Bài tập ôn tập kiểm tra giữa kỳ - MTH 101 GV: Nguyễn Thị Ngọc Bích
ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA KỲ - MTH 101
Các dạng toán của tích phân và ứng dụng
- Dạng 1: Cho f ′ (x ) . Tìm hàm số f (x )
Cách giải: f ( x) = f ′ ∫ (x)dx
- Dạng 2: Cho f ′ (x ) . Tìm thay đổi trong f (x ) khi x biến thiên từ a đến b b
Cách giải: f
∆ = f (b) − f (a) = f ′ ∫ ( x) dx a
- Dạng 3: Cho f ′ (x ) và f (a). Tìm f ( ) b . b
Cách giải: f (b) = f (b) − f (a) + f (a) = f ′
∫ (x)dx + f (a) a dQ
- Dạng 4: Nếu Q′( t) ≡ = kQ ; Q( ) 0 = Q , thì ( ) k t Q t = Q e 0 dt 0
- Dạng 5: Giá trị trung bình của hàm f (x) trên a,b   là: 1 b AV ( f ) = f (x)dx ∫ b − a a I. TRẮC NGHIỆM
1. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình vi phân? y − 1 dy
A. sin x = 0 B. 2
x + y = 1 C. + y = 0 D. = 4t 2y dt
Bài tập ôn tập kiểm tra giữa kỳ - MTH 101 GV: Nguyễn Thị Ngọc Bích
2. Tốc độ thay đổi của dân số sau t năm là P (' t) (ngàn người/năm), tính từ năm
2015. Tích phân nào dưới đây biểu diễn sự thay đổi của dân số từ năm 2016 đến năm 2020. 5 2020 A. P ∆ = P'
∫ (t)dt B. P ∆ = P '
∫ (t)dt 1 2016 5 5 C. P ∆ = P'
∫ (t)dt D. P ∆ = P'
∫ (t)dt 4 0 dy
3. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: 2 x
= e và y(0) = 0 dx 1 x 1 x 1 x 1 A. 2 y = e − B. 2 y = e − C. 2 = 2 x y e − 2 D. 2 y = e − 2 2 2 2 4. Tốc ộ
đ thay đổi của chi phí sau t năm là C '(t ) (đvtt/năm), tính từ năm 2017. Tích
phân nào dưới đây biểu diễn sự thay đổi của chi phí trong năm 2020. 4 3 A. C ∆ = C '
∫ (t)dt B. C ∆ = C '
∫ (t)dt 3 0 2020 2020 C. C ∆ = C
∫ ('t) dt D. C ∆ = C ∫ ('t) dt 2017 0 dA 5. Cho:
= 0.04A và A(0) = 3000 . Tìm biểu thức A(t)? dt A. ( ) 0.04 = 3000 t A t e B. ( ) 3000 = 0.04 t A t e C. ( ) 0.04t A t = e D. ( ) 0.04 = 120 t A t e 6. Hàm 4 2
F (x) = x − x +100 là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Bài tập ôn tập kiểm tra giữa kỳ - MTH 101 GV: Nguyễn Thị Ngọc Bích 5 3 x x A. f (x) = − +100x + C B. 3
f (x) = x − 2x 5 3 C. 3
f (x) = 4x − 2x D. 3
f (x) = 4x − x 1 7. Tốc ộ
đ thay đổi của doanh số bán hàng sau t tháng là S (t ) 2 ' = 30t (đvsp/tháng).
Hiện tại doanh số bán hàng đạt 1000 (đvsp). Xác định khoảng thời gian để doanh số
bán hàng đạt 1160 (đvsp).
