 TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN x
Định lí thuận: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều A z
hai cạnh của góc đó. M
Định lí đảo: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của O
góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. B y II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho xOy . Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA  O .
B Lấy các điểm C, D
thuộc Oy sao cho OC  OA,OD  O .
B Gọi E là giao điểm của AD và . BC Chứng minh rằng: a) AD  BC;
b) ABE  CD ; E
c) OE là tia phân giác của góc x . Oy
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có B  6 
0 . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho HB  A .
B Đường thẳng vuông góc với BC tại H cắt AC tại . D
a) Chứng minh rằng BD là tia phân giác của ABC;
b) Chứng minh BDC cân.
Bài 3: Cho xOy có tia phân giác Ot. Trên tia Ot lấy điểm C bất kì. Lấy A Ox, B Oy sao cho OA  O .
B Gọi H là giao điểm của AB và Ot.
a) Chứng minh CA  CB và CO là phân giác của AC ; B
b) Chứng minh OC vuông góc với AB tại trung điểm của ; AB
c) Biết AB  6 cm, OA  5 cm. Tính OH.
Bài 4: Cho ABC vuông tại A , (A B < A C ) . Gọi M là trung điểm của . BC Trên nửa mặt
phẳng bờ BC không chứa A dựng tia Mx  B .
C Trên tia Mx lấy E sao cho ME  M . B
a) Tam giác BEC là tam giác gì ?
b) Gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ E đến các đường thẳng AB, AC.
Chứng minh rằng BEH  CEK;
c) Chứng minh rẳng AE là tia phân giác của góc . A
Bài 5: Cho D ABC vuông cân ở A. Trên nửa mặt phẳng có bờ BC không chứa A, vẽ ·
D B DC vuông ở D. Chứng minh rằng DA là tia phân giác của BDC y Hết C HDG D E O B x A
Bài 1: a) OAD  O ( CB . c . g c)  AD  . CB
b) Do OA  OC,OB  OD  AB  C . D Lại có OA  D  OC  B( . c .
g c)  OBC  ODA  ABE  CDE
Và cũng có OAD  OCB .
Vậy ABE  CD ( E . g . c g)
c) Vì ABE  CD ( E . g .
c g)  BOE  DOE  OE là tia phân giác của góc x . Oy
Bài 2: a) Xét ABD và HBD có: C
DAB  DHB  9 
0 , DB chung, BA  BH
 ABD  HBD  ABD  HBD
 BD là tia phân giác của ABC . H 1 b) DBH  ABC   30 D 2 DCB  9  0  ABC  9  0  6  0  3  0 A B
 DBH  DCB  DBC cân tại D Bài 3:
a) Vì Ot là phân giác xOy nên AOC  BOC. y
 AOC  BOC( . c .
g c)  CA  CB,OCA  OCB t  A
CO là phân giác AC . B
b) Do OA  OB, AOH  BOH,OH chung C H
nên OAH  OBH( . c . g c), O B x
suy ra OHA  OHB   90 và AH  B . H
Vậy OC vuông góc với AB tại trung điểm của . AB 1
c) Vì H là trung điểm của AB Þ A H = A B = 3 cm. 2
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OHA , tính được OH  4 cm. A
Bài 4: a) BEC có đường trung tuyến ME  1 BC . 2 K B C M H E
 BEC vuông tại . E
Mặt khác BME vuông cân tại M nên MBE   45
 BEC vuông cân tại . E
b) Từ câu (a) suy ra BE  CE.(1) Lại có:
AB  AC, EK  AC  AB EK
Mà EH  AB nên EH  EK  HEK   90
 HEB  KEC (cùng phụ HEC ) (2)
c) Từ (1) và (2) suy ra BHE  CKE (cạnh huyền – góc nhọn)  EH  EK
Xét AHE và AKE có: AHE  AKE  9 
0 , EH  EK và AE chung
 AHE  AKE  HAE  KAE
Vậy AE là tia phân giác của góc . A Bài 5:
Kẻ A E ^ BD ; A F ^ DC A
Ta có AE//CD (cùng vuông góc với BD) mà DC ^ A F nên A E ^ AF F · · ·
Ta có BA E = FA C ( cùng phụ với EA C ) C B
Chứng minh được D A BE = D A CF (g-c-g) E
Suy ra A E = A F mà A E ^ BD ; A F ^ DC nên DA là · D
tia phân giác của BDC .