Bài Tập Lớn Môn Toán Kinh Tế 2 | Học Viện Ngân Hàng

Học viện Ngân Hàng
Khoa Kế Toán – Kiểm Toán -- --  BÀI TẬP LỚN TOÁN KINH TẾ 2
Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Văn An Lớp : K26KTA Nhóm : KTA4
Sinh viên thực hiện : Nguyễn Hà Khánh Linh Trương Thị Thu Thủy Cao Thị Quỳnh Phạm Thị Hồng Nhung Hán Ngọc Thoa Ma Thị Yến Đinh Thị Lan
Hà Nội, tháng 12 năm 2023 STT Họ và tên Mã sinh viên Liên hệ Nguyễn Hà Khánh Linh 1 26A4020008 26A4020008@hvnh.edu.vn (Nhóm trưởng) 2 Trương Thị Thu Thủy 26A4020880 thuy0309250@gmail.com 3 Cao Thị Quỳnh 26A4020459 caoquynh1035@gmail.com 4 Phạm Thị Hồng Nhung 26A4020442 nhung2209241005@gmail.com 5 Hán Ngọc Thoa 26A4020872 hanngocthoatqvn@gmail.com 6 Ma Thị Yến 26A4021359 mathiyen01@gmail.com 7 Đinh Thị Lan 26A4023124 dinhthilankun@gmail.com
Sinh viên thực hiện
9.51. In a random sample of 1000 homes in a certain city, it is found that 228 are heated
by oil. Find 99% confidence intervals for the proportion of homes in this city that are
heated by oil using both methods presented on page 297.
Trong một mẫu ngẫu nhiên gồm 1000 ngôi nhà ở một thành phố nhất định, người
ta thấy rằng có 228 ngôi nhà được sưởi ấm bằng dầu. Tìm khoảng tin cậy 99% cho
tỷ lệ các ngôi nhà ở thành phố này được sưởi ấm bằng dầu bằng cả hai phương
pháp được trình bày ở trang 297. Giải Phương pháp 1
Gọi p là tỷ lệ các ngôi nhà ở thành phố này được sưởi ấm bằng dầu
f là tỷ lệ các ngôi nhà được sưởi ấm bằng dầu trên mẫu điều tra
Ta có: n=100; f = 228 =0,228 1000
Ta có: { nf=228≥10
n (1−f )=772 ≥10
⇒Công thức ước lượng tỷ lệ các ngôi nhà ở thành phố này được sưởi ấm bằng dầu là:
f −u √f (1−f )<p<f +u √f (1−f ) α n α n 2 2 Độ tin cậy 99% =
⟹ 1−α=0,99⟹ α=0,01 ⟹ u u ≈ 2,5758 α 0,005 2
Thay các giá trị vào công thức ước lượng ta được: (1− )
0,228−2,5758 √0,228(1−0,228)<p<0,228+2,5758√ 0,228 0,228 1000 1000
⟹ 0,1938< p<0,2622
Vậy tỷ lệ các ngôi nhà ở thành phố này được sưởi ấm bằng dầu nằm trong khoảng (19,38 %;26,22 % ) Phương pháp 2
Gọi p là tỷ lệ các ngôi nhà ở thành phố này được sưởi ấm bằng dầu
f là tỷ lệ các ngôi nhà được sưởi ấm bằng dầu trên mẫu điều tra
Ta có: n=100; f = 228 =0,228 1000
Ta có: { nf=228≥10
n (1−f )=772 ≥10 Độ tin cậy 99% =u ≈ 2,5758
⟹ 1−α=0,99⟹ α=0,01 ⟹ uα 0,005 2
Công thức ước lượng tỷ lệ u2 u2 α α 2 2 f + 2 u u 2 u u α α f + α α 2 n 2n − 2
√f(1−f)+ 2<p< + 2 √f(1−f)+ 2 u2 u2 n 4 n2 u2 u2 n 4 n2 α α α α 1+ 2 1+ 2 1+ 2 1+ 2 n n n n 0,228+ 2,57582 0,228+ 2,57582 2 ∙1000 − ) 2∙ 1000 (1− ⟹
− 2,5758 √0,228(1 0,228 + 2,57582 <p< + 2,5758 √0,228 0,22 1000 4 ∙ 10002 1000 1+ 2,57582 1+ 2,57582 1+ 2,57582 1+ 2,57582 1000 1000 1000 1000
⟹ 0,1957< p<0,2639
Vậy tỷ lệ ngôi nhà ở thành phố này được sưởi ấm bằng dầu nằm trong khoảng (19,57 %;26,39 % )
9.52. Compute 95% confidence intervals, using both methods on page 297, for the
proportion of detective items in a process when it is found that a sample of size 100 yields 8 defectives.
