Bài tập: I- Số tự nhiên
1. Cho tập X đẳng lực với tập Y, A ⊂ X. Chứng minh rằng tồn tại tập
B ⊂ Y sao cho A đẳng lực với B.
2. Chứng minh rằng một tập vô hạn không đẳng lực với một tập hhữu hạn.
3. Chứng minh rằng mọi bộ phận của tập hợp hữu hạn là một tập hữu hạn.
4. Cho a, b ∈ N. Chứng minh rằng a < b khi và chỉ khi a′ < b′. 5. Chứng
minh rằng: Mọi bộ phận khác khác φ bị chặn trên của tập hợp số tự nhiên đều có số lớn nhất.
6. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ta có 2n > n.
7. Cho hai số tự nhiên m, n 6= 0. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên x sao cho xn 6 m < (1 + x)n.
8. Cho m là số tự nhiên. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên
x, r sao cho x2 + r = m, 0 6 r < 2x + 1.
9. Nguyên tắc ngăn kéo, hay còn gọi là nguyên tắc Drichlet thường được
phát biểu dưới dạng sau đây: "Xếp n quả cam vào n ngăn kéo sao cho không
ngăn kéo nào chứa quá một quả cam thì mỗi ngăn kéo chứa đúng một quả
cam" hoặc "Xếp n + 1 quả cam vào n ngăn kéo một cách tùy ý thì ta có ít
nhất 2 quả cam nằm trong cùng một ngăn kéo."
Dựa vào nguyên tắc ngăn kéo trên hãy chứng minh các kết luận sau:
a) Trong n số tự nhiên lớn hơn 0 liên tiếp có đúng một số chia hết cho n.
b) Trong n + 1 số tự nhiên tùy ý có ít nhất 2 số có hiệu chia hết cho n.
10. a) Chia 327 cho b được thương là 7, dư là 5. Tìm b.
b) Chia 159 cho b được thương là 12. Tìm b và số dư.
c) Chia a cho 105 được dư là 19. Tìm a và thương biết rằng 2100 < a < 2150.
11. Chứng minh các dấu hiệu chia hết sau: a) Một số trong hệ lục phân chia 1
hết cho 3 nếu chữ số cuối cùng của nó là 0 hoặc 3.
b) Một số trong hệ thất phân chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
12. Chứng minh rằng số gồm 3n chữ số giống nhau chia hết cho 3n.
13. Đổi các số sau đây sang hệ cơ số 6: a) 2317(8) b) 110100102(2) c) 4321234(5)
14. Thực hiện các phép tính sau: a) 12143(6) − 4324(6) b) 3453(6) × 45(6) c) 11034(6) : 35(6)
15. Xác định cơ số g để cách viết sau đây là đúng: a) 24(g) + 32(g) = 100(g) b) 111(g) × 22(g) = 3102(g)
16. Trong hệ thập phân, tìm cơ số có hai chữ số sao cho viết nó theo thứ tự
ngược lại ta được một số mà tổng của hai số này là một số chính phương. II. Vành số nguyên
1. Cho n là số nguyên dương, n > 11. Hỏi có tồn tại số nguyên dương a sao
cho n2010 < a < n2011 và a chia hết cho 102011 không?
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có: . a) a3 + 11a..6 . b) a(a + 1)(2a + 1)..6 2 . c) a5 − a..30 . d) a2(a2 − 1)..12 .
3. a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n ta có mn(m4 − n4)..30.
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có: . 222n + 5 ..7 . 324n + 2 ..11
c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có . 226a+2 + 3 ..19 4. Chứng minh rằng: . a) 13 + 23 + 53 + 73..23 .
b) (3 + 33 + 53 + . . . + 32n−1)..30 .
c) 1n + 2n + 3n + 4n..5 khi và chỉ khi n không chia hết cho 4. 5. Chứng minh rằng: .
(a + b + c)3 − (a3 + b3 + c3)..24
nếu a, b, c cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
6. Chứng minh rằng nếu k lẻ thì.
(1 + 2k + 3k + . . . (n − 1)k + nk)..(1 + 2 + . . . (n − 1) + n)
7. Chứng minh rằng với n > 1 ta có tích (n + 1)(n + 2) . . . (n + n) chia hết cho 2n.
8. Chứng minh rằng nếu mn + pq chia hết cho m − p thì mq + np chia hết cho m − p.
9. a) Cho a, b ∈ Z, (a, b) = d. Tìm (a + b, a − b). 3
b) Cho a, b, c là các số nguyên lẻ, chứng minh rằng: a + b b + c a + c (a, b, c) = ( , , ) 2 2 2
Áp dụng tìm (a, b, c) biết a = 1365, b = 2205, c = 4851.
10.Chứng minh rằng mỗi phân số sau đây là tối giản: a) 21a + 4 14a + 4 b) a3 + 2a a4 + 3a2 + 1 c) a2b + 2a ab + 1
11. a) Cho các số nguyên dương a, m, n, với a > 1. Chứng minh rằng:
(am − 1, an − 1) = a(m,n) − 1
b) Cho m, n là hai số tự nhiên thỏa mãn (2m − 1)(2n − 1) chia hết cho
2mn−1. Chứng minh rằng (m, n) = 1.
11. Chứng minh rằng với a > 1, m > 1, a, m ∈ Z, ta có: am − 1 ( , a − 1) = (m, a − 1) a − 1
12. Chứng minh rằng với n > 1 ta có: (n! + 1, (n + 1)! + 1) = 1
13. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản: 7 8 31 ; ; . . . ; n + 9 n + 10 n + 33 4
14. Chứng minh rằng (a + b, [a, b]) = (a, b) 15. Hãy tìm
a) [2n − 1, 2n + 1] với n ∈ N b) [a, a + 2] với a ∈ Z 16. Chứng minh rằng:
[1, 2, 3, . . . , 2n] = [n + 1, n + 2, . . . , n + n] 17. Chứng minh rằng: a) abc(a, b, c) [a, b, c] = (a,b)(b,c)(c,a) b) (a, b, c)[a, b][b, c][c, a] [a, b, c] = abc
18. Giải và biện luận theo số nguyên m các phương trình vô định sau đây: a) 6x + 11y = m + 2; b) 15x + 25y = 2m − 1; c) 3x+(2m-1)y=m+1.
19. Giải các hệ phương trình vô định sau đây: a) 3x + 2y = 1 3x + 6y + 2z = −1 b) x + 2y + 4z = 7 2x − 5y − 7z = −7
20. Giải và biện luận theo số nguyên m các hệ phương trình vô định sau đây: 5 a) 3x + 2y = 1 3x + 6y + (m + 1)z = m − 2 b) 3x − 5y − 3z = 1
2x − 3y + (m − 2)z = 1 − m III. Lý thuyết đồng dư
1. Chứng minh rằng nếu ac ≡ bd(modm), c ≡ d(modm) và (c, m) = 1 thì a ≡ b(modm).
2. Chứng minh rằng 3n ≡ −1( mod 10) khi và chỉ khi 3n+4 ≡ −1( mod 10) với n ∈ N.
3. Chứng minh rằng số Fermat F5 = 225 + 1 có ước nguyên tố là 641.
4. Chứng minh rằng với m, n ∈ N, m, n lẻ ta có
1n + 2n + . . . + mn ≡ 0(modm).
5. Cho a, b ∈ Z, p, n ∈ N∗, p > 1. Chứng minh rằng nếu a ≡ b(modpn) thì ap ≡ bp(modpn+1). 6. Chứng minh rằng: . a) 22225555 + 55552222..7; . b) 18901930 + 19451975 + 1..7;
c) Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 2 thì . pp+2 + (p + 2)p..2(p + 1) 6
7. a) Cho số nguyên tố p và số nguyên a sao cho a không chia hết cho p. Chứng minh rằng ap(p−1) ≡ 1(modp2)
b) Tìm dư trong phép chia 151515 cho 49.
8. Chứng minh rằng với n > 1 các số sau đây là những hợp số: a) 234n+1 + 3; b) 324n+1 + 2. 9. Chứng minh rằng:
a) Nếu (a, 7) = 1 thì a12 − 1 ≡ 0(mod7);
b) (a, 240) = 1 thì a4 − 1 ≡ 0(mod240);
10. Tìm số dư trong phép chia a) 270 + 370 chia cho 13; b) 570 + 750 chia cho 12;
c) 3.575 + 4.7100 chia cho 132; .
d) 1010 + 10102 + .. + 101010 chia cho 7.
11. Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau: a) 3517; b) 999; c) 7999 . 12. Chứng minh rằng: 777777 − 7777 chia hết cho 10. .
13. Chứng minh rằng nếu a ..30 thì 1 + a2 + . . . + an . a5 .. 1 + a52 + . . . + a5n 30. 7
14. a) Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng: (p − 1)! ≡ −1(modp);
b) Áp dụng hãy tìm (n! + 1, (n + 1)!) với n ∈ N∗.
15. Cho p, q là hai số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng: pq−1 + qp−1 ≡ 1(modpq). 16. Chứng minh rằng: .
a) Nếu (a, 5) = 1 thì a8n + 3a4n − 4..100 với n ∈ N∗; .
b) Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 7 thì 3p − 2p − 1..42p.
IV. Phương trình và hệ phương trình đồng dư
1. Bằng phép thử qua một hệ thặng dư đầy đủ, giải các phương trình đồng dư sau: a) 5x2 + x + 4 ≡ 0(mod13);
b) x3 − x2 − x − 16 ≡ 0(mod17);
c) x4 − 3x2 + 11 ≡ 0(mod13).
2. Giải các phương trình đồng dư sau: a) 7x ≡ 25(mod117); b) 89x ≡ 86(mod241); c) 213x ≡ 137(mod516).
3. Giải các phương trình đồng dư sau: 8 a) 6x ≡ 27(mod33); b) 129x ≡ 321(mod471); c) 111x ≡ 81(mod447).
4. Giải các phương trình:
a) ax ≡ 1(modp), với p là một số nguyên tố và (a, p) = 1;
b) (a + 1)x ≡ a2 − 1(modm), với a là một tham số.
5 Giải các hệ phương trình: x ≡ 4(mod5) a) x ≡ 1(mod12) x ≡ 7(mod14) 2x ≡ 14(mod18) b) 5x ≡ 11(mod21) 3x ≡ 22(mod35)
6. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia nó cho 3, 5, 7, 11 ta được dư lần lượt là 1, 2, 3, 9.
7. Tìm tất cả các số nguyên chia hết cho 5 và khi chia cho 2, 3, 4 đều có dư là 1.
8. Xác định a để các hệ phương trình sau có nghiệm: x ≡ 5(mod8) a) x ≡ 8(mod21) x ≡ a(mod35) x ≡ 3(mod11) x ≡ 1(mod15) b) x ≡ 7(mod14) x ≡ a(mod18) 9
9. Chứng minh rằng muốn cho phương trình đồng dư f (x) = a n n−1 nx + a1x + . . . + an ≡ 0(modp)
với p là một số nguyên tố, n < p, có đủ n nghiệm thì cần và đủ mọi hệ số
của đa thức dư trong phép chia xp − x cho f(x) đều là bội của p. 10. Cho phương trình x3 + ax + b ≡ 0(mod7).
a) Chứng minh rằng nếu ab không chia hết cho 7 thì phương trình đã cho có không quá hai nghiệm.
b) Xác định các giá trị của a và b để phương trình đã cho có đủ 3 nghiệm.
11. Hãy biện luận theo số nguyên tố p sự có nghiệm của phương trình x2 + 1 ≡ 0(modp).
12. Cho p là một số nguyên tố và (a, p) = 1. Chứng minh rằng:
a) ap + (p − 1)!a ≡ 0(modp);
b) a + (p − 1)!ap ≡ 0(modp).
13. Giải các phương trình đồng dư sau: a) x3 + 1 ≡ 0(mod25);
b) 2x2 − x − 1 ≡ 0(mod27); c) x3 + 2x + 9 ≡ 0(mod49); d) x3 + 2x + 2 ≡ 0(mod125).
14. Giải các phương trình đồng dư:
a) (x2 + 1)(x2 + 3) ≡ 0(mod35);
b) (x2 − 2)(x2 − 5) ≡ 0(mod77). 10