Bài tập ôn luyện đội tuyển TST môn Toán | Đại học Su Phạm Hà Nội

Bài tập ôn luyện đội tuyển TST môn Toán | Đại học Su Phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống

58 29 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Chuyên đề Toán

Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội

Thông tin:

10 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
BÀI TẬP ÔN LUYỆN ĐỘI TUYỂN TST MÔN TOÁN
Ngày 10/4/2023
Bài 1. Tìm các số nguyên dương sao cho tồn tại số nguyên dương và các số nguyên n m
tố
1 p q
thỏa mãn
|q p m
và
, | 1.
m
p q n
Bài 2. Xác định số nguyên tố và các số nguyên dương thỏa mãn p x, y
3 3
.x y p xy p
Bài 3. Cho các số nguyên dương và số nguyên tố , chứng minh n q
2
1
2
q
n
n
không
thể là lũy thừa của
.q
Bài 4. Cho và x, y
0 1
, ,...a a
là các số nguyên thỏa mãn
0 1
a a
và
2 1
1, 0.
n n n
a xa ya n
Xét số nguyên tố bất kỳ. Chứng minh p
1
,
p p
a a
bằng 1
hoặc lớn hơn
.p
Bài 5. Cho tam giác nội tiếp đường tròn ABC
O
và ngoại tiếp đường tròn
.I
Đường
tròn
I
tiếp xúc với tại . Đường thẳng qua và vuông góc cắt tại . BC D I AI AB, AC E, F
Đường tròn
AEF
cắt
O
và tại . Tiếp tuyến tại của AI G, H G
O
cắt tại và BC J AJ
cắt
O
tại . Chứng minh K
DJK
và
GIH
tiếp xúc.
Bài 6. Cho tam giác cân tại nội tiếp đường tròn ABC A
.O
Trung tuyến đỉnh cắt B
O
tại . Đường tròn qua và tiếp xúc với cắt đường tròn đi qua và tiếp xúc với D C, D BC A, D
CD tại . Chứng minh D, X
BCX
đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác . ABC
Bài 7. Cho người tham gia 1 bữa tiệc. Không có nhiều hơn cặp là bạn bè. Hai người n n
bắt tay nhau nếu và chỉ nếu họ có ít nhất 1 người bạn chung. Xét số nguyên
3m
và
3
.n m
Chứng minh tồn tại người , số người bắt tay với không lớn hơn A A
1m
lần số
người bạn của A
.
Bài 8. Trong nhóm học sinh có bạn nữ và bạn nam mà mỗi bạn nữ quen tất cả các A n n
bạn nam. Nhóm học sinh có bạn nữ B n
1 2
, ,...,
n
g g g
và
2 1n
bạn nam
1 2 2 1
, ,...,
n
b b b
.
Biết rằng bạn nữ
i
g
quen với các bạn nam
1 2 2 1
, ,...,
i
b b b
và không quen những bạn nam
còn lại. Với mỗi số
1,2,...,r n
ta kí hiệu
A r
và
B r
là số cách chọn cặp nam nữ r
trong nhóm và tương ứng mà có thể nhảy với nhau (2 bạn nhảy được với nhau nếu A B
quen nhau). Chứng minh
, 1,2,..., .A r B r r n
ar 26, 2023, 5:03 AM
Find all positive integers , such that there exists a positive integer and
.
A
,
W
h
g
If
,
F
g
g
o
so
N
g
)
fo
fo
F
,
, we
get , which was already treated above.
Serbia MO 2023 P6
a_507_bc
240 posts
#1Apr 3, 2023, 4:16 AM• 1 Y
Given is a triangle with incenter and circumcircle . The incircle is tangent
e
.
enter
onal
.
It sends to so and are tangent at .
Attachments:
Z K Y
SPHS1234
462 posts
Serbia MO 2023 P4
a_507_bc
240 posts
#1Apr 3, 2023, 4:11 AM
Given a positive integer and a prime , prove that the number can't be a
power of .
d
, then it is easy to see that is the minimal period of this sequence, that
is, means that , as , we get , then as
, we get for all prime divisors of which finishes.
Remark:
Mar 14, 2023, 8:52 PM
people attend a party. There are no more than pairs of friends among them.
Two people shake hands if and only if they have at least common friend.
Given integer such that .
Prove that there exists a person , the number of people that shake hands with is no
that , which is absurd since . Otherwise, all trees have depth
at most 1. We pick that maximizes . Then clearly . We can
see that , which is
absurd given .
Now the conclusion readily follows by picking a connected component with . It is
either a tree or a pseudotree.
IMO Shortlist 1997, Q13
orl
3649 posts
#1Aug 10, 2008, 10:17 AM• 1 Y
town there
For
in which girls
town,
for
from town A and
h girl can then be
paired with any of the remaining boys.
Case2: When is not dancing.
We simply have .
Therefore,
and .
It may be observed that and satisfy the same recurrence relation with
same initial values and hence the conclusion.
2023 Israel TST Test 5 P2
Phorphyrion
201 posts
#1Mar 24, 2023, 5:55 AM
Let be an isosceles triangle, inscribed in a circle . The -symmedian
intersects again at . The circle through and tangent to and the circle
through and tangent to intersect at points . The incenter of is
denoted . Prove that are concyclic.
Z K Y
