DTU - KHTN
TOÁN CAO CẤP C2 – CHƯƠNG 1   1 2 3
1. Cho ma trận A   . 6 0 8  
a. Xác định: cấp của ma trận A, phần tử a , vị trí của số 2 trong ma trận A. 23
b. Xác định ma trận T A .  4 1    0 5 
2. Cho ma trận B    .  7 3   4 6   
a. Xác định: cấp của ma trận B, phần tử b , b , vị trí của số -4, -1 trong ma trận B. 11 32
b. Xác định cấp của ma trận 3B. 2 4 5  
3. Cho ma trận A  3 6 8    . 0 9 1   
a. Ma trận A có phải là ma trận vuông không? Xác định đường chéo chính, đường chéo phụ (nếu có).
b. Tính 2A  4I . 3 4 5 9 0 7 0 3 1
4. Cho ma trận A   . 0 0 0 0   0 0 0 8
a. Ma trận A là ma trận có cấp gì? Xác định các phần tử cơ sở trong ma trận A. b. Tìm ma trận 4A .  2 0
5. Cho ma trận A   . 1 1   
a. Tính 3A , 4A  3I . 2
b. Tính f A , biết f  x 2
 x  3x  5 .
c. Tìm ma trận X thỏa mãn 3A  X  I 2 Thân Thị Quỳnh Dao 1 DTU - KHTN 0 2     3 4  0
6. Cho ma trận A  3 1 ;B     . 3  5 7 5 6       a. Tính tổng T A  B .
b. Tìm ma trận X thỏa mãn 3  2  4 T A X B . 1 0 4  0 5 8 2  5 3 2  7.   Cho ma trận A 0 0 3 6 ,B        .  9 2 1   0 0 0 0     1 1 4  
a. Xác định cấp của ma trận A ,B ,AB .
b. Xác định T , T A B . c. Tính  , T  , T
A B A B A  B .
d. Tính A.B ,BA .  1  2 3   3 4  0
8. Cho ma trận A  ;B   .  5 2 3    3 5 7   
a. Tính tổng A  B .
b. Cho C = 2A – 3B. Xác định phần tử c . 22 2 5 7  1 2 3 9.    
Cho ma trận A  6 3 4 ;B  3 2 4      . 5 2   3   3 1    0 
a. Tính 3A  2B .
b. Tìm ma trận X sao cho A  X  B .  2 0  3 2 10. Cho A  , B   . 1 1  0 1       a. T Tính , ,  , T T AB BA AB A B .
b. Nhận xét về kết quả của các phép nhân trên. Thân Thị Quỳnh Dao 2 DTU - KHTN  3  11.  
Cho ma trận A  2 5 7 ,B  4   . 6  
a. Xác định cấp của các ma trận tích A , B B . A
b. Nhận xét về kết quả của các phép nhân trên. 1 4  1 0 5   
12. Cho ma trận A  ;B  2 6   
 . Tính giá trị AB  3I . 2  2  4 m  7 5   3 1 4   2 3 0
13. Cho ma trận A  ; B      . Tính giá trị T AB . 0 2 5  1  6 7  2  1 14. Cho ma trận  và f  x 2
 2x  3x 5 . Tính f  A. 0 4   
15. Tính: ( n là số tự nhiên) 3 1  2   2 1 n    1 n x  cos sin n    a. b. c. d. 3  4          3 2    0 x   sin   cos  a 0 0 16.  
Cho ma trận A  0 a 0  . Tính k
A , với k là số tự nhiên. Từ đó, rút ra công thức 0 0 a   a 0 0 ... 0 1   0 a 0 ... 0  tổng quát cho 2 A    .  ... ... ... ... ...    0 0 0 ... a  n      
17. Cho ma trận A  cos sin 
. Chứng minh rằng A A    A    . s  in  cos     1  0 2 1
18. Tìm tất cả ma trận giao hoán được với các ma trận sau: A  ; B  . 1  1 0  1    
19. Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 mà bình phương của nó là ma trận không/ma trận đơn vị. Thân Thị Quỳnh Dao 3 DTU - KHTN 2 4  20.  
Cho ma trận A  0 3   . 7 6    a. Cho 1 h h  2
A B . Xác định ma trận B. b. Cho 1 h  2 h
A C . Xác định ma trận C. 2 3 h  3 h c. Cho 3 1 h  1 h
A D . Xác định ma trận D. d.   Cho h2 h2
A  E . Xác định ma trận E. 2h 3 h  3 e. Cho h2 3  1 h h  2
A F . Xác định ma trận F. f.    Cho h2 1 h h2
A  G . Xác định ma trận G. 3 h 3  1 h  3 h  0 4 7 8  
21. Cho ma trận A  1  2 6 5  .  2 5 3 0   a.  Cho 1 h h2
B A. Xác định ma trận B. b. 3h h  Cho 2 2
C  A. Xác định ma trận C. c. Cho h 3 3  h1 h  3
D  A. Xác định ma trận D. d.   Cho h2 1 h h2 E 
 A . Xác định ma trận E.  3 h  2 1 h  3 h
22. Tìm phép biến đổi liên hệ giữa các ma trận sau và viết kí hiệu:  4 0  2  7      4 5   1 0 2 7 4 0 a. A  ; B   ; A   ;B    1 0  4 5      3 8  9 1      9 1  3 8 2 5  0 7  3 4 1   6 8 2     b. A  ;B   ;
A  0 7 ; B  2 5 0 2 6   0 2 6         a b 2  a 2b     1 2 1 2 1 2  1 2  c. A  ; B   ; A  ;B  2 5 0 1         a b 2
 a 1 2b  2 Thân Thị Quỳnh Dao 4 DTU - KHTN 2 5  2 5  d.    
A  0 7 ;B  0 7     a b
a  6 b 15    
23. Đưa các ma trận sau về dạng bậc thang:  0 1 5  2  4 5 8 a.     A  1  3 4  ; B  0 0 0 4   .  0 0 8    0 0 6 3   3 2 7  2 0 5 1       b. C  0 8 1 ,D  0 0 4 8     . 0  8 2   0 0 8   5  2 0 1   3  6 2 0     c. E  1  5 4  ;F  6 3  4  1    .  4 1 6   3 5  1  4     2 1 1 1 1 5 6 0 0 0     1 2 1 1 1 1 5 6 0 0     d. G   ;
1 1 2 1 1 H  0 1 5 6 0 .     1 1 1 2 1 0 0 1 5 6 1 1 1 1 2 0 0 0 1 5    
24. Nêu định nghĩa và cho ví dụ về:
Ma trận hàng/ Ma trận cột/ Ma trận vuông- Đường chéo chính của ma trận vuông/ Ma trận
bậc thang- Phần tử cơ sở của hàng- Hàng bằng 0, hàng khác 0/ Ma trận đơn vị/ Ma trận
không/ Ma trận tam giác …
25. Nêu điều kiện và tính chất của các phép toán sau trên ma trận:
Phép cộng các ma trận/Phép trừ các ma trận/Phép nhân ma trận với một số/Phép nhân hai ma
trận/Phép lũy thừa trên ma trận/Phép chuyển vị ma trận.
Từ đó rút ra nhận xét: Trong các phép toán trên ma trận, phép toán nào làm thay đổi/ không
làm thay đổi cấp của ma trận kết quả so với ma trận thành phần? Thân Thị Quỳnh Dao 5 DTU - KHTN
TOÁN CAO CẤP C2 – CHƯƠNG 2
26. Tính định thức của các ma trận sau. c. A   23 ;B   
10 ;C  m   5 . 2 0 1 8  4 7 d. A  ; B  ;C   . 7 1    3 6    1 3   1  3 5  2  5 7   1  3 2       
e. A  0 1 6 ;B  0 0 8 ;C  4 0 6      . 0 0 8 4 10 14  2 5 m       1  3 5 2   2  1 3 5  0 1 6 4  1 1 1 0   f. A   ; B    0 0 3 8   2 4 1 6 0 0 1    m 3    2 0 1 2 2 a c b x  a a a   sin  1 cos         g. 2 2
A  b c a ; B  a y  a a
;C  sin  1 cos        2 2 c b a  a a z  a  sin  1 cos        
27. Chứng minh rằng: b  c c  a a  b a b c a. b  c c  a
a  b  2 a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b  c c  a a  b a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 b. a b
c  a  b  c b  a c  a c  b  3 3 3 a b c
28. Tìm m thỏa điều kiện sau: 1 2 5 2 3 a.  0 ; 0 3 7  0. 1 m 0 1 m 1 2 5 1 m b.  0 ; 4 3 7  0 m 1 2 1 m Thân Thị Quỳnh Dao 6 DTU - KHTN 2 0
a b a b 4 0 29. Cho   . Tính ; ; . a b 2 0 2 0 a b a b a b a  b  2a 2b a c 30. Cho  . Tính ; ; ; . c d c  d  c  d  3c 3d b d 1 2 0 1 2 0 2 3 5
31. Cho 2 3 5   . Tính 2 3 5 ; 1 2 0 . a b c
2a 2b 2c 3a 3b 3c
32. Tìm biểu thức liên hệ giữa định thức của các ma trận sau: 0 1 3  1 2 5 
a. A 1 2 5 ; B  0 1 3    .     3 3 2 6 6 4      2 1 3  2  1 3  b.    
A   2  1 2 ; B  0 0 5      2 6 1  0  5 2       1 2 3 4 2 5 4 7 2 5 4 7 1 2 3 4 c. D  ; D  . 1 2 3 6 8 4 4 8 12 17 4 8 12 17 3 6 8 4 1 2 3 4 2 4 6 8 a b c d 2a 2b 2  c 2d d. D  ; D  1 2 3 6 8 4 6 12 1  6 8 4 8 12 17 4 8 12 17 33.  Cho 1 h 2 h
A B và A 5 . Tính B . 34. Cho 1 h  2 h
A B và B  5. Tính A . 2 3 h  3 h 35. Cho  2 h  2 h
A B và A  8 . Tính B . 2 3 h  3 h 36.    Cho h2 1 h h2
A B và A  9. Tính B . 3 h 3  1 h  3 h 37. Cho 3 2h  1h 2 h
A B và B  9. Tính A . 38. Cho 2 2 h  3 1 h h  2
A B và A  8. Tính B . 2 3 h  5 1 h h  3 Thân Thị Quỳnh Dao 7 DTU - KHTN 39. Cho 2 h  1 h  2 h 3 h 3 2 h  3 h
A B C và A  8 . Tính B , C . 2 3 h  3 1 h  3 h 40. 3h  4h h  3   Cho 2 1 2 h3 h2 h3
A  B C và B  10 . Tính A , C 3 h 2 1 h  3 h
41. Trong các ma trận sau, ma trận nào khả nghịch?
c. A 23; B   
10 ;C  m 5 2 0 1 8   2 m d. A  ; B  ;C   . 7 1  3 24  m 5         1 3 5 2 5 7    1 3 2       
e. A  0 1 6 ;B  0 0 0 ;C  4 0 6       . 0 0 0 4 10 14  2 5 7      
42. Tìm m để các ma trận sau khả nghịch/không khả nghịch.  3 0 5 10  3 m  d. A  ; B  ;C   . m 1  3  m  m 12       1 3 5  2 5 7   1  3 2  e.      
A  0 1 m ;B  0 0 m ;C  4 0 6       0 0 1  4 10 14  2 5 m      
43. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau: 2 7  0 2  2 0   1 m   c. A  ; B  ;C  ; D   . 1 5  1 6 m  1 m  1           2 1 3 1 5 7    1 3 2    1 2 3  d.        
A  0 1 1 ;B  0 1  2 ;C  4 0 6 ;D  0 1 m         . 2 0 1 0 1 3  2 5 4  0 0 1           1  2 1   1  5    
44. Cho ma trận A  0 2 1 ,B  3 7   
 . Tìm ma trận X thỏa AX  B .  0 2 2 2 9      1  2 1   1  5    
45. Cho ma trận A  0 2 1 ,B  3 7     . Tìm ma trận X thỏa T XA  B .  0 2 2 2 9     Thân Thị Quỳnh Dao 8 DTU - KHTN  1  2 1   1  5 46.    
Cho ma trận A  0 2 1 ,B  3 7   
 . Tìm ma trận X thỏa 2AX  B  0 2 2 2 9    
47. Phát biểu các tính chất của định thức và cho ví dụ minh họa.
48. Thế nào là ma trận nghịch đảo của ma trận vuông.
49. Thế nào là ma trận con, cho ví dụ minh họa.
50. Nêu điều kiện để có ma trận nghịch đảo của ma trận vuông. Thân Thị Quỳnh Dao 9