A. Sau 5 tháng B. Sau 4 tháng C. Sau 9 tháng D. Sau 1 tháng
8. Cho phương trình vi phân: dy = 4t và ( y )
1 = 0. Công thức nào dưới đây không dt
phải là nghiệm của phương trình? 1 A. 2
y = t − 1 B. 2
y = 2t − 2 C. 2
y = 2t + 2 D. 2
y + 2 = 2t 2
9. Dân số tăng trưởng với tốc độ là '( ) = 4 t P t
e + 10 (ngàn người/năm). Dân số hiện
tại là 500 ngàn người. Xác định biểu thức hàm dân số. A. ( ) = 4 t P t e +10 + 500 B. ( ) = 4 t P t e +10t + 500 C. ( ) = 4 t P t e + 500 D. ( ) = 4 t P t e
10. Cho tốc độ thay đổi của chi phí khi sản xuất x (đvsp) là C ( x) 100 ' =12 + x+1
(đvtt/đvsp). Biết chi phí cố định là 1000 đvtt, tính chi phí sản xuất 50 (đvsp). A. 1014 đvtt
B. 1993.18 đvtt C. 1602 đvtt D. 2000 đvtt
11. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là phương trình vi phân? dy
A. dy = ( x + ) 1 dx B. 3 x + x =1 C. = 4t
D. y"− x = 0 dt
Bài tập ôn tập kiểm tra giữa kỳ - MTH 101 GV: Nguyễn Thị Ngọc Bích 12. Tốc ộ
đ thay đổi của doanh số bán hàng sau t tháng là p '(t) (đvtt/tháng), tính từ
tháng 1/2020. Tích phân nào dưới đây biểu diễn sự thay đổi của giá bán từ tháng
5/2020 đến tháng 8/2020. 3 8 8 7 A. p ∆ = p
∫ ('t) dt B. p ∆ = p'
∫ (t)dt C. p ∆ = p
∫ ('t) dt D. p ∆ = p
∫ ('t) dt 0 5 4 4
13. Tốc độ thay đổi của doanh số bán hàng sau t tháng là S ' (t )= 60 t (đvsp/tháng).
Hiện tại doanh số bán hàng đạt 450 (đvsp). Xác định khoảng thời gian để doanh số
bán hàng đạt 1530 (đvsp) .
A. Sau 9 tháng B. Sau 4 tháng
C. Sau 1 tháng D. Sau 5 tháng
14. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là phương trình
vi phân tách biến độc lập? dy dx dy A. = B. = 4x
C. y ' = 3x
D. sin x = 0 y x dx 1 15. Cho tốc ộ đ thay đổi dân ố
s sau t năm tính từ thời điểm hiện tại là P (t ) 3 ' = 6 − 00t
(ngàn nguời/năm). Tính ự
s thay đổi của dân số trong 8 năm đầu.
A. Dân số tăng 6423 (ngàn người)
B. Dân số tăng 7200 (ngàn người)
C. Dân số giảm 1174 (ngàn người)
D. Dân số giảm 7200 (ngàn người)
16. Chi phí cận biên khi sản xuất x (đvsp) là C ( x) 2 '
= 0.3x + 6x (đvtt/đvsp). Biết,
chi phí cố định là 1000 (đvtt), tính chi phí sản xuất 10 (đvsp).
A. 1100 (đvtt) B. 1400 (đvtt) C. 400 (đvtt) D. 2300 (đvtt)
17. Doanh thu của công ty N sau t tháng tính từ hiện tại đang tăng với tốc độ là: ' 2
R (t) = 2t + 60t (triệu đồng / tháng). B ế
i t doanh thu sau 5 tháng tính từ hiện tại là 900 triệu ồ
đ ng. Doanh thu của công ty N sau 8 tháng tính từ hiện tại là:
A. 11,204 triệu đồng B. 10,120 triệu đồng C. 9,234 triệu ồ
đ ng D. 8,679 triệu đồng
Bài tập ôn tập kiểm tra giữa kỳ - MTH 101 GV: Nguyễn Thị Ngọc Bích
18. Giá cận biên dp/dx của mức cung x đvsp ỗ
m i ngày tỉ lệ thuận k = 0.03 với giá
bán p. Mức cung bằng 0 với giá 10 $/đvsp. Hỏi khi mức cung là 50 đvsp thì giá là
bao nhiêu ? (kết quả làm tròn 1 chữ số thập phân) A. 44 $ B. 11 $ C. 43.2 $ D. 44.8 $
19. Doanh thu cận biên của một cửa hàn thể thao khi bán x đôi giầy được cho bởi:
R '(x) = 60 − 0.02x, với R(x) là doanh thu tính bằng đô la. Hỏi doanh thu thay đổi
bao nhiêu khi số lượng bán ra tăng từ 400 đến 600 đôi giầy ? A. 32,400 đô la B. 22,400 đô la C. 10,000 đô la D. 12,000 đô la
20. Doanh thu cận biên của công ty N khi sản xuất x đơn vị sản phẩm là: ' 2
R (x) = 9x − 10x + 20 (triệu đồng/sản phẩm). Khi đó thay đổi trong doanh thu
khi lượng sản xuất thay ổ
đ i từ 5 đến 12 đơn vị sản phẩm là:
A. Doanh thu sẽ tăng 4200 triệu đồng
B. Doanh thu sẽ giảm 4200 triệu ồ đ ng
C. Doanh thu sẽ tăng 4354 triệu đồng
D. Doanh thu sẽ giảm 4354 triệu đồng
21. Tốc độ thay đổi doanh thu (triệu đồng) của sản phẩm A sau x tháng tính từ hiện tại được cho bởi: '
R (x) = −0.01R và R(0) = 120 ? Khi đó doanh thu của sản phẩm A sau 2 tháng là:
A. 120 triệu đồng B. 115,62 triệu đồng C. 116,52 triệu đồng D . 117,62 triệu đồng
22. Một công ty chi x ngàn USD mỗi tuần để quảng cáo trực tuyến và y ngàn USD
mỗi tuần để quảng cáo trên truyền hình. Doanh số hàng tuần của công ty được cho bằng 2 3
S (x, y) = 5x y . Tìm S(2, 3) . A. S (2, 3) = 35
B. S (2, 3) = 540 C. S (2, 3) = 360 D. S (2, 3) = 450
23. Cho hàm hai biến 2 3
f (x, y) = x y − y . Tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp
f (x, y) . xy A. 2 f ( , x y) = 2xy B. 2 f ( ,
x y) = 2 xy −1 xy xy C. 2 f ( , x y) = 6xy D. 2 f ( ,
x y) = 6 xy −1 xy xy 24. Cho hàm số 2
f (x, y) = xy − 3xy + 2x . Tính f (1, 0). A. f (1, 0) = 0 B. f (1, 0) = −2 C. f (1, 0) = 1 D. f (1, 0) = 2
Bài tập ôn tập kiểm tra giữa kỳ - MTH 101 GV: Nguyễn Thị Ngọc Bích
25. Một siêu thị bán hai loại rượu: loại A với giá p $ mỗi chai và loại B với giá q $
mỗi chai. Phương trình hàm cầu hàng ngày của loại rượu A và B lần lượt là:
x = 200 − 3 p + 2q , y = 150 + 2 p − 3q
(cả hai đều tính bằng chai). Tìm hàm doanh thu hàng ngày R( p, q) . A. 2 2
R( p, q) = 200 p − 3 p + 4 pq +150q − 3q B. 2 2
R( p, q) = 150 p − 3 p + 4 pq + 200q − 3q C. 2 2
R( p, q) = 200 − 3 p + 2 pq +150q − 3q D. 2 2
R( p, q) = 200 p − 3 p + 4 pq +150 − 3q
26. Một nhà máy nhỏ sản xuất hai sản phẩm: S1 và S2. Biết hàm chi phí sản xuất
mỗi tháng được cho là : C(x, y) = 1000 + 100x +120 y
, trong đó x và y lần lượt là số lượng sản phẩm S1 và S2 được sản xuất hàng tháng. Tính C(10,15). A. 2800 B. 3800 C. 4800 D. 370 0
27. Một siêu thị bán hai loại rượu: loại A với giá p $ mỗi chai và loại B với giá q $
mỗi chai. Phương trình hàm cầu hàng ngày của loại r ợ
ư u A và B lần lượt là:
x = 200 − 3 p + 2q , y = 150 + 2 p − 3q
(cả hai đều tính bằng chai). Tính doanh thu hàng ngày R(10, 20) .
A. R(10, 20) = 5300 đôla
B. R(10, 20) = 3400 đôla
C. R(10, 20) = 4300đôla
D. R(10, 20) = 4500 đôla
28. Lợi nhuận thu về khi bán x (đvsp) loại A và y (đvsp) loại B là ( P x ) 2 2
, y = x + 3xy + y − 7 (đvtt). Tính lợi nhuận thu về nếu bán được 30 đvsp l ạ o i A và 50 đvsp loại B. A. 7893 đvtt B. 7907 đvtt C. 9000 đvt t D. 8030 đvtt
26. Nếu chi tiêu x (đvtt) cho nhân công và y (đvtt) cho thiết bị thì doanh số bán
hàng là S ( x y) 3 2 ,
= 5x y (đvsp). Hiện tại, mức chi tiêu cho nhân công là 3 đvtt. Xác
định mức chi tiêu cho thiết bị để doanh số bán hàng đạt 1215 đvsp.
Bài tập ôn tập kiểm tra giữa kỳ - MTH 101 GV: Nguyễn Thị Ngọc Bích A. 1 đvtt B. 3 đvtt C. 5 đvtt D. 7 đvtt
27. Cho hàm số hai biến f (x y) 3 2 ,
= 3x y + 6xy . Tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp
f ( x, y . yx ) A. f ( x y) 2 , =18xy + 6 xy B. f
x y = x y + y yx ( ) 2 2 , 9 6 yx C. f ( x y) 2 , =18x y + 6 D. f
x y = x y + x yx ( ) 3 , 6 6 yx
29. Một nhà sản xuất dự định đưa ra thị trường hai mặt hàng mới với hy vọng đáp
ứng được nhu cầu cho khách hàng. Người ta ước tính rằng nếu mặt hàng thứ nhất
được bán với giá x (đvtt) và mặt hàng thứ hai với giá y (đvtt) thì khách hàng sẽ mua 6
− x + 400 (đvsp) mặt hàng thứ nhất và 8
− y + 300 (đvsp) mặt hàng thứ hai. Lập hàm
doanh thu tương ứng. A. R (x y ) 2 2 , = 8
− x − 6y + 400x + 300y (đvtt) B. R ( x y) 2 2 ,
= −6x − 8y + 400x + 300y (đvtt) C. R (x y ) 2 2 ,
= 6x + 8 y + 400x + 300y (đvtt) D.R ( x y) 2 2 ,
= 8x + 6 y − 400x − 300y (đvtt) 30. Cho hàm số ( , ) x
f x y = x y + e − 2xy . Tìm f ( , x ) y . y 1 x A. f ( , x ) y = −2 B. f ( , x ) y = −2 y y 2 y y 2 y x y C. f ( , x ) y = −2x
D. f (x, y) = − 2y y y 2 y 2 x
II. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN
1. Chi phí cận biên (triệu đồng/sản phẩm) của công ty A khi sản xuất x sản phẩm là ' 2
C (x) = 4x + 6 x , biết chi phí 5 sản phẩm là 400 triệu ồ
đ ng. Tính chi phí sản xuất 8 sản phẩm.
2. Tốc độ thay đổi doanh thu của công ty N khi sản xuất x đơn vị là ' 0,25 ( ) 60 − = + x R x e
( triệu đồng/đơn vị), biết R(5) = 38. Vậy doanh thu khi sản xuất 20 đơn vị là:
Bài tập ôn tập kiểm tra giữa kỳ - MTH 101 GV: Nguyễn Thị Ngọc Bích
3. Tốc độ thay đổi giá của điện thoại Iphone 10 sau t tháng kể từ bây giờ được cho bởi p '(t) = 0
− ,01p, biết hiện tại giá điện thoại Iphone 10 là 10 triệu đồng. Khi đó
giá điện thoại Iphone 10 sau 5 tháng là: (làm tròn 1 chữ số thập phân)
4. Chi phí cận biên khi sản xuất x đơn vị là 2
C '(x) = 4x + 7x + 50 (triệu đồng/đơn
vị). Nếu lượng sản xuất thay đổi từ 20 đến 25 đơn vị, thì chi phí sẽ thay đổi là:
5. Tốc độ thay đổi doanh số bán hàng của một trò chơi điện tử kể từ khi phát hành
được xác định bởi S '(t) = 400t , biết S(0) = 0, với t là số tháng kể từ khi phát hành
trò chơi điện tử. Khi nào doanh số bán hàng đạt 6 000 bản ? 2t
6, Doanh thu cận biên của công ty N sau t năm tính từ năm 2012 là tỷ 2 10 + t
đồng/năm. Biết doanh thu vào năm 2016 là 400 tỷ đồng. Tính doanh thu vào năm 2025 ?
7. Lợi nhuận cận biên của công ty N sau t năm tính từ năm 2018 là 20t 4t + 1 tỷ đồng/năm. Trong s ố
u t năm 2022 lợi nhuận của công ty sẽ tăng bao nhiêu ?
8. Giá cận biên theo nhu cầu hằng tuần của x chai dầu gội được cho bởi −9000 p'( ) x =
, biết nhu cầu hằng tuần là 140 chai khi giá mỗi chai là 8$. Tìm 2 (3x + 50)
hàm p(x) ? Khi giá mỗi chai 7,5 $ thì nhu cầu hằng tuần bao nhiêu ?
9. Tốc độ thay đổi giá của đ ệ
i n thoại A sau t tháng kể từ bây giờ tỷ lệ thuận k = −0.2
với giá. Biết hiện tại giá điện thoại A là 25 triệu đồng. Tìm giá của điện thoại A sau
6 tháng (làm tròn 1 chữ số thập phân).
10. Tốc độ thay đổi số dư trong tài khoản sau t tháng tính từ bây giờ được cho bởi:
dA = −0 0.2A và (
A 0) = 15 (tỷ đồng). Tìm số dư trong tài khoản sau 10 tháng ? dt
11. Nhu cầu của sản phẩm A đang tăng với tốc độ 5% mỗi năm. Biết nhu cầu hiện
tại là 200 sản phẩm. Khi đó nhu cầu của sản phẩm A trong 10 năm tới là: (lấy phần nguyên).
12. Cho tốc độ thay đổi dân số sau t (năm) tính từ thời điểm hiện tại là '( ) 20 − = t P t e
(ngàn nguời/năm). Tính sự thay đổi của dân số trong 5 năm đầu. (Làm tròn kết quả
đến số nguyên gần nhất)
Bài tập ôn tập kiểm tra giữa kỳ - MTH 101 GV: Nguyễn Thị Ngọc Bích
13. Do ảnh hưởng dịch covid nên số lượng khách du lịch đến Đà nẵng giảm với tốc độ 600( 2x −1 )
0 sau t tháng tính từ đầu năm 2022 (đầu năm t =0). Tính số khách
du lịch đến Đà Nẵng giảm từ đầu tháng ba đến đầu tháng sáu năm 2022? 14. Cho tốc ộ
đ thay đổi lợi nhuận sau t năm tính từ thời điểm hiện tại là P (t) 2 '
= −3t + 500t − 200(đvtt/năm). Tính lợi nhuận thu được trong năm thứ 2. dA
15. Tốc độ thay đổi của số dư A trong tài khoản sau t năm là
= 0.04A . Biết hiện dt
tại số dư trong tài khoản là 600 triệu đồng. Tìm số dư trong tài khoản sau 3 năm ?
16. Giá mặt hàng A sau t tháng tính từ tháng 2/2021 được cho bởi: p(t) = 100 − 4t
(đvtt). Tính giá trung bình của mặt hàng A từ tháng 5/2021 đến tháng 9/2021.
17. Nhu cầu lương thực trên thế giới sau t năm tính từ hiện tại đang tăng với tốc độ
15% mỗi năm. Biết nhu cầu lương thực hiện tại là 20 triệu tấn. Tính nhu cầu lương
thực trên thế giới trong 5 năm tới.
18. Doanh thu cận biên khi sản xuất q máy tính là R '(q) = 20 q + 5 (triệu
đồng/máy). Tính doanh thu của máy tính thứ 10.
189 Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x năm tính từ năm 2012, dân số của thành phố A sẽ
tăng với tốc độ f x = ( 2 '( ) 9x − 4x + )
5 người/năm. Biết năm 2015, dân só của thành phố là
6000 người. Hỏi dân số của thành phố là bao nhiêu vào năm 2020?
20. Khi một liều thuốc được tiêm cho một bệnh nhân, lượng thuốc Q trong cơ thể sau đó dQ
giảm với tốc độ tỉ lệ thuận với lượng thuốc hiện còn như sau: = 0 − 3
. Q , với t là thời dt
gian tính bằng giờ. Biết lượng thuốc tiêm ban đầu là 4ml. Hỏi sau 5 giờ, lượng thuốc còn
lại trong cơ thể là bao nhiêu?