Bài Tập môn Toán Kinh tế 1 | Học Viện Ngân Hàng
Bài Tập môn Toán Kinh tế 1 | Học Viện Ngân Hàng với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
TS. LÊ TÀI THU (Chă biên)
ThS. HOÀNG THÞ THU HÀ - ThS. ĐÀM THÞ NGàC VÂN Bμi tËp to¸n KINH TÕ 1
(Tái bản lần thứ hai)
Nhμ xuÊt b¶n gi¸o dôc viÖt nam 2 êi nãi ®Çu
Toán kinh tế 1 là môn học bắt buộc dành cho sinh viên các hệ cao đẳng, đ¿i học
của chuyên ngành kinh tế. Để giúp sinh viên có thể tự học tốt môn học, củng cố các kiến
thức được giÁng d¿y trên lớp, dùng để ôn thi hết học phÁn, Bộ môn Toán, Học viện Ngân
hàng đã tổ chức biên so¿n cuốn Bài tập Toán kinh tế 1.
Kết c¿u của cuốn sách tương ứng với nội dung của giáo trình lý thuyết. Trong mỗi
chương được chia ra làm ba phÁn, phÁn 1 tóm tắt lý thuyết chính của chư n ơ g, phÁn 2 giới
thiệu các d¿ng bài tập và hướng dẫn cách làm, phÁn 3 là bài tập có kèm theo hướng dẫn và
đáp án. Mỗi chương đều giới thiệu một số ứng dụng trong các bài toán phân tích kinh tế
phù hợp với kiến thức được trang bị về kinh tế của sinh viên năm thứ nh¿t.
Nội dung cuốn bài tập này gồm 4 chương:
Chương 1. Hàm số một biến số
Chương 2. Hàm số nhiều biến số
Chương 3. Mô hình toán kinh tế
Chương 4. Bài toán quy ho¿ch tuyến tính
Hy vọng cuốn sách bài tập này sẽ giúp các b¿n sinh viên tự học tốt và nắm được
các kiến thức cơ bÁn của môn học. Nắm được các ứng dụng của Toán học trong kinh tế,
các ứng dụng này sẽ giúp các b¿n sinh viên học tốt hơn á các môn kinh tế và các môn chuyên ngành sau này.
Trong lÁn tái bÁn này, chúng tôi có bổ sung và chỉnh sửa một số chỗ để sách được
đÁy đủ và chính xác hơn, r¿t mong nhận được các ý kiến đóng góp quý báu từ b¿n đọc và các đồng nghiệp đ
ể lÁn xu¿t bÁn sau được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về:
Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng.
Điện thoại: 04.38522969
Email: letaithubmt@gmail.com
Trân trọng cám ơn !
Hà nội, tháng 8 năm 2020 CÁC TÁC GIÀ 3 Ch−¬ng 1 Hμm sè mét biÕn sè
A. TÓM TÄT LÝ THUY¾T
1.1. DÃY Sà VÀ GIàI H¾N CĂA DÃY Sà
1.1.1. Cấp sá cßng và cấp sá nhân
a) Cấp số cộng
C¿p số cộng với công sai d là dãy số{x } thỏa mãn: *
x ý x d, n
þ \{1}. n n n1
x ý x (n 1)d. n 1 n
S ý x x x ý
x n d n ... n 2 ( 1) . 1 2 1 2
b) Cấp số nhân
C¿p số nhân với công bội q là dãy số {x } thỏa mãn: *
x ý x .q, n
þ \{1}. n n n1 n 1 x x .q ý . n 1 x (1 n q ) 1
S ý x x ... x ý
(q 1). n 1 2 n 1 q
C¿p số nhân lùi vô h¿n nếu công bội q thỏa mãn | q |ü1. Khi đó x1 S ý
x ý x x ... x ... ý . õ n 1 2 n ý q n 1 1
1.1.2. Ąng dāng dãy sá trong phân tích tài chính
a) Lãi đơn
Gửi A đồng vào Ngân hàng trong n kỳ với lãi su¿t mỗi kỳ là r. Sau mỗi kỳ lãi
được rút ra chỉ để lại gốc cho kỳ sau, ta gọi là lãi đơn.
- Sau kỳ đÁu, tiền lãi là: rA và tổng giá trị là: u ý A rA ý(1 r) . A 1
- Sau 2 kỳ, tổng giá trị là: u ý A 2rA ý (1 2r) . A 2
- Sau n kỳ, tổng giá trị là: u ý A nrA ý (1 nr) . A n
Dãy số {u }là c¿p số cộng với công sai d ý r . A n
b) Lãi gộp (lãi kép)
Gửi A đồng vào Ngân hàng trong n kỳ với lãi su¿t mỗi kỳ là r. Sau mỗi kỳ lãi
được nhập vào gốc để tính lãi cho kỳ sau, ta gọi là lãi gộp (lãi kép). 4
- Sau kỳ đÁu, tổng giá trị là: u ý A rA ý ( A 1 r). 1
- Sau 2 kỳ, tổng giá trị là: 2 u ý ( A 1 r) (
A 1 r)r ý ( A 1 r) . 2
- Sau n kỳ, tổng giá trị là: u ý (
A 1 r)n. n
Dãy số {u } là c¿p số nhân với công bội q ý1 . r n
c) Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ
Gửi A đồng vào ngân hàng với lãi gộp r một năm thì giá trị tương lai của khoÁn A
đồng hôm nay sau t năm là: ý (1 )t B A r .
Giá trị hiện tại của khoÁn B đồng sẽ nhận được sau t năm: (1 ) t A B r ý .
Giá trị hiện tại ròng của một dự án là hiệu của giá trị hiện t¿i của khoÁn tiền sẽ thu
về trong tương lai và chi phí dự án: ý (1 )t NPV B r C
C là khoÁn chi phí hiện t¿i cho dự án.
B là khoÁn do dự án đem l¿i sau t năm.
r là lãi su¿tnăm.
d) Lãi gộp liên tục r
Nếu lãi su¿t một năm là r và mỗi năm chia ra thành n kì thì lãi của mỗi kì là . n
Nếu vốn đÁu tư ban đÁu là V0 thì giá trị nhận được sau t năm (theo cách tính lãi nt gộp) là: ö r ö
V (n,t )ý V 1 . 0 ÷ n ÷ ø ø
Nếu lãi được tính gộp liên tục, nghĩa là thßi gian của kì tính lãi là r¿t nhỏ, không xác đ n
ị h được, do đó số kì tính lãi n tăng lên vô h¿n (n ) thì
V (t ) ý lim V (n ,t ) rt ý V 0e . n
1.2. GIàI H¾N CĂA HÀM Sà
Định lý (Các phép toán về giới hạn) Nếu lim f ( )
x ý l þ , lim g (x ) ýl þ thì 1 ñ 2 ñ x x 0 x x 0 i) lim f ( ) x g( )
x ý l l . 1 2 x 0 x
ii) lim f (x).g(x) ý l .l . 1 2 x 0x f (x) l iii) 1 lim ý (l 0). 2
xx0 g (x) l2 5
Định lý (Giới hạn kẹp)
Nếu tồn t¿i ô þ 0 sao cho f ( )
x ó g(x) ó ( h )
x với mọi x þ (a,b) : 0 ü | x |
x ü ô và lim f ( ) x ý lim ( h )
x ý l thì lim g( ) x ý l . 0 x 0 x x 0 x x 0 x
Một số giới hạn cơ bản sin x 1 1) lim ý 1.
2) lim(1 x)x ýe. x 0 x x 0
Hệ quả tan x 1) lim ý 1. x 0 x log (1 x) ln(1 x) 2) lim a
ý log e (0 ü a 1), lim ý 1. a x 0 x 0 x x x a 1 x e 1 3) lim ý ln , a lim ý 1. x 0 x 0 x x (1 ) x ñ 1 4) lim ý ñ (ñ þñ). x 0 x
1.3. HÀM Sà LIÊN TĀC
Các tính chất c¢ bÁn căa hàm sá liên tāc trên mßt đo¿n
Định lý (Bolzano – Cauchy)
Nếu hàm số f (x) liên tục trên đo¿n [a,b] và L þ ñ nằm giữa f (a ) và f (b) thì tồn t¿i c þ ( , a )
b sao cho f( )c ý L.
Hệ quả. Nếu hàm số f (x) liên tục trên đo¿n [ ,ab] và f( ) a . f ( ) b ü0 thì tồn t¿i
c þ (a,b) sao cho f (c) ý 0.
Định lý (Weierstrass)
Hàm số f (x) liên tục trên đo¿n [ ,ab] thì
i) f (x) bị chặn trên [ ,ab] ;
ii) f (x) đ¿t được giá trị lớn nh¿t và giá trị nhỏ nh¿t trên [a,b] .
Định lý (Sự tồn tại hàm số ngược liên tục)
Nếu hàm số y ý f (x) xác định, liên tục và đơn điệu tăng (giÁm) trên (a,b) thì
i) Miền giá trị của hàm số y ý f (x) là một đo¿n (c,d) nào đó.
ii) Hàm số y ý f (x) có hàm số ngược 1
x ý f (y). iii) Hàm số ngược 1 x f ý
( y) liên tục, đơn điệu tăng (giÁm) trên đo¿n (c,d) . 6 1.4. Đ¾O HÀM
1.4.1. Khái nißm đ¿o hàm
Hàm số y ý f (x) xác định trên khoÁng (a, b) và x þ ( ,a ) b . 0 y
f ( x x) f ( x ) 0 0 f ( ò x ) ý lim ý lim 0 x 0 x 0 x x y ö y ö f ( òx ) ý lim f (x ò ) ý lim 0 ÷ 0 ÷ x 0 x 0 x ø x ø
trong đó x ý x x , y
ý f (x) f (x ) và các giới h¿n là hữu h¿n. 0 0
Chú ý. Hàm số y ý f ( )
x có đ¿o hàm t¿i x0 khi và chỉ khi hàm số có đ¿o hàm bên
phÁi, đ¿o hàm bên trái t¿i x và f (x ) ý f (x ò ò ). 0 0 0
BÁng đ¿o hàm căa các hàm s¢ cấp c¢ bÁn 1) (c)ò 0
ý ( c là hằng số) 2) ø ñ ùò ñ1 x ñ ý x 1 1 3) ø x ùò x ý ln , ø x ùò x a a a e ý e 4) (log x)òý ,(lnx ) òý a x ln a x 5) (sinx )ò c ý os x
6) (cosx)òý sin x 1 1 7) (tan x)ò ý 8) (cot x)ò ý 2 cos x 2 sin x 9) 1 1 (arcsin x)ò ý 10) (arccos ) x ò ý 2 1 x 2 1 x 1 1 11) (arctan x)ò ý
12) (arc cot x)ò ý 2 1 x 2 1 x
1.4.2. Ý nghĩa kinh t¿ căa đ¿o hàm y
f ( x x
) f ( x ) Vớix đủ nhỏ: 0 0 f (x ò ) ý , do đó 0 x x y
ý f (x x
) f (x ) f ( ò x ) . x 0 0 0
Trong kinh tế:
Nếu x ý1 thì y ý f (x 1) f (x ) f ( ò x ). 0 0 0
f (òx ) biểu diễn x¿p xỉ lượng thay đổi giá trị t¿i điểmx của biến phụ thuộc y khi 0 0
biến độc lập x tăng thêm 1 đơn vị.
f (òx ) được gọi là giá trị y - c
ận biên của x t¿i điểm x . 0 0 7
1.5. VI PHÂN CĂA HÀM Sà
1.5.1. Khái nißm vi phân và liên hß vái đ¿o hàm
Hàm số y ý f (x) xác định trên ( ,ab) và liên tục t¿i x þ (a,b) được gọi là khÁ vi 0 t¿i x
y ý A x o x
0 nếu tồn t¿i A sao cho . ( ). Biểu thức .
Ax được gọi là vi phân của hàm số y ý f (x) t¿i điểm x , kí hiệu df (x ). 0 0
Liên hệ với đạo hàm
Định lý. Hàm số y ý f (x) khÁ vi t¿i x khi và chỉ khi nó có đ¿o hàm t¿i x . Khi đó 0 0
dy ý f (òx )d . x 0
1.5.2. Đ¿o hàm và vi phân cấp cao
a) Đạo hàm cấp cao
GiÁ sử yòý f (x
ò ) có đ¿o hàm, đ¿o hàm của đ¿o hàm c¿p 1 của hàm
số y ý f (x) được gọi là đ¿o hàm c¿p 2 của hàm số đó, kí hiệu f ( ò x) , hoặc (2) f (x ).
Tương tự, đ¿o hàm của đ¿o hàm c¿p n – 1 của hàm số y ý f (x) được gọi là đ¿o
hàm c¿p n của hàm số đó, kí hiệu ( )n f ( x) .
b) Vi phân cấp cao
Vi phân c¿p 2 của hàm số y ý f (x) là vi phân của vi phân c¿p 1 của hàm số đó, kí hiệu 2 d y.
Tương tự, vi phân c¿p n của hàm số y ý f (x) là vi phân của vi phân c¿p n – 1 của
hàm số đó, kí hiệu n
d y . Nếu x là biến độc lập: n ( n) ý ( )( )n d y f x dx .
Chú ý. Biểu thức vi phân c¿p cao không có tính ch¿t b¿t biến như biểu thức vi phân c¿p 1.
1.6. CÁC ĐÞNH LÍ C¡ BÀN VÀ HÀM Sà KHÀ VI
1.6.1. Đßnh lý (Fermat)
Nếu hàm số y ý f (x) đ¿t cực trị t¿i x0 mà t¿i đó hàm số có đ¿o hàm thì f (òx ) 0 ý . 0
1.6.2. Đßnh lý (Lagrange)
Nếu hàm số f ( x) liên tục trên [a, b] và khÁ vi trên khoÁng (a, b) thì tồn t¿i
c þ (a,b) sao cho: f( )b f( )a ý f (ò )c( b )a. 8
1.7. MÞT Sà ĄNG DĀNG CĂA Đ¾O HÀM
1.7.1. Tìm giái h¿n d¿ng vô đßnh
Định lý (L’Hospital)
GiÁ sử các hàm số f (x) và g(x) khÁ vi trong khoÁng (a, b), g (òx) 0và thỏa mãn: f ( ) x 0 i) lim có d¿ng , hoặc x 0x g ( ) x 0 f ( ò ) x ii) lim l
ý (l hữu h¿n hoặc vô h¿n). x 0 x g ( òx) f (x) Khi đó lim ý l.
xx0 g( ) x
Chú ý. Quy tắc trên vẫn đúng khi thay quá trình x x , bái x , x , 0 x x , x x . 0 0
1.7.2. Ąng dāng căa đ¿o hàm trong phân tích kinh t¿
a) Giá trị cận biên
Sản phẩm cận biên: Mô hình hàm sÁn xu¿t Q ý f (L) MPP ý f ( ò )
L : SÁn phẩm hiện vật cận biên của lao động t¿i L. L
Ý nghĩa: T¿i mỗi điểm L, MPP cho biết x¿p xỉ lượng sÁn phẩm hiện vật gia tăng L
khi sử dụng thêm 1 đơn vị lao đ n ộ g.
Doanh thu cận biên: Mô hình hàm doanh thu TR ý TR(Q) MR ý TR ( ) Q ò
: Doanh thu cận biên t¿i Q.
Ý nghĩa: T¿i mức sÁn lượng Q, M R cho biết x¿p xỉ lượng doanh thu tăng thêm khi
sÁn xu¿t thêm 1 đơn vị sÁn phẩm.
Chi phí cận biên: Mô hình hàm chi phí TC ý TC(Q) MC ý TC ( ò )
Q : Chi phí cận biên t¿i Q.
Ý nghĩa: T¿i mức sÁn lượng Q, MC cho biết x¿p xỉ lượng chi phí tăng thêm khi
sÁn xu¿t thêm 1 đơn vị sÁn phẩm.
Xu hướng tiêu dùng cận biên: Mô hình hàm tiêu dùng C ý C(Y ).
MPC ý C (Y
ò ) : Xu hướng tiêu dùng cận biên t¿i Y.
Ý nghĩa: T¿i mức thu nhập Y, MPC cho biết x¿p xỉ lượng tiêu dùng gia tăng khi ta
có thêm 1 đơn vị thu nhập. 9
Xu hướng tiết kiệm cận biên: Mô hình hàm tiết kiệm S ý S(Y )
MPS ý S (Y
ò ): Xu hướng tiết kiệm cận biên t¿i Y.
Ý nghĩa: T¿i mức thu nhập Y, MPS cho biết x¿p xỉ lượng tiết kiệm gia tăng khi ta
có thêm 1 đơn vị thu nhập.
b) Hệ số co giãn
Hệ số co giãn của y ý f (x) t¿i điểm x là y y % y y y õ ý ý ý . x . x % x x x y x
Khi x 0 ta có công thức tính hệ số co giãn của y t¿i điểm x là y õ ý . x yò . x y
Ý nghĩa: T¿i điểm x, nếu x thay đổi 1% thì y thay đổi x¿p xỉ y õ % . y õ þ 0 ( y õ ü 0) x x x
phÁn ánh sự thay đổi của y và x cùng chiều (ngược chiều).
Hệ số co giãn của cầu, cung theo giá
Mô hình hàm cÁu Q ý ( D ) p ,
số co giãn của c u theo giá t¿i p là d hệ Á Q p p D d õ ý . D ( òp). ü 0. p p Q D(p ) d
Mô hình hàm cung Q ý S( p),
số co giãn của cung theo giá t i p là s hệ ¿ Q p p S s õ ý . S (ò p). þ 0. p p Q S( ) p s
Hệ số co giãn của cầu theo thu nhập
Mô hình hàm cÁu Q ý D(I), hệ số co giãn của cÁu theo thu nhập t¿i I là d Q I I D d õ ý . D (òI). þ 0. I I Q D(I ) d
Hệ số co giãn của cầu theo giá hàng hóa khác Q p p D d õ ý Dò p þ p . y ( y). y 0. y y p d Q D( y p )
1.7.3. Quan hß giÿa hàm bình quân và hàm cÃn biên
a) Hàm bình quân và hàm cận biên
Xét mô hình hàm số y ý f (x). f (x)
Hàm bình quân t¿i điểm x là Af ý . x 10
Hàm giá trị y – cận biên là Mf ý f ( òx).
b) Mối quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên
à đây, xét f ( )
x làTC(Q) và TR(Q). f ( ) x ò f (òx) ö f (x) ö f (x ò )x f (x) Mf Af ( ò ) x Af x ý ý ý ý . ÷ ÷ 2 ø x ø x x x Với x > 0 ta có:
Nếu Mf > Af thì Af ( ò x) 0 þ Af tăng;
Nếu Mf < Af thì Af ( ò x) 0 ü Af giÁm;
Nếu Mf = Af thì Af ( ò x) 0
ý , do đó Af đ¿t cực trị t¿i điểm mà Mf = Af.
Định lý. GiÁ sử doanh nghiệp có hàm tổng chi phí TC(Q) và hàm tổng doanh
thuTR(Q) . Khi đó:
÷ Điều kiện cÁn để tổng lợi nhuận đ¿t cực đ¿i là: MC ý MR.
÷ Điều kiện đủ để tổng lợi nhuận đ¿t cực đ¿i là: òü ò.ò TR TC B. CÁC VÍ DĀ x 3
Ví dā 1.1. Tìm miền xác định của hàm số y ý arccos lg(4 x). 2
Giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi ü x 3 ÿ 1 ó ó 1 ü2 ó x 3 ó 2 1 ü ó x ó 5 ý 2 ý ý 1 ó x ü4. xü 4 xü 4 ÿ 4 x þ0 þ þ þ
Vậy miền xác định của hàm số là D ý [1, 4). 2
Ví dā 1.2. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số y ý . 2 x 1
Giải. MXĐ: D ý \ ñ { 1}. 2 2 2 Ta có: y 0 và 2 2 y ý x 1 ý x ý 1. 2 x 1 y y 2 2 y Vì 2 x ó 0, x nên 1ó 0
ó 0 y þ ( ; 2] (0; ). y y
Vậy miền giá trị của hàm số là: ( ;2] (0;). 11 1 Ví d x
ā 1.3. Tìm hàm số ngược của hàm số: y ý , x 1 . 1 x
Giải. MXĐ: D ý \ ñ { 1}. 1 x 2 MGT: \ ñ { 1}, vì y ý y ý 1 y 1. 1 x 1 x 1 x 1 y Ta có: y ý
y(1 x) ý 1 x (
x y 1) ý1 y x ý . 1 x y 1 1 x
Vậy hàm số có hàm ngược là y ý
với MXĐ: D ý ñ\{ 1} ñ 1 x và MGT: \{ 1}.
Ví dā 1.4. Một công ty b¿t động sÁn có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê
mỗi căn hộ với giá 2000000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có ngưßi thuê và
cứ mỗi lÁn tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100000 đồng một tháng thì có thêm 2 căn
hộ bị bỏ trống. Thiết lập hàm số để tính số tiền công ty thu được mỗi tháng khi
tăng giá cho thuê mỗi căn hộ x đồng/tháng.
Giải. Số tiền thuê một căn hộ một tháng khi tăng giá là: 2000000 + x.
Mỗi lÁn tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100000 đồng một tháng thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống. 2x
Khi tăng giá x đồng thì có căn hộ bỏ trống. 100000 ö 2x ö
Số tiền công ty thu được hàng tháng là: y ý(2000000 ) x 50 . ÷ 100000 ÷ ø ø
Ví dā 1.5. GiÁ sử một ngưßi gửi tiết kiệm 600 USD sau 3 năm thu được 720 USD
với lãi gộp định kỳ 6 tháng là r. Tính r.
Giải. Số kỳ là: 2.3 = 6 (kỳ). Ta có: 6 6
720 ý 600(1 r) (1 r) ý 1, 2 6
1 r ý 1, 2 r 0,031ý 3,1%.
Vậy lãi gộp 6 tháng là: r ý 3,1% /6 tháng.
Ví dā 1.6. Một dự án đòi hỏi vốn đÁu tư ban đÁu là 2 tỷ đồng, và sẽ đem l¿i 3 tỷ
đồng sau 5 năm. Trong điều kiện lãi su¿t ngân hàng là 9%/năm có nên đÁu tư vào dự án hay không?
Giải. 5
NPV ý 3(1 0, 09) 2 0 ,05 ü 0.
Vậy không nên thực hiện dự án. 12
Ví dā 1.7. Một dự án đòi hỏi đÁu tư ban đÁu 1 tỷ đồng và sau 1 năm sẽ đem l¿i
cho b¿n 250 triệu đồng liên tiếp trong 5 năm. Trong điều kiện lãi su¿t ngân hàng
10%/năm, có nên thực hiện dự án hay không ?
Giải. Giá trị hiện t¿i của toàn bộ luồng tiền thu nhập là: 250 250 250 250 250 PV ý 947,70 ü1000.
