Bài tập mặt nón, mặt trụ, mặt cầu – Diệp Tuân Toán 12

MỤC LỤC

CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU 1

1.MẶT TRÒN XOAY-MẶT NÓN

A. Lý thuyết……………………………………………………………………………………………………………1

B. Phân dạng, bài tập minh họa và câu hỏi trắc nghiệm………………………………………….....4

Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản

 

,,r l h

của hình nón. Tính

,,

xq tp

S S V

……………….4

Dạng 2. Thiết diện của mặt nón............….……………………………………………………….....….24

Trường hợp 1. Thiết diện qua trục của hình nón…………………………..…………………24

Trường hợp 2. Thiết diện qua đỉnh của hình nón………...………………..…………………32

Trường hợp 3. Thiết diện vuông góc với trục hình nón và song song mặt đáy...…53

Trường hợp 4. Thiết diện cắt mọi đường sinh của hình nón……………………….....…58

Trường hợp 5. Thiết diện song song với đường sinh của hình nón…………..….....…58

Dạng 3. Sự tạo thành hình nón.……………….…………………………………………...………….....59

Trường hợp 1. Hình nón tạo thành khi quay



vuông quanh cạnh góc vuông…...59

Trường hợp 2. Hình nón tạo thành khi quay



bất kỳ………………………………...…...62

Trường hợp 3. Hình nón tạo thành khi quay tam giác quanh đường cao……..……64

Trường hợp 4. Hình nón tạo thành khi quay hình thang quanh đường cao……….65

Dạng 4. Mặt nón ngoại tiếp và nội tiếp ..............................…………………………………….......68

2.MẶT TRỤ

A. Lý thuyết……………………………………………………………………………………………………….....81

B. Phân dạng, bài tập minh họa và câu hỏi trắc nghiệm…………………………………………..83

Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản

 

,,r l h

của hình trụ. Tính

,,

xq tp

S S V

……….……...83

Dạng 2. Sự tạo thành hình trụ………………………………………………………………...………….94

Dạng 3. Thiết diện của mặt trụ............….…………………..…………………………………….......108

Trường hợp 1. Thiết diện qua trục của hình trụ…………………………..………………...108

Trường hợp 2. Thiết diện không qua trục và song song với trục của hình trụ….116

Trường hợp 3. Thiết diện cắt trục của hình trụ và tạo với hình trụ một góc



...122

Dạng 4. Mặt trụ nội tiếp và ngoại tiếp ..............................................................……….......138

Trường hợp 1. Mặt trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật …………………….….…………...138

Trường hợp 2. Mặt trụ nội tiếp hình lăng trụ đứng……………………………………...…139

Trường hợp 3. Mặt trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều..…141

3.MẶT CẦU

A. Lý thuyết………………………………………………………………………………………………………..160

B. Phân dạng, bài tập minh họa và câu hỏi trắc nghiệm…………………………………………165

Dạng 1. Chứng minh các điểm nằm trên mặt cầu. Tính

,.SV

…………..………………...165

Dạng 2. Xác định mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện…….………………………………………..182

Trường hợp 1. Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng.…………………….…..………....182

Trường hợp 2. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy..…190

Trường hợp 3. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có các cạnh bên cách đều cácđỉnh209

Trường hợp 4. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp mặt bên vuông góc với mặt đáy…219

Trường hợp 5. Mặt cầu cầu ngoại tiếp hình chóp bất kỳ…………………………………225

Trường hợp 6. Mặt cầu cầu ngoại tiếp hình nón…………..………………………………...230

Trường hợp 7. Mặt cầu cầu ngoại tiếp hình trụ…………..………………………………….236

Dạng 3. Xác định mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ, hình trụ và hình nón.…………………239

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương II- Bài 1. Mặt Nón

1

Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

2

MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU

A – L THUY󰈸T

I. SỰ TẠO THÀNH MẶT TRÒN XOAY

Trong không gian cho mp

 

P

chứa đường thẳng



và một đường

 



.

Khi quay mặt phẳng

 

P

quanh



một góc

360

thì mỗi điểm

M

trên

 



vạch ra một đường tròn có tâm

O

thuộc



và nằm trên mặt phẳng

vuông góc với



.

Như vậy khi quay mặt phẳng

 

P

quanh đường thẳng



thì

 



sẽ tạo

nên được một hình gọi là

mặt tròn xoay.

Trong đó:

 Đường

 



được gọi là

đường sinh

của mặt tròn xoay;

 Đường thẳng



được gọi là

trục

của mặt tròn xoay.

II. MẶT NÓN TRÒN XOAY

1. Định nghĩa mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng

 

P

cho hai đường thẳng

d

và



cắt nhau tại

điểm

O

và tạo thành góc



(với

0 90



).