Với độ tin cậy 95%, sử dụng cả hai phương pháp ở trang 297, ước lượng tỷ lệ các
sản phẩm bị lỗi trong một quy trình khi người ta tìm ra trong một mẫu 100 sản
phẩm cho ra 8 sản phẩm bị lỗi. Giải Phương pháp 1
Gọi p là tỷ lệ các sản phẩm bị lỗi trong một quy trình
f là tỷ lệ các sản phẩm bị lỗi trên mẫu điều tra
Ta có: n=100 ;f = 8 =0,08 100
Công thức ước lượng tỷ lệ các sản phẩm bị lỗi trong một quy trình là:
f −u √f (1−f )<p<f +u √f (1−f ) α n α n 2 2
Độ tin cậy 95% ⟹1−α=0,95⟹α=0,05⟹ u =u ≈ 1,96 α 0,025 2
Thay các giá trị vào công thức ước lượng ta được: − ) (1− )
0,08−1,96 √0,08(1 0,08 <p<0,08+1,96√0,08 0,08 100 100
⟹ 0,0268< p<0,1332
Vậy tỷ lệ các sản phẩm bị lỗi trong một quy trình nằm trong khoảng (2,68 %;13,32 % ) Phương pháp 2
Gọi p là tỷ lệ các sản phẩm bị lỗi trong một quy trình
f là tỷ lệ các sản phẩm bị lỗi trên mẫu điều tra
Ta có: n=100 ;f = 8 =0,08 100
Độ tin cậy 95% ⟹1−α=0,95⟹α=0,05⟹ u =u ≈ 1,96 α 0,025 2
Công thức ước lượng tỷ lệ: 2 2 u u α α 2 2 f + 2 u u 2 u u α α f + α α 2 n − 2
√f(1−f)+ 2< 2n p< + 2 √f(1−f)+ 2 2 2 2 2 u u n 4 n2 u u n 4 n2 α α α α 1+ 2 1+ 2 1+ 2 1+ 2 n n n n 0,08+ 1,962 0,08+ 1,962 2 ∙100 2∙ 100 ⟹
− 1,96 √0,08 (1−08)+ 1,962 <p< + 1,96 √0,08(1−08)+ 1,962 100 4 ∙1002 100 4 ∙1002 1+ 1,962 1+ 1,962 1+ 1,962 1+ 1,962 100 100 100 100
⟹ 0,041< p<0,15
Vậy tỷ lệ các sản phẩm bị lỗi nằm trong khoảng (4,1% ;15 %)
9.53. (a) A random sample of 200 voters in a town is selected, and 114 are found to
support an annexation suit. Find the 96% confidence interval for the fraction of the voting population favoring the suit.
(b) What can we assert with 96% confidence about the possible size of our error if we
estimate the fraction of voters favoring the annexation to be 0.57?
(a) Chọn mẫu ngẫu nhiên gồm 200 cử tri ở một thị trấn và tìm thấy 114 người ủng
hộ vụ kiện sáp nhập. Tìm khoảng tin cậy 96% cho tỷ lệ người bỏ phiếu ủng hộ vụ kiện.
