Bài Tập môn Toán Kinh tế 1 | Học Viện Ngân Hàng

Bài Tập môn Toán Kinh tế 1 | Học Viện Ngân Hàng với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần. Mời bạn đọc đón xem!

TS. LÊ TÀI THU (Chă biên)
ThS. HOÀNG THÞ THU HÀ - ThS. ĐÀM THÞ NGàC VÂN
Bμi tËp to¸n KINH TÕ 1
(Tái bn l n th hai )
Nhμ xuÊt b¶n gi¸o dôc viÖt nam
2
3
êi nãi ®Çu
Toán kinh tế 1 môn hc bt buc dành cho sinh viên các h cao đẳng, c đ¿i h
ca chuyên ngành kinh tế. t hĐể giúp sinh viên th c tt môn hc, cng c các kiến
thc được giÁng d¿y trên lp, dùng để ôn thi hết hc phÁn, B môn Toán, Hc vin Ngân
hàng đ ếã t ch c biên so¿n cu n Bài tp Toán kinh t 1.
Kết c¿u ca cun sách tương t. Trong mng vi ni dung ca giáo trình lý thuyế i
chương i được chia ra làm ba phÁn, ph ng, phÁn 1 tóm tt lý thuyết chính ca chươ Án 2 gi
thiu các d¿ng bài tp và hướng dn cách làm, phÁn 3 là bài tp có kèm theo hướng dn và
đ áp án. M i chương đều gi i thi u m t s ng d ng trong các bài toán phân tích kinh tế
phù hp vi kiến thc được trang b v c kinh tế a sinh viên năm th nh¿t.
Ni dung cun bài tp này gm 4 chương:
Chương 1. Hàm s m t biến s
Chương 2. Hàm s nhiu bi n sế
Chương 3. Mô hình toán kinh tế
Chương 4. Bài toán quy ho¿ch tuyến tính
Hy vng cun sách bài tp này s giúp các b¿n sinh viên t hc t t nm được
các kiến thc cơ b m , Án ca môn hc. N được các ng d ng c a Toán hc trong kinh tế
các ng dng này s giúp các b¿n sinh viên hc tt hơ á ến các môn kinh t các môn
chuyên ngành sau này.
Trong lÁn tái bÁn này, chúng tôi có b sung và chnh sa mt s ch để sách được
đÁ đủy chính xác hơn, r¿t mong nhn n b n được các ý kiế đóng góp quý báu t ¿ đọc và
các đồng nghip lđể Án xu¿t bÁn sau được hoàn thin hơn. Mi ý kiến đóng góp xin gi v:
B môn Toán, Hc vin Ngân hàng.
Đin thoi: 04.38522969
Email: letaithubmt@gmail.com
Trân tr ơng cám n !
Hà ni, tháng 8 năm 2020
CÁC TÁC GIÀ
4
Ch¬ng 1
Hμm sè mét biÕn sè
A. TÓM TÄT LÝ THUY¾T
1.1. DÃY Sà VÀ GIàI H¾N C A DÃY SĂ à
1.1.1. Cp sá cßng và cp sá nhân
a) Cp s c ng
C¿p s cng vi công sai d là dãy s{ }
n
x
th
a mãn:
*
1
, \{1}.
n n
x x d n
ý þ
1
( 1) .ý
n
x
x n d
1 2 1
... 2 ( 1) .
2
n n
n
S x x x x n dý ý
b) Cp s nhân
C¿p s nhân vi công bi q là dãy s { }
n
x
th
a mãn:
*
1
. , \{1}.
n n
x x q n
ý þ
1
1
. .
n
n
x
x q
ý
1
1 2
(1 )
... ( 1).
1
n
n n
x q
S x x x q
q
ý ý
C¿p s nhân lùi vô h¿n nếu công bi q tha mãn | | 1q
ü
. Khi đó
1
1 2
1
... ... .
1
n n
n
x
S x x x x
q

ý
ý ý ý
õ
1.1.2. Ąng dāng dãy sá trong phân tích tài chính
a) Lãi đơn
Gi A đồng vào Ngân hàng trong n k v i lãi su¿t m i k r. Sau mi k lãi
được rút ra ch để li gc cho k sau, ta gi là lãi đơn.
- Sau k đÁu, tin lãi là: rA tng giá tr là:
1
(1 ) .u A rA r A
ý
ý
- Sau 2 k, tng giá tr là:
2
2 (1 2 ) .u A rA r A
ý
ý
- Sau n k , t ng giá tr là: (1 ) .
n
u A nrA nr A
ý
ý
Dãy s { }
n
u là c¿p s cng vi công sai .d rA
b) Lãi gp (lãi kép)
Gi A đồng vào Ngân hàng trong n k v i lãi su¿t m i k r. Sau mi k lãi
được nhp vào gc để tính lãi cho k sau, ta gi là lãi gp (lãi kép).
5
- Sau k đÁu, tng giá tr là:
1
(1 ).u A rA A r
ý
ý
- Sau 2 k
, tng giá tr là:
2
2
(1 ) (1 ) (1 ) .u A r A r r A rý ý
- Sau n k , t ng giá tr là: (1 ) .
n
n
u A rý
Dãy s { }
n
u là c¿p s nhân vi công bi 1 .q r
ý
c) Giá tr hin t i và giá tr tương lai ca ti n t
Gi A đồng vào ngân hàng vi lãi gp m c n r t năm thì giá tr tương lai a khoÁ A
đồng hôm nay sau nt ăm là: (1 ) .
t
B
A rý
Giá tr hin ti c n a khoÁ B n nđồng s nh được sau t ăm: (1 ) .
t
A
B r
ý
Giá tr hin ti ròng ca mt d án là hiu ca giá tr hi n t n s ¿i ca khoÁn ti thu
v
trong tương lai và chi phí d án: (1 )
t
NPV B r C
ý
C là khoÁn chi phí hin t¿i cho d án.
B là khoÁn do d án đem l¿i sau t năm.
r là lãi su¿tnăm.
d) Lãi gp liên tc
Nếu lãi su¿t m t n ăm r mi năm chia ra thành n thì lãi ca mi
.
r
n
Nếu vn đÁu tư ban đÁu V
0
thì giá tr nhn nđược sau t ăm (theo cách tính lãi
gp) là:
0
( , ) 1 .
nt
r
V n t V
n
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
Nếu lãi được tính gp liên tc, nghĩa thßi gian ca tính lãi r¿t nh, không
xác nh t n đị được, do đó s kì tính lãi n ăng lên vô h¿ ( )n 
thì
0
( ) lim ( , ) .
rt
n
V t V n t V e
ý ý
1.2. GIàI H¾N CĂA HÀM Sà
Định lý (Các phép toán v gii hn)
Nếu
0
1
lim ( ) ,
x x
f x l
ý þ ñ
0
2
lim ( )
x x
g x l
ý
þñ
thì
i)
0
1 2
lim ( ) ( ) .
x x
f
x g x l l
ý
ii)
0
1 2
lim ( ). ( ) . .
x x
f
x g x l l
ý
iii)
0
1
2
2
( )
lim ( 0).
( )
x x
lf x
l
g x l
ý
6
Định lý (Gii hn kp)
Nếu tn t¿i 0
ô
þ sao cho ( ) ( ) ( )
f
x g x h x
ó
ó vi mi ( , ) :þ
x
a b
0
0 | | x x
ô
ü ü
0 0
lim ( ) lim ( )
ý
ý
x x x x
f
x h x l thì
0
lim ( )
ý
x x
g
x l .
Mt s i h gi n cơ b n
1)
0
sin
lim 1.
x
x
ý
2)
1
0
lim(1 ) .
x
x
x
e
ý
H qu
1)
0
tan
lim 1.
x
x
x
ý
2)
0 0
log (1 ) ln(1 )
lim log (0 1), lim 1.
a
a
x x
x x
e a
x
x
ý ü ý
3)
0 0
1 1
lim ln , lim 1.
x x
x x
a e
a
x x
ý ý
4)
0
(1 ) 1
lim ( ).
x
x
x
ñ
ñ ñ
ý þñ
1.3. HÀM Sà LIÊN TĀC
Các tính cht c¢ bÁn căa hàm sá liên tāc trên mßt n đo¿
Định lý (Bolzano – Cauchy)
Nếu hàm s ( )
f
x
liên tc trên đo¿n [ , ]a b
L
þ
ñ
nm gia ( )
f
a
( )
f
b
thì
tn t¿i ( , )c a bþ
sao cho ( )
f
c L
ý
.
H qu. Nếu hàm s ( )
f
x
liên tc trên đo¿n [ , ]a b
( ). ( ) 0
ü
f a f b
thì tn t¿i
( , )c a bþ
sao cho ( ) 0.f c ý
Định lý (Weierstrass)
Hàm s ( )
f
x
liên tc trên đo¿n [ , ]a b
thì
i) ( )
f
x
b ch n trên [ , ]a b ;
ii) ( )
f
x
đ¿t được giá tr ln nh¿t và giá tr nh nh ¿t trên [ , ]a b .
Định lý (S tn t ngi hàm s ược liên tc)
Nếu hàm s ( )y f x
ý
xác định, liên tc và đơn điu tăng (giÁm) trên ( , )a b
thì
i) Min giá tr ca hàm s ( )y f x
ý
là mt đo¿n ( , )c d nào đó.
ii) Hàm s
( )y f xý
có hàm s ngược
1
( ).
x
f y
ý
iii) Hàm s
ngược
1
( )
x
f y
ý
liên tc, n đơ điu tăng (giÁm) trên đ ¿o n ( , )c d .
7
1.4. Đ¾O HÀM
1.4.1. Khái nißm đ¿o hàm
Hàm s ( )y f xý
xác , định trên kho ng (Á a b) và
0
( , )
x
a b
þ
.
0 0
0
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
x x
f
x x f xy
f x
x
x
ò
ý ý
0 0
0 0
( ) lim ( ) lim
x x
y y
f x f x
x
x
ö ö
ò ò
ý ý
÷ ÷
ø ø
trong đó
0 0
, ( ) ( )
x
x x y f x f x ý ý và các gii h¿n là hu h¿n.
Chú ý. Hàm s ( )y f xý đ¿o hàm t¿i
0
x
khi ch khi hàm s đ¿o hàm bên
phÁi, đ¿o hàm bên trái t¿i
0
x
0 0
( ) ( )
f
x f x
ò ò
ý .
B nÁng c bđ¿o hàm c a các hàm să ¢ p c¢ Á
1)
( ) 0
c
ò
ý
( c là hng s) 2)
ø ù
1
x
x
ñ ñ
ñ
ò
ý
3)
ø ù ø ù
ln ,
x
x x x
a a a e e
ò ò
ý ý
4)
1 1
(log ) ,(ln )
ln
a
x x
x
a x
ò ò
ý
ý
5)
(sin ) cos
x
x
ò
ý
6)
(cos ) sin
x
x
ò
ý
7)
2
1
(tan )
cos
x
x
ò
ý
8)
2
1
(cot )
sin
x
x
ò
ý
9)
2
1
(arcsin )
1
x
x
ò
ý
10)
2
1
(arccos )
1
x
x
ò
ý
11)
2
1
(arctan )
1
x
x
ò
ý
12)
2
1
(arccot )
1
x
x
ò
ý
1.4.2. Ý nghĩa kinh t¿ c a ă đ¿o hàm
Vi
x
đủ nh:
0 0
0
( ) ( )
( ) ,
f
x x f xy
f x
x
x
ò
ý
do đó
0 0 0
( ) ( ) ( ) .y f x x f x f x x
ò
ý
Trong kinh tế:
Nếu 1
x
ý thì
0 0 0
( 1) ( ) ( ).y f x f x f x
ò
ý
0
( )
f
x
ò
bi ¿ ¿ đu di n x p x lượng thay đổi giá tr t i im
0
x
ca biến ph thuc y khi
biến p độc l x tăng thêm 1 đơn v.
0
( )
f
x
ò
được gi là giá tr y c - n biên c a t i m x ¿ đi
0
x
.
8
1.5. VI PHÂN C ĂA HÀM Sà
1.5.1. Khái nißm vi phân và liên hß v i á đ¿o hàm
Hàm s ( )y f xý
xác định trên ( , )a b
liên tc t¿i
0
( , )
x
a b
þ
được gi là khÁ vi
t¿i
0
x
nếu tn t¿i A sao cho . ( ).y A x o x ý
Biu thc .
A
x được gi là vi pn ca hàm s ( )y f x
ý
t¿i đim
0
x
, kí hiu
0
( ).df x
Liên h v i đạo hàm
Định lý. Hàm s ( )y f xý
kh iÁ vi t¿
0
x
khi và ch khi nó có đ¿o hàm t¿i
0
x
. Khi đó
0
( ) .dy f x dx
ò
ý
1.5.2. Đ¿o hàm và vi phân cp cao
a) Đạo hàm cp cao
GiÁ s ( )y f x
ò ò
ý a đ¿o hàm, o hàm cđ¿ đ¿o hàm c¿p 1 ca hàm
s ( )y f xý được gi là đ¿o hàm c¿p 2 ca hàm s đó, kí hiu ( )
f
x
ò
ò
, hoc
(2)
( )
f
x .
Tương t, đ¿o m ca đ¿o hàm c¿p n 1 ca hàm s ( )y f x
ý
được gi đ¿o
hàm c
¿p c n a hàm s đó, kí hiu
( )
( )
n
f
x .
b) Vi phân cp cao
Vi phân c¿p 2 ca hàm s ( )y f x
ý
vi phân c ¿a vi phân c p 1 ca hàm s đó,
kí hi
u
2
.d y
Tương t, vi phân c¿p cn a hàm s ( )y f x
ý
là vi phân ca vi phân c¿p a n1 c
hàm s
u đó, kí hi
n
d y
. N u n p: ế x là biế độc l
( )
( )( ) .
n n n
d y f x dxý
Chú ý. Biu thc vi phân c¿p cao không tính ch¿t b t bi¿ ến như biu thc vi
phân c¿p 1.
1.6. CÁC VI ĐÞNH LÍ C¡ BÀN VÀ HÀM Sà KHÀ
1.6.1. Đßnh lý (Fermat)
Nếu hàm s ( )y f xý đ¿t cc tr t¿i
0
x
t¿i đó hàm s đ¿o hàm thì
0
( ) 0f x
ò
ý
.
1.6.2. Đßnh lý ( )Lagrange
Nếu hàm s ( )
f
x liên tc trên [a, vi trên kho , i b] khÁ Áng (a b) thì tn t¿
( , )c a bþ
sao cho:
( ) ( ) ( )( ).
f
b f a f c b a
ò
ý
9
1.7. MÞT Sà ĄNG D NG CĀ ĂA Đ¾O HÀM
1.7.1. Tìm giái h¿n d¿ng vô đßnh
Định lý (L’Hospital)
GiÁ s các hàm s ( )
f
x ( )
g
x kh ),Á vi trong kho ng (Á a, b
( ) 0g x
ò
và tha mãn:
i)
0
( )
lim
( )
x x
f
x
g
x
có d¿ng
0
0
, hoc
ii)
0
( )
lim
( )
x x
f x
l
g x
ò
ý
ò
( hl u h¿n hoc vô h¿n).
Khi ó đ
0
( )
lim
( )
x x
f x
l
g x
ý .
Chú ý. Quy tc trên vn đúng khi thay quá trình
0
x
x , bái
x
 ,
x
,
0
x
x
,
0
x
x
.
1.7.2. a Ąng dāng că đ¿o hàm trong phân tích kinh t¿
a) Giá tr cn biên
Sn phm cn biên: Mô hình hàm sÁn xu¿t ( )Q f L
ý
( )
L
M
PP f L
òý : SÁn phm hin vt cn biên ca lao động t¿i L.
Ý nghĩa: T i m , ¿i m đi L
L
M
PP cho biết x¿p x ng s n ph n v lượ Á m hi t gia tăng
khi s d ng. ng thêm 1 đơn v lao độ
Doanh thu cn biên: Mô hình hàm doanh thu ( )TR TR Q
ý
( )
M
R TR Q
ò
ý : Doanh thu cn biên t¿i Q.
Ý nghĩa: T ng ¿i mc sÁn lượ Q,
M
R cho biết x¿p x lượng doanh thu tăng thêm khi
sÁn xu¿t thêm 1 đơn v n ph sÁ m.
Chi phí cn biên: Mô hình hàm chi phí ( )TC TC Q
ý
( )
M
C TC Q
ò
ý : Chi phí cn biên t¿i Q.
Ý nghĩa: T¿i mc sÁn lượng , Q
M
C cho biết x¿p x lượng chi phí tăng thêm khi
sÁn xu¿t thêm 1 đơn v n ph sÁ m.
Xu hướng tiêu dùng cn biên: Mô hình hàm tiêu dùng ( ).C C Y
ý
( )
M
PC C Y
ò
ý : Xu hướng tiêu dùng cn biên t¿i Y.
Ý nghĩa: T p ,¿i mc thu nh Y
M
PC cho bi ng khi ta ết x¿p x lượng tiêu dùng gia tă
có thêm 1 đơn v thu nhp.
10
Xu hướng tiết kim cn biên: Mô hình hàm tiết kim ( )S S Y
ý
( )
M
PS S Y
òý : Xu hướng tiết kim cn biên t¿i Y.
Ý nghĩa: T¿i mc thu nhp , Y
M
PS cho biết x¿p x lượng tiết kim gia tăng khi ta
có thêm 1 đơn v thu nhp.
b) H s co giãn
H s co giãn ca ( )y f xý t¿i m đi x
%
. .
%
y
x
y
y y y
x
x
x x y
x
õ
ý ý ý
Khi 0x ta có công thc tính h s a t i m co giãn c y ¿ đi x . .
y
x
x
y
y
õ
ò
ý
Ý nghĩa: T¿i đim x, nếu x thay đổi 1% thì y thay đổi x¿p x %
y
x
õ
. 0 ( 0)þ ü
y y
x x
õ õ
phÁn ánh s thay đổi ca yxng chiu (ngược chiu).
H s co giãn ca cu, cung theo giá
Mô hình hàm cÁu ( ),
d
Q D pý
h Á s co giãn ca c u theo giá t¿i p
. ( ). 0.
( )
D
d
p
d
Q p p
D p
p Q D p
õ
ò
ý
ü
Mô hình hàm cung ( ),
s
Q S pý
h ¿ s co giãn ca cung theo giá t i p
. ( ). 0.
( )
S
s
p
s
Q p p
S p
p Q S p
õ
ò
ý
þ
H p s co giãn ca cu theo thu nh
Mô hình hàm cÁu ( ),
d
Q D Iý h s co giãn ca cÁu theo thu nhp t i ¿ I
. ( ). 0.
( )
D
d
I
d
Q I I
D I
I Q D I
õ
ò
ý
þ
H s co giãn ca cu theo giá hàng hóa khác
. ( ). 0.
( )
y
y yD
d
p y
y d y
p p
Q
D p
p Q D p
õ
ò
ý þ
1.7.3. Quan hß giÿa hàm bình quân và hàm cÃn biên
a) Hàm bình quân và hàm cn biên
Xét mô hình hàm s ( ).y f xý
Hàm bình quân t
¿i m đi x
( )
.
f
x
Af
x
ý
11
Hàm giá tr
y – cn biên là
( ).
M
f f x
ò
ý
b) Mi quan h gi a hàm bình quân và hàm c n biên
à đây, xét ( )
f
x ( )TC Q ( ).TR Q
2
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) .
f x
f x
f
x f x x f x Mf Af
x
Af x
x x x x
ò
ò
ò
ö ö
ò
ý ý ý ý
÷ ÷
ø ø
Vi x > 0 ta có:
N u ế Mf > Af thì ( ) 0Af x
ò
þ t Af ăng;
N u ế Mf < Af thì ( ) 0Af x
ò
ü giAf Ám;
N u ế Mf = Af thì ( ) 0Af x
ò
ý
, do ó t i đ Af đ¿t cc tr ¿ đim mà Mf = Af.
Định lý. GiÁ s doanh nghip hàm tng chi phí ( )TC Q và hàm tng doanh
thu ( )TR Q . Khi đó:
÷ u ki n t n c Đi n cÁ để ng li nhu đ¿t c đ¿i là:
.
M
C MR
ý
÷ u ki n t n Đi đủ để ng li nhu đ¿t cc đ¿i là:
TR TC
ò
ò òò
ü
.
B. CÁC VÍ DĀ
Ví d
ā 1.1. Tìm min xác định ca hàm s
3
arccos lg(4 ).
2
ý
x
y x
Gi i. Hàm s xác khi định khi và ch
3
2 3 2 1 5
1 1
1 4.
2
4 4
4 0
x
x x
x
x x
x
ü
ó ó ó ó
ó ó
ü ü
ÿ
ó ü
ý ý ý
ü ü
þ þ
ÿ
þ
þ
Vy min xác định ca hàm s [1,4).D
ý
Ví dā 1.2. Tìm min xác định và min giá tr ca hàm s
2
2
.
1
y
x
ý
Gii. MXĐ: \{ 1}.D ý ñ
Ta có:
0y
2 2
2
2 2 2
1 1.
1
y x x
x y y
ý ý ý
2
0,
x
x
ó nên
2 2
1 0 0 ( ; 2] (0; ).
y
y
y y
ó ó þ  
Vy min giá tr ca hàm s là: ( ; 2] (0; ).

12
Ví d
ā 1.3. Tìm hàm s ngược ca hàm s:
1
, 1.
1
x
y x
x
ý
Gii. MXĐ: \{ 1}.D ý ñ
MGT:
\{ 1},ñ
1 2
1 1.
1 1
x
y y y
x
x
ý ý
Ta có:
1
(1 ) 1
1
x
y y x x
x
ý ý
1
( 1) 1 .
1
y
x y y x
y
ý ý
V
y hàm s có hàm ngược
1
1
x
y
x
ý
vi MXĐ: \{ 1}D
ý
ñ
và MGT: \{ 1}.ñ
Ví dā 1.4. Mt công ty b¿t động sÁn có 50 căn h cho thuê. Biết rng nếu cho thuê
mi c i căn h ng m vi giá 2000000 đồ t tháng thì m ăn h đều ngưßi thuê
c mi lÁn tăng giá cho thuê mi căn h 100000 đồng mt tháng thì có thêm 2 căn
h b b tr t lng. Thiế p hàm s để tính s tin công ty thu được mi tháng khi
tăng giá cho thuê mi căn h x đồng/tháng.
Gi i. S ti n thuê mt căn h m . t tháng khi tăng giá là: 2000000 + x
Mi lÁn tăng giá cho thuê mi căn h 100000 đồng m ăt tháng thì có thêm 2 c n h
b b ng. tr
Khi t
ăng giá x đồng thì có
2
100000
x
c n h b ng. ă tr
S
tin công ty thu được hàng tháng là:
2
(2000000 ) 50 .
100000
x
y x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
Ví dā 1.5. GiÁ ế s mt ngưßi gi ti t kim 600 USD sau 3 năm thu được 720 USD
vi lãi gp định k . Tính . 6 tháng là r r
Gii. S k là: 2.3 = 6 (k).
Ta có:
6 6
720 600(1 ) (1 ) 1, 2r rý ý
6
1 1, 2r ý 0,031 3,1%.r
ý
Vy lãi gp 6 tháng là: 3,1%r ý /6 tháng.
dā 1.6. M n t d i v án đòi h đÁu t ban ư đÁu 2 t đồng, s đem l¿i 3 t
đồ ng sau 5 năm. Trong đi u ki n lãi su¿t ngân hàng 9%/năm nên đÁu tư vào
d án hay không?
Gi
i.
5
3(1 0, 09) 2 0,05 0.
NPV
ý ü
Vy không nên thc hin d án.
13
dā 1.7. M i i t d án đòi h đÁu t u 1 tư ban đÁ đồng sau 1 năm s đem l¿
cho b¿n 250 tri p trong 5 nu đồng liên tiế ăm. Trong điu ki n lãi su ¿t ngân hàng
10%/năm, có nên thc hin d án hay không ?
Gi i. Giá tr hi n t ¿i c a toàn b lu ng tin thu nhp là:
ø ù ø ù ø ù ø ù
2 3 4 5
250 250 250 250 250
1 0,1
1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1
PV ý
947,70 1000.
ü
Vy không nên thc hin d án.
Ví dā 1.8. Xác định (0)
f
để hàm s
ln(1 ) ln(1 )
( )
x
x
f x
x
ý liên tc t¿i 0x ý .
Gii
0 0
ln(1 ) ln(1 )
lim ( ) lim
x x
x
x
f x
x
ý
0 0
ln(1 ) ln(1 )
lim lim
x x
x
x
x
x
ý
1 1 2.
ý
ý
Để hàm s ( )
f
x liên tc t¿i 0x
ý
thì
0
lim ( ) (0) (0) 2.
x
f x f f
ý
ý
Vy (0) 2f ý thì ( )
f
x liên tc t¿i 0x
ý
.
Ví dā 1.9. Xét tính liên tc ca hàm s sau trên min xác định
2
1
sin khi 0
( ) .
1 khi 0
x x
f x
x
x
ü
ÿ
ý
ý
ÿ
ý
þ
Gii
MX :Đ
.D ý ñ
V
i mi 0,x
hàm s
2
1
( ) sin
f
x x
x
ý là hàm sơ c c. ¿p nên liên t
Xét t¿i 0x ý :
2
0 0
1
lim ( ) lim sin
x x
f
x x
x
ý
2
2
0
sin
lim . 1.0 0
x
x
x
x
ö ö
ý
ý ý
÷ ÷
ø ø
1 (0).f
ý
Do ó hàm sđ không liên tc t¿i 0x
ý
.
Vy hàm s liên tc trên \ {0}ñ .
Ví d
ā 1.10. Cho hình th trưßng có hàm cung
2
0,1 5 10
S
Q p p
ý
hàm cÁu
50
( 2).
2
ý
D
Q p
p
Chng t r ng mô hình trên có giá cân bng thuc khoÁng (3, 5).
Gii
Giá cân bng là nghim ca phương trình:
14
2
50
0,1 5 10
2
S D
Q Q p p
p
ý ý
3 2 2
0,1 0, 2 5 10 10 20 50p p p p p ý
3 2
0,1 4,8 70 0.p p ý
Đặ
t
3 2
( ) 0,1 4,8 70,f p p pý
suy ra
241 125
(3) ; (5) .
10 2
f fý ý
(3). (5) 0f f ü ( )
f
p liên tc trên [3, 5] nên tn t¿i
(3,5)p
þ
sao cho
( ) 0f p ý .
Vy mô hình trên có giá cân bng thuc khoÁng (3, 5).
Ví dā 1.11. Tính o hàm c t i đ¿ a hàm s ¿ x = 0
1 cos4
khi 0
( ) .
0 khi 0
x
x
f x
x
x
ü
ÿ
ý
ý
ÿ
ý
þ
Gii.
2
2 2
0 0 0 0
1 cos4
( ) (0) 1 cos4 2sin 2
(0) lim lim lim lim 8.
0
x x x x
x
f x f x x
x
f
x x x x
ò
ý ý ý ý ý
Ví dā 1.12. Tính o hàm cđ¿ a hàm s sau:
a)
sin
( ) ( 0)
x
f x x xý þ
b) ( ) .3 ( 0).
x x
f x x x
ý
þ
Gii
a)
sin sin
( ) ln ( ) ln( ) sin ln .
x x
f
x x
f
x x x xý ý ý
L¿y c: đ¿o hàm 2 vế ta đượ
ø ù
( ) sin
ln ( ) sin ln cos ln
( )
f
x x
f x x x x x
f
x x
ò
ò ò
ý ý
sin
sin sin
( ) cos ln ( ) cos ln .
x
x x
f x x x f x x x x
x x
ö ö ö ö
ò
ý ý
÷ ÷ ÷ ÷
ø ø ø ø
b)
ø
ù
( ) .3 ln ( ) ln .3 ln ln3.
x x x x
f x x f x x x x xý ý ý
L¿y c: đ¿o hàm 2 vế ta đượ
ø ù
( )
ln ( ) ln ln3 ln 1 ln3
( )
f x
f x x x x x
f x
ò
ò ò
ý ý
ø ù
ø
ù
( ) ln 1 ln 3 ( ) ln 1 ln3 .3 .
x
x
f x x f x x x
ò
ý ý
15
Ví dā 1.13. Tìm các gii h¿n sau:
0
tan
a) lim
sin
x
x
x
x
x
2
0
1 cos4
b
) lim .
x
x
x
Gii
( )
2
0 0 0
1
1
tan (tan )
cos
a) lim lim lim
sin ( sin ) 1 cos
L
x x x
x x x x
x
x
x x x x
ò
ý ý
ò
2
2 2
0 0
1 cos 1 cos
lim lim 2.
(1 cos ) cos cos
x x
x x
x x x
ý ý ý
( ) ( )
2 2
0 0 0 0 0
1 cos 4 (1 cos4 ) 4sin 4 (4sin 4 ) 16cos4
b
) lim lim lim lim lim 8.
( ) 2 (2 ) 2
L L
x x x x x
x x x x x
x x x x
ò
ò
ý ý ý ý ý
ò ò
Ví dā 1.14. Tìm các gii h¿n sau:
0
a) lim sin
x
x
x
1
1
1
b
) lim(2 )
x
x
x
Gii
a) ln sin lnsin
x
x
x xý
( )
0 0 0 0 0
2
cos
lnsin (lnsin )
sin
lim( lnsin ) lim lim lim lim cos 0.
1 1
sin
1
L
x x x x x
x
x x x
x
x x x x
x
x x
x
ò
ý ý ý ý ý
ò
ö ö
÷ ÷
ø ø
0
0
lim sin 1.
x
x
x e
ý ý
1
1
ln(2 )
b) ln(2 )
1
x
x
x
x
ý
1
( )
1
1 1 1 1 1
1
ln(2 ) [ ln(2 )] 1
2
lim lim lim lim 1 lim(2 ) .
1 (1 ) 1 2
L
x
x x x x x
x x
x
x
e
x x x
ò
ý ý ý ý ý
ò
Ví d
ā 1.15. Cho hàm sÁn xu¿t ca mt doanh nghip:
3 .ýQ L
Tính sÁn phm cn biên ca lao động t d¿i mc s ng lao ng là 100. độ
Gii. SÁn phm cn biên ca lao động t i m ¿ đi L = 100 là
100
100 100
3 3
0,15.
2 2 100
L
L L
MPP Q
L
ý
ý ý
ò
ý ý ý ý
16
Ví d
ā 1.16. Cho hàm tng chi phí:
2
3 20 10.TC Q Q
ý
a) Tính hàm chi phí cn biên.
b) T¿i m = 30, khi t t đi Q
0
Q ăng thêm m đơn v n chi phí s thay đổi bao nhiêu đơ
v?
Gii
a) Hàm chi phí cn biên: 6 20MC TC Q
ò
ý
ý
b) MC(30) = 6.30 + 20 = 200.
T
¿i m đi Q
0
= 30, khi Q tăng thêm mt n v t n vđơ chi phí s ăng thêm 200 đơ .
Ví d
ā 1.17. Cho hàm cÁu:
2
100 2 .
D
Q p pý
T¿i mc giá p = 5 khi giá tăng lên
1% thì lượng cÁu thay đổi mt lượng x¿p x bao nhiêu?
Gii
H s co giãn ca cÁu theo giá là:
2 2
( 2 2 ) 2(1 )
. .
100 2 100 2
Q
p
p p p p p
Q
Q p p p p
õ
ò
ý ý ý
H s co giãn ca cÁu theo giá t¿i mc giá p = 5 là:
10
2
2(1 5)5
0,923.
100 2.5 5
Q
õ
ý
Vy t¿i mc giá p = 5 nếu giá tăng 1% thì cÁu v hàng hóa này giÁm x¿p x 0,923%.
dā 1.18. N t ếu hàm cung d¿ng bc nh¿ ( 0)Q a bp b
ý
þ thì h s co giãn
t i
¿i đ m p là:
. . .
Q
p
p
p bp
Q b
Q a bp a bp
õ
ò
ý ý ý
Ví d
ā 1.19. Mt doanh nghip có hàm doanh thu:
2
5 1700 50.TR Q Qý
a) Tìm hàm doanh thu cn biên và doanh thu trung bình.
b) Gi
Á s hàm chi phí ca doanh nghip là:
3 2
20 100 100.TC Q Q Qý Xác
định mc sÁn l ng t i u. ượ ư
Gii
a) Hàm doanh thu cn biên: 10 1700.MR Q
ý
Hàm doanh thu trung bình:
50
5 1700 .AR Q
Q
ý
b) Hàm li nhun ca nhà sÁn xu¿t:
2 3 2
5 1700 50 ( 20 100 100)TR TC Q Q Q Q Q
ð
ý ý
3 2
15 1800 50.Q Q Qý
17
Đi Áu ki n c n để
ð
c đ¿t c đ¿i là:
1
2
2
20
3 30 1800 0
30
Q
Q Q
Q
ð
ý
ù
ò
ý ý
ú
ý
û
Q
2
= 30 (lo¿i).
Xét t¿i Q
1
= 20.
Đi u ki n đủ để
ð
đ¿ t c c đ¿i là
Ta có: 6 30Q
ð
òò
ý .
(20) 6.20 30 150 0.
ð
òò
ý ý ü
Do = 20 là Q đim cc c c đ¿i duy nh¿t, nên giá tr đ¿i là giá tr l n nh ¿t.
Vy mc sÁn lượng ti u cư a doanh nghip là Q = 20.
C. BÀI TÂP
Bài 1. Tìm min xác định và min giá tr ca các hàm s sau:
a)
2
2
y
x xý
b)
arcsin ln
x
y
e
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
c)
cot arccos 2
x
y xý ð
d)
2
arcsin
1 2
x
x
y
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
e)
2
ln(1 2 )
y xý f)
2
cos
x
y
x
ý
ð
Bài 2. Tìm hàm s ngược ca các hàm s sau:
a)
1
1
x
y
x
ý
b)
2
2 1
x
x
y ý
c)
sin cosy x xý vi
,
4 4
x
ð
ð
ù
ù
þ
ú
ú
û
û
d)
log 2
x
y
ý
Bài 3. M n xut nhà sÁ ¿t thiết b phÁi chi phí 9000 USD để s n xu ng Á ¿t 1000 lò nướ
bánh m mt tuÁn và 12000 USD sđể Án xu¿t 1500 lò nướng bánh m mt tuÁn.
a) Hãy biu din chi phí như mt hàm ca s nướng bánh được sÁn xu¿t, giÁ
s r ng t. đó là hàm bc nh¿
b) H s trên cho bi t góc ca hàm s ế điu gì?
c) H s n c ch a hàm s trên cho biết điu gì?
18
Bài 4. Mt n . đội bóng chơi trong mt sân v động sc cha 55 000 khán giÁ
Khi giá 10 USD thì 27 000 khán giÁ. Khi giá vé 8 USD thì 33 000
khán giÁ. Tìm hàm cÁu ( )p p xý , liên h gia giá p v i lượng khán giÁ x, giÁ
s rng ( )
p
x là hàm b t. c nh¿
Bài 5.
Cho hàm li nhun
3 2
3 1320 10 ( 0)Q Q Q Qð ý ó . Tính (0)ð
giÁi
thích ý nghĩa kinh t . ế
Bài 6.
Hàm c u vÁ hàng hóa A
0,5
200
D
Q p
ý . Th trưßng hàng hóa A hai
hàm cung là:
1
0,5
5 ,
S
Q pý
2
0,75
4 .
S
Q pý Lp nh cân bng th trưßng hàng hóa A.
Bài 7. Cho hàm cung, hàm cÁu ca th trưßng mt hàng hóa: 4 1
S
Q pý
,
2
4
D
Q pý .
a) Tìm điu ki n c a l u ng; p để ượng cung và cÁ đều dươ
b) Tìm gii h¿n cao nh n th¿t ca giá mua và gii h¿ ¿p nh¿t ca giá bán;
c) Tìm giá và lượng cân bng( , )
p
Q ;
d) Tìm hàm cÁu ng c. ượ
Bài 8. Cho các s liu sau v cung và cÁu g o 203 Hà N i: ¿ á
Giá (nghìn đồng/kg) 7 8 9 10 11 12
Lượng cung (t¿n/ngày) 11 13 15 17 19 21
Lượng cÁu (t¿n/ngày) 20 19 18 17 16 15
a) Viết phương trình hàm cung, hàm cÁu. Xác định giá và sÁn l ng. ượng cân b
b) Nếu Chính ph áp đặt giá là 11,5 nghìn đồng/kg thì điu gì s x Áy ra?
c) Nếu Chính ph đánh thuế 1 nghìn đồng/kg g¿o 203 bán ra thì giá s n lÁ ượng
cân bng s nào? thay đổi như thế
Bài 9. Tìm tng giá tr thu được khi đÁu tư 1000 USD trong 5 năm vi lãi gp
8% / n m tính theo quý. ă
Bài 10. GiÁ s g i ti m thu ết kim 500 USD sau 3 nă được 588,38 USD vi lãi gp
định kì na năm . Tính . r r
Bài 11. Doanh thu ca công ty A năm 2008 1 t đồng. Hàng năm tăng doanh thu 1%.
Nếu l¿y năm 2008 là năm th 0, thì năm th n doanh thu ca công ty là bao nhiêu?
Bài 12. Dân s Vit Nam năm 2003 là 80872000 ngưßi. Hàng năm dân s tăng 1,5%.
Đến năm 2023 dân s Vit Nam là bao nhiêu?
19
Bài 13. Mt d án đòi hi vn đÁu tư ban đÁu 6000 USD và s đem l¿i 10000 USD sau
5 năm. Trong điu ki n gn lãi su¿t ti i ngân hàng 9% mt năm nên đÁu tư
d án án đó hay không? Tính NPV ca d đó.
Bài 14. Vào ngày 1/7/2016, Ngân hàng Nông nghip thông báo nhn gi tin USD
vi lãi su¿t 3,5% / năm tính gp liên tc. Mt ngân hàng c¿nh tranh khác cũng a đư
ra kiu tiếp th để thu hút khách hàng như sau: tng ngay 20 USD cho mt khách
hàng mi vi điu ki n g i ít nh¿t 1000 USD vi lãi su¿t 3,5%, được tính gp theo
na năm. Ông n mA quyết định ch t trong ba phương án sau để gi 1000 USD
vào ngày 1/7/2016:
÷ G n vào Ngân hàng Nông nghi p. i ti
÷ G n vào ngân hàng ci ti ¿nh tranh.
÷ Gi na tin vào Ngân hàng Nông nghip na tin vào ngân hàng c¿nh tranh.
Tng s tin ông A thu được vào ngày 1/7/2018 theo mi phương án trên như
thế nào?
Bài 15. Mt nhà đÁu tư có th b n ti để thc hin mt trong 3 d án:
D án 1: Chi phí hin t¿i 2000 USD và đem l¿i 3000 USD sau 4 năm.
D án 2: Chi phí hin t¿i 2000 USD và đem l¿i 4000 USD sau 6 năm.
D án 3: Chi phí hin t¿i 3000 USD và đem l¿i 4800 USD sau 5 năm.
Vi lãi su¿t thnh hành là 10% mt năm thì nên chn d án nào?
Bài 16. Ông a A có 50000 USD đÁu tư trong 18 tháng. Ông ¿y hai phương án l
chn:
÷ u tĐÁ ư tin vào trái phiếu vi lãi su¿t 5% / năm được tính g p theo quý.
÷ u tĐÁ ư tin tiết kim vi lãi su¿t 4,5% / năm c. được tính g p liên t
Ông s nh n A được bao nhiêu tin theo mi phương án đÁu tư sau 18 tháng?
Bài 17. Cho hàm s
1
sin , khi 0
( ) .
1, khi 0
x x
x
f x
x
ü
ÿ
ý
ý
ÿ
ý
þ
CÁn sa l¿i (0)
f
thế nào để
f
liên tc t¿i 0?x
ý
Bài 18. Xét tính liên tc ca các hàm s sau trên tp xác định
a)
3
1
sin , khi 0
( )
0, khi 0
x x
xf x
x
ü
ÿ
ý
ý
ÿ
ý
þ
20
b)
4.3 , khi 0
( )
2 , khi 0
x
x
f x
x x
ü
ü
ý
ý
ó
þ
c)
2 3
( )
2 3
x
f x
x
ý
Bài 19. Tìm a để hàm s sau liên tc trên tp xác định
a)
2
1 khi 1
( )
3 khi 1
x
x
f x
ax x
ó
ü
ý
ý
þ
þ
b)
2
sin
khi 0
( ) 1 cos
khi 0
x
x
f x x
a x
ü
ÿ
ý
ý
ÿ
ý
þ
Bài 20. T t ng chi phí (tính bng USD) khi sÁn xu¿ Q (trăm) bút chì cho bái hàm
s
2
1
40 3 .
1000
Q
TC Q
Q
ý
Giá ca 100 bút chì 7 USD. Chng minh rng mc sÁn xu¿t đ hòa vn.
(Hòa vn khi doanh thu bng t t ng chi phí) biế Q þ (1, 11).
Bài 21.
Hàm cÁu v hàng hóa A
0,5
200
D
Q p
ý . Th trưßng hàng hóa A hai
hàm cung là
1
0,5
5
S
Q pý
2
0,75
4
S
Q pý .
a) Hãy lp mô hình cân bng th trưßng hàng hóa ; A
b) Th trưßng có tn t¿i tr¿ng thái cân bng không?
Bài 22. S d ng nh ngh o hàm c : đị ĩa, hãy tính đ¿ a hàm s ( ) 2 7f x x
ý
t i ¿
đim = 1.x
Bài 23. S d ng nh ngh o hàm c đị ĩa, hãy tính đ¿ a các hàm s sau:
a)
2 1
( )
x
f
x e
ý b) ( ) ln( 1)f x x
ý
Bài 24. Tìm đ¿o hàm ca các hàm s sau:
a)
2
( ) ln( 1)
f x x xý b)
2
3
( ) (3 2)f x xý
c)
2
( ) 1
x
f
x e
ý d)
2
1
sin khi 0
( )
0 khi 0
x x
f x
x
x
ü
ÿ
ý
ý
ÿ
ý
þ
Bài 25. Chng minh hàm s:
1
sin khi 0
( )
0 khi 0
x x
f x
x
x
ü
ÿ
ý
ý
ÿ
ý
þ
liên tc t¿i x = 0, nhưng không có đ¿o hàm t¿i x = 0.
Bài 26.
Cho hàm chi phí:
3 2
3 4 5 10.ý TC Q Q Q
a) Tìm hàm chi phí cn biên;
b) Tìm hàm chi phí bình quân.
21
Bài 27. Cho biế t hàm cÁu đối v i sÁn phm ca nhà sÁn xu¿t độc quyn, vi giá p
tính bng USD: 500 0, 2 .Q pý
Hãy tính MR t¿i mc sÁn lượng Q = 90 và giÁi thích ý nghĩa.
Bài 28.
Cho biết hàm c i vÁu đố i mt lo¿i hàng hóa như sau:
2
3200 0,5 .Q pý
a) Tính h s co giãn ca cÁu theo giá t¿i mc giá p < 80;
b) Tính h s co giãn ca cÁu theo giá t¿i các mc giá p = 20, p = 50 giÁi thích
ý nghĩa.
Bài 29. Cho hàm tiêu dùng: 0,8 0, 2 18.C Y Yý
a) Tìm hàm xu hướng tiêu dùng cn biên;
b) Tính h s co giãn ca tiêu dùng t¿i mc thu nhp Y = 200 USD và giÁi thích ý
nghĩa.
Bài 30. Cho hàm tng chi phí:
2
5
5000
3
Q
TC
Q
ý
( 0þQ : sÁn lượng).
a) Tìm hàm chi phí cn biên;
b) Tính tng chi phí bình quân t¿i Q = 100.
Bài 31. Mt doanh nghip độc quyn s n xuÁ ¿t vi hàm cÁu v sÁn phm là
90Q pý
. Bi
ết hàm tng chi phí:
3 2
10 30 1000.TC Q Q Qý
a) Tìm MRMC theo Q;
b) Tìm mc sÁn lượng l n c để i nhu đ¿t c đ¿i;
c) T¿i m Ác s n l u t ng s n lượng Q = 10, nế ă Á ượng nên 1 đơn v thì tng chi phí
thay đổi như thế nào, tng doanh thu thay đổi như thế nào?
Bài 32.
Cho hàm sÁn xu n h¿t ng ¿n:
3 2
2
10 ,
3
ý Q L L trong ó ng, đ Q sÁn lượ L
là s đơn v ng s lao độ dng.
a) Tìm tp xác định thc tế (có tính kinh tế) ca hàm trên;
b) Tìm m dc s ng lao động t i ng để ¿ đó s n lÁ ượ đ¿t giá tr l t; n nh¿
c) T¿i mc ng L = 5, nếu tă L lên 1% thì sÁn lượng thay đổi như thế nào?
Bài 33. Mt doanh nghip c¿nh tranh hoàn hÁo có hàm tng chi phí:
3 2
3 150TC Q Qý .
Doanh nghip phÁi ch¿p nhn giá th trưßng
p
= 7200 USD trên 1 đơn v sÁn ph m
.
22
a) Tìm mc sÁn lượng lđể i nhun i a; đ¿t t đ
b) T¿i mc sÁn lượng l n i a để i nhu đ¿t t đ đó, nếu s ng t ng 1 n vÁn lượ ă đơ thì
tng chi phí thay đổi như thế nào?
c) Khi Chính ph đánh thuế T = 100000 USD trên toàn b sÁn phm, tìm m Ác s n
lượng để l n i nhu đ¿t ti đa. Tìm mc li nhun đó. Có kết lun gì so vi câu a?
d) Khi Chính ph đánh thuế t = 2640 USD/1 đơn v sÁn phm thì doanh nghip
sÁn xu¿t vi mc sÁn lượng bao nhiêu để t i n. đa hóa li nhu
Bài 34. Cho hàm cÁu và hàm tng chi phí ca mt nhà sÁn xu¿t độc quyn:
200p Q
ý
2
TC Q
ý
.
a) Tìm mc sÁn lượng và giá để l n i nhu đ¿t ti đa;
b) Tìm h s co giãn ca cÁu theo giá t¿i mc t đi a hóa li nhun và nêu ý nghĩa;
c) Khi Chính ph đánh thuế T trên toàn b sÁn phm bán ra thì sÁn lượng t i a để đ
hóa li nhun có thay đổi không?
d) GiÁ s Chính ph đánh mt lượng thu vào mế t i sÁn phm bán ra. Tìm mc
cung ti đa hóa li nhun. SÁn lượng đó thay đổi thế nào khi t thay đổi?
Bài 35. Hãy xác định mc sÁn l ng tượ i ưu ca nhà sÁn xu¿t biết hàm doanh thu
và hàm chi phí như sau:
2
10 100 ;
TR Q Qý
3 2
1
15 500 15.