Khi quay mặt phẳng

 

P

xung quanh



thì đường thẳng

d

sinh ra

một mặt tròn xoay được gọi là

mặt nón tròn xoay

đỉnh

O

.

 Gọi tắt là mặt nón tròn xoay.

Trong đó:

 Đường thẳng



được gọi là

trục

;

 Đường thẳng

d

được gọi là

đường sinh

;

 Góc

2



được gọi là

góc ở đỉnh

.

2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay

2.1. Hình nón tròn xoay

Cho

IOM

vuông tại

I

. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh

vuông góc

OI

thì đường gấp khúc

IOM

tạo thành một hình được

gọi là

hình nón tròn xoay

, gọi tắt là

hình nón.

Trong đó

 Hình tròn tâm

I

sinh bởi các điểm thuộc cạnh

IM

khi

IM

quay

quanh trục

OI

được gọi là

mặt đáy

của mình nón.

 Điểm

O

được gọi là

đỉnh

của hình nón.

 Độ dài đoạn

OI

được gọi là

chiều cao

của hình nón.

 Độ dài đoạn

OM

được gọi là độ dài

đường sinh

của hình nón.

 Phần mặt tròn xoay sinh bởi các điểm trên cạnh

OM

khi quay

quanh

OI

được gọi là

mặt xung quanh

của hình nón.

2.2. Khối nón tròn xoay

Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay

kể cả hình đó được gọi là

khối nón tròn xoay

hay còn gọi tắt

là

khối nón

.

Trong đó

 Điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón gọi là

điểm trong

của khối nón.

 Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của hình nón theo thứ

tự là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.

O

B

C

A

§BI 1. MẶT TRÒN XOAY - MẶT NÓN

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương II- Bài 1. Mặt Nón

2

Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón tròn xoay

3.1. Diện tích xung quanh của hình nón

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện

tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số

cạnh tăng lên vô hạn.

Công thức:

xq

S rl





.

Trong đó:

r

là bán kính đáy;

l

là độ dài đường sinh.

3.2. Diện tích toàn phần của hình nón

Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay là tổng diện tích

mặt đáy với diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay.

Công thức:

2

tp đáy xq

S S S r rl



   

.

3.3. Diện tích hình quạt

Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón theo một

đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta

sẽ được:

Một hình quạt có bán hính bằng độ dài đường

sinh của hình nón.

Một cung tròn có độ dài bằng chu vi đường tròn

đáy của hình nón.

Công thức:

quat xq

S S rl





.

4. Thể tích của khối nón tròn xoay

Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối

chóp đều nội tiếp khối nón khi đó số cạnh tăng lên vô hạn.

Công thức:

1

.

3

đáy

V S h

.

 Trong đó:

h

là chiều cao của khối nón.

Nếu đáy là hình tròn có bán kính

r

thì

2

1

3

V r h





.

 Ví dụ 1. Một hình nón tròn xoay có đường cao

20h cm

, bán kính đáy

25r cm

.

a). Tính diện tích xung quanh hình nón đ cho.

b). Tính diện tích toàn phần hình nón đ cho.

Lời giải.

..........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

O

B

C

A

O

B

C

A

O

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương II- Bài 1. Mặt Nón

3

Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

 Ví dụ 2. Một hình nón có đường kính đáy là

23a

, góc ở đỉnh là

0

120

. Tính thể tích của khối

nón đó theo

a

.

Lời giải.

..........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

5. Hình nón cụt

Hình nón cụt là phần nón giới hạn bởi mặt đáy và một thiết diện song

song với đáy.

Công thức

 Diện tích xung quanh

 

xq

S R r l





.

 Diện tích toàn phần

 

22

2tp đáy xq

S S S r R R r l



     

.

 Thể tích khối nón cụt

 

22

1

3

V h R r Rr



  

.

 Trong đó:

,Rr

là bán kính hai đáy;

h IJ

là độ cao hình chóp cụt.

6. Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng ( mặt cắt).

6.1. Thiết diện qua trục của hình

nón là tam giác cân.

6.2. Thiết diện qua đỉnh của

hình nón là những tam giác cân

có hai cạnh bên là hai đường

sinh của hình nón.

6.3. Thiết diện vuông góc với

trục của hình nón là những

đường tròn có tâm nằm trên

trục của hình nón.

 Ví dụ 3. Cho hình nón đỉnh

S

có chiều cao

ha

và bán kính đáy

2ra

. Mặt phẳng

 

P

đi

qua

S

cắt đường tròn đáy tại

A

,

B

sao cho

23AB a

. Tính khoảng cách

d

từ tâm đường tròn

đáy đến

 

P

.

A.

3

2

a

d 

. B.

da

. C.

5

a

d 

. D.

2

a

d 

.

Lời giải

..........................................................................................................................................................................................................

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương II- Bài 1. Mặt Nón

4