19 trang 6 lượt tải

Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số | Môn Đại số tuyến tính 1 - Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

12

Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số Môn Đại số tuyến tính 1. Tài liệu được sưu tầm gồm 19 trang, giúp bạn ôn tập tốt hơn. Mời các bạn đón xem. 

Môn: Đại số tuyến tính 1 10 tài liệu

Trường: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Linh Giang

1 tuần trước
Danh sách Quiz
/19
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
MỞ ĐẦU
Trong môn Toán ở trường THPT, các bài toán về dãy số và giới hạn dãy số là
một phần quan trọng của giải tích toán học. Dãy số ngày càng được quan tâm đúng
mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp
và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải.
Các bài toán dãy số không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà
còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học.
Trong các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia, Quốc tế các bài toán liên
quan đến dãy số đặc biệt là giới hạn dãy số được đề cập rất nhiều và có giá trị phân
hóa chất lượng bài thi cao.
Trong bài viết này tác giả trình bày một sô phương pháp tìm giới hạn dãy số:
phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của các dãy số đặc biệt, định lí kẹp,
phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn, phương pháp dùng sai phân, phương
pháp sử dụng tính chất của hàm số, phương trình, phương pháp lượng giác hóa...Một
điều quan trọng là sử dụng các kỹ thuật biến đổi linh hoạt, phù hợp, hiểu được các ý
tưởng trong từng phương pháp để giải quyết bài toán với hiệu quả tốt nhất.
Các ví dụ và bài tập được chọn lọc là các đề thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia,
quốc tế, các bài trên các tạp chí nỗi tiếng. Bài viết được trình bày theo hệ thống:
- Kiến thức sử dụng.
- Ý tưởng chính của phương pháp.
- Các ví dụ và hướng dẫn giải.
- Bài tập tự giải.
Tác giả hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học sinh bổ sung kiến thức về phần
dãy số trong các kì thi học sinh giỏi và tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn đọc.
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
1
2
NỘI DUNG
I) Phương pháp sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số
1. Kiến thức sử dụng:
Định nghĩa: limu L
n
0, N N
*
: n Nu L
n
Sử dụng:
- Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {x
n
} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi
> 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n N ta có |x
m
– x
n
| < .
- Nguyên lý ánh xạ co: Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)| q|x-y| với q là
hằng số 0 < q < 1 và {x
n
} bị chặn thì {x
n
} hội tụ. Đặc biệt nếu |f’(x)| q < 1
thì ta luôn có điều này.
Ý tưởng chính: Đánh giá u L qu
n
n 1
L q; 1 và u
n 1
u qu u q
n n
n 1
; 1
Phương pháp này thường được dùng khi ta thấy dãy số không tăng, không giảm.
2. Các ví dụ:
và u
n 1
1
u
n
2
1. Tìm giới hạn dãy Bài 1: (Đề thi HSG Quảng Bình) Cho dãy số u
1
2 số?
HD: Chứng minh: 1 u
n
0
Giải phương trình x x
2
1 x 1 3 a
u
n
2
a
2
1 3
Xét u a
n
1
1
u a u a
n n
u a
n
2 2 2 2
Suy ra limu
n
1 3
Bài 2: (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực (u
n
) xác định bởi:
u
1
a và u
n+1
= ln(3+cosu
n
+ sinu
n
) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, …
Chứng minh rằng dãy số (u
n
)có giới hạn hữu hạn.
cos x sin x 3 sin x cos
x
HD: Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 thì f '(x)
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
Từ đó, sử dụng đánh giá | cos x sin x | | sin x cos x | 2 ta suy ra
| q 1. | f '(x)
Áp dụng định lý Lagrange với m > n N, ta có
|u
m
– u
n
| = |f(u
m-1
) – f(u
n-1
)| q|u
m-1
-u
n-1
| … q
n-1
|u
m-n+1
– u
1
|.
Do dãy (u
n
) bị chặn và q < 1 nên dãy (x
n
) thoả mãn điều kiện Cauchy nên có giới hạn
hữu hạn.
1
Bài 3: (Đề thi vô địch Nga 1982) Cho dãy số u
1
1 và u
n 1
. Tìm giới hạn dãy
1 u
n
số?
HD: Chứng minh: 0 u
n
1
Bài 4: Cho dãy số (u
n
) định bởi u
1
(1, 2) và u
n+1
= 1 + u
n
– u
n
2
/2. Chứng minh
rằng (u
n
) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. HD: Chứng minh: rằng 1 < u
n
<
3/2
x
2
x
Giải phương trình x 1 x
u2
Xét u
n 1
a u|
n 1
2 | | 1 u
n
n
n
||u
n
2 |
2 2 4
Suy ra limu
n
2
3. Bài tập tự giải:
1
Bài 1: Cho dãy số u
1
2012 và u
n 1
. Tìm giới hạn dãy số?
4 3u
n
Bài 2: Cho dãy số
u a
1
và u
n 1
ln u
n
2
2012
2
2012
2
.Chứng minh dã số có
giới
hạn.
2
,
Gi
1
5
1
2
1
x
a
x
x
X
ét
1
1
1
2
2
1
1
1
5
1
5
1
n
n
n
n
n
u
a
a
u
u
a
a
u
u
Suy ra
1
5
lim
2
n
u
a
2
3
2
2
a
2
1
22
1
2
||
2
||
||
n
u
u
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
II) Phương pháp sử dụng công thức, tính chất của các dãy số đặc biệt 1.
Kiến thức sử dụng:
- Tính chất của các dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân
- Các công thức đối với các dãy số quen thuộc:
1 1 1
n n(
1) n n 1
1 2 3 ... nn n( 1)
1
2
2
2
3
2
... n
2
n n( 1)(2n 1)
3
3 3 3
n n( 1) 2
1 2 3 ... n 2
Ý tưởng chính: Đưa các dãy số về các dãy số quen thuộc
2. Các ví dụ:
1 1 1
Bài 1: Cho dãy số u
n
... .Tìm giới hạn dãy số?
1.2 2.3 nn( 1)
1 1 1 1 1 1 1
HD: u
n
... 1
1 2 2 3 n n 1 n 1
Suy ra limu
n
1
1
2
3
2
5
2
.... 2n 1
2
Bài 2: Cho dãy số u
n
2 2 2
2 .Tìm
giới hạn dãy số?
2 4 6 .... 2n
2 (2n n 1)(4n 1)
1
2
2
2
3
2
.... 2n
2
6 (4n 1)
HD: u
n
1
2 2 2
2
n n( 1)(2n 1) 2(n 1) 2 4 6 .... 2n 4.