3
TC Q Q Q
ý
Bài 36. Hãy xác định mc sÁn lượng t u ci ư a nhà sÁn xu¿t biết hàm doanh thu
và hàm chi phí như sau:
2
1400 7 ;TR Q Qý
3 2
4 80 120.TC Q Q Qý
Bài 37. Hãy phân tích mi quan h gia hàm tng chi phí trung bình ( )
A
TC Q
hàm chi phí c
n biên MC(Q) biết hàm tng chi phí:
2
8 16 ( 0).TC Q Q Q
ý
þ
Bài 38. Hãy phân tích mi quan h gia hàm sÁn xu¿t bình quân APL và hàm sÁn
xu
¿t cn biên MPL, biết hàm sÁn xu¿t ngn h¿n:
2
3 60 ( 0).Q L L L
ý
þ
23
D. ĐÁP Sà VÀ H¯àNG DÀN
Bài 1.
a) TX
Đ: [1, 2]; MGT:
3
0,
2
ù ù
ú ú
û û
b)TXĐ:
2
1,
e ; MGT:
,
2 2
ð
ð
ù
ù
ú
ú
û
û
c) TXĐ:( ,0)\{ , }k k þò ; MGT: ñ
d) TXĐ: ñ ; MGT:
ø
ù
0,
2
ð
e)TX
Đ:
1 1
,
2 2
ö ö
÷ ÷
ø ø
; MGT: ( , 0]
f) TX :Đ
1
[0, ) \ ,
2
k k þ ; MGT: .ñ
Bài 2.
a)
1
, 1
1
x
y x
x
ý
b)
ø
ù
2
log , 0 1.
1
x
y x
x
ý
ü ü
c) arcsin , [0, 2]
4
2
x
y x
ö ö
ð
ý þ
÷ ÷
ø ø
d) 2, 0
x
y x
ý
Bài 3.
a) Hàm s cÁn tìm là TC = ax + b
9000 1000. 6
12000 1500. 3000
a b a
a b b
ý ý
ü ü
ý ý
ý ý
þ þ
TC = 6x + 3000.
b) H s góc 6 cho biết khi tăng 1 nưng bánh mì thì chi phí tăng thêm 6 USD.
c) H s chn 3000 cho biết chi phí c định bng 3000 USD.
Bài 4. ( ) 19 .
3000
x
p x ý
Bài 5. (0) 10ð ý
cho biết chi phí c định b ng 10.
Bài 6. Mô hình cân bng th trưßng hàng hóa A
0,5 0,5 0,75
200 5 4 .
D S
Q Q p p p
ý ý
Bài 7.
H n:ướng d a)
1
2
4
ü üp ; b) Gii h¿n cao nh¿t ca giá mua: 2; gii h¿n
th
¿p nh¿t ca giá bán:
1
4
; c) p = 1, Q = 3; d) 4 .p Q
ý
Bài 8. a) Hàm cung: 0,5 1,5p Qý
. Hàm cÁu: 27p Q
ý
.
Giá và sÁn lượng cân bng: 10, 17p Q
ý
ý .
b) Nếu Chính ph áp đặt giá là 11,5 nghìn đồng/kg thì s xu hàng ¿t hin dư
hóa giá đó cao hơn giá cân bng. Để tính lượng dư tha, ta thay p = 11,5 vào
24
hàm cung, cÁu s có: lượng cung 20 t¿n/ngày, lượng cÁu 15,5 t¿n/ngày. Suy
ra lượng dư là 4,5 t¿n/ngày.
c) Hàm cung mi 0,5 1,5 1p Q
ý
, hàm cÁu vn như c : ũ 27p Qý
.
T
đây có cân bng mi là:
32 49
,
3 3
ý ýp Q .
Bài 9. 1485,95 USD.
Bài 10. 2,75%.
Bài 11.
(1 0,01)
n
n
TR ý (t ng). đồ
Bài 12.
20
80872000(1 0,015) 108922858 ý ngưßi.
Bài 13. Có thc hin.
Bài 14.
Gi tin vào Ngân hàng Nông nghip
2.0,035
1000 1072,508
n
v eý ý USD.
Gi tin vào ngân hàng c¿nh tranh
4
0,035
1000 1 20 1091,859
2
n
v
ö ö
ý ý
÷ ÷
ø ø
USD.
Gi na tin vào Ngân hàng Nông nghip và na tin vào ngân hàng c¿nh tranh:
4
2.0,035
0,035
500 500 1 1072,184
2
n
v e
ö ö
ý ý
÷ ÷
ø ø
USD.
Bài 15. D án 1: NPV = 49; D D án 2: NPV = 257,9; án 3: NPV = 19,58.
Vy nên thc hin d án 2.
Bài 16. Phương án 1 thu được s tin 53869,16 USD.
Phương án 2 thu được s tin 53491,513 USD.
Bài 17. (0) 0.f ý
Bài 18. a) Hàm s liên tc trên ñ ;
b) Hàm s không liên tc t¿i x = 0 ; c) Hàm
s
không liên tc t¿i
3
.
2
x ý
Bài 19. a) a = 1; b) a = 2.
Bài 20. Mô hình cân bng:
2
1
40 3 7 0.
1000
Q
Q Q
Q
ý
Đặt:
2
1
( ) 40 3 7 ,
1000
Q
f
Q Q Q
Q
ý
ta có: (1). (11) 0f f
ü
( )
f
Q liên tc
trên [1, 11] nên tn t¿i Q để ( ) 0f Q
ý
. Vy có mc sÁn xu¿t để hòa vn.
Bài 21.
a) Mô hình cân bng th trưßng
0,5 0,5 0,75
200 5 4 .p p p
ý
b) Tn t¿i giá cân bng.
25
Bài 22.
1
3
Bài 23.
a)
2 1
( ) 2
x
f
x e
ò
ý b)
1
( )
1
f x
ò
ý
Bài 24. a)
2
2 1
( )
1
x
f x
x
x
ò
ý
b)
3
2
( )
3 2
f x
x
ò
ý
c)
2
2
( ) ( 0)
1
x
x
xe
f x x
e
ò
ý
d)
1 1
2 sin cos , 0
( )
0, 0
x x
f x
x x
x
ü
ÿ
ò
ý
ý
ÿ
ý
þ
Bài 25. Hướng dn:
÷
0 0
1
lim ( ) lim sin 0.
x x
f x x
x
ý ý
÷ Không tn t¿i gii h¿n
0
( ) (0)
lim
0
x
f
x f
x
bng cách ch ra 2 dãy cùng có gii h¿n
là 0, nhưng
0
( ) (0)
lim
0
x
f
x f
x
tiến ti 2 gii h¿n khác nhau.
Bài 26.
a)
2
9 8 5MC Q Qý
; b)
2
10
3 4 5 .AC Q Q
Q
ý
Bài 27. 2500 10
M
R Qý ; (90) 1600.MR
ý
Bài 28. a)
2
2
3200 0,5
p
p
; b)
20 50
0,133; 1,282.
p p
õ õ
Bài 29.
a)
0,1
0,8MPC
Y
ý
; b)
0,8926.
C
Y
ý
õ
Bài 30. a)
2
2
5 30
( 3)
Q Q
MC
Q
ý
; b) 54,85.ATC
ý
Bài 31. a) 90 2 ;
M
R Qý
b) Q = 10
2
3 20 30MC Q Qý
c) Tng chi phí và tng doanh thu tăng lên 70 n vđơ .
Bài 32. b) L = 10
c) T¿i m ế ă Ác L = 5, n u t ng L lên 1% thì s n lượng tăng thêm 1,5%
Bài 33. a) Q = 50 ; b) Tăng 7200 USD.
26
c) Q =50; d) Q = 40 .
Bài 34.
a) Q = 50, p = 150; b)
150
3;
õ
ý
ý
Q
p
c) Không thay
đổi; d)
200
( 200).
4
ý ü
t
Q t
Bài 35. Q = 20.
Bài 36. Q = 20.
Bài 37.
Q > 4 chi phí cn biên ln hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân tăng.
Q < 4 chi phí c n chi phí bình quân thì chi phí bình quân gin biên nh hơ Ám.
Q = 4 chi phí bình quân đ¿t cc tiu.
27
Ch¬ng 2
hμm sè nhiÒu biÕn sè
A. TÓM TÄT LÝ THUY¾T
2.1. CÁC KHÁI NIÞM C¡ B N À
2.1.1. Hàm sá ¿ hai bi n
GiÁ s ( D Oxy), hàm s hai biến m t quy tc f cho tương ng m i đim
( , )
x
y Dþ vi mt s thc z duy nh¿t, ký hiu là ( , ).
f
x y
Dmin xác định ca f.
S ( , )
f
x y
a t i giá tr c f ¿ đim (x, y).
Tp hp
( , ) | ( , )
f
x y x y Dþ tp giá tr c a . f
Các ký hiu m x biy u th đi ( , )
x
y tùy ý thuc D là các biến độc lp.
Ký hiu z biu th mt s tùy ý thu c tp giá trbiến ph thu c.
2.1.2. Mßt sá hàm sá hai bi¿n trong kinh t¿
Hàm sn xut: ( , ).Q f K Lý
Hàm li ích:
1 2
( , ).U U Q Qý
Hàm cung, cu: hàm cung
1 2
( , )
i
S i
Q S p p
ý
hàm cu
1 2
( , )
i
D i
Q D p p
ý
.
Hàm tng chi phí: TC = TC Q( );
0
.
K L
TC w K w L C
ý
Hàm tng doanh thu: TR = p Q .
Hàm t i nhung l n:
ð
= TR TC.
2.1.3. Giái h¿n căa hàm sá hai bi¿n
Hàm s hai biến f(M) xác định trên tp D cha các đim gÁn m đi I bao nhiêu
cũng được. Hàm s f đưc gi gii h¿n L (L hu h¿n hoc h¿n) khi
M(x y, ) dÁn n đế I(a, b) nếu vi mi dãy đim{ } \{ }
n
M
D I dÁn n đế I, ta đều
lim ( ) .
n
f
M Lý Ký hiu: lim ( )
M I
f
M L
ý
(ho
c
lim ( , )
x a
y b
f
x
y
L
ý
).
2.2. PHÉP TÍNH VI PHÂN CĂA HÀM Sà HAI BI¾N
2.2.1. Đ¿o hàm riêng
Đạo hàm riêng cp 1. GiÁ s hàm s ( , )z f x y
xác định trong D và (a, b)þD.
28
( , ) ( , ) ( , )
x x
f
f a b a b f x b
x
ax
ö
ò òý ý
ý
ö
( , ) ( , ) ( , )
y y
f
f a b a b f a y
y b
y
ö
ò ò
ý ý
ý
ö
Đạo hàm riêng cp 2.
2 2
2 2
,
f
f f f
x
x x y y y
ö öö ö ö ö ö ö
ö ö
ý ý
÷ ÷÷ ÷
ö ö ö ö ö ö
ø ø
ø ø
2 2
,
f
f f f
x
y y x y x x y
ö öö ö ö ö ö ö
ö ö
ý ý
÷ ÷÷ ÷
ö ö ö ö ö ö ö ö
ø ø
ø ø
hoc kí hiu tương ng là
2 2
, , ,
x
y yx
x y
f
f f f
ò
ò òò òò òò
.
Định (Schwarz). Nếu trong m t lân cn c a đim (a, b), hàm s ( , )z f x yý
các đ¿o riêng
2 2
,
f
f
x
y y x
ö ö
ö ö ö ö
liên tc thì
2 2
( , ) ( , )
f f
a b a b
x y y x
ö ö
ý
ö ö ö ö
.
2.2.2. Vi phân căa hàm hai bi n ¿
Cho hàm s ( , )z z x yý , t a độ thay đổi tuy đối c z là:
( , ) ( , ) ( , )z a b z a x b y z a b ý .
Định lý. Nếu hàm s ( , )z z x yý
có các đ¿om riêng liên tc trong mt lân cn ca
đim (a,b) thì
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).
z z
z a b z a x b y z a b a b x a b y o x y
x y
ö
ö
ý ý
ö ö
Khi xy khá gÁn 0: ( , ) ( , ) ( , ) .
z z
z a b a b x a b y
x y
ö
ö
ö ö
Chú ý. N u i ế x thay đổ x đơn v còn y = thì b
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
z
z a b z a x b z a b a b x
x
ö
ý
ö
N u ế y thay n vđổi y đơ còn x = a thì
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
z
z a b z a b y z a b a b y
y
ö
ý
ö
29
Vi phân toàn phn. Nếu hàm s ( , )z f x y
ý
xác n o định trong mi Dcó các đ¿
hàm riêng liên tc t¿i đim (a, ) b þ D thì vi phân toàn phn c a ( , )z f x yý
t¿i
(a, b) là:
( , ) ( , ) ( , )
z z
dz a b a b x a b y
x y
ö
ö
ý
ö ö
Vi , x y là các biến độc lp, ta có dx = x, dy y = , vì vy
( , ) ( , ) ( , ) .
z z
dz a b a b dx a b d
y
x y
ö
ö
ý
ö ö
Vi phân riêng.Vi phân riêng ca hàm s ( , )z f x y
ý
theo x (theo y) t i ( , )a b là:
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
x y
z z
d z a b a b dx d z a b a b d
y
x y
ö öö ö
ý ý
÷ ÷
ö ö
ø ø
2.2.3. h p Đ¿o hàm căa hàm sá ÿ
Hàm s i m hp v t biến p độc l
Hàm s ( , )
f
x y các đ¿o hàm riêng liên tc trong mt lân cn ca đim
0 0
( , ).
x y
GiÁ
s ( ), ( )
x
x t y y tý ý
đ¿o hàm t¿i
0
t t
ý
0 0 0 0
( ), ( ).
x
x t
y y
t
ý
ý Khi đó
0 0 0 0 0 0 0
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ).
f f
t x y x t x y y t
x y
ö
ö
ò ò ò
ý
ö ö
Hàm s h n p p vi hai biế độc l
Hàm s ( , )
f
x y các đ¿o hàm riêng liên tc trong mt lân cn ca m đi
0 0
( , ).
x
y GiÁ s ( , ), ( , )
x
x t v y y t vý ý
các đ¿o hàm riêng c¿p 1 liên tc t¿i m đi
0 0
( , )t v
0 0 0 0 0 0
( , ), ( , ).
x
x t v y y t vý ý
Khi ó đ
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),
f x f y
t v x y t v x y t v
t x t y t
ö ö ö ö ö
ý
ö ö ö ö ö
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).
f x f y
t v x y t v x y t v
v x v y v
ö ö ö ö ö
ý
ö ö ö ö ö
2.2.4. n Đ¿o hàm căa hàm ¿
GiÁ s x y liên h v i i nhau bá ( , ) 0f x y
ý
. Nếu vi mi x U
þ
ñ mt
ch mt y Vþ ñ sao cho ( , ) 0,f x y
ý
thì ( , ) 0f x y
ý
xác định mt hàm n
y yý (x U) (t vào V).
30
Định lý. GiÁ s hàm s ( , )
f
x y xác định các đ¿o hàm riêng liên tc trong
mt lân cn ca đim (a, ), b ( , ) 0f a b
ý
( , ) 0.
y
f a b
ò
Khi đ ó t n t¿i m Át kho ng
U cha a để h c th ( , ) 0f x y
ý
xác định mt hàm n ( )y y x
( )
x
Uþ
sao cho
( )
y a bý
( , )
( ) .
( , )
x
y
f
a b
y a
f
a b
ò
ò
ý
ò
2.2.5. Mßt sá a ąng dāng că đ¿o hàm riêng trong kinh t¿
a) Tính g đn úng độ thay đổi tuyt đối
Cho hàm sÁn xu = ¿t Q Q(K, L)
K
Q
MPP
K
ö
ý
ö
sn phm cn biên ca vn.
L
Q
MPP
L
ö
ý
ö
sn phm cn biên ca lao động.
MPP
K
x¿p x lưng Q gia tăng khi lượng vn K tăng thêm 1 đơn v còn L không đổi.
MPP Q
L
x¿p x l ng ượ gia tăng khi lao động tL ă ng thêm 1 đơn v còn K không đổi.
b) Tính gn úng ng i đ độ thay đổi tươ đố
( , )z z x yý
có các đ¿o hàm riêng liên tc t¿i (a,b), ( , ) ( , ) ( , ).z a b z a x b z a b
ý
Khi
đó
( , )
( , )
z a b
z a b
x
a
l t Án lượ được gi là độ thay đổi tương đối c a zx (tính
bng %).
H s co giãn ca z theo x t i ¿ đim (a, b) là
( , ) ( , ) ( , )
( , ) : . . .
( , ) ( , ) ( , )
x
z a b x z a b a z a b a
a b
z a b a x z a b x z a b
õ
ö
ý ý ý
ö
Ý nghĩa. T¿i đim (a, b) khi x thay đổi 1% còn y không thay đổ đổi thì z thay i x¿p
x ( , )%.
x
a b
õ
T
ương t, h s co giãn ca z theo y
( , )
( , ) . .
( , )
y
z a b b
a b
y z a b
õ
ö
ý
ö
Ý nghĩa. T¿i đim (a, b) khi y thay đổi 1% còn x không thay đổ đổi thì z thay i x¿p
x ( , )%.
y
a b
õ
2.3. CĀC TRÞ C N ĂA HÀM S HAI BIà ¾
2.3.1. Cāc trß t n ā do căa hàm sá hai bi¿
Định lý (Điu kin cn ca cc tr)
31
Nếu hàm s ( , )z f x yý
đ¿t cc tr t i m ¿ đi I(a, b) tn t¿i các đ¿o riêng c¿p 1
thì
ø ù ø ù
, , 0
f f
a b a b
x y
ö ö
ý ý
ö ö
.
Định lý (Điu kin đủ ca cc tr)
GiÁ s hàm s ( , )z f x yý các đ¿o hàm riêng c¿p 2 liên tc trong mt lân cn
ca m đi I
ø ù ø ù
0
f f
I I
x y
ö ö
ý ý
ö ö
.
ø ù ø ù
ø ù ø ù
ø ù ø ù ø ù ø ù
2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
( ) . . .
f f
I I
x x y
f f f f
D
I I I I I
x y x y y x
f f
I I
y x y
ö ö
ö ö ö
ö ö ö ö
ý ý
ö ö ö ö ö ö
ö ö
ö ö ö
Khi y: ¿
i) Nếu D(I) > 0 và
ø ù
2
2
0
f
I
x
ö
þ
ö
thì Iđim cc tiu;
N u ế D(I) > 0 và
ø ù
2
2
0
f
I
x
ö
ü
ö
thì Iđim cc đ¿i.
ii) Nếu D(I) < 0 thì I không phÁi là đim cc tr.
Chú ý. N u ế D(I) = 0 thì chưa kết lu c gì, ta phn đượ Ái khÁo sát thêm bng phương
pháp khác.
2.3.2. Cāc trßđiÁu kißn c hai biăa hàm sá ¿n
Tìm cc tr ca hàm s ( , )z f x yý
khi x, y tha mãn ( , ) .
g
x y b
ý
( , )
g
x y bý
được
gi là điu kin ràng buc ca bài toán.
Chú ý. Nế u t ( , )
g
x y bý rút ra được ( )y y x
thì ta đưa v tìm cc tr a hàm s c
mt biến ( ) ( , ( )).
x
f x y x
ý
Ph°¢ng pháp nhân t Lagrange
Bước 1. Lp m Lagrange
ø
ù
( , , ) ( , ) ( , ) ,
L
x
y f
x
y
b
g
x
y
ý trong đó g i
nhân t Lagrange.
Bước 2. GiÁi h phương trình:
( , , ) 0
( , , ) 0
( , )
x
y
L x y
L x y
g
x y b
òü
ý
ÿ
ò
ý
ý
ÿ
ý
þ
, tìm nghim
0 0 0
( , , ) ( , , ).x y x y
ý
Bước 3. Vi
0 0 0
( , , )x y
là mt nghim ca h phương trình trên, tính định thc
32
2
2
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 ( , ) ( , )
( , ) ( , , ) ( , , )
( , ) ( , , ) ( , , )
x y
x xy
x
y yx
y
g x y g x y
H g x y L x y L x y
g x y L x y L x y
ò ò
ò òò òò
ý
ò òò òò
÷ N u ế 0H þ , thì
0 0
( , )
x
y đim cc đ¿i có điu ki n c a hàm ( , )
f
x y .
÷ N u ế 0H ü , thì
0 0
( , )
x
y đim cc tiu có n cđiu ki a hàm ( , )
f
x y .
2.3.3. Tìm giá trß l p óng án nht, giá trß nh nhß t căa hàm sá hai bi¿n trên tà đ
và giái nßi
Tìm min hoc max ca hàm s hai biến
( )
f
M
liên tc trên tp i đóng và gii n D
B
ước 1. Trong
o
D , tìm các đim ti h¿n
1 2
, ,...,
n
M
M M ca f.
Bước 2. Trên biên C c a D, tìm các đim
1 2
, ,...,
m
N N N t¿i t đó nghi ngß f đ¿
min hoc max trên C.
Bước 3. Tính giá tr c a t m b f ¿i các đi đã nêu á ước 1 và 2. Ta có:
1 1
max max ( ),..., ( ), ( ),..., ( )
n m
D
f f M f M f N f Ný
1 1
min min ( ),..., ( ), ( ),..., ( ) .
n m
D
f f M f M f N f Ný
B. CÁC VÍ DĀ
Ví dā 2.1.
Mt công ty sÁn xu¿t mt lo¿i sÁn phm có hàm sÁn xu¿t
3
5Q K Lý
vi
Q
,
K
,
L
được tính hàng ngày. Hãy biu din tng doanh thu, tng chi phí tng li
nhun hàng ngày ca công ty theo
K
L
, biết rng giá sÁn phm là 4 USD, giá tư Á b n
15 USD, giá lao động 8 USD và mi ngày công ty phÁi trÁ 50 USD cho chi ph
í khác.
Gii
Hàm doanh thu là:
3 3
. 4.5 20 ;ý ý ýTR p Q K L K L
Hàm chi phí là: 15 8 50;TC K Lý
Hàm l
i nhun là:
3
20 15 8 50TR TC K L K L
ð
ý ý .
Ví dā 2.2. Cho hàm sÁn xu¿t Cobb-Douglas
1 2
3 3
6 ( 0, 0).Q K L K L
ý
þ þ
a) Tính
Q
K
ö
ö
Q
L
ö
ö
t i m ¿ đi ( , ) (8,27)K L
ý
và giÁi thích ý nghĩa;
b) Chng minh rng MPP
K
giÁm khi K tăng và L không đổi;
33
c) Tính các h s co giãn riêng ca t i m Q theo KL ¿ đi ( , ) (8,27)K L
ý
r Ái gi i
thích ý nghĩa.
d) T¿i m đi ( , ) (8,27)K L ý
cho 0,1; 0,2K L
ý ý
các mc biến n động ca v
lao động. Tính (8, 27), (8, 27), (8, 27)
K L
d Q d Q dQ và giÁi thích ý nghĩa ca
chúng.
Gi i
a)
2 2
3 3
2 ,
Q
K
L
K
ö
ý
ö
1 1
3 3
4
Q
K
L
L
ö
ý
ö
nên (8, 27) 4,5;
Q
K
ö
ý
ö
8
(8,27) .
3
Q
L
ö
ý
ö
(8, 27)
Q
K
ö
ö
cho biết khi L c định bng 27, còn K tăng t 8 lên 9 thì Q tăng
x¿p x 4,5;
(8, 27)
Q
L
ö
ö
cho biết khi nh bK c đị ng 8, còn L t ăng t 27 lên 28 thì Q
t
ăng x p x¿
8
.
3
b) Do
5 22
3 3
2
4
0
3
K
MPP Q
K L
K K
ö ö
ý ý ü
ö ö
nên MPP
K
giÁm khi K tăng và L không đổi.
c)
8 8 1
(8,27) (8,27). 4,5. ;
(8,27) 108 3
K
Q
K Q
õ
ö
ý ý ý
ö
27 8 27 2
(8,27) (8,27). .
(8,27) 3 108 3
L
Q
L Q
õ
ö
ý ý ý
ö
Ý nghĩa:
(8,27)
K
õ
cho biết khi L c định bng 27, còn K tăng 1% t 8 đến 8,08 thì Q
tăng x p x¿ 0,33%.
(8,27)
L
õ
cho biết khi K c định b ng 8, còn 27 L tăng 1% t đến 27,27 thì Q
tăng x p x¿ 0,67%.
d)
(8,27) (8,27) 4,5.0,1 0,45;
K
Q
d Q K
K
ö
ý ý ý
ö
8 1,6
(8,27) (8,27) .0,2 ;
3 3
L
Q
d Q L
L
ö
ý ý ý
ö
1,6 2,95
(8,27) (8, 27) (8, 27) 0,45 .
3 3
Q Q
dQ K L
K L
ö ö
ý ý ý
ö ö
Ý nghĩa:
(8, 27)
K
d Q
cho biết khi L c t t ng định bng 27, còn K ăng t 8 lên 8,1 thì Q ă
x¿p x 0,45.
34
(8,27)
L
d Q
cho biết khi K Q c định bng 8, còn L tăng t 27 lên 27,2 thì tăng
1,6
3
.
(8, 27)dQ
cho bi 8 lên 8,1, còn ế ăt khi K t ng t L t tăng t 27 lên 27,2 thì Q ăng
x
¿p x
2,95
3
.
d
ā 2.3. Biết hàm li ích ca mt h gia đình
2 2
( , ) 8 2 ,U x y x x yý trong
đó x, y t ng ươ ng là s đơn v hàng hóa 1 và 2.
a) Viết phương trình đưßng bàng quan đi qua đim (1, 2);
b) Chng minh r ng ph nh hàm ương trình đưßng bàng quan trên xác đị n
y y x y = ( ) sao cho (1) = 2. Tính (2)y
ò
và giÁi thích ý nghĩa.
Gii
a) Do (1, 2) 15U ý , nên phương trình đưßng bàng quan đi qua đim (1, 2) là
2 2
8 2 15 0.x x y
ý
b) V
i hàm
2 2
( , ) 8 2 15f x y x x yý ta ( , ) 4
y
f
x y y
ò
ý , nên (1, 2) 8 0
y
f
ò
ý .
Theo s tđịnh lí v n t¿i ca hàm n, phương trình ( , ) 0f x y
ý
, xác định mt hàm
n y = y(x) sao cho y(1) = 2.
Ta có
(1, 2) 6 3
(1) .
(1,2) 8 4
x
y
f
y
f
ò
ò
ý ý ý
ò
(2)
y
ò
chính là độ d a i d i c c đưßng bàng quan t¿ đim (1, 2). Độ c này âm nên t¿
đ im (1, 2), để duy trì mc l i ích 15U
ý
thì khi lượng hàng hóa 1 tăng lên thì
lượng hàng hóa 2 phÁi giÁm xung.
Ví d
ā 2.4. Tìm cc tr ca hàm s
4 4 2
( , ) ( ) .ý
f
x y x y x y
Gii
T h phương trình
3
3
4 2( ) 0
4 2( ) 0
f
x x y
x
f
y x y
y
ö
ü
ý ý
ÿ
ö
ÿ
ý
ö
ÿ
ý ý
öÿ
þ
ta có các đi m t i h¿n là:
1 2 3
(1,1), ( 1, 1), (0,0)M M M
.
2
2
2
12 2
f
x
x
ö
ý
ö
,
2
2
2
12 2
f
y
y
ö
ý
ö
,
2 2
2
f f
x y y x
ö ö
ý
ý
ö ö ö ö
nên
2 2
( ) 4(6 1)(6 1) 4.ý D I x y
35
÷
2
1 1
2
( ) 0, ( ) 0
f
D M M
x
ö
þ þ
ö
nên M
1
đim cc ti c tiu. Giá tr c u là f(1,1) = –2.
÷
2
2 2
2
( ) 0, ( ) 0
ö
þ þ
ö
f
D M M
x
nên M
2
đim cc tiu. Giá tr cc tiu là f(–1,–1) = –2.
÷
3
( ) 0D M ý
nên ta phÁi xét d¿u trc tiếp
4 4 2
3
( ) ( , ) (0,0) ( ) .
f
M f x y f x y x y ý ý
V
i 0y xý , ta có
4
3
( ) 2 0f M x ý þ
.
Vi 0 1
ü ü
y = 0 ta
2 2
3
( ) ( 1) 0f M x x
ý ü
. Suy ra M
3
không phÁi
đim cc tr.
dā 2.5. GiÁ s m t công ty sÁn xu¿t 2 lo¿i sÁn phm sÁn lượng
1 2
,Q Q v i
mc giá
1 2
60, 75
ý ýp p hàm tng chi phí
2 2
1 2 1 1 2 2
( , )TC Q Q Q Q Q Q
ý
. Tìm
mc sÁn lượng
1 2
,Q Q i a. để công ty đ¿t li nhun t đ
Gii
Doanh thu ca công ty là:
1 1 2 2 1 2
60 75
p
Q p Q Q Q
ý ;
Li nhu n c a công ty là:
1 2
( , )Q Q
ð
ý
Doanh thu – Chi phí =
2 2
1 2 1 1 2 2
60 75 ( )Q Q Q Q Q Q
.
T h phương trình
1 2
1
1 2
2
60 2 0
75 2 0
Q Q
Q
Q Q
Q
öð
ü
ý ý
ÿ
ö
ÿ
ý
öð
ÿ
ý ý
ÿ
ö
þ
ta có đ i m ti h¿n
1 2
( , ) (15,30).Q Q ý
2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2, 2, 1.
ö ö ö ö
ý ý ý ý
ö ö ö ö ö ö
Q Q Q Q Q Q
ð ð ð ð
Do
2 2
(15,30) ( 2) ( 1) 3 0D
ý
ý þ ,
2
2
1
(15,30) 0
Q
ð
ö
ü
ö
nên hàm π đ¿t c i tc đ¿ ¿i
(15,30) . Mt khác, hàm πđúng m đ t im cc tr trong mi n xác định, nên công
ty i đ¿t li nhun t đa nếu mc sÁn lượng là
1 2
( , ) (15,30)Q Q
ý
.
dā 2.6. Mt trung m thương m¿i doanh thu ph thu i lc vào thß ượng
quÁng cáo trên > 0) và trên n hình ( phút, đài phát thanh (x phút, x đài truy y y > 0).
Hàm doanh thu là:
2 2
320 2 3 5 540 2000.TR x x xy y yý
36
Chi phí cho mi phút quÁng cáo trên đài phát thanh là 1 triu n đồng, trên đài truy
hình 4 triu u , đồng. Ngân sách chi cho quÁng cáo 180 tri đồng. Tìm x y để
doanh thu đ¿t cc đ¿i.
Gii
S tin chi cho quÁng cáo trên đài phát thanh là x triu đồng.
S tin chi cho quÁng cáo trên đài truyn hình là y triu đồng.
Do ngân sách chi cho quÁng cáo là 180 triu đồng, nên 4 180x y
ý .
Vy bài toán đã cho là tìm cc tr c a hàm s
2 2
320 2 3 5 540 2000TR x x xy y yý
vi dx, y là các s ương tha mãn điu kin 4 180x y
ý .
Cách 1. Đưa v hàm s mt biến:
Thế 180 4
x
yý vào biu thc ca TR, ta có hàm 1 biến
2 2
320(180 4 ) 2(180 4 ) 3(180 4 ) 5 540 2000TR y y y y y yý
2 2
25 1600 5200 20400 (5 160) 20400.ý ý óy y y
Đẳng thc xÁy ra khi và ch khi y = 32.
Vy doanh thu đ¿t cc đ¿i t¿i ( , ) (52,32)x y
ý
.
Cách 2. Dùng phương pháp nhân t Lagrange:
Ta lp hàm Lagrange:
2 2
( , , ) 320 2 3 5 540 2000 (180 4 )
L
x y x x xy y y x y
ý
GiÁi h ph ng trình ươ
( , , ) 320 4 3 0
( , , ) 3 10 540 4 0
4 180
x
y
L x y x y
L x y x y
x y
òü
ý ý
ÿ
ò
ý
ý
ý
ÿ
ý
þ
ta có nghim duy nh¿t là ( , , ) (52,32,16).x y
ý
2 2
( , , ) 4, ( , , ) 10, ( , , ) ( , , ) 3.
xy yx
x y
L x y L x y L x y L x y
òò òò òò òò
ý ý ý ý
Vi ( , ) 4 ,
g
x y x yý ta có: ( , ) 1, ( , ) 4.
x y
g x y g x y
ò
ò
ý
ý
T¿i ( , , ) (52,32,16)x y
ý , ta có
0 1 4
1 4 3 0
4 3 10
H
ý
þ
nên doanh thu đ¿t cc đ¿i t¿i ( , ) (52,32)x y
ý
.
d
ā 2.7. Tìm giá tr ln nh¿t, giá tr nh nh ¿t ca
2 2
( , )
f
x y x y
ý
trên min
2 2
: 1.D x y ó
37
Gii
D có biên là
ø
ù
2 2 2 2
: 1, ( , ) . ý ý C x
y g
x
y
x
y
Trong
o
2 2
: 1,
D x y ü gi phÁi h ương trình:
2 0
2 0
x
y
f x
f y
ò
ý ý
ü
ÿ
ý
ò
ý
ý
ÿ
þ
ta tìm được đim ti h¿n O(0,0).
L
p hàm Lagrange
2 2 2 2
( , ) 1 ( , )
( , , ) (1 ).
f x y g x y
L
x y x y x y
ý
ñ
òó ñôòôó
GiÁi h phương trình:
2 2
( , , ) 2 2 0
( , , ) 2 2 0,
1
x
y
L x y x x
L x y y y
x y
ü
ò
ý ý
ÿ
ò
ý
ý
ý
ÿ
ý
þ
ta tìm được 1.
ý
Vi 1,
ý thì t h trên ta có các đim ti h n trên biên ¿ C
ø
ù
ø
ù
1 2
1;0 , 1;0 .M M
Vi 1,
ý thì t h trên ta có các đim ti h¿n trên biên C
ø
ù
ø
ù
3 4
0; 1 , 0;1 .M M
Tính c đượ
1 2 3 4
( ) 0, ( ) ( ) 1, ( ) ( ) 1.f O f M f M f M f Mý ý ý ý ý

T đây, ta có:
max max 0 ; 1; 1 1,min min 0;1; 1 1.
D
D
f fý ý ý ý
C. BÀI TÂP
Bài 1. Mt công ty độc quyn sÁn xu¿t 2 lo i s¿ Án phm vi hàm chi phí kết hp
2 2
1 1 2 2
3 2 4TC Q Q Q Qý , trong đó Q
i
là lượng sÁn phm th i. Cho biết hàm cÁu
đối vi sÁn phm 1 và 2 tương ng là:
1 2
1 2
320 5 , 150 2 .
D D
Q p Q p
ý
ý
L p hàm s
biu din tng l i nhu n ca công ty theo
1 2
,Q Q .
Bài 2. Cho hàm cung, hàm cÁu ca th trưßng 2 hàng hóa:
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
2 2 3
;
18 3 12 2
ý ý
ü ü
ÿ ÿ
ý ý
ý ý
ÿ ÿ
þ þ
S S
D D
Q p Q p
Q p p Q p p
a) Để các nhà sÁn xu¿t cung ng hàng hóa cho th trưßng thì m c giá
1 2
,
p
p phÁi
tha mãn các đ i u ki n nào?
b) Xác định giá và lượng cân bng cho các hàng hóa.
38
Bài 3.
Cho hàm s
2 2
arctan ln
y
z x y
x
ý . Tính
2 2
( ) z ( ) z ; z z .
x y
x
y
x y x y
ò
ò òò òò
Bài 4.
Cho hàm s
2 2
arctan .
x
z x x y
y
ý
Ch
ng minh rng
2 2
.
x y
x
z yz z x y
ò ò
ý
Bài 5. Cho ( ) ( ).z x y y x yý Chng minh rng
2 2
2 0
xy
x y
z z z
ò
ò òò òò
ý
v i ,
là các hàm tùy ý có đ¿o hàm đến c¿p 2 trên .
Bài 6. Chng minh rng hàm s arctan
x
z
y
ý , ó á đ
x
u v
y u v
ý
ü
ý
ý
þ
tha mãn h thc
2 2
.
z z u v
u v u v
ö
ö
ý
ö
ö
Bài 7. Mt công ty sÁn xu¿t mt lo¿i s i hàm sÁn phm v Án xu¿t
3
80 ,Q K Lý
vi , Q K, L được tính hàng ngày.
a) Cho biết sÁn lượng khi đÁu vào là: 25, 1000K L
ý
ý ;
b) Nếu giá mt t bđơn v ư Án 12 USD, giá mt đơn v ng 2,5 USD lao độ
công ty s dng các yếu t đÁu vào á mc nêu trong ý a) thì công ty nên s d ng
thêm 1 đơn v t b t ư Án hay thêm m đơn v lao động mi ngày ?
Bài 8.
Hàm cÁu ca hàng hóa trên th trưßng hai hàng hóa là
2 2
1 2
5
6300 2 ,
3
Q p pý
trong ó đ
1 2
,
p
p tương s co giãn c a ng giá ca hàng hóa 1 2. Tính h Q
theo a t i p
1
và c Q theo p
2
¿
1 2
( , ) (20,30)p p
ý
và nêu ý nghĩa.
Bài 9.
M Á c c u cQ
d
a mt lo¿i hàng hóa
0,3 0,2
1,5 ,
ý
d
Q M p trong đó p giá
hàng hóa đó, M thu nhp ca ngưßi tiêu dùng. Mc cung ca hàng hóa đó
0,3
1, 4 .ý
S
Q p
a) Xác định h s a co giãn c Q
d
theo giá và theo thu nhp;
b) Xét tác động ca thu nhp tM i mc giá cân bng.
Bài 10. Tìm cc tr ca các hàm s sau:
a)
4 4 2
3
2 4 4z x y x yý ; b)
2 2
2 2
(2 3 )
x y
z e x
y
ý ;
c)
50 20
( 0, 0)z xy x y
x y
ý þ þ
; d)
2 2
1z xy x y
ý
;
e)
2 2
ln( )z xy x yý ; f)
2 2
2 2 1
1
x y
z
x
y
ý
;
39
Bài 11.
Tìm các hng s a, b, c để hàm s
3 3
2 3 2z x xy y ax by c
ý
đ¿t cc
tr t i (1,1) và ¿ z(1,1) = 0.
Bài 12. Tìm cc trđ i u ki n c a các hàm s sau:
a) z x
y
ý vi n điu ki 1;x y ý
b) z x
y
ý
v ii đ u kin
2 2 2
2 ( 0)x y a a ý ;
c)
2 9z x yý v i n điu ki
2 2
3 31x y
ý ;
d)
2 2
z x yý v i n điu ki 1;
2 3
x y
ý
e)
2 2
cos cosz x yý v i điu kin , , .
4 2 2
ð
ð ðö ö
ý þ
÷ ÷
ø ø
y x x
Bài 13. Tìm giá tr ln nh¿t và bé nh¿t ca các hàm s sau:
a)
2 2
z x yý trong min
2 2
( , ) | 1 ;x y x y
ó
b)
2 2
12 16z x y x yý trong mi n
2 2
( , ) | 25x y x y ó .
Bài 14. Mt công ty sÁn xu¿t hai lo i s¿ Án phm vi giá bán ra th trưßng là p
1
= 17
USD, p
2
= 21 USD. Hàm tng chi phí theo sÁn lượng là:
2 2
1 1 2 2 1 2
4 4 2 11 25 3TC Q Q Q Q Q Qý
Tìm các mc sÁn lượng công ty cÁn sÁn xu¿t lđ đi nhu n t i a.
Bài 15. Mt công ty độc quyn s n xuÁ ¿t mt lo i s¿ Án phm sá hai cơ á vi hàm
chi phí t
ương ng
2 2
1 1 2 2
128 0,2 ; 156 0,1TC Q TC Qý ý . Hàm cÁu ngược ca
công ty
1 2
600 0,1( ).
p
Q Qý Xác định l ng s n phượ Á m cÁn s n xuÁ ¿t má i cơ
sá để t i đa hóa li nhun.
Bài 16. Mt công ty độc quyn s n xuÁ ¿t m t lo ¿i sÁn phm nhưng tiêu th á hai
th trưßng vi các hàm cÁu tương ng
1 1 2 2
24 0,2 ; 10 0,05
ý
ý Q p Q p
hàm chi phí kết hp
1 2
35 40( ).TC Q Q
ý
Xác định l n phượng sÁ m cÁn sÁn
xu¿t má i cơ sá và giá bán để thu được li nhun ti a. đ
Bài 17. Hãng kinh doanh độc quyn các hàm cÁu trên hai th trưßng là:
1 1 2
40 2Q p pý ,
2 1 2
35
Q p pý hàm tng chi phí
2 2
1 2
2 10TC Q Q
ý
.
Tìm mc sÁn lượng cho mi th tr i nhuưßng lđể n ti đa. Tính mc giá khi li
nhun ti đa.
40
Bài 18. Mt công ty độc quyn s n xuÁ ¿t mt lo i s¿ Án phm t¿i hai nhà máy 1 và 2
vi hàm chi phí cn biên tương ng
1 1 2 2
2 0, 2 ; 6 0,04
ý
ý
M
C Q MC Q (Q
i
lượng sÁn phm á nhà máy th i). Công ty đó bán sÁn phm trên th trưßng vi
hàm cÁu ngược 66 0,1p Qý . Xác định lượng sÁn phm cÁn s n xuÁ ¿t m i á
nhà máy và giá bán để thu được li nhun t đi a.
Bài 19.
Mt h gia đình hàm li ích tiêu dùng
0,4 0,4
( , ) 5ýU x y x y trong đó , x
y x y t ng ươ ng s đơn v hàng hóa 1 2 ( > 0, > 0). Ngân sách tiêu dùng
300 USD, giá đơn v hàng hóa 1 và 2 lÁn lượt là 3 USD, 5 USD. Tìm gói hàng hóa
để li ích tiêu dùng ln nh¿t.
Bài 20.
Mt doanh nghip hàm sÁn xu¿t
0,3 0,5
.ýQ K L GiÁ s giá thuê tư bÁn
6 USD, giá thuê lao động 2 USD doanh nghip tiến hành sÁn xu¿t vi ngân
sách c định 384 USD. Doanh nghip d t bđó s ng bao nhiêu n vđơ ư Án và bao
nhiêu đơn v lao động thì thu được sÁn lượng ti đa?
Bài 21. Mt công ty sÁn xu¿t mt lo¿ i sÁn ph m vi hàm sÁn xu¿t ( 5)Q K Lý
trong ó , t ng đ Q K, L ươ ng là sÁn lượng, vn, lao động (Q, K, L > 0). Công ty này
nhn hp đồng cung c¿p 5600 sÁn phm. Cho bi t phế ương án s d ng các yếu t K
L sao cho vic sÁn xu¿t tn ít chi phí nh¿t, trong điu kin giá thuê tư bÁn
70
K
w ý và giá thuê lao động là 20
L
w
ý
.
Bài 22. M t h nông dân tr u trên ding đậ n tích 8a. Nếu trng n đậu thì cÁ
20 công thu 3000000 đồng trên mi a, nếu tr n 30 công thu ng thì cÁ
4000000 i đồng trên m a. Hi cÁ n tr ng mi lo¿i cây trên din tích là bao nhiêu để
thu được nhiu tin nh ng s¿t khi t công không quá 180?
Bài 23. Ngưßi ta d định dùng hai lo¿i nguyên liu để chiết xu t ít nh¿ ¿t 140 kg
ch¿t A 9 kg ch¿t B. T mi t¿n nguyên liu lo¿i I giá 4 triu đồng, th chiết
xu¿t t được 20 kg ch¿ A0,6 kg ch¿t mB. T i t¿n nguyên liu lo¿i II giá 3 triu
đồng, th chiết xu¿t t t được 10 kg ch¿ A 1,5 kg ch¿ B. Hi phÁi dùng bao
nhiêu t¿n nguyên liu mi lo¿i để chi phí mua nguyên liu là ít nh¿t, bi ng cết r ơ
sá cung c¿p nguyên liu ch th cung c¿p không quá 10 t¿n nguyên liu lo¿i I
và không quá 9 t¿n nguyên liu lo¿i II ?
D. ĐÁP Sà VÀ H¯àNG DÀN
Bài 1. Hướng dn:
Hàm doanh thu:
2 2
1 2
1 1 2 2 1 2
64 75 ;
5 2
Q Q
TR p Q p Q Q Qý ý
41
Hàm li nhun:
2 2
1 2
1 2 1 2
16 9
64 75 2 .
5 2
Q Q
TR TC Q Q Q Q
ð
ý ý
Bài 2. Hướng dn:
a)
p
1
, p
2
tha n:
1
2
0
.
0
þ
ü
ÿ
ý
þ
ÿ
þ
S
S
Q
Q
b) Mô hình cân bng là:
1 1
2 2
.
ý
ü
ÿ
ý
ý
ÿ
þ
S D
S D
Q Q
Q Q
Bài 7. a) Q = 4000;
b) Nên s d tng thêm 1 đơn v ư bÁn.
Bài 8.
1 2
(20,30) 0,4; (20,30) 0,75.ý ý
p p
õ
õ
Bài 9. a) 0,2; 0,3.ý ý
p M
õ
õ
b) Tính đ¿o hàm ca giá cân bng theo M . T đó suy ra khi thu nhp tăng
lên thì giá cân bng cũng tăng.
Bài 10. Hướng dn:
a) Tìm cc tr ca hàm s trong căn d hơn. Các đim dng ( 1;1), (0;1)
b) Các đim dng (1; 0), (0; 1), (0; 0);
c) Đim dng duy nh¿t (5, 2);
d) (0; 0),
1 1
;
3 3
ö ö
÷ ÷
ø ø
,
1 1
; ;
3 3
ö ö
÷ ÷
ø ø
e) (0; 1), (1; 0),
1 1
;
2 2e e
ö ö
÷ ÷
ø ø
,
1 1
; ;
2 2e e
ö ö
÷ ÷
ø ø
f) Đim dng duy nh¿t (2, 2).
Bài 11. a = = = 5.b 3, c
Bài 12.
a) Đim CĐ:
1 1
,
2 2
ö ö
÷ ÷
ø ø
; b) Đim CĐ: (a, a); (a, a); đim CT: (a, a); (–a, a).
c) Đim CĐ: (2, 3); đim CT: (–2, –3);
d)
Đim CT:
18 12
,
13 13
ö ö
÷ ÷
ø ø
; e) Đim CĐ: ,
8 8
ð
ð
ö ö
÷ ÷
ø ø
;
đim CT:
3 5
,
8 8
ð
ð
ö ö
÷ ÷
ø ø
.
Bài 13. a)
max min
1; 1z zý ý b)
max min
125; 75.
ý
ý z z
42
Bài 14.
1 2
( , ) (6, 5).Q Q ý
Bài 15. Hướng dn:
1 2 1 2 1 2
. 600 0.1( ) .( ), , .TR P Q Q Q Q Q TC C C TR TC
ð
ý ý ý ý
ð đ¿t giá tr ln nh¿t t¿i
1 2
( ; ) (600;1200).
ý
Q Q
Bài 16.
ø
ù
1 2 1 2
( , ) (8, 4),( , ) 80,120 .Q Q p pý ý
Bài 17.
1 2
25 65
( , ) ,
7 14
Q Q
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
,
1 2
85 170
( , ) ,
14 7
p p
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
.
Bài 18.