(b) Chúng ta có thể khẳng định điều gì với độ tin cậy 95% về mức độ sai sót có thể
xảy ra nếu chúng ta ước tính tỷ lệ cử tri ủng hộ vụ kiện sáp nhập là 0,57? Giải
(a) Gọi p là tỷ lệ người bỏ phiếu ủng hộ vụ kiện
f là tỷ lệ người bỏ phiếu ủng hộ vụ kiện trên mẫu điều tra Ta có: n=200 f = 114 =0,57 200
Ta có: { nf=114≥10
n(1−f )=86 ≥ 10
⟹ Công thức ước lượng tỷ lệ người bỏ phiếu ủng hộ vụ kiện là:
f −u √f (1−f ) <p<f +u √f (1−f ) α n α n 2 2
Độ tin cậy 96% ⟹1−α=0,96⟹ α=0,04 ⟹ u =u =2,0537 α 0,02 2
Thay các giá trị vào công thức ước lượng ta được: 0,4981< p<0,6419
Vậy tỷ lệ người bỏ phiếu ủng hộ vụ kiện nằm trong khoảng (49,81%; 64,19%)
(b) Độ chính xác khi ước lượng tỷ lệ:
ε =u √f (1−f ) =2,0537√0,57(1−0,57) ≈0,0719 α n 200 2
Vậy nếu chúng ta ước tính tỷ lệ cử tri ủng hộ vụ kiện sáp nhập là 0,57 thì mức
độ sai sót không vượt quá 0,0719.
9.54. A manufacturer of MP3 players conducts a set of comprehensive tests on the electrical
functions of its product. All MP3 players must pass all tests prior to being sold. Of a random
sample of 500 MP3 players, 15 failed one or more tests. Find a 90% confidence interval for the
proportion of MP3 players from the population that pass all tests.
Một nhà sản xuất máy nghe nhạc MP3 tiến hành một loạt các thử nghiệm toàn diện
về chức năng điện của sản phẩm. Tất cả máy nghe nhạc MP3 phải vượt qua tất cả
các bài kiểm tra trước khi được bán. Trong số 500 mẫu máy nghe nhạc MP3 ngẫu
nhiên, có 15 chiếc không đạt một hoặc nhiều bài kiểm tra. Tìm khoảng tin cậy 90%
cho tỷ lệ máy nghe nhạc MP3 trong tổng thể vượt qua tất cả các bài kiểm tra. Giải
Gọi p là tỷ lệ máy nghe nhạc MP3 trong tổng thể vượt qua tất cả các bài kiểm tra
f là tỷ lệ máy nghe nhạc MP3 trong tổng thể vượt qua tất cả các bài kiểm tra trên mẫu điều tra Ta có: n=500 f = 500−15 =0,97 500
Ta có: { nf =485≥10
n (1−f )=15 ≥10
⟹Công thức ước lượng tỷ lệ cho máy nghe nhạc MP3 trong tổng thể vượt qua tất cả các bài kiểm tra là
f −u √f (1−f )<p<f +u √f (1−f ) α n α n 2 2
Độ tin cậy 90% ⟹1−α=0,9⟹α=0,1 ⟹ u =u ≈ 1,64485 α 0,05 2
Thay các giá trị vào công thức ước lượng ta được: − )
0,57−1,64485 √0,57(1 0,57 <p<0,57+1,64485 √0,57(1−0,57) 200 200
⟹ 0,9575< p<0,9825
Vậy tỷ lệ máy nghe nhạc MP3 trong tổng thể vượt qua tất cả các bài kiểm tra nằm
trong khoảng (95,75%; 98,25 %)
9.55. A new rocket-launching system is being considered for deployment of small, short-range
rockets. The existing system has p=0.8 as the probability of a successful launch. A sample of 40
experimental launches is made with the new system, and 34 are successful.
(a) Construct a 95% confidence interval for p
(b) Would you conclude that the new system is better?
Một hệ thống phóng tên lửa mới đang được xem xét để triển khai các tên lửa nhỏ,
tầm ngắn. Hệ thống hiện tại có p=0,8là xác suất khởi chạy thành công. Một mẫu
gồm 40 lần phóng thử nghiệm được thực hiện với hệ thống mới và 34 lần thành công.