trinhquockhanh
299 posts
#2Mar 24, 2023, 10:01 AM
My solution with angle chasing and similar triangles, the critical step is to construct and .
| 1/10
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI TẬP ÔN LUYỆN ĐỘI TUYỂN TST MÔN TOÁN Ngày 10/4/2023
Bài 1. Tìm các số nguyên dương n sao cho tồn tại số nguyên dương m và các số nguyên
tố 1  p  q thỏa mãn q  p | m và , | m p q n 1.
Bài 2. Xác định số nguyên tố p và các số nguyên dương x, y thỏa mãn 3 3
x  y  p  xy  p. 2   q n 1
Bài 3. Cho các số nguyên dương n và số nguyên tố q, chứng minh n    không  2  thể là lũy thừa của . q
Bài 4. Cho x, y và a ,a ,... là các số nguyên thỏa mãn a  a  0 và 0 1 0 1 a      a ,a bằng 1 p p 1    xa  ya
1, n 0. Xét số nguyên tố p bất kỳ. Chứng minh n 2 n 1 n hoặc lớn hơn p.
Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O và ngoại tiếp đường tròn  I. Đường
tròn I  tiếp xúc với BC tại D. Đường thẳng qua I và vuông góc AI cắt AB, AC tại E, F.
Đường tròn  AEF cắt O và AI tại G, H. Tiếp tuyến tại G của O cắt BC tại J và AJ
cắt O tại K. Chứng minh DJK  và GIH  tiếp xúc.
Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn O. Trung tuyến đỉnh B cắt O
tại D. Đường tròn qua C, D và tiếp xúc với BC cắt đường tròn đi qua A, D và tiếp xúc với
CD tại D, X. Chứng minh BCX  đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 7. Cho n người tham gia 1 bữa tiệc. Không có nhiều hơn n cặp là bạn bè. Hai người
bắt tay nhau nếu và chỉ nếu họ có ít nhất 1 người bạn chung. Xét số nguyên m  3 và 3
n  m . Chứng minh tồn tại người A, số người bắt tay với A không lớn hơn m 1 lần số người bạn của A.
Bài 8. Trong nhóm học sinh A có n bạn nữ và n bạn nam mà mỗi bạn nữ quen tất cả các
bạn nam. Nhóm học sinh B có n bạn nữ g ,g ,..., bạn nam b ,b ,..., 1 2 g và 2n 1 b n 1 2 2 n 1  .
Biết rằng bạn nữ g quen với các bạn nam b , b ,..., b
và không quen những bạn nam i 1 2 2i 1 
còn lại. Với mỗi số r  1, 2,..., n ta kí hiệu Ar  và B r  là số cách chọn r cặp nam nữ
trong nhóm A và B tương ứng mà có thể nhảy với nhau (2 bạn nhảy được với nhau nếu
quen nhau). Chứng minh A r  B r ,r  1, 2,..., . n ar 26, 2023, 5:03 AM
Find all positive integers , such that there exists a positive integer and . A , W h g If , F g g o so N g ) fo fo F , , we get
, which was already treated above. Serbia MO 2023 P6 a_507_bc 240 posts #1Apr 3, 2023, 4:16 AM• 1 Y Given is a triangle
with incenter and circumcircle . The incircle is tangent e . enter onal . It sends to so and are tangent at . Attachments: Z K Y SPHS1234 462 posts Serbia MO 2023 P4 a_507_bc 240 posts #1Apr 3, 2023, 4:11 AM
Given a positive integer and a prime , prove that the number can't be a power of . d , then it is easy to see that
is the minimal period of this sequence, that is, means that , as , we get , then as , we get for all prime divisors of which finishes. Remark: Mar 14, 2023, 8:52 PM
people attend a party. There are no more than pairs of friends among them.
Two people shake hands if and only if they have at least common friend. Given integer such that .
Prove that there exists a person , the number of people that shake hands with is no that , which is absurd since
. Otherwise, all trees have depth
at most 1. We pick that maximizes . Then clearly . We can see that , which is absurd given .
Now the conclusion readily follows by picking a connected component with . It is
either a tree or a pseudotree. IMO Shortlist 1997, Q13 orl 3649 posts
#1Aug 10, 2008, 10:17 AM• 1 Y town there For in which girls town, for from town A and h girl can then be
paired with any of the remaining boys. Case2: When is not dancing. We simply have . Therefore, and . It may be observed that and
satisfy the same recurrence relation with
same initial values and hence the conclusion. 2023 Israel TST Test 5 P2 Phorphyrion 201 posts #1Mar 24, 2023, 5:55 AM Let be an isosceles triangle, inscribed in a circle . The -symmedian
intersects again at . The circle through and tangent to and the circle through and tangent to intersect at points . The incenter of is denoted . Prove that are concyclic. Z K Y trinhquockhanh 299 posts #2Mar 24, 2023, 10:01 AM
My solution with angle chasing and similar triangles, the critical step is to construct and .