1 2
( ; ) (60;200); 40.Q Q pý ý
Bài 19. Hướng dn:
Tìm c
c tr c a
0,4 0,4
( , ) 5ýU x y x y v ii đ u kin 300 – 3 – 5x y = 0;
Li ích tiêu dùng ln nh¿t vi gói hàng hóa ( , ) (50, 30)x y
ý
.
Bài 20. Hướng dn:
Tìm c
c tr ca
0,3 0,5
ýQ K L vi điu ki n 384 – 6 K – 2L = 0.
SÁn lượng đ¿t giá tr t i đa t¿i ( ; ) (24;120).
ý
K L
Bài 21. Hướng dn:
Tìm cc tr ca hàm chi phí C = 70K + 20L v i điu ki n 5600 – K(L + 5) = 0.
ĐS: ( ; ) (40;135)K L ý .
Bài 22. Hướng dn:
x = din tích trng u; đậ y = di n tích tr ng cà (đơn v: a).
Ta có: 0;x ó 0;y ó 20 30 180.x y ó
S tin thu được là ( , ) 3 4
f
x y x yý (triu đồng).
f lđ¿t giá tr n nh¿t t¿i ( ; ) (6;2).
x y
Bài 23. 5 t¿n nguyên liu lo¿i I và 4 t¿n nguyên liu lo¿i II.
43
Ch¬ng 3
MÔ HÌNH TOÁN KINH T¾
A. TÓM TÄT LÝ THUY¾T
3.1. N ĐO L¯âNG SĀ THAY ĐÞI CĂA BI¾N NÞI SINH THEO BI¾
NGO¾I SINH
3.1.1. t i Đo l°ãng sā thay đßi tuyß đá
Xét hàm ( )Y F Xý vi
1 2
( , ,..., ).
n
X X X Xý
Trường hp 1. Biến ngo¿i sinh
i
X thay đổi lượng nh
i
X
( )
k
X k i
c nh đị
S gia riêng ca hàm s ( )Y F X
ý
theo biến
i
X :
1 1
( ,..., ,...., ) ( ,..., ,...., ).
i i i n i n
Y F X X X X F X X X
ý
Lượng thay đổi trung bình ca Y theo
i
X .
i
i
Y
X
ò
ý
Nếu hàm s ( )Y F Xý khÁ vi theo biến
i
X thì
0
( )
( ) .
i
i
F X
X
X
ò
ö
ý
ö
Chú ý. Trong toán hc, nếu
i
X
đủ nh thì ( ) .
i
X
ò
ò
Trong kinh tế, nếu 1
i
X ý
thì ( ) .
i i
X Y
ò
Trường hp 2. T¿t cÁ các biến ngo¿i sinh
i
X thay đổi lượng nh
i
X
( 1, )i ný
S thay đổi ca biến ni sinh theo vectY ơ
1 2
( , ,..., ) :
n
X X X X
ý
1 2
1 2
... .
n
n
F F F
Y X X X
X X X
ö ö ö
ö ö ö
Nếu ( 1, )
i
X i n ý là vi phân ca các biến ngo¿i sinh thì ta có:
1 2
1 2
... .
n
n
F F F
dY dX dX dX
X X X
ö ö ö
ý
ö ö ö
Nếu
i
X biến ni sinh ph thuc vào mt hoc nhiu biến khác thì để đo
lưßng s thay đổi ca Y theo
i
X ta s dng công thc tính đ¿o hàm ca
hàm hp.
44
Nếu quan h gi a biến ni sinh biến ngo¿i sinh được cho dưới d¿ng
hàm n ( , ) 0F Y X ý thì ta s dng công thc tính đ¿o hàm ca hàm n.
: ( 1, ).
i i
Y F F
i n
X X Y
ö
ö ö
ý ý
ö ö ö
3.2.2. ng i Đo l°ãng sā thay đßi t°¢ đá
a) H s co giãn
H s co giãn c a ( )Y F X
ý
theo
X
:
. . .
Y
X
Y X X
Y
X Y Y
ò
ý
õ
H s co giãn riêng ca
1
( ,..., ,..., )
i n
Y F X X X
ý
theo biến
i
X :
. . .
i
Y
i i i
X
i i
Y X XF
X
Y X Y
ö
ý
ö
õ
H s co giãn toàn phÁn:
1
.
i
n
Y Y
X
iý
ý
õ
õ
õ
b) H ng s t ăng trưở
GiÁ s
1 2
( ( ), ( ),..., ( ))
n
Y F X t X t X tý ,
H s t ăng trưáng riêng ca biến
i
X
:
1
. .
i
i i
X
i i
dX X
r
X dt X
ý
H s t ăng tr ng cưá a :Y
1
.
i i
n
Y
Y X X
i
r r
õ
ý
ý
õ
c) H s thay thế (b sung)
( , ) ; .
j
i i i
j j j
i
F
X
dX dX X
MRS i j
F
dX dX X
X
ö
ö
ý ý ý
ö
ö
H s c thay thế n biên ca
i
X cho
j
X : Nếu ( , ) 0MRS i j
ü
thì ta nói
i
X thay
thế cho
j
X
vi t l ( , )
M
RS i j .
H s b sung cn biên ca
i
X cho
j
X
: Nếu ( , ) 0MRS i j þ thì ta
nói
i
X
j
X b sung cho nhau vi t l ( , )
M
RS i j .
d) Tăng quy mô và hiu qu
45
Hàm công ngh s t Án xu¿
1 2
( , ,..., )
n
Y F X X Xý
1 2 1 2
( , ,..., ) . ( , ,..., )
n n
F
tX tX tX t F X X Xþ ta nói khi tăng quy mô, hiu quÁ
sÁn xu¿t tăng.
1 2 1 2
( , ,..., ) . ( , ,..., )
n n
F
tX tX tX t F X X Xü ta nói khi tăng quy mô, hiu quÁ
sÁn xu¿t giÁm.
1 2 1 2
( , ,..., ) . ( , ,..., )
n n
F
tX tX tX t F X X Xý ta nói khi tăng quy mô, hiu quÁ
sÁn xu¿t không thay đổi.
3.2. MÞT Sà MÔ HÌNH KINH T¾ PHÞ BI¾N
3.2.1. Mô hình tái u °
a) Mô hình phân tích hành vi sn xut
Hàm sn xut
Hàm sÁn xu¿t:
1 2
( , ,..., )
n
Q F X X Xý
Q là biến ni sinh,
1 2
, ,...,
n
X X X là các biến ngo¿i sinh.
Phân tích mô hình
Xét hàm sn xu n ht ng n
S dng các thước đo:
- Năng su¿t cn biên ca yếu t đÁu vào th i (sÁn phm hin vt cn biên):
( 1, ).
i
i
F
M
PP i n
X
ö
ý ý
ö
- Năng su¿t trung bình ca yếu t : đÁu vào th i
( )
( 1, ).
i
i
F X
A
P i n
X
ý ý
- H s a co giãn c Y theo yếu t đÁu vào th : i
. . .
i
Y
i i i
X
i i
Y X XF
X
Y X Y
ö
ý
ö
õ
- H s thay thế gia yếu t đÁu vào th i, : j
( , ) .
j
i
j
i
F
X
dX
MRS i j
F
dX
X
ö
ö
ý ý
ö
ö
46
Xét hàm sn xut dài hn
Xét trưßng hp t¿t cÁ các yếu t đÁu vào thay đổi theo cùng mt t l. Chúng ta đề
cp đến v¿n đề tăng quy mô và hiu quÁ.
Để đo lưßng hiu qu theo quy mô ta sÁ d ng độ co giãn toàn phÁn:
1
.
i
n
Q Q
X
i
õ
õ
ý
ý
õ
Mô hình t
i mưu v t kinh tế ca quá trình s n xu t
Mô hình 1. Mô hình cāc tiu hóa chi phí
Tìm
1 2
, ,...,
n
X X X sao cho tng chi phí:
1
min
n
i i
i
TC w X
ý
ý
õ
vi điu ki n ràng bu c v sÁn lượng
1 2
( , ,..., )
n
Q F X X X
.
Mô hình 2. Mô hình tái ng đa hóa sÁn l°ÿ
Tìm
1 2
, ,...,
n
X X X sao cho sÁn lượng:
1 2
( , ,..., ) max
n
Q F X X X
ý
vi điu ki n ràng bu c
1
n
i i
i
w X K
ý
ý
õ
.
Mô hình 3. Mô hình tái p đa hóa lÿi nhuÃn căa doanh nghiß
Xác nh đị Q để ( ) ( ) maxTR Q TC Q
ð
ý
.
b) Mô hình phân tích hành vi người tiêu dùng
Mô hình hóa th hiếu, s thích ca h gia đình
Hàm tha dng (hàm li ích)
1 2
( ) ( , ,..., , , , ,...).
m
U X U X X X a b c
ý
D¿ng hàm , , , ,...U a b c biu th s u. á thích, th hiế
Phân tích mô hình
- Độ th ng biên ca d a hàng hóa i ta cÁn tính: ,
i
i
U
MU
X
ý
ö
các hàm
i
M
U giÁ
thiết là dương.
- H s thay thế hàng hóa i bng hàng hóa j ta cÁn tính: .
j
i
M
U
M
U
47
Mô hình 4. Mô hình tái đa hóa lÿi ích
Tìm gi hàng hóa
1 2
( , ,..., )
m
X X X X
ý
sao cho:
( ) max,ý U U X vi n điu ki
1
.
m
i i
i
p
X M
ý
ý
õ
3.4.2. Mô hình cân bng thß tr°ãng
a) Mô hình cân b ng m t th trường
Mô hình 5. Mô hình cân bng mßt thß tr°ãng
- Hàm cung ca th trưßng ( , , ,...)S S p a b
.
- Hàm cÁu ca th trưßng:
ø
ù
, , , , ...
i
D D p p M
ñ
ò
ý .
giÁ thiết á đây là 0, 0
S D
p p
ö ö
þ ü
ö ö
.
Tìm giá và lượng cân bng: .S D
ý
b) hình cân bng vĩ
Mô hình 6. Mô hình cân bng vĩ
Tìm thu nhp cân bng:
ø ù
0
0
Y C I G EX IM
C C Y T
I I r
T Y
ò
ñ
ô
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ý
þ
3.4.3. Mô hình kinh t¿ ng đß
Mô hình 7. Mô hình cân bng giá tuy¿n tính
GiÁ s trên th trưßng hàng hóa A , giá c Áa hàng hóa A tác động đến cung – c u
Mô hình a.
( , 0)
.
( , 0)
d
s
Q a bP a b
Q c dP c d
ý þ
ü
ý
ý þ
þ
Đi u ki n cân bng th trưßng:
s
d
Q Q
ý
.
Mô hình b.
1
( , 0)
.
( , 0)
dt t
st t
Q a bP a b
Q c dP c d
ý þü
ý
ý þ
þ
48
Đi u ki n cân bng th trưßng:
s
t dt
Q Q
ý
.
Mô hình 8. Mô hình tăng tr°ởng kinh t¿ Domar
( ) (1)
1
( ) ( ) (2)
( ) ( ), 0 (3)
( ) ( ) (4)
dK
I t
dt
Y t I t
s
Q t K t
Q t Y t
ü
ý
ÿ
ÿ
ÿ
ý
ý
ÿ
ý þ
ÿ
ÿ
ý
þ
ò ò
B. CÁC VÍ DĀ
d
ā 3.1. Cho hàm sÁn xu¿t d¿ng
0,5 0,5
2Q K Lý trong ó đ Q sÁn lượng, K
s đơn v v n, L là s đơn v lao động. T¿i K = 4, L = 16, khi tăng vn lên 1 đơn v
và giÁm lao độ đơng đi 3 n v Á ư thì s n lượng thay đổi nh thế nào?
Gii
0,5 0,5 0,5 0,5
2.0,5.
Q
K
L K L
K
ö
ý ý
ö
0,5 0,5 0,5 0,5
2.0,5. .
Q
K L K L
L
ö
ý ý
ö
T¿i K = 4, L = 16 ta có:
0,5 0,5
(4,16) 4 16 2
Q
K
ö
ý
ý
ö
0,5 0,5
1
(4,16) 4 16 .
2
Q
L
ö
ý
ý
ö
Khi tăng vn lên 1 đơn v và tăng lao động đi 3 đơn v thì sÁn lượng thay đổi:
1
2.1 .3 0,5.
2
Q ý ý
Vy t¿i K = 4, ng vL = 16, khi tă n lên 1 đơn v giÁm lao độ đơng đi 3 n v thì
sÁn lượng tăng x¿p x 0,5 n vđơ .
Ví dā 3.2. Cho hàm ca hàng hóa A
0,3 0,05
2,5
S p T
ý
trong ó đ S là lượng cung hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, T là thuế.
a) Tính h s a s a co giãn c S theo p và h co giãn c S theo T.
b) Lượng cung thay đổi nh nào khi giá hàng hóa A tư thế ăng 5% và thuế tăng 1%.
49
Gii
a)
. 0,3
S
p
S p
p S
õ
ö
ý ý
ö
. 0, 05.
S
T
S T
T S
ö
ý ý
ö
õ
b) Nếu giá hàng hóa A tăng 5% và thuế tăng 1% thì s thay đổi ca lượng cung là:
0,3.5% 0,05.1% 1,45%.
d
ā 3.3. Dân s ca mt quc gia d¿ng
0,25
20.2
t
H ý , tng tiêu dùng ca
qu
c gia này
0,8
3
t
C eý
, trong đ ếó t bi n thßi gian. Tính nhp t ng tr ng că ưá a
tiêu dùng tính trên đÁu ngưßi ca quc gia trên.
Gii
0,25ln 2;
H
dH
dt
r
H
ý ý 0,8.
C
dC
dt
r
C
ý ý
Tiêu dùng tính trên
đÁu ngưßi là
C
H
.
0,8 0,25ln 2.
C C H
H
r r r
ý
ý
Ví d
ā 3.4. Cho hàm sÁn xu¿t
0,2 0,1
.Q L Ký
a) Xác định t l thay thế v i n cho lao động. T¿ K = 5, L = 5, nếu tăng t K lên m
đơn v thì L thay đổi như thế nào để sÁn l ng không thay ượ đổi ?
b) Phân tích tác động ca mc s d n t lng v K i t xác định á câu a).
Gii
a) T l thay thế vn cho lao động |MRS(K,L)| =
0,8 0,1
0,2 0,9
0,2 2
.
0,1
dK L K K
dL L K L
ý ý
Khi K = 5, L = 5, ta có |MRS(K,L)|= 2.
dK
dL
ý
Vy t¿i K= 5, L = 5, nếu tăng K lên mt đơn v thì có th giÁm L đi 2 đơn v để s n Á
lượng không thay đổi.
b) Ta có:
ø ù
2
, 0.
K
MRS K L
L
ò
ù ù
ý
þ
û û
Vy khi K t lăng thì t thay thế ca vn cho lao động c ng tũ ăng.
Ví d
ā 3.5. Cho hàm sÁn xu¿t:
0,4 0,6
20 .Q L Ký
Hãy xét xem hiu quÁ sÁn xu¿t thay đổi như thế nào theo quy mô.
Gii
50
ø
ù
ø
ù
ø
ù
0,4 0,6
0,4 0,6
1, , 20 20 ( , ).t Q tK tL tK tL tK L tQ K L þ ý ý ý
Vy hàm sÁn xu u qu¿t biu th hi Á không đổi theo quy mô.
d
ā 3.6. Hàm sÁn xu¿t ca doanh nghip d¿ng
0,5 0,5
10Q K Lý , trong đó Q
sÁn lượng, lKs ượng vn, L là lao động. Cho giá vn p
K
= 8, giá lao động = p
L
2.
a) Tính mc s Á d ng , K L để s n xu¿t sÁn lượng Q = 1500 vi chi phí nh nh¿t.
b) T¿i Q = 1500, khi Q giÁm 2 đơn v thì chi phí ti thiu s thay i nhđổ ư thế nào?
c) T¿i Q = 1500, khi Q tăng 3% thì chi phí ti thiu s thay đổi như thế nào?
d) Nếu giá vn và lao động đều t ng 5% thì vă i mc sÁn l ng nhượ ư trước, mc s
dng vn và lao động ti ưu s thay đổi như thế nào?
e) Phân tích tác động giá vn, lao động ti tng chi phí ti thiu.
Gii
a) Vi các yếu t u vào d . Hàm chi phí s n xu đÁ kiến là K, L Á ¿t 8 2 .TC K L
ý
Như v y đây là bài toán cc tiu hóa chi phí có d¿ng:
Tìm , K L sao cho 8 2 min,TC K Lý vi s n điu ki n ràng bu c v Á
l
ượng:
0,5 0,5
10 1500K L ý , trong đó bi n nế i sinh là TC K, L.
Lp hàm Lagrange:
ø
ù
0,5 0,5
8 2 1500 10 .aL K L K Lý
Đi u ki n cn. GiÁi h phương trình:
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 8
0,5 2
10 1500
10 1500
10 1500
4
75
.
300
10 1500
K K
K
L L
L
MP p
pL L
MP p
K p K
K L
K L
K L
L
K
K
L
K L
ü
ü
ö öü
ö ö
ö ö ö ö
ý
ý ý
ÿ ÿ ÿ÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷
÷ ÷
ø ø ø ø
ø øý ý ýø ø
ÿ ÿ ÿ
ý
ý
ý
þ
þ
þ
ü
ý
ý
ü
ÿ
ý ý
ý
þ
ÿ
ý
þ
ñ
ò
Thay vào ph
ương trình:
0,5 0,5
'
8 4
0 .75 .(300) .
5 5
K
a
L
ý
ý ý
Đi u ki n đủ. L p định thc
1 2
1 11 12
2 21 22
0
g
g
H g L L
g
L L
ý
T i
¿i đ m (75, 300) ta có:
51
0,5 0,5 0,5 0,5
1 2
5. . 10, 5. . 2,5;
K L
g g K L g g K L
ò ò
ý ý ý ý ý ý
2
2
1,5 0,5
11
0,5 1,5
22
4
'
2,5. . ;
75
1
''
2,5. . ;
600
K
L
a
a
L L K L
L L K L
ý ý ý
ý ý ý
0,5 0,5
12 21
1
''
2,5. . ;
75
KL
aL L L K L
ý ý ý ý
0 10 2,5
4 1
10 0.
75 75
1 1
2,5
75 600
H
ý
ü
( , ) (75, 300)K L ý đim cc tiu duy nh¿t, nên t¿i mc s d n ng v
*
75K ý mc s d ng ng lao độ
*
300L ý để sÁn lượng 1500Q
ý
thì chi phí
nh
nh¿t
*
1200.TC ý
b) G
i tng chi phí ti thiu t¿i Q = 1500 là (1500) = 1200. Ta có: TC
*
, TC
*
*
*
4
0,8.
5
TC
Q
ö
ý ý ý
ö
T¿i Q = 1500, khi Q giÁm 2 đơn v thì chi phí ti thiu s n v giÁm 1,6 đơ .
c) H s co giãn ca tng chi phí ti thiu theo sÁn lượng là:
*
*
*
1500
. 0,8. 1.
1200
TC
Q
TC Q
Q TC
ö
ý
ý ý
ö
õ
T¿i Q = 1500, khi Q tăng 3% thì chi phí ti thiu s ă t ng3%.
d) Nếu giá vn lao động cùng tăng m t t l thì m c s d ng v n lao động
ti i. ưu s không thay đổ
e) Ta có
* *
* *
75 0, 300 0.
K L
TC TC
K L
p p
ö ö
ý ý þ ý ý þ
ö ö
Nên khi giá vn và giá lao động tăng thì chi phí ti thiu s t ng. ă
52
d
ā 3.7. Mt doanh nghip hàm sÁn xu¿t
2/3 1/3
30 .Q K Lý trong đó n Q sÁ
lượng. Giá ca m t đơn v K là 250 USD, giá ca mt đơn v L là 64 USD và ngân
sách c định (M) là 24000 USD.
a) Hãy xác định giá tr , t i K L để đa hóa sÁn lượng.
b) Phân tích tác động ca ngân sách ti mc sÁn lượng ti a. đ
c) Khi ngân sách tăng lên 2% thì sÁn lượng ti ưu thay đổi như thế nào?
Gii
a) Bài toán ti đa hóa sÁn lượng có d¿ng:
Tìm , K L sao cho:
2/3 1/3
30 . maxQ K Lý vi n điu ki 250 64 24000.K L
ý
Lp hàm Lagrange:
ø
ù
2/3 1/3
30 . 24000 250 64 .a
L
K L K Lý
Đi u ki n cn. GiÁi h phương trình:
1/3 1/3
2/3 2/3
20. . 250 0 (1)
10. . 64 0 (2)
24000 250 64 0 (3)
a
a
a
L
K L
K
L
K L
L
L
K L
ö
ü
ý ý
ÿ
ö
ÿ
ö
ÿ
ý ý
ý
ö
ÿ
ÿ
ö
ý ý
ÿ
ö
þ
T (1) và (2) suy ra:
1/3 1/3
2/3 2/3
20. . 250
.
10. . 64
K L
K L
ý
Do ó:
đ
250 125
2. .
64 64
L
L
K
K
ý ý Thay vào phương trình (3):
125
250 64. 24000 64 125, 0,1.
64
K K K L ý ý ý ý
Đi u ki n đủ. L p định thc
1 2
1 11 12
2 21 22
0
g
g
H g L L
g
L L
ý
1 2
250, 64
K L
g g g g
ò òý ý ý ý
,
2
4/3 1/3
11
20
''
. ;
3
K
a
L
L K L
ý ý
1/3 2/3
12 21
20
''
. ;
3
LK
aL L L K L
ý ý ý
2
2/3 5/3
22
20
''
. .
3
L
a
L
L K L
ý ý
53
Ta có:
4/3 1/3 1/3 2/3
1/3 2/3 2/3 5/3
0 250 64
20 20
250 . . 0 ( , 0).
3 3
20 20
64 . .
3 3
H K L K L K L
K L K L
ý þ þ
( , ) (64, 125)K L ý đim cc đ¿i duy nh¿t, nên t¿i mc s d n ng v
*
64K ý và mc s dng lao động
*
125L ý thì sÁn lượng ti đa và
*
2400.Q ý
b) S
Án lượng ti đa t¿i mc ngân sách 24000 là Q
*
. Ta có:
*
*
0,1 0.
Q
M
ö
ý
ý þ
ö
Khi ngân sách tăng 1 n vđơ thì sÁn l ng tượ i đa tăng x p x¿ là 0,1 đơn v.
c) Ta có:
*
*
*
24000
. 0,1. 1 0.
2400
Q
M
Q M
M Q
ö
ý ý ý þ
ö
õ
Vy khi ngân sách tăng 2% đơn v thì sÁn lượng ti đa tăng x¿p x là 2%.
Ví d
ā 3.8. Mt doanh nghip có hàm
2
58 0,5TR Q Qý và hàm tng chi phí
3
2
8,5 97 .
3
Q
TC Q Q FCý
a) Cho
FC = 100, tìm mc cung Q
*
để l n i a. i nhu đ¿t t đ
b) Phân tích
Ánh hưáng ca t i FC Q
*
*
ð
.
Gii
a) FC = 100,
3
2
8 39 100 max.
3
Q
TR TC Q Qý ý
ð
Đi u ki n cn.
2
1 2
16 39 0 3, 13.Q Q Q Q
ð
ò
ý ý ý ý
Đi u ki n . đủ
'' 2 16Q
ð
ý
1
( ) 10 0Q
òò
ý þ
ð
(lo¿i),
2
( ) 10 0Q
òò
ý
ü
ð
(tha mãn).
V
y mc cung Q
*
= 13 thì li nhun đ¿t ti đa và
max
38
.
3
ð
ý
b)
3
2
8 39 max
3
Q
Q Q FC
ð
ý
54
SÁn lượng ti đa không ph thuc vào FCn
*
0.
dQ
dFC
ý
*
1
d
dFC
ð
ý nên khi các yếu t khác không đổi thi chi phí c định tăng lên bao
nhiêu thì li nhun ti m đa giÁ đi b¿y nhiêu.
Ví dā 3.9. Mt h gia đình có hàm li ích tiêu dùng vi 2 lo¿i hàng hoá như sau:
0,4 0,4
1 2
5U X Xý
trong ó: , đ X
1
X
2
là mc tiêu dùng hàng 1, 2, giá hàng tương ng là p
1
= 3, p
2
= 5.
a) Hàm s trên có tuân theo quy lut li ích cn biên giÁm dÁn không?
b) Hai hàng hoá trên là thay thế hay b sung cho nhau?
c) Xác định mc cÁu hàng hóa 1, 2 ca h gia đình t i để đa hóa li ích nếu thu
nhp dành cho tiêu dùng M=300. Nếu thu nhp dành cho tiêu dùng giÁm 2 đơn
v thì li ích ti đa thay đổi nh thư ế nào?
Gii
a) Ta có:
1 2
0,6 0,4 0,4 0,6
1 2 1 2
2 ; 2
X X
U X X U X X
ò ò
ý ý
2 2
1 2
1,6 0,4 0,4 1,6
1 2 1 2
1,2. 0; 1, 2. 0
X X
U X X U X X
òò òò
ý ü ý ü
Vy hàm s trên có tuân theo quy lut l i ích c n biên giÁm dÁn.
b)
0,4 0,6
1 2 1 2 1
0,6 0,4
2 1 2 2
1
2
0.
2
U
X X X X X
U
X X X X
X
ö
ö
ý
ý ý ü
ö
ö
Hai hàng hoá trên thay thế cho nhau. Khi tăng mc s dng hàng hóa 2 lên 1
đơn v thì phÁi giÁm hàng hóa 1 đi
1
2
X
X
đơn v.
c) Lp hàm Lagrange:
ø
ù
0,4 0,4
1 2 1 2
5 300 3 5 .
L
X X X Xý
Đi u ki n cn. Xét h phương trình:
55
0,6 0,4
1 2
0,6 0,4
1
1 2
0,4 0,6
0,4 0,6
1 2
1 2
2
1 2
1 2
2 3 0
2 3 (1)
2 5 0
2 5 (2)
300 3 5 0 (3)
300 3 5 0
L
X X
X
X X
L
X X
X X
X
X X
L
X X
ö
ü
ý ý
ÿ
ö
ü
ÿ ý
ÿöÿ
ý ý
ý
ý ý
ö
ÿ ÿ
ý
þ
ÿ
ö
ý ý
ÿ
ö
þ
T (1) và (2) suy ra:
0,6 0,4
1 2
0,4 0,6
1 2
2 3
2 5
X X
X X
ý
Do ó: đ
2 1
3
.
5
X Xý
Thay vào phương trình (3):
* * * 0,6 0,4
1 2 1 2
2
300 3 5 0 50, 30, . 50 .30 .
3
X X X X
ý ý ý ý
Đi u ki n . đủ Lp định thc
1 2
1 11 12
2 21 22
0
g
g
H g L L
g
L L
ý
1 2
1 2
3, 5
X X
g g g g
ò ò
ý ý ý ý
;
1 2
0,6 0,6
12 21 1 2
0,8 ;
X X
L L L X X
òò
ý ý ý
2 2
1 2
1,6 0,4 0,4 1,6
11 1 2 22 1 2
1,2. ; 1,2 .
X X
L L X X L L X X
òò òò
ý ý ý ý
Ta có:
1 2
1 11 12
2 21 22
0
0.
g g
H g L L
g L L
ý
þ
Vy
1 2
50, 30X Xý ý
thì l
i ích được ti đa. G i m c li ích ti đa là
*
U , ta có:
*
*
0,2485 0.
U
M
ö
ý
ý þ
ö
Vy t¿ ế i mc M = 300, n u thu nh p dành cho tiêu dùng giÁm 2 đơn v thì li ích
ti đa giÁm 0,4970 đơn v.
56
Ví dā 3.10. Cho mô hình th trưßng ca hàng hóa A
ø
ù
ø ù
0,3 0 1
0,1 0;0 1; 0
S p
D p M q
ñ
ò ñ
ñ
ò ñ
ü
ý ü ü
ÿ
ý
ý ü ü ü ü
ÿ
þ
trong ó , đ S D hàm cung, hàm cÁu hàng hóa A; giá hàng hóa A; p M thu
nhp khÁ d ng; q giá hàng hóa B. Phân tích tác động c a M, c a tq i giá cân
bng.
Gii
Phương trình cân bng:
0,3 0,1 0,3 0,1 0.S D p p M q p p M qý ý ý
ñ ò ñ ñ ò ñ
G
i giá cân bng là
*
.
p
Đặ
t
* * *
( , , ) 0,3 0,1
F
p M q p p M q
ñ
ò ñ
ý
* * 1
*( 1) *( 1)
*
0,1.
0.
0,3. . 0,1. .
F
p p M q
M
F
M p p M q
p
ö
ö
ö
ý ý þ
ö
ö
ö
ò ñ
ñ ò ñ
ñ ò
Vy khi thu nhp tăng thì giá cân bng trên th trưßng hàng hóa A tăng.
* * 1
*( 1) *( 1)
*
0,1. .
0.
0,3. . 0,1. .
F
p p M qq
F
q p p M q
p
ö
ö
ö
ý ý ü
ö
ö
ö
ò ñ
ñ ò ñ
ñ
ñ ò
Vy khi giá hàng hóa B tăng, các yếu t khác không đi thì giá cân bng trên th
trưßng hàng hóa A tăng.
Ví dā 3.11. Cho mô hình th trưßng ca hàng hóa A
0,5
2 0,7 1
0,3
0,1
S p
D p M q
ü
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
þ
trong ó , đ S D hàm cung; hàm cÁu hàng hóa A, p giá hàng hóa A; M thu
nhp khÁ d ng; q giá hàng hóa B. Phân tích Ánh hưáng ca tM i lượng cân
bng.
Gii
Ph
ương trình cân bng:
0,5 2 0,7 1
0,3 0,1S D p p M q
ý ý
0,5 2 0,7 1
0,3 0,1 0.p p M q
ý
G
i giá cân bng là p
*
, lượng cân bng là Q
*
thì:
ø
ù
0,5
* * *
0,3 .Q S pý ý
57
Đặt
ø
ù
ø
ù
0,5 2
* * * 0,7 1
( , , ) 0,3 0,1F p M q p p M q
ý
ø ù
* * * * 2 0,3 1
0,5
*
* *( 0,5) *( 3) 0,7 1
0,1.0,7
0,15 0.
0,3.0,5. 0,1.2.
Q S p p M q
p
M p M p p M q
ö ö ö
ý ý þ
ö ö ö
Vy khi thu nhp tăng pq không ng tđổi thì sÁn lượng cân b ăng.
Ví dā 3.12. Cho mô hình th trưßng ca hàng hóa A
0,7 120
0,3 0,4 100
S p
D M p
ý
ü
ý
ý
þ
trong ó , đ S D hàm cung, hàm cÁu hàng hóa A, p giá hàng hóa A, M thu
nhp kh ng không phÁ dng. Có ý kiến cho rng lượng cân b thuc vào thu nhp,
ý kiến ó đ đúng hay sai?
Gii
Đi u ki n cân b ng
0,7 120 0,3 0,4 100 1,1 0,3 220.S D p M p p Mý ý ý
G
i giá cân bng là p
*
thì
*
1,1 0,3 220
p M ý p
*
ph thuc vào M.
Vy ý kiến trên là sai.
Ví dā 3.13. Cho mô hình thu nhp quc dân:
ø ù
0 0
150 0,8
0,2
Y C I G
C Y T
T Y
ý
ü
ÿ
ý
ý
ÿ
ý
þ
trong ó p, đ Y thu nh C tiêu dùng, T thuế, I
0
đÁu tư, G
0
chi tiêu Chính
ph.
a) Tìm tr¿ng thái cân bng khi I
0
= 300, G
0
= 900.
b) Do suy thoái kinh tế nên i vMPC đố i thu nhp sau thuế ch còn 0,7. GiÁ s
I
0
= 300, G
0
b n ng bao nhiêu thì đnh được thu nhp?
Gii
a) Khi I
0
= 300, G
0
= 900 mô hình có d¿ng:
1200 3750
0,8 0,8 150 2550.
0,2 0 750
Y C Y
Y C T C
Y T T
ý ý
ü ü
ÿ ÿ
ý ý
ý ý
ÿ ÿ
ý ý
þ þ
b) Theo giÁ thiết MPC = 0,7 và I
0
= 300 nên mô hình có d¿ng:
58
0
0
300
0,7 0,7 150 0,7 300 0,7.0,2 150
0,2 0
Y C G
Y C T Y Y G Y
Y T
ý
ü
ÿ
ý ý
ý
ÿ
ý
þ
*
0
0
450
0,44 450 .
0,44
G
Y G Y
ý ý
Để n định được thu nhp quc dân thì
*
0
0
450
3750 1200.
0,44
G
Y G
ý ý ý
Ví dā 3.14. Cho mô hình thu nh p qu c dân:
ø ù
0
0 1 1 1
0 1 2 0
, 0, ; 1
i i
Y C I G
C b bY a b i a b
I a a Y a r
ý ü
ÿ
ý þ ü
ý
ÿ
ý
þ
trong ó p, đ Y là thu nh C là tiêu dùng, r
0
là lãi su¿t, , I đÁu tư G
0
là chi tiêu chính
ph.
a) Xác định , Y C á tr¿ng thái cân bng.
b) Cho = 200; = 0,7;b
0
b
1
a
0
= 100;a
1
= 0,2;a
2
= 10;r
0
= 8;G
0
= 500. Khi tăng chi
tiêu Chính ph lên 1% thì thu nhp cân bng thay đổi như th nào? ế
Gii
a) Mô hình có d¿ng
0
1 0
1 2 0 0
Y C I G
bY C b
a Y I a r a
ý
ü
ÿ
ý
ý
ÿ
ý
þ
Ta có:
1 1 1
1
1 1 1
1 0 1 0
0 1
D b a b
a
ý ý ü
0
0 0 0 2 0 0
0 2 0
1 1
1 0 0
0 1
Y
G
D b G a a r b
a a r
ý ý ü
ø ù
0
1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 0
1 0 2 0
1 1
0 0
1
C
G
D b b b b a a r a b b G
a a a r
ý ý ü
Khi đó t¿i tr¿ng thái cân bng:
59
ø
ù
0 1 0 2 0 1 0 1 0* *
0 0 2 0 0
1 1 1 1
, .
1 1
b b a a r a b bG
G a a r b
Y C
a b a b
ý ý
b) Thay b
0
= 200;b
1
= 0,7;a
0
= 100;a
1
= 0,2;a
2
= 10;r
0
= 8, G
0
= 500 vào thu nhp
cân bng ta có:
*
500 100 10.8 200
7200
1 0,2 0,7
Y
ý ý
0
*
0
*
0 1 1
1 500 500 25
. . 10. 0,6944.
1 7200 7200 36
Y
G
GY
G Y a b
ö
ý ý ý ý
ö
õ
Khi tăng chi tiêu Chính ph lên 1% và các y i thì thu nhếu t khác không đổ p cân
bng t ng x p xă ¿ 0,6944%.
C. BÀI TÂP
Bài 1. Cho hàm doanh thu trung bình 60 3 .
A
R Q
ý
a) Tìm hàm .
M
R
b) T¿i mc sÁn lượng 5Q ý , khi t ng lên 1% thì tăng sÁn lượ ng doanh thu thay
đổi như thế nào?
Bài 2.
Cho hàm tng chi phí
2
2 100.TC Q Qý
a) Tìm hàm , .
M
C AC
b) GiÁi thích ý nghĩa kinh tế c sa t
.
M
C
A
C
Bài 3.
Cho hàm tng doanh thu hàm ca sÁn lượng
2
10TR Q Q
ý
sÁn lượng
là hàm c
a lao động
3
Q L Lý .
a) Phân tích Ánh hưáng ca
L
ti .TR
b) Tính h s co dãn ca theo TR .
L
Bài 4
. Mt doanh nghip độc quyn hàm
2
3 8 1800MC Q Qý u đưßng cÁ
c
a th trưßng là
9000Q pý
. Tìm
*
Q để đ¿ li nhun t ti đa.
Bài 5. Mt nhà độc quyn có hàm c u và hàm tÁ ng chi phí như sau:
2
200 , ,
p
Q TC Qý ý
trong ó đ p là giá, Q là sÁn lượng.
a) Tìm mc sÁ n lượng và m c giá sao cho li nhun ti a. đ
b) Tìm h s co giãn ca cÁu t¿i mc giá ti đa li nhun.
60
c) Chính ph đánh thuế vi mc thuế t = 0,2USD trên mi sÁn phm bán ra, tìm
mc cung để t đi a hóa li nhu n ln. SÁ ượng làm ti đa hóa li nhun thay đổi
như thế nào khi t thay đổi?
Bài 6.
Cho hàm chi phí bình quân
2
12
0,5 0,25 10.AC Q Q
Q
ý
a) Tìm hàm chi phí cn biên.
b) Vi mc giá 106p ý , hãy tìm mc sÁ n lượng để l i nhun ti a. đ
Bài 7. Mt hãng c¿nh tranh hoàn hÁo sÁn xu¿t mt lo¿i sÁn phm có hàm tng chi
phí
3 2
3 200TC Q Q Qý hãng phÁi ch¿p nh n giá th trưßng p = 190
USD.
a) Tìm mc sÁ n lượng để l i nhu n i a. đ¿t t đ
b) Nếu giá th trưßng
p
= 106 USD thì mc sÁn lượng l i để i nhun t đa bao
nhiêu?
Bài 8.
Mt nhà độc quyn có hàm doanh thu cn biên
2
1800 1,8
M
R Qý , trong đó
p là giá, Q là sÁn lượng.
a) Tìm hàm cÁu ngược ca doanh nghip n. độc quy
b) Nếu t¿i mc sÁn lượng 10Q
ý
doanh nghip giÁm giá 2% thì mc cÁu s
thay đổi như thế nào?
Bài 9.
Mt doanh nghip có hàm chi phí cn biên là
0,5
3 ; 30
Q
MC Qe FC
ý
ý .
a) Tìm hàm tng chi phí, chi phí bình quân.
b) T¿i mc sÁn lượng 2Q ý , nếu doanh nghip t ng mă c sÁn lượng lên 2 % thì
tng chi phí s thay đổi như thế nào?
Bài 10.
Cho hàm khuynh hướng tiết kim cn biên
0,5
( ) 0,3 0,1 .
MPS Y Y
ý Tìm
hàm tiết kim nếu biết tiết kim bng 0 khi thu nhp Y = 81USD.
Bài 11. Biết tiêu dùng C bng thu nhp Y khi Y = 100 USD và khuynh hướng tiêu
dùng c
n biên là
0,5
( ) '( ) 0,2 0,1 .
MPC Y C Y Y
ý ý
a) Tìm hàm tiêu dùng.
b) T¿i m ếc thu nh p Y = 25 USD, n u giÁmthu nhp 2 % thì tiêu dùng s thay đổi
như thế nào?
Bài 12.
Mt doanh nghip hàm chi phí cn biên
2
2 12 25MC Q Q
ý
vi Q
là sÁn lượng.
61
a) Xác định mc tăng lên c a t ng chi phí khi doanh nghip tăng s n l ng tÁ ượ Q =
5 lên Q = 10 đơn v.
b) Cho giá th trưßng ca sÁn phm ca doanh nghi p p = 39. Xác định lượng
cung cho li nhun cc đ¿i.
Bài 13. Mt công ty hàm cÁu ngược p = 300 0,3Q hàm chi phí biên
MC Q = 0,4 .
a) Xác định hàm , .
M
R VC
b) Tìm min sÁn lượng để đÁm bÁo khi công ty tăng s n lÁ ượng thì doanh thu s
tăng nhi u h ơn mc tăng sÁn lượng.
Bài 14.
Mt công ty có hàm sÁn xu¿t là
0,4 0,6
20 .Q L Ký
a) Hàm sÁn xu¿t trên có tuân theo quy lut li ích cn biên giÁm dÁn không?
b) Nêu ý nghĩa kinh tế c a
2
2
.
Q
K
ö
ö
Bài 15. M t doanh nghi p độc quyn hàm cÁu hàng hóa 40 4
p
Q
ý
. Hàm
t
ng chi phí ca doanh nghip là
2
2 4 10TC Q Q
ý
.
a) Xác định sÁn lượng và giá bán để doanh nghip ti đa hóa li nhun.
b) So sánh vi trưßng hp doanh nghip c¿nh tranh hoàn hÁo.
Bài 16.
Mt hãng độc quyn
2
3 2 700MC Q Qý
doanh thu trung bình
2000
A
R Qý
.
a) Xác định , t TC AC biế FC = 30.
b) Xác định mc cung và giá bán ca hãng.
Bài 17. Mt doanh nghip độc quyn hàm cÁu ngược 490 2
p
Q
ý
hàm
t
ng chi phí
2 0,5
0,5 . D ,TC Q Aý trong đó Q là sÁn lưng, AD là chi phí quÁng cáo.
a) Vi AD = 9, xác định m n lc sÁ ượng và giá bán ti u. ư
b) T¿i i AD, sÁn lượng và giá bán t ưu như câu a). Phân tích tác động ca chi phí
quÁng cáo ti mc sÁn lượng và giá bán ti u. ư
Bài 18.
Cho hàm sÁn xu¿t
0,5 0,5
0,3Q K Lý vi Q là sÁn lượng, K là s đơn v v n, L
là s đơn v lao động.
a) Hàm s trên có th hin quy lut năng su¿t cn biên giÁm dÁn không?
b) Nếu tK ăng 8%, L không đổi thì Q thay đổi như thế nào?
Bài 19.
Cho hàm cÁu mt hàng hóa
0,5
4 ln 2D M p
ý
.
a) Tìm biu thc cho biết s thay đổi ca cÁu hàng hóa khi p thay đổi 1% .
66
Bài 24. a) Khi mc giá a Mp tăng 1%, thu nhp quc dân c không đổi thì kim
ng¿ch xu¿t khu dÁu m sang M giÁm 0,5%.
b) Khi m không c giá p đổi, thu nhp qu gic dân ca M Ám 1% thì kim ng¿ch
xu¿t khu dÁu m sang M giÁm 0,5%.
c) Nếu hàng năm tY ăng 3%, p tăng 5% thì X giÁm 1%.
Bài 25. a) Khi giá hàng hóa A tăng 1% thì lượng cung hàng hóa A tăng
ñ
%.
b) Hai hàng hóa A và B là hai hàng hóa b sung.
Bài 26.
*
0,
p
t
ö
ü
ö
v ế ă y khi các y u t khác không đổi, t ng thuế s làm giá cân b ng
giÁm.
Bài 27.
Giá cân bng th trưßng
*
4 .
p
q
ý
Hàm l
i nhun ca mt cơ s : á
2
(4 ) maxq q q
ð
ý
Gi
Ái bài toán này tìm được q*=1 (t¿n) giá cân bng th trưßng p
*
= 3 (triu
đồng).
Bài 28. 12, 4324%.t
Bài 29. a) Để thu nhp cân bng là 3000 thì
0
1600G
ý
.
b) Vi thu nh ng là 3000, p cân b G
0
= 1600.
*
0
0,7619,
IM
G
õ
nếu tG
0
ăng 1%, các yếu t p kh u t ng x khác không đổi thì nh ă ¿p
x 0,7619%.
Bài 30.
1 2
27 24
, .
2 5
X Xý ý
Bài 31.
* *
150.K Lý ý
67
Ch¬ng 4
BÀI TOÁN QUY HO¾CH TUY¾N TÍNH
A. TÓM TÄT LÝ THUY¾T
4.1. BÀI TOÁN QUY HO¾CH TUY¾N TÍNH
4.1.1. Bài toán quy ho¿ch tuy¿n tính d¿ng tßng quát và d¿ng đặc bißt
a) Bài toán quy hoch tuyến tính d ng t ng quát
1
1
1
2
1
( ) min (max)
( ) (1)
( ) (2)
n
i i
i
n
ij j i
j
n
ij j i
j
f x c x
a x b i I
a x b i I
ý
ý
ý
ý
ü
ý þ
ÿ
ÿ
ý
ÿ
ó þ
ÿ
þ
õ
õ
õ
b) Bài toán quy hoch tuyến tính dng chính tc
1
1
( ) min (max)
( 1,5)
0 ( 1, )
n
i i
i
n
ij j i
j
j
f x c x
a x b i
x
j n
ý
ý
ý
ü
ý ý
ÿ
ý
ÿ
ó ý
þ
õ
õ
c) Bài toán quy hoch tuyến tính dng chun tc
1
( ) min (max)
n
i i
i
f x c x
ý
ý
õ
1 1 1 1 1 1
2 2 1 1 2 2
...
..
........................................................
ý
ý
m m n n
m m n n
x
a x a x b
x
a x a x b
1 1
...
0 ( 1, ) và 0 ( 1, )
ü
ÿ
ÿ
ÿ
ý
ÿ
ý
ÿ
ÿ
ó ý ó ý
þ
m mm m mn n m
j i
x
a x a x b
x j n b i m
Khi đó bài toán có phương án cc biên ban đÁu
1 2
( , ,..., ,0,..., 0).
m
b b b
68
4.1.2. Ph°¢ng pháp đ¢n hình giÁi bài toán quy ho¿ch tuy¿n tính
Xét bài toán quy ho¿ch tuyến tính d¿ng chun t n c). c (á 2.1.1 phÁ
Bài toán ph
ương án cc biên
0
1 2
( , ,..., , 0,..., 0)
m
x b b bý
v ơ ái c s J
0
= {1, 2, ..,
m} tc cơ s gá m các vectơ
1 2
{ , ,..., }.
m
A
A A sJ
0
cơ á đơn v, nên
.
k k
X Aý Ta sp xếp các s liu vào bÁng đơn hình.
B ng Á đ¢n hình
H
s
Cơ
sá
Ph ngươ
án
c
1
c c c c c
2
m m+1
j
n
x x x x x x
1 2
m m+1
j
n
c x b
1 1 1
1 0 … 0 a
1m+1
a a
1j
1n
c x b a a
2 2
2
0 1 … 0 a
2m+1
2j
2n
... … … … … … … … …
c x b
m m
m
0 0 … 1 a
mm+1
a
mj
a
mn
f 0 0 … 0
1m
j
n
ThuÃt toán đ¢n hình:
Bước 1 (Ki um tra du hi u t i ư )
- Nếu
0
0 ( )
k
k J ó ÿ thì
0
x
là ph
ương án ti ưu và
0
( )
f
x là giá tr t i ưu.
Quá trình giÁi kết thúc.
- Nếu tn t¿i
0
0,
k
k J
þ ÿ
thì
0
x
không phương án ti c ưu ta chuyn sang bướ
2.
Bước 2 (Ki cm tra tính không gii đượ )
- Nếu tn t¿i 0
k
þ
0
0 ( )
jk
x j
J
ó
þ thì bài toán không giÁi c. đượ
Quá trình giÁi kết thúc.
- Nếu vi mi
0
0 ( ),
k
k J þ ÿ tn t¿i
0
0 ( )
jk
x j
Jþ þ
thì ta chuyn sang bước 3.