(a) Hãy xây dựng khoảng tin cậy 95% cho p
(b) Bạn có kết luận rằng hệ thống mới tốt hơn không? Giải
(a) Gọi p'là tỷ lệ khởi chạy thành công của hệ thống phóng tên lửa mới
f là tỷ lệ khởi chạy thành công của hệ thống phóng tên lửa mới trên mẫu điều tra Ta có:n=40 f = 34 =0,85 40 > Ta có: { np=32 5
n (1−f )=8>5
Công thức ước lượng tỷ lệ khởi chạy thành công của hệ thống phóng tên lửa là:
f −u √f (1−f )<p'<f+u √f (1−f) α n α n 2 2
Độ tin cậy 95% ⟹1−α=0,95⟹ α=0,05 ⟹ u =u ≈ 1,95996 α 0,025 2
Thay các giá trị vào công thức ước lượng ta được: − )
0,85−1,95996 √0,85(1 0,85 <p'<0,85+1,95996√ 0,85(1−0,85) 40 40
⟹ 0,7393< p ' <0,9707
Vậy tỷ lệ khởi chạy thành công của hệ thống phóng tên lửa mới nằm trong khoảng (73,93 %;96,07 %)
(b) Không thể kết luận rằng hệ thống mới tốt hơn hệ thống cũ.
9.56. A geneticist is interested in the proportion of African males who have a certain minor
blood disorder. In a random sample of 100 African males, 24 are found to be afflicted.
(a) Compute a 99% confidence interval for the proportion of African males who have this blood disorder.
(b) What can we assert with 99% confidence about the possible size of our error if we estimate
the proportion of African males with this blood disorder to be 0,24?
Một nhà di truyền học quan tâm đến tỷ lệ nam giới châu Phi mắc chứng rối loạn
máu nhẹ nhất định. Trong 1 mẫu ngẫu nhiên gồm 100 nam giới châu Phi, 24 người
được phát hiện mắc chứng bệnh này.
(a) Tính khoảng tin cậy 99% cho tỷ lệ nam giới châu Phi mắc chứng rối loạn máu này.
(b) Chúng ta có thể khẳng định điều gì với độ tin cậy 99% về mức độ sai sót có thể
xảy ra nếu chúng ta ước tính tỷ lệ nam giới châu Phi mắc chứng rối loạn máu này là 0,24? Giải
(a) Gọi plà tỷ lệ nam giới châu Phi mắc chứng rối loạn máu
f là là tỷ lệ nam giới châu Phi mắc chứng rối loạn máu trên mẫu điều tra Ta có: n=100 f = 24 =0,24 100
Ta có:{ nf=24≥10
n(1−f )=76 ≥ 10
⟹ Công thức ước lượng tỷ lệ tỷ lệ nam giới châu Phi mắc chứng rối loạn máu là:
f −u √f (1−f )<p<f +u √f (1−f ) α n α n 2 2
Độ tin cậy 99% ⟹1−α=0,99⟹ α=0,01 ⟹u =U ≈ 2,5758 α 0,005 2
Thay các giá trị vào công thức ước lượng ta được:
0,24−2,5758 √ 0,24(1−0,24 )<p<0,24+2,5758√ 0,24(1−0,24) 100 100
⟹ 0,1300< p<0,3500
Vậy tỷ lệ nam giới châu Phi mắc chứng rối loạn máu nằm trong khoảng (13%;35% )
(b) Mức độ sai sót có thể xảy ra nếu chúng ta ước tính tỷ lệ nam giới châu Phi mắc
chứng rối loạn máu là 0,24 là − )
ε =u √ f (1−f )=2,5758√0,24(1 0,24 =0,11 α n 100 2
9.57. (a) According to a report in the Roanoke Times World-News, appoximately 2/3 of
1600 adults polled by telephone said they think the space shuttle program is a good
investment for the country. Find a 95% confidence interval for the proportion of American
adults who think the space shuttle program is a good investment for the country.
(b) What can we assert with 95% confidence about the possible size of our error if we
estimate the proportion of American adults who think the space shuttle program is a good investment to be 2/3?
(a) Theo một bài báo trên Roanoke Times World-News, khoảng 2/3 trong số 1600
người lớn được thăm dò qua điện thoại cho biết họ nghĩ rằng chương trình tàu con
thoi là một khoản đầu tư tốt cho đất nước. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ người
lớn ở Mỹ cho rằng chương trình tàu con thoi là một khoản đầu tư tốt cho đất nước.
