
1
X
nD1
1 C
1
n
n
2
23.
1
X
nD1
.2n/!
.n!/
2
24.
1
X
nD1
n
100
100
n
n!
25.
1
X
nD1
2
n
2
n!
26. 1
1:3
3!
C
1:3:5
5!
1:3:5:7
7!
C C .1/
n1
1:3:5:7: :.2n 1/
.2n 1/!
C
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
8 Chương 1. Dãy số, chuỗi số
27.
2
5
C
2:6
5:8
C
2:6:10
5:8:11
C
2:6:10:14
5:8:11:14
C
28-57. Kiểm tra sự hội tụ và phân kỳ của các chuỗi sau
28.
1
X
nD1
1
n C 3
n
29.
1
X
nD1
.2n C 1/
n
n
2n
30.
1
X
nD1
.1/
n
n
n C 2
31.
1
X
nD1
.1/
n
n
n
2
C 2
32.
1
X
nD1
n
2
2
n1
.5/
n
33.
1
X
nD1
1
2n C 1
34.
1
X
nD1
1
n
p
ln n
35.
1
X
kD1
2
k
k!
.k C 2/!
36.
1
X
kD1
k
2
e
k
37.
1
X
nD1
n
2
e
n
3
38.
1
X
nD1
1
n
3
C
1
3
n
39.
1
X
kD1
1
k
p
k
2
C 1
40.
1
X
nD1
3
n
n
2
n!
41.
1
X
nD1
sin 2n
1 C 2
n
42.
1
X
kD1
2
k1
3
kC1
k
k
43.
1
X
nD1
n
2
C 1
n
3
C 1
44.
1
X
nD1
1 3 5 .2n 1/
2 5 8 .3n 1/
45.
1
X
nD2
.1/
n1
p
n 1
46.
1
X
nD1
.1/
n
ln n
p
n
47.
1
X
kD1
3
p
k 1
k.
p
k C 1/
48.
1
X
nD1
.1/
n
cos.1=n
2
/
49.
1
X
kD1
1
2Csin k
50.
1
X
nD1
tan.1=n/
51.
1
X
nD1
n sin.1=n/
52.
1
X
nD1
n!
e
n
2
53.
1
X
nD1
n
2
C 1
5
n
54.
1
X
kD1
k ln k
.k C 1/
3
55.
1
X
nD1
e
1=n
n
2
56.
1
X
nD1
.1/
n
cosh n
57.
1
X
jD1
.1/
j
p
j
j C 5
E. Bài t ập chuỗi luỹ thừa
1-26. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi
1.
1
X
nD1
.1/
n
nx
n
2.
1
X
nD1
.1/
n
x
n
3
p
n
3.
1
X
nD1
x
n
2n 1
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
E. Bài tập chuỗi luỹ thừa 9
4.
1
X
nD1
.1/
n
x
n
n
2
5.
1
X
nD0
x
n
n!
6.
1
X
nD1
n
n
x
n
7.
1
X
nD1
.1/
n
n
2
x
n
2
n
8.
1
X
nD1
10
n
x
n
n
3
9.
1
X
nD1
.3/
n
n
p
n
x
n
10.
1
X
nD1
x
n
n3
n
11.
1
X
nD2
.1/
n
x
n
4
n
ln n
12.
1
X
nD0
.1/
n
x
2nC1
.2n C 1/!
13.
1
X
nD0
.x 2/
n
n
2
C 1
14.
1
X
nD0
.1/
n
.x 3/
n
2n C 1
15.
1
X
nD1
3
n
.x C 4/
n
p
n
16.
1
X
nD1
n
4
n
.x C 1/
n
17.
1
X
nD1
.x 2/
n
n
n
18.
1
X
nD1
.2x 1/
n
5
n
p
n
19.
1
X
nD1
n
b
n
.x a/
n
, với
b > 0
20.
1
X
nD2
b
n
ln n
.x a/
n
, với
b > 0
21.
1
X
nD1
n!.2x 1/
n
22.
1
X
nD1
n
2
x
n
2 4 6 .2n/
23.
1
X
nD1
.5x 4/
n
n
3
24.
1
X
nD1
x
2n
n.ln n/
2
25.
1
X
nD1
x
n
1 3 5 .2n 1/
26.
1
X
nD1
n!x
n
1 3 5 .2n 1/
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
Chương 2
Hàm số liên tục
1. Cho đồ thị hàm số f như hình dưới.
a) Tìm các điểm gián đoạn của f và giải thích.
b) Từ các điểm tìm được trên câu .a/, xác định tại điểm nào mà hàm số liên tục
bên trái hoặc bên phải hoặc không liên tục cả hai bên.
2. Từ đồ thị hàm số g cho bên dưới, tìm các khoảng mà hàm số g liên tục.
3. Vẽ đồ thị minh hoạ hàm số f liên tục thoả mãn từng khẳng định gián đoạn sau
a) Gián đoạn nhưng liên tục bên phải tại 2.
b) Gián đoạn tại 1 và 4 nhưng liên tục bên trái tại 1 và liên tục bên phải tại 4.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
11
4. Giải thích vì sao mỗi hàm số sau liên tục hay không liên tục
a) Nhiệt độ của một vùng cụ thể là một hàm số theo thời gian.
b) Nhiệt độ tại một thời điểm cụ thể như là một hàm số theo khoảng cách lấy gốc
là Hà Nội dọc theo tia hướng vào Tp. Hồ Chí Minh.
c) Độ cao so với mực nước biển như là một hàm số theo khoảng cách dọc Bắc Nam
tính từ Hà Nội.
d) Giá cước của taxi như là một hàm số theo khoảng cách đi được.
e) Dòng điện trong mạch qua đèn điện như là một hàm số theo thời gian.
5. Giả sử f và g là các hàm số liên tục sao cho g.2/ D 6 và lim
x!2
Œ3f .x/Cf .x/g.x/ D
36. Tính f .2/.
6. Sử dụng định nghĩa liên tục và các tính chất của giới hạn để chỉ ra hàm số sau liên tục
tại điểm a cho trước.
a) f .x/ D 3x
4
5x C
3
p
x
2
C 4; a D 2:
b) f .x/ D .x C 2x
3
/
4
; a D 1:
c) h.t/ D
2t 3t
2
1 C t
3
; a D 1:
7. Sử dụng định nghĩa liên tục và các tính chất của giới hạn để chỉ ra hàm số sau liên tục
trên khoảng cho trước.
a) f .x/ D
2x C 3
x 2
; .2; 1/:
b) g.x/ D 2
p
3 x; .1; 3:
8. Giải thích vì sao các hàm số sau gián đoạn tại điểm a cho trước. Vẽ đồ thị mỗi hàm
số.
a) f .x/ D
1
x C 2
; a D 2:
b) f .x/ D
8
<
:
1
x C 2
nếu x ¤ 2
1 nếu x D 2:
a D 2:
c) f .x/ D
1 x
2
nếu x < 1
1=x nếu x 1:
a D 1:
d) f .x/ D
8
<
:
x
2
x
x
2
1
nếu x ¤ 1
1 nếu x D 1:
a D 1:
e) f .x/ D
8
<
:
cos x nếu x < 0
0 nếu x D 0
1 x
2
nếu x > 0:
a D 0:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
12 Chương 2. Hàm số liên tục
f) f .x/ D
8
<
:
2x
2
5x 3
x 3
nếu x ¤ 3
6 nếu x D 3:
a D 3:
9. Hãy định nghĩa f .2/ sao cho mỗi hàm số có gián đoạn khử được trở thành liên tục tại
2.
a) f .x/ D
x
2
x 2
x 2
b) f .x/ D
x
3
8
x
2
4
10. Sử dụng định lý 4; 5; 7 và 9 giải thích vì sao các hàm số sau liên tục trên miền xác
định. Tìm miền xác định.
a) F.x/ D
2x
2
x 1
x
2
C 1
b) G.x/ D
x
2
C 1
2x
2
x 1
c) Q.x/ D
3
p
x 2
x
3
2
d) h.x/ D
sin x
x C 1
e) h.x/ D cos.1
x
2
/
f) B.x/ D
tan x
p
4 x
2
g) M.x/ D
r
1 C
1
x
h) F.x/ D
sin.cos.sin x//
11. Xác định các điểm gián đoạn của các hàm số sau và vẽ đồ thị.
a) y D
1
1 C sin x
b) y D tan
p
x
12. Dùng sự liên tục để tính các giới hạn sau.
a) lim
x!4
5 C
p
x
p
5 C x
b) lim
x!
sin.x C sin x/
c) lim
x!=4
x cos
2
x
d) lim
x!2
.x
3
3x C 1/
3
13. Chứng minh rằng f liên tục trên .1; 1/, với f định bởi
f .x/ D
x
2
nếu x < 1
p
x nếu x 1:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
Chương 3
Đạo hàm
Chú ý: Phần bài tập A yêu cầu tính độ dốc, đạo hàm bằng định nghĩa.