Bước 3 (Xây dng ph ng án cươ c biên mi)
- Chn vect a vào cơ đư ơ s : á
Nếu max{
k
:
k
> 0} =
s
thì vectơ c s . A
s
đượ đưa vào cơ á
- Chn vectơ s : đưa ra khi cơ á
0
0
0
0
min , 0 .
j
r
js
j J
j
s rs
x
x
x
x
x
þ
ü ü
ÿ ÿ
ý þ ý
ý ý
ÿ ÿ
þ þ
ñ
- Biến ng đổi bÁ để thu được phương án cc biên mi:
69
Ta t đưa c s thành ct vectơ đơn v
- Để tính các ước lượng
k
m i:
S d ng định nghĩa, hoc s dng công thc i. đổ
4.1.3. Ph°¢ng pháp tìm ph°¢ng án cāc biên ban đầu
a) Xây dng bài toán ph
Xét bài toán d¿ng chính tc:
1
( ) min
n
i i
i
f x c x
ý
ý
õ
1
( 1, )
0 ( 1, )
n
ij j i
j
j
a x b i m
x
j n
ý
ü
ý ý
ÿ
ý
ÿ
ó ý
þ
õ
Không gi
Ám tính tng quát, gi thiÁ ết
0 ( 1, ).
i
b i mó ý
Bài toán ph:
1
( ) min
m
g
i
i
P x x
ý
ý
õ
1
( 1, )
0 ( 1, ), 0 ( 1, )
ý
ü
ý ý
ÿ
ý
ÿ
ó ý ó ý
þ
õ
n
g
ij j i i
j
g
j i
a x x b i m
x
j n x i m
hiu
1 2
( , ,..., )
g
g g g
m
x
x x xý
. x phương án ca bài toán gc khi ch khi (x,
x
g
) là phương án ca bài toán ph.
b) Phương pháp gii bài toán ph để tìm phương án cc biên
GiÁi bài toán ph á d¿ng chun tc, ta tìm được phương án ti ưu:
min
( , ) & ( , ) .
g g
x
x P x x Pý
Tr
ường hp 1. N u ế P
min
> 0 thì bài gc không có phương án.
Trường hp 2. Nếu P
min
= 0 thì 0 ( 1, )
g
i
x
i mý ý , do đó 0
g
x
ý
. Khi đó phương án
ti ưu c a bài toán ph d¿ng ( , 0)
g
x x
ý
, t đó
x
phương án cc biên ca
bài toán gc.
i) Cơ s c a á ( , 0)
g
x x ý không cha ct nào ng v i các các biến giÁ.
Cơ s cá a phương án cc biên ( , 0)
g
x x
ý
cũng là cơ s cá a phương án cc biên
x
.
ii) Cơ s c a á ( , 0)
g
x x ý ít nh¿t m t c t ng vi biến giÁ .
g
j
x
70
Phương án cc biên
x
suy biến, khi đó ta lo¿i các ct i ng v ( ) 0
j
P ü
(các
c
t
g
j
x
phi cơ s ). á
4.2. Bài toán đái ngÁu
4.2.1. Bài toán u đái ngÁ
Bài toán d¿ng chính tc (I):
1
1
( ) min
( 1, )
0 ( 1, )
n
j j
j
n
ij j i
j
j
f x c x
a x b i m
x
j n
ý
ý
ý
ü
ý ý
ÿ
ý
ÿ
ó ý
þ
õ
õ
Bài toán i ngđố u (I)
có d¿ng:
1
1
( ) max
( 1, ).
ý
ý
ý
ó ý
õ
õ
m
i i
i
m
ij i j
i
f y b y
a y c j n
Cp ràng buc đối ngu:
1
0 ( 1, ).
ý
ó ó ý
õ
m
j ij i j
i
x
a
y
c
j
n
Bài toán quy ho n tính t¿ch tuyế ng quát (II):
1
1
( ) min
( 1, )
0 ( 1, )
n
j j
j
n
ij j i
j
j
f x c x
a x b i m
x j n
ý
ý
ý
ü
ó ý
ÿ
ý
ÿ
ó ý
þ
õ
õ
Bài toán đối ngu
(II) có d¿ng:
1
1
( ) max
( 1, )
0 ( 1, )
m
i i
i
m
ij i j
i
i
f y b y
a y c j n
y i m
ý
ý
ý
ü
ó ý
ÿ
ý
ÿ
ó ý
þ
õ
õ
Cp ràng buc đối ngu :
71
1
1
0 ( 1, )
0 ( 1, )
m
j ij i j
i
n
ij j i i
j
x
a
y
c
j
n
a x b
y
i m
ý
ý
ó ó ý
ó ó ý
õ
õ
4.2.2. Mái liên hß giÿa cp bài toán đái ngÁu
Xét cp bài toán đối ngu vi ( ) minf x
a) Các tính cht
Tính cht 1. Vi m i c p phương án xy ca cp bài toán đối ngu ta luôn có:
( ) ( )
f
x
f y
ó .
Tính ch
t 2. Hai phương án x
*
y
*
ca cp bài toán đối ngu tha
mãn
* *
( ) ( )
f
x f y
ý thì x
*
y
*
t ng ươ ng là các phương án ti ưu ca cp bài toán
đối ngu đó.
b) Các định lý
Định lý 1 (Định lý đối ngu 1)
Nếu mt trong hai bài toán đối ngu giÁi được thì bài toán kia cũng giÁi được
khi
đó vi m i c p phương án ti ưu x
*
ta luôn có: y
*
* *
( ) ( ).
f
x f yý
H 1 qu . C p bài toán đối ng u giÁi được khi ch khi mi bài toán ít nh¿t
mt phương án.
H qu 2. Mt bài toán có phương án và mt bài toán không có phương án khi
ch khi tr s c a hàm mc tiêu ca bài toán phương án không b chn trên tp
phương án ca nó.
Định lý 2 (Định lý đối ngu 2)
Phương án xy ca mt cp bài toán đối ngu ti ưu khi và ch khi trong các cp
ràng buc đối ngu nếu mt ràng buc tha mãn vi d¿u b¿ t đẳng thc th c s
(l ng ) thì s ràng buc kia phÁi tha mãn vi d¿u bng (ch t ).
Điu này có nghĩa:
Phương án xy ca cp bài toán đối ngu ti ưu là:
ij ij
1 1
0 ( 0).
m m
j i j i j j
i i
x a y c a y c x
ý ý
þ ý ü ý
õ õ
H qu. Nếu mt ràng buc là l ng đối v i mt phương án ti ưu ca bài toán này
thì ràng buc t đối ngu ca phÁi ch đối vi mi phương án ti ưu ca bài
toán kia.
72
B. CÁC VÍ DĀ
Ví dā 4.1. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4
( ) 2 3 5 minf x x x x x
ý
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
4 3 29
4 10
3 4 2 3 19
0, 0, 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
óü
ÿ
ó
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ó ó
þ
Các vect
ơ x
1 2 3
= (–6, 4, 0, 5), x = (0, 7, –3, 5), x = (–39, 0, 49, 0) có phÁi là phương
án, phương án cc biên ca bài toán không?
Gii
Xét x
1
= (–6, 4, 0, 5)
- Vectơ x
1
= (–6, 4, 0, 5) tha mãn các ràng buc v d a ¿u. Thay t độ vectơ x
1
vào
các ràng buc còn l¿i:
4( 6) 3.4 0 5 41 29
6 4 0 4.5 10
3( 6) 4.4 2.0 3.5 19
ý þü
ÿ
ý
ý
ÿ
ý
þ
ta th¿y đều tha mãn. Vy x
1
= (–6, 4, 0, 5) là phương án ca bài toán.
- Phương án x
1
= (–6, 4, 0, 5) tha mãn cht 2 ràng buc, do đó x
1
= (–6, 4, 0, 5)
không là phương án cc biên ca bài toán.
Xét x
2
= (0, 7, –3, 5)
- Vectơ x
2
= (0, 7, –3, 5) tha mãn các ràng buc v d¿u. Thay ta độ x
2
= (0, 7, –3,
5) vào các ràng buc còn l¿i:
4.0 3.7 ( 3) 5 29
0 7 3 4.5 10
3.0 4.7 2( 3) 3.5 19
ý
ü
ÿ
ý
ý
ÿ
ý
þ
ta th¿y đều tha mãn.Vy x
2
= (0, 7, –3, 5) là phương án ca bài toán.
- Phương án x
2
= (0, 7, –3, 5) tha mãn cht 4 ràng bu ó là ràng buc, đ c 1, 2, 3 và
mt ràng buc v d¿u. Xét h phương trình:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1
4 3 29
4 10
3 4 2 3 19
0
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ý
þ
x x x x
x x x x
x x x x
x
73
Định thc ca ma trn h s c a h phương trình:
4 1
4 3 1 1
3 1 1
1 1 1 4
( 1) 1 1 4 0
3 4 2 3
4 2 3
1 0 0 0
ý
ý
nên 4 ràng buc trên ph thuc tuyến tính.
Vy x
2
= (0, 7, –3, 5) không là phương án cc biên ca bài toán.
Xét x
3
= (–39, 0, 49, 0)
- Vectơ x
3
= (–39, 0, 49, 0) tha mãn các ràng buc v d a ¿u. Thay t độ
x
3
= (–39, 0, 49, 0) vào các ràng buc còn l¿i:
4.( 39) 3.0 49 0 107 29
39 0 49 4.0 10
3.( 39) 4.0 2.49 3.0 19
ý þü
ÿ
ý
ý
ÿ
ý
þ
đều tha mãn. Vy x
3
= (–39, 0, 49, 0) là phương án ca bài toán.
- Phương án x
3
= (–39, 0, 49, 0) tha mãn cht 4 ràng buc, đó ràng buc 2, 3
và 2 ràng buc v d¿u. Xét h phương trình:
1 2 3 4
1 2 3 4
2
4
4 10
3 4 2 3 19
0
0
x x x x
x x x x
x
x
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ý
þ
Định thc ca ma trn h s c a h phương trình:
4 4
1 1 1 4
1 1 1
3 4 2 3
( 1) 3 4 2 1 0
0 1 0 0
0 1 0
0 0 0 1
ý
ý
nên 4 ràng buc trên độc l ếp tuy n tính.
Vy x
3
= (39, 0, 49, 0) là phương án cc biên ca bài toán.
Ví dā 4.2. GiÁi bài toán quy ho¿ch tuyến tính sau:
1 2 3 4
( ) 4 2 3 minf x x x x x
ý
1 2 3 4
2 3 4 5
2 6
3 12
2 2 4
5
0 ( 1, 6)
j
x x x x
x x x x
x x
x j
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
74
Gii
Bài toán
á ¿ d ng chu n tc, có phương án cc biên ban đÁu
0
(12,0,0, 0, 4,5)x ý vi
cơ sá J
0
= {1, 5, 6}, hay h vectơ c sơ á là {A
1
, , A
5
A
6
}.
H
s
Cơsá
Phương
án
1 4 2 -3 0 0
x x x x x x
1 2
3
4
5
6
1 x
1
12 1 3 1 -1 0 0
0 x
5
4 0 2 2 (1) 1 0
0 x
6
5 0 1 0 0 0 1
f 12 0 -1 -1 [2] 0 0
1 x
1
16 1 5 3 0 1 0
-3 x
4
4 0 2 2 1 1 0
0 x
6
5 0 1 0 0 0 1
f 4 0 -5 -5 0 -2 0
Bài toán có ph ng án c
ươ c biênti ưu x
*
= (16, 0, 0, 4, 0, 5) và f
min
= 4.
Ví dā 4.3. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4 5 6
( ) 5 2 5 2 3 minf x x x x x x xý
1 2 3 4
1 2 3 5
1 3 6
2 3
4 2 3 3
2
0 ( 1,6)
j
x x x x
x x x x
x x x
x j
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) GiÁi bài toán bng phương pháp đơn hình.
b) Tìm tp phương án ti ưu ca bài toán.
Gii
a) Bài toán á d¿ng chu c, phn t ương án cc biên ban đÁu
0
(0,0,0,3,3,2)x ý vi cơ sá J
0
= {4, 5, 6}, hay h vectơ c sơ á là {A
4
, , }. A
5
A
6
75
H
s s
Cơ á
Phương
án
5 2 5 2 1 3
x x x x x x
1 2
3
4 5
6
2 x
4
3 2 1 1 1 0 0
1 x
5
3 4 2 (3) 0 1 0
3 x
6
2 -1 0 1 0 0 1
f 15 0 2 [3] 0 0 0
2 x
4
2 2/3 1/3 0 1 -1/3 0
5 x
3
1 4/3 2/3 1 0 1/3 0
3 x
6
1 -7/3 -2/3 0 0 -1/3 1
f 12 -4 0 0 0 -1 0
Bài toán có ph ng án cươ c biên ti ưu không duy nh¿t (vì
2
= 0)
x
*
= (0, 0,1, 2,0, 1) và f
min
= 12.
b) Vì
2
= 0, vi
2
2 {3, 4, 6}Jÿ ý , nên bài toán có tp phương án ti ưu:
x x
(ñ) =
*
+ ñ.z
2
trong ó
đ x
*
= (0, 0, 1, 2, 0, 1), z
2
= (0, 1, -2/3,-1/3,0, 2/3), 0 ñ 1,5.
Vy bài toán có tp tp phương án ti ưu là:
x(ñ ñ) = (0, 0, 1, 2, 0, 1) + (0, 1, -2/3,-1/3, 0, 2/3), 0 ñ 1,5.
=(0, ñ, 1 - 2/3.ñ, 2 -1/3.ñ, 0, 1+2/3.ñ), vi 0 ñ 1,5.
Ví dā 4.4. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4
( ) 3 2 3 2 minf x x x x x
ý
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 2
5 3 + 2 6
2 2 + 3
0 ( 1, 4)
j
x x x
x x x x
x x x x
x j
ý
ü
ÿ
ó
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) GiÁi bài toán bng phương pháp đơn hình.
b) Tìm tp phương án ti ưu ca bài toán.
c) Tìm mt phương án cc biên ti ưu và mt phương án ti ưu không cc biên.
Gii
a) Đưa bài toán v d¿ng chính tc:
1 2 3 4
( ) 3 2 3 2 minf x x x x x
ý
76
1 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4
2 2 2
5 3 2 6
2 2 3
0 ( 1, 5)
j
x x x
x x x x x
x x x x
x j
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Xét bài toán ph:
1 3
min
g g
P x xý
1 3 4 1
1 2 3 4 5
1 2 3 4 3
1
2 2 2
5 3 2 6
2 2 3
0 ( 1,5), 0 ( 1,3)
g
g
g
j
x x x x
x x x x x
x x x x x
x j x i
ü
ý
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý ó ý
þ
H
s
Cơ sá
Phương
án
3 2 3 2 0 1 1
x x x x x x
1 2
3
4
5
1
g
x
3
g
1
x
1
g
2 2 0 (2) 1 0 1 0
0 x
5
6 5 3 1 -2 1 0 0
1
x
3
g
3 -2 2 1 1 0 0 1
P 5 0 2 [3] 2 0 0 0
0 x
3
1 1 0 1 1/2 0 0
0 x
5
5 4 3 0 -5/2 1 0
1
x
3
g
2 -3 (2) 0 1/2 0 1
P 2 -3 [2] 0 1/2 0 0
3 x
3
1 1 0 1 1/2 0
0 x
5
2 17/2 0 0 -13/4 1
2 x
2
1 -3/2 1 0 1/4 0
f 5 -3 0 0 0 0
Bài toán có ph
ương án ti ưu không duy nh¿t x
*
= (0, 1, 1, 0, 2) và f
min
= 5.
b) Vì 4
ÿJ
2
= {2, 3, 5}
4
= 0 , nên theo phương ng ng z
4
xây d được tp phươ
án ti u: ư
x x
(ñ) =
*
+ ñ.z
4
trong ó = (0, 1, 1, 0, 2); 1/4,
đ x
*
z
4
= (0, 1/2, 1, 13/4); 0 ñ 2.
Bài toán có tp phương án ti ưu:
77
x x
=
*
+ ñz
4
= (0,1ñ/4, 1ñ/2, ñ, 2 + 13ñ/4), vi 0 ñ 2.
c) Cho
ñ = 2 có phương án cc biên ti u ư
1 17
ˆ
0, , 0, 2, .
2 2
x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
Cho i
ñ = 1 có phương án t ưu không cc biên
3 1 21
0, , , 1, .
4 2 4
x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
Ví dā 4.5. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4
( ) 2 4 2 3,5 maxf x x x x x
ý
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 4
2 2
2 2 2 8
0 ( 1, 4)
j
x x x x
x x x
x x x x
x j
ý
ü
ÿ
ó
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) GiÁi bài toán bng ph n hình. ương pháp đơ
b) Tìm phương án ti ưu có thành phÁn x
4
= 4.
Gii
a) Đưa bài toán v d¿ng chính tc:
1 2 3 4
( ) 2 4 2 3,5 maxf x x x x x
ý
1 2 3 4
1 2 4 5
1 2 3 4 6
2 4
2 2
2 2 2 8
0 ( 1,6)
j
x x x x
x x x x
x x x x x
x j
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Xét bài toán ph:
1
min
g
P xý
1 2 3 4 1
1 2 4 5
1 2 3 4 6
1
2 4
2 2
2 2 2 8
0 ( 1,6), 0
ü
ý
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý ó
þ
g
g
j
x x x x x
x x x x
x x x x x
x j x
78
H
s
Cơ
sá
Phương
án
-2 4 -2 7/2 0 0 1
x x x x x x
1 2
3
4
5
6
x
1
g
1
x
1
g
4 (2) 1 -1 1 0 0 1
0 x
5
2 -1 -2 0 1 1 0 0
0 x
6
8 2 -2 1 -2 0 1 0
P 4 [2] 1 -1 1 0 0 0
-2 x
1
2 1 1/2 -1/2 1/2 0 0
0 x
5
4 0 -3/2 -1/2 3/2 1 0
0 x
6
4 0 -3 (2) -3 0 1
-f -4 0 -5 [3] -9/2 0 0
-2 x
1
3 1 -1/4 0 -1/4 0 1/4
0 x
5
5 0 -9/4 0 3/4 1 1/4
-2 x
3
2 0 -3/2 1 -3/2 0 1/2
-f -10 0 -1/2 0 0 0 -3/2
k
ó 0, ÿk {1, 3, 5} , bài toán có phương án ti ưu:
x
*
= (3, 0, 2, 0, 5, 0) và f
max
= 10.
b) Vì
4
= 0, nên theo phương ng z
4
ta xây d được tp phương án ti ưu :
x x
(ñ) =
*
+ ñ.z
4
trong ó
đ x
*
= (3, 0, 2, 0, 5, 0); z
4
= (1/4, 0, 3/2, 1, -3/4, 0) vi
20
0 .
3
ó ó
ñ
x(ñ ñ) = (3, 0, 2, 0, 5, 0) + .(1/4, 0, 3/2, 1, -3/4, 0) = (3+1/4.ñ, 0, 2+3/2.ñ, ñ, 5-3/4ñ,
0),
v
i
20
0 .
3
ó ó
ñ
Cho x
4
= 4 ta có phương án ti ưu mi là: x = (4, 0, 8, 4, 5, 0).
Ví dā 4.6. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4
( ) 2 6 8 5 minf x x x x x
ý
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 4 5
2 2 2 5 2
4 2 4
0 ( 1, 4)
j
x x x x
x x x x
x x x
x j
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) GiÁi bài toán bng phương pháp đơn hình.
b) Tìm mt phương án để hàm mc tiêu có giá tr ( ) 30.f x
ý
79
Gii
a) Đưa bài toán v d¿ng chính tc:
1 2 3 4
( ) 2 6 8 5 minf x x x x x
ý
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4 5
2 4 5
2 2 2 5 2
4 2 4
0 ( 1, 5)
j
x x x x
x x x x
x x x x
x j
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Xét bài toán ph:
1 2
min
g g
P x xý
1 2 3 4 1
1 2 3 4 2
2 3 4 5
2 4 5
2 2 2 5 2
4 2 4
0 ( 1, 5), 0 ( 1, 2)
g
g
g
j i
x x x x x
x x x x x
x x x x
x j x i
ü
ý
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý ó ý
þ
H
s
Cơ
sá
Phương
án
-2 -6 8 -5 0 1 1
x x x x x x
1 2
3
4
5
1
g
x
2
g
1
x
1
g
5 1 2 -4 1 0 1 0
1
x
2
g
2 2 (2) -2 -5 0 0 1
0 x
5
4 0 1 -4 2 1 0 0
P 7 3 [4] -6 -4 0 0 0
1
x
1
g
3 -1 0 -2 (6) 0 1
0 x
2
1 1 1 -1 -5/2 0 0
0 x
5
3 -1 0 -3 9/2 1 0
P 3 -1 0 -2 [6] 0 0
-5 x
4
1/2 -1/6 0 -1/3 1 0
-6 x
2
9/4 7/12 1 -11/6 0 0
0 x
5
3/4 -1/4 0 -3/2 0 1
f -16 -2/3 0 14/3 0 0
3
> 0
3
0, {2, 4,5}
j
x j
ü þ , do đó bài toán phương
3
z giÁm h¿n, nên
bài toán không giÁi c. đượ
80
b) Ph
ương
3
11 1 3
0, , 1, ,
6 3 2
z
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
là phương gi m vô hÁ ¿n. Bài toán có tp phương
án giÁm vô h¿n:
* 3
9 1 3 11 1 3
( ) 0, , 0, , 0, , 1, ,
4 2 4 6 3 2
9 11 1 3 3
0, , , , , 0.
4 6 2 3 4 2
x x z
ö ö ö ö
ý ý
÷ ÷ ÷ ÷
ø ø ø ø
ö ö
ý
ó
÷ ÷
ø ø
ñ ñ ñ
ñ ñ ñ
ñ ñ
b)
Để
*
3
14
( ) 30 ( ( )) ( ) . 16 30 3.
3
f x f x f x
ñ
ñ ñ ñ
ý ý ý ý ý
V
y phương án phÁi tìm là:
31 3 21
(3) 0, , 3, , .
4 2 4
x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
Ví dā 4.7. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4
( ) 2 6 2 minf x x x x x
ý
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
2 2 6
2 2 3 12
3 2 18
0 ( 1,4)
j
x x x x
x x x x
x x x
x j
ýü
ÿ
ó
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) Viết bài toán đối ngu và ch ra các c p ràng bu c đối ng u.
b) Vectơ ( 2, 0, 0)y ý phÁi phương án, phương án t i ưu c a bài toán đối
ngu không?
Gii
a) Bài toán đối ngu:
1 2 3
( ) 6 12 18 maxf y y y yý
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2
2
3
2 3 2 (1')
2 2 6 (2')
2 2 2 (3')
3 1 (4 ')
0 (5 ')
0 (6')
y y y
y y y
y y y
y y
y
y
ó
ü
ÿ
ó
ÿ
ÿ
ó
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó
ÿ
ó
ÿ
þ
Các cp ràng buc đối ngu:
81
1
2
3
4
1 2 3 4 2
1 2 3 3
0 (1')
0 (2 ')
0 (3')
0 (4 ')
2 2 3 12 0
3 3 18 0.
x
x
x
x
x x x x y
x x x y
ó
ó
ó
ó
ó ó
ó ó
b)
- Thay ( 2, 0, 0)y ý vào h ràng buc ca bài toán đối ngu
2 2.0 3.0 2 (1')
2( 2) 2.0 0 6 (2 ')
2( 2) 0 2.0 2 (3')
2 3.0 1 (4')
0 = 0 (5')
0 = 0 (6')
ý
ü
ÿ
ü
ÿ
ÿ
ü
ý
ü
ÿ
ÿ
ÿ
þ
ta th¿y ( 2, 0, 0)y ý tha mãn t¿t cÁ các ràng buc.
Vy ( 2, 0, 0)y ý là phương án ca bài toán đối ngu.
- Phương án ( 2, 0, 0)y ý tha mãn l ng các ràng bu c (2’), (3’), (4’) các
ràng buc đối ngu tương ng là x
2
ó 0, x
3
ó 0, x
4
ó 0.
Theo u định đối ng ( 2, 0, 0)y ý phương án ti ng ưu n u t n tế ¿i phươ
án
x
ca bài toán gc tha mãn:
2 3 4
0.x x x
ý
ý ý
Xét h:
1
1 2 3 4 2
32 3 4
4
6
2 2 6 0
(6,0,0,0).
0
0
0
x
x x x x x
x
xx x x
x
ý
ü
ÿ
ý ý
ü
ÿ
ý
ý ý
ýý ý ý
þ
ÿ
ÿ
ý
þ
Thay ta cđộ a vectơ x = (6, 0, 0, 0) vào các ràng buc còn l¿i ca bài toán gc
1
2.6 2.0 0 3.0 12
3.6 0 2.0 18
6 0x
ýü
ÿ
ý
ý
ÿ
ý þ
þ
ta th¿y đều tha mãn, do đó x = (6, 0, 0, 0) là phương án ti ưu ca bài toán gc.
82
Vy ( 2, 0, 0)y ý là phương án ti ưu ca bài toán đối ngu.
Ví dā 4.8. Cho bài toán quy ho¿ch tuy n tính: ế
1 2 3 4 6
( ) 5 4 5 2 minf x x x x x xý
1 3 4 6
1 2 4 6
1 4 5 6
1 4 6
2 5 5
2 2 3 6
3 4 3 6 9
, 0, 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
ó
ü
ÿ
ó
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ó
þ
a) Viết bài toán đối ngu và ch ra các c p ràng bu c đối ng u.
b) Chng minh bài toán gc giÁi được. Tìm tp phương án t i ưu c a bài toán g c.
Gii
a) Bài toán đối ngu:
1 2 3
( ) 5 6 9 maxf y y y yý
1 2 3
2
1
1 2 3
3
1 2 3
1 2 3
2 3 5 (1')
2 4 (2 ')
1 (3')
5 2 4 5 (4')
3 0 (5')
3 6 2 (6')
0; 0; 0
y y y
y
y
y y y
y
y y y
y y y
óü
ÿ
ý
ÿ
ÿ
ý
ÿ
ó
ý
ÿ
ý
ÿ
ÿ
ó
ÿ
ó ó ó
þ
Các cp ràng buc đối ngu:
1 2 3 1
1 2 3 4
1 2 3 6
1
2
3
2 3 5 0
5 2 4 5 0
3 6 2 0
0 (1)
0 (2)
0 (3)
y y y x
y y y x
y y y x
y
y
y
ó ó
ó ó
ó ó
ó
ó
ó
b) Ta có h con:
2 1
0
1 2
3 3
2 4 1
1 2 ( 1, 2, 0)
3 0 0
y y
y y y
y y
ý ý
ü ü
ÿ ÿ
ý ý ý
ý ý
ÿ ÿ
ý ý
þ þ
.
Thay t
a độ
0
( 1, 2, 0)y ý vào các ràng buc còn l¿i ca bài toán đối ngu:
83
1 2 3
2( 1) 2 3.0 4 5
5( 1) 2.2 4.0 9 5
( 1) 3.2 6.0 5 2
1 0; 2 0; 0y y y
ý ü
ü
ÿ
ý ü
ÿ
ý
ý þ
ÿ
ÿ
ý
ü ý þ ý
þ
ta th
¿y đều tha mãn. Do y
0
là phương án duy nh¿t ca bài toán đối ngu, nên y
0
phương án ti u. ưu ca bài toán đối ng
Vy bài toán g c gi Ái được.
- Ph
ương án
0
( 1, 2, 0)y ý tha mãn lng các ràng buc: (1'),(4 '),(6 ') 2 ràng
buc v d¿u. Vì vy mi phương án ti ưu ca bài toán gc phÁi tha mãn cht các
ràng buc đối ngu tương : ng. Ta có h
1
1
2
4
3
6
4
1 3 4 6
5
1 2 4 6
6
0
0
3
0
5
0
0
2 5 5;
2 2 3 6
0
x
x
x
x
x
x
x
x x x x
x
x x x x
x
ý
ü
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ÿ
ý
ÿ
ÿ
ý
ÿ ÿ
ý
ý ý
ý
ÿ ÿ
ý
ÿ ÿ
ÿ ÿ ý
þ
ý
ÿ
þ
H nghim:
5
(0, 3, 5, 0, , 0).x xý Thay ta c a độ
x
vào các ràng buc
còn l¿i ca bài toán gc, ta tìm được
5
3.x
ó
Vy tp phương án ti ưu ca bài toán gc là:
5
(0, 3, 5, 0, , 0),x xý v i
5
3.x
ó
C. BÀI TÂP
Bài 1. GiÁi bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4 5
( ) 3 3 3 minf x x x x x x
ý
1 2 3 4
2 3 4 5
2 3 4 6
4 4
2 2 4
2 2 3
0 ( 1,6)
j
x x x x
x x x x
x x x x
x j
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Bài 2. GiÁi bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4 5 6
( ) 3 5 2 3 3 minf x x x x x x xý
84
1 2 3 4
1 3 4 5
1 3 4 6
3
2 3 2 2
3 3
0 ( 1, 6)
j
x x x x
x x x x
x x x x
x j
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Bài 3. GiÁi bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
2 3 4 5 6
( ) 2 2 2 2 minf x x x x x xý
1 2 3 5
1 3 4 5
1 3 5 6
5 5
2 3 2 2
3 5
0; 1,6
j
x x x x
x x x x
x x x x
x j
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Bài 4. GiÁi bài toán sau bng phương pháp đơn hình:
1 2 3 4
( ) 3 minf x x x x x
ý
1 2 3 4
1 3 4
1 2 4
2 5 5
3 3 6 3
2 2
0 ( 1, 4)
j
x x x x
x x x
x x x
x j
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Bài 5. GiÁi bài toán sau bng phương pháp đơn hình:
1 2 3 4
( ) 5 4 maxf x x x x x
ý
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
3 4
1
2 2 6
0 ( 1, 4)
j
x x x x
x x x x
x x x
x j
ý
ü
ÿ
ó
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Bài 6. GiÁi bài toán sau bng phương pháp đơn hình:
1 2 3 4
( ) 2 3 3 2 minf x x x x x
ý
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4
2 5 4 2 6
2 +2 4 2 2
2 7 2 6
0 ( 1,5)
j
x x x x x
x x x x x
x x x x
x j
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
85
Bài 7. GiÁi bài toán sau bng phương pháp đơn hình:
1 2 3 4 5
( ) 3 4 4 5 minf x x x x x xý
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
3
2
2 3 2 4
0 ( 1,5)
j
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x j
ó
ü
ÿ
ó
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Bài 8. GiÁi bài toán sau bng phương pháp đơn hình:
1 2 3 4 5
( ) 2 2 3 2 minf x x x x x xý
1 2 4 5
1 2 3 5
2 3 5
2 16
2 2 35
2 2 4 20
0 ( 1,5)
j
x x x x
x x x x
x x x
x j
ý
ü
ÿ
ó
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Bài 9. GiÁi bài toán sau bng phương pháp đơn hình:
1 2 3 4
( ) 4 2 3 2 minf x x x x x
ý
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 14
5 3 2 62
2 2 2 16
0 ( 1,4)
j
x x x
x x x x
x x x x
x j
ýü
ÿ
ó
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Bài 10. GiÁi bài toán sau bng phương pháp đơn hình:
1 2 3 4
( ) 3 3 3 maxf x x x x x
ý
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 5
3 2 3 6 3
2 3 2 2
0 ( 1,4)
j
x x x x
x x x x
x x x x
x j
óü
ÿ
ý
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Bài 11. GiÁi bài toán sau bng phương pháp đơn hình:
1 2 3 4
( ) 3 2 2 minf x x x x x
ý
86
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3 4
3 4 2 5
2 2 2 2 2
2 5 2 4
0 ( 1,5)
j
x x x x x
x x x x
x x x x
x j
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Bài 12. GiÁi bài toán sau bng phương pháp đơn hình:
1 2 3 4 5
( ) 3 4 3 maxf x x x x x xý
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
3 4 2 10
2 2 2 2 2 4
4 4 3 8 4 15
0 ( 1,5)
j
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x j
ý
ü
ÿ
ó
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
Bài 13. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính sau:
1 2 3 4
( ) 4 6 14 5 / 2 minf x x x x xý
2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
3 2 2 72
2 3 60
2 4 3 2 36
0 ( 1,4)
j
x x x
x x x
x x x x
x j
ó
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) GiÁi bài toán b n hình. ng phương pháp đơ
b) Xác định mt phương án có thành phÁn
2
3x
ý
và cho biết tính ch¿t ca phương
án đối v i bài toán.
Bài 14. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4
( ) 2 4 2 3,5 maxf x x x x x
ý
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 20
2 16
2 2 2 24
0 ( 1,4)
j
x x x x
x x x
x x x x
x j
ý
ü
ÿ
ó
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) GiÁi bài toán b n hình. ng phương pháp đơ
b) Tìm phương án ti n ưu có thành phÁ x
4
= 10.
Bài 15. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4 5
( ) 2 2 2 minf x x x x x xý
87
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3
2 2 8
+ 2 10
2 15
0 ( 1,5)
j
x x x x
x x x x x
x x x
x j
ó
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) GiÁi bài toán b n hình. ng phương pháp đơ
b) Tìm phương án ti n ưu có thành phÁ
2
1
5
x
ý
.
Bài 16. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4
( ) 3 3 2 maxf x x x x x
ý
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
4 3 2 34
2 2 3 60
2 2 3 4 32
0 ( 1, 4)
j
x x x x
x x x
x x x x
x j
ó
ü
ÿ
ó
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) GiÁi bài toán bng ph n hình. ương pháp đơ
b) Xác định t p ph ương án ti ưu nếu thêm ràng buc ( ) 18f x
ó
. Các phương án
ti ưu tìm được phÁi phương án cc biên ca bài toán mi hay không? GiÁi
thích.
Bài 17.Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4 5
( ) 2 2 1,5 minf x x x x x xý
1 2 3 4
2 3 4 5
1 2 3
2 2 12
2 10
2,5 15
0 ( 1,5)
j
x x x x
x x x x
x x x
x j
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) GiÁi bài toán b n hình. ng phương pháp đơ
b) Tìm phương án ti n ưu có thành phÁ x
2
= 1.
Bài 18. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 4 4
( ) 2 maxf x x x c x
ý
1 2 3
1 2 3
1 2 4
2 3 4 5
3 2 3
6
0 ( 1, 4)
j
x x x
x x x
x x x
x j
ó
ü
ÿ
ó
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
88
a) Vi
4
1c ý giÁi bài toán đã cho bng phương pháp đơn hình. Xác định các
phương án cc biên ti ưu ca bài toán mt phương án ti ưu không cc biên
có thành phÁn
4
10x ý .
b) Vi giá tr nào ca
4
c bài toán đã cho không giÁi được. GiÁi thích vì sao?
Bài 19. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3
( ) 2 5 minf x x x x
ý
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 9
2 5
2 2 3
0 ( 1, 3)
j
x x x
x x x
x x x
x j
ó
ü
ÿ
ó
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) Viết bài toán đối ngu và ch ra các c p ràng bu c đối ng u.
b) Phân tích tính ch
¿t ca
0
(3, 0, 0)x ý đối vi bài toán. Nêu tính ch¿t ca
phương án ti u. ưu ca bài toán đối ng
Bài 20. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3
( ) 4 12 16 minf x x x x
ý
1 2
1 2 3
2 3
3 6
3 4 2
4
x x
x x x
x x
ó ü
ÿ
ó
ý
ÿ
ó
þ
a) Viết bài toán đối ngu và ch ra các c p ràng bu c đối ng u.
b) Vectơ ( 1, 1, 1)x ý phÁi phương án cc biên, phương án ti ưu ca bài
toán gc?
Bài 21. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3
( ) 4 maxf x x x px
ý
1 2 3
1 2 3
3 4 4 10
1
0 ( 1,3)
j
x x x
x x x
x j
ü
ý
ÿ
ÿ
ý
ý
ÿ
ó ý
ÿ
þ
a) Viết bài toán đối ngu và ch ra các c p ràng bu c đối ng u.
b) Vi a điu kin nào c p thì vectơ (2, 1, 0)x
ý
là phương án ti ưu ca bài toán
gc và bài toán đối ngu có phương án cc biên ti n; ưu không suy biế
89
c) Vi giá tr p tìm được r ng i á câu b), chng t x phương cc biên t ưu duy
nh¿t.
Bài 22. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4 5
( ) 3 8 2 2 minf x x x x x xý
1 3 4 5
1 3 4 5
1 2 3 5
4 4 =14
2 2 + = 4
2 4 2 20
0, 1,5
j
x x x x
x x x x
x x x x
x j
ü
ÿ
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) GiÁi bài toán b n hình. ng phương pháp đơ
b) Xác ng án tđịnh phươ i ưu ca bài toán, khi hàm mc tiêu
1 2 3 4 5
( ) 2 6 5 min.g x x x x x xý
Bài 23. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4 5 6
1 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 3 4 5
( ) 2 13 10 3 14 min
2 2 3 45
2 2 2 8
3 20
0( 1,6)
j
f x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x
x j
ý
ý
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) GiÁi bài toán b n hình. ng phương pháp đơ
b) Tìm tp phương án ti ưu ca cp bài toán đối ngu khi f(x) max.
Bài 24. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4
( ) 2 5 4 2 minf x x x x x
ý
1 3 4
2 3 4
1 3 4
1 3 4
2 3 12
+ 2 =14
4 + 9 36
3 2 5 23
0, 1,4
j
x x x
x x x
x x x
x x x
x j
ü
ó
ÿ
ÿ
ÿ
ó
ý
ÿ
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
a) GiÁi bài toán bng phương pháp đơn hình, tìm mt phương án ti ưu có
1
9
.
2
x ý
b) Tìm tp phương án ti ưu ca bài toán đối ngu và tính ch¿t ca nó.
90
Bài 25. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4
( ) 2 minf x x x x x
ý
1 2 3 4
2 3 4
1 2
2 2 3 20
2 2 16
0, 0
x x x x
x x x
x x
ó
ü
ÿ
ý
ý
ÿ
ó ó
þ
a) Viết bài toán đối ngu và ch ra các c p ràng bu c đối ng u.
b) Không dùng thut toán đơn hình, hãy chng t bài toán gc giÁi được, hãy xác
định phương án cc biên ti ưu.
Bài 26. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4
( ) 8 6 4 5 minf x x x x x
ý
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 7
2 3 4
3 2 6 5
0, 1, 2,4
i
x x x
x x x x
x x x x
x i
ó
ü
ÿ
ý
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
và vect
ơ
0
(3, 0, 2, 0).x ý
a) Viết bài toán đối ngu và ch ra các c p ràng bu c đối ng u.
b) Phân tích tính ch
¿t ca vectơ x
0
đối vi bài toán trên.
c) Xác đnh tp phương án t u ci ư a bài toán đối ngu. Tìm phương án ti a ưu c
bài toán đối ngu có thành phÁn
1
3.y
ý
Bài 27. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4 5
( ) 4 4 3 2 minf x x x x x xý
1 2 4 5
1 2 3 4
2 3 4 5
2 4 5 10
3 2 3
2 2 5
x x x x
x x x x
x x x x
ó ü
ÿ
ó
ý
ÿ
ó
þ
a) Viết bài toán đối ngu và ch ra các c p ràng bu c đối ng u.
b) Xác định tp phương án t i ưu c a bài toán đối ngu.
Bài 28. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
1 2 3 4 5
( ) 2 19 5 3 minf x x x x x xý
91
1 2 3 4 5
1 2 3 5
1 2 3 4
2 3 2 27
2 2 3 4
3 17
0, ( 1, 5)
ó ü
ÿ
ó
ÿ
ý
ó
ÿ
ÿ
ó ý
þ
j
x x x x x
x x x x
x x x x
x j
a) Viết bài toán đối ngu và ch ra các c p ràng bu c đối ng u.
b) Cho (1, 2, 2),ý y phân tích tính ch¿t ca y đối vi bài toán đối ngu ca bài
toán đã cho.
c) Tìm t i p phương án t ưu ca bài toán gc.
d) Tìm tp phương án ti u. ưu ca bài toán đối ng
Bài 29. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
ø ù
1 2 3 4
1 2 3
2 3 4
1 2 3 4
5
6 14 4 min
2
3 2 2 72
3 2 = 60
4 3 2 2 36
0 ( 1, 4)
ý
ó
ü
ÿ
ÿ
ý
ý
ÿ
ÿ
ó ý
þ
j
f x x x x x
x x x
x x x
x x x x
x j
a) GiÁi bài toán b n hình. ng phương pháp đơ
b) Phân tích tính ch
¿t vectơ x
0
= (3, 0, 4, 28) đối vi bài toán.
c) Xác định phương án ti ưu ca bài toán đối ngu và các tính ch¿t ca nó.
D. H¯àNG DÀN - ĐÁP Sà
Bài 1
. Bài toán có phương án cc biên ti u ư
*
11 3 5
,0,0, , ,0
2 2 2
x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
v i
min
3
.
2
f ý
Bài 2
. Bài toán có phương án cc biên ti u ư
*
3 1
, 1, 0, , 0, 0
2 2
x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
v i
min
11
.
2
f ý
Bài 3. Bài toán có phương án cc biên ti u ư
ø
ù
*
2, 2, 0, 0, 1, 0x ý v i
min
6.f ý
Bài 4. Bài toán có phương án cc biên ti u ư
ø
ù
*
4, 6, 3, 0, 0x ý v i
min
13.f ý
92
Bài 5
. Bài toán phương án cc biên ti u ư
*
3 1 5
, , 0, 0, 0,
2 2 2
x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
v i
max
7.f ý
Bài 6. Bài toán có phương án cc biên ti u ư
ø
ù
*
0, 2, 0, 0, 2, 4x ý
v i
min
6.f ý
Bài 7. Bài toán phương án cc biên ti u ư
ø
ù
*
0, 3, 0, 0, 0, 0, 1, 1x ý vi
min
12.f ý
Bài 8
. bà Áng th 3 ca bài toán phương z
6
giÁm h¿n. Vy bài toán không
giÁi c. đượ
Bài 9. Bài toán có phương án cc biên ti u ư
ø
ù
*
0, 1, 7, 0, 52x ý v i
min
23.f ý
Bài 10. Bài toán phương án cc biên ti u ư
ø
ù
*
0, 0, 3/2, 5/4, 6, 0x ý vi
max
21
.
4
f ý
Bài 11.
min
2 0P ý þ , nên bài toán không có phương án.
Bài 12.
min
4 0P ý þ , nên bài toán không có phương án.
Bài 13.
a) Ph
ương án cc biên ti u ư x
*
= (30, 6, 0, 0, 54) vi f
min
= 84.
b) = (28, 3, 0, 4, 71, 0) là ph i x ương án t ưu không cc biên.
Bài 14.
a) Ph
ương án cc biên ti u ư x
*
= (11, 0, 2, 0, 27, 0) v i f
max
= 26.
b)
27 39
,0,17,10, ,0 .
2 2
x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
Bài 15.
a) Ph
ương án cc biên ti u ư
*
38 1 11
, 0, , 0,
5 5 5
x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
v
if
min
=
63
5
.
b)
38 1 2 8
, , , 0,
5 5 5 5
x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
.
Bài 16.
a) Bài toán không b chn trên, do đó bài toán không giÁi c. đượ
Bài 17.
a) Bài toán có ph
ương án cc biên ti u ư
*
5 15
7, 0, , 0, , 0
2 2
x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
v i
min
3
.
2
f ý
93
b)
*
7 9
7, 1, , 0, , 0 .
2 2
x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
Bài 18.
a) Bài toán ph
ương án cc biên ti u ư
*
7 53
6, 0, , 0, 0, , 0
4 4
x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
v i
max
6.f ý
Bài 19.
b)
0
(3, 0, 0)x ý là phương án cc biên suy biến ti u. ư
Bài toán đối ngu có 2 phương án cc biên ti ưu:
1 2
3 1 2
, 0, ; , 0, 0 .
5 5 3
y y
ö ö ö ö
ý ý
÷ ÷ ÷ ÷
ø ø ø ø
và tp ph u không cương án ti ư c biên
1 1 1
3 2
( , 0,2 3 ) |
5 3
y y y
ü
ü
ü ü
ý
ý
þ þ
.
Bài 20.
b) i x là phương t ưu, nhưng không cc biên.
Bài 21.
b) p < 4.
Bài 22.
a) Bài toán không giÁi c. đượ
b) Ph
ương án cc biên ti u: ư
0
(2, 24, 0,3,0).x ý
Bài 23.
a) Bài toán không giÁi c. đượ
b) Bài toán g
c có phương án ti ưu x
*
= (65/3, 53, 0, 5/3, 0, 0)
T
p phương án ti ưu ca bài toán đối ngu: {y
*
= (5, -1, -6)}
Bài 24.
a) Bài toán phương án ti i ưu phương án t ưu x = (6, 14, 0, 0, 0, 12, 5).
Phương án ti ưu có
1
9
2
x
ý
*
9 7
,11,3,0, 0,15, .
2 2
x
ö ö
ý
÷ ÷
ø ø
b) Phương án ti ưu ca bài toán đối ngu là
ø
ù
1, 5,0,0 .y ý
i y là phương án cc biên t ưu suy biến ca bài toán đối ngu.
Bài 25.
Ph u:ương án cc biên ti ư (0, 0, 44, 36).
94
Bài 26.
b)
0
(3, 0, 2, 0)x ý
là phương án cc biên ti n. ưu suy biế
c) Tp phương án ti ưu ca bài toán đối ngu
1 1 1 1
16
( , 8 28, 5 16), 2.
5
y y y y
ó ó
Ph
ương án t i ngi ưu ca bài toán đố u
0
( 3, 4, 1).y ý
Bài 27.
b) T
p phương án ti ưu ca bài toán đối ngu
0
( 1, 2, 3).y
ý
Bài 28.
b) (1, 2,2)y ý là phương án ti ưu không cc biên.
c) (10,0,7, 0,0)x ý là phương án ti ưu duy nh¿t ca bài toán gc.
d)
ø ù
2 2 2 2
7 3
3 , , 5 12 | .
3 2
y y y y
ü ü
ó ó
ý ý
þ þ
Bài 29.
a) Ph
ương án ti ưu
*
(6,0,0,30,54)x ý f
min
= 84.
b)
0
(3, 0, 4, 28)x ý là phương án cc biên ti u. ư
c) T
p phương án ti ưu ca bài toán đối ngu:
*
(0,1/ 2,3 / 2)y ý .
*
y là phương án cc biên suy biến duy nh¿t.
Tài lißu tham khÁo
[1] Đình Thúy. Toán cao cp cho các nhà kinh tế. NXB Đ¿i hc Kinh tế Qu c dân,
2012.
[2] Phùng Duy Quang. Hướng d n gi p Toán c i bài t ơ s ng dng trong kinh tế. NXB
Thông tin và Truyn thông.
[3] TrÁn Túc, i, 2004.Quy hoch tuyến tính, NXB Khoa hc và K thut, Hà N
[4] Nguyến Quang Dong, Ngô Văn Th, Hoàng Đình Tu¿n, hình toán kinh tế,
NXB Đ¿i hc Kinh tế Quc dân, 2006.
[5] Hoàng Đình Tu¿n, thuyết mô hình toán kinh tế, NXB Đ¿i hc Kinh tế Quc
dân, 2007.
[6] Lê Tài Thu, Bài tp Toán cao cp, NXB Giáo dc Vit Nam, 2017.