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
6
Suy ra limu
n
1.
5u
n
4 . Tìm giới hạn dãy số?
Bài 3: Cho dãy số u
1
5 và u
n 1
u
n
2
HD: Chứng minh: u
n
4
u
n
4 1 6
Ta có: u
n 1
4 1
un 2 un 1 4 un 4
1 1 5
Xét x
n
u
n
4
n
u
n
4 5 6 1
Suy ra limu
n
4
Bài 4: Cho dãy số u
1
2
3 và u
n 1
2(2n
u
1)
n
u
n
1. Tìm giới hạn dãy số x
n
i
n
1
u
n
?
1 (2n 1)(2n 1) 1 1
HD: Đặt v
n
v
n
u
n
u
n
2 2n 1 2n 1
Suy ra lim x
n
1
Bài 5: Cho dãy số
u
1
1 và u
n 1
u
n
2
a
n
(0 a 1). Tìm giới hạn dãy số?
HD: Chứng minh: u
1
2
1;u
2
2
1 a u;
3
2
1 a a
2
;...;u
n
2
1 a a
2
...a
n
1
1 a
n
Suy ra: u
n
1 a
1
Vậy limu
n
1 a
Bài 6: Cho dãy số
u
1
2011 và u
n 1
n u
2
n 1
u
n
. Tìm giới hạn dãy số?
n2 1 un 1
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
HD: Ta có: 0 u
n
2
u
n 1
n
(n 1)(n 1) (n 1)(n 1)(n 2)n n 1 n 1
Mặt khác: u
n
2
u
n 1
2 2
u
n 2
... u
1
2011
n n n( 1) 2n 2n
Vậy limu
n
3. Bài tập tự giải:
1 1 1
Bài 1: Cho dãy số u
n
... . Tìm giới hạn dãy số?
1.2.3 2.3.4 n n( 1)(n 2)
1
3
3
3
5
3
.... 2n 1
3
Bài 2: Cho dãy số u
n
3 3 2
3
.Tìm giới
hạn dãy số?
2 4 6 .... 2n
Bài 3: Cho dãy số u
n
1 1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
2
. Tìm giới hạn dãy số?
2 3 4 n
Bài 4: Cho dãy số
u
1
1 và u
n 1
n
u
n
n
a
n
(0 a 1). Tìm giới hạn dãy số?
III) Phương pháp sử dụng định lí kẹp 1.
Kiến thức sử dụng:
- Định lí kẹp
v
n
u
n
w
n
n N
*
:limv
n
limw
n
a limu
n
a
Ý tưởng chính: Đánh giá dãy số qua hai dãy số tính được giới hạn
2. Các ví dụ:
1 2
1
2
3...
3
n
n
Bài 1: Cho dãy số u
n
n 2
.Tìm giới hạn
dãy số? n
1 2
1
2
3...
3
n nn
n
.
n
1
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
HD: 0 u
n n 2
n 2
0 n
n n
Suy ra limu
n
0
1.3.5.7...(2 1)
Bài 2: Cho dãy số u
n
.Tìm giới hạn dãy số?
2.4.6.8...(2 )
1.3.5.7...(2n 1) 1.3.5.7...(2n 1) 1
HD: 0 u
n
0
2.4.6.8...(2 )n 1.3 3.5 5.7... (2n 1)(2n 1) 2n 1 Suy ra limu
n
0 .
Suy ra limu
n
1
n n n
Bài 4: Cho dãy số u
n
2
2
...
2
. Tìm giới hạn dãy số?
n 1 n 2 n n
HD: Ta có:
n n n
2
n
2
n
.
2
u
n
n
.
2
1
2
u
n 2
1 n n
n 1 n n n 1
Suy ra lim x
n
1
Bài 5: Cho phương trình x
2 1
n
x
2
x 1. Chứng minh rằng phương trình có duy nhất
1 nghiệm dương x
n
. Tìm giới hạn dãy số x
n
?
HD: Ta chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm thuộc (1;2)bằng tính chất hàm
số liên tục và chứng minh dãy số x
n
là dãy số giảm.
2 1n 2 1 1 ... 1 xn
2
xn1 2n 1 xn
2
xn
Ta có: 1 xn xn xn 1
2n 1 2n 1
2n 1 6 6
1 1
2n 1 2n 1
Bài
3
:
Cho dãy s
n
n
un
. Tìm gi
ãy s
?
HD
:
Ta c
ó
:
2
2
2
11
...1
1.1...1.
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
n
n
n
n
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
Suy ra lim x
n
1
3. Bài tập tự giải: 2n
Bài 1: Cho dãy số u
n
. Tìm giới hạn dãy số? n!
Bài 2: Cho dãy số u
n
n
1 a
n
.Tìm giới hạn dãy số?
1 2
2
... n
n
Bài 2: Cho dãy số u
n
n
.Tìm giới hạn dãy số? n
IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn 1.
Kiến thức sử dụng:
- Định lí: Dãy số tăng bị chặn trên (giảm bị chặn dưới) thì tồn tại giới hạn
Ý tưởng chính: Chứng minh dãy số đơn điệu
Chứng minh dãy số bị chặn
Giải phương trình tìm giới hạn
2. Các ví dụ:
Bài 1: (Đề thi HSG lớp 11 Quảng Bình) Cho dãy số u
1
2008 và
1 2008
u
n 1
2007u
n
2007
(n 1)
2008 u
n
Tìm giới hạn dãy số?
HD: Chứng minh:
1 2008 1 2008
2008
un 1 2007un 2007 u un n+...+u +n 2007 2008
2008 u
n
2008 u
n
1 2008 1 2008 u
n
2008
Ta có un 1 2007un 2007 un 2007 0
2008 u
n
2008 u
n
Suy ra limu
n
2008
2008
x
1
3
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
Bài 2: ( Đề thi HSG Quốc gia năm 2012) Cho dãy số n 2 .Tìm giới
xn (xn 1 2)
3n
hạn dãy số?
n 2
HD: Chứng minh: x
n 1
(n 3) . Khi đó n 1
n 2 2[(n 2)(n 1)x
n 1
]
Xét hiệu x
n
x
n 1
(x
n 1
2) x
n 1
.