A. Bài t ập về định nghĩa đạo hàm
1. Tìm phương trình của đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm có tọa độ cho trước.
a) y D 4x 3x
2
, .2; 4/
b) y D x
3
3x C 1, .2; 3/
c) y D
p
x, .1; 1/
d) y D
2x C 1
x C 2
, .1; 1/.
2. a) Tìm độ dốc (hệ số góc) của tiếp tuyến với đường cong y D 3 C 4x
2
2x
3
tại
điểm x D a.
b) Tìm phương trình tiếp tuyến tại các điểm .1; 5/ và .2; 3/.
c) Vẽ đồ thị của đường cong và cả hai tiếp tuyến trên một màn hình chung.
3. a) Tìm độ dốc hệ số góc của tiếp tuyến tới đường cong y D
1
p
x
tại điểm x D a.
b) Tìm phương trình của tiếp tuyến tại các điểm .1; 1/ và .4;
1
2
/.
c) Vẽ đồ thị của đường cong và cả hai tiếp tuyến trên một màn hình chung.
4. Đồ thị bên dưới biểu diễn hàm vị trí của hai vận động viên A và B trên đường đua cự
ly 100m.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
14 Chương 3. Đạo hàm
a) Mô tả và so sánh tốc độ chạy của hai vận động viên.
b) Dựa vào đồ thị, ước đoán tại thời điểm nào khoảng cách giữa các vận động viên
là lớn nhất?
c) Ước đoán xem tại thời điểm nào họ có cùng vận tốc?
5. Nếu một quả bóng được ném thẳng đứng lên không trung với vận tốc 40f t =s, độ cao
của nó (đơn vị feet) sau thời gian t giây là được cho bởi y D 40t 16t
2
. Tìm vận tốc
khi t D 2.
6. Nếu một hòn đá được ném thẳng đứng lên cao ở hành tinh sao Hoả với vận tốc 10m=s,
chiều cao của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi H D 10t 1:86t
2
.
a) Tìm vận tốc của hòn đá sau một giây.
b) Tìm vận tốc của hòn đá khi t D a.
c) Trong bao lâu hòn đá sẽ quay lại chạm mặt đất?
d) Vận tốc của hòn đá là bao nhiêu khi hòn đá chạm mặt đất?
7. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị y D g.x/ tại x D 5 nếu g.5/ D 3 và
g
0
.5/ D 4.
8. Nếu một phương trình tiếp tuyến tới đường cong y D f .x/ tại điểm a D 2 là
y D 4x 5, tìm f .2/ và f
0
.2/.
9. Nếu đường tiếp tuyến của y D f .x/ tại .4; 3/ đi qua điểm .0; 2/, tìm f .4/ và f
0
.4/.
10. Vẽ đồ thị của một hàm f mà f .0/ D 0, f
0
.0/ D 3, f
0
.1/ D 0, f
0
.2/ D 1.
11. Vẽ đồ thị của một hàm g mà g.0/ D g.2/ D g.4/ D 0, g
0
.1/ D g
0
.3/ D 0,
g
0
.0/ D g
0
.4/ D 1, g
0
.2/ D 1, lim
x!5
g.x/ D 1 và lim
x!1
C
g.x/ D 1.
12. Nếu f .x/ D 3x
2
x
3
, tìm f
0
.1/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến của
đường cong y D 3x
2
x
3
tại điểm .1; 2/.
13. Nếu g.x/ D x
4
2, tìm g
0
.1/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến của đường
cong y D x
4
2 tại điểm .1; 1/.
14. a) Nếu F.x/ D
5x
1 C x
2
, tìm F
0
.2/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến của
đường cong y D
5x
1 C x
2
tại điểm .2; 2/.
b) Minh hoạ phần (a) bằng cách vẽ đồ thị đường cong và tiếp tuyến trên cùng một
màn hình.
15. a) Nếu G.x/ D 4x
2
x
3
, tìm G
0
.a/ và dùng nó để tìm phương tr ình tiếp tuyến
của đường cong y D 4x
2
x
3
tại điểm .2; 8/ và .3; 9/.
b) Minh hoạ phần (a) bằng cách vẽ đồ thị đường cong và tiếp tuyến trên cùng một
màn hình.
16. Tìm f
0
.a/ vớif định bởi
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
B. Bài tập định lý Rolle, Lagrange 15
a) f .x/ D 3x
2
4x C 1
b) f .t/ D 2t
3
C t
c) f .t/ D
2t C 1
t C3
d) f .x/ D x
2
17. Lượng dưỡng khí có thể hoà tan trong nước phụ thuộc vào nhiệt độ của nước (vì vậy
ô nhiễm nhiệt ảnh hưởng hàm lượng oxy trong nước). Đồ thị sau cho thấy độ hoà tan
S của dưỡng khí thay đổi như một hàm theo nhiệt độ T của nước.
a) Ý nghĩa của đạo hàm S
0
.T / là gì? Đơn vị của nó là gì?
b) Ước tính giá trị S
0
.16/ và giải thích nó.
Adapted from Environmental Science: Living Within the System of Nature, 2d ed.; by Charles E. Kupchella,
c
1989. Reprinted by permission of Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ.
18. Đồ thị sau cho thấy sự ảnh hưởng của nhiệt độ T đối với tốc độ bơi tối đa ổn định S
của cá hồi Soho.
a) Ý nghĩa của đạo hàm S
0
.T / là gì? Đơn vị của nó là gì?
b) Ước tính giá trị S
0
.15/ và S
0
.25/, và giải thích chúng.
B. Bài t ập định lý Rolle, Lagrange
1 - 4 Hãy kiểm tra rằng hàm số thoả mãn ba giả thiết của Định lý Rolle trên khoảng cho
trước. Sau đó tìm tất cả các số c thoả mãn kết luận của Định lý Rolle.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
16 Chương 3. Đạo hàm
1. f .x/ D 5 12x C 3x
2
; Œ1; 3
2. f .x/ D x
3
x
2
6x C 2; Œ0; 3
3. f .x/ D
p
x
1
3
x; Œ0; 9
4. f .x/ D cos 2x; Œ=8; 7=8
5. Cho f .x/ D 1 x
2=3
. Chứng tỏ rằng f .1/ D f .1/ nhưng không tồn tại số c trong
khoảng .1; 1/ sao cho f
0
.c/ D 0. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý
Rolle?
6. Cho f .x/ D tan x. Chứng tỏ rằng f .0/ D f ./ nhưng không tồn tại số c trong
khoảng .0; / sao cho f
0
.c/ D 0. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý
Rolle?
7 - 8. Hãy kiểm tra rằng hàm số thoả mãn ba giả thiết của Định lý giá trị trung bình
trên khoảng cho trước. Sau đó tìm tất cả các số c thoả mãn kết luận của Định lý giá
trị trung bình.