1 0,1 ø10,1ù2 ø10,1ù3 ø1 0,1ù4 ø1 0,1ù5
Vậy không nên thực hiện dự án.
ln(1 x) ln(1 ) x
Ví dā 1.8. Xác định f (0) để hàm số f (x ) ý
liên tục t¿i x ý 0 . x
Giải
ln(1 x) ln(1 x) ln(1 ) x ln(1 x) lim f ( ) x ý lim ý lim lim ý11ý 2. x 0 x 0 x x 0 x 0 x x
Để hàm số f (x) liên tục t¿i x ý 0 thì lim f ( )
x ý f (0) f (0) ý 2. x0
Vậy f (0) ý 2 thì f (x) liên tục t¿i x ý 0 .
Ví dā 1.9. Xét tính liên tục của hàm số sau trên miền xác định ü1 2
ÿ sin x khi x 0
f (x) ý ýx . 1 ÿ khi x ý 0 þ Giải MXĐ: D ý . ñ 1
Với mọi x 0, hàm số 2 f ( )
x ý sin x là hàm sơ c¿p nên liên tục. x Xét t¿i x ý 0 : 1 2 ö ö 2 sin x lim f ( )
x ý lim sin x ý lim .x ý 1.0 ý 0 ÷ ÷ 1 ý f (0). x 0 x 0 x 2 x0 x ø ø
Do đó hàm số không liên tục t¿i x ý 0 .
Vậy hàm số liên tục trên \ ñ {0} .
Ví dā 1.10. Cho mô hình thị trưßng có hàm cung 2
Q ý 0,1p 5p 10 và hàm cÁu S 50 Q p
Chứng tỏ rằng mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoÁng (3, 5). D ý ( 2). p 2 Giải
Giá cân bằng là nghiệm của phương trình: 13 2 50
Q ý Q 0,1p 5 p 10 ý S D p 2 3 2 2
0,1p 0, 2 p 5 p 10 p 10 p 20 ý 50 3 2
0,1p 4,8 p 70 ý 0. Đặt 3 2
f ( p) ý 0,1p 4,8 p 70, suy ra 241 125 f (3) ý ; f (5) ý . 10 2
Vì f (3). f (5) ü 0 và f ( p) liên tục trên [3, 5] nên tồn t¿i p þ (3,5) sao cho f ( p) ý 0.
Vậy mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoÁng (3, 5).
Ví dā 1.11. Tính đ¿o hàm của hàm số t¿i x = 0 1 ü cos4x ÿ khi x 0 f (x) ý ý x . 0 ÿ khi x ý 0 þ 1 cos4x 2
f (x) f (0) 1 cos4x 2sin 2x
Giải. (0) ò lim ý lim x f ý lim ý lim ý 8. ý 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x
Ví dā 1.12. Tính đ¿o hàm của hàm số sau: a) sin ( ) x f x ý x (x þ 0) x x b) f ( )
x ý x .3 (x þ 0).
Giải a) sinx sin ( ) ý ln ( ) ý ln( x f x x f x x ) ýsin xln . x f ò x x
L¿y đ¿o hàm 2 vế ta được: f x ò ø x xù ( ) sin ln ( ) sin ln ò ý ý cos xln x f (x) x ö sinx ö ö sinx ö sin f (x
ò ) ý cosx ln x
f (x) ý cos x ln x x x . ÷ x ÷ ÷ x ÷ ø ø ø ø b) ( ) x
ý .3x ln ( ) ýln ø x.3x f x x f x x
ù ý lxn x lxn3. f òx
L¿y đ¿o hàm 2 vế ta được: f x òý øx x x ùò ( ) ln ( ) ln ln3 ý ln x 1 ln3 f ( ) x ( ò ) ýøln 1ln ù 3
( ) ý øln 1ln3ù x.3x f x x f x x x . 14
Ví dā 1.13. Tìm các giới h¿n sau: tan x x 1 cos 4x a) lim b) lim .
x 0 x sin x 2 x 0 x
Giải 1 ( ) L 1 2 tan x x (tan x ) x ò cos a) lim ý lim ý lim x x 0 x 0 x 0 x sin x (x sin x)ò 1 cosx 2 1 cos x 1 cos x ý lim ý lim ý 2. 2 2 x 0 x 0
(1 cos x) cos x cos x ( L) ( L) 1 cos 4x (1 cos 4 ) x ò 4sin 4x (4sin 4 ) x ò 16cos 4x b) lim ý lim ý lim ý lim ý lim ý 8. 2 2 x 0 x 0 x 0 ò x 0 x 0 x ( x ) 2 x (2 ) x ò 2
Ví dā 1.14. Tìm các giới h¿n sau: 1 a) lim sin x x 1
b) lim(2 x) x x 0 x 1
Giải
a) ln sinx x ý x lnsin x cos x (L) lnsin x (lnsin x)ò sin x x
lim(x lnsin x) ý lim ý lim ý lim ý lim x cos x ý 0. x 0 x 0 1 x 0 ò x 0 1 x 0 sin ö1 x ö 2 x ÷ ÷ x ø xø x 0
lim sin x ý e ý1. x 0 1 ln(2x ) 1
b) ln(2 x) x ý 1x 1 1 (L ) ln(2 x ) [ ln(2 x )]ò 1 2 x 1 lim ý lim ý lim ý lim
ý 1 lim(2 x) x ý e. x 1 x 1 ò x 1 x 1 x 1 1 x (1 ) x 1 2 x
Ví dā 1.15. Cho hàm sÁn xu¿t của một doanh nghiệp: Q ý 3 L.
Tính sÁn phẩm cận biên của lao động t¿i mức sử dụng lao động là 100.
Giải. SÁn phẩm cận biên của lao động t¿i điểm L = 100 là 3 3 MP ý ò L P 1 ý 00 Q ý ý ý L 1 ý 00 L 1 ý 00 0,15. 2 L 2 100 15
Ví dā 1.16. Cho hàm tổng chi phí: 2
TC ý 3Q 20Q 10.
a) Tính hàm chi phí cận biên.
b) T¿i điểm Q0 = 30, khi Q tăng thêm một đơn vị chi phí sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị?
Giải
a) Hàm chi phí cận biên: MC ý TCòý 6Q 20
b) MC(30) = 6.30 + 20 = 200.
T¿i điểm Q0 = 30, khi Q tăng thêm một đơn vị chi phí sẽ tăng thêm 200 đơn vị.
Ví dā 1.17. Cho hàm cÁu: 2
Q ý100 2 p p . D
T¿i mức giá p = 5 khi giá tăng lên
1% thì lượng cÁu thay đổi một lượng x¿p xỉ bao nhiêu? Giải
Hệ số co giãn của cÁu theo giá là: p p p p p Q ( 2 2 ) 2(1 ) õ ý Qò ý ý p . . 2 2
Q 100 2 p p 100 2 p p
Hệ số co giãn của cÁu theo giá t¿i mức giá p = 5 là: Q 2(1 5)5 õ ý 0,923. 10 2 100 2.5 5
Vậy t¿i mức giá p = 5 nếu giá tăng 1% thì cÁu về hàng hóa này giÁm x¿p xỉ 0,923%.
Ví dā 1.18. Nếu hàm cung có d¿ng bậc nh¿t Q ý a bp (b þ 0) thì hệ số co giãn p p bp
t¿i điểm p là: Q õ ý Q .ò ý . b ý . p Q a bp a bp
Ví dā 1.19. Một doanh nghiệp có hàm doanh thu: 2
TR ý 5Q 1700Q 50.
a) Tìm hàm doanh thu cận biên và doanh thu trung bình.
b) GiÁ sử hàm chi phí của doanh nghiệp là: 3 2
TC ý Q 20Q 100Q 100. Xác
định mức sÁn lượng tối ưu.
Giải
a) Hàm doanh thu cận biên: MR ý10Q 1700. 50
Hàm doanh thu trung bình: AR ý 5Q 1700 . Q
b) Hàm lợi nhuận của nhà sÁn xu¿t: 2 3 2
ð ý TR TC ý 5Q 1700Q 50 (Q 20Q 100Q 100) 3 2 ý Q
15Q 1800Q 50. 16
Điều kiện cÁn để ð đ¿t cực đ¿i là: ùQ ý 20 2 1 ðò ý 3 Q 3 0Q 1 800 ý0 Q ú ý30 û 2 Q2 = 30 (lo¿i). Xét t¿i Q1 = 20.
Điều kiện đủ để ð đ¿t cực đ¿i là Ta có: ð òò ý 6Q 3 0 . ð ( ò 2 ò 0) ý 6. 20 3 0 ý 150 0 ü .
Do Q = 20 là điểm cực đ¿i duy nh¿t, nên giá trị cực đ¿i là giá trị lớn nh¿t.
Vậy mức sÁn lượng tối ưu của doanh nghiệp là Q = 20. C. BÀI TÂP
Bài 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm số sau: ö x ö a) 2
y ý 2 x x b) y ý arcsin ÷ln ÷ ø e ø ö 2 x ö
c) ý cot ð arccos 2x y x d) y ý arcsin ÷ ÷ ø 1 2x ø 2 e) 2
y ý ln(1 2x ) f) x y ý cos x ð
Bài 2. Tìm hàm số ngược của các hàm số sau: x 1 2x a) y ý b) y ý x 1 x 2 1 ù ð ð c) ù
y ý sin x cos x với xþ , ú d) y ý 4 4 ú û û log 2 x
Bài 3. Một nhà sÁn xu¿t thiết bị phÁi chi phí 9000 USD để sÁn xu¿t 1000 lò nư n ớ g
bánh mỳ một tuÁn và 12000 USD đ
ể sÁn xu¿t 1500 lò nướng bánh mỳ một tuÁn.
a) Hãy biểu diễn chi phí như là một hàm của số lò nướng bánh được sÁn xu¿t, giÁ
sử rằng đó là hàm bậc nh¿t.
b) Hệ số góc của hàm số trên cho biết điều gì?
c) Hệ số chặn của hàm số trên cho biết điều gì? 17
Bài 4. Một đội bóng chơi trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giÁ.
Khi giá vé là 10 USD thì có 27 000 khán giÁ. Khi giá vé là 8 USD thì có 33 000
khán giÁ. Tìm hàm cÁu p ý p(x) , liên hệ giữa giá vé p với lượng khán giÁ x, giÁ sử rằng (
p x) là hàm bậc nh¿t.
Bài 5. Cho hàm lợi nhuận 3 2
ð ý Q 3Q 1320Q 10 (Q ó 0) . Tính ð(0) và giÁi thích ý nghĩa kinh tế.
Bài 6. Hàm cÁu về hàng hóa A là 0,5 Q p ý
. Thị trưßng hàng hóa A có hai D 200 hàm cung là: 0,5 Q ý 5p , 0,75 Q ý 4 p
. Lập mô hình cân bằng thị trưßng hàng hóa A. 1 S S2
Bài 7. Cho hàm cung, hàm cÁu của thị trưßng một hàng hóa: Q ý 4 p 1 , S 2 Q ý 4 p . D
a) Tìm điều kiện của p để lượng cung và cÁu đều dương;
b) Tìm giới h¿n cao nh¿t của giá mua và giới h¿n th¿p nh¿t của giá bán;
c) Tìm giá và lượng cân bằng ( p, ) Q ; d) Tìm hàm cÁu ngược.
Bài 8. Cho các số liệu sau về cung và cÁu g¿o 203 á Hà Nội: Giá (nghìn đồng/kg) 7 8 9 10 11 12 Lượng cung (t¿n/ngày) 11 13 15 17 19 21 Lượng cÁu (t¿n/ngày) 20 19 18 17 16 15
a) Viết phương trình hàm cung, hàm cÁu. Xác định giá và sÁn lượng cân bằng.
b) Nếu Chính phủ áp đặt giá là 11,5 nghìn đồng/kg thì điều gì sẽ xÁy ra?
c) Nếu Chính phủ đánh thuế 1 nghìn đồng/kg g¿o 203 bán ra thì giá và sÁn lượng
cân bằng sẽ thay đổi như thế nào?
Bài 9. Tìm tổng giá trị thu được khi đÁu tư 1000 USD trong 5 năm với lãi gộp là 8% / năm tính theo quý.
Bài 10. GiÁ sử gửi tiết kiệm 500 USD sau 3 năm thu được 588,38 USD với lãi gộp
định kì nửa năm r. Tính r.
Bài 11. Doanh thu của công ty A năm 2008 là 1 tỉ đồng. Hàng năm tăng doanh thu 1%.
Nếu l¿y năm 2008 là năm thứ 0, thì năm thứ n doanh thu của công ty là bao nhiêu?
Bài 12. Dân số Việt Nam năm 2003 là 80872000 ngưßi. Hàng năm dân số tăng 1,5%.
Đến năm 2023 dân số Việt Nam là bao nhiêu? 18
Bài 13. Một dự án đòi hỏi vốn đÁu tư ban đÁu 6000 USD và sẽ đem l¿i 10000 USD sau
5 năm. Trong điều kiện lãi su¿t tiền gửi ngân hàng là 9% một năm có nên đÁu tư
dự án đó hay không? Tính NPV của dự án đó.
Bài 14. Vào ngày 1/7/2016, Ngân hàng Nông nghiệp thông báo nhận gửi tiền USD
với lãi su¿t 3,5% / năm tính gộp liên tục. Một ngân hàng c¿nh tranh khác cũng đưa
ra kiểu tiếp thị để thu hút khách hàng như sau: tặng ngay 20 USD cho một khách
hàng mới với điều kiện gửi ít nh¿t 1000 USD với lãi su¿t 3,5%, được tính gộp theo
nửa năm. Ông A quyết định chọn một trong ba phương án sau để gửi 1000 USD vào ngày 1/7/2016:
÷ Gửi tiền vào Ngân hàng Nông nghiệp.
÷ Gửi tiền vào ngân hàng c¿nh tranh.
÷ Gửi nửa tiền vào Ngân hàng Nông nghiệp và nửa tiền vào ngân hàng c¿nh tranh.
Tổng số tiền ông A thu được vào ngày 1/7/2018 theo mỗi phương án trên như thế nào?
Bài 15. Một nhà đÁu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án:
Dự án 1: Chi phí hiện t¿i 2000 USD và đem l¿i 3000 USD sau 4 năm.
Dự án 2: Chi phí hiện t¿i 2000 USD và đem l¿i 4000 USD sau 6 năm.
Dự án 3: Chi phí hiện t¿i 3000 USD và đem l¿i 4800 USD sau 5 năm.
Với lãi su¿t thịnh hành là 10% một năm thì nên chọn dự án nào?
Bài 16. Ông A có 50000 USD đÁu tư trong 18 tháng. Ông ¿y có hai phương án lựa chọn:
÷ ĐÁu tư tiền vào trái phiếu với lãi su¿t 5% / năm được tính gộp theo quý.
÷ ĐÁu tư tiền tiết kiệm với lãi su¿t 4,5% / năm được tính gộp liên tục.
Ông A sẽ nhận được bao nhiêu tiền theo mỗi phương án đÁu tư sau 18 tháng? ü 1 x ÿ sin , khi x 0
Bài 17. Cho hàm số f (x) ý x ý . 1 ÿ , khi x ý 0 þ
CÁn sửa l¿i f (0) thế nào để f liên tục t¿i x ý 0?
Bài 18. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định ü 3 1 x ÿ sin , khi x 0 a) f (x) ý ý x 0 ÿ , khi x 0 ý þ 19
ü4.3x, khi x ü 0 2x 3 b) f( ) x ý ý c) f ( ) x ý 2 þ ,x x kh ó i 0 2x 3
Bài 19. Tìm a để hàm số sau liên tục trên tập xác định 2 x ü 1 khi x ó1 ü sin x ÿ khi x 0 a) f (x) ý ý b) f (x ) ý 1 ý cosx 2
3 ax khi x þ1 þ a ÿ þ khi x 0 ý
Bài 20. Tổng chi phí (tính bằng USD) khi sÁn xu¿t Q (trăm) bút chì cho bái hàm 2 Q số 1
TC ý 40 3Q . 1000 Q
Giá của 100 bút chì là 7 USD. Chứng minh rằng có mức sÁn xu¿t để hòa vốn.
(Hòa vốn khi doanh thu bằng tổng chi phí) biết Q þ (1, 11).
Bài 21. Hàm cÁu về hàng hóa A là 0,5 Q 200 p ý
. Thị trưßng hàng hóa A có hai D hàm cung là 0,5 Q ý p và 0,75 Q ý p . S 4 S 5 1 2
a) Hãy lập mô hình cân bằng thị trưßng hàng hóa A;
b) Thị trưßng có tồn t¿i tr¿ng thái cân bằng không?
Bài 22. Sử dụng định nghĩa, hãy tính đ¿o hàm của hàm số: f (x) ý 2x 7 t¿i điểm x = 1.
Bài 23. Sử dụng định nghĩa, hãy tính đ¿o hàm của các hàm số sau: a) 2 1 ( ) x f x e ý
b) f (x) ý ln(x 1)
Bài 24. Tìm đ¿o hàm của các hàm số sau: a) 2
f (x) ý ln(x x 1) b) 3 2
f (x) ý (3x 2) ü 2 1 x ÿ sin khi x 0 c) 2 ( ) 1 x f x e ý d) f ( ) x ý ý x 0 ÿ þ khi x ý0 ü 1 x ÿ sin khi x 0
Bài 25. Chứng minh hàm số: f ( ) x ý ý x ÿ 0 khi x ý 0 þ
liên tục t¿i x = 0, nhưng không có đ¿o hàm t¿i x = 0.
Bài 26. Cho hàm chi phí: 3 2
TC ý 3Q 4Q 5Q 10.
a) Tìm hàm chi phí cận biên;
b) Tìm hàm chi phí bình quân. 20
Bài 27. Cho biết hàm cÁu đối với sÁn phẩm của nhà sÁn xu¿t độc quyền, với giá p
tính bằng USD: Q ý 500 0, 2 . p
Hãy tính MR t¿i mức sÁn lượng Q = 90 và giÁi thích ý nghĩa.
Bài 28. Cho biết hàm cÁu đ i
ố với một lo¿i hàng hóa như sau: 2
Q ý 3200 0,5 p .
a) Tính hệ số co giãn của cÁu theo giá t¿i mức giá p < 80;
b) Tính hệ số co giãn của cÁu theo giá t¿i các mức giá p = 20, p = 50 và giÁi thích ý nghĩa.
Bài 29. Cho hàm tiêu dùng: C ý 0,8Y 0, 2 Y 18.
a) Tìm hàm xu hướng tiêu dùng cận biên;
b) Tính hệ số co giãn của tiêu dùng t¿i mức thu nhập Y = 200 USD và giÁi thích ý nghĩa. 2 5Q
Bài 30. Cho hàm tổng chi phí: TC ý 5000
( Q þ 0 : sÁn lượng). Q 3
a) Tìm hàm chi phí cận biên;
b) Tính tổng chi phí bình quân t¿i Q = 100.
Bài 31. Một doanh nghiệp độc quyền sÁn xu¿t với hàm cÁu về sÁn phẩm là
Q ý 90 p . Biết hàm tổng chi phí: 3 2
TC ý Q 10Q 30Q 1000.
a) Tìm MR và MC theo Q;
b) Tìm mức sÁn lượng để lợi nhuận đ¿t cực đ¿i;
c) T¿i mức sÁn lượng Q = 10, nếu tăng sÁn lượng nên 1 đơn vị thì tổng chi phí
thay đổi như thế nào, tổng doanh thu thay đổi như thế nào? 2
Bài 32. Cho hàm sÁn xu¿t ngắn h¿n: 3 2
Q ý L 10L , trong đó Q là sÁn lư n ợ g, L 3 là số đơn vị lao đ n ộ g sử dụng.
a) Tìm tập xác định thực tế (có tính kinh tế) của hàm trên;
b) Tìm mức sử dụng lao động đ ể t¿i đó sÁn lư n
ợ g đ¿t giá trị lớn nh¿t;
c) T¿i mức L = 5, nếu tăng L lên 1% thì sÁn lượng thay đổi như thế nào?
Bài 33. Một doanh nghiệp c¿nh tranh hoàn hÁo có hàm tổng chi phí: 3 2
TC ý Q 3Q 150 .
Doanh nghiệp phÁi ch¿p nhận giá thị trưßng p = 7200 USD trên 1 đơn vị sÁn phẩm. 21
a) Tìm mức sÁn lượng để lợi nhuận đ¿t tối đa;
b) T¿i mức sÁn lượng để lợi nhuận đ¿t tối đa đó, nếu sÁn lư n ợ g tăng 1 đ n ơ vị thì
tổng chi phí thay đổi như thế nào?
c) Khi Chính phủ đánh thuế T = 100000 USD trên toàn bộ sÁn phẩm, tìm mức sÁn
lượng để lợi nhuận đ¿t tối đa. Tìm mức lợi nhuận đó. Có kết luận gì so với câu a?
d) Khi Chính phủ đánh thuế t = 2640 USD/1 đơn vị sÁn phẩm thì doanh nghiệp
sÁn xu¿t với mức sÁn lượng bao nhiêu để tối đa hóa lợi nhuận.
Bài 34. Cho hàm cÁu và hàm tổng chi phí của một nhà sÁn xu¿t độc quyền: pý 200 Qvà 2 TC ý Q .
a) Tìm mức sÁn lượng và giá để lợi nhuận đ¿t tối đa;
b) Tìm hệ số co giãn của cÁu theo giá t¿i mức tối đa hóa lợi nhuận và nêu ý nghĩa;
c) Khi Chính phủ đánh thuế T trên toàn bộ sÁn phẩm bán ra thì sÁn lượng đ ể tối đa
hóa lợi nhuận có thay đổi không?
d) GiÁ sử Chính phủ đánh một lượng thuế t vào mỗi sÁn phẩm bán ra. Tìm mức
cung tối đa hóa lợi nhuận. SÁn lượng đó thay đổi thế nào khi t thay đổi?
Bài 35. Hãy xác định mức sÁn lư n
ợ g tối ưu của nhà sÁn xu¿t biết hàm doanh thu và hàm chi phí như sau: 1 2
TR ý 10Q 100 ; Q 3 2
TC ý Q 15Q 500Q 15. 3
Bài 36. Hãy xác định mức sÁn lượng tối ưu của nhà sÁn xu¿t biết hàm doanh thu và hàm chi phí như sau: 2
TR ý 1400Q 7Q ; 3 2
TC ý Q 4Q 80Q 120.
Bài 37. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm tổng chi phí trung bình ATC(Q) và
hàm chi phí cận biên MC(Q) biết hàm tổng chi phí: 2
TC ý Q 8Q16 (Q þ 0).
Bài 38. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm sÁn xu¿t bình quân APL và hàm sÁn
xu¿t cận biên MPL, biết hàm sÁn xu¿t ngắn h¿n: 2
Q ý 3L 60L (L þ 0). 22
D. ĐÁP Sà VÀ H¯àNG DÀN Bài 1. ù 3 ù ð ð ù a) TXĐ: [1, 2]; MGT: 0, ù ú 2 1, e ; MGT: , 2 ú û û b)TXĐ: ú 2 2ú û û
c) TXĐ: (,0)\{k, kþ } ð
ò ; MGT: ñ d) TXĐ: ñ ; MGT: ø0, 2 ù ö 1 1 ö e)TXĐ: , 1 ÷ ÷; MGT: ( , 0] f) TXĐ:[0, )
\ ,k k þ ; MGT: . ñ 2 ø 2 2 ø Bài 2. a) x 1 y ý , x 1 b) ý log x y , 0 ü x ü 1. 2 ø1 x ù x 1 ö ö c) arcsin x y ð ý , x þ [0, 2] ÷ ÷ d) x y ý 2, x 0 4 ø 2 ø Bài 3.
a) Hàm số cÁn tìm là TC = ax + b 9
ü 000 ý1000.a b a ü ý6 ý ý
TC = 6x + 3000.
12000 ý 1500.a b b ý 3000 þ þ
b) Hệ số góc 6 cho biết khi tăng 1 lò nướng bánh mì thì chi phí tăng thêm 6 USD.
c) Hệ số chặn 3000 cho biết chi phí cố định bằng 3000 USD. x
Bài 4. p(x) ý 19 . 3000 Bài 5. ð(0) ý 1
0 cho biết chi phí cố định bằng 10.
Bài 6. Mô hình cân bằng thị trưßng hàng hóa A 0 ,5 0,5 0,75
Q ý Q 200p ý 5p 4p . D S 1
Bài 7. Hướng dẫn: a) ü p ü 2 ; b) Giới h¿n cao nh¿t của giá mua: 2; giới h¿n 4 1
th¿p nh¿t của giá bán: ; c) p = 1, Q = 3; d) p ý 4 Q. 4
Bài 8. a) Hàm cung: p ý 0,5Q 1,5 . Hàm cÁu: p ý 27 Q.
Giá và sÁn lượng cân bằng: p ý 10,Q ý 17.
b) Nếu Chính phủ áp đặt giá là 11,5 nghìn đồng/kg thì sẽ xu¿t hiện dư hàng
hóa vì giá đó cao hơn giá cân bằng. Để tính lượng dư thừa, ta thay p = 11,5 vào 23
hàm cung, cÁu sẽ có: lượng cung là 20 t¿n/ngày, lượng cÁu là 15,5 t¿n/ngày. Suy
ra lượng dư là 4,5 t¿n/ngày.
c) Hàm cung mới là p ý 0,5Q 1,5 1 , hàm cÁu vẫn như cũ: p ý 27 Q . 32 49
Từ đây có cân bằng mới là: p ý , Q ý . 3 3 Bài 9. 1485,95 USD. Bài 10. 2,75%.
Bài 11. TR ý (1 0,01)n (tỷ đ n ồ g). n Bài 12. 20
80872000(1 0,015) ý108922858 ngưßi.
Bài 13. Có thực hiện.
Bài 14. Gửi tiền vào Ngân hàng Nông nghiệp 2.0,035 v ý 1000e ý 1072,508USD. n 4 ö 0,035 ö
Gửi tiền vào ngân hàng c¿nh tranh v ý 1000 1 20 ý 1091,859 USD. n ÷ 2 ÷ ø ø
Gửi nửa tiền vào Ngân hàng Nông nghiệp và nửa tiền vào ngân hàng c¿nh tranh: 4 2.0,035 ö 0,035 ö v ý e ý USD. n 500 500 1 1072,184 ÷ 2 ÷ ø ø
Bài 15. Dự án 1: NPV = 49; Dự án 2: NPV = 257,9; Dự án 3: NPV = 19,58.
Vậy nên thực hiện dự án 2.
Bài 16. Phương án 1 thu được số tiền 53869,16 USD.
Phương án 2 thu được số tiền 53491,513 USD.
Bài 17. f (0) ý 0.
Bài 18. a) Hàm số liên tục trên ñ ; b) Hàm số không liên tục t¿i x = 0 ; c) Hàm số không liên tục t¿i 3 x ý . 2
Bài 19. a) a = 1; b) a = 2. 2 Q
Bài 20. Mô hình cân bằng: 1 40 3Q 7Q ý 0. 1000 Q 2 Q 1 Đặt: f ( ) Q ý40 3 Q 7 , Q ü mà f (Q) 1000 liên tục Q
ta có: f (1). f (11) 0
trên [1, 11] nên tồn t¿i Q để f (Q) ý 0. Vậy có mức sÁn xu¿t để hòa vốn.
Bài 21. a) Mô hình cân bằng thị trưßng 0 ,5 0,5 0,75 200 p
ý 5 p 4 p .
b) Tồn t¿i giá cân bằng. 24 1 Bài 22. 3 1 Bài 23. a) 2 1 ( ) 2 x f x e ò ý b) f (ò ) x ý x 1 2x 1 2 Bài 24. a) f ( ò ) x ý b) f (ò ) x ý 2 x x 1 3 3 x 2 2 x xe ü 1 1 2
ÿ x sin cos , x 0 c) f (ò ) x ý (x 0 ) d) f ( òx) ý ý x x 2 1 x e 0 ÿ , x 0 ý þ
Bài 25. Hướng dẫn: 1
÷ lim f ( x) ý lim x sin ý 0. x0 x0 x
f (x) f (0)
÷ Không tồn t¿i giới h¿n lim
bằng cách chỉ ra 2 dãy cùng có giới h¿n x 0 x 0
f (x) f (0) là 0, nhưng lim
tiến tới 2 giới h¿n khác nhau. x0 x 0 Bài 26. a) 2
MC ý 9Q 8Q 5 ; b) 2 10
AC ý 3Q 4Q 5 . Q
Bài 27. MR ý 2500 10Q ; MR(90) ý 1600. 2 Bài 28. a) p ; b) p õ 0,133; p õ 1 ,282. 2 3200 0,5 p 20 50 0,1
Bài 29. a) MPC ý 0,8 ; b) C õ ý 0,8926. Y Y 2 5Q 30Q
Bài 30. a) MC ý ; b) ATC ý 54,85. 2 (Q 3)
Bài 31. a) MR ý 90 2 ; Q b) Q = 10 2
MC ý 3Q 20Q 30
c) Tổng chi phí và tổng doanh thu tăng lên 70 đơn vị.
Bài 32. b) L = 10
c) T¿i mức L = 5, nếu tăng L lên 1% thì sÁn lượng tăng thêm 1,5%
Bài 33. a) Q = 50 ; b) Tăng 7200 USD. 25 c) Q =50; d) Q = 40 .
Bài 34. a) Q = 50, p = 150; b) õQ ý 3; pý150 200 t c) Không thay đổi; d) Q ý (t ü 200). 4
Bài 35. Q = 20.
Bài 36. Q = 20. Bài 37.
Q > 4 chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân tăng.
Q < 4 chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân giÁm.
Q = 4 chi phí bình quân đ¿t cực tiểu. 26 Ch−¬ng 2 hμm sè nhiÒu biÕn sè
A. TÓM TÄT LÝ THUY¾T
2.1. CÁC KHÁI NIÞM C¡ BÀN
2.1.1. Hàm sá hai bi¿n
GiÁ sử D (Oxy), hàm số hai biến là một quy tắc f cho tương ứng mỗi điểm
(x, y)þ D với một số thực z duy nh¿t, ký hiệu là f ( ,x ) y .
D là miền xác định của f.
Số f (x, y) là giá trị của f t¿i điểm (x, y).
Tập hợp f ( , x ) y | ( , x ) y þ
D là tập giá trị của f.
Các ký hiệu x và y biểu thị điểm (x, y) tùy ý thuộc D là các biến độc lập.
Ký hiệu z biểu thị một số tùy ý thuộc tập giá trị là biến phụ thuộc.
2.1.2. Mßt sá hàm sá hai bi¿n trong kinh t¿
Hàm sản xuất: Q ý f (K, L).
Hàm lợi ích: U ý U (Q ,Q ). 1 2
Hàm cung, cầu: hàm cung Q ý S ( p , p ) và hàm cầu Q ý D p p . D i ( , ) 1 2 i S i 1 2 i
Hàm tổng chi phí: TC = TC(Q); TC ý w K w L C K L . 0
Hàm tổng doanh thu: TR = pQ.
Hàm tổng lợi nhuận: ð = TR TC.
2.1.3. Giái h¿n căa hàm sá hai bi¿n
Hàm số hai biến f(M) xác định trên tập D chứa các điểm gÁn điểm I bao nhiêu
cũng được. Hàm số f được gọi là có giới h¿n L (L hữu h¿n hoặc vô h¿n) khi
M(x, y) dÁn đ n
ế I(a, b) nếu với mọi dãy điểm{M D I dÁn đ n ế I, ta đều có n } \{ }
lim f (M ) ý L.
f M ý L(hoặc lim f ( , x y) ý L ). n Ký hiệu: lim ( ) M I x a y b
2.2. PHÉP TÍNH VI PHÂN CĂA HÀM Sà HAI BI¾N
2.2.1. Đ¿o hàm riêng
Đạo hàm riêng cấp 1. GiÁ sử hàm số z ý f (x, y) xác định trong D và (a, b)þD. 27 f ö f a ò b ý a b ý f x ò b x ( , ) ( , ) x ( , ) öx x ý a f ö f òa b ý a b ý f a ò y y ( , ) ( , ) y ( , ) y ö y ý b
Đạo hàm riêng cấp 2. 2 2 ö f ö ö f ö ö ö f ö ö f ö ö ý , ý 2 ÷ ÷ 2 x ö öxø öxø öy ö y÷ ø öy ÷ ø 2 2 ö f ö ö f ö ö ö f ö ööf ö ý , ý x y y ÷ø x ÷ ö ö ö ö ø y
ö öx öx ÷öy ÷ ø ø
hoặc kí hiệu tương ứng là f ,
ò f ,òfò , fòò . òò 2 2 x y yx x y
Định lý (Schwarz). Nếu trong một lân cận của điểm (a, b), hàm số z ý f (x, y) có 2 2 ö f ö f 2 2 ö f ö f các đ¿o riêng , liên tục thì (a, ) b ý ( , a ) b . x ö öy y ö öx öxöy öyöx
2.2.2. Vi phân căa hàm hai bi¿n
Cho hàm số z ý z(x, y) , độ thay đổi tuyệt đối của z là:
z(a,b) ý z(a ,
x b y) z( , a b) .
Định lý. Nếu hàm số z ý z(x, y) có các đ¿o hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm (a,b) thì z ö z ö ( z , a ) b ý ( z a , x b ) y ( z , a ) b ý ( , a ) b x ( , a ) b y ( o , x ) y . x ö y ö z ö z ö
Khi x và y khá gÁn 0: z(a,b)
(a,b)x (a,b) . y x ö y ö
Chú ý. Nếu x thay đ i
ổ x đơn vị còn y = b thì öz ( z , a ) b ý ( z a , x ) b ( z , a ) b ( , a ) b x öx
Nếu y thay đổi y đơn vị còn x = a thì öz z
(a,b) ý z( , a b y
) z(a,b) ( , a ) b y öy 28
Vi phân toàn phần. Nếu hàm số z ý f (x, y) xác định trong miền D và có các đ¿o
hàm riêng liên tục t¿i điểm (a, b) þ D thì vi phân toàn phần của z ý f (x, y) t¿i (a, b) là: z ö z ö d ( z , a ) b ý ( , a ) b x ( , a ) b y x ö y ö
Với x, y là các biến độc lập, ta có dx = x, dy = y, vì vậy z ö z ö d ( z , a ) b ý ( , a ) b dx ( , a ) b d . y x ö y ö
Vi phân riêng.Vi phân riêng của hàm số z ý f (x, y) theo x (theo y) tại (a,b)là: öz ö öz ö d ( z , a ) b ý ( , a ) b dx d z( , a ) b ý ( , a ) b dy . x ÷ y x ø y ÷ ö ö ø
2.2.3. Đ¿o hàm căa hàm sá hÿp
Hàm số hợp với một biến độc lập
Hàm số f (x, y) có các đ¿o hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm (x , y ). 0 0 GiÁ
sử x ý x(t), y ý y(t) có đ¿o hàm t¿i t ý t và x ý x(t ), y ý y(t ). Khi đó 0 0 0 0 0 f ö f ö (t ò ) ý
(x , y )x (tò )
(x , y ) y (tò). 0 0 0 0 0 0 0 x ö y ö
Hàm số hợp với hai biến độc lập
Hàm số f (x, y )có các đ¿o hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm
(x , y ). GiÁ sử x ý x (t ,v), y ý y (t,v ) có các đ¿o hàm riêng c¿p 1 liên tục t¿i điểm 0 0
(t ,v ) và x ý (
x t , v ), y ý (
y t , v ).Khi đó 0 0 0 0 0 0 0 0 ö öf öx öf öy (t ,v ) ý (x , y ) (t , v ) (x , y ) (t ,v ), 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 öt öx öt öy öt ö f ö x ö f ö y ö (t , v ) ý (x , y ) (t ,v ) (x , y ) (t ,v ). 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v ö x ö v ö y ö v ö
2.2.4. Đ¿o hàm căa hàm ¿n
GiÁ sử x và y liên hệ với nhau bái f (x, y) ý 0 . Nếu với mỗi x þ U ñ có một và
chỉ một y þ V ñ sao cho f (x, y) ý 0,thì f (x, y) ý 0 xác định một hàm ẩn
y ý y(x) (từ U vào V). 29
Định lý. GiÁ sử hàm số f ( ,
x y) xác định và có các đ¿o hàm riêng liên tục trong
một lân cận của điểm (a, b), f (a,b) ý 0 và f (a
ò ,b) 0. Khi đó tồn t¿i một khoÁng y
U chứa a để hệ thức f (x, y) ý 0 xác định một hàm ẩn y ý y(x) (x þ U) sao cho f a ò b x ( , )
y(a) ý b và y ( ò ) a ý . f a ò b y( , )
2.2.5. Mßt sá ąng dāng căa đ¿o hàm riêng trong kinh t¿
a) Tính gần đúng độ thay đổi tuyệt đối
Cho hàm sÁn xu¿t Q = Q(K, L) öQ MPP ý
là sản phẩm cận biên của vốn. K K ö öQ MP ý
là sản phẩm cận biên của lao động. L P öL
MPPK x¿p xỉ lượng Q gia tăng khi lượng vốn K tăng thêm 1 đơn vị còn L không đổi. MPPL x¿p xỉ lư n
ợ g Q gia tăng khi lao động L tăng thêm 1 đơn vị còn K không đổi.
b) Tính gần đúng độ thay đổi tương đ i ố
z ý z(x, y) có các đ¿o hàm riêng liên tục t¿i (a,b),z(a,b)ý z(a ,xb) z( ,ab).
z (a,b) x Khi đó và lÁn lư t
ợ được gọi là độ thay đổi tương đối của z và x (tính z(a,b) a bằng %).
Hệ số co giãn của z theo x t¿i điểm (a, b) là z(a,b) x z(a,b) a z(a,b) a õ ö a b ý ý ý x ( , ) : . . . z(a,b) a x z (a,b) x ö z (a,b)
Ý nghĩa. T¿i điểm (a, b) khi x thay đổi 1% còn y không thay đổi thì z thay đổi x¿p xỉ õ (a,b)%. x ( z , a ) b b
Tương tự, hệ số co giãn của z theo y là õ ö a b ý y ( , ) . . öy z( , a ) b
Ý nghĩa. T¿i điểm (a, b) khi y thay đổi 1% còn x không thay đổi thì z thay đổi x¿p xỉ õ ( , a ) b %. y
2.3. CĀC TRÞ CĂA HÀM Sà HAI BI¾N
2.3.1. Cāc trß tā do căa hàm sá hai bi¿n
Định lý (Điều kiện cần của cực trị) 30
Nếu hàm số z ý f (x, y) đ¿t cực trị t¿i điểm I(a, b) và tồn t¿i các đ¿o riêng c¿p 1 öf öf thì
øa,bù ý øa,bù ý 0. öx öy
Định lý (Điều kiện đủ của cực trị)
GiÁ sử hàm số z ý f (x, y) có các đ¿o hàm riêng c¿p 2 liên tục trong một lân cận
của điểm I và f ö ø ù fö I ý øIù ý0 . x ö y ö 2 2 ö f ö f I I 2 ø ù ø ù 2 2 2 2 x ö x ö y ö ö f ö f ö f ö f D (I ) ý ý øI ù. øI ù øI ù. øI ù. 2 2 2 2 ö f ø ù ö f ö ö ö ö ö ö I øI ù x y x y y x 2 y ö x ö y ö Khi ¿y: 2 ö f
i) Nếu D(I) > 0 và
I þ0 thì I là điểm cực tiểu; 2 ø ù x ö 2 ö f
Nếu D(I) > 0 và
I ü0 thì I là điểm cực đ¿i. 2 ø ù öx
ii) Nếu D(I) < 0 thì I không phÁi là điểm cực trị.
Chú ý. Nếu D(I) = 0 thì chưa kết luận được gì, ta phÁi khÁo sát thêm bằng phương pháp khác.
2.3.2. Cāc trß có điÁu kißn căa hàm sá hai bi¿n
Tìm cực trị của hàm số z ý f (x, y) khi x, y thỏa mãng(x, y) ýb. g( ,x ) y ýb được
gọi là điều kiện ràng buộc của bài toán.
Chú ý. Nếu từ g ( ,
x y) ý b rút ra được y ý y(x) thì ta đưa về tìm cực trị của hàm số
một biến (x) ý f (x, y(x)).
Ph°¢ng pháp nhân tử Lagrange
Bước 1. Lập hàm Lagrange L(x, y,) ý f ( ,
x y) øb g( ,
x y)ù , trong đó gọi là nhân tử Lagrange. L ü ò x y ý x ( , , ) 0 ÿ
Bước 2. GiÁi hệ phương trình: L ò ý
x y ý , tìm nghiệm (x, y,) ý (x , y , ). y ( , , ) 0 0 0 0
ÿg( ,x )y b ý þ
Bước 3. Với (x , y , ) là một nghiệm của hệ phương trình trên, tính định thức 0 0 0 31 0 g ( ò x , y ) g (x ò ,y ) x 0 0 y 0 0 H ý g (
ò x , y ) L ( ò x
ò , y , ) L (x òò, y , ) x 0 0 2 0 0 0 xy 0 0 0 x g (
ò x , y ) L ( ò x
ò , y , ) L (x òò, y , ) 2 y 0 0 yx 0 0 0 0 0 0 y
÷ Nếu H þ 0 , thì ( x , y ) là điểm cực đ¿i có điều kiện của hàm f (x, y) . 0 0
÷ Nếu H ü 0 , thì ( x , y ) là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm f (x , y ). 0 0
2.3.3. Tìm giá trß lán nhất, giá trß nhß nhất căa hàm sá hai bi¿n trên tÃp đóng
và giái nßi
Tìm min hoặc max của hàm số hai biến f ( M) liên tục trên tập đóng và giới nội D o
Bước 1. Trong D , tìm các điểm tới h¿n M ,M ,...,M của f. 1 2 n
Bước 2. Trên biên C của D, tìm các điểm N ,N ,...,N mà t¿i đó nghi ngß f đ t ¿ 1 2 m
min hoặc max trên C.
Bước 3. Tính giá trị của f t¿i các điểm đã nêu á bước 1 và 2. Ta có:
max f ý max f (M ),..., f (M f N f N n), ( ),..., ( m) 1 1 D
min f ý min f (M ),..., f (M f N f N n), ( ),..., ( m) . 1 1 D B. CÁC VÍ DĀ
Ví dā 2.1. Một công ty sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm có hàm sÁn xu¿t 3
Q ý 5 K L với
Q, K, L được tính hàng ngày. Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi
nhuận hàng ngày của công ty theo K và L, biết rằng giá sÁn phẩm là 4 USD, giá tư bÁn
là 15 USD, giá lao động là 8 USD và mỗi ngày công ty phÁi trÁ 50 USD cho chi phí khác. Giải Hàm doanh thu là: 3 3 TR ý .
p Q ý 4.5 K L ý 20 K L;
Hàm chi phí là: TC ý 15K 8L 50; Hàm lợi nhuận là: 3
ð ý TR TCý 20 K L 15K 8L 50. 1 2
Ví dā 2.2. Cho hàm sÁn xu¿t Cobb-Douglas 3 3
Q ý 6K L (K þ 0, L þ 0). Q ö öQ a) Tính và
t¿i điểm (K, L) ý (8, 27) và giÁi thích ý nghĩa; K ö L ö
b) Chứng minh rằng MPPK giÁm khi K tăng và L không đổi; 32
c) Tính các hệ số co giãn riêng của Q theo K và L t¿i điểm (K, L) ý (8, 27) rồi giÁi thích ý nghĩa.
d) T¿i điểm (K, L) ý (8, 27) cho K
ý 0,1; L ý 0, 2 là các mức biến động của vốn
và lao động. Tính d Q(8, 27), d Q(8, 27), dQ(8, 27) và giÁi thích ý nghĩa của K L chúng.
Giải 2 2 öQ 1 1 öQ Q ö Q ö 8 a) 3 3 ý 2K L , 3 3 ý 4K L nên (8, 27) ý 4,5; (8, 27) ý . öK L ö K ö öL 3 Q
ö (8,27) cho biết khi L cố định bằng 27, còn K tăng từ 8 lên 9 thì Q tăng K ö x¿p xỉ 4,5; Q
ö (8,27) cho biết khi K cố đ nịh bằng 8, còn L tăng từ 27 lên 28 thì Q L ö 8 tăng x¿p xỉ . 3 2 5 2 MPP Q 4 ö ö b) Do K 3 3 ý
ý K L ü 0 nên MPPK giÁm khi K tăng và L không đổi. 2 öK öK 3 Q ö 8 8 1 c) õ (8, 27) ý (8,27). ý 4,5. ý ; K K ö Q(8, 27) 108 3 Q 27 8 27 2 õ ö (8, 27) ý (8,27). ý . ý L L ö Q(8, 27) 3 108 3
Ý nghĩa: õ (8, 27) K
cho biết khi L cố định bằng 27, còn K tăng 1% từ 8 đến 8,08 thì Q tăng x¿p xỉ 0,33%.
cho biết khi K cố định bằng 8, còn L tăng 1% từ 27 đến 27,27 thì Q õ (8, 27) L tăng x¿p xỉ 0,67%. öQ d) d Q(8, 27) ý (8, 27) K ý 4,5.0,1 ý 0, 45; K öK Q ö 8 1,6 d Q(8, 27) ý (8, 27) L ý .0, 2 ý ; L L ö 3 3 öQ öQ 1,6 2,95 dQ(8, 27) ý (8, 27) K (8, 27) L ý 0, 45 ý . öK öL 3 3
Ý nghĩa: d Q(8, 27)
ố định bằng 27, còn K ăng từ 8 lên 8,1 thì Q ă K cho biết khi L c t t ng x¿p xỉ 0,45. 33 d Q(8, 27)
cố định bằng 8, còn L tăng từ 27 lên 27,2 thì tăng L cho biết khi K Q 1, 6 . 3 d (
Q 8, 27) cho biết khi K tăng từ 8 lên 8,1, còn L tăng từ 27 lên 27,2 thì Q tăng 2,95 x¿p xỉ . 3
Ví dā 2.3. Biết hàm lợi ích của một hộ gia đình là 2 2
U (x, y) ý 8x x 2y , trong
đó x, y tương ứng là số đơn vị hàng hóa 1 và 2.
a) Viết phương trình đưßng bàng quan đi qua điểm (1, 2);
b) Chứng minh rằng phương trình đưßng bàng quan trên xác định hàm ẩn
y = y(x) sao cho y(1) = 2. Tính y (
ò2) và giÁi thích ý nghĩa. Giải
a) Do U (1, 2) ý 15 , nên phương trình đưßng bàng quan đi qua điểm (1, 2) là 2 2
8x x 2 y 15 ý 0. b) Với hàm 2 2
f (x, y) ý 8x x 2 y 15 ta có f (
òx, y) ý 4y , nên f ( ò1, 2) 8 ý 0 . y y
Theo định lí về sự tồn t¿i của hàm ẩn, phương trình f (x, y) ý 0, xác định một hàm
ẩn y = y(x) sao cho y(1) = 2. f ò x (1, 2) 6 3 Ta có y (1 ò ) ý ý ý . f (1 ò , 2) 8 4 y
y (ò2) chính là độ dốc của đưßng bàng quan t¿i điểm (1, 2). Độ dốc này âm nên t¿i
điểm (1, 2), để duy trì mức lợi ích U ý15 thì khi lượng hàng hóa 1 tăng lên thì
lượng hàng hóa 2 phÁi giÁm xuống.
Ví dā 2.4. Tìm cực trị của hàm số 4 4 2 f ( ,
x y) ý x y ( x y) .
Giải ö ü f 3
ý4 x 2( x ) y ý0 ÿ ÿ x ö Từ hệ phương trình ý f ö 3 ÿ 4 ý y 2 ( x ) y 0 ý ö ÿ y þ
ta có các điểm tới h¿n là: M (1,1), M ( 1 , 1 ), M (0,0) . 1 2 3 2 ö f 2 ö f 2 2 ö f ö f 2 ý 12x 2 , 2 ý 12 y 2 , ý ý 2 2 2 x ö y ö öxöy öyöx nên 2 2
D(I ) ý 4(6x 1)(6 y 1) 4. 34 2 ö f ÷ D(M ) þ 0, (M )þ 0 ểu. Giá trị cự
ểu là f(1,1) = –2. 1 2 1 x ö
nên M1 là điểm cực ti c ti 2 ö f ÷ D(M ) þ 0, (M )þ 0 nên M 2 2 2 öx
2 là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu là f(–1,–1) = –2. ÷ D(M ) ý 0 3
nên ta phÁi xét d¿u trực tiếp 4 4 2
f (M ) ý f (x, y) f (0,0) ý x y (x y) . 3
Với y ý x 0 , ta có 4 f
(M ) ý 2x þ 0 . 3
Với 0 ü x ü 1 và y = 0 ta có 2 2
f (M ) ý x (x 1) ü 0. Suy ra M 3 3 không phÁi là điểm cực trị.
Ví dā 2.5. GiÁ sử một công ty sÁn xu¿t 2 lo¿i sÁn phẩm có sÁn lượng Q , Q với 1 2
mức giá p ý 60, p ý 75 và hàm tổng chi phí là 2 2
TC(Q ,Q ) ý Q Q Q Q . Tìm 1 2 1 2 1 1 2 2
mức sÁn lượng Q ,Q để công ty đ¿t lợi nhuận tối đa. 1 2 Giải
Doanh thu của công ty là: p Q p Q ý 60Q 75Q ; 1 1 2 2 1 2
Lợi nhuận của công ty là:
ð (Q ,Q ) ý Doanh thu – Chi phí = 2 2
60Q 75Q (Q Q Q Q ). 1 2 1 2 1 1 2 2 ü öð ý602Q Q ý0 1 2 ÿ ÿ Q ö Từ hệ phương trình 1 ý
ta có điểm tới h¿n là (Q ,Q ) ý (15,30). öð 1 2 ÿ 7 ý 5 Q 2 Q 0 ý 1 2 ÿ Q ö þ 2 2 2 2 2 ö ð ö ð ö ð ö ð ý 2 , ý 2 , ý ý 1 . 2 2 öQ öQ öQ öQ öQ öQ 1 2 1 2 2 1 2 ö ð Do 2 2
D(15,30) ý (2) (1) ý 3þ 0,
(15,30)ü 0 nên hàm π đ¿t cực đ¿i t¿i 2 öQ1
(15,30) . Mặt khác, hàm π có đúng một điểm cực trị trong miền xác định, nên công
ty đ¿t lợi nhuận tối đa nếu mức sÁn lượng là (Q ,Q ) ý (15,30) . 1 2
Ví dā 2.6. Một trung tâm thương m¿i có doanh thu phụ thuộc vào thßi lượng
quÁng cáo trên đài phát thanh (x phút, x > 0) và trên đài truyền hình (y phút, y > 0). Hàm doanh thu là: 2 2
TR ý 320x 2x 3xy 5y 540y 2000. 35
Chi phí cho mỗi phút quÁng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên đài truyền
hình là 4 triệu đồng. Ngân sách chi cho quÁng cáo là 180 triệu đồng. Tìm x, y để doanh thu đ¿t cực đ¿i. Giải
Số tiền chi cho quÁng cáo trên đài phát thanh là x triệu đồng.
Số tiền chi cho quÁng cáo trên đài truyền hình là y triệu đồng.
Do ngân sách chi cho quÁng cáo là 180 triệu đồng, nên x 4 y ý180 .
Vậy bài toán đã cho là tìm cực trị của hàm số 2 2
TR ý 320x 2x 3xy 5y 540y 2000
với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 4 y ý 180 .
Cách 1. Đưa về hàm số một biến:
Thế x ý 180 4y vào biểu thức của TR, ta có hàm 1 biến 2 2
TR ý 320(180 4 y) 2(180 4y) 3(180 4 y) y 5 y 540y 2000 2 2
ý 25y 1600 y 5200 ý 20400 (5y 160) ó 20400.
Đẳng thức xÁy ra khi và chỉ khi y = 32.
Vậy doanh thu đ¿t cực đ¿i t¿i ( , x y) ý (52,32) .
Cách 2. Dùng phương pháp nhân tử Lagrange: Ta lập hàm Lagrange: 2 2 L( , x ,
y ) ý 320 x 2 x 3 xy5 y 540 y 2000 (180 x 4 ) y L ü ò x y ý
x y ý x( , , ) 320 4 3 0 ÿ
GiÁi hệ phương trình L ý x
ò y ý x y ý y ( , , ) 3 10 540 4 0 x ÿ þ 4 y 1 ý 80
ta có nghiệm duy nh¿t là ( ,
x y, ) ý (52,32,16).
Lò(òx, y,) ý 4 , L (x ò , ò y,) ý 1
0, L (x,ò y
ò ,) ý L (x, yò,ò) ý 3. 2 2 xy yx x y Với g( ,
x y) ý x 4 , y ta có: g (
ò x, y) ý1, g ( ò x, y) ý 4. x y 0 1 4
T¿i (x, y, ) ý (52,32,16) , ta có H ý 1 4 3 þ 0 4 3 1 0
nên doanh thu đ¿t cực đ¿i t¿i (x, y) ý (52,32) .
Ví dā 2.7. Tìm giá trị lớn nh¿t, giá trị nhỏ nh¿t của 2 2
f (x, y ) ý x y trên miền 2 2
D : x y ó 1. 36
Giải D có biên là 2 2 C x y ý ø 2 2 : 1, g( , x )
y ý x y ù. o ü f ò 2 ý x 0 ý ÿ Trong 2 2
D : x y ü 1, giÁi hệ phương trình: x ý f òý 2 y ý 0 ÿ þ y
ta tìm được điểm tới h¿n O(0,0). Lập hàm Lagrange 2 2 2 2 ( L , x ,
y ) ý x y (1 x y ). ñòó ñôòôó f ( , x ) y 1 g( , x ) y üL ( ò , x , y ) 2 ý x 2 x 0 ý x ÿ
GiÁi hệ phương trình: ýL (ò , x ,
y ) ý 2 y 2 y ý 0, y ÿ 2 2 x y 1 ý þ ta tìm được ý 1.
Với ý 1, thì từ hệ trên ta có các điểm tới h¿n trên biên C là
M 1;0 , M 1;0 . 1 ø ù 2 ø ù
Với ý 1, thì từ hệ trên ta có các điểm tới h¿n trên biên C là
M 0;1 , M 0;1 . 3 ø ù 4 ø ù Tính đư c
ợ f (O) ý 0, f (M ) ý f (M ) ý 1, f (M ) ý f (M ) ý 1. 1 2 3 4
Từ đây, ta có: max f ý max0 ; 1;
1 ý 1, min f ý min0;1; 1 ý 1. D D C. BÀI TÂP
Bài 1. Một công ty độc quyền sÁn xu¿t 2 lo¿i sÁn phẩm với hàm chi phí kết hợp là 2 2
TC ý 3Q 2Q Q 4Q , trong đó Q 1 1 2 2
i là lượng sÁn phẩm thứ i. Cho biết hàm cÁu
đối với sÁn phẩm 1 và 2 tương ứng là: Q ý 3205p ,Q ý1502 p . Lập hàm số D 1 D 2 1 2
biểu diễn tổng lợi nhuận của công ty theo Q ,Q . 1 2
Bài 2. Cho hàm cung, hàm cÁu của thị trưßng 2 hàng hóa: üQ ý 2 p Q p S ü ý 2 3 ÿ ÿ 1 1 S2 2 ý ; ý Q 1 ý 8 3 p p Q 1 ý 2 p 2 ÿ þ p D ÿ 1 1 2 þ 2D 1 2
a) Để các nhà sÁn xu¿t cung ứng hàng hóa cho thị trưßng thì mức giá p , p phÁi 1 2
thỏa mãn các điều kiện nào?
b) Xác định giá và lượng cân bằng cho các hàng hóa. 37 y Bài 3. Cho hàm số 2 2
z ý arctan ln x y . Tính (x y) zò (x y ) z ; ò z òò z .òò x x y 2 2 x y x Bài 4. Cho hàm số 2 2
z ý x arctan x y . Chứng minh rằng 2 2
xzò yz òý z x y . y x y
Bài 5. Cho z ý (
x y) y(x y). Chứng minh rằng zò 2z òò z òý0 ò với , 2 2 xy x y
là các hàm tùy ý có đ¿o hàm đến c¿p 2 trên . x x ü ý u v
Bài 6. Chứng minh rằng hàm số z ý arctan , á đó ý thỏa mãn hệ thức y y ý u þ v öz öz u v ý . 2 2 öu öv u v
Bài 7. Một công ty sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm với hàm sÁn xu¿t 3 Q ý 80 K L,
với Q, K, L được tính hàng ngày.
a) Cho biết sÁn lượng khi đÁu vào là: K ý 25, L ý 1000 ;
b) Nếu giá một đơn vị tư bÁn là 12 USD, giá một đơn vị lao động là 2,5 USD và
công ty sử dụng các yếu tố đÁu vào á mức nêu trong ý a) thì công ty nên sử dụng
thêm 1 đơn vị tư bÁn hay thêm một đơn vị lao động mỗi ngày ? 5
Bài 8. Hàm cÁu của hàng hóa trên thị trưßng hai hàng hóa là 2 2
Q ý63002 p p , 1 2 3
trong đó p ,p tương ứng là giá của hàng hóa 1 và 2. Tính hệ số co giãn của Q 1 2
theo p1 và của Q theo p2 t¿i ( p , p )ý (20,30) và nêu ý nghĩa. 1 2
Bài 9. Mức cÁu Q
d của một lo¿i hàng hóa là 0,3 0,2 Q M p trong đó p là giá d ý 1, 5 ,
hàng hóa đó, M là thu nhập của ngưßi tiêu dùng. Mức cung của hàng hóa đó là 0,3 Q ý 1, 4 p . S
a) Xác định hệ số co giãn của Qd theo giá và theo thu nhập;
b) Xét tác động của thu nhập M tới mức giá cân bằng.
Bài 10. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 3 4 4 2
z ý 2x y 4x 4y ; b) 2 2 x y 2 2 z ý e (2x 3 y ) ; 50 20 c) z ý xy
(x þ 0, y þ 0); d) 2 2
z ý xy 1 x y ; x y 2x 2 y 1 e) 2 2
z ý xy ln(x y ) ; f) z ý ; 2 2 1 x y 38
Bài 11. Tìm các hằng số a, b, c để hàm số 3 3
z ý 2x 3xy 2 y ax by c đ¿t cực
trị t¿i (1,1) và z(1,1) = 0.
Bài 12. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau:
a) z ý xy với điều kiện x y ý1;
b) z ý xy với điều kiện 2 2 2
x y ý 2a (a 0) ;
c) z ý 2x 9y với điều kiện 2 2 x 3y ý 31; x y d) 2 2
z ý x y với điều kiện ý 1; 2 3 ð ö ð ð ö e) 2 2
z ý cos x cos y với điều kiện y x ý ,x þ , . 4 ÷ 2 2 ÷ ø ø
Bài 13. Tìm giá trị lớn nh¿t và bé nh¿t của các hàm số sau: a) 2 2
z ý x y trong miền 2 2 ( ,
x y) | x y ó 1 ; b) 2 2
z ý x y 12x 16y trong miền 2 2
(x, y) | x y ó 25.
Bài 14. Một công ty sÁn xu¿t hai lo¿i sÁn phẩm với giá bán ra thị trưßng là p1 = 17
USD, p2 = 21 USD. Hàm tổng chi phí theo sÁn lượng là: 2 2
TC ý 4Q 4Q Q 2Q 11Q 25Q 3 1 1 2 2 1 2
Tìm các mức sÁn lượng công ty cÁn sÁn xu¿t để lợi nhuận tối đa.
Bài 15. Một công ty độc quyền sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm á hai cơ sá với hàm chi phí tương ứng là 2 2
TC ý128 0, 2Q ; TC ý 156 0,1Q . Hàm cÁu ngược của 1 1 2 2
công ty là p ý 600 0,1(Q Q ). Xác định lư n
ợ g sÁn phẩm cÁn sÁn xu¿t á mỗi cơ 1 2
sá để tối đa hóa lợi nhuận.
Bài 16. Một công ty độc quyền sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm nhưng tiêu thụ á hai
thị trưßng với các hàm cÁu tương ứng là Q ý 24 0,2 p ; Q ý 10 0,05 p và 1 1 2 2
hàm chi phí kết hợp là TC ý 35 40(Q Q ). Xác định lượng sÁn phẩm cÁn sÁn 1 2
xu¿t á mỗi cơ sá và giá bán để thu được lợi nhuận tối đa.
Bài 17. Hãng kinh doanh độc quyền có các hàm cÁu trên hai thị trưßng là:
Q ý 40 2 p p ,Q ý 35 p p và hàm tổng chi phí là 2 2
TC ý Q 2Q 1 0 . 1 1 2 2 1 2 1 2
Tìm mức sÁn lượng cho mỗi thị trưßng đ
ể lợi nhuận tối đa. Tính mức giá khi lợi nhuận tối đa. 39
Bài 18. Một công ty độc quyền sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm t¿i hai nhà máy 1 và 2
với hàm chi phí cận biên tương ứng là MC ý 2 0, 2Q ; MC ý 6 0,04Q (Q 1 1 2 2 i là
lượng sÁn phẩm á nhà máy thứ i). Công ty đó bán sÁn phẩm trên thị trưßng với
hàm cÁu ngược là p ý 66 0,1Q . Xác định lượng sÁn phẩm cÁn sÁn xu¿t á mỗi
nhà máy và giá bán để thu được lợi nhuận tối đa.
Bài 19. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng là 0,4 0,4
U (x, y) ý 5x y trong đó x, y tư n
ơ g ứng là số đơn vị hàng hóa 1 và 2 (x > 0, y > 0). Ngân sách tiêu dùng là
300 USD, giá đơn vị hàng hóa 1 và 2 lÁn lượt là 3 USD, 5 USD. Tìm gói hàng hóa
để lợi ích tiêu dùng lớn nh¿t.
Bài 20. Một doanh nghiệp có hàm sÁn xu¿t 0,3 0,5
Q ý K L . GiÁ sử giá thuê tư bÁn là
6 USD, giá thuê lao động là 2 USD và doanh nghiệp tiến hành sÁn xu¿t với ngân
sách cố định 384 USD. Doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đ n ơ vị tư bÁn và bao
nhiêu đơn vị lao động thì thu được sÁn lượng tối đa?
Bài 21. Một công ty sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm với hàm sÁn xu¿t là Q ý K (L 5)
trong đó Q, K, L tư n
ơ g ứng là sÁn lượng, vốn, lao động (Q, K, L > 0). Công ty này
nhận hợp đồng cung c¿p 5600 sÁn phẩm. Cho biết phương án sử dụng các yếu tố K
và L sao cho việc sÁn xu¿t tốn ít chi phí nh¿t, trong điều kiện giá thuê tư bÁn là
w ý 70 và giá thuê lao động là w ý . L 20 K
Bài 22. Một hộ nông dân trồng đậu và cà trên diện tích 8a. Nếu trồng đậu thì cÁn
20 công và thu 3000000 đồng trên mỗi a, nếu trồng cà thì cÁn 30 công và thu
4000000 đồng trên mỗi a. Hỏi cÁn trồng mỗi lo¿i cây trên diện tích là bao nhiêu để
thu được nhiều tiền nh¿t khi tổng số công không quá 180?
Bài 23. Ngưßi ta dự định dùng hai lo¿i nguyên liệu để chiết xu¿t ít nh¿t 140 kg
ch¿t A và 9 kg ch¿t B. Từ mỗi t¿n nguyên liệu lo¿i I giá 4 triệu đồng, có thể chiết
xu¿t được 20 kg ch¿t A và 0,6 kg ch¿t B. Từ mỗi t¿n nguyên liệu lo¿i II giá 3 triệu
đồng, có thể chiết xu¿t được 10 kg ch¿t A và 1,5 kg ch¿t B. Hỏi phÁi dùng bao
nhiêu t¿n nguyên liệu mỗi lo¿i để chi phí mua nguyên liệu là ít nh¿t, biết rằng cơ
sá cung c¿p nguyên liệu chỉ có thể cung c¿p không quá 10 t¿n nguyên liệu lo¿i I
và không quá 9 t¿n nguyên liệu lo¿i II ?
D. ĐÁP Sà VÀ H¯àNG DÀN
Bài 1. Hướng dẫn: 2 2 Q Q Hàm doanh thu: 1 2
TR ý p Q p Q ý 64Q 75Q ; 1 1 2 2 1 2 5 2 40 2 2 16Q 9Q Hàm lợi nhuận: 1 2
ð ý TR TC ý 64Q 75Q 2Q Q . 1 2 1 2 5 2
Bài 2. Hướng dẫn: üQ þ 0 a) p ÿ S 1, p2 thỏa mãn: 1 ý . Q þ ÿ 0 þ S2 üQ ý Q
b) Mô hình cân bằng là: ÿ S D 1 1 ý . Q ý ÿ þ Q 2 S 2 D
Bài 7. a) Q = 4000;
b) Nên sử dụng thêm 1 đơn vị tư bÁn.
Bài 8. õ (20,30) ý 0, 4; õ (20,30) ý 0,75. 1 p 2 p Bài 9. a) õ õ p ý 0, 2; M ý 0, 3.
b) Tính đ¿o hàm của giá cân bằng theo M . Từ đó suy ra khi thu nhập tăng
lên thì giá cân bằng cũng tăng.
Bài 10. Hướng dẫn:
a) Tìm cực trị của hàm số trong căn dễ hơn. Các điểm dừng (1;1), (0;1)
b) Các điểm dừng (1; 0), (0; 1), (0; 0);
c) Điểm dừng duy nh¿t (5, 2); ö 1 1 ö ö 1 1 ö d) (0; 0), ; ÷ , ; ; 3 3 ÷ ÷ ÷ ø ø ø 3 3 ø ö 1 1 ö ö 1 1 ö e) (0; 1), (1; 0), ; ÷ ÷ , ; ; ÷ ÷ ø 2e 2e ø ø 2e 2e ø
f) Điểm dừng duy nh¿t (2, 2).
Bài 11. a = b = 3, c = 5. ö1 1 ö
Bài 12. a) Điểm CĐ: , ÷
; b) Điểm CĐ: (a, a); (a, a); điểm CT: (a, –a); (–a, a). 2 2 ÷ ø ø
c) Điểm CĐ: (2, 3); điểm CT: (–2, –3); 1 ö 8 12 ö ð ð ö3ð 5ð d) Điểm CT: , ö; e) Điểm CĐ: , ö ; điểm CT: , ö. 1 ÷ 3 13 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ø ø 8 8 ø ø 8 8 ø Bài 13. a) z ý 1; z ý 1 b) z ý125; z ý 7 5. max min max min 41
Bài 14. (Q ,Q ) ý (6, 5). 1 2
Bài 15. Hướng dẫn: TR ý .
P Q ý 600 0.1(Q Q ) .(Q Q ),TC ý C C ,ð ý TR T . C 1 2 1 2 1 2
ð đ¿t giá trị lớn nh¿t t¿i (Q ;Q ) ý (600;1200). 1 2
Bài 16. (Q ,Q ) ý (8, 4), ( p , p ) ý 80,120 . 1 2 1 2 ø ù ö 25 65 ö ö85 170 ö
Bài 17. (Q , Q ) ý , , ( p , p ) ý , . 1 2 ÷ ÷ ÷ ÷ ø 7 14 ø 1 2 ø 14 7 ø
Bài 18. (Q ;Q ) ý (60; 200); p ý 40. 1 2
Bài 19. Hướng dẫn: Tìm cực trị của 0,4 0,4
U (x, y) ý 5x y với điều kiện 300 – 3x – 5y = 0;
Lợi ích tiêu dùng lớn nh¿t với gói hàng hóa ( , x y) ý(50, 30) .
Bài 20. Hướng dẫn: Tìm cực trị của 0,3 0,5
Q ý K L với điều kiện 384 – 6K – 2L = 0.
SÁn lượng đ¿t giá trị tối đa t¿i (K; L) ý (24;120).
Bài 21. Hướng dẫn:
Tìm cực trị của hàm chi phí C = 70K + 20L với điều kiện 5600 – K(L + 5) = 0.
ĐS: (K; L) ý (40;135) .
Bài 22. Hướng dẫn:
x = diện tích trồng đ u
ậ ; y = diện tích trồng cà (đơn vị: a).
Ta có: x ó 0; y ó 0; 20x 30 y ó180.
Số tiền thu được là f ( , x )
y ý3 x 4 y (triệu đồng).
f đ¿t giá trị lớn nh¿t t¿i (x; y) ý (6;2).
Bài 23. 5 t¿n nguyên liệu lo¿i I và 4 t¿n nguyên liệu lo¿i II. 42 Ch−¬ng 3
MÔ HÌNH TOÁN KINH T¾
A. TÓM TÄT LÝ THUY¾T
3.1. ĐO L¯âNG SĀ THAY ĐÞI CĂA BI¾N NÞI SINH THEO BI¾N NGO¾I SINH
3.1.1. Đo l°ãng sā thay đßi tuyßt đái
Xét hàm Y ý F ( X ) với X ý (X ,X ,...,X ). 1 2 n
Trường hợp 1. Biến ngo¿i sinh X thay đổi lượng nhỏ X và X k i cố đ n ị h k ( ) i i •
Số gia riêng của hàm số Y ý F (X ) theo biến X : i Y ý F X X X X F X X X i ( ,..., i i , ...., n ) (
,..., i ,...., n ). 1 1 Y i •
Lượng thay đổi trung bình của Y theo X là ò ý . i X i 0 F ö (X )
Nếu hàm số Y ý F (X ) khÁ vi theo biến X thì ò (X ) ý . i i X ö i
Chú ý. Trong toán học, nếu X
đủ nhỏ thì ò (X ò i ) . i
Trong kinh tế, nếu X ý1thì ò(X ) Y . i i i
Trường hợp 2. T¿t cÁ các biến ngo¿i sinh X thay đổi lượng nhỏ X (i ý 1, n) i i •
Sự thay đổi của biến nội sinh Y theo vectơ X ý (X ,X ,...,X ) : 1 2 n öF öF öF Y X X ... X . 1 2 n öX öX öX 1 2 n • Nếu X
(i ý1,n)là vi phân của các biến ngo¿i sinh thì ta có: i F ö F ö F ö dY ý dX dX ... dX . 1 2 n X ö X ö X ö 1 2 n •
Nếu X là biến nội sinh phụ thuộc vào một hoặc nhiều biến khác thì để đo i
lưßng sự thay đổi của Y theo X ta sử dụng công thức tính đ¿o hàm của i hàm hợp. 43 •
Nếu quan hệ giữa biến nội sinh và biến ngo¿i sinh được cho dưới d¿ng
hàm ẩn F (Y , X ) ý 0 thì ta sử dụng công thức tính đ¿o hàm của hàm ẩn. Y ö öF öF ý : (i ý1, n). öX öX öY i i
3.2.2. Đo l°ãng sā thay đßi t°¢ng đái
a) Hệ số co giãn •
Hệ số co giãn của Y ý F (X ) theo X : Y Y X X õ ý . Y .ò . X X Y Y •
Hệ số co giãn riêng củaY ýF (X X X theo biến X : 1,..., i,..., n) i Y X öF X Y i õ ý . i . i . Xi X Y öX Y i i n Y Y •
Hệ số co giãn toàn phÁn:õ ý õ . õ X i i 1 ý
b) Hệ số tăng trưởng
GiÁ sử Y ý F( X (t), X ( )
t ,..., X (t)) , 1 2 n 1 dX X i i •
Hệ số tăng trưáng riêng của biến X : r ý X . . i i X dt X i i n Y • Hệ số tăng trư n
á g của Y : r ý õ õ r . Y i X i X i 1 ý
c) Hệ số thay thế (bổ sung) öF dX X ö dX X
MRS (i, j ) j i ý ý ; i i ý . dX F ö dX X j j j X ö i •
Hệ số thay thế cận biên của X cho X : Nếu MRS(i, j) ü 0thì ta nói X thay i j i
thế cho X với tỷ lệ MRS( ,i j) . j •
Hệ số bổ sung cận biên của X cho X : Nếu MRS(i, j) þ 0 thì ta i j
nói X và X bổ sung cho nhau với tỷ lệ MRS(i, j) . i j
d) Tăng quy mô và hiệu quả 44
Hàm công nghệ sÁn xu¿t Y ý F (X X X 1 , 2 ,..., n ) •
F(tX1,tX2,..., tX þ t F X X
X ta nói khi tăng quy mô, hiệu quÁ n ) . ( 1, 2,..., n) sÁn xu¿t tăng. •
F(tX1,tX2,..., tX ü t F X X
X ta nói khi tăng quy mô, hiệu quÁ n ) . ( 1, 2,..., n) sÁn xu¿t giÁm. •
F(tX1,tX2,..., tX ý t F X X
X ta nói khi tăng quy mô, hiệu quÁ n ) . ( 1, 2,..., n)
sÁn xu¿t không thay đổi.
3.2. MÞT Sà MÔ HÌNH KINH T¾ PHÞ BI¾N
3.2.1. Mô hình tái °u
a) Mô hình phân tích hành vi sản xuất
Hàm sản xuất
Hàm sÁn xu¿t: Q ý F( X , X ,..., X ) 1 2 n
Q là biến nội sinh, X ,X ,...,X là các biến ngo¿i sinh. 1 2 n
Phân tích mô hình •
Xét hàm sản xuất ngắn hạn
Sử dụng các thước đo:
- Năng su¿t cận biên của yếu tố đÁu vào thứ i (sÁn phẩm hiện vật cận biên): öF MPP ý i ý n i ( 1, ). X ö i
- Năng su¿t trung bình của yếu tố đÁu vào thứ i: F (X ) AP ý i ý n i ( 1, ). Xi
- Hệ số co giãn của Y theo yếu tố đÁu vào thứ i: Y X öF X Y i õ ý . i . i X . i X Y öX Y i i
- Hệ số thay thế giữa yếu tố đÁu vào thứ i, j: F ö dX ö X MRS(i, j) j i ý ý . dX F ö j ö Xi 45 •
Xét hàm sản xuất dài hạn
Xét trưßng hợp t¿t cÁ các yếu tố đÁu vào thay đổi theo cùng một tỷ lệ. Chúng ta đề
cập đến v¿n đề tăng quy mô và hiệu quÁ. n
Để đo lưßng hiệu quÁ theo quy mô ta sử dụng độ co giãn toàn phÁn: Q Q õ ý õ õX .i i 1 ý
Mô hình tối ưu về mặt kinh tế của quá trình sản xuất
Mô hình 1. Mô hình cāc tiểu hóa chi phí
Tìm X , X ,..., X sao cho tổng chi phí: 1 2 n n TC ý w X õ min i i i 1 ý
với điều kiện ràng buộc về sÁn lượng Q ý F( X , X ,..., X ) . 1 2 n
Mô hình 2. Mô hình tái đa hóa sÁn l°ÿng
Tìm X , X ,..., X sao cho sÁn lượng: 1 2 n
Q ý F( X , X ,..., X n) max 1 2 n
với điều kiện ràng buộc w X õ ý K. i i i 1 ý
Mô hình 3. Mô hình tái đa hóa lÿi nhuÃn căa doanh nghißp
Xác định Q để ð ý T ( R )
Q TC(Q) max.
b) Mô hình phân tích hành vi người tiêu dùng
Mô hình hóa thị hiếu, sở thích của hộ gia đình
Hàm thỏa dụng (hàm lợi ích) U (X ) ý U (X , X ,..., X a b c m , , , ,...). 1 2
D¿ng hàm U , a,b,c,... biểu thị sá thích, thị hiếu.
Phân tích mô hình U ö
- Độ thỏa dụng biên của hàng hóa i ta cÁn tính: MU ý các hàm MU giÁ i , X ö i i thiết là dương. MU
- Hệ số thay thế hàng hóa i bằng hàng hóa j ta cÁn tính: j . MU i 46
Mô hình 4. Mô hình tái đa hóa lÿi ích
Tìm giỏ hàng hóa X ý ( X , X ,..., X sao cho: m ) 1 2 m
U ý U (X ) max , với điều kiện õ p X ý M i i . iý1
3.4.2. Mô hình cân bằng thß tr°ãng
a) Mô hình cân bằng một thị trường
Mô hình 5. Mô hình cân bằng mßt thß tr°ãng
- Hàm cung của thị trưßng S ý S( , p a, , b ...) .
- Hàm cÁu của thị trưßng: D ý D ø p, p , M , ñ, . ò . ù. . i öS öD giÁ thiết á đây là þ 0, ü 0 . öp öp
Tìm giá và lượng cân bằng: S ý D.
b) Mô hình cân bằng vĩ mô
Mô hình 6. Mô hình cân bằng vĩ mô Tìm thu nhập cân bằng: Y
ü ý C I G EX IM ÿC C ý ò Y T ÿ 0 ø ù ý
I ýI ñr ÿ 0 T ÿ þ ý ô Y
3.4.3. Mô hình kinh t¿ đßng
Mô hình 7. Mô hình cân bằng giá tuy¿n tính
GiÁ sử trên thị trưßng hàng hóa A , giá của hàng hóa A tác động đến cung – cÁu Mô hình a. Q ü
ý a bP (a,b þ 0) d ý . Q ý c dP ( , c d þ 0) þ s
Điều kiện cân bằng thị trưßng: Q ý Q . s d Mô hình b. Q ü ý a bP (a,b þ 0) dt t ý . Q ý c
dP (c,d þ 0) þ st t 1 47
Điều kiện cân bằng thị trưßng: Q ý Q . st dt
Mô hình 8. Mô hình tăng tr°ởng kinh t¿ Domar
üdK ý I( )t (1) ÿdt ÿ ÿ 1 ý ( Y )t ý ( I )t (2) s ÿ ÿ (
Q t) ýò K(t), ò 0 þ (3) ÿ þ ( Q t) Y ý (t) (4) B. CÁC VÍ DĀ
Ví dā 3.1. Cho hàm sÁn xu¿t có d¿ng 0,5 0,5
Q ý 2K L trong đó Q là sÁn lượng, K là
số đơn vị vốn, L là số đơn vị lao động. T¿i K = 4, L = 16, khi tăng vốn lên 1 đơn vị
và giÁm lao động đi 3 đơn vị thì sÁn lượng thay đổi như thế nào?
Giải Q ö 0 ,5 0,5 0 ,5 0,5 ý 2.0,5.K L ý K L K ö Q ö 0,5 0,5 0,5 0,5 ý 2.0,5.K L ý K L . öL
T¿i K = 4, L = 16 ta có: öQ 0 ,5 0,5 (4,16) ý 4 16 ý 2 K ö Q ö 0,5 0,5 1 (4,16) ý 4 16 ý . öL 2
Khi tăng vốn lên 1 đơn vị và tăng lao động đi 3 đơn vị thì sÁn lượng thay đổi: 1 Q ý2.1 .3 ý0,5. 2
Vậy t¿i K = 4, L = 16, khi tăng vốn lên 1 đơn vị và giÁm lao động đi 3 đơn vị thì
sÁn lượng tăng x¿p xỉ 0,5 đ n ơ vị.
Ví dā 3.2. Cho hàm của hàng hóa A 0,3 0,05 S 2,5p T ý
trong đó S là lượng cung hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, T là thuế.
a) Tính hệ số co giãn của S theo p và hệ số co giãn của S theo T.
b) Lượng cung thay đổi như thế nào khi giá hàng hóa A tăng 5% và thuế tăng 1%. 48
Giải a) S S p õ ö S ö T ý . ý 0,3 S õ ý . ý 0, 05. p p ö S T öT S
b) Nếu giá hàng hóa A tăng 5% và thuế tăng 1% thì sự thay đổi của lượng cung là: 0,3.5% 0,05.1% 1, 45%.
Ví dā 3.3. Dân số của một quốc gia có d¿ng 0,25 20.2 t H ý , tổng tiêu dùng của quốc gia này là 0,8 ý3 t C
e , trong đó t là biến thßi gian. Tính nhịp tăng trư n á g của
tiêu dùng tính trên đÁu ngưßi của quốc gia trên.
Giải dH dC dt r ý ý 0,25 ln 2; dt r ý ý 0,8. H H C C C
Tiêu dùng tính trên đÁu ngưßi là . H
r ý r r ý 0,8 0,25ln 2. C C H H
Ví dā 3.4. Cho hàm sÁn xu¿t 0,2 0,1 Q ý L K .
a) Xác định tỉ lệ thay thế vốn cho lao động. T¿i K = 5, L = 5, nếu tăng K lên một
đơn vị thì L thay đổi như thế nào để sÁn lư n ợ g không thay đổi ?
b) Phân tích tác động của mức sử dụng vốn K tới tỉ lệ xác định á câu a).
Giải 0,8 0,1 dK 0,2L K 2K
a) Tỉ lệ thay thế vốn cho lao động |MRS(K,L)| = ý ý . 0,2 0,9 dL 0,1L K L dK
Khi K = 5, L = 5, ta có |MRS(K,L)|= ý 2. dL
Vậy t¿i K= 5, L = 5, nếu tăng K lên một đơn vị thì có thể giÁm L đi 2 đơn vị để sÁn lượng không thay đổi. b) Ta có: ù MRS û øK Lù ò 2 , ù ý þ 0. û K L
Vậy khi K tăng thì tỉ lệ thay thế của vốn cho lao động cũng tăng.
Ví dā 3.5. Cho hàm sÁn xu¿t: 0,4 0,6 Q ý 20L K .
Hãy xét xem hiệu quÁ sÁn xu¿t thay đổi như thế nào theo quy mô.
Giải 49 t þ QøtK tL ù ý
øtKù0,4 øtLù0,6 0,4 0,6 1, , 20
ý 20tK L ý tQ(K, L).
Vậy hàm sÁn xu¿t biểu thị hiệu quÁ không đổi theo quy mô.
Ví dā 3.6. Hàm sÁn xu¿t của doanh nghiệp có d¿ng 0,5 0,5
Q ý 10K L , trong đó Q là
sÁn lượng, K là số lượng vốn, L là lao động. Cho giá vốn pK = 8, giá lao động pL= 2.
a) Tính mức sử dụng K, L để sÁn xu¿t sÁn lượng Q = 1500 với chi phí nhỏ nh¿t.
b) T¿i Q = 1500, khi Q giÁm 2 đơn vị thì chi phí tối thiểu sẽ thay đ i ổ như thế nào?
c) T¿i Q = 1500, khi Q tăng 3% thì chi phí tối thiểu sẽ thay đổi như thế nào?
d) Nếu giá vốn và lao động đều tăng 5% thì với mức sÁn lư n
ợ g như trước, mức sử
dụng vốn và lao động tối ưu sẽ thay đổi như thế nào?
e) Phân tích tác động giá vốn, lao động tới tổng chi phí tối thiểu. Giải
a) Với các yếu tố đÁu vào dự kiến là K, L. Hàm chi phí sÁn xu¿t TC ý 8K 2 . L
Như vậy đây là bài toán cực tiểu hóa chi phí có d¿ng:
Tìm K, L sao cho TC ý 8K 2L min, với điều kiện ràng buộc về sÁn lượng: 0,5 0,5
10K L ý 1500 , trong đó biến nội sinh là TC, K và L. Lập hàm Lagrange: a
L ý K L ø 0,5 0,5 8 2 1500 10K L ù.
Điều kiện cần. GiÁi hệ phương trình: ü MP p
üöñ öö L ö p üö ööL K K 0,5 ö 8 K ý ý ý ÿ ÿ÷ ÷÷ ÷ ÿ÷ ÷÷ ÷ MP p ý ýø ò øø K ø p ø ý øø K L L ø L 0,5 2 ÿ 0,5 0,5 ÿ 0,5 0,5 ÿ 0,5 0,5 1 þ 0 K L ý1500 10K L ý1500 1 þ þ 0 K L ý1500 ü L ÿ ý 4 üK ý 75 ýK ý . L ý300 0,5 0,5 1 ÿ 0K L 1 ý þ 500 þ 8 4 Thay vào phương trình: 0,5 0,5
La ' ý 0 ý .75 .(300) ý . K 5 5
Điều kiện đủ. Lập định thức 0 g g 1 2 H ý g L L 1 11 12 g L L 2 21 22 T¿i điểm (75, 300) ta có: 50 0 ,5 0,5 0,5 0 ,5
g ý gò ý 5.K
.L ý10, g ý g òý 5.K .L ý 2,5; 1 K 2 L 4 1,5 0,5 L ý a L ' ý 2,5..K L ý ; 2 11 K 75 1 0,5 1,5 L ý a
L ' ý 2,5..K L ý ; 2 22 L 600 0,5 0,5 1
L ý L ý La ' ý 2,5. . K L ý ; 12 21 KL 75 0 10 2,5 4 1 H ý 10 ü 0. 75 75 1 1 2,5 75 600
Vì (K, L) ý (75, 300) là điểm cực tiểu duy nh¿t, nên t¿i mức sử dụng vốn *
K ý 75 và mức sử dụng lao đ ng ộ *
L ý 300 để sÁn lượng Q ý1500 thì chi phí là nhỏ nh¿t * TC ý 1200.
b) Gọi tổng chi phí tối thiểu t¿i Q = 1500 là TC*, TC*(1500) = 1200. Ta có: * öTC * 4 ý ý ý 0,8. Q ö 5
T¿i Q = 1500, khi Q giÁm 2 đơn vị thì chi phí tối thiểu sẽ giÁm 1,6 đ n ơ vị.
c) Hệ số co giãn của tổng chi phí tối thiểu theo sÁn lượng là: * * öTC Q TC 1500 õ ý . ý 0,8. ý 1. Q * Q ö TC 1200
T¿i Q = 1500, khi Q tăng 3% thì chi phí tối thiểu sẽ tăng3%.
d) Nếu giá vốn và lao động cùng tăng một tỉ lệ thì mức sử dụng vốn và lao động
tối ưu sẽ không thay đ i ổ . * * öTC öTC e) Ta có * * ý K ý 75 þ 0, ý L ý 300 þ 0. öp öp K L
Nên khi giá vốn và giá lao động tăng thì chi phí tối thiểu sẽ tăng. 51
Ví dā 3.7. Một doanh nghiệp có hàm sÁn xu¿t 2/3 1/3
Q ý 30K .L trong đó Q là sÁn
lượng. Giá của một đơn vị K là 250 USD, giá của một đơn vị L là 64 USD và ngân
sách cố định (M) là 24000 USD.
a) Hãy xác định giá trị K, L đ
ể tối đa hóa sÁn lượng.
b) Phân tích tác động của ngân sách tới mức sÁn lượng tối đa.
c) Khi ngân sách tăng lên 2% thì sÁn lượng tối ưu thay đổi như thế nào? Giải
a) Bài toán tối đa hóa sÁn lượng có d¿ng:
Tìm K, L sao cho: 2/3 1/3
Q ý 30K .L max với điều kiện 250K 64L ý 24000. Lập hàm Lagrange: 2/3 1/3
L a ý 30K .L ø 24000 250K 64L ù.
Điều kiện cần. GiÁi hệ phương trình: ü L ö a 1 /3 1/3 ý 20.K .L 250 ý 0 (1) ÿ K ö ÿ ÿ L ö a 2/3 2/3 ý 1 ý 0.K .L 6 4 0 ý (2) L ÿ ö ÿ ö a L ý24000 2 50 K 6 4L 0 ý (3) ÿ þ ö 1 /3 1/3 20.K .L 250 Từ (1) và (2) suy ra: ý . 2/3 2/3 10.K .L 64 L 250 125 Do đó: 2. ý L ý
K . Thay vào phương trình (3): K 64 64 125 250K 64.
K ý 24000 K ý 64 L ý125, ý 0,1. 64
Điều kiện đủ. Lập định thức 0 g g 1 2 H ý g L L 1 11 12 g L L 2 21 22
g ý gò ý 250, g ý g òý 64 , 1 K 2 L 2 0 20 4/3 1/3 L ý a L ' ý .K L ; 1/3 2/3
L ý L ý La ' ý K L LK . ; 2 11 K 3 12 21 3 20 2/3 5/3 L a L ' .K L ý ý . 2 22 L 3 52 Ta có: 0 250 64 20 20 4/3 1/3 1/3 2/3 H ý 250 .K L .K L þ 0 ( K ,L þ 0). 3 3 20 20 1/3 2/3 2/3 5 /3 64 .K L .K L 3 3
Vì (K , L) ý (64, 125) là điểm cực đ¿i duy nh¿t, nên t¿i mức sử dụng v n ố *
K ý 64 và mức sử dụng lao động *
L ý 125 thì sÁn lượng tối đa và * Q ý 2400.
b) SÁn lượng tối đa t¿i mức ngân sách 24000 là Q*. Ta có: * Q ö * ý ý 0,1 þ 0. öM
Khi ngân sách tăng 1 đơn vị thì sÁn lư ng ợ
tối đa tăng x¿p xỉ là 0,1 đơn vị. * ö Q M Q 24000 c) Ta có: * õ ý . ý 0,1. ý1 þ 0. M * M ö Q 2400
Vậy khi ngân sách tăng 2% đơn vị thì sÁn lượng tối đa tăng x¿p xỉ là 2%.
Ví dā 3.8. Một doanh nghiệp có hàm 2
TR ý 58Q 0,5Q và hàm tổng chi phí 3 Q 2 TC ý
8,5Q 97Q F . C 3
a) Cho FC = 100, tìm mức cung Q* để lợi nhuận đ¿t t i ố đa.
b) Phân tích Ánh hưáng của FC tới Q* và * ð .
Giải 3 Q a) FC = 100, 2
ð ý TR TC ý
8Q 39Q 100 max. 3
Điều kiện cần. 2 ð ò ý Q 1 6Q 3 9 ý0 Q 3 ý ,Q 1 ý 3. 1 2
Điều kiện đ . ủ ð ' ý 2Q 16 ð (òQ ò ) 10 ý 0 þ (lo¿i), ð ( ò Q ò ) ý 1 0 ü 0 (thỏa mãn). 1 2 38
Vậy mức cung Q* = 13 thì lợi nhuận đ¿t tối đa vàð ý . max 3 3 b) Q 2 ð ý
8Q 39Q FC max 3 53 * dQ
SÁn lượng tối đa không phụ thuộc vào FC nên ý 0. dFC * dð ý 1
nên khi các yếu tố khác không đổi thi chi phí cố định tăng lên bao dFC
nhiêu thì lợi nhuận tối đa giÁm đi b¿y nhiêu.
Ví dā 3.9. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 lo¿i hàng hoá như sau: 0,4 0,4 U ý 5X X 1 2
trong đó: X1, X2 là mức tiêu dùng hàng 1, 2, giá hàng tương ứng là p1 = 3, p2 = 5.
a) Hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giÁm dÁn không?
b) Hai hàng hoá trên là thay thế hay bổ sung cho nhau?
c) Xác định mức cÁu hàng hóa 1, 2 của hộ gia đình đ
ể tối đa hóa lợi ích nếu thu
nhập dành cho tiêu dùng là M=300. Nếu thu nhập dành cho tiêu dùng giÁm 2 đơn
vị thì lợi ích tối đa thay đổi như thế nào? Giải a) Ta có: 0,6 0,4 0,4 0,6 U ò ý 2X X ; U òý 2 X X X 1 2 X 1 2 1 2 1,6 0,4 0,4 1,6
U òò ý 1, 2.X X
ü 0; U òòý 1, 2.X X ü 0 2 2 X 1 2 X 1 2 1 2
Vậy hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giÁm dÁn. b) U ö 0,4 0,6 X X ö 2X X X 1 2 1 2 1 ý ý ý ü 0. 0 ,6 0,4 X U ö 2X X X 2 1 2 2 X ö 1
Hai hàng hoá trên là thay thế cho nhau. Khi tăng mức sử dụng hàng hóa 2 lên 1 X
đơn vị thì phÁi giÁm hàng hóa 1 đi 1 đơn vị. X2 c) Lập hàm Lagrange: 0,4 0,4 L ý 5 X X
300 3X 5X . 1 2 ø 1 2 ù
Điều kiện cần. Xét hệ phương trình: 54 ü L ö 0,6 0,4 ý2 X X 3 ý0 1 2 ÿ X ö 0,6 0,4 1 ÿ 2 ü X X ý3 (1) 1 2 ÿ L ö ÿ 0,4 0,6 0,4 0,6 ý ý 2 X X 5 ý 0 2 ý X X ý 5 (2) 1 2 1 2 X ö ÿ 2 3
ÿ 00 3X 5X ý 0 (3) ÿ þ 1 2 L ö ÿ 3 ý 00 3 X 5 X ý0 1 2 þ ö Từ (1) và (2) suy ra: 0,6 0,4 2 X X 3 1 2 ý 0,4 0 ,6 2 X X 5 1 2 3
Do đó: X ý X . 2 1 5
Thay vào phương trình (3): 2 * * * 0 ,6 0,4
300 3 X 5 X ý0 X ý50, X ý30, ý . 50 .30 . 1 2 1 2 3
Điều kiện đ .
ủ Lập định thức 0 g g 1 2 H ý g L L 1 11 12 g L L 2 21 22
g ý gò ý 3, g ý g ò ý 5; 0 ,6 0 ,6
L ý L ý Lòò ý 0,8X X ; 1 X1 2 X2 12 21 X 1X 2 1 2 1,6 0,4 0,4 1,6 L ý Lòò ý 1 , 2.X
X ; L ý L òòý 1 , 2 X X . 2 2 11 X 1 2 22 X 1 2 1 2 Ta có: 0 g g 1 2 H ý g L L þ 0. 1 11 12 g L L 2 21 22
Vậy X ý 50, X ý 30 thì lợi ích được tối đa. Gọi mức lợi ích tối đa là * U , ta có: 1 2 * U ö * ý ý 0,2485 þ 0. öM
Vậy t¿i mức M = 300, nếu thu nhập dành cho tiêu dùng giÁm 2 đơn vị thì lợi ích
tối đa giÁm 0,4970 đơn vị. 55
Ví dā 3.10. Cho mô hình thị trưßng của hàng hóa A S
üÿ ý 0,3pñ ø0 üñ ü ù 1 ý D
ÿ ý 0,1pò M qñ þ
øò ü 0;0 ü ü1;ñ ü 0ù trong ó
đ S, D là hàm cung, hàm cÁu hàng hóa A; p là giá hàng hóa A; M là thu
nhập khÁ dụng; q là giá hàng hóa B. Phân tích tác động của M, của q tới giá cân bằng. Giải
Phương trình cân bằng:
S ý D 0,3 pñ ý 0,1p òM qñ 0,3 pñ 0,1p òM q ñ ý 0. Gọi giá cân bằng là * p . Đặt * *ñ *
F( p ,M ,q) 0,3p
0,1p òM qñ ý F ö * * ò 1 p ö ö
0,1. p M q M ñ ý ý þ 0. *(ñ 1 ) *( ò 1 ) M ö F ö 0,3.ñ .p 0,1.ò .p M qñ * p ö
Vậy khi thu nhập tăng thì giá cân bằng trên thị trưßng hàng hóa A tăng. F ö * *ò ñ1 p ö q ö 0,1.ñ.p M q ý ý ü 0. *( ñ 1 ) *( ò 1 ) q ö F ö 0,3.ñ.p 0,1.ò.p M q ñ * p ö
Vậy khi giá hàng hóa B tăng, các yếu tố khác không đổi thì giá cân bằng trên thị trưßng hàng hóa A tăng.
Ví dā 3.11. Cho mô hình thị trưßng của hàng hóa A 0,5 S üÿ ý0,3 p ý 2 0,7 1 D ÿ ý 0,1p M q þ
trong đó S, D là hàm cung; hàm cÁu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A; M là thu
nhập khÁ dụng; q là giá hàng hóa B. Phân tích Ánh hưáng của M tới lượng cân bằng. Giải
Phương trình cân bằng: 0,5 2 0,7 1
S ý D 0,3p ý 0,1p M q 0,5 2 0,7 1
0,3p 0,1p M q ý 0.
Gọi giá cân bằng là p*, lượng cân bằng là Q* thì: Q ý S ý ø p ù0,5 * * * 0,3 . 56 Đặt F p M q ø p ù0,5 øp ù 2 * * * 0,7 1 ( , , ) 0,3 0,1 M q ý * * * öQ öS p ö ý ý ø p ù * 2 0,3 1 0,5 * 0,1.0, 7 p M q 0,15 þ 0. * *( 0 ,5) *( 3 ) 0,7 1 M ö p ö M ö 0,3.0,5. p 0,1.2. p M q
Vậy khi thu nhập tăng p và q không đổi thì sÁn lượng cân bằng tăng.
Ví dā 3.12. Cho mô hình thị trưßng của hàng hóa A S ü ý 0,7 p 1 20 ý
D ý0,3M 0,4 p 1 00 þ
trong đó S, D là hàm cung, hàm cÁu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M là thu
nhập khÁ dụng. Có ý kiến cho rằng lượng cân bằng không phụ thuộc vào thu nhập,
ý kiến đó đúng hay sai? Giải
Điều kiện cân bằng
S ý D 0,7 p 120 ý 0,3M 0,4 p 100 1,1p 0,3M ý 220.
Gọi giá cân bằng là p* thì *
1,1p 0,3M ý 220 và p* phụ thuộc vào M.
Vậy ý kiến trên là sai.
Ví dā 3.13. Cho mô hình thu nhập quốc dân: Y
ü ý C I G 0 0 C ÿ
ý ý 150 0,8øY T ù T ÿ þ 0 ý ,2Y
trong đó Y là thu nhập, C là tiêu dùng, T là thuế, I0 là đÁu tư, G0 là chi tiêu Chính phủ.
a) Tìm tr¿ng thái cân bằng khi I0 = 300, G0 = 900.
b) Do suy thoái kinh tế nên MPC đối với thu nhập sau thuế chỉ còn 0,7. GiÁ sử
I0 = 300, G0 bằng bao nhiêu thì ổn định được thu nhập? Giải
a) Khi I0 = 300, G0 = 900 mô hình có d¿ng: Y ü C ý 1200 Y ü ý 3750 ÿ ÿ
ý 0,8Y C 0,8T ý 150 C ý ý 2550. 0 ÿ ,2Y T 0 T ÿ ý ý 750 þ þ
b) Theo giÁ thiết MPC = 0,7 và I0 = 300 nên mô hình có d¿ng: 57 Y
ü C ý 300 G0 ÿ ý 0 ,7Y C 0 ,7T 1 ý 50 0 , 7Y Y 3 00 G 0 ,7.0, 2Y 1 ý 50 0 0 ÿ ,2Y T þ 0 ý * 450 G0
0, 44Y ý 450 G Y ý . 0 0, 44 450 G
Để ổn định được thu nhập quốc dân thì * 0 Y ý ý 3750 G ý 1200. 0 0,44
Ví dā 3.14. Cho mô hình thu nhập quốc dân: Y
ü ý C I G0 ÿC ý ýb b Y a , b 0 þ , ;i a b 1 ü 0 1 ø i i 1 1 ù I ÿ a þ ý a Y a r 0 1 2 0
trong đó Y là thu nhập, C là tiêu dùng, r0 là lãi su¿t, I là đÁu tư, G0 là chi tiêu chính phủ.
a) Xác định Y, C á tr¿ng thái cân bằng.
b) Cho b0 = 200;b1 = 0,7;a0 = 100;a1 = 0,2;a2 = 10;r0 = 8;G0 = 500. Khi tăng chi
tiêu Chính phủ lên 1% thì thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào? Giải
a) Mô hình có d¿ng Y
ü C I ý G0 ÿ ý b Y C ýb 1 0 a
ÿ Y I ýa r a þ 1 2 0 0 1 1 1
Ta có: D ý b 1
0 ý 1 a b ü 0 1 1 1 a 0 1 1 G 1 1 0 D ý b 1 0 ý G
a a r b ü 0 Y 0 0 0 2 0 0 a a r 0 1 0 2 0 1 G 1 0 D ý b b 0 ý b b a
a r a b b G ü 0 C 1 0 0 1 ø 0 2 0 ù 1 0 1 0 a a a r 1 1 0 2 0
Khi đó t¿i tr¿ng thái cân bằng: 58 G
a a r b b
b a a r a b b G * 0 0 2 0 0 * 0 1 ø 0 2 0 ù 1 0 1 0 Y ý , C ý . 1a b 1a b 1 1 1 1
b) Thay b0 = 200;b1 = 0,7;a0 = 100;a1 = 0,2;a2 = 10;r0 = 8, G0 = 500 vào thu nhập cân bằng ta có: * 500 1 00 10.8 200 Y ý ý 7200 1 0, 2 0,7 * öY G Y 1 500 500 25 0 õ ý . ý . ý 10. ý 0,6944. 0 G * öG Y
1 a b 7200 7200 36 0 1 1
Khi tăng chi tiêu Chính phủ lên 1% và các yếu tố khác không đ i ổ thì thu nhập cân
bằng tăng x¿p xỉ 0,6944%. C. BÀI TÂP
Bài 1. Cho hàm doanh thu trung bình AR ý 60 3Q. a) Tìm hàm MR.
b) T¿i mức sÁn lượng Q ý 5 , khi tăng sÁn lư n
ợ g lên 1% thì tổng doanh thu thay đổi như thế nào?
Bài 2. Cho hàm tổng chi phí 2
TC ý 2Q Q 100.
a) Tìm hàm MC , AC.
b) GiÁi thích ý nghĩa kinh tế của tỉ số M C . AC
Bài 3. Cho hàm tổng doanh thu là hàm của sÁn lượng 2
TR ý10Q Q và sÁn lượng là hàm của lao động 3
Q ý L L .
a) Phân tích Ánh hưáng của L tới T . R
b) Tính hệ số co dãn của TR theo . L
Bài 4. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm 2
MC ý 3Q 8Q 1800 và đưßng cÁu
của thị trưßng là Q ý 9000 p . Tìm *
Q để lợi nhuận đ¿t tối đa.
Bài 5. Một nhà độc quyền có hàm cÁu và hàm tổng chi phí như sau: 2
p ý 200 Q,TC ý Q ,trong đó p là giá, Q là sÁn lượng.
a) Tìm mức sÁn lượng và mức giá sao cho lợi nhuận tối đa.
b) Tìm hệ số co giãn của cÁu t¿i mức giá tối đa lợi nhuận. 59
c) Chính phủ đánh thuế với mức thuế t = 0,2USD trên mỗi sÁn phẩm bán ra, tìm
mức cung để tối đa hóa lợi nhuận. SÁn lượng làm tối đa hóa lợi nhuận thay đổi
như thế nào khi t thay đổi? 12
Bài 6. Cho hàm chi phí bình quân 2 AC ý
0,5Q 0,25Q 10. Q
a) Tìm hàm chi phí cận biên.
b) Với mức giá p ý 106 , hãy tìm mức sÁn lượng để lợi nhuận tối đa.
Bài 7. Một hãng c¿nh tranh hoàn hÁo sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm có hàm tổng chi phí là 3 2
TC ý Q 3Q Q 200 và hãng phÁi ch¿p nhận giá thị trưßng là p = 190 USD.
a) Tìm mức sÁn lượng để lợi nhuận đ¿t tối đa.
b) Nếu giá thị trưßng p = 106 USD thì mức sÁn lượng để lợi nhuận tối đa là bao nhiêu?
Bài 8. Một nhà độc quyền có hàm doanh thu cận biên 2
MR ý 1800 1,8Q , trong đó
p là giá, Q là sÁn lượng.
a) Tìm hàm cÁu ngược của doanh nghiệp độc quyền.
b) Nếu t¿i mức sÁn lượng Q ý10 mà doanh nghiệp giÁm giá 2% thì mức cÁu sẽ thay đổi như thế nào?
Bài 9. Một doanh nghiệp có hàm chi phí cận biên là 0,5 ý3 Q MC Qe ; FC ý 30 .
a) Tìm hàm tổng chi phí, chi phí bình quân.
b) T¿i mức sÁn lượng Q ý 2 , nếu doanh nghiệp tăng mức sÁn lượng lên 2 % thì
tổng chi phí sẽ thay đổi như thế nào?
Bài 10. Cho hàm khuynh hướng tiết kiệm cận biên 0,5
MPS (Y ) 0,3 0,1Y ý . Tìm
hàm tiết kiệm nếu biết tiết kiệm bằng 0 khi thu nhập Y = 81USD.
Bài 11. Biết tiêu dùng C bằng thu nhập Y khi Y = 100 USD và khuynh hướng tiêu dùng cận biên là 0,5
MPC(Y ) C '(Y ) 0,2 0,1Y ý ý . a) Tìm hàm tiêu dùng.
b) T¿i mức thu nhập Y = 25 USD, nếu giÁmthu nhập 2 % thì tiêu dùng sẽ thay đổi như thế nào?
Bài 12. Một doanh nghiệp có hàm chi phí cận biên là 2
MC ý 2Q 12Q 25 với Q là sÁn lượng. 60
a) Xác định mức tăng lên của tổng chi phí khi doanh nghiệp tăng sÁn lư n ợ g từ Q =
5 lên Q = 10 đơn vị.
b) Cho giá thị trưßng của sÁn phẩm của doanh nghiệp là p = 39. Xác định lượng
cung cho lợi nhuận cực đ¿i.
Bài 13. Một công ty có hàm cÁu ngược là p = 300 – 0,3Q và hàm chi phí biên MC = 0,4Q.
a) Xác định hàm M , R . VC
b) Tìm miền sÁn lượng để đÁm bÁo khi công ty tăng sÁn lượng thì doanh thu sẽ
tăng nhiều hơn mức tăng sÁn lượng.
Bài 14. Một công ty có hàm sÁn xu¿t là 0,4 0,6 Q ý 20L K .
a) Hàm sÁn xu¿t trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giÁm dÁn không? 2 ö Q
b) Nêu ý nghĩa kinh tế của . 2 K ö
Bài 15. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cÁu hàng hóa là pý 40 4Q. Hàm
tổng chi phí của doanh nghiệp là 2
TC ý 2Q 4Q 10.
a) Xác định sÁn lượng và giá bán để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận.
b) So sánh với trưßng hợp doanh nghiệp c¿nh tranh hoàn hÁo.
Bài 16. Một hãng độc quyền có 2
MC ý 3Q 2Q 700 và doanh thu trung bình
AR ý 2000 Q .
a) Xác định TC, AC biết FC = 30.
b) Xác định mức cung và giá bán của hãng.
Bài 17. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cÁu ngược p ý 490 2Q và hàm tổng chi phí 2 0,5
TC ý 0,5Q .AD , trong đó Q là sÁn lượng, AD là chi phí quÁng cáo.
a) Với AD = 9, xác định mức sÁn lượng và giá bán tối ưu.
b) T¿i AD, sÁn lượng và giá bán tối ưu như câu a). Phân tích tác động của chi phí
quÁng cáo tới mức sÁn lượng và giá bán tối ưu.
Bài 18. Cho hàm sÁn xu¿t 0,5 0,5
Q ý 0,3K L với Q là sÁn lượng, K là số đơn vị vốn, L
là số đơn vị lao động.
a) Hàm số trên có thể hiện quy luật năng su¿t cận biên giÁm dÁn không?
b) Nếu K tăng 8%, L không đổi thì Q thay đổi như thế nào?
Bài 19. Cho hàm cÁu một hàng hóa 0,5 D ý 4M ln p 2 .
a) Tìm biểu thức cho biết sự thay đổi của cÁu hàng hóa khi p thay đổi 1% . 61
Bài 24. a) Khi mức giá p tăng 1%, thu nhập quốc dân của Mỹ không đổi thì kim
ng¿ch xu¿t khẩu dÁu mỏ sang Mỹ giÁm 0,5%.
b) Khi mức giá p không đổi, thu nhập quốc dân của Mỹ giÁm 1% thì kim ng¿ch
xu¿t khẩu dÁu mỏ sang Mỹ giÁm 0,5%.
c) Nếu hàng năm Y tăng 3%, p tăng 5% thì X giÁm 1%.
Bài 25. a) Khi giá hàng hóa A tăng 1% thì lượng cung hàng hóa A tăng ñ %.
b) Hai hàng hóa A và B là hai hàng hóa bổ sung. * öp Bài 26.
ü 0, vậy khi các yếu tố khác không đổi, tăng thuế sẽ làm giá cân bằng t ö giÁm.
Bài 27. Giá cân bằng thị trưßng * p ý 4 q.
Hàm lợi nhuận của một cơ sá: 2
ð ý (4 q)q q max
GiÁi bài toán này tìm được q*=1 (t¿n) và giá cân bằng thị trưßng là p* = 3 (triệu đồng).
Bài 28. t 12, 4324%.
Bài 29. a) Để thu nhập cân bằng là 3000 thì G ý 1600 . 0
b) Với thu nhập cân bằng là 3000, G0 = 1600. * IM õ
0,7619, nếu G0 tăng 1%, các yếu tố khác không đổi thì nhập khẩu tăng x¿p G0 xỉ 0,7619%. 27 24 Bài 30. X ý , X ý . 1 2 2 5 Bài 31. * * K ý L ý 150. 66 Ch−¬ng 4
BÀI TOÁN QUY HO¾CH TUY¾N TÍNH
A. TÓM TÄT LÝ THUY¾T
4.1. BÀI TOÁN QUY HO¾CH TUY¾N TÍNH
4.1.1. Bài toán quy ho¿ch tuy¿n tính d¿ng tßng quát và d¿ng đặc bißt
a) Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát n f ( )
x ý õ c x min (max) i i iý1 n ü a x õ
ý b (i þ I ) (1) ÿ ij j i 1 j ÿ 1 ý ý n
ÿõ a x ób (i þI ) (2) ij j i 2 ÿj 1 þ ý
b) Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc n f (x) ý c x õ i i min(max) iý1 n
üõ a x ýb (i ý1,5) ÿ ij j i j ý1 ý x ÿ ó j ý n j 0 ( 1, ) þ
c) Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc n
f (x) ý õ c x i i min (max) iý1 x ü a x a x b m m ... n n ý 1 1 1 1 1 1
ÿ ÿ x a x ..a x ýb 2 2 m 1 m 1 2 n n 2
ÿ ý ........................................................ ÿ x a x a x b m mm m ... mn n ý ÿ 1 1 m ÿ x 0 ó ( j 1 ý , n) và b 0 ó (i 1 ý ,m) þ j i
Khi đó bài toán có phương án cực biên ban đÁu (b , b ,...,b , 0,..., 0). 1 2 m 67
4.1.2. Ph°¢ng pháp đ¢n hình giÁi bài toán quy ho¿ch tuy¿n tính
Xét bài toán quy ho¿ch tuyến tính d¿ng chuẩn tắc (á 2.1.1 phÁn c).
Bài toán có phương án cực biên 0
x ý (b ,b ,...,b , 0,..., 0) i c s J 1 2 m vớ ơ á 0 = {1, 2, ..,
m} tức là cơ sá gồm các vectơ {A , A ,..., A }. Vì J0 là cơ sá đơn vị, nên 1 2 m
X ý A . Ta sắp xếp các số liệu vào bÁng đơn hình. k k
BÁng đ¢n hình Hệ Cơ Phư n
ơ g c1 c2 … c
m cm+1 … cj … c n số sá án x1 x2 x … m x
m+1 … xj … xn c1 x1 b1
1 0 … 0 a1m+1 … a1j … a1n c2 x2 b2
0 1 … 0 a2m+1 … a2j … a2n ... … …
… … … … … … … … c m xm bm
0 0 … 1 amm+1 … amj …amn f 0 0 … 0 … … m 1 j n
ThuÃt toán đ¢n hình:
Bước 1 (Kiểm tra dấu hiệu tối ưu)
- Nếu ó 0 (k ÿ J )thì 0
x là phương án tối ưu và 0
f ( x ) là giá trị tối ưu. k 0
Quá trình giÁi kết thúc.
- Nếu tồn t¿i þ k ÿ J thì 0
x không là phương án tối ưu ta chuyển sang bước k 0, 0 2.
Bước 2 (Kiểm tra tính không giải được)
- Nếu tồn t¿i þ 0 mà x ó 0 ( j
þ J )thì bài toán không giÁi đư c ợ . k jk 0
Quá trình giÁi kết thúc.
- Nếu với mỗi þ 0 (k ÿ J ), tồn t¿i x þ 0 ( j þ J ) thì ta chuyển sang bước 3. k 0 jk 0
Bước 3 (Xây dựng phương án cực biên mới) - Chọn vectơ đ a ư vào cơ sá:
Nếu max{k: k> 0} = s thì vectơ As được đưa vào cơ sá.
- Chọn vectơ đưa ra khỏi cơ sá: 0 0 üÿx üÿ x ñ ý min j ý ,x þ 0 r ý ý . 0 js jþ J 0 x ÿ þ ÿ x js rs þ
- Biến đổi bÁng để thu được phương án cực biên mới: 68
Ta đưa cột s thành cột vectơ đơn vị
- Để tính các ước lượng k mới:
Sử dụng định nghĩa, hoặc sử dụng công thức đ i ổ .
4.1.3. Ph°¢ng pháp tìm ph°¢ng án cāc biên ban đầu
a) Xây dựng bài toán phụ
Xét bài toán d¿ng chính tắc: n f (x) ý c x min õ i i i 1 ý n
ü a x ýb i ý m õ ij j i ( 1, ) ÿjý1 ý ÿ x ó j ý n j 0 ( 1, ) þ
Không giÁm tính tổng quát, giÁ thiết b ó i ý m i 0 ( 1, ). Bài toán phụ: m P (x ) g ý x min õ i i ý1
ü n a x gx ý b (iý 1,m) ÿõ ij j i i jý1 ý ÿx ó0 ( j 1 ý , ) n , g x i m j i ó0 ( 1 ý , ) þ Kí hiệu g x ý ( g x , g x ,..., g
x ) . x là phương án của bài toán gốc khi và chỉ khi (x, 1 2 m
xg) là phương án của bài toán phụ.
b) Phương pháp giải bài toán phụ để tìm phương án cực biên
GiÁi bài toán phụ á d¿ng chuẩn tắc, ta tìm được phương án tối ưu:
( , g) & ( , g x x P x x )ý P . min
Trường hợp 1. Nếu Pmin> 0 thì bài gốc không có phương án.
Trường hợp 2. Nếu P g g min = 0 thì x ý 0 (i ý1, )
m , do đó x ý 0 . Khi đó phương án i
tối ưu của bài toán phụ có d¿ng ( , g
x x ý 0), từ đó x là phương án cực biên của bài toán gốc. i) Cơ sá của ( , g
x x ý 0) không chứa cột nào ứng với các các biến giÁ.
Cơ sá của phương án cực biên ( , g
x x ý 0) cũng là cơ sá của phương án cực biên x . ii) Cơ sá của ( , g
x x ý 0)có ít nh¿t một cột ứng với biến giÁ x .g j 69
Phương án cực biên x là suy biến, khi đó ta lo¿i các cột ứng với (P) ü 0 (các j cột g x phi cơ sá). j
4.2. Bài toán đái ngÁu
4.2.1. Bài toán đái ngÁu
• Bài toán d¿ng chính tắc (I): n f (x ) ý c x min õ j j jý1 n üõ
a x ý b i ý m ÿ ij j i ( 1, ) j ý ý 1 ÿ x 0 ó ( j 1 ý , ) n j þ Bài toán đối ngẫu (I) có d¿ng: m f (y) ý b y max õ i i i 1 ý m
õ a y ó c ( j ý1,n). ij i j i 1 ý
Cặp ràng buộc đối ngẫu: m x ó 0
a y ó c ( j ý 1,n). j õ ij i j ý i 1
• Bài toán quy ho¿ch tuyến tính tổng quát (II): n f (x) ý c x min õ j j j 1 ý n üõ
a x ó b (i ý1, ) m ÿ ij j i j 1 ý ý ÿ x ó0 ( j 1 ý , ) n þ j Bài toán đối ngẫu (II) có d¿ng: m
f ( y) ý õ b y i i max i 1 ý m ü a y õ ó c ( j ý1, ) n ÿ ij i j ýi 1ý ÿ y 0 þ ó ( i 1 ý , ) m i
Cặp ràng buộc đối ngẫu : 70 m
x ó 0 õ a y óc ( j ý 1,n) j ij i j i 1 ý n
a x ó b y ó 0 ( i ý1, ) m õ ij j i i j 1 ý
4.2.2. Mái liên hß giÿa cặp bài toán đái ngÁu
Xét cặp bài toán đối ngẫu với f (x) min
a) Các tính chất
Tính chất 1. Với mọi cặp phương án x và y của cặp bài toán đối ngẫu ta luôn có: f ( ) x ó f ( ) y .
Tính chất 2. Hai phương án x* và y* của cặp bài toán đối ngẫu thỏa mãn * *
f (x ) ý f (y ) thì x* và y* tư n
ơ g ứng là các phương án tối ưu của cặp bài toán đối ngẫu đó.
b) Các định lý
Định lý 1 (Định lý đối ngẫu 1)
Nếu một trong hai bài toán đối ngẫu giÁi được thì bài toán kia cũng giÁi được và
khi đó với mọi cặp phương án tối ưu x* và y* ta luôn có: * *
f ( x ) ý f ( y ).
Hệ quả1. Cặp bài toán đối ngẫu giÁi được khi và chỉ khi mỗi bài toán có ít nh¿t một phương án.
Hệ quả 2. Một bài toán có phương án và một bài toán không có phương án khi và
chỉ khi trị số của hàm mục tiêu của bài toán có phương án không bị chặn trên tập phương án của nó.
Định lý 2 (Định lý đối ngẫu 2)
Phương án x và y của một cặp bài toán đối ngẫu tối ưu khi và chỉ khi trong các cặp
ràng buộc đối ngẫu nếu một ràng buộc thỏa mãn với d¿u b¿t đẳng thức thực sự
(lỏng) thì sự ràng buộc kia phÁi thỏa mãn với d¿u bằng (chặt). Điều này có nghĩa:
Phương án x và y của cặp bài toán đối ngẫu tối ưu là: m m
x þ õ a y ý c õ a y ü c x ý j 0 i j ( i j j 0). ij ij iý1 iý1
Hệ quả. Nếu một ràng buộc là lỏng đối với một phương án tối ưu của bài toán này
thì ràng buộc đối ngẫu của nó phÁi là chặt đối với mọi phương án tối ưu của bài toán kia. 71 B. CÁC VÍ DĀ
Ví dā 4.1. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý x 2x 3x 5x min 1 2 3 4 ü 4
x 3x x x ó 29 1 2 3 4 ÿ
ÿ x x x 4x ó 10 1 2 3 4 ý 3
x 4 x 2 x 3 x ý19 ÿ 1 2 3 4 x ÿ 0 þ ó , x 0 ó , x 0 ó 1 2 4
Các vectơ x1 = (–6, 4, 0, 5), x2 = (0, 7, –3, 5), x3 = (–39, 0, 49, 0) có phÁi là phương
án, phương án cực biên của bài toán không?
Giải •
Xét x1 = (–6, 4, 0, 5)
- Vectơ x1 = (–6, 4, 0, 5) thỏa mãn các ràng buộc về d¿u. Thay tọa độ vectơ x1 vào các ràng buộc còn l¿i:
ü 4(6) 3.4 0 5 ý 41þ 29 ÿ ý 6 4 0 4.5 1 ý 0 ÿ 3 þ ( 6
) 4.4 2.0 3.5 ý19
ta th¿y đều thỏa mãn. Vậy x1 = (–6, 4, 0, 5) là phương án của bài toán.
- Phương án x1 = (–6, 4, 0, 5) thỏa mãn chặt 2 ràng buộc, do đó x1 = (–6, 4, 0, 5)
không là phương án cực biên của bài toán. •
Xét x2 = (0, 7, –3, 5)
- Vectơ x2 = (0, 7, –3, 5) thỏa mãn các ràng buộc về d¿u. Thay tọa độ x2 = (0, 7, –3,
5) vào các ràng buộc còn l¿i:
ü 4.0 3.7 (3) 5 ý 29 ÿ ý 0 7 3 4 .5 1 ý 0
ÿ3.0 4.7 2(3) 3.5ý 19 þ
ta th¿y đều thỏa mãn.Vậy x2 = (0, 7, –3, 5) là phương án của bài toán.
- Phương án x2 = (0, 7, –3, 5) thỏa mãn chặt 4 ràng buộc, đó là ràng buộc 1, 2, 3 và
một ràng buộc về d¿u. Xét hệ phương trình:
ü4x 3x x x ý 29 1 2 3 4 ÿ
ÿ x x x 4 x ý 10 1 2 3 4
ý3x 4x 2x 3x ý19 ÿ 1 2 3 4 ÿ x ý 0 þ 1 72
Định thức của ma trận hệ số của hệ phương trình: 4 3 1 1 3 1 1 1 1 1 4 4 1 ý (1) 1 1 4 ý 0 3 4 2 3 4 2 3 1 0 0 0
nên 4 ràng buộc trên phụ thuộc tuyến tính.
Vậy x2 = (0, 7, –3, 5) không là phương án cực biên của bài toán. •
Xét x3 = (–39, 0, 49, 0)
- Vectơ x3 = (–39, 0, 49, 0) thỏa mãn các ràng buộc về d¿u. Thay tọa đ ộ
x3 = (–39, 0, 49, 0) vào các ràng buộc còn l¿i: ü 4 .( 3
9) 3.0 49 0 ý107 þ 29 ÿ ý 39 0 4 9 4 .0 1 ý 0 ÿ 3 þ .( 3 9) 4 .0 2 .49 3 .0 1 ý 9
đều thỏa mãn. Vậy x3 = (–39, 0, 49, 0) là phương án của bài toán.
- Phương án x3 = (–39, 0, 49, 0) thỏa mãn chặt 4 ràng buộc, đó là ràng buộc 2, 3
và 2 ràng buộc về d¿u. Xét hệ phương trình:
ü x x x 4x ý10 1 2 3 4 ÿ
ÿ 3x 4x 2x 3x ý 19 1 2 3 4 ý x ý 0 ÿ 2 ÿ x ý 0 þ 4
Định thức của ma trận hệ số của hệ phương trình: 1 1 1 4 1 1 1 3 4 2 3 4 4 ý( 1 ) 3 4 2 ý 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
nên 4 ràng buộc trên độc lập tuyến tính.
Vậy x3 = (39, 0, 49, 0) là phương án cực biên của bài toán.
Ví dā 4.2. GiÁi bài toán quy ho¿ch tuyến tính sau:
f (x) ý x 4x 2x 3x min 1 2 3 4
üx 3x x x ý 12 1 2 3 4
ÿ 2 x 2 x x x ý4 ÿ 2 3 4 5 ý x x ý5 2 6 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 6) þ j 73
Giải
Bài toán á d¿ng chuẩn tắc, có phương án cực biên ban đÁu 0
x ý (12,0,0, 0, 4,5) với
cơ sá J0 = {1, 5, 6}, hay hệ vectơ cơ sá là {A1, A5, A6}. Phương 1 4 2 -3 0 0 Hệ số Cơsá án x 1 x2 x3 x4 x5 x6 1 x1 12 1 3 1 -1 0 0 0 x5 4 0 2 2 (1) 1 0 0 x6 5 0 1 0 0 0 1 f 12 0 -1 -1 [2] 0 0 1 x1 16 1 5 3 0 1 0 -3 x4 4 0 2 2 1 1 0 0 x6 5 0 1 0 0 0 1 f 4 0 -5 -5 0 -2 0 Bài toán có phư n
ơ g án cực biêntối ưu x* = (16, 0, 0, 4, 0, 5) và fmin = 4.
Ví dā 4.3. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 5x 2x 5x 2x x 3x min 1 2 3 4 5 6 2
ü x x x x ý 3 1 2 3 4 4
ÿ x 2x 3x x ý 3 ÿ 1 2 3 5 ý x
x x ý 2 1 3 6 ÿ x ÿ ó0 (j 1 ý , 6) þ j
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm tập phương án tối ưu của bài toán.
Giải
a) Bài toán á d¿ng chuẩn tắc, có phương án cực biên ban đÁu 0
x ý (0, 0,0,3,3, 2) với cơ sá J0 = {4, 5, 6}, hay hệ vectơ cơ sá là {A4, A5, A6}. 74 Phương 5 2 5 2 1 3 Hệ số Cơ sá án x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 x4 3 2 1 1 1 0 0 1 x5 3 4 2 (3) 0 1 0 3 x6 2 -1 0 1 0 0 1 f 15 0 2 [3] 0 0 0 2 x4 2 2/3 1/3 0 1 -1/3 0 5 x3 1 4/3 2/3 1 0 1/3 0 3 x6 1 -7/3 -2/3 0 0 -1/3 1 f 12 -4 0 0 0 -1 0 Bài toán có phư n
ơ g án cực biên tối ưu không duy nh¿t (vì 2= 0)
x* = (0, 0,1, 2,0, 1) và fmin = 12. b) Vì 2= 0, với 2 {3, ÿ J 4,ý
6}, nên bài toán có tập phương án tối ưu: 2 x(ñ) = x * + ñ.z2
trong đó x*= (0, 0, 1, 2, 0, 1), z2 = (0, 1, -2/3,-1/3,0, 2/3), 0 ≤ ñ ≤ 1,5.
Vậy bài toán có tập tập phương án tối ưu là:
x(ñ) = (0, 0, 1, 2, 0, 1) + ñ
(0, 1, -2/3,-1/3, 0, 2/3), 0 ≤ ñ ≤1,5.
=(0, ñ, 1 - 2/3.ñ, 2 -1/3.ñ, 0, 1+2/3.ñ), với 0 ≤ ñ ≤ 1,5.
Ví dā 4.4. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 3x 2x 3x 2x min 1 2 3 4
ü 2x 2x x ý 2 1 3 4 ÿ 5
x 3x x + x 2ó 6 ÿ 1 2 3 4 ý 2 x 2x + x x ý 3 1 2 3 4 ÿ ÿ x ó j ý j 0 ( 1, 4) þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm tập phương án tối ưu của bài toán.
c) Tìm một phương án cực biên tối ưu và một phương án tối ưu không cực biên.
Giải
a) Đưa bài toán về d¿ng chính tắc: f (x) ý 3x 2x 3x 2x min 1 2 3 4 75
ü 2x 2x x ý 2 1 3 4
ÿ 5x 3x x 2 x x ý 6 ÿ 1 2 3 4 5 ý 2 x 2
x x x ý 3 1 2 3 4 ÿ ÿ x ó0 ( j 1 ý , 5) þ j Xét bài toán phụ: g g
P ý x x min 1 3
ü 2x 2x x g x ý 2 1 3 4 1 ÿ 5x 3 x x 2 x x 6 ý ÿ 1 2 3 4 5 ý 2
x 2x x x g x ý 3 ÿ 1 2 3 4 3 ÿ x 0 ó ( j 1 ý , 5), g x 0 ó (i 1 ý ,3) þ j 1 Hệ Phương 3 2 3 2 0 1 1 Cơ sá số án x g g 1 x2 x3 x4 x5 x1 x3 1 x g 1 2 2 0 (2) 1 0 1 0 0 x5 6 5 3 1 -2 1 0 0 1 x g 3 3 -2 2 1 1 0 0 1 P 5 0 2 [3] 2 0 0 0 0 x3 1 1 0 1 1/2 0 0 0 x5 5 4 3 0 -5/2 1 0 1 x g 3 2 -3 (2) 0 1/2 0 1 P 2 -3 [2] 0 1/2 0 0 3 x3 1 1 0 1 1/2 0 0 x5 2 17/2 0 0 -13/4 1 2 x2 1 -3/2 1 0 1/4 0 f 5 -3 0 0 0 0
Bài toán có phương án tối ưu không duy nh¿t x* = (0, 1, 1, 0, 2) và fmin= 5.
b) Vì 4 ÿJ2 = {2, 3, 5} và 4 = 0 , nên theo phương z4 xây dựng được tập phư n ơ g án tối ưu: x(ñ) = x * + ñ.z4
trong đó x* = (0, 1, 1, 0, 2); z4 = (0, 1/4, 1/2, 1, 13/4); 0 ≤ ñ ≤ 2.
Bài toán có tập phương án tối ưu: 76
x = x* + ñz4 = (0,1ñ/4, 1ñ/2, ñ, 2 + 13ñ/4), với 0 ≤ ñ ≤ 2. ö 1 17 ö
c) Cho ñ = 2 có phương án cực biên tối ưu ˆx ý ÷0, , 0, 2, . ÷ ø 2 2 ø ö 3 1 21
Cho ñ = 1 có phương án tối ưu không cực biên ö x ý 0, , , 1, . ÷ ÷ ø 4 2 4 ø
Ví dā 4.5. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x 4x 2x 3,5x max 1 2 3 4
ü2x x x x ý 4 1 2 3 4
ÿx 2x x ó 2 ÿ 1 2 4
ý 2x 2x x 2x ó 8 1 2 3 4 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 4) þ j
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm phương án tối ưu có thành phÁn x4 = 4.
Giải
a) Đưa bài toán về d¿ng chính tắc:
f (x) ý 2x 4x 2x 3,5x max 1 2 3 4 2
ü x x x x ý 4 1 2 3 4 ÿ x 2
x x x ý2 ÿ 1 2 4 5 2
ý x 2x x 2x x ý 8 1 2 3 4 6 ÿ ÿ x 0 ó (j 1 ý ,6) þ j Xét bài toán phụ: g P ý x min 1
ü2x x x x g x ý 4 1 2 3 4 1 ÿ ÿx 2
x x x ý2 1 2 4 5
ý2x 2x x 2x x ý 8 1 2 3 4 6 ÿ
ÿ x ó0 ( j 1 ý , 6), g x ó0 j 1 þ 77 Cơ Phương -2 4 -2 7/2 0 0 1 Hệ số sá án x g 1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 1 x g 1 4 (2) 1 -1 1 0 0 1 0 x5 2 -1 -2 0 1 1 0 0 0 x6 8 2 -2 1 -2 0 1 0 P 4 [2] 1 -1 1 0 0 0 -2 x1 2 1 1/2 -1/2 1/2 0 0 0 x5 4 0 -3/2 -1/2 3/2 1 0 0 x6 4 0 -3 (2) -3 0 1 -f -4 0 -5 [3] -9/2 0 0 -2 x1 3 1 -1/4 0 -1/4 0 1/4 0 x5 5 0 -9/4 0 3/4 1 1/4 -2 x3 2 0 -3/2 1 -3/2 0 1/2 -f -10 0 -1/2 0 0 0 -3/2
Vì k ó 0, kÿ {1, 3, 5} , bài toán có phương án tối ưu:
x* = (3, 0, 2, 0, 5, 0) và fmax = 10.
b) Vì 4 = 0, nên theo phương z4 ta xây dựng được tập phương án tối ưu : x(ñ) = x * + ñ.z4 20
trong đó x* = (3, 0, 2, 0, 5, 0); z4 = (1/4, 0, 3/2, 1, -3/4, 0) với 0 ó ñ ó . 3
x(ñ) = (3, 0, 2, 0, 5, 0) + ñ
.(1/4, 0, 3/2, 1, -3/4, 0) = (3+1/4.ñ, 0, 2+3/2.ñ, ñ, 5-3/4ñ, 0), 20 với 0 óñ ó . 3
Cho x4 = 4 ta có phương án tối ưu mới là: x = (4, 0, 8, 4, 5, 0).
Ví dā 4.6. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f (x) ý 2
x 6x 8x 5x min 1 2 3 4
ü x 2x 4x x ý 5 1 2 3 4
ÿ2x 2x 2x 5x ý 2 ÿ 1 2 3 4
ý x 4x 2x ó 4 2 3 4 ÿ ÿ x ó0 (j 1 ý , 4) þ j
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm một phương án để hàm mục tiêu có giá trị f (x) ý 30. 78 Giải
a) Đưa bài toán về d¿ng chính tắc: f (x) ý 2
x 6x 8x 5x min 1 2 3 4
ü x 2x 4x x ý 5 1 2 3 4 2
ÿ x 2x 2x 5x ý 2 ÿ 1 2 3 4
ý x 4x 2x x ý 4 2 3 4 5 ÿ x ÿ 0 ó ( j 1 ý , 5) j þ Xét bài toán phụ: g g
P ý x x min 1 2
ü x 2x 4x x g x ý 5 1 2 3 4 1 ÿ2
ÿ x 2x 2x 5 x g x ý2 1 2 3 4 2
ý x 4x 2x x ý 4 ÿ 2 3 4 5 ÿ x ó0 ( j 1 ý , 5), g x 0 ó (i 1 ý , 2) þ j i Hệ Cơ Phương -2 -6 8 -5 0 1 1 số sá án x g g 1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 1 x g 1 5 1 2 -4 1 0 1 0 1 x g 2 2 2 (2) -2 -5 0 0 1 0 x5 4 0 1 -4 2 1 0 0 P 7 3 [4] -6 -4 0 0 0 1 x g 1 3 -1 0 -2 (6) 0 1 0 x2 1 1 1 -1 -5/2 0 0 0 x5 3 -1 0 -3 9/2 1 0 P 3 -1 0 -2 [6] 0 0 -5 x4 1/2 -1/6 0 -1/3 1 0 -6 x2 9/4 7/12 1 -11/6 0 0 0 x5 3/4 -1/4 0 -3/2 0 1 f -16 -2/3 0 14/3 0 0
Vì 3 > 0 và x ü 0, j þ {2, 4,5}, do đó bài toán có phương 3
z giÁm vô h¿n, nên j3 bài toán không giÁi đư c ợ . 79 ö 11 1 3 b) Phương 3 ö z ý 0, , 1, , ÷
÷là phương giÁm vô h¿n. Bài toán có tập phương ø 6 3 2 ø án giÁm vô h¿n: * 3 ö 9 1 3 ö ö 11 1 3 ö
x(ñ) ý x z ñ ý 0, , 0, , ñ 0, , 1, , ÷ 4 2 4 ÷ ÷ 6 3 2 ÷ ø ø ø ø ö 9 11ñ 1 ñ 3 3 ñ 0, , ñ, , , ö ý ñ ó 0. ÷ 4 6 2 3 4 2 ÷ ø ø 14ñ b) Để * f ( ) x ý 3 0 f ( ( x )
ñ ) ý f ( x ) . ñ ý 1 6 ý 3 0 ñý 3. 3 3 ö 31 3 21
Vậy phương án phÁi tìm là: ö x(3) ý 0, , 3, , . ÷ ÷ ø 4 2 4 ø
Ví dā 4.7. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f (x) ý 2
x 6x 2x x min 1 2 3 4
ü x 2x 2x x ý 6 1 2 3 4 2
ÿ x 2x x x ó 3 12 ÿ 1 2 3 4 3
ý x x 2x ó18 1 2 3 ÿ ÿ x ó j ý j 0 ( 1, 4) þ
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu. b) Vectơ y (ý 2,
0, 0) có phÁi là phương án, phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu không?
Giải a) Bài toán đối ngẫu:
f( y) ý 6y 12y 18y max 1 2 3
ü y 2 y 3y ó 2 (1') 1 2 3
ÿ 2 y 2y y ó 6 (2') 1 2 3
ÿ ÿÿ 2y y 2y ó 2 (3') 1 2 3
ý y 3y ó1 (4') ÿ 1 2 ÿ y 0 ó (5 ') 2 ÿ ÿþ y 0ó (6') 3
Các cặp ràng buộc đối ngẫu: 80 x ó 0 (1') 1 x ó 0 (2 ') 2 x ó 0 (3') 3 x ó 0 (4 ') 4
2x 2x x 3x ó 12 y ó 0 1 2 3 4 2
3x x 3x ó 18 y ó 0. 1 2 3 3 b) - Thay y (ý 2,
0, 0) vào hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu ü 2 2.0 3.0 ý 2 (1') ÿ 2 ( 2 ) 2.0 0 ü6 (2 ')
ÿ ÿ 2( 2) 0 2.0 ü 2 (3') ý 2 3.0 ü1 (4') ÿ ÿ 0 = 0 (5') ÿ þ 0 = 0 (6') ta th¿y y (ý 2,
0, 0) thỏa mãn t¿t cÁ các ràng buộc. Vậy y (ý 2,
0, 0) là phương án của bài toán đối ngẫu. - Phương án y ( ý 2,
0, 0) thỏa mãn lỏng các ràng buộc (2’), (3’), (4’) có các
ràng buộc đối ngẫu tương ứng là x2 ó 0, x3 ó 0, x4 ó 0.
Theo định lý đối ngẫu y (ý 2,
0, 0) là phương án tối ưu nếu tồn t¿i phư n ơ g
án x của bài toán gốc thỏa mãn:
x ý x ý x ý 0. 2 3 4 Xét hệ: üx ý 6 1 x ü 2x 2x x 6 x ÿ ý ÿ ý 0 1 2 3 4 2 ý ý x ý (6, 0, 0,0).
x ý x ý x ý þ 0 x ý 0 2 3 4 ÿ3 x ÿ 0 þ ý 4 Thay tọa đ
ộ của vectơ x = (6, 0, 0, 0) vào các ràng buộc còn l¿i của bài toán gốc 2
ü .6 2.0 0 3.0 ý12 ÿ3 ý .6 0 2.0 ý 18 x ÿ þ ý6 þ0 1
ta th¿y đều thỏa mãn, do đó x = (6, 0, 0, 0) là phương án tối ưu của bài toán gốc. 81 Vậy y (ý 2,
0, 0) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Ví dā 4.8. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 5x 4x x 5x 2x min 1 2 3 4 6 ü 2
x x 5x x ó 5 1 3 4 6 ÿ
ÿ x 2 x 2x 3x ó 6 1 2 4 6 ý 3x 4x 3 x 6x ó9 ÿ 1 4 5 6 x ÿ þ ,x 0 ó ,x 0 ó 1 4 6
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Chứng minh bài toán gốc giÁi được. Tìm tập phương án tối ưu của bài toán gốc. Giải
a) Bài toán đối ngẫu: f(y) ý 5y 6y 9 y max 1 2 3 ü 2
y y 3 y ó 5 (1') 1 2 3 ÿ 2y ý4 (2') 2 ÿ ÿ y 1 ý (3') 1 ÿ5 ý y 2 y 4 y ó 5 (4 ') 1 2 3 ÿ 3y ý0 (5') 3 ÿ ÿ y 3 y 6 y ó2 (6 ') 1 2 3
ÿ y ó0; y ó0; y ó0 þ 1 2 3
Các cặp ràng buộc đối ngẫu:
2y y 3y ó 5 x ó 0 1 2 3 1
5 y 2 y 4 y ó 5 x ó 0 1 2 3 4
y 3y 6y ó 2 x ó 0 1 2 3 6 y ó 0 (1) 1 y ó 0 (2) 2 y ó0 (3) 3 b) Ta có hệ con: ü2y ý 4 y ü ý 1 2 1 ÿ ÿ 0
ý y ý 1 y
ý ý 2 y ý (1, 2, 0). 1 2 3 ÿ y 0 y ÿ ý ý0 þ 3 þ 3 Thay tọa độ 0y ( ý 1,
2, 0) vào các ràng buộc còn l¿i của bài toán đối ngẫu: 82
ü 2(1) 2 3.0 ý 4 ü 5 5 ÿ ÿ ( 1 ) 2 .2 4 .0 ý 9 ü 5 ý ( 1) 3.2 6.0ý 5þ 2 ÿ ÿ y ý 1
ü 0; y ý 2 þ 0; y ý 0 þ 1 2 3
ta th¿y đều thỏa mãn. Do y0 là phương án duy nh¿t của bài toán đối ngẫu, nên y0 là
phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Vậy bài toán gốc giÁi được. - Phương án 0y ( ý 1,
2, 0) thỏa mãn lỏng các ràng buộc: (1'),(4 '),(6 ') và 2 ràng
buộc về d¿u. Vì vậy mọi phương án tối ưu của bài toán gốc phÁi thỏa mãn chặt các
ràng buộc đối ngẫu tương ứng. Ta có hệ: x ü ý 0 1 üx ý 0 1 x ÿ ý 3 ÿ 2 x 0 ÿ ý 4 ÿ ÿ x ÿ ý 5 3 ýx ý 0 6 ý x ý 0 ÿ ÿ4 2
x x 5x x ý5; 1 3 4 6 ÿ x ÿ5 x
ÿ 2x x 2 x 3ý 6 ÿ þ 1 2 4 6 x ÿ ý 0 þ 6
Hệ có nghiệm: x ý (0, 3, 5, 0, x , 0). Thay tọa đ
ộ của x vào các ràng buộc 5
còn l¿i của bài toán gốc, ta tìm được x ó 3. 5
Vậy tập phương án tối ưu của bài toán gốc là:
x ý (0, 3, 5, 0, x , 0), với x ó 3. 5 5 C. BÀI TÂP
Bài 1. GiÁi bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý x 3x 3x 3x x min 1 2 3 4 5 x
ü 4x x x ý 4 1 2 3 4
ÿ 2 x 2x x x ý 4 ÿ 2 3 4 5
ý x 2x 2x x ý 3 2 3 4 6 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý ,6) þ j
Bài 2. GiÁi bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý x 3x 5x 2x 3x 3x min 1 2 3 4 5 6 83
ü x x x x ý 3 1 2 3 4 2
ÿ x 3x 2x x ý 2 ÿ 1 3 4 5
ý x x 3x x ý 3 1 3 4 6 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 6) þ j
Bài 3. GiÁi bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f (x) ý 2
x 2x 2x 2x x min 2 3 4 5 6
ü x x 5 x x ý 5 1 2 3 5 2
ÿ x 3x x 2x ý 2 ÿ 1 3 4 5
ý x x 3x x ý5 1 3 5 6 ÿ x ÿ 0 ó ; j 1 ý ,6 þ j
Bài 4. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý x x x 3x min 1 2 3 4
ü2x x x 5x ý 5 1 2 3 4 3
ÿ x 3x 6x ý 3 ÿ 1 3 4
ý2x x x ó 2 1 2 4 ÿ x ÿ 0 ó ( j 1 ý , 4) j þ
Bài 5. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình: f (x) ý 5
x x x 4x max 1 2 3 4
ü 3 x x x x ý 4 1 2 3 4
ÿ x x x x 1 ó ÿ 1 2 3 4
ý 2x x 2x ó 6 1 2 3 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 4) j þ
Bài 6. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình: f (x) ý 2
x 3x 3x 2x min 1 2 3 4
ü 2x 5x x 4 x 2 x ý 6 1 2 3 4 5
ÿ x2 +x2 x4 x2 x ý 2 ÿ 1 2 3 4 5 ý 2
x x 7 x 2 x ó6 1 2 3 4 ÿ x ÿ 0 ó ( j 1 ý ,5) þ j 84
Bài 7. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý 3x 4x 4x 5x x min 1 2 3 4 5
ü x x x x x ó 3 1 2 3 4 5
ÿ x x x x x ó 2 ÿ 1 2 3 4 5
ý x x 2x 3x 2x ó 4 1 2 3 4 5 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 5) þ j
Bài 8. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý 2x 2x 3x 2x x min 1 2 3 4 5
ü x x x 2x ý 16 1 2 4 5
ÿ x x 2x 2x ó35 ÿ 1 2 3 5
ý 2x 2x 4x ý 20 2 3 5 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý ,5) þ j
Bài 9. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý 4x 2x 3x 2x min 1 2 3 4
ü 2x 2x x ý 14 1 3 4 ÿ 5x 3
x x x ó 2 62 1 2 3 4 ÿ ý 2
x 2 x 2 x x ý 16 1 2 3 4 ÿ x ÿ 0 ó ( j 1 ý , 4) þ j
Bài 10. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý 3x 3x x 3x max 1 2 3 4 2
ü x x x 2x ó 5 1 2 3 4 3
ÿ x 2x 3x 6x ý 3 1 2 3 4 ÿ
ý x 2x 3x 2x ó 2 1 2 3 4 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 4) þ j
Bài 11. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý 3x 2x x 2x min 1 2 3 4 85
ü x 3x x 4x 2x ý 5 1 2 3 4 5
ÿ 2x 2x 2x 2x ý 2 ÿ 1 2 3 4 ý 2
x x 5x 2x ó 4 1 2 3 4 ÿ x ÿ ó j ý j 0 ( 1, 5) þ
Bài 12. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý 3x x 4x 3x x max 1 2 3 4 5
ü x 3 x x 4 x 2 x ý10 1 2 3 4 5
ÿ x 2x 2x 2x 2x ó 2 4 ÿ 1 2 3 4 5 ý 4
x 4x 3x 8x 4x ó15 1 2 3 4 5 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 5) þ j
Bài 13. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính sau:
f (x) ý 4x 6x 14x 5 / 2x min 1 2 3 4
ü 3x 2x 2x ó 72 2 3 4 2 ÿ x 3
x x ý60 1 3 4 ÿ ý
2x 4x 3x 2x ý 36 1 2 3 4 ÿ x ÿ ó0 (j ý1,4) j þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Xác định một phương án có thành phÁn x ý 3 và cho biết tính ch¿t của phương 2 án đối với bài toán.
Bài 14. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x 4x 2x 3,5x max 1 2 3 4
ü 2x x x x ý 20 1 2 3 4 ÿ x 2x x 1 ó 6 1 2 4 ÿ ý
2x 2 x x 2x ó 24 1 2 3 4 ÿ x ÿ ó j ý j 0 ( 1, 4) þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm phương án tối ưu có thành phÁn x4 = 10.
Bài 15. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x x 2x 2x x min 1 2 3 4 5 86
ü x 2x 2x x ó 8 1 2 3 4
ÿ x + 2x x x x 10 ý ÿ 1 2 3 4 5 2
ý x x x 15 ó 1 2 3 ÿ ÿ x 0 ó ( j 1 ý ,5) j þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm phương án tối ưu có thành phÁn 1 x ý . 2 5
Bài 16. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 3x x 3x 2x max 1 2 3 4
ü4x 3x x x ó 2 34 1 2 3 4 2
ÿ x 2x 3x ó60 ÿ 1 2 3
ý2x 2x 3x 4x ó 32 1 2 3 4 ÿ x ÿ ó j ý j 0 ( 1, 4) þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Xác định tập phương án tối ưu nếu thêm ràng buộc f (x) ó18 . Các phương án
tối ưu tìm được có phÁi là phương án cực biên của bài toán mới hay không? GiÁi thích.
Bài 17.Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x x 2x 1,5x x min 1 2 3 4 5
ü x 2x 2x x ý12 1 2 3 4 ÿ 2x x x x 1 ý 0 ÿ 2 3 4 5 2
ý ,5x x x ó15 1 2 3 ÿ x ÿ 0 ó ( j 1 ý ,5) j þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm phương án tối ưu có thành phÁn x2 = 1.
Bài 18. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý x 2x c x max 1 2 4 4
ü 2x 3x 4 x ó 5 1 2 3 ÿ 3
x 2x x ó 3 ÿ 1 2 3 ý
x x x ó 6 1 2 4 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 4) þ j 87
a) Với c ý 1giÁi bài toán đã cho bằng phương pháp đơn hình. Xác định các 4
phương án cực biên tối ưu của bài toán và một phương án tối ưu không cực biên
có thành phÁn x ý 10 . 4
b) Với giá trị nào của c bài toán đã cho không giÁi được. GiÁi thích vì sao? 4
Bài 19. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x x 5x min 1 2 3
ü3x x x ó 9 1 2 3
ÿ x 2x x ó5 ÿ 1 2 3
ý x 2x 2x ó3 1 2 3 ÿ ÿ x ó0 ( j 1 ý , 3) j þ
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Phân tích tính ch¿t của 0
x ý (3, 0, 0) đối với bài toán. Nêu tính ch¿t của
phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Bài 20. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 4x 12x 16x min 1 2 3 üx 3x ó 6 1 2 ÿ
ýx 3x 4 x ó 2 1 2 3 ÿ x x ó4 þ 2 3
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Vectơ x (ý 1, 1, 1) có phÁi là phương án cực biên, phương án tối ưu của bài toán gốc?
Bài 21. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý x 4x px max 1 2 3 3
ü x 4 x 4 x ý 10 1 2 3 ÿ ÿ
ý x x x ý 1 1 2 3 ÿ x ÿ ó j ý j 0 ( 1,3) þ
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Với điều kiện nào của p thì vectơ x ý (2, 1, 0) là phương án tối ưu của bài toán
gốc và bài toán đối ngẫu có phương án cực biên tối ưu không suy biến; 88
c) Với giá trị p tìm được á câu b), chứng tỏ rằng x là phương cực biên tối ưu duy nh¿t.
Bài 22. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 3x x 8x 2x 2x min 1 2 3 4 5
ü x 4x 4x x =14 1 3 4 5
ÿ x 2x 2x + x = 4 ÿ 1 3 4 5 ý 2
x x 4x 2x ý 20 1 2 3 5 ÿ x ÿ ó0, j 1 ý ,5 j þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình. b) Xác định phư n
ơ g án tối ưu của bài toán, khi hàm mục tiêu
g(x) ý x x 2x 6x 5x min. 1 2 3 4 5
Bài 23. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x x 13x 10x 3x 1 4x min 1 2 3 4 5 6
ü2x x x 2x 3x ý 45 1 3 4 5 6 2 ÿ x x 2x x x x ý 2 8 ÿ 1 2 3 4 5 6
ýx 3x x x ý 20 1 3 4 5 ÿ x ÿ ó0( j 1 ý , 6) j þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm tập phương án tối ưu của cặp bài toán đối ngẫu khi f(x) max.
Bài 24. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x 5x 4x 2x min 1 2 3 4
ü2x x x 3ó 12 1 3 4 ÿ ÿ x + x 2 x =14 2 3 4 ÿ
ý4x +x 9x ó36 1 3 4 3
ÿ x x 2 x 5ó 23 1 3 4 ÿ x ÿ ó0, j 1 ý ,4 þ j 9
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình, tìm một phương án tối ưu có x ý . 1 2
b) Tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu và tính ch¿t của nó. 89
Bài 25. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý x x x 2x min 1 2 3 4
üx 2x 2x 3x ó 20 1 2 3 4 ÿ
ý x 2 x 2 x ý 16 2 3 4 x ÿ ó0, x ó0 þ 1 2
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Không dùng thuật toán đơn hình, hãy chứng tỏ bài toán gốc giÁi được, hãy xác
định phương án cực biên tối ưu.
Bài 26. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f (x) ý 8
x 6x 4x 5x min 1 2 3 4
ü x 2x x ó 7 1 3 4 ÿ 2 ý ÿ 1 x x2 3 x x43 4 ý
x x 3 x 2 x ó 6 5 ÿ 1 2 3 4 ÿ x ó0, i 1 ý , 2, 4 þ i và vectơ 0 x ý (3, 0, 2, 0).
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Phân tích tính ch¿t của vectơ x0 đối với bài toán trên.
c) Xác định tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu. Tìm phương án tối ưu của
bài toán đối ngẫu có thành phÁn y ý 3. 1
Bài 27. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f (x) ý 4
x x 4x 3x 2x min 1 2 3 4 5
ü 2x x 4x 5 x ó 1 0 1 2 4 5 ÿ ý x 3x x 2x ó3 1 2 3 4 ÿ 2 x 2
x x x 5 ó þ 2 3 4 5
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Xác định tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Bài 28. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f (x) ý 2
x 19x 5x 3x x min 1 2 3 4 5 90 ü 2x x
x x 3x ó 2 27 1 2 3 4 5
ÿ x 2x 2x 3x ó 4 ÿ 1 2 3 5
ý x 3x x x ó17 1 2 3 4 ÿ ÿ x ó0, (j 1 ý , 5) þ j
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Cho y ý (1, 2, 2), phân tích tính ch¿t của y đối với bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho.
c) Tìm tập phương án tối ưu của bài toán gốc.
d) Tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Bài 29. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f øxù 5
ý 6x 14x x 4x min 1 2 3 4 2
ü 3x 2x 2x ó 72 1 2 3 ÿ 3 x x 2 x = 60 ÿ 2 3 4 ý 4
x 3x 2x 2x ý36 1 2 3 4 ÿ ÿx 0 ó ( j 1 ý ,4) þ j
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Phân tích tính ch¿t vectơ x0 = (3, 0, 4, 28) đối với bài toán.
c) Xác định phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu và các tính ch¿t của nó.
D. H¯àNG DÀN - ĐÁP Sà ö11 3 5 ö
Bài 1. Bài toán có phương án cực biên tối ưu * x ý , 0,0, , , 0 ÷ ÷ với ø 2 2 2 ø 3 f ý . min 2 ö 3 1 ö
Bài 2. Bài toán có phương án cực biên tối ưu * x ý , 1, 0, , 0, 0 ÷ ÷ với ø 2 2 ø 11 f ý . min 2
Bài 3. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ø2, 2, 0, 0, 1, 0ù với f ý 6 . min
Bài 4. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ø4, 6, 3, 0, 0ù với f ý13. min 91 ö3 1 5 ö
Bài 5. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ÷ , , 0, 0, 0, ÷ với ø 2 2 2 ø f ý 7 . max
Bài 6. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ø0, 2, 0, 0, 2, 4ù với f ý 6. min
Bài 7. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ø0, 3, 0, 0, 0, 0, 1, ù 1 với f ý 12. min
Bài 8. à bÁng thứ 3 của bài toán có phương z6 giÁm vô h¿n. Vậy bài toán không giÁi được.
Bài 9. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ø0, 1, 7, 0, 52ù với f ý 23. min
Bài 10. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ø0, 0, 3/2, 5/4, 6, 0ù với 21 f ý . max 4
Bài 11. P ý 2 þ 0 , nên bài toán không có phương án. min
Bài 12. P ý 4 þ 0 , nên bài toán không có phương án. min Bài 13.
a) Phương án cực biên tối ưu x* = (30, 6, 0, 0, 54) với fmin = 84.
b) x = (28, 3, 0, 4, 71, 0) là phương án tối ưu không cực biên. Bài 14.
a) Phương án cực biên tối ưu x* = (11, 0, 2, 0, 27, 0) với fmax = 26. ö27 39 ö b) x ý , 0,17,10, , 0 . ÷ ÷ ø 2 2 ø Bài 15. 3 ö 8 1 11 a) Phươ ö ng án cực biên tối ưu * x ý ÷ , 0, , 0, ÷ vớifmin = 63 . ø 5 5 5 ø 5 ö38 1 2 8 ö b) x ý , , , 0, ÷ ÷. ø 5 5 5 5 ø Bài 16.
a) Bài toán không bị chặn trên, do đó bài toán không giÁi được. Bài 17. ö 5 15 3
a) Bài toán có phương án cực biên tối ưu * ö x ý 7, 0, , 0, , 0 ÷ ÷ với f ý . ø 2 2 ø min 2 92 ö 7 9 ö b) * x ý 7, 1, , 0, , 0 . ÷ ÷ ø 2 2 ø Bài 18. ö 7 53
a) Bài toán có phương án cực biên tối ưu * ö x ý 6, 0, , 0, 0, , 0 ÷ ÷ với ø 4 4 ø f ý 6. max Bài 19. b) 0
x ý (3, 0, 0) là phương án cực biên suy biến tối ưu.
Bài toán đối ngẫu có 2 phương án cực biên tối ưu: ö3 1 ö 2 1 2 ö ö y ý , 0, ; y ý , 0, 0 . ÷ ÷ ÷ ÷ ø 5 5 ø ø 3 ø ü 3 2
và tập phương án tối ưu không cực biên ü
ý(y , 0, 2 3y ) | ü y ü . 1 1 1 ý þ 5 3þ Bài 20.
b) x là phương tối ưu, nhưng không cực biên. Bài 21. b) p < 4. Bài 22.
a) Bài toán không giÁi được.
b) Phương án cực biên tối ưu: 0 x ý (2, 24, 0,3, 0). Bài 23.
a) Bài toán không giÁi được.
b) Bài toán gốc có phương án tối ưu x* = (65/3, 53, 0, 5/3, 0, 0)
Tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu: {y* = (5, -1, -6)} Bài 24.
a) Bài toán có phương án tối ưu phương án tối ưu là x = (6, 14, 0, 0, 0, 12, 5). 9 ö ö
Phương án tối ưu có x ý là * 9 7 x ý ,11, 3,0, 0,15, . 1 ÷ ÷ 2 ø 2 2 ø
b) Phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là y ý ø 1 , 5 ,0,0 ù.
y là phương án cực biên tối ưu suy biến của bài toán đối ngẫu. Bài 25.
Phương án cực biên tối ưu: (0, 0, 44, 36). 93 Bài 26. b) 0
x ý (3, 0, 2, 0)là phương án cực biên tối ưu suy biến.
c) Tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu 16
( y , 8y 28, 5 y 16), ó y ó 2. 1 1 1 1 5
Phương án tối ưu của bài toán đ i ố ngẫu 0y ( ý 3, 4, 1). Bài 27.
b) Tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu 0yý ( 1 , 2, 3). Bài 28.
b) y ý (1, 2, 2) là phương án tối ưu không cực biên.
c) x ý (10,0,7, 0,0) là phương án tối ưu duy nh¿t của bài toán gốc. ü 7 3 ü d) ø
ý 3y , y , 5y 12 | ó y ó . 2 2 2 ù 2 ý þ 3 2 þ Bài 29. a) Phương án tối ưu *
x ý (6,0, 0,30,54) và fmin = 84. b) 0
x ý (3, 0, 4, 28) là phương án cực biên tối ưu.
c) Tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu: * y ý (0,1/ 2,3 / 2) . *
y là phương án cực biên suy biến duy nh¿t.
Tài lißu tham khÁo
[1] Lê Đình Thúy. Toán cao cấp cho các nhà kinh tế. NXB Đ¿i học Kinh tế Quốc dân, 2012.
[2] Phùng Duy Quang. Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ứng dụng trong kinh tế. NXB
Thông tin và Truyền thông.
[3] TrÁn Túc, Quy hoạch tuyến tính, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2004.
[4] Nguyến Quang Dong, Ngô Văn Thứ, Hoàng Đình Tu¿n, Mô hình toán kinh tế,
NXB Đ¿i học Kinh tế Quốc dân, 2006.
[5] Hoàng Đình Tu¿n, Lý thuyết mô hình toán kinh tế, NXB Đ¿i học Kinh tế Quốc dân, 2007.
[6] Lê Tài Thu, Bài tập Toán cao cấp, NXB Giáo dục Việt Nam, 2017.
[7] Lê Tài Thu, Bài tập Mô hình toán kinh tế, NXB Giáo dục Việt Nam, 2017. 94
MĀC LĀC Trang
Lãi nói đầu .................................................................................................................... 3
Ch°¢ng 1. Hàm sá mßt bi¿n sá
A. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................................... 4
B. Các ví dụ ................................................................................................................. 11
C. Bài tập .................................................................................................................... 19
D. Đáp số và hướng dẫn .............................................................................................. 24
Ch°¢ng 2. Hàm sá nhiÁu bi¿n sá
A. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................................... 28
B. Các ví dụ ................................................................................................................. 33
C. Bài tập .................................................................................................................... 38
D. Đáp số và hướng dẫn .............................................................................................. 42
Ch°¢ng 3. Mô hình toán kinh t¿
A. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................................... 44
B. Các ví dụ ........... ..................................................................................................... 49
C. Bài tập .................................................................................................................... 60
D. Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................. 65
Ch°¢ng 4. Bài toán quy ho¿ch tuy¿n tính
A. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................................... 68
B. Các ví dụ ........... ..................................................................................................... 73
C. Bài tập .................................................................................................................... 84
D. Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................. 68
Ch°¢ng 6. Ph°¢ng trình sai phân
A. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................................... 72
B. Các d¿ng bài tập ..................................................................................................... 79
C. Bài tập .................................................................................................................... 84
D. Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................. 92
Tài lißu tham khÁo ............................................................................... 94 95
ChÞu tr¸ch nhiÖm xuÊt b¶n:
Chñ tÞch Héi ®ång Thμnh viªn nguyÔn ®øc th¸i
Phã Tæng Gi¸m ®èc phô tr¸ch hoμng lª b¸ch
Phã Tæng Gi¸m ®èc kiªm Tæng biªn tËp TS. Phan xu©n thμnh
Tæ chøc b¶n th¶o vµ chÞu tr¸ch nhiÖm néi dung:
Phã Tæng biªn tËp TS. TRÀN QUANG VINH
Tæng biªn tËp T¹p chÝ To¸n häc vμ Tuæi trÎ TS. trÇn h÷u nam
Biªn tËp néi dung: Hå QUANG VINH
Tr×nh bµy b×a: thanh long ChÕ b¶n: MAI ANH
T¹p chÝ To¸n häc vµ Tuæi trÎ - Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc ViÖt Nam
gi÷ quyÒn c«ng bè t¸c phÈm.
BμI TËP to¸n KINH TÕ 1 M· sè: 7L001k0
In 1610 b¶n, khæ 17 ô 24 cm (Q§: /Q§-GD ngμy th¸ng 9 n¨m 2020)
In t¹i XÝ nghiÖp b¶n ®å 1 - Chi nh¸nh C«ng ty TNHH MTV Tr¾c ®Þa B¶n ®å. §Þa chØ:
§−êng §μm Quang Trung - Tæ 17 ph−êng Phóc §ång - Q. Long Biªn - TP. Hμ Néi
Sè xuÊt b¶n: 2728 - 2020/CXBIPH/1 - 1447/GD ISBN: 978-604-0-23151-2
In xong vμ nép l−u chiÓu th¸ng 9 n¨m 2020. 96