[7] Lê Tài Thu, Bài tp Mô hình toán kinh tế, NXB Giáo dc Vit Nam, 2017.
95
MĀC LĀC
Lãi nói đầu ....................................................................................................................
Ch°¢ng 1. Hàm sá m ßt bi¿n sá
A. Tóm tt lý thuyết ....................................................................................................
B. Các ví d .................................................................................................................
C. Bài tp ....................................................................................................................
D. Đáp s và hướng dn ..............................................................................................
Ch°¢ng 2. Hàm sá nhiÁu bi¿n sá
A. Tóm tt lý thuyết ....................................................................................................
B. Các ví d .................................................................................................................
C. Bài tp ....................................................................................................................
D. Đáp s và hướng dn ..............................................................................................
Ch°¢ng 3. Mô hình toán kinh t¿
A. Tóm tt lý thuyết ....................................................................................................
B. Các ví d ........... .....................................................................................................
C. Bài tp ....................................................................................................................
D. Đáp s và hướng dn .............................................................................................
Ch°¢ng 4. Bài toán quy ho¿ch tuy¿n tính
A. Tóm tt lý thuyết ....................................................................................................
B. Các ví d ........... .....................................................................................................
C. Bài tp ....................................................................................................................
D. Đáp s và hướng dn .............................................................................................
Ch°¢ng 6. Ph°¢ng trình sai phân
A. Tóm tt lý thuyết ....................................................................................................
B. Các d¿ng bài tp .....................................................................................................
C. Bài tp ....................................................................................................................
D. Đáp s và hướng dn .............................................................................................
Tài lißu tham khÁo ...............................................................................
Trang
3
4
11
19
24
28
33
38
42
44
49
60
65
68
73
84
68
72
79
84
92
94
96
ChÞu tr¸ch nhiÖm xuÊt b¶n:
Chñ tÞch Héi ®ång Thμnh viªn nguyÔn ®øc th¸i
Phã Tæng Gi¸m ®èc phô tr¸ch hoμng lª b¸ch
Phã Tæng Gi¸m ®èc kiªm Tæng biªn tËp TS. Phan xu©n thμnh
Tæ chøc b¶n th¶o vµ chÞu tr¸ch nhiÖm néi dung:
Phã Tæng biªn tËp TS. TRÀN QUANG VINH
Tæng biªn tËp T¹p chÝ To¸n häc vμ Tuæi trÎ TS. trÇn h÷u nam
Biªn tËp néi dung:
Hå QUANG VINH
Tr×nh bµy b×a:
thanh long
ChÕ b¶n:
MAI ANH
T¹p chÝ To¸n häc vµ Tuæi trÎ - Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc ViÖt Nam
gi÷ quyÒn c«ng bè t¸c phÈm.
BμI TËP to¸n KINH TÕ 1
M· sè: 7L001k0
In 1610 b¶n, khæ 17 ô 24 cm (Q§: /Q§-GD ngμy th¸ng 9 n¨m 2020)
In t¹i XÝ nghiÖp b¶n ®å 1 - Chi nh¸nh C«ng ty TNHH MTV Tr¾c ®Þa B¶n ®å. §Þa chØ:
§êng §μm Quang Trung - Tæ 17 phêng Phóc §ång - Q. Long Biªn - TP. Hμ Néi
Sè xuÊt b¶n: 2728 - 2020/CXBIPH/1 - 1447/GD
ISBN: 978-604-0-23151-2
In xong vμ nép lu chiÓu th¸ng 9 n¨m 2020.
| 1/96

Preview text:

TS. LÊ TÀI THU (Chă biên)
ThS. HOÀNG THÞ THU HÀ - ThS. ĐÀM THÞ NGàC VÂN Bμi tËp to¸n KINH TÕ 1
(Tái bn ln th hai)
Nhμ xuÊt b¶n gi¸o dôc viÖt nam 2 êi nãi ®Çu
Toán kinh tế 1 là môn học bắt buộc dành cho sinh viên các hệ cao đẳng, đ¿i học
của chuyên ngành kinh tế. Để giúp sinh viên có thể tự học tốt môn học, củng cố các kiến
thức được giÁng d¿y trên lớp, dùng để ôn thi hết học phÁn, Bộ môn Toán, Học viện Ngân
hàng đã tổ chức biên so¿n cuốn Bài tập Toán kinh tế 1.
Kết c¿u của cuốn sách tương ứng với nội dung của giáo trình lý thuyết. Trong mỗi
chương được chia ra làm ba phÁn, phÁn 1 tóm tắt lý thuyết chính của chư n ơ g, phÁn 2 giới
thiệu các d¿ng bài tập và hướng dẫn cách làm, phÁn 3 là bài tập có kèm theo hướng dẫn và
đáp án. Mỗi chương đều giới thiệu một số ứng dụng trong các bài toán phân tích kinh tế
phù hợp với kiến thức được trang bị về kinh tế của sinh viên năm thứ nh¿t.
Nội dung cuốn bài tập này gồm 4 chương:
Chương 1. Hàm số một biến số
Chương 2. Hàm số nhiều biến số
Chương 3. Mô hình toán kinh tế
Chương 4. Bài toán quy ho¿ch tuyến tính
Hy vọng cuốn sách bài tập này sẽ giúp các b¿n sinh viên tự học tốt và nắm được
các kiến thức cơ bÁn của môn học. Nắm được các ứng dụng của Toán học trong kinh tế,
các ứng dụng này sẽ giúp các b¿n sinh viên học tốt hơn á các môn kinh tế và các môn chuyên ngành sau này.
Trong lÁn tái bÁn này, chúng tôi có bổ sung và chỉnh sửa một số chỗ để sách được
đÁy đủ và chính xác hơn, r¿t mong nhận được các ý kiến đóng góp quý báu từ b¿n đọc và các đồng nghiệp đ
ể lÁn xu¿t bÁn sau được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về:
Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng.
Đin thoi: 04.38522969
Email: letaithubmt@gmail.com
Trân trng cám ơn !
Hà ni, tháng 8 năm 2020 CÁC TÁC GIÀ 3 Ch¬ng 1 Hμm sè mét biÕn sè
A. TÓM TÄT LÝ THUY¾T
1.1. DÃY Sà VÀ GIàI H¾N CĂA DÃY Sà
1.1.1. Cp sá cßng và cp sá nhân
a) Cp s cng
C¿p số cộng với công sai d là dãy số{x } thỏa mãn: *
x ý x d, n
 þ  \{1}. n n n1
x ý x  (n 1)d. n 1 n
S ý x x   x ý
x nd n ... n 2 ( 1) . 1 2  1  2
b) Cp s nhân
C¿p số nhân với công bội q là dãy số {x } thỏa mãn: *
x ý x .q, n
 þ  \{1}. n n n1 n 1 x x .q  ý . n 1 x (1 nq ) 1
S ý x x ... x ý
(q 1). n 1 2 n 1 q
C¿p số nhân lùi vô h¿n nếu công bội q thỏa mãn | q |ü1. Khi đó  x1 S ý
x ý x x ... x  ... ý . õ n 1 2 n ý q n 1 1
1.1.2. Ąng dāng dãy sá trong phân tích tài chính
a
) Lãi đơn
Gửi A đồng vào Ngân hàng trong n kỳ với lãi su¿t mỗi kỳ là r. Sau mỗi kỳ lãi
được rút ra chỉ để li gc cho k sau, ta gọi là lãi đơn.
- Sau kỳ đÁu, tiền lãi là: rA và tổng giá trị là: u ý A rA ý(1 r) . A 1
- Sau 2 kỳ, tổng giá trị là: u ý A  2rA ý (1 2r) . A 2
- Sau n kỳ, tổng giá trị là: u ý A nrA ý (1 nr) . A n
Dãy số {u }là c¿p số cộng với công sai d ý r . A n
b) Lãi gp (lãi kép)
Gửi A đồng vào Ngân hàng trong n kỳ với lãi su¿t mỗi kỳ là r. Sau mỗi kỳ lãi
được nhp vào gc để tính lãi cho k sau, ta gọi là lãi gộp (lãi kép). 4
- Sau kỳ đÁu, tổng giá trị là: u ý A rA ý ( A 1 r). 1
- Sau 2 kỳ, tổng giá trị là: 2 u ý ( A 1 r)  (
A 1 r)r ý ( A 1 r) . 2
- Sau n kỳ, tổng giá trị là: u ý (
A 1  r)n. n
Dãy số {u } là c¿p số nhân với công bội q ý1  . r n
c) Giá tr hin ti và giá tr tương lai ca tin t
Gửi A đồng vào ngân hàng với lãi gộp r một năm thì giá tr tương lai của khoÁn A
đồng hôm nay sau t năm là: ý (1 )t B A r .
Giá tr hin ti của khoÁn B đồng sẽ nhận được sau t năm: (1 ) t A B r  ý  .
Giá tr hin ti ròng của một dự án là hiệu của giá trị hiện t¿i của khoÁn tiền sẽ thu
về trong tương lai và chi phí dự án: ý (1  )t NPV B rC
C là khoÁn chi phí hiện t¿i cho dự án.
B là khoÁn do dự án đem l¿i sau t năm.
r là lãi su¿tnăm.
d) Lãi gp liên tc r
Nếu lãi su¿t một năm là r và mỗi năm chia ra thành n kì thì lãi của mỗi kì là . n
Nếu vốn đÁu tư ban đÁu là V0 thì giá trị nhận được sau t năm (theo cách tính lãi nt gộp) là: ö r ö
V (n,t V 1 . 0 ÷ n ÷ ø ø
Nếu lãi được tính gộp liên tục, nghĩa là thßi gian của kì tính lãi là r¿t nhỏ, không xác đ n
ị h được, do đó số kì tính lãi n tăng lên vô h¿n (n   )  thì
V (t ) ý lim V (n ,t ) rt ý V 0e . n 
1.2. GIàI H¾N CĂA HÀM Sà
Định lý (Các phép toán v gii hn) Nếu lim f ( )
x ý l þ , lim g (x ) ýl þ thì 1 ñ 2 ñ xx 0 x x  0 i) lim  f ( ) x g( )
x  ý l l . 1 2 x 0 x
ii) lim  f (x).g(x) ý l .l . 1 2 x 0x f (x) l iii) 1 lim ý (l  0). 2
xx0 g (x) l2 5
Định lý (Gii hn kp)
Nếu tồn t¿i ô þ 0 sao cho f ( )
x ó g(x) ó ( h )
x với mọi x þ (a,b) : 0 ü | x  |
x ü ô và lim f ( ) x ý lim ( h )
x ý l thì lim g( ) x ý l . 0 x 0 x x 0 x x 0 x
Mt s gii hn cơ bn sin x 1 1) lim ý 1.
2) lim(1 x)x ýe. x 0 x x 0 
H qu tan x 1) lim ý 1. x 0 x log (1 x) ln(1 x) 2) lim a
ý log e (0 ü a  1), lim ý 1. a x 0 x 0 x x x a 1 x e 1 3) lim ý ln , a lim ý 1. x 0 x 0 x x (1 ) x ñ 1 4) lim ý ñ (ñ þñ). x 0 x
1.3. HÀM Sà LIÊN TĀC
Các tính cht c¢ bÁn căa hàm sá liên tāc trên mßt đo¿n
Định lý (Bolzano – Cauchy)
Nếu hàm số f (x) liên tục trên đo¿n [a,b] và L þ ñ nằm giữa f (a ) và f (b) thì tồn t¿i c þ ( , a )
b sao cho f( )c ý L.
H qu. Nếu hàm số f (x) liên tục trên đo¿n [ ,ab] và f( ) a . f ( ) b ü0 thì tồn t¿i
c þ (a,b) sao cho f (c) ý 0.
Định lý (Weierstrass)
Hàm số f (x) liên tục trên đo¿n [ ,ab] thì
i) f (x) bị chặn trên [ ,ab] ;
ii) f (x) đ¿t được giá trị lớn nh¿t và giá trị nhỏ nh¿t trên [a,b] .
Định lý (S tn ti hàm s ngược liên tc)
Nếu hàm số y ý f (x) xác định, liên tục và đơn điệu tăng (giÁm) trên (a,b) thì
i) Miền giá trị của hàm số y ý f (x) là một đo¿n (c,d) nào đó.
ii) Hàm số y ý f (x)  có hàm số ngược 1
x ý f (y). iii) Hàm số ngược 1 x f  ý
( y) liên tục, đơn điệu tăng (giÁm) trên đo¿n (c,d) . 6 1.4. Đ¾O HÀM
1.4.1. Khái nißm đ¿o hàm
Hàm số y ý f (x) xác định trên khoÁng (a, b) và x þ ( ,a ) b . 0 y
f ( x  x)  f ( x ) 0 0 f ( ò x ) ý lim ý lim 0 x   0 x   0 x x   y ö  y ö f ( òx ) ý lim f (x ò ) ý lim 0 ÷ 0 ÷    x 0   x 0 x ø x ø
trong đó x ý x x , y
 ý f (x)  f (x ) và các giới h¿n là hữu h¿n. 0 0
Chú ý. Hàm số y ý f ( )
x có đ¿o hàm t¿i x0 khi và chỉ khi hàm số có đ¿o hàm bên
phÁi, đ¿o hàm bên trái t¿i x f (x ) ý f (x ò ò ). 0 0 0
BÁng đ¿o hàm căa các hàm s¢ cp c¢ bÁn 1) (c)ò 0
ý ( c là hằng số) 2) ø ñ ùò ñ1 x ñ ý x 1 1 3) ø x ùò x ý ln , ø x ùò x a a a e ý e 4) (log x)òý ,(lnx ) òý a x ln a x 5) (sinx )ò c ý os x
6) (cosx)òý  sin x 1 1 7) (tan x)ò ý 8) (cot x)ò ý  2 cos x 2 sin x 9) 1 1 (arcsin x)ò ý 10) (arccos ) x ò ý  2 1 x  2 1 x 1 1 11) (arctan x)ò ý
12) (arc cot x)ò ý  2 1 x 2 1 x
1.4.2. Ý nghĩa kinh t¿ căa đ¿o hàm y
f ( x x
 )  f ( x ) Vớix đủ nhỏ: 0 0 f (x ò )  ý , do đó 0 xx y
 ý f (x x
 )  f (x )  f ( ò x ) . x 0 0 0
Trong kinh tế:
Nếu x ý1 thì y ý f (x  1) f (x )  f ( ò x ). 0 0 0
f x ) biểu diễn x¿p xỉ lượng thay đổi giá trị t¿i điểmx của biến phụ thuộc y khi 0 0
biến độc lập x tăng thêm 1 đơn vị.
f x ) được gọi là giá trị y - c
n biên của x t¿i điểm x . 0 0 7
1.5. VI PHÂN CĂA HÀM Sà
1.5.1. Khái ni
ßm vi phân và liên hß vái đ¿o hàm
Hàm số y ý f (x) xác định trên ( ,ab) và liên tục t¿i x þ (a,b) được gọi là khÁ vi 0 t¿i x
y ý A x o x
0 nếu tồn t¿i A sao cho . ( ). Biểu thức .
Ax được gọi là vi phân của hàm số y ý f (x) t¿i điểm x , kí hiệu df (x ). 0 0
Liên h vi đạo hàm
Định lý. Hàm số y ý f (x) khÁ vi t¿i x khi và chỉ khi nó có đ¿o hàm t¿i x . Khi đó 0 0
dy ý f x )d . x 0
1.5.2. Đ¿o hàm và vi phân cp cao
a) Đạo hàm cp cao
GiÁ sử yòý f (x
ò ) có đ¿o hàm, đ¿o hàm của đ¿o hàm c¿p 1 của hàm
số y ý f (x) được gọi là đ¿o hàm c¿p 2 của hàm số đó, kí hiệu f ( ò x) , hoặc (2) f (x ).
Tương tự, đ¿o hàm của đ¿o hàm c¿p n – 1 của hàm số y ý f (x) được gọi là đ¿o
hàm c¿p n của hàm số đó, kí hiệu ( )n f ( x) .
b) Vi phân cp cao
Vi phân c¿p 2 của hàm số y ý f (x) là vi phân của vi phân c¿p 1 của hàm số đó, kí hiệu 2 d y.
Tương tự, vi phân c¿p n của hàm số y ý f (x) là vi phân của vi phân c¿p n – 1 của
hàm số đó, kí hiệu n
d y . Nếu x là biến độc lập: n ( n) ý ( )( )n d y f x dx .
Chú ý. Biểu thức vi phân c¿p cao không có tính ch¿t b¿t biến như biểu thức vi phân c¿p 1.
1.6. CÁC ĐÞNH LÍ C¡ BÀN VÀ HÀM Sà KHÀ VI
1.6.1. Đßnh lý (Fermat)
Nếu hàm số y ý f (x) đ¿t cực trị t¿i x0 mà t¿i đó hàm số có đ¿o hàm thì f x ) 0 ý . 0
1.6.2. Đßnh lý (Lagrange)
Nếu hàm số f ( x) liên tục trên [a, b] và khÁ vi trên khoÁng (a, b) thì tồn t¿i
c þ (a,b) sao cho: f( )b f( )a ý f (ò )c( b )a. 8
1.7. MÞT Sà ĄNG DĀNG CĂA Đ¾O HÀM
1.7.1. Tìm gi
ái h¿n d¿ng vô đßnh
Định lý (L’Hospital)
GiÁ sử các hàm số f (x) và g(x) khÁ vi trong khoÁng (a, b), g x)  0và thỏa mãn: f ( ) x 0  i) lim có d¿ng , hoặc x 0x g ( ) x 0  f ( ò ) x ii) lim l
ý (l hữu h¿n hoặc vô h¿n). x 0 x g ( òx) f (x) Khi đó lim ý l.
xx0 g( ) x
Chú ý. Quy tắc trên vẫn đúng khi thay quá trình x x , bái x   , x   , 0 x x  , x x  . 0 0
1.7.2. Ąng dāng căa đ¿o hàm trong phân tích kinh t¿
a
) Giá tr cn biên
Sn phm cn biên: Mô hình hàm sÁn xu¿t Q ý f (L) MPP ý f ( ò )
L : SÁn phẩm hiện vật cận biên của lao động t¿i L. L
Ý nghĩa: T¿i mỗi điểm L, MPP cho biết x¿p xỉ lượng sÁn phẩm hiện vật gia tăng L
khi sử dụng thêm 1 đơn vị lao đ n ộ g.
Doanh thu cn biên: Mô hình hàm doanh thu TR ý TR(Q) MR ý TR ( ) Q ò
: Doanh thu cận biên t¿i Q.
Ý nghĩa: T¿i mức sÁn lượng Q, M R cho biết x¿p xỉ lượng doanh thu tăng thêm khi
sÁn xu¿t thêm 1 đơn vị sÁn phẩm.
Chi phí cn biên: Mô hình hàm chi phí TC ý TC(Q) MC ý TC ( ò )
Q : Chi phí cận biên t¿i Q.
Ý nghĩa: T¿i mức sÁn lượng Q, MC cho biết x¿p xỉ lượng chi phí tăng thêm khi
sÁn xu¿t thêm 1 đơn vị sÁn phẩm.
Xu hướng tiêu dùng cn biên: Mô hình hàm tiêu dùng C ý C(Y ). 
MPC ý C (Y
ò ) : Xu hướng tiêu dùng cận biên t¿i Y.
Ý nghĩa: T¿i mức thu nhập Y, MPC cho biết x¿p xỉ lượng tiêu dùng gia tăng khi ta
có thêm 1 đơn vị thu nhập. 9
Xu hướng tiết kim cn biên: Mô hình hàm tiết kiệm S ý S(Y )
MPS ý S (Y
ò ): Xu hướng tiết kiệm cận biên t¿i Y.
Ý nghĩa: T¿i mức thu nhập Y, MPS cho biết x¿p xỉ lượng tiết kiệm gia tăng khi ta
có thêm 1 đơn vị thu nhập.
b) H s co giãn
Hệ số co giãn của y ý f (x) t¿i điểm xyy % yy y õ  ý ý ý . x . x % xx   x y x
Khi x  0 ta có công thức tính hệ số co giãn của y t¿i điểm xy õ ý . x yò . x y
Ý nghĩa: T¿i điểm x, nếu x thay đổi 1% thì y thay đổi x¿p xỉ y õ % . y õ þ 0 ( y õ ü 0) x x x
phÁn ánh sự thay đổi của yx cùng chiều (ngược chiều).
H s co giãn ca cu, cung theo giá
Mô hình hàm cÁu Q ý ( D ) p ,
số co giãn của c u theo giá t¿i p d hệ Á Qp p D d õ ý .  D ( òp). ü 0. p pQ D(p ) d
Mô hình hàm cung Q ý S( p),
số co giãn của cung theo giá t i ps hệ ¿ Qp p S s õ ý .  S p). þ 0. pp Q S( ) p s
H s co giãn ca cu theo thu nhp
Mô hình hàm cÁu Q ý D(I), hệ số co giãn của cÁu theo thu nhập t¿i Id QI I D d õ ý .  D I). þ 0. I IQ D(I ) d
H s co giãn ca cu theo giá hàng hóa khác Qp p D d õ ý  Dò p þ p . y ( y). y 0. yy p d Q D( y p )
1.7.3. Quan hß giÿa hàm bình quân và hàm cÃn biên
a
) Hàm bình quân và hàm cn biên
Xét mô hình hàm số y ý f (x). f (x)
Hàm bình quân t¿i điểm xAf ý . x 10
Hàm giá trị y – cận biên là Mf ý f ( òx).
b) Mi quan h gia hàm bình quân và hàm cn biên
à đây, xét f ( )
x TC(Q) và TR(Q). f ( ) x ò f x)  ö f (x) ö f (x ò )x f  (x) Mf Af  ( ò ) x Af x ý ý ý ý . ÷ ÷ 2 ø x ø x x x Với x > 0 ta có:
 Nếu Mf > Af thì Af ( ò x) 0 þ  Af tăng;
 Nếu Mf < Af thì Af ( ò x) 0 ü  Af giÁm;
 Nếu Mf = Af thì Af ( ò x) 0
ý , do đó Af đ¿t cực trị t¿i điểm mà Mf = Af.
Định lý. GiÁ sử doanh nghiệp có hàm tổng chi phí TC(Q) và hàm tổng doanh
thuTR(Q) . Khi đó:
÷ Điều kiện cÁn để tổng lợi nhuận đ¿t cực đ¿i là: MC ý MR.
÷ Điều kiện đủ để tổng lợi nhuận đ¿t cực đ¿i là: òü ò.ò TR TC B. CÁC VÍ DĀ x 3
Ví dā 1.1. Tìm miền xác định của hàm số y ý arccos  lg(4  x). 2
Gii. Hàm số xác định khi và chỉ khi ü x  3 ÿ 1  ó ó 1 ü2 ó x  3 ó 2 1 ü ó x ó 5 ý 2 ý ý 1  ó x ü4. xü 4 xü 4 ÿ 4 x þ0 þ þ þ
Vậy miền xác định của hàm số là D ý [1, 4). 2
Ví dā 1.2. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số y ý . 2 x 1
Gii. MXĐ: D ý \ ñ { 1}. 2 2 2 Ta có: y  0 và 2 2 y ý  x 1 ý  x ý 1. 2 x 1  y y 2 2  y Vì 2 x ó 0, x  nên  1ó 0 
ó 0  y þ ( ; 2] (0; ). y y
Vậy miền giá trị của hàm số là: ( ;2] (0;). 11 1 Ví d x
ā 1.3. Tìm hàm số ngược của hàm số: y ý , x  1  . 1  x
Gii. MXĐ: D ý \ ñ { 1}. 1 x 2 MGT: \ ñ { 1}, vì y ý  y ý 1  y  1. 1 x 1 x 1  x 1 y Ta có: y ý
y(1 x) ý 1 x  (
x y 1) ý1  y x ý . 1 x y 1 1 x
Vậy hàm số có hàm ngược là y ý
với MXĐ: D ý ñ\{ 1} ñ  1 x và MGT: \{ 1}.
Ví dā 1.4. Một công ty b¿t động sÁn có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê
mỗi căn hộ với giá 2000000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có ngưßi thuê và
cứ mỗi lÁn tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100000 đồng một tháng thì có thêm 2 căn
hộ bị bỏ trống. Thiết lập hàm số để tính số tiền công ty thu được mỗi tháng khi
tăng giá cho thuê mỗi căn hộ x đồng/tháng.
Gii. Số tiền thuê một căn hộ một tháng khi tăng giá là: 2000000 + x.
Mỗi lÁn tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100000 đồng một tháng thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống. 2x
Khi tăng giá x đồng thì có căn hộ bỏ trống. 100000 ö 2x ö
Số tiền công ty thu được hàng tháng là: y ý(2000000  ) x 50  . ÷ 100000 ÷ ø ø
Ví dā 1.5. GiÁ sử một ngưßi gửi tiết kiệm 600 USD sau 3 năm thu được 720 USD
với lãi gộp định kỳ 6 tháng là r. Tính r.
Gii. Số kỳ là: 2.3 = 6 (kỳ). Ta có: 6 6
720 ý 600(1 r)  (1 r) ý 1, 2 6
 1 r ý 1, 2  r  0,031ý 3,1%.
Vậy lãi gộp 6 tháng là: r ý 3,1% /6 tháng.
Ví dā 1.6. Một dự án đòi hỏi vốn đÁu tư ban đÁu là 2 tỷ đồng, và sẽ đem l¿i 3 tỷ
đồng sau 5 năm. Trong điều kiện lãi su¿t ngân hàng là 9%/năm có nên đÁu tư vào dự án hay không?
Gii. 5
NPV ý 3(1  0, 09)  2  0  ,05 ü 0.
Vậy không nên thực hiện dự án. 12
Ví dā 1.7. Một dự án đòi hỏi đÁu tư ban đÁu 1 tỷ đồng và sau 1 năm sẽ đem l¿i
cho b¿n 250 triệu đồng liên tiếp trong 5 năm. Trong điều kiện lãi su¿t ngân hàng
10%/năm, có nên thực hiện dự án hay không ?
Gii. Giá trị hiện t¿i của toàn bộ luồng tiền thu nhập là: 250 250 250 250 250 PV ý      947,70 ü1000.
1  0,1 ø10,1ù2 ø10,1ù3 ø1 0,1ù4 ø1 0,1ù5
Vậy không nên thực hiện dự án.
ln(1  x) ln(1  ) x
Ví dā 1.8. Xác định f (0) để hàm số f (x ) ý
liên tục t¿i x ý 0 . x
Gii
ln(1 x)  ln(1 x) ln(1  ) x ln(1  x) lim f ( ) x ý lim ý lim  lim ý11ý 2. x 0  x 0  x x 0  x 0 x  x
Để hàm số f (x) liên tục t¿i x ý 0 thì lim f ( )
x ý f (0)  f (0) ý 2. x0
Vậy f (0) ý 2 thì f (x) liên tục t¿i x ý 0 .
Ví dā 1.9. Xét tính liên tục của hàm số sau trên miền xác định ü1 2
ÿ sin x khi x  0
f (x) ý ýx . 1 ÿ khi x ý 0 þ Gii MXĐ: D ý . ñ 1
Với mọi x  0, hàm số 2 f ( )
x ý sin x là hàm sơ c¿p nên liên tục. x Xét t¿i x ý 0 : 1 2 ö ö 2 sin x lim f ( )
x ý lim sin x ý lim .x ý 1.0 ý 0 ÷ ÷ 1 ý f (0). x 0  x 0  x 2 x0 x ø ø
Do đó hàm số không liên tục t¿i x ý 0 .
Vậy hàm số liên tục trên \ ñ {0} .
Ví dā 1.10. Cho mô hình thị trưßng có hàm cung 2
Q ý 0,1p  5p  10 và hàm cÁu S 50 Q p
Chứng tỏ rằng mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoÁng (3, 5). D ý (  2). p  2 Gii
Giá cân bằng là nghiệm của phương trình: 13 2 50
Q ý Q  0,1p  5 p 10 ý S D p  2 3 2 2
 0,1p  0, 2 p  5 p 10 p 10 p  20 ý 50 3 2
 0,1p  4,8 p  70 ý 0. Đặt 3 2
f ( p) ý 0,1p  4,8 p  70, suy ra 241 125 f (3) ý  ; f (5) ý . 10 2
f (3). f (5) ü 0 và f ( p) liên tục trên [3, 5] nên tồn t¿i p þ (3,5) sao cho f ( p) ý 0.
Vậy mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoÁng (3, 5).
Ví dā 1.11. Tính đ¿o hàm của hàm số t¿i x = 0 1 ü  cos4x ÿ khi x  0 f (x) ý ý x . 0 ÿ khi x ý 0 þ 1 cos4x 2
f (x) f (0) 1 cos4x 2sin 2x
Gii. (0) ò lim ý lim x f ý lim ý lim ý 8. ý 2 2 x 0  x 0  x 0  x 0 x  0 x xx
Ví dā 1.12. Tính đ¿o hàm của hàm số sau: a) sin ( ) x f x ý x (x þ 0) x x b) f ( )
x ý x .3 (x þ 0).
Gi
i a) sinx sin ( ) ý ln ( ) ý ln( x f x x f x x ) ýsin xln . x f ò x x
L¿y đ¿o hàm 2 vế ta được:  f x ò ø x xù ( ) sin ln ( ) sin ln ò ý  ý cos xln x f (x) x ö sinx ö ö sinx ö sin  f (x
ò ) ý cosx ln x
f (x) ý cos x ln x x x . ÷ x ÷ ÷ x ÷ ø ø ø ø b) ( ) x
ý .3x ln ( ) ýln ø x.3x f x x f x x
ù ý lxn x lxn3. f òx
L¿y đ¿o hàm 2 vế ta được:  f x òý øx x x ùò ( ) ln ( ) ln ln3  ý ln x 1 ln3 f ( ) x  ( ò ) ýøln 1ln ù 3
( ) ý øln 1ln3ù x.3x f x x f x x x . 14
Ví d
ā 1.13. Tìm các giới h¿n sau: tan x x 1 cos 4x a) lim b) lim .
x 0 x  sin x 2 x 0  x
Gii 1  ( ) L 1 2 tan x x (tan x  ) x ò cos a) lim ý lim ý lim x x 0  x 0  x 0 x sin x (x  sin x)ò  1 cosx 2 1  cos x 1  cos x ý lim ý lim ý 2. 2 2 x 0  x 0
(1 cos x) cos x  cos x ( L) ( L) 1 cos 4x (1 cos 4 ) x ò 4sin 4x (4sin 4 ) x ò 16cos 4x b) lim ý lim ý lim ý lim ý lim ý 8. 2 2 x 0  x 0  x 0 ò  x 0  x 0 x ( x ) 2 x (2 ) x ò  2
Ví dā 1.14. Tìm các giới h¿n sau: 1 a) lim sin x x 1
b) lim(2 x) x x 0  x 1 
Gii
a) ln sinx x ý x lnsin x cos x (L) lnsin x (lnsin x)ò sin x x
lim(x lnsin x) ý lim ý lim ý lim ý  lim x cos x ý 0. x 0 x 0 1 x 0 ò x 0 1 x 0      sin ö1 x ö  2 x ÷ ÷ x ø xø x 0
 lim sin x ý e ý1. x 0   1 ln(2x ) 1
b) ln(2 x) x ý 1x 1 1 (L ) ln(2 x ) [ ln(2 x )]ò  1 2 x 1 lim ý lim ý lim ý lim
ý 1 lim(2 x)  x ý e. x 1  x 1    ò x 1  x 1  x 1 1 x (1 ) x 1  2  x
Ví dā 1.15. Cho hàm sÁn xu¿t của một doanh nghiệp: Q ý 3 L.
Tính sÁn phẩm cận biên của lao động t¿i mức sử dụng lao động là 100.
Gii. SÁn phẩm cận biên của lao động t¿i điểm L = 100 là 3 3 MP ý ò L P 1 ý 00 Q ý ý ý L 1 ý 00 L 1 ý 00 0,15. 2 L 2 100 15
Ví dā 1.16. Cho hàm tổng chi phí: 2
TC ý 3Q  20Q 10.
a) Tính hàm chi phí cận biên.
b) T¿i điểm Q0 = 30, khi Q tăng thêm một đơn vị chi phí sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị?
Gii
a) Hàm chi phí cận biên: MC ý TCòý 6Q  20
b) MC(30) = 6.30 + 20 = 200.
T¿i điểm Q0 = 30, khi Q tăng thêm một đơn vị chi phí sẽ tăng thêm 200 đơn vị.
Ví dā 1.17. Cho hàm cÁu: 2
Q ý100  2 p p . D
T¿i mức giá p = 5 khi giá tăng lên
1% thì lượng cÁu thay đổi một lượng x¿p xỉ bao nhiêu? Gii
Hệ số co giãn của cÁu theo giá là: p p p p p Q ( 2 2 ) 2(1 ) õ    ý Qò ý ý  p . . 2 2
Q 100 2 p p 100 2 p p
Hệ số co giãn của cÁu theo giá t¿i mức giá p = 5 là:  Q 2(1 5)5 õ ý   0,923. 10 2 100  2.5  5
Vậy t¿i mức giá p = 5 nếu giá tăng 1% thì cÁu về hàng hóa này giÁm x¿p xỉ 0,923%.
Ví dā 1.18. Nếu hàm cung có d¿ng bậc nh¿t Q ý a bp (b þ 0) thì hệ số co giãn p p bp
t¿i điểm p là: Q õ ý Q .ò ý . b ý . p Q a bp a bp
Ví dā 1.19. Một doanh nghiệp có hàm doanh thu: 2
TR ý 5Q 1700Q  50.
a) Tìm hàm doanh thu cận biên và doanh thu trung bình.
b) GiÁ sử hàm chi phí của doanh nghiệp là: 3 2
TC ý Q  20Q 100Q 100. Xác
định mức sÁn lượng tối ưu.
Gii
a) Hàm doanh thu cận biên: MR ý10Q 1700. 50
Hàm doanh thu trung bình: AR ý 5Q  1700 . Q
b) Hàm lợi nhuận của nhà sÁn xu¿t: 2 3 2
ð ý TR TC ý 5Q  1700Q  50 (Q  20Q 100Q 100) 3 2 ý Q
15Q 1800Q  50. 16
Điều kiện cÁn để ð đ¿t cực đ¿i là: ùQ ý 20 2 1 ðò ý 3  Q 3  0Q 1  800 ý0  Q ú ý30 û 2 Q2 = 30 (lo¿i). Xét t¿i Q1 = 20.
Điều kiện đủ để ð đ¿t cực đ¿i là Ta có: ð òò ý 6Q  3 0 . ð ( ò 2 ò 0) ý 6.  20 3 0 ý 150 0 ü .
Do Q = 20 là điểm cực đ¿i duy nh¿t, nên giá trị cực đ¿i là giá trị lớn nh¿t.
Vậy mức sÁn lượng tối ưu của doanh nghiệp là Q = 20. C. BÀI TÂP
Bài 1.
Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm số sau: ö x ö a) 2
y ý 2  x x b) y ý arcsin ÷ln ÷ ø e ø ö 2 x ö
c) ý cot ð  arccos 2x y x d) y ý arcsin ÷ ÷ ø 1 2x ø 2 e) 2
y ý ln(1 2x ) f) x y ý cos x ð
Bài 2. Tìm hàm số ngược của các hàm số sau: x 1 2x a) y ý b) y ý x 1 x 2 1 ù ð ð c) ù
y ý sin x  cos x với xþ  , ú d) y ý 4 4 ú û û log 2 x
Bài 3. Một nhà sÁn xu¿t thiết bị phÁi chi phí 9000 USD để sÁn xu¿t 1000 lò nư n ớ g
bánh mỳ một tuÁn và 12000 USD đ
ể sÁn xu¿t 1500 lò nướng bánh mỳ một tuÁn.
a) Hãy biểu diễn chi phí như là một hàm của số lò nướng bánh được sÁn xu¿t, giÁ
sử rằng đó là hàm bậc nh¿t.
b) Hệ số góc của hàm số trên cho biết điều gì?
c) Hệ số chặn của hàm số trên cho biết điều gì? 17
Bài 4. Một đội bóng chơi trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giÁ.
Khi giá vé là 10 USD thì có 27 000 khán giÁ. Khi giá vé là 8 USD thì có 33 000
khán giÁ. Tìm hàm cÁu p ý p(x) , liên hệ giữa giá vé p với lượng khán giÁ x, giÁ sử rằng (
p x) là hàm bậc nh¿t.
Bài 5. Cho hàm lợi nhuận 3 2
ð ý Q  3Q 1320Q 10 (Q ó 0) . Tính ð(0) và giÁi thích ý nghĩa kinh tế.
Bài 6. Hàm cÁu về hàng hóa A là 0,5 Q p ý
. Thị trưßng hàng hóa A có hai D 200 hàm cung là: 0,5 Q ý 5p , 0,75 Q ý 4 p
. Lập mô hình cân bằng thị trưßng hàng hóa A. 1 S S2
Bài 7. Cho hàm cung, hàm cÁu của thị trưßng một hàng hóa: Q ý 4 p 1 , S 2 Q ý 4  p . D
a) Tìm điều kiện của p để lượng cung và cÁu đều dương;
b) Tìm giới h¿n cao nh¿t của giá mua và giới h¿n th¿p nh¿t của giá bán;
c) Tìm giá và lượng cân bằng ( p, ) Q ; d) Tìm hàm cÁu ngược.
Bài 8. Cho các số liệu sau về cung và cÁu g¿o 203 á Hà Nội: Giá (nghìn đồng/kg) 7 8 9 10 11 12 Lượng cung (t¿n/ngày) 11 13 15 17 19 21 Lượng cÁu (t¿n/ngày) 20 19 18 17 16 15
a) Viết phương trình hàm cung, hàm cÁu. Xác định giá và sÁn lượng cân bằng.
b) Nếu Chính phủ áp đặt giá là 11,5 nghìn đồng/kg thì điều gì sẽ xÁy ra?
c) Nếu Chính phủ đánh thuế 1 nghìn đồng/kg g¿o 203 bán ra thì giá và sÁn lượng
cân bằng sẽ thay đổi như thế nào?
Bài 9. Tìm tổng giá trị thu được khi đÁu tư 1000 USD trong 5 năm với lãi gộp là 8% / năm tính theo quý.
Bài 10. GiÁ sử gửi tiết kiệm 500 USD sau 3 năm thu được 588,38 USD với lãi gộp
định kì nửa năm r. Tính r.
Bài 11. Doanh thu của công ty A năm 2008 là 1 tỉ đồng. Hàng năm tăng doanh thu 1%.
Nếu l¿y năm 2008 là năm thứ 0, thì năm thứ n doanh thu của công ty là bao nhiêu?
Bài 12. Dân số Việt Nam năm 2003 là 80872000 ngưßi. Hàng năm dân số tăng 1,5%.
Đến năm 2023 dân số Việt Nam là bao nhiêu? 18
Bài 13. Một dự án đòi hỏi vốn đÁu tư ban đÁu 6000 USD và sẽ đem l¿i 10000 USD sau
5 năm. Trong điều kiện lãi su¿t tiền gửi ngân hàng là 9% một năm có nên đÁu tư
dự án đó hay không? Tính NPV của dự án đó.
Bài 14. Vào ngày 1/7/2016, Ngân hàng Nông nghiệp thông báo nhận gửi tiền USD
với lãi su¿t 3,5% / năm tính gộp liên tục. Một ngân hàng c¿nh tranh khác cũng đưa
ra kiểu tiếp thị để thu hút khách hàng như sau: tặng ngay 20 USD cho một khách
hàng mới với điều kiện gửi ít nh¿t 1000 USD với lãi su¿t 3,5%, được tính gộp theo
nửa năm. Ông A quyết định chọn một trong ba phương án sau để gửi 1000 USD vào ngày 1/7/2016:
÷ Gửi tiền vào Ngân hàng Nông nghiệp.
÷ Gửi tiền vào ngân hàng c¿nh tranh.
÷ Gửi nửa tiền vào Ngân hàng Nông nghiệp và nửa tiền vào ngân hàng c¿nh tranh.
Tổng số tiền ông A thu được vào ngày 1/7/2018 theo mỗi phương án trên như thế nào?
Bài 15. Một nhà đÁu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án:
D án 1: Chi phí hiện t¿i 2000 USD và đem l¿i 3000 USD sau 4 năm.
D án 2: Chi phí hiện t¿i 2000 USD và đem l¿i 4000 USD sau 6 năm.
D án 3: Chi phí hiện t¿i 3000 USD và đem l¿i 4800 USD sau 5 năm.
Với lãi su¿t thịnh hành là 10% một năm thì nên chọn dự án nào?
Bài 16. Ông A có 50000 USD đÁu tư trong 18 tháng. Ông ¿y có hai phương án lựa chọn:
÷ ĐÁu tư tiền vào trái phiếu với lãi su¿t 5% / năm được tính gộp theo quý.
÷ ĐÁu tư tiền tiết kiệm với lãi su¿t 4,5% / năm được tính gộp liên tục.
Ông A sẽ nhận được bao nhiêu tiền theo mỗi phương án đÁu tư sau 18 tháng? ü 1 x ÿ sin , khi x  0
Bài 17. Cho hàm số f (x) ý x ý . 1 ÿ , khi x ý 0 þ
CÁn sửa l¿i f (0) thế nào để f liên tục t¿i x ý 0?
Bài 18. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định ü 3 1 x ÿ sin , khi x  0 a) f (x) ý ý x 0 ÿ , khi x 0 ý þ 19
ü4.3x, khi x ü 0 2x  3 b) f( ) x ý ý c) f ( ) x ý 2 þ  ,x x kh ó i 0 2x 3
Bài 19. Tìm a để hàm số sau liên tục trên tập xác định 2 x ü 1  khi x ó1 ü sin x ÿ khi x 0 a) f (x) ý ý b) f (x ) ý 1 ý  cosx 2
3  ax khi x þ1 þ a ÿ þ khi x 0 ý
Bài 20. Tổng chi phí (tính bằng USD) khi sÁn xu¿t Q (trăm) bút chì cho bái hàm 2 Q số 1
TC ý 40  3Q   . 1000 Q
Giá của 100 bút chì là 7 USD. Chứng minh rằng có mức sÁn xu¿t để hòa vốn.
(Hòa vốn khi doanh thu bằng tổng chi phí) biết Q þ (1, 11).
Bài 21. Hàm cÁu về hàng hóa A là 0,5 Q 200 p ý
. Thị trưßng hàng hóa A có hai D hàm cung là 0,5 Q ý p và 0,75 Q ý p . S 4 S 5 1 2
a) Hãy lập mô hình cân bằng thị trưßng hàng hóa A;
b) Thị trưßng có tồn t¿i tr¿ng thái cân bằng không?
Bài 22. Sử dụng định nghĩa, hãy tính đ¿o hàm của hàm số: f (x) ý 2x  7 t¿i điểm x = 1.
Bài 23. Sử dụng định nghĩa, hãy tính đ¿o hàm của các hàm số sau: a) 2 1 ( ) x f x e  ý
b) f (x) ý ln(x 1)
Bài 24. Tìm đ¿o hàm của các hàm số sau: a) 2
f (x) ý ln(x x 1) b) 3 2
f (x) ý (3x  2) ü 2 1 x ÿ sin khi x  0 c) 2 ( ) 1 x f x e ý  d) f ( ) x ý ý x 0 ÿ þ khi x ý0 ü 1 x ÿ sin khi x  0
Bài 25. Chứng minh hàm số: f ( ) x ý ý x ÿ 0 khi x ý 0 þ
liên tục t¿i x = 0, nhưng không có đ¿o hàm t¿i x = 0.
Bài 26. Cho hàm chi phí: 3 2
TC ý 3Q  4Q  5Q 10.
a) Tìm hàm chi phí cận biên;
b) Tìm hàm chi phí bình quân. 20
Bài 27. Cho biết hàm cÁu đối với sÁn phẩm của nhà sÁn xu¿t độc quyền, với giá p
tính bằng USD: Q ý 500  0, 2 . p
Hãy tính MR t¿i mức sÁn lượng Q = 90 và giÁi thích ý nghĩa.
Bài 28. Cho biết hàm cÁu đ i
ố với một lo¿i hàng hóa như sau: 2
Q ý 3200  0,5 p .
a) Tính hệ số co giãn của cÁu theo giá t¿i mức giá p < 80;
b) Tính hệ số co giãn của cÁu theo giá t¿i các mức giá p = 20, p = 50 và giÁi thích ý nghĩa.
Bài 29. Cho hàm tiêu dùng: C ý 0,8Y  0, 2 Y 18.
a) Tìm hàm xu hướng tiêu dùng cận biên;
b) Tính hệ số co giãn của tiêu dùng t¿i mức thu nhập Y = 200 USD và giÁi thích ý nghĩa. 2 5Q
Bài 30. Cho hàm tổng chi phí: TC ý 5000 
( Q þ 0 : sÁn lượng). Q 3
a) Tìm hàm chi phí cận biên;
b) Tính tổng chi phí bình quân t¿i Q = 100.
Bài 31. Một doanh nghiệp độc quyền sÁn xu¿t với hàm cÁu về sÁn phẩm là
Q ý 90  p . Biết hàm tổng chi phí: 3 2
TC ý Q 10Q  30Q 1000.
a) Tìm MRMC theo Q;
b) Tìm mức sÁn lượng để lợi nhuận đ¿t cực đ¿i;
c) T¿i mức sÁn lượng Q = 10, nếu tăng sÁn lượng nên 1 đơn vị thì tổng chi phí
thay đổi như thế nào, tổng doanh thu thay đổi như thế nào? 2
Bài 32. Cho hàm sÁn xu¿t ngắn h¿n: 3 2
Q ý  L 10L , trong đó Q là sÁn lư n ợ g, L 3 là số đơn vị lao đ n ộ g sử dụng.
a) Tìm tập xác định thực tế (có tính kinh tế) của hàm trên;
b) Tìm mức sử dụng lao động đ ể t¿i đó sÁn lư n
ợ g đ¿t giá trị lớn nh¿t;
c) T¿i mức L = 5, nếu tăng L lên 1% thì sÁn lượng thay đổi như thế nào?
Bài 33. Một doanh nghiệp c¿nh tranh hoàn hÁo có hàm tổng chi phí: 3 2
TC ý Q  3Q 150 .
Doanh nghiệp phÁi ch¿p nhận giá thị trưßng p = 7200 USD trên 1 đơn vị sÁn phẩm. 21
a) Tìm mức sÁn lượng để lợi nhuận đ¿t tối đa;
b) T¿i mức sÁn lượng để lợi nhuận đ¿t tối đa đó, nếu sÁn lư n ợ g tăng 1 đ n ơ vị thì
tổng chi phí thay đổi như thế nào?
c) Khi Chính phủ đánh thuế T = 100000 USD trên toàn bộ sÁn phẩm, tìm mức sÁn
lượng để lợi nhuận đ¿t tối đa. Tìm mức lợi nhuận đó. Có kết luận gì so với câu a?
d) Khi Chính phủ đánh thuế t = 2640 USD/1 đơn vị sÁn phẩm thì doanh nghiệp
sÁn xu¿t với mức sÁn lượng bao nhiêu để tối đa hóa lợi nhuận.