7. f .x/ D
3
p
x; Œ0; 1 8. f .x/ D 1=x; Œ1; 3
9 - 10. Tìm số c thoả mãn Định lý giá trị trung bình trên khoảng cho trước. Vẽ đồ
thị của hàm số, đường cát tuyến đi qua hai điểm đầu mút và đường tiếp tuyến tại
.c; f .c//. Đường cát tuyến và đường tiếp tuyến có song song nhau không?
9. f .x/ D
p
x; Œ0; 4 10. f .x/ D x
3
2x; Œ2; 2
11. Cho f .x/ D .x 3/
2
. Chứng tỏ rằng không tồn tại c trong khoảng .1; 4/ sao cho
f .4/ f .1/ D f
0
.c/.4 1/. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý giá trị
trung bình?
12. Cho f .x/ D 2 j2x 1j. Chứng tỏ rằng không tồn tại c sao cho f .3/ f .0/ D
f
0
.c/.3 0/. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý giá trị trung bình?
13 - 14. Chứng tỏ rằng phương trình sau có duy nhất một nghiệm thực.
13. 2x C cos x D 0 14. 2x 1 sin x D 0
15. Chứng tỏ rằng phương trình x
3
15x Cc D 0 có nhiều nhất một nghiệm trong đoạn
Œ2; 2.
16. Chứng tỏ rằng phương trình x
4
C 4x C c D 0 có nhiều nhất hai nghiệm.
17. a) Chứng tỏ rằng một đa thức bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm thực.
b) Chứng tỏ rằng một đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiệm thực.
C. Bài t ập vi phân, hàm hợp và hàm ẩn
1. Tính vi phân.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
C. Bài tập vi phân, hàm hợp và hàm ẩn 17
a) f .x/ D 3x
2
2 cos x
b) f .x/ D
p
x sin x
c) f .x/ D sin x C
1
2
cot x
d) y D 2 sec x csc x
e) y D sec tan
f) g.t/ D 4 sec t C tan t
g) y D c cos t C t
2
sin t
h) y D u.a cos u C b cot u/
i) y D
x
2 tan x
j) y D sin cos
k) f ./ D
sec
1 C sec
l) y D
cos x
1 sin x
m) y D
t sin t
1 C t
n) y D
1 sec x
tan x
o) h./ D csc cot
p) y D x
2
sin x tan x
2. Viết những hàm sau theo dạng f .g.x// (Xác định hàm bên trong u D g.x/ và hàm
nên ngoài y D f .u/). Sau đó tìm đạo hàm dy=dx.
a) y D
3
p
1 C 4x
b) y D .2x
3
C5/
4
c) y D tan x
d) y D sin.cot x/
e) y D
p
sin x
f) y D sin
p
x
Tìm đạo hàm của những hàm sau:
3. F.x/ D .x
4
C 3x
2
2/
5
4. F.x/ D .4x x
2
/
100
5. F.x/ D
p
1 2x
6. f .x/ D
1
.1 C sec x/
2
7. f .z/ D
1
z
2
C 1
8. f .t/ D
3
p
1 C tan t
9. y D cos.a
3
C x
3
/
10. y D a
3
C cos
3
x
11. y D x sec kx
12. y D 3 cot n
13. f .x/ D .2x 3/
4
.x
2
C x C 1/
5
14. g.x/ D .x
2
C 1/
3
.x
2
C 2/
6
15. h.t/ D .t C 1/
2=3
.2t
2
1/
3
16. F.t/ D .3t 1/
4
.2t C 1/
3
17. y D
x
2
C 1
x
2
1
!
3
18. f .s/ D
s
s
2
C 1
s
2
C 4
19. y D sin.x cos x/
20. f .x/ D
x
p
7 3x
21. F.z/ D
r
z 1
z C 1
22. G.y/ D
.y 1/
4
.y
2
C 2y/
5
23. y D
r
p
r
2
C 1
24. y D
cos x
sin x C cos x
25. y D sin
p
1 C x
2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
18 Chương 3. Đạo hàm
26. F.v/ D
v
v
3
C 1
6
27. y D sin.tan 2x//
28. y D sec
2
.m/
29. y D sec
2
x C tan
2
x
30. y D x sin
1
x
31. y D
1 cos 2x
1 C cos 2x
4
32. f .t/ D
r
t
t
2
C 4
33. y D cot
2
.sin /
34. y D .ax C
p
x
2
C b
2
/
2
35. y D Œx
2
C .1 3x/
5
3
36. y D sin.sin.sin x//
37. y D
q
x C
p
x
38. y D
r
x C
q
x C
p
x
39. g.x/ D .2r sin rx Cn/
p
40. y D cos
4
.sin
3
x/
41. y D cos
p
sin.tan x/
42. y D Œx C .x C sin
2
x/
3
4
Tìm công thức chính xác của dy=dx (dùng công thức hàm ẩn) biết :
43. x
3
C y
3
D 1
44. 2
p
x C
p
y D 3
45. x
2
C xy y
2
D 4
46. 2x
3
C x
2
y xy
3
D 2
47. x
4
.
x C y
/
D y
2
.
3x y
/
48. y
5
C x
2
y
3
D 1 C x
4
y
49. y cos x D x
2
C y
2
50. cos
.
xy
/
D 1 C sin y
51. 4 cos x sin y D 1
52. y sin
x
2
D x sin
y
2
53. tan
.
x=y
/
D x C y
54.
p
x C y D 1 C x
2
y
2
55.
p
xy D 1 C x
2
y
56. x sin x C y sin y D 1
57. y cos x D 1 C sin
.
xy
/
58. tan
.
x y
/
D
y
1 C x
2
59. Dùng vi phân ẩn để tìm công thức của đường tiếp tuyến của đường cong tại điểm cho
trước.
a) y sin 2x D cos 2y;
.
=2; =4
/
b) sin.x C y/ D 2x 2y;
.
;
/
c) x
2
C xy C y
2
D 3;
.
1; 1
/
(ellip)
d) x
2
C2xy y
2
Cx D 2;
.
1; 2
/
(hyperbola)
e) x
2
Cy
2
D
2x
2
C 2y
2
x
2
;
0;
1
2
(cardioid)
60. a) Đường cong với phương trình y
2
D 5x
4
x
2
được gọi là kampyle of Eudoxus.
Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong này tại điểm
.
1; 2
/
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
D. Bài tập ứng dụng đạo hàm 19
b) Vẽ đồ thị của đường cong và tiếp tuyến của nó.
61. a) Đường cong với phương trình y
2
D x
3
C3x
2
được gọi là Tschirnhausen cubic.
Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong này tại điểm
.
1; 2
/
.
b) Tìm điểm trên đường cong có tiếp tuyến nằm ngang.
c) Vẽ đồ thị đường cong và tiếp tuyến của nó.
62. Tìm công thức chính xác của y
00
a) 9x
2
C y
2
D 9 b)
p
x C
p
y D 1
D. Bài t ập ứng dụng đạo hàm
1. Mỗi cạnh của một hình vuông tăng với một tỷ lệ 6 cm=s. Tỷ lệ diện tích của hình
vuông tăng lên bao nhiêu khi diện tích hình vuông là 16 cm
2
?
2. Chiều dài của một hình chữ nhật tăng với một tỷ lệ 8 cm=s và chiều rộng của nó tăng
với một tỷ lệ 3 cm=s. Khi chiều dài là 20 cm và chiều rộng là 10 cm, diện tích của
hình chữ nhật tăng lên nhanh như thế nào?
3. Một thùng hình trụ với bán kính 5 m đang được đổ đầy nước với tốc độ 3 m
3
/phút.
Chiều cao của nước tăng nhanh như thế nào?
4. Bán kính của một hình cầu tăng với một tỷ lệ 4 mm=s. Thể tích tăng nhanh như thế
nào khi đường kính là 80 mm?
5. Giả sử y D
p
2x C 1, ở đó x và y là những hàm số của t .
a) Nếu dx=dt D 3, tìm dy=dt khi x D 4.
b) Nếu dy=dt D 5, tìm dx=dt khi x D 12.
6. Giả sử 4x
2
C 9y
2
D 36, ở đó x và y là những hàm số của t .
a) Nếu dy=dt D
1
3
, tìm dx=dt khi x D 2 và y D
2
3
p
5
b) Nếu dx=dt D 3, tìm dy=dt khi x D 2 và y D
2
3
p
5.
7. Nếu x
2
Cy
2
Cz
2
D 9, dx=dt D 5 và dy=dt D 4, tìm dz=dt khi .x; y; z/ D .2; 2; 1/.
8. Một hạt đang chuyển động dọc theo một hyperbol xy D 8. Khi nó đến điểm .4; 2/,
toạ độ y giảm với tốc độ 3 cm=s. Toạ độ x của điểm thay đổi nhanh như thế nào tại
thời điểm đó?
9-12 a) Chỉ ra những đại lượng được nêu trong bài toán.
b) Ẩn số là gì?
c) Vẽ một hình minh họa cho tình huống tại mỗi thời điểm t.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
20 Chương 3. Đạo hàm
d) Viết phương trình liên quan tới các đại lượng.
e) Kết thúc giải quyết vấn đề.
9. Một chiếc máy bay bay theo chiều ngang ở độ cao 1 dặm, tốc độ 500 dặm/giờ, bay
thẳng qua phía trên một trạm radar. Tìm tốc độ tăng cự ly giữa máy bay và trạm khi
máy bay cách trạm 2 dặm.
10. Nếu một quả cầu tuyết tan chảy sao cho diện tích bề mặt của nó giảm với tốc độ
1 cm
2
= phút, tìm tốc độ giảm của đường kính khi đường kính là 10 cm.
11. Một đèn đường được đặt ở trên cùng của cây cột điện cao 15-ft. Một người đàn ông
cao 6 ft đi từ cột với tốc độ 5 ft/s theo một hướng thẳng. Bóng của người đàn ông đang
di chuyển nhanh như thế nào khi ông ta cách cột 40 ft?
12. Vào buổi trưa, tàu A cách 150 km về phía tây của tàu B. Tàu A di chuyển về phía đông
với tốc độ 35 km/h và tàu B di chuyển về phía bắc với tốc độ 25 km/h. Khoảng cách
giữa hai tàu thay đổi nhanh như thế nào vào lúc 4:00 PM?
13. Hai chiếc xe bắt đầu di chuyển từ cùng một điểm. Một chiếc đi về phía nam với tốc độ
60 mi/h và chiếc còn lại di chuyến về phía tây với tốc độ 25 mi/h. Khoảng cách giữa
hai chiếc xe tăng lên ở mức nào hai giờ sau đó?
14. Một đèn chiếu trên mặt đất chiếu lên một bức tường cách 12 m. Nếu một người đàn
ông cao 2 m đi từ đèn chiếu đến toà nhà với tốc độ 1:6 m/s, chiều dài của cái bóng
trên bức tường giảm nhanh như thế nào khi ông ta cách 4 m từ toà nhà?
15. Một người đàn ông bắt đầu đi bộ về phía bắc với vận tốc 4 ft/s từ một điểm P . Năm
phút sau, một người phụ nữ bắt đầu đi bộ về phía nam với vận tốc 5 ft/s từ một điểm
500 ft về phía đông của P . Ở tốc độ nào hai người di chuyển xa nhau 15 phút sau khi
người phụ nữ bắt đầu di chuyển?
16. Một sân bóng chày hình vuông với chiều dài cạnh 90 ft. Một vận động viên bóng chày
đánh vào bóng và chạy về mức đầu tiên với tốc độ 24 ft/s.
a) Khoảng cách của anh ta so với mức hai giảm với tốc độ như thế nào khi anh ta
là ở chính giữa của mức thứ nhất?
b) Khoảng cách của anh ta so với mức thứ ba tăng với tốc độ như thế nào tại cùng
một thời điểm?
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com)
lOMoARcPSD|46342985
| 1/28
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoARcPSD|46342985 BỘ MÔN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH B1 cuu duong than cong . com
KHOA TOÁN TIN HỌC, ĐHKHTN THHCM.
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985 Chương 1 Dãy số, chuỗi số
A. Bài tập mở đầu chuỗi số
I Tìm ít nhất 10 tổng riêng phần của chuỗi. Vẽ đồ thị của dãy các số hạng và dãy các
tổng riêng trên cùng hệ trục tọa độ. Chuỗi có vẻ hội tụ hay phân kỳ? Nếu hội tụ thì
tìm tổng của chuỗi. Nếu nó phân kỳ thì giải thích tại sao. 1 1 1 1. X 12 3. X n 5. X 1 1 p p . 5/n p n n C 1 n n2 D1 nD1 C 4 nD1 1 1 1 2. X X 7nC1 X 1 cos n 4. 6. 10n n.n C 2/ nD1 nD1 nD1 7. Đặt 2n an D . 3n C 1
a) Dãy fang hội tụ hay không. 1
b) Chuỗi X an hội tụ hay không. cuu duong than cong . com nD1 n n 8.
a) Giải thích sự khác biệt giữa X X ai và aj . iD1 j D1 n n
b) Giải thích sự khác biệt giữa X X ai và aj iD1 iD1
II Xác định chuỗi hình học hội tụ hay phân kỳ. Nếu hội tụ thì tính tổng.
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985
A. Bài tập mở đầu chuỗi số 3 1 9. 16 64 3 4 C C 15. X . 3/n 1 3 9 4n nD1 10. 9 27 4 C 3 C C C 4 16 1 X 1 11. 10 2 C 0:4 0:08 C 16. p . 2/n nD0
12. 2 C 0:5 C 0:125 C 0:03125 C 1 1 X n 13. X 17. 6.0:9/n 1 3nC1 nD0 nD1 1 1 14. X 10n 18. X en . 9/n 1 3n 1 nD1 nD1
III Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ. Nếu hội tụ, tính tổng chuỗi. 1 ! 19. 1 1 1 1 1 C C C C C X n2 C 1 3 6 9 12 15 27. ln 2n2 C 1 nD1 20. 1 2 1 2 1 2 C C C C C C 1 3 9 27 81 243 729 28. X 1 n 1 2 1 nD1 C 3 21. X n 1 3n 1 1 nD1 29. X k 3 1 kD0 22. X k.k C 2/ .k C 3/2 1 X kD1 30. .cos 1/k kD0 1 23. X 1 C 2n 1 3n 31. X n arctan D1 n nD1 1 cuu duong than cong . com 24. X 1 C 3n 1 X 3 2 2n 32. C nD1 5n n nD1 1 p 1 25. X n 2 33. X 1 1 C nD1 en n.n C 1/ nD1 1 1 26. X X en Œ.0:8/n 1 .0:3/n 34. n2 nD1 nD1
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985 4
Chương 1. Dãy số, chuỗi số
IV Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ bằng cách triệt tiêu từng cặp số hạng của tổng
riêng phần sn để rút gọn. Nếu chuỗi hội tụ thì tính tổng của chuỗi. 1 1 35. X 2 38. X 1 1 cos cos n2 1 n2 .n C 1/2 nD2 nD1 1 1 36. X n X ln 39. e1=n e1=.nC1/ n C 1 nD1 nD1 1 1 37. X 3 40. X 1 n.n C 3/ n3 n nD1 nD2
41. Cho x D 0:999999:::: a) x < 1 hay x D 1?
b) Dùng tổng của chuỗi hình học để tìm x.
c) Có bao nhiêu biểu diễn thập phân đại diện cho số 1?
d) Những số nào có hơn một biểu diễn thập phân?
42. Cho dãy được định nghĩa bởi a1 D 1; an D .5 n/an 1 1 Tính X an. nD1
B. Bài tập tiêu chuẩn tích phân, ước lượng tổng chuỗi
I Dùng Tiêu chuẩn Tích phân để xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ. 1 1 1 1. X 1 X 1 X n p 3. 5. cuu duong than cong . com 5 n .2n C 1/3 n2 C 1 nD1 nD1 nD1 1 1 1 2. X 1 4. X 1 X p 6. n2e n3 n5 n C 4 nD1 nD1 nD1
II Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ.
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985
B. Bài tập tiêu chuẩn tích phân, ước lượng tổng chuỗi 5 1 1 ln 7. X 1 X n p 17. : n 2 n3 nD1 nD1 1 8. X 1 n 0:9999: 18. X 1 : nD3 n2 C 6n C 13 nD1 9. 1 1 1 1 1 C C C C C 8 27 64 125 1 19. X 1 : 10. 1 1 1 1 n ln n 1C p C p C p C p C nD2 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 11. 1 1 1 1 X 1 C C C C C 20. : 3 5 7 9 n.ln n/2 nD2 12. 1 1 1 1 1 C C C C C 5 8 11 14 17 1 21. X e1=n : 1 p n2 13. X n C 4 nD1 n2 nD1 1 X n2 1 22. : 14. X n2 : en n n3 C 1 D3 nD1 1 1 X 1 15. X 1 23. : : n2 C n3 n2 C 4 nD1 nD1 1 1 16. X 3n 4 X n : 24. : n2 2n n4 C 1 nD3 nD1
III Giải thích tại sao Tiêu chuẩn Tích phân không thể áp dụng để xác định chuỗi hội tụ hay không. 1 cos 1 cos2 cuu duong than cong . com 25. X . n/ X n p . 26. : n n2 C 1 nD1 nD1
IV Tìm giá trị p để chuỗi hội tụ. 1 1 27. X 1 X : 29. n.1 C n2/p: n.ln n/p nD2 nD1 1 1 ln 28. X 1 X n : 30. : n ln nŒln .ln n/p np nD3 nD1
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985 6
Chương 1. Dãy số, chuỗi số
C. Bài tập tiêu chuẩn Leibnitz (chuỗi đan dấu)
I Kiểm tra sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. 1 1. 2 2 2 2 2 C C 11. X 3 5 7 9 11 . 1/nC1ne n nD1 2. 2 4 6 8 10 C C C 5 6 7 8 9 1 12. X. 1/n 1e2=n 3. 1 1 1 1 1 p p C p p C p nD1 2 3 4 5 6 1 1 13. X. 1/n 1 arctan n 4. X . 1/n 1 2n C 1 nD1 nD1 1 sin .n / 1 14. X C 12 5. X . 1/n 1 p 1 C n ln .n C 4/ nD0 nD1 1 1 X n cos n 6. X 15. . 1/n 3n 1 2n 2n C 1 nD1 nD1 1 1 X 7. X 16. . 1/n n . 1/n sin. / p n n n n3 D1 D1 C 2 1 1 X 8. X. 1/ne n 17. . 1/n cos. / n n n D1 D1 1 p 1 9. X n X . 1/n 18. . 1/n nn 2n C 3 n! nD1 nD1 1 1 p 10. X X p . 1/nC1 n2 19. . 1/n. n C 1 n/ n3 C 4 nD1 nD1 cuu duong than cong . com
II Chứng minh rằng chuỗi hội tụ. Ta cần cộng bao nhiêu số hạng của chuỗi để tìm tổng với sai số tương ứng. 1 1 20. X . 1/nC1 , . 1/n ˇsai sốˇ 22. X , ˇsai sốˇ ˇ ˇ < 0:00005 ˇ ˇ < 0:000005 n6 10nn! nD1 nD0 1 1
21. X . 1/n , ˇsai sốˇ 23. X sai sốˇ ˇ ˇ < 0:0001 . 1/n 1ne n, ˇˇ ˇ < 0:01 n5n nD1 nD1
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985
D. Bài tập tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối, Cauchy, D’ Alembert 7
III Xấp xỉ tổng của chuỗi đúng đến 4 chữ số thập phân. 1 1 24. X . 1/n 26. X . 1/n 1n2 .2n/! 10n nD1 nD1 1 1 25. X . 1/nC1 27. X . 1/n n6 3nn! nD1 nD1
D. Bài tập tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối, Cauchy, D’ Alembert
1-27. Cho biết chuỗi hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện, hay phân kỳ? 1 1 1 1. X . 2/n 10. X . 1/ne1=n 19. X . 2/n n2 n3 nn nD1 nD1 nD1 1 1 sin 2. X n 11. X 4n 1 !n n5 4n X n2 C 1 nD1 nD1 20. 2n2 C 1 1 1 nD1 3. X X 10n . 1/n 1 n 12. n2 C 4 .n C 1/42nC1 nD1 nD1 1 5n X 2n 1 1 21. 4. X . 1/n 13. X n10 n C 1 nD2 5n C 1 . 10/nC1 nD0 nD1 1 1 1 n2 5. X . 3/n 14. X . 1/n arctan n 22. X 1 1 C .2n C 1/! n2 n nD0 nD1 nD1 1 k 1 6. X 2 X 3 cos n k 15. 3 1 n2=3 2 X .2n/! kD1 nD1 23. .n!/2 1 1 nD1 cuu duong than cong . com 7. X n! 16. X . 1/n 100n ln n nD1 nD1 1 X n100100n 1 1 24. 8. X X n! n! . 1/n .1:1/n 17. nD1 n4 nn nD1 nD1 1 1 cos 1 9. X X n=3 X 2n2 . 1/n n 18. 25. p n! n! n n3 D1 C 2 nD1 nD1 26. 1:3 1:3:5 1:3:5:7 1 C C C . 1/n 1 1:3:5:7: :.2n 1/ C 3! 5! 7! .2n 1/!
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985 8
Chương 1. Dãy số, chuỗi số 27. 2 2:6 2:6:10 2:6:10:14 C C C C 5 5:8 5:8:11 5:8:11:14
28-57. Kiểm tra sự hội tụ và phân kỳ của các chuỗi sau 1 1 1 28. X 1 38. X 1 1 X C 48. . 1/n cos.1=n2/ n C 3n n3 3n nD1 nD1 nD1 1 1 1 29. X .2n C 1/n 39. X 1 49. X 1 n2n p 2C sin k n k k2 D1 kD1 C 1 kD1 1 1 1 30. X X 3nn2 X . 1/n n 40. 50. tan.1=n/ n C 2 n! nD1 nD1 nD1 1 1 1 sin 31. X X 2n X . 1/n n 41. 51. n sin.1=n/ n2 C 2 1 C 2n nD1 nD1 nD1 1 1 1 n! 32. X n22n 1 42. X 2k 13kC1 52. X . 5/n kk en2 nD1 kD1 nD1 1 1 1 n2 33. X 1 43. X n2 C 1 53. X C 1 2n C 1 n3 C 1 5n nD1 nD1 nD1 1 1 1 k ln k 34. X 1 X 1 3 5 .2n 1/ X p 44. 54. n ln n 2 5 8 .3n 1/ .k C 1/3 nD1 nD1 kD1 1 1 1 e1=n 35. X 2kk! 45. X . 1/n 1 X p 55. .k C 2/! n 1 n2 kD1 nD2 nD1 1 1 1 ln . 1/n 36. X X n X k2e k 46. . 1/n p 56. n cosh n kD1 nD1 nD1 cuu duong than cong . com p 1 1 p 3 1 k 1 j 37. X X X n2e n3 47. p 57. . 1/j k. k C 1/ j C 5 nD1 kD1 j D1
E. Bài tập chuỗi luỹ thừa
1-26. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi 1 1 1 1. X X . 1/nxn X xn . 1/nnxn 2. p 3. 3 n 2n 1 nD1 nD1 nD1
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985
E. Bài tập chuỗi luỹ thừa 9 1 1 b > 0 4. X . 1/nxn 12. X. 1/n x2nC1 n2 .2n C 1/! n 1 D1 nD0 20. X bn .x a/n, với 1 1 ln n 5. X xn 13. X .x 2/n nD2 n! b > 0 n2 C 1 nD0 nD0 1 1 1 21. X n!.2x 1/n 6. X X nnxn 14. . 1/n .x 3/n 2n C 1 nD1 nD1 nD0 1 1 1 22. X n2xn 7. X X 3n.x C 4/n . 1/n n2xn 15. p 2 4 6 .2n/ 2n n nD1 nD1 nD1 1 1 1 X .5x 4/n 8. X 10nxn 16. X n 23. .x C 1/n n3 n3 4n nD1 nD1 nD1 1 1 1 X x2n 9. X . 3/n X .x 2/n 24. p xn 17. n n nn n.ln n/2 n nD1 nD1 D1 1 1 1 xn 10. X xn 18. X .2x 1/n X p 25. n3n 5 n n 1 3 5 .2n 1/ nD1 nD1 nD1 1 1 1 11. X X n X n!xn . 1/n xn 19. .x a/n, với 26. 4n ln n bn 1 3 5 .2n 1/ nD2 nD1 nD1 cuu duong than cong . com
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985 Chương 2 Hàm số liên tục
1. Cho đồ thị hàm số f như hình dưới.
a) Tìm các điểm gián đoạn của f và giải thích.
b) Từ các điểm tìm được trên câu .a/, xác định tại điểm nào mà hàm số liên tục
bên trái hoặc bên phải hoặc không liên tục cả hai bên.
2. Từ đồ thị hàm số g cho bên dưới, tìm các khoảng mà hàm số g liên tục. cuu duong than cong . com
3. Vẽ đồ thị minh hoạ hàm số f liên tục thoả mãn từng khẳng định gián đoạn sau
a) Gián đoạn nhưng liên tục bên phải tại 2.
b) Gián đoạn tại 1 và 4 nhưng liên tục bên trái tại 1 và liên tục bên phải tại 4.
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985 11
4. Giải thích vì sao mỗi hàm số sau liên tục hay không liên tục
a) Nhiệt độ của một vùng cụ thể là một hàm số theo thời gian.
b) Nhiệt độ tại một thời điểm cụ thể như là một hàm số theo khoảng cách lấy gốc
là Hà Nội dọc theo tia hướng vào Tp. Hồ Chí Minh.
c) Độ cao so với mực nước biển như là một hàm số theo khoảng cách dọc Bắc Nam tính từ Hà Nội.
d) Giá cước của taxi như là một hàm số theo khoảng cách đi được.
e) Dòng điện trong mạch qua đèn điện như là một hàm số theo thời gian.
5. Giả sử f và g là các hàm số liên tục sao cho g.2/ D 6 và lim Œ3f .x/Cf .x/g.x/ D x!2 36. Tính f .2/.
6. Sử dụng định nghĩa liên tục và các tính chất của giới hạn để chỉ ra hàm số sau liên tục tại điểm a cho trước. a) 3 p f .x/ D 3x4 5x C x2 C 4; a D 2:
b) f .x/ D .x C 2x3/4; a D 1: c) 2t 3t 2 h.t / D ; a D 1: 1 C t3
7. Sử dụng định nghĩa liên tục và các tính chất của giới hạn để chỉ ra hàm số sau liên tục trên khoảng cho trước. p a) 2x C 3 b) f .x/ D ; .2; 1/: g.x/ D 2 3 x; . 1; 3: x 2
8. Giải thích vì sao các hàm số sau gián đoạn tại điểm a cho trước. Vẽ đồ thị mỗi hàm số. a) 1 f .x/ D ; a D 2: x C 2 8 1 cuu duong than cong . com < b) nếu x ¤ 2 f .x/ D x C 2 a D 2: : 1 nếu x D 2: c) 1 x2 nếu x < 1 f .x/ D a D 1: 1=x nếu x 1: 8 x2 x < d) nếu f .x/ D x ¤ 1 x2 1 a D 1: : 1 nếu x D 1: 8 cos x nếu x < 0 < e) f .x/ D 0 nếu x D 0 a D 0: : 1 x2 nếu x > 0:
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985 12
Chương 2. Hàm số liên tục 8 2x2 5x 3 < f) nếu f .x/ D x ¤ 3 x 3 a D 3: : 6 nếu x D 3:
9. Hãy định nghĩa f .2/ sao cho mỗi hàm số có gián đoạn khử được trở thành liên tục tại 2. a) x2 x 2 x3 8 f .x/ D b) f .x/ D x 2 x2 4
10. Sử dụng định lý 4; 5; 7 và 9 giải thích vì sao các hàm số sau liên tục trên miền xác
định. Tìm miền xác định. p a) 3 tan F.x/ D x 2 x p 2x2 x 1 x3 2 4 x2 x2 C 1 sin g) d) x M .x/ D h.x/ b) D r G.x/ D x C 1 1 1 C x2 C 1 e) h.x/ D cos.1 x 2x2 x 1 x2/ h) F.x/ D c) Q.x/ D f) B.x/ D sin.cos.sin x//
11. Xác định các điểm gián đoạn của các hàm số sau và vẽ đồ thị. a) 1 y D 1 C sinx b) p y D tan x
12. Dùng sự liên tục để tính các giới hạn sau. p a) 5 C x c) lim x cos2 x lim p x!=4 x!4 5 C x b) lim sin.x C sin x/ d) lim .x3 3x C 1/ 3 x! x!2
13. Chứng minh rằng f liên tục trên . 1; 1/, với f định bởi cuu duong than cong . com x2 nếu x < 1 f .x/ D px nếu x 1:
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985 Chương 3 Đạo hàm
Chú ý: Phần bài tập A yêu cầu tính độ dốc, đạo hàm bằng định nghĩa.
A. Bài tập về định nghĩa đạo hàm
1. Tìm phương trình của đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm có tọa độ cho trước. a) p y D 4x 3x2, .2; 4/ c) y D x, .1; 1/ 2x C 1
b) y D x3 3x C 1, .2; 3/ d) y D , .1; 1/. x C 2 2.
a) Tìm độ dốc (hệ số góc) của tiếp tuyến với đường cong y D 3 C 4x2 2x3 tại điểm x D a.
b) Tìm phương trình tiếp tuyến tại các điểm .1; 5/ và .2; 3/.
c) Vẽ đồ thị của đường cong và cả hai tiếp tuyến trên một màn hình chung. 3.
a) Tìm độ dốc hệ số góc của tiếp tuyến tới đường cong 1 y D p tại điểm x D a. x
b) Tìm phương trình của tiếp tuyến tại các điểm 1 .1; 1/ và .4; /. 2 cuu duong than cong . com
c) Vẽ đồ thị của đường cong và cả hai tiếp tuyến trên một màn hình chung.
4. Đồ thị bên dưới biểu diễn hàm vị trí của hai vận động viên A và B trên đường đua cự ly 100m.
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985 14 Chương 3. Đạo hàm
a) Mô tả và so sánh tốc độ chạy của hai vận động viên.
b) Dựa vào đồ thị, ước đoán tại thời điểm nào khoảng cách giữa các vận động viên là lớn nhất?
c) Ước đoán xem tại thời điểm nào họ có cùng vận tốc?
5. Nếu một quả bóng được ném thẳng đứng lên không trung với vận tốc 40f t=s, độ cao
của nó (đơn vị feet) sau thời gian t giây là được cho bởi y D 40t 16t2. Tìm vận tốc khi t D 2.
6. Nếu một hòn đá được ném thẳng đứng lên cao ở hành tinh sao Hoả với vận tốc 10m=s,
chiều cao của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi H D 10t 1:86t2.
a) Tìm vận tốc của hòn đá sau một giây.
b) Tìm vận tốc của hòn đá khi t D a.
c) Trong bao lâu hòn đá sẽ quay lại chạm mặt đất?
d) Vận tốc của hòn đá là bao nhiêu khi hòn đá chạm mặt đất?
7. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị y D g.x/ tại x D 5 nếu g.5/ D 3 và g0.5/ D 4.
8. Nếu một phương trình tiếp tuyến tới đường cong y D f .x/ tại điểm a D 2 là y D 4x 5, tìm f .2/ và f 0.2/.
9. Nếu đường tiếp tuyến của y D f .x/ tại .4; 3/ đi qua điểm .0; 2/, tìm f .4/ và f 0.4/.
10. Vẽ đồ thị của một hàm f mà f .0/ D 0, f 0.0/ D 3, f 0.1/ D 0, f 0.2/ D 1.
11. Vẽ đồ thị của một hàm g mà g.0/ D g.2/ D g.4/ D 0, g0.1/ D g0.3/ D 0,
g0.0/ D g0.4/ D 1, g0.2/ D 1, lim g.x/ D 1 và lim g.x/ D 1. x!5 x! 1C
12. Nếu f .x/ D 3x2 x3, tìm f 0.1/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến của
đường cong y D 3x2 x3 tại điểm .1; 2/.
13. Nếu g.x/ D x4 2, tìm g0.1/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến của đường
cong y D x4 2 tại điểm .1; 1/. 14. a) Nếu 5x F.x/ D
, tìm F0.2/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến của cuu duong than cong . com 1 C x2 đường cong 5x y D tại điểm .2; 2/. 1 C x2
b) Minh hoạ phần (a) bằng cách vẽ đồ thị đường cong và tiếp tuyến trên cùng một màn hình. 15.
a) Nếu G.x/ D 4x2 x3, tìm G0.a/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến
của đường cong y D 4x2 x3 tại điểm .2; 8/ và .3; 9/.
b) Minh hoạ phần (a) bằng cách vẽ đồ thị đường cong và tiếp tuyến trên cùng một màn hình.
16. Tìm f 0.a/ vớif định bởi
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985
B. Bài tập định lý Rolle, Lagrange 15 a) f .x/ D 3x2 4x C 1 c) 2t C 1 f .t / D t C 3 b) f .t/ D 2t3 C t d) f .x/ D x 2
17. Lượng dưỡng khí có thể hoà tan trong nước phụ thuộc vào nhiệt độ của nước (vì vậy
ô nhiễm nhiệt ảnh hưởng hàm lượng oxy trong nước). Đồ thị sau cho thấy độ hoà tan
S của dưỡng khí thay đổi như một hàm theo nhiệt độ T của nước.
a) Ý nghĩa của đạo hàm S0.T / là gì? Đơn vị của nó là gì?
b) Ước tính giá trị S0.16/ và giải thích nó.
Adapted from Environmental Science: Living Within the System of Nature, 2d ed.; by Charles E. Kupchella, c
1989. Reprinted by permission of Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ.
18. Đồ thị sau cho thấy sự ảnh hưởng của nhiệt độ T đối với tốc độ bơi tối đa ổn định S của cá hồi Soho.
a) Ý nghĩa của đạo hàm S0.T / là gì? Đơn vị của nó là gì?
b) Ước tính giá trị S0.15/ và S0.25/, và giải thích chúng. cuu duong than cong . com
B. Bài tập định lý Rolle, Lagrange
1 - 4 Hãy kiểm tra rằng hàm số thoả mãn ba giả thiết của Định lý Rolle trên khoảng cho
trước. Sau đó tìm tất cả các số c thoả mãn kết luận của Định lý Rolle.
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985 16 Chương 3. Đạo hàm
1. f .x/ D 5 12x C 3x2; Œ1; 3
2. f .x/ D x3 x2 6x C 2; Œ0; 3 3. p 1 f .x/ D x x; Œ0; 9 3
4. f .x/ D cos 2x; Œ=8; 7=8
5. Cho f .x/ D 1 x2=3. Chứng tỏ rằng f . 1/ D f .1/ nhưng không tồn tại số c trong
khoảng . 1; 1/ sao cho f 0.c/ D 0. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý Rolle?
6. Cho f .x/ D tan x. Chứng tỏ rằng f .0/ D f ./ nhưng không tồn tại số c trong
khoảng .0; / sao cho f 0.c/ D 0. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý Rolle?
7 - 8. Hãy kiểm tra rằng hàm số thoả mãn ba giả thiết của Định lý giá trị trung bình
trên khoảng cho trước. Sau đó tìm tất cả các số c thoả mãn kết luận của Định lý giá trị trung bình. 7. p f .x/ D 3 x; Œ0; 1 8. f .x/ D 1=x; Œ1; 3
9 - 10. Tìm số c thoả mãn Định lý giá trị trung bình trên khoảng cho trước. Vẽ đồ
thị của hàm số, đường cát tuyến đi qua hai điểm đầu mút và đường tiếp tuyến tại
.c; f .c//. Đường cát tuyến và đường tiếp tuyến có song song nhau không? 9. p f .x/ D x; Œ0; 4
10. f .x/ D x3 2x; Π2; 2
11. Cho f .x/ D .x 3/ 2. Chứng tỏ rằng không tồn tại c trong khoảng .1; 4/ sao cho f .4/ f .1/ D f 0.c/.4
1/. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý giá trị trung bình?
12. Cho f .x/ D 2 j2x 1j. Chứng tỏ rằng không tồn tại c sao cho f .3/ f .0/ D f 0.c/.3
0/. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý giá trị trung bình?
13 - 14. Chứng tỏ rằng phương trình sau có duy nhất một nghiệm thực. 13. 2x C cos x D 0 14. 2x 1 sin x D 0 cuu duong than cong . com
15. Chứng tỏ rằng phương trình x3 15x C c D 0 có nhiều nhất một nghiệm trong đoạn Œ 2; 2.
16. Chứng tỏ rằng phương trình x4 C 4x C c D 0 có nhiều nhất hai nghiệm. 17.
a) Chứng tỏ rằng một đa thức bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm thực.
b) Chứng tỏ rằng một đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiệm thực.
C. Bài tập vi phân, hàm hợp và hàm ẩn 1. Tính vi phân.
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985
C. Bài tập vi phân, hàm hợp và hàm ẩn 17 a) f .x/ D 3x2 2 cos x j) y D sin cos b) p f .x/ D x sin x sec k) f . / D c) 1 1 C sec f .x/ D sin x C cot x 2 cos l) x y d) D y D 2 sec x csc x 1 sin x e) y D sec tan m) t sin t y D f) 1 g.t / D 4 C t sec t C tan t 1 sec x
g) y D c cos t C t2 sin t n) y D tanx
h) y D u.a cos u C b cot u/ o) h./ D csc cot i) x y D p) y 2 tan x D x2 sin x tan x
2. Viết những hàm sau theo dạng f .g.x// (Xác định hàm bên trong u D g.x/ và hàm
nên ngoài y D f .u/). Sau đó tìm đạo hàm dy=dx. p p a) y D 3 1 C 4x c) y D tan x e) y D sin x b) p y D .2x3 C 5/4 d) y D sin.cot x/ f) y D sin x
Tìm đạo hàm của những hàm sau: 3. F.x/ D .x4 C 3x2 2/5
16. F.t/ D .3t 1/4.2t C 1/ 3 4. F.x/ D .4x x2/100 !3 x2 C 1 p 17. y D 5. F.x/ D 1 2x x2 1 s 6. 1 f .x/ D s2 C 1 .1 C sec x/2 18. f .s/ D s2 C 4 7. 1 f .z/ D 19. y D sin.x cos x/ z2 C 1 x p 20. f .x/ D p 8. f .t/ D 3 1 C tan t 7 3x cuu duong than cong . com 9. r y D cos.a3 C x3/ 21. z 1 F.z/ D z C 1 10. y D a3 C cos3 x .y 1/4 11. 22. y D x G.y/ sec kx D .y2 C 2y/5 12. y D 3 cot n 23. r y D p 13. r 2 C 1 f .x/ D .2x 3/4.x2 C x C 1/5 cos 24. x 14. y D g.x/ D .x2 C 1/3.x2 C 2/6 sin x C cos x 15. p h.t / D .t C 1/2=3.2t2 1/3 25. y D sin 1 C x2
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985 18 Chương 3. Đạo hàm 6 p 26. v
34. y D .ax C x2 C b2/ 2 F.v/ D v3 C 1 35. y D Œx2 C .1 3x/53 27. y D sin.tan 2x// 36. y D sin.sin.sin x// 28. y D sec2.m/ q p 29. y D sec2 x C tan2 x 37. y D x C x r 30. 1 y D x sin q p x 38. y D x C x C x 4 31. 1 cos 2x y D
39. g.x/ D .2r sin rx C n/p 1 C cos 2x 40. y D cos4.sin3 x/ r 32. t f .t / D p t 2 C 4 41. y D cos sin.tan x/ 33. y D cot2.sin /
42. y D Œx C .x C sin2 x/34
Tìm công thức chính xác của dy=dx (dùng công thức hàm ẩn) biết : 43. x3 C y3 D 1 51. 4 cos x sin y D 1 44. p p 2 x C y D 3 52. y sin x2 D x sin y2 45. x2 C xy y2 D 4 53. tan .x=y/ D x C y 46. 2x3 C x2y xy3 D 2 54. px C y D 1 C x2y2
