Bài Tập Hình 8 Bài Hình Lăng Trụ Đứng Có Lời Giải

2. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Hình lăng trụ đứng
Hình bên là hình lăng trụ đứng. Trong hình này:
- A, B,C , D, A ; B ;C ; D 1 1 1 1 là các đỉnh.
- Các mặt ABB A ; BCC B ; .  1 1 1 1
là các hình chữ nhật. Chúng
được gọi là các mặt bên. - Hai mặt AB ; CD A B C D 1 1 1 1 là hai đáy.
 Hình lăng trụ đứng trên có hai đáy là tứ giác nên gọi là
lăng trụ đứng tứ giác, kí hiệu ABCD  A B C D 1 1 1 1
Hình lăng trụ đứng tứ giác
 Hình hộp chữ nhật, hình lập phương cũng là những hình lăng trụ đứng.
 Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.
 Lăng trụ đứng có hai đáy là tam giác, tứ giác , ngũ giác thì hình lăng trụ đứng tương ứng
được gọi là lăng trụ đứng tam giác, lăng trụ đứng tứ giác, lăng trụ đứng ngũ giác. (hình 1) (hình 1)
2) Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng
 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích các mặt bên. Ta có
công thức S = 2 ph xq
( p là nữa chu vi đáy, h là chiều cao).
 Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích
hai đáy S = S + 2S tp xq day
3) Thể tích của hình lăng trụ đứng
 Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao
 Công thức V = S .h ( S là diện tích đáy, h là chiều cao) Trang 1 III. BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác A BC .A ' B 'C '.
a) Những cặp mặt phẳng nào song song với nhau?
b) Những cặp mặt phẳng nào vuông góc với nhau?
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF. Trong các phát biểu sau phát biểu nào đúng ?
a) Các cạnh bên AB và AD vuông góc với nhau.
b) Các cạnh bên BE và EF vuông góc với nhau.
c) Các cạnh bên AC và DF vuông góc với nhau.
d) Các cạnh bên AC và DF song song với nhau.
e) Hai mặt phẳng (A BC ) và (DEF ) song song với nhau.
f) Hai mặt phẳng (A CFD ) và(BCFE ) song song với nhau.
g) Hai mặt phẳng (A BED ) và (DEF ) vuông góc với nhau.
Bài 3: Cho một hình hộp chữ nhật A BCD.A ' B 'C ' D '
a) Những cặp mặt phẳng nào song song với nhau.
b) Mặt phẳng (A BCD ) vuông góc với những mặt phẳng nào.
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng tam giác A B C .A ' B 'C ' có hai đáy là hai tam giác vuông tại A, A ' . Chứng minh
a) AB ⊥ mp (AA'C 'C )
b) mp (AA 'C 'C ) ⊥ mp (AA ' B ' B)
Bài 5: Một khối gỗ hình lập phương A BCD.A ' B 'C ' D ', có cạnh bằng a. Người ta cắt khối
gỗ theo mặt (A CC ’A )
’ được hai hình lăng trụ đứng bằng nhau. Tính diện tích xung quanh
của mỗi hình lăng trụ đó.
Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng tam giác A B C .A ' B 'C ' , có đáy là tam giác ABC cân tại C, D
là trung điểm của cạnh AB. Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ.
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác A B C A ' B 'C ' có đáy A B C là tam giác vuông cân tại B
vớiB A = B C = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 60° . Tính thể tích lăng trụ.
Bài 8: Cho hình lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a. Tính chiều cao (theo a) của hình 1
lăng trụ, biết diện tích xung quanh bằng diện tích toàn phần. 2 Trang 2
Bài 9: Tính diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt) và thể tích của hình sau
* Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ HFG.JIK
Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng tam giác A B C .A ' B 'C ' có
đáy là tam giác A B C cân tại A có các kích thước như hình
vẽ. Tính thể tích của hình lăng trụ.
Bài 11 : Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng
A BC .A ' B 'C ' , đáy là tam giác cân ABC có kích thước như 2
hình vẽ. Mực nước hiện tại trong bình bằng chiều cao của lăng 3
trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên sao cho mặt (BCC 'B ')
là mặt đáy. Tính chiều cao của mực nước khi đó.
Bài 12: Tính thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác và
các mặt bên là các hình vuông cạnh bằng a.
Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng tam giác A B C .A ' B 'C ' có đáy là
tam giác A B C cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và B 'C '
a) Chứng minh A MNA ' là hình chữ nhật
b) Tính diện tích hình chữ nhật A MNA ' biết thể tích của hình lăng trụ bằng V và B C = a .
Bài 14: Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng A B C .A ' B 'C ' , đáy là tam giác A B C có
A B = 6cm , BC = 10cm , A C = 8cm , chiều cao CC ' = 12cm . Mực nước trong 2
bình hiện tại bằng chiều cao của hình lăng trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên 3
sao cho mặt (A CC 'A ') là mặt đáy. Tính chiều cao của mực nước khi đó.
Bài 15: Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng A B C .A ' B 'C ' , đáy là tam giác A B C có
A B = 6cm , BC = 10cm , A C = 8cm , chiều cao CC ' = 12cm . Mực nước trong 2
bình hiện tại bằng chiều cao của hình lăng trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên 3
sao cho mặt (BCC 'B ') là mặt đáy. Tính chiều cao của mực nước khi đó.
Bài 16: Đáy của lăng trụ đứng tam giác A B C .A ' B 'C ' là tam giác ABC vuông cân tại A có
cạnh BC = a 2 và biết A ' B = 3a . Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 17: Cho lăng trụ tứ giác đều A BCD.A ' B 'C ' D ' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a.
Tính thể tích khối lăng trụ này. Trang 3 TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.D EF có ABC vuông tại A.
a) Những cặp mặt phẳng nào song song với với nhau?
b) Những cặp mặt phẳng nào vuông góc với nhau?
c) Cho biết DF = 2c ; m AB = 3c ,
m AD = 5cm . Tính diện tích xung
quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ.
d) Gọi M là trung điểm của EF . Tính độ dài các đoạn thẳng BM , AM .
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng tam giác MN .
P QRS . (Mỗi câu sau đây có giả thiết riêng)
a) Nếu MPN vuông tại P có PN = 2c ;
m PS = 5cm và thể tích 3
V = 15cm .Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.
b) Nếu MPN cân ở M có MN = 15c ;
m PN = 8c ; m PS = 22cm .
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ.
c) Nếu MPN đều có cạnh là a(cm) . Gọi H là trung điểm của cạnh SR và 0
MHQ = 60 . Tính độ dài MQ , diện tích xung
quanh, toàn phần và thể tích của hình lăng trụ theo a.
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH , đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B .
a) Hãy kể tên các cạnh song song với cạnh AD , song song với cạnh AB , các đường thẳng
song song với mp (EFGH); các đường thẳng song song với mp (DCGH).
b) Cho biết AB = AD = 4 cm ; BC = 2AD và 0
AFE = 45 .Tính diện tích xung quanh, diện tích
toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đứng.
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 'B'C 'D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a (cm) và 0 D
A C = 60 và DD ' = a (cm).
a) Chứng minh mp (CB'D ') // mp(A 'DB)
b) Chứng minh mp (AA 'C 'C) // mp (DD 'B'B).
c) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ.
Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh đáy A B = A C = 10cm và BC = 12cm .
Gọi M là trung điểm của B'C'. a) Chứng minh rằng B C ¢ ¢ mp (AA M ¢ ^ )
b) Cho biết A M = 17cm , tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ. Trang 4
Bài 6: Một hình lăng trụ đều có tổng số mặt, số đỉnh và số cạnh là 26. Biết thể tích của hình
lăng trụ là 540cm3, diện tích xung quanh là 360cm2. Tính chiều cao của hình lăng trụ đó.
Bài 7: Hình hộp đứng A BCD.A ' B 'C ' D ' có đáy là hình thoi A B CD cạnh a, góc nhọn 30o.
Cho biết diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng hai lần diện tích xung quanh của
nó. Tính chiều cao của hình lăng trụ đứng.
Bài 8: Hình lăng trụ đứng A B C .A ' B 'C ' có A B = 5cm , A C = 12cm và chiều cao
A A ' = 10cm . Biết diện tích xung quanh của hình lăng trụ là 300cm2, tính thể tích của nó.
Bài 9: Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi với các đường chéo bằng 16cm và 30cm.
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ này là 2
2680cm , tính thể tích của nó.
Bài 10: Hình lăng trụ ngũ giác đều A BCDE .A ' B 'C ' D ' E ' có cạnh đáy bằng a. Biết hiệu
giữa các diện tích xung quanh của hai hình lăng trụ đứng A BCE .A ' B 'C ' E ' và
CDE .C ' D ' E ' là 2
4a . Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho. Trang 5
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
Bài 1: a) Những cặp mặt phẳng song song là:
mp (A BC )/ / mp (A’B’C ) ’
b) Những cặp mặt phẳng vuông góc nhau là: m ( p A BC ) mp (AA B ¢ B ¢ ^ ) m ( p A BC ) mp (BB C ¢ C ¢ ^ ) m ( p A BC ) mp (AA C ¢ C ¢ ^ ) mp (A B ¢ C ¢
)¢ mp(BB C¢ C¢ ^ ) mp (A B ¢ C ¢
)¢ mp(AAC¢ C¢ ^ ) mp (A B ¢ C ¢
)¢ mp(AA B¢ B¢ ^ )
Bài 2: a) Sai vì AB và AD không phải là các cạnh bên.
b) Sai vì BE và EF không phải là các cạnh bên.
c) Sai vì AC và DF không phải là các cạnh bên.
d) Sai vì AC và DF không phải là các cạnh bên. e) Đúng
f) Sai vì Hai mặt phẳng (A CFD ) và (BCFE ) vuông góc nhau g) Đúng Bài 3: Bài giải
a) Những mặt phẳng song song với nhau là:
mp (A BCD)/ / mp (A 'B 'C 'D ');
mp (A A 'D 'D)/ / mp (BB 'C 'C );
mp (DCC 'D ')/ / mp (A A 'B 'B ) b) m ( p A BCD) mp (AA B ¢ B ¢ ^ ) m ( p A BCD) mp (BCC B ¢ )¢ ^ m ( p A BCD) mp (AA D ¢ D ¢ ^ )
Bài 4: a) AB ⊥ AC ( ABC vuông tại A) AB AA ⊥
( A A ' B ' B là hình chữ nhật) nên AB vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau AC và A A ' của mặt phẳng (A A 'C 'C ).
Suy ra AB ⊥ mp (AA 'C 'C ) Trang 6
b) mp (A A 'B 'B ) chứa AB, mà AB vuông góc với mp (A A 'C 'C ) nên
mp (AA 'C 'C) ⊥ mp (AA ' B ' B) Bài 5: HD: Ta có 2
AC = a + a = a 2cm
Chu vi đáy hình lăng trụ
a + a + a 2 = (2 + 2)a
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ 2(2 + 2)a  a 2 S = 2 ph = = (2 + 2)a xq ( 2 cm ) 2 Bài 6:
D là trung điểm AB, suy ra CD là chiều cao tam giác đáy Vậy nên 2 2
DB = 5 − 4 = 25 −16 = 9 = 3cm
BB¢ ^ AB , áp dụng định lí py-ta-go, ta có 2 2
BB = 5 − 3 = 25 − 9 = 16 = 4cm
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là 1 æ ö
S = S + 2S = (5 + 5 + 6) 4 × + 2çç 4 × .6÷ ÷ tp xq d 2 ç ÷ ç ÷ è ø 2
S = 64 + 24 = 88cm tp Bài 7: Ta có A A (ABC) A ⊥
 A ⊥ AB và A B là hình chiếu
của A ' B trên đáy A B C và ABA' = 60 Trong ABA' ta có AA  = AB tan 60 = a 3 2 1 a S = BA B × C = A BC 2 2 3 a 3 Vậy V = S A × A' = ABC 2 Trang 7 Bài 8:
Diện tích xung quanh hình trụ
S = 2(a + a)  h xq (cm)
Diện tích toàn phần của hình trụ
S = S + 2S = 2(a + a)  h + 2 . a a 2
 S = 4ah + 2a = 2a(2h + a) tp xq d tp 1 Theo đề ta có S = S xq 2 tp 1 a
Hay 4ah = 2a(a + 2h)  4h = a + 2h  2h = a  h = 2 2 a
Vậy chiều cao của hình trụ là (cm) 2
Bài 9: Độ dài đường chéo của tam giác đáy là 2 2
JK = HG = 3 + 4 = 25 = 5cm 1 Diện tích tam giác đáy 2 S = S = 3.4 = 6cm H  FG TI  K 2
Diện tích toàn phần hình lăng trụ HFG.JIK 3 æ 4 5ö + + ç ÷ 2 S = S + 2S = 2ç ÷ 3 × + 2.6 = 48cm tp1 xq day çè 2 ÷ ÷ ø
* Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật
A BCD.EFII ' (I’ là điểm phía dưới) 2 S
= S + 2S = 2(1+ 3).5 + 2.1.3 = 46cm tp2 xq d * 2 S = 3.3 = 9cm JIFH
* Diện tích toàn phần của hình đã cho là 2
S = S + S − S = 48 + 46 − 9 = 85cm tp 1 tp tp2 MFH Thể tích hình lăng trụ 3
V = S  h = 6.3 = 18cm 1 d
Thể tích hình hộp chữ nhật 3
V = S  h = 3.5 = 15cm 2 d
Thể tích của hình đã cho là 3
V = V +V = 18 +15 = 33cm 1 2
Bài 10: Chiều cao của tam giác đáy 3 2
h ' = 13 − 5 = 169 − 25  h ' = 144 = 12cm Trang 8 1 1
Diện tích tam giác ABC là 2
S = h '.BC = 12.10 = 60cm 2 2
Thể tích của hình lăng trụ A B C .A ' B 'C ' là 3
V = S  h = 60.12 = 720 cm d
Bài 11 : Chiều cao của tam giác đáy 3 2
h ' = 13 − 5 = 169 − 25  h ' = 144 = 12cm 1 1
Diện tích tam giác A B C là 2
S = h '.BC = 12.10 = 60cm 2 2 2
Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là 3 V = 60. .12 = 480cm 3
Nếu chọn đáy là (BCC 'B ') thì 2 S = 10.12 = 120cm d V 480
Chiều cao mực nước mới là h ' = =  h' = 4cm S 120 d
Vậy chiều cao mực nước mới là 4cm.
Bài 12: Hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a, đường cao tam giác đáy là a 3 h = cm 2 2 1 a 3 a 3
Diện tích tam giác đáy là S = a = 2 2 4 2 3 a 3 a 3
Thể tích hình lăng trụ là 3 V = S.h = a = cm 4 4
Bài 13: a) Ta có A’N / / A M và A ' N = A M nên A ' NMA là hình bình hành. Mặt khác A N ¢
^ mp (CC 'B 'B ) nên A ' N ^ NM
Vậy A MNA ' là hình chữ nhật 1
b) V = S  h = AMBC  AA' d 2
mà A A ' = MN nên diện tích hình chữ nhật A MNA ' là 1 V S = AM.AA ' = ( 2 cm ) 2 a 1
Bài 14: Diện tích tam giác đáy là 2 S = 8.6 = 24cm 2 Trang 9 2
Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là 3 V = 24. 12 =192cm 3
Nếu chọn đáy là (A CC 'A ') thì 2 S = 8.12 = 96cm d  V 192
Chiều cao mực nước mới là h h = =  = 2cm S 96 d
Vậy chiều cao mực nước mới là 2cm. Bài 15: 1
Diện tích tam giác đáy là 2 S = 8.6 = 24cm 2 2
Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là 3 V = 24. 12 =192cm 3
Nếu chọn đáy là (BCC 'B ') thì 2 S = 6.12 = 72cm d  V 192
Chiều cao mực nước mới là h h = =   2,7cm S 72 d
Vậy chiều cao mực nước mới là 2,7cm.
Bài 16: Ta có ABC vuông cân tại A nên A B = A C = a
A BC .A ' B 'C ' là lăng trụ đứng AA¢ Þ ^ AB ¢ 2 ¢ ¢ 2 2 2 DAA B Þ AA = A B - AB = 8a AA  = 2a 2 Vậy ¢ 3 V = B h × = S A × A = a 2 ABC
Bài 17: A BCD.A ' B 'C ' D ' là lăng trụ đứng nên 2 2 ¢ 2 ¢ 2 BD = BD - DD = 9a Þ BD = 3a 3a ABCD là hình vuông  AB = 2 2 9a Suy ra B = S = ABCD 4 Vậy ¢ 3 V = B h × = S .AA = 9a ABCD Trang 10