Bài 34. Cho hàm cÁu và hàm tổng chi phí của một nhà sÁn xu¿t độc quyền: pý 200 Qvà 2 TC ý Q .
a) Tìm mức sÁn lượng và giá để lợi nhuận đ¿t tối đa;
b) Tìm hệ số co giãn của cÁu theo giá t¿i mức tối đa hóa lợi nhuận và nêu ý nghĩa;
c) Khi Chính phủ đánh thuế T trên toàn bộ sÁn phẩm bán ra thì sÁn lượng đ ể tối đa
hóa lợi nhuận có thay đổi không?
d) GiÁ sử Chính phủ đánh một lượng thuế t vào mỗi sÁn phẩm bán ra. Tìm mức
cung tối đa hóa lợi nhuận. SÁn lượng đó thay đổi thế nào khi t thay đổi?
Bài 35. Hãy xác định mức sÁn lư n
ợ g tối ưu của nhà sÁn xu¿t biết hàm doanh thu và hàm chi phí như sau: 1 2
TR ý 10Q 100 ; Q 3 2
TC ý Q 15Q 500Q 15. 3
Bài 36. Hãy xác định mức sÁn lượng tối ưu của nhà sÁn xu¿t biết hàm doanh thu và hàm chi phí như sau: 2
TR ý 1400Q  7Q ; 3 2
TC ý Q  4Q  80Q 120.
Bài 37. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm tổng chi phí trung bình ATC(Q) và
hàm chi phí cận biên MC(Q) biết hàm tổng chi phí: 2
TC ý Q  8Q16 (Q þ 0).
Bài 38. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm sÁn xu¿t bình quân APL và hàm sÁn
xu¿t cận biên MPL, biết hàm sÁn xu¿t ngắn h¿n: 2
Q ý 3L  60L (L þ 0). 22
D. ĐÁP Sà VÀ H¯àNG DÀN Bài 1. ù 3 ù ð ð ù a) TXĐ: [1, 2]; MGT: 0, ù ú 2 1, e ; MGT:  , 2 ú û û b)TXĐ:  ú 2 2ú û û
c) TXĐ: (,0)\{k, kþ } ð
ò ; MGT: ñ d) TXĐ: ñ ; MGT: ø0, 2 ù ö 1 1 ö e)TXĐ:  , 1 ÷ ÷; MGT: ( ,  0] f) TXĐ:[0,  )
 \   ,k k þ ; MGT: . ñ 2  ø 2 2 ø Bài 2. a) x 1 y ý , x 1 b) ý log x y , 0 ü x ü 1. 2 ø1  x ù x 1 ö ö c) arcsin x y ð ý  , x þ [0, 2] ÷ ÷ d) x y ý 2, x  0 4 ø 2 ø Bài 3.
a) Hàm số cÁn tìm là TC = ax + b 9
ü 000 ý1000.a b a ü ý6 ý  ý
TC = 6x + 3000.
12000 ý 1500.a b b ý 3000 þ þ
b) Hệ số góc 6 cho biết khi tăng 1 lò nướng bánh mì thì chi phí tăng thêm 6 USD.
c) Hệ số chặn 3000 cho biết chi phí cố định bằng 3000 USD. x
Bài 4. p(x) ý 19 . 3000 Bài 5. ð(0) ý 1
 0 cho biết chi phí cố định bằng 10.
Bài 6. Mô hình cân bằng thị trưßng hàng hóa A 0  ,5 0,5 0,75
Q ý Q  200p ý 5p  4p . D S 1
Bài 7. Hướng dn: a) ü p ü 2 ; b) Giới h¿n cao nh¿t của giá mua: 2; giới h¿n 4 1
th¿p nh¿t của giá bán: ; c) p = 1, Q = 3; d) p ý 4 Q. 4
Bài 8. a) Hàm cung: p ý 0,5Q 1,5 . Hàm cÁu: p ý 27  Q.
Giá và sÁn lượng cân bằng: p ý 10,Q ý 17.
b) Nếu Chính phủ áp đặt giá là 11,5 nghìn đồng/kg thì sẽ xu¿t hiện dư hàng
hóa vì giá đó cao hơn giá cân bằng. Để tính lượng dư thừa, ta thay p = 11,5 vào 23
hàm cung, cÁu sẽ có: lượng cung là 20 t¿n/ngày, lượng cÁu là 15,5 t¿n/ngày. Suy
ra lượng dư là 4,5 t¿n/ngày.
c) Hàm cung mới là p ý 0,5Q 1,5 1 , hàm cÁu vẫn như cũ: p ý 27  Q . 32 49
Từ đây có cân bằng mới là: p ý , Q ý . 3 3 Bài 9. 1485,95 USD. Bài 10. 2,75%.
Bài 11. TR ý (1 0,01)n (tỷ đ n ồ g). n Bài 12. 20
80872000(1 0,015) ý108922858 ngưßi.
Bài 13. Có thực hiện.
Bài 14. Gửi tiền vào Ngân hàng Nông nghiệp 2.0,035 v ý 1000e ý 1072,508USD. n 4 ö 0,035 ö
Gửi tiền vào ngân hàng c¿nh tranh v ý 1000 1  20 ý 1091,859 USD. n ÷ 2 ÷ ø ø
Gửi nửa tiền vào Ngân hàng Nông nghiệp và nửa tiền vào ngân hàng c¿nh tranh: 4 2.0,035 ö 0,035 ö v ý e   ý USD. n 500 500 1 1072,184 ÷ 2 ÷ ø ø
Bài 15. D án 1: NPV = 49; D án 2: NPV = 257,9; D án 3: NPV = 19,58.
Vậy nên thực hiện dự án 2.
Bài 16. Phương án 1 thu được số tiền 53869,16 USD.
Phương án 2 thu được số tiền 53491,513 USD.
Bài 17. f (0) ý 0.
Bài 18. a) Hàm số liên tục trên ñ ; b) Hàm số không liên tục t¿i x = 0 ; c) Hàm số không liên tục t¿i 3 x ý . 2
Bài 19. a) a = 1; b) a = 2. 2 Q
Bài 20. Mô hình cân bằng: 1 40  3Q    7Q ý 0. 1000 Q 2 Q 1 Đặt: f ( ) Q ý40 3  Q   7  , Q ü mà f (Q) 1000 liên tục Q
ta có: f (1). f (11) 0
trên [1, 11] nên tồn t¿i Q để f (Q) ý 0. Vậy có mức sÁn xu¿t để hòa vốn.
Bài 21. a) Mô hình cân bằng thị trưßng 0  ,5 0,5 0,75 200 p
ý 5 p  4 p .
b) Tồn t¿i giá cân bằng. 24 1 Bài 22. 3 1 Bài 23. a) 2 1 ( ) 2 x f x e  ò ý b) f (ò ) x ý x 1 2x 1  2 Bài 24. a) f ( ò ) x ý b) f (ò ) x ý 2 x x  1  3 3 x 2 2 x xe ü 1 1 2
ÿ x sin  cos , x  0 c) f (ò ) x ý (x 0  ) d) f ( òx) ý ý x x 2 1  xe 0 ÿ , x 0 ý þ
Bài 25. Hướng dn: 1
÷ lim f ( x) ý lim x sin ý 0. x0 x0 x
f (x)  f (0)
÷ Không tồn t¿i giới h¿n lim
bằng cách chỉ ra 2 dãy cùng có giới h¿n x 0 x 0
f (x) f (0) là 0, nhưng lim
tiến tới 2 giới h¿n khác nhau. x0 x  0 Bài 26. a) 2
MC ý 9Q  8Q  5 ; b) 2 10
AC ý 3Q  4Q  5 . Q
Bài 27. MR ý 2500 10Q ; MR(90) ý 1600. 2 Bài 28. a) p  ; b) p õ 0,133; p   õ  1  ,282. 2 3200  0,5 p 20 50 0,1
Bài 29. a) MPC ý 0,8  ; b) C õ ý 0,8926. Y Y 2 5Q 30Q
Bài 30. a) MC ý ; b) ATC ý 54,85. 2 (Q 3)
Bài 31. a) MR ý 90  2 ; Q b) Q = 10 2
MC ý 3Q  20Q  30
c) Tổng chi phí và tổng doanh thu tăng lên 70 đơn vị.
Bài 32. b) L = 10
c) T¿i mức L = 5, nếu tăng L lên 1% thì sÁn lượng tăng thêm 1,5%
Bài 33. a) Q = 50 ; b) Tăng 7200 USD. 25 c) Q =50; d) Q = 40 .
Bài 34. a) Q = 50, p = 150; b) õQ ý 3; pý150 200  t c) Không thay đổi; d) Q ý (t ü 200). 4
Bài 35. Q = 20.
Bài 36. Q = 20. Bài 37.
Q > 4 chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân tăng.
Q < 4 chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân giÁm.
Q = 4 chi phí bình quân đ¿t cực tiểu. 26 Ch¬ng 2 hμm sè nhiÒu biÕn sè
A. TÓM TÄT LÝ THUY¾T
2.1. CÁC KHÁI NI
ÞM C¡ BÀN
2.1.1. Hàm sá hai bi¿n
GiÁ sử D  (Oxy), hàm s hai biến là một quy tắc f cho tương ứng mỗi điểm
(x, yD với một số thực z duy nh¿t, ký hiệu là f ( ,x ) y .
Dmin xác định của f.
Số f (x, y) là giá tr của f t¿i điểm (x, y).
Tập hợp  f ( , x ) y | ( , x ) y þ 
D tp giá trị của f.
Các ký hiệu xy biểu thị điểm (x, y) tùy ý thuộc D là các biến độc lp.
Ký hiệu z biểu thị một số tùy ý thuộc tập giá trị là biến ph thuc.
2.1.2. Mßt sá hàm sá hai bi¿n trong kinh t¿
Hàm s
n xut: Q ý f (K, L).
Hàm li ích: U ý U (Q ,Q ). 1 2
Hàm cung, cu: hàm cung Q ý S ( p , p ) và hàm cu Q ý D p p . D i ( , ) 1 2 i S i 1 2 i
Hàm tng chi phí: TC = TC(Q); TC ý w K w L C K L . 0
Hàm tng doanh thu: TR = pQ.
Hàm tng li nhun: ð = TR TC.
2.1.3. Giái h¿n căa hàm sá hai bi¿n
Hàm số hai biến f(M) xác định trên tập D chứa các điểm gÁn điểm I bao nhiêu
cũng được. Hàm số f được gọi là có giới h¿n L (L hữu h¿n hoặc vô h¿n) khi
M(x, y) dÁn đ n
ế I(a, b) nếu với mọi dãy điểm{M D I dÁn đ n ế I, ta đều có n } \{ }
lim f (M ) ý L.
f M ý L(hoặc lim f ( , x y) ý L ). n Ký hiệu: lim ( ) M Ix ay b
2.2. PHÉP TÍNH VI PHÂN CĂA HÀM Sà HAI BI¾N
2.2.1.
Đ¿o hàm riêng
Đạo hàm riêng cp 1. GiÁ sử hàm số z ý f (x, y) xác định trong D và (a, bD. 27 f ö f a ò b ý a b ý f x ò b x ( , ) ( , ) x ( , ) öx x ý a f ö f òa b ý a b ý f a ò y y ( , ) ( , ) y ( , ) y ö y ý b
Đạo hàm riêng cp 2. 2 2 ö f ö ö f ö ö ö f ö ö f ö ö ý , ý 2 ÷ ÷ 2 x ö öxø öxø öy ö y÷ ø öy ÷ ø 2 2 ö f ö ö f ö ö ö f ö ööf ö ý , ý x y y ÷ø x ÷ ö ö ö ö ø y
ö öx öx ÷öy ÷ ø ø
hoặc kí hiệu tương ứng là f ,
ò f fò , fòò . òò 2 2 x y yx x y
Định lý (Schwarz). Nếu trong một lân cận của điểm (a, b), hàm số z ý f (x, y) có 2 2 ö f ö f 2 2 ö f ö f các đ¿o riêng , liên tục thì (a, ) b ý ( , a ) b . x ö öy y ö öx öxöy öyöx
2.2.2. Vi phân căa hàm hai bi¿n
Cho hàm số z ý z(x, y) , độ thay đổi tuyệt đối của z là:
z(a,b) ý z(a   ,
x b  y)  z( , a b) .
Định lý. Nếu hàm số z ý z(x, y) có các đ¿o hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm (a,b) thì z ö z ö  ( z , a ) b ý ( z a   , x b   ) y  ( z , a ) b ý ( , a ) b x  ( , a ) b y  ( o  , x  ) y . x ö y ö z ö z ö
Khi x và y khá gÁn 0: z(a,b) 
(a,b)x  (a,b) . y x ö y ö
Chú ý. Nếu x thay đ i
ổ x đơn vị còn y = b thì öz  ( z , a ) b ý ( z a  , x ) b  ( z , a ) b  ( , a ) b x öx
Nếu y thay đổi y đơn vị còn x = a thì öz z
 (a,b) ý z( , a b y
 )  z(a,b)  ( , a ) b y öy 28
Vi phân toàn phn. Nếu hàm số z ý f (x, y) xác định trong miền D và có các đ¿o
hàm riêng liên tục t¿i điểm (a, b) þ D thì vi phân toàn phn của z ý f (x, y) t¿i (a, b) là: z ö z ö d ( z , a ) b ý ( , a ) b x  ( , a ) b y x ö y ö
Với x, y là các biến độc lập, ta có dx = x, dy = y, vì vậy z ö z ö d ( z , a ) b ý ( , a ) b dx  ( , a ) b d . y x ö y ö
Vi phân riêng.Vi phân riêng của hàm số z ý f (x, y) theo x (theo y) ti (a,b)là: öz ö öz ö d ( z , a ) b ý ( , a ) b dx d z( , a ) b ý ( , a ) b dy . x ÷ y x ø y ÷ ö ö ø
2.2.3. Đ¿o hàm căa hàm sá hÿp
Hàm s hp vi mt biến độc lp
Hàm số f (x, y) có các đ¿o hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm (x , y ). 0 0 GiÁ
sử x ý x(t), y ý y(t) có đ¿o hàm t¿i t ý t x ý x(t ), y ý y(t ). Khi đó 0 0 0 0 0 f ö f ö  (t ò ) ý
(x , y )x (tò )
(x , y ) y (tò). 0 0 0 0 0 0 0 x ö y ö
Hàm s hp vi hai biến độc lp
Hàm số f (x, y )có các đ¿o hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm
(x , y ). GiÁ sử x ý x (t ,v), y ý y (t,v ) có các đ¿o hàm riêng c¿p 1 liên tục t¿i điểm 0 0
(t ,v ) và x ý (
x t , v ), y ý (
y t , v ).Khi đó 0 0 0 0 0 0 0 0 ö öf öx öf öy (t ,v ) ý (x , y ) (t , v )  (x , y ) (t ,v ), 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 öt öx öt öy öt  ö f ö x ö f ö y ö (t , v ) ý (x , y ) (t ,v )  (x , y ) (t ,v ). 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v ö x ö v ö y ö v ö
2.2.4. Đ¿o hàm căa hàm ¿n
GiÁ sử xy liên hệ với nhau bái f (x, y) ý 0 . Nếu với mỗi x þ U  ñ có một và
chỉ một y þ V  ñ sao cho f (x, y) ý 0,thì f (x, y) ý 0 xác định một hàm n
y
ý y(x) (từ U vào V). 29
Định lý. GiÁ sử hàm số f ( ,
x y) xác định và có các đ¿o hàm riêng liên tục trong
một lân cận của điểm (a, b), f (a,b) ý 0 và f (a
ò ,b)  0. Khi đó tồn t¿i một khoÁng y
U chứa a để hệ thức f (x, y) ý 0 xác định một hàm ẩn y ý y(x) (x þ U) sao cho f a ò b x ( , )
y(a) ý b y ( ò ) a ý  . f a ò b y( , )
2.2.5. Mßt sá ąng dāng căa đ¿o hàm riêng trong kinh t¿
a) Tính gn đúng độ thay đổi tuyt đối
Cho hàm sÁn xu¿t Q = Q(K, L) öQ MPP ý
sn phm cn biên ca vn. K K ö öQ MP ý
sn phm cn biên ca lao động. L P öL
MPPK x¿p xỉ lượng Q gia tăng khi lượng vốn K tăng thêm 1 đơn vị còn L không đổi. MPPL x¿p xỉ lư n
ợ g Q gia tăng khi lao động L tăng thêm 1 đơn vị còn K không đổi.
b) Tính gn đúng độ thay đổi tương đ i
z ý z(x, y) có các đ¿o hàm riêng liên tục t¿i (a,b),z(a,bz(a  ,xb) z( ,ab).
z (a,b) x  Khi đó và lÁn lư t
ợ được gọi là độ thay đổi tương đối của zx (tính z(a,b) a bằng %).
Hệ số co giãn của z theo x t¿i điểm (a, b) là z(a,b) x z(a,b) a z(a,b) a õ    ö a b ý ý ý x ( , ) : . . . z(a,b) a xz (a,b) x ö z (a,b)
Ý nghĩa. T¿i điểm (a, b) khi x thay đổi 1% còn y không thay đổi thì z thay đổi x¿p xỉ õ (a,b)%. x ( z , a ) b b
Tương tự, hệ số co giãn của z theo y là õ ö a b ý y ( , ) . . öy z( , a ) b
Ý nghĩa. T¿i điểm (a, b) khi y thay đổi 1% còn x không thay đổi thì z thay đổi x¿p xỉ õ ( , a ) b %. y
2.3. CĀC TRÞ CĂA HÀM Sà HAI BI¾N
2.3.1. Cāc trß tā do căa hàm sá hai bi¿n
Định lý iu kin cn ca cc trị) 30
Nếu hàm số z ý f (x, y) đ¿t cực trị t¿i điểm I(a, b) và tồn t¿i các đ¿o riêng c¿p 1 öf öf thì
øa,bù ý øa,bù ý 0. öx öy
Định lý iu kin đủ ca cc trị)
GiÁ sử hàm số z ý f (x, y) có các đ¿o hàm riêng c¿p 2 liên tục trong một lân cận
của điểm If ö ø ù fö I ý øIù ý0 . x ö y ö 2 2 ö f ö f I I 2 ø ù ø ù 2 2 2 2 x ö x ö y ö ö f ö f ö f ö f D (I ) ý ý øI ù. øI ù øI ù. øI ù. 2 2 2 2 ö f ø ù ö f ö ö ö ö ö ö I øI ù x y x y y x 2 y ö x ö y ö Khi ¿y: 2 ö f
i) Nếu D(I) > 0 và
I þ0 thì I là điểm cực tiểu; 2 ø ù x ö 2 ö f
Nếu D(I) > 0 và
I ü0 thì I là điểm cực đ¿i. 2 ø ù öx
ii) Nếu D(I) < 0 thì I không phÁi là điểm cực trị.
Chú ý. Nếu D(I) = 0 thì chưa kết luận được gì, ta phÁi khÁo sát thêm bằng phương pháp khác.
2.3.2. Cāc trßđiÁu kißn căa hàm sá hai bi¿n
Tìm cực trị của hàm số z ý f (x, y) khi x, y thỏa mãng(x, y) ýb. g( ,x ) y ýb được
gọi là điu kin ràng buc ca bài toán.
Chú ý. Nếu từ g ( ,
x y) ý b rút ra được y ý y(x) thì ta đưa về tìm cực trị của hàm số
một biến (x) ý f (x, y(x)).
Ph°¢ng pháp nhân t Lagrange
Bước 1. Lập hàm Lagrange L(x, y,) ý f ( ,
x y)  øb g( ,
x y)ù , trong đó  gọi là nhân tử Lagrange. L ü ò x y  ý x ( , , ) 0 ÿ
Bước 2. GiÁi hệ phương trình: L ò ý
x y  ý , tìm nghiệm (x, y,) ý (x , y ,  ). y ( , , ) 0 0 0 0
ÿg( ,x )y b ý þ
Bước 3. Với (x , y ,  ) là một nghiệm của hệ phương trình trên, tính định thức 0 0 0 31 0 g ( ò x , y ) g (x ò ,y ) x 0 0 y 0 0 H ý g (
ò x , y ) L ( ò x
ò , y ,  ) L (x òò, y ,  ) x 0 0 2 0 0 0 xy 0 0 0 x g (
ò x , y ) L ( ò x
ò , y ,  ) L (x òò, y ,  ) 2 y 0 0 yx 0 0 0 0 0 0 y
÷ Nếu H þ 0 , thì ( x , y ) là điểm cực đ¿i có điều kiện của hàm f (x, y) . 0 0
÷ Nếu H ü 0 , thì ( x , y ) là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm f (x , y ). 0 0
2.3.3. Tìm giá trß lán nht, giá trß nhß nht căa hàm sá hai bi¿n trên tÃp đóng
và giái nßi
Tìm min hoặc max của hàm số hai biến f ( M) liên tục trên tập đóng và giới nội D o
Bước 1. Trong D , tìm các điểm tới h¿n M ,M ,...,M của f. 1 2 n
Bước 2. Trên biên C của D, tìm các điểm N ,N ,...,N mà t¿i đó nghi ngß f đ t ¿ 1 2 m
min hoặc max trên C.
Bước 3. Tính giá trị của f t¿i các điểm đã nêu á bước 1 và 2. Ta có:
max f ý max  f (M ),..., f (M f N f N n), ( ),..., ( m) 1 1  D
min f ý min f (M ),..., f (M f N f N n), ( ),..., ( m) . 1 1  D B. CÁC VÍ DĀ
Ví dā 2.1. Một công ty sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm có hàm sÁn xu¿t 3
Q ý 5 K L với
Q, K, L được tính hàng ngày. Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi
nhuận hàng ngày của công ty theo KL, biết rằng giá sÁn phẩm là 4 USD, giá tư bÁn
là 15 USD, giá lao động là 8 USD và mỗi ngày công ty phÁi trÁ 50 USD cho chi phí khác. Gii Hàm doanh thu là: 3 3 TR ý .
p Q ý 4.5 K L ý 20 K L;
Hàm chi phí là: TC ý 15K  8L  50; Hàm lợi nhuận là: 3
ð ý TRTCý 20 K L 15K 8L 50. 1 2
Ví dā 2.2. Cho hàm sÁn xu¿t Cobb-Douglas 3 3
Q ý 6K L (K þ 0, L þ 0). Q ö öQ a) Tính và
t¿i điểm (K, L) ý (8, 27) và giÁi thích ý nghĩa; K ö L ö
b) Chứng minh rằng MPPK giÁm khi K tăng và L không đổi; 32
c) Tính các hệ số co giãn riêng của Q theo KL t¿i điểm (K, L) ý (8, 27) rồi giÁi thích ý nghĩa.
d) T¿i điểm (K, L) ý (8, 27) cho K
 ý 0,1; L ý 0, 2 là các mức biến động của vốn
và lao động. Tính d Q(8, 27), d Q(8, 27), dQ(8, 27) và giÁi thích ý nghĩa của K L chúng.
Gii 2 2 öQ 1 1  öQQ ö Q ö 8 a) 3 3 ý 2K L , 3 3 ý 4K L nên (8, 27) ý 4,5; (8, 27) ý . öK L ö K ö öL 3 Q
ö (8,27) cho biết khi L cố định bằng 27, còn K tăng từ 8 lên 9 thì Q tăng K ö x¿p xỉ 4,5; Q
ö (8,27) cho biết khi K cố đ nịh bằng 8, còn L tăng từ 27 lên 28 thì Q L ö 8 tăng x¿p xỉ . 3 2 5 2 MPP Q 4  ö ö b) Do K 3 3 ý
ý  K L ü 0 nên MPPK giÁm khi K tăng và L không đổi. 2 öK öK 3 Q ö 8 8 1 c) õ (8, 27) ý (8,27). ý 4,5. ý ; K K ö Q(8, 27) 108 3 Q 27 8 27 2 õ ö (8, 27) ý (8,27). ý . ý L L ö Q(8, 27) 3 108 3
Ý nghĩa: õ (8, 27) K
cho biết khi L cố định bằng 27, còn K tăng 1% từ 8 đến 8,08 thì Q tăng x¿p xỉ 0,33%.
cho biết khi K cố định bằng 8, còn L tăng 1% từ 27 đến 27,27 thì Q õ (8, 27) L tăng x¿p xỉ 0,67%. öQ d) d Q(8, 27) ý (8, 27) K  ý 4,5.0,1 ý 0, 45; K öK Q ö 8 1,6 d Q(8, 27) ý (8, 27) L  ý .0, 2 ý ; L L ö 3 3 öQ öQ 1,6 2,95 dQ(8, 27) ý (8, 27) K   (8, 27) L  ý 0, 45 ý . öK öL 3 3
Ý nghĩa: d Q(8, 27)
ố định bằng 27, còn K ăng từ 8 lên 8,1 thì Q ă K cho biết khi L c t t ng x¿p xỉ 0,45. 33 d Q(8, 27)
cố định bằng 8, còn L tăng từ 27 lên 27,2 thì tăng L cho biết khi K Q 1, 6 . 3 d (
Q 8, 27) cho biết khi K tăng từ 8 lên 8,1, còn L tăng từ 27 lên 27,2 thì Q tăng 2,95 x¿p xỉ . 3
Ví dā 2.3. Biết hàm lợi ích của một hộ gia đình là 2 2
U (x, y) ý 8x x  2y , trong
đó x, y tương ứng là số đơn vị hàng hóa 1 và 2.
a) Viết phương trình đưßng bàng quan đi qua điểm (1, 2);
b) Chứng minh rằng phương trình đưßng bàng quan trên xác định hàm ẩn
y = y(x) sao cho y(1) = 2. Tính y (
ò2) và giÁi thích ý nghĩa. Gii
a) Do U (1, 2) ý 15 , nên phương trình đưßng bàng quan đi qua điểm (1, 2) là 2 2
8x x  2 y 15 ý 0. b) Với hàm 2 2
f (x, y) ý 8x x  2 y 15 ta có f (
òx, y) ý 4y , nên f ( ò1, 2) 8 ý 0  . y y
Theo định lí về sự tồn t¿i của hàm ẩn, phương trình f (x, y) ý 0, xác định một hàm
ẩn y = y(x) sao cho y(1) = 2. f ò x (1, 2) 6 3 Ta có y (1 ò ) ý  ý  ý  . f (1 ò , 2) 8 4 y
y (ò2) chính là độ dốc của đưßng bàng quan t¿i điểm (1, 2). Độ dốc này âm nên t¿i
điểm (1, 2), để duy trì mức lợi ích U ý15 thì khi lượng hàng hóa 1 tăng lên thì
lượng hàng hóa 2 phÁi giÁm xuống.
Ví dā 2.4. Tìm cực trị của hàm số 4 4 2 f ( ,
x y) ý x y  ( x y) .
Gii ö ü f 3
ý4 x 2( x  ) y ý0 ÿ ÿ x ö Từ hệ phương trình ý f ö 3 ÿ 4 ý y 2  ( x  ) y 0 ý ö ÿ y þ
ta có các điểm tới h¿n là: M (1,1), M ( 1  , 1  ), M (0,0) . 1 2 3 2 ö f 2 ö f 2 2 ö f ö f 2 ý 12x  2 , 2 ý 12 y  2 , ý ý 2 2 2 x ö y ö öxöy öyöx nên 2 2
D(I ) ý 4(6x 1)(6 y 1)  4. 34 2 ö f ÷ D(M ) þ 0, (M )þ 0 ểu. Giá trị cự
ểu là f(1,1) = –2. 1 2 1 x ö
nên M1 là điểm cực ti c ti 2 ö f ÷ D(M ) þ 0, (M )þ 0 nên M 2 2 2 öx
2 là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu là f(–1,–1) = –2. ÷ D(M ) ý 0 3
nên ta phÁi xét d¿u trực tiếp 4 4 2
f (M ) ý f (x, y)  f (0,0) ý x y  (x y) . 3
Với y ý x  0 , ta có 4 f
 (M ) ý 2x þ 0 . 3
Với 0 ü x ü 1 và y = 0 ta có 2 2
f (M ) ý x (x  1) ü 0. Suy ra M 3 3 không phÁi là điểm cực trị.
Ví dā 2.5. GiÁ sử một công ty sÁn xu¿t 2 lo¿i sÁn phẩm có sÁn lượng Q , Q với 1 2
mức giá p ý 60, p ý 75 và hàm tổng chi phí là 2 2
TC(Q ,Q ) ý Q Q Q Q . Tìm 1 2 1 2 1 1 2 2
mức sÁn lượng Q ,Q để công ty đ¿t lợi nhuận tối đa. 1 2 Gii
Doanh thu của công ty là: p Q p Q ý 60Q  75Q ; 1 1 2 2 1 2
Lợi nhuận của công ty là:
ð (Q ,Q ) ý Doanh thu – Chi phí = 2 2
60Q  75Q  (Q Q Q Q ). 1 2 1 2 1 1 2 2 ü öð ý602Q Q  ý0 1 2 ÿ ÿ Q ö Từ hệ phương trình 1 ý
ta có điểm tới h¿n là (Q ,Q ) ý (15,30). öð 1 2 ÿ 7 ý 5 Q  2  Q 0 ý 1 2 ÿ Q ö þ 2 2 2 2 2 ö ð ö ð ö ð ö ð ý 2  , ý 2  , ý ý 1  . 2 2 öQ öQ öQ öQ öQ öQ 1 2 1 2 2 1 2 ö ð Do 2 2
D(15,30) ý (2)  (1) ý 3þ 0,
(15,30)ü 0 nên hàm π đ¿t cực đ¿i t¿i 2 öQ1
(15,30) . Mặt khác, hàm π có đúng một điểm cực trị trong miền xác định, nên công
ty đ¿t lợi nhuận tối đa nếu mức sÁn lượng là (Q ,Q ) ý (15,30) . 1 2
Ví dā 2.6. Một trung tâm thương m¿i có doanh thu phụ thuộc vào thßi lượng
quÁng cáo trên đài phát thanh (x phút, x > 0) và trên đài truyền hình (y phút, y > 0). Hàm doanh thu là: 2 2
TR ý 320x  2x  3xy  5y  540y  2000. 35
Chi phí cho mỗi phút quÁng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên đài truyền
hình là 4 triệu đồng. Ngân sách chi cho quÁng cáo là 180 triệu đồng. Tìm x, y để doanh thu đ¿t cực đ¿i. Gii
Số tiền chi cho quÁng cáo trên đài phát thanh là x triệu đồng.
Số tiền chi cho quÁng cáo trên đài truyền hình là y triệu đồng.
Do ngân sách chi cho quÁng cáo là 180 triệu đồng, nên x  4 y ý180 .
Vậy bài toán đã cho là tìm cực trị của hàm số 2 2
TR ý 320x  2x  3xy  5y  540y  2000
với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x  4 y ý 180 .
Cách 1. Đưa v hàm s mt biến:
Thế x ý 180 4y vào biểu thức của TR, ta có hàm 1 biến 2 2
TR ý 320(180  4 y)  2(180  4y)  3(180  4 y) y  5 y  540y  2000 2 2
ý 25y 1600 y  5200 ý 20400  (5y 160) ó 20400.
Đẳng thức xÁy ra khi và chỉ khi y = 32.
Vậy doanh thu đ¿t cực đ¿i t¿i ( , x y) ý (52,32) .
Cách 2. Dùng phương pháp nhân t Lagrange: Ta lập hàm Lagrange: 2 2 L( , x ,
y ) ý 320 x 2 x 3 xy5 y  540 y  2000  (180  x 4 ) y L ü ò x y  ý
x y  ý x( , , ) 320 4 3 0 ÿ
GiÁi hệ phương trình L ý x
ò y  ý  x y    ý y ( , , ) 3 10 540 4 0 x ÿ þ 4  y 1 ý 80
ta có nghiệm duy nh¿t là ( ,
x y, ) ý (52,32,16).
Lò(òx, y,) ý 4  , L (x ò , ò y,) ý 1
 0, L (xy
ò ,) ý L (x, yò,ò) ý 3. 2 2 xy yx x y Với g( ,
x y) ý x  4 , y ta có: g (
ò x, y) ý1, g ( ò x, y) ý 4. x y 0 1 4
T¿i (x, y, ) ý (52,32,16) , ta có H ý 1 4  3  þ 0 4 3  1  0
nên doanh thu đ¿t cực đ¿i t¿i (x, y) ý (52,32) .
Ví dā 2.7. Tìm giá trị lớn nh¿t, giá trị nhỏ nh¿t của 2 2
f (x, y ) ý x y trên miền 2 2
D : x y ó 1. 36
Gii D có biên là 2 2 C x y ý ø 2 2 : 1, g( , x )
y ý x y ù. o ü f ò 2 ý x 0 ý ÿ Trong 2 2
D : x y ü 1, giÁi hệ phương trình: x ý f òý 2  y ý 0 ÿ þ y
ta tìm được điểm tới h¿n O(0,0). Lập hàm Lagrange 2 2 2 2 ( L , x ,
y ) ý x y   (1  x y ). ñòó ñôòôó f ( , x ) y 1 g( , x ) y  üL ( ò , x , y  ) 2 ý x 2   x 0 ý x ÿ
GiÁi hệ phương trình: ýL (ò , x ,
y  ) ý 2 y  2 y ý 0, y ÿ 2 2 x y 1 ý þ ta tìm được  ý 1.
Với  ý 1, thì từ hệ trên ta có các điểm tới h¿n trên biên C là 
M 1;0 , M 1;0 . 1 ø ù 2 ø ù 
Với  ý 1, thì từ hệ trên ta có các điểm tới h¿n trên biên C
M 0;1 , M 0;1 . 3 ø ù 4 ø ù  Tính đư c
f (O) ý 0, f (M ) ý f (M ) ý 1, f (M ) ý f (M ) ý 1. 1 2 3 4 
Từ đây, ta có: max f ý max0 ; 1; 
1 ý 1, min f ý min0;1;  1 ý 1. D D C. BÀI TÂP
Bài 1.
Một công ty độc quyền sÁn xu¿t 2 lo¿i sÁn phẩm với hàm chi phí kết hợp là 2 2
TC ý 3Q  2Q Q  4Q , trong đó Q 1 1 2 2
i là lượng sÁn phẩm thứ i. Cho biết hàm cÁu
đối với sÁn phẩm 1 và 2 tương ứng là: Q ý 3205p ,Q ý1502 p . Lập hàm số D 1 D 2 1 2
biểu diễn tổng lợi nhuận của công ty theo Q ,Q . 1 2
Bài 2.
Cho hàm cung, hàm cÁu của thị trưßng 2 hàng hóa: üQ ý 2   p Q p S ü ý 2   3 ÿ ÿ 1 1 S2 2 ý ; ý Q 1 ý 8 3  p p Q 1 ý 2  p 2 ÿ þ p D ÿ 1 1 2 þ 2D 1 2
a) Để các nhà sÁn xu¿t cung ứng hàng hóa cho thị trưßng thì mức giá p , p phÁi 1 2
thỏa mãn các điều kiện nào?
b) Xác định giá và lượng cân bằng cho các hàng hóa. 37 y Bài 3. Cho hàm số 2 2
z ý arctan  ln x y . Tính (x y) zò (x y ) z ; ò z òò z .òò x x y 2 2 x y x Bài 4. Cho hàm số 2 2
z ý x arctan  x y . Chứng minh rằng 2 2
xzò yz òý z x y . y x y
Bài 5. Cho z ý (
xy) y(xy). Chứng minh rằng zò  2z òò z òý0 ò với ,   2 2 xy x y
là các hàm tùy ý có đ¿o hàm đến c¿p 2 trên . x x ü ý u v
Bài 6. Chứng minh rằng hàm số z ý arctan , á đó ý thỏa mãn hệ thức y y ý u þ v öz öz u v  ý . 2 2 öu öv u v
Bài 7. Một công ty sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm với hàm sÁn xu¿t 3 Q ý 80 K L,
với Q, K, L được tính hàng ngày.
a) Cho biết sÁn lượng khi đÁu vào là: K ý 25, L ý 1000 ;
b) Nếu giá một đơn vị tư bÁn là 12 USD, giá một đơn vị lao động là 2,5 USD và
công ty sử dụng các yếu tố đÁu vào á mức nêu trong ý a) thì công ty nên sử dụng
thêm 1 đơn vị tư bÁn hay thêm một đơn vị lao động mỗi ngày ? 5
Bài 8. Hàm cÁu của hàng hóa trên thị trưßng hai hàng hóa là 2 2
Q ý63002 p p , 1 2 3
trong đó p ,p tương ứng là giá của hàng hóa 1 và 2. Tính hệ số co giãn của Q 1 2
theo p1 và của Q theo p2 t¿i ( p , p )ý (20,30) và nêu ý nghĩa. 1 2
Bài 9. Mức cÁu Q
d của một lo¿i hàng hóa là 0,3 0,2 Q M p trong đó p là giá d ý 1, 5 ,
hàng hóa đó, M là thu nhập của ngưßi tiêu dùng. Mức cung của hàng hóa đó là 0,3 Q ý 1, 4 p . S
a) Xác định hệ số co giãn của Qd theo giá và theo thu nhập;
b) Xét tác động của thu nhập M tới mức giá cân bằng.
Bài 10. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 3 4 4 2
z ý 2x y  4x  4y ; b) 2 2  x y 2 2 z ý e (2x 3 y ) ; 50 20 c) z ý xy  
(x þ 0, y þ 0); d) 2 2
z ý xy 1  x y ; x y 2x  2 y 1  e) 2 2
z ý xy ln(x y ) ; f) z ý ; 2 2 1 x y 38
Bài 11. Tìm các hằng số a, b, c để hàm số 3 3
z ý 2x  3xy  2 y ax by c đ¿t cực
trị t¿i (1,1) và z(1,1) = 0.
Bài 12. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau:
a) z ý xy với điều kiện x y ý1;
b) z ý xy với điều kiện 2 2 2
x y ý 2a (a  0) ;
c) z ý 2x  9y với điều kiện 2 2 x 3y ý 31; x y d) 2 2
z ý x y với điều kiện  ý 1; 2 3 ð ö ð ð ö e) 2 2
z ý cos x  cos y với điều kiện y x ý ,x þ  , . 4 ÷ 2 2 ÷ ø ø
Bài 13. Tìm giá trị lớn nh¿t và bé nh¿t của các hàm số sau: a) 2 2
z ý x y trong miền  2 2 ( ,
x y) | x y ó  1 ; b) 2 2
z ý x y 12x 16y trong miền 2 2
(x, y) | x y ó 25.
Bài 14. Một công ty sÁn xu¿t hai lo¿i sÁn phẩm với giá bán ra thị trưßng là p1 = 17
USD, p2 = 21 USD. Hàm tổng chi phí theo sÁn lượng là: 2 2
TC ý 4Q  4Q Q  2Q 11Q  25Q  3 1 1 2 2 1 2
Tìm các mức sÁn lượng công ty cÁn sÁn xu¿t để lợi nhuận tối đa.
Bài 15. Một công ty độc quyền sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm á hai cơ sá với hàm chi phí tương ứng là 2 2
TC ý128  0, 2Q ; TC ý 156  0,1Q . Hàm cÁu ngược của 1 1 2 2
công ty là p ý 600 0,1(Q Q ). Xác định lư n
ợ g sÁn phẩm cÁn sÁn xu¿t á mỗi cơ 1 2
sá để tối đa hóa lợi nhuận.
Bài 16. Một công ty độc quyền sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm nhưng tiêu thụ á hai
thị trưßng với các hàm cÁu tương ứng là Q ý 24  0,2 p ; Q ý 10  0,05 p và 1 1 2 2
hàm chi phí kết hợp là TC ý 35 40(Q Q ). Xác định lượng sÁn phẩm cÁn sÁn 1 2
xu¿t á mỗi cơ sá và giá bán để thu được lợi nhuận tối đa.
Bài 17. Hãng kinh doanh độc quyền có các hàm cÁu trên hai thị trưßng là:
Q ý 40  2 p p ,Q ý 35  p p và hàm tổng chi phí là 2 2
TC ý Q 2Q 1  0 . 1 1 2 2 1 2 1 2
Tìm mức sÁn lượng cho mỗi thị trưßng đ
ể lợi nhuận tối đa. Tính mức giá khi lợi nhuận tối đa. 39
Bài 18. Một công ty độc quyền sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm t¿i hai nhà máy 1 và 2
với hàm chi phí cận biên tương ứng là MC ý 2  0, 2Q ; MC ý 6  0,04Q (Q 1 1 2 2 i
lượng sÁn phẩm á nhà máy thứ i). Công ty đó bán sÁn phẩm trên thị trưßng với
hàm cÁu ngược là p ý 66  0,1Q . Xác định lượng sÁn phẩm cÁn sÁn xu¿t á mỗi
nhà máy và giá bán để thu được lợi nhuận tối đa.
Bài 19. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng là 0,4 0,4
U (x, y) ý 5x y trong đó x, y tư n
ơ g ứng là số đơn vị hàng hóa 1 và 2 (x > 0, y > 0). Ngân sách tiêu dùng là
300 USD, giá đơn vị hàng hóa 1 và 2 lÁn lượt là 3 USD, 5 USD. Tìm gói hàng hóa
để lợi ích tiêu dùng lớn nh¿t.
Bài 20. Một doanh nghiệp có hàm sÁn xu¿t 0,3 0,5
Q ý K L . GiÁ sử giá thuê tư bÁn là
6 USD, giá thuê lao động là 2 USD và doanh nghiệp tiến hành sÁn xu¿t với ngân
sách cố định 384 USD. Doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đ n ơ vị tư bÁn và bao
nhiêu đơn vị lao động thì thu được sÁn lượng tối đa?
Bài 21. Một công ty sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm với hàm sÁn xu¿t là Q ý K (L  5)
trong đó Q, K, L tư n
ơ g ứng là sÁn lượng, vốn, lao động (Q, K, L > 0). Công ty này
nhận hợp đồng cung c¿p 5600 sÁn phẩm. Cho biết phương án sử dụng các yếu tố K
L sao cho việc sÁn xu¿t tốn ít chi phí nh¿t, trong điều kiện giá thuê tư bÁn là
w ý 70 và giá thuê lao động là w ý . L 20 K
Bài 22. Một hộ nông dân trồng đậu và cà trên diện tích 8a. Nếu trồng đậu thì cÁn
20 công và thu 3000000 đồng trên mỗi a, nếu trồng cà thì cÁn 30 công và thu
4000000 đồng trên mỗi a. Hỏi cÁn trồng mỗi lo¿i cây trên diện tích là bao nhiêu để
thu được nhiều tiền nh¿t khi tổng số công không quá 180?
Bài 23. Ngưßi ta dự định dùng hai lo¿i nguyên liệu để chiết xu¿t ít nh¿t 140 kg
ch¿t A và 9 kg ch¿t B. Từ mỗi t¿n nguyên liệu lo¿i I giá 4 triệu đồng, có thể chiết
xu¿t được 20 kg ch¿t A và 0,6 kg ch¿t B. Từ mỗi t¿n nguyên liệu lo¿i II giá 3 triệu
đồng, có thể chiết xu¿t được 10 kg ch¿t A và 1,5 kg ch¿t B. Hỏi phÁi dùng bao
nhiêu t¿n nguyên liệu mỗi lo¿i để chi phí mua nguyên liệu là ít nh¿t, biết rằng cơ
sá cung c¿p nguyên liệu chỉ có thể cung c¿p không quá 10 t¿n nguyên liệu lo¿i I
và không quá 9 t¿n nguyên liệu lo¿i II ?
D. ĐÁP Sà VÀ H¯àNG DÀN
Bài 1. Hướng dn: 2 2 Q Q Hàm doanh thu: 1 2
TR ý p Q p Q ý 64Q  75Q   ; 1 1 2 2 1 2 5 2 40 2 2 16Q 9Q Hàm lợi nhuận: 1 2
ð ý TRTC ý 64Q  75Q    2Q Q . 1 2 1 2 5 2
Bài 2. Hướng dn: üQ þ 0 a) p ÿ S 1, p2 thỏa mãn: 1 ý . Q þ ÿ 0 þ S2 üQ ý Q
b) Mô hình cân bằng là: ÿ S D 1 1 ý . Q ý ÿ þ Q 2 S 2 D
Bài 7. a) Q = 4000;
b) Nên sử dụng thêm 1 đơn vị tư bÁn.
Bài 8. õ (20,30) ý 0, 4; õ (20,30) ý 0,75. 1 p 2 p Bài 9. a) õ õ p ý 0, 2; M ý 0, 3.
b) Tính đ¿o hàm của giá cân bằng theo M . Từ đó suy ra khi thu nhập tăng
lên thì giá cân bằng cũng tăng.
Bài 10. Hướng dn:
a) Tìm cực trị của hàm số trong căn dễ hơn. Các điểm dừng (1;1), (0;1)
b) Các điểm dừng (1; 0), (0; 1), (0; 0);
c) Điểm dừng duy nh¿t (5, 2); ö 1 1 ö ö 1  1 ö d) (0; 0), ; ÷ , ;  ; 3 3 ÷ ÷ ÷ ø ø ø 3 3 ø ö 1 1 ö ö 1  1 ö e) (0; 1), (1; 0), ;  ÷ ÷ , ; ; ÷ ÷ ø 2e 2e ø ø 2e 2e ø
f) Điểm dừng duy nh¿t (2, 2).
Bài 11. a = b = 3, c = 5. ö1 1 ö
Bài 12. a) Điểm CĐ: , ÷
; b) Điểm CĐ: (a, a); (a, a); điểm CT: (a, –a); (–a, a). 2 2 ÷ ø ø
c) Điểm CĐ: (2, 3); điểm CT: (–2, –3); 1 ö 8 12 ö ð ð ö3ð 5ð d) Điểm CT: , ö; e) Điểm CĐ: , ö  ; điểm CT: , ö. 1 ÷ 3 13 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ø ø 8 8 ø ø 8 8 ø Bài 13. a) z ý 1; z ý 1  b) z ý125; z ý 7  5. max min max min 41
Bài 14. (Q ,Q ) ý (6, 5). 1 2
Bài 15. Hướng dn: TR ý .
P Q ý 600 0.1(Q Q ) .(Q Q ),TC ý C C ,ð ý TRT . C 1 2  1 2 1 2
ð đ¿t giá trị lớn nh¿t t¿i (Q ;Q ) ý (600;1200). 1 2
Bài 16. (Q ,Q ) ý (8, 4), ( p , p ) ý 80,120 . 1 2 1 2 ø ù ö 25 65 ö ö85 170 ö
Bài 17. (Q , Q ) ý , , ( p , p ) ý , . 1 2 ÷ ÷ ÷ ÷ ø 7 14 ø 1 2 ø 14 7 ø
Bài 18. (Q ;Q ) ý (60; 200); p ý 40. 1 2
Bài 19. Hướng dn: Tìm cực trị của 0,4 0,4
U (x, y) ý 5x y với điều kiện 300 – 3x – 5y = 0;
Lợi ích tiêu dùng lớn nh¿t với gói hàng hóa ( , x y) ý(50, 30) .
Bài 20. Hướng dn: Tìm cực trị của 0,3 0,5
Q ý K L với điều kiện 384 – 6K – 2L = 0.
SÁn lượng đ¿t giá trị tối đa t¿i (K; L) ý (24;120).
Bài 21. Hướng dn:
Tìm cực trị của hàm chi phí C = 70K + 20L với điều kiện 5600 – K(L + 5) = 0.
ĐS: (K; L) ý (40;135) .
Bài 22. Hướng dn:
x = diện tích trồng đ u
ậ ; y = diện tích trồng cà (đơn vị: a).
Ta có: x ó 0; y ó 0; 20x  30 y ó180.
Số tiền thu được là f ( , x )
y ý3 x 4 y (triệu đồng).
f đ¿t giá trị lớn nh¿t t¿i (x; y) ý (6;2).
Bài 23. 5 t¿n nguyên liệu lo¿i I và 4 t¿n nguyên liệu lo¿i II. 42 Ch¬ng 3
MÔ HÌNH TOÁN KINH T¾
A. TÓM TÄT LÝ THUY¾T
3.1. ĐO L¯âNG SĀ THAY ĐÞI CĂA BI¾N NÞI SINH THEO BI¾N NGO¾I SINH
3.1.1. Đo l°ãng sā thay đßi tuyßt đái
Xét hàm Y ý F ( X ) với X ý (X ,X ,...,X ). 1 2 n
Trường hp 1. Biến ngo¿i sinh X thay đổi lượng nhỏ X X k i cố đ n ị h k ( ) i i
Số gia riêng của hàm số Y ý F (X ) theo biến X : iY ý F X X XX F X X X i ( ,..., i i , ...., n ) (
,..., i ,...., n ). 1 1 Yi
Lượng thay đổi trung bình của Y theo X là ò ý . i Xi 0 F ö (X )
Nếu hàm số Y ý F (X ) khÁ vi theo biến X thì ò (X ) ý . i i X ö i
Chú ý. Trong toán học, nếu X
 đủ nhỏ thì ò (X  ò i ) . i
Trong kinh tế, nếu X ý1thì ò(X )  Y  . i i i
Trường hp 2. T¿t cÁ các biến ngo¿i sinh X thay đổi lượng nhỏ X  (i ý 1, n) i i
Sự thay đổi của biến nội sinh Y theo vectơ X ý (X ,X ,...,X ) : 1 2 n öF öF öFY  X  X ...  X . 1 2 n öX öX öX 1 2 n • Nếu X
 (i ý1,n)là vi phân của các biến ngo¿i sinh thì ta có: i F ö F ö F ö dY ý dX dX  ... dX . 1 2 n X ö X ö X ö 1 2 n
Nếu X là biến nội sinh phụ thuộc vào một hoặc nhiều biến khác thì để đo i
lưßng sự thay đổi của Y theo X ta sử dụng công thức tính đ¿o hàm của i hàm hợp. 43 •
Nếu quan hệ giữa biến nội sinh và biến ngo¿i sinh được cho dưới d¿ng
hàm ẩn F (Y , X ) ý 0 thì ta sử dụng công thức tính đ¿o hàm của hàm ẩn. Y ö öF öF ý  : (i ý1, n). öX öX öY i i
3.2.2. Đo l°ãng sā thay đßi t°¢ng đái
a) H s co giãn
Hệ số co giãn của Y ý F (X ) theo X :  Y Y X X õ ý .  Y .ò . XX Y Y
Hệ số co giãn riêng củaY ýF (X X X theo biến X : 1,..., i,..., n) i YX öF X Y i õ ý . i  . i . Xi XY öX Y i i n Y Y
Hệ số co giãn toàn phÁn:õ ý õ . õ X i i 1 ý
b) H s tăng trưởng
GiÁ sử Y ý F( X (t), X ( )
t ,..., X (t)) , 1 2 n 1 dXX i i
Hệ số tăng trưáng riêng của biến X : r ý  X . . i i X dt X i i n Y • Hệ số tăng trư n
á g của Y : r ý õ õ r . Y i X i X i 1 ý
c) H s thay thế (b sung) öF dX X ö dXX
MRS (i, j ) j i ý ý  ; i i ý . dX F ö dXX j j j X ö i
Hệ số thay thế cận biên của X cho X : Nếu MRS(i, j) ü 0thì ta nói X thay i j i
thế cho X với tỷ lệ MRS( ,i j) . j
Hệ số bổ sung cận biên của X cho X : Nếu MRS(i, j) þ 0 thì ta i j
nói X X bổ sung cho nhau với tỷ lệ MRS(i, j) . i j
d) Tăng quy mô và hiu qu 44
Hàm công nghệ sÁn xu¿t Y ý F (X X X 1 , 2 ,..., n ) •
F(tX1,tX2,..., tX þ t F X X
X ta nói khi tăng quy mô, hiệu quÁ n ) . ( 1, 2,..., n) sÁn xu¿t tăng. •
F(tX1,tX2,..., tX ü t F X X
X ta nói khi tăng quy mô, hiệu quÁ n ) . ( 1, 2,..., n) sÁn xu¿t giÁm. •
F(tX1,tX2,..., tX ý t F X X
X ta nói khi tăng quy mô, hiệu quÁ n ) . ( 1, 2,..., n)
sÁn xu¿t không thay đổi.
3.2. MÞT Sà MÔ HÌNH KINH T¾ PHÞ BI¾N
3.2.1. Mô hình t
ái °u
a) Mô hình phân tích hành vi s
n xut
Hàm s
n xut
Hàm sÁn xu¿t: Q ý F( X , X ,..., X ) 1 2 n
Q là biến nội sinh, X ,X ,...,X là các biến ngo¿i sinh. 1 2 n
Phân tích mô hình
Xét hàm sn xut ngn hn
Sử dụng các thước đo:
- Năng su¿t cận biên của yếu tố đÁu vào thứ i (sÁn phẩm hiện vật cận biên): öF MPP ý i ý n i ( 1, ). X ö i
- Năng su¿t trung bình của yếu tố đÁu vào thứ i: F (X ) AP ý i ý n i ( 1, ). Xi
- Hệ số co giãn của Y theo yếu tố đÁu vào thứ i: YX öF X Y i õ ý . i  . i X . i XY öX Y i i
- Hệ số thay thế giữa yếu tố đÁu vào thứ i, j: F ö dX ö X MRS(i, j) j i ý ý  . dX F ö j ö Xi 45 •
Xét hàm sn xut dài hn
Xét trưßng hợp t¿t cÁ các yếu tố đÁu vào thay đổi theo cùng mt t lệ. Chúng ta đề
cập đến v¿n đề tăng quy mô và hiệu quÁ. n
Để đo lưßng hiệu quÁ theo quy mô ta sử dụng độ co giãn toàn phÁn: Q Q õ ý õ õX .i i 1 ý
Mô hình ti ưu v mt kinh tế ca quá trình sn xut
Mô hình 1.
Mô hình cāc tiu hóa chi phí
Tìm X , X ,..., X sao cho tổng chi phí: 1 2 n n TC ý w X õ  min i i i 1 ý
với điều kiện ràng buộc về sÁn lượng Q ý F( X , X ,..., X ) . 1 2 n
Mô hình 2. Mô hình tái đa hóa sÁn l°ÿng
Tìm X , X ,..., X sao cho sÁn lượng: 1 2 n
Q ý F( X , X ,..., X n) max 1 2 n
với điều kiện ràng buộc w X õ ý K. i i i 1 ý
Mô hình 3. Mô hình tái đa hóa lÿi nhuÃn căa doanh nghißp
Xác định Q để ð ý T ( R )
Q TC(Q)  max.
b) Mô hình phân tích hành vi người tiêu dùng
Mô hình hóa th hiếu, s thích ca h gia đình
Hàm thỏa dụng (hàm lợi ích) U (X ) ý U (X , X ,..., X a b c m , , , ,...). 1 2
D¿ng hàm U , a,b,c,... biểu thị sá thích, thị hiếu.
Phân tích mô hình U ö
- Độ thỏa dụng biên của hàng hóa i ta cÁn tính: MU ý các hàm MU giÁ i , X ö i i thiết là dương. MU
- Hệ số thay thế hàng hóa i bằng hàng hóa j ta cÁn tính: j . MU i 46
Mô hình 4. Mô hình tái đa hóa lÿi ích
Tìm giỏ hàng hóa X ý ( X , X ,..., X sao cho: m ) 1 2 m
U ý U (X )  max , với điều kiện õ p X ý M i i . iý1
3.4.2. Mô hình cân bng thß tr°ãng
a) Mô hình cân b
ng mt th trường
Mô hình 5.
Mô hình cân bng mßt thß tr°ãng
- Hàm cung của thị trưßng S ý S( , p a, , b ...) .
- Hàm cÁu của thị trưßng: D ý D ø p, p , M , ñ, . ò . ù. . i öS öD giÁ thiết á đây là þ 0, ü 0 . öp öp
Tìm giá và lượng cân bằng: S ý D.
b) Mô hình cân bng vĩ
Mô hình 6
. Mô hình cân bng vĩ Tìm thu nhập cân bằng: Y
ü ý C I G EX IM ÿC C ý ò  Y T  ÿ 0 ø ù ý
I ýI ñr ÿ 0 T ÿ þ  ý ô  Y
3.4.3. Mô hình kinh t¿ đßng
Mô hình 7.
Mô hình cân bng giá tuy¿n tính
GiÁ sử trên thị trưßng hàng hóa A , giá của hàng hóa A tác động đến cung – cÁu Mô hình a. Q ü
ý a bP (a,b þ 0) d ý . Q ý c   dP ( , c d þ 0) þ s
Điều kiện cân bằng thị trưßng: Q ý Q . s d Mô hình b. Q ü ý abP (a,b þ 0) dt t ý . Q ý c
  dP (c,d þ 0) þ st t 1 47
Điều kiện cân bằng thị trưßng: Q ý Q . st dt
Mô hình 8. Mô hình tăng tr°ởng kinh t¿ Domar
üdK ý I( )t (1) ÿdt ÿ ÿ 1 ý ( Y )t ý ( I )t (2) s ÿ ÿ (
Q t) ýò K(t), ò 0 þ (3) ÿ þ ( Q t) Y ý (t) (4) B. CÁC VÍ DĀ
Ví dā 3.1. Cho hàm sÁn xu¿t có d¿ng 0,5 0,5
Q ý 2K L trong đó Q là sÁn lượng, K
số đơn vị vốn, L là số đơn vị lao động. T¿i K = 4, L = 16, khi tăng vốn lên 1 đơn vị
và giÁm lao động đi 3 đơn vị thì sÁn lượng thay đổi như thế nào?
Gii Q ö 0  ,5 0,5 0  ,5 0,5 ý 2.0,5.K L ý K L K ö Q ö 0,5 0,5 0,5 0,5 ý 2.0,5.K L ý K L . öL
T¿i K = 4, L = 16 ta có: öQ 0  ,5 0,5 (4,16) ý 4 16 ý 2 K ö Q ö 0,5 0,5 1 (4,16) ý 4 16 ý . öL 2
Khi tăng vốn lên 1 đơn vị và tăng lao động đi 3 đơn vị thì sÁn lượng thay đổi: 1 Q  ý2.1  .3 ý0,5. 2
Vậy t¿i K = 4, L = 16, khi tăng vốn lên 1 đơn vị và giÁm lao động đi 3 đơn vị thì
sÁn lượng tăng x¿p xỉ 0,5 đ n ơ vị.
Ví dā 3.2. Cho hàm của hàng hóa A 0,3 0,05 S 2,5p T  ý
trong đó S là lượng cung hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, T là thuế.
a) Tính hệ số co giãn của S theo p và hệ số co giãn của S theo T.
b) Lượng cung thay đổi như thế nào khi giá hàng hóa A tăng 5% và thuế tăng 1%. 48
Gii a) S S p õ ö S ö T ý . ý 0,3 S õ ý . ý 0, 05. p p ö S T öT S
b) Nếu giá hàng hóa A tăng 5% và thuế tăng 1% thì sự thay đổi của lượng cung là: 0,3.5% 0,05.1% 1, 45%.
Ví dā 3.3. Dân số của một quốc gia có d¿ng 0,25 20.2 t H ý , tổng tiêu dùng của quốc gia này là 0,8 ý3 t C
e , trong đó t là biến thßi gian. Tính nhịp tăng trư n á g của
tiêu dùng tính trên đÁu ngưßi của quốc gia trên.
Gii dH dC dt r ý ý 0,25 ln 2; dt r ý ý 0,8. H H C C C
Tiêu dùng tính trên đÁu ngưßi là . H
r ý r r ý 0,8 0,25ln 2. C C H H
Ví dā 3.4. Cho hàm sÁn xu¿t 0,2 0,1 Q ý L K .
a) Xác định tỉ lệ thay thế vốn cho lao động. T¿i K = 5, L = 5, nếu tăng K lên một
đơn vị thì L thay đổi như thế nào để sÁn lư n ợ g không thay đổi ?
b) Phân tích tác động của mức sử dụng vốn K tới tỉ lệ xác định á câu a).
Gii 0,8 0,1 dK 0,2L K 2K
a) Tỉ lệ thay thế vốn cho lao động |MRS(K,L)| = ý ý . 0,2 0,9 dL 0,1L K L dK
Khi K = 5, L = 5, ta có |MRS(K,L)|= ý 2. dL
Vậy t¿i K= 5, L = 5, nếu tăng K lên một đơn vị thì có thể giÁm L đi 2 đơn vị để sÁn lượng không thay đổi. b) Ta có: ù MRS û øK Lù ò 2 , ù ý þ 0. û K L
Vậy khi K tăng thì tỉ lệ thay thế của vốn cho lao động cũng tăng.
Ví d
ā 3.5. Cho hàm sÁn xu¿t: 0,4 0,6 Q ý 20L K .
Hãy xét xem hiệu quÁ sÁn xu¿t thay đổi như thế nào theo quy mô.
Gii 49 t  þ QøtK tL ù ý
øtKù0,4 øtLù0,6 0,4 0,6 1, , 20
ý 20tK L ý tQ(K, L).
Vậy hàm sÁn xu¿t biểu thị hiệu quÁ không đổi theo quy mô.
Ví d
ā 3.6. Hàm sÁn xu¿t của doanh nghiệp có d¿ng 0,5 0,5
Q ý 10K L , trong đó Q
sÁn lượng, K là số lượng vốn, L là lao động. Cho giá vốn pK = 8, giá lao động pL= 2.
a) Tính mức sử dụng K, L để sÁn xu¿t sÁn lượng Q = 1500 với chi phí nhỏ nh¿t.
b) T¿i Q = 1500, khi Q giÁm 2 đơn vị thì chi phí tối thiểu sẽ thay đ i ổ như thế nào?
c) T¿i Q = 1500, khi Q tăng 3% thì chi phí tối thiểu sẽ thay đổi như thế nào?
d) Nếu giá vốn và lao động đều tăng 5% thì với mức sÁn lư n
ợ g như trước, mức sử
dụng vốn và lao động tối ưu sẽ thay đổi như thế nào?
e) Phân tích tác động giá vốn, lao động tới tổng chi phí tối thiểu. Gii
a) Với các yếu tố đÁu vào dự kiến là K, L. Hàm chi phí sÁn xu¿t TC ý 8K  2 . L
Như vậy đây là bài toán cực tiểu hóa chi phí có d¿ng:
Tìm K, L sao cho TC ý 8K  2L  min, với điều kiện ràng buộc về sÁn lượng: 0,5 0,5
10K L ý 1500 , trong đó biến nội sinh là TC, KL. Lập hàm Lagrange: a
L ý K L   ø 0,5 0,5 8 2 1500 10K L ù.
Điu kin cn. GiÁi hệ phương trình: ü MP p
üöñ öö L ö p üö ööL K K 0,5 ö 8 K ý ý ý ÿ ÿ÷ ÷÷ ÷ ÿ÷ ÷÷ ÷ MP p ý  ýø ò øø K ø p  ø ý øø K L L ø L 0,5 2 ÿ 0,5 0,5 ÿ 0,5 0,5 ÿ 0,5 0,5 1 þ 0 K L ý1500 10K L ý1500 1 þ þ 0 K L ý1500 ü L ÿ ý 4 üK ý 75  ýK  ý . L ý300 0,5 0,5 1 ÿ 0K L 1 ý þ 500 þ 8  4 Thay vào phương trình: 0,5 0,5
La ' ý 0   ý .75 .(300) ý . K 5 5
Điu kin đủ. Lập định thức 0 g g 1 2 H ý g L L 1 11 12 g L L 2 21 22 T¿i điểm (75, 300) ta có: 50 0  ,5 0,5 0,5 0  ,5
g ý gò ý 5.K
.L ý10, g ý g òý 5.K .L ý 2,5; 1 K 2 L  4 1,5 0,5 L ý a L ' ý 2,5..K L ý ; 2 11 K 75  1 0,5 1,5 L ý a
L ' ý 2,5..K L ý ; 2 22 L 600 0,5 0,5 1
L ý L ý La ' ý 2,5. .  K L ý  ; 12 21 KL 75 0 10 2,5 4 1 H ý 10  ü 0. 75 75 1 1 2,5  75 600
Vì (K, L) ý (75, 300) là điểm cực tiểu duy nh¿t, nên t¿i mức sử dụng vốn *
K ý 75 và mức sử dụng lao đ ng ộ *
L ý 300 để sÁn lượng Q ý1500 thì chi phí là nhỏ nh¿t * TC ý 1200.
b) Gọi tổng chi phí tối thiểu t¿i Q = 1500 là TC*, TC*(1500) = 1200. Ta có: * öTC * 4 ý  ý ý 0,8. Q ö 5
T¿i Q = 1500, khi Q giÁm 2 đơn vị thì chi phí tối thiểu sẽ giÁm 1,6 đ n ơ vị.
c) Hệ số co giãn của tổng chi phí tối thiểu theo sÁn lượng là: * * öTC Q TC 1500 õ ý . ý 0,8. ý 1. Q * Q ö TC 1200
T¿i Q = 1500, khi Q tăng 3% thì chi phí tối thiểu sẽ tăng3%.
d) Nếu giá vốn và lao động cùng tăng một tỉ lệ thì mức sử dụng vốn và lao động
tối ưu sẽ không thay đ i ổ . * * öTC öTC e) Ta có * * ý K ý 75 þ 0, ý L ý 300 þ 0. öp öp K L
Nên khi giá vốn và giá lao động tăng thì chi phí tối thiểu sẽ tăng. 51
Ví dā 3.7. Một doanh nghiệp có hàm sÁn xu¿t 2/3 1/3
Q ý 30K .L trong đó Q là sÁn
lượng. Giá của một đơn vị K là 250 USD, giá của một đơn vị L là 64 USD và ngân
sách cố định (M) là 24000 USD.
a) Hãy xác định giá trị K, L đ
ể tối đa hóa sÁn lượng.
b) Phân tích tác động của ngân sách tới mức sÁn lượng tối đa.
c) Khi ngân sách tăng lên 2% thì sÁn lượng tối ưu thay đổi như thế nào? Gii
a) Bài toán tối đa hóa sÁn lượng có d¿ng:
Tìm K, L sao cho: 2/3 1/3
Q ý 30K .L  max với điều kiện 250K  64L ý 24000. Lập hàm Lagrange: 2/3 1/3
L a ý 30K .L   ø 24000 250K  64L ù.
Điu kin cn. GiÁi hệ phương trình: ü L ö a 1  /3 1/3 ý 20.K .L  250 ý 0 (1) ÿ K ö ÿ ÿ L ö a 2/3 2/3 ý 1 ý 0.K .L 6  4 0 ý (2) L ÿ ö ÿ ö a L ý24000 2  50 K 6  4L 0 ý (3) ÿ þ ö 1  /3 1/3 20.K .L 250 Từ (1) và (2) suy ra: ý . 2/3  2/3 10.K .L 64 L 250 125 Do đó: 2. ý  L ý
K . Thay vào phương trình (3): K 64 64 125 250K  64.
K ý 24000  K ý 64  L ý125,  ý 0,1. 64
Điu kin đủ. Lập định thức 0 g g 1 2 H ý g L L 1 11 12 g L L 2 21 22
g ý gò ý 250, g ý g òý 64 , 1 K 2 L 2  0  20 4/3 1/3 L ý a L ' ý .K L ;  1/3  2/3
L ý L ý La ' ý K L LK . ; 2 11 K 3 12 21 3 20 2/3 5/3 L a L ' .K L ý ý  . 2 22 L 3 52 Ta có: 0 250 64 20  20 4/3 1/3 1/3 2/3 H ý 250 .K L .K L þ 0 ( K  ,L þ 0). 3 3 20    20 1/3 2/3 2/3 5  /3 64 .K L .K L 3 3
Vì (K , L) ý (64, 125) là điểm cực đ¿i duy nh¿t, nên t¿i mức sử dụng v n ố *
K ý 64 và mức sử dụng lao động *
L ý 125 thì sÁn lượng tối đa và * Q ý 2400.
b) SÁn lượng tối đa t¿i mức ngân sách 24000 là Q*. Ta có: * Q ö * ý  ý 0,1 þ 0. öM
Khi ngân sách tăng 1 đơn vị thì sÁn lư ng ợ
tối đa tăng x¿p xỉ là 0,1 đơn vị. * ö Q M Q 24000 c) Ta có: * õ ý . ý 0,1. ý1 þ 0. M * M ö Q 2400
Vậy khi ngân sách tăng 2% đơn vị thì sÁn lượng tối đa tăng x¿p xỉ là 2%.
Ví dā 3.8. Một doanh nghiệp có hàm 2
TR ý 58Q  0,5Q và hàm tổng chi phí 3 Q 2 TC ý
8,5Q 97Q F . C 3
a) Cho FC = 100, tìm mức cung Q* để lợi nhuận đ¿t t i ố đa.
b) Phân tích Ánh hưáng của FC tới Q* và * ð .
Gii 3 Q a) FC = 100, 2
ð ý TR TC ý 
 8Q  39Q 100  max. 3
Điu kin cn. 2 ð ò ý Q  1  6Q 3  9 ý0 Q 3 ý ,Q 1 ý 3. 1 2
Điu kin đ . ð ' ý 2Q 16 ð (òQ ò ) 10 ý 0 þ (lo¿i), ð ( ò Q ò ) ý 1  0 ü 0 (thỏa mãn). 1 2 38
Vậy mức cung Q* = 13 thì lợi nhuận đ¿t tối đa vàð ý . max 3 3 b) Q 2 ð ý 
8Q 39Q FC max 3 53 * dQ
SÁn lượng tối đa không phụ thuộc vào FC nên ý 0. dFC * dð ý 1
 nên khi các yếu tố khác không đổi thi chi phí cố định tăng lên bao dFC
nhiêu thì lợi nhuận tối đa giÁm đi b¿y nhiêu.
Ví dā 3.9. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 lo¿i hàng hoá như sau: 0,4 0,4 U ý 5X X 1 2
trong đó: X1, X2 là mức tiêu dùng hàng 1, 2, giá hàng tương ứng là p1 = 3, p2 = 5.
a) Hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giÁm dÁn không?
b) Hai hàng hoá trên là thay thế hay bổ sung cho nhau?
c) Xác định mức cÁu hàng hóa 1, 2 của hộ gia đình đ
ể tối đa hóa lợi ích nếu thu
nhập dành cho tiêu dùng là M=300. Nếu thu nhập dành cho tiêu dùng giÁm 2 đơn
vị thì lợi ích tối đa thay đổi như thế nào? Gii a) Ta có: 0,6 0,4 0,4 0,6 U ò ý 2X X ; U òý 2 X X X 1 2 X 1 2 1 2 1,6 0,4 0,4 1,6
U òò ý 1, 2.X X
ü 0; U òòý 1, 2.X X ü 0 2 2 X 1 2 X 1 2 1 2
Vậy hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giÁm dÁn. b) U ö 0,4 0,6 XX ö 2X X X 1 2 1 2 1 ý  ý  ý  ü 0. 0  ,6 0,4 X U ö 2X X X 2 1 2 2 X ö 1
Hai hàng hoá trên là thay thế cho nhau. Khi tăng mức sử dụng hàng hóa 2 lên 1 X
đơn vị thì phÁi giÁm hàng hóa 1 đi 1 đơn vị. X2 c) Lập hàm Lagrange: 0,4 0,4 L ý 5 X X
 300  3X 5X . 1 2 ø 1 2 ù
Điu kin cn. Xét hệ phương trình: 54 ü L ö 0,6 0,4 ý2 X X 3   ý0 1 2 ÿ X ö 0,6 0,4 1 ÿ 2 ü X X ý3 (1) 1 2 ÿ L ö ÿ 0,4 0,6 0,4 0,6 ý ý 2 X X  5 ý 0  2 ý X X ý 5 (2) 1 2 1 2 X ö ÿ 2 3
ÿ 00 3X  5X ý 0 (3) ÿ þ 1 2 L ö ÿ 3 ý 00 3  X 5  X ý0 1 2 þ  ö Từ (1) và (2) suy ra: 0,6 0,4 2 X X 3 1 2 ý 0,4 0  ,6 2 X X 5 1 2 3
Do đó: X ý X . 2 1 5
Thay vào phương trình (3): 2 * * * 0  ,6 0,4
300 3 X 5 X ý0  X ý50, X ý30,  ý . 50 .30 . 1 2 1 2 3
Điu kin đ .
Lập định thức 0 g g 1 2 H ý g L L 1 11 12 g L L 2 21 22
g ý gò ý 3, g ý g ò ý 5; 0  ,6 0  ,6
L ý L ý Lòò ý 0,8X X ; 1 X1 2 X2 12 21 X 1X 2 1 2 1,6 0,4 0,4 1,6 L ý Lòò ý 1  , 2.X
X ; L ý L òòý 1  , 2 X X . 2 2 11 X 1 2 22 X 1 2 1 2 Ta có: 0 g g 1 2 H ý g L L þ 0. 1 11 12 g L L 2 21 22
Vậy X ý 50, X ý 30 thì lợi ích được tối đa. Gọi mức lợi ích tối đa là * U , ta có: 1 2 * U ö * ý  ý 0,2485 þ 0. öM
Vậy t¿i mức M = 300, nếu thu nhập dành cho tiêu dùng giÁm 2 đơn vị thì lợi ích
tối đa giÁm 0,4970 đơn vị. 55
Ví dā 3.10. Cho mô hình thị trưßng của hàng hóa A S
üÿ ý 0,3pñ ø0 üñ ü ù 1 ý D
ÿ ý 0,1pò Mqñ þ
øò ü 0;0 ü ü1;ñ ü 0ù trong ó
đ S, D là hàm cung, hàm cÁu hàng hóa A; p là giá hàng hóa A; M là thu
nhập khÁ dụng; q là giá hàng hóa B. Phân tích tác động của M, của q tới giá cân bằng. Gii
Phương trình cân bằng:
S ý D  0,3 pñ ý 0,1p òM qñ  0,3 pñ  0,1p òM q ñ ý 0. Gọi giá cân bằng là * p . Đặt * *ñ *
F( p ,M ,q) 0,3p
0,1p òM qñ ý  F ö * * ò  1 p ö ö
0,1. p M q M ñ ý  ý þ 0. *(ñ 1  ) *( ò 1  ) M ö F ö 0,3.ñ .p  0,1.ò .p M qñ * p ö
Vậy khi thu nhập tăng thì giá cân bằng trên thị trưßng hàng hóa A tăng. F ö * *ò  ñ1 p ö q ö 0,1.ñ.p M q ý  ý ü 0. *( ñ 1  ) *( ò 1  ) q ö F ö 0,3.ñ.p  0,1.ò.p M q ñ * p ö
Vậy khi giá hàng hóa B tăng, các yếu tố khác không đổi thì giá cân bằng trên thị trưßng hàng hóa A tăng.
Ví dā 3.11. Cho mô hình thị trưßng của hàng hóa A 0,5 S üÿ ý0,3 p ý 2 0,7  1 D ÿ ý 0,1p M q þ
trong đó S, D là hàm cung; hàm cÁu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A; M là thu
nhập khÁ dụng; q là giá hàng hóa B. Phân tích Ánh hưáng của M tới lượng cân bằng. Gii
Phương trình cân bằng: 0,5 2  0,7 1
S ý D  0,3p ý 0,1p M q 0,5 2 0,7 1
 0,3p  0,1p M q ý 0.
Gọi giá cân bằng là p*, lượng cân bằng là Q* thì: Q ý S ý ø p ù0,5 * * * 0,3 . 56  Đặt F p M q ø p ù0,5 øp ù 2 * * * 0,7 1 ( , , ) 0,3 0,1 M q ý  * * * öQ öS p ö ý ý ø     p ù * 2 0,3 1 0,5 * 0,1.0, 7 p M q 0,15 þ 0. * *( 0  ,5) *( 3  ) 0,7 1 M ö p ö M ö 0,3.0,5. p 0,1.2. p M q
Vậy khi thu nhập tăng pq không đổi thì sÁn lượng cân bằng tăng.
Ví dā 3.12. Cho mô hình thị trưßng của hàng hóa A S ü ý 0,7 p 1  20 ý
D ý0,3M 0,4 p 1  00 þ
trong đó S, D là hàm cung, hàm cÁu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M là thu
nhập khÁ dụng. Có ý kiến cho rằng lượng cân bằng không phụ thuộc vào thu nhập,
ý kiến đó đúng hay sai? Gii
Điều kiện cân bằng
S ý D  0,7 p 120 ý 0,3M 0,4 p 100 1,1p  0,3M ý 220.
Gọi giá cân bằng là p* thì *
1,1p  0,3M ý 220 và p* phụ thuộc vào M.
Vậy ý kiến trên là sai.
Ví dā 3.13. Cho mô hình thu nhập quốc dân: Y
ü ý C I G 0 0 C ÿ
ý ý 150 0,8øY T ù T ÿ þ 0 ý ,2Y
trong đó Y là thu nhập, C là tiêu dùng, T là thuế, I0 là đÁu tư, G0 là chi tiêu Chính phủ.
a) Tìm tr¿ng thái cân bằng khi I0 = 300, G0 = 900.
b) Do suy thoái kinh tế nên MPC đối với thu nhập sau thuế chỉ còn 0,7. GiÁ sử
I0 = 300, G0 bằng bao nhiêu thì ổn định được thu nhập? Gii
a) Khi I0 = 300, G0 = 900 mô hình có d¿ng: Y ü  C ý 1200 Y ü ý 3750 ÿ ÿ 
ý 0,8Y C  0,8T ý 150  C ý ý 2550. 0 ÿ ,2Y T 0 T ÿ  ý ý 750 þ þ
b) Theo giÁ thiết MPC = 0,7 và I0 = 300 nên mô hình có d¿ng: 57 Y
ü C ý 300 G0 ÿ ý 0  ,7Y C  0  ,7T 1 ý 50  0  , 7Y Y  3  00 G  0  ,7.0, 2Y 1 ý 50 0 0 ÿ ,2Y T þ  0 ý  * 450 G0
 0, 44Y ý 450  G Y ý . 0 0, 44 450  G
Để ổn định được thu nhập quốc dân thì * 0 Y ý ý 3750  G ý 1200. 0 0,44
Ví dā 3.14. Cho mô hình thu nhập quốc dân: Y
ü ý C I G0 ÿC ý ýb bY a , b 0 þ , ;i a b  1 ü 0 1 ø i i 1 1 ù I ÿ a þ ý aY ar 0 1 2 0
trong đó Y là thu nhập, C là tiêu dùng, r0 là lãi su¿t, I là đÁu tư, G0 là chi tiêu chính phủ.
a) Xác định Y, C á tr¿ng thái cân bằng.
b) Cho b0 = 200;b1 = 0,7;a0 = 100;a1 = 0,2;a2 = 10;r0 = 8;G0 = 500. Khi tăng chi
tiêu Chính phủ lên 1% thì thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào? Gii
a) Mô hình có d¿ng Y
ü  C I ý G0 ÿ ý bY C  ýb 1 0 a
ÿ Y I ýa r a þ 1 2 0 0 1 1  1 
Ta có: D ý b 1
0 ý 1 a b ü 0 1 1 1 a 0 1  1 G 1  1  0 D ý b 1 0 ý G
a a r b ü 0 Y 0 0 0 2 0 0 a a r 0 1 0 2 0 1 G 1 0 D ý bb 0 ý b  b a
 a r a b b G ü 0 C 1 0 0 1 ø 0 2 0 ù 1 0 1 0 a a   a r 1 1 0 2 0
Khi đó t¿i tr¿ng thái cân bằng: 58 G
a a r b b
  b a a r a b b G * 0 0 2 0 0 * 0 1 ø 0 2 0 ù 1 0 1 0 Y ý , C ý . 1a b 1a b 1 1 1 1
b) Thay b0 = 200;b1 = 0,7;a0 = 100;a1 = 0,2;a2 = 10;r0 = 8, G0 = 500 vào thu nhập cân bằng ta có: * 500 1  00 10.8 200 Y ý ý 7200 1 0, 2 0,7 * öY GY 1 500 500 25 0 õ ý . ý . ý 10. ý  0,6944. 0 G * öG Y
1 a b 7200 7200 36 0 1 1
Khi tăng chi tiêu Chính phủ lên 1% và các yếu tố khác không đ i ổ thì thu nhập cân
bằng tăng x¿p xỉ 0,6944%. C. BÀI TÂP
Bài 1. Cho hàm doanh thu trung bình AR ý 60 3Q. a) Tìm hàm MR.
b) T¿i mức sÁn lượng Q ý 5 , khi tăng sÁn lư n
ợ g lên 1% thì tổng doanh thu thay đổi như thế nào?
Bài 2. Cho hàm tổng chi phí 2
TC ý 2Q Q 100.
a) Tìm hàm MC , AC.
b) GiÁi thích ý nghĩa kinh tế của tỉ số M C . AC
Bài 3. Cho hàm tổng doanh thu là hàm của sÁn lượng 2
TR ý10Q Q và sÁn lượng là hàm của lao động 3
Q ý L L .
a) Phân tích Ánh hưáng của L tới T . R
b) Tính hệ số co dãn của TR theo . L
Bài 4. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm 2
MC ý 3Q 8Q 1800 và đưßng cÁu
của thị trưßng là Q ý 9000 p . Tìm *
Q để lợi nhuận đ¿t tối đa.
Bài 5. Một nhà độc quyền có hàm cÁu và hàm tổng chi phí như sau: 2
p ý 200 Q,TC ý Q ,trong đó p là giá, Q là sÁn lượng.
a) Tìm mức sÁn lượng và mức giá sao cho lợi nhuận tối đa.
b) Tìm hệ số co giãn của cÁu t¿i mức giá tối đa lợi nhuận. 59
c) Chính phủ đánh thuế với mức thuế t = 0,2USD trên mỗi sÁn phẩm bán ra, tìm
mức cung để tối đa hóa lợi nhuận. SÁn lượng làm tối đa hóa lợi nhuận thay đổi
như thế nào khi t thay đổi? 12
Bài 6. Cho hàm chi phí bình quân 2 AC ý
 0,5Q  0,25Q 10. Q
a) Tìm hàm chi phí cận biên.
b) Với mức giá p ý 106 , hãy tìm mức sÁn lượng để lợi nhuận tối đa.
Bài 7. Một hãng c¿nh tranh hoàn hÁo sÁn xu¿t một lo¿i sÁn phẩm có hàm tổng chi phí là 3 2
TC ý Q  3Q Q  200 và hãng phÁi ch¿p nhận giá thị trưßng là p = 190 USD.
a) Tìm mức sÁn lượng để lợi nhuận đ¿t tối đa.
b) Nếu giá thị trưßng p = 106 USD thì mức sÁn lượng để lợi nhuận tối đa là bao nhiêu?
Bài 8. Một nhà độc quyền có hàm doanh thu cận biên 2
MR ý 1800 1,8Q , trong đó
p là giá, Q là sÁn lượng.
a) Tìm hàm cÁu ngược của doanh nghiệp độc quyền.
b) Nếu t¿i mức sÁn lượng Q ý10 mà doanh nghiệp giÁm giá 2% thì mức cÁu sẽ thay đổi như thế nào?
Bài 9. Một doanh nghiệp có hàm chi phí cận biên là 0,5 ý3 Q MC Qe ; FC ý 30 .
a) Tìm hàm tổng chi phí, chi phí bình quân.
b) T¿i mức sÁn lượng Q ý 2 , nếu doanh nghiệp tăng mức sÁn lượng lên 2 % thì
tổng chi phí sẽ thay đổi như thế nào?
Bài 10. Cho hàm khuynh hướng tiết kiệm cận biên 0,5
MPS (Y ) 0,3 0,1Y  ý  . Tìm
hàm tiết kiệm nếu biết tiết kiệm bằng 0 khi thu nhập Y = 81USD.
Bài 11. Biết tiêu dùng C bằng thu nhập Y khi Y = 100 USD và khuynh hướng tiêu dùng cận biên là 0,5
MPC(Y ) C '(Y ) 0,2 0,1Y  ý ý  . a) Tìm hàm tiêu dùng.
b) T¿i mức thu nhập Y = 25 USD, nếu giÁmthu nhập 2 % thì tiêu dùng sẽ thay đổi như thế nào?
Bài 12. Một doanh nghiệp có hàm chi phí cận biên là 2
MC ý 2Q 12Q  25 với Q là sÁn lượng. 60
a) Xác định mức tăng lên của tổng chi phí khi doanh nghiệp tăng sÁn lư n ợ g từ Q =
5 lên Q = 10 đơn vị.
b) Cho giá thị trưßng của sÁn phẩm của doanh nghiệp là p = 39. Xác định lượng
cung cho lợi nhuận cực đ¿i.
Bài 13. Một công ty có hàm cÁu ngược là p = 300 – 0,3Q và hàm chi phí biên MC = 0,4Q.
a) Xác định hàm M , R . VC
b) Tìm miền sÁn lượng để đÁm bÁo khi công ty tăng sÁn lượng thì doanh thu sẽ
tăng nhiều hơn mức tăng sÁn lượng.
Bài 14. Một công ty có hàm sÁn xu¿t là 0,4 0,6 Q ý 20L K .
a) Hàm sÁn xu¿t trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giÁm dÁn không? 2 ö Q
b) Nêu ý nghĩa kinh tế của . 2 K ö
Bài 15. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cÁu hàng hóa là pý 40  4Q. Hàm
tổng chi phí của doanh nghiệp là 2
TC ý 2Q  4Q 10.
a) Xác định sÁn lượng và giá bán để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận.
b) So sánh với trưßng hợp doanh nghiệp c¿nh tranh hoàn hÁo.
Bài 16. Một hãng độc quyền có 2
MC ý 3Q  2Q  700 và doanh thu trung bình
AR ý 2000  Q .
a) Xác định TC, AC biết FC = 30.
b) Xác định mức cung và giá bán của hãng.
Bài 17. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cÁu ngược p ý 490  2Q và hàm tổng chi phí 2 0,5
TC ý 0,5Q .AD , trong đó Q là sÁn lượng, AD là chi phí quÁng cáo.
a) Với AD = 9, xác định mức sÁn lượng và giá bán tối ưu.
b) T¿i AD, sÁn lượng và giá bán tối ưu như câu a). Phân tích tác động của chi phí
quÁng cáo tới mức sÁn lượng và giá bán tối ưu.
Bài 18. Cho hàm sÁn xu¿t 0,5 0,5
Q ý 0,3K L với Q là sÁn lượng, K là số đơn vị vốn, L
là số đơn vị lao động.
a) Hàm số trên có thể hiện quy luật năng su¿t cận biên giÁm dÁn không?
b) Nếu K tăng 8%, L không đổi thì Q thay đổi như thế nào?
Bài 19. Cho hàm cÁu một hàng hóa 0,5 D ý 4M  ln p  2 .
a) Tìm biểu thức cho biết sự thay đổi của cÁu hàng hóa khi p thay đổi 1% . 61
Bài 24. a) Khi mức giá p tăng 1%, thu nhập quốc dân của Mỹ không đổi thì kim
ng¿ch xu¿t khẩu dÁu mỏ sang Mỹ giÁm 0,5%.
b) Khi mức giá p không đổi, thu nhập quốc dân của Mỹ giÁm 1% thì kim ng¿ch
xu¿t khẩu dÁu mỏ sang Mỹ giÁm 0,5%.
c) Nếu hàng năm Y tăng 3%, p tăng 5% thì X giÁm 1%.
Bài 25. a) Khi giá hàng hóa A tăng 1% thì lượng cung hàng hóa A tăng ñ %.
b) Hai hàng hóa A và B là hai hàng hóa bổ sung. * öp Bài 26.
ü 0, vậy khi các yếu tố khác không đổi, tăng thuế sẽ làm giá cân bằng t ö giÁm.
Bài 27. Giá cân bằng thị trưßng * p ý 4 q.
Hàm lợi nhuận của một cơ sá: 2
ð ý (4 q)q q  max
GiÁi bài toán này tìm được q*=1 (t¿n) và giá cân bằng thị trưßng là p* = 3 (triệu đồng).
Bài 28. t  12, 4324%.
Bài 29. a) Để thu nhập cân bằng là 3000 thì G ý 1600 . 0
b) Với thu nhập cân bằng là 3000, G0 = 1600. * IM õ
 0,7619, nếu G0 tăng 1%, các yếu tố khác không đổi thì nhập khẩu tăng x¿p G0 xỉ 0,7619%. 27 24 Bài 30. X ý , X ý . 1 2 2 5 Bài 31. * * K ý L ý 150. 66 Ch¬ng 4
BÀI TOÁN QUY HO¾CH TUY¾N TÍNH
A. TÓM TÄT LÝ THUY¾T
4.1. BÀI TOÁN QUY HO¾CH TUY¾N TÍNH
4.1.1. Bài toán quy ho¿ch tuy¿n tính d¿ng tßng quát và d¿ng đặc bißt
a) Bài toán quy ho
ch tuyến tính dng tng quát n f ( )
x ý õ c x min (max) i i iý1 n ü a x õ
ý b (i þ I ) (1) ÿ ij j i 1 j ÿ 1 ý ý n
ÿõ a x ób (i þI ) (2) ij j i 2 ÿj 1 þ ý
b) Bài toán quy hoch tuyến tính dng chính tc n f (x) ý c x  õ i i min(max) iý1 n
üõ a x ýb (i ý1,5) ÿ ij j i j ý1 ý x ÿ ó j ý n j 0 ( 1, ) þ
c) Bài toán quy hoch tuyến tính dng chun tc n
f (x) ý õ c x i i min (max) iý1 x ü  a x a x b m m  ... n n ý 1 1 1  1  1 1
ÿ ÿ x a x ..a x ýb 2 2 m 1   m 1 2 n n 2
ÿ ý ........................................................ ÿ x a x a x b m mm m  ...  mn n ý ÿ 1  1  m ÿ x 0 ó ( j 1 ý , n) và b 0 ó (i 1 ý ,m) þ j i
Khi đó bài toán có phương án cực biên ban đÁu (b , b ,...,b , 0,..., 0). 1 2 m 67
4.1.2. Ph°¢ng pháp đ¢n hình giÁi bài toán quy ho¿ch tuy¿n tính
Xét bài toán quy ho¿ch tuyến tính d¿ng chuẩn tắc (á 2.1.1 phÁn c).
Bài toán có phương án cực biên 0
x ý (b ,b ,...,b , 0,..., 0) i c s J 1 2 m vớ ơ á 0 = {1, 2, ..,
m} tức là cơ sá gồm các vectơ {A , A ,..., A }. Vì J0 là cơ sá đơn vị, nên 1 2 m
X ý A . Ta sắp xếp các số liệu vào bÁng đơn hình. k k
BÁng đ¢n hình Hệ Cơ Phư n
ơ g c1 c2 … c
m cm+1 … cjc n số sá án x1 x2 xm x
m+1 … xjxn c1 x1 b1
1 0 … 0 a1m+1 … a1ja1n c2 x2 b2
0 1 … 0 a2m+1 … a2ja2n ... … …
… … … … … … … … c m xm bm
0 0 … 1 amm+1 … amjamn f 0 0 … 0  …  …  m 1  j n
ThuÃt toán đ¢n hình:
B
ước 1 (Kim tra du hiu ti ưu)
- Nếu  ó 0 (k ÿ J )thì 0
x là phương án tối ưu và 0
f ( x ) là giá trị tối ưu. k 0
Quá trình giÁi kết thúc.
- Nếu tồn t¿i  þ k ÿ J thì 0
x không là phương án tối ưu ta chuyển sang bước k 0, 0 2.
Bước 2 (Kim tra tính không gii được)
- Nếu tồn t¿i  þ 0 mà x ó 0 ( j
 þ J )thì bài toán không giÁi đư c ợ . k jk 0
Quá trình giÁi kết thúc.
- Nếu với mỗi  þ 0 (k ÿ J ), tồn t¿i x þ 0 ( j þ J ) thì ta chuyển sang bước 3. k 0 jk 0
Bước 3 (Xây dng phương án cc biên mi) - Chọn vectơ đ a ư vào cơ sá:
Nếu max{k: k> 0} = s thì vectơ As được đưa vào cơ sá.
- Chọn vectơ đưa ra khỏi cơ sá: 0 0 üÿx üÿ x ñ ý min j ý ,x þ 0 r ý ý . 0 js jþ J 0 x ÿ þ ÿ x js rs þ
- Biến đổi bÁng để thu được phương án cực biên mới: 68
Ta đưa cột s thành cột vectơ đơn vị
- Để tính các ước lượng k mới:
Sử dụng định nghĩa, hoặc sử dụng công thức đ i ổ .
4.1.3. Ph°¢ng pháp tìm ph°¢ng án cāc biên ban đầu
a) Xây d
ng bài toán ph
Xét bài toán d¿ng chính tắc: n f (x) ý c x  min õ i i i 1 ý n
ü a x ýb i ý m õ ij j i ( 1, ) ÿjý1 ý ÿ x ó j ý n j 0 ( 1, ) þ
Không giÁm tính tổng quát, giÁ thiết b ó i ý m i 0 ( 1, ). Bài toán phụ: m P (x ) g ý x  min õ i i ý1
ü n a x gx ý b (iý 1,m) ÿõ ij j i i jý1 ý ÿx ó0 ( j 1 ý , ) n , g x i m j i ó0 ( 1 ý , ) þ Kí hiệu g x ý ( g x , g x ,..., g
x ) . x là phương án của bài toán gốc khi và chỉ khi (x, 1 2 m
xg) là phương án của bài toán phụ.
b) Phương pháp gii bài toán ph để tìm phương án cc biên
GiÁi bài toán phụ á d¿ng chuẩn tắc, ta tìm được phương án tối ưu:
( , g) & ( , g x x P x x P . min
Trường hp 1. Nếu Pmin> 0 thì bài gốc không có phương án.
Trường hp 2. Nếu P g g min = 0 thì x ý 0 (i ý1, )
m , do đó x ý 0 . Khi đó phương án i
tối ưu của bài toán phụ có d¿ng ( , g
x x ý 0), từ đó x là phương án cực biên của bài toán gốc. i) Cơ sá của ( , g
x x ý 0) không chứa cột nào ứng với các các biến giÁ.
