Trang 1
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRC CỦA ĐOẠN THNG
I. KIN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa đường trung trc: Đường trung trc ca một đoạn
thẳng là đường thng vuông gó với đoạn thng y ti trung
đim ca nó.
Trên hình v bên,
d
là đường trung trc của đoạn thng
AB
.
Ta cũng nói:
A
đối xng vi
B
qua
d
.
Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trc ca một đoạn thẳng thì cách đều hai mút ca
đon thẳng đó.
Định lí 2: Điểm cách đều ai mút ca một đoạn thng thì nằm trên đường trung trc ca
đon thẳng đó.
MA = MB MÞ
thuộc đường trung trc ca
AB
Tp hợp các điểm cách đều hai mút ca một đoạn thẳng là đường trung trc của đoạn
thẳng đó.
II. BÀI TP
Bài 1: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Trên tia AC lấy điểm E sao cho
AE = AB
.
Chng minh rng AD vuông góc vi BE
Bài 2: Tam giác
vuông ti
A
µ
30 .C
Trên tia đối ca tia
AC
lấy điểm
D
sao cho
.AD AC=
Tính s đo góc
·
.DBC
Bài 3: Cho 3 tam giác cân
,MA B
,NA B
PA B
có chung đáy
AB
. Chng minh
,,M N P
thng hàng.
Bài 4: Cho tam giác ABC có
0
60A =
, M là điểm nm gia B và C. V đim E sao cho AB là
đưng trung trc của ME, điểm F sao cho AC là đường trung trc ca MF.
a) Chng minh trung trc của EF đi qua A.
b) Chng minh
BE CF BC+=
.
c) Tính các góc ca tam giác AEF.
d) EF ct AB, AC lần lượt ti I, K. Chng minh MA là phân giác ca góc IMK.
e) Phi cho góc A ca tam giác ABC bằng bao nhiêu độ để A là trung điểm ca EF.
d
H
M
B
A
Trang 2
Bài 5: Cho
ABCD
góc
A
nhọn, đường cao
.AH
Lấy các điểm
P
Q
lần lượt đối xng
vi
H
qua
, .AB AC
a) Chng minh
.AP AQ=
b) Cho
·
60 .BAC
Tính s đo góc
·
.PAQ
c) Chng minh
=API AHI
.AHK AQK=
d) Gi
, IK
lần lượt giao đim ca
PQ
vi
, .AB AC
Chng minh
HA
tia phân giác
ca
·
.IHK
Bài 6: Cho tam giác ABC có
0
90A =
. Trên tia BA lấy điểm M sao cho
BM BC=
. Phân giác
ca góc ABC ct AC ti I, MC K. Tia MI ct BC H.
a) Chng minh BI là trung trc ca AH và AH // MC.
b) Chng minh
AK KH CM+=
.
c) Nếu
0
A 60KH=
, tính
0
60ABC =
.
Bài 7: Cho tam giác ABC
0
90A =
,
AB AC
, AH đường cao HM, HN lần lượt
đưng phân giác ca tam giác ABH ACH. Gọi I là trung đim ca MN. Tia AI ct BC
K.
a) Chng minh
MN AK=
và I là trung điểm ca AK.
b) Chng minh tam giác MAN là tam giác vuông.
Hết
Trang 3
HDG
Bài 1:
ABD AED =
(c.g.c)
DB DE=
(1)
Theo gi thiết:
AB AE=
(2)
T (1) và (2), ta chứng minh được AD là đường trung trc ca
BE. Suy ra
A D BE^
Bài 2:
AB
là đường trung trc ca
AC
BD BC DBCÞ = Þ D
cân.
·
µ
30 .BDA CÞ = = °
·
180 60 120DBCÞ = ° - ° = °
Bài 3:
MAB
cân ti M
MA MB MÞ = Þ Î
đưng trung trc của đoạn thng
AB
NAB
cân ti N
NA NB NÞ = Þ Î
đưng trung trc của đoạn thng
AB
PAB
cân ti P
PA PB PÞ = Þ Î
đưng trung trc của đoạn thng
AB
, , M N P
thng hàng.
Bài 4:
a) Vì AB là trung trc ca EM
EA A MÞ=
Vì AC là trung trc ca MF
A F A MÞ=
E = AF ( = AM)AÞ
AÞÎ
đưng trung trc ca
EF hay đường trung trc của EF đi qua A.
b) Vì AB là trung trc ca EM
EB BMÞ=
Vì AC là trung trc ca MF
CF CMÞ=
BC BM CM BE CF BC BE CF= + = + Þ = +
c) Xét
AEM
cân tại A có AB là đường trung trc
AB là phân giác
AEM
AE B MAB=
Xét
AFM
cân tại A có AC là đường trung trc
AC là phân giác
FAM
FAC MAC=
Có:
·
·
·
BA C BAM MA C=+
E
D
B
A
C
30
o
B
A
D
C
K
I
F
E
A
B
C
M
Trang 4
·
·
·
·
·
·
0
2 A A 120BA C BA M MA C E B F C EA FÞ = + + + Þ =
EAF
cân ti A và
· ·
·
00
00
180 120
120 E 30
2
EAF AEF A F
-
= Þ = = =
d) Vì
K
trung trc MF
KM KF KMF =
cân ti K
KMF KFM=
AFM
cân ti A
AMF AFM=
AMK AFK=
I
trung trc ME
IM IE IEM =
cân ti I
EIEM IM=
AEM
cân ti A
AME AEM=
AEI AMI=
EA I AFK AMK AMI= =
MA là phân giác ca
IMK
e) Để A là trung điểm ca EF
0
180EAF=
·
· ·
0
2 90EA F BA C BA C= Þ =
Bài 5:
a) T gi thiết suy ra
AP AH=
AQ AH=
nên
.AP AQ=
b) Ta có:
·
·
·
·
·
( )
·
2
2 120 .
PAQ PAH HAQ
BAH HAC
BAC
=+
=+
= = °
c)
API AHID = D
(c.c.c)
·
·
API AHIÞ=
( )
1.
AHK AQKD = D
(c.c.c)
· ·
AHK AQKÞ=
( )
2.
d) Có
AP AQ PAQ= Þ D
cân
·
·
API AQKÞ=
( )
3.
T
( ) ( )
1 , 2
( )
3
suy ra
·
·
.AHI AHK=
Þ
HA
là tia phân giác ca
·
.IHK
Bài 6:
( . . )MBI CBI c g cD = D
·
·
BMI BCIÞ=
()BHM BA C g c g BA BHD = D - - Þ =
hay
BA HD
cân ti B
phân giác BI nên BI đồng thời đường trung trc ca AH
BI AH⊥
.
BK
phân giác trong tam giác cân
MBC
cân ti B nên
BK
cũng
K
I
P
Q
H
B
C
A
H
K
I
M
A
C
B
Trang 5
là đường trung trc của đoạn
MC
⊥BK MC
,,B I K
thng hàng
⊥BI MC
.
T đó suy ra AH // MC
b) Tam giác
A MC
vuông ti A, trung tuyến AK nên
1
2
AK KC KM MC= = =
·
·
( ) 90 90BHM BA C cmt BHM CHMD = D Þ = ° Þ = °
Tam giác CHM vuông tại H, đường trung tuyến KC nên
1
2
HK KC KM MC= = =
T đó suy ra
AK KH CM+=
[ Lưu ý: Xem li bài 5 Phiếu C304: Tính chất 3 đưng trung tuyến ca tam giác]
c) Nếu
0
A 60KH=
thì
A HKD
đều (vì
A K HK=
).
·
·
60A KM HKC= = °
;A KM HKCÞ D D
là các tam giác đều
·
·
· ·
60 60A MK H CK BMC BCMÞ = = ° Þ = = °
Suy ra tam giác BMC đều hay
0
60ABC =

Preview text:

TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa đường trung trục: Đường trung trực của một đoạn d
thẳng là đường thẳng vuông gó với đoạn thẳng ấy tại trung M điểm của nó.
Trên hình vẽ bên, d là đường trung trực của đoạn thẳng A B . A H B
Ta cũng nói: A đối xứng với B qua d .
Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Định lí 2: Điểm cách đều ai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
MA = MB Þ M thuộc đường trung trực của A B
Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB .
Chứng minh rằng AD vuông góc với BE µ
Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A C = 30°. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho ·
AD = AC. Tính số đo góc DBC.
Bài 3: Cho 3 tam giác cân MA B, NA B, PA B có chung đáy A B . Chứng minh M , N , P thẳng hàng.
Bài 4: Cho tam giác ABC có 0
A = 60 , M là điểm nằm giữa B và C. Vẽ điểm E sao cho AB là
đường trung trực của ME, điểm F sao cho AC là đường trung trực của MF.
a) Chứng minh trung trực của EF đi qua A.
b) Chứng minh BE + CF = BC .
c) Tính các góc của tam giác AEF.
d) EF cắt AB, AC lần lượt tại I, K. Chứng minh MA là phân giác của góc IMK.
e) Phải cho góc A của tam giác ABC bằng bao nhiêu độ để A là trung điểm của EF. Trang 1
Bài 5: Cho D ABC góc A nhọn, đường cao AH. Lấy các điểm P Q lần lượt đối xứng
với H qua AB, AC.
a) Chứng minh AP = A . Q · ·
b) Cho BAC = 60°. Tính số đo góc PA . Q
c) Chứng minh API = AHI AHK = AQK.
d) Gọi I , K lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AC. Chứng minh HA là tia phân giác · của IHK.
Bài 6: Cho tam giác ABC có 0
A = 90 . Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC . Phân giác
của góc ABC cắt AC tại I, MC ở K. Tia MI cắt BC ở H.
a) Chứng minh BI là trung trực của AH và AH // MC.
b) Chứng minh AK + KH = CM . c) Nếu 0
KAH = 60 , tính 0 ABC = 60 .
Bài 7: Cho tam giác ABC có 0
A = 90 , AB AC , AH là đường cao HM, HN lần lượt là
đường phân giác của tam giác ABH và ACH. Gọi I là trung điểm của MN. Tia AI cắt BC ở K.
a) Chứng minh MN = AK và I là trung điểm của AK.
b) Chứng minh tam giác MAN là tam giác vuông. Hết Trang 2 HDG Bài 1: ABD
= AED (c.g.c)  DB = DE (1) A
Theo giả thiết: AB = AE (2) E
Từ (1) và (2), ta chứng minh được AD là đường trung trực của C B D
BE. Suy ra A D ^ BE B
Bài 2: AB là đường trung trực của AC
Þ BD = BC Þ DDBC cân. 30o · µ D A C
Þ BDA = C = 30° ·
. Þ DBC = 180° - 60° = 120° Bài 3:
Vì MAB cân tại M Þ MA = MB Þ M Î đường trung trực của đoạn thẳng A B
NAB cân tại N Þ NA = NB Þ N Î đường trung trực của đoạn thẳng A B
PAB cân tại P Þ PA = PB Þ P Î đường trung trực của đoạn thẳng A B
M , N , P thẳng hàng. Bài 4:
a) Vì AB là trung trực của EM Þ A E = A M
Vì AC là trung trực của MF Þ A F = A M
Þ A E = AF ( = AM) Þ A Î đường trung trực của E B
EF hay đường trung trực của EF đi qua A.
b) Vì AB là trung trực của EM Þ BE = BM
Vì AC là trung trực của MF Þ CF = CM M I
BC = BM + CM = BE + CF Þ BC = BE + CF
c) Xét AEM cân tại A có AB là đường trung trực
AB là phân giác EAM  A E B = MAB A K C
Xét AFM cân tại A có AC là đường trung trực
AC là phân giác FAM  FAC = MAC F Có: · · ·
BA C = BA M + MA C Trang 3 · · · · · · 0
Þ 2BA C = BA M + MA C + EAB + FAC Þ EA F = 120 · 180 - 120 0 · · 0 0
Vì AEF cân tại A và 0
EA F = 120 Þ A EF = A FE = = 30 2
d) Vì K  trung trực MF  KM = KF KMF cân tại K  KMF = KFM
AFM cân tại A AMF = AFM AMK = AFK
I  trung trực ME  IM = IE IEM cân tại I  IEM = E IM
AEM cân tại A AME = AEM AEI = AMI Mà E
A I = AFK AMK = AMI  MA là phân giác của IMK
e) Để A là trung điểm của EF 0  EAF = 180 · · · mà 0
EA F = 2BA C Þ BA C = 90 Bài 5:
a) Từ giả thiết suy ra AP = AH AQ = AH nên AP = A . Q A b) Ta có: Q · · ·
PAQ = PAH + HAQ K · · I = 2(BAH + HAC) · P = 2BAC = 120°. · ·
c) D API = D AHI (c.c.c) Þ API = AHI ( ) 1 . B H C D · ·
AHK = D AQK (c.c.c) Þ AHK = AQK (2). · ·
d) Có AP = AQ Þ D PAQ cân Þ API = AQK ( ) 3 . · · Từ ( ) 1 , (2) và ( )
3 suy ra AHI = AHK. Þ ·
HA là tia phân giác của IHK. B · ·
Bài 6: DMBI = DCBI (c. .
g c) Þ BMI = BCI H
DBHM = DBA C (g - c - g) Þ BA = BH hay D BA H cân tại B có A I C
phân giác BI nên BI đồng thời là đường trung trực của AH KBI AH .
BK là phân giác trong tam giác cân MBC cân tại B nên BK cũng M Trang 4
là đường trung trực của đoạn MC BK MC B, I , K thẳng hàng  BI MC . Từ đó suy ra AH // MC 1
b) Tam giác A MC vuông tại A, trung tuyến AK nên A K = KC = KM = MC 2 · ·
DBHM = DBA C (cmt ) Þ BHM = 90° Þ CHM = 90° 1
Tam giác CHM vuông tại H, đường trung tuyến KC nên HK = KC = KM = MC 2
Từ đó suy ra AK + KH = CM
[ Lưu ý: Xem lại bài 5 – Phiếu C304: Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác] c) Nếu 0
KAH = 60 thì D A HK đều (vì A K = HK ). · ·
A KM = HKC = 60° Þ DA KM ;DHKC là các tam giác đều · · · ·
Þ A MK = HCK = 60° Þ BMC = BCM = 60°
Suy ra tam giác BMC đều hay 0 ABC = 60 Trang 5