(b) Chúng ta có thể khẳng định với độ tin cậy 95% về mức độ sai sót có thể xảy ra
nếu chúng ta ước lượng tỷ lệ người lớn ở Mỹ cho rằng chương trình tàu con thoi là
một khoản đầu tư tốt là 2/3 bằng bao nhiêu? Giải
a) Gọi p là tỷ lệ người lớn cho rằng chương trình tàu con thoi là một khoản đầu tư tốt.
f là tỷ lệ người lớn cho rằng chương trình tàu con thoi là một khoản đầu tư tốt trên mẫu điều tra. Ta có: n=1600 f = 23 2 =1066,67≥10 3
Xét điều kiện: { nf=1600⋅
n (1−f )=1600 ⋅(1−2 )=533,33≥10 3
⟹ Công thức ước lượng tỷ lệ người lớn ở Mỹ cho rằng chương trình tàu con thoi
là một khoản đầu tư tốt là:
f −u √f (1−f )<p<f +u √f (1−f ) α n α n 2 2
Độ tin cậy 95% ⟹1−α=0,95⟹ α=0,05 ⟹ u =u =1,96 α 0,025 2
Thay kết quả vào công thức ước lượng ta được: (1−2) (1−2) 2 3 3 − √23 √23 1,96 < p <2 +1,96 3 1600 3 1600
⟹ 0,6436< p<0,6898
Vậy tỷ lệ người lớn ở Mỹ cho rằng chương trình tàu con thoi là một khoản đầu tư
tốt cho đất nước nằm trong khoảng (64,36%;68,98 %)
b) Độ chính xác khi ước lượng tỷ lệ √2(1−2) 3 3
ε =u √f (1−f )=1,96 =0,0231 α n 1600 2
Vậy nếu chúng ta ước lượng tỷ lệ người lớn ở Mỹ cho rằng chương trình tàu con
thoi là một khoản đầu tư tốt là 2 thì mức độ sai sót không vượt quá 0,0231. 3
9.58. In the newspaper article referred to in Exercise 9.57, 32% of the 1600 adults polled
said the U.S space program should emphasize scientific exploration. How large a sample
of adults is needed for the poll if one wishes to be 95% confident that the estimated
percentage will be within 2% of the true percentage?
Trong bài báo được đề cập trong bài 9,57, 32% trong số 1600 người lớn được thăm
dò cho biết chương trình vũ trụ của Mỹ nên nhấn mạnh vào việc khám phá khoa
học. Cần điều tra thêm bao nhiêu người nữa nếu muốn đạt độ tin cậy 95% biết rằng
tỷ lệ phần trăm ước lượng nằm trong khoảng 2% so với tỷ lệ thực tế. Giải
Gọi n là kích thước mẫu mới cần điều tra tương ứng với ε =2%=0,02 0 0
f là tỷ lệ người lớn cho rằng chương trình nên nhấn mạnh vào việc khám phá 0 khoa học. Ta có: f =32%=0,32 0
Độ chính xác của ước lượng tỷ lệ về việc điều tra người lớn cho rằng chương trình
nhấn mạnh vào việc khám phá khoa học là: (1−f )
ε =u √f 0 0 0 α n 2
Độ tin cậy 95%: ⟹1−α=0,95 ⟹ α=0,05 ⟹ u =u =1,96 α 0,025 2
Thay số liệu vào công thức ta có:
ε =0,02=1,96 √0,32(1−0,32) 0 n0 ⟹ n =2089,8304 0
Chọn n =2090nên cần điều tra thêm 0
n −n=2090−1600=490 (người) 0
Vậy nếu muốn đạt độ tin cậy 95% với độ chính xác ε =0,02 thì cần điều tra thêm 0 490 người.
9.59. How large a sample is needed if we wish to be 96% confident that our sample
proportion in Exercise 9.53 will be within 0,02 of the true fraction of the voting population?
Người ta muốn độ tin cậy 96% với tỷ lệ mẫu trong bài tập 9.53 nằm trong khoảng
0.02 phần thực tế của tổng thể bỏ phiếu. Hỏi kích thước mẫu cần lấy là bao nhiêu? Giải
Ta có: 1−α=0,96⟹ α=0,04
Gọi n là kích thước mẫu cần lấy tương ứng với độ chính xác 0,5 ε =0,02 ⟺ ⋅ 2,0537=0,02 0 √ n
⟹ √n≈ 51,3425 ⟹ n ≈ 2636,0523
Vậy kích thước mẫu cần lấy là 2637.