Cơ sá của phương án cực biên ( , g
x x ý 0) cũng là cơ sá của phương án cực biên x . ii) Cơ sá của ( , g
x x ý 0)có ít nh¿t một cột ứng với biến giÁ x .g j 69
Phương án cực biên x là suy biến, khi đó ta lo¿i các cột ứng với  (P) ü 0 (các j cột g x phi cơ sá). j
4.2. Bài toán đái ngÁu
4.2.1. Bài toán
đái ngÁu
• Bài toán d¿ng chính tắc (I): n f (x ) ý c x  min õ j j jý1 n üõ
a x ý b i ý m ÿ ij j i ( 1, ) j ý ý 1 ÿ x 0 ó ( j 1 ý , ) n j þ Bài toán đối ngẫu (I)  có d¿ng: mf (y) ý b y  max õ i i i 1 ý m
õ a y ó c ( j ý1,n). ij i j i 1 ý
Cặp ràng buộc đối ngẫu: m x ó 0 
a y ó c ( j ý 1,n). j õ ij i j ý i 1
• Bài toán quy ho¿ch tuyến tính tổng quát (II): n f (x) ý c x  min õ j j j 1 ý n üõ
a x ó b (i ý1, ) m ÿ ij j i j 1 ý ý ÿ x ó0 ( j 1 ý , ) n þ j Bài toán đối ngẫu  (II) có d¿ng: m
f ( y) ý õ b y i i max i 1 ý m ü a y õ ó c ( j ý1, ) n ÿ ij i j ýi 1ý ÿ y 0 þ ó ( i 1 ý , ) m i
Cặp ràng buộc đối ngẫu : 70 m
x ó 0  õ a y óc ( j ý 1,n) j ij i j i 1 ý n
a x ó b y ó 0 ( i ý1, ) m õ ij j i i j 1 ý
4.2.2. Mái liên hß giÿa cp bài toán đái ngÁu
Xét cặp bài toán đối ngẫu với f (x)  min
a) Các tính cht
Tính ch
t 1. Với mọi cặp phương án xy của cặp bài toán đối ngẫu ta luôn có:  f ( ) x ó f ( ) y .
Tính cht 2. Hai phương án x* và y* của cặp bài toán đối ngẫu thỏa mãn *  *
f (x ) ý f (y ) thì x* và y* tư n
ơ g ứng là các phương án tối ưu của cặp bài toán đối ngẫu đó.
b) Các định lý
Định lý 1 (Định lý đối ngu 1)
Nếu một trong hai bài toán đối ngẫu giÁi được thì bài toán kia cũng giÁi được và
khi đó với mọi cặp phương án tối ưu x* và y* ta luôn có: *  *
f ( x ) ý f ( y ).
H qu1. Cặp bài toán đối ngẫu giÁi được khi và chỉ khi mỗi bài toán có ít nh¿t một phương án.
H qu 2. Một bài toán có phương án và một bài toán không có phương án khi và
chỉ khi trị số của hàm mục tiêu của bài toán có phương án không bị chặn trên tập phương án của nó.
Định lý 2 (Định lý đối ngu 2)
Phương án xy của một cặp bài toán đối ngẫu tối ưu khi và chỉ khi trong các cặp
ràng buộc đối ngẫu nếu một ràng buộc thỏa mãn với d¿u b¿t đẳng thức thực sự
(lng) thì sự ràng buộc kia phÁi thỏa mãn với d¿u bằng (cht). Điều này có nghĩa:
Phương án xy của cặp bài toán đối ngẫu tối ưu là: m m
x þ  õ a y ý c õ a y ü c x ý j 0 i j ( i j j 0). ij ij iý1 iý1
H qu. Nếu một ràng buộc là lỏng đối với một phương án tối ưu của bài toán này
thì ràng buộc đối ngẫu của nó phÁi là chặt đối với mọi phương án tối ưu của bài toán kia. 71 B. CÁC VÍ DĀ
Ví dā 4.1. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý x  2x  3x  5x  min 1 2 3 4 ü 4
x  3x x x ó 29 1 2 3 4 ÿ
ÿ x x x  4x ó 10 1 2 3 4 ý 3
x  4 x  2 x 3 x ý19 ÿ 1 2 3 4 x ÿ 0 þ ó , x 0 ó , x 0 ó 1 2 4
Các vectơ x1 = (–6, 4, 0, 5), x2 = (0, 7, –3, 5), x3 = (–39, 0, 49, 0) có phÁi là phương
án, phương án cực biên của bài toán không?
Gii
Xét x1 = (–6, 4, 0, 5)
- Vectơ x1 = (–6, 4, 0, 5) thỏa mãn các ràng buộc về d¿u. Thay tọa độ vectơ x1 vào các ràng buộc còn l¿i: 
ü 4(6) 3.4  0  5 ý 41þ 29 ÿ ý 6 4 0 4.5 1 ý 0 ÿ 3 þ  ( 6
 ) 4.4 2.0 3.5 ý19
ta th¿y đều thỏa mãn. Vậy x1 = (–6, 4, 0, 5) là phương án của bài toán.
- Phương án x1 = (–6, 4, 0, 5) thỏa mãn chặt 2 ràng buộc, do đó x1 = (–6, 4, 0, 5)
không là phương án cực biên của bài toán. •
Xét x2 = (0, 7, –3, 5)
- Vectơ x2 = (0, 7, –3, 5) thỏa mãn các ràng buộc về d¿u. Thay tọa độ x2 = (0, 7, –3,
5) vào các ràng buộc còn l¿i: 
ü 4.0 3.7  (3) 5 ý 29 ÿ ý 0 7 3 4  .5 1 ý 0
ÿ3.0 4.7 2(3) 3.5ý 19 þ
ta th¿y đều thỏa mãn.Vậy x2 = (0, 7, –3, 5) là phương án của bài toán.
- Phương án x2 = (0, 7, –3, 5) thỏa mãn chặt 4 ràng buộc, đó là ràng buộc 1, 2, 3 và
một ràng buộc về d¿u. Xét hệ phương trình:
ü4x  3x x x ý 29 1 2 3 4 ÿ
ÿ x x x  4 x ý 10 1 2 3 4
ý3x  4x  2x  3x ý19 ÿ 1 2 3 4 ÿ x ý 0 þ 1 72
Định thức của ma trận hệ số của hệ phương trình: 4 3 1 1 3 1 1 1 1 1 4 4 1 ý (1)  1 1 4 ý 0 3 4 2  3 4 2  3 1 0 0 0
nên 4 ràng buộc trên phụ thuộc tuyến tính.
Vậy x2 = (0, 7, –3, 5) không là phương án cực biên của bài toán. •
Xét x3 = (–39, 0, 49, 0)
- Vectơ x3 = (–39, 0, 49, 0) thỏa mãn các ràng buộc về d¿u. Thay tọa đ ộ
x3 = (–39, 0, 49, 0) vào các ràng buộc còn l¿i: ü 4  .( 3
 9)  3.0  49  0 ý107 þ 29 ÿ ý 39 0 4  9 4  .0 1 ý 0 ÿ 3 þ  .( 3  9) 4  .0 2  .49 3  .0 1 ý 9
đều thỏa mãn. Vậy x3 = (–39, 0, 49, 0) là phương án của bài toán.
- Phương án x3 = (–39, 0, 49, 0) thỏa mãn chặt 4 ràng buộc, đó là ràng buộc 2, 3
và 2 ràng buộc về d¿u. Xét hệ phương trình:
ü x x x  4x ý10 1 2 3 4 ÿ
ÿ 3x  4x  2x  3x ý 19 1 2 3 4 ý x ý 0 ÿ 2 ÿ x ý 0 þ 4
Định thức của ma trận hệ số của hệ phương trình: 1 1  1 4 1 1 1 3  4 2  3  4 4 ý( 1  ) 3 4 2  ý 1  0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
nên 4 ràng buộc trên độc lập tuyến tính.
Vậy x3 = (39, 0, 49, 0) là phương án cực biên của bài toán.
Ví d
ā 4.2. GiÁi bài toán quy ho¿ch tuyến tính sau:
f (x) ý x  4x  2x  3x  min 1 2 3 4
üx  3x x x ý 12 1 2 3 4
ÿ 2 x 2 x x x ý4 ÿ 2 3 4 5 ý x x ý5 2 6 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 6) þ j 73
Gii
Bài toán á d¿ng chuẩn tắc, có phương án cực biên ban đÁu 0
x ý (12,0,0, 0, 4,5) với
cơ sá J0 = {1, 5, 6}, hay hệ vectơ cơ sá là {A1, A5, A6}. Phương 1 4 2 -3 0 0 Hệ số Cơsá án x 1 x2 x3 x4 x5 x6 1 x1 12 1 3 1 -1 0 0 0 x5 4 0 2 2 (1) 1 0 0 x6 5 0 1 0 0 0 1 f 12 0 -1 -1 [2] 0 0 1 x1 16 1 5 3 0 1 0 -3 x4 4 0 2 2 1 1 0 0 x6 5 0 1 0 0 0 1 f 4 0 -5 -5 0 -2 0 Bài toán có phư n
ơ g án cực biêntối ưu x* = (16, 0, 0, 4, 0, 5) và fmin = 4.
Ví dā 4.3. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 5x  2x  5x  2x x  3x  min 1 2 3 4 5 6 2
ü x x x x ý 3 1 2 3 4 4
ÿ x  2x  3x x ý 3 ÿ 1 2 3 5 ý x
 x x ý 2 1 3 6 ÿ x ÿ ó0 (j 1 ý , 6) þ j
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm tập phương án tối ưu của bài toán.
Gii
a) Bài toán á d¿ng chuẩn tắc, có phương án cực biên ban đÁu 0
x ý (0, 0,0,3,3, 2) với cơ sá J0 = {4, 5, 6}, hay hệ vectơ cơ sá là {A4, A5, A6}. 74 Phương 5 2 5 2 1 3 Hệ số Cơ sá án x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 x4 3 2 1 1 1 0 0 1 x5 3 4 2 (3) 0 1 0 3 x6 2 -1 0 1 0 0 1 f 15 0 2 [3] 0 0 0 2 x4 2 2/3 1/3 0 1 -1/3 0 5 x3 1 4/3 2/3 1 0 1/3 0 3 x6 1 -7/3 -2/3 0 0 -1/3 1 f 12 -4 0 0 0 -1 0 Bài toán có phư n
ơ g án cực biên tối ưu không duy nh¿t (vì 2= 0)
x* = (0, 0,1, 2,0, 1) và fmin = 12. b) Vì 2= 0, với 2 {3, ÿ J 4,ý
6}, nên bài toán có tập phương án tối ưu: 2 x(ñ) = x * + ñ.z2
trong đó x*= (0, 0, 1, 2, 0, 1), z2 = (0, 1, -2/3,-1/3,0, 2/3), 0 ≤ ñ ≤ 1,5.
Vậy bài toán có tập tập phương án tối ưu là:
x(ñ) = (0, 0, 1, 2, 0, 1) + ñ
(0, 1, -2/3,-1/3, 0, 2/3), 0 ≤ ñ ≤1,5.
=(0, ñ, 1 - 2/3.ñ, 2 -1/3.ñ, 0, 1+2/3.ñ), với 0 ≤ ñ ≤ 1,5.
Ví dā 4.4. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 3x  2x 3x  2x  min 1 2 3 4
ü 2x  2x x ý 2 1 3 4 ÿ 5
x  3x x + x 2ó  6 ÿ 1 2 3 4 ý 2  x  2x + x x ý 3 1 2 3 4 ÿ ÿ x ó j ý j 0 ( 1, 4) þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm tập phương án tối ưu của bài toán.
c) Tìm một phương án cực biên tối ưu và một phương án tối ưu không cực biên.
Gii
a) Đưa bài toán về d¿ng chính tắc: f (x) ý 3x  2x  3x  2x  min 1 2 3 4 75
ü 2x  2x x ý 2 1 3 4
ÿ 5x  3x x 2 x x ý 6 ÿ 1 2 3 4 5 ý 2  x  2
x x x ý 3 1 2 3 4 ÿ ÿ x ó0 ( j 1 ý , 5) þ j Xét bài toán phụ: g g
P ý x x  min 1 3
ü 2x  2x x gx ý 2 1 3 4 1 ÿ 5x 3  x x 2  x x 6 ý ÿ 1 2 3 4 5 ý 2
x  2x x x gx ý 3 ÿ 1 2 3 4 3 ÿ x 0 ó ( j 1 ý , 5), g x 0 ó (i 1 ý ,3) þ j 1 Hệ Phương 3 2 3 2 0 1 1 Cơ sá số án x g g 1 x2 x3 x4 x5 x1 x3 1 x g 1 2 2 0 (2) 1 0 1 0 0 x5 6 5 3 1 -2 1 0 0 1 x g 3 3 -2 2 1 1 0 0 1 P 5 0 2 [3] 2 0 0 0 0 x3 1 1 0 1 1/2 0 0 0 x5 5 4 3 0 -5/2 1 0 1 x g 3 2 -3 (2) 0 1/2 0 1 P 2 -3 [2] 0 1/2 0 0 3 x3 1 1 0 1 1/2 0 0 x5 2 17/2 0 0 -13/4 1 2 x2 1 -3/2 1 0 1/4 0 f 5 -3 0 0 0 0
Bài toán có phương án tối ưu không duy nh¿t x* = (0, 1, 1, 0, 2) và fmin= 5.
b) Vì 4 ÿJ2 = {2, 3, 5} và 4 = 0 , nên theo phương z4 xây dựng được tập phư n ơ g án tối ưu: x(ñ) = x * + ñ.z4
trong đó x* = (0, 1, 1, 0, 2); z4 = (0, 1/4, 1/2, 1, 13/4); 0 ≤ ñ ≤ 2.
Bài toán có tập phương án tối ưu: 76
x = x* + ñz4 = (0,1ñ/4, 1ñ/2, ñ, 2 + 13ñ/4), với 0 ≤ ñ ≤ 2. ö 1 17 ö
c) Cho ñ = 2 có phương án cực biên tối ưu ˆx ý ÷0, , 0, 2, . ÷ ø 2 2 ø ö 3 1 21
Cho ñ = 1 có phương án tối ưu không cực biên ö x ý 0, , , 1, . ÷ ÷ ø 4 2 4 ø
Ví dā 4.5. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x  4x  2x 3,5x  max 1 2 3 4
ü2x x x x ý 4 1 2 3 4
ÿx  2x x ó 2 ÿ 1 2 4
ý 2x 2x x  2x ó 8 1 2 3 4 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 4) þ j
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm phương án tối ưu có thành phÁn x4 = 4.
Gii
a) Đưa bài toán về d¿ng chính tắc:
f (x) ý 2x  4x  2x 3,5x  max 1 2 3 4 2
ü x x x x ý 4 1 2 3 4 ÿ x  2
x x x ý2 ÿ 1 2 4 5 2
ý x 2x x  2x x ý 8 1 2 3 4 6 ÿ ÿ x 0 ó (j 1 ý ,6) þ j Xét bài toán phụ: g P ý x  min 1
ü2x x x x g x ý 4 1 2 3 4 1 ÿ ÿx 2
x x x ý2 1 2 4 5
ý2x  2x x  2x x ý 8 1 2 3 4 6 ÿ
ÿ x ó0 ( j 1 ý , 6), g x ó0 j 1 þ 77 Cơ Phương -2 4 -2 7/2 0 0 1 Hệ số sá án x g 1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 1 x g 1 4 (2) 1 -1 1 0 0 1 0 x5 2 -1 -2 0 1 1 0 0 0 x6 8 2 -2 1 -2 0 1 0 P 4 [2] 1 -1 1 0 0 0 -2 x1 2 1 1/2 -1/2 1/2 0 0 0 x5 4 0 -3/2 -1/2 3/2 1 0 0 x6 4 0 -3 (2) -3 0 1 -f -4 0 -5 [3] -9/2 0 0 -2 x1 3 1 -1/4 0 -1/4 0 1/4 0 x5 5 0 -9/4 0 3/4 1 1/4 -2 x3 2 0 -3/2 1 -3/2 0 1/2 -f -10 0 -1/2 0 0 0 -3/2
Vì k ó 0, kÿ {1, 3, 5} , bài toán có phương án tối ưu:
x* = (3, 0, 2, 0, 5, 0) và fmax = 10.
b) Vì 4 = 0, nên theo phương z4 ta xây dựng được tập phương án tối ưu : x(ñ) = x * + ñ.z4 20
trong đó x* = (3, 0, 2, 0, 5, 0); z4 = (1/4, 0, 3/2, 1, -3/4, 0) với 0 ó ñ ó . 3
x(ñ) = (3, 0, 2, 0, 5, 0) + ñ
.(1/4, 0, 3/2, 1, -3/4, 0) = (3+1/4.ñ, 0, 2+3/2.ñ, ñ, 5-3/4ñ, 0), 20 với 0 óñ ó . 3
Cho x4 = 4 ta có phương án tối ưu mới là: x = (4, 0, 8, 4, 5, 0).
Ví dā 4.6. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f (x) ý 2
x  6x  8x  5x  min 1 2 3 4
ü x  2x  4x x ý 5 1 2 3 4
ÿ2x 2x 2x 5x ý 2 ÿ 1 2 3 4
ý x 4x  2x ó 4 2 3 4 ÿ ÿ x ó0 (j 1 ý , 4) þ j
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm một phương án để hàm mục tiêu có giá trị f (x) ý 30. 78 Gii
a) Đưa bài toán về d¿ng chính tắc: f (x) ý 2
x  6x  8x  5x  min 1 2 3 4
ü x  2x  4x x ý 5 1 2 3 4 2
ÿ x 2x  2x  5x ý 2 ÿ 1 2 3 4
ý x 4x  2x x ý 4 2 3 4 5 ÿ x ÿ 0 ó ( j 1 ý , 5) j þ Xét bài toán phụ: g g
P ý x x  min 1 2
ü x  2x  4x x gx ý 5 1 2 3 4 1 ÿ2
ÿ x 2x 2x 5  x gx ý2 1 2 3 4 2
ý x 4x  2x x ý 4 ÿ 2 3 4 5 ÿ x ó0 ( j 1 ý , 5), g x 0 ó (i 1 ý , 2) þ j i Hệ Cơ Phương -2 -6 8 -5 0 1 1 số sá án x g g 1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 1 x g 1 5 1 2 -4 1 0 1 0 1 x g 2 2 2 (2) -2 -5 0 0 1 0 x5 4 0 1 -4 2 1 0 0 P 7 3 [4] -6 -4 0 0 0 1 x g 1 3 -1 0 -2 (6) 0 1 0 x2 1 1 1 -1 -5/2 0 0 0 x5 3 -1 0 -3 9/2 1 0 P 3 -1 0 -2 [6] 0 0 -5 x4 1/2 -1/6 0 -1/3 1 0 -6 x2 9/4 7/12 1 -11/6 0 0 0 x5 3/4 -1/4 0 -3/2 0 1 f -16 -2/3 0 14/3 0 0
Vì 3 > 0 và x ü 0, j þ {2, 4,5}, do đó bài toán có phương 3
z giÁm vô h¿n, nên j3 bài toán không giÁi đư c ợ . 79 ö 11 1 3 b) Phương 3 ö z ý 0, , 1, , ÷
÷là phương giÁm vô h¿n. Bài toán có tập phương ø 6 3 2 ø án giÁm vô h¿n: * 3 ö 9 1 3 ö ö 11 1 3 ö
x(ñ) ý x z ñ ý 0, , 0, ,  ñ 0, , 1, , ÷ 4 2 4 ÷ ÷ 6 3 2 ÷ ø ø ø ø ö 9 11ñ 1 ñ 3 3 ñ 0, , ñ, , , ö ý    ñ ó 0. ÷ 4 6 2 3 4 2 ÷ ø ø 14ñ b) Để * f ( ) x ý 3  0  f ( ( x )
ñ ) ý f ( x )  . ñ ý 1  6  ý 3  0  ñý 3. 3 3 ö 31 3 21
Vậy phương án phÁi tìm là: ö x(3) ý 0, , 3, , . ÷ ÷ ø 4 2 4 ø
Ví dā 4.7. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f (x) ý 2
x  6x  2x x  min 1 2 3 4
ü x  2x  2x x ý 6 1 2 3 4 2
ÿ x  2x x x ó 3 12 ÿ 1 2 3 4 3
ý x x 2x ó18 1 2 3 ÿ ÿ x ó j ý j 0 ( 1, 4) þ
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu. b) Vectơ y (ý 2,
 0, 0) có phÁi là phương án, phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu không?
Gii a) Bài toán đối ngẫu:
f( y) ý 6y 12y 18y  max 1 2 3
ü y  2 y  3y ó 2  (1') 1 2 3
ÿ 2 y  2y y ó 6 (2') 1 2 3
ÿ ÿÿ 2y y 2y ó 2 (3') 1 2 3
ý y 3y ó1 (4') ÿ 1 2 ÿ y 0 ó (5 ') 2 ÿ ÿþ y 0ó (6') 3
Các cặp ràng buộc đối ngẫu: 80 x ó 0  (1') 1 x ó 0  (2 ') 2 x ó 0  (3') 3 x ó 0  (4 ') 4
2x  2x x  3x ó 12  y ó 0 1 2 3 4 2
3x x  3x ó 18  y ó 0. 1 2 3 3 b) - Thay y (ý 2,
 0, 0) vào hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu ü 2 2.0 3.0 ý 2  (1') ÿ 2  ( 2  ) 2.0 0 ü6 (2 ')
ÿ ÿ 2( 2) 0 2.0 ü 2 (3') ý 2 3.0 ü1 (4') ÿ ÿ 0 = 0 (5') ÿ þ 0 = 0 (6') ta th¿y y (ý 2,
 0, 0) thỏa mãn t¿t cÁ các ràng buộc. Vậy y (ý 2,
 0, 0) là phương án của bài toán đối ngẫu. - Phương án y ( ý 2,
 0, 0) thỏa mãn lỏng các ràng buộc (2’), (3’), (4’) có các
ràng buộc đối ngẫu tương ứng là x2 ó 0, x3 ó 0, x4 ó 0.
Theo định lý đối ngẫu y (ý 2,
 0, 0) là phương án tối ưu nếu tồn t¿i phư n ơ g
án x của bài toán gốc thỏa mãn:
x ý x ý x ý 0. 2 3 4 Xét hệ: üx ý 6 1 x ü 2x 2x x 6 x ÿ    ý ÿ ý 0 1 2 3 4 2 ý  ý  x ý (6, 0, 0,0).
x ý x ý x ý þ 0 x ý 0 2 3 4 ÿ3 x ÿ 0 þ ý 4 Thay tọa đ
ộ của vectơ x = (6, 0, 0, 0) vào các ràng buộc còn l¿i của bài toán gốc 2
ü .6  2.0  0 3.0 ý12 ÿ3 ý .6  0  2.0 ý 18 x ÿ þ ý6 þ0 1
ta th¿y đều thỏa mãn, do đó x = (6, 0, 0, 0) là phương án tối ưu của bài toán gốc. 81 Vậy y (ý 2,
 0, 0) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Ví dā 4.8. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 5x  4x x  5x  2x  min 1 2 3 4 6 ü 2
x x  5x x ó 5 1 3 4 6 ÿ
ÿ x  2 x  2x  3x ó 6 1 2 4 6 ý 3x 4x 3  x 6x ó9 ÿ 1 4 5 6 x ÿ þ ,x 0 ó ,x 0 ó 1 4 6
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Chứng minh bài toán gốc giÁi được. Tìm tập phương án tối ưu của bài toán gốc. Gii
a) Bài toán đối ngẫu: f(y) ý 5y  6y  9 y  max 1 2 3 ü 2
y y 3 y ó 5 (1') 1 2 3 ÿ 2y ý4 (2') 2 ÿ ÿ y  1 ý (3') 1 ÿ5 ý y 2  y 4  y ó 5  (4 ') 1 2 3 ÿ 3y ý0 (5') 3 ÿ ÿ y 3  y 6  y ó2 (6 ') 1 2 3
ÿ y ó0; y ó0; y ó0 þ 1 2 3
Các cặp ràng buộc đối ngẫu:
 2y y  3y ó 5 x ó 0 1 2 3 1
5 y 2 y  4 y ó 5   x ó 0 1 2 3 4
y  3y  6y ó 2 x ó 0 1 2 3 6 y ó 0  (1) 1 y ó 0  (2) 2 y ó0 (3) 3 b) Ta có hệ con: ü2y ý 4 y ü ý 1 2 1 ÿ ÿ 0
ý  y ý 1  y
ý ý 2  y ý (1, 2, 0). 1 2 3 ÿ y 0 y ÿ ý ý0 þ 3 þ 3 Thay tọa độ 0y ( ý 1,
 2, 0) vào các ràng buộc còn l¿i của bài toán đối ngẫu: 82 
ü 2(1) 2 3.0 ý 4 ü 5 5 ÿ ÿ ( 1  ) 2  .2 4  .0 ý 9  ü 5  ý ( 1) 3.2 6.0ý 5þ 2 ÿ ÿ y ý 1
 ü 0; y ý 2 þ 0; y ý 0 þ 1 2 3
ta th¿y đều thỏa mãn. Do y0 là phương án duy nh¿t của bài toán đối ngẫu, nên y0 là
phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Vậy bài toán gốc giÁi được. - Phương án 0y ( ý 1,
 2, 0) thỏa mãn lỏng các ràng buộc: (1'),(4 '),(6 ') và 2 ràng
buộc về d¿u. Vì vậy mọi phương án tối ưu của bài toán gốc phÁi thỏa mãn chặt các
ràng buộc đối ngẫu tương ứng. Ta có hệ: x ü ý 0 1 üx ý 0 1 x ÿ ý 3  ÿ 2 x 0 ÿ ý 4 ÿ ÿ x ÿ ý 5  3 ýx ý 0  6 ý x ý 0 ÿ ÿ4 2
x x 5x x ý5; 1 3 4 6 ÿ x ÿ5 x
ÿ  2x x 2 x 3ý  6 ÿ þ 1 2 4 6 x ÿ ý 0 þ 6
Hệ có nghiệm: x ý (0,  3,  5, 0, x , 0). Thay tọa đ
ộ của x vào các ràng buộc 5
còn l¿i của bài toán gốc, ta tìm được x ó 3. 5
Vậy tập phương án tối ưu của bài toán gốc là:
x ý (0,  3,  5, 0, x , 0), với x ó 3. 5 5 C. BÀI TÂP
Bài 1. GiÁi bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý x  3x  3x  3x x  min 1 2 3 4 5 x
ü 4x x x ý 4 1 2 3 4
ÿ 2 x 2x x x ý 4 ÿ 2 3 4 5
ý x 2x 2x x ý 3 2 3 4 6 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý ,6) þ j
Bài 2. GiÁi bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý x  3x  5x  2x  3x  3x  min 1 2 3 4 5 6 83
ü x x x x ý 3 1 2 3 4 2
ÿ x  3x  2x x ý 2 ÿ 1 3 4 5
ý x x  3x x ý 3 1 3 4 6 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 6) þ j
Bài 3. GiÁi bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f (x) ý 2
x  2x  2x  2x x  min 2 3 4 5 6
ü x x  5 x x ý 5 1 2 3 5 2
ÿ x 3x x 2x ý 2 ÿ 1 3 4 5
ý x x 3x x ý5 1 3 5 6 ÿ x ÿ 0 ó ; j 1 ý ,6 þ j
Bài 4. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý x x x  3x  min 1 2 3 4
ü2x x x  5x ý 5 1 2 3 4 3
ÿ x  3x  6x ý 3 ÿ 1 3 4
ý2x x x ó 2 1 2 4 ÿ x ÿ 0 ó ( j 1 ý , 4) j þ
Bài 5. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình: f (x) ý 5
x x x  4x  max 1 2 3 4
ü 3 x x x x ý 4 1 2 3 4
ÿ x x x x 1 ó ÿ 1 2 3 4
ý 2x x  2x ó 6 1 2 3 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 4) j þ
Bài 6. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình: f (x) ý 2
x  3x  3x  2x  min 1 2 3 4
ü 2x  5x x 4 x  2 x ý 6 1 2 3 4 5
ÿ x2 +x2 x4 x2  x ý 2 ÿ 1 2 3 4 5 ý 2
x x 7 x 2 x ó6 1 2 3 4 ÿ x ÿ 0 ó ( j 1 ý ,5) þ j 84
Bài 7. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý 3x  4x  4x  5x x  min 1 2 3 4 5
ü x x x x x ó 3 1 2 3 4 5
ÿ x x x x x ó 2 ÿ 1 2 3 4 5
ý x x  2x  3x  2x ó 4 1 2 3 4 5 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 5) þ j
Bài 8. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý 2x  2x  3x  2x x  min 1 2 3 4 5
ü x x x  2x ý 16 1 2 4 5
ÿ x x  2x 2x ó35 ÿ 1 2 3 5
ý 2x 2x  4x ý 20 2 3 5 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý ,5) þ j
Bài 9. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý 4x  2x  3x  2x  min 1 2 3 4
ü 2x  2x x ý 14 1 3 4 ÿ 5x 3
x x x ó  2 62 1 2 3 4 ÿ ý 2
x 2 x 2 x x ý 16 1 2 3 4 ÿ x ÿ 0 ó ( j 1 ý , 4) þ j
Bài 10. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý 3x 3x x  3x  max 1 2 3 4 2
ü x x x  2x ó 5 1 2 3 4 3
ÿ x  2x  3x  6x ý 3 1 2 3 4 ÿ
ý x  2x  3x  2x ó 2 1 2 3 4 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 4) þ j
Bài 11. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý 3x  2x x  2x  min 1 2 3 4 85
ü x  3x x  4x  2x ý 5 1 2 3 4 5
ÿ 2x  2x  2x  2x ý 2 ÿ 1 2 3 4 ý 2
x x  5x  2x ó 4 1 2 3 4 ÿ x ÿ ó j ý j 0 ( 1, 5) þ
Bài 12. GiÁi bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
f (x) ý 3x x  4x  3x x  max 1 2 3 4 5
ü x 3 x x 4 x  2 x ý10 1 2 3 4 5
ÿ x  2x  2x  2x  2x ó 2 4 ÿ 1 2 3 4 5 ý 4
x  4x  3x  8x  4x ó15 1 2 3 4 5 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 5) þ j
Bài 13. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính sau:
f (x) ý 4x  6x 14x  5 / 2x  min 1 2 3 4
ü  3x  2x  2x ó 72 2 3 4 2 ÿ x 3
x x ý60 1 3 4 ÿ ý
2x  4x  3x  2x ý 36 1 2 3 4 ÿ x ÿ ó0 (j ý1,4) j þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Xác định một phương án có thành phÁn x ý 3 và cho biết tính ch¿t của phương 2 án đối với bài toán.
Bài 14. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x  4x  2x 3,5x  max 1 2 3 4
ü 2x x xx ý 20 1 2 3 4 ÿ x  2x x 1 ó 6 1 2 4 ÿ ý
2x  2 x x  2x ó 24 1 2 3 4 ÿ x ÿ ó j ý j 0 ( 1, 4) þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm phương án tối ưu có thành phÁn x4 = 10.
Bài 15. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x x  2x  2x x  min 1 2 3 4 5 86
ü x 2x  2x x ó 8 1 2 3 4
ÿ x + 2x x xx  10 ý ÿ 1 2 3 4 5 2
ý x x x 15 ó 1 2 3 ÿ ÿ x 0 ó ( j 1 ý ,5) j þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm phương án tối ưu có thành phÁn 1 x ý . 2 5
Bài 16. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 3x x  3x  2x  max 1 2 3 4
ü4x  3x x x ó 2 34 1 2 3 4 2
ÿ x 2x 3x ó60 ÿ 1 2 3
ý2x  2x  3x  4x ó 32 1 2 3 4 ÿ x ÿ ó j ý j 0 ( 1, 4) þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Xác định tập phương án tối ưu nếu thêm ràng buộc f (x) ó18 . Các phương án
tối ưu tìm được có phÁi là phương án cực biên của bài toán mới hay không? GiÁi thích.
Bài 17.Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x x  2x 1,5x x  min 1 2 3 4 5
ü x  2x  2x x ý12 1 2 3 4 ÿ 2x xxx  1 ý 0 ÿ 2 3 4 5 2
ý ,5x x x ó15 1 2 3 ÿ x ÿ 0 ó ( j 1 ý ,5) j þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm phương án tối ưu có thành phÁn x2 = 1.
Bài 18. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý x  2x c x  max 1 2 4 4
ü 2x 3x  4 x ó 5 1 2 3 ÿ 3
x 2x x ó 3  ÿ 1 2 3 ý
x x x ó 6 1 2 4 ÿ x ÿ ó0 ( j 1 ý , 4) þ j 87
a) Với c ý 1giÁi bài toán đã cho bằng phương pháp đơn hình. Xác định các 4
phương án cực biên tối ưu của bài toán và một phương án tối ưu không cực biên
có thành phÁn x ý 10 . 4
b) Với giá trị nào của c bài toán đã cho không giÁi được. GiÁi thích vì sao? 4
Bài 19. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x x  5x  min 1 2 3
ü3x x x ó 9 1 2 3
ÿ x  2x x ó5 ÿ 1 2 3
ý x  2x 2x ó3 1 2 3 ÿ ÿ x ó0 ( j 1 ý , 3) j þ
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Phân tích tính ch¿t của 0
x ý (3, 0, 0) đối với bài toán. Nêu tính ch¿t của
phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Bài 20. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 4x 12x 16x  min 1 2 3 üx  3x ó 6  1 2 ÿ
ýx  3x  4 x ó 2  1 2 3 ÿ x x  ó4 þ 2 3
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Vectơ x (ý 1, 1, 1) có phÁi là phương án cực biên, phương án tối ưu của bài toán gốc?
Bài 21. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý x  4x px  max 1 2 3 3
ü x 4 x  4 x ý 10 1 2 3 ÿ ÿ
ý x x x ý 1  1 2 3 ÿ x ÿ ó j ý j 0 ( 1,3) þ
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Với điều kiện nào của p thì vectơ x ý (2, 1, 0) là phương án tối ưu của bài toán
gốc và bài toán đối ngẫu có phương án cực biên tối ưu không suy biến; 88
c) Với giá trị p tìm được á câu b), chứng tỏ rằng x là phương cực biên tối ưu duy nh¿t.
Bài 22. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 3x x  8x  2x  2x  min 1 2 3 4 5
ü x  4x  4x x =14 1 3 4 5
ÿ x  2x  2x + x =  4 ÿ 1 3 4 5 ý 2
x x  4x  2x ý 20 1 2 3 5 ÿ x ÿ ó0, j 1 ý ,5 j þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình. b) Xác định phư n
ơ g án tối ưu của bài toán, khi hàm mục tiêu
g(x) ý x x  2x  6x  5x  min. 1 2 3 4 5
Bài 23. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x x 13x 10x 3x 1  4x  min 1 2 3 4 5 6
ü2x x x  2x  3x ý 45 1 3 4 5 6 2 ÿ x x  2x x x   x ý  2 8 ÿ 1 2 3 4 5 6
ýx  3x x x ý 20 1 3 4 5 ÿ x ÿ ó0( j 1 ý , 6) j þ
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Tìm tập phương án tối ưu của cặp bài toán đối ngẫu khi f(x)  max.
Bài 24. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý 2x 5x 4x  2x  min 1 2 3 4
ü2x x x 3ó  12 1 3 4 ÿ ÿ x + x 2  x =14 2 3 4 ÿ
ý4x +x 9x ó36 1 3 4 3
ÿ x x 2 x 5ó 23 1 3 4 ÿ x ÿ ó0, j 1 ý ,4 þ j 9
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình, tìm một phương án tối ưu có x ý . 1 2
b) Tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu và tính ch¿t của nó. 89
Bài 25. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính:
f (x) ý x x x  2x  min 1 2 3 4
üx  2x  2x  3x ó 20 1 2 3 4 ÿ
ý x  2 x  2 x ý 16 2 3 4 x ÿ ó0, x ó0 þ 1 2
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Không dùng thuật toán đơn hình, hãy chứng tỏ bài toán gốc giÁi được, hãy xác
định phương án cực biên tối ưu.
Bài 26.
Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f (x) ý 8
x  6x  4x  5x  min 1 2 3 4
ü x 2x x ó 7 1 3 4 ÿ 2     ý  ÿ 1 x x2 3 x x43 4 ý
x x 3 x  2 x ó 6 5 ÿ 1 2 3 4 ÿ x ó0, i 1 ý , 2, 4 þ i và vectơ 0 x ý (3, 0,  2, 0).
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Phân tích tính ch¿t của vectơ x0 đối với bài toán trên.
c) Xác định tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu. Tìm phương án tối ưu của
bài toán đối ngẫu có thành phÁn y ý 3. 1
Bài 27. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f (x) ý 4
x x  4x  3x  2x  min 1 2 3 4 5
ü 2x x  4x 5 x ó 1  0 1 2 4 5 ÿ ý x  3x x  2x ó3 1 2 3 4 ÿ 2 x 2
x x x 5 ó þ 2 3 4 5
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Xác định tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Bài 28. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f (x) ý 2
x 19x  5x  3x x  min 1 2 3 4 5 90  ü 2x x
xx  3x ó 2 27 1 2 3 4 5
ÿ x  2x  2x  3x ó 4 ÿ 1 2 3 5
ý x 3x x x ó17 1 2 3 4 ÿ ÿ x ó0, (j 1 ý , 5) þ j
a) Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b) Cho y ý (1,  2, 2), phân tích tính ch¿t của y đối với bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho.
c) Tìm tập phương án tối ưu của bài toán gốc.
d) Tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Bài 29. Cho bài toán quy ho¿ch tuyến tính: f øxù 5
ý 6x  14x x  4x  min 1 2 3 4 2
ü 3x  2x  2x ó 72 1 2 3 ÿ 3  x x 2  x = 60 ÿ 2 3 4 ý 4
x 3x 2x 2x ý36 1 2 3 4 ÿ ÿx 0 ó ( j 1 ý ,4) þ j
a) GiÁi bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b) Phân tích tính ch¿t vectơ x0 = (3, 0, 4, 28) đối với bài toán.
c) Xác định phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu và các tính ch¿t của nó.
D. H¯àNG DÀN - ĐÁP Sà ö11 3 5 ö
Bài 1. Bài toán có phương án cực biên tối ưu * x ý , 0,0, , , 0 ÷ ÷ với ø 2 2 2 ø 3 f ý  . min 2 ö 3 1 ö
Bài 2. Bài toán có phương án cực biên tối ưu * x ý , 1, 0, , 0, 0 ÷ ÷ với ø 2 2 ø 11 f ý . min 2
Bài 3. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ø2, 2, 0, 0, 1, 0ù với f ý 6  . min
Bài 4. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ø4, 6, 3, 0, 0ù với f ý13. min 91 ö3 1 5 ö
Bài 5. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ÷ , , 0, 0, 0, ÷ với ø 2 2 2 ø f ý 7  . max
Bài 6. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ø0, 2, 0, 0, 2, 4ù với f ý 6. min
Bài 7. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ø0, 3, 0, 0, 0, 0, 1, ù 1 với f ý 12. min
Bài 8. à bÁng thứ 3 của bài toán có phương z6 giÁm vô h¿n. Vậy bài toán không giÁi được.
Bài 9. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ø0, 1, 7, 0, 52ù với f ý 23. min
Bài 10. Bài toán có phương án cực biên tối ưu *
x ý ø0, 0, 3/2, 5/4, 6, 0ù với 21 f ý . max 4
Bài 11. P ý 2 þ 0 , nên bài toán không có phương án. min
Bài 12. P ý 4 þ 0 , nên bài toán không có phương án. min Bài 13.
a) Phương án cực biên tối ưu x* = (30, 6, 0, 0, 54) với fmin = 84.
b) x = (28, 3, 0, 4, 71, 0) là phương án tối ưu không cực biên. Bài 14.
a) Phương án cực biên tối ưu x* = (11, 0, 2, 0, 27, 0) với fmax = 26. ö27 39 ö b) x ý , 0,17,10, , 0 . ÷ ÷ ø 2 2 ø Bài 15. 3 ö 8 1 11 a) Phươ ö ng án cực biên tối ưu * x ý ÷ , 0, , 0, ÷ vớifmin = 63  . ø 5 5 5 ø 5 ö38 1 2 8 ö b) x ý , , , 0, ÷ ÷. ø 5 5 5 5 ø Bài 16.
a) Bài toán không bị chặn trên, do đó bài toán không giÁi được. Bài 17. ö 5 15 3
a) Bài toán có phương án cực biên tối ưu * ö x ý 7, 0, , 0, , 0 ÷ ÷ với f ý  . ø 2 2 ø min 2 92 ö 7 9 ö b) * x ý 7, 1, , 0, , 0 . ÷ ÷ ø 2 2 ø Bài 18. ö 7 53
a) Bài toán có phương án cực biên tối ưu * ö x ý 6, 0, , 0, 0, , 0 ÷ ÷ với ø 4 4 ø f ý 6. max Bài 19. b) 0
x ý (3, 0, 0) là phương án cực biên suy biến tối ưu.
Bài toán đối ngẫu có 2 phương án cực biên tối ưu: ö3 1 ö 2 1 2 ö ö y ý , 0, ; y ý , 0, 0 . ÷ ÷ ÷ ÷ ø 5 5 ø ø 3 ø ü 3 2
và tập phương án tối ưu không cực biên ü
ý(y , 0, 2 3y ) | ü y ü . 1 1 1 ý þ 5 3þ Bài 20.
b) x là phương tối ưu, nhưng không cực biên. Bài 21. b) p < 4. Bài 22.
a) Bài toán không giÁi được.
b) Phương án cực biên tối ưu: 0 x ý (2, 24, 0,3, 0). Bài 23.
a) Bài toán không giÁi được.
b) Bài toán gốc có phương án tối ưu x* = (65/3, 53, 0, 5/3, 0, 0)
Tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu: {y* = (5, -1, -6)} Bài 24.
a) Bài toán có phương án tối ưu phương án tối ưu là x = (6, 14, 0, 0, 0, 12, 5). 9 ö ö
Phương án tối ưu có x ý là * 9 7 x ý ,11, 3,0, 0,15, . 1 ÷ ÷ 2 ø 2 2 ø
b) Phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là y ý ø 1  , 5  ,0,0 ù.
y là phương án cực biên tối ưu suy biến của bài toán đối ngẫu. Bài 25.
Phương án cực biên tối ưu: (0, 0,  44, 36). 93 Bài 26. b) 0
x ý (3, 0,  2, 0)là phương án cực biên tối ưu suy biến.
c) Tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu 16
( y , 8y  28, 5 y  16), ó y ó  2. 1 1 1 1 5
Phương án tối ưu của bài toán đ i ố ngẫu 0y ( ý 3,  4, 1). Bài 27.
b) Tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu 0yý ( 1  , 2,  3). Bài 28.
b) y ý (1, 2, 2) là phương án tối ưu không cực biên.
c) x ý (10,0,7, 0,0) là phương án tối ưu duy nh¿t của bài toán gốc. ü 7 3 ü d) ø
ý 3y , y , 5y 12 |  ó y ó . 2 2 2 ù 2 ý þ 3 2 þ Bài 29. a) Phương án tối ưu *
x ý (6,0, 0,30,54) và fmin = 84. b) 0
x ý (3, 0, 4, 28) là phương án cực biên tối ưu.
c) Tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu: * y ý (0,1/ 2,3 / 2) . *
y là phương án cực biên suy biến duy nh¿t.
Tài lißu tham khÁo
[1] Lê Đình Thúy. Toán cao cp cho các nhà kinh tế. NXB Đ¿i học Kinh tế Quốc dân, 2012.
[2] Phùng Duy Quang. Hướng dn gii bài tp Toán cơ s ng dng trong kinh tế. NXB
Thông tin và Truyền thông.
[3] TrÁn Túc, Quy hoch tuyến tính, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2004.
[4] Nguyến Quang Dong, Ngô Văn Thứ, Hoàng Đình Tu¿n, Mô hình toán kinh tế,
NXB Đ¿i học Kinh tế Quốc dân, 2006.
[5] Hoàng Đình Tu¿n, Lý thuyết mô hình toán kinh tế, NXB Đ¿i học Kinh tế Quốc dân, 2007.
[6] Lê Tài Thu, Bài tp Toán cao cp, NXB Giáo dục Việt Nam, 2017.
[7] Lê Tài Thu, Bài tp Mô hình toán kinh tế, NXB Giáo dục Việt Nam, 2017. 94
MĀC LĀC Trang
Lãi nói đầu .................................................................................................................... 3
Ch°¢ng 1. Hàm sá mßt bi¿n sá
A. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................................... 4
B. Các ví dụ ................................................................................................................. 11
C. Bài tập .................................................................................................................... 19
D. Đáp số và hướng dẫn .............................................................................................. 24
Ch°¢ng 2. Hàm sá nhiÁu bi¿n sá
A. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................................... 28
B. Các ví dụ ................................................................................................................. 33
C. Bài tập .................................................................................................................... 38
D. Đáp số và hướng dẫn .............................................................................................. 42
Ch°¢ng 3. Mô hình toán kinh t¿
A. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................................... 44
B. Các ví dụ ........... ..................................................................................................... 49
C. Bài tập .................................................................................................................... 60
D. Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................. 65
Ch°¢ng 4. Bài toán quy ho¿ch tuy¿n tính
A. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................................... 68
B. Các ví dụ ........... ..................................................................................................... 73
C. Bài tập .................................................................................................................... 84
D. Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................. 68
Ch°¢ng 6. Ph°¢ng trình sai phân
A. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................................... 72
B. Các d¿ng bài tập ..................................................................................................... 79
C. Bài tập .................................................................................................................... 84
D. Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................. 92
Tài lißu tham khÁo ............................................................................... 94 95
ChÞu tr¸ch nhiÖm xuÊt b¶n:
Chñ tÞch Héi ®ång Thμnh viªn nguyÔn ®øc th¸i
Phã Tæng Gi¸m ®èc phô tr¸ch hoμng lª b¸ch
Phã Tæng Gi¸m ®èc kiªm Tæng biªn tËp TS. Phan xu©n thμnh
Tæ chøc b¶n th¶o vµ chÞu tr¸ch nhiÖm néi dung:
Phã Tæng biªn tËp TS. TRÀN QUANG VINH
Tæng biªn tËp T¹p chÝ To¸n häc vμ Tuæi trÎ TS. trÇn h÷u nam
Biªn tËp néi dung: Hå QUANG VINH
Tr×nh bµy b×a: thanh long ChÕ b¶n: MAI ANH
T¹p chÝ To¸n häc vµ Tuæi trÎ - Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc ViÖt Nam
gi÷ quyÒn c«ng bè t¸c phÈm.
BμI TËP to¸n KINH TÕ 1 M· sè: 7L001k0
In 1610 b¶n, khæ 17 ô 24 cm (Q§: /Q§-GD ngμy th¸ng 9 n¨m 2020)
In t¹i XÝ nghiÖp b¶n ®å 1 - Chi nh¸nh C«ng ty TNHH MTV Tr¾c ®Þa B¶n ®å. §Þa chØ:
§−êng §μm Quang Trung - Tæ 17 ph−êng Phóc §ång - Q. Long Biªn - TP. Hμ Néi
Sè xuÊt b¶n: 2728 - 2020/CXBIPH/1 - 1447/GD ISBN: 978-604-0-23151-2
In xong vμ nép l−u chiÓu th¸ng 9 n¨m 2020. 96