3n 3n
Suy ra (x
n
) là dãy số giảm kể từ số hạng thứ hai. Ngoài ra, theo (1), nó bị chặn dưới
bởi 1. Theo tính chất của dãy đơn điệu, tồn tại giới hạn hữu hạn lim x
n
a. Chuyển
n n 2
1
đẳng thức x
n
(x
n 1
2) sang giới hạn, ta được a (a 2) a 1.
3n 3
Vậy lim x
n
1.
n
un3 3un
Bài 3: Cho dãy số u
1
2012 và u
n 1
2
. Tìm giới hạn dãy số?
3u
n
1
(u
n
1)
3
HD: Ta có: u
n 1
1
2
0
3u
n
1
2u
n
3
2u
n
Xét hiệu u
n 1
u
n 2
0. Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại
3u
n
1
giới hạn. Suy ra limu
n
1
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
x
n
2
1
ln
2
x
x
Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn. Suy ra limu
n
0 Bài
5: Cho dãy số 0
u
n
1 và u
n 1
(1 u
n
) . Tìm giới hạn dãy số?
HD: Ta có: u
n 1
(1 u
n
) u
n
(1 u
n
) u
n 1
u
n
Do đó dãy số giảm và bị chặn nên tồn tại giới hạn. Suy ra limu
n
u
Bài 6: Cho dãy số {x
n
} xác định bởi u
1
2 và u
n 1
2
n
. Chứng minh rằng dãy {u
n
} có
giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
HD: Đặt f (x) ( 2)
x
n
thì dãy số có dạng x
0
2 và x
n+1
= f(x
n
). Ta thấy f(x) là hàm
2 số tăng và x
1
2 2 x
0
. Suy ra {x
n
} là
dãy số tăng.
Chứng minh bằng quy nạp rằng x
n
< 2.
Vậy dãy {x
n
} tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy có giới hạn hữu hạn. Gọi a là giới hạn
đó thì chuyển đẳng thức x
n
sang giới hạn, ta được a 2
a
. Ngoài ra ta cũng có a 2.
Xét phương trình x ln( 2) x 2. Suy ra limu
n
2
x
3. Bài tập tự giải:
1 2012
Bài 1: Cho dãy số
u
1
2012 và u
n 1
u
n
. Tìm giới hạn dãy số?
2 u
n
u
n
2
6
Bài 2: Cho dãy số u
1
2012 và u
n 1
. Tìm giới hạn dãy số?
2u
n
1
2n
Cho dãy số u
n
. Tìm giới hạn dãy số? n!
Bài
4
:
Cho dãy s
1
1
u
v
à
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
u
u
u
uu
.
Tìm gi
ãy s
?
HD
:
Ta c
ó
:
1
2
2
2
0
1
1
n
n
n
n
n
n
u
u
u
u
u
u
M
2
2
2
2
3
1
1
3
1
1
4
4
2
2
n
n
n
n
n
n
u
uu
u
u
u
2
2
3
1
3
1
2
2
2
2
2
n
n
u
u
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
2
u
n
u
n
ln 2 1 1
Bài 3: Cho dãy số
u
1
2012 và u
n 1
un
. Tìm giới hạn dãy số?
2 ln 2 1
n
Bài 4: Cho dãy số u
n 1
1
1
. Tìm giới hạn dãy số?
n
Bài 5: Cho dãy số
u b
1
và u
n 1
u
n
2
(1 2 )a u
n
a
2
. Xác định a, b để dãy số có giới hạn
và tìm giới hạn dãy số?
n 1 2
1
2
2
2
n
Bài 6: Cho dãy số u
n 1
n 1
... . Tìm giới hạn dãy số?
2 1 2 n
V) Phương pháp sử dụng sai phân 1.
Kiến thức sử dụng:
n n
- Sai phân:
k
x
k 1
x
k
k
x
k 1
x
k
x
n 1
x
1
k 1 k 1
Ý tưởng chính: Biểu diễn tổng các số hạng qua sai phân
2. Các ví dụ:
u = 2008
1
Bài 1:
2 2
u
n+1
= u - 4013u + 2007 (n
n n
1)
a) Chứng minh: u
n
n + 2007 .
1 1 1
b) Đặt x =
n
+ + ... + u - 2006
1
u - 2006
2
u - 2006
n
Tìm limx
n
HD: a) Bạn đọc tự giải. Câu b):
u
n 1
u
n
2
- 4013
u
n
2007
2
(u
n 1
2007) (u
n
2006)(u
n
2007)
1 1
u
n 1
2007 (u
n
2006)(u
n
2007)
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
1 1 1
u
n 1
2007 u
n
2007 u
n
2006
Suy ra
1 1 1 x
n
...
u
1
- 2006 u
2
- 2006 u
n
- 2006
1 1 1
1
u
1
- 2007 u
n 1
- 2007 u
n 1
- 2007
Suy ra limu
n
1
u
1
1
Bài 2: Cho dãy số (u
n
) xác định như sau: uu
n
n
1
1 u
n2011
,
n N n, 1
Tính lim
u
12011
u
22011 ...
u
n2011
u2 u3 un 1
HD: Ta có:
un 1 1 un2011 un 1 u un n2012 un 1 u un n2012 1 1 un2011
un u un n 1 un 1
Suy ra: u12011 u22011 ... un2011 1 1 1 1
u2 u3 un 1 u u1 n 1 un 1
1
Chứng minh limu
n
lim 0
un 1
Vậy lim
u
12011
u
22011 ...
u
n2011 =1
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
u2 u3 un 1
u
1
5
2010
Bài 3: Cho dãy số: un 3un 16
un 1 un2009 un 11
n
1
Tính
lim
2009
i 1 ui 7
HD: Ta có:
un2009 7 un 4 1 1 1
un 1 4 2009 2009 u
n
7 (u
n
4) u
n 1
4 u
n
4 u
n
7
n
1 1 1 1
Suy ra: 2009 1 i 1 ui 7
u1 4 un 1 4 un 1 4
1
Chứng minh limu
n
lim 0 un 1 4
n
1
Vậy
lim
2009 =1
i 1 ui 7
n 1 2
n
1
Tính
lim
2
i 1 ui
1 1 1
Bài
4
:
Cho dãy s
(
n
u
)
xác đ
1
2
1
2
4
1
,
,
n
n
n
u
u
uu
u
nNn
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
HD: Ta có:
2
ui ui 1 ui
n
1 1 1 1 1
Suy ra: 2
2
6 i 1 ui u1 u u1 n
un
1
Chứng minh limu
n
lim 0 un
n
1
Vậy
lim
2 =6
i 1 ui
lim x
n
1
3. Bài tập tự giải:
u
1
3
Bài 1: Cho dãy số: 1
2
u
n 1
u u
n
n
2 (n 1)
2
n
1
Tính
lim
?
n i 1
u
i
u
1
1 Bài 2: Cho dãy số:
un 1
u u
n
(
n
1)(u
n
2)(u
n
3) 1 (n 1)
n
1
Tính
lim
?
n i 1
u
i
2
u a
1
1
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
Bài 3: Cho dãy số:
2
2010u
n 1
u
n
2009u
n
(n 1)
n u
i
Tính
lim
?
n i 1 ui 1 1
VI) Phương pháp lượng giác hóa 1.