47. x4.x C y/ D y2 .3x y/ 55. pxy D 1 C x2y 48. y5 C x2y3 D 1 C x4y
56. x sin x C y sin y D 1 49. 57. y cos x D x2 C y2 y cos x D 1 C sin .xy/ y
50. cos .xy/ D 1 C sin y 58. tan .x y/ D 1 C x2 cuu duong than cong . com
59. Dùng vi phân ẩn để tìm công thức của đường tiếp tuyến của đường cong tại điểm cho trước.
a) y sin 2x D cos 2y; .=2; =4/
d) x2 C 2xy y2 C x D 2; .1; 2/ (hyperbola)
b) sin.x C y/ D 2x 2y; .; / 2 1 c) e) x2 2x2 ; 0; x2 C xy C y2 D 3; .1; 1/ Cy2 D C 2y2 x 2 (ellip) (cardioid) 60.
a) Đường cong với phương trình y2 D 5x4 x2được gọi là kampyle of Eudoxus.
Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong này tại điểm .1; 2/.
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985
D. Bài tập ứng dụng đạo hàm 19
b) Vẽ đồ thị của đường cong và tiếp tuyến của nó. 61.
a) Đường cong với phương trình y2 D x3C3x2được gọi là Tschirnhausen cubic.
Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong này tại điểm .1; 2/.
b) Tìm điểm trên đường cong có tiếp tuyến nằm ngang.
c) Vẽ đồ thị đường cong và tiếp tuyến của nó.
62. Tìm công thức chính xác của y00 a) p 9x2 C y2 D 9 b) px C y D 1
D. Bài tập ứng dụng đạo hàm
1. Mỗi cạnh của một hình vuông tăng với một tỷ lệ 6 cm=s. Tỷ lệ diện tích của hình
vuông tăng lên bao nhiêu khi diện tích hình vuông là 16 cm2?
2. Chiều dài của một hình chữ nhật tăng với một tỷ lệ 8 cm=s và chiều rộng của nó tăng
với một tỷ lệ 3 cm=s. Khi chiều dài là 20 cm và chiều rộng là 10 cm, diện tích của
hình chữ nhật tăng lên nhanh như thế nào?
3. Một thùng hình trụ với bán kính 5 m đang được đổ đầy nước với tốc độ 3 m3/phút.
Chiều cao của nước tăng nhanh như thế nào?
4. Bán kính của một hình cầu tăng với một tỷ lệ 4 mm=s. Thể tích tăng nhanh như thế
nào khi đường kính là 80 mm? p
5. Giả sử y D 2x C 1, ở đó x và y là những hàm số của t.
a) Nếu dx=dt D 3, tìm dy=dt khi x D 4.
b) Nếu dy=dt D 5, tìm dx=dt khi x D 12.
6. Giả sử 4x2 C 9y2 D 36, ở đó x và y là những hàm số của t. p a) Nếu 1 2
dy=dt D , tìm dx=dt khi x D 2 và y D 5 3 3 p cuu duong than cong . com b) Nếu 2
dx=dt D 3, tìm dy=dt khi x D 2 và y D 5. 3
7. Nếu x2Cy2Cz2 D 9, dx=dt D 5 và dy=dt D 4, tìm dz=dt khi .x; y; z/ D .2; 2; 1/.
8. Một hạt đang chuyển động dọc theo một hyperbol xy D 8. Khi nó đến điểm .4; 2/,
toạ độ y giảm với tốc độ 3 cm=s. Toạ độ x của điểm thay đổi nhanh như thế nào tại thời điểm đó? 9-12
a) Chỉ ra những đại lượng được nêu trong bài toán. b) Ẩn số là gì?
c) Vẽ một hình minh họa cho tình huống tại mỗi thời điểm t.
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoARcPSD|46342985 20 Chương 3. Đạo hàm
d) Viết phương trình liên quan tới các đại lượng.
e) Kết thúc giải quyết vấn đề.
9. Một chiếc máy bay bay theo chiều ngang ở độ cao 1 dặm, tốc độ 500 dặm/giờ, bay
thẳng qua phía trên một trạm radar. Tìm tốc độ tăng cự ly giữa máy bay và trạm khi máy bay cách trạm 2 dặm.
10. Nếu một quả cầu tuyết tan chảy sao cho diện tích bề mặt của nó giảm với tốc độ
1 cm2= phút, tìm tốc độ giảm của đường kính khi đường kính là 10 cm.
11. Một đèn đường được đặt ở trên cùng của cây cột điện cao 15-ft. Một người đàn ông
cao 6 ft đi từ cột với tốc độ 5 ft/s theo một hướng thẳng. Bóng của người đàn ông đang
di chuyển nhanh như thế nào khi ông ta cách cột 40 ft?
12. Vào buổi trưa, tàu A cách 150 km về phía tây của tàu B. Tàu A di chuyển về phía đông
với tốc độ 35 km/h và tàu B di chuyển về phía bắc với tốc độ 25 km/h. Khoảng cách
giữa hai tàu thay đổi nhanh như thế nào vào lúc 4:00 PM?
13. Hai chiếc xe bắt đầu di chuyển từ cùng một điểm. Một chiếc đi về phía nam với tốc độ
60 mi/h và chiếc còn lại di chuyến về phía tây với tốc độ 25 mi/h. Khoảng cách giữa
hai chiếc xe tăng lên ở mức nào hai giờ sau đó?
14. Một đèn chiếu trên mặt đất chiếu lên một bức tường cách 12 m. Nếu một người đàn
ông cao 2 m đi từ đèn chiếu đến toà nhà với tốc độ 1:6 m/s, chiều dài của cái bóng
trên bức tường giảm nhanh như thế nào khi ông ta cách 4 m từ toà nhà?
15. Một người đàn ông bắt đầu đi bộ về phía bắc với vận tốc 4 ft/s từ một điểm P. Năm
phút sau, một người phụ nữ bắt đầu đi bộ về phía nam với vận tốc 5 ft/s từ một điểm
500 ft về phía đông của P . Ở tốc độ nào hai người di chuyển xa nhau 15 phút sau khi
người phụ nữ bắt đầu di chuyển?
16. Một sân bóng chày hình vuông với chiều dài cạnh 90 ft. Một vận động viên bóng chày
đánh vào bóng và chạy về mức đầu tiên với tốc độ 24 ft/s.
a) Khoảng cách của anh ta so với mức hai giảm với tốc độ như thế nào khi anh ta
là ở chính giữa của mức thứ nhất?
b) Khoảng cách của anh ta so với mức thứ ba tăng với tốc độ như thế nào tại cùng cuu duong than cong . com một thời điểm?
Downloaded by Châu Bùi (Vj7@gmail.com) CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt