 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa đường trung trục: Đường trung trực của một đoạn d
thẳng là đường thẳng vuông gó với đoạn thẳng ấy tại trung M điểm của nó.
Trên hình vẽ bên, d là đường trung trực của đoạn thẳng A B . A B H
Ta cũng nói: A đối xứng với B qua d .
Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Định lí 2: Điểm cách đều ai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
MA = MB Þ M thuộc đường trung trực của A B
Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB .
Chứng minh rằng AD vuông góc với BE µ
Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A có C = 30 .
° Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho · AD = A .
C Tính số đo góc DBC.
Bài 3: Cho 3 tam giác cân MA B, NA B, PA B có chung đáy A B . Chứng minh M , N , P thẳng hàng.
Bài 4: Cho tam giác ABC có 0
A  60 , M là điểm nằm giữa B và C. Vẽ điểm E sao cho AB là
đường trung trực của ME, điểm F sao cho AC là đường trung trực của MF.
a) Chứng minh trung trực của EF đi qua A.
b) Chứng minh BE  CF  BC .
c) Tính các góc của tam giác AEF.
d) EF cắt AB, AC lần lượt tại I, K. Chứng minh MA là phân giác của góc IMK.
e) Phải cho góc A của tam giác ABC bằng bao nhiêu độ để A là trung điểm của EF. Trang 1
Bài 5: Cho DABC góc A nhọn, đường cao AH. Lấy các điểm P và Q lần lượt đối xứng
với H qua AB, A . C
a) Chứng minh AP = A . Q · · b) Cho BAC = 60 .
° Tính số đo góc PA . Q
c) Chứng minh API  AHI và AHK  AQK.
d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của PQ với AB, A .
C Chứng minh HA là tia phân giác · của IH . K
Bài 6: Cho tam giác ABC có 0
A  90 . Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM  BC . Phân giác
của góc ABC cắt AC tại I, MC ở K. Tia MI cắt BC ở H.
a) Chứng minh BI là trung trực của AH và AH // MC.
b) Chứng minh AK  KH  CM . c) Nếu 0
KAH  60 , tính 0 ABC  60 .
Bài 7: Cho tam giác ABC có 0
A  90 , AB  AC , AH là đường cao HM, HN lần lượt là
đường phân giác của tam giác ABH và ACH. Gọi I là trung điểm của MN. Tia AI cắt BC ở K.
a) Chứng minh MN  AK và I là trung điểm của AK.
b) Chứng minh tam giác MAN là tam giác vuông. Hết Trang 2 HDG Bài 1:
ABD  AED (c.g.c)  DB  DE (1) A
Theo giả thiết: AB  AE (2) E
Từ (1) và (2), ta chứng minh được AD là đường trung trực của C B D
BE. Suy ra A D ^ BE B
Bài 2: AB là đường trung trực của AC
Þ BD = BC Þ DDBC cân. 30o · µ D A C
Þ BDA = C = 30 . ° ·
Þ DBC = 180° - 60° = 120° Bài 3:
Vì MAB cân tại M Þ MA = MB Þ M Î đường trung trực của đoạn thẳng A B
NAB cân tại N Þ NA = NB Þ N Î đường trung trực của đoạn thẳng A B
PAB cân tại P Þ PA = PB Þ P Î đường trung trực của đoạn thẳng A B
 M , N , P thẳng hàng. Bài 4:
a) Vì AB là trung trực của EM Þ A E = A M
Vì AC là trung trực của MF Þ A F = A M
Þ A E = AF ( = AM) Þ A Î đường trung trực của E B
EF hay đường trung trực của EF đi qua A.
b) Vì AB là trung trực của EM Þ BE = BM
Vì AC là trung trực của MF Þ CF = CM M I
Có BC = BM + CM = BE + CF Þ BC = BE + CF
c) Xét AEM cân tại A có AB là đường trung trực  AB là phân giác A E M  A E B  MAB A K C
Xét AFM cân tại A có AC là đường trung trực
 AC là phân giác FAM  FAC  MAC F Có: · · ·
BA C = BA M + MA C Trang 3 · · · · · · 0
Þ 2BA C = BA M + MA C + EAB + FAC Þ EA F = 120 · 180 - 120 0 · · 0 0 Vì  E A F cân tại A và 0
EA F = 120 Þ A EF = A FE = = 30 2
d) Vì K  trung trực MF  KM  KF  KMF cân tại K  KMF  KFM
AFM cân tại A  AMF  AFM
 AMK  AFK
Vì I  trung trực ME  IM  IE  IEM cân tại I  IEM  IME
AEM cân tại A  AME  AEM
 AEI  AMI Mà E
A I  AFK  AMK  AMI  MA là phân giác của IMK
e) Để A là trung điểm của EF 0  EAF  180 · · · mà 0
EA F = 2BA C Þ BA C = 90 Bài 5:
a) Từ giả thiết suy ra AP = AH và AQ = AH nên AP = A . Q A b) Ta có: Q · · ·
PAQ = PAH + HAQ K · · I = 2(BAH + HAC) · P = 2BAC = 120 . ° · ·
c) D API = D AHI (c.c.c) Þ API = AHI ( ) 1 . B H C · ·
DAHK = DAQK (c.c.c) Þ AHK = AQK (2). · ·
d) Có AP = AQ Þ DPAQ cân Þ API = AQK ( ) 3 . · · Từ ( ) 1 , (2) và ( )
3 suy ra AHI = AH . K Þ ·
HA là tia phân giác của IH . K B · ·
Bài 6: DMBI = DCBI (c. .
g c) Þ BMI = BCI H
DBHM = DBA C (g - c - g) Þ BA = BH hay DBA H cân tại B có A C I
phân giác BI nên BI đồng thời là đường trung trực của AH K  BI  AH .
B K là phân giác trong tam giác cân MBC cân tại B nên BK cũng M Trang 4
là đường trung trực của đoạn MC  BK  MC mà B, I , K thẳng hàng  BI  MC . Từ đó suy ra AH // MC 1
b) Tam giác A MC vuông tại A, trung tuyến AK nên A K = KC = KM = MC 2 · ·
DBHM = DBA C (cmt) Þ BHM = 90° Þ CHM = 90° 1
Tam giác CHM vuông tại H, đường trung tuyến KC nên HK = KC = KM = MC 2
Từ đó suy ra AK  KH  CM
[ Lưu ý: Xem lại bài 5 – Phiếu C304: Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác] c) Nếu 0
KAH  60 thì D A HK đều (vì A K = HK ). · ·
A KM = HKC = 60° Þ DA KM ;DHKC là các tam giác đều · · · ·
Þ A MK = HCK = 60° Þ BMC = BCM = 60°
Suy ra tam giác BMC đều hay 0 ABC  60 Trang 5