9.60. How large a sample is needed if we wish to be 99% confident that our sample
proportion in Exercise 9.51 will be within 0,05 of the true proportion of homes in the city that are heated by oil?
Người ta muốn độ tin cậy 99% với tỷ lệ mẫu trong bài tập 9.51 nằm trong khoảng
0,05 tỷ lệ thực sự của các ngôi nhà trong thành phố được sưởi ấm bằng dầu. Vậy
cần lấy kích thước mẫu là bao nhiêu? Giải Ta có: ε=0,05 f = 228 =0,228 1000
Độ tin cậy 99% ⟹ 1−α=0,99⟹ α=0,01 ⟹ u =u ≈ 2,5758 α 0,005 2
Gọi n là kích thước mẫu cần lấy tương ứng với độ chính xác ε =0,05 0 0
Độ chính xác của ước lượng tỷ lệ là: ε =u √f(1−f ) 0 α n 2
⟹ √n≈ 21,6131 ⟹ n ≈ 467,1285
Vậy kích thước mẫu cần lấy là 468.
9.61. How large a sample is needed in Exercise 9.52 if we wish to be 98% confident
that our sample proportion will be within 0,05 of the true proportion defective?
Cần một mẫu lớn như thế nào trong bài tập 9.52 nếu chúng ta muốn tin cậy 98%
rằng tỷ lệ mẫu của chúng ta sẽ nằm trong khoảng 0,05 so với tỷ lệ thực tế bị lỗi? Giải
Gọi n là kích thước mẫu cần tìm với độ chính xác là ε =0,05 (sản phẩm) 0 0
Độ chính xác khi ước lượng tỷ lệ:
ε =u √f(1−f ) 0 α n 2 0 )2
⟹ n =(uα2 f (1−f) 0 ε0
Với f =0,08 ; ε =0,05 0
Độ tin cậy 98% ⟹1−α=0,98⟹ α=0,02 ⟹ u =u ≈ 2,3263 α 0,01 2
Thay các giá trị vào công thức tính n ta được: 0
n =(2,3263)2⋅0,08(1−0,08)=159,3196 0 0,05
Chọn n =160⟹ cần tìm ra mẫu lớn hơn 160 sản phẩm để thỏa mãn yêu cầu bài 0 toán.
9.62. A conjecture by a faculty member in the microbiology department at Washington
University School of Dental Medicine in St. Louis, Missouri, states that a couple of cups
of either green or oolong tea each day will provide sufficient fluoride to protect your
teeth from decay. How large a sample is needed to estimate the percentage of citizens in
a certain town who favor having their water fluoridated if one wishes to be at least 99%
confident that the estimate is within 1% of the true percentage?
Một phỏng đoán của một giảng viên khoa vi sinh vật tại trường y khoa nha khoa
thuộc đại học Washington ở St. Louis, Missouri, tuyên bố rằng một vài tách trà
xanh hoặc trà ô long mỗi ngày sẽ cung cấp đủ fluoride để bảo vệ răng của bạn khỏi
sâu răng. Cần một mẫu lớn như thế nào để ước tính tỷ lệ phần trăm công dân ở một
thị trấn nhất định ủng hộ việc sử dụng nước có fluoride nếu người ta muốn tin cậy
ít nhất 99% rằng ước tính này nằm trong khoảng 1% của tỷ lệ thực tế? Giải
Gọi f là tỷ lệ công dân ở một thị trấn nhất định ủng hộ việc sử dụng nước có
fluoride n là kích thước mẫu cần tìm với độ chính xác ε =0,01 0 0 Giả sử: f =0,5
Độ chính xác khi ước lượng tỷ lệ:
ε =u √f (1−f ) 0 α n 2 0
Với độ tin cậy 99% ⟹1−α=0,99⟹ α=0,01 u =u ≈ 2,5758 α 0,005 2
Thay các giá trị vào công thức tính độ chính xác, ta được: 0,01=2,5758 √0,5(1−0,5) n0 ⟹ n =16586,8641 0
Chọn n =16587 ⟹Mẫu lớn cần thiết để ước tính tỷ lệ phần trăm công dân ở một thị 0
trấn nhất định ủng hộ việc sử dụng nước có fluoride nếu muốn đạt độ tin cậy 99%
với độ chính xác ε =0,01 là 16587. 0