Kiến thức sử dụng:
- Biểu diễn số hạng tổng quát của dãy số bằng công thức lượng giác để
tính giới hạn: công thức nhân đôi, nhân ba, các hằng đẳng thức lượng giác.
- Ý tưởng chính: Nhận dạng và dùng công thức lượng giác phù hợp để
biểu diễn các số hạng của dãy số. Chú ý các số hạng đầu là các giác trị lượng giác
đặc biệt nào?
2. Các ví dụ:
1
2
u
n
Bài 1: Cho dãy số u
1
và u
n 1
2u
n
1. Tìm giới hạn dãy số ?
2 n
1
HD: Ta có: u
1
cos
2 3
2n
Ta có u
n 1
cos
3
u
n
Suy ra lim 0 n
x
1
1
Bài 2: Cho dãy số 1 x
n
2
1 .Tìm giới hạn dãy số?
xn 1
x
n
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
HD: Chứng minh:
x
n
tan
n 1
. Vậy lim x
n
0.
2 n
1 1
1
2 và x
n 1
2 x
n
x
n
2
4
n Tìm giới hạn dãy số?
Bài 3: Cho dãy số x
1
1
1
HD: Chứng minh:
x
n
n
cot
n 1
. Vậy lim x
n
.
2 2 n 2
4
u
n
Tìm giới hạn dãy số u
n
? Bài 4: Cho
dãy số
u
1
2 và u
n 1
4 2
.
u
n
8u
n
8 n
1 8 8
2 4 2 2
HD: Ta có: 1
2
4
a
n 1
1 8a
n
8a
n
2(2a
n
1) 1
un 1 un un
1 4
n
Mặt khác: a
1
cos . Ta có u
n 1
cos
2 3 3
u
n
Suy ra lim 0 n
Bài 5: Cho dãy số u
n
. Tìm giới hạn dãy số u
n
?
HD: Chứng minh:
x
n
tan
n 1
. Vậy lim x
n
0.
2 n
2
2
2...
2
2
2
2...
2
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
3. Bài tập tự giải:
1
n
Bài 1: Cho dãy số u
1
và u
n 1
.
Tìm giới hạn dãy số 2 u
n
? 2
u
n
Bài 2: Cho dãy số u
1
3 và u
n 1
. Tìm giới hạn
dãy số ?
n
n u
n
v
n
Bài 3: Cho 2 dãy số
u a
1
0 và u
n 1
,
v b
1
0; b a và v
n 1
u
n 1
v
n
. Tìm giới
2
hạn hai dãy số?
VI) Phương pháp sử các tính chất của hàm sô (dãy số cho bởi phương trình) 1.
Kiến thức sử dụng:
- Tính chất của hàm số: tính liên tục và các định lí liên quan: định lí về
giá trị trung gian, chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất; đạo hàm, ứng
dụng của đạo hàm và định lí Lagrange, ...
- Ý tưởng chính: Sử dụng các tính chất của hàm số để xác định số hạng
dãy số cho bởi phương trình.
2. Các ví dụ:
n
xn 1 xn 2 x 1
Bài 1: Cho x
n
là nghiệm của phương trình: x
2
...
n 1
n
2 2 2 2
Chứng minh rằng phương trình có duy nhất một nghiệm dương. Tính lim x
n
?
HD: Phương trình tương đương f
n
( )x 2
n n
x 2
n
1
x
n
1
... 2x 1 0
Ta có: f
n
(0) 0 và f
n
( )1 0 nên x
n
0
;
1
. Dãy số x
n
giảm, suy ra tồn tại giới hạn
2 2
2x
n
(1 (2x
n
) )
n
1
lim x
n
a. Ta có: 1 a
1 2x
n
4
1 1 1
Bài 2: Ký hiệu x
n
là nghiệm của phương trình ... 0
x x 1 x n
thuộc khoảng (0, 1)
2
2
21
2
n
u
3
1
3
n
u
u
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
a) Chứng minh dãy {x
n
} có giới hạn.
b) Hãy tìm giới hạn đó.
1 1 1
HD: x
n
được xác định duy nhất vì hàm số f
n
(x) ... liên tục và đơn
x x 1 x n
1
điệu trên (0, 1). Ta có: f
n 1
( )x f
n
( )x f
n 1
( )x 0 có nghiệm x
n 1
(0;x
n
). Do x n 1
đó dãy số giảm. Giả sử lim x
n
a. Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 = ... ... 0 x
n
x
n
1 x
n
n x
n
1 2 n a a
Vậy ta phải có lim x
n
= 0.
Bài 3: (VMO 2007) Cho số thực a > 2 và f
n
(x) = a
10
x
n+10
+ x
n
+ …+x + 1.
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình f
n
(x) = a luôn có
đúng một nghiệm dương duy nhất.
b) Gọi nghiệm đó là x
n
, chứng minh rằng dãy {x
n
} có giới hạn hữu hạn khi n dần
đến vô cùng.
HD: a) Hàm số f
n
(x) tăng trên (0, + ) và f (0) 0 và f (1) 0 nên 0 < x
n
< 1.
Chứng minh dãy x
n
tăng, tức là x
n+1
> x
n
.
Xét f
n+1
(x
n
) = a
10
x
n
n+11
+ x
n
n+1
+ x
n
n
+ … + x + 1 = x
n
f
n
(x
n
) + 1 = ax
n
+ 1
Suy ra f (1) a và f x(
n
) a , do đó x
n
< x
n+1
< 1. Đặt c = (a-1)/a < 1 f
n
(c) –
f
n
(x
n
) = kc
n
(với k = (a-1)((a-1)
9
– 1) > 0) Theo định lý Lagrange thì
f
n
(c) – f
n
(x
n
) = f’( )(c – x
n
) với thuộc (x
n
, c)
Nhưng f’( ) = (n+10)a
10 n+9
+ n
n-1
+ …+ 1 > 1 nên từ đây suy ra kc
n
> c - x
n
Từ đó ta có c – kc
n
< x
n
< c Vậy lim x
n
= c.
3. Bài tập tự giải:
Bài 1: (VMO 2002) Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình
1 1 1 1
...
2
có một nghiệm duy nhất x
n
> 1. Chứng minh rằng khi n x 1 4x 1 n x 1 2
dần đến vô cùng, x
n
dần đến 4.
lOMoARcPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
Bài 2: Cho n là một số nguyên dương > 1. Chứng minh rằng phương trình x
n
= x
2
+
x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x
n
. Hãy tìm số thực a sao cho giới
hạn limn
a
(x
n
x
n 1
) tồn tại, hữu hạn và khác 0.
n
KẾT LUẬN
Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong giải tích toán học. Các bài toán liên
quan đến dãy số luôn mang đến sự hấp dẫn bởi kỹ thuật và phương pháp giải chúng.
Bài viết trình bày một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số, các ý tưởng, ví dụ và
bài tập đã được sắp xếp một cách có hệ thống nhằm giúp cho đối tượng học sinh có
điều kiện ôn tập, nghiên cứu, phát triển.
Do trình độ còn hạn chế nên trong bài viết không thể tránh khỏi những sai sót
về trình bày cũng như về chuyên môn. Rất mong bạn đọc góp ý kiến. Xin chân
thành cảm ơn.

Tài liệu khác của Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

Preview text:

lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số MỞ ĐẦU
Trong môn Toán ở trường THPT, các bài toán về dãy số và giới hạn dãy số là
một phần quan trọng của giải tích toán học. Dãy số ngày càng được quan tâm đúng
mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp
và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải.
Các bài toán dãy số không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà
còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học.
Trong các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia, Quốc tế các bài toán liên
quan đến dãy số đặc biệt là giới hạn dãy số được đề cập rất nhiều và có giá trị phân
hóa chất lượng bài thi cao.
Trong bài viết này tác giả trình bày một sô phương pháp tìm giới hạn dãy số:
phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của các dãy số đặc biệt, định lí kẹp,
phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn, phương pháp dùng sai phân, phương
pháp sử dụng tính chất của hàm số, phương trình, phương pháp lượng giác hóa...Một
điều quan trọng là sử dụng các kỹ thuật biến đổi linh hoạt, phù hợp, hiểu được các ý
tưởng trong từng phương pháp để giải quyết bài toán với hiệu quả tốt nhất.
Các ví dụ và bài tập được chọn lọc là các đề thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia,
quốc tế, các bài trên các tạp chí nỗi tiếng. Bài viết được trình bày theo hệ thống: - Kiến thức sử dụng.
- Ý tưởng chính của phương pháp.
- Các ví dụ và hướng dẫn giải. - Bài tập tự giải.
Tác giả hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học sinh bổ sung kiến thức về phần
dãy số trong các kì thi học sinh giỏi và tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn đọc. lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số NỘI DUNG
I) Phương pháp sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số
1. Kiến thức sử dụng:
Định nghĩa: limu Ln 0, N N* : n Nu Ln Sử dụng: -
Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi
> 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n N ta có |xm – xn| < . -
Nguyên lý ánh xạ co: Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)| q|x-y| với q là
hằng số 0 < q < 1 và {xn} bị chặn thì {xn} hội tụ. Đặc biệt nếu |f’(x)| q < 1
thì ta luôn có điều này.
Ý tưởng chính: Đánh giá u L qun n 1 L q; 1 và un 1 u qu u qn n n 1 ; 1
Phương pháp này thường được dùng khi ta thấy dãy số không tăng, không giảm.
2. Các ví dụ:
Bài 1: (Đề thi HSG Quảng Bình) Cho dãy số u1 và u 1 2 n 1
un 1. Tìm giới hạn dãy 2 số?
HD: Chứng minh: 1 un 0 Giải phương trình 1
x x2 1 x 1 3 a 2 un2 a2 1 3 Xét u an 1 1 u a u an n u an 2 2 2 2 Suy ra limun 1 3
Bài 2: (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực (un) xác định bởi:
u1 a và un+1 = ln(3+cosun + sinun) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, …
Chứng minh rằng dãy số (un )có giới hạn hữu hạn.
cos x sin x 3 sin x cos x
HD: Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 thì f '(x) lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
Từ đó, sử dụng đánh giá | cos x sin x | 2 ,
| sin x cos x | 2 ta suy ra 2 | f '(x) | q 1. 3 2
Áp dụng định lý Lagrange với m > n N, ta có
|um – un| = |f(um-1) – f(un-1)| q|um-1-un-1| … qn-1|um-n+1 – u1|.
Do dãy (un) bị chặn và q < 1 nên dãy (xn) thoả mãn điều kiện Cauchy nên có giới hạn hữu hạn. 1
Bài 3: (Đề thi vô địch Nga 1982) Cho dãy số u1 1 và un 1 . Tìm giới hạn dãy 1 un số?
HD: Chứng minh: 0 un 1 1 5 1 Gi ình x x a 1 x 2 1 u a X 1 2 2 ét n u n 1 a u a 1 n u 1 a 1 5 1 u n 1 5 n 5 1 Suy ra lim u n a 2
Bài 4: Cho dãy số (u 2
n) định bởi u1 (1, 2) và un+1 = 1 + un – un /2. Chứng minh
rằng (un) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. HD: Chứng minh: rằng 1 < un < 3/2 Gi ải phương trình x 2 a 1 x x2 x u2 2 u n 1 22 1 2 || u 2 || ||
Xét un 1 a u| n 1 2 | | 1 un n n ||un 2 | 2 2 4 Suy ra limun 2
3. Bài tập tự giải: 1
Bài 1: Cho dãy số u1 2012 và un 1
. Tìm giới hạn dãy số? 4 3un
Bài 2: Cho dãy s u a ố 1 và u 2 n 1 ln un 20122
20122 .Chứng minh dã số có giới hạn. lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
II) Phương pháp sử dụng công thức, tính chất của các dãy số đặc biệt 1.
Kiến thức sử dụng:
- Tính chất của các dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân
- Các công thức đối với các dãy số quen thuộc: 1 1 1 n n( 1) n n 1 1 2 3 ... nn n( 1) 12 22 32 ... n2 n n( 1)(2n 1) 3 3 3 3 n n( 1) 2 1 2 3 ... n 2
Ý tưởng chính: Đưa các dãy số về các dãy số quen thuộc
2. Các ví dụ: 1 1 1
Bài 1: Cho dãy số un ... .Tìm giới hạn dãy số? 1.2 2.3 nn( 1) 1 1 1 1 1 1 1 HD: un ... 1 1 2 2 3 n n 1 n 1 Suy ra limun 1 12 32 52 .... 2n 1 2
Bài 2: Cho dãy số u n 2 2 2 2 .Tìm giới hạn dãy số? 2 4 6 .... 2n
2 (2n n 1)(4n 1)
12 22 32 .... 2n 2 6 (4n 1) HD: un 1 2 2 2 2
n n( 1)(2n 1) 2(n 1) 2 4 6 .... 2n 4. lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số 6 Suy ra limun 1.
5un 4 . Tìm giới hạn dãy số?
Bài 3: Cho dãy số u1 5 và un 1 un 2
HD: Chứng minh: un 4 un 4 1 6 Ta có: un 1 4 1 un 2 un 1 4 un 4 1 1 5 Xét xn un 4 n un 4 5 6 1 Suy ra limun 4 Bài 4: Cho dãy s 2 ố u1 3 và un 1
2(2n u1)n un 1. Tìm giới hạn dãy số xn n i 1 un ? 1 (2n 1)(2n 1) 1 1
HD: Đặt vn vn un un 2 2n 1 2n 1 Suy ra lim xn 1
Bài 5: Cho dãy s u ố 2 1 1 và un 1 un
an (0 a 1). Tìm giới hạn dãy số?
HD: Chứng minh: u 2 2 2 2 1
1;u2 1 a u; 3 1 a a2;...;un 1 a a2 ...an 1 1 an Suy ra: un 1 a 1 Vậy limun 1 a
Bài 6: Cho dãy s u
ố 1 2011 và un 1 n u2 n 1 un . Tìm giới hạn dãy số? n2 1 un 1 lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
HD: Ta có: 0 un 2 un 1 n (n 1)(n 1)
(n 1)(n 1)(n 2)n n 1 n 1 Mặt khác: un 2 un 1 2 2 un 2 ... u1 2011 n n n( 1) 2n 2n Vậy limun
3. Bài tập tự giải: 1 1 1
Bài 1: Cho dãy số un ...
. Tìm giới hạn dãy số? 1.2.3 2.3.4 n n( 1)(n 2) 13 33 53 .... 2n 1 3
Bài 2: Cho dãy số u n 3 3 2 3 .Tìm giới hạn dãy số? 2 4 6 .... 2n
Bài 3: Cho dãy số un 1 12 1 12 1 12
1 12 . Tìm giới hạn dãy số? 2 3 4 n
Bài 4: Cho dãy s u ố n
1 1 và un 1 n un
an (0 a 1). Tìm giới hạn dãy số?
III) Phương pháp sử dụng định lí kẹp 1.
Kiến thức sử dụng: - Định lí kẹp
vn un wn n N* :limvn limwn a limun a
Ý tưởng chính: Đánh giá dãy số qua hai dãy số tính được giới hạn
2. Các ví dụ: 1 21 2 3...3 nn
Bài 1: Cho dãy số u n n 2 .Tìm giới hạn dãy số? n
1 21 2 3...3 n nnn . n 1 lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số HD: 0 un n 2 n 2 0 n n n Suy ra limun 0 1.3.5.7...(2 1)
Bài 2: Cho dãy số un .Tìm giới hạn dãy số? 2.4.6.8...(2 ) 1.3.5.7...(2n 1) 1.3.5.7...(2n 1) 1 HD: 0 un 0 2.4.6.8...(2 )n 1.3 3.5
5.7... (2n 1)(2n 1) 2n 1 Suy ra limun 0 . Bài n
3 : Cho dãy s n un . Tìm gi ãy s ? HD : Ta c ó : n n 11 ...1 n n n 2 2 n 2 1 n u
n 1.1...1. n n 1 1 n n n Suy ra limun 1 n n n
Bài 4: Cho dãy số un 2 2 ... 2
. Tìm giới hạn dãy số? n 1 n 2 n n HD: Ta có: n n n2 n2 n. 1 2 un n. 2 2 un 2 1 n n
n 1 n n n 1 Suy ra lim xn 1
Bài 5: Cho phương trình x2 1n x2
x 1. Chứng minh rằng phương trình có duy nhất
1 nghiệm dương xn. Tìm giới hạn dãy số xn?
HD: Ta chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm thuộc (1;2)bằng tính chất hàm
số liên tục và chứng minh dãy số xn là dãy số giảm. 2 2 2 1n 2
1 1 ... 1 xn xn1 2n 1 xn xn Ta có: 1 xn xn xn 1 2n 1 2n 1 2n 1 6 6 1 1 2n 1 2n 1 lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số Suy ra lim xn 1
3. Bài tập tự giải: 2n
Bài 1: Cho dãy số un . Tìm giới hạn dãy số? n!
Bài 2: Cho dãy số un n 1 an .Tìm giới hạn dãy số? 1 22... nn
Bài 2: Cho dãy số u n
n .Tìm giới hạn dãy số? n
IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn 1.
Kiến thức sử dụng:
- Định lí: Dãy số tăng bị chặn trên (giảm bị chặn dưới) thì tồn tại giới hạn
Ý tưởng chính: Chứng minh dãy số đơn điệu
Chứng minh dãy số bị chặn
Giải phương trình tìm giới hạn
2. Các ví dụ:
Bài 1: (Đề thi HSG lớp 11 Quảng Bình) Cho dãy số u1 2008 và 1 2008 un 1 2007un 2007 (n 1) 2008 un Tìm giới hạn dãy số? HD: Chứng minh: 1 2008 1 2008 2008 un 1 2007un 2007
u un n+...+u +n 2007 2008 2008 un 2008 un 1 2008 1 2008 u 2008 n Ta có un 1 2007un 2007 un 2007 0 2008 un 2008 un
Suy ra limun 2008 2008 x1 3 lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
Bài 2: ( Đề thi HSG Quốc gia năm 2012) Cho dãy số n 2 .Tìm giới xn (xn 1 2) 3n hạn dãy số? n 2
HD: Chứng minh: xn 1
(n 3) . Khi đó n 1 n 2
2[(n 2)(n 1)xn 1] Xét hiệu xn xn 1 (xn 1 2) xn 1 . 3n 3n
Suy ra (xn) là dãy số giảm kể từ số hạng thứ hai. Ngoài ra, theo (1), nó bị chặn dưới
bởi 1. Theo tính chất của dãy đơn điệu, tồn tại giới hạn hữu hạn lim xn a. Chuyển n n 2 1 đẳng thức xn
(xn 1 2) sang giới hạn, ta được a (a 2) a 1. 3n 3 Vậy lim xn 1. n un3 3un
Bài 3: Cho dãy số u1 2012 và un 1 2
. Tìm giới hạn dãy số? 3un 1 (un 1)3
HD: Ta có: un 1 1 2 0 3un 1 2un3 2un
Xét hiệu un 1 un
2 0. Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại 3un 1
giới hạn. Suy ra limun 1 lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số Bài 2 4 : Cho dãy s 1 u 1 v à 2 un 1 un u n 1 n
uu n 1 . Tìm gi ãy s ? 2 u HD n : Ta c ó : u n 1 0 2 2 un u n 1 un u n 1 2 2 1 3 1 3 M 2 2 u n n u 1 n uu n 1 un u 2 n 4 2 4 2 2 1 1 3 3 u n un 2 2 2 2 2
Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn. Suy ra limun 0 Bài 5: Cho dãy s u
ố 0 n 1 và un 1(1 un)
. Tìm giới hạn dãy số?
HD: Ta có: un 1(1 un)
un(1 un) un 1 un
Do đó dãy số giảm và bị chặn nên tồn tại giới hạn. Suy ra limun u
Bài 6: Cho dãy số {xn} xác định bởi u1 2 và un 1 2 n . Chứng minh rằng dãy {un} có
giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
HD: Đặt f (x) ( 2)xn thì dãy số có dạng x0 2 và xn+1 = f(xn). Ta thấy f(x) là hàm
2 số tăng và x1 2 2 x0. Suy ra {xn} là dãy số tăng.
Chứng minh bằng quy nạp rằng xn < 2.
Vậy dãy {xn} tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy có giới hạn hữu hạn. Gọi a là giới hạn x n
đó thì chuyển đẳng thức x n san 1 g 2
giới hạn, ta được a 2a . Ngoài ra ta cũng có a 2.
Xét phương trình x
ln( 2) x 2. Suy ra limun 2 x ln x 2 x
3. Bài tập tự giải: 1 2012
Bài 1: Cho dãy s u
ố 1 2012 và un 1 un
. Tìm giới hạn dãy số? 2 un un2 6
Bài 2: Cho dãy số u1 2012 và un 1
. Tìm giới hạn dãy số? 2un 1 2n
Cho dãy số un . Tìm giới hạn dãy số? n! lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số 2un un ln 2 1 1
Bài 3: Cho dãy s u ố 1 2012 và un 1 u . Tìm gi n ới hạn dãy số? 2 ln 2 1 n Bài 4: Cho dãy s 1 ố un 1 1
. Tìm giới hạn dãy số? n
Bài 5: Cho dãy s u b ố 1 và u 2 n 1 un
(1 2 )a un a2. Xác định a, b để dãy số có giới hạn
và tìm giới hạn dãy số? n 1 2 1 22 2n
Bài 6: Cho dãy số un 1 n 1 ...
. Tìm giới hạn dãy số? 2 1 2 n
V) Phương pháp sử dụng sai phân 1.
Kiến thức sử dụng: n n
- Sai phân: k xk 1 xk k
xk 1 xk xn 1 x1 k 1 k 1
Ý tưởng chính: Biểu diễn tổng các số hạng qua sai phân
2. Các ví dụ: u = 20081 Bài 1: 2 2 un+1 = u - 4013u + 2007 (nn n 1)
a) Chứng minh: un n + 2007 . 1 1 1 b) Đặt x = n + + ... +
u - 20061 u - 20062 u - 2006n Tìm limxn
HD: a) Bạn đọc tự giải. Câu b): u u u 2
n 1 n - 4013 n 2007 2
(un 1 2007) (un 2006)(un 2007) 1 1 un 1 2007
(un 2006)(un 2007) lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số 1 1 1
un 1 2007 un 2007 un 2006 Suy ra 1 1 1 xn ... u1 - 2006 u2 - 2006 un - 2006 1 1 1 1
u1 - 2007 un 1 - 2007 un 1 - 2007 Suy ra limun 1 u1 1
Bài 2: Cho dãy số (un ) xác định như sau:
uunn 1 1 un2011, n N n, 1 Tính lim u u 12011 22011 ... un2011 u2 u3 un 1 HD: Ta có:
un 1 1 un2011 un 1 u un
n2012 un 1 u un n2012 1 1 un2011 un u un n 1 un 1
Suy ra: u12011 u22011 ... un2011 1 1 1 1 u2 u3
un 1 u u1 n 1 un 1 1 Chứng minh limun lim 0 un 1 V u ậy lim u12011 22011 ... un2011 =1 lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số u2 u3 un 1 u1 5 2010 Bài 3: Cho dãy số: un 3un 16
un 1 un2009 un 11 n 1 Tính lim 2009 i 1 ui 7 HD: Ta có: un2009 7 un 4 1 1 1
un 1 4 2009 2009 un 7 (un 4) un 1 4 un 4 un 7 n 1 1 1 1 Suy ra: 2009 1 i 1 ui 7 u1 4 un 1 4 un 1 4 1 Chứng minh limun lim 0 un 1 4 n 1 V lim ậy 2009 =1 i 1 ui 7 1 1 u 2
Bài 4 : Cho dãy s ( u n ) xác đ 2 un 4 n uu n u , nNn , 1 n 1 2 n 1 Tính lim 2 i 1 ui 1 1 1 lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
HD: Ta có: 2 ui ui 1 ui n 1 1 1 1 1 Suy ra: 2 2 6
i 1 ui u1 u u1 n un 1 Chứng minh limun lim 0 un n 1 V lim ậy 2 =6 i 1 ui lim xn 1
3. Bài tập tự giải: u1 3 Bài 1: Cho dãy số: 1 2
un 1 u un n 2 (n 1) 2 n 1 lim Tính ? u n i 1 i u1
1 Bài 2: Cho dãy số: un 1
u un( n 1)(un 2)(un 3) 1 (n 1) n 1 lim Tính ? u n i 1 i 2 u a1 1 lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số Bài 3: Cho dãy số: 2
2010un 1 un 2009un (n 1) n ui lim Tính ? n i 1 ui 1 1
VI) Phương pháp lượng giác hóa 1.
Kiến thức sử dụng: -
Biểu diễn số hạng tổng quát của dãy số bằng công thức lượng giác để
tính giới hạn: công thức nhân đôi, nhân ba, các hằng đẳng thức lượng giác. -
Ý tưởng chính: Nhận dạng và dùng công thức lượng giác phù hợp để
biểu diễn các số hạng của dãy số. Chú ý các số hạng đầu là các giác trị lượng giác đặc biệt nào?
2. Các ví dụ: 1 2 un
Bài 1: Cho dãy số u1
và un 1 2un 1. Tìm giới hạn dãy số ? 2 n 1
HD: Ta có: u1 cos 2 3 2n Ta có un 1 cos 3 un Suy ra lim 0 n x1 1 Bài 2: Cho dãy số 1 x 2 n
1 .Tìm giới hạn dãy số? xn 1 xn lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số x tan
HD: Chứng minh: n
n 1 . Vậy lim xn 0. 2 n 1 1 1
Bài 3: Cho dãy số x1 2 và x 2 n 1 2
xn xn 4n Tìm giới hạn dãy số? 1 1 x cot HD: Ch ứng minh: n n
n 1 . Vậy lim xn . 2 2 n 2 4
un Tìm giới hạn dãy số un ? Bài 4: Cho dãy s u ố 1 2 và un 1 4 2 . un 8un 8 n 1 8 8 2 4 2 2 HD: Ta có: 1 2 4 an 1 1
8an 8an 2(2an 1) 1 un 1 un un 1 4n
Mặt khác: a1 cos . Ta có un 1 cos 2 3 3 un Suy ra lim 0 n 2 2 2... 2 2 2 2... 2
Bài 5: Cho dãy số un
. Tìm giới hạn dãy số un ? x tan
HD: Chứng minh: n
n 1 . Vậy lim xn 0. 2 n lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
3. Bài tập tự giải: 1n 2 Bài 1: Cho dãy s 2 u ố u 21 n 1 và un 1 .
Tìm giới hạn dãy số 2 un ? 2 2 un 3 u Bài 2: Cho dãy s ố u n 1 3 và un 1 . Tìm giới hạn 1 3 u dãy số ? n n un vn
Bài 3: Cho 2 dãy s u a ố 1 0 và un 1
, v b1 0; b a và vn 1 un 1vn . Tìm giới 2 hạn hai dãy số?
VI) Phương pháp sử các tính chất của hàm sô (dãy số cho bởi phương trình) 1.
Kiến thức sử dụng: -
Tính chất của hàm số: tính liên tục và các định lí liên quan: định lí về
giá trị trung gian, chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất; đạo hàm, ứng
dụng của đạo hàm và định lí Lagrange, ... -
Ý tưởng chính: Sử dụng các tính chất của hàm số để xác định số hạng
dãy số cho bởi phương trình.
2. Các ví dụ: n xn 1 xn 2 x 1
Bài 1: Cho xn là nghiệm của phương trình: x 2 ... n 1 n 2 2 2 2
Chứng minh rằng phương trình có duy nhất một nghiệm dương. Tính lim xn ?
HD: Phương trình tương đương fn( )x 2n nx 2n 1xn 1 ... 2x 1 0 Ta có: f 1
n(0) 0 và fn( )1 0 nên xn 0;
. Dãy số xn giảm, suy ra tồn tại giới hạn 2 2
2xn(1 (2xn) )n 1
lim xn a. Ta có: 1 a 1 2xn 4 1 1 1
Bài 2: Ký hiệu xn là nghiệm của phương trình ... 0 x x 1 x n thuộc khoảng (0, 1) lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
a) Chứng minh dãy {xn} có giới hạn.
b) Hãy tìm giới hạn đó. 1 1 1
HD: xn được xác định duy nhất vì hàm số fn(x) ... liên tục và đơn x x 1 x n 1
điệu trên (0, 1). Ta có: fn 1( )x fn( )x
fn 1( )x 0 có nghiệm xn 1 (0;xn). Do x n 1
đó dãy số giảm. Giả sử lim xn a. Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 = ... ... 0 xn xn 1 xn n xn 1 2 n a a
Vậy ta phải có lim xn = 0.
Bài 3: (VMO 2007) Cho số thực a > 2 và fn(x) = a10xn+10 + xn + …+x + 1.
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình fn(x) = a luôn có
đúng một nghiệm dương duy nhất.
b) Gọi nghiệm đó là xn, chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng.
HD: a) Hàm số fn(x) tăng trên (0, + ) và f (0) 0 và f (1) 0 nên 0 < xn < 1.
Chứng minh dãy xn tăng, tức là xn+1 > xn. Xét f n+11 n+1 n n+1(xn) = a10xn
+ xn + xn + … + x + 1 = xnfn(xn) + 1 = axn + 1
Suy ra f (1) a và f x( n) a , do đó xn < xn+1 < 1. Đặt c = (a-1)/a < 1 fn(c) –
fn(xn) = kcn (với k = (a-1)((a-1)9 – 1) > 0) Theo định lý Lagrange thì
fn(c) – fn(xn) = f’( )(c – xn) với thuộc (xn, c)
Nhưng f’( ) = (n+10)a10 n+9 + n n-1 + …+ 1 > 1 nên từ đây suy ra kcn > c - xn
Từ đó ta có c – kcn < xn < c Vậy lim xn = c.
3. Bài tập tự giải:
Bài 1: (VMO 2002) Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình 1 1 1 1
... 2 có một nghiệm duy nhất xn > 1. Chứng minh rằng khi n x 1 4x 1 n x 1 2
dần đến vô cùng, xn dần đến 4. lOMoAR cPSD| 58707906
Giới hạn của dãy số
Bài 2: Cho n là một số nguyên dương > 1. Chứng minh rằng phương trình xn = x2 +
x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là xn. Hãy tìm số thực a sao cho giới
hạn limna(xn xn 1) tồn tại, hữu hạn và khác 0. n KẾT LUẬN
Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong giải tích toán học. Các bài toán liên
quan đến dãy số luôn mang đến sự hấp dẫn bởi kỹ thuật và phương pháp giải chúng.
Bài viết trình bày một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số, các ý tưởng, ví dụ và
bài tập đã được sắp xếp một cách có hệ thống nhằm giúp cho đối tượng học sinh có
điều kiện ôn tập, nghiên cứu, phát triển.
Do trình độ còn hạn chế nên trong bài viết không thể tránh khỏi những sai sót
về trình bày cũng như về chuyên môn. Rất mong bạn đọc góp ý kiến. Xin chân thành cảm ơn.

Tài liệu liên quan: