Bài tập luyện tập tích phân - Toán cao cấp c2 | Trường Đại Học Duy Tân

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1. Tốc độ thay đổi của doanh số bán hàng sau t tháng là S 't   60 t (đvsp/tháng).
Hiện tại doanh số bán hàng đạt 27000 đvsp. Xác định khoảng thời gian để doanh số bán hàng đạt 40720 đvsp.
Câu 2. Cho hàm chi phí cận biên khi sản xuất x đvsp là C x  2 '
 0.3x  2x (đvtt/đvsp).
Tìm hàm chi phí? (với K là hằng số bất kì) 6  000
Câu 3. Giá cận biên khi bán ra x đvsp là p' x  (đvtt/đvsp). Nế  u giá bán là 3x  502
6.5 đvtt khi bán ra 250 đvsp, hãy xác định số lượng sản phẩm cần bán để giá bán là 8 đvtt. 1
Câu 4. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân dy  dx y  . 2y  , biết   1 0 5
Câu 5. Cho tốc độ thay đổi lợi nhuận sau t năm là '  2 t P t t te   (đvtt/năm). Tính lợi
nhuận thu được trong 10 năm đầu tiên.
Câu 6. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình vi phân?
A. sin x  0 B. x  y  1 C. 3 2
y  4y  6y  8  0 D.
Câu 7. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là phương trình vi
phân tách biến độc lập? dx 2 A. B. 2 xdx  y dy C.  y D. y '  2x dy
Câu 8. Tính từ năm 2015, dân số tăng trưởng với tốc độ là   1.3 ' 40 t P t e (người/năm).
Dân số của năm 2016 là 45000 người, tính dân số vào năm 2025.
Câu 9. Sự thay đổi của chi phí sản xuất khi lượng sản phẩm x tăng từ 600 đvsp đến 700 b
đvsp được xác định bởi biểu thức tích phân: C   C'
  xdx. Xác định giá trị của a, b. a
Câu 10. Chi phí cận biên khi sản xuất và bán ra x đvsp là C ' x   x  50 (đvtt/đvsp).
Nếu chi phí cố định là 2000 đvtt, tính chi phí trung bình của một đvsp khi sản xuất 100 đvsp.
Câu 11. Tốc độ thay đổi của giá bán sau t tháng là p 't (đvtt/tháng), tính từ đầu tháng 2/2022. Viết í
t ch phân xác định biểu diễn sự thay đổi của giá bán từ đầu tháng 4/2022 đến cuối tháng 8/2022? 2
Câu 12. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y '  . x 1
Câu 13.Một tạp chí thời trang trực tuyến có 64,000 thuê bao. Do sự cạnh tranh của một 1
tạp chí mới, số thuê bao C(t) dự kiến sẽ giảm với tốc độ 3 C '(t)  600  t thuê bao mỗi
tháng, với t là thời gian tính bằng tháng kể từ khi tạp chí mới bắt đầu xuất bản. Sau bao lâu
thì số lượng thuê bao của tạp chí thời trang trực tuyến này giảm xuống còn 46,000?
Câu 14.Tốc độ biến thiên của doanh số hàng tháng của một game bóng đá mới phát hành 1 được cho bởi 4 S '(t)  500  t
và S(0) = 0với t là số tháng kể từ khi trò chơi được phát
hành và S(t) là số lượng bản game bán được từng tháng. Tìm S(t).
Câu 15.Tìm hàm doanh thu R(x) khi hàm doanh thu cận biên là R’(x) = 400 – 0.4x và
doanh thu bằng 0 tại mức không sản phẩm. Doanh thu tại mức 1000 sản phẩm là bao nhiêu?
Câu 15.Một công ty sản xuất xe đạp leo núi. Bộ phận nghiên cứu chỉ ra hàm chi phí cận x biên C '(x) 500 
với C'(x) tính bằng đôla và x là số lượng xe đạp sản xuất mỗi tháng. 3
Hãy tính toán mức tăng chi phí khi tăng mức sản xuất từ 300 xe mỗi tháng tới mức 900 xe mỗi tháng.
Câu 16. Tìm hàm lợi nhuận P(x) khi hàm lợi nhuận cận biên là 500 – 0.4x và lợi nhuận
bằng 0 tại mức không sản phẩm. Tính lợi nhuận tại mức 2000 sản phẩm là bao nhiêu?
Câu 17. Doanh thu cận biên hàng tuần khi bán x sản phẩm được cho bởi
R '(x) 100  2x
với R(x) là doanh thu tính bằng đôla. Hãy tính doanh thu sẽ tăng bao nhiêu khi mức bán
tăng từ 200 sản phẩm đến 300 sản phẩm
Câu 18. Khi một liều thuốc được tiêm cho một bệnh nhân, lượng thuốc Q trong cơ thể
sau đó giảm với tốc độ tỉ lệ thuận với lượng thuốc hiện còn như sau: dQ/dt = -0.3Q,
với t là thời gian tính bằng giờ. Biết lượng thuốc tiêm ban đầu là 4ml. Hỏi sau 5 giờ,
lượng thuốc còn lại trong cơ thể là bao nhiêu?
Câu 19. Doanh thu cận biên hàng tuần khi bán x đôi giày quần vợt được cho bởi 200 R'( )
x  50  0.2 x  x 1
với R(x) là doanh thu tình bằng đôla. Biết R(1)= 200. Tìm doanh thu khi bán 100 đôi giày.
Câu 20. Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x năm tính từ năm 2015, dân số của thành phố A
sẽ tăng với tốc độ f x   2 '( )
9x  4x  5  người/năm. Biết năm 2018, dân số của thành phố A là 0
6 0000 người. Hỏi dân số của thành phố là bao nhiêu vào năm 2025?
Câu 21. Diện tích A của một vết thương đang lành thay đổi với tốc độ A’(t) = -8t-3, với t
là số ngày. Biết A(1) = 4 cm2. Tính diện tích vết thương sau 8 ngày?
Câu 22. . Cho hàm nhu cầu 0,05 ( ) 100 x p D x e  
Tìm giá trung bình (tính bằng USD)
trên khoảng cung ứng [200, 300]. 1 b
Tìm giá bán trung bình (tính bằng usd) trên khoảng nhu cầu [40, 60]. AV 
 f (x)dx b  a a
Câu 23. Cho hàm cung ứng 0,05 ( ) 10 x p S x e  
Tìm giá trung bình (tính bằng USD) trên khoảng cung ứng [20, 30].
Câu 24. Tổng chi phí (tính bằng USD) của việc sản xuất x khung thân xe ô tô là C(x) = 60000 + 300x.
Tìm chi phí trung bình/sản phẩm nếu sản xuất 500 đơn vị. Tìm giá trị trung bình của hàm
chi phí trên đoạn [0, 500].
Câu 25. Tốc độ thay đổi của số người tham gia bầu cử tại một thành phố là hàm theo thời 100 gian t (đơn vị: năm) t N '(t )  (nghìn người/năm) 2 2 (1 t )
trong đó, N(t) là số người tham gia bầu cử tại thời điểm sau t nam kể từ bây giờ (đơn vị
nghìn người). Tính số người tham gia bầu cử sẽ tăng bao nhiêu sau trong 3 năm tới?
Câu 26. Giả sử số hàng tồn đọng trong kho sau t tháng kể từ đầu năm được tính xấp xỉ bằng 2
I (t) 10  36t  3t (0  t 12)
Số hàng tồn kho trung bình trong quý hai của năm là bao nhiêu?
Câu 27. Giá cận biên của mức cung cấp x chai nước giặt áo quần mỗi tuần được cho bởi 300 p'( ) x  2 (3x  25)
Tìm biểu thức giá theo mức cung cấp nếu nhà phân phối nước giặt sẵn sàng cung cấp 75
chai nước giặt mỗi tuần với giá $5.00 mỗi chai. Nhà cung cấp sẵn sàng cung cấp bao nhiêu
chai với giá $5.15 mỗi chai?
Câu 28. Doanh thu cận biên hàng tuần khi bán x đôi giày quần vợt đ ợ ư c cho bởi 200
R '(x)  40  0.02x  x  1
với R(x) là doanh thu tình bằng đôla. Tìm hàm doanh thu biết R(1)= 200. Tìm doanh
thu khi bán 1,000 đôi giày.
Câu 29. Một công ty ô tô sẵn sàng để giới thiệu một dòng xe hybrid thông qua một đợt
bán hàng trong nước. Sau khi tiếp thị dòng xe trong một thành phố, bộ phận nghiên cứu thị
trường ước tính doanh thu (tính bằng triệu đôla) sẽ tăng với tốc độ hàng tháng là 0  .1 '( ) 10 1  0 t S t e
0  t  24
t là số tháng kể từ khi đợt bán hàng bắt đầu.
a) Tổng doanh thu S(t) sẽ là bao nhiêu sau t t
háng kể từ khi bắt đầu đợt bán hàng trong
nước nếu ta giả sử doanh thu bằng 0 khi bắt ầ đ u?
b) Ước tính tổng doanh thu 12 tháng đầu tiên của đợt bán hàng là bao nhiêu?
c) Ước tính khi nào thì tổng doanh thu đạt 100 triệu đôla?
Câu 30. Một bộ phận mới của thiết bị máy móc sẽ giảm giá trị, nhanh vào lúc đầu và sau đó giảm c ậ
h m hơn. Giả sử rằng tốc độ (tính bằng đôla / năm) giảm giá trị trên sổ sách của
một máy phay mới được cho xấp xỉ bằng
V '(t)  500(t  12)
với V(t) là giá trị của máy sau t năm. Tính tổng tổn thất về giá trị của máy trong 5 năm đầu
tiên bằng bao nhiêu? Trong năm thứ hai? Thiết lập tích phân thích hợp và tính. 1000
Câu 31. Cho hàm cầu p  D(x) 
. Tính giá bán trung bình (tính bằng USD) trên x khoảng nhu cầu [400; 600]
Câu 32. Cho hàm cung 0,02  ( ) 10(e x p S x
1) . Tính giá bán trung bình (tính bằng USD)
trên khoảng nhu cầu [20; 30].
Câu 33. Một công ty sản xuất ván trượt tuyết phải tốn chi phí cố định là $25,000 và chi 250  10x
phí cận biên là C '( ) x 
trong đó, C(x) là tổng chi khi khi sản xuất x cặp ván 1  0,05x
trượt. Tìm hàm chi phí C(x) và xác định lượng sản phẩm (làm tròn đến phần nguyên) cần
sản xuất nếu chi phí sản xuất là $150,000. Chi phí (làm tròn đến đơn vị đô la) khi sản xuất
850 cặp ván trượt là bao nhiêu?
Câu 34. Doanh thu cận biên của một công ty khi sản xuất và bán ra x máy tính mỗi tuần x
được cho bởi R'( ) x  ; ( R 0)  0 1 2x
trong đó, R(x) là doanh thu (đơn vị: đô la). Tìm hàm doanh thu và số lượng máy tính cần
bán (làm tròn đến phần nguyên) để doanh thu đạt được $10,000 mỗi tuần. Doanh thu thu
được là bao nhiêu (làm tròn đến đơn vị đô la) nếu công ty bán được 1,000 máy tính